O documento apresenta os conceitos fundamentais da teoria de filas, incluindo sua estrutura básica, componentes, distribuições de probabilidade, notação e aplicações. A teoria de filas estuda matematicamente o comportamento de sistemas onde a demanda por serviços ocorre aleatoriamente, permitindo dimensioná-los de forma eficiente.

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3. Introdução
A teoria das filas é um ramo da probabilidade que
estuda a formação de filas, através de análises
matemáticas precisas e propriedades mensuráveis das
filas. Ela provê modelos para demonstrar previamente
o comportamento de um sistema que ofereça serviços
cuja demanda cresce aleatoriamente, tornando
possível dimensioná-lo de forma a satisfazer os clientes
e ser viável economicamente para o provedor do
serviço, evitando desperdícios e gargalos.
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4. O sistema de filas pode ser:
Rede de filas - Conjunto de entidades interligadas
que oferecem serviços (centros de serviço) e de
usuários (clientes). Rede com vários nós de comutação.
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5. O sistema de filas pode ser:
Centro de serviço - Representa os recursos do
sistema, compreendendo um ou mais servidores e um
conjunto de clientes que esperam pelo serviço.
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6. O sistema de filas pode ser:
Fila - Representa os clientes que estão esperando pelo
serviço, juntamente com os que estão sendo atendidos
pelos servidores.
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7. O sistema de filas pode ser:
Fila de espera - Somente os clientes que estão
aguardando pelo serviço.
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8. Estrutura Básica de um Modelo de Fila
Fila ⇒ onde os clientes
aguardam antes de serem
atendidos.
1)Número máximo de clientes que
a fila pode conter (buffer): finito
ou infinito.
Disciplina da Fila ⇒ ordem que os
clientes em fila são selecionados
para atendimento.
(FIFO), (FCFS), (LIFO), (LCFS) ou
filas com prioridades.
Mecanismos de Atendimento
(Serviço) ⇒ onde o cliente é
atendido.
1)Número de instalações para
atendimento.
2)Número de canais para atendimento
(servidores) em paralelo para cada
instante de atendimento.
3)Distribuição de Probabilidade para
cada servidor (Exponencial).
Fonte de Entrada ⇒ onde
gera-se os clientes.
1)Tamanho da População: finita
ou infinita.
2)Distribuição de Probabilidade
que os clientes são gerados sobre o
tempo (Poisson).
3)Distribuição de Probabilidade
do tempo entre chegadas
(Exponencial).
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9. Sistema de filas
Uma fila ocorre sempre que a procura por um determinado serviço
é maior que a capacidade do sistema de prover este serviço.
Um sistema de filas pode ser definido como:
Clientes chegando;
Cliente esperando pelo serviço;
Cliente saindo do sistema após terem sido atendidos;
Em teoria das filas "Cliente” é um termo genérico, aplicando-se
não somente a seres humanos. O conceito pode abranger, por
exemplo:
Processos esperando para receber a CPU;
Pacotes que chegam a um roteador para serem encaminhados;
Pessoas esperando no caixa do supermercado, etc.
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10. Aplicações
Existem diversas aplicações da teoria das filas, entre elas
destacam-se:
Fluxo de tráfego (aviões, carros, pessoas, comunicações);
Escalonamento (pacientes em hospitais, programas em computadores);
Prestação de serviços (bancos, correios, lanchonetes);
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11. Componentes de um sistema de filas
Processo de chegada
O processo de chegada indica qual o padrão de chegada dos
clientes no sistema. Apresenta comportamento estocástico,
ou seja, as chegadas ocorrem no tempo e no espaço de
acordo com as leis da probabilidade; assim, é preciso
conhecer qual a distribuição de probabilidade que descreve
os tempos entre as chegadas dos clientes.
A distribuição mais comum é a de Poisson, ou seja, os
tempos entre as chegadas são exponencialmente
distribuídos. Entre outras distribuições, estão a de Erlang,
hiperexponencial e arbitrária.
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12. Componentes de um sistema de filas
Distribuição do tempo de serviço
Assim como no processo de chegada, também é
necessário conhecer a distribuição de probabilidade do
tempo de serviço, sendo válidas as mesmas
distribuições apresentadas.
Da mesma forma que no processo de chegada, o padrão
de serviço pode variar de acordo com o tempo. Por
exemplo, a experiência adquirida com o serviço pode
aumentar a produtividade; o cansaço, por outro lado,
pode diminuí-la. Caso não haja variação o padrão é
estacionário.
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13. Número de servidores
Um centro de atraso ou Servidor
infinito:
É também conhecido como número de
canais de serviço.
Indica a quantidade de "pontos de
atendimento" do sistema, de forma a servir
aos clientes paralelamente.
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14. Número de servidores
Quando um sistema possui mais de um
servidor podemos chama-lo de
(multiservidor ou multicanal). Onde temos
uma única fila para todos os servidores
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15. Número de servidores
Em um sistema de múltiplas filas, existe
uma fila para cada servidor, como em um
caixa de supermercado.
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16. Pontos importantes num sistema de fila:
Capacidade do sistema:
Representa o número máximo de clientes que o sistema suporta,
incluindo os que estão em espera e os que estão sendo atendidos. A
capacidade pode ser infinita ou finita:
População de usuários:
Esse componente indica o número potencial de clientes que podem
chegar a um sistema. Podendo ser finita ou infinita.
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 INFINITA: Não há restrinções quanto ao crescimento da fila;
 FINITA: Existe limitações físicas da quantidade de espaço na fila;

17. Pontos importantes num sistema de fila:
Disciplina de atendimento:
Descreve a forma como os clientes saem da fila de espera para serem atendidos.
Algumas disciplinas são:
 FCFS (First Come, First Served): Primeiro a Chegar, Primeiro a ser Atendido.
 FIFO (First In, First Out): Primeiro a Entrar, Primeiro a Sair.
 LCFS (Last Come, First Served): Último a chegar, Primeiro a ser Atendido.
 LIFO (Last In, First Out): Último a Chegar, Primeiro a Sair.
Fila com prioridade:
A cada cliente é atribuída uma prioridade; clientes com maior prioridade têm preferência no
atendimento e pode ser de dois tipos:
 Preemptivo: O cliente com maior prioridade é atendido imediatamente, interrompendo o
atendimento ao cliente com menor prioridade. Ao terminar, o cliente de menor prioridade volta a
ser atendido, podendo continuar o processo de onde parou ou então reiniciá-lo.
 Não-preemptivo: O cliente com maior prioridade é colocado no início da fila, recebendo o serviço
somente quando o cliente em atendimento sai do sistema, mesmo se este for de prioridade mais
baixa. 17

18. Distribuições
Existe duas distribuições teóricas validas para aplicação em teoria das filas:
 Distribuição de Poisson
• Normalmente usada para
representar chegadas de clientes
ao sistema e tempos de
atendimento.
Distribuição DISCRETA
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 Distribuição Exponencial
• Normalmente usada para
representar tempos de
atendimento.
Distribuição CONTINUA

19. Chegada de clientes ao sistema
Segundo a distribuição de Poisson as chegadas se processam com a média de
chegadas por tempo, os seus parâmetros são:
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λ é o ritmo média de
chegada
IC é o intervalo médio
entre chegadas

20. Padrão de serviço no atendimento
O tempo de atendimento segue uma distribuição Exponencial Negativa, ou seja
o número de atendimento segue uma distribuição de Poisson com média ,
seus parâmetros são:
μ é o ritmo média de
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atendimento
TA é o tempo de duração
médio dos serviços por
atendimento

21. Notação
Utiliza-se a notação de Kendall, proposta em 1953, composta por uma série de
símbolos da seguinte forma:
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A/S/m/K/N/Q
Onde:
 A: Distribuição dos tempos entre as chegadas (Processo de chegada)
 S: Distribuição dos tempos de serviço
 m: Número de servidores
 K: Capacidade do sistema
 N: Tamanho da população
 Q: Disciplina de atendimento

22. Calculo
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Denota a taxa média de
clientes chegando no
serviço de filas
È a taxa média de serviço
(C Service) È a média de
congestionamento do
sistema
Sendo assim:

23. Quando
 O nº médio de chegada no sistema excede a taxa média
de serviço do sistema e quando o tempo avança a fila se
torna cada vez maior, impedindo qualquer situação de
equilibrio.
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 Sendo assim, para obter uma situação de equilibrio
deve ser estritamente.
 As chegadas e serviços devem ser deterministicos e bem
escalonada, assim a aleatoriedade impedirá que a fila se
esvazie ou cresça sem limites.
Observação:
Quando a taxa média de serviço e a taxa média de chegada for conhecido, o nº
médio de servidores paralelos requeridos para equilíbrio pode ser
imediatamente calculado encontrando o menor C Service que satisfaça a
equação.

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 Com base em tudo que vimos, podemos avaliar o comportamento de um
sistema de filas e seus parametros, como por exemplo:
 A probabilidade de haver clientes no sistema
 A probabilidade de que nº de cliente no sistema seja
superior a um certo valor
 A probabilidade de que o sistema esteja ocioso
 A probabilidade de que o sistema esteja ocupado
 O nº médio de cliente no sistema
 O nº médio de cliente na fila
 O tempo médio de espera na fila por cliente
 O tempo médio gasto no sistema por cliente

25. Conclusão
Em um sistema de filas simples podemos ter 3 alternativas de tratamento
 Achometria: Tratamento empregado de bom senso e um pouco de
adivinhação.
 Tratamento analítico: Empregado a teoria das fila.
 Modelagem e Simulação.
Que é uma ferramento poderosa devido a uma grande
área de atuação e se fosse seguida conforme a teoria
não teriamos no Brasil um sistema de servidores tão
precario.

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