1) O documento descreve o problema de transporte, que busca determinar a distribuição ótima de mercadorias entre origens e destinos para minimizar custos.
2) É apresentado um exemplo ilustrando como formular matematicamente o problema de transporte, considerando custos, capacidades e demandas.
3) Problemas de transporte podem ser aplicados em outras áreas além do transporte propriamente dito, como controle de produção e estoque.
O documento discute problemas de transporte e escala de produção em logística. Apresenta o modelo matemático de programação linear para problemas de transporte, com minimização de custo de transporte sujeito a restrições de capacidade e demanda. Explica que o mesmo modelo pode ser aplicado a problemas de escala de produção, considerando períodos de produção como origens e demandas como destinos.
1ª lista de exercícios de pesquisa operacional com gabaritoAntonio Rodrigues
Este documento apresenta 10 problemas de programação linear. Cada problema descreve as restrições e a função objetivo de um modelo matemático para otimização de recursos visando maximizar lucros ou minimizar custos.
Esta aula trata sobre dualidade na programação linear. Explica que todo problema primal tem um equivalente dual e que o dual mostra a contribuição interna para a função objetivo. Também aborda como construir o modelo dual a partir do primal, com mudanças como trocar maximização por minimização e limitações por coeficientes.
1) O documento apresenta uma análise de sensibilidade de um problema de programação linear resolvido graficamente e no Excel.
2) A análise examina o efeito de alterações nos coeficientes da função objetivo e nas constantes das restrições, mostrando que pequenas variações não alteram a solução ótima.
3) O relatório no Excel fornece informações sobre a solução ótima, variáveis, restrições e uma análise de sensibilidade dos parâmetros do problema.
1) O documento apresenta 7 problemas de transporte que envolvem alocação de produtos entre locais de origem e destino visando minimizar custos. As soluções envolvem o uso de métodos como canto noroeste e custo mínimo.
O documento descreve os diferentes tipos de escopo do marketing, incluindo bens, serviços, experiências, eventos, pessoas, lugares, organizações, informações e ideias. O marketing envolve a promoção e venda destas categorias para consumidores.
Pesquisa Operacional - Aula 07 - Problema de Transporte e DesignaçãoLeinylson Fontinele
A aula discute modelos de redes, problemas de transporte e designação. Os alunos aprenderão a representar e resolver problemas de transporte usando programação linear e balancear modelos de designação com oferta maior ou menor que a procura. Exemplos completos serão usados para ilustrar os conceitos.
O documento discute os principais conceitos e atividades logísticas, incluindo transporte, armazenagem, processamento de pedidos e gerenciamento da cadeia de suprimentos. Também descreve como a tecnologia da informação tem melhorado a eficiência dos processos logísticos.
O documento discute problemas de transporte e escala de produção em logística. Apresenta o modelo matemático de programação linear para problemas de transporte, com minimização de custo de transporte sujeito a restrições de capacidade e demanda. Explica que o mesmo modelo pode ser aplicado a problemas de escala de produção, considerando períodos de produção como origens e demandas como destinos.
1ª lista de exercícios de pesquisa operacional com gabaritoAntonio Rodrigues
Este documento apresenta 10 problemas de programação linear. Cada problema descreve as restrições e a função objetivo de um modelo matemático para otimização de recursos visando maximizar lucros ou minimizar custos.
Esta aula trata sobre dualidade na programação linear. Explica que todo problema primal tem um equivalente dual e que o dual mostra a contribuição interna para a função objetivo. Também aborda como construir o modelo dual a partir do primal, com mudanças como trocar maximização por minimização e limitações por coeficientes.
1) O documento apresenta uma análise de sensibilidade de um problema de programação linear resolvido graficamente e no Excel.
2) A análise examina o efeito de alterações nos coeficientes da função objetivo e nas constantes das restrições, mostrando que pequenas variações não alteram a solução ótima.
3) O relatório no Excel fornece informações sobre a solução ótima, variáveis, restrições e uma análise de sensibilidade dos parâmetros do problema.
1) O documento apresenta 7 problemas de transporte que envolvem alocação de produtos entre locais de origem e destino visando minimizar custos. As soluções envolvem o uso de métodos como canto noroeste e custo mínimo.
O documento descreve os diferentes tipos de escopo do marketing, incluindo bens, serviços, experiências, eventos, pessoas, lugares, organizações, informações e ideias. O marketing envolve a promoção e venda destas categorias para consumidores.
Pesquisa Operacional - Aula 07 - Problema de Transporte e DesignaçãoLeinylson Fontinele
A aula discute modelos de redes, problemas de transporte e designação. Os alunos aprenderão a representar e resolver problemas de transporte usando programação linear e balancear modelos de designação com oferta maior ou menor que a procura. Exemplos completos serão usados para ilustrar os conceitos.
O documento discute os principais conceitos e atividades logísticas, incluindo transporte, armazenagem, processamento de pedidos e gerenciamento da cadeia de suprimentos. Também descreve como a tecnologia da informação tem melhorado a eficiência dos processos logísticos.
O documento descreve o problema de transporte (PT) e fornece um exemplo protótipo. O PT envolve a distribuição ótima de produtos entre origens e destinos, considerando capacidades e custos de transporte. No exemplo, a distribuição ótima de leite entre fábricas e armazéns é modelada como um PT para minimizar custos totais. A formulação matemática do PT é apresentada.
O documento discute os conceitos de função produção, funções centrais e de apoio, objetivos da produção e sistemas produtivos. A função produção representa os recursos de uma organização destinados à produção de bens e serviços. As funções centrais de uma organização incluem pesquisa e desenvolvimento, produção e marketing. Os objetivos da produção variam de acordo com o tipo de organização, mas incluem qualidade, rapidez, confiabilidade e custo. Sistemas produtivos envolvem entradas, saídas e processos de transformação.
O documento discute logística e transporte sustentável. Ele explica que o transporte marítimo é a forma menos poluente de transporte em massa e emite muito menos carbono do que outros meios como aviões, caminhões e carros. No entanto, o Brasil depende muito do transporte rodoviário, que causa altos impactos ambientais e econômicos. A falta de mão de obra qualificada é o maior problema para a logística brasileira.
Lista de exercicios gabarito - teoria dos jogosKatia Gomide
O documento discute os conceitos fundamentais da Teoria dos Jogos, incluindo que não é uma teoria única mas um conjunto de teorias, e que analisa situações de conflito e colaboração entre agentes que tomam decisões estratégicas considerando o desenvolvimento do processo de interação e suas consequências futuras.
O documento descreve a evolução histórica da administração da produção desde a era do artesanato até a automação e sistemas computadorizados modernos. A administração da produção trata da maneira como as organizações produzem bens e serviços e gerenciam suas atividades de produção. Ela envolve transformar inputs como matérias-primas, informações e pessoas em outputs por meio de processos de produção.
O documento apresenta informações sobre um curso de Canais de Distribuição, incluindo a apresentação do professor, expectativas dos alunos, conteúdo programático, trabalho final e critérios de avaliação.
P(A|F1) = 0,2, P(A|F2) = 0,05 e P(A|F3) = 0,02. F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral. Usando o Teorema de Bayes, calcula-se P(F1|A) = 0,4, ou seja, há 40% de chances da amostra adulterada ter vindo da fazenda F1.
O documento discute conceitos de capital de giro, ciclos operacional e financeiro e como calcular o capital de giro necessário de uma empresa de duas formas: 1) pelo saldo das contas no balanço patrimonial e 2) pelo ciclo financeiro multiplicado pelo valor diário de vendas. É apresentado um exemplo numérico de como calcular cada um destes itens para uma empresa.
O documento descreve os principais tipos de processos de produção, incluindo processamento contínuo, repetitivo, em lotes, por tarefa e para grandes projetos. Também discute os ambientes de produção MTS, ATO, MTO e ETO e os tipos de processos em serviços, como serviços profissionais, de massa e lojas de serviço. Finaliza com uma matriz que relaciona os tipos de processos de produção e serviços com variáveis como volume e variedade.
O documento descreve as cinco etapas de desenvolvimento da logística ao longo do tempo: (1) do campo ao mercado no início do século XX, (2) funções segmentadas entre 1940-1960, (3) funções integradas a partir de 1960, (4) foco no cliente a partir de 1980, (5) logística como elemento diferenciador atualmente. Ele também apresenta as definições evolutivas de logística dadas pelo conselho NCPDM/CLM/CSCMP ao longo das décadas.
Aula 11 teoria da escolha do consumidorpetecoslides
A teoria da escolha do consumidor examina como os consumidores tomam decisões sobre como alocar sua renda limitada entre diferentes bens. Ela analisa os trade-offs enfrentados pelos consumidores e como eles reagem a mudanças nos preços e na renda por meio das curvas de indiferença e restrição orçamentária.
O documento discute a origem militar do conceito de logística e sua evolução para uso empresarial. Em três frases:
A logística tem origem no planejamento militar de suprimentos e transporte de tropas, sendo importante para vitórias em batalha. Conceitos logísticos militares passaram a ser aplicados às empresas a partir dos anos 1950 para gerar vantagem competitiva. Atualmente, a logística é reconhecida como fator estratégico capaz de conferir poder competitivo quando integrada à estratégia
O documento discute os sistemas de produção puxada (pull) versus empurrada (push) e fornece detalhes sobre o sistema Kanban, incluindo regras, tipos de cartões Kanban, composição do supermercado, programação da produção e outros conceitos relacionados.
O documento descreve um programa de treinamento em logística, dividido em oito módulos que abordam tópicos como introdução à logística, nível de serviço ao cliente, custos logísticos, sistema de suprimentos, controle de estoques, armazenagem, distribuição física e sistema de transporte. O objetivo é fornecer conhecimentos amplos sobre logística e suas principais atividades para condução de operações logísticas em empresas.
1) O documento discute conceitos e procedimentos para formular a estratégia da produção, incluindo quatro perspectivas e dois métodos.
2) As quatro perspectivas são: top-down, bottom-up, requisitos do mercado e recursos de produção.
3) Os dois métodos são a Metodologia Hill e o Procedimento Platts-Gregory.
Estratégia competitiva de Michael PorterThiago Rocha
De que maneira a minha empresa poderá se diferenciar dos concorrentes? Como farei para ter uma lucratividade superior a deles? Até quando um setor da indústria continua interessante?
Em meados do século passado, muitos desses questionamentos eram respondidos com um foco direcionado à estratégia.
No decorrer dos anos, as empresas perceberam que a elaboração de um plano estratégico já não era o suficiente para garantir o sucesso, mas que era necessário adotar melhores técnicas do que aquelas aplicadas pelos concorrentes.
Assim nasceu a expressão “estratégia competitiva”.
Michael Porter, professor da Havard Business School, foi um dos primeiros a fornecer ferramentas analíticas para estabelecer e analisar estratégias competitivas com o objetivo de auxiliar na decisão de uma empresa competir ou não em um mercado, em resposta às estratégias e posições de seus competidores de modo a ganhar uma vantagem competitiva sustentável.
No seminário, ministrado por Thiago Gouveia Rocha, foi apresentados os três principais frameworks que Michael Porter aborda durante os seus mais de 35 anos de estudos sobre o tema: As Cinco Forças Competitivas, As Estratégias Competitivas Genéricas e A Cadeia de Valor.
O documento apresenta um modelo de programação linear para resolver o problema de planejamento de encontros com duas mulheres, levando em conta restrições de tempo, dinheiro e preferências. O modelo formula o problema como uma função objetivo sujeita a restrições, e analisa três alternativas de solução de acordo com dois objetivos distintos: sair o máximo possível com as duas, ou sair mais vezes com uma delas.
Este documento apresenta o método gráfico para resolver problemas de programação linear com duas variáveis de decisão. O método envolve representar graficamente as restrições do problema e traçar retas da função objetivo para encontrar o ponto ótimo na região factível. Exemplos ilustram como aplicar os oito passos do método, incluindo formulação do problema, traçar retas, delimitar região factível e resolver sistema de equações para achar a solução.
O documento descreve o problema de transporte (PT) e fornece um exemplo protótipo. O PT envolve a distribuição ótima de produtos entre origens e destinos, considerando capacidades e custos de transporte. No exemplo, a distribuição ótima de leite entre fábricas e armazéns é modelada como um PT para minimizar custos totais. A formulação matemática do PT é apresentada.
O documento discute os conceitos de função produção, funções centrais e de apoio, objetivos da produção e sistemas produtivos. A função produção representa os recursos de uma organização destinados à produção de bens e serviços. As funções centrais de uma organização incluem pesquisa e desenvolvimento, produção e marketing. Os objetivos da produção variam de acordo com o tipo de organização, mas incluem qualidade, rapidez, confiabilidade e custo. Sistemas produtivos envolvem entradas, saídas e processos de transformação.
O documento discute logística e transporte sustentável. Ele explica que o transporte marítimo é a forma menos poluente de transporte em massa e emite muito menos carbono do que outros meios como aviões, caminhões e carros. No entanto, o Brasil depende muito do transporte rodoviário, que causa altos impactos ambientais e econômicos. A falta de mão de obra qualificada é o maior problema para a logística brasileira.
Lista de exercicios gabarito - teoria dos jogosKatia Gomide
O documento discute os conceitos fundamentais da Teoria dos Jogos, incluindo que não é uma teoria única mas um conjunto de teorias, e que analisa situações de conflito e colaboração entre agentes que tomam decisões estratégicas considerando o desenvolvimento do processo de interação e suas consequências futuras.
O documento descreve a evolução histórica da administração da produção desde a era do artesanato até a automação e sistemas computadorizados modernos. A administração da produção trata da maneira como as organizações produzem bens e serviços e gerenciam suas atividades de produção. Ela envolve transformar inputs como matérias-primas, informações e pessoas em outputs por meio de processos de produção.
O documento apresenta informações sobre um curso de Canais de Distribuição, incluindo a apresentação do professor, expectativas dos alunos, conteúdo programático, trabalho final e critérios de avaliação.
P(A|F1) = 0,2, P(A|F2) = 0,05 e P(A|F3) = 0,02. F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral. Usando o Teorema de Bayes, calcula-se P(F1|A) = 0,4, ou seja, há 40% de chances da amostra adulterada ter vindo da fazenda F1.
O documento discute conceitos de capital de giro, ciclos operacional e financeiro e como calcular o capital de giro necessário de uma empresa de duas formas: 1) pelo saldo das contas no balanço patrimonial e 2) pelo ciclo financeiro multiplicado pelo valor diário de vendas. É apresentado um exemplo numérico de como calcular cada um destes itens para uma empresa.
O documento descreve os principais tipos de processos de produção, incluindo processamento contínuo, repetitivo, em lotes, por tarefa e para grandes projetos. Também discute os ambientes de produção MTS, ATO, MTO e ETO e os tipos de processos em serviços, como serviços profissionais, de massa e lojas de serviço. Finaliza com uma matriz que relaciona os tipos de processos de produção e serviços com variáveis como volume e variedade.
O documento descreve as cinco etapas de desenvolvimento da logística ao longo do tempo: (1) do campo ao mercado no início do século XX, (2) funções segmentadas entre 1940-1960, (3) funções integradas a partir de 1960, (4) foco no cliente a partir de 1980, (5) logística como elemento diferenciador atualmente. Ele também apresenta as definições evolutivas de logística dadas pelo conselho NCPDM/CLM/CSCMP ao longo das décadas.
Aula 11 teoria da escolha do consumidorpetecoslides
A teoria da escolha do consumidor examina como os consumidores tomam decisões sobre como alocar sua renda limitada entre diferentes bens. Ela analisa os trade-offs enfrentados pelos consumidores e como eles reagem a mudanças nos preços e na renda por meio das curvas de indiferença e restrição orçamentária.
O documento discute a origem militar do conceito de logística e sua evolução para uso empresarial. Em três frases:
A logística tem origem no planejamento militar de suprimentos e transporte de tropas, sendo importante para vitórias em batalha. Conceitos logísticos militares passaram a ser aplicados às empresas a partir dos anos 1950 para gerar vantagem competitiva. Atualmente, a logística é reconhecida como fator estratégico capaz de conferir poder competitivo quando integrada à estratégia
O documento discute os sistemas de produção puxada (pull) versus empurrada (push) e fornece detalhes sobre o sistema Kanban, incluindo regras, tipos de cartões Kanban, composição do supermercado, programação da produção e outros conceitos relacionados.
O documento descreve um programa de treinamento em logística, dividido em oito módulos que abordam tópicos como introdução à logística, nível de serviço ao cliente, custos logísticos, sistema de suprimentos, controle de estoques, armazenagem, distribuição física e sistema de transporte. O objetivo é fornecer conhecimentos amplos sobre logística e suas principais atividades para condução de operações logísticas em empresas.
1) O documento discute conceitos e procedimentos para formular a estratégia da produção, incluindo quatro perspectivas e dois métodos.
2) As quatro perspectivas são: top-down, bottom-up, requisitos do mercado e recursos de produção.
3) Os dois métodos são a Metodologia Hill e o Procedimento Platts-Gregory.
Estratégia competitiva de Michael PorterThiago Rocha
De que maneira a minha empresa poderá se diferenciar dos concorrentes? Como farei para ter uma lucratividade superior a deles? Até quando um setor da indústria continua interessante?
Em meados do século passado, muitos desses questionamentos eram respondidos com um foco direcionado à estratégia.
No decorrer dos anos, as empresas perceberam que a elaboração de um plano estratégico já não era o suficiente para garantir o sucesso, mas que era necessário adotar melhores técnicas do que aquelas aplicadas pelos concorrentes.
Assim nasceu a expressão “estratégia competitiva”.
Michael Porter, professor da Havard Business School, foi um dos primeiros a fornecer ferramentas analíticas para estabelecer e analisar estratégias competitivas com o objetivo de auxiliar na decisão de uma empresa competir ou não em um mercado, em resposta às estratégias e posições de seus competidores de modo a ganhar uma vantagem competitiva sustentável.
No seminário, ministrado por Thiago Gouveia Rocha, foi apresentados os três principais frameworks que Michael Porter aborda durante os seus mais de 35 anos de estudos sobre o tema: As Cinco Forças Competitivas, As Estratégias Competitivas Genéricas e A Cadeia de Valor.
O documento apresenta um modelo de programação linear para resolver o problema de planejamento de encontros com duas mulheres, levando em conta restrições de tempo, dinheiro e preferências. O modelo formula o problema como uma função objetivo sujeita a restrições, e analisa três alternativas de solução de acordo com dois objetivos distintos: sair o máximo possível com as duas, ou sair mais vezes com uma delas.
Este documento apresenta o método gráfico para resolver problemas de programação linear com duas variáveis de decisão. O método envolve representar graficamente as restrições do problema e traçar retas da função objetivo para encontrar o ponto ótimo na região factível. Exemplos ilustram como aplicar os oito passos do método, incluindo formulação do problema, traçar retas, delimitar região factível e resolver sistema de equações para achar a solução.
O documento apresenta uma introdução à análise de sensibilidade em problemas de programação linear, descrevendo como pequenas alterações nos parâmetros do problema, como adição de variáveis, restrições ou modificações nos vetores b, c, podem afetar as soluções ótimas. A análise de sensibilidade permite avaliar o impacto dessas alterações sem precisar resolver o problema do zero.
O documento discute problemas de transporte e escala de produção, incluindo suas características, modelagem e exemplos. Problemas de transporte envolvem minimizar custos de transporte atendendo demanda e capacidade. Na escala de produção, períodos de produção substituem fábricas e demanda substitui clientes. Ambos são modelados usando programação linear com variáveis representando quantidades transportadas.
Este documento fornece uma introdução sobre MRP (Material Requirements Planning) e MRP II (Manufacturing Resource Planning). Ele explica que MRP surgiu para planejar as necessidades de materiais dependentes da demanda, enquanto MRP II planeja os recursos de manufatura de uma empresa. Também menciona ERP (Enterprise Resource Planning) como uma evolução dos sistemas anteriores de planejamento.
Este documento fornece um resumo de uma prova seletiva com 105 questões sobre diversos tópicos contábeis como matemática financeira, balanço patrimonial, demonstrações financeiras, custos, impostos e consolidação de balanços. O professor disponibiliza as questões e resoluções comentadas para que os alunos possam testar seu conhecimento antes da aula.
The document discusses using linear programming and the simplex method in R to solve transportation and assignment problems. It presents a transportation problem with 5 origins and 5 destinations and shows the code to solve it in R, obtaining an optimal solution. It also presents an assignment problem with 8 workers and 8 work hours categories and the R code to solve it, minimizing costs.
Este documento discute a modelagem de problemas gerenciais. Apresenta o conceito de modelo e seu papel no processo de tomada de decisão, além de detalhar as etapas de construção de modelos de simulação e otimização, incluindo formulação do problema, identificação de variáveis, construção do modelo matemático, cálculo da solução e teste do modelo. Por fim, fornece dois exemplos de exercícios para aplicação dos conceitos.
O documento apresenta informações sobre a disciplina Introdução à Pesquisa Operacional. Ele inclui detalhes sobre avaliações, objetivos da disciplina, programa, conceitos de pesquisa operacional e matrizes.
1. O documento apresenta uma apostila sobre a disciplina de Pesquisa Operacional I, com informações sobre o objetivo e programação do curso, métodos de avaliação e referências bibliográficas.
2. A disciplina aborda técnicas de programação linear para apoiar a tomada de decisão em problemas industriais e empresariais.
3. O curso inclui aulas sobre métodos gráficos e Simplex para resolver problemas de programação linear, além de modelos como transporte, designação e corte.
O documento descreve o algoritmo de Bellman-Ford para encontrar o caminho mínimo em grafos. O algoritmo funciona em três etapas: inicialização, relaxamento e verificação de ciclos negativos. Ele pode lidar com grafos cujas arestas possuem pesos negativos, ao contrário do algoritmo de Dijkstra. A complexidade do algoritmo é O(AV) onde A é o número de arestas e V o número de vértices.
O documento apresenta uma introdução à Pesquisa Operacional, definindo-a como o uso de modelos matemáticos para auxiliar na tomada de decisões. Resume as principais técnicas como programação linear, simulação e teoria de jogos e discute como a PO pode ser aplicada em diversas situações, desde problemas de espera até redes de transporte.
Caminhos Mínimos - Algoritmo de DijkstraMarcos Castro
O documento descreve como encontrar o caminho mínimo entre duas cidades em um grafo usando o algoritmo de Dijkstra. O algoritmo iterativamente encontra os vértices mais próximos de um vértice inicial e mantém os caminhos mínimos conhecidos em uma estrutura de dados.
El documento describe que dos empresas mineras extraen diferentes tipos de minerales que son clasificados en tres grados y tienen un contrato para suministrar mineral a una planta de fundición cada semana. Se proporcionan los costos y producción diarios de cada empresa. El objetivo es minimizar los costos totales y determinar cuántos días a la semana debe operar cada empresa para cumplir con el contrato. Usando programación lineal, la solución óptima es que la Empresa X opera 1.5 días a la semana y la Empresa Y opera 3 días a la semana.
O documento discute a segunda vinda de Cristo de acordo com a Bíblia. Resume que Jesus prometeu voltar pessoal e visivelmente para levar os crentes a viver com Ele; haverá duas ressurreições, uma para a vida e outra para condenação, separadas por 1000 anos; e convida as pessoas a virem a Cristo para receberem salvação.
Pesquisa operacional - Aula 04 - Programação Linear III (Método da solução gr...Leinylson Fontinele
Este documento apresenta o método da solução gráfica para problemas de programação linear com duas variáveis de decisão. O método envolve sete passos: 1) formulação do problema, 2) estabelecer os eixos do plano cartesiano, 3) traçar retas para cada restrição, 4) esboçar o sentido da solução, 5) repetir para todas as restrições, 6) delimitar a região factível, 7) traçar retas da função objetivo para encontrar o ponto ótimo.
Este documento fornece resumos de 25 aulas sobre diversos tópicos de ciências. As aulas abordam desde assuntos de saúde como alimentação e desenvolvimento humano, até conceitos biológicos como sistema imunológico e enzimas. Cada aula traz questões e exercícios com respostas para avaliar a compreensão dos alunos.
Gestão da Produção e logística Projeto da Capacidade ProdutivaWilian Gatti Jr
O documento discute gestão da capacidade produtiva e logística. Apresenta conceitos como capacidade de projeto, efetiva e real, além de medidas como utilização e eficiência. Exemplifica cálculos destas métricas em casos práticos de produção industrial.
O documento apresenta os conceitos básicos da programação orientada a objetos, incluindo a evolução das linguagens de programação, os paradigmas de programação e os principais conceitos da orientação a objetos como classe, objeto, abstração, encapsulamento, generalização, especialização e polimorfismo.
Este documento descreve o problema de transporte (PT) e apresenta um exemplo prototípico para ilustrar sua formulação como um problema de programação linear. O exemplo trata da distribuição otimizada de leite de três fábricas para quatro armazéns, com o objetivo de minimizar os custos de transporte. Os dados do exemplo são usados para formular o PT como um modelo matemático de minimização sujeito a restrições de oferta e procura.
Este documento descreve o problema de transporte (PT) e apresenta um exemplo prototípico para ilustrar sua formulação como um problema de programação linear. O exemplo trata da distribuição otimizada de leite de três fábricas para quatro armazéns, com o objetivo de minimizar os custos de transporte. O documento explica como modelar o PT, incluindo restrições de oferta e demanda, e como lidar com casos equilibrados e desequilibrados.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre custos de produção com questões sobre conceitos como custos fixos, variáveis, médios e marginais.
2. Os exercícios abordam tópicos como curvas de custo, rendimentos de escala, economias e deseconomias de escala, escolha ótima de produção e minimização de custos.
3. São solicitadas respostas gráficas e algébricas relacionadas aos conceitos apresentados nas questões.
1) O documento contém 9 questões de matemática sobre funções do primeiro e segundo grau, incluindo problemas sobre maximização de lucro e receita.
2) As questões envolvem tópicos como determinação de valores máximos de funções, modelagem de situações reais usando funções polinomiais e resolução de equações de segundo grau.
3) Os problemas precisam ser resolvidos para encontrar valores ou quantidades que optimizem grandezas como lucro, custo, receita e taxa de poluição.
1) O documento contém 9 questões de matemática sobre funções do primeiro e segundo grau, incluindo problemas sobre maximização de lucro e receita.
2) As questões envolvem tópicos como determinação de valores máximos de funções, modelagem de situações reais usando funções polinomiais e resolução de equações de segundo grau.
3) São abordados conceitos como vértice, raízes, domínio, intervalos de crescimento e decrescimento de funções.
1) O documento contém 9 questões de matemática sobre funções do primeiro e segundo grau, incluindo problemas sobre maximização de lucro e receita.
2) As questões envolvem tópicos como determinação de valores máximos de funções, modelagem de situações reais usando funções polinomiais e resolução de equações de segundo grau.
3) As respostas variam de números reais a expressões algébricas, dependendo do tipo de problema proposto em cada questão.
1) O documento contém 9 questões de matemática sobre funções do primeiro e segundo grau, incluindo problemas sobre maximização de lucro e receita.
2) As questões envolvem tópicos como determinação de valores máximos de funções, modelagem de situações reais usando funções polinomiais e resolução de equações de segundo grau.
3) As respostas variam de números reais a expressões algébricas, dependendo do tipo de problema proposto em cada questão.
O documento apresenta uma questão matemática sobre brigadeiros dispostos em uma bandeja retangular dividida em colunas e linhas. A questão pede para calcular o número total de brigadeiros sabendo a relação entre o número de colunas e linhas, e também calcula quantas latas de massa seriam necessárias para produzir 400 brigadeiros.
1) O documento discute vários conceitos matemáticos aplicados à economia, como funções de custo, receita, lucro, demanda, oferta e ponto de equilíbrio.
2) São apresentadas as fórmulas para calcular custo total, receita, lucro e ponto de equilíbrio.
3) Há exercícios no final para revisar esses conceitos através de problemas envolvendo funções de custo, receita, lucro e ponto de equilíbrio para diferentes empresas.
1) O documento apresenta um aulão de matemática com 16 questões do ENEM sobre diversos assuntos como funções, proporcionalidade, equações, geometria e estatística.
2) As questões abordam tópicos como magnitude de terremotos, crescimento populacional, custos de construção de rodovias, vendas de passagens aéreas, lucro de indústrias, equilíbrio de mercado, dosagem de remédios e projeções de produção agrícola.
3) A resolução das questões requer
1) O documento discute a decisão de uma fábrica de autopeças entre investir em novas máquinas ou otimizar a produção existente para aumentar a capacidade antes de um novo contrato.
2) As variáveis estudadas foram a velocidade da máquina, o layout, a quantidade de funcionários e o volume de produção.
3) O modelo de regressão linear múltipla pode ser usado para prever o volume de produção de cada linha baseado nessas variáveis.
Este artigo descreve a solução para o problema denominado Estiagem apresentado na XIII Maratona de Programação IME-USP de 2009. O contexto do problema é calcular o consumo médio de determinadas regiões para avaliar o comportamento da população em época de racionamento. Serão informados dados de consumo de algumas cidades (por amostragem) e o algoritmo deverá apresentar o consumo por pessoa e o consumo médio da cidade por habitante. Como há um limitador de tempo, o resultado deverá ser apresentado em menos de 2 segundos.
Transformando regra de três composta em regra de três simplesisaac_deus
Para se inscrever em um concurso público pela internet, o candidato deve:
1) Ler atentamente o edital e preencher o formulário de inscrição online;
2) Imprimir e pagar o boleto de inscrição até a data de vencimento;
3) Verificar a situação da inscrição e imprimir a confirmação após todos os passos concluídos.
O documento apresenta exemplos e exercícios sobre funções quadráticas, incluindo definições, gráficos, pontos máximos e mínimos, e situações aplicadas como custos, vendas, produção e população. Quatro problemas são propostos para cálculos e análises envolvendo funções quadráticas.
1) A otimização é um ramo matemático que ajuda na tomada de decisões complexas em diversos contextos, como logística, finanças e indústria.
2) Problemas de otimização envolvem definir variáveis de decisão, uma função objetivo e restrições para encontrar a melhor solução.
3) A otimização tem aplicações históricas e é amplamente usada na indústria, por exemplo, para planejar rotas eficientes de sondas em uma bacia de petróleo.
O documento descreve uma aula sobre funções afins ministrada para turmas de 1o ano do ensino médio de uma escola em Capinzal, Santa Catarina. A aula teve como objetivo principal apresentar o conceito de função afim e resolver exercícios envolvendo esse tipo de função. A atividade foi dividida em duas partes, inicialmente corrigindo exercícios em conjunto e esclarecendo dúvidas, e depois realizando uma avaliação com mais exercícios.
Atendimento das necessidades de MRO de entressafra na empresa sucroenergéticaMurilo Rosa
O documento descreve como uma empresa sucroenergética usou programação linear para otimizar o atendimento de necessidades de manutenção, reparo e operação (MRO) durante o período de entressafra. Ao minimizar custos de compra e transferência de materiais entre unidades, a programação linear evitou um custo de 5,9 milhões de reais em comparação à abordagem anterior.
O documento introduz o tema de Pesquisa Operacional e fornece detalhes sobre: 1) a modelagem matemática de problemas estáticos e dinâmicos na PO; 2) a história e desenvolvimento da PO, especialmente com o algoritmo simplex; 3) exemplos ilustrativos de problemas de programação linear.
Este documento apresenta um gabarito de exercícios sobre economia internacional. As questões abordam os conceitos de vantagens comparativas e absolutas, o modelo ricardiano de comércio internacional e os efeitos de mudanças na oferta de fatores de produção.
2. O problema de transporte é uma classe
especial de problema de programação linear
que trata do envio de uma mercadoria de
origens (por exemplo, fábricas) para destinos
(por exemplo, depósitos). O objetivo é
determinar a programação de expedição que
minimize o custo total de expedição e, ao
mesmo tempo, satisfaça os limites de
fornecimento e demanda.
3. A aplicação do problema de transporte pode
ser estendida a outras áreas de operações,
entre elas controle de estoque, programação
de empregos e designação de pessoal.
4. Definição do problema
O problema geral é representado pela rede
na figura a seguir:
: :
Há m origens e n destinos, cada um
representado por um nó. Os arcos
representam as rotas que ligam as origens
aos destinos. O arco (i, j), que liga a origem i
ao destino j, nos dá duas informações:
1
2
1
nm
2
a1
a2
am
b1
b2
bn
Origens c11:x11 Destinos
5. O custo de transporte por unidade cij
A quantidade enviada, xij
A quantidade de suprimento na origem i é ai
e a quantidade de demanda no destino j é bj.
O objetivo do problema é determinar as
incógnitas xij que minimizarão o custo total de
transporte e, ao mesmo tempo, satisfarão
todas as restrições de suprimento e
demanda.
6. Esta classe de problemas recebeu este nome
porque seu método de resolução,
denominado Método de Transporte, foi
inicialmente utilizado para determinar o
menor custo de transporte entre diversas
fábricas de um produto e diversos centros
consumidores.
7. O Método de Transporte resolve esta classe
de problemas de programação linear de uma
maneira mais eficiente que o Simplex
tradicional.
Porém o Método de Transporte foi
especialmente utilizado antes da era da
microcomputação, ou seja, nos primórdios da
Pesquisa Operacional, para aperfeiçoar
cálculos feitos a mão.
8. Com o advento dos computadores pessoais,
cada vez mais rápidos e com maior
capacidade de processamento, diversos
sistemas automatizados de resolução de
Problemas de programação Linear têm sido
lançados, os quais tornam dispensável a
aplicação do Método de Transporte em sua
forma original. No entanto, a maneira como o
problema pode ser equacionado permanece a
mesma.
9. O Problema de Transporte básico é aquele
em que queremos determinar, dentre as
diversas maneiras de distribuição de um
produto, a que resultará no menor custo de
transporte entre as fábricas e os centros de
distribuição. Por se tratar de um problema de
programação linear, devemos fazer a
hipótese de que o custo unitário de
transporte de cada fábrica para cada destino
é constante, independentemente da
quantidade transportada.
11. As restrições deste tipo de problema são: as
fábricas não podem produzir mais do que
suas capacidades instaladas e os centros
consumidores não desejam receber volumes
acima de suas demandas.
Existem duas maneiras para que estas
restrições seja implementadas.
12. 1. Na primeira, o montante ofertado
(somatório das capacidades das fábricas)
deve ser igualado ao total demandado
(somatório das demandas dos centros
consumidores). Para operacionalizar estas
restrições de igualdade, as seguintes regras
devem ser seguidas:
13. No caso de Oferta maior que a Demanda devemos
introduzir um destino fantasma (dummy) que tenha
os custos de trasnporte unitários de todas as
fábricas para este destino iguais a zero. A demanda
deste centro consumidor deve ser igual à diferença
entre o total ofertado e o total demandado;
No caso de Demanda maior que Oferta devemos
introduzir uma fonte de oferta fantasma (dummy)
que tenha os custos de transporte unitários para
todos os destinos iguais a zero e uma capacidade
igual à diferença entre o total demandado e o total
ofertado.
14. Inserindo uma demanda ou uma oferta
fantasma, garantimos que todas as restrições
do problema serão dadas por igualdades. Em
outras palavras, o total fabricado será
virtualmente igual à demanda dos centros
consumidores e vice-versa.
Matematicamente, estas restrições serão
representadas pelas equações a seguir:
15.
n
j
iij fx
1
(para i = 1, 2, ..., m) restrições das
capacidades das fábricas
O somatório das quantidades enviadas de cada fábrica
para os n destinos deve ser igual ao total ofertado por
aquela fábrica (fi)
j
m
i
ij dx 1
(j = 1, 2, ..., n) restrições dos centros
consumidores
O somatório das quantidades recebidas por centro
consumidor das m fábricas deve ser igual ao total
demandado por aquele destino (dj).
16. Somando-se todos os lados de todas as restrições,
teremos:
e
m
i
i
m
i
n
j
ij fx
11 1
n
j
j
n
j
m
i
ij dx
11 1
17. Como os lados esquerdos das duas equações
acima representam o somatório dos custos de
todos os itens transportados das fábricas para os
destinos, podemos concluir que os lados direitos
das equações também devem ser iguais, isto é:
n
j
j
m
i
i df
11
Esta última igualdade é condição necessária e
suficiente para que qualquer problema de
transporte tenha solução ótima quando modelado
utilizando variáveis dummy.
18. 2. A segunda forma de se implementar as
restrições varia com o total demandado
pelos centros consumidores.
O procedimento é o seguinte:
No caso da oferta total ser maior do que a
demanda total, nem todas as fábricas
produzirão em plena capacidade, porém os
centros consumidores irão receber as
quantidades que desejam.
19. Matematicamente, isto pode ser representado por:
(i = 1, 2, ..., m) restrições das fábricas
(j = 1, 2, ..., n) restrições dos centros
consumidores
i
n
j
ij fx 1
j
m
i
ij dx 1
20. No caso da demanda total ser maior do que a
oferta total, nem todos os centros
consumidores não receberão toda a
quantidade que desejam, porém as fábricas
irão produzir tudo o que puderem, ou seja,
irão trabalhar em plena capacidade.
21. Matematicamente,
(i = 1, 2, ..., m) restrições das
fábricas
(j = 1, 2, ..., n) restrições dos
centros consumidores
n
j
iij fx
1
j
m
i
ij dx 1
22. Conforme vimos, a inserção de variáveis do tipo
dummy não é obrigatória, porém facilitam a
interpretação do resultado da otimização. Quando
existe um desequilíbrio entre oferta e demanda,
podemos ter as seguintes ações e interpretações
para as variáveis dummy:
Capacidade > Demanda Demanda > capacidade
Ação: busca de novos
centros consumidores
Ação: criação de nova
fábrica
Interpretação:
capacidade ociosa das
fábricas
Interpretação:
demanda não atendida
23. Exemplo
A MG Auto tem três fábricas: uma em Los
Angeles, uma em Detroit e outra em Nova
Orleans, e duas grandes centrais de
distribuição: uma em Denver e outra em Miami.
As capacidades das três fábricas para o próximo
trimestre são 1000, 1500 e 1200 carros. As
demandas trimestrais nas duas centrais de
distribuição são 2300 e 1400 carros. O mapa de
distâncias entre as fábricas e as centrais de
distriuição é dado na tabela a seguir.
Mapa de distâncias
Denver Miami
Los Angeles 1000 2690
Detroit 1250 1350
Nova Orleans 1275 850
24. A empresa transportadora encarregada do
transporte dos carros cobra 8 centavos por milha
por carro. Os custos de transporte por carro nas
diferentes rotas, arredondados para o valor mais
próximo, são dados na tabela a seguir.
Custos ($) de transporte por carro
Denver Miami
Los Angeles 80 215
Detroit 100 108
Nova Orleans 102 68
26. Problemas de Transporte Não Tradicionais
Como dito anteriormente, a aplicação do
problema de transporte não se limita ao
transporte de mercadorias entre origens e
destinos geográficos. Agora apresentaremos
duas situações de aplicações nas áreas de
controle da produção e estoques, e serviço de
afiação de ferramentas.
27. Exemplo 1
A Boralis fabrica mochilas para praticantes de
esportes radicais. A demanda para seu produto
ocorre entre março e junho de cada ano. A Boralis
estima que a demanda para os quatro meses é 100,
200, 180 e 300 unidades, respectivamente. A
empresa usa mão-de-obra de tempo parcial para
fabricar as mochilas e, por causa disso, sua
capacidade de produção varia mensalmente. Estima-
se que a Boralis possa produzir 50, 180, 280 e 270
unidades de maço a junho. Como a capacidade de
produção e a demanda para os diferentes meses não
combinam, a demanda de um mês corrente pode ser
satisfeita de uma entre três maneiras:
28. Exemplo 1
1. Produção do mês corrente.
2. Excesso de produção de um mês anterior.
3. Excesso de produção em um mês posterior
(atendimento de pedidos pendentes).
29. Exemplo 1
No primeiro caso, o custo de produção por
mochila é $ 40. O segundo caso incorre em
um custo adicional de permanência em
estoque de $ 0,50 por mochila por mês. No
terceiro caso há um custo adicional de multa
de $ 2 por mochila para cada mês de atraso.
A Boralis quer determinar a programação
ótima de produção para os quatro meses.
30. Exemplo 1
A situação pode ser formulada como um
problema de transporte reconhecendo os
paralelos entre os elementos do problema de
produção-estoque e o problema de
transporte, conforme demonstrado na tabela
a seguir.
31. Exemplo 1
Produção-estoque e problema de transporte
Transporte Produção-estoque
1 - Origem i 1 – Período de Produção i
2 - Destino j 2 – Período de Demanda j
3 – Quantidade fornecida
na origem i
3 – Capacidade de
produção do período i
4 – Demanda do destino j 4 – Demanda para o
período j
5 – Custo unitário de
transporte da origem i ao
destino j
5 – Custo unitário
(produção + estoque +
multa) no período i para o
período j
32. Exemplo 2
A Arkansas Pacific opera uma serraria de
médio porte. A serraria prepara diferentes
tipos de madeira que abrangem desde o
pinho, macio, até o carvalho, duro, conforme
uma programação semanal. Dependendo do
tipo de madeira a ser serrada, a demanda de
serras adiadas varia de dia para dia conforme
os dados da tabela a seguir, referentes a uma
semana (7 dias) de produção.
33. Demanda de serras
Dia Seg. Ter. Quarta Quinta Sexta Sab. Dom
Deman
da
Serras
24 12 14 20 18 14 22
34. A serraria pode satisfazer a demanda diária
das seguintes maneiras:
1. Comprar novas serras ao custo de $ 12 por
serra.
2. Usar um serviço noturno de afiação ao custo
de $ 6 por serra.
3. Usar um serviço de afiação lento, de 2 dias,
ao custo de $ 3 por serra.
35. A situação pode ser representada como um
problema de transporte com oito origens e
sete destinos. Os destinos representam os
sete dias da semana. As origens do modelo
são definidas da seguinte maneira:
Origem 1 corresponde a comprar novas
serras, o que, em caso extremo, pode chegar
à quantidade suficiente para abastecer a
demanda para todos os sete dias ( = 24 + 12
+ 14 + 20 + 18 + 14 + 22 = 124). Origens 2
a 8 correspondem aos sete dias da semana.
36. A quantidade fornecida por cada uma dessas
origens é igual ao número de serras utilizadas
ao final do dia associado. Por exemplo,
origem 2 (isto é, segunda) fornecerá uma
quantidade de serras utilizadas igual à
demanda de segunda. O custo unitário de
transporte para o modelo é $ 12, $ 6 ou $ 3,
dependendo de o suprimento de serras ser
satisfeito por novas serras, pelo serviço
noturno de afiação ou pelo serviço de afiação
de dois dias.
37. Observe que o serviço noturno significa que
as serras utilizadas enviadas ao final do dia i
estarão disponíveis para utilização no início
do dia i + 1 ou do dia i + 2, porque o serviço
lento de dois dias não estará disponível até o
início do dia i + 3.
38. O Problema de Designação
‘A melhor pessoa para a tarefa’ é uma
descrição adequada do problema de
designação. A situação pode ser ilustrada
pela designação de trabalhadores com graus
variáveis de habilidade a determinadas
tarefas. Uma tarefa que combine com a
habilidade de um trabalhador custa menos do
que uma tarefa para a qual o trabalhador não
seja tão habilidoso.
39. O Problema de Designação
Também conhecido por Problema de
Atribuição ou Alocação.
Podemos dizer também que consiste em
determinar a maneira ótima de se alocar n
tarefas à n máquinas de modo que nenhuma
tarefa deixe de ser executada e que todas as
máquinas tenham uma tarefa designada a
elas.
40. O Problema de Designação
O objetivo do problema é determinar a
designação de menor custo de trabalhadores
a tarefas.
O problema geral de designação com n
trabalhadores e n tarefas é representado na
tabela a seguir.
41. O Problema de Designação
Tarefas
1 2 ... n
1 c11 c12 ... C1n 1
2 c21 c22 ... C2n 1
Trabalhador
: : : : : :
n cn1 cn2 ... cnn 1
1 1 ... 1
42. O Problema de Designação
O problema de designação é, na realidade,
um caso especial do problema de transporte
no qual os trabalhadores representam as
origens e as tarefas representam os destinos.
A quantidade fornecida (demandada) em
cada origem (destino) é exatamente igual a
1. O custo de ‘transportar’ o trabalhador i
para a tarefa j é cij.
43. O Problema de Designação
Na verdade, o problema de designação pode
ser resolvido diretamente como um problema
de transporte comum. De qualquer maneira,
o fato de todas as quantidades fornecidas e
demandadas serem iguais a 1 levou ao
desenvolvimento de um algoritmo de solução
simples denominado Método Húngaro.
44. O Método Húngaro
Embora o novo método de solução pareça
não ter relação alguma com o problema de
transporte, na realidade a raiz do algoritmo é
o método simplex, exatamente como a do
problema de transporte.
45. O Método Húngaro
Exemplo:
Os três filhos de Joe Kline – John, Karen e
Terri – querem ganhar algum dinheiro para
gastar durante uma excursão da escola até o
zoológico local. O Sr. Klyne escolheu três
tarefas para seus filhos:
1 – cortar a grama
2 – pintar a porta da garagem
3 – lavar os carros da família
46. O Método Húngaro
Para evitar a concorrência prevista entre os
irmãos, ele pediu que seus filhos
apresentassem propostas (fechadas) do que
eles consideravam que fosse um pagamento
justo para cada uma das três tarefas. Ficou
combinado que os três concordariam com a
decisão do pai sobre quem executaria qual
tarefa. A Tabela a seguir resume as propostas
recebidas. Com base nessas informações,
como o Sr. Klyne deve designar as tarefas?
47. O Método Húngaro
Resolução:
O Método Húngaro consta de 3 etapas:
1ª - na matriz de custo original, identifique o
mínimo de cada linha e o subtraia de todas as
entradas da linha.
2ª - na matriz resultante da etapa 1, identifique
o mínimo de cada coluna e o subtraia de toda
as entradas da coluna.
3ª - Identifique a solução ótima como a
designação viável associada com os
elementos zero da matriz obtida na etapa 2.
48. O Método Húngaro
Problema de designação do Sr. Klyne
Cortar Pintar Lavar
John $ 15 $ 10 $ 9
Karen $ 9 $ 15 $ 10
Terri $ 10 $ 12 $ 8
49. O Método Húngaro
Etapa 1 do Método Húngaro
mínimo
Cortar Pintar Lavar linha
John 15 10 9 p1=9
Karen 9 15 10 p2=9
Terri 10 12 8 p3=8
51. O Método Húngaro
Etapa 3 do Método Húngaro
Cortar Pintar Lavar
John 6 0 0
Karen 0 5 1
Terri 2 3 0
52. O Método Húngaro
As células com entradas zero sublinhadas dão
a solução ótima, o que significa que John
pintará a porta da garagem, Karen cortará a
grama e Terri lavará os carros da família. O
custo total para o Sr. Klyne é:
9 + 10 + 8 = 27.
53. O Método Húngaro
Essa quantia também será sempre igual a
(p1 + p2 + p3) + (q1 + q2 + q3) =
(9 + 9 + 8) + (0 + 1 + 0) = $ 27
54. O Método Húngaro
As etapas do método húngaro apresentadas
funcionam bem no exemplo precedente
porque as entradas zero na matiz final
produzem uma designação viável (no sentido
de que uma tarefa distinta é designada a
cada filho). Em alguns casos, os zeros criados
pelas etapas 1 e 2 podem não resultar em
uma solução viável diretamente e serão
necessárias mais etapas para achar a
designação ótima (viável).
55. O Método Húngaro
Considere o exemplo a seguir.
Considere que a situação discutida no
exemplo anterior seja estendida para quatro
filhos e quatro tarefas, conforme tabela a
seguir.
58. As localizações das entradas zero não
permitem designar tarefas únicas a todos os
filhos. Por exemplo, se designarmos a Tarefa
1 ao Filho 1, então a coluna 1 será eliminada
e o Filho 3 não terá uma entrada zero nas
três colunas restantes.
Esse obstáculo pode ser superado com a
adição das seguintes etapas:
59. Etapa 2a: Se não for possível garantir
nenhuma designação viável (com todas as
entradas zero) pelas etapas 1 e 2,
i) Trace o número mínimo de linhas
horizontais e verticais na última matriz
reduzida que abrangerá todas as entradas
zero;
ii) Selecione a menor entrada não abrangida,
subtraia essa entrada de todas as entradas
não abrangidas e então a adicione a todas
as entradas na interseção de duas linhas;
61. O Método Húngaro
iii) Se não for possível encontrar nenhuma
designação viável entre as entradas zero
resultantes, repita a etapa 2a. Caso contrário,
passe para a etapa 3 a fim de determinar a
designação ótima.
63. O Método Húngaro
O custo ótimo associado é
1+ 10 + 5 + 5 = $ 21
O mesmo custo também é determinado pela
soma dos pi e qj e pela entrada que foi
subtraída depois que as células selecionadas
foram determinadas, isto é,
(1 + 7 + 4 + 5) = (0 + 0 + 3 + 0) + 1 = $ 21
64. Referências
LACHTERMACHER, G. Pesquisa
Operacional na Tomada de Decisões:
modelagem em Excel. São Paulo: Campus,
2006.
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional: uma visão
geral. 8. ed. – São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2008.