O documento descreve as variáveis aleatórias contínuas e a distribuição normal. Discutem-se a função de densidade de probabilidade, a distribuição normal padrão N(0,1) e como usar a tabela de valores desta distribuição para calcular probabilidades. Dois exemplos ilustram como aplicar a distribuição normal para resolver problemas reais envolvendo peso ao nascer.

1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS DISTRIBUIÇÃO NORMAL

2. Variáveis aleatórias contínuas * Comentário * Como sabe variável aleatória contínua é aquela pelo qual assume valores dentro de um intervalo real. Ocorre que, por propriedades da Teoria dos Números, demonstra-se que em qualquer intervalo real existe uma quantia infinita de valores distintos, qualquer intervalo real existe uma quantia infinita de valores distintos.

3. Variáveis aleatórias contínuas * Comentário * Continuação Assim no caso contínuo (real) para encontrar probabilidade não se aplica a sua definição clássica, e sim uma nova metodologia que consiste em avaliar o grau de concentração de valores de probabilidades se efetuar através de simulação, dentro das mesmas condições, repetidas vezes.

4. Variáveis aleatórias contínuas * Comentário * Continuação Para encontrar este grau de concentração a estatística utiliza do que a estatística denominou de: Função de Densidade de Probabilidade (fdp).

5. Variáveis aleatórias contínuas Detalhes da Função de Densidade de Probabilidade Não pode ser negativa; Para calcular probabilidade é necessário traçar o seu gráfico, a área delimitada pelo eixo horizontal e os valores desejados é o valor procurado; A área total sobre a curva vale 1.

6. Variáveis aleatórias contínuas Detalhes da Função de Densidade de Probabilidade É possível criar várias funções que satisfaz os detalhes acima ocorre que no aspecto de pesquisa, em princípio a que interessa é: Distribuição Normal

7. Distribuição Normal * Resumo * A função pelo qual surgiu a Distribuição Normal foi criada pelo matemático Gauss no século XIIX, sendo que o seu uso é geral em todas as ciências bastando dizer fenômenos da natureza, mais de 80,0% possui comportamento com as características desta Distribuição.

8. Distribuição Normal * Função Geratriz * O modelo matemático desta distribuição é: Em que: μ é a média e σ 2 é a variância. Notação: X  N (  ,  2) os detalhes matemáticos desta função não serão discutidos e sim o seu aspecto conclusivo através de seu gráfico que é:

9. Distribuição Normal * Gráfico de sua Função *

10. Distribuição Normal * Normal Padrão * Um caso particular de importância fundamental da distribuição normal é aquela pela qual: Média:  = 0; Variância:  2 = 1. Nesta caso a variável é representado pela letra Z.

11. Normal Padrão Gráfico O seu gráfico é o mesmo da geral, simplesmente que, devido ao fato do ponto de máximo ser na média e aqui a média é Zero, indica que a curva é simétrica em ralação ao eixo vertical (Z).

12. Normal Padrão Gráfico

13. Valores da Distribuição Normal (0,1) Na era atual da informática, qualquer valor desejado de se ter da distribuição normal encontra-se em toda planilha eletrônica, alem disso todo livro de estatística traz uma tabela em que encontra os seus valores principais.

14. Valores da Normal (0,1) Forma de Apresentação

15. Forma de Apresentação Ampliando e Interpretando Os valores de Z você lê: Parte inteira e primeira decimal na coluna 1; Segunda casa decimal na primeira linha.

16. Forma de Apresentação Ampliando e Interpretando A probabilidade você lê no cruzamento da primeira coluna com a da primeira linha.

17. Forma de Apresentação Ilustração Para z = 0,63, a probabilidade digitada é: 0,2357.

18. Forma de Apresentação Interpretando Pelos valores da probabilidade digitada tem que para: z=0,00 a probabilidade é: 0,000, isto significa que é o ponto de inicio, ou seja para valores a partir do eixo vertical.

19. Forma de Apresentação Interpretando - Graficamente Assim a tabela nos traz apenas os valores para z positivo, e com isto é necessário, tomar os cuidados a seguir:

20. Uso da Tabela N(0,1) Detalhes Sendo uma Curva Probabilística, a área total é a probabilidade do Espaço Amostral e assim seu valor é igual a 1,0; O eixo vertical divide a curva em dois lados: Da Direita (Valores Positivos de z) e Da Esquerda (Valores Negativos de z);

21. Uso da Tabela N(0,1) Detalhes - Continuação A Curva Normal é Simétrica em torno do eixo vertical, ou seja, o comportamento do Lado Direito e Esquerdo são Idênticos, foi devido a esta característica que tabelou a Normal no formato acima; Por ser Simétrica, cada lado possui a mesma área, e como a área total é 1,0, a área total de cada lado é igual a 0,5.

22. Uso da Tabela N(0,1) Detalhes - Continuação Uma maneira fácil de encontrar o valor desejado é encontrar o desejado somente pelo lado direito, posteriormente pelo lado esquerdo e após somar estas áreas que representará a probabilidade procurada, procedendo desta maneira, em cada um dos lados, as situações possíveis serão:

23. Uso da Tabela N(0,1) Situação 1: P( 0 ≤ Z < + ∞ )

24. Uso da Tabela N(0,1) Situação 2: P( 0 ≤ Z < z )

25. Uso da Tabela N(0,1) Situação 3: P( Z > z )

26. Uso da Tabela N(0,1) Situação 3: P( Z > z )

27. Uso da Tabela N(0,1) Resumo de Situações

28. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 Se Z ~ N(0, 1), determine as seguintes probabilidades: P(0 < Z < 1,23)

29. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 Se Z ~ N(0, 1), determine: P(0 < Z < 1,23) Pela tabela: P(0 < Z < 1,23) =0,3907

30. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 P(Z > 1,47)

31. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 P(Z > 1,47) P(Z > 1,47) = P(1,47 < Z < +  ) P( Z > 1,47) = 0,5 – 0,4292 P( Z > 1,47) = 0,0708

32. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 P(– 0,83 < Z < 1,23)

33. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 P(– 0,83 < Z < 1,23)

34. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 P(– 0,83 < Z < 1,23) Probabilidade Procurada: P(-0,83 < Z < 1,23) = 0,3907 + 0,2967 P(-0,83 < Z < 1,23) = 0,6874

35. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 P(Z < –2,19 ou Z > 1,56)

36. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 – item d (P(-2,19 < Z < 1,59))

37. Uso da Tabela N(0,1) Exemplo 1 – item d (P( Z <-2,19 ou Z > 1,59)) Probabilidade Procurada: P(Z > -2,19 ou Z < 1,59) = 0,0546 + 0,0143 P(-2,19 < Z < 1,59) = 0,2029

38. Uso da Tabela N(0,1) Achando Z Quando Conhece Probabilidade Neste caso, a única situação possível de encontrar é o caso de existência de área em um único lado (Unilateral), sendo que se os valores forem simétrico é possível transformar para a situação possível bilateral. Porem para facilidade do aluno, basta olhar na tabela de Valores Críticos de Z.

39. Uso da Tabela N(0,1) Tabela de Valores Críticos

40. Uso da Tabela N(0,1) Tabela de Valores Críticos

41. Uso da Tabela N(0,1) Valores Críticos - Exemplo Se Z ~ N(0,1), ache o valor de z que satisfaz: P(Z < z) = 0,80 Por ser simplesmente menor que o valor pré-definido, indica que abrange o lado esquerdo na totalidade, ou seja é UNILATERAL.

42. Uso da Tabela N(0,1) Valores Críticos - Exemplo Continuando: Basta então olhar na tabela Unilateral: Olhando tem: z = 0,842

43. Uso da Tabela N(0,1) Valores Críticos - Exemplo P( - z < Z < + z) = 0,95 Neste caso envolveu os dois lados (Maior que –z e menor que +z) assim é bilateral Na tabela: Z = 1,96

44. Uso da N(0,1) para outras distribuições normais. Neste caso simplesmente basta utilizar o teorema abaixo e o procedimento já visto:

45. Interpretação do Teorema O teorema acima nos diz que qualquer que seja a distribuição Normal, é possível transformá-la em uma Normal Reduzida, e assim unicamente com o Uso da Tabela N(0,1) resolve todos os problemas envolvendo variável que possua: Distribuição Normal.

46. Distribuição Normal Geral Exemplo 1 O peso de criança ao nascer, na cidade de Goiânia, tem distribuição normal de média 3220,1 g e desvio padrão de 503,2 g. Ache a porcentagem de crianças em Goiânia que nascerão com peso: Abaixo de 2500 (Desnutrida) Entre 2500 e 4500 g Acima de 5500

47. Distribuição Normal Geral Exemplo 1 Comentário sobre estes dados: As informações aqui relatadas se referem a uma pesquisa realizada pela Doutora Margareth Giglio, em que coletou as informações completas das 17 mil crianças que nasceram em Goiânia no ano de 2001. Foi realizado um teste que comprovou que possui Distribuição Normal.

48. Distribuição Normal Geral Exemplo 1 - Solução Seja X a v.a. “ Peso de uma criança ao nascer em Goiânia” Pelas informações tem que: Média = 3220,1 gramas; Desvio Padrão = 503,2 gramas; X possui Distribuição Normal; Assim tem: X~N(3220,1 ; 503,2 2 ).

49. Distribuição Normal Geral Exemplo 1 - Solução Pelo teorema da Normal tem-se: Como X ~N(3220,1 ; 503,1 2 ) Então:

50. Distribuição Normal Geral Exemplo 1 - Solução Abaixo de 2500 (Desnutrida) Aqui: X = 2500, que substituindo fica: Na tabela N(0,1) vem:

51. Exemplo 1 – Solução Abaixo de 2500 (Desnutrida) Pelo Gráfico: Situação 3. Assim: P(X < 2500) = 0,5 – 0,4236 P(X < 2500) = 0,0764. Resposta: 7,64% nascerão desnutrida.

52. Exemplo 1 – Solução Abaixo de 2500 (Desnutrida) Comentário sobre o resultado encontrado: Como sabe: Os dados partiram de dados reais; O tamanho da Amostra foi muito alto (17000); Foi comprovado que possui distribuição Normal. Assim, 7,64% é a Prevalência de Crianças ao Nascer em Goiânia e que nascem desnutrida.

53. Exemplo 1 – Solução Entre 2500 e 4500 Aplicando o Teorema, fica:

54. Exemplo 1 – Solução Acima de 5000 g No teorema: Na tabela N(0,1)

55. Exemplo 1 – Solução Acima de 5000 g - Nota Devido a que até a quarta casa decimal ocorreram somente Zeros, Não diz que a probabilidade é NULA (variável contínua) mas sim: p < 0,0001; No presente caso, quer dizer: Nascer criança com peso acima de 5 000 gramas é coisa muito rara (Inferior a UMA criança em um grupo de DEZ MIL nascimentos).

56. Exemplo 2 Sabendo que 1,0% das crianças que nascem são classificadas como Desnutrição Severa, ache o peso máximo para que uma criança seja considerada Desnutrida de forma severa.(Use os dados do problema 01)

57. Exemplo 2 Solução Seja x o ponto de corte pelo qual abaixo dele estão as crianças com desnutrição severa. Como desnutrição é Baixo Peso, pelos dados do exemplo 1, vem:

58. Exemplo 2 Solução Com o uso da Tabela de Pontos críticos, unilateral, tem: Desnutrição severa serão aquelas que nasçam com peso inferior a 2 049,7 gramas

59. Distribuição Normal FIM Prof. Gercino Monteiro Filho