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FÍSICA


                                GRANDEZAS E VETORES
1. INTRODUÇÃO                                                    Resposta:
       Define-se como grandeza tudo aquilo que pode                    Volume = 10 + 20 = 30l
ser medido. O universo das grandezas é dividido em
dois grandes grupos, as escalares e as vetoriais. As             3. OPERAÇÕES COM GRANDEZAS VETO-
grandezas que ficam completamente determinadas                      RIAIS
por seu valor numérico e uma unidade adequada são                       A adição e a subtração de grandezas vetoriais
denominadas de escalares. Por exemplo, quando o                  necessitam de uma nova álgebra. Como exemplo,
noticiário diz que em Palmas a temperatura é de                  consideramos os deslocamentos feitos por uma pes-
32°C, conseguimos entender a mensagem claramente                 soa que anda com um mapa procurando um tesouro.
sem a necessidade de complemento. Outros exemplos                Observe que no mapa não se pode escrever somente:
de grandezas escalares são: área, volume, massa, e-              ande 20 passos! Para onde? Os deslocamentos são
nergia, tempo, carga elétrica.                                   grandezas vetoriais que precisam, portanto, de orien-
       Existem, por outro lado, grandezas físicas que            tação.
exigem para sua completa compreensão, além do seu                       Assim, o mapa deve conter informações como
valor numérico, o conhecimento de uma direção ori-               direção e sentido. Informações do mapa:
entada. Tais grandezas são denominadas de vetoriais.                       A partir do ponto A, ande 20 passos para o
Como exemplo, veja o esquema do mapa na figura 2                           Norte, em seguida, ande 6 passos para o
– observe que é necessário dizer para onde os passos                       Leste e, finalmente, 12 passos para o Sul.
devem ser dados, ou seja, é preciso orientação.                            Quantos passos a pessoa deu? 38 passos.
       As grandezas vetoriais são representadas por
um ente matemático denominado vetor, que se carac-
                                                                                                           N
teriza por apresentar módulo, direção e sentido. Gra-                           06
ficamente representamos um vetor por um segmento
                                                                                        12           O             L
orientado (fig. 1) e indicado por uma letra qualquer,
                                           r                           20
sobre a qual se coloca uma pequena seta ( v ) .
                                                                                       B                   S

                                                                       A        dr                            Figura 2
         1cm    1cm                   Reta suporte r
                                                                        Se a pessoa fosse direto de A para B, andando
                                            Direção
                                                                 o segmento dr , chamado aqui de Deslocamento Re-
O                     P                                          sultante, ela teria andado 10 passos. Como este cálcu-
                          Sentido           Figura 1
                                                                 lo é feito?
                                                                        Devemos subtrair vetores com sentidos opos-
      A direção do vetor é a mesma da reta suporte r.            tos, assim temos 20 – 12 = 8. Os vetores 6 e 8 são
O sentido é de O para P dado pela ponta da seta. O               perpendiculares entre si. Utilizamos aqui o Teorema
módulo é o comprimento do vetor. Na figura 1, o                  de Pitágoras para nos fornecer o deslocamento resul-
módulo do vetor vale 2cm.                                        tante dr .
2. OPERAÇÕES COM GRANDEZAS ESCA-
   LARES                                                                                   6
2.1. Soma e subtração de grandezas
escalares                                                                        8
      Para se somar ou subtrair grandezas escalares,                                         dr
devemos aplicar a álgebra já conhecida do 1º grau.
Vejamos um exemplo: em 10l de água quente, são
adicionados 20l de água fria. Qual o volume total de                                       dr2 = 82 + 62
água?
                                                                                           dr2 = 64 + 36
                                                                                      dr = 100      dr = 10
                                                                                          passos

Editora Exato                                             7
Este método de adicionar vetores é chamado                         3.3. Soma de vetores que formam en-
de regra origem–extremidade: a resultante vai da ori-                     tre si um ângulo reto ( α = 90°)
gem do primeiro vetor até a extremidade do último
vetor.
         Considere os vetores V1 e V2 da figura abaixo.
Pela regra origem–extremidade, temos:
                                                                                                            VR
                                                                                          V1
                                                           V2

     V1                                V1

                                                   V
                                                                                                             V2

          V2

                                                                                         VR = V12 + V2
                                                                                          2          2
                                                                                                            Teorema de Pitágoras
                                   V = V1 + V2

Casos Particulares:                                                                        ESTUDO DIRIGIDO
3.1. Soma de vetores com a mesma di-                                      1   Defina grandeza escalar, citando 2 exemplos.
reção e sentido.
     O ângulo formado entre os vetores é de 0°.


                                             VR = A + B Intensidade       2   Defina grandeza vetorial, citando 2 exemplos.
     A              A        B
                                       A+B
                        VR
     B
                                        VR         Vetor Resultante
                                                                          3   Desenhe:
                                                                              a) dois vetores com mesma direção e sentido.
Exemplo:                                                                      b) dois vetores com mesma direção e sentidos
                        F1 = 4N
                                                                                 opostos.
                                             FR= F1 + F2
                                             FR= 4 + 3

                        F2 = 3N
                                             FR= 7N                                  EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

                                                                          1   Um homem caminha 4 passos para Leste e de-
3.2. Soma de dois vetores de mesma                                            pois 3 passos para o Sul. Qual o seu deslocamen-
direção e sentidos opostos.                                                   to resultante?
     O ângulo formado entre os vetores é de 180°                                 Resolução:
                                                                                 Pontos cardeais
                                                                                          N
                                 (+)                                                NO          NE

                A                       A
                                                                                O                     E


                B                  VR        B
                                                                                    SO          SE
                                   VR = A+ (-B)                                           S               , oriente-se
                                    VR = A - B Intensidade
                                                                                                     4 passos
                                                                                                                    E

                                                                                                 DR                 3 passos


                                                                                                                   S




Editora Exato                                                         8
DR 2 = D12 + D 22                                        c) Teorema de Pitágoras
              1   2   2
         DR = 4 + 3
         DR 2 = 16 + 9
         DR 2 = 25                                                             DR
                                                                           6                 8 DR 2 = 62 + 82
         DR = 25
                                                                                                     DR 2 = 36 + 64
         DR = 5passos
                                                                                                     DR 2 = 100
         O deslocamento resultante (DR) foi de 5 pas-                                                DR = 100
sos.                                                                                                 DR = 10


2      Some os vetores abaixo.                                    d) Aqui basta subtrair 5 de 8, pois são vetores
         a)                                                 opostos; e usar depois o Teorema de Pitágoras. A-
                                                            companhe:
                             3
                                                                           4                 4
                                     5
                                                                       8       5       3                 DR 2 = 42 + 32
                                                                                                 DR
         b)                                                                                              DR 2 = 16 + 9
                                                                           8-5=3                         DR 2 = 25
                                     7
                                                                                                         DR = 25
                                          3
                                                                                                         DR = 5

         c)

                                 6                                             EXERCÍCIOS
                                         8
                                                            1   Se somarmos dois vetores de módulo 20 e 8, que
         d)                                                     tenham mesma direção e sentido, qual será o mó-
                                                                dulo do vetor resultante?
                                      4

                             8                5             2   Calcule o módulo do vetor soma (resultante), dos
                                                                seguintes casos:
                                                                  a)
         Resolução:
                                                                                             10
         a) Basta somar
                                                                                   6
                                 3    5
                                 DR= 8                            b)

                                                                               7                         9

         b) Basta subtrair                                        c)
                                 7
                                        3
                                     DR = 4
                                                                               5
                                                                                       90º
                                                                                             12

                                                                  d)


                                                                                   2

                                                                                       60º
                                                                                                 2




Editora Exato                                           9
3   Um homem está sobre um ônibus cuja velocidade
    é de 60km/h em relação ao solo. Se o homem
    começar a andar com uma velocidade de 3km/h
    em relação ao ônibus, qual a velocidade do ho-
    mem em relação ao solo, se ele anda na mesma
    direção e sentido do ônibus?

4   Assinale a alternativa que contém apenas grande-
    zas vetoriais.
    a) tempo, força, energia.
    b) força, velocidade, temperatura.
    c) energia, corrente elétrica e quantidade de mo-
       vimento.
    d) força, aceleração e quantidade de movimento.
    e) tempo, espaço e energia.

5   Determinado veículo gasta 2h numa viagem de
    Brasília a Goiânia. Sabendo que o carro percorreu
    uma distância de 210km e que a distância entre as
    duas cidades, em linha reta, é de 170km, calcule
    o módulo da velocidade escalar média e da velo-
    cidade vetorial média do veículo.


                    GABARITO

Estudo dirigido
1   É a grandeza física que fica perfeitamente defini-
    da com um número e uma unidade, ou seja, não
    precisa de orientação. Exemplos: massa, tempo.
2   É a grandeza física que além do número e unida-
    de precisa de orientação (direção e sentido).
3
    a)                  b)
Exercícios
1   28
2    a)16
     b)2
     c)13
     d) 2 3
3   63km/h.
4   D
5   105km/h e 85km/h




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03 grandezas e vetores

  • 1. FÍSICA GRANDEZAS E VETORES 1. INTRODUÇÃO Resposta: Define-se como grandeza tudo aquilo que pode Volume = 10 + 20 = 30l ser medido. O universo das grandezas é dividido em dois grandes grupos, as escalares e as vetoriais. As 3. OPERAÇÕES COM GRANDEZAS VETO- grandezas que ficam completamente determinadas RIAIS por seu valor numérico e uma unidade adequada são A adição e a subtração de grandezas vetoriais denominadas de escalares. Por exemplo, quando o necessitam de uma nova álgebra. Como exemplo, noticiário diz que em Palmas a temperatura é de consideramos os deslocamentos feitos por uma pes- 32°C, conseguimos entender a mensagem claramente soa que anda com um mapa procurando um tesouro. sem a necessidade de complemento. Outros exemplos Observe que no mapa não se pode escrever somente: de grandezas escalares são: área, volume, massa, e- ande 20 passos! Para onde? Os deslocamentos são nergia, tempo, carga elétrica. grandezas vetoriais que precisam, portanto, de orien- Existem, por outro lado, grandezas físicas que tação. exigem para sua completa compreensão, além do seu Assim, o mapa deve conter informações como valor numérico, o conhecimento de uma direção ori- direção e sentido. Informações do mapa: entada. Tais grandezas são denominadas de vetoriais. A partir do ponto A, ande 20 passos para o Como exemplo, veja o esquema do mapa na figura 2 Norte, em seguida, ande 6 passos para o – observe que é necessário dizer para onde os passos Leste e, finalmente, 12 passos para o Sul. devem ser dados, ou seja, é preciso orientação. Quantos passos a pessoa deu? 38 passos. As grandezas vetoriais são representadas por um ente matemático denominado vetor, que se carac- N teriza por apresentar módulo, direção e sentido. Gra- 06 ficamente representamos um vetor por um segmento 12 O L orientado (fig. 1) e indicado por uma letra qualquer, r 20 sobre a qual se coloca uma pequena seta ( v ) . B S A dr Figura 2 1cm 1cm Reta suporte r Se a pessoa fosse direto de A para B, andando Direção o segmento dr , chamado aqui de Deslocamento Re- O P sultante, ela teria andado 10 passos. Como este cálcu- Sentido Figura 1 lo é feito? Devemos subtrair vetores com sentidos opos- A direção do vetor é a mesma da reta suporte r. tos, assim temos 20 – 12 = 8. Os vetores 6 e 8 são O sentido é de O para P dado pela ponta da seta. O perpendiculares entre si. Utilizamos aqui o Teorema módulo é o comprimento do vetor. Na figura 1, o de Pitágoras para nos fornecer o deslocamento resul- módulo do vetor vale 2cm. tante dr . 2. OPERAÇÕES COM GRANDEZAS ESCA- LARES 6 2.1. Soma e subtração de grandezas escalares 8 Para se somar ou subtrair grandezas escalares, dr devemos aplicar a álgebra já conhecida do 1º grau. Vejamos um exemplo: em 10l de água quente, são adicionados 20l de água fria. Qual o volume total de dr2 = 82 + 62 água? dr2 = 64 + 36 dr = 100 dr = 10 passos Editora Exato 7
  • 2. Este método de adicionar vetores é chamado 3.3. Soma de vetores que formam en- de regra origem–extremidade: a resultante vai da ori- tre si um ângulo reto ( α = 90°) gem do primeiro vetor até a extremidade do último vetor. Considere os vetores V1 e V2 da figura abaixo. Pela regra origem–extremidade, temos: VR V1 V2 V1 V1 V V2 V2 VR = V12 + V2 2 2 Teorema de Pitágoras V = V1 + V2 Casos Particulares: ESTUDO DIRIGIDO 3.1. Soma de vetores com a mesma di- 1 Defina grandeza escalar, citando 2 exemplos. reção e sentido. O ângulo formado entre os vetores é de 0°. VR = A + B Intensidade 2 Defina grandeza vetorial, citando 2 exemplos. A A B A+B VR B VR Vetor Resultante 3 Desenhe: a) dois vetores com mesma direção e sentido. Exemplo: b) dois vetores com mesma direção e sentidos F1 = 4N opostos. FR= F1 + F2 FR= 4 + 3 F2 = 3N FR= 7N EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Um homem caminha 4 passos para Leste e de- 3.2. Soma de dois vetores de mesma pois 3 passos para o Sul. Qual o seu deslocamen- direção e sentidos opostos. to resultante? O ângulo formado entre os vetores é de 180° Resolução: Pontos cardeais N (+) NO NE A A O E B VR B SO SE VR = A+ (-B) S , oriente-se VR = A - B Intensidade 4 passos E DR 3 passos S Editora Exato 8
  • 3. DR 2 = D12 + D 22 c) Teorema de Pitágoras 1 2 2 DR = 4 + 3 DR 2 = 16 + 9 DR 2 = 25 DR 6 8 DR 2 = 62 + 82 DR = 25 DR 2 = 36 + 64 DR = 5passos DR 2 = 100 O deslocamento resultante (DR) foi de 5 pas- DR = 100 sos. DR = 10 2 Some os vetores abaixo. d) Aqui basta subtrair 5 de 8, pois são vetores a) opostos; e usar depois o Teorema de Pitágoras. A- companhe: 3 4 4 5 8 5 3 DR 2 = 42 + 32 DR b) DR 2 = 16 + 9 8-5=3 DR 2 = 25 7 DR = 25 3 DR = 5 c) 6 EXERCÍCIOS 8 1 Se somarmos dois vetores de módulo 20 e 8, que d) tenham mesma direção e sentido, qual será o mó- dulo do vetor resultante? 4 8 5 2 Calcule o módulo do vetor soma (resultante), dos seguintes casos: a) Resolução: 10 a) Basta somar 6 3 5 DR= 8 b) 7 9 b) Basta subtrair c) 7 3 DR = 4 5 90º 12 d) 2 60º 2 Editora Exato 9
  • 4. 3 Um homem está sobre um ônibus cuja velocidade é de 60km/h em relação ao solo. Se o homem começar a andar com uma velocidade de 3km/h em relação ao ônibus, qual a velocidade do ho- mem em relação ao solo, se ele anda na mesma direção e sentido do ônibus? 4 Assinale a alternativa que contém apenas grande- zas vetoriais. a) tempo, força, energia. b) força, velocidade, temperatura. c) energia, corrente elétrica e quantidade de mo- vimento. d) força, aceleração e quantidade de movimento. e) tempo, espaço e energia. 5 Determinado veículo gasta 2h numa viagem de Brasília a Goiânia. Sabendo que o carro percorreu uma distância de 210km e que a distância entre as duas cidades, em linha reta, é de 170km, calcule o módulo da velocidade escalar média e da velo- cidade vetorial média do veículo. GABARITO Estudo dirigido 1 É a grandeza física que fica perfeitamente defini- da com um número e uma unidade, ou seja, não precisa de orientação. Exemplos: massa, tempo. 2 É a grandeza física que além do número e unida- de precisa de orientação (direção e sentido). 3 a) b) Exercícios 1 28 2 a)16 b)2 c)13 d) 2 3 3 63km/h. 4 D 5 105km/h e 85km/h Editora Exato 10