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Álgebra Linear l
Volume 1 - 2ª edição   Luiz Manoel Figueiredo
                       Marisa Ortegoza da Cunha
Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
               Rua Visconde de Niterói, 1364 - Mangueira - Rio de Janeiro, RJ - CEP 20943-001
                                 Tel.: (21) 2299-4565 Fax: (21) 2568-0725

                                                       Presidente
                                              Carlos Eduardo Bielschowsky

                               Vice-Presidente de Educação Superior a Distância
                                              Celso José da Costa

                                              Diretor de Material Didático
                                               Carlos Eduardo Bielschowsky

                                       Coordenação do Curso de Matemática
                                                Celso José da Costa
                                              Luiz Manoel Figueiredo




         Material Didático

         ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO                                                 COORDENAÇÃO GRÁFICA
         Luiz Manoel Figueiredo                                                 Jorge Moura
         Marisa Ortegoza da Cunha
                                                                                PROGRAMAÇÃO VISUAL
         EDITORA                                                                Equipe Cederj
         Tereza Queiroz
                                                                                COORDENAÇÃO DE ILUSTRAÇÃO
         COORDENAÇÃO EDITORIAL                                                  Eduardo Bordoni
         Jane Castellani
                                                                                ILUSTRAÇÃO
         COORDENAÇÃO DE REVISÃO                                                 Equipe Cederj
         Ana Tereza de Andrade
                                                                                CAPA
         REVISÃO                                                                Sami Souza
         Carmen Irene Correia de Oliveira
         Gláucia Guarany                                                        PRODUÇÃO GRÁFICA
         Leonardo Villela                                                       Ana Paula Trece Pires
                                                                                Andréa Dias Fiães
         REVISÃO TIPOGRÁFICA                                                    Márcia Almeida
         Equipe Cederj
                                                 Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
                             Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio
                             eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.

                            972m
                                     Figueiredo, Luiz Manoel.
                                        Álgebra linear l. v.1 / Luiz Manoel Figueiredo.
                                     – 2.ed. – Rio de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2005.
                                       81p.; 21 x 29,7 cm.

                                        ISBN: 85-89200-44-2

                                       1. Álgebra linear. 2. Vetores. 3. Matrizes. 4. Sistemas
                                   lineares. 5. Determinantes. I. Cunha, Marisa Ortegoza da.
                                   II. Título.

2005/1                                                                                                          CDD:512.5
                                  Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
IVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
                                   UN




          UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
          SECRETARIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
             INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
                     FACULDADE DE QUÍMICA




                                  REITOR
         Prof. Dr. Carlos Edilson de Almeida Maneschy

                           VICE-REITORA
                    Prof. Dr. Horacio Schneider

       PRÓ-REITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
        Profa. Dra. Marlene Rodrigues Medeiros Freitas

  SECRETÁRIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
                 Profa. MSc. Selma Dias Leite

DIRETOR DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
                    Prof. Dr. Geraldo Narciso

        DIRETOR DAFACULDADE DE QUÍMICA
               Prof. Dr. Heriberto R. Bittencourt




           Este material foi gentilmente cedido pelo Consórcio CEDERJ,
                para o uso restrito da Licenciatura em Matemática
                na modalidade a distância sem ônus para a UFPA.
Álgebra II                 Volume 1


SUMÁRIO



            §1      Vetores, matrizes e sistemas lineares _________________________________    7



          Aula 1    Matrizes ____________________________________________________________      9



          Aula 2    Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por
                    número real ________________________________________________________      17


          Aula 3    Operações com matrizes: multiplicação _____________________________       29


          Aula 4    Operações com matrizes: inversão __________________________________       39


          Aula 5    Determinantes ______________________________________________________      49


          Aula 6    Sistemas lineares ____________________________________________________    59


          Aula 7    Discussão de sistemas lineares _______________________________________    73


          Aula 8    Espaço vetoriais ____________________________________________________     83


          Aula 9    Subespaços vetoriais ________________________________________________     95


          Aula 10   Combinações lineares ______________________________________________       105


          Aula 11   Base e dimensão ___________________________________________________       115


          Aula 12   Dimensão de um espaço vetorial ___________________________________        123


          Aula 13   Soma de subespaços _______________________________________________        135


          Aula 14   Espaços vetoriais com produto interno _______________________________     149


          Aula 15   Conjuntos ortogonais e ortonormais _________________________________      161


          Aula 16   Complemento ortogonal ___________________________________________         173


          Aula 17   Exercícios resolvidos ________________________________________________    181
§1. Vetores, matrizes e sistemas lineares
            e ´
      O que ´ Algebra Linear? Por que estud´-la?
                                           a
        ´
      A Algebra Linear ´ a area da Matem´tica que estuda todos os aspectos
                       e ´              a
relacionados com uma estrutura chamada Espa¸o Vetorial.
                                              c                               Estrutura matem´tica ´ um
                                                                                                 a    e
                                                                              conjunto no qual s˜o defini-
                                                                                                   a
       Devido as suas caracter´
              `               ısticas, essa estrutura permite um tratamento   das opera¸˜es. As proprie-
                                                                                         co
alg´brico bastante simples, admitindo, inclusive, uma abordagem computa-
   e                                                                          dades dessas opera¸˜es “es-
                                                                                                   co
                                                                              truturam”o conjunto. Tal-
           ´
cional. A Algebra Linear tem aplica¸˜es em in´ meras areas, tanto da mate-
                                      co         u      ´                     vez vocˆ j´ tenha ouvido falar
                                                                                      e a
                                                                              em alguma das principais es-
m´tica quanto de outros campos de conhecimento, como Computa¸˜o Gr´fica,
  a                                                              ca    a
                                                                              truturas matem´ticas, como
                                                                                               a
Gen´tica, Criptografia, Redes El´tricas etc.
     e                            e                                           grupo, anel e corpo. Vocˆ    e
                                                                              estudar´ essas estruturas nas
                                                                                      a
      Nas primeiras aulas deste m´dulo estudaremos algumas ferramentas
                                    o                                                        ´
                                                                              disciplinas de Algebra.
para o estudo dos Espa¸os Vetoriais: as matrizes, suas opera¸˜es e proprie-
                       c                                      co
dades; aprenderemos a calcular determinantes e, finalmente, aplicaremos esse
conhecimento para discutir e resolver sistemas de equa¸˜es lineares. Muitos
                                                       co
dos principais problemas da f´ısica, engenharia, qu´
                                                   ımica e, ´ claro, da ma-
                                                            e
tem´tica, recaem (ou procuramos fazer com que recaiam) num sistema de
    a
                                                                 ´
equa¸˜es lineares. A partir da aula 8, estaremos envolvidos com Algebra Li-
     co
near propriamente dita e esperamos que vocˆ se aperceba, ao longo do curso,
                                             e
de que se trata de uma das areas mais l´ dicas da Matem´tica!!.
                            ´            u               a




                                                                                    7       CEDERJ
Matrizes
                                                                                  ´
                                                                                 MODULO 1 - AULA 1


                        Aula 1 – Matrizes

Objetivos
Reconhecer matrizes reais;
Identificar matrizes especiais e seus principais elementos;
Estabelecer a igualdade entre matrizes.


      Consideremos o conjunto de alunos do CEDERJ, ligados ao p´lo Lugar
                                                                    o
                              ´
Lindo, cursando a disciplina Algebra Linear 1. Digamos que sejam 5 alunos
(claro que esperamos que sejam muitos mais!). Ao longo do semestre, eles
far˜o 2 avalia¸˜es a distˆncia e 2 presenciais, num total de 4 notas parciais.
   a          co         a
Para representar esses dados de maneira organizada, podemos fazer uso de
uma tabela:

                   aluno      AD1 AD2 AP1            AP2
                   1. Ana     4,5 6,2 7,0            5,5
                   2. Beatriz 7,2 6,8 8,0            10,0
                   3. Carlos  8,0 7,5 5,9            7,2
                   4. Daniela 9,2 8,5 7,0            8,0
                   5. Edson   6,8 7,2 6,8            7,5


       Se quisermos ver as notas obtidas por um determinado aluno, digamos,
o Carlos, para calcular sua nota final, basta atentarmos para a linha corres-
pondente (8,0; 7,5; 5,9; 7,2); por outro lado, se estivermos interessados nas
notas obtidas pelos alunos na segunda verifica¸˜o a distˆncia, para calcular
                                                ca        a
a m´dia da turma, devemos olhar para a coluna correspondente (6,2; 6,8;
    e
7,5; 8,5; 7,2). Tamb´m podemos ir diretamente ao local da tabela em que
                       e
se encontra, por exemplo, a nota de Carlos na segunda avalia¸˜o a distˆncia
                                                               ca       a
(7,5).
       ´
       E esse tipo de tratamento que as matrizes possibilitam (por linhas, por
colunas, por elemento) que fazem desses objetos matem´ticos instrumentos
                                                     a
valiosos na organiza¸˜o e manipula¸˜o de dados.
                    ca            ca
     Vamos, ent˜o, a defini¸˜o de matrizes.
               a `        ca




                                                                                     9    CEDERJ
Matrizes
     Álgebra Linear 1

                                      Defini¸˜o
                                           ca
                                 Uma matriz real A de ordem m × n ´ uma tabela de mn n´ meros reais,
                                                                        e                       u
                                 dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n s˜o n´ meros inteiros positivos.
                                                                                a u
Os elementos de uma ma-
triz podem ser outras enti-
dades, que n˜o n´meros re-
              a   u                    Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por
ais. Podem ser, por exem-        Am×n (R). Neste curso, como s´ trabalharemos com matrizes reais, usaremos
                                                               o
plo, n´meros complexos, po-
      u
linˆmios, outras matrizes etc.
   o                             a nota¸˜o simplificada Am×n , que se lˆ “A m por n”. Tamb´m podemos
                                        ca                                e                      e
                                 escrever A = (aij ), onde i ∈ {1, ..., m} ´ o ´
                                                                           e ındice de linha e j ∈ {1, ..., n} ´
                                                                                                               e
                                 o´ındice de coluna do termo gen´rico da matriz. Representamos o conjunto
                                                                  e
                                 de todas as matrizes reais “m por n”por Mm×n (R). Escrevemos os elementos
As barras simples s˜o usadas
                   a             de uma matriz limitados por parˆnteses, colchetes ou barras duplas.
                                                                  e
para representar determinan-
tes, como veremos na aula 5.
                                                                       
                                 Exemplo 1                         2 −3
                                                                       
                                   1. Uma matriz 3 × 2 :          1  0 
                                                                 √
                                                                  2 17

                                                                  5   3
                                   2. Uma matriz 2 × 2 :
                                                                 −1 1/2

                                                               −4
                                    3. Uma matriz 3 × 1 :       0
                                                               11
                                       De acordo com o n´ mero de linhas e colunas de uma matriz, podemos
                                                          u
                                 destacar os seguintes casos particulares:

                                    • m = 1: matriz linha

                                    • n = 1: matriz coluna

                                    • m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas An e dizemos
                                      que “A ´ uma matriz quadrada de ordem n”. Representamos o conjunto
                                             e
                                      das matrizes reais quadradas de ordem n por Mn (R) (ou, simplesmente,
                                      por Mn ).

                                 Exemplo 2
                                   1. matriz linha 1 × 4:    2 −3 4 1/5
                                                               
                                                              4
                                                               
                                   2. matriz coluna 3 × 1:  17 
                                                              0

   CEDERJ        10
Matrizes
                                                                             ´
                                                                            MODULO 1 - AULA 1


                                          1 −2
  3. matriz quadrada de ordem 2:
                                          5  7
    Os elementos de uma matriz podem ser dados tamb´m por f´rmulas,
                                                   e       o
como ilustra o pr´ximo exemplo.
                 o

Exemplo 3
Vamos construir a matriz A ∈ M2×4 (R), A = (aij ), tal que

                                   i2 + j, se i = j
                          aij =
                                   i − 2j, se i = j

                                      a11 a12 a13 a14
A matriz procurada ´ do tipo A =
                   e                                       .
                                      a21 a22 a23 a24
       Seguindo a regra de forma¸˜o dessa matriz, temos:
                                 ca
 a11     2
       =1 +1=2          a12 = 1 − 2(2) = −3
 a22     2
       =2 +2=6          a13 = 1 − 2(3) = −5
                        a14 = 1 − 2(4) = −7
                                            .
                        a21 = 2 − 2(1) = 0
                        a23 = 2 − 2(3) = −4
                        a24 = 2 − 2(4) = −6
                    2 −3 −5 −7
       Logo, A =                      .
                    0 6  −4 −6


Igualdade de matrizes

     O pr´ximo passo ´ estabelecer um crit´rio que nos permita decidir se
         o             e                   e
duas matrizes s˜o ou n˜o iguais. Temos a seguinte defini¸˜o:
               a      a                                ca
     Duas matrizes A, B ∈ Mm×n (R), A = (aij ), B = (bij ), s˜o iguais
                                                             a
quando aij = bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}.


Exemplo 4
                                                  2a 3b          4 −9
Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes           e
                                                 c+d 6           1 2c
sejam iguais. Pela defini¸˜o de igualdade de matrizes, podemos escrever:
                        ca
                                             
                                              2a = 4
                                             
                                             
                                              3b = −9
                   2a 3b          4 −9
                             =             ⇒
                  c+d 6           1 2c        c+d=1
                                             
                                             
                                             
                                                6 = 2c


                                                                                11   CEDERJ
Matrizes
    Álgebra Linear 1

                                    Da´ obtemos a = 2, b = −3, c = 3 e d = −2.
                                      ı,

                                    Numa matriz quadrada A = (aij ), i, j ∈ {1, ...n}, destacamos os se-
                               guintes elementos:

                                  • diagonal principal: formada pelos termos aii (isto ´, pelos termos com
                                                                                       e
                                    ´
                                    ındices de linha e de coluna iguais).

                                  • diagonal secund´ria: formada pelos termos aij tais que i + j = n.
                                                   a

                               Exemplo 5
                               Seja
                                                                               
                                                                  3 −2  0 1
                                                                    3 −2 7     
                                                                 5             
                                                     A=                         .
                                                               1/2 −3  π 14    
                                                                −5   0 −1 6

                                    A diagonal principal de A ´ formada por: 3, 3, π, 6
                                                              e
                               A diagonal secund´ria de A ´ formada por: 1, −2, −3, −5
                                                a         e



                               Matrizes quadradas especiais

                                    No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar
                               alguns tipos especiais. Seja A = (aij ) ∈ Mn (R). Dizemos que A ´ uma
                                                                                               e
                               matriz

                                  • triangular superior, quando aij = 0 se i > j (isto ´, possui todos os
                                                                                       e
                                    elementos abaixo da diagonal principal nulos).

                                  • triangular inferior, quando aij = 0 se i < j (isto ´, possui todos os
                                                                                       e
                                    elementos acima da diagonal principal nulos).

                                  • diagonal, quando aij = 0 se i = j (isto ´, possui todos os elementos
                                                                              e
                                    fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal ´, ao mesmo
                                                                                            e
No nosso curso nos referimos        tempo, triangular superior e triangular inferior.
     aos n´meros reais como
           u
escalares. Essa denomina¸˜o
                         ca
                     ´                                        0, se i = j
      ´ espec´
      e      ıfica da Algebra      • escalar, quando aij =                 , para algum k ∈ R. Isto ´, uma
                                                                                                   e
                     Linear.                                  k, se i = j
                                    matriz escalar ´ diagonal e possui todos os elementos da diagonal prin-
                                                    e
                                    cipal iguais a um certo escalar k.

  CEDERJ        12
Matrizes
                                                                                    ´
                                                                                   MODULO 1 - AULA 1


                                   0, se i = j
   • identidade, quando aij =                  . Isto ´, a identidade ´ uma
                                                      e               e
                                   1, se i = j
     matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais
     a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por In .

Exemplo 6


          matriz                              classifica¸˜o
                                                       ca

             
        4 1 2
             
       0 6 3                            triangular superior
        0 0 9
             
        2 0 0
             
       0 0 3                            triangular superior
        0 0 0
             
        1 0 0
             
       0 4 0             triangular superior, triangular inferior, diagonal
        0 0 0

           0 0
                                          triangular inferior
          −3 0


            0 0
                     triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
            0 0


            5 0
                     triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
            0 5



Exemplo 7
S˜o matrizes identidade:
 a
                                                                       
                                                1 0 0             0
                                1 0 0            0 1 0                 
                1 0                                              0   
I1 = [1]; I2 =         ; I3 =  0 1 0  ; I4 =                         
                0 1                              0 0 1             0   
                                0 0 1
                                                  0 0 0             1
      De modo geral, sendo n um n´ mero natural maior que
                                 u                                 1,   a matriz


                                                                                       13   CEDERJ
Matrizes
 Álgebra Linear 1

                    identidade de ordem n ´
                                          e
                                                                                     
                                                         1    0   0     ...   0   0
                                                                  
                                                        0    1   0    ...   0   0
                                                                  
                                                        0    0   1    ...   0   0
                                                                  
                                              In =      .    .   .    .     .   .
                                                        .
                                                         .    .
                                                              .   .
                                                                  .    .
                                                                        .     .
                                                                              .   .
                                                                                  .
                                                                  
                                                    0 0 0 ... 1 0 
                                                                  
                                                     0 0 0 ... 0 1

                    Defini¸˜o
                         ca

                    A matriz nula em Mm×n (R) ´ a matriz de ordem m × n que possui todos os
                                              e
                    elementos iguais a zero.


                    Exemplo 8
                                             0 0 0
                    Matriz nula 2 × 3:
                                             0 0 0
                                                
                                             0 0
                                                
                                            0 0 
                                                
                    Matriz nula 5 × 2: 
                                            0 0 
                                                 
                                                
                                            0 0 
                                             0 0

                    Defini¸˜o
                           ca
                    Dada A = (aij ) ∈ Mm×n (R), a oposta de A ´ a matriz B = (bij ) ∈ Mm×n (R)
                                                               e
                    tal que bij = −aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Ou seja, os elemen-
                    tos da matriz oposta de A s˜o os elementos opostos aos elementos de A.
                                                 a
                    Representamos a oposta de A por −A.

                                                                       
                                                    3 −1   0
                    Exemplo 9                        √                 
                                                   2  3   4            
                    A oposta da matriz A =                              ´ a matriz
                                                                          e
                                                   1   0 −8            
                                                   −6 10 −2
                                                                      
                                                             −3    1 0
                                                                √
                                                            −2 − 3 −4 
                                                                       
                                              −A =                     .
                                                            −1    0 8 
                                                              6 −10  2




CEDERJ    14
Matrizes
                                                                                ´
                                                                               MODULO 1 - AULA 1


Resumo

       Nesta aula vimos o conceito de matriz e conhecemos seus tipos espe-
ciais. Aprendemos a comparar duas matrizes, a identificar a matriz nula e a
obter a oposta de uma matriz. Tamb´m vimos algumas matrizes quadradas
                                      e
que se destacam por suas caracter´ısticas e que ser˜o especialmente uteis no
                                                   a                ´
desenvolvimento da teoria.



Exerc´
     ıcios
  1. Escreva a matriz A = (aij ) em cada caso:

                                     3i + j, se i = j
      (a) A ´ do tipo 2 × 3, e aij =
            e
                                     i − 2j, se i = j
                                          
                                           2i, se i < j
                                          
      (b) A ´ quadrada de ordem 4 e aij =
            e                                i − j, se i = j
                                          
                                          
                                             2j, se i > j

                                        0, se i = j
      (c) A ´ do tipo 4 × 2, e aij =
            e
                                        3, se i = j
      (d) A ´ quadrada terceira ordem e aij = 3i − j + 2.
            e


  2. Determine x e y tais que

             2x + y        11
      (a)             =
             2x − y         9

             x2 y           1 −1
      (b)             =
             x y2          −1  1




                                                                                   15   CEDERJ
Matrizes
 Álgebra Linear 1

                    Respostas dos exerc´
                                       ıcios
                                   4 −3 −5
                      1. (a)
                                   0  8 −4
                                                   
                                   0   2    2   2
                                                   
                                  2   0    4   4   
                          (b)                      
                                  2   4    0   6   
                                   2   4    6   0
                                          
                                3 0
                               0 3 
                                   
                          (c)      
                               0 0 
                                0 0
                                      
                                 4 1 2
                                      
                          (d)  7 6 5 
                                10 9 8

                      2. (a) x = 5; y = 1
                          (b) x = y = −1


                    Auto-avalia¸˜o
                               ca

                         Vocˆ n˜o deve ter sentido qualquer dificuldade para acompanhar esta
                             e a
                    primeira aula. S˜o apenas defini˜es e exemplos. Se achar conveniente, antes
                                     a              o
                    de prosseguir, fa¸a uma segunda leitura, com calma, da teoria e dos exemplos.
                                     c
                    De qualquer maneira, vocˆ sabe que, sentindo necessidade, pode (e deve!)
                                               e
                    entrar em contato com o tutor da disciplina.
                         At´ a pr´xima aula!!
                           e     o




CEDERJ    16
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
          co                          ca      ca              ca       u
                                                                                     ´
                                                                                    MODULO 1 - AULA 2




          Aula 2 – Opera¸oes com matrizes:
                        c˜
      transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por
               ca      ca              ca
                                 n´ mero real
                                  u

Objetivos
Obter a matriz transposta de uma matriz dada;
Identificar matrizes sim´tricas e anti-sim´tricas;
                       e                 e
Obter a matriz soma de duas matrizes;
Obter o produto de uma matriz por um n´mero real;
                                           u
Aplicar as propriedades das opera¸˜es nos c´lculos envolvendo matrizes.
                                  co         a


      Na aula passada, definimos matrizes e vimos como verificar se duas
matrizes s˜o ou n˜o iguais. Nesta aula iniciamos o estudo das opera¸˜es
           a      a                                                    co
                ´
com matrizes. E atrav´s de opera¸˜es que podemos obter outras matrizes,
                       e          co
a partir de matrizes dadas. A primeira opera¸˜o com matrizes que estuda-
                                              ca
remos - a transposi¸˜o - ´ un´ria, isto ´, aplicada a uma unica matriz. A
                    ca    e a           e                 ´
seguir, veremos a adi¸˜o, que ´ uma opera¸˜o bin´ria, ou seja, ´ aplicada a
                     ca        e           ca     a            e
duas matrizes. Finalmente, veremos como multiplicar uma matriz por um
n´ mero real. Por envolver um elemento externo ao conjunto das matrizes,
 u
essa opera¸˜o ´ dita ser externa.
           ca e


Transposi¸˜o
         ca
       Dada uma matriz A ∈ Mm×n (R), A = (aij ), a transposta de A ´ a  e
matriz B ∈ Mn×m (R), B = (bji ) tal que bji = aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈
{1, ..., n}. Representamos a matriz transposta de A por AT .
      Note que para obter a transposta de uma matriz A, basta escrever as
linhas de A como sendo as colunas da nova matriz (ou, equivalentemente,
escrever as colunas de A como as linhas da nova matriz.)
                                                                       
Exemplo 10                                                         3 1
                  3 −2 5                                               
   1. Seja A =              . A transposta de A ´ a matriz AT =  −2 7 .
                                                e
                  1    7 0
                                                                   5 0


                                                                                        17   CEDERJ
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
                              co                          ca      ca              ca       u
 Álgebra Linear 1

                                      −3 4                         −3 4
                      2. Se M =                 , ent˜o M T =
                                                     a                         = M.
                                       4 9                          4 9
                         Comparando uma matriz com sua transposta, podemos definir matrizes
                    sim´tricas e anti-sim´tricas, como segue:
                       e                 e

                        Defini¸˜o
                               ca
                    Uma matriz A ´:
                                  e

                       • sim´trica, se AT = A
                            e

                       • anti-sim´trica, se AT = −A
                                 e

                          Segue da defini¸˜o acima, que matrizes sim´tricas ou anti-sim´tricas
                                         ca                        e                  e
                    s˜o, necessariamente, quadradas.
                     a

                    Exemplo 11
                      1. As matrizes
                                                                                                
                                   √                                               1 −2 1/5  0
                               3 −2                                                        9 −1 
                                     3
                                                       19 3/2                   −2   7        
                            −2   5  1 ,                             ,    e                    
                             √                          3/2 −7                    1/5  9   0  8 
                               3  1  8
                                                                                     0 −1   8  4

                         s˜o sim´tricas.
                          a     e

                      2. A matriz M, do exemplo 10, ´ sim´trica.
                                                    e    e
                         Note que, numa matriz sim´trica, os elementos em posi¸˜es sim´tricas
                                                     e                        co      e
                    em rela¸˜o a diagonal principal s˜o iguais.
                           ca `                      a


                    Exemplo 12
                    As matrizes
                                                                                         
                                                                            0 −2 1/5  0
                                            0  2 −1/2      
                            0 −1                                           2  0   9 −1 
                                                                                          
                                      ,  −2   0    5 , e                               
                            1  0                                          −1/5 −9   0  8 
                                          1/2 −5    0
                                                                              0  1 −8   0

                    s˜o anti-sim´tricas.
                     a          e
                         Note que uma matriz anti-sim´trica tem, necessariamente, todos os
                                                         e
                    elementos da diagonal principal iguais a zero.

CEDERJ    18
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
          co                          ca      ca              ca       u
                                                                                     ´
                                                                                    MODULO 1 - AULA 2


Adi¸˜o
   ca
     Vocˆ se lembra do exemplo que demos, na aula 1, com a rela¸˜o de
         e                                                         ca
nomes e notas da turma de Lugar Lindo? Cada aluno tem seu nome associado
a um n´ mero (o n´ mero da linha). Assim, sem perder qualquer informa¸˜o
       u          u                                                   ca
sobre os alunos, podemos representar apenas as notas das avalia¸˜es numa
                                                               co
matriz 5 por 4:                                  
                             4, 5 6, 2 7, 0 5, 5
                                                 
                            7, 2 6, 8 8, 0 10, 0 
                                                 
                      A =  8, 0 7, 5 5, 9 7, 2 
                                                 
                                                 
                            9, 2 8, 5 7, 0 8, 0 
                             6, 8 7, 2 6, 8 7, 5
     Vamos supor que as provas tenham sido submetidas a uma revis˜o e
                                                                 a
que as seguintes altera¸˜es sejam propostas para as notas:
                       co
                                                    
                                0, 5 0, 0 0, 0  0, 2
                                                    
                            −0, 2 0, 5 0, 5    0, 0 
                                                    
                      R =  0, 0 0, 2 0, 6 −0, 1 
                                                    
                                                    
                            0, 0 0, 5 0, 0     0, 2 
                                0, 2 0, 0 0, 0  0, 3

      A matriz N, com as notas definitivas, ´ a matriz soma das matrizes A e
                                               e
R, formada pelas somas de cada nota com seu fator de corre¸˜o, isto ´, cada
                                                                ca         e
termo de A com seu elemento correspondente em R:
                                                                             
                         4, 5 + 0, 5 6, 2 + 0, 0 7, 0 + 0, 0      5, 5 + 0, 2
                                                                             
                   7, 2 + (−0, 2) 6, 8 + 0, 5 8, 0 + 0, 5      10, 0 + 0, 0 
                                                                             
   N =A+R =            8, 0 + 0, 0 7, 5 + 0, 2 5, 9 + 0, 6 7, 2 + (−0, 1)  
                                                                             
                        9, 2 + 0, 0 8, 5 + 0, 5 7, 0 + 0, 0      8, 0 + 0, 2 
                         6, 8 + 0, 2 7, 2 + 0, 0 6, 8 + 0, 0      7, 5 + 0, 3
                                    
              5, 0 6, 2 7, 0 5, 7
                                    
            7, 0 7, 3 8, 5 10, 0 
                                    
Logo, N =  8, 0 7, 7 6, 5 7, 1 
                                    
                                    
             9, 2 9, 0 7, 0 8, 2 
              7, 0 7, 2 6, 8 7, 8
Defini¸˜o
     ca

     Dadas as matrizes A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), a matriz soma de
A e B ´ a matriz C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que
      e

                cij = aij + bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}


                                                                                        19   CEDERJ
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
                                               co                          ca      ca              ca       u
    Álgebra Linear 1

                                      Representamos a matriz soma de A e B por A + B. Em palavras, cada
                                 elemento de A + B ´ a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e
                                                    e
                                 B. A diferen¸a de A e B, indicada por A − B, ´ a soma de A com a oposta
                                              c                                e
                                 de B, isto ´: A − B = A + (−B).
                                            e

                                 Exemplo 13


                                              −5 4           1 −2              −4 2
                                     1.                +               =
                                               2 1           0  3               2 4

                                                                                 
                                           3 8      2 −1        3 8     −2  1        1  9
                                                                                 
                                     2.  −1 4 − 7   2  =  −1 4 + −7 −2  =  −8  2 
                                           7 2     −3  6        7 2      3 −6       10 −4


                                 Multiplica¸˜o por um n´mero real
                                           ca          u

                                                        3  1
                                          Seja A =                . Queremos obter 2A:
                                                        2 −4

                                                               3  1             3  1            2×3      2×1
                                           2A = A + A =                    +              =
                                                               2 −4             2 −4            2 × 2 2 × (−4)
                                 .
                                      Em palavras, o produto da matriz A pelo n´ mero real 2 ´ a matriz
                                                                                   u         e
                                 obtida multiplicando-se cada elemento de A por 2.
                                       Voltemos a nossa tabela de notas dos alunos do CEDERJ. Suponhamos
                                                  `
                                 que, para facilitar o c´lculo das m´dias, queiramos trabalhar numa escala de
                                                        a           e
                                 0 a 100 (em vez de 0 a 10, como agora). Para isso, cada nota dever´ sera
                                 multiplicada por 10. Teremos, ent˜o, a seguinte matriz:
                                                                    a
                                                                                    
                                                                    50 62 70 57
                                                                                    
                                                                   70 73 85 100 
                                                                                    
                                                           10N =  80 77 65 71 
                                                                                    
                                                                                    
                                                                   92 90 70 82 
                                                                    70 72 68 78
     e    a           ´
  Vocˆ ver´ que, em Algebra
   Linear, lidamos com dois            Podemos, ent˜o, definir a multiplica¸˜o de uma matriz por um n´mero
                                                    a                     ca                        u
tipos de objeto matem´tico:
                        a
     os escalares (que, neste                   e                ˆ          ´
                                 real (ou, como ´ usual dizer no ambito da Algebra Linear, por um escalar).
    curso, ser˜o os n´meros
               a      u
          reais) e os vetores.




  CEDERJ         20
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
             co                          ca      ca              ca       u
                                                                                            ´
                                                                                           MODULO 1 - AULA 2


        Defini¸˜o
             ca
     Dada A = (aij ) ∈ Mm×n (R) e α ∈ R, a matriz produto de A por α ´ a
                                                                     e
matriz C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que

                     cij = α aij ,   ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ...n}

Representamos a matriz produto de A por α por α A.

Exemplo 14
                  −5 2                 0 6                 6 −1
Dadas A =              ,B=                       eC=                   , temos:
                   1 4                −3 8                 3  5

                  −10 4
   1. 2A =
                    2 8

        1          0   2
   2.     B   =
        3
                  −1 8/3

                            −5 2           0 12           −18   3                 −23 17
   3. A+2B−3C =                       +               +                   =
                             1 4          −6 16            −9 −15                 −14 5


Propriedades das opera¸˜es com matrizes
                      co
      Vocˆ talvez j´ tenha se questionado quanto ` necessidade ou utilidade
           e        a                              a
de se listar e provar as propriedades de uma dada opera¸˜o. Comutatividade,
                                                       ca
associatividade... aparentemente sempre as mesmas palavras, propriedades
sempre v´lidas... No entanto, s˜o as propriedades que nos permitem esten-
           a                      a
der uma opera¸˜o que foi definida para duas matrizes, para o caso de somar
                 ca
trˆs ou mais. Ela tamb´m flexibilizam e facilitam os c´lculos, de modo que
  e                       e                            a
quanto mais as dominamos, menos trabalho “mecˆnico”temos que desenvol-
                                                   a
ver. Veremos agora as propriedades v´lidas para as opera¸˜es j´ estudadas.
                                        a                 co a


Propriedade da transposi¸˜o de matrizes
                        ca
                                                                   T
        (t1) Para toda matriz A ∈ Mm×n (R), vale que AT = A.
      A validade dessa propriedade ´ clara, uma vez que escrevemos as linhas
                                    e
de A como colunas e, a seguir, tornamos a escrever essas colunas como linhas,
retornando a configura¸˜o original. Segue abaixo a demonstra¸˜o formal
            `           ca                                        ca
dessa propriedade:
      Seja A = (aij ) ∈ Mm×n (R). Ent˜o AT = B = (bji ) ∈ Mn×m (R) tal que
                                        a
bji = aij , ( ou, equivalentemente, bij = aji ), ∀i ∈ {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}.


                                                                                               21   CEDERJ
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
                                        co                          ca      ca              ca       u
    Álgebra Linear 1
                                      T
                             Da´ AT = B T = C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que cij = bji = aij , ∀i ∈
                                ı,
                                                                            T
                             {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Logo, C = B T = AT = A.


                             Propriedades da adi¸˜o de matrizes
                                                ca

                                  Para demonstrar as propriedades da adi¸˜o de matrizes, usaremos as
                                                                           ca
                             propriedades correspondentes, v´lidas para a adi¸˜o de n´ meros reais.
                                                            a                 ca     u

                                  Sejam A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ) matrizes quaisquer em Mm×n (R).
                             Valem as seguintes propriedades.
                             (a1) Comutativa: A + B = B + A
                                   De fato, sabemos que A + B = (sij ) ´ tamb´m uma matriz m × n cujo
                                                                             e       e
                             elemento gen´rico ´ dado por: sij = aij + bij , para todo i = 1, ..., m e todo
                                             e     e
                             j = 1, ..., n. Como a adi¸˜o de n´ meros reais ´ comutativa, podemos escrever
                                                       ca         u            e
                             sij = bij +aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, A+B = B +A.
                                                                                                 e
                             Em palavras: a ordem como consideramos as parcelas n˜o altera a soma de
                                                                                              a
                             duas matrizes.
                             (a2) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
                                   De fato, o termo geral sij de (A+B)+C ´ dado por sij = (a+b)ij +cij =
                                                                               e
                             (aij + bij ) + cij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Como a adi¸˜o  ca
                             de n´ meros reais ´ associativa, podemos escrever sij = aij + (bij + cij ) =
                                  u                e
                             aij +(b+c)ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, sij ´ tamb´m o
                                                                                                       e     e
                             termo geral da matriz obtida de A+(B+C). Isto ´, (A+B)+C = A+(B+C).
                                                                                    e
                             Em palavras: podemos estender a adi¸˜o de matrizes para o caso de trˆs
                                                                         ca                                     e
                             parcelas, associando duas delas. A partir dessa propriedade, podemos agora
                             somar trˆs ou mais matrizes.
                                       e
                             (a3) Existˆncia do elemento neutro: Existe O ∈ Mm×n (R) tal que A+O = A.
                                       e
                                   De fato, seja O a matriz nula de Mm×n (R), isto ´, O = (oij ), onde
                                                                                          e
                             oij = 0, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Sendo sij o termo geral de
                             A + O, temos sij = aij + oij = aij + 0 = aij , para todo i = 1, ..., m e todo
                             j = 1, ..., n. Ou seja, A + O = A.
                             Em palavras: na adi¸˜o de matrizes a matriz nula desempenha o mesmo
                                                     ca
                             papel que o zero desempenha na adi¸˜o de n´ meros reais.
                                                                    ca        u
O elemento oposto ´ tamb´m
                    e   e    (a4) Da existˆncia do elemento oposto : Existe (−A) ∈ Mm×n (R) tal que
                                          e
chamado elemento sim´trico
                      e
ou inverso aditivo.
                             A + (−A) = O.
                                   De fato, sabemos que cada elemento de −A ´ o oposto do elemento
                                                                             e
                             correspondente de A. Ent˜o, sendo sij o termo geral de A + (−A), temos
                                                      a

  CEDERJ       22
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
           co                          ca      ca              ca       u
                                                                                         ´
                                                                                        MODULO 1 - AULA 2


sij = aij + (−aij ) = 0 = oij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´,
                                                                                   e
A + (−A) = O.
Em palavras: Cada matriz possui, em correspondˆncia, uma matriz de mesma
                                                      e
ordem tal que a soma das duas ´ a matriz nula dessa ordem.
                                   e
(a5) Da soma de transpostas: AT + B T = (A + B)T
     De fato, seja sij o termo geral de AT +B T . Ent˜o, para todo i = 1, ..., m
                                                       a
e todo j = 1, ..., n, sij = aji +bji = (a+b)ji, que ´ o termo geral de (A+B)T .
                                                    e
           T       T             T
Ou seja, A + B = (A + B) .
Em palavras: A soma das transpostas ´ a transposta da soma. Ou, vendo sob
                                         e
outro angulo: a transposi¸˜o de matrizes ´ distributiva em rela¸˜o a adi¸˜o.
      ˆ                      ca              e                     ca `     ca


Propriedades da multiplica¸˜o de uma matriz por um escalar
                          ca

       Vocˆ ver´ que, tamb´m neste caso, provaremos a validade dessas propri-
          e    a          e
edades usando as propriedades correspondentes da multiplica¸˜o de n´ meros
                                                             ca       u
reais.

      Sejam A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), α, β, γ ∈ R. Valem as seguin-
tes propriedades:

(mn1) (αβ)A = α(βA)
      De fato, seja pij o termo geral de (αβ)A, isto ´, pij = ((αβ)a)ij =
                                                          e
(αβ)aij = α(βaij ) = (α(βa))ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou
seja, pij ´ tamb´m o termo geral de α(βA). Logo, (αβ)A = α(βA).
          e     e
Exemplo 15
Dada A ∈ Mm×n (R), 12A = 3(4A) = 2(6A).

(mn2) (α + β)A = αA + βA
     De fato, seja pij o termo geral de (α + β)A, isto ´, pij = ((α + β)a)ij =
                                                       e
(α + β)aij = αaij + βaij = (αa)ij + (βa)ij , para todo i = 1, ..., m e todo
j = 1, ..., n. Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de αA + βA. Logo,
                             e      e
(α + β)A = αA + βA.
Exemplo 16
Dada A ∈ Mm×n (R), 12A = 7A + 5A = 8A + 4A.

(mn3) α(A + B) = αA + αB
     De fato, seja pij o termo geral de α(A+B). Ent˜o, para todo i = 1, ..., m
                                                    a
e todo j = 1, ..., n, temos pij = (α(a + b))ij = α(a + b)ij = α(aij + bij ) =


                                                                                            23   CEDERJ
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
                              co                          ca      ca              ca       u
 Álgebra Linear 1

                    αaij +αbij = (αa)ij +(αb)ij . Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de αA+αB.
                                                               e     e
                    Logo, α(A + B) = αA + αB.

                    Exemplo 17
                    Dadas A, B ∈ Mm×n (R), 5(A + B) = 5A + 5B.

                    (mn4) 1A = A
                         De fato, sendo pij o termo geral de 1A, temos pij = (1a)ij = 1aij = aij ,
                    para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, 1A = A.
                                                                       e

                    (mn5) αAT = (αA)T
                          De fato, seja pij o termo geral de αAT . Ent˜o pij = αaji = (αa)ji, ou
                                                                      a
                    seja, pij ´ tamb´m o termo geral de (αA)T .
                              e     e

                    Exemplo 18
                                  2    1               4 0                                       T
                    Dadas A =               eB =               , vamos determinar 3 2AT − 1 B .
                                  0 −1               −2 6                                    2

                    Para isso, vamos usar as propriedades vistas nesta aula e detalhar cada passo,
                    indicando qual a propriedade utilizada.
                                                 T                                       T
                                     1T               a5           T T            1
                               3 2A − B               =    3    2A        −         B
                                     2                                            2
                                                     mn5              T    1
                                                      =    3 2 AT         − BT
                                                                           2
                                                      t1            1
                                                      =    3 2A − B T
                                                                    2
                                                     mn3              1 T
                                                      =    3(2A) − 3    B
                                                                      2
                                                     mn1               1
                                                      =    (3.2)A − 3.    BT
                                                                       2
                                                                  3
                                                      =    6A − B T
                                                                  2
                                                                2   1     3 4 −2
                                                      =    6            −
                                                                0 −1      2 0  6
                                                               12  6                    6 −3
                                                      =                       −
                                                                0 −6                    0  9
                                                               6   9
                                                      =
                                                               0 −15




CEDERJ    24
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
          co                          ca      ca              ca       u
                                                                                                 ´
                                                                                                MODULO 1 - AULA 2


               ca ´
      Observa¸˜o. E claro que vocˆ, ao efetuar opera¸˜es com matrizes, n˜o
                                    e                  co                  a
precisar´ explicitar cada propriedade utilizada (a n˜o ser que o enunciado da
        a                                           a
quest˜o assim o exija!) e nem resolver a quest˜o passo-a-passo. O impor-
     a                                           a
tante ´ constatar que s˜o as propriedades das opera¸˜es que nos possibilitam
      e                 a                           co
reescrever a matriz pedida numa forma que nos pare¸a mais “simp´tica”.
                                                      c             a




Resumo
      Nesta aula come¸amos a operar com as matrizes. Vimos como ob-
                      c
ter a transposta de uma matriz e a reconhecer matrizes sim´tricas e anti-
                                                          e
sim´tricas. A seguir, aprendemos a somar duas matrizes e a multiplicar
    e
uma matriz por um escalar. Finalizamos com o estudo das propriedades das
opera¸˜es vistas. A aula ficou um pouco longa, mas ´ importante conhecer
      co                                            e
as propriedades v´lidas para cada opera¸˜o estudada.
                  a                    ca


Exerc´
     ıcios
  1. Obtenha a transposta da matriz A ∈ M2×4 (R), A = (aij ), tal que
            2i + j, se i = j
     aij =
            i2 − j, se i = j
                                                       
                                             2 4 2a − b
                                                       
  2. Determine a e b para que a matriz  a + b 3      0  seja sim´trica.
                                                                  e
                                           −1 0       5

  3. Mostre que a soma de duas matrizes sim´tricas ´ uma matriz sim´trica.
                                               e      e             e
                                                                   
                                                    2x a + b a − 2b
                                                                   
  4. Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz  −6 y 2     2c  seja
                                                     5   8   z−1
     anti-sim´trica.
             e
                                               
                    2    1                  0 1
                                               
  5. Sendo A =  0 −1  e B =  7 3 , determine A + B.
                    3    2                 −4 5

                                         a 3 2a            b −3 −1                  2 0 5
  6. Determine a, b, e c para que               +                           =               .
                                         c 0 −2            1  4  3                  3 4 1


                                                                                                    25   CEDERJ
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
                              co                          ca      ca              ca       u
 Álgebra Linear 1

                                       3 −5
                      7. Dada A =           , determine a matriz B tal que A+ B ´ a matriz
                                                                                e
                                      −4  2
                         nula de M2 (R).

                                                                                 
                                                                                   
                                                      5                          1
                                                                              
                      8. Considere as matrizes A =  −1  ,                B =  2 ,           e       C =
                                                      2                          3
                           0 −2 1 . Determine a matriz X em cada caso:

                         (a) X = 2A − 3B

                         (b) X + A = B − C T − 2X

                         (c) X + B T = 3AT + 1 C
                                             2



                                          9 4 2                        −8   7 −9
                      9. Sendo A =                        e B =                            , determine as
                                          6 12 11                     −12 −19 −2
                                                          2X + Y     = A
                         matrizes X e Y tais que
                                                          X − 2Y     = B

                     10. Sendo A, B ∈ Mm×n (R), use as propriedades vistas nesta aula para
                                                         T                      T
                         simplificar a express˜o 3 2AT − B + 5 1 B T − AT + 3 B .
                                             a                 5            5




                    Auto-avalia¸˜o
                               ca

                          Vocˆ deve se sentir ` vontade para operar com matrizes nas formas vis-
                              e               a
                    tas nesta aula: transpor, somar e multiplicar por um escalar. S˜o opera¸˜es
                                                                                    a       co
                    de realiza¸˜o simples, que seguem a nossa intui¸˜o. Al´m disso, ´ importante
                              ca                                   ca     e         e
                    que vocˆ reconhe¸a a utilidade das propriedades no sentido de nos dar mobi-
                            e         c
                    lidade na hora de operarmos com matrizes. Propriedades de opera¸˜es n˜o
                                                                                        co    a
                    s˜o para serem decoradas, mas apreendidas, assimiladas, utilizadas ao pˆr a
                     a                                                                      o
                    teoria em pr´tica!
                                 a
                          Se vocˆ sentiu qualquer dificuldade ao acompanhar a aula ou ao resolver
                                e
                    os exerc´
                            ıcios propostos, pe¸a aux´ ao tutor da teoria. O importante ´ que
                                               c      ılio                                 e
                    caminhemos juntos nesta jornada!
                         At´ a pr´xima aula!!
                           e     o




CEDERJ    26
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
           co                          ca      ca              ca       u
                                                                                      ´
                                                                                     MODULO 1 - AULA 2


Respostas dos exerc´
                   ıcios
                  
           3   3
         −1       
              5   
 1.               
         −2   1   
          −3   0



 2. a = 1; b = 3


 4. a = 7 ; b =
        3
                       11
                       3
                          ;   c = −4; x = 0; y = 0; z = 1



          
       2 2
          
 5.  7 2 
      −1 7


 6. a = 3; b = −1; c = 2


          −3  5
 7.
           4 −2
                     
           7         −4
                     
 8. (a)  −8  (b)  1  (c)                    14 −6       7
                                                            2
          −5          0

               2 3 −1                      5 −2 4
 9. X =                           ; Y =
               0 1  4                      6 10 3


 10. A + B




                                                                                         27   CEDERJ
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
                           co                           ca
                                                                               ´
                                                                              MODULO 1 - AULA 3


          Aula 3 – Opera¸oes com matrizes:
                        c˜
                              multiplica¸˜o
                                        ca

Objetivos

Reconhecer quando ´ poss´ multiplicar duas matrizes;
                    e      ıvel
Obter a matriz produto de duas matrizes;
Aplicar as propriedades da multipli¸˜o de matrizes;
                                   ca
Identificar matrizes invers´
                          ıveis.


      Se vocˆ j´ foi “apresentado” a multiplica¸˜o de matrizes, pode ter se
            e a                     `          ca
perguntado por que a defini¸˜o foge tanto daquilo que nos pareceria mais
                             ca
f´cil e “natural”: simplesmente multiplicar os termos correspondentes das
 a
duas matrizes (que, para isso, deveriam ser de mesma ordem).
     Poderia ser assim? Poderia!
     Ent˜o, por que n˜o ´?
        a            a e
     Em Matem´tica, cada defini¸˜o ´ feita de modo a possibilitar o desen-
                a               ca e
                                                    ´                         O caso 00 ´ mais delicado do
                                                                                         e
volvimento da teoria de forma cont´ınua e coerente. E por essa raz˜o que
                                                                  a
                                                                              que parece. Se vocˆ tem
                                                                                                  e
                                 0
definimos, por exemplo, 0! = 1 e a = 1, (a = 0).                               interesse nesse problema, vai
                                                                              gostar de ler o artigo de
      N˜o ir´
       a ıamos muito longe, no estudo das matrizes, caso a multiplica¸˜o
                                                                      ca      Elon Lages Lima, na Revista
fosse definida “nos moldes” da adi¸˜o. Vocˆ ver´, nesta aula, o significado
                                 ca       e   a                               do Professor de Matem´tica
                                                                                                      a
                                                                              (RPM), n. 7.
dessa opera¸˜o, no modo como ´ definida. Mais tarde, quando estudar-
            ca                 e
mos transforma¸˜es lineares (no m´dulo 2), ficar´ ainda mais evidente a
               co                 o             a
importˆncia de multiplicarmos matrizes da maneira como veremos a seguir.
       a
     Venha conosco!

     Vamos voltar aos nossos alunos de Lugar Lindo. J´ ´ tempo de calcular
                                                     ae
suas notas finais!
     A ultima matriz obtida (na aula 2) fornecia as notas numa escala de 0
       ´
a 100:                                          
                               50 62 70 57
                                                
                              70 73 85 100 
                                                
                       N =  80 77 65 71 
                                                
                                                
                              92 90 70 82 
                               70 72 68 78

     Lembrando: as duas primeiras colunas indicam as notas das avalia¸˜es
                                                                     co


                                                                                   29       CEDERJ
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
                                                co                           ca
 Álgebra Linear 1

                    a
                    ` distˆncia e as duas ultimas, as notas das avalia¸˜es presenciais dos alunos
                          a               ´                           co
                    Ana, Beatriz, Carlos, Daniela e Edson, nessa ordem.
                        Vamos supor que as avalia¸˜es a distˆncia tenham, cada uma, peso 1,
                                                    co `     a
                                                                    1
                    num total de 10. Isto ´, cada uma colabora com 10 (ou 10%) da nota final.
                                          e
                         Para completar, cada avalia¸˜o presencial ter´ peso 4, ou seja, repre-
                                                    ca                a
                            4
                    sentar´ 10 (ou 40%) da nota final.
                          a
                         Ent˜o, a nota final de cada aluno ser´ dada por:
                            a                                a
                                          10        10        40          40
                                 NF =         AD1 +     AD2 +     AP 1 +     AP 2
                                          100       100       100        100
                         Em vez de escrever uma express˜o como essa para cada um dos 5 alunos,
                                                       a
                    podemos construir uma matriz-coluna P contendo os pesos das notas, na
                    ordem como aparecem no c´lculo de NF :
                                              a
                                                             
                                                       10/100
                                                      10/100 
                                                             
                                                P =          
                                                      40/100 
                                                            40/100

                    e efetuar a seguinte opera¸˜o:
                                              ca
                                                     
                                          50 62 70 57                       
                                                        10/100
                                        70 73 85 100                      
                                                       10/100             
                             N .P =  80 77 65 71  . 
                                                       40/100             =
                                                                           
                                         92 90 70 82 
                                                          40/100
                                          70 72 68 78
                                                                                              
                                            10         10        40        40
                                                .50 + 100 .62 + 100 .70 + 100 .57           62
                                          100
                                                                                               
                                          10         10        40        40
                                               .70 + 100 .73 + 100 .85 + 100 .100         88   
                                         100                                                  
                                    =
                                     
                                            10
                                           100
                                                       10        40        40
                                                .80 + 100 .77 + 100 .65 + 100 .71   =
                                                                                          70   
                                                                                                 
                                           10         10        40        40                  
                                          100
                                                .92 + 100 .90 + 100 .70 + 100 .82         79   
                                            10         10        40        40
                                           100
                                                .70 + 100 .72 + 100 .68 + 100 .78           73

                          O que fizemos: tomamos duas matrizes tais que o n´mero de termos
                                                                            u
                    em cada linha da primeira ´ igual ao n´mero de termos de cada coluna da
                                               e          u
                    segunda. Ou seja, o n´mero de colunas da primeira coincide com o n´mero
                                          u                                           u
                    de linhas da segunda (4, no nosso exemplo).
                         Dessa forma, podemos multiplicar os pares de elementos, “varrendo”,
                    simultaneamente, uma linha da 1a. matriz e uma coluna da 2a. . Depois,
                    somamos os produtos obtidos.

CEDERJ    30
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
                              co                           ca
                                                                                         ´
                                                                                        MODULO 1 - AULA 3


     Note que, ao considerarmos a i-´sima linha (da 1a. matriz) e a j-´´sima
                                    e                                  e
            a.
coluna (da 2 ), geramos o elemento na posi¸˜o ij da matriz produto.
                                           ca
     Formalmente, temos a seguinte defini¸˜o:
                                        ca


Multiplica¸˜o de matrizes
          ca
     Sejam A = (aik ) ∈ Mm×p (R) e B = (bkj ) ∈ Mp×n (R). A matriz produto
de A por B ´ a matriz AB = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que
           e
                            p
                   cij =         aik .bkj , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n
                           k=1

                                                    
Exemplo 19                             1 3 10      2
              3 2 −1                                
Sejam A =                   e B =  −1 5 0         5 . Como A ´ do tipo
                                                                 e
              4 0      7
                                       2 6 4 −2
2 × 3 e B ´ do tipo 3 × 4, existe a matriz AB e ´ do tipo 2 × 4:
          e                                     e
                                          
                            1 3 10      2
           3 2 −1                         
 AB =                   −1 5 0         5 =
           4 0     7
                            2 6 4 −2
             3 − 2 − 2 9 + 10 − 6 30 + 0 − 4 6 + 10 + 2                        −1 13 26 18
       =                                                                   =
            4 + 0 + 14 12 + 0 + 42 40 + 0 + 28 8 + 0 − 14                      18 54 68 −6

     Observe que, neste caso, n˜o ´ poss´ efetuar BA.
                               a e      ıvel

     A seguir, veremos alguns exemplos e, a partir deles, tiraremos algumas
conclus˜es interessantes a respeito da multiplica¸˜o de matrizes.
       o                                         ca

Exemplo 20
                 2  4                  3 2
Sejam A =                  eB=             . Ent˜o
                                                a
                 3 −1                  5 6
           2  4         3 2            6 + 20 4 + 24              26 28
AB =                              =                         =
           3 −1         5 6             9−5 6−6                    4 0
e
           3 2      2  4                 6 + 6 12 − 2               12 10
BA =                              =                           =           .
           5 6      3 −1               10 + 18 20 − 6               28 14

      Note que o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem n
existe e ´ tamb´m uma matriz quadrada de ordem n. Assim, a multiplica¸˜o
         e     e                                                        ca
pˆde ser efetuada nos dois casos, isto ´, nas duas ordens poss´
 o                                     e                      ıveis, mas as
matrizes AB e BA s˜o diferentes.
                    a


                                                                                             31   CEDERJ
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
                                                           co                           ca
    Álgebra Linear 1

                                Exemplo 21
                                               1 2                 1 4
                                Sejam A =              e B=                    . Temos que:
                                               3 4                 6 7
                                         1 2         1 4          1 + 12 4 + 14                   13 18
                                AB =                        =                            =
                                         3 4         6 7          3 + 24 12 + 28                  27 40
                                e
                                         1 4         1 2          1 + 12 2 + 16                   13 18
                                BA =                        =                            =
                                         6 7         3 4          6 + 21 12 + 28                  27 40

                                     Neste caso, AB = BA. Quando isso ocorre, dizemos que as matrizes A
                                e B comutam.
                                                                                       
                                Exemplo 22                                            4
                                                               3 2 1                   
                                Consideremos as matrizes A =             e B =  −19 .
                                                             −4 6 5
                                                                                    26
                                                                       0
                                Efetuando AB, obtemos a matriz             .
                                                                       0

                                      Note que, diferentemente do que ocorre com os n´ meros reais, quando
                                                                                     u
                                multiplicamos matrizes, o produto pode ser a matriz nula, sem que qualquer
                                dos fatores seja a matriz nula.

                                Exemplo 23
                                                                     1 2                  −2     1
                                Vamos calcular AB, sendo A =                     eB=                      .
                                                                     3 4                  3/2 −1/2
                                                     −2 + 3 1 − 1                1 0
                                Temos que AB =                             =             = I2 .
                                                     −6 + 6 3 − 2                0 1
Matrizes invers´
               ıveis tamb´m
                          e
s˜o chamadas de invert´
 a                      ıveis
                                      Quando isso ocorre, isto ´, quando o produto de duas matrizes A e
                                                                e
       ou de n˜o-singulares.
               a
                                B quadradas, ´ a identidade (obviamente, de mesma ordem das matrizes),
                                               e
                                dizemos que A ´ invers´vel e que B ´ a sua inversa. Uma matriz invers´
                                                e       ı           e                                 ıvel
                                sempre comuta com sua inversa. Vocˆ pode verificar isso, calculando BA. Na
                                                                    e
                                pr´xima aula, estudaremos um m´todo bastante eficiente para determinar,
                                  o                               e
                                caso exista, a matriz inversa de uma matriz dada.


                                Propriedades da multiplica¸˜o de matrizes
                                                          ca
                                    i (AB)C = A(BC), ∀A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R).
                                      Isto ´, a multiplica¸˜o de matrizes ´ associativa.
                                           e              ca              e

                                     De fato, sejam A = (aij ), B = (bjk ) e C = (ckl ). O termo de ´
                                                                                                    ındices
                                                                                n
                                     ik da matriz AB ´ dado pela express˜o j=1 aij bjk . Ent˜o o termo
                                                      e                     a                   a

  CEDERJ        32
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
                          co                           ca
                                                                                          ´
                                                                                         MODULO 1 - AULA 3


     ındices il da matriz (AB)C ´ dado por p
  de ´                                 e              k=1
                                                              n
                                                              j=1 aij bjk ckl =
    n          p
    j=1 aij (  k=1 bjk ckl ), que ´ o termo de ´
                                  e              ındices il da matriz A(BC),
         p
  pois k=1 bjk ckl ´ o termo de ´
                    e               ındices jl da matriz BC. Logo, (AB)C =
  A(BC).


ii A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Mm×n (R), B, C ∈ Mn×p (R).
   Isto ´, a multiplica¸˜o de matrizes ´ distributiva em rela¸˜o a adi¸˜o
        e              ca              e                     ca `     ca
   de matrizes.

  De fato, sejam A = (aij ), B = (bjk ) e C = (cjk ). O termo de ´   ındices jk
  de B + C ´ dado por (bjk + cjk ). Ent˜o o de ´
               e                           a       ındices ik da matriz A(B +
  C) ´ j=1 aij (bjk + cjk ) = j=1 [(aij bjk ) + (aij cjk )] = n (aij bjk ) +
       e    n                        n
                                                                  j=1
     n
     j=1 (aij cjk ), que ´ o termo de ´
                         e            ındices ik da matriz dada por AB +AC.
  Isto ´, A(B + C) = AB + AC.
        e

  De forma an´loga, prova-se que (A + B)C = AC + BC.
             a



iii λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀λ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n (R), ∀B ∈ Mn×p (R).

  De fato, sejam A = (aij ) e B = (bjk ). O termo de ´
                                                     ındices ik de λ(AB)
                     n
  ´ dado por λ
  e                  j=1 aij bjk = j=1 λ(aij bjk ) = n (λaij )bjk , que ´
                                    n
                                                       j=1              e
  o termo de ´ ındices ik de (λA)B. Isto ´, λ(AB) = (λA)B. De forma
                                          e
  an´loga, prova-se que λ(AB) = A(λB). Logo, λ(AB) = (λA)B =
    a
  A(λB).


iv Dada A ∈ Mm×n (R), Im A = AIn = A.

                                                                1, se i = j
  De fato, sejam A = (aij ) e Im = δij , onde δij =                          . Ent˜oa    A fun¸˜o δij assim definida ´
                                                                                               ca                   e
                                                                0, se i = j              chamada delta de Kronecker
  o termo de ´   ındices ij de Im A ´ dado por n δik akj = δi1 a1j + δi2 a2j +
                                      e                k=1
                                                                                         nos ´
                                                                                             ındices i e j.

  ... + δii aij + ... + δin anj = 0.a1j + 0.a2j + ... + 1.aij + ... + 0anj = aij , que
  ´ o termo de ´
  e                 ındices ij de A. Logo, Im A = A. Analogamente, prova-se
  que AIn = A. Isto ´, Im A = AIn = A.
                            e


v Dadas A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R), (AB)T = B T AT .

  De fato, sejam A = (aij ) e B = (bjk ). O termo de ´  ındices ik de
                   n
  AB ´ dado por j=1 aij bjk , que ´, tamb´m, o termo de ´
      e                           e      e              ındices ki da


                                                                                              33      CEDERJ
Alg lini   mod quimica
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  • 1. Álgebra Linear l Volume 1 - 2ª edição Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha
  • 2. Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói, 1364 - Mangueira - Rio de Janeiro, RJ - CEP 20943-001 Tel.: (21) 2299-4565 Fax: (21) 2568-0725 Presidente Carlos Eduardo Bielschowsky Vice-Presidente de Educação Superior a Distância Celso José da Costa Diretor de Material Didático Carlos Eduardo Bielschowsky Coordenação do Curso de Matemática Celso José da Costa Luiz Manoel Figueiredo Material Didático ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO COORDENAÇÃO GRÁFICA Luiz Manoel Figueiredo Jorge Moura Marisa Ortegoza da Cunha PROGRAMAÇÃO VISUAL EDITORA Equipe Cederj Tereza Queiroz COORDENAÇÃO DE ILUSTRAÇÃO COORDENAÇÃO EDITORIAL Eduardo Bordoni Jane Castellani ILUSTRAÇÃO COORDENAÇÃO DE REVISÃO Equipe Cederj Ana Tereza de Andrade CAPA REVISÃO Sami Souza Carmen Irene Correia de Oliveira Gláucia Guarany PRODUÇÃO GRÁFICA Leonardo Villela Ana Paula Trece Pires Andréa Dias Fiães REVISÃO TIPOGRÁFICA Márcia Almeida Equipe Cederj Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação. 972m Figueiredo, Luiz Manoel. Álgebra linear l. v.1 / Luiz Manoel Figueiredo. – 2.ed. – Rio de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2005. 81p.; 21 x 29,7 cm. ISBN: 85-89200-44-2 1. Álgebra linear. 2. Vetores. 3. Matrizes. 4. Sistemas lineares. 5. Determinantes. I. Cunha, Marisa Ortegoza da. II. Título. 2005/1 CDD:512.5 Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
  • 3. IVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ UN UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ SECRETARIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE QUÍMICA REITOR Prof. Dr. Carlos Edilson de Almeida Maneschy VICE-REITORA Prof. Dr. Horacio Schneider PRÓ-REITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃO Profa. Dra. Marlene Rodrigues Medeiros Freitas SECRETÁRIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Profa. MSc. Selma Dias Leite DIRETOR DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS Prof. Dr. Geraldo Narciso DIRETOR DAFACULDADE DE QUÍMICA Prof. Dr. Heriberto R. Bittencourt Este material foi gentilmente cedido pelo Consórcio CEDERJ, para o uso restrito da Licenciatura em Matemática na modalidade a distância sem ônus para a UFPA.
  • 4.
  • 5. Álgebra II Volume 1 SUMÁRIO §1 Vetores, matrizes e sistemas lineares _________________________________ 7 Aula 1 Matrizes ____________________________________________________________ 9 Aula 2 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real ________________________________________________________ 17 Aula 3 Operações com matrizes: multiplicação _____________________________ 29 Aula 4 Operações com matrizes: inversão __________________________________ 39 Aula 5 Determinantes ______________________________________________________ 49 Aula 6 Sistemas lineares ____________________________________________________ 59 Aula 7 Discussão de sistemas lineares _______________________________________ 73 Aula 8 Espaço vetoriais ____________________________________________________ 83 Aula 9 Subespaços vetoriais ________________________________________________ 95 Aula 10 Combinações lineares ______________________________________________ 105 Aula 11 Base e dimensão ___________________________________________________ 115 Aula 12 Dimensão de um espaço vetorial ___________________________________ 123 Aula 13 Soma de subespaços _______________________________________________ 135 Aula 14 Espaços vetoriais com produto interno _______________________________ 149 Aula 15 Conjuntos ortogonais e ortonormais _________________________________ 161 Aula 16 Complemento ortogonal ___________________________________________ 173 Aula 17 Exercícios resolvidos ________________________________________________ 181
  • 6.
  • 7. §1. Vetores, matrizes e sistemas lineares e ´ O que ´ Algebra Linear? Por que estud´-la? a ´ A Algebra Linear ´ a area da Matem´tica que estuda todos os aspectos e ´ a relacionados com uma estrutura chamada Espa¸o Vetorial. c Estrutura matem´tica ´ um a e conjunto no qual s˜o defini- a Devido as suas caracter´ ` ısticas, essa estrutura permite um tratamento das opera¸˜es. As proprie- co alg´brico bastante simples, admitindo, inclusive, uma abordagem computa- e dades dessas opera¸˜es “es- co truturam”o conjunto. Tal- ´ cional. A Algebra Linear tem aplica¸˜es em in´ meras areas, tanto da mate- co u ´ vez vocˆ j´ tenha ouvido falar e a em alguma das principais es- m´tica quanto de outros campos de conhecimento, como Computa¸˜o Gr´fica, a ca a truturas matem´ticas, como a Gen´tica, Criptografia, Redes El´tricas etc. e e grupo, anel e corpo. Vocˆ e estudar´ essas estruturas nas a Nas primeiras aulas deste m´dulo estudaremos algumas ferramentas o ´ disciplinas de Algebra. para o estudo dos Espa¸os Vetoriais: as matrizes, suas opera¸˜es e proprie- c co dades; aprenderemos a calcular determinantes e, finalmente, aplicaremos esse conhecimento para discutir e resolver sistemas de equa¸˜es lineares. Muitos co dos principais problemas da f´ısica, engenharia, qu´ ımica e, ´ claro, da ma- e tem´tica, recaem (ou procuramos fazer com que recaiam) num sistema de a ´ equa¸˜es lineares. A partir da aula 8, estaremos envolvidos com Algebra Li- co near propriamente dita e esperamos que vocˆ se aperceba, ao longo do curso, e de que se trata de uma das areas mais l´ dicas da Matem´tica!!. ´ u a 7 CEDERJ
  • 8.
  • 9. Matrizes ´ MODULO 1 - AULA 1 Aula 1 – Matrizes Objetivos Reconhecer matrizes reais; Identificar matrizes especiais e seus principais elementos; Estabelecer a igualdade entre matrizes. Consideremos o conjunto de alunos do CEDERJ, ligados ao p´lo Lugar o ´ Lindo, cursando a disciplina Algebra Linear 1. Digamos que sejam 5 alunos (claro que esperamos que sejam muitos mais!). Ao longo do semestre, eles far˜o 2 avalia¸˜es a distˆncia e 2 presenciais, num total de 4 notas parciais. a co a Para representar esses dados de maneira organizada, podemos fazer uso de uma tabela: aluno AD1 AD2 AP1 AP2 1. Ana 4,5 6,2 7,0 5,5 2. Beatriz 7,2 6,8 8,0 10,0 3. Carlos 8,0 7,5 5,9 7,2 4. Daniela 9,2 8,5 7,0 8,0 5. Edson 6,8 7,2 6,8 7,5 Se quisermos ver as notas obtidas por um determinado aluno, digamos, o Carlos, para calcular sua nota final, basta atentarmos para a linha corres- pondente (8,0; 7,5; 5,9; 7,2); por outro lado, se estivermos interessados nas notas obtidas pelos alunos na segunda verifica¸˜o a distˆncia, para calcular ca a a m´dia da turma, devemos olhar para a coluna correspondente (6,2; 6,8; e 7,5; 8,5; 7,2). Tamb´m podemos ir diretamente ao local da tabela em que e se encontra, por exemplo, a nota de Carlos na segunda avalia¸˜o a distˆncia ca a (7,5). ´ E esse tipo de tratamento que as matrizes possibilitam (por linhas, por colunas, por elemento) que fazem desses objetos matem´ticos instrumentos a valiosos na organiza¸˜o e manipula¸˜o de dados. ca ca Vamos, ent˜o, a defini¸˜o de matrizes. a ` ca 9 CEDERJ
  • 10. Matrizes Álgebra Linear 1 Defini¸˜o ca Uma matriz real A de ordem m × n ´ uma tabela de mn n´ meros reais, e u dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n s˜o n´ meros inteiros positivos. a u Os elementos de uma ma- triz podem ser outras enti- dades, que n˜o n´meros re- a u Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por ais. Podem ser, por exem- Am×n (R). Neste curso, como s´ trabalharemos com matrizes reais, usaremos o plo, n´meros complexos, po- u linˆmios, outras matrizes etc. o a nota¸˜o simplificada Am×n , que se lˆ “A m por n”. Tamb´m podemos ca e e escrever A = (aij ), onde i ∈ {1, ..., m} ´ o ´ e ındice de linha e j ∈ {1, ..., n} ´ e o´ındice de coluna do termo gen´rico da matriz. Representamos o conjunto e de todas as matrizes reais “m por n”por Mm×n (R). Escrevemos os elementos As barras simples s˜o usadas a de uma matriz limitados por parˆnteses, colchetes ou barras duplas. e para representar determinan- tes, como veremos na aula 5.   Exemplo 1 2 −3   1. Uma matriz 3 × 2 :  1 0  √ 2 17 5 3 2. Uma matriz 2 × 2 : −1 1/2 −4 3. Uma matriz 3 × 1 : 0 11 De acordo com o n´ mero de linhas e colunas de uma matriz, podemos u destacar os seguintes casos particulares: • m = 1: matriz linha • n = 1: matriz coluna • m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas An e dizemos que “A ´ uma matriz quadrada de ordem n”. Representamos o conjunto e das matrizes reais quadradas de ordem n por Mn (R) (ou, simplesmente, por Mn ). Exemplo 2 1. matriz linha 1 × 4: 2 −3 4 1/5   4   2. matriz coluna 3 × 1:  17  0 CEDERJ 10
  • 11. Matrizes ´ MODULO 1 - AULA 1 1 −2 3. matriz quadrada de ordem 2: 5 7 Os elementos de uma matriz podem ser dados tamb´m por f´rmulas, e o como ilustra o pr´ximo exemplo. o Exemplo 3 Vamos construir a matriz A ∈ M2×4 (R), A = (aij ), tal que i2 + j, se i = j aij = i − 2j, se i = j a11 a12 a13 a14 A matriz procurada ´ do tipo A = e . a21 a22 a23 a24 Seguindo a regra de forma¸˜o dessa matriz, temos: ca a11 2 =1 +1=2 a12 = 1 − 2(2) = −3 a22 2 =2 +2=6 a13 = 1 − 2(3) = −5 a14 = 1 − 2(4) = −7 . a21 = 2 − 2(1) = 0 a23 = 2 − 2(3) = −4 a24 = 2 − 2(4) = −6 2 −3 −5 −7 Logo, A = . 0 6 −4 −6 Igualdade de matrizes O pr´ximo passo ´ estabelecer um crit´rio que nos permita decidir se o e e duas matrizes s˜o ou n˜o iguais. Temos a seguinte defini¸˜o: a a ca Duas matrizes A, B ∈ Mm×n (R), A = (aij ), B = (bij ), s˜o iguais a quando aij = bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Exemplo 4 2a 3b 4 −9 Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes e c+d 6 1 2c sejam iguais. Pela defini¸˜o de igualdade de matrizes, podemos escrever: ca   2a = 4    3b = −9 2a 3b 4 −9 = ⇒ c+d 6 1 2c  c+d=1    6 = 2c 11 CEDERJ
  • 12. Matrizes Álgebra Linear 1 Da´ obtemos a = 2, b = −3, c = 3 e d = −2. ı, Numa matriz quadrada A = (aij ), i, j ∈ {1, ...n}, destacamos os se- guintes elementos: • diagonal principal: formada pelos termos aii (isto ´, pelos termos com e ´ ındices de linha e de coluna iguais). • diagonal secund´ria: formada pelos termos aij tais que i + j = n. a Exemplo 5 Seja   3 −2 0 1  3 −2 7   5  A=  .  1/2 −3 π 14  −5 0 −1 6 A diagonal principal de A ´ formada por: 3, 3, π, 6 e A diagonal secund´ria de A ´ formada por: 1, −2, −3, −5 a e Matrizes quadradas especiais No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar alguns tipos especiais. Seja A = (aij ) ∈ Mn (R). Dizemos que A ´ uma e matriz • triangular superior, quando aij = 0 se i > j (isto ´, possui todos os e elementos abaixo da diagonal principal nulos). • triangular inferior, quando aij = 0 se i < j (isto ´, possui todos os e elementos acima da diagonal principal nulos). • diagonal, quando aij = 0 se i = j (isto ´, possui todos os elementos e fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal ´, ao mesmo e No nosso curso nos referimos tempo, triangular superior e triangular inferior. aos n´meros reais como u escalares. Essa denomina¸˜o ca ´ 0, se i = j ´ espec´ e ıfica da Algebra • escalar, quando aij = , para algum k ∈ R. Isto ´, uma e Linear. k, se i = j matriz escalar ´ diagonal e possui todos os elementos da diagonal prin- e cipal iguais a um certo escalar k. CEDERJ 12
  • 13. Matrizes ´ MODULO 1 - AULA 1 0, se i = j • identidade, quando aij = . Isto ´, a identidade ´ uma e e 1, se i = j matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por In . Exemplo 6 matriz classifica¸˜o ca   4 1 2    0 6 3  triangular superior 0 0 9   2 0 0    0 0 3  triangular superior 0 0 0   1 0 0    0 4 0  triangular superior, triangular inferior, diagonal 0 0 0 0 0 triangular inferior −3 0 0 0 triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar 0 0 5 0 triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar 0 5 Exemplo 7 S˜o matrizes identidade: a     1 0 0 0 1 0 0  0 1 0  1 0    0  I1 = [1]; I2 = ; I3 =  0 1 0  ; I4 =   0 1  0 0 1 0  0 0 1 0 0 0 1 De modo geral, sendo n um n´ mero natural maior que u 1, a matriz 13 CEDERJ
  • 14. Matrizes Álgebra Linear 1 identidade de ordem n ´ e   1 0 0 ... 0 0    0 1 0 ... 0 0    0 0 1 ... 0 0   In =  . . . . . .  . . . . . . . . . . . .    0 0 0 ... 1 0    0 0 0 ... 0 1 Defini¸˜o ca A matriz nula em Mm×n (R) ´ a matriz de ordem m × n que possui todos os e elementos iguais a zero. Exemplo 8 0 0 0 Matriz nula 2 × 3: 0 0 0   0 0    0 0    Matriz nula 5 × 2:   0 0      0 0  0 0 Defini¸˜o ca Dada A = (aij ) ∈ Mm×n (R), a oposta de A ´ a matriz B = (bij ) ∈ Mm×n (R) e tal que bij = −aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Ou seja, os elemen- tos da matriz oposta de A s˜o os elementos opostos aos elementos de A. a Representamos a oposta de A por −A.   3 −1 0 Exemplo 9  √   2 3 4  A oposta da matriz A =   ´ a matriz e  1 0 −8  −6 10 −2   −3 1 0  √  −2 − 3 −4   −A =   .  −1 0 8  6 −10 2 CEDERJ 14
  • 15. Matrizes ´ MODULO 1 - AULA 1 Resumo Nesta aula vimos o conceito de matriz e conhecemos seus tipos espe- ciais. Aprendemos a comparar duas matrizes, a identificar a matriz nula e a obter a oposta de uma matriz. Tamb´m vimos algumas matrizes quadradas e que se destacam por suas caracter´ısticas e que ser˜o especialmente uteis no a ´ desenvolvimento da teoria. Exerc´ ıcios 1. Escreva a matriz A = (aij ) em cada caso: 3i + j, se i = j (a) A ´ do tipo 2 × 3, e aij = e i − 2j, se i = j   2i, se i < j  (b) A ´ quadrada de ordem 4 e aij = e i − j, se i = j   2j, se i > j 0, se i = j (c) A ´ do tipo 4 × 2, e aij = e 3, se i = j (d) A ´ quadrada terceira ordem e aij = 3i − j + 2. e 2. Determine x e y tais que 2x + y 11 (a) = 2x − y 9 x2 y 1 −1 (b) = x y2 −1 1 15 CEDERJ
  • 16. Matrizes Álgebra Linear 1 Respostas dos exerc´ ıcios 4 −3 −5 1. (a) 0 8 −4   0 2 2 2    2 0 4 4  (b)    2 4 0 6  2 4 6 0   3 0  0 3    (c)    0 0  0 0   4 1 2   (d)  7 6 5  10 9 8 2. (a) x = 5; y = 1 (b) x = y = −1 Auto-avalia¸˜o ca Vocˆ n˜o deve ter sentido qualquer dificuldade para acompanhar esta e a primeira aula. S˜o apenas defini˜es e exemplos. Se achar conveniente, antes a o de prosseguir, fa¸a uma segunda leitura, com calma, da teoria e dos exemplos. c De qualquer maneira, vocˆ sabe que, sentindo necessidade, pode (e deve!) e entrar em contato com o tutor da disciplina. At´ a pr´xima aula!! e o CEDERJ 16
  • 17. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 Aula 2 – Opera¸oes com matrizes: c˜ transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por ca ca ca n´ mero real u Objetivos Obter a matriz transposta de uma matriz dada; Identificar matrizes sim´tricas e anti-sim´tricas; e e Obter a matriz soma de duas matrizes; Obter o produto de uma matriz por um n´mero real; u Aplicar as propriedades das opera¸˜es nos c´lculos envolvendo matrizes. co a Na aula passada, definimos matrizes e vimos como verificar se duas matrizes s˜o ou n˜o iguais. Nesta aula iniciamos o estudo das opera¸˜es a a co ´ com matrizes. E atrav´s de opera¸˜es que podemos obter outras matrizes, e co a partir de matrizes dadas. A primeira opera¸˜o com matrizes que estuda- ca remos - a transposi¸˜o - ´ un´ria, isto ´, aplicada a uma unica matriz. A ca e a e ´ seguir, veremos a adi¸˜o, que ´ uma opera¸˜o bin´ria, ou seja, ´ aplicada a ca e ca a e duas matrizes. Finalmente, veremos como multiplicar uma matriz por um n´ mero real. Por envolver um elemento externo ao conjunto das matrizes, u essa opera¸˜o ´ dita ser externa. ca e Transposi¸˜o ca Dada uma matriz A ∈ Mm×n (R), A = (aij ), a transposta de A ´ a e matriz B ∈ Mn×m (R), B = (bji ) tal que bji = aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Representamos a matriz transposta de A por AT . Note que para obter a transposta de uma matriz A, basta escrever as linhas de A como sendo as colunas da nova matriz (ou, equivalentemente, escrever as colunas de A como as linhas da nova matriz.)   Exemplo 10 3 1 3 −2 5   1. Seja A = . A transposta de A ´ a matriz AT =  −2 7 . e 1 7 0 5 0 17 CEDERJ
  • 18. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u Álgebra Linear 1 −3 4 −3 4 2. Se M = , ent˜o M T = a = M. 4 9 4 9 Comparando uma matriz com sua transposta, podemos definir matrizes sim´tricas e anti-sim´tricas, como segue: e e Defini¸˜o ca Uma matriz A ´: e • sim´trica, se AT = A e • anti-sim´trica, se AT = −A e Segue da defini¸˜o acima, que matrizes sim´tricas ou anti-sim´tricas ca e e s˜o, necessariamente, quadradas. a Exemplo 11 1. As matrizes    √  1 −2 1/5 0 3 −2  9 −1  3   19 3/2  −2 7   −2 5 1 , , e   √ 3/2 −7  1/5 9 0 8  3 1 8 0 −1 8 4 s˜o sim´tricas. a e 2. A matriz M, do exemplo 10, ´ sim´trica. e e Note que, numa matriz sim´trica, os elementos em posi¸˜es sim´tricas e co e em rela¸˜o a diagonal principal s˜o iguais. ca ` a Exemplo 12 As matrizes     0 −2 1/5 0 0 2 −1/2  0 −1    2 0 9 −1   ,  −2 0 5 , e   1 0  −1/5 −9 0 8  1/2 −5 0 0 1 −8 0 s˜o anti-sim´tricas. a e Note que uma matriz anti-sim´trica tem, necessariamente, todos os e elementos da diagonal principal iguais a zero. CEDERJ 18
  • 19. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 Adi¸˜o ca Vocˆ se lembra do exemplo que demos, na aula 1, com a rela¸˜o de e ca nomes e notas da turma de Lugar Lindo? Cada aluno tem seu nome associado a um n´ mero (o n´ mero da linha). Assim, sem perder qualquer informa¸˜o u u ca sobre os alunos, podemos representar apenas as notas das avalia¸˜es numa co matriz 5 por 4:   4, 5 6, 2 7, 0 5, 5    7, 2 6, 8 8, 0 10, 0    A =  8, 0 7, 5 5, 9 7, 2       9, 2 8, 5 7, 0 8, 0  6, 8 7, 2 6, 8 7, 5 Vamos supor que as provas tenham sido submetidas a uma revis˜o e a que as seguintes altera¸˜es sejam propostas para as notas: co   0, 5 0, 0 0, 0 0, 2    −0, 2 0, 5 0, 5 0, 0    R =  0, 0 0, 2 0, 6 −0, 1       0, 0 0, 5 0, 0 0, 2  0, 2 0, 0 0, 0 0, 3 A matriz N, com as notas definitivas, ´ a matriz soma das matrizes A e e R, formada pelas somas de cada nota com seu fator de corre¸˜o, isto ´, cada ca e termo de A com seu elemento correspondente em R:   4, 5 + 0, 5 6, 2 + 0, 0 7, 0 + 0, 0 5, 5 + 0, 2    7, 2 + (−0, 2) 6, 8 + 0, 5 8, 0 + 0, 5 10, 0 + 0, 0    N =A+R =  8, 0 + 0, 0 7, 5 + 0, 2 5, 9 + 0, 6 7, 2 + (−0, 1)      9, 2 + 0, 0 8, 5 + 0, 5 7, 0 + 0, 0 8, 0 + 0, 2  6, 8 + 0, 2 7, 2 + 0, 0 6, 8 + 0, 0 7, 5 + 0, 3   5, 0 6, 2 7, 0 5, 7    7, 0 7, 3 8, 5 10, 0    Logo, N =  8, 0 7, 7 6, 5 7, 1       9, 2 9, 0 7, 0 8, 2  7, 0 7, 2 6, 8 7, 8 Defini¸˜o ca Dadas as matrizes A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), a matriz soma de A e B ´ a matriz C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que e cij = aij + bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n} 19 CEDERJ
  • 20. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u Álgebra Linear 1 Representamos a matriz soma de A e B por A + B. Em palavras, cada elemento de A + B ´ a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e e B. A diferen¸a de A e B, indicada por A − B, ´ a soma de A com a oposta c e de B, isto ´: A − B = A + (−B). e Exemplo 13 −5 4 1 −2 −4 2 1. + = 2 1 0 3 2 4           3 8 2 −1 3 8 −2 1 1 9           2.  −1 4 − 7 2  =  −1 4 + −7 −2  =  −8 2  7 2 −3 6 7 2 3 −6 10 −4 Multiplica¸˜o por um n´mero real ca u 3 1 Seja A = . Queremos obter 2A: 2 −4 3 1 3 1 2×3 2×1 2A = A + A = + = 2 −4 2 −4 2 × 2 2 × (−4) . Em palavras, o produto da matriz A pelo n´ mero real 2 ´ a matriz u e obtida multiplicando-se cada elemento de A por 2. Voltemos a nossa tabela de notas dos alunos do CEDERJ. Suponhamos ` que, para facilitar o c´lculo das m´dias, queiramos trabalhar numa escala de a e 0 a 100 (em vez de 0 a 10, como agora). Para isso, cada nota dever´ sera multiplicada por 10. Teremos, ent˜o, a seguinte matriz: a   50 62 70 57    70 73 85 100    10N =  80 77 65 71       92 90 70 82  70 72 68 78 e a ´ Vocˆ ver´ que, em Algebra Linear, lidamos com dois Podemos, ent˜o, definir a multiplica¸˜o de uma matriz por um n´mero a ca u tipos de objeto matem´tico: a os escalares (que, neste e ˆ ´ real (ou, como ´ usual dizer no ambito da Algebra Linear, por um escalar). curso, ser˜o os n´meros a u reais) e os vetores. CEDERJ 20
  • 21. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 Defini¸˜o ca Dada A = (aij ) ∈ Mm×n (R) e α ∈ R, a matriz produto de A por α ´ a e matriz C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que cij = α aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ...n} Representamos a matriz produto de A por α por α A. Exemplo 14 −5 2 0 6 6 −1 Dadas A = ,B= eC= , temos: 1 4 −3 8 3 5 −10 4 1. 2A = 2 8 1 0 2 2. B = 3 −1 8/3 −5 2 0 12 −18 3 −23 17 3. A+2B−3C = + + = 1 4 −6 16 −9 −15 −14 5 Propriedades das opera¸˜es com matrizes co Vocˆ talvez j´ tenha se questionado quanto ` necessidade ou utilidade e a a de se listar e provar as propriedades de uma dada opera¸˜o. Comutatividade, ca associatividade... aparentemente sempre as mesmas palavras, propriedades sempre v´lidas... No entanto, s˜o as propriedades que nos permitem esten- a a der uma opera¸˜o que foi definida para duas matrizes, para o caso de somar ca trˆs ou mais. Ela tamb´m flexibilizam e facilitam os c´lculos, de modo que e e a quanto mais as dominamos, menos trabalho “mecˆnico”temos que desenvol- a ver. Veremos agora as propriedades v´lidas para as opera¸˜es j´ estudadas. a co a Propriedade da transposi¸˜o de matrizes ca T (t1) Para toda matriz A ∈ Mm×n (R), vale que AT = A. A validade dessa propriedade ´ clara, uma vez que escrevemos as linhas e de A como colunas e, a seguir, tornamos a escrever essas colunas como linhas, retornando a configura¸˜o original. Segue abaixo a demonstra¸˜o formal ` ca ca dessa propriedade: Seja A = (aij ) ∈ Mm×n (R). Ent˜o AT = B = (bji ) ∈ Mn×m (R) tal que a bji = aij , ( ou, equivalentemente, bij = aji ), ∀i ∈ {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. 21 CEDERJ
  • 22. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u Álgebra Linear 1 T Da´ AT = B T = C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que cij = bji = aij , ∀i ∈ ı, T {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Logo, C = B T = AT = A. Propriedades da adi¸˜o de matrizes ca Para demonstrar as propriedades da adi¸˜o de matrizes, usaremos as ca propriedades correspondentes, v´lidas para a adi¸˜o de n´ meros reais. a ca u Sejam A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ) matrizes quaisquer em Mm×n (R). Valem as seguintes propriedades. (a1) Comutativa: A + B = B + A De fato, sabemos que A + B = (sij ) ´ tamb´m uma matriz m × n cujo e e elemento gen´rico ´ dado por: sij = aij + bij , para todo i = 1, ..., m e todo e e j = 1, ..., n. Como a adi¸˜o de n´ meros reais ´ comutativa, podemos escrever ca u e sij = bij +aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, A+B = B +A. e Em palavras: a ordem como consideramos as parcelas n˜o altera a soma de a duas matrizes. (a2) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) De fato, o termo geral sij de (A+B)+C ´ dado por sij = (a+b)ij +cij = e (aij + bij ) + cij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Como a adi¸˜o ca de n´ meros reais ´ associativa, podemos escrever sij = aij + (bij + cij ) = u e aij +(b+c)ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, sij ´ tamb´m o e e termo geral da matriz obtida de A+(B+C). Isto ´, (A+B)+C = A+(B+C). e Em palavras: podemos estender a adi¸˜o de matrizes para o caso de trˆs ca e parcelas, associando duas delas. A partir dessa propriedade, podemos agora somar trˆs ou mais matrizes. e (a3) Existˆncia do elemento neutro: Existe O ∈ Mm×n (R) tal que A+O = A. e De fato, seja O a matriz nula de Mm×n (R), isto ´, O = (oij ), onde e oij = 0, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Sendo sij o termo geral de A + O, temos sij = aij + oij = aij + 0 = aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, A + O = A. Em palavras: na adi¸˜o de matrizes a matriz nula desempenha o mesmo ca papel que o zero desempenha na adi¸˜o de n´ meros reais. ca u O elemento oposto ´ tamb´m e e (a4) Da existˆncia do elemento oposto : Existe (−A) ∈ Mm×n (R) tal que e chamado elemento sim´trico e ou inverso aditivo. A + (−A) = O. De fato, sabemos que cada elemento de −A ´ o oposto do elemento e correspondente de A. Ent˜o, sendo sij o termo geral de A + (−A), temos a CEDERJ 22
  • 23. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 sij = aij + (−aij ) = 0 = oij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, e A + (−A) = O. Em palavras: Cada matriz possui, em correspondˆncia, uma matriz de mesma e ordem tal que a soma das duas ´ a matriz nula dessa ordem. e (a5) Da soma de transpostas: AT + B T = (A + B)T De fato, seja sij o termo geral de AT +B T . Ent˜o, para todo i = 1, ..., m a e todo j = 1, ..., n, sij = aji +bji = (a+b)ji, que ´ o termo geral de (A+B)T . e T T T Ou seja, A + B = (A + B) . Em palavras: A soma das transpostas ´ a transposta da soma. Ou, vendo sob e outro angulo: a transposi¸˜o de matrizes ´ distributiva em rela¸˜o a adi¸˜o. ˆ ca e ca ` ca Propriedades da multiplica¸˜o de uma matriz por um escalar ca Vocˆ ver´ que, tamb´m neste caso, provaremos a validade dessas propri- e a e edades usando as propriedades correspondentes da multiplica¸˜o de n´ meros ca u reais. Sejam A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), α, β, γ ∈ R. Valem as seguin- tes propriedades: (mn1) (αβ)A = α(βA) De fato, seja pij o termo geral de (αβ)A, isto ´, pij = ((αβ)a)ij = e (αβ)aij = α(βaij ) = (α(βa))ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de α(βA). Logo, (αβ)A = α(βA). e e Exemplo 15 Dada A ∈ Mm×n (R), 12A = 3(4A) = 2(6A). (mn2) (α + β)A = αA + βA De fato, seja pij o termo geral de (α + β)A, isto ´, pij = ((α + β)a)ij = e (α + β)aij = αaij + βaij = (αa)ij + (βa)ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de αA + βA. Logo, e e (α + β)A = αA + βA. Exemplo 16 Dada A ∈ Mm×n (R), 12A = 7A + 5A = 8A + 4A. (mn3) α(A + B) = αA + αB De fato, seja pij o termo geral de α(A+B). Ent˜o, para todo i = 1, ..., m a e todo j = 1, ..., n, temos pij = (α(a + b))ij = α(a + b)ij = α(aij + bij ) = 23 CEDERJ
  • 24. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u Álgebra Linear 1 αaij +αbij = (αa)ij +(αb)ij . Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de αA+αB. e e Logo, α(A + B) = αA + αB. Exemplo 17 Dadas A, B ∈ Mm×n (R), 5(A + B) = 5A + 5B. (mn4) 1A = A De fato, sendo pij o termo geral de 1A, temos pij = (1a)ij = 1aij = aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, 1A = A. e (mn5) αAT = (αA)T De fato, seja pij o termo geral de αAT . Ent˜o pij = αaji = (αa)ji, ou a seja, pij ´ tamb´m o termo geral de (αA)T . e e Exemplo 18 2 1 4 0 T Dadas A = eB = , vamos determinar 3 2AT − 1 B . 0 −1 −2 6 2 Para isso, vamos usar as propriedades vistas nesta aula e detalhar cada passo, indicando qual a propriedade utilizada. T T 1T a5 T T 1 3 2A − B = 3 2A − B 2 2 mn5 T 1 = 3 2 AT − BT 2 t1 1 = 3 2A − B T 2 mn3 1 T = 3(2A) − 3 B 2 mn1 1 = (3.2)A − 3. BT 2 3 = 6A − B T 2 2 1 3 4 −2 = 6 − 0 −1 2 0 6 12 6 6 −3 = − 0 −6 0 9 6 9 = 0 −15 CEDERJ 24
  • 25. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 ca ´ Observa¸˜o. E claro que vocˆ, ao efetuar opera¸˜es com matrizes, n˜o e co a precisar´ explicitar cada propriedade utilizada (a n˜o ser que o enunciado da a a quest˜o assim o exija!) e nem resolver a quest˜o passo-a-passo. O impor- a a tante ´ constatar que s˜o as propriedades das opera¸˜es que nos possibilitam e a co reescrever a matriz pedida numa forma que nos pare¸a mais “simp´tica”. c a Resumo Nesta aula come¸amos a operar com as matrizes. Vimos como ob- c ter a transposta de uma matriz e a reconhecer matrizes sim´tricas e anti- e sim´tricas. A seguir, aprendemos a somar duas matrizes e a multiplicar e uma matriz por um escalar. Finalizamos com o estudo das propriedades das opera¸˜es vistas. A aula ficou um pouco longa, mas ´ importante conhecer co e as propriedades v´lidas para cada opera¸˜o estudada. a ca Exerc´ ıcios 1. Obtenha a transposta da matriz A ∈ M2×4 (R), A = (aij ), tal que 2i + j, se i = j aij = i2 − j, se i = j   2 4 2a − b   2. Determine a e b para que a matriz  a + b 3 0  seja sim´trica. e −1 0 5 3. Mostre que a soma de duas matrizes sim´tricas ´ uma matriz sim´trica. e e e   2x a + b a − 2b   4. Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz  −6 y 2 2c  seja 5 8 z−1 anti-sim´trica. e     2 1 0 1     5. Sendo A =  0 −1  e B =  7 3 , determine A + B. 3 2 −4 5 a 3 2a b −3 −1 2 0 5 6. Determine a, b, e c para que + = . c 0 −2 1 4 3 3 4 1 25 CEDERJ
  • 26. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u Álgebra Linear 1 3 −5 7. Dada A = , determine a matriz B tal que A+ B ´ a matriz e −4 2 nula de M2 (R).     5 1     8. Considere as matrizes A =  −1  , B =  2 , e C = 2 3 0 −2 1 . Determine a matriz X em cada caso: (a) X = 2A − 3B (b) X + A = B − C T − 2X (c) X + B T = 3AT + 1 C 2 9 4 2 −8 7 −9 9. Sendo A = e B = , determine as 6 12 11 −12 −19 −2 2X + Y = A matrizes X e Y tais que X − 2Y = B 10. Sendo A, B ∈ Mm×n (R), use as propriedades vistas nesta aula para T T simplificar a express˜o 3 2AT − B + 5 1 B T − AT + 3 B . a 5 5 Auto-avalia¸˜o ca Vocˆ deve se sentir ` vontade para operar com matrizes nas formas vis- e a tas nesta aula: transpor, somar e multiplicar por um escalar. S˜o opera¸˜es a co de realiza¸˜o simples, que seguem a nossa intui¸˜o. Al´m disso, ´ importante ca ca e e que vocˆ reconhe¸a a utilidade das propriedades no sentido de nos dar mobi- e c lidade na hora de operarmos com matrizes. Propriedades de opera¸˜es n˜o co a s˜o para serem decoradas, mas apreendidas, assimiladas, utilizadas ao pˆr a a o teoria em pr´tica! a Se vocˆ sentiu qualquer dificuldade ao acompanhar a aula ou ao resolver e os exerc´ ıcios propostos, pe¸a aux´ ao tutor da teoria. O importante ´ que c ılio e caminhemos juntos nesta jornada! At´ a pr´xima aula!! e o CEDERJ 26
  • 27. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 Respostas dos exerc´ ıcios   3 3  −1   5  1.    −2 1  −3 0 2. a = 1; b = 3 4. a = 7 ; b = 3 11 3 ; c = −4; x = 0; y = 0; z = 1   2 2   5.  7 2  −1 7 6. a = 3; b = −1; c = 2 −3 5 7. 4 −2     7 −4     8. (a)  −8  (b)  1  (c) 14 −6 7 2 −5 0 2 3 −1 5 −2 4 9. X = ; Y = 0 1 4 6 10 3 10. A + B 27 CEDERJ
  • 28.
  • 29. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca ´ MODULO 1 - AULA 3 Aula 3 – Opera¸oes com matrizes: c˜ multiplica¸˜o ca Objetivos Reconhecer quando ´ poss´ multiplicar duas matrizes; e ıvel Obter a matriz produto de duas matrizes; Aplicar as propriedades da multipli¸˜o de matrizes; ca Identificar matrizes invers´ ıveis. Se vocˆ j´ foi “apresentado” a multiplica¸˜o de matrizes, pode ter se e a ` ca perguntado por que a defini¸˜o foge tanto daquilo que nos pareceria mais ca f´cil e “natural”: simplesmente multiplicar os termos correspondentes das a duas matrizes (que, para isso, deveriam ser de mesma ordem). Poderia ser assim? Poderia! Ent˜o, por que n˜o ´? a a e Em Matem´tica, cada defini¸˜o ´ feita de modo a possibilitar o desen- a ca e ´ O caso 00 ´ mais delicado do e volvimento da teoria de forma cont´ınua e coerente. E por essa raz˜o que a que parece. Se vocˆ tem e 0 definimos, por exemplo, 0! = 1 e a = 1, (a = 0). interesse nesse problema, vai gostar de ler o artigo de N˜o ir´ a ıamos muito longe, no estudo das matrizes, caso a multiplica¸˜o ca Elon Lages Lima, na Revista fosse definida “nos moldes” da adi¸˜o. Vocˆ ver´, nesta aula, o significado ca e a do Professor de Matem´tica a (RPM), n. 7. dessa opera¸˜o, no modo como ´ definida. Mais tarde, quando estudar- ca e mos transforma¸˜es lineares (no m´dulo 2), ficar´ ainda mais evidente a co o a importˆncia de multiplicarmos matrizes da maneira como veremos a seguir. a Venha conosco! Vamos voltar aos nossos alunos de Lugar Lindo. J´ ´ tempo de calcular ae suas notas finais! A ultima matriz obtida (na aula 2) fornecia as notas numa escala de 0 ´ a 100:   50 62 70 57    70 73 85 100    N =  80 77 65 71       92 90 70 82  70 72 68 78 Lembrando: as duas primeiras colunas indicam as notas das avalia¸˜es co 29 CEDERJ
  • 30. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca Álgebra Linear 1 a ` distˆncia e as duas ultimas, as notas das avalia¸˜es presenciais dos alunos a ´ co Ana, Beatriz, Carlos, Daniela e Edson, nessa ordem. Vamos supor que as avalia¸˜es a distˆncia tenham, cada uma, peso 1, co ` a 1 num total de 10. Isto ´, cada uma colabora com 10 (ou 10%) da nota final. e Para completar, cada avalia¸˜o presencial ter´ peso 4, ou seja, repre- ca a 4 sentar´ 10 (ou 40%) da nota final. a Ent˜o, a nota final de cada aluno ser´ dada por: a a 10 10 40 40 NF = AD1 + AD2 + AP 1 + AP 2 100 100 100 100 Em vez de escrever uma express˜o como essa para cada um dos 5 alunos, a podemos construir uma matriz-coluna P contendo os pesos das notas, na ordem como aparecem no c´lculo de NF : a   10/100  10/100    P =   40/100  40/100 e efetuar a seguinte opera¸˜o: ca   50 62 70 57     10/100  70 73 85 100       10/100  N .P =  80 77 65 71  .     40/100 =     92 90 70 82  40/100 70 72 68 78     10 10 40 40 .50 + 100 .62 + 100 .70 + 100 .57 62  100     10 10 40 40 .70 + 100 .73 + 100 .85 + 100 .100   88   100    =  10 100 10 40 40 .80 + 100 .77 + 100 .65 + 100 .71 =   70    10 10 40 40     100 .92 + 100 .90 + 100 .70 + 100 .82   79  10 10 40 40 100 .70 + 100 .72 + 100 .68 + 100 .78 73 O que fizemos: tomamos duas matrizes tais que o n´mero de termos u em cada linha da primeira ´ igual ao n´mero de termos de cada coluna da e u segunda. Ou seja, o n´mero de colunas da primeira coincide com o n´mero u u de linhas da segunda (4, no nosso exemplo). Dessa forma, podemos multiplicar os pares de elementos, “varrendo”, simultaneamente, uma linha da 1a. matriz e uma coluna da 2a. . Depois, somamos os produtos obtidos. CEDERJ 30
  • 31. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca ´ MODULO 1 - AULA 3 Note que, ao considerarmos a i-´sima linha (da 1a. matriz) e a j-´´sima e e a. coluna (da 2 ), geramos o elemento na posi¸˜o ij da matriz produto. ca Formalmente, temos a seguinte defini¸˜o: ca Multiplica¸˜o de matrizes ca Sejam A = (aik ) ∈ Mm×p (R) e B = (bkj ) ∈ Mp×n (R). A matriz produto de A por B ´ a matriz AB = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que e p cij = aik .bkj , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n k=1   Exemplo 19 1 3 10 2 3 2 −1   Sejam A = e B =  −1 5 0 5 . Como A ´ do tipo e 4 0 7 2 6 4 −2 2 × 3 e B ´ do tipo 3 × 4, existe a matriz AB e ´ do tipo 2 × 4: e e   1 3 10 2 3 2 −1   AB =  −1 5 0 5 = 4 0 7 2 6 4 −2 3 − 2 − 2 9 + 10 − 6 30 + 0 − 4 6 + 10 + 2 −1 13 26 18 = = 4 + 0 + 14 12 + 0 + 42 40 + 0 + 28 8 + 0 − 14 18 54 68 −6 Observe que, neste caso, n˜o ´ poss´ efetuar BA. a e ıvel A seguir, veremos alguns exemplos e, a partir deles, tiraremos algumas conclus˜es interessantes a respeito da multiplica¸˜o de matrizes. o ca Exemplo 20 2 4 3 2 Sejam A = eB= . Ent˜o a 3 −1 5 6 2 4 3 2 6 + 20 4 + 24 26 28 AB = = = 3 −1 5 6 9−5 6−6 4 0 e 3 2 2 4 6 + 6 12 − 2 12 10 BA = = = . 5 6 3 −1 10 + 18 20 − 6 28 14 Note que o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem n existe e ´ tamb´m uma matriz quadrada de ordem n. Assim, a multiplica¸˜o e e ca pˆde ser efetuada nos dois casos, isto ´, nas duas ordens poss´ o e ıveis, mas as matrizes AB e BA s˜o diferentes. a 31 CEDERJ
  • 32. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca Álgebra Linear 1 Exemplo 21 1 2 1 4 Sejam A = e B= . Temos que: 3 4 6 7 1 2 1 4 1 + 12 4 + 14 13 18 AB = = = 3 4 6 7 3 + 24 12 + 28 27 40 e 1 4 1 2 1 + 12 2 + 16 13 18 BA = = = 6 7 3 4 6 + 21 12 + 28 27 40 Neste caso, AB = BA. Quando isso ocorre, dizemos que as matrizes A e B comutam.   Exemplo 22 4 3 2 1   Consideremos as matrizes A = e B =  −19 . −4 6 5 26 0 Efetuando AB, obtemos a matriz . 0 Note que, diferentemente do que ocorre com os n´ meros reais, quando u multiplicamos matrizes, o produto pode ser a matriz nula, sem que qualquer dos fatores seja a matriz nula. Exemplo 23 1 2 −2 1 Vamos calcular AB, sendo A = eB= . 3 4 3/2 −1/2 −2 + 3 1 − 1 1 0 Temos que AB = = = I2 . −6 + 6 3 − 2 0 1 Matrizes invers´ ıveis tamb´m e s˜o chamadas de invert´ a ıveis Quando isso ocorre, isto ´, quando o produto de duas matrizes A e e ou de n˜o-singulares. a B quadradas, ´ a identidade (obviamente, de mesma ordem das matrizes), e dizemos que A ´ invers´vel e que B ´ a sua inversa. Uma matriz invers´ e ı e ıvel sempre comuta com sua inversa. Vocˆ pode verificar isso, calculando BA. Na e pr´xima aula, estudaremos um m´todo bastante eficiente para determinar, o e caso exista, a matriz inversa de uma matriz dada. Propriedades da multiplica¸˜o de matrizes ca i (AB)C = A(BC), ∀A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R). Isto ´, a multiplica¸˜o de matrizes ´ associativa. e ca e De fato, sejam A = (aij ), B = (bjk ) e C = (ckl ). O termo de ´ ındices n ik da matriz AB ´ dado pela express˜o j=1 aij bjk . Ent˜o o termo e a a CEDERJ 32
  • 33. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca ´ MODULO 1 - AULA 3 ındices il da matriz (AB)C ´ dado por p de ´ e k=1 n j=1 aij bjk ckl = n p j=1 aij ( k=1 bjk ckl ), que ´ o termo de ´ e ındices il da matriz A(BC), p pois k=1 bjk ckl ´ o termo de ´ e ındices jl da matriz BC. Logo, (AB)C = A(BC). ii A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Mm×n (R), B, C ∈ Mn×p (R). Isto ´, a multiplica¸˜o de matrizes ´ distributiva em rela¸˜o a adi¸˜o e ca e ca ` ca de matrizes. De fato, sejam A = (aij ), B = (bjk ) e C = (cjk ). O termo de ´ ındices jk de B + C ´ dado por (bjk + cjk ). Ent˜o o de ´ e a ındices ik da matriz A(B + C) ´ j=1 aij (bjk + cjk ) = j=1 [(aij bjk ) + (aij cjk )] = n (aij bjk ) + e n n j=1 n j=1 (aij cjk ), que ´ o termo de ´ e ındices ik da matriz dada por AB +AC. Isto ´, A(B + C) = AB + AC. e De forma an´loga, prova-se que (A + B)C = AC + BC. a iii λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀λ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n (R), ∀B ∈ Mn×p (R). De fato, sejam A = (aij ) e B = (bjk ). O termo de ´ ındices ik de λ(AB) n ´ dado por λ e j=1 aij bjk = j=1 λ(aij bjk ) = n (λaij )bjk , que ´ n j=1 e o termo de ´ ındices ik de (λA)B. Isto ´, λ(AB) = (λA)B. De forma e an´loga, prova-se que λ(AB) = A(λB). Logo, λ(AB) = (λA)B = a A(λB). iv Dada A ∈ Mm×n (R), Im A = AIn = A. 1, se i = j De fato, sejam A = (aij ) e Im = δij , onde δij = . Ent˜oa A fun¸˜o δij assim definida ´ ca e 0, se i = j chamada delta de Kronecker o termo de ´ ındices ij de Im A ´ dado por n δik akj = δi1 a1j + δi2 a2j + e k=1 nos ´ ındices i e j. ... + δii aij + ... + δin anj = 0.a1j + 0.a2j + ... + 1.aij + ... + 0anj = aij , que ´ o termo de ´ e ındices ij de A. Logo, Im A = A. Analogamente, prova-se que AIn = A. Isto ´, Im A = AIn = A. e v Dadas A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R), (AB)T = B T AT . De fato, sejam A = (aij ) e B = (bjk ). O termo de ´ ındices ik de n AB ´ dado por j=1 aij bjk , que ´, tamb´m, o termo de ´ e e e ındices ki da 33 CEDERJ