Este documento apresenta o método gráfico para resolver problemas de programação linear com duas variáveis de decisão. O método envolve representar graficamente as restrições do problema e traçar retas da função objetivo para encontrar o ponto ótimo na região factível. Exemplos ilustram como aplicar os oito passos do método, incluindo formulação do problema, traçar retas, delimitar região factível e resolver sistema de equações para achar a solução.

1. FACULDADE PITÁGORAS – Engenharia de Produção – AULA2: Solução Gráfica de Problemas de PL Disciplina: Pesquisa Operacional 1: Prof. Msc. Joabe Silva

2. O método da solução gráfica. 1 Exemplos. 2 SUMÁRIO Exercícios. 3 2

3. 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA 3

4. 4 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Os problemas de Pesquisa Operacional, quando esboçam uma relação linear entre as variáveis de decisão, são chamados de Problemas de Programação Linear (PL). Dentre as diversas possibilidades de problemas de PL, aqueles que são baseados em apenas 2 variáveis de decisão (x1 e x2), podem ser solucionados pelo Método Gráfico. Este método caracteriza-se pela busca da solução ótima do problema de PL, dentro de uma região factível formada pela intersecção das retas geradas pelas inequações das restrições.

6. Quando o problema citar que há um número existente de máquinas para produção, homens para trabalhar, veículos para transportar, dinheiro para investir e similares, as restrições são do tipo (≤)pois não se pode utilizar mais máquina para se produzir, além do que se tem. Não pode contar com mais operadores, além do que se tem. Não se pode transportar além da capacidade do caminhão. Enfim, todas Restrições de Capacidade de Produção;

8. 7 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 3 º PASSO: Traçar as retas para cada restrição. Restrições obtidas no processo de formulação. O valor que não estiver associado a uma variável de decisão, é o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical ! Restrição 1 Termo independente

9. 8 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 3 º PASSO: Traçar as retas para cada restrição. Para achar o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal, basta atribuir 0 (zero) para a variável na vertical (x2) , e obter o respectivo valor para x1. Restrições obtidas no processo de formulação. Restrição 1 3 6

10. 9 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 4 º PASSO: Esboçar o sentido da solução da inequação. Se for do tipo ≤ , a solução está para baixo ou para esquerda. Se for do tipo ≥ , a solução está para cima ou para a direita. Restrição 1 3 6

11. 10 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 5 º PASSO: Repetir para todas as inequações. Restrição 1 6 Restrição 2 Restrição 2 3 Restrição 1 6 4

12. 11 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 5 º PASSO: Repetir para todas as inequações. Restrição 1 6 Restrição 2 Restrição 2 Restrições de Negatividade 3 Restrição 1 6 4

13. 12 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 6 º PASSO: Delimitar a região factível. Restrição 1 Restrição 2 Restrições de Negatividade Região Factível

14. 13 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo. Como o objetivo é maximizar, esta reta demonstra que ainda se pode obter valores mais altos para as variáveis de decisão x1 e x2. Para isto, é necessário atribuir valores arbitrários para a função objetivo. Mas é claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrário a reta ficará fora do gráfico. Para Z = 6 2 Região Factível 5 2

15. 14 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo. Como o objetivo é maximizar, esta reta demonstra que ainda se pode obter valores mais altos para as variáveis de decisão x1 e x2. Para isto, é necessário atribuir valores arbitrários para a função objetivo. Mas é claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrário a reta ficará fora do gráfico. Para Z = 9 2 Região Factível 5 3 2

16. 15 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Observa-se que ao passo que se aumenta o valor da função objetivo as retas se deslocam para cima. A seta em amarelo representa o vetor gradiente da função objetivo. Como a função é de maximização, o ponto ótimo está na direção que o vetor cresce, até o limite da região factível. Como obter a solução gráfica? 7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo. Para isto, é necessário atribuir valores arbitrários para a função objetivo. Mas é claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrário a reta ficará fora do gráfico. Para Z = 9 2 Região Factível 5 3 2

17. 16 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Observa-se que ao passo que se aumenta o valor da função objetivo as retas se deslocam para cima. A seta em amarelo representa o vetor gradiente da função objetivo. Como a função é de maximização, o ponto ótimo está na direção que o vetor cresce, até o limite da região factível. Como obter a solução gráfica? 7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo. Para isto, é necessário atribuir valores arbitrários para a função objetivo. Mas é claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrário a reta ficará fora do gráfico. Para Z = 9 * PONTO ÓTIMO x2 Região Factível * x1 5

18. 17 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Observa-se que ao passo que se aumenta o valor da função objetivo as retas se deslocam para cima. A seta em amarelo representa o vetor gradiente da função objetivo. Como a função é de maximização, o ponto ótimo está na direção que o vetor cresce, até o limite da região factível. Como obter a solução gráfica? 8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos. Às vezes é fácil observar quais são os pontos ótimos de cara (em casos onde a restrição é uma reta sem inclinação). No caso deste exemplo, utiliza-se o método de geometria analítica para achar o ponto em que as duas retas se cruzam. * PONTO ÓTIMO x2 Sistema de equações formado pelas duas restrições Região Factível * x1 5

19. 18 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos. Sistema de equações formado pelas duas restrições Pode-se ignorar as desigualdades. * PONTO ÓTIMO x2 Região Factível * x1 5

20. 19 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos. Sistema de equações formado pelas duas restrições Pode-se ignorar as desigualdades. * PONTO ÓTIMO x2 Região Factível * x1 5

21. 20 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos. Sistema de equações formado pelas duas restrições Pode-se ignorar as desigualdades. Toma-se uma das equações e substitui-se o primeiro valor ótimo encontrado. * PONTO ÓTIMO x2 Região Factível * x1 5

22. 21 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? 9 º PASSO: Encontrar a solução do problema (se for maximizar lucro, encontrar o lucro máximo, por exemplo). Pontos Ótimos encontrados: Para encontrar a solução do problema, basta substituir na equação da função objetivo: PONTO ÓTIMO Região Factível 5

23. 22 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Como obter a solução gráfica? PASSO FUTURO: Encontrar a solução do problema pelo aplicativo Solver do Excel. PONTO ÓTIMO Região Factível 5

24. 23 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA EXEMPLO ADICIONAL: Região Factível PONTOS ÓTIMOS E RESULTADO:

25. 24 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA EXEMPLO ADICIONAL: TENTE ENCONTRAR A MESMA SOLUÇÃO !!!

26. 25 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Quais são as situações possíveis em um problema de solução pelo método gráfico?

27. 26 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA Quais são as situações possíveis em um problema de solução pelo método gráfico?

28. 4. RESUMO 27

29. 28 4. RESUMO Nesta unidade você aprendeu a utilizar o método gráfico para resolver um problema de duas variáveis. Pelo método gráfico, cada restrição precisa ser representada em um gráficoformado pelos eixos das variáveis x1e x2. A junção de todas as restrições forma o espaço de possíveis soluções. Depois de encontrar o espaço de possíveis soluções é necessário assumir alguns valores para a função objetivo (z). Com esses valores, podemos traçar uma reta para cada valor de ze perceber para onde a função objetivo cresce. Conseqüentemente, é possível visualizar qual é a solução ótima graficamente. A solução ótima estará localizada em um dos vértices da região de possíveis soluções, ou seja, está localizada na interseção de duas retas. Para encontrar os valores de x1, x2e conseqüentemente z, basta resolver um sistema de equações lineares com as duas retas que passam pelo ponto ótimo. Na próxima aula você aprenderá a solucionar os problemas de Programação Linear por meio do aplicativo Solver do Excel. Tal ferramenta permitirá a solução de problemas mais complexos, com mais de 2 variáveis de decisão e com um número maior de restrições.

30. 3. EXERCÍCIOS 29

31. 30 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA EXEMPLOS ADICIONAIS: TENTE ENCONTRAR A SOLUÇÃO !!!

32. FIM !!! 31