O documento discute diferentes formas de contar permutações circulares e combinações completas. Explica que o número de modos de colocar n objetos em um círculo é dado por (PC)n, e que (PC)n é diferente de Pn. Também mostra que o número de modos de escolher p objetos entre n é dado por nC p.

2.  De quantos modos podemos colocar n objetos
distintos em n lugares equiespaçados em torno de um
círculo se consideramos equivalentes disposições que
possam coincidir por rotação?
 A resposta desse problema será representada por
(PC)n, o número de permutações circulares de n
objetos distintos. É fácil ver que (PC)n é em geral,
diferente de Pn.
18/04/2013 2Josivaldo Passos

3.  De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda
de ciranda?
 Solução. À primeira vista parece que para formar uma
roda com as cinco crianças basta escolher uma ordem
para elas, o que poderia ser feito de 5! = 120 modos.
18/04/2013 3Josivaldo Passos

4.  Entretanto, as rodas ABCDE e EABCD são iguais, pois
na roda o que importa é a posição relativa das crianças
entre si e a roda ABCDE pode ser virada na roda
EABCD. Como cada roda pode ser “virada” de cinco
modos, a nossa contagem de 120 rodas contou cada
roda 5 vezes e a resposta é 120/5 = 24.
 De modo geral, o número de modos de colocar n
objetos em círculo, de modo que disposições que
possam coincidir por rotação sejam consideradas
iguais, isto é, o número de permutações circulares de n
objetos é
)!1(
!
)(  n
n
n
PC n
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5.  De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em
uma loja que os oferece em 7 sabores?
 A resposta não é . seria o número de
modos de escolher 4 sabores diferentes entre os 7
sabores oferecidos, isto é, seria o número de
modos de comprar 4 sorvetes diferentes em uma loja
que os oferece em 7 sabores.
 A resposta desse problema é representada por ,
número de combinações completas de classe 4 de 7
objetos.
354
7 C 4
7C
4
7CR
4
7C
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6.  Portanto é o número de modos de escolher 4
objetos entre 7 objetos distintos, valendo escolher o
mesmo objeto mais de uma vez.
 De modo geral, é o número de modos de escolher
p objetos distintos entre n objetos distintos dados, e
é o número de modos de escolher p objetos
distintos ou não entre n objetos distintos dados.
 Poderíamos também interpretar de outro modo.
Voltemos à compra dos 4 sovertes na loja que os
oferece em 7 sabores.
4
7CR
p
nC
p
nCR
p
nCR
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7.  Para efetuar a compra devemos escolher valores para as
variáveis , onde é a quantidade que
vamos comprar de sorvetes do 1° sabor, é a
quantidade que vamos comprar de sorvetes do 2° sabor
e assim por diante. É claro que devem
ser números inteiros, não negativos (isto é, maiores ou
iguais a zero) e que
 Comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7
sabores é tomar uma solução em inteiros não negativos
da equação
721 ,,, xxx  1x
2x
721 ,,, xxx 
4721  xxx 
4721  xxx 
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8.  Podemos, portanto, interpretar de dois modos:
a) é o número de modos de selecionar p objetos,
distintos ou não, entre n objetos distintos dados.
b) é o número de soluções da equação
em inteiros não negativos.
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p
nCR
p
nCR
Josivaldo Passos
p
nCR
pxxx n  21

9.  O número de combinações completas , que é o
número de soluções inteiras não negativas da equação
, é dado por
 Exemplo:
 1. Quantas são as soluções inteiras não negativas da
equação ?
 Solução: Devemos determinar a quantidade de ternos
x, y e z inteiros não negativos tais que a soma seja 5, o
que pode ser feito de
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p
nCR
pxxx n  21
p
pn
p
n CCR 1
5 zyx
215
7
5
153
5
3   CCCR
Josivaldo Passos