Geometria Espacial

E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática – Profº. Nélio Nahum 1
 Geometria Espacial. pequenos volumes costumamos usar o litro, como no caso
da caixa de leite.
Nesta unidade você estudará as propriedades de
figuras espaciais, tais como: o cubo, o paralelepípedo, a
esfera, o cilindro, entre outros. Aprenderá também a
calcular área e o volume dessas e de outras figuras.
Para o cálculo de um volume podemos usar diferentes
unidades de medida. Certamente você já conhece o litro e
o metro cúbico. Portanto, vamos aprofundar esses
conceitos.

 Volume ou capacidade
Volume ou capacidade de um corpo (ou recipiente)
é a quantidade de espaço que esse corpo ocupa ou que
ele dispõe para armazenar alguma coisa.
Por exemplo:
O litro é a quantidade de líquido capaz de encher
completamente um cubo oco, com 10 cm de aresta. Aresta
é o nome que se dá à linha que separa uma face da outra.
Os lados dos quadrados que formam o cubo são as
arestas do cubo.

Quantos litros cabem num metro cúbico?
Para responder a essa pergunta vamos imaginar
uma caixa cúbica com1 metro de aresta e muitos cubinhos
com 10 cm de aresta. Cada um desses cubinhos
corresponde a 1 litro de água.

Esses recipientes têm a capacidade de armazenar
1 litro de líquido, conforme a indicação em cada
embalagem. Podemos dizer que o volume ou a
capacidade de cada um desses recipientes é de 1 litro.
Vejamos um outro exemplo:

Diariamente nos portos brasileiros, navios são
carregados ou descarregados com mercadorias que serão
transportadas para outros lugares. Em geral, essas
mercadorias são armazenadas em grandes caixas
chamadas de container. Existem dois tipos de container: o
de 20 pés (cuja capacidade é de 32,88 metros cúbicos) e o
de 40 pés (cuja capacidade é de 66, 92 metros cúbicos). Podemos arrumar os cubinhos dentro da caixa
grande em fileiras de 10, de forma que o fundo da caixa
fique com 10 x 10 = 100 cubinhos. Como podemos formar
10 camadas, temos: 10 x 10 x 10 = 1.000 cubinhos.

Portanto:
1 m³ = 1 000 l

 Unidade de volume e de capacidade Outras relações:
Nos exemplos anteriores utilizamos o litro (cuja 1 l = 1000 ml
abreviatura é l) e o metro cúbico (cuja a abreviatura é m³) 1 l = 1 dm³
como unidades de medida. Além dessas unidades, temos 1 l = 1000 cm³
também o centímetro cúbico (cm³), o decímetro cúbico
(dm³), o mililitro (ml), entre outras.
A escolha da unidade de medida adequada
depende do tamanho do que se vai medir. O metro cúbico,
por exemplo, é adequado para medir grandes
volumes,como no caso de um container.Para medir

 PARALELEPÍPEDO Exercícios
Bloco retangular ou paralelepípedo retângulo é o 1ª). A piscina de um clube tem 2 m de profundidade,
nome que a Matemática dá aos objetos que têm a forma 12 m de comprimento e 8 m de largura. Quantos litros de
de uma caixa de sapatos, caixa de fósforos etc. água são necessários para enchê-la?
2ª). Um caixa d'água cúbica, de 1 metro de aresta,
está completamente cheia. Dela retiramos 70 litros de
água. De quanto desce o nível da água?
3ª). Precisamos construir uma caixa d'água com o
formato de um paralelepípedo.Quais podem ser as
dimensões dessa caixa para que sua capacidade seja de
5.000 litros?
Observe que essa forma geométrica é delimitada 4ª). Como você explicaria para uma criança o que é
por seis retângulos cujas faces opostas são retângulos um litro de água?
idênticos. Observe também que, em cada vértice, as
5ª). Que unidade de medida você usaria para indicar a
arestas são perpendiculares duas a duas.
quantidade de líquido em:
a) um copo de chopp;
O volume do bloco retangular é dado por:
b) uma lata de óleo;
V = abc . c) uma piscina;
d) uma ampola.
Onde: a, b e c são as medidas das arestas,
usando uma mesma unidade de comprimento. 6ª). Uma outra unidade para medir volumes, muito
usada na vida prática, é a garrafa. Sabendo que a garrafa
Como A = a.c é a área do retângulo que é à base vale 34 de litro indique sua capacidade em mililitros.
do bloco retangular e h = b é a sua altura, o volume do
bloco retangular é dado por: 7ª). Com um barril de vinho de 360 litros, quantas
garrafas de vinho podemos completar?
. V = A.h.
8ª). Uma lata de óleo tem, em geral 900 ml. Quantas
Em que A é a área da base e h a altura. latas correspondem a um galão de 20l de óleo

Exemplo  O CUBO
Vejamos um exemplo: quantos litros de água são
O cubo é um paralelepípedo cujas arestas têm a
necessários para encher completamente uma caixa d'água
mesma medida.
cujas dimensões são: 0,90 m de comprimento, 0,80 m de
largura e 0,70 m de altura?

Área Total: ( AT)
É a soma da área lateral com a área das bases.
2
AT = 2(a.a + a.a + a.a) = 6a

Volume ( V)
O volume é dado pelo produto da área da base
pela altura.
V = a.a.a =6a³

 PRISMAS 1ª). Calcule o volume de um prisma triangular regular
de aresta da base 6cm e altura 12cm.
Prismas são sólidos geométricos que possuem as
seguintes características: 2ª). os lados de um triangulo medem 5cm , 9cm e
a) bases paralelas são iguais; 10cm. Um prisma reto com 10 cm de altura, tem por base
b) arestas laterais iguais e paralelas e que ligam as esse triangulo. Calcule para esse prisma:
duas bases. a). A área lateral
b). A área total
c). O volume

3ª). Um prisma regular hexagonal ,cuja altura mede
12cm, e uma aresta da base 4cm. Calcule:
a). A área da base
b). A área lateral
c). A área total
d). O volume

Nomenclatura: Os prismas recebem denominações  O CILINDRO
de acordo com suas bases. São comuns os objetos que têm a forma de um
cilindro, como por exemplo, um lápis sem ponta, uma lata
de óleo, um cigarro, um cano etc.

Observação: Só trataremos aqui de prismas retos,
que são aqueles cujas arestas laterais são perpendiculares
às bases.

Área Lateral: ( AL)
É a soma de todas áreas das faces laterais.

Área Total: ( AT)
AT = AL + 2.Ab

Volume do prisma
O volume de um prisma será dado por: Volume do cilindro será calculado por: V = A x h
V = A x h,
Onde A é a área da base e h é a altura do prisma.

Exemplos:

Área e volume Exemplos:
1ª). Um restaurante costuma usar panelas enormes em
Planificando o cilindro, temos: dias de muito movimento. Para encher de água uma
dessas panelas o cozinheiro utiliza latas (ou galões) de 18
litros. Quantos desses galões são necessários para
encher completamente uma panela de 60 cm de diâmetro
e 50 cm de altura?

Consideremos os elementos:
AL = área lateral
Ab = área da base
R = raio da base
h = altura do cilindro.
2ª). Em um cilindro circular reto de altura 8 cm, o raio
Área Lateral: ( AL) da base mede 3 cm. Calcular, desse cilindro:
É a área de um retângulo de dimensões: a) A área lateral
2.  .r e h. temos então: b) A área de uma base.
AL= 2  .r.h c) A área total
d) A área uma secção meridiana.
Área da Base: ( AB) e) O volume V.
É a área do circulo de raio r.
3ª). Em um cilindro circular reto de altura 5 m, o raio da
AB =  .r2 base mede 2 m. Calcule, desse cilindro:
a) A área lateral.
Área Total: ( AT) b) A área de uma base.
c) A área total at.
d) A área de uma secção meridiana.
AT = AL + 2.Ab e) O volume V.

Volume ( V) 4ª). Um cilindro eqüilátero tem 8 cm de altura. Calcule,
O volume de um cilindro de altura h e raio r é: desse cilindro:
a) A área lateral.
V = Ab.h ou V=  .r2.h b) A área de uma base.
c) A área total
Há muita semelhança entre os prismas e os d) A área de uma secção meridiana.
cilindros. Podemos dizer que eles pertencem a uma e) O volume V.
mesma família de sólidos geométricos, com características
comuns.O volume de todos pode ser determinado 5ª). Uma secção meridiana de um cilindro eqüilátero
aplicando-se a fórmula: V = A x h 2
tem 144 cm de área. Calcule a área lateral, a área total e
o volume desse cilindro.
Dando continuidade à unidade de Geometria Espacial,
nesta aula vamos estudar mais três dos sólidos
geométricos: a pirâmide, o cone e a esfera.

 A PIRÂMIDE

A pirâmide é considerada um dos mais antigos  O CONE
sólidos geométricos construídos pelo homem. Uma das Um funil ou uma casquinha de sorvete dão a idéia
mais famosas é a pirâmide de Quéops, construída em do sólido geométrico chamado cone.
2.500 a.C., com 150 m de altura, aproximadamente - o que Um cone (mais precisamente, um cone circular
pode ser comparado a um prédio de 50 andares. Quando reto) é o sólido obtido da seguinte maneira: tome uma
pensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da região do plano limitado por uma circunferência e, de um
pirâmide egípcia, cuja base é um quadrado. Contudo, o ponto P situado exatamente acima do centro da
conceito geométrico de pirâmide é um pouco mais amplo: circunferência, trace os segmentos de reta unindo P aos
sua base pode ser formada por qualquer polígono. As pontos da circunferência do círculo.
figuras abaixo representam pirâmides:

Algumas definições:
Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é
um polígono e cujas faces laterais são triângulos que A Pirâmide e o Cone
possuem um vértice comum. Há muita semelhança entre o cone e a pirâmide. A
diferença é que a base do cone é delimitada por um
círculo, em vez de um polígono. Ambos podem ser
imaginados como um conjunto de segmentos que ligam
um ponto P, exterior ao plano, a uma região do plano,
como mostra a figura abaixo.

A altura da pirâmide é um segmento perpendicular
à base e que passa por V (vértice). Uma pirâmide é regular
se a base é um polígono regular e as faces são triângulos
iguais. Com isso o pé da altura é o centro do polígono da
base, como mostram as figuras seguintes.

O volume da pirâmide e do cone  Área da Base: ( AB)
Vimos que o volume do prisma é igual ao produto É a área do circulo de raio R.
da sua altura pela área da base. É possível mostrar que,
se tivermos um prisma e uma pirâmide de mesma base e AB =  .R2
mesma altura, o volume do prisma será o triplo do volume
da pirâmide.  Área Total: ( AT)
É a soma da área lateral com a da base.
AT = AL + Ab

 Volume (V)
O volume de um cone de altura h e raio R é
dado por:
Com isso, concluímos que o volume da pirâmide é
um terço do volume do prisma: 1 1
.  .R .h
2
V = .Ab.h ou V=
3 3
A.h
Vpirâmide 
3 Vamos ver alguns exemplos:
Onde A representa a área da base e h, sua altura.
1ª). Qual o volume de uma pirâmide quadrangular, cuja
altura mede 5 cm e a aresta da base, 3 cm?
Para o cone teremos:
2ª). Em um cone circular reto de altura 12 cm, o raio da
Áreas e volume base mede 5 cm. Calcular, desse cone:
Planificando o cone, temos: a) A área lateral AL.
b) A área da base.
c) A área total
d) A medida do ângulo central do setor
circular equivalente à superfície lateral do cone.
e) A área A de uma secção meridiana.
f) O volume V.

3ª). Em um cone circular reto de altura 6 cm, o raio da
base mede 8 cm. Calcule, desse cone:
a) A área lateral
b) A área da base.
c) A área total
d) A medida do ângulo central do setor
circular equivalente à superfície lateral do cone.
Planificando o cone reto, obtemos um setor e) A área de uma secção meridiana.
circular de raio g, e comprimento l = 2.  .R f) O volume V.
Consideremos os elementos:
AL = área lateral 4ª). Uma secção meridiana de um cone eqüilátero tem
2
Ab = área da base 4,73 cm de área. Calcule a área lateral, a área total e o
R = raio da base volume desse cone.
h = altura do cone.
5ª). Um cone circular reto de raio da base 4 cm possui
a área lateral igual ao triplo da área da base. Calcule o
 Área Lateral: ( AL)
volume desse cone
É a área do setor circular.
6ª). Qual a quantidade de chocolate necessária para a
gl g.2 .R fabricação de 1.000 pirulitos em forma de guarda-chuva,
AL=  ou AL =  .R.g de 5 cm de altura e 2 cm de diâmetro?
2 2
7ª). A ampulheta da figura consiste em dois cones
idênticos, dentro de um cilindro. A altura do cilindro é de 6
cm e sua base tem 4 cm de diâmetro.

a) Determine o volume de areia necessário para encher o
cone.
b) Determine a quantidade de espaço vazio entre os cones
e o cilindro. Raio = 0,5 cm

 A ESFERA
Sem dúvida alguma, a esfera é considerada um
dos sólidos mais curiosos que existem, e sua forma tem
sido extremamente útil ao homem. É possível que os
homens tenham criado a forma esférica a partir da Elas têm a mesma boca, isto é, o raio da semi-
observação e do estudo dos corpos celestes, como o Sol e esfera é igual ao raio da circunferência do cone. Além
a Lua. Ou da verificação de fenômenos como a sombra da disso, elas têm a mesma altura, isto é, a altura do cone é
Terra projetada sobre a Lua. O formato de nosso planeta igual ao raio da semi-esfera.
foi reproduzido em diversos objetos até chegar às bolas de Despejando duas vezes o conteúdo da vasilha
futebol, vôlei e outros. cônica no interior da vasilha semi-esférica, conseguimos
enchê-la completamente (figura abaixo). Isso significa que
a capacidade da semi-esfera é o dobro da capacidade do
cone. Portanto, a capacidade da esfera será quatro vezes
a capacidade do cone. Não é fácil fazer essa experiência.
Onde encontrar uma vasilha esférica e uma vasilha
cônica? Entretanto, pela descrição da experiência, você
pode compreender a idéia de Arquimedes. Como
dissemos, o grande matemático grego demonstrou, por
dedução, que o volume da esfera é quatro vezes o volume
do cone, que tem o raio da esfera e cuja altura é o raio da
esfera.
Posteriormente, outros matemáticos criaram novos
Matematicamente, a esfera é o conjunto de todos raciocínios para calcular o volume da esfera. Vamos
os pontos do espaço cuja distância a um ponto 0 é menor retomar a afirmação de Arquimedes. Observe a figura:
ou igual a R.

Logo para a esfera teremos:

O volume da esfera
Volume:
A fórmula que dá o volume da esfera foi
4
demonstrada pelo matemático grego Arquimedes, no
Vesfera   R3
século III a.C. em seu livro sobre a esfera e o cilindro. 3
Usando o método de exaustão, inventado por outro
matemático grego chamado Eudoxo, Arquimedes provou
que o volume de uma esfera é igual a quatro vezes o Área:
volume do cone, cujo raio é o raio da esfera e cuja altura é
também o raio da esfera. Para tornar mais clara essa idéia,
imagine a experiência que poderia ser feita com as A  4 R2
vasilhas da ilustração abaixo. Observe que uma é semi-
esférica e a outra é cônica, lembrando uma taça. Exemplo:
Qual a quantidade de chumbo necessária para a
confecção de 100 bolinhas esféricas, maciças, de 1 cm de
diâmetro?

Exercícios 7ª). Uma resma de papel sulfite, tipo papel ofício tem
as seguintes dimensões.
1ª). Calculando a área total e o volume do cubo abaixo,
obtemos, respectivamente: Comprimento = 30 cm
Largura = 20 cm
Altura = 5 cm
Baseado nestas informações ache o volume de uma folha.

8ª). Os lados de um triângulo medem 5cm , 9cm e
10cm. Um prisma reto com 10 cm de altura, tem por base
esse triangulo. Calcule para esse prisma:

2m a). A área lateral
b). A área total
c). O volume
2 3 2 3
( a ) 24 m e 8 m . (d) 54 m e 27 m .
3 2 3
( b ) 240 litros e 2 m . (e) 12 m e 24 m . 9ª). Qual o volume da estufa representada pela
2 3
( c ) 16 m e 8 m . seguinte figura?
2ª). A água de um reservatório na forma de um
paralelepípedo reto-retângulo, de comprimento 30 m e
largura 20 m, atingia a altura de 10 m. Com a falta de
3
chuvas e o calor, 1.200 m da água do reservatório
evaporaram-se. A água restante no reservatório atingiu a
altura de:
(a) 2m (c) 8 m (e)3 m
(b) 9m (d) 7 m

3ª). Um caminhão transporta combustível em um
tanque cuja forma é a de um cilindro reto de 10m de
3
altura, com capacidade para 120m . Neste caso, podemos
dizer que a medida, em metros, do raio da base desse 10ª). (PSS- 2004) O abastecimento de água em Salinas
tanque é: Considere   3 :
é cada vez mais precário. Isso se deve ao número
crescente de construções de casas de veraneio, muitas
( a ) 4m (c) 3m (e) 2m delas com piscina, e à falta de um planejamento adequado
( b ) 5m (d) 1,5m que acompanhe esse crescimento. Durante as férias de
julho, quando a população aumenta, o problema se
4ª). Um aquário cilíndrico, com 30cm de altura e área agrava, causando inúmeros transtornos aos moradores e
2
da base igual a 1200cm , está com água até a metade de veranistas, pois o precioso líquido desaparece das
sua altura. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de torneiras, com bastante freqüência. Assim sendo, a
modo que fiquem completamente submersas, o nível da demanda de caixas d'água é muito grande nessa região,
água sobe para 17cm. Calcule o volume das pedras. fato que levou à instalação, na cidade, de uma fábrica de
caixas d'água, com o objetivo de produzi-las em três
diferentes formas: cúbica, cilíndrica e de um prisma reto-
5ª). (PROSEL – 2005) Um tipo de lata rasa utilizada
retângulo.
pelos ribeirinhos para o armazenamento do açaí tem o
formato de um prisma quadrangular regular cuja base tem
área de 576cm² e altura igual a 2/3 da aresta da base.
3
Qual o volume desta lata, em cm , é: 11ª). Os reservatórios produzidos têm todos 0,80 m de
altura, sendo o diâmetro do que tem forma cilíndrica igual
a 1 metro, e o comprimento e a largura do que tem forma
6ª). Para encher de água um tanque em forma de um de prisma reto-retângulo iguais, respectivamente, a 1,20 m
bloco retangular de 2m de comprimento, 1m de largura e e 0,75 m. Considerando  = 3,14, calcule:
de 60cm altura, um homem utiliza um balde cilíndrico, de
40cm de diâmetro e 50cm de altura, para pegar água a) a capacidade, em litros, de cada tipo de caixa
numa fonte. Quantos baldes de água ele terá que trazer d'água;
da fonte para encher completamente o tanque?.Considere
b) A quantidade de material usado para a confecção
 3 de cada tipo de caixa d'água, sabendo-se que são
todas tampadas, com tampas do tamanho exato
das aberturas.

12ª). (PROSEL - 2005) A polpa de açaí pode ser 21ª). Qual o volume de uma pirâmide de altura 15 cm,
utilizada na fabricação de sorvete, vinhos, licores, doces e cujo polígono da base é um trapézio isósceles de lados 5
etc. Uma das sobremesas prediletas dos paraenses é o cm, 5cm , 4 cm e 10 cm?
sorvete de açaí, que em geral, é servido em bolas de
22ª). Uma pirâmide de altura 8cm, tem como base um
formato esférico de 2cm de raio. Um dos tipos de
triangulo retângulo de catetos 2cm e 4cm. Calcule o
cascalho (recipiente onde são colocadas essas bolas) tem
volume da pirâmide.
formato de um cone circular reto de 4cm de raio e altura
de 10cm. Qual a quantidade de bolas de sorvete 23ª). Calcule o volume de uma pirâmide de 6cm de
necessárias para encher exatamente esse cascalho? atura, cajá base é um triangulo isósceles de lados 13cm,
13cm e 10 cm.

13ª). A área total de um cubo é 54 cm2. Calcule a
medida da diagonal desse cubo. 24ª). Um imperador de uma antiga civilização mandou
construir uma pirâmide, que seria utilizada como seu
túmulo, com as seguintes características:
14ª). Achar a área total da superfície de um cilindro reto,
sabendo que o raio da base é de 10cm e a altura é de  Base quadrada de 100m de lado
20cm.  Altura 100m
Para construir cada pirâmide equivalente a 1.000m³,
os escravos, utilizados como mão-de obra, gastavam em,
15ª). ( UFPA – 2003) É comum nos Campi da UFPA média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessária
existirem espaços em forma de “maloca”, geralmente para a construção da pirâmide , medido em anos de 360
utilizados para atividades de lazer . Os telhados desses dias, foi de:
espaços tem a forma de um cone circular reto. Se a) 40 anos
desejarmos cobrir um desses telhados cônicos, de 3 b) 50 anos
metros de altura por 8 metros de diâmetro, com telhas que c) 60 anos
2
se distribuem a razão de 30 delas por m , quantas telhas , d) 90 anos
no mínimo , serão necessárias, para cobrir o telhado?( e) 150 anos
Use   3,14 )
25ª). Na Igreja de São Francisco de Assis de Canindé,
no Ceará, no dia 4 de outubro é dia de grande romaria.A
16ª). A água de um reservatório na forma de um figura abaixo ilustra alguns degraus dessa escada de
paralelepípedo reto-retângulo, de comprimento 30 m e concreto que leva até o altar onde estão depositadas as
largura 20 m, atingia a altura de 10 m. Com a falta de oferendas.
3
chuvas e o calor, 1.800 m da água do reservatório
evaporaram-se. A água restante no reservatório atingiu a
altura de:
a) 2 m d) 8 m
b) 3 m e) 9 m
c) 7 m

17ª). A pirâmide de Quéops, conhecida como a Grande
Pirâmide, tem cerca de 230m de aresta na base e altura
aproximada de 147m. Qual é o seu volume?( A base da
pirâmide é um quadrado)
Quantos degraus estes romeiros terão de subir
18ª). A casquinha de um sorvete tem a forma de um para depositar suas oferendas, sabendo que o volume de
cone reto. Sabendo que o raio da base mede 3cm e a concreto usado para construir toda a escada foi de
3
altura é de 12cm. Qual é o volume da casquinha? 270.000 cm ?.
19ª). Considere a Terra como uma esfera de raio
6.370km. Qual é sua área superficial? Descobrir a área da
superfície coberta de água, sabendo que ela corresponde
a aproximadamente 3/4 da superfície total.
20ª). A capacidade, em litros, de uma caixa de formato
cúbico que tem 50 cm de aresta é de:
3
Lembrete: 1 L = 1 dm
a) 125 b) 250
c) 375 d) 500
e) 625

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