Matemática básica derivada e integral

Derivadas
Derivadas
(24-03-2009 e 31-03-2009)
Derivadas Matem´atica II 2008/2009

Derivadas
Recta Tangente
Seja C uma curva de equa¸cão y = f(x). Para determinar a recta
tangente a C no ponto P de coordenadas (a, f(a)), i.e,
P(a, f(a)), come¸camos por considerar um ponto Q(x, f(x)), com
x = a e calculamos a inclina¸cão da recta secante PQ:
mP Q =
f(x) − f(a)
x − a
Depois, ”aproximamos o ponto Q” do ponto P, fazendo x tender
para a. Se mP Q tender para um número m, então definimos a
recta tangente t como a recta que passa por P e tem inclina¸cão
m.

Derivadas
A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) ´e a
recta que passa por P e tem inclina¸c˜ao
m = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
( ou m = lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
)
desde que esse limite exista.

Derivadas
Velocidade
Suponha um objecto a mover-se sobre uma linha recta de acordo
com a equa¸cão y = s(t), onde s é o deslocamento do objecto a
partir da origem. A fun¸cão s que descreve o movimento é chamada
fun¸cão posi¸cão do objecto. No intervalo de tempo entre t = a e
t = a + h, a varia¸cão na posi¸cão será de s(a + h) − s(a)

Derivadas
A velocidade média nesse intervalo é
velocidade média =
deslocamento
tempo
=
s(a + h) − s(a)
h
que é igual à inclina¸cão da recta secante PQ.

Derivadas
Suponha que a velocidade média é calculada em intervalos cada
vez menores [a, a + h], isto é, fazemos h tender para 0.
Definimos velocidade (ou velocidade instantânea), v(a), no
instante t = a como o limite dessas velocidades médias:
v(a) = lim
h→0
s(a + h) − s(a)
h
Assim, a velocidade no instante t = a é igual à inclina¸cão da recta
tangente a y = s(t) em P(a, s(a)).

Derivadas
Taxa de varia¸cão
(Recordemos...)
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra
quantidade x. Assim, y é uma fun¸cão de x e escrevemos y = f(x).
Se x variar de a para a + h, então a varia¸cão de x é
∆x = (a + h) − a = h
e a varia¸cão correspondente de y é
∆y = f(a + h) − f(a)
O quociente
∆y
∆x
=
f(a + h) − f(a)
h
designa-se por taxa média de varia¸cão de y em rela¸cão a x no
intervalo [a, a + h].

Derivadas
Consideremos as taxas médias de varia¸cão em intervalos cada vez
menores (fazendo h tender para 0, logo ∆x tende para 0). O
limite das taxas médias de varia¸cão é designado por taxa
(instantânea) de varia¸cão de y em rela¸cão a x em x = a.
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
se este limite existir.

Derivadas
Assim, a velocidade de uma part´ıcula é a taxa de varia¸cão do
deslocamento em rela¸cão ao tempo.
Seja R = R(x) a fun¸cão de receita total para um produto.
Definimos receita marginal para um produto como a taxa de
varia¸cão instantânea de R em rela¸cão a x. Assim,
Se a fun¸cão receita total para um produto for dada por y = R(x),
onde x é o número de unidades vendidas, então, a receita marginal
para a unidades é dada por
lim
h→0
R(a + h) − R(a)
h
desde que esse limite exista.

Derivadas
Derivadas
O limite da forma
lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
surge sempre que calculamos uma taxa de varia¸cão em várias áreas
de estudo. Uma vez que este tipo de limite surge amplamente, são
dados a ele um nome e uma nota¸cão especiais.
Defini¸cão
A derivada de uma fun¸cão f num ponto a, denotada por f′(a), é
f′
(a) = lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
se o limite existir.

Derivadas
Algumas nota¸cões alternativas para a derivada da fun¸cão y = f(x):
f′
(x), y
′
,
dy
dx
,
df
dx
Por exemplo, sendo
y = f(x) = sin x
então a derivada pode ser designada por
f′
(x) = cos x, y′
= cos x,
dy
dx
= cos x,
df
dx
= cos x
Iremos utilizar mais a nota¸cão f′(x).

Derivadas
Assim,
A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) é a
recta que passa por P e tem inclina¸cão m = f′(a).
(É a recta de equa¸cão: y − f(a) = f′(a)(x − a) )
Se y = s(t) for a fun¸cão posi¸cão de um objecto, então a
velocidade do objecto no instante t = a, v(a), é s′(a).
A taxa de varia¸cão (instantânea) de y = f(x) em rela¸cão a x
quando x = a é f′(a).
Se a fun¸cão receita total para um produto for dada por y = R(x),
onde x é o número de unidades vendidas, então, a receita marginal
para a unidades é R′(a).

Derivadas
Em aulas anteriores já determinámos a derivada de algumas
fun¸cões. Por exemplo, vimos que a derivada da fun¸cão f(x) = ex é
f′(x) = ex, a derivada de g(x) = ln x é g′(x) = 1
x , a derivada de
h(x) = sin x é h′(x) = cos x e a derivada de m(x) = cos x é
m′(x) = − sin x.

Derivadas
Fazendo uma análise ao gráfico da fun¸cão constante f(x) = c
observamos que o gráfico é a recta horizontal y = c, cuja
inclina¸cão é 0, logo devemos ter f′(x) = 0.
Por defini¸cão podemos constatar que tal se verifica:
f′(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
c − c
h
= lim
h→0
0
h
= 0

Derivadas
Derivada de uma fun¸cão constante
Se f(x) = c, para c uma constante, então f′(x) = 0.
Exemplos
Se f(x) = 5 então f′(x) = 0.
Se f(x) = 1
3 então f′(x) = 0.

Derivadas
Iremos apresentar a derivada de várias fun¸cões sem fazer a
respectiva demonstra¸cão.
Regra da potência
Se n for um número real qualquer, então para f(x) = xn vem
f′(x) = nxn−1.
Exemplos
Se f(x) = x então f′(x) = 1x0 = 1
Se f(x) = x2 então f′(x) = 2x1 = 2x
Se f(x) = x3 então f′(x) = 3x2
Se f(x) = x
1
3 então f′(x) = 1
3 × x(1
3
−1)
= 1
3 × x− 2
3
Se f(x) = 1
x2 então f(x) = x−2 logo f′(x) = −2x(−2−1) = −2x−3

Derivadas
Fun¸cão exponencial f(x) = ex
Se f(x) = ex então f′(x) = ex.
Fun¸cão exponencial f(x) = ax, com a > 0 e a = 1
Se f(x) = ax então f′(x) = ax ln a.
Exemplos
Se f(x) = 2x então f′(x) = 2x ln 2
Se f(x) = (2
3)x então f′(x) = (2
3)x ln 2
3

Derivadas
Fun¸cão logaritmo neperiano f(x) = ln x
Se f(x) = ln x então f′(x) = 1
x.
Fun¸cão logaritmo de base a f(x) = loga x, com a > 0 e a = 1
Se f(x) = loga x então f′(x) = 1
x ln a .
Exemplos
Se f(x) = log3 x então f′(x) = 1
x ln 3
Se f(x) = log1
4
x então f′(x) = 1
x ln 1
4

Derivadas
Fun¸cão seno
Se f(x) = sin x então f′(x) = cos x.
Fun¸cão cosseno
Se f(x) = cos x então f′(x) = − sin x.
Quando uma fun¸cão é formada a partir de outras fun¸cões (das
quais sabemos a sua derivada) por adi¸cão, multiplica¸cão ou
divisão, a sua derivada pode ser calculada em termos das derivadas
dessas fun¸cões, pelas regras que se seguem.

Derivadas
Constante c a multiplicar por uma fun¸cão g
Se f(x) = cg(x) então f′(x) = cg′(x).
Exemplos
Se f(x) = 3x então f′(x) = (3x)′ = 3(x)′ = 3 × 1 = 3
Se f(x) = 2 sin x então f′(x) = (2 sin x)′ = 2(sin x)′ = 2 cos x
Se f(x) = 4x3 então f′(x) = (4x3)′ = 4(x3)′ = 4(3x2) = 12x2

Derivadas
Soma de fun¸cões
Se f(x) = g(x) + h(x) então f′(x) = g′(x) + h′(x), i.e,
[g(x) + h(x)]′
= g′
(x) + h′
(x)
”a derivada da soma é igual à soma das derivadas”
Exemplos
Se f(x) = x2 + ln x e g(x) = 2x4 + cos x − ex então
f′(x) = (x2 + ln x)′
= (x2)′ + (ln x)′
= 2x + 1
x
g′(x) = (2x4 + cos x − ex)′
= (2x4)′ + (cos x)′ + (−ex)′
= 2(x4)′ − sin x + (−1)(ex)′
= 2(4x3) − sin x + (−1)ex
= 8x3 − sin x − ex

Derivadas
Multiplica¸cão de fun¸cões
Se f(x) = g(x)h(x) então f′(x) = g′(x)h(x) + g(x)h′(x), i.e,
[g(x)h(x)]′
= g′
(x)h(x) + g(x)h′
(x)
”a derivada do produto é igual à
derivada da primeira vezes a segunda
mais
a primeira vezes a derivada da segunda”
Exemplo
Se f(x) = x3 sin x então
f′(x) = (x3 sin x)′
= (x3)′ sin x + x3(sin x)′
= 3x2 sin x + x3 cos x

Derivadas
Quociente de fun¸cões
Se f(x) =
g(x)
h(x)
então f′(x) =
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
, i.e,
g(x)
h(x)
′
=
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
”a derivada do quociente é igual à
derivada do numerador vezes o denominador
menos
o numerador vezes a derivada do denominador,
tudo a dividir pelo
quadrado do denominador”

Derivadas
g(x)
h(x)
′
=
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
Exemplo
Se f(x) =
cos x
2x
ent˜ao
f′(x) =
cos x
2x
′
=
(cos x)′(2x) − (cos x)(2x)′
[2x]2
=
(− sin x)(2x) − (cos x)(2)
4x2
=
−2x sin x − 2 cos x
4x2
=
−2(x sin x + cos x)
4x2
=
−(x sin x + cos x)
2x2

Derivadas
Composi¸cão de fun¸cões
Se f(x) = g(x) ◦ h(x) então f′(x) = g′(h(x)).h′(x), i.e,
[g(x) ◦ h(x)]′
= g′
(h(x)).h′
(x)
Exemplos
Se f(x) = sin(3x5) então (sin(u))′ = d
du sin(u) = cos u, fazendo
u = 3x5 vem cos(3x5)
f′(x) = [sin(3x5)]′
= [cos(3x5)].(3x5)′
= [cos(3x5)].[3(x5)′]
= [cos(3x5)].[3(5x4)]
= [cos(3x5)].(15x4)
= 15x4 cos(3x5)

Derivadas
Tabela de Derivadas
f = f(x), g = g(x) fun¸c˜oes, c =constante e α =uma constante
n˜ao nula
(c)′ = 0 (ef )′ = f′ef
(x)′ = 1 (af )′ = f′af ln a, a > 0, a = 1
(cf)′ = cf′ (ln f)′ = f′
f
(f + g)′ = f′ + g′ (loga f)′ = f′
f ln a, a > 0, a = 1
(fg)′ = f′.g + f.g′ (sin f)′ = f′ cos f
(f
g )′ = f′.g−f.g′
g2 (cos f)′ = −f′ sin f
(fα)′ = αf′fα−1

Derivadas
Exerc´ıcios
1 Determine uma equa¸cão da recta tangente à parábola
y = x2 + 1 nos pontos indicados.
(a) (0, 1)
(b) (−1, 2)
(c) Fa¸ca um esbo¸co da parábola y = x2 + 1 e das rectas
obtidas nas al´ıneas anteriores.
2 Um projéctil é lan¸cado verticalmente do solo com uma
velocidade inicial de 112 metros por segundo. Após t
segundos, a sua distância ao solo é de 112t − 4, 9t2 metros.
Determine:
(a) a velocidade do projéctil para t = 2.
(b) o instante em que o projéctil atinge o solo.
(c) a velocidade em que o projéctil atinge o solo.

Derivadas
Monotonia de uma fun¸cão
Se uma fun¸cão f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e se
cada recta tangente à curva nesse intervalo tiver declive positivo,
então a curva está a subir no intervalo e a fun¸cão é crescente.
Mas, o declive da recta tangente a f em x é dado pela derivada de
f em x, f′(x), logo, se f′(x) > 0 num intervalo, então f(x) é
crescente nesse intervalo.
Se uma fun¸cão f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e se
cada recta tangente à curva nesse intervalo tiver declive negativo,
então a curva está a descer no intervalo e a fun¸cão é decrescente.
Mas, o declive da recta tangente a f em x é dado pela derivada de
f em x, f′(x), logo, se f′(x) < 0 num intervalo, então f(x) é
decrescente nesse intervalo.

Derivadas
Extremos de uma fun¸cão
Máximo
Uma fun¸cão f ≡ f(x) tem um máximo local (ou máximo relativo)
em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
Exemplo
A fun¸cão f(x) = −x2 tem um máximo local em 0 pois
f(0) ≥ f(x) para valores de x próximos de c.
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2

Derivadas
M´ınimo
Uma fun¸cão f ≡ f(x) tem um m´ınimo local (ou m´ınimo relativo)
em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
Exemplo
A fun¸cão f(x) = x2 tem um m´ınimo local em 0 pois f(0) ≤ f(x)
para valores de x próximos de c.
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3

Derivadas
Os valores máximos e m´ınimos locais de uma fun¸cão f são
chamados extremos locais.
A derivada f′(x) pode mudar de sinal somente nos valores de x
onde f′(x) = 0 ou f′(x) não está definida.
Ponto cr´ıtico
Um valor cr´ıtico de uma fun¸cão f é um número c no dom´ınio de f
onde f′(c) = 0 ou f′(c) não existe. O ponto correspondente ao
valor cr´ıtico c designa-se por ponto cr´ıtico.
Se f tiver um máximo ou um m´ınimo local em c então f′(c) = 0
ou f′(c) não está definida, isto é, c é um valor cr´ıtico.

Derivadas
Exemplo
Esta fun¸cão tem dois máximos locais, um em x = a e outro em
x = c. Em x = a a derivada é zero e em x = c a derivada não
existe. Esta fun¸cão tem um m´ınimo local em x = b e f′(b) = 0.

Derivadas
Como determinar máximos e m´ınimos locais de uma fun¸cão f
1 Calcular f′(x).
2 Determinar os valores cr´ıticos de f, isto é, determinar os x
tais que f′(x) = 0 ou f′(x) não existe.
3 Calcular f′(x) em alguns valores de x à esquerda e à direita
de cada valor cr´ıtico (fazendo um quadro de sinais).
(a) se f′(x) > 0 à esquerda e f′(x) < 0 à direita do valor
cr´ıtico, então f tem um máximo local nesse valor cr´ıtico.
(b) se f′(x) < 0 à esquerda e f′(x) > 0 à direita do valor
cr´ıtico, então f tem um m´ınimo local nesse valor cr´ıtico.

Derivadas
Exemplo
Determinar os m´aximos e m´ınimos locais de
f(x) = 1
3 x3 − x2 − 3x + 2.
1 Calculemos f′(x). f′(x) = x2 − 2x − 3
2 Determinemos os valores cr´ıticos de f. Como f′(x) existe
para todo o x em R, basta determinar os x tais que f′(x) = 0.
f′(x) = 0 x =
2 ± 4
2
x2 − 2x − 3 = 0 x =
−2
2
∨ x =
6
2
x =
2 ±
√
4 + 12
2
x = −1 ∨ x = 3
x =
2 ±
√
16
2
Os valores cr´ıticos de f s˜ao x = −1 e x = 3.

Derivadas
Exemplo (cont.)
3 Calculemos f′(x) em alguns valores de x à esquerda e à
direita de cada valor cr´ıtico (fazendo um quadro de sinais).
f′
(−2) = 5 > 0 f′
(0) = −3 < 0 f′
(4) = 5 > 0
−1 3
f′ + 0 − 0 +
f ր Máx ց min ր
Como f′(x) > 0 à esquerda e f′(x) < 0 à direita do valor
cr´ıtico x = −1, então f tem um máximo local em x = −1.
Como f′(x) < 0 à esquerda e f′(x) > 0 à direita do valor
cr´ıtico x = 3, então f tem um m´ınimo local em x = 3.

Derivadas
Exemplo (cont.)
Pela análise gráfica podemos confirmar a localiza¸cão do máximo e
do m´ınimo.

Derivadas
Se a primeira derivada de f for zero no valor cr´ıtico c mas não
mudar de positiva para negativa ou de negativa para positiva
conforme x passa por c, então f não tem nem máximo nem
m´ınimo local em c.
Exemplo
Os valores cr´ıticos da fun¸cão f(x) = 1
4x4 − 2
3 x3 − 2x2 + 8x + 4
são x = −2 e x = 2. A fun¸cão f tem m´ınimo local em x = −2 e
não tem nem máximo nem m´ınimo em x = 2.

Derivadas
Aplica¸cão: Rectângulo de área máxima
Suponhamos o seguinte problema.
Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectângulo, de
per´ımetro igual a 100 metros, de modo ao rectângulo ter área
máxima.
Designemos os comprimentos dos lados do rectângulo por x e y

Derivadas
A área é dada por A = xy e o per´ımetro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectângulos distintos com o mesmo
per´ımetro e áreas distintas. Por exemplo:
para x = 10 e y = 40 vem P = 100 e A = 400
para x = 20 e y = 30 vem P = 100 e A = 600
O que se pretende aqui, é determinar os valores de x e de y para se
ter P = 100 e obter o valor máximo para A.

Derivadas
Vamos escrever a fun¸cão área como uma fun¸cão de uma só
variável.
Como o per´ımetro é 100 metros, temos
2x + 2y = 100
x + y = 50
y = 50 − x
Substituindo y por 50 − x em A = xy obtemos
A = x(50 − x)
que é uma fun¸cão na (única) variável x.

Derivadas
Determinemos o(s) máximo(s) da fun¸cão área
A(x) = x(50 − x) = −x2
+ 50x
Comecemos por determinar a sua derivada.
A′
(x) = −2x + 50
Determinemos os valores cr´ıticos de A. Como A′(x) existe para
todo o x em R, basta determinar os x tais que A′(x) = 0.
A′
(x) = 0 ⇔ −2x + 50 = 0 ⇔ x = 25
O (único) valor cr´ıtico de A é x = 25.

Derivadas
Calculemos A′(x) em valores de x à esquerda e à direita de x = 25
(fazendo um quadro de sinais).
A′
(24) = 2 > 0 A′
(26) = −2 < 0
25
A′ + 0 −
A ր Máx ց
Como A′(x) > 0 à esquerda e A′(x) < 0 à direita do valor cr´ıtico
x = 25, então A tem um máximo local em x = 25.
Uma vez que y = 50 − x, vem y = 50 − 25 = 25.

Derivadas
Conclu´ımos que os quatro lados têm o mesmo comprimento e a
área máxima é atingida se o rectângulo for um quadrado.
O valor máximo da área rectangular que é poss´ıvel conter dentro
do per´ımetro 100 metros será
A = 25 × 25 = 625m2

Derivadas
Aplica¸cão: Rectângulo de per´ımetro m´ınimo
Suponhamos agora o seguinte problema.
Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectângulo, de
área igual a 100 m2, de modo ao rectângulo ter per´ımetro m´ınimo.
Designemos os comprimentos dos lados do rectângulo por x e y

Derivadas
A área é dada por A = xy e o per´ımetro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectângulos distintos com a mesma
área e per´ımetros distintos. Por exemplo:
para x = 2 e y = 50 vem A = 100 e P = 104
para x = 5 e y = 20 vem A = 100 e P = 50
O que se pretende aqui, é determinar os valores de x e de y para se
ter A = 100 e obter o valor m´ınimo para P.

Derivadas
Vamos escrever a fun¸cão per´ımetro como uma fun¸cão de uma só
variável.
Como a área é 100 metros, temos
xy = 100
y =
100
x
(É claro que x = 0, caso contrário a área seria nula. É também
óbvio que 0 < x ≤ 100 e 0 < y ≤ 100)
Substituindo y por 100
x em P = 2x + 2y obtemos
P = 2x + 2.
100
x
= 2x +
200
x
que é uma fun¸cão na (única) variável x.

Derivadas
Determinemos o(s) m´ınimo(s) da fun¸cão per´ımetro
P(x) = 2x +
200
x
Comecemos por determinar a sua derivada.
P′
(x) = (2x+200x−1
)′
= 2+200(−1)x(−1−1)
= 2−200x−2
= 2−
200
x2
Determinemos os valores cr´ıticos de P. Como P′(x) existe para
todo o x em causa (0 < x ≤ 100), basta determinar os x tais que
P′(x) = 0.
P′
(x) = 0 ⇔ 2 −
200
x2
= 0 ⇔
2x2 − 200
x2
= 0
Assim 2x2 − 200 = 0, logo x2 = 100, e portanto x = ∓10. Mas
x = −10 não faz sentido (uma vez que x representa um
comprimento). Assim, o único candidato a valor m´ınimo de P, que
nos interessa, é x = 10.

Derivadas
Calculemos P′(x) em valores de x à esquerda e à direita de x = 10
(fazendo um quadro de sinais).
P′
(9) = −
38
81
< 0 P′
(11) =
42
121
> 0
10
P′ − 0 +
P ց m´ın ր
Como P′(x) < 0 à esquerda e P′(x) > 0 à direita do valor cr´ıtico
x = 10, então P tem um m´ınimo local em x = 10.
Uma vez que y = 100
x , vem y = 100
10 = 10.

Derivadas
Conclu´ımos que os quatro lados têm o mesmo comprimento e o
per´ımetro m´ınimo é atingido se o rectângulo for um quadrado.
O valor m´ınimo do per´ımetro rectangular que é poss´ıvel delimitar
uma área de 100 metros quadrados será
P = 2 × 10 + 2 × 10 = 40m

Derivadas
Exerc´ıcio
A receita semanal de um filme lan¸cado recentemente é dada por
R(t) =
50t
t2 + 36
, t ≥ 0
onde R está em milhões de euros e t em semanas.
1 Determine os extremos locais.
2 Durante quantas semanas a receita semanal aumentará?

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