1. O documento discute o fluxo de potência em sistemas elétricos usando o método do fluxo de potência DC e o método dual simplex para resolver problemas de programação linear. 2. É apresentado um exemplo numérico mostrando como aplicar o método dual simplex para encontrar a solução ótima de um problema de despacho de geradores. 3. Os resultados do programa são mostrados confirmando a solução encontrada pelo método dual simplex.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
KEVIN CARDENAS BELLEZA
OPERAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS
MANAUS
2016

2. SUMÁRIO
1. As Equações do Fluxo de Potência (Fluxo de Potência Ativa DC) ..........1
2. O Método Dual Simplex.................................................................................5
3. Programa........................................................................................................9
4. Resultados do Programa..............................................................................10
5. Referências....................................................................................................11

3. 1
As Equações do Fluxo de Potência (Fluxo de Potência Ativa DC)
 Permite estimar baixo custo computacional e precisão aceitável para algumas
aplicações, a distribuição do fluxo de potência ativa em redes de transmissão
(extra-alta tensão e ultra-alta-tensão);
 Também chamado de fluxo de potência linearizado é baseado no acoplamento
P-θ (potência ativa-ângulo de tensão) ou seja, só é considerado o fluxo de
potência ativo;
 O modelo tem muitas aplicações na análise de sistemas elétricos, tanto
planejamento como na operação de sistemas;
 Quanto maior o nível de tensão, melhores serão os resultados;
 Não é aplicável em sistemas de distribuição e em sistemas com relação X/R
baixa (exemplo X/R <<1).
Para saber o fluxo potência na barra k em relação as demais barras de meu sistema,
primeiro devemos ver a potência gerada e se tiver alguma carga demandada deve ser
considerada. Então meu fluxo de potência na barra k lembrando que minha potência
transmitida é Vk. Ik e onde minha impedância pode ser representada através da
minha admitância pode ser expressa como:
.

4. 2
Calcula-se apenas a parte real que é influenciada pelo ângulo e a parte imaginaria
não é calculada por que quem influencia Q é a tensão (o que implica em mexer na
corrente de excitação da máquina) ou seja, a parte reativa se mante fixa, então
realizando as considerações fazemos as substituições, onde mudamos a admitância
por uma condutância mais uma susceptância, observa-se que olhando da barra k para
a m meu ângulo é negativo, como a gente só que a parte real do ângulo então a
transformamos para cosseno, assim rescrevendo então:
Observa-se da expressão final acima que Pk depende da tensão, mas não tanto
quanto a potência reativa.
Usando a admitância para facilitar os cálculos

5. 3
Considerando as perdas ( – gkmVk2
), realizando a admitância em relação a impedância
e multiplicando pelo conjugado para retirar jx de baixo, assim tudo que tem j é
susceptância e tudo que não tem é a condutância, então vai ser rescrito tudo em
termos de resistência e admitância, como pode ser observado abaixo
Quando vamos assumir perdas é melhor consideras a expressão abaixo:
Assim a equação simplificada do fluxo de potência ativa (potência transferida)
desconsiderando as perdas da linha é:
Sabendo que:
Pkm: é a potência ativa fluindo de k para m
Vm: é a magnitude das tensões nos terminais
θkm: é a abertura angular da linha
Xkm: é a reatância da linha de transmissão

6. 4
Além disso poderíamos realizar mais simplificações considerando os dois módulos
das tensões nula, assim Pkm é aproximadamente 1.senθkm/ Xkm e também podemos
simplificar mais, fazendo com que a diferença entre os ângulos de k e m seja muito
pequeno sendo assim o próprio ângulo, então podemos dizer que a diferença entre
meu Pkm= (θk-θm)/Xkm está expressão é chamada de fluxo de potência DC (onde é
realizado a linearização) e é muito usado para fluxo de potência ótima por que tem um
resultado imediato
A hipóteses para a simplificação da linearização são:
 Considerar apenas as equações de potência ativa P.
 Desprezar as perdas ativas do sistema de transmissão
 As tensões eficazes são consideradas iguais a 1p.u.
 Linearizando a senóide
Assim a equação feral do fluxo de potência linearizado:

7. 5
O Método Dual Simplex
Este método se aplica a problemas otimistas, mas infactíveis. Neste caso as restrições
se expressam na forma canônica (restrições ≤).
A função objetivo pode estar na forma de maximização o de minimização. Após
acrescentar as variáveis de folga e de colocar o problema na tabela, se algum
elemento da parte direita é negativo e si a condição de otimização está satisfeita, o
problema pode ser resolvido pelo método dual simplex. Observe que um elemento
negativo no lado direito significa que o problema começa otimista mas infatível como
é requerido no método dual simplex. Na interação onde a solução básica chega a ser
factível esta será a solução otimista do problema.
Condição de factibilidade
A variável que sai é a variável básica que tem o valor mais negativo (os empates se
acabam arbitrariamente se todas as variáveis básicas são não negativas, o processo
termina e está última tabela é a solução otimista factível).
Condição otimista
A variável que entra se escolhe entre as variáveis não básica como segue. Pega-se
os quocientes de os coeficientes da função objetivo entre os coeficientes
correspondentes da equação associada à variável que sai.
Ignora-se os quocientes associados a denominadores positivos ou zero.
A variável que entra é aquela com o quociente mais pequeno se o problema é de
minimizar ou o valor absoluto é mais pequeno se o problema é de maximizar (anula-
se os empates arbitrariamente). Se os denominadores são zeros ou positivos o
problema não tem nenhuma solução factível.
Exemplo 1:
F.O.
Min. Z = 4X1 + 12X2 + 18X3
S.A.
X1 + 3X3 ≥ 3
2X2 + 2X3 ≥ 5
X1, X2, X3 ≥ 0

8. 6
Solução:
Paso 1: Converter o problema de minimização em um de maximização. A função
objetivo se multiplica por -1
F.O.
Max. Z = - 4X1 - 12X2 - 18X3
As restrições se multiplicam por -1
S.A.
- X1 - 3X3 ≤ -3
- 2X2 - 2X3 ≤ -5
X1, X2, X3 ≥ 0
Paso 2: Se converte as inequações em equações.
F.O.
Z + 4X1 + 12X2 + 18X3 = 0
S.A.
- X1 - 3X3 + S1 = -3
– 2X2 - 2X3 + S2 = -5
Paso 3: Se determina as variáveis básicas e não básicas.
・Básicas: S1 e S2
・Não Básicas: X1, X2 e X3
Passo 4: Elaborar a tabela inicial do simplex
Variável
Básica
Variáveis
Solução
X1 X2 X3 S1 S2
S1 -1 0 -3 1 0 -3
S2 0 -2 -2 0 1 -5
Z 4 12 18 0 0 0
Passo 5: Determinar a variável que sai (linha pivô)
É o número mais negativo da solução das restrições = linha S2
Passo 6: Determinar as variáveis que entram (coluna pivô)
Razão = Coeficiente de Z / coeficiente linha pivô
Razão maior = Coluna X2 (-12 / 2)

9. 7
Variável
Básica
Variáveis
Solução
X1 X2 X3 S1 S2
S1 -1 0 -3 1 0 -3
S2 0 -2 -2 0 1 -5
Z 4 12 18 0 0 0
Razão - -6 -9 - 0
Passo 7: Elaborar a nova tabela simplex
a) Nova linha pivô = linha pivô / elemento pivô
0 -2 -2 0 1 -5 linha pivô
-2 -2 -2 -2 -2 -2 elemento pivô
0 1 1 0 -0,5 2,5 Nova linha pivô
b) Novas linhas = linha anterior – coeficiente da coluna pivô x nova fila pivô.
Nova Linha (S1)
-1 0 -3 1 0 -3 Linha Anterior
0 0 0 0 0 0 Coeficiente
X
0 1 1 0 -0,5
2,5 Nova Linha Pivô
-1 0 -3 1 0 -3 Nova Linha
Nova Linha (Z)
4 12 18 0 0 0
12 12 12 12 12 12
4 0 6 0 6 -30
Nova Tabela Simplex
Variável
Básica
Variáveis
Solução
X1 X2 X3 S1 S2
S1 -1 0 -3 1 0 -3
X2 0 1 1 0 -1 2,5
Z 4 0 6 0 6 -30

10. 8
Razão -4 - -2 0 -
Se realiza novamente os passos do 5 ao 7 obtendo como solução final:
Variável
Básica
Variáveis
Solução
X1 X2 X3 S1 S2
X3 0,33 0 1 -0,33 0 1
X2 -0,33 1 0 0,33 -0,5 1,5
Z 2 0 0 2 6 -36
NOTA: Não há mais iterações quando não existam soluções com coeficientes
negativos.
R O valor mínimo se alcança para X2 = 3/2 y X3 = 1, para Z = 3

11. 9
Programa
Dado o sistema barra única abaixo, determine o despacho ótimo.
•Monte o problema de programação linear correspondente identificando as variáveis
e soluções.
Solução:
f = [25 15 35] % função custo de cada gerador
A = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]
b = [120; 70; 70] %função potência de cada gerador
Aeq = [1 1 1]
beq = [210]
LB = [0 0 0]
UB = [ ]
X = linprog (f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) % Sintaxe
[X, Custo] = linprog (f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)

12. 10
Resultados do Programa

13. 11
Referências
CanalPhi; Método Simplex- Dual. Parte 1; Disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=nm1sVhPEJ3o> ; Acesso em: 14 de
Jul.2016.
CanalPhi; Método Simplex- Dual. Parte 2; Disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=ZFog7jW2zW0>; Acesso em: 14 de
Jul.2016.
Investigación de Operacione, Método simplex Dual, Disponível em:
<http://www.investigaciondeoperaciones.net/metodo_simplex_dual.html>.
Acesso em: 16 de Jul.2016.
Borges, L. C. “ Análise de Sistema de Potência”. Departamento de Eletrotécnica,
Rio de janeiro, 2005.
MathWorks, Limprog, Disponível em:
<http://www.mathworks.com/help/optim/ug/linprog.html?requestedDomain=ww
w.mathworks.com>. Acesso em: 18 de Jul.2016.
Monticelli, A. J. “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica”. Editora E.
Blucher, Centro de Pesquisas de Energia Elétrica, Rio de Janeiro, 1983.
Monticelli, A. J.; Garcia, A. “Introdução a Sistemas de Energia Elétrica”. Editora
UNICAMP, 1ª. Edição, Campinas, 2003.