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 De quantos modos podemos colocar n objetos
distintos em n lugares equiespaçados em torno de um
círculo se consideramos equivalentes disposições que
possam coincidir por rotação?
 A resposta desse problema será representada por
(PC)n, o número de permutações circulares de n
objetos distintos. É fácil ver que (PC)n é em geral,
diferente de Pn.
18/04/2013 2Josivaldo Passos
 De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda
de ciranda?
 Solução. À primeira vista parece que para formar uma
roda com as cinco crianças basta escolher uma ordem
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 Entretanto, as rodas ABCDE e EABCD são iguais, pois
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entre si e a roda ABCDE pode ser virada na roda
EABCD. Como cada roda pode ser “virada” de cinco
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roda 5 vezes e a resposta é 120/5 = 24.
 De modo geral, o número de modos de colocar n
objetos em círculo, de modo que disposições que
possam coincidir por rotação sejam consideradas
iguais, isto é, o número de permutações circulares de n
objetos é
)!1(
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PC n
18/04/2013 4Josivaldo Passos
 De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em
uma loja que os oferece em 7 sabores?
 A resposta não é . seria o número de
modos de escolher 4 sabores diferentes entre os 7
sabores oferecidos, isto é, seria o número de
modos de comprar 4 sorvetes diferentes em uma loja
que os oferece em 7 sabores.
 A resposta desse problema é representada por ,
número de combinações completas de classe 4 de 7
objetos.
354
7 C 4
7C
4
7CR
4
7C
18/04/2013 5Josivaldo Passos
 Portanto é o número de modos de escolher 4
objetos entre 7 objetos distintos, valendo escolher o
mesmo objeto mais de uma vez.
 De modo geral, é o número de modos de escolher
p objetos distintos entre n objetos distintos dados, e
é o número de modos de escolher p objetos
distintos ou não entre n objetos distintos dados.
 Poderíamos também interpretar de outro modo.
Voltemos à compra dos 4 sovertes na loja que os
oferece em 7 sabores.
4
7CR
p
nC
p
nCR
p
nCR
18/04/2013 6Josivaldo Passos
 Para efetuar a compra devemos escolher valores para as
variáveis , onde é a quantidade que
vamos comprar de sorvetes do 1° sabor, é a
quantidade que vamos comprar de sorvetes do 2° sabor
e assim por diante. É claro que devem
ser números inteiros, não negativos (isto é, maiores ou
iguais a zero) e que
 Comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7
sabores é tomar uma solução em inteiros não negativos
da equação
721 ,,, xxx  1x
2x
721 ,,, xxx 
4721  xxx 
4721  xxx 
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 Podemos, portanto, interpretar de dois modos:
a) é o número de modos de selecionar p objetos,
distintos ou não, entre n objetos distintos dados.
b) é o número de soluções da equação
em inteiros não negativos.
18/04/2013 8
p
nCR
p
nCR
Josivaldo Passos
p
nCR
pxxx n  21
 O número de combinações completas , que é o
número de soluções inteiras não negativas da equação
, é dado por
 Exemplo:
 1. Quantas são as soluções inteiras não negativas da
equação ?
 Solução: Devemos determinar a quantidade de ternos
x, y e z inteiros não negativos tais que a soma seja 5, o
que pode ser feito de
18/04/2013 9
p
nCR
pxxx n  21
p
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  • 1.
  • 2.  De quantos modos podemos colocar n objetos distintos em n lugares equiespaçados em torno de um círculo se consideramos equivalentes disposições que possam coincidir por rotação?  A resposta desse problema será representada por (PC)n, o número de permutações circulares de n objetos distintos. É fácil ver que (PC)n é em geral, diferente de Pn. 18/04/2013 2Josivaldo Passos
  • 3.  De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda de ciranda?  Solução. À primeira vista parece que para formar uma roda com as cinco crianças basta escolher uma ordem para elas, o que poderia ser feito de 5! = 120 modos. 18/04/2013 3Josivaldo Passos
  • 4.  Entretanto, as rodas ABCDE e EABCD são iguais, pois na roda o que importa é a posição relativa das crianças entre si e a roda ABCDE pode ser virada na roda EABCD. Como cada roda pode ser “virada” de cinco modos, a nossa contagem de 120 rodas contou cada roda 5 vezes e a resposta é 120/5 = 24.  De modo geral, o número de modos de colocar n objetos em círculo, de modo que disposições que possam coincidir por rotação sejam consideradas iguais, isto é, o número de permutações circulares de n objetos é )!1( ! )(  n n n PC n 18/04/2013 4Josivaldo Passos
  • 5.  De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores?  A resposta não é . seria o número de modos de escolher 4 sabores diferentes entre os 7 sabores oferecidos, isto é, seria o número de modos de comprar 4 sorvetes diferentes em uma loja que os oferece em 7 sabores.  A resposta desse problema é representada por , número de combinações completas de classe 4 de 7 objetos. 354 7 C 4 7C 4 7CR 4 7C 18/04/2013 5Josivaldo Passos
  • 6.  Portanto é o número de modos de escolher 4 objetos entre 7 objetos distintos, valendo escolher o mesmo objeto mais de uma vez.  De modo geral, é o número de modos de escolher p objetos distintos entre n objetos distintos dados, e é o número de modos de escolher p objetos distintos ou não entre n objetos distintos dados.  Poderíamos também interpretar de outro modo. Voltemos à compra dos 4 sovertes na loja que os oferece em 7 sabores. 4 7CR p nC p nCR p nCR 18/04/2013 6Josivaldo Passos
  • 7.  Para efetuar a compra devemos escolher valores para as variáveis , onde é a quantidade que vamos comprar de sorvetes do 1° sabor, é a quantidade que vamos comprar de sorvetes do 2° sabor e assim por diante. É claro que devem ser números inteiros, não negativos (isto é, maiores ou iguais a zero) e que  Comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores é tomar uma solução em inteiros não negativos da equação 721 ,,, xxx  1x 2x 721 ,,, xxx  4721  xxx  4721  xxx  18/04/2013 7Josivaldo Passos
  • 8.  Podemos, portanto, interpretar de dois modos: a) é o número de modos de selecionar p objetos, distintos ou não, entre n objetos distintos dados. b) é o número de soluções da equação em inteiros não negativos. 18/04/2013 8 p nCR p nCR Josivaldo Passos p nCR pxxx n  21
  • 9.  O número de combinações completas , que é o número de soluções inteiras não negativas da equação , é dado por  Exemplo:  1. Quantas são as soluções inteiras não negativas da equação ?  Solução: Devemos determinar a quantidade de ternos x, y e z inteiros não negativos tais que a soma seja 5, o que pode ser feito de 18/04/2013 9 p nCR pxxx n  21 p pn p n CCR 1 5 zyx 215 7 5 153 5 3   CCCR Josivaldo Passos