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PROFESSOR:
 Eduardo Gabriel Ramos de Oliveira
                                                                                TURMA: 01
 Flávio Augusto Lima Ribeiro

                       CURSO TÉCNICO EM ELETROMENÂNICA


                     FUNDAMENTOS DE ELETROTÉCNICA II


1.   ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES

      Atualmente, dois tipos de corrente elétrica são usados nos equipamentos elétricos
e eletrônicos: a corrente contínua (CC), cuja intensidade e sentido não variam com o
tempo, e a corrente alternada (CA), cuja intensidade e sentido mudam constantemente.
      A seguir, veremos uma introdução à análise de circuito na qual abordaremos
somente circuitos de corrente contínua. Os métodos e conceitos envolvidos serão
discutidos em profundidade para esse tipo de corrente; em vários casos, um breve
comentário será suficiente para explicar quaisquer diferenças que possamos encontrar
quando considerarmos a corrente alternada em tópicos posteriores.
      Inúmeras vezes tem-se necessidade de um valor maior de resistência diferente
dos valores fornecidos pelos resistores de que dispomos; outras vezes, deve-se
atravessar um resistor corrente maior do que aquela que ele normalmente suporta e
que o danificaria. Nesses casos deve-se fazer uma associação de resistores.
      Os resistores podem ser associados de diversos modos. Basicamente existem dois
modos distintos de associá-los: em série e em paralelo.

2.   ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE

       Um circuito consiste em um número qualquer de elementos unidos por seus
terminais, com pelo menos um caminho fechado através do qual a carga possa fluir. O
circuito da figura 1 possui três elementos, conectados em três pontos (a, b e c), de
modo a constituir um caminho fechado para a corrente I.
       Dois elementos estão em série se:

      1- Possuem somente um terminal em comum (isto é, um terminal de
      um está conectado somente a um terminal do outro).
      2- O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento
      percorrido por corrente.




                 V




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FIGURA 1: Circuito em série.
      Na figura 1, os resistores R1 e R2 estão em série porque possuem somente o ponto
b em comum. As outras extremidades dos resistores estão conectadas a outros pontos
do circuito. Pela mesma razão, a bateria V e o resistor R1 estão em série (terminal a em
comum) e o resistor R2 e a bateria V estão em série (ponto c em comum).
      Como todos os elementos estão em série, o circuito é chamado de circuito em
série.
      Em uma associação de resistores em série, a resistência equivalente é igual à
soma das resistências associadas.

                                     RT=R1+R2+R3+... +RN

     Aplicando a Lei de Ohm em cada resistor da figura 1 teremos:

                                        V1=R1.I, V2=R2.I

     Então, a tensão em cada resistor de uma associação em série é diretamente
proporcional à respectiva resistência.
     No resistor equivalente, a tensão vale:


                                              V=RT.I

e sendo

                                            RT=R1+R2

temos


                                     RT.I= R1.I+ R2.I

portanto

                                            V= V1+V2

      A tensão total de uma associação de resistores em série é a soma das tensões em
cada resistor associado.
      A potência elétrica em uma associação de resistores em série, as potências
dissipadas são diretamente proporcionais às respectivas resistências.

                             P1=R1.I2; P2=R2.I2; PN=RN.I2




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Exemplo: Dados RT e I,calcule R1 e V para o circuito abaixo.




                       V




                                         RT = R1 + R 2 + R 3
                                         12kΩ = R1 + 4kΩ + 6kΩ
                                         R1 = 12kΩ − 10kΩ
                                         R1 = 2kΩ
                                         V = I .RT
                                         V = (6 x10 −3 ).(12 x10 3 )
                                         V = 72V

2.1 FONTES DE TENSÃO EM SÉRIE

      Duas ou mais fontes de tensão podem ser ligadas em série para aumentar ou
diminuir a tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada
somando-se as tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de
polaridade oposta. A polaridade resultante é aquela para qual a soma é maior.

Exemplo:

     No circuito a as fontes estão “forçando” a corrente para a direita, de modo que a
tensão total é dada por:
                 V1        V2       V3                    VT




                                               VT=V1+V2+V3

                                                VT=10+6+2

                                                  VT=18V

                   V  1       2 V    3   V                   T   V
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Já no circuito b, a maior força é para a esquerda, o que resulta em uma
tensão total dada por:

                                       VT=V2+V3-V1

                                         VT=9+3-4

                                           VT=8V



2.2 REGRA DOS DIVISORES DE TENSÃO

      Nos circuitos em série, a tensão dos elementos resistivos se divide na mesma
proporção que os valores de resistência. Por exemplo: as tensões entre os terminais dos
elementos resistivos da figura 2 são dadas. O maior resistor de 6 , captura a maior
parte da tensa aplicada, enquanto o menor resistor R3 fica com a menor. Note também
que, como a resistência R1 é 6 vezes maior que a de R3, a tensão nos terminais de R1 é
também 6 vezes maior que entre os terminais de R3.
      O fato de R2 ser 3 vezes maior que R3, resulta em uma tensão três vezes maior
nos terminais de R2. Em geral, a tensão entre os terminais de resistores em série está
na mesma razão que suas resistências.
      É a relação entre os valores dos resistores que conta para a divisão da tensão e
não o valor absoluto dos resistores.
      Há, entretanto, um método, conhecido como regra do divisor de tensão, que
permite determinar as tensões sem que seja necessário calcular a corrente. A regra
pode ser deduzida analisando a figura 3.




                      V




      Figura 2: Como a tensão se divide entre os elementos resistivos em série.



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V




                 Figura 3: Dedução da regra dos divisores de tensão.

                                            RT=R1+R2

                                                V
                                           I=
                                                RT
     Aplicando a definição de resistência:

                                            V        R1
                                V 1 = IR1 =  .R1 =      .V
                                             RT      RT
                                             V        R2
                                V 2 = IR 2 =  .R 2 =     .V
                                              RT      RT

     Então, podemos escrever a equação para regra dos divisores de tensão da
seguinte forma:

                                               Rx
                                        Vx =      .V
                                               RT
      Em palavras, a regra dos divisores de tensão determina que a tensão entre os
terminais de um resistor em um circuito série é igual ao valor desse resistor
vezes a tensão total aplicada aos elementos em série do circuito dividida pela
resistência total dos elementos em série.




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Exemplo: Determine a tensão V1 para o circuito abaixo.




                             R1       R1           20         1280
                      V1 =      .V =          .V  =      .V =      = 16V
                             RT       R1 + R 2   20 + 60       80


3.   LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES (LTK)

      A Lei de Kirchhoff para tensões afirma que a soma algébrica das variações de
potencial em uma malha fechada é nula.
      Uma malha fechada é qualquer caminho contínuo que deixa um ponto em um
único sentido e retorna ao mesmo ponto vindo do sentido oposto, sem deixar o circuito.
Na figura 4, seguindo a corrente, podemos traçar um caminho contínuo que deixa o
ponto a através de R1 e retorna através de V sem deixar o circuito. Assim, abcda é uma
malha fechada.
      Para podermos aplicar a lei de Kirchhoff para as tensões, a soma dos aumentos e
quedas de potencial precisa ser feita percorrendo a malha em um certo sentido.
      Por convenção, o sentido horário será usado para todas as aplicações da lei de
Kirchhoff para tensões que se seguem. Porém, o mesmo resultado seria obtido se o
sentido escolhido fosse o anti-horário.




                  V




Figura 4: Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões a um circuito em série.

     Um sinal positivo indica um aumento de potencial (de – para +), e um sinal
negativo, uma queda (de + para -). Se seguirmos a corrente na figura 4 a partir do
ponto a, primeiro encontraremos uma queda de potencial V1 (de + para -) entre os
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terminais de R1 e outra queda V2 entre os terminais de R2. Ao passarmos pelo interior
da fonte, temos um aumento de potencial V (de – para +) antes de retornar ao ponto a.

                                        +V-V1-V2=0

                                          V=V1+V2

Exemplo: Determine as tensões desconhecidas nos circuitos abaixo.




                Vx                         Vy




                                      +Vx-V1-V2-Vy=0

                                        V1=Vx-V2-Vy

                                        V1=16-4,2-9

                                          V1=2,8V




     Para a figura a:




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Para a figura b:




      Se o resultado for positivo, é porque a polaridade escolhida estava correta; se for
negativo, o valor calculado para a tensão está correto, mas a polaridade terá que ser
invertida.

4.   ASSOCIAÇÃO DE RESITORES EM PARALELO

    Dois elementos, ramos ou circuitos estão ligados em paralelo quando possuem dois
pontos em comum. Na figura 5, os terminais a e b são comuns aos elementos 1 e 2,
portanto estão ligados em paralelo.




                           FIGURA 5: Elementos em paralelo.

       Os elementos que aparecem na figura 6 também estão ligados em paralelo,
porque satisfaz, nos três casos, o critério acima. Essas três configurações têm o objetivo
de ilustrar diferentes traçados para o mesmo circuito em paralelo. O formato retangular
das conexões nos casos (a) e (b) não deve obscurecer o fato de que todos os elementos
estão ligados ao mesmo terminal na parte superior, acontecendo o mesmo na parte
inferior, como vemos na figura 6 (c) (circuito misto).




      FIGURA 6: Modos diferentes de representar elementos em paralelo.

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Os elementos 1 e 2 na figura 7 estão em paralelos, pois possuem os terminais a e
b em comum. Esta combinação em paralelo está em série com o elemento 3, pois o
terminal b está ligado tanto a 3 quanto à combinação em paralelo 1 e 2.




FIGURA 7: Circuito no qual 1 e 2 estão em paralelo e 3 está em série com a
combinação em paralelo.


     Na figura 8, os elementos 1 e 2 estão em série devido ao ponto comum a, e esta
combinação em série está em paralelo com o elemento 3, como evidenciam as ligações
comuns aos pontos b e c.




FIGURA 8: Circuito onde 1 e 2 estão em série e 3 está em paralelo                      com a
combinação em série de 1 e 2.

      Como vimos, vários resistores estão associados em paralelo quando são ligados
pelos terminais, de modo a ficarem submetidos à mesma tensão (figura 9).

                                              I1

                                              I2


                I                             I3
                                                             I




                                             (a)

                      I




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(b)

Figura 9: Resistores associados em paralelo ficam submetidos à mesma tensão.
      A intensidade de corrente I do circuito principal divide-se, nos resistores
associados, em valores I1, I2 e I3, como mostra a figura 9 (a).
      Então, podemos concluir que a intensidade de corrente em uma associação
de resistores em paralelo é a soma das intensidades de correntes nos
resistores associados.

                                      I = I1 + I 2 + I 3
     Pela Lei de Ohm: V=RP.I; V=R1.I1; V=R2.I2; V=R3.I3

isto é, em uma associação de resistores em paralelo são iguais os produtos das
resistências elétricas pelas respectivas intensidades de corrente.
      Também:

                                          V        V        V
                                   I1 =      ,I2 =    ,I3 =
                                          R1       R2       R3

podendo-se dizer que, em uma associação de resistores em paralelo, as
intensidades de corrente são inversamente proporcionais às respectivas
resistências.

      O resistor equivalente à associação Rp figura 9 (b), submetido à tensão V da
associação, será percorrido pela corrente total I.

                                                         V
                                    V = Rp.I I =
                                                         Rp
     Como,

                                           I=I1+I2+I3

Temos:

                                      V  V V V
                                        = +    +
                                      Rp R1 R 2 R3

                                      1   1   1   1
                                        =   +   +
                                      Rp R1 R 2 R3


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Isto é, em uma associação de resistores em paralelo, o inverso da resistência
equivalente da associação é igual à soma dos inversos das resistências associadas.
     No caso de dois resistores associados em paralelo:

                                     1   1   1   R1 + R 2
                                       =   +   =
                                     Rp R1 R 2    R1.R 2
     Portanto:

                                            R1.R 2     produto
                                    Rp =            
                                                    →
                                           R1 + R 2     soma

     Se tivermos n resistores iguais, de resistências R cada um, resultará:

                                                      1  1 1       1 n
                     R1=R2=R3...=R e, então,            = + + ... + =
                                                      Rp R R       R R

                                                     R
                                              Rp =
                                                     n

     A potência elétrica dissipada em cada resistor da associação pode ser escrita:

                                          V2        V2        V2
                                   P1 =      , P2 =    , P3 =
                                          R1        R2        R3

ou seja, em uma associação de resistores em paralelo, as potências dissipadas
são inversamente proporcionais às respectivas resistências.

Exemplo: Um resistor de 5 e um resistor de 20 são associados em paralelo e à
associação aplica-se uma tensão de 100V. Determine:
   a) Qual a resistência equivalente da associação?
   b) Qual a intensidade de corrente de cada resistor?
   c) Qual a intensidade de corrente na associação?

Solução:                             5




                                     20


                                    100V
  a) A resistência equivalente é:

                                            R1.R 2   5.20
                                  Rp =             =       = 4Ω
                                           R1 + R 2 5 + 20

  b) Pela Lei de Ohm, as intensidades e corrente são:
                                V 100                 V 100
                           I1 =    =   = 50 A e I 2 =    =   = 5A
                                R1   5                R 2 20
  c) A corrente na associação valerá:
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I=I1+I2
                                           I=20+5
                                            I=25A


5.   REGRA DO DIVISOR DE CORRENTE
       A regra do divisor de corrente nos diz que uma corrente que entra em conjunto de
elementos em paralelo se divide entre estes elementos.
       No caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente
se distribui entre os dois elementos em partes iguais. Se os elementos em
paralelo tiveram resistências diferentes, o elemento de menor resistência será
percorrido pela maior fração da corrente. A razão entre os valores das
correntes nos dois ramos será inversamente proporcional à razão entre as suas
resistências.
       No caso de circuitos para os quais conhecemos apenas o valor dos resistores e a
corrente de entrada, devemos, utilizar a regra do divisor de corrente para calcular as
correntes nos vários ramos. Vamos deduzir uma expressão algébrica para esta regra
utilizando o circuito da figura 10.




                FIGURA 10:Dedução da regra do divisor de corrente.


                                           V
      A corrente de entrada é dada por        , onde RT é a resistência total do circuito.
                                           RT
Substituindo nesta expressão para I o valor de V=Ix.Rx, onde Ix é a corrente que
atravessa o ramo de resistência Rx, obtemos
                                              RT
                                        I1 =     I
                                              R1

para I2,
                                                   RT
                                            I2 =      I
                                                   R2
e assim por diante.
      No caso de dois ramos em paralelo, a corrente através de um deles é igual ao
produto da resistência no outro ramo pela corrente de entrada dividido pela soma dos
valores das duas resistências em paralelo.



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FIGURA 11:Dedução de uma fórmula para a divisão da corrente entre dois
resistores em paralelo.

                                                       R1.R 2
                                              RT =
                                                      R1 + R 2

                                                    R1.R 2
                                            RT
                                       I1 =    I = R1 + R 2 I
                                            R1       R1

                                                       R2
                                              I1 =            I
                                                     R1 + R 2


Analogamente para I2,
                                                        R1
                                              I2 =            I
                                                     R1 + R 2


Exemplo: Determine a corrente I2 no circuito abaixo.




                                         R1         4 .8       4
                               I2 =            IF =      ( 6) = ( 6) = 2 A
                                      R1 + R 2      4+8        2


Exemplo: Calcule a corrente I1 no circuito abaixo.




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Existem duas maneiras de resolver este problema.
1ª forma:
                        1  1 1   1
                          = +  +   = 0,16667 + 0,0417 + 0,0208 = 0,2292
                        RT 6 24 48
                                                    1
                                          RT =          = 4,363Ω
                                                 0,2292

Logo
                                       RT    4,363
                                I1 =      1=       (42 x10 −3 ) = 30,45mA
                                       R1      6
     Podemos também achar a resistência equivalente da combinação em paralelo de
R2 com R3, ou seja,
                                           24.48
                          24Ω // 48Ω =             1 = 16Ω
                                         24 + 48
                                16
                          I1 =        (42 x10 −3 ) = 30,54mA
                               16 + 6

Os dois métodos forneceram, é claro, a mesma resposta.

6. LEI DE KIRCHHOFF PARA A CORRENTE


       Algumas definições:
       Ramo: trecho do circuito constituído de um ou mais bipolos ligados em série;
       Nó ou ponto elétrico: é a intersecção de dois ou mais ramos;
       Malha: todo circuito fechado cujos lados são constituídos de ramos.




                         Figura 12: Exemplo de ramo, nó e malha.

       São ramos: AB, BC, AC, etc.
       São nós: A, B, C etc.
       São malhas: ABCA, BDCB, DCABD.



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A Lei de Kirchhoff para a corrente (LKC) afirma que a soma algébrica das
correntes que entram e saem de uma região, sistema ou nó é igual a zero.
       Em outra palavras, a soma das correntes que entram em uma região,
sistema ou nó deve ser igual à soma das correntes que saem de uma região,
sistema ou nó.
       A Lei de Kirchhoff para a corrente é mais frequentemente aplicada no caso de um
nó onde se encontram dois ou mais caminhos para o escoamento de carga (ou ramos),
como mostra a figura 13. A corrente I1 está entrando no nó, enquanto que as corrente
I2 e I3 estão saindo do nó.




Figura 13: Demonstração da lei de Kirchhoff para a corrente.

Exemplo: Determine as corrente I3 e I4 no circuito abaixo, utilizando a lei de Kirchhoff
para a corrente.




Em a:
                                        I 3 = I1 + I 2
                                        I 3 = 2 + 3 = 5A
Em b:

                                        I4 = I3 + I5
                                        I 4 = 5 +1 = 6A



7.   ASSOCIAÇÃO MISTA DE RESISTORES

      A associação mista de resistores é composta de resistores dispostos em série e em
paralelo.




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Figura 14: Associação mista de resistores.



8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


  1) Determine a resistência total do circuito abaixo.




1. Inicialmente reduzimos a associação em paralelo dos resistores 20         e 30 .




Em seguida reduzimos a associação em série (resistores de 12          e 28   ).




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Reduzimos a associação em paralelo dos resistores de 60         e 40   .




Segue




Resultando em




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30.20
                                         RT =           = 12Ω
                                                30 + 20




Logo,




2. Determine as tensões V1 e V2, no circuito abaixo, considerando:
   a. A chave S1 aberta;
   b. A chave S1 fechada e RL ajustada em 450 ;
   c. A chave S1 fechada e RL ajustada em 61,2 k .
   R1=2,6 k ; R2=3,6 k e V=18,6V




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OBSERVAÇÃO:


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Verifica-se que as condições de um divisor de tensão são completamente diferente
para as condições sem carga. Além disso, a tensão de saída vai depender do valor da
carga conectada, conforme se verifica nos desenvolvimentos b e c. O divisor de tensão
sem carga não consome nenhuma corrente além daquela drenada pela rede divisora,
entretanto, geralmente na prática, os divisores de tensão alimentam uma carga a qual
consome uma determinada corrente.
      O divisor de tensão com carga é muito utilizado nas saídas de fontes de
alimentação, para suprir várias tensões que são distribuídas a diferentes circuitos.

3. Dados os circuitos, determine as correntes nos resistores.




                                             (a)




                                             (b)




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BIBLIOGRAFIA


ALBUQUERQUE, Rômulo Oliveira. Análise de Circuitos em Corrente Contínua. São Paulo.
Ed. Érica. 1987

RAMALHO, F; FERRARO, N; SOARES, P. Os Fundamentos da Física. São Paulo. Ed.
Moderna. 1999.

SENAI. CPM – Programa de Certificação de Pessoal de Manutenção – Elétrica. Espírito
Santo. 1999.

CNPNSP – Eletricidade Básica. Rio de Janeiro. 2004.

BOYLESTAD, Robert L.Introdução a Análise de Circuitos. Ed. Prentice-Hall do Brasil Ltda.
8ª Edição. Rio de Janeiro. 1998.




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  • 1. PROFESSOR: Eduardo Gabriel Ramos de Oliveira TURMA: 01 Flávio Augusto Lima Ribeiro CURSO TÉCNICO EM ELETROMENÂNICA FUNDAMENTOS DE ELETROTÉCNICA II 1. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES Atualmente, dois tipos de corrente elétrica são usados nos equipamentos elétricos e eletrônicos: a corrente contínua (CC), cuja intensidade e sentido não variam com o tempo, e a corrente alternada (CA), cuja intensidade e sentido mudam constantemente. A seguir, veremos uma introdução à análise de circuito na qual abordaremos somente circuitos de corrente contínua. Os métodos e conceitos envolvidos serão discutidos em profundidade para esse tipo de corrente; em vários casos, um breve comentário será suficiente para explicar quaisquer diferenças que possamos encontrar quando considerarmos a corrente alternada em tópicos posteriores. Inúmeras vezes tem-se necessidade de um valor maior de resistência diferente dos valores fornecidos pelos resistores de que dispomos; outras vezes, deve-se atravessar um resistor corrente maior do que aquela que ele normalmente suporta e que o danificaria. Nesses casos deve-se fazer uma associação de resistores. Os resistores podem ser associados de diversos modos. Basicamente existem dois modos distintos de associá-los: em série e em paralelo. 2. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE Um circuito consiste em um número qualquer de elementos unidos por seus terminais, com pelo menos um caminho fechado através do qual a carga possa fluir. O circuito da figura 1 possui três elementos, conectados em três pontos (a, b e c), de modo a constituir um caminho fechado para a corrente I. Dois elementos estão em série se: 1- Possuem somente um terminal em comum (isto é, um terminal de um está conectado somente a um terminal do outro). 2- O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento percorrido por corrente. V Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 2. FIGURA 1: Circuito em série. Na figura 1, os resistores R1 e R2 estão em série porque possuem somente o ponto b em comum. As outras extremidades dos resistores estão conectadas a outros pontos do circuito. Pela mesma razão, a bateria V e o resistor R1 estão em série (terminal a em comum) e o resistor R2 e a bateria V estão em série (ponto c em comum). Como todos os elementos estão em série, o circuito é chamado de circuito em série. Em uma associação de resistores em série, a resistência equivalente é igual à soma das resistências associadas. RT=R1+R2+R3+... +RN Aplicando a Lei de Ohm em cada resistor da figura 1 teremos: V1=R1.I, V2=R2.I Então, a tensão em cada resistor de uma associação em série é diretamente proporcional à respectiva resistência. No resistor equivalente, a tensão vale: V=RT.I e sendo RT=R1+R2 temos RT.I= R1.I+ R2.I portanto V= V1+V2 A tensão total de uma associação de resistores em série é a soma das tensões em cada resistor associado. A potência elétrica em uma associação de resistores em série, as potências dissipadas são diretamente proporcionais às respectivas resistências. P1=R1.I2; P2=R2.I2; PN=RN.I2 Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 3. Exemplo: Dados RT e I,calcule R1 e V para o circuito abaixo. V RT = R1 + R 2 + R 3 12kΩ = R1 + 4kΩ + 6kΩ R1 = 12kΩ − 10kΩ R1 = 2kΩ V = I .RT V = (6 x10 −3 ).(12 x10 3 ) V = 72V 2.1 FONTES DE TENSÃO EM SÉRIE Duas ou mais fontes de tensão podem ser ligadas em série para aumentar ou diminuir a tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada somando-se as tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A polaridade resultante é aquela para qual a soma é maior. Exemplo: No circuito a as fontes estão “forçando” a corrente para a direita, de modo que a tensão total é dada por: V1 V2 V3 VT VT=V1+V2+V3 VT=10+6+2 VT=18V V 1 2 V 3 V T V Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 4. Já no circuito b, a maior força é para a esquerda, o que resulta em uma tensão total dada por: VT=V2+V3-V1 VT=9+3-4 VT=8V 2.2 REGRA DOS DIVISORES DE TENSÃO Nos circuitos em série, a tensão dos elementos resistivos se divide na mesma proporção que os valores de resistência. Por exemplo: as tensões entre os terminais dos elementos resistivos da figura 2 são dadas. O maior resistor de 6 , captura a maior parte da tensa aplicada, enquanto o menor resistor R3 fica com a menor. Note também que, como a resistência R1 é 6 vezes maior que a de R3, a tensão nos terminais de R1 é também 6 vezes maior que entre os terminais de R3. O fato de R2 ser 3 vezes maior que R3, resulta em uma tensão três vezes maior nos terminais de R2. Em geral, a tensão entre os terminais de resistores em série está na mesma razão que suas resistências. É a relação entre os valores dos resistores que conta para a divisão da tensão e não o valor absoluto dos resistores. Há, entretanto, um método, conhecido como regra do divisor de tensão, que permite determinar as tensões sem que seja necessário calcular a corrente. A regra pode ser deduzida analisando a figura 3. V Figura 2: Como a tensão se divide entre os elementos resistivos em série. Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 5. V Figura 3: Dedução da regra dos divisores de tensão. RT=R1+R2 V I= RT Aplicando a definição de resistência: V  R1 V 1 = IR1 =  .R1 = .V  RT  RT V  R2 V 2 = IR 2 =  .R 2 = .V  RT  RT Então, podemos escrever a equação para regra dos divisores de tensão da seguinte forma: Rx Vx = .V RT Em palavras, a regra dos divisores de tensão determina que a tensão entre os terminais de um resistor em um circuito série é igual ao valor desse resistor vezes a tensão total aplicada aos elementos em série do circuito dividida pela resistência total dos elementos em série. Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 6. Exemplo: Determine a tensão V1 para o circuito abaixo. R1  R1   20  1280 V1 = .V =  .V  =  .V = = 16V RT  R1 + R 2   20 + 60  80 3. LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES (LTK) A Lei de Kirchhoff para tensões afirma que a soma algébrica das variações de potencial em uma malha fechada é nula. Uma malha fechada é qualquer caminho contínuo que deixa um ponto em um único sentido e retorna ao mesmo ponto vindo do sentido oposto, sem deixar o circuito. Na figura 4, seguindo a corrente, podemos traçar um caminho contínuo que deixa o ponto a através de R1 e retorna através de V sem deixar o circuito. Assim, abcda é uma malha fechada. Para podermos aplicar a lei de Kirchhoff para as tensões, a soma dos aumentos e quedas de potencial precisa ser feita percorrendo a malha em um certo sentido. Por convenção, o sentido horário será usado para todas as aplicações da lei de Kirchhoff para tensões que se seguem. Porém, o mesmo resultado seria obtido se o sentido escolhido fosse o anti-horário. V Figura 4: Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões a um circuito em série. Um sinal positivo indica um aumento de potencial (de – para +), e um sinal negativo, uma queda (de + para -). Se seguirmos a corrente na figura 4 a partir do ponto a, primeiro encontraremos uma queda de potencial V1 (de + para -) entre os Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 7. terminais de R1 e outra queda V2 entre os terminais de R2. Ao passarmos pelo interior da fonte, temos um aumento de potencial V (de – para +) antes de retornar ao ponto a. +V-V1-V2=0 V=V1+V2 Exemplo: Determine as tensões desconhecidas nos circuitos abaixo. Vx Vy +Vx-V1-V2-Vy=0 V1=Vx-V2-Vy V1=16-4,2-9 V1=2,8V Para a figura a: Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 8. Para a figura b: Se o resultado for positivo, é porque a polaridade escolhida estava correta; se for negativo, o valor calculado para a tensão está correto, mas a polaridade terá que ser invertida. 4. ASSOCIAÇÃO DE RESITORES EM PARALELO Dois elementos, ramos ou circuitos estão ligados em paralelo quando possuem dois pontos em comum. Na figura 5, os terminais a e b são comuns aos elementos 1 e 2, portanto estão ligados em paralelo. FIGURA 5: Elementos em paralelo. Os elementos que aparecem na figura 6 também estão ligados em paralelo, porque satisfaz, nos três casos, o critério acima. Essas três configurações têm o objetivo de ilustrar diferentes traçados para o mesmo circuito em paralelo. O formato retangular das conexões nos casos (a) e (b) não deve obscurecer o fato de que todos os elementos estão ligados ao mesmo terminal na parte superior, acontecendo o mesmo na parte inferior, como vemos na figura 6 (c) (circuito misto). FIGURA 6: Modos diferentes de representar elementos em paralelo. Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 9. Os elementos 1 e 2 na figura 7 estão em paralelos, pois possuem os terminais a e b em comum. Esta combinação em paralelo está em série com o elemento 3, pois o terminal b está ligado tanto a 3 quanto à combinação em paralelo 1 e 2. FIGURA 7: Circuito no qual 1 e 2 estão em paralelo e 3 está em série com a combinação em paralelo. Na figura 8, os elementos 1 e 2 estão em série devido ao ponto comum a, e esta combinação em série está em paralelo com o elemento 3, como evidenciam as ligações comuns aos pontos b e c. FIGURA 8: Circuito onde 1 e 2 estão em série e 3 está em paralelo com a combinação em série de 1 e 2. Como vimos, vários resistores estão associados em paralelo quando são ligados pelos terminais, de modo a ficarem submetidos à mesma tensão (figura 9). I1 I2 I I3 I (a) I Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 10. (b) Figura 9: Resistores associados em paralelo ficam submetidos à mesma tensão. A intensidade de corrente I do circuito principal divide-se, nos resistores associados, em valores I1, I2 e I3, como mostra a figura 9 (a). Então, podemos concluir que a intensidade de corrente em uma associação de resistores em paralelo é a soma das intensidades de correntes nos resistores associados. I = I1 + I 2 + I 3 Pela Lei de Ohm: V=RP.I; V=R1.I1; V=R2.I2; V=R3.I3 isto é, em uma associação de resistores em paralelo são iguais os produtos das resistências elétricas pelas respectivas intensidades de corrente. Também: V V V I1 = ,I2 = ,I3 = R1 R2 R3 podendo-se dizer que, em uma associação de resistores em paralelo, as intensidades de corrente são inversamente proporcionais às respectivas resistências. O resistor equivalente à associação Rp figura 9 (b), submetido à tensão V da associação, será percorrido pela corrente total I. V V = Rp.I I = Rp Como, I=I1+I2+I3 Temos: V V V V = + + Rp R1 R 2 R3 1 1 1 1 = + + Rp R1 R 2 R3 Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 11. Isto é, em uma associação de resistores em paralelo, o inverso da resistência equivalente da associação é igual à soma dos inversos das resistências associadas. No caso de dois resistores associados em paralelo: 1 1 1 R1 + R 2 = + = Rp R1 R 2 R1.R 2 Portanto: R1.R 2 produto Rp =  → R1 + R 2 soma Se tivermos n resistores iguais, de resistências R cada um, resultará: 1 1 1 1 n R1=R2=R3...=R e, então, = + + ... + = Rp R R R R R Rp = n A potência elétrica dissipada em cada resistor da associação pode ser escrita: V2 V2 V2 P1 = , P2 = , P3 = R1 R2 R3 ou seja, em uma associação de resistores em paralelo, as potências dissipadas são inversamente proporcionais às respectivas resistências. Exemplo: Um resistor de 5 e um resistor de 20 são associados em paralelo e à associação aplica-se uma tensão de 100V. Determine: a) Qual a resistência equivalente da associação? b) Qual a intensidade de corrente de cada resistor? c) Qual a intensidade de corrente na associação? Solução: 5 20 100V a) A resistência equivalente é: R1.R 2 5.20 Rp = = = 4Ω R1 + R 2 5 + 20 b) Pela Lei de Ohm, as intensidades e corrente são: V 100 V 100 I1 = = = 50 A e I 2 = = = 5A R1 5 R 2 20 c) A corrente na associação valerá: Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 12. I=I1+I2 I=20+5 I=25A 5. REGRA DO DIVISOR DE CORRENTE A regra do divisor de corrente nos diz que uma corrente que entra em conjunto de elementos em paralelo se divide entre estes elementos. No caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente se distribui entre os dois elementos em partes iguais. Se os elementos em paralelo tiveram resistências diferentes, o elemento de menor resistência será percorrido pela maior fração da corrente. A razão entre os valores das correntes nos dois ramos será inversamente proporcional à razão entre as suas resistências. No caso de circuitos para os quais conhecemos apenas o valor dos resistores e a corrente de entrada, devemos, utilizar a regra do divisor de corrente para calcular as correntes nos vários ramos. Vamos deduzir uma expressão algébrica para esta regra utilizando o circuito da figura 10. FIGURA 10:Dedução da regra do divisor de corrente. V A corrente de entrada é dada por , onde RT é a resistência total do circuito. RT Substituindo nesta expressão para I o valor de V=Ix.Rx, onde Ix é a corrente que atravessa o ramo de resistência Rx, obtemos RT I1 = I R1 para I2, RT I2 = I R2 e assim por diante. No caso de dois ramos em paralelo, a corrente através de um deles é igual ao produto da resistência no outro ramo pela corrente de entrada dividido pela soma dos valores das duas resistências em paralelo. Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 13. FIGURA 11:Dedução de uma fórmula para a divisão da corrente entre dois resistores em paralelo. R1.R 2 RT = R1 + R 2 R1.R 2 RT I1 = I = R1 + R 2 I R1 R1 R2 I1 = I R1 + R 2 Analogamente para I2, R1 I2 = I R1 + R 2 Exemplo: Determine a corrente I2 no circuito abaixo. R1 4 .8 4 I2 = IF = ( 6) = ( 6) = 2 A R1 + R 2 4+8 2 Exemplo: Calcule a corrente I1 no circuito abaixo. Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 14. Existem duas maneiras de resolver este problema. 1ª forma: 1 1 1 1 = + + = 0,16667 + 0,0417 + 0,0208 = 0,2292 RT 6 24 48 1 RT = = 4,363Ω 0,2292 Logo RT 4,363 I1 = 1= (42 x10 −3 ) = 30,45mA R1 6 Podemos também achar a resistência equivalente da combinação em paralelo de R2 com R3, ou seja, 24.48 24Ω // 48Ω = 1 = 16Ω 24 + 48 16 I1 = (42 x10 −3 ) = 30,54mA 16 + 6 Os dois métodos forneceram, é claro, a mesma resposta. 6. LEI DE KIRCHHOFF PARA A CORRENTE Algumas definições: Ramo: trecho do circuito constituído de um ou mais bipolos ligados em série; Nó ou ponto elétrico: é a intersecção de dois ou mais ramos; Malha: todo circuito fechado cujos lados são constituídos de ramos. Figura 12: Exemplo de ramo, nó e malha. São ramos: AB, BC, AC, etc. São nós: A, B, C etc. São malhas: ABCA, BDCB, DCABD. Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 15. A Lei de Kirchhoff para a corrente (LKC) afirma que a soma algébrica das correntes que entram e saem de uma região, sistema ou nó é igual a zero. Em outra palavras, a soma das correntes que entram em uma região, sistema ou nó deve ser igual à soma das correntes que saem de uma região, sistema ou nó. A Lei de Kirchhoff para a corrente é mais frequentemente aplicada no caso de um nó onde se encontram dois ou mais caminhos para o escoamento de carga (ou ramos), como mostra a figura 13. A corrente I1 está entrando no nó, enquanto que as corrente I2 e I3 estão saindo do nó. Figura 13: Demonstração da lei de Kirchhoff para a corrente. Exemplo: Determine as corrente I3 e I4 no circuito abaixo, utilizando a lei de Kirchhoff para a corrente. Em a: I 3 = I1 + I 2 I 3 = 2 + 3 = 5A Em b: I4 = I3 + I5 I 4 = 5 +1 = 6A 7. ASSOCIAÇÃO MISTA DE RESISTORES A associação mista de resistores é composta de resistores dispostos em série e em paralelo. Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 16. Figura 14: Associação mista de resistores. 8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Determine a resistência total do circuito abaixo. 1. Inicialmente reduzimos a associação em paralelo dos resistores 20 e 30 . Em seguida reduzimos a associação em série (resistores de 12 e 28 ). Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 17. Reduzimos a associação em paralelo dos resistores de 60 e 40 . Segue Resultando em Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 18. 30.20 RT = = 12Ω 30 + 20 Logo, 2. Determine as tensões V1 e V2, no circuito abaixo, considerando: a. A chave S1 aberta; b. A chave S1 fechada e RL ajustada em 450 ; c. A chave S1 fechada e RL ajustada em 61,2 k . R1=2,6 k ; R2=3,6 k e V=18,6V Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 19. OBSERVAÇÃO: Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 20. Verifica-se que as condições de um divisor de tensão são completamente diferente para as condições sem carga. Além disso, a tensão de saída vai depender do valor da carga conectada, conforme se verifica nos desenvolvimentos b e c. O divisor de tensão sem carga não consome nenhuma corrente além daquela drenada pela rede divisora, entretanto, geralmente na prática, os divisores de tensão alimentam uma carga a qual consome uma determinada corrente. O divisor de tensão com carga é muito utilizado nas saídas de fontes de alimentação, para suprir várias tensões que são distribuídas a diferentes circuitos. 3. Dados os circuitos, determine as correntes nos resistores. (a) (b) Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br
  • 21. BIBLIOGRAFIA ALBUQUERQUE, Rômulo Oliveira. Análise de Circuitos em Corrente Contínua. São Paulo. Ed. Érica. 1987 RAMALHO, F; FERRARO, N; SOARES, P. Os Fundamentos da Física. São Paulo. Ed. Moderna. 1999. SENAI. CPM – Programa de Certificação de Pessoal de Manutenção – Elétrica. Espírito Santo. 1999. CNPNSP – Eletricidade Básica. Rio de Janeiro. 2004. BOYLESTAD, Robert L.Introdução a Análise de Circuitos. Ed. Prentice-Hall do Brasil Ltda. 8ª Edição. Rio de Janeiro. 1998. Rua Maruim, nº 587 Bairro: Centro – Aracaju/SE – CEP 49.010-160 PABX: (79) 3222-8870 e-mail: atendimento@colegiogabarito.com.br URL: http://www.colegiogabarito.com.br