Matemática básica radiciação equações

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Matemática básica radiciação equações

  1. 1. RadiciaçãoDefinições e Demonstrações:Raiz de 1 quociente e quociente de 2 raizes: o quociente de 2 radicais do mesmo indice, é oradical do mesmo indice cujo o radicando é quociente dos radicandos do divisor e dodividendo.Raiz de 1 Raiz: A raiz de indice n da raiz de indice p de um certo numero e a raiz deindice n.p desse numero.Raiz de 1 produto e produto de 1 raiz: A raiz de um produto e igual ao produto das raizes domesmo indice.
  2. 2. Multiplicação de Potencia da mesma base (no caso base -3): O produto de potencia da mesmabase é a potencia com a mesma base cujo expoente é a soma dos expoentes dos factores.Divisão de potencias com a mesma base (base -2): O quociente de potencias com a mesmabase é uma potencia com a mesma base e cujo o expoente é a diferença entre os expoentesdo dividendo e do divisor.Potencia de expoente fraccionário: Reciprocamente todo o radical é convertivel em potenciade expoente fraccionário.Potencia de uma potencia: A potencia de uma potencia éoutra potência com a base da 1ª eexpoente igual ao produto dos expoentes.Inversamente/o: Qualquer coefiente ou factor de um radical pode passar pode passar parafactor do seu radicando desde que se multiplique o seu expoente pelo indice do radical.Os Exercicios seguintes 1., 2. e 3. são os mais importantes para a manipulação fluente depotencias e raizes, verifique com atenção a simplicidade das operações:O proximo exercicio vem demonstrar o porquê das operaçoes entre coeficiente (o nº fora daraiz) e radicando (o nº dentro da raiz) são possiveis.Quando o expoente da raiz for igual ao expoente do radicando, o radicando coeficienteperdendo de expoente 1.
  3. 3. Exercícios
  4. 4. Equações Primeiro GrauExercícios1) 2 x + 6 = x + 182) 5 x – 3 = 2 x + 93) 3 (2x-3) + 2 (x + 1) = 3x + 184) 2x + 3 (x – 5) = 4x + 95) 2 (x + 1) – 3 (2x – 5) = 6x – 36) 3x – 5 = x – 27) 3x – 5 = 138) 3x + 5 = 29) x – (2x – 1) = 2310) 2x – (x – 1) = 5 – (x – 3) Equações Segundo GrauChamamos de equação do 2º grau as equações do tipo:onde a, b e c são números conhecidos com a 0.Exemplos:1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5)2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0)3º) 4x2– 11 = 0 (a = 4, b = 0 e c = –11)A – Resolução da equação do 2º grauExemplos:1º) Resolver em R a equação: x2-16=0Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente b é igual a zero por isto ela é chamada deequação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:x2-16=0 x2=16 2x -16=0 x = –4 ou x = +4Assim:
  5. 5. 2º) Resolver em R a equação:x2 + 11x = 0Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente c é igual a zero e por isto ela é chamada,também, de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:x2 + 11x = 0 x(x + 11) = 0x2 + 11x = 0 x = 0 ou x + 11 = 0x2 + 11x = 0 x = 0 ou x = –11Assim:3º) Resolver em R a equação:x2 + 4x + 4 = 16Observemos que x2 + 4x + 4 é, na sua forma fatorada, é igual a (x + 2)2, então:x2 + 4x + 4 = 16 passa a ser (x + 2)2 = 16Assim:x2 + 4x + 4 = 16 (x + 2)2 = 16x2 + 4x + 4 = 16 x + 2 = –4 ou x + 2 = 4x2 + 4x + 4 = 16 x = –6 ou x = 2Assim:4º) Resolver em R a equação:x2– 6x + 5 = 0Observemos que x2– 6x + 5 não é um quadrado perfeito, donde se conclui que o procedimentoutilizado no exemplo anterior não poderá repetido. Não poderá ser repetido a menos que façamosalgumas modificações na equação, como veremos a seguir:x2é “o quadrado do primeiro”, 6x é “duas vezes o primeiro (que é x) pelo segundo”, logo, osegundo só poderá ser o número 3 e, assim, “o quadrado do segundo será igual a 9”. Como oquadrado perfeito só aparecerá se tivermosx2 – 6x + 9, acrescentaremos aos dois membros daigualdade o número 9.Assim:x2 – 6x + 5 = 0 x2– 6x + 5 + 9 = 9x2– 6x + 5 = 0 x2– 6x + 9 = 4x2– 6x + 5 = 0 (x – 3)2 = 4x2– 6x + 5 = 0 x – 3 = –2 ou x – 3 = 2x2 – 6x + 5 = 0 x = 1 ou x = 5Assim:B – Fórmula de BhaskaraVamos resolver a equação: ax2 + bx + c = 0, que é a forma geral da equação do 2º grau.Inicialmente multiplicamos os dois membros da igualdade por a. Teremos:a2x2+ abx + ac = 0Notemos que a expressão:
  6. 6. é um quadrado perfeito e, assim podemos acrescentar aos dois membros da igualdade onúmero .a2x2 + abx + =Logo:Chamando b2– 4ac de discriminante da equação do 2º grau, que será representado pela letragrega (delta), teremos:Dessa forma, resolvemos a equação do 2º grau com os coeficientes literais a, b e c o que nospermite estabelecer uma fórmula já nossa conhecida, chamada “fórmula de Bhaskara” a qualresolverá qualquer equação do 2º grau, bastando substituir os coeficientes pelos números naequação a resolver.Exemplo1º caso: >0 A equação terá duas raízes reais e distintas.ExemploResolver em R:2º caso: =0 A equação terá duas raízes reais e iguais.ExemploResolver em R:
  7. 7. 3º caso: <0 A equação não terá raízes reais.ExemploExercícios1) 8x² -12x +4 = 02) -12x² + 4x +16 = 03) x² -5x +4 = 04) 3x² + 7x +2 = 05) -x² -11x -10 = 06) 3x² -2x -1 = 07) -2x² -3x +2 = 08) -2x² -7x -5 = 09) -2x² -x +6 = 010) -x² + 9x -8 = 0Respostas:1) 1 e1/22) -1 e 1,333) 4 e 14) -0,33 e -25) -10 e -16) 1 e -0,337) -2 e 1/2
  8. 8. 8) -5/2 e -19) -2 e 3/210) 1 e 8

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