O documento discute programação linear, apresentando suas características, aplicações e o método simplex para resolução de problemas de programação linear. É apresentado um exemplo ilustrativo de um problema de programação linear com duas variáveis e três restrições.

1. Prof. Dr.Yohan Díaz
EMA013 – Métodos de Otimização

2. Programação Linear
• Características
• Aplicações
Método Simplex
Formulação de Problema de
Programação Linear
Geometria de Problema de
Programação Linear
Algoritmo Simplex

3. Características Gerais
 Função objetivo e restrições são funções lineares das variáveis de decisão.
 As restrições podem ser de igualdade ou desigualdade.
 Permite a tomada de decisões em problemas complexos.
 O método simplex é o método mais eficiente e popular para solucionar
problemas de programação linear (LP).
 LP tem sido formulada para resolver vários tipos de problemas de
engenharia.
1

4. Características Gerais
 Programação linear é datada dos anos 1930, sendo
utilizado por economistas, visando desenvolver
métodos para a alocação ótima de recursos.
 Durante a Segunda Guerra Mundial, a força Aérea dos
EUA buscava por procedimentos mais eficazes de
alocação de recursos e recorreu à programação linear.
 George B. Dantzig, que era membro do grupo da
Força Aérea, formulou o problema geral de
programação linear e desenvolveu o método simplex
de solução em 1947.
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George B. Dantzig

5. Aplicações
 Uma das primeiras aplicações industriais
da programação linear foi feita nas
refinarias de petróleo.
 Em geral, uma refinaria de petróleo tem a
opção de comprar petróleo bruto de
várias fontes diferentes, com composições
diferentes e a preços diferentes.
 Pode fabricar diferentes produtos, como
combustível de aviação, combustível
diesel e gasolina, em quantidades
variadas.
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Uma mistura do petróleo bruto comprado e
dos produtos manufaturados é procurada
para dar o máximo lucro.

6. Aplicações
 O plano de produção ideal em uma
empresa de manufatura também pode ser
decidido usando programação linear.
 Como as vendas de uma empresa flutuam, a
empresa pode ter várias opções. Pode criar
um inventário dos produtos fabricados para
transportá-lo durante o período de pico de
vendas, mas isso envolve um custo de
manutenção de estoque.
 Também pode pagar as horas extras para
alcançar uma produção maior durante os
períodos de maior demanda.
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A empresa não precisa atender à demanda
extra de vendas durante o período de pico
de vendas,perdendo assim um lucro
potencial.

7. Aplicações
 O método simplex é utilizado para
análise de viabilidade econômica de
tanqueamento de combustível e rotas em
aeronaves (2007).
 Elaborou-se um modelo de programação
linear que minimize o custo de
abastecimento total de uma malha de
voos típica de uma empresa aérea
brasileira
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Resultado: economia anual por aeronave de 27
mil dólares (1% de redução de Embraer 170)

8. Formas padrão
Minimizar:
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Forma Escalar
Sujeita às restrições:
Sendo: constantes conhecidas.
Variáveis de
decisão

9. Formas padrão
Minimizar:
7
Forma Matricial
Sujeita às restrições:
Sendo:
Vetor de variáveis de
decisão

10. Características – Na forma padrão
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 A função objetivo é do tipo “Minimização”.
 Todas as restrições do tipo igualdade.
 Todas as variáveis de decisão são “não negativas”
Qualquer problema de programação linear
pode ser expresso em formato padrão
Como?

11. Características – Na forma padrão
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A maximização de uma função f(x1,x2,...xn) é equivalente à
minimização do negativo da mesma função.

12. Características – Na forma padrão
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As variáveis de decisão em problemas de engenharia representam dimensões
físicas, logo, serão não-negativas. Mas caso for irrestrita (+,zero, ou -), está
poderá ser escrita como a diferença de duas variáveis não negativas.
Se xj for irrestrito em sinal, pode ser escrito como:
E xj será positivo, negativo ou zero dependendo se é “maior que”,
“menor que” ou igual a:

13. Características – Na forma padrão
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Restrições de desigualdade podem ser convertidas em restrições de igualdade
adicionando variáveis de folga.
Uma restrição do tipo “menor ou igual” pode ser convertida no tipo “igualdade”
pela adição de uma variável de folga
Uma restrição do tipo “maior ou igual” pode ser convertida no tipo “igualdade”
pela subtração de uma variável de folga

14. IMPORTANTE
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Pode se ver que há m equações em n variáveis em um
problema LP.
Possíveis casos:
1. m=n  Solução única (não precisamos otimização)
2. m>n  Haveria equações redundantes que podem
ser eliminadas e solucionadas
3. m<n  Conjunto subdeterminado de equações
lineares, caso tiverem solução, seriam infinitas
(problema de interesse)
Adição de variáveis de
folga não alteram este
propósito

15. Exemplo
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Uma empresa de manufatura produz duas determinadas peças usando tornos,
fresadoras e retificadoras. Os diferentes tempos de usinagem necessários para
cada peça, os tempos de usinagem disponíveis em diferentes máquinas e o lucro
em cada parte são dadas na tabela a seguir.
n=2
Tempo máquina (min) Tempo máximo de
disponibilidade por
semana (min)
Máquina Peça I Peça II
Torno 10 5 2500
Fresa 4 10 2000
Retífica 1 1,5 450
Lucro por
unidade
R$50 R$100
Determine o número de peças I e II a serem fabricadas
por semana para maximizar o lucro.

16. Exemplo
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Função objetivo:
n=2
Tempo máquina (min) Tempo máximo de
disponibilidade por
semana (min)
Máquina Peça I Peça II
Torno 10 5 2500
Fresa 4 10 2000
Retífica 1 1,5 450
Lucro por
unidade
R$50 R$100
Restrições: Variáveis não-negativas:

17. Exemplo
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n=2
 As desigualdades podem ser plotadas no
plano xy e a região viável identificada.
 O objetivo é encontrar pelo menos um
ponto dos pontos infinitos na região
sombreada da Figura que maximiza a
função de lucro.
 Os contornos da fobj, são definidos pela
equação linear 50x + 100y = k = constante
Assim, o problema é determinar os valores não-negativos de x e y que
satisfazem as restrições declaradas e maximizar a função objetivo.
Qual o nome
destes
pontos?

18. Exemplo
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n=2
 As desigualdades podem ser plotadas no
plano xy e a região viável identificada.
 O objetivo é encontrar pelo menos um
ponto dos pontos infinitos na região
sombreada da Figura que maximiza a
função de lucro.
 Os contornos da fobj, são definidos pela
equação linear 50x + 100y = k = constante
Assim, o problema é determinar os valores não-negativos de x e y que
satisfazem as restrições declaradas e maximizar a função objetivo.
. .
. . .
. . . .

19. Exemplo
17
n=2
 As desigualdades podem ser plotadas no
plano xy e a região viável identificada.
 O objetivo é encontrar pelo menos um
ponto dos pontos infinitos na região
sombreada da Figura que maximiza a
função de lucro.
 Os contornos da fobj, são definidos pela
equação linear 50x + 100y = k = constante
Assim, o problema é determinar os valores não-negativos de x e y que
satisfazem as restrições declaradas e maximizar a função objetivo.
A solução ótima corresponde a
um valor de x∗ = 187,5, y∗ = 125,0
e um lucro de US$ 21.875,00.

20. Exemplo
18
Em alguns casos a solução ideal pode não ser única
Se as taxas de lucro forem 40 e 100 ao invés de 50 e 100 teremos:
Soluções infinitas

21. Exemplo
19
Em alguns problemas a região viável pode não ser um
polígono convexo fechado
Soluções não limitada
O lucro pode ser aumentado para
um valor infinitamente grande e a
solução é chamada de ilimitada.

22. Exemplo
20
O conjunto de restrições pode estar vazio
Unfeasible Set of Constraints
Outro caso:
Região viável sendo um único
ponto:
m=n
Inconsistência de restrições.

23. IMPORTANTE
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 A região viável (conjunto de restrições) tem que ser um polígono convexo.
 O valor ótimo “normalmente” ocorre em um ponto extremo ou vértice
Segmento de linha que une dois pontos da
região pertence inteiramente ao conjunto
n=2
poliedro convexo
Conjunto não-convexo
n>2
Hiperplanos

24. Motivação
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 A solução ótima do problema, se existir, ocorre em um
ponto extremo ou vértice da região viável lembrar de
sistemas de equações lineares.
 Se houver m restrições e n variáveis e n≥m. a solução
básica pode ser obtida definindo qualquer uma das n-m
variáveis igual a zero. O número de soluções básicas é
calculado por meio de:
 Precisa-se de um esquema computacional que examine a
sequência de soluções básicas possíveis de tal forma que
seja encontrada aquela que minimize f.
Se n=20 e m=10 quantas
possíveis soluções
teremos?
x1
x2
g2
g1
Soluções viáveis
x1
g2
g1
Vértice

25. Funcionamento
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 Consiste em resolver repetidas vezes um sistema de equações lineares de
modo a obter uma sucessão de soluções básicas viáveis (pontos extremos da
região viável) sucessivamente melhores, até chegar a uma solução básica
viável ótima (ponto mínimo/máximo da função objetivo);
 O ponto de partida é um conjunto de equações que inclui a função objetivo
com as restrições de igualdade do problema na forma canônica. Este sistema
é chamado de Problema Auxiliar e logo realizar duas fases.
 Fase I: sequência de operações dinâmicas das quais a solução do problema
auxiliar é obtida.
 Fase II: encontrar solução ideal (ótima) do problema LP.

26. Funcionamento
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O objetivo é encontrar o vetor X ≥ 0 que minimiza a função f (X) e satisfaça as
equações:
Na forma canônica, a função objetivo é tratada como variável básica
Solução básica:
Se viável, como x é não negativo:
Variáveis
básicas junto
à matriz
identidade

27. Identificando o ponto de ótimo
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 Um sistema na forma canônica tem várias soluções possíveis.
 Um modo de encontrar a solução ótima de um dado problema de PL é gerar todas as soluções
básicas e pegar uma que seja viável e corresponda ao valor ótimo da função objetivo.
 A solução ótima, se existir, sempre ocorre num ponto extremo ou vértice do domínio viável
(lembrar da solução gráfica!!!).
Teorema
uma solução básica viável é uma solução ótima com um valor mínimo da
função objetivo se todos os coeficientes são
não negativos.
Se pelo menos um cj<0, f pode ser reduzido

28. 26
Fluxograma
Examinar os coef. variáveis não básicas da
primeira linha (linha “-f ”)
• Se todos os valores forem positivos, a solução é ótima
e única;
• Se há valores positivos e alguns nulos, a solução é
ótima, mas não única;
• Se há algum valor negativo, a solução não é ótima.

29. Exercício
27
Resolva o problema de programação linear (LP) usando o método simplex:
Maximizar:
Sujeito a:

30. OBRIGADO PELA
ATENÇÃO!