Universidade Católica Portuguesa
Funções reais
de
várias variáveis reais
Matemática I
Margarida Macedo
Setembro de 2014
Alguns dos exemplos e exercícios apresentados foram
retirados de provas e outros documentos de trabalho
elaborados em cola...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 1
Índice
1. Funções de várias variáveis ..................
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 2
1. Funções de várias variáveis
Uma função pode ser de...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 3
em que x representa o número de unidades de trabalho,...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 4
Exemplos:
1) yxyxf 236),(  no 1º octante
2) 22
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Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 5
5) yxyxf sensen),( 
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Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 6
2. Domínio de uma função de duas variáveis
Domínio de...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 7
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A intersecção das duas figuras fica:
y = -x y = x
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Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 12
Na figura da página anterior, pode ser observada a r...
Funções reais de várias variáveis reais
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Margarida Macedo – FEG_UCP 14
Mapa análogo é utilizado para indicar a profundidade...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 15
Exemplos:
1) Determinar as curvas de nível da função...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 16
4. Derivadas parciais
4.1. Derivadas de 1ª ordem
Sej...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 17
Para dar uma interpretação geométrica para as deriva...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 18
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2
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2
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f x y
x
 
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Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 21
Exemplos:
1) zezyxf xy
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 
 
 


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Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 22
Exemplo:
Voltando a um exemplo anterior,   2323
2,...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 23
Exercícios resolvidos:
1) Dada a função
x
y
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1
ln
...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 24
3) Dada a função   






2
arcsenln 2 x
...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 25
6) Sendo   22
1
1
,
yx
x
yxf


 , calcule as d...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 26
8) Dada a função definida por  , arccos
x
f x y x
...
Funções reais de várias variáveis reais
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Resolução:
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  
     
  
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Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 28
2° caso: Seja ),( vufz  uma função diferenciável de...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 29
Exercícios resolvidos:
1) Sendo
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





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3) Sendo gfz . , em que
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
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

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Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 31
5. Função definida na forma implícita
Em R, geralmen...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 32
Exemplo:
Determinar y’ se xyyx 633
 .
xy
xy
xy
yx
...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 33
Exercícios resolvidos:
1) Admita que )(xfy  é uma f...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 34
Concluimos no primeiro exemplo da página 34, que
xy
...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 35






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

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yx
y
y...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 36
b) Calcule a derivada 2
2
dx
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no ponto (0,0).
Reso...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 37
y
Suponhamos que f é diferenciável em x0. Como f’(x...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 38
Define-se diferencial dz de uma variável dependente ...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 39
Exemplo:
Dada a função xyxyxf  2
3),( , calcular:
...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 40
Exercício resolvido:
Calcule, usando a noção de dife...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 41
7. Polinómio de Taylor
Seja f uma função real de var...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 42
O polinómio de Taylor permite calcular um valor apro...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 43
8. Homogeneidade
Uma função RRf n
: é uma função ho...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 44
Teorema de Euler
Seja RRf n
: uma função homogénea ...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 45
Exercícios resolvidos:
1. Para produzir determinado ...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 46
3. As funções reais ),,( 321 xxxf e ),,( 321 xxxg sã...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 47
9. Optimização
9.1. Extremos de funções com duas var...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 48
9.2. Cálculo de extremos livres de funções com duas ...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 49
Exemplo:
1) Estudar a existência e natureza dos extr...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 50
3) Calcular e classificar os pontos críticos da funç...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 51
Nota:
Os extremos absolutos podem ser identificados ...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 52
Como consequência desse teorema, surge o método dos ...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 53
Exemplo:
1) Um produto P pode ser fabricado em duas ...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 54
2) Calcular os pontos críticos e, se possível, deter...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 55
Quando a condição de ligação define em 2
R um conjun...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 56


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2,
2
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
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1
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


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...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 57
9.3.1. Condições de desigualdade – método de Karush-...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 58
Exemplo:
1) Máximo de f (x,y) = x + y, sujeita às co...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 59
Graficamente: y
4 (2,4)
x + y = 6
0 x
2
x + y = 0
2)...
Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 60
Bibliografia:
Larson, R., e Edwards, B., Cálculo com...
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Funcoes varias variaveis

  1. 1. Universidade Católica Portuguesa Funções reais de várias variáveis reais Matemática I Margarida Macedo Setembro de 2014
  2. 2. Alguns dos exemplos e exercícios apresentados foram retirados de provas e outros documentos de trabalho elaborados em colaboração com os restantes elementos da equipa de Matemática: José Júlio Meira Ramos Margarida Corte-Real Maria Helena Correia Maria Manuela Maia
  3. 3. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 1 Índice 1. Funções de várias variáveis ................................................................................... 2 2. Domínio de uma função de duas variáveis ............................................................ 6 3. Curvas de nível de uma função de duas variáveis ................................................. 11 4. Derivadas parciais .................................................................................................. 16 4.1. Derivadas de 1ª ordem .................................................................................... 16 4.2. Derivadas de 2ª ordem ou superior ................................................................. 21 4.3. Derivada da função composta – Regra da cadeia ........................................... 27 5. Função definida na forma implícita ....................................................................... 31 5.1. Teorema da Função Implícita ......................................................................... 31 5.2. Derivada da Função definida na forma implícita ............................................ 31 6. Diferencial ............................................................................................................. 36 7. Polinómio de Taylor .............................................................................................. 41 8. Homogeneidade ..................................................................................................... 43 9. Optimização ........................................................................................................... 47 9.1. Extremos livres de funções com duas variáveis ............................................. 47 9.2. Cálculo de extremos livres de funções com duas variáveis ............................ 48 9.3. Cálculo de extremos condicionados de funções com duas variáveis .............. 51 9.3.1. Condições de igualdade – método da função auxiliar de Lagrange ...... 51 9.3.2. Condições de desigualdade – método da Karush-Kuhn-Tucker ............ 57 Bibliografia ............................................................................................................ 60
  4. 4. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 2 1. Funções de várias variáveis Uma função pode ser definida como uma relação entre dois conjuntos, onde a cada elemento do domínio (um subconjunto do conjunto de partida) está associado um e um só elemento do contradomínio (um subconjunto do conjunto de chegada). Nas funções reais com uma variável real, tanto os objectos como as imagens são números reais. Este capítulo aborda conceitos relativos a funções reais de várias variáveis reais, ou seja, o domínio é um subconjunto de n R   RxxxxR in n  ;,...,, 21 Em particular: Função de duas variáveis: Uma função f de duas variáveis é uma relação que associa a cada par ordenado de números reais (x,y) um único valor real representado por f(x,y). Pode- se representar ),( yxfz  para tornar explícitos os valores tomados por f num ponto genérico. As variáveis x e y são variáveis independentes, e z a variável dependente. Ou seja, uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto de 2  e cuja imagem é um subconjunto de  . Uma maneira de visualizar tal função é pelo diagrama sagital, onde o domínio D é representado como um subconjunto do plano Oxy. Exemplo: Função de Produção de Cobb-Douglas – função que relaciona a produção com as variáveis quantidade de trabalho e capital:    1 ),( yCxyxp ( parâmetro real)
  5. 5. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 3 em que x representa o número de unidades de trabalho, y o número de unidades de capital e p(x,y) o número de unidades produzidas a eles associado. Problema: Um fabricante estima que a produção de determinado produto, medida em unidades, admite como modelo 4,06,0 100),( yxyxf  , em que x representa o trabalho (em pessoas/hora) e y o capital em milhares de unidades monetárias. a) Qual é o nível de produção quando x = 1000 e y = 500? b) Como é afectada a produção quando se duplicam as quantidades de trabalho e capital? c) Como é afectada a produção quando se triplicam as quantidades de trabalho e capital? Resolução: a)  4,06,0 5001000100)500,1000(f 75785,83 (unidades) b)     ),(2100222100)2,2( 4,06,04,06,04,06,0 yxfyxyxyxf   a produção duplica c)     ),(3100333100)3,3( 4,06,04,06,04,06,0 yxfyxyxyxf   a produção triplica Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em 3  tal que ),( yxfz  e (x, y) pertencem ao domínio D.
  6. 6. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 4 Exemplos: 1) yxyxf 236),(  no 1º octante 2) 22 9),( yxyxg  3) 22 4),( yxyxh  . 4) 22 )3(),( 22 yx eyxyxf  
  7. 7. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 5 5) yxyxf sensen),(  6) xy yx yxf sensen ),(  Função de três variáveis: uma função f de três variáveis é uma relação que associa a cada terno ordenado (x, y, z) de um domínio 3 D um único número real representado por ),,( zyxf . Exemplo: Pagamento mensal para amortização de um empréstimo t r cr trcM 12 12 1 1 1 12),,(                em que M é o pagamento mensal para a amortização de um empréstimo de c u.m. em t anos, à taxa anual de r.
  8. 8. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 6 2. Domínio de uma função de duas variáveis Domínio de uma função f é o conjunto dos elementos do conjunto de partida para os quais a expressão analítica que define a função tem significado. Em particular, se a função f é de duas variáveis, o domínio da função dá origem a um conjunto de pares ordenados que constituem um domínio plano. Para determinar o domínio de uma função, independenetemente do número de variáveis, deveremos ter em conta que:  O denominador de uma fracção deverá ser diferente de zero  O argumento de um logaritmo deverá ser maior que zero  O radicando de uma raíz de índice par deverá ser maior ou igual a zero  O argumento de um arcsen ou arccos deverá estar compreendido entre -1 e 1 Exemplos: Determinar analiticamente e representar geometricamente o domínio de algumas funções: 1) 1 1 ),(    x yx yxf   0101:, 2  xyxRyxD 2) )ln(),( 2 xyxyxf    0:, 22  xyRyxD
  9. 9. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 7 3) 22 9),( yxyxg       9:, 09:, 222 222   yxRyx yxRyxD 4) yx yx yxf    ln),(                                       xy xy xy xy yx yx yx yx yx yx yx yx RyxD 0 0 0 0 0 0:, 2 5) x y xf 1 ln )(    11 1 0 1 ln 00 1 0 1 ln0 1 :, 2                     x xx x x xx RyxD y 0 x y = - x y y = x x x=1
  10. 10. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 8 6)          2 arcsenln 2 x yxz y x=2   2 2 2 2 , : 0 1 1 2 0 1 1 2 2 2 x D x y R x y x y x y x x                         0 7) x yx yxf 2 ln),(   y y = x   2 , : 0 2 0 0 0 2 2 0 2 0 0 0 x y D x y R x x y x y y x y xx y x x x x x                                        0 x 8) 2 2 ln),( y x yxf  y   2 2 2 2 2 , : 0 0 0 0 x D x y R y x x y y                9) 22 22 4ln ),( yxxy yx yxg          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , : 4 0 0 0 4 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D x y R x y xy x y x y x y x y xy x y x y x y y x y x x y x y x y x y x y y x y x                                                                 x = 2 0 x
  11. 11. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 9 2 x -2 10)   22 1 1 , yx x yxf     2 2 2 ( , ) : 0 1 0D x y R x x y       1 2 2 2 2 1 0 1x y x y      -1 1 x 11)   yx x yxf  , 2 ( , ) : 0 x D x y R x y         0 0 0 0 0 0 0 x x x xx x y x y y x y xx y                          12.   xyx xyx yxf 2 2 , 22 22            2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 ( , ) : 0 2 1 1 1 12 0 2 02 0 2 2 0 2 0 1 1 1 1 x y x D x y R x y x x y x yx y x x y xx y x x y x x y x x y x x y x y                                                           y = - x y = x
  12. 12. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 10 - x y 13)  , arccos x f x y x y        2 ( , ) : 1 1 x D x y R y           1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y y                                                             0 0 y x y x y y                   y = x y = -x 0 x 0 x -1 1
  13. 13. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 11 A intersecção das duas figuras fica: y = -x y = x 0 x 3. Curvas de nível de uma função de duas variáveis As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as linhas (no domínio de f), com equação kyxf ),( , onde k é uma constante real. Uma curva de nível kyxf ),( é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor de f é k. Por outras palavras, mostra onde o gráfico de f tem cota k. Consequentemente, todos os pontos de determinada curva de nível têm a mesma imagem. x
  14. 14. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 12 Na figura da página anterior, pode ser observada a relação entre curvas de nível e os traços horizontais. As curvas de nível kyxf ),( são apenas traços do gráfico de f no plano horizontal kz  projetado sobre o plano Oxy. A superfície será mais inclinada onde as curvas de nível estiverem mais próximas uma das outras e mais plana onde as curvas de nível estiverem mais distantes uma das outras. Exemplos: Esboçar algumas curvas de nível de algumas funções: 1) yxyxf 236),(  2) 22 9),( yxyxg  As figuras abaixo mostram algumas curvas de nível geradas por computador juntamente com os gráficos correspondentes. 3) 22 4),( yxyxh 
  15. 15. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 13 4) 22 ),( yx xyeyxf   5) 1 3 ),( 22    yx y yxf As curvas de nível são utilizadas, entre outras aplicações, para a elaboração de mapas topográficos. Neste caso, ),( yxf representa a elevação (em metros) em um ponto  yx, de latitude x e longitude y. Na colina da figura esboçada (em três dimensões) encontram-se as curvas correspondentes às elevações de 0, 100, 200, 300 e 400 metros, por exemplo. Essas curvas podem ser encaradas como tendo sido obtidas cortando-se a colina em “fatias” paralelas à base. O “caminho” ao longo de uma dessas curvas permanece sempre à mesma altitude.
  16. 16. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 14 Mapa análogo é utilizado para indicar a profundidade da água num lago. Um exemplo é o da figura abaixo, em que ),( yxf é a profundidade da água no ponto  yx, . Esse mapa informa as partes do lago que devem ser evitadas por esquiadores aquáticos. Como outra ilustração das curvas de nível, a figura ao lado exibe um mapa meteorológico, em que ),( yxf representa a temperatura durante certo dia. Ao longo das curvas e do nível, chamadas curvas isotérmicas, a temperatura é constante. Quando ),( yxf representa a pressão barométrica em  yx, as curvas de nível neste caso serão chamadas isobáricas. No caso das funções de três variáveis x, y e z, então, por definição, as superfícies de nível de f são os gráficos de kzyxf ),,( para valores convenientes de k. Fazendo 210 ,, wwwk  , os gráficos resultantes serão superfícies 210 ,, SSS , ilustradas ao lado. A função ),,( zyxf não se altera quando um ponto ),,( zyx se move ao longo de uma dessas superfícies. Se ),,( zyxf é a temperatura em ),,( zyx , as superfícies de nível são superfícies isotérmicas, e a temperatura é constante em cada superfície. Se ),,( zyxf representa o potencial elétrico, as superfícies de nível são superfícies equipotenciais, e a voltagem não se altera se ),,( zyx permanece em uma dessas superfícies.
  17. 17. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 15 Exemplos: 1) Determinar as curvas de nível da função   yx x yxf  , :  x k x y   é impossível se k < 0, logo não existe curva de nível;  0 0 x x y x x y       (eixo dos yy, excepto a origem (0,0))  Se k > 0: 2 2 2 2 2 1x x k k k x k x k y y x x y x y k            As curvas pedidas são as que pertencem à família de semi-rectas de origem em (0,0), sem incluir esse ponto, já que y x , de acordo com o domínio da função. 2) Determinar a curva de nível de valor 0 da função   xyx xyx yxf 2 2 , 22 22    : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 2 x y x x y x x y x x y x              A curva é a circunferência de centro (-1,0) e raio 1, excepto o ponto (0,0). 3) Determinar a curva de nível de  , arccos x f x y x y        à qual pertence o ponto  1,0 : arccos 0 arccos0 0 arccos 0 0 arccos 0 0 1 0 x x k y k k x x x x x x x y x y y y                                   A curva de nível pedida é a reunião das rectas x = 0 (eixo dos yy) e y = x, sem incluir a origem, já que esta não pertence ao domínio.
  18. 18. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 16 4. Derivadas parciais 4.1. Derivadas de 1ª ordem Seja f uma função de duas variáveis; as suas derivadas parciais de 1ª ordem são as funções x f   e y f   definidas por h yxfhyxf yx y f h yxfyhxf yx x f h h ),(),( lim),( ),(),( lim),( 0 0           Estas são as derivadas parciais de 1ª ordem. Outras notações:     ),(),(, ),(),(, yxfyxf y yx y f yxfyxf x yx x f y x             Regra prática para determinar as derivadas parciais de ),( yxfz  : (1) Para determinar x f   , considera-se y como uma constante e deriva-se ),( yxf em relação a x. (2) Para determinar y f   , considera-se x como uma constante e deriva-se ),( yxf em relação a y. Exemplo: Sendo 2323 2),( yyxxyxf  , então     yyxyx y f xyxyx x f 43, 23, 22 32      
  19. 19. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 17 Para dar uma interpretação geométrica para as derivadas parciais, recorde-se que a equação ),( yxfz  representa a superfície S (que corresponde ao gráfico de f). Se cbaf ),( , então o ponto ),,( cbaP pertence a S. Fixando by  , restringimos a nossa atenção à curva 1C na qual o plano vertical by  intercepta S. Da mesma forma, o plano vertical ax  intercepta S na curva 2C . As curvas 1C e 2C passam pelo ponto P. As derivadas parciais x f   e y f   podem ser interpretadas geometricamente como as inclinações das retas tangentes em ),,( cbaP às linhas 1C e 2C de S nos planos by  e ax  . Por outro lado, se ),( yxfz  , então x f   representa a taxa de variação de z com relação a x quando y é mantido fixo. Da mesma forma, y f   representa a taxa de variação de z em relação a y quando x é mantido fixo. Exemplos: 1) 22 24),( yxyxf                             41,14, 21,12, y f yyx y f x f xyx x f
  20. 20. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 18 2)         y x yxf 1 sen),(                                  2 11 cos 1 1 1 cos y x y x y f yy x x f 3) 1 ( , ) 2 x y f x y x y                   2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 x y x yf y x x y x y x y x yf x y x y x y                             4) ( , )g x y xy  2 2 g y x xy g x y xy      
  21. 21. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 19 5) 5 ( , ) 4 y h x y x        2 5 4 1 4 yh x x h y x          6) 2 2 2 2 5 3 ( , ) x y f x y x y                     2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 10 2 5 3 16 6 2 5 3 16 x x y x x yf xy x x y x y y x y y x yf x y y x y x y                     7) 2 2 cosz x y      2 2 2 2 2 cos 2cos sen 2 sen cos sen 2 z x y x z x y y x y y x y y            8)  arctgz xy      2 2 1 1 z y x xy z x y xy         9) arctg y z x         2 2 2 1 1 1 y z x x y x z x y y x                       
  22. 22. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 20 10) 2 2 ( , ) ln 2 x y f x y x                  2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 12 2 x x x y x xf x xy x x y x y x x f x y x y x y x                           11) x y z y x    2 2 1 1 z y x y x z x y xy          12) 2 1 ( , ) 2 x y h x y         2 2 2 2 21 1 1 ln ln 2 2 2 2 1 ln 2 2 2 x y x y x y h y y x h xy y                                       De modo análogo, podem ser definidas derivadas parciais de funções de três ou mais variáveis: h zyxfhzyxf zyx z f h zyxfzhyxf zyx y f h zyxfzyhxf zyx x f h h h ),,(),,( lim),,( ),,(),,( lim),,( ),,(),,( lim),,( 0 0 0                Genericamente: Se u é uma função de n variáveis, ),..,,( 21 nxxxu  , a sua derivada parcial em relação à sua i-ésima variável é:   h xxxfxxhxxxf x u niniii h i ),...,,...,(,...,,,,..., lim 1111 0      
  23. 23. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 21 Exemplos: 1) zezyxf xy ln),,(                            z e zyx z f zxezyx y f zyezyx x f xy xy xy ,, ln,, ln,, 2) 2 2 2 x y z t e     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z t x e x t y e y t z e z                   4.2. Derivadas de 2ª ordem ou superior Se f é uma função de duas variáveis, as suas derivadas parciais x f   e y f   são funções de duas variáveis; de modo que podemos considerar novamente as suas derivadas parciais em ordem a qualquer uma das variáveis, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f. Assim, sendo ),( yxfz  temos as seguintes notações:   xxxx ff x f xx f              2 2   yyyy ff y f yy f              2 2   xyyx ff x f yxy f             2   yxxy ff y f xyx f             2
  24. 24. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 22 Exemplo: Voltando a um exemplo anterior,   2323 2, yyxxyxf  , já tinham sido calculadas as derivadas de 1ª ordem:     yyxyx y f xyxyx x f 43,e23, 2232       ; assim,         2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 6,e6,,46,,26, xyyx xy f xyyx yx f yxyx y f yxyx x f             O facto de xy f yx f     22 e serem iguais, resulta do Teorema de Clairaut-Schwarz-Young: “Dada uma função  yxf , e   fDyx 00, , se as funções xy f yx f     22 e forem ambas contínuas em  00, yx , então    00 2 00 2 ,, yx xy f yx yx f      ” (a generalidade das funções utilizadas em Economia e Gestão verificam este pressuposto). As derivadas parciais de ordem três ou superior também podem ser definidas de modo análogo; por exemplo,                            2 22 2 3 y f xxy f yxy f (ou seja, devem ser calculadas três derivadas sucessivas, uma em ordem a x e duas em ordem a y, por qualquer ordem). Exemplo: Sendo )3(sen),,( yzxzyxf  , calcular zxy f   2 4 :          yzxzyzxz zyx f yzxz yx f yzxz yx f yzx x f               3cos63seny3 3cos3 3sen33cos3 2 2 4 2 2 3 2
  25. 25. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 23 Exercícios resolvidos: 1) Dada a função x y xf 1 ln )(  , calcular f x   e f y   . Resolução: 22 2 1 ln 1 ln 1 1                         x x y x x x y x f e x y f 1 ln 1    2) Seja g(x,y) = arctg yx yx   . Mostre que 0 g g x y x y       . Resolução:             yx yx yxx x yx yx yx x yx x yx yx yx yx yx x y g yx yx yxx y yx yx yx x yx y yx yx yx yx yx y x g                                       221 2 2 221 2 2 2 2 2 2 substituindo,       0 222                                                yx yx yxx xyxy yx yx yxx x y yx yx yxx y x y g y x g x
  26. 26. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 24 3) Dada a função          2 arcsenln 2 x yxz , calcule z x   . Resolução:     2 2 2 2 2 2 4 1 ln 2 arcsen 1 2 1 2 1 ln 2 arcsen 1 x yx x yx x yx x yxx z                              4) Mostre que se 22 yxz  então 033 2 22        y z y yx z x . Resolução:       2222 2 2222 222 22 22 22 2 2 2222 2 22 222 2222 2 2 2 2 2 2 yxyx x yxyx yyx yx yx y yyx y z yxyx y yx yx y y yx z yx y yx y y z                           Substituindo:     033 2222 2 2222 2       yxyx x y yxyx y x 5) Seja 2 2 ln),( y x yxf  ; calcular f x   e f y   . Resolução: 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y f fy y x x y yx x y y          
  27. 27. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 25 6) Sendo   22 1 1 , yx x yxf    , calcule as derivadas de 1ª ordem de f. Resolução:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 x x y x x x yf x x y y x x yf y x y                      7) Considere a função  , arctg x y U x y x y        . Determine o conjunto de pontos  yx, que satisfazem a equação  yxU y U xy x U yx ,22       . Resolução:                             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , arctg 2 1 2 1 2 2 0 x y U x y x y x y x y x yU y x x y x yx y x y x y x y x yU x y x y x yx y x y U U y x x y y x x y y x x y x y x y x y x y                                                       arctg 0 0 x y x y x y x y x y x y                Os pontos que verificam a condição indicada são os pontos da recta y = x, excepto o ponto ( 0,0 ).
  28. 28. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 26 8) Dada a função definida por  , arccos x f x y x y        , a) Calcule as derivadas de 1ª ordem da função. b) Calcule  1,02 2 x f   e  ,0 2 yx f   . Resolução: a) 222 arccos 1 arccos xy x y x y x y x y x x f                         22 2 2 2 2 1 xyy x y x y x y f             b) 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 x x y x x y x y x y xf x y x y xy x y x                     2 2 0 1 0 1 1 00,1 1 1 2 1 01 0 f x                     3 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0, 0 0 x x xy y x x y x y x y x y xf x y y y x y y x f x y                         9) Seja f uma função real de variável real diferenciável e h uma função real de duas variáveis reais definida por  22 ),( yxf y yxh   . Mostre que  yxxh y h xy x h y ,2       .
  29. 29. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 27 Resolução:                               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 ' 2 ' 2 2 ' 2 ' , y f x y xh x f x y f x y y f x y yh y f x y xy f x y xyf x y xy f x yh h xy y xy x h x y x y f x yf x y f x y                                   4.3. Derivada da função composta – Regra da cadeia 1º caso: Seja ),( yxfz  uma função diferenciável de x e y, onde )(tgx  e )(thy  são funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de t e dt dy y z dt dx x z dt dz       x u t y Exemplo: Se 42 3xyyxz  , onde  tx 2sen e ty cos , determinar dt dz quando t = 0.   t dt dy t dt dx xyx y z yxy x z sene2cos2,12,32 324                          tttttttt txyxtyxy dt dz sencos2sen122sen2cos2cos3cos2sen2 sen122cos232 324 324         6230sen0cos0sen120sen0cos20cos30cos0sen2 324 0       tdt dz
  30. 30. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 28 2° caso: Seja ),( vufz  uma função diferenciável de u e v, onde ),( yxgu  e ),( yxhv  são funções diferenciáveis em x e y. u x z v y Então z é uma função diferenciável de x e de y, ou seja, admite derivadas parciais contínuas dadas por: x v v z x u u z x z             e y v v z y x u z y z             Exemplo: Sendo yez x sen , onde 2 stx  tsy 2  , determinar s z   e t z   .     sttsettsestyetye s y y z s x x z s z ststxx 2cossen2cossen 222222                  222222 cos2sencos2sen stsesttsesyestye t y y z t x x z t z ststxx              Caso Geral: Os casos anteriores podem-se generalizar de acordo com o número de funções e de variáveis envolvidas. Assim, sendo u uma função diferenciável de n variáveis nxxx ,..,,. 21 , onde cada jx é uma função diferenciável de m variáveis mttt ,...,, 21 , tem-se i n niii t x x u t x x u t x x u t u                  ...2 2 1 1 para cada i = 1, 2,..., m.
  31. 31. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 29 Exercícios resolvidos: 1) Sendo                  y x yxu senln),( , 2 3)( ttx  e 2 1)( tty  , calcule dt du utilizando a regra da derivação da função composta. Resolução:   2 2 3 2 4 4 4 42 2 2 2 2 1 21 cos cos 6 1sen sen 6 3 3 3 cotg cotg 1 1 2 1 1 1 x yx x yy y ydu u dx u dy t t dt x dt y dt x x t y y t t t t t t t t t                                                                2) Seja        y x yxz arctg),( , vuvux sin),(  e vuvuy cos),(  . Utilizando a regra da derivação da função composta, mostre que 0   u z e 1   v z . Resolução: x u z y v 2 2 2 2 2 2 2 1 sen cos sen cos 1 1 sen cos - sen cos 0 x z z x z y y v x vy y v v u x u y u y xx x y y u v v u v v y x                                           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sen cos sen 1 1 cos sen 1 sin cos x z z x z y yu v xu vy y u v u v v x v y v y xx x y y u v u v u v u v                                      
  32. 32. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 30 3) Sendo gfz . , em que       122 2 yxg ef y , verifique, através da aplicação das regras de derivação composta, que é verdadeira a expressão   y f g y z      1 . Resolução:                           y y g ye y f f g z g f z y 2 2 2       y f gyxye yeyeyxyfyeg y g g z y f f z y z y yyy                 122 22122 22 22 2 222 4) Sendo  zyxh ,, tal que   ee x h    0,,0 ,   10,,0    e y h e   ee z h    0,,0 , mostre que     22 1ln,,sin),( xexyhyxH y  verifica     01,01,0       y H x H . Resolução: u x h v w y        , 0,1 , , 0, ,0x y u v w e            x dx dw wvu w h yx x u wvu u h yx x H .,,,.,,,               2 22 1 2 .cos., x x w h yxy u h yx x H                 ee u h wvu u h x H               )0cos(.0,,00cos.)0(),1(),1,0(1,0          y y v wvu v h yx y u wvu u h yx y H             .,,,.,,,     y e v h xyxy u h yx x H .2.cos., 2             eee v h y H       1 .0,,01,0 ; logo,     01,01,0       y H x H f g z x y
  33. 33. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 31 5. Função definida na forma implícita Em R, geralmente, uma função está definida por uma expressão do tipo y = f(x), ou seja, y está definida como função de x na forma explícita. Por exemplo, 73 25  xxy . No entanto, por vezes, as funções são dadas de forma implícita, ou seja por uma equação do tipo F(x, y) = 0. No exemplo apresentado, seria 073 25  xxy . Dada uma equação do tipo F(x,y) = 0, nem sempre é possível explicitar uma das variáveis em função da outra. Ainda assim, em determinadas condições, continua a ser possível calcular a derivada y’(x) ou dx dy . 5.1. Teorema da Função Implícita Seja F: 2 ; se: (1)   0, 00 yxF , (2) y f x f     e existem e são contínuas numa vizinhança V de  00 , yx (3) y f     0, 00 yx então, a equação F(x, y) = 0 define implicitamente y como função de x em qualquer vizinhança de  00 , yx contida em V, isto é, existe uma função f derivável definida em V, com y = f(x), tal que f  0x = 0y e F(x, f(x)) = 0. Os pontos que verificam as condições do teorema acima chamam-se pontos ordinários. 5.2. Derivada da Função definida na forma implícita: Nas condições do teorema anterior, é possível calcular y’, ou dx dy : y F x F dx dy     
  34. 34. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 32 Exemplo: Determinar y’ se xyyx 633  . xy xy xy yx y F x F dx dy xy y F yx x F xyyxxyyx yxF 2 2 63 63 63 63 066 2 2 2 2 2 2 ),( 3333                            O Teorema da Função Implícita e a regra de derivação indicada podem ser generalizados a funções de n variáveis reais. No caso de uma equação da forma F(x,y,z) = 0, que define z como função implícita de x e y, tem-se: z F x F x z        e z F y F y z        Exemplo: Determinar y z x z     e , se 16333  xyzzyx .                                           xyz xzy xyz xzy dy z xyz yzx xyz yzx dx z xyz z F xzy y F yzx x F xyzzyxxyzzyx zyxF 2 2 63 63 2 2 63 63 63 63 63 01616 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ),,( 333333   
  35. 35. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 33 Exercícios resolvidos: 1) Admita que )(xfy  é uma função derivável definida implicitamente pela equação 12  xyxy . a) Mostre que     1)(2 )(1 ' 2    xfx xf xf , para todo o fDx  e 01)(2 xfx . b) Escreva a equação da recta tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto (0,1). Resolução: a) 011 ),( 22     yxF xyxyxyxy   1)(2 )(1 12 1 )´( 22            xxf xf xy y y F x F xf ( note-se que y = f(x) ) b) Recorde-se que a equação da recta tangente ao gráfico de uma função y = f (x) num ponto de abcissa 0x , é dada por  000 )(')( xxxfxfy  No exemplo em causa, fica   120)0('1  xyxfy 2) Sendo )(xfy  uma função definida implicitamente pela equação xyyx 633  , determinar y’ no ponto de abcissa zero. Resolução: 000 6 3 33   yyx xyyx
  36. 36. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 34 Concluimos no primeiro exemplo da página 34, que xy xy xf 2 2 )(' 2 2    . Se substituirmos x e y pelas coordenadas (0,0), fica 0 0 )(' xf , que não nos permite calcular o valor pretendido. Isso resulta do facto de   00,0    y F , o que contraria o Teorema da Função Implícita – estamos em presença de um ponto singular. Nestas condições, a técnica de cálculo da derivada é outra, que corresponde a derivar ambos os membros da igualdade em ordem a x (de acordo com o seguinte exemplo):  '6'336 2233 xyyyyxxyyx  Substituindo (x,y) por (0,0), fica 0 = 0 (esta redundância resulta em todos os pontos singulares); repetindo o processo (depois de simplificar a igualdade obtida):   0)'''(2'2''''22 0'22''6'33 2 2222   xyyyyyyyyx xyyyyxxyyyyx Substituindo (x,y) por (0,0), fica 0'0'2'2  yyy 3) Seja )(ln),( 22 yxyxg  ; calcule dx dy no ponto            2 , 2 , ee yx , em que )(xy é a função definida implicitamente por 01),( yxg . Resolução: 1)ln(),(01)ln(01),( 2222  yxyxFyxyxg                        0 22 2 2 2),( 2 , 2 22 ee e y F yx y y yxF ee é um ponto ordinário, pode ser usado qualquer um dos métodos 1º método: y yxF x yxF dx dy      ),( ),(
  37. 37. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 35                22 22 2),( 2),( yx y y yxF yx x x yxF y x yx y yx x dx dy     22 22 2 2 No ponto            2 , 2 , ee yx , 1 2 2  e e dx dy 2º método: 01)(ln 22  yx y x yyyx yx yyx    '0'220 '22 22 No ponto            2 , 2 , ee yx , 1 2 2  e e dx dy 4) Considere a função )(xy , definida na forma implícita por 2 2 3 2y x x y xy  a) Calcule a derivada dx dy nos pontos (1,1) e (0,0). Resolução: 2 2 6 ' 3 4 2 ' 'yy x y xy x y y xy     No ponto (1,1), fica: 3 2 ''1'243'6  yyyy Em (0,0) fica 0 = 0; derivando novamente, '''')'''2(2)'(4'6'6''6''6 ''243'6 2 22 xyyyyxxyxyyyyyyxyyxyy xyyyxxyyxyy   Em (0,0) fica 0''20  yy
  38. 38. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 36 b) Calcule a derivada 2 2 dx yd no ponto (0,0). Resolução: Na alínea anterior, foi obtida a expressão '''')'''2(2)'(4'6'6''6''6 2 xyyyyxxyxyyyyyyxyyxyy  simplificando, fica   0'''2''2'84'12''6'6 22  xyyyxxyyyyxyyxy Derivando novamente:              0'''''''2'''''22 '''8'4''''12''''''''6''''26 2 2   xyyyyxxy xyyyyyyyyyxyyxyyyxyy Em (0,0), com y’ = 0 (determinado em a), fica:             00''''20020080400120006006 2  yy Donde resulta 0'' 2 2  dx yd y no ponto (0,0). 6. Diferencial Seja y = f (x) uma função real de variável real em que x é a variável independente. Quando x sofre uma variação x, positiva ou negativa (a que chamamos incremento de x), y também sofre uma variação correspondente, y (que pode ser positiva, negativa ou nula). Em particular, quando x varia de x0 até x0 + x, y é a variação correspondente no valor de y, de f (x0) até f (x0 + x), conforme ilustra a figura. A variação exacta é dada por y = f (x0 + x) – f (x0).
  39. 39. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 37 y Suponhamos que f é diferenciável em x0. Como f’(x0) é o declive da reta tangente ao gráfico de f em (x0, f(x0)), dy = ’(x) dx. Então, dy é uma aproximação da variação da função f quando x varia x0 até x0 + x, ou seja   xxfxfxxfxxfxfxxfy  000000 ')()()(')()( A dy chama-se diferencial da função f e é calculado pela expressão dy = ’(x) dx. Este conceito é generalizado a funções de variável multidimensional: Seja f uma função de várias variáveis independentes, n21 ...,,, xxx . Seja ix o incremento da variável ix . Então, o incremento de )...,,,( n21 xxxfz  associado, z , é dado por  z )...,,,()...,,,( n212211 xxxfxxxxxxf nn  Para ilustrar a definição anterior, vamos considerar uma função de duas variáveis do tipo z = f (x , y) , em particular a equação de um plano: dy dx x0 + x f(x0 + x) f (x) f(x0) x0
  40. 40. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 38 Define-se diferencial dz de uma variável dependente )...,,,( n21 xxxfz  , através da igualdade n n x x f x x f x x f dz           2 2 1 1 Esta noção de diferencial pode ser utilizada no cálculo do valor aproximado de uma função num ponto: Conhecidos o ponto inicial  n21 ...,,, xxx , o ponto objectivo (após as variações) )...,,,( 2211 nn xxxxxx  e o diferencial dz, é possível calcular um valor aproximado da imagem do ponto objectivo: dzxxxfxxxxxxf nn  )...,,,()...,,,( n212211
  41. 41. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 39 Exemplo: Dada a função xyxyxf  2 3),( , calcular: a) A variação exacta de f quando (x,y) varia de (1,2) para (1,01 ; 1,98). 065,01065,1)2,1()98,1;01,1(  fff b) O diferencial da função.     yxxyxy y f x x f df        6 c) Um valor aproximado da variação de f, calculado com recurso à expressão do diferencial, quando (x , y) varia de (1,2) para (1,01;1,98).       06,0 02,004,0 14 02,0298,1 01,0101,1 6 )2,1()2,1(                              f f yxf y y f x x f f y x yxxyxy y f x x f f d) Um valor aproximado de f(1,01;1,98), calculado com recurso à expressão do diferencial. 06,1)98,1;01,1( 06,01)98,1;01,1( 06,0)2,.1()98,1;01,1(    f f fff
  42. 42. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 40 Exercício resolvido: Calcule, usando a noção de diferencial, um valor aproximado de 98,005,0 22 01,2  e . Resolução: Por analogia com a expressão enunciada, considera-se zy ezyxf x 22 ),,(   Ponto inicial: (2 , 0 , 1) Ponto objectivo: (2,01 ; 0,05 ; 0,98) 02,0198,0 05,0005,0 01,0201,2    z y x 2 )1,0,2( 22 e x f zy e x f x              0 2 2 )1,0,2( 22 22                y f zy zy y e y f x 2 )1,0,2( 22 22 2 2 e z f zy zy z e z f x                então     2217,002,005,0001,0 22 )1,0,2()1,0,2()1,0,2(                           feef z z f y y f x x f f donde resulta 61,7 98,005,01098,005,0 22 01,2 22 2 22 01,2       ef ee
  43. 43. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 41 7. Polinómio de Taylor Seja f uma função real de variável real com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., n numa vizinhança de a  fDa . Então, pode ser definido polinómio de Taylor de ordem n gerado por f no ponto a: n n k k k n k k n ax n af ax k af ax af axafaf ax k af xP )( ! )( ...)( ! )( ...)( !2 )´´( ))(´()( )( ! )( )( )()( 2 0 )(    No caso particular de a = 0, chama-se polinómio de Mac-Laurin:    n k n n k k x n f x f xffx k f 0 )( 2 )( ! )0( ... !2 )0´´( )0´()0( ! )0( Estes conceitos, podem ser generalizados a funções de variável multidimensional, em particular à funções de duas variáveis: Seja f (x,y) uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem, contínuas numa vizinhança do ponto  00, yx . Então o polinómio de Taylor de 1º grau é dado pela expressão          yy y f xx x f yxfxP yxyx 0 0,0 0 0,0 00,)(                  ; analogamente Seja f (x,y) uma função que admite derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem numa vizinhança do ponto  00, yx . Então o polinómio de Taylor de 2º grau é dado pela expressão                        2 2 ,)( 0 2 2 2 0,0 00 2 0,0 0 2 2 2 0,0 0 0,0 0 0,0 00 yy y f yyxx yx f xx x f yy y f xx x f yxfxP yxyx yxyxyx                                            
  44. 44. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 42 O polinómio de Taylor permite calcular um valor aproximado de uma função num ponto, através de uma aproximação polinomial. A aproximação através do polinómio de Taylor de grau 1, corresponde à aproximação com recurso ao diferencial, vista no ponto anterior. A aproximação através do polinómio de Taylor de grau 2 é mais precisa, conforme pode ser verificado através do exemplo do ponto anterior: xyxyxf  2 3),( Fazendo o desenvolvimento em torno do ponto (1,2)                        2 2 21 2 1 212,1);( 2 2 2 2,1 2 2,1 2 2 2 2,12,12,1                                             y y f yx yx f x x f y y f x x f fyxf   46 2,1            x f yx x f   1 2,1            y f x y f 62 2    x f 1 2    yx f 02 2    y f                   0605,1)98,1;01,1( 298,1101,1)1(101,13298,1)1(101,141)98,1;01,1( 21)1(132)1(141);( 2 2    f f yxxyxyxf Recorde-se que o valor aproximado calculado com recurso ao diferencial (ou polinómio de Taylor de 1ª ordem) foi 1,06. O valor exacto calculado pela máquina é 1,0605.
  45. 45. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 43 8. Homogeneidade Uma função RRf n : é uma função homogénea de grau k ( )Rk  se e só se       RDxxxxxxfxxxf fnn k n   ,,...,,,,...,,,...,, 212121 Exemplos: 1) 4 4 2 2 ( , ) 2 3f x y x y x y              4 4 2 2 4 4 4 2 2 4 ( , ) 2 3 2 3 ,f x y x y x y x y x y f x y              Logo f é uma função homogénea de grau 4. 2)     baa LCKCLKV 1 21,                   LKVLCKC LCKCLCKCLKV b a LKV baaba baaaabaa , , , 1 21 1 1 21 1 21            Logo V é uma função homogénea de grau b a . 3)   12, 2  aabbag       1212, 222  aabababag  Não é possível isolar a função, colocando uma potência de base  em evidência; logo, g não é uma função homogénea.
  46. 46. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 44 Teorema de Euler Seja RRf n : uma função homogénea de grau k ( )Rk  ; então, tem-se que  nn n xxxfkx x f x x f x x f ,...,, 212 2 1 1          em todos os pontos do Dfddddd Exemplo: Foi visto num exemplo anterior que a função 4 4 2 2 ( , ) 2 3f x y x y x y   é homogénea de grau 4. Para verificar o Teorema de Euler, deve ser verificada a igualdade  yxfy y f x x f ,4            ),(42348124 68646864 42244224 2242242323 yxfyyxxyyxx yxyyxxyyxyxxyxy y f x x f        Nota: Seja RRf n : uma função homogénea de grau k ( )Rk  ; então, as primeiras derivadas parciais de f, se existirem, são homogéneas de grau 1k . Exemplo: 4 4 2 2 ( , ) 2 3f x y x y x y   23 64 xyx x f            yx x f yxxyxxyx x f ,6464, 3223323       homogénea de grau 3
  47. 47. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 45 Exercícios resolvidos: 1. Para produzir determinado bem empregam-se dois factores produtivos 1FP e 2FP nas quantidades anuais x e y respectivamente. A função de produção é dada por 6,05,0 100),( yxyxP  . a) Verifique que a função P(x,y) é homogénea e determine o seu grau de homogeneidade. b) Determine a variação provocada em P pela diminuição percentual simultânea de 20% nos dois factores 1FP e 2FP . Resolução: a)     ),(100100),( 1,16,06,05,05,06,05,0 yxPyxyxyxP   Logo, P é homogénea de grau 1,1. b) ),(78,0),(8,0)8,0;8,0( 1,1 yxPyxPyxP  Conclusão: quando os dois factores diminuem 20%, P diminui 22%. 2. Dada a função   2/ ),(   yx yx yxh    Determine  de modo a que o grau de homogeneidade de ),( yxh seja 1. Nota: Quando a homogeneidade é de grau 1, diz-se que é Homogeneidade Linear. Resolução:           ),(),( 2/ 2/2/2/2/2/ yxh yx yx yx yx yx yx yxh                            21 2    .
  48. 48. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 46 3. As funções reais ),,( 321 xxxf e ),,( 321 xxxg são homogéneas de graus m e p , respectivamente. a) Das funções a seguir indicadas, quais as homogéneas (indicando o grau)? i) gf  ii) gf  iii) g f b) Se m = 2, uma variação positiva simultânea de 10% de 1x , 2x e 3x , permite quantificar a variação de f . Qual é essa variação? c) Se p = 3, qual o valor de 1x g   no ponto (1,0,0), sabendo que 4)0,0,1( g ? Resolução: a) i) gf  será homogénea se m = p; nessas condições será homogénea de grau m. ii) gf  é homogénea de grau m + n:     ),,(),,(),,( ),,(),,(),,( 321321321 321321321 xxxgfxxxgxxxf xxxgxxxfxxxgf pmpm      iii) g f é homogénea de grau pm  : ),,( ),,( ),,( ),,( ),,( ),,( 321 321 321 321 321 321 xxx g f xxxg xxxf xxxg xxxf xxx g f pm p m         b) ),,(21,1),,(1,1)1,1;1,1;1,1( 321321 2 321 xxxfxxxfxxxf  Conclusão: quando 1x , 2x e 3x sofrem uma variação positiva simultânea de 10%, ou seja, aparecem afectados do factor multiplicativo 1,1  xxxxx 1,11,0%10  , a variação de f é de 21%. c) Pelo Teorema de Euler,  321 3 3 2 2 1 1 ,,3 xxxg x g x x g x x g x           ; no ponto (1,0,0),
  49. 49. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 47 9. Optimização 9.1. Extremos de funções com duas variáveis Dada uma função f (x,y), dizemos que ela tem um máximo relativo (ou local) num ponto P0  00, yx se existe uma vizinhança de P0 de modo que:   ),(, 00 yxfyxf  para todo ponto (x, y) do domínio de f na referida vizinhança. Analogamente, dizemos que f tem um mínimo relativo num ponto P0  00, yx se existe uma vizinhança de P0 de modo que:   ),(, 00 yxfyxf  para todo ponto (x, y) do domínio de f na referida vizinhança. f tem um máximo absoluto em P0 se   ),(, 00 yxfyxf  para todos os pontos (x, y) do domínio de f e o valor máximo é  00, yxf ; analogamente, f tem um mínimo absoluto em P0 se   ),(, 00 yxfyxf  para todos os pontos (x, y) do domínio de f e o valor mínimo é  00, yxf . O Teorema do Valor Extremo garante que se f (x,y) é uma função contínua num conjunto fechado e limitado, então admite máximo e mínimo absolutos em R. Se a função tem máximo ou mínimo relativo, dizemos que ela tem extremo relativo no ponto; e se ela tem máximo ou mínimo absoluto, diz-se que ela tem extremo absoluto no ponto.
  50. 50. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 48 9.2. Cálculo de extremos livres de funções com duas variáveis Seja f uma função de duas variáveis; o ponto  00, yx é ponto crítico de f se:                         0 0 )0,0( )0,0( yx yx y f x f ou se uma ou ambas derivadas parciais de primeira ordem não existirem em  00, yx . Teorema: Se RRf 2 : tem um máximo ou mínimo relativo num ponto  00, yx , então  00, yx é um ponto crítico da função f. Como apenas vão ser estudadas funções diferenciáveis, o ou os pontos (x,y) que resultam das soluções do sistema apresentado acima são os pontos críticos, ou seja, os pontos onde poderá existir extremo. São as condições de 1ª ordem. Calculados os pontos críticos, para determinar a sua natureza, usam-se as condições de 2ª ordem: sendo 2 2 2 222 y f x f yx f                  ,                                             seladepontouméquese-dizextremo;existenão,xpontono0 ,xpontodonaturezaasobreconcluirpodesenada0 ,xemrelativomáximoumadmitef0 ,xemrelativomínimoumadmitef0 0 00 00 002 2 002 2 y y y x f y x f
  51. 51. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 49 Exemplo: 1) Estudar a existência e natureza dos extremos de 8342),( 22  xyxyxyxf .                    2 1 2 082 0322 y x yx y f yx x f ponto crítico        2 1 ,2   02012822 2 8 2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2                                       x f e y f x f yx f yx f y f x f Logo, a função f admite um mínimo no ponto        2 1 ,2 de valor 11 2 1 ,2       f . 2) Estudar a existência e natureza dos extremos de 22 ),( xyyxf  .                   0 0 02 02 y x y y f x x f ponto crítico  0,0   04220 0 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2                                    y f x f yx f yx f y f x f Logo, a função f tem, em (0,0), um ponto de sela. 22 xyz  P  y x z
  52. 52. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 50 3) Calcular e classificar os pontos críticos da função 343 3 4 3 1 ),( 233  yxxyxyxF . As condições de 1ª ordem dão origem ao sistema                            11 31 044 023 0 0 2 2 yy xx y xx y F x F Os pontos criticos são (-1,-1), (-1,1), (3,-1) e (3,1). Observando o quadro: (-1,-1) (-1,1) (3,-1) (3,1) 222 2    x x F - 4 - 4 4 4 y y F 82 2    - 8 8 - 8 8 0 2    yx F 0 0 0 0 22            yx F -    2 2 x F 2 2 y F   - 32 32 32 -32 conclui-se que: em (-1,-1) existe um máximo de valor 3 4 )1,1( F em (3,1) existe um mínimo de valor 3 44 )1,3( F os pontos (-1,1), (3,-1) são pontos de sela.
  53. 53. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 51 Nota: Os extremos absolutos podem ser identificados pela definição. Por exemplo: 1) Sendo 22 1),( yxyxf  , sabemos que 1),(110 2222  yxfyxyx 1 é menor ou igual a todas as imagens por f; o seu valor é atingido para o mínimo valor de 22 yx  , ou seja, no ponto (0,0). Assim, f admite um mínimo absoluto em (0,0) cujo valor é f(0,0) = 1. 2) Sendo 22 5),( yxyxg  , sabemos que 55000 22222222  yxyxyxyx Ou seja, f admite um máximo absoluto em (0,0) cujo valor é f(0,0) = 5. 9.3. Cálculo de extremos condicionados de funções com duas variáveis 9.3.1. Condições de igualdade – método da Função Auxiliar de Lagrange Seja f(x,y) uma função real com duas varáveis reais e g(x,y) = 0 uma condição que relaciona as duas variáveis x e y (chamada condição de ligação). Teorema de Lagrange: Seja f uma função de duas variáveis independentes x e y com derivadas de primeira ordem contínuas e g uma função de duas variáveis independentes x e y com primeiras derivadas contínuas não nulas. Se f admite um extremo ),( 00 yxf quando sujeito à restrição g(x, y) = 0, então existe um número real  (chamado multiplicador de Lagrange) tal que                                                          0,00,00,00,0 ,, yxyxyxyx x g x g x f x f  .
  54. 54. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 52 Como consequência desse teorema, surge o método dos multiplicadores de Lagrange para cálculo e classificação dos pontos críticos de uma função f(x,y) sujeita a uma determinada restrição g(x,y) = 0: (1) Construção da Função Auxiliar de Lagrange (ou Lagrangeana) ),(),(),,( yxgyxfyxL   (2) Resolução do sistema                   0),(0 0 0 yxg L y L x L  Os pontos (x,y) que verificam o sistema são os pontos críticos da função f(x,y) sujeita à restrição g(x,y) = 0; ou seja, caso a função admita extremos, estes estão entre os pontos determinados. (3) Análise da natureza dos pontos críticos, através das condições de 2ª ordem, semelhantes às indicadas para os extremos livres; assim, sendo 2 2 2 222 y L x L yx L                 ,                                             ,xpontodonaturezaasobreconcluirpodesenada0 ,xpontodonaturezaasobreconcluirpodesenada0 ,xemrelativomáximoumadmite0 ,xemrelativomínimoumadmite0 0 00 00 002 2 002 2 y y yf x L yf x L
  55. 55. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 53 Exemplo: 1) Um produto P pode ser fabricado em duas máquinas diferentes. Sendo x a quantidade produzida na máquina 1 e y a quantidade produzida na máquina 2, o custo de produzir o produto P em cada uma das máquinas é dado por: Custo de produzir P na máquina 1: 2 52 xx  Custo de produzir P na máquina 2: 2 43 yy  Pretende-se determinar as quantidades a produzir em cada uma das máquinas de forma a minimizar o custo total de produção, sabendo que é necessário satisfazer uma procura prevista de 50 unidades do produto P. Pretende-se minimizar a função 22 4352),( yyxxyxf  , com a condição de ligação 50 yx .                                                 18 401 18 499 9 2023 50 10283 102 50 83 102 050 083 0102 )504352),,( 22 x y yx xy x yx y x yx L y y L x x L yxyyxxyxL         ( 0100810 0 8 10 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2                                       x L e y L x L yx L yx L y L x L Logo, as quantidades        18 499 , 18 401 ),( yx minimizam o custo total de produção do produto P.
  56. 56. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 54 2) Calcular os pontos críticos e, se possível, determinar a sua natureza, da função yxyxyxf  3),( 2 , sujeita à condição 2 xy  - 0 ),( 22   yxg xyxy ; então )3),,( 22 xyyxyxyxL  ( .                                                           3 1 81 16 9 4 1 0 0 13 049 13 02632 0 013 0232 2 2 2 22 2       y x y x xy x xx xy x xxxx xy L x y L xyx x L    2 2 , , 3L x y x xy y y x      pontos críticos: (0,0) para 1   e 4 16 , 9 81       para 1 3   . (0,0) ( 1   ) 4 16 , 9 81       ( 1 3   ) 222 2    x L 4 3 4 02 2    y L 0 0 3 2    yx L -3 -3 2 2 2 222 y L x L yx L                 9 9 Como este exemplo demonstra, há casos em que o método da Função Auxiliar de Lagrange não permite determinar a natureza do ponto crítico. Neste exemplo, um método alternativo seria substituir, em f, y por 2 x e determinar os extremos da função f(x) pelo método habitual. Tal não é do âmbito desta cadeira.
  57. 57. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 55 Quando a condição de ligação define em 2 R um conjunto fechado e limitado, deverá ser tido em conta o Teorema do Valor Extremo: Seja uma função f, real de duas variáveis reais, contínua no seu domínio, definida num domínio fechado e limitado; então o conjunto das imagens de f é um conjunto limitado de números reais e f possui valores máximo e mínimo absolutos nesse domínio. Exemplo: Seja a função xyyxf ),( condicionada pela elipse 44 22  yx . )44),,( 22  yxxyyxL (                                                                                                        4 1 2 2 2 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 12 2 4 044 2 0 4 044 02 08 22 2 22 2 22 22 2 22      y x y x y x y x y x y x x y x xy x y x xy yx y x y x y yx L yx y L xy x L  O sistema foi resolvido sob o pressuposto 0y ; note-se que se y = 0, então x = 0, valores que não verificam a condição de ligação. Assim, pontos críticos:         2, 2 2 e          2, 2 2 para 4 1           2, 2 2 e          2, 2 2 para 4 1 
  58. 58. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 56         2, 2 2        4 1           2, 2 2        4 1           2, 2 2        4 1           2, 2 2        4 1  82 2    x L - 2 - 2 2 2 22 2    y L 2 1  2 1  2 1 2 1 1 2    yx L 1 1 1 1 2 2 2 222 y L x L yx L                 0 0 0 0 O método da Função Auxiliar de Lagrange não permitiu determinar a natureza dos pontos críticos. No entanto, como a condição de ligação define um domínio fechado e limitado para a função (já que se trata de uma elipse), pode-se concluir que y curvas de nível da função f(x,y) = xy          2, 2 2         2, 2 2 -1 1 x          2, 2 2          2, 2 2 f admite máximos relativos em         2, 2 2 e          2, 2 2 , ambos de valor 1; f admite mínimos relativos em          2, 2 2 e          2, 2 2 , ambos de valor -1.
  59. 59. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 57 9.3.1. Condições de desigualdade – método de Karush-Kuhn-Tucker Seja ),( yxfo que pretendemos minimizar, referenciada como função objectivo, sujeita às condições de desigualdade                nn cyxg cyxg cyxg , ... , , 22 11 para Rccc n ...,,, 21 (1) Construção da Lagrangeana   n i iin yxgyxfyxL 1 01 ),(),(),...,,,(  . (2) Definição das condições de Karush-Kuhn-Tucker (K-K-T): as condições de K-K-T para o problema são (3) Os pontos (x, y) para os quais existem constantes reais não negativas n ,...,1 que satisfazem as condições enunciadas chamam-se pontos de K-K-T. Mediante a satisfação de determinadas condições relativas às funções envolvidas, pode afirmar-se que as condições de K-K-T são condições necessárias e suficientes para a existência de extremo. Problemas de maximização transformam-se em problemas de minimização da função simétrica de 0f , ou seja  ),(min),(max 00 yxfyxf  .                     0 ,...,1,0),( ,...,1,0),( 0 0 i i ii niyxg niyxg y L x L  
  60. 60. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 58 Exemplo: 1) Máximo de f (x,y) = x + y, sujeita às condições x < 2, y < 4, x > 0 e y > 0. Máximo de f(x,y) = x + y, é o mínimo de f(x,y) = - x – y. Por outro lado, as das condições com desigualdades têm que ser alteradas para x - 2 < 0, y – 4 < 0, - x < 0 e - y < 0. Assim:        yxyxyxyxL  43214321 42),,,,,(  10 10 4 3     2 1 impossível porque 03  e 04  . Logo x = 2 e y = 4. Facilmente se verifica que o ponto (2,4) verifica as restantes condições de K-K-T. Logo, em (2,4) a função admite um máximo de valor 6.                                                    0 0 0 0 00 00 404 202 000 000 4004 2002 01 01 4 3 2 1 44 33 22 11 42 31           yy xx yy xx yy xx yy xx
  61. 61. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 59 Graficamente: y 4 (2,4) x + y = 6 0 x 2 x + y = 0 2) Mínimo de yxyxg  )1ln(),( , com 2x + y < 2, x > 0 e y > 0.        yxyxyxyxL  321321 221ln),,,,(    10 0 12 1 02 1 1 0 1 11         3 2 xx impossível porque 03  e 04  . Logo x = 0 e y = 0; facilmente se verifica que o ponto (0,0) verifica as restantes condições de K-K-T. No ponto (0,0) existe um mínimo de valor 0.                                          0 0 0 00 00 022 000 000 0220022 01 02 1 1 3 2 1 33 22 11 31 21         yy xx yx yy xx yxyx x
  62. 62. Funções reais de várias variáveis reais Margarida Macedo – FEG_UCP 60 Bibliografia: Larson, R., e Edwards, B., Cálculo com aplicações. Livros Técnicos e Científicos Editora Swokowski, E., Cálculo com Geometria Analítica. Makron Books Hoffmann & Bradley, Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences. McGraw-Hill Weber, J., Matemática para Economia e Administração. Harbra Pires, Cesaltina, Cálculo para Economistas. McGraw-Hill Piskounov, N., Cálculo Diferencial e Integral (volume I). Lopes da Silva Editora Dowling, E., Matemática Aplicada à Economia e Administração. McGraw-Hill Demidovitch, B., Problemas e Exercícios de Análise Matemática. McGraw-Hill

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