Trabalho de Pesquisa Operacional 1

1. Universidade de Brasília
IE - Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Estatística
Pesquisa Operacional 1
Professora: Maria Amélia
Alunos: Erique Pereira Neto - 11/0011058
Geiziane Silva de Oliveira – 11/0012160
Trabalho de P.O.1
1.1.Um fazendeiro tem 500 hectares de terra e deseja determinar a área
de plantio alocada para as seguintes três culturas: trigo, milho e soja.
Man-days (mão-de-obra), custo de preparação e o lucro por hectare
de cada cultura estão resumidos na tabela abaixo.
Cultura Man-days Custo de preparação $ Lucro $
Trigo 6 100 60
Milho 8 150 100
Soja 10 120 80
Sabe-se que o número máximo de man-days disponíveis são 5000 e que
o fazendeiro tem $60 000 para preparação.
Modelando o Problema de Programação Linear:
 Variáveis de Decisão:
Xi = quantidade de hectares alocados para o plantio da cultura i,
com i=1,2,3, onde 1 = trigo, 2 = milho, 3 = soja.
 Função Objetivo:
O fazendeiro deseja alocar uma quantidade de hectares para o
plantio de cada cultura de maneira a maximizar o seu lucro. Logo
o objetivo do fazendeiro é maximizar o lucro.
 Restrições:
O fazendeiro tem recursos limitados, ele tem à sua disposição 500
hectares de terra, $60 000 para a preparação do plantio e possui
5000 man-days disponíveis. Essas são as restrições de recursos do
P.L.

2. Logo, o P.L. associado a este problema é:
P.L : Max Z = 60X1+100X2+80X3
S.a 6X1 + 8X2 +10X3 ≤ 5000 (man-days)
100X1+150X2+120X3 ≤ 60.000 (preparação)
X1 + X2 + X3 ≤ 500 (terra)
X1, X2, X3 ≥ 0
Agora, olhando do ponto de vista de uma pessoa que queira comprar a
fazenda, o objetivo dela seria minimizar o valor pago pelos recursos do
fazendeiro. Então temos que o problema Dual será:
D: Min ɸ = 5000λ1+60000λ2+500λ3
S.a 6λ1 + 100λ2 + λ3 ≥ 60 ( I )
8λ1 + 150λ2 + λ3 ≥ 100 ( II )
10λ1 + 120λ2 + λ3 ≥ 80 ( III )
λ1, λ2, λ3 ≥ 0
Em que λi = valor pago por cada unidade do recurso i, i = 1,2,3, onde
1 = man-days, 2 = dinheiro para a preparação e 3 = hectares de terra.
A interpretação da restrição ( I ) seria que o valor pago pelos recursos
usados na plantação de trigo tem que ser pelo menos o lucro que o
fazendeiro obtém com a plantação dessa cultura, senão a venda não seria
vantajoso para o mesmo. A interpretação para as restrições ( II ) e ( III ) é
a mesma só que para as culturas de milho e soja, respectivamente.

3. 1.2. Colocando o P.L na forma padrão:
Max Z = 60X1+100X2+80X3
S.a 6X1 + 8X2 +10X3 +X4+0X5+0X6 ≤ 5000 (man-days)
100X1+150X2+120X3+0X4+X5+0X6 ≤ 60.000 (preparação)
X1 + X2 + X3+0X4+0X5+X6 ≤ 500 (terra)
X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0
O tablô inicial é:
X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS
Z 60 100 80 0 0 0
X4 6 8 10 1 0 0 5000
X5 100 150 120 0 1 0 60000
X6 1 1 1 0 0 1 500
O tablô ótimo é:
X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS
Z 6,667 0 0 0 0,667 0 40000
X4 0,667 0 3,6 1 -0,053 0 1800
X5 0,667 1 0,8 0 0,0067 0 400
X6 0,333 0 0,2 0 -0,007 1 100
Análise de sensibilidade para o parâmetro “b”.
Escolhe-se b3=500, somando se ∆ temos b3’=500+∆. Temos de determinar
o valor de ∆ pra o qual a solução continua na otimalidade.
XB = (X4, X2, X6)
XN = (X1, X5, X3) = (0, 0, 0)
b3 =

4. Para garantir a otimalidade devemos ter
Logo, =
═>
Assim, para qualquer a solução permanece ótima, ou seja, se
diminuirmos a quantidade de hectares de terra para a plantação de soja, a
solução continua ótima. Só para efeito de constatação, fazendo ,
temos b3’= 420
=
Análise de sensibilidade para o parâmetro “c”.
Pegando uma variável não-básica no tablô ótimo, encontrar um valor de e
verificar até que ponto a solução permanece ótima.
Começando por ═>
.
Logo devemos ter ═> .
Como é variável não-básica, a solução permanece ótima para qualquer
.
Supondo
═>

5. , o que não altera a solução ótima, o valor de continua 40 000.
Analisando o parâmetro “C” para variáveis básicas, alteram-se todos os
custos relativos e o valor de Z.
XB = (X2, X4, X6)
CB = (C2, C4, C6) = (100,0,0)
Tomando C2 = 100 e fazendo , então o novo valor de
=
═> ═> ═>
=CB
═>
=CB
═> .
Para satisfazer as três desigualdades e garantir a otimalidade pegamos
,
min .
O novo valor de e o valor de passa a ser
. A solução continua ótima e aumenta.

6. Mudando um coeficiente de uma variável não-básica, por exemplo
Portanto, se a quantidade de man-days for aumentada de 6 para 9 na
cultivação do trigo, a solução ainda continuaria ótima.