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MATEMÁTICA


                                                           ESFERA
1. SUPERFÍCIE ESFÉRICA                                                     OP representa a medida do raio da esfera (R).
                                                                           d representa a distância do plano ao centro da
1.1.Definição                                                       esfera.
      Define-se como superfície esférica o conjunto                        r representa a medida do raio do círculo deter-
de todos os pontos do espaço cuja distância a um                    minado pela intersecção do plano e a esfera.
ponto fixo (denominado centro) é R(denominado rai-                             Relação entre os elementos: R2 = r 2 + d2 .
o).
                                                                    2.4. Área do fuso esférico ( A F )
1.2. Área da superfície esférica
                                                                           Sendo α a medida do ângulo diedro do fuso es-
      A área de uma superfície esférica de raio R
                                                                    férico, a área do fuso pode ser obtida pela seguinte
pode ser determinada pela relação A sup = 4πR2 .
                                                                    proporção:
                                                                                          α      Af          4 ⋅ π ⋅ R2 ⋅ α
                                                                          (α em graus)      0
                                                                                              =     2
                                                                                                      ⇒ Af =                  ;
                                                                                        360     4πR              3600
                                                                                          α      Af
                        R                                                 (α em radianos)     =       ⇒ Af = 2 ⋅ α ⋅ R 2 .
                                              superfície                                  2π 4πR 2
                                               esférica


                                         A sup =4πR 2
                                                                                         r


                                                                                             O

2. ESFERA                                                                                                       α

2.1. Definições
      Define-se como esfera o conjunto de pontos
limitados pela superfície esférica, bem como os que                 2.5. Volume da cunha esférica ( Vc )
a compõem.
                                                                           Se uma cunha esférica tem raio R e a medida
2.2. Volume da esfera                                               de seu ângulo diedro é α, então seu volume Vc é ob-
      O volume de uma esfera de raio R pode ser de-                 tido pela proporção:
                                4πR3
terminado pelas relações V =
                                  3


                                                                                             r
                        R

                                                                                                 O

                                                                                                                α
                                                    3
                                              4πR
                                         V=
                                               3

                                                                                              α    Vc          α ⋅ π ⋅ R3
      A esfera representa a união entre os pontos in-                     (α em graus)           =    3
                                                                                                        ⇒ Vc =                    ;
ternos à superfície esférica e os pontos limitantes.                                         360º 4πR            270 º
                                                                                                    3
2.3. Plano secante a uma esfera
                                                                                                 α   Vc          α ⋅ π ⋅ R3
                                                                          (α em radianos)          =    3
                                                                                                          ⇒ Vc =                      .
                                                                                                 2π 4πR              3
                                 r                                                                    3
                                         P
                        d
                                     R
          α                 O




Editora Exato                                                  25
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS                                                     EXERCÍCIOS

1   Determine o volume e a área da superfície esféri-              1   Uma laranja tem a forma de uma esfera, cujo di-
    ca de uma esfera de raio 10 cm.                                    âmetro mede 8cm. Então a área aproximada da
       Resolução:                                                      casca dessa laranja é:
            4.π.10
                    3
                             4000π                                     a) 190cm2.
       V=          cm3 ⇒ V =       cm3
               3               3                                       b) 200cm2.
       A = 4.π.102 cm2 ⇒ A = 400πcm2                                   c) 210cm2.
                                                                       d) 220cm2.
                                                                       e) 230cm2.
2   Calcule a área do círculo determinado por uma
    secção esférica feita a 5 cm do centro de uma es-
    fera de raio 13cm.                                             2   Considere uma laranja como uma esfera compos-
       Resolução:                                                      ta de 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja
                                                                       tem 8cm de diâmetro, qual é o volume aproxima-
                                                                       do de cada gomo?
                                   r                                   a) 19cm3.
                                                                       b) 20cm3.
                           5           13                              c) 21cm3.
                                                                       d) 22cm3.
                                                                       e) 23cm3.

                                                                   3   (UFRGS) São fundidas 300 esferas com 20mm
      Pelo        Teorema de Pitágoras, temos:                         de diâmetro para fabricar cilindros circulares re-
132 = 52 + r 2 ⇒ r = 12 .                                              tos com 20mm de diâmetro e 200mm de altura. O
       Logo, a área da secção é dada por                               número de cilindros resultantes é:
A = π.122 cm2 = 144cm2                                                 a) 2.
                                                                       b) 5.
                                                                       c) 20.
3   (PUC-SP) A área de um fuso esférico cujo ângu-                     d) 25.
    lo mede
                π
                  rad, em uma   esfera de 12 cm de raio, é:            e) 30.
                3
      Resolução:
           π                                                      4   (CEFET-PR) A indústria de bolas de borracha
        x = rad                                                       Cilimbola quer produzir embalagens cilíndricas
           3
       R = 12cm
                                                                      para colocar 3 bolas com 3cm de raio cada, con-
       AF = 2.x .R 2
                                                                       forme a figura.
                                                                       A quantidade total de material utilizado para o
                π
       AF = 2. .122                                                    fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em
              3
              π            288
                                                                       cm2, será de:
       AF = 2. .144 → AF =     π
              3             3
       AF = 96π cm 2




                                                                       a) 126 π            b) 108 π
                                                                       c) 127 π            d) 72 π
                                                                       e) 90 π




Editora Exato                                                 26
5   (UFO-MG) Uma casquinha de sorvete é um co-              3. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
    ne de 10cm de altura e 4cm de diâmetro na base.
    Duas bolas esféricas de sorvetes, também de 4cm         DOMENICO, Luiz Carlos de. Matemática.. Vitória-
    de diâmetro, são colocadas na casquinha. Se o               Régia. Editora IBEP.
    sorvete derreter na casquinha:                          SILVA, Jorge Daniel. e FERNANDES, Valter dos
    a) O sorvete encherá completamente a casquinha,             Santos. Matemática – Curso Completo.. Hori-
       sem transbordar.                                         zontes. Editora IBEP.
    b) Transbordarão 8πcm3 de sorvete.                      PAIVA, Manoel. Coleção Base Matemática - 2ª edi-
                                                                ção.. Editora Moderna.
    c) Faltarão 8πcm3 de sorvete para encher comple-
                                                            BIANCHINI, Edwaldo. e PACCOLA, Herval. Cur-
       tamente a casquinha.
                                                                so de Matemática - Volume único. 3ª edição.
    d) Transbordarão 6πcm3 sorvete.
                                                                Editora Moderna.
    e) Faltarão 6πcm3 de sorvete para encher comple-        PAIVA, Manoel. Matemática - Conceitos, linguagem
       tamente a casquinha.                                     e aplicações - volume 1.. Editora Moderna.
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    ja embalar sabonetes esféricos de raio 3cm. A           PAIVA, Manoel. Matemática - Conceitos, linguagem
    embalagem deverá ter formato cilíndrico, de for-            e aplicações - volume 3.. Editora Moderna.
    ma a acondicionar 3 sabonetes, como mostra a fi-        DANTE, Luiz Roberto. Matemática - Contexto e A-
    gura (vista superior da embalagem aberta). A                plicações - Volume Único.. Editora Ática.
    medida do raio e a altura da embalagem, em cm,          GUELLI, Oscar, Matemática - Série Brasil - Volume
    deverão ser de aproximadamente: ( 3 = 1,73)                 Único.. Editora Ática.




    a) 6,73 e 3.               b) 3,46 e 6.
    c) 6,73 e 6.               d) 6,46 e 6.
    e) 6,46 e 3.


                   GABARITO

1   B
2   D
3   C
4   A
5   B
6   D




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  • 1. MATEMÁTICA ESFERA 1. SUPERFÍCIE ESFÉRICA OP representa a medida do raio da esfera (R). d representa a distância do plano ao centro da 1.1.Definição esfera. Define-se como superfície esférica o conjunto r representa a medida do raio do círculo deter- de todos os pontos do espaço cuja distância a um minado pela intersecção do plano e a esfera. ponto fixo (denominado centro) é R(denominado rai- Relação entre os elementos: R2 = r 2 + d2 . o). 2.4. Área do fuso esférico ( A F ) 1.2. Área da superfície esférica Sendo α a medida do ângulo diedro do fuso es- A área de uma superfície esférica de raio R férico, a área do fuso pode ser obtida pela seguinte pode ser determinada pela relação A sup = 4πR2 . proporção: α Af 4 ⋅ π ⋅ R2 ⋅ α (α em graus) 0 = 2 ⇒ Af = ; 360 4πR 3600 α Af R (α em radianos) = ⇒ Af = 2 ⋅ α ⋅ R 2 . superfície 2π 4πR 2 esférica A sup =4πR 2 r O 2. ESFERA α 2.1. Definições Define-se como esfera o conjunto de pontos limitados pela superfície esférica, bem como os que 2.5. Volume da cunha esférica ( Vc ) a compõem. Se uma cunha esférica tem raio R e a medida 2.2. Volume da esfera de seu ângulo diedro é α, então seu volume Vc é ob- O volume de uma esfera de raio R pode ser de- tido pela proporção: 4πR3 terminado pelas relações V = 3 r R O α 3 4πR V= 3 α Vc α ⋅ π ⋅ R3 A esfera representa a união entre os pontos in- (α em graus) = 3 ⇒ Vc = ; ternos à superfície esférica e os pontos limitantes. 360º 4πR 270 º 3 2.3. Plano secante a uma esfera α Vc α ⋅ π ⋅ R3 (α em radianos) = 3 ⇒ Vc = . 2π 4πR 3 r 3 P d R α O Editora Exato 25
  • 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS 1 Determine o volume e a área da superfície esféri- 1 Uma laranja tem a forma de uma esfera, cujo di- ca de uma esfera de raio 10 cm. âmetro mede 8cm. Então a área aproximada da Resolução: casca dessa laranja é: 4.π.10 3 4000π a) 190cm2. V= cm3 ⇒ V = cm3 3 3 b) 200cm2. A = 4.π.102 cm2 ⇒ A = 400πcm2 c) 210cm2. d) 220cm2. e) 230cm2. 2 Calcule a área do círculo determinado por uma secção esférica feita a 5 cm do centro de uma es- fera de raio 13cm. 2 Considere uma laranja como uma esfera compos- Resolução: ta de 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja tem 8cm de diâmetro, qual é o volume aproxima- do de cada gomo? r a) 19cm3. b) 20cm3. 5 13 c) 21cm3. d) 22cm3. e) 23cm3. 3 (UFRGS) São fundidas 300 esferas com 20mm Pelo Teorema de Pitágoras, temos: de diâmetro para fabricar cilindros circulares re- 132 = 52 + r 2 ⇒ r = 12 . tos com 20mm de diâmetro e 200mm de altura. O Logo, a área da secção é dada por número de cilindros resultantes é: A = π.122 cm2 = 144cm2 a) 2. b) 5. c) 20. 3 (PUC-SP) A área de um fuso esférico cujo ângu- d) 25. lo mede π rad, em uma esfera de 12 cm de raio, é: e) 30. 3 Resolução:  π 4 (CEFET-PR) A indústria de bolas de borracha  x = rad Cilimbola quer produzir embalagens cilíndricas  3 R = 12cm  para colocar 3 bolas com 3cm de raio cada, con- AF = 2.x .R 2 forme a figura. A quantidade total de material utilizado para o π AF = 2. .122 fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em 3 π 288 cm2, será de: AF = 2. .144 → AF = π 3 3 AF = 96π cm 2 a) 126 π b) 108 π c) 127 π d) 72 π e) 90 π Editora Exato 26
  • 3. 5 (UFO-MG) Uma casquinha de sorvete é um co- 3. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA ne de 10cm de altura e 4cm de diâmetro na base. Duas bolas esféricas de sorvetes, também de 4cm DOMENICO, Luiz Carlos de. Matemática.. Vitória- de diâmetro, são colocadas na casquinha. Se o Régia. Editora IBEP. sorvete derreter na casquinha: SILVA, Jorge Daniel. e FERNANDES, Valter dos a) O sorvete encherá completamente a casquinha, Santos. Matemática – Curso Completo.. Hori- sem transbordar. zontes. Editora IBEP. b) Transbordarão 8πcm3 de sorvete. PAIVA, Manoel. Coleção Base Matemática - 2ª edi- ção.. Editora Moderna. c) Faltarão 8πcm3 de sorvete para encher comple- BIANCHINI, Edwaldo. e PACCOLA, Herval. Cur- tamente a casquinha. so de Matemática - Volume único. 3ª edição. d) Transbordarão 6πcm3 sorvete. Editora Moderna. e) Faltarão 6πcm3 de sorvete para encher comple- PAIVA, Manoel. Matemática - Conceitos, linguagem tamente a casquinha. e aplicações - volume 1.. Editora Moderna. PAIVA, Manoel. Matemática - Conceitos, linguagem 6 (CEFET-PR) Uma indústria de cosméticos dese- e aplicações - volume 2.. Editora Moderna. ja embalar sabonetes esféricos de raio 3cm. A PAIVA, Manoel. Matemática - Conceitos, linguagem embalagem deverá ter formato cilíndrico, de for- e aplicações - volume 3.. Editora Moderna. ma a acondicionar 3 sabonetes, como mostra a fi- DANTE, Luiz Roberto. Matemática - Contexto e A- gura (vista superior da embalagem aberta). A plicações - Volume Único.. Editora Ática. medida do raio e a altura da embalagem, em cm, GUELLI, Oscar, Matemática - Série Brasil - Volume deverão ser de aproximadamente: ( 3 = 1,73) Único.. Editora Ática. a) 6,73 e 3. b) 3,46 e 6. c) 6,73 e 6. d) 6,46 e 6. e) 6,46 e 3. GABARITO 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 D Editora Exato 27