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Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
                            co             a         a
                                                                                  ´
                                                                                 MODULO 1 – AULA 1


  Aula 1 – Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
              co             a         a

Objetivo
   • Apresentar as fun¸˜es de v´rias vari´veis.
                      co       a         a


 Introdu¸˜o
        ca

     A partir desta aula, at´ o fim do semestre, o foco de nossas aten¸˜es ser´
                              e                                      co      a
as fun¸˜es de v´rias vari´veis. Vocˆ j´ estudou as fun¸˜es reais e vetoriais
      co          a        a         e a                 co
de uma vari´vel que servem para descrever fenˆmenos que dependem de um
             a                                 o
unico parˆmetro ou vari´vel. Como exemplos, vocˆ pode tomar a posi¸˜o
´         a                a                         e                     ca
de uma part´   ıcula, a sua velocidade e a sua acelera¸˜o. Nesses casos, os
                                                       ca
fenˆmenos variam em fun¸˜o do tempo. No entanto, h´ diversas situa¸˜es
   o                         ca                           a               co
nas quais o resultado depende de mais de uma vari´vel. Vamos a um exemplo.
                                                  a
      Podemos usar uma fun¸˜o para descrever as diversas temperaturas em
                           ca
diferentes pontos de uma dada placa de metal. Isto ´, a cada ponto P da
                                                    e
placa associamos a sua temperatura T (P ), dada em graus Celsius, digamos.
     Muito bem; para determinarmos um ponto em uma placa, precisamos
de duas informa¸˜es: uma latitude e uma longitude. Isto ´, necessitamos de
               co                                       e
duas coordenadas. Ou seja, T ´ uma fun¸˜o de duas vari´veis.
                              e       ca               a
      Veja uma outra situa¸˜o. Dado um corpo com a forma de um parale-
                          ca
lep´
   ıpedo, podemos associar a cada um de seus pontos P a densidade δ(P )
do objeto nesse exato ponto. Isso nos d´ uma fun¸˜o δ, que depende de trˆs
                                       a          ca                    e
vari´veis, uma vez que, para localizar um ponto no paralelogramo, necessi-
    a
tamos de trˆs informa¸˜es: altura, largura e profundidade.
            e         co
     Vocˆ seria capaz de imaginar uma situa¸˜o que demandasse uma fun¸˜o
         e                                 ca                        ca
de quatro vari´veis para descrever um determinado fenˆmeno?
              a                                      o


 Fun¸˜es de duas vari´veis
    co               a
     Chamamos fun¸˜es de duas vari´veis as fun¸˜es do tipo
                 co               a           co

                             f : A ⊂ lR 2 −→ lR ,

cuja lei de defini¸˜o tem a forma
                 ca

                                 z = f (x, y).


                                                                                     7    CEDERJ
Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
                                         co             a         a


                  Isto ´, x e y s˜o as vari´veis independentes. O subconjunto A de lR 2 ´
                       e         a         a                                            e
             o dom´ınio da fun¸˜o.
                               ca

             Exemplo 1.1
                  Seja f : lR 2 −→ lR a fun¸˜o definida por f (x, y) = x + 2y.
                                           ca
                  Este exemplo ´ bem simples. Esta fun¸˜o de duas vari´veis ´ chamada,
                                e                       ca            a     e
                ´
             na Algebra Linear, de um funcional linear.
                   As fun¸˜es de duas vari´veis tˆm um papel importante no nosso estudo
                         co                 a     e
             de fun¸˜es de v´rias vari´veis, pois podemos esbo¸ar seus gr´ficos. Em geral,
                   co       a         a                        c          a
             o gr´fico de uma fun¸˜o de duas vari´veis ´ uma superf´ em lR 3 . No caso
                 a                ca                a   e            ıcie
             em quest˜o, esta superf´ ´ um plano que cont´m a origem. Sua interse¸˜o
                      a              ıcie e                  e                       ca
                               e                                  e               ´
             com o plano xOz ´ a reta z = x e com o plano yOz ´ a reta z = 2y. E claro
             que na figura representamos apenas parte do plano. Veja a seguir.



                                                z




                                       x                        y




                  Em geral, representamos o espa¸o tridimensional com o plano z = 0,
                                                   c
             gerado pelos eixos Ox e Oy, fazendo o papel de ch˜o onde estamos, o plano
                                                                a
             x = 0, gerado pelos eixos Oy e Oz, como se fosse uma parede ligeiramente a`
             nossa frente e o plano y = 0, gerado pelos eixos Ox e Oz, como se fosse uma
             outra parede ligeiramente a nossa esquerda.
                                        `
                   Note, tamb´m, que representamos apenas parte da superf´
                              e                                               ıcie. Na ver-
             dade, o gr´fico da fun¸˜o ´ um plano e, como tal, deve continuar em todas as
                       a          ca e
             dire¸˜es. No entanto, limitamo-nos a representar sua interse¸˜o com o plano
                 co                                                      ca
             zOy, fazendo x = 0, obtendo a reta z = 2y, e a sua interse¸˜o com o plano
                                                                         ca
             zOx, fazendo y = 0 e obtendo a reta x = x. Al´m disso, na regi˜o x ≥ 0,
                                                              e                  a
             y ≥ 0, desenhamos apenas uma parte do plano, sobre um dom´ triangular.
                                                                           ınio
                   ´
                   E bom acostumar-se com essas representa¸˜es. Temos de contar com a
                                                            co
             ajuda delas para visualizar a geometria das fun¸˜es de v´rias vari´veis.
                                                            co       a         a

CEDERJ   8
Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
                              co             a         a
                                                                                  ´
                                                                                 MODULO 1 – AULA 1


     A seguir, mais duas fun¸˜es com seus gr´ficos.
                            co              a

Exemplo 1.2




               f (x, y) = x2 + y 2                  g(x, y) =   1 − x2 − y 2




      Note que estas duas superf´
                                ıcies s˜o conhecidas da Geometria Anal´
                                       a                                ıtica.
O gr´fico de f ´ o parabol´ide de revolu¸˜o definido pela equa¸˜o z = x + y 2
     a         e          o              ca                    ca       2

e o gr´fico de g ´ uma semi-esfera. Isto ´, os pontos (x, y, z) que pertencem
       a         e                        e
ao gr´fico de g satisfazem ` equa¸˜o z = 1 − x2 − y 2 e, portanto, tamb´m
      a                   a      ca                                        e
                       2    2   2
satisfazem ` equa¸˜o x + y + z = 1, pertencendo, por isso, a esfera de raio
           a       ca                                          `
1, centrada na origem.



 Dom´
    ınios das fun¸˜es de duas v´rias vari´veis
                 co            a         a

      Seguindo a mesma regra geral usada no C´lculo I, quando dizemos “seja
                                             a
z = f (x, y) uma fun¸˜o”, estamos subentendendo que seu dom´ ´ o maior
                    ca                                        ınio e
                  2
subconjunto de lR no qual a lei esteja bem definida.

Exemplo 1.2 (Revisitado)
     No caso de f (x, y) = x2 + y 2 , cujo gr´fico ´ um parabol´ide, o dom´
                                             a    e           o          ınio
                 2
´ todo o plano lR . Esta ´ uma fun¸˜o polinomial, pois sua lei de defini¸˜o
e                         e           ca                                  ca
´ um polinˆmio em duas vari´veis.
e          o                a
     Nesses casos, costumamos usar a express˜o “o plano todo”.
                                            a
      Consideremos agora a fun¸˜o g(x, y) =
                               ca            1 − x2 − y 2 , que est´ bem
                                                                   a                      y

definida, desde que 1 − x − y ≥ 0. Em outras palavras, o dom´
                        2    2
                                                              ınio de g ´
                                                                        e
o conjunto
                                                                                                1 x
                      A = { (x, y) ∈ lR ; x2 + y2 ≤ 1 },

a que chamamos disco fechado de raio 1, centrado na origem.


                                                                                     9    CEDERJ
Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
                                                              co             a         a


                                   Exerc´ 1
                                        ıcio
                                        Determine o dom´
                                                       ınio de

                                                             f (x, y) = ln (x + y − 2)

                                   e fa¸a um esbo¸o, representando-o.
                                       c         c



                                    Fun¸˜es de trˆs ou mais vari´veis
                                       co        e              a

                                         No caso das fun¸˜es com mais do que duas vari´veis, n˜o dispomos dos
                                                         co                           a       a
                                   esbo¸os de seus gr´ficos, sen˜o de maneira simplificada, uma vez que eles s˜o
                                       c              a        a                                            a
                                   subconjuntos de lR n , com n ≥ 4. No entanto, podemos esbo¸ar os dom´
                                                                                               c         ınios
                                                                                                  3
                                   de fun¸˜es de trˆs vari´veis, pois eles s˜o subconjuntos de lR . Veja um
                                          co        e       a               a
                                   exemplo a seguir.
Quando o dom´    ınio da fun¸˜o
                             ca
                                   Exemplo 1.3
´ um subconjunto de lR 3 ,
e
costumamos usar as letras                Vamos determinar o dom´
                                                               ınio da fun¸˜o
                                                                          ca
x, y e z para indicar as
coordenadas de um ponto
gen´rico, estabelecendo, as-
    e                                                w = f (x, y, z) =         4 − x2 − y 2 − z 2
sim, essa nomenclatura para
as vari´veis independentes,
          a
usando, em geral, w para a         e fazer um esbo¸o deste subconjunto de lR 3 .
                                                  c
vari´vel dependente. Isto ´,
    a                          e
atribu´ ıdos valores para x, y          Nesse caso, para que a fun¸˜o esteja bem definida, as coordenadas do
                                                                   ca
e z, de modo que (x, y, z)
´ um elemento do dom´
e                           ınio
                                   ponto devem satisfazer a condi¸˜o
                                                                 ca
da fun¸˜o, o valor de w =
         ca
f (x, y, z) fica determinado.
                                                              4 − x2 − y 2 − z 2 ≥ 0.

               z
                                         Ou seja, o dom´
                                                       ınio de f ´ o conjunto
                                                                 e

                            y
                                                    A = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; x2 + y2 + z2 ≤ 4 },
                        2
    x
                                   que corresponde aos pontos interiores a esfera de raio 2 e o seu bordo.
                                                                         `

                                   Exerc´ 2
                                        ıcio
                                        Determine o dom´
                                                       ınio da fun¸˜o
                                                                  ca

                                                                                               √
                                                     g(x, y, z) =     x2 + y 2 − z 2 − 1 +         z

                                   e fa¸a um esbo¸o desse conjunto.
                                       c         c

   CEDERJ          10
Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
                           co             a         a
                                                                                ´
                                                                               MODULO 1 – AULA 1


 Alguns gr´ficos de fun¸˜es (simples) de duas vari´veis
          a           co                         a
      Em geral, esbo¸ar o gr´fico de uma fun¸˜o de duas vari´veis pode ser
                     c       a                ca               a
uma tarefa trabalhosa, a menos que vocˆ disponha de um computador com
                                        e
algum programa pr´prio para fazer isso. Mas vocˆ j´ acumula uma consi-
                    o                               e a
der´vel bagagem matem´tica, enriquecida nos cursos de Pr´-C´lculo, C´lculo
    a                    a                                e a         a
I, Geometria Anal´         ´
                  ıtica e Algebra Linear I, que lhe permite lidar com alguns
casos mais simples.


Superf´
      ıcies quadr´ticas
                 a

     Comecemos com os casos que usam as superf´
                                              ıcies quadr´ticas que vocˆ
                                                         a             e
estudou na Geometria Anal´
                         ıtica.

Exemplo 1.4
     Vamos determinar o dom´
                           ınio e esbo¸ar o gr´fico da fun¸˜o
                                      c       a          ca

                       f (x, y) =      36 − 9x2 − 4y 2.
                                                                                        y
      O dom´ ´ determinado pela condi¸˜o 36−9x2 −4y 2 ≥ 0, equivalente
            ınio e                        ca
a
` inequa¸˜o
        ca
                               x2 y 2                                                             x
                                  +     ≤ 1,
                                4    9                                                        2

que corresponde ao interior de uma elipse, incluindo o seu bordo.
     Agora, o gr´fico da fun¸˜o. Para determinarmos o gr´fico de f , po-
                 a          ca                            a                             3

demos observar que os pontos cujas coordenadas satisfazem a equa¸˜o z =
                                                                ca
  36 − 9x2 − 4y 2 tamb´m satisfazem a equa¸˜o
                      e                   ca

                            x2 y 2 z 2
                              +   +    = 1,
                            4   9   36
que determina um elips´ide com centro na origem. O gr´fico ´ a parte do
                         o                              a     e
elips´ide que est´ contida no semi-espa¸o determinado por z ≥ 0:
     o           a                     c



                                         6




                                        2           3



                                                                                   11   CEDERJ
Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
                                                co             a         a


              Exerc´ 3
                   ıcio
                   Esboce o gr´fico da fun¸˜o f : lR 2 −→ lR 2 , definida por
                               a         ca
                                   
                                    − x2 + y 2 − 1, se x2 + y 2 ≥ 1,
                                   
                        f (x, y) =
                                   
                                   
                                          1 − x2 − y 2 , se x2 + y 2 ≤ 1.

              Superf´
                    ıcies cil´
                             ındricas

                    Veremos, agora, gr´ficos de fun¸˜es que s˜o superf´
                                        a           co       a        ıcies cil´
                                                                               ındricas. Lem-
              bre-se, superf´
                            ıcies cil´
                                     ındricas s˜o aquelas obtidas por um feixe de retas pa-
                                               a
              ralelas colocadas ao longo de uma curva plana. Exemplos de tais superf´     ıcies
              do nosso dia-a-dia s˜o um cano de pvc ou uma telha de cobertura.
                                   a




                   Os gr´ficos das fun¸˜es de duas vari´veis cujas leis de defini¸˜o envolvem
                          a            co              a                         ca
              apenas uma vari´vel independente s˜o superf´
                               a                   a        ıcies cil´
                                                                     ındricas. O feixe de retas
              paralelas ´ paralelo ao eixo correspondente a vari´vel que est´ faltando. Veja
                        e                                 `      a            a
              a seguir alguns exemplos.

              Exemplo 1.5
                                                                         z


                                     z




                                                                                 y
                             x                y                  x

                        z = f (x, y) = 6 + sen x                  z = g(x, y) = y 2

                                 z
                                                                         z




                                                                  x                  y
                                         y
                         x
                        z = h(x, y) = x2                         z = k(x, y) = |y|


CEDERJ   12
Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
                             co             a         a
                                                                                       ´
                                                                                      MODULO 1 – AULA 1


Superf´
      ıcies de revolu¸˜o
                     ca

      As fun¸˜es cujas leis de defini¸˜o tˆm a forma
            co                      ca e

                          z = f (x, y) = g(x2 + y 2 ),

em que g ´ uma fun¸˜o real de uma vari´vel, s˜o relativamente simples.
          e             ca                        a       a
Essas fun¸˜es s˜o constantes ao longo dos c´
         co    a                                    ırculos concˆntricos na origem.
                                                                e
Realmente, se (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) s˜o tais que x2 + y1 = x2 + y2 , ent˜o
                                       a              1
                                                           2
                                                                  2
                                                                      2
                                                                           a

                             f (x1 , y1) = f (x2 , y2 ).

     Portanto, os gr´ficos de tais fun¸˜es s˜o superf´
                    a                co    a        ıcies de revolu¸˜o em
                                                                   ca
torno do eixo Oz.
     Para esbo¸ar o gr´fico de alguma dessas fun¸˜es, basta esbo¸ar o gr´fico
              c       a                        co              c       a
da fun¸˜o
      ca
                                z = f (x, 0),
por exemplo, e girar esta curva sobre o eixo Oz. A superf´ obtida ser´ o
                                                           ıcie          a
gr´fico da fun¸˜o z = f (x, y). O parabol´ide e a semi-esfera apresentados no
  a          ca                         o
exemplo 21.2 ilustram essa situa¸˜o. Vejamos um outro exemplo.
                                 ca

Exemplo 1.6
      Vamos esbo¸ar o gr´fico da fun¸˜o
                c       a          ca

                           f (x, y) = arctg (x2 + y 2).

     Usando a t´cnica que aprendemos no C´lculo I, conclu´
               e                         a               ımos que o gr´fico
                                                                      a
                                           2
da fun¸˜o z = h(x) = f (x, 0) = arctg x ´
      ca                                     e




      Portanto, o gr´fico de f (x, y) = arctg (x2 + y 2) ´
                    a                                   e




                                                                                          13   CEDERJ
Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
                                          co             a         a


                     Chegamos, assim, ao fim da primeira aula sobre fun¸˜es de v´rias
                                                                           co          a
              vari´veis. Vocˆ deve ter percebido que a maior parte do conte´ do, de al-
                   a          e                                                 u
              guma forma, n˜o lhe era estranho. No entanto, muito provavelmente vocˆ
                              a                                                             e
              reviu essas coisas numa nova perspectiva. As inequa¸˜es que vocˆ estudou
                                                                    co            e
              no Pr´-C´lculo lhe ser˜o uteis no momento em que vocˆ for determinar os
                     e a              a ´                              e
              dom´ ınios dessas novas fun¸˜es. Os conte´ dos de Geometria Anal´
                                         co            u                      ıtica estar˜o
                                                                                          a
              constantemente servindo como fonte de exemplos, atrav´s das cˆnicas e das
                                                                       e      o
              qu´dricas. Vocˆ usar´ tudo o que aprendeu no C´lculo I sobre as fun¸˜es
                 a             e     a                            a                     co
                                              o                 a        a          ´
              de uma vari´vel real e, nas pr´ximas aulas, ver´ a importˆncia da Algebra
                           a
              Linear. Espero que esta aula, assim como as pr´ximas, sejam de grande
                                                                  o
              est´
                 ımulo para vocˆ. Aproveite bem esta experiˆncia.
                                 e                            e
                   Agora, as respostas dos exerc´
                                                ıcios propostos acompanhadas de uma
              pequena lista de mais alguns.



              Exerc´
                   ıcios

              Exerc´ 1
                   ıcio
                   Determine o dom´
                                  ınio de

                                        f (x, y) = ln (x + y − 2)

              e fa¸a um esbo¸o, representando-o.
                  c         c
              Solu¸˜o:
                  ca
                   O dom´
                        ınio de f ´ o conjunto
                                  e

                                 Dom(f ) = { (x, y) ∈ lR 2 ; x + y > 2 }.

                   Este ´ o conjunto dos pontos do plano que est˜o acima da reta x+y = 2.
                        e                                       a




CEDERJ   14
Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
                            co             a         a
                                                                                    ´
                                                                                   MODULO 1 – AULA 1


Exerc´ 2
     ıcio
     Determine o dom´
                    ınio da fun¸˜o
                               ca
                                                             √
                  g(x, y, z) =      x2 + y 2 − z 2 − 1 +         z

e fa¸a um esbo¸o desse conjunto.
    c         c
Solu¸˜o:
    ca
       Nesse caso, temos duas condi¸˜es que devem ser simultaneamente sa-
                                    co
tisfeitas. Assim, o dom´
                       ınio de g ´ a interse¸˜o de dois conjuntos:
                                 e          ca

Dom(g) = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; x2 + y2 ≥ z2 + 1 } ∩ { (x, y, z) ∈ lR 3 ; z ≥ 0 }.

     A equa¸˜o x2 + y 2 − z 2 = 1 determina um hiperbol´ide de uma folha.
            ca                                         o
                                                    3
Este hiperbol´ide divide o espa¸o tridimensional lR em duas regi˜es: uma
             o                 c                                   o
que cont´m o eixo Oz, que chamaremos interior ao hiperbol´ide, e a outra,
        e                                                  o
que chamaremos exterior ao hiperbol´ide. A condi¸˜o x2 + y 2 ≥ z 2 + 1, mais
                                     o            ca
z ≥ 0, determina o subconjunto do espa¸o que ´ exterior ao hiperbol´ide e
                                        c      e                      o
que fica acima do plano xOy:




Exerc´ 3
     ıcio
     Esboce o gr´fico da fun¸˜o f : lR 2 −→ lR 2 , definida por
                 a         ca
                     
                      − x2 + y 2 − 1, se x2 + y 2 ≥ 1,
                     
          f (x, y) =
                     
                     
                            1 − x2 − y 2 , se x2 + y 2 ≤ 1.

Solu¸˜o:
    ca
    Na regi˜o determinada por x2 + y 2 ≤ 1, a fun¸˜o ´ dada pela equa¸˜o
           a                                       ca e              ca
z = 1−x   2 − y 2 . Nesta regi˜o, seu gr´fico ´ uma semi-esfera.
                              a         a    e
      Na regi˜o x2 + y 2 ≥ 1, a fun¸˜o ´ definida por z = − x2 + y 2 − 1.
             a                     ca e
Esta equa¸˜o define a parte inferior de um hiperbol´ide de uma folha (veja
          ca                                       o
exerc´
     ıcio anterior). Combinando as partes das superf´  ıcies, chegamos ao
gr´fico esperado:
  a


                                                                                       15   CEDERJ
Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
                                         co             a         a




              Exerc´ 4
                   ıcio
                   Determine e fa¸a um esbo¸o do dom´
                                 c         c        ınio de cada uma das fun¸˜es
                                                                            co
              a seguir:
               a) f (x, y) =    x2 − 4y 2 − 4.    b) g(x, y) = ln (x2 + y 2 − 1).

               c) h(x, y) = sec (x + y).           d) k(x, y, z) =               1 + x2 + y 2 − z 2 .

              Exerc´ 5
                   ıcio
                 Esboce o gr´fico das seguintes fun¸˜es:
                            a                     co
                            
                             4−x
                            
                                     2 − y2,   se x2 + y 2 ≤ 4;
              a) f (x, y) =
                            
                            
                              0,               se x2 + y 2 ≥ 4.
              b) g(x, y) =      1 + x2 + y 2.

              Exerc´ 6
                   ıcio
                   Esboce o gr´fico de cada uma das fun¸˜es a seguir:
                              a                       co
                                                                   2
               a) f (x, y) = cos y.        b) g(x, y) = e1−y .

                                                                    2 −y 2
               c) h(x, y) = ln (x).         d) k(x, y) = e1−x                .




CEDERJ   16
Derivadas parciais
                                                                                  ´
                                                                                 MODULO 1 – AULA 5

               Aula 5 – Derivadas parciais

Objetivos
   • Aprender a calcular as derivadas parciais de fun¸˜es de v´rias vari´veis.
                                                     co       a         a

   • Conhecer a interpreta¸˜o geom´trica desse conceito.
                          ca      e




 Introdu¸˜o
        ca
      Ao longo das quatro ultimas aulas vocˆ aprendeu os conceitos b´sicos da
                          ´                  e                       a
teoria das fun¸˜es de v´rias vari´veis, incluindo o conceito de continuidade.
              co       a         a
      Nesta aula, iniciaremos uma nova etapa, o estudo das no¸˜es de di-
                                                               co
ferenciabilidade das fun¸˜es de v´rias vari´veis. Na verdade, esse assunto
                         co      a         a
ocupar´ todas as nossas aulas, de agora em diante.
       a
     As derivadas parciais desempenham um papel relevante nesse contexto,
especialmente do ponto de vista pr´tico; por´m, como veremos um pouco
                                   a        e
mais adiante, n˜o completamente decisivo. Mas estamos antecipando demais
                a
nossa hist´ria. Tudo a seu tempo.
          o
      Seguindo a pr´tica j´ rotineira, estabeleceremos os conceitos para os
                    a     a
casos das fun¸˜es de duas e de trˆs vari´veis, observando que eles podem ser
             co                  e      a
estendidos para fun¸˜es com mais vari´veis.
                   co                  a
    Antes de atacarmos o nosso tema principal, no entanto, precisamos de
um novo conceito sobre conjuntos.

 Conjuntos abertos
     Essa no¸˜o caracterizar´ os dom´
            ca              a       ınios das fun¸˜es que estudaremos de
                                                 co
agora em diante.
       Intuitivamente, podemos dizer que um subconjunto do plano lR 2 ou do
espa¸o lR 3 ´ aberto se for um conjunto sem fronteiras ou bordos. Exemplos
     c       e
t´
 ıpicos s˜o
          a

               D = { (x, y) ∈ lR 2 ; (x − a)2 + (y − b)2 < r },

o disco de centro em (a, b) e raio r, aberto em lR 2 ,

         B = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c) < r },


                                                                                     55   CEDERJ
Derivadas parciais


                  a bola de centro em (a, b, c) e raio r > 0, aberta em lR 3 .




                         Um detalhe importante: a no¸˜o conjunto aberto ´ uma no¸˜o relativa.
                                                    ca                  e        ca
                  Isto ´, depende do ambiente. Veja, a sintaxe ´: A ´ aberto em lR 2 .
                       e                                       e    e
                        Para tornarmos este conceito mais preciso, introduziremos a no¸˜o de
                                                                                      ca
 ponto interior   ponto interior. Dizemos que um ponto (a, b) ∈ A ⊂ lR ´ um ponto interior
                                                                        2
                                                                          e
                  do conjunto A se existe um disco aberto D de centro em (a, b) e raio r > 0
                  contido em A. Em s´ ımbolos matem´ticos, (a, b) ∈ D ⊂ A ⊂ lR 2 .
                                                    a
                        Analogamente, um ponto (a, b, c) ∈ A ⊂ lR 3 ´ um ponto interior de A
                                                                      e
                  se existe uma bola aberta B de centro em (a, b, c) e raio r > 0 contida em A.
                       Intuitivamfente, um ponto (a, b) ´ um ponto interior de A se todos os
                                                        e
                               2
                  pontos de lR que o cercam tamb´m s˜o pontos de A.
                                                  e    a

                  Exemplo 5.1
                        Seja H = { (x, y) ∈ lR 2 ; y ≥ 1 }. O ponto (1, 2) ´ um ponto interior
                                                                           e
                  de H, pois o disco aberto de centro em (1, 2) e raio 1/2, por exemplo, est´  a
                  contido em H. J´ o ponto (2, 1) ∈ H n˜o ´ ponto interior de H, pois qualquer
                                  a                     a e
                  disco que tomarmos, com centro em (2, 1), conter´ pontos do tipo (2, b), com
                                                                  a
                  b < 1 e, portanto, pontos que n˜o pertencem a H. Em outras palavras, (2, 1)
                                                 a
                  pertence a H mas n˜o est´ envolvido por pontos de H. Veja a ilustra¸˜o
                                       a     a                                              ca
                  a seguir.



                                                                           H

                                                               2

                                                               1


                                                                       1   2
CEDERJ     56
Derivadas parciais
                                                                                   ´
                                                                                  MODULO 1 – AULA 5


Conjunto aberto

     Um subconjunto A ⊂ lR 2 ´ dito aberto em lR 2 se todos os seus pontos
                             e
forem pontos interiores.
      O conjunto H, do Exemplo 25.1, n˜o ´ um subconjunto aberto de lR 2 ,
                                       a e
pois (2, 0) ∈ H, mas n˜o ´ ponto interior. Aqui est˜o alguns exemplos de
                      a e                          a
subconjuntos abertos de lR 2 .

Exemplo 5.2
     A1 = { (x, y) ∈ lR 2 ; y > 1 };
     A2 = { (x, y) ∈ lR 2 ; x = y };
     A3 = { (x, y) ∈ lR 2 ; 0 < x < 1, 0 < y < 1 };
     A4 = { (x, y) ∈ lR 2 ; (x, y) = (1, 2) }.

     O argumento usado no Exemplo 25.1, para mostrar que (1, 2) ´ um e
ponto interior de H, pode ser adaptado para mostrar que todos os elementos
de A1 s˜o pontos interiores. Note que A1 se diferencia de H exatamente por
       a
n˜o conter os pontos do tipo (a, 1), que est˜o no bordo.
 a                                          a
     Para se convencer de que cada ponto (a, b) ∈ A2 ´ ponto interior, basta
                                                      e
observar que a distˆncia de (a, b) at´ a reta x = y ´ positiva, uma vez que
                   a                 e              e
a = b. Assim, basta tomar o disco D, de centro em (a, b), com raio igual a `
metade dessa distˆncia, por exemplo.
                 a
     Caso (a, b) ∈ A3 , sabemos que 0 < a, b < 1. Escolha r > 0, um n´ mero
                                                                      u
menor do que qualquer um dos n´ meros |a|, |b|, |a − 1|, |b − 1|. O disco D,
                                  u
de centro em (a, b) e raio r, n˜o tocar´ nenhum dos bordos do quadrado.
                               a       a
Portanto, estar´ contido em A3 .
               a
     Para constatar que A4 ´ um conjunto aberto (A4 ´ o plano todo menos
                            e                         e
um ponto), basta escolher r > 0 menor do que a distˆncia entre (a, b) e (1, 2).
                                                    a
O disco D centrado em (a, b), com tal raio, n˜o cont´m o ponto (1, 2). Logo,
                                              a     e
D est´ contido em A4 e isso mostra que A4 ´ um subconjunto aberto de lR 2 .
     a                                      e
      Os discos abertos de lR 2 e as bolas abertas de lR 3 fazem o papel dos
intervalos abertos de lR . Al´m disso, se A ´ um subconjunto aberto de lR 2 ,
                             e              e
ent˜o A ´ igual a uma uni˜o de discos abertos, pois todos os seus pontos
   a      e                 a
s˜o interiores. Al´m disso, todos os pontos de A s˜o, tamb´m, pontos de
 a                e                                  a         e
acumula¸˜o de A.
         ca
      ´
      E bom lembrar que o plano lR 2 ´, ele mesmo, um aberto em lR 2 e,
                                         e
como ´ imposs´ exibir um elemento do conjunto vazio que n˜o seja ponto
       e       ıvel                                         a
interior, dizemos que ∅ ´ um conjunto aberto (em qualquer ambiente).
                        e


                                                                                      57   CEDERJ
Derivadas parciais


                                           A uni˜o qualquer de conjuntos abertos ´ um conjunto aberto, mas,
                                                 a                                  e
                                      surpreendentemente, a interse¸˜o infinita de conjuntos abertos pode n˜o ser
                                                                   ca                                     a
                                      um conjunto aberto.
                                           Terminamos agora essa conversa, que est´ um pouco longa, e vamos ao
                                                                                  a
                                      nosso tema principal.


                                       Derivadas parciais
                                           Seja f : A ⊂ lR 2 → lR uma fun¸˜o tal que A ´ um subconjunto aberto
                                                                              ca           e
                                      de lR , e seja (a, b) ∈ A. Ent˜o, existe um certo n´ mero r > 0, tal que, se
                                           2
                                                                      a                    u
                                      x ∈ (a − r, a + r), ent˜o f (x, b) est´ bem definida.
                                                             a              a
                                           Assim, z = f (x, b), com x ∈ (a−r, a+r), ´ uma fun¸˜o de uma vari´vel
                                                                                       e          ca           a
     O s´ ımbolo ∂ ´ chamado
                     e                e podemos, portanto, considerar a existˆncia da derivada de tal fun¸˜o em
                                                                                e                           ca
           derronde, que ´ uma
                          e
                                      x = a. Isto ´, considere
                                                  e
      corruptela do francˆs de
                            e
        rond que quer dizer dˆ    e                     f (x, b) − f (a, b)       f (a + h, b) − f (a, b)
                                                    lim                     = lim                         .
    redondo. Isso se deveu ao                       x→a        x−a            h→0            h
       fato de os franceses, na
            ´poca da Revolu¸˜o
            e                  ca           Se esse limite for um n´ mero real, ele ser´ chamado derivada parcial de
                                                                     u                 a
      Francesa, adotarem essa
 forma especial de escrever a
                                      f em rela¸ao a x, no ponto (a, b). Nesse caso, usamos as seguintes nota¸˜es
                                                c˜                                                             co
        letra d. Esse s´
                       ımbolo ´   e   para represent´-lo:
                                                     a
    particularmente util para
                       ´
                                                             ∂f          ∂z
diferenciar a derivada parcial                                  (a, b) =    (a, b) = fx (a, b).
     de uma fun¸˜o de v´rias
                  ca        a                                ∂x          ∂x
        vari´veis, em rela¸˜o a
              a            ca
                      “ ∂f ”               Analogamente, podemos considerar a derivada parcial de f em rela¸˜o  ca
      alguma delas            , da
                        ∂x            a y no ponto (a, b). Nesse caso, tomamos
  derivada de uma fun¸˜o de
                         ca
                         “ df ”
           uma vari´vel
                    a
                            dx
                                  .                      f (a, y) − f (a, b)          f (a, b + h) − f (a, b)
                                                     lim                     = lim                            ,
                                                    y→b         y−b              h→0             h
                                      e, caso o limite seja um n´ mero, denotamos por
                                                                   u
                                                               ∂f            ∂z
                                                                  (a, b) =      (a, b) = fy (a, b).
                                                               ∂y            ∂y
                                      Exemplo 5.3
                                            Vamos calcular a derivada parcial da fun¸˜o f (x, y) = sen xy, em
                                                                                    ca
                                      rela¸˜o a x, no ponto (a, b).
                                          ca
                                              ∂f              f (a + h, b) − f (a, b)
                                                 (a, b) = lim                           =
                                              ∂x          h→0            h
                                                              sen (a + h)b − sen ab
                                                        = lim                             =
                                                          h→0             h
                                                              sen ab cos hb + cos ab sen hb − sen ab
                                                        = lim                                        =
                                                          h→0                         h
                                                              sen ah (cos hb − 1) + sen hb cos ab
                                                        = lim                                     .
                                                          h→0                      h

   CEDERJ           58
Derivadas parciais
                                                                                  ´
                                                                                 MODULO 1 – AULA 5


                       cos hb − 1           sen hb
     Observe que lim              = 0 e lim        = b. Assim,
                   h→0      h           h→0   h
       ∂f              sen ah (cos hb − 1)   sen hb
          (a, b) = lim                     +        cos ab          =
       ∂x          h→0          h              h

                 = b cos ab.

      Na verdade, podemos concluir que, se f (x, y) = sen xy, ent˜o, subs-
                                                                 a
titutindo o termo gen´rico a por x e b por y, temos
                     e

                            ∂f
                               (x, y) = y cos xy.
                            ∂x

                 ∂f ∂f
 As fun¸˜es
       co          ,
                 ∂x ∂y
      Seja z = f (x, y) uma fun¸˜o definida num subconjunto aberto A de lR 2 .
                               ca
Suponha que f admita derivadas parciais, em rela¸˜o a x e a y, em todos os
                                                 ca
                                                                      ∂f
pontos (x, y) ∈ A. Nesse caso, obtemos duas fun¸˜es, denotadas por
                                                  co                       e
                                                                      ∂x
∂f                                  ∂z ∂z
   , definidas em A. As nota¸˜esco      e     tamb´m s˜o muito usadas para
                                                 e    a
∂y                                  ∂x ∂y
representar essas fun¸˜es.
                       co
                                                        ∂w ∂w ∂w
      De maneira an´loga, se w = g(x, y, z), usamos
                       a                                  ,     e     para
                                                        ∂x ∂y     ∂z
denotar as respectivas fun¸˜es obtidas pela deriva¸˜o parcial, no caso das
                            co                     ca
fun¸˜es de trˆs vari´veis.
   co        e       a

Exemplo 5.4
     Seja
                       f (x, y, z) = xy 2 + z sen xyz.
                                                            ∂f ∂f         ∂f
Esta fun¸˜o est´ definida no espa¸o lR 3 . Vamos calcular
        ca     a                c                             ,      e       .
                                                            ∂x ∂y         ∂z
Isto ´, queremos calcular as derivadas parciais de f . Podemos fazer isso di-
     e
retamente, usando as regras de deriva¸˜o aprendidas no C´lculo I. Basta que
                                     ca                   a
derivemos em rela¸˜o a vari´vel indicada, considerando as outras vari´veis
                  ca `       a                                          a
como constantes.
                      ∂f
                         (x, y, z) = y 2 + yz 2 cos xyz.
                      ∂x
     Veja que usamos a Regra da Cadeia na segunda parcela.

                     ∂f
                        (x, y, z) = 2xy + xz 2 cos xyz.
                     ∂y

                                                                                     59   CEDERJ
Derivadas parciais


                                 ∂f
                                    (x, y, z) = sen xyz + xyz cos xyz.
                                 ∂z
                    No caso da derivada em rela¸˜o a z, a derivada da primeira parcela
                                                 ca
              ´ nula, pois ´ constante em rela¸˜o a z. A derivada da segunda parcela ´
              e            e                  ca                                     e
              calculada com a Regra do Produto de duas fun¸˜es: z × sen xyz.
                                                           co

              Exerc´ 1
                   ıcio
                             ∂f          ∂f
                   Calcule      (x, y) e    (1, −1), onde f (x, y) = 3x sen (x + y).
                             ∂x          ∂y
                   H´ situa¸˜es em que o c´lculo da derivada parcial requer a defini¸˜o.
                    a      co             a                                        ca
              Veja mais um exemplo.

              Exemplo 5.5
                                     
                                     
                                      2                       1
                                      (x + y 2 ) sen
                                                                   ,   se       (x, y) = (0, 0)
                                                         x2   + y2
                   Seja f (x, y) =                                                                 .
                                     
                                     
                                     
                                     
                                      0,                               se       (x, y) = (0, 0)

                                         ∂f              ∂f
                   Vamos verificar que       (0, 0) = 0 e    (0, 0) = 0.
                                         ∂x              ∂y
                     Note que a fun¸˜o n˜o se altera se trocarmos a ordem das vari´veis:
                                    ca a                                                a
               f (x, y) = f (y, x) . Isso significa que, caso a fun¸˜o admita alguma das
                                                                     ca
              derivadas parciais em (0, 0), a primeira igualdade j´ estar´ estabelecida. Por-
                                                                  a      a
              tanto, basta calcular, digamos,

                     ∂f              f (h, 0) − f (0, 0)
                        (0, 0) = lim                     =
                     ∂x          h→0          h
                                                1
                                     h2 sen          −0
                                                h2                               1
                               = lim                      = lim h sen                   = 0,
                                 h→0          h             h→0                  h2

                                                                  1
              pois lim h = 0 e a fun¸˜o g(x) = sen
                                    ca                               , definida em lR − { 0 },
                    h→0                                           x2
              ´ limitada.
              e
                                             ∂f              ∂f
                   Conclu´
                         ımos, ent˜o, que
                                  a             (0, 0) = 0 e    (0, 0) = 0.
                                             ∂x              ∂y

              Exemplo 5.6
                                   
                                    x3 + 2y 2
                                   
                                    2
                                    x + y2 ,        se    (x, y) = (0, 0)
                   Seja f (x, y) =                                           .
                                   
                                   
                                   
                                    0,              se    (x, y) = (0, 0)

CEDERJ   60
Derivadas parciais
                                                                                ´
                                                                               MODULO 1 – AULA 5


                                                              ∂f
     Esse exemplo nos reserva uma surpresa. Vamos calcular       (0, 0).
                                                              ∂x

                   ∂f              f (h, 0) − f (0, 0)
                      (0, 0) = lim                     =
                   ∂x          h→0          h
                                   h3
                                     2
                                       −0
                             = lim h         = lim 1 = 1.
                               h→0     h        h→0


     No entanto,

                    ∂f              f (0, h) − f (0, 0)
                       (0, 0) = lim                       =
                    ∂y          h→0          h
                                    3h2
                                       2
                                          −0            2
                              = lim h          = lim .
                                h→0      h        h→0 h


                             2
      Como a fun¸˜o g(x) = , definida em lR − { 0 }, n˜o admite limite
                 ca                                  a
                             x
quando x → 0, dizemos que a fun¸˜o f n˜o admite derivada parcial em
                               ca     a
rela¸˜o a y no ponto (0, 0).
    ca


 Interpreta¸˜o geom´trica da derivada parcial
           ca      e

     Vamos usar o fato de que a derivada g (a), de uma fun¸˜o y = g(x), no
                                                          ca
ponto a, pode ser interpretada geometricamente como o coeficiente angular
da reta tangente ao gr´fico de g no ponto (a, b), para uma interpreta¸˜o
                       a                                               ca
geom´trica para as derivadas parciais.
     e
      Seja z = f (x, y) uma fun¸˜o que admite derivadas parciais, em rela¸˜o
                               ca                                         ca
a x e em rela¸˜o a y, num dado ponto (a, b) de seu dom´
             ca                                       ınio. Ao fixarmos uma
das vari´veis, digamos y = b, estamos considerando a restri¸˜o da fun¸˜o f
         a                                                  ca         ca
sobre a reta y = b. Geometricamente, estamos considerando a interse¸˜o do
                                                                     ca
gr´fico de f com o plano y = b. Essa interse¸˜o ´ uma curva do plano e pode
  a                                         ca e
ser vista como o gr´fico da fun¸˜o z = f (x, b).
                    a          ca




                                                                                   61   CEDERJ
Derivadas parciais


                   Na figura da esquerda, vemos o gr´fico de f com o plano y = b e, na
                                                    a
              figura da direita, vemos o plano y = b com curva obtida da sua interse¸˜o
                                                                                   ca
              com o gr´fico de f .
                      a
                    A derivada parcial de f , em rela¸˜o a x, no ponto (a, b), pode ser
                                                      ca
              interpretada como o coeficiente angular da reta tangente a curva de interse¸˜o
                                                                      `                 ca
              do plano com o gr´fico de f , no ponto (a, b, f (a, b)). Veja, a seguir, mais
                                a
              uma ilustra¸˜o.
                         ca
                          z                                        z




                                                                                     x
                        x                   y
                   Chegamos ao fim da aula. Aqui est´ uma s´rie de exerc´
                                                       a       e       ıcios para vocˆ
                                                                                     e
              colocar em pr´tica os conceitos e t´cnicas que aprendeu.
                           a                     e


              Exerc´
                   ıcios

              Exerc´ 1
                   ıcio
                                ∂f          ∂f
                      Calcule      (x, y) e    (1, −1), onde f (x, y) = 3x sen (x + y).
                                ∂x          ∂y
              Solu¸˜o:
                  ca

                                   ∂f
                                      (x, y) = 3 sen (x + y) + 3x cos(x + y).
                                   ∂x
                                ∂f                              ∂f
                                   (x, y) = 3x cos(x + y) =⇒       (1, −1) = 3.
                                ∂y                              ∂y

              Exerc´ 2
                   ıcio
                      Em cada um dos seguintes exerc´
                                                    ıcios, calcule a derivada parcial indi-
              cada.

                                                       ∂f         ∂f
               a) f (x, y) = 2xy + y 2 ;                  (x, y),    (x, y).
                                                       ∂x         ∂y

                                                       ∂f ∂f ∂f
               b) f (x, y, z) = 2xy(1 − 3xz)2 ;          ,  ,   .
                                                       ∂x ∂y ∂z

                                  x                    ∂z ∂z
               c) z = x ln          ;                    ,   .
                                  y                    ∂x ∂y

CEDERJ   62
Derivadas parciais
                                                                                              ´
                                                                                             MODULO 1 – AULA 5




  d) x =     1 + x2 + y 2 + z 2 ;            wx , wz , wy (0, 0, 0).

                                             ∂f
  e) f (u, v) = uv − u2 + v 2 ;                 , fv (0, −1).
                                             ∂u

                                             ∂g ∂g
  f) g(r, θ) = r cos θ + r sen θ;              ,   .
                                             ∂r ∂θ

                   y                         ∂z ∂z
  g) z = arctg       ;                         ,   .
                   x                         ∂x ∂y

                                             ∂f ∂f ∂f
  h) f (x, y, z) = (x + y) ex−y+2z ;           ,  ,   .
                                             ∂x ∂y ∂z

                                             ∂f ∂f
  i) f (u, v) = u2 arcsen v;                   ,   .
                                             ∂u ∂v

Exerc´ 3
     ıcio
     Seja f (x, y) = ln         x2 + y 2 .
a) Mostre que Dom(f ) ´ um conjunto aberto.
                      e
b) Determine a curva de n´ 0.
                         ıvel
                  ∂f     ∂f
c) Verifique que x    +y       = 1.
                  ∂x     ∂y

Exerc´ 4
     ıcio
                                  y
     Seja f (x, y, z) =                   . Verifique que
                           x2   + y2 + z2

                            x fx + y fy + z fz = −f.


Exerc´ 5
     ıcio            
                      x2 y
                     
                      2
                      x + y2 ,              se     (x, y) = (0, 0)
     Seja f (x, y) =                                                   .
                     
                     
                     
                      0,                    se     (x, y) = (0, 0)

              ∂f      ∂f
     Calcule       e     . (Veja que vocˆ dever´ usar as regras de deriva¸˜o
                                           e      a                         ca
              ∂x      ∂y
              ∂f           ∂f
para calcular    (x, y) e      (x, y), no caso de (x, y) = (0, 0), e a defini¸˜o
                                                                            ca
              ∂x            ∂y
                                                                   ∂f          ∂f
de derivada parcial num ponto espec´
                                   ıfico para calcular                 (0, 0) e    (0, 0)).
                                                                   ∂x          ∂y

                                                                                                 63   CEDERJ
Derivadas parciais


                   As derivadas parciais s˜o usadas para expressar um par de equa¸˜es
                                          a                                      co
              muito importantes, na teoria das fun¸˜es de vari´vel complexa, chamadas
                                                  co          a
              Equa¸˜es de Cauchy-Riemann.
                  co
                   Um par de fun¸˜es u(x, y) e v(x, y) que satisfazem as equa¸˜es
                                co                                           co

                                        ∂u   ∂v   ∂u     ∂v
                                           =    e    = −
                                        ∂x   ∂y   ∂y     ∂x
              s˜o, respectivamente, a parte real e a parte complexa de uma fun¸˜o dife-
               a                                                              ca
              renci´vel (num sentido complexo) de uma vari´vel complexa.
                   a                                        a

              Exerc´ 6
                   ıcio
                  Mostre que cada par de fun¸˜es de duas vari´veis a seguir satisfaz as
                                            co               a
              Equa¸˜es de Cauchy-Riemann.
                  co


               a) u(x, y) = x2 − y 2;                   v(x, y) = 2xy.

               b) u(x, y) = ex cos y;                   v(x, y) = ex sen y.

               c) u(x, y) = x3 + x2 − 3xy 2 − y 2 ;     v(x, y) = 3x2 y + 2xy − y 3 .
                                   x                                 −y
               d) u(x, y) =             ;               v(x, y) =         .
                              x2   + y2                             x2
                                                                     + y2
                              1                                           y
               e) u(x, y) =     ln (x2 + y 2);          v(x, y) = arctg     .
                              2                                           x




CEDERJ   64
Plano tangente, diferencial e gradiente
                                                                                  ´
                                                                                 MODULO 1 – AULA 9


     Aula 9 – Plano tangente, diferencial e
                                  gradiente

Objetivos
   • Aprender o conceito de plano tangente ao gr´fico de uma fun¸˜o dife-
                                                a              ca
     renci´vel de duas vari´veis.
          a                a

   • Conhecer a nota¸˜o cl´ssica para a melhor aproxima¸˜o linear de uma
                      ca    a                          ca
     fun¸˜o diferenci´vel – a diferencial.
        ca           a

   • Aprender o conceito de vetor gradiente como o dual da diferencial.

      As duas ultimas aulas apresentaram a no¸˜o de diferenciabilidade de
               ´                                ca
uma fun¸˜o de v´rias vari´veis e as suas implica¸˜es imediatas. Foram aulas
        ca       a        a                     co
teoricamente mais densas e, portanto, o car´ter um pouco mais simples que
                                           a
esta aula pretende ter deve ser uma bem-vinda mudan¸a de ritmo.
                                                       c
      Antes de prosseguir, no entanto, vamos reconhecer um d´bito que ser´
                                                                 e           a
pago na pr´xima aula de exerc´
            o                   ıcios. Veja, na aula anterior, foi provado que
toda fun¸˜o de classe C 1 ´ diferenci´vel. Isto ´, ser de classe C 1 ´ uma
         ca                 e           a          e                    e
condi¸˜o suficiente para ser diferenci´vel. Diante disso, vocˆ deve conside-
     ca                                a                       e
rar a quest˜o da necessidade dessa condi¸˜o para a diferenciabilidade. Em
            a                              ca
outras palavras, essa condi¸˜o suficiente ´ tamb´m necess´ria? Muito bem,
                            ca             e      e         a
adiantando a resposta: n˜o! H´ fun¸˜es diferenci´veis cujas fun¸˜es deriva-
                         a      a     co            a              co
das parciais n˜o s˜o cont´
              a a         ınuas. Vocˆ ver´ um exemplo na pr´xima aula de
                                      e    a                     o
exerc´
     ıcios. Promessa ´ d´
                      e ıvida!
     Muito bem, com isso fora da pauta, vamos ao primeiro tema desta aula.


Plano tangente
      Na defini¸˜o de diferenciabilidade de uma fun¸˜o f : A ⊂ lR 2 −→ lR ,
               ca                                          ca
no ponto (a, b) ∈ A, subconjunto aberto de lR , a equa¸˜o
                                                    2
                                                               ca
                            ∂f                     ∂f
      f (x, y) = f (a, b) +     (a, b) (x − a) +      (a, b) (y − b) + E(x, y)
                            ∂x                     ∂y
desempenha um papel fundamental, pois define o erro E(x, y), que converge
para zero mais rapidamente do que |(x, y) − (a, b)|. Isso quer dizer que a
aplica¸˜o afim
      ca
                                  ∂f                    ∂f
            A(x, y) = f (a, b) +      (a, b) (x − a) +      (a, b) (y − b),
                                  ∂x                    ∂y

                                                                                     95   CEDERJ
Plano tangente, diferencial e gradiente


              no caso de f ser diferenci´vel em (a, b), ´ aquela que, entre todas as aplica¸˜es
                                        a               e                                  co
              afins, d´ as melhores aproxima¸˜es aos valores da fun¸˜o f , em alguma vizi-
                     a                        co                       ca
              nhan¸a do ponto (a, b).
                   c
                   Mas, como sabemos, equa¸˜es do tipo
                                          co

                                              z = c + mx + ny

              definem planos em lR 3 .
                   Isso nos motiva a estabelecer o seguinte.

              Defini¸˜o 9.1:
                   ca
                    Seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR , uma fun¸˜o definida no subconjunto aberto
                                                        ca
                      2
              A de lR , diferenci´vel no ponto (a, b). Dizemos que o plano definido pela
                                 a
              equa¸˜o
                   ca
                                           ∂f                  ∂f
                            z = f (a, b) +    (a, b) (x − a) +    (a, b) (y − b)
                                           ∂x                  ∂y
              ´ o plano tangente ao gr´fico da fun¸˜o f , no ponto (a, b).
              e                        a           ca




              Exemplo 9.1
                  Vamos calcular a equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f (x, y) =
                                         ca                       a
              x − xy − y no ponto (1, 1, −1).
               2        2



                    Para isso, calculamos as derivadas parciais:
              ∂f                     ∂f
                 (x, y) = 2x − y,        (x, y) = −x − 2y.
              ∂x                     ∂y
                    Substituindo (x, y) por (1, 1), obtemos:
              ∂f               ∂f
                 (1, 1) = 1,      (1, 1) = −3.
              ∂x               ∂y
                    Assim, a equa¸˜o procurada ´
                                   ca              e
                                        ∂f                  ∂f
                           z = f (1, 1) +  (1, 1) (x − 1) +    (1, 1) (y − 1);
                                        ∂x                  ∂y
                           z = −1 + (x − 1) − 3(y − 1);
                           z = x − 3y + 1.

CEDERJ   96
Plano tangente, diferencial e gradiente
                                                                                       ´
                                                                                      MODULO 1 – AULA 9


Exemplo 9.2
     Vamos calcular a equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f (x, y) =
                            ca                       a
2xy − y que seja paralelo ao plano z = 2x + 4y.
       2


                                           ∂f                   ∂f
      Para que os planos z = f (a, b) +       (a, b) (x − a) +     (a, b) (y − b) e
                                           ∂x                   ∂y
                                              ∂f                 ∂f
z = 2x + 4y sejam paralelos, ´ preciso que
                               e                  (a, b) = 2 e      (a, b) = 4.
                                              ∂x                 ∂y
              ∂f                ∂f
       Como      (x, y) = 2y e     (x, y) = 2x − 2y, temos de achar os valores
              ∂x                ∂y
a e b tais que 2b = 2 e 2a − 2b = 4. Portanto, o ponto que procuramos ´           e
(a, b) = (3, 1), e a equa¸˜o do plano tangente procurado ´
                          ca                                  e

                     z = f (3, 1) + 2(x − 3) + 4(x − 1);
                     z = 2x + 4y − 5.


 Reta normal ao gr´fico
                  a
      O espa¸o tridimensional lR 3 ´ munido de um produto que o torna
              c                       e
muito especial. Dados v1 , v2 ∈ lR 3 , podemos efetuar o produto vetorial,
v1 × v2 , obtendo um terceiro vetor. Se v1 e v2 s˜o linearmente independentes,
                                                 a
ent˜o v1 × v2 ´ perpendicular ao plano gerado por eles.
   a            e
                               v1 × v2




                          v1
                                         v2

      Isso est´ ligado ao fato de todo plano contido em lR 3 ter uma unica
              a                                                         ´
dire¸˜o ortogonal. Ou seja, dado um plano π ⊂ lR e um ponto (a, b, c) ∈ lR 3 ,
    ca                                           3

existe uma unica reta r, tal que r ´ perpendicular a π e (a, b, c) ∈ r.
            ´                      e
      E ainda, se a equa¸˜o cartesiana do plano tem a forma
                        ca

                               α x + β y + γ z = δ,

´ f´cil obter uma equa¸˜o param´trica da reta ortogonal:
e a                   ca       e

                       r(t) = (α t + a, β t + b, γ t + c).


                                                                                          97   CEDERJ
Plano tangente, diferencial e gradiente


                   Portanto, reescrevendo a equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f , no
                                                ca                         a
              ponto (a, b, f (a, b)) como
                    ∂f            ∂f                ∂f            ∂f
                       (a, b) x +    (a, b) y − z =    (a, b) a +    (a, b) b − f (a, b),
                    ∂x            ∂y                ∂x            ∂y
              obtemos uma equa¸˜o param´trica da reta normal ao gr´fico de f no ponto
                                ca     e                          a
              (a, b, f (a, b)):

                                   ∂f               ∂f
                         r(t) =       (a, b) t + a,    (a, b) t + b, −t + f (a, b) .
                                   ∂x               ∂y

              Exemplo 9.3
                     Vamos calcular uma equa¸˜o param´trica da reta normal ao gr´fico de
                                            ca       e                          a
              f (x, y) = xy no ponto (−1, −2, 2).
                    Come¸amos calculando as derivadas parciais de f :
                          c
              ∂f                 ∂f
                 (x, y) = y e       (x, y) = x,
              ∂x                 ∂y
                        ımos (x, y) por (−1, −2):
              e substitu´
              ∂f                    ∂f
                 (1, −1) = −2 e         (1, −1) = −1.
              ∂x                     ∂y
                    Aqui est´ uma equa¸˜o param´trica da reta normal ao gr´fico de z = xy
                            a           ca        e                       a
              no ponto (−1, −2, 1):

                                    r(t) = (−2t − 1, −t − 2, 2 − t).




                   O pr´ximo tema ´ um cl´ssico da Matem´tica: a diferencial.
                       o          e      a              a


              Diferencial
                    Vocˆ deve ter notado que, em diversas situa¸˜es, usamos a termino-
                       e                                        co
              logia “melhor aproxima¸˜o linear”, enquanto em outras usamos “a melhor
                                     ca
              aproxima¸˜o afim”. Vamos esclarecer a diferen¸a que h´ entre uma e outra
                       ca                                   c       a
              terminologia. No fundo, ´ uma quest˜o de referencial.
                                      e          a

CEDERJ   98
Plano tangente, diferencial e gradiente
                                                                                ´
                                                                               MODULO 1 – AULA 9


      O termo linear ´ usado para caracterizar um tipo especial de fun¸˜es:
                     e                                                co
as transforma¸˜es lineares. Uma transforma¸˜o linear de um espa¸o vetorial
             co                              ca                  c
V no espa¸o vetorial W (digamos, reais) ´ uma fun¸˜o T : V −→ W , com as
          c                             e        ca
seguintes propriedades: ∀v, w ∈ V, ∀λ ∈ lR ,

   • T (v + w) = T (v) + T (w);

   • T (λv) = λ T (v).

      Ou seja, T preserva as opera¸˜es que caracterizam V como um espa¸o
                                  co                                  c
vetorial, na imagem em W .
    Em particular, as transforma¸˜es lineares de lR 2 em lR , tamb´m cha-
                                   co                             e
                               2
madas funcionais lineares de lR , tˆm a forma geral
                                   e

                               T (x, y) = α x + β y,

onde α e β s˜o n´ meros reais.
            a u
     Isto ´, cada funcional linear de lR 2 ´ caracterizado unicamente por um
          e                                e
par ordenado (α, β).
      O gr´fico de um funcional linear de lR 2 ´ um plano contido em lR 3 que
          a                                   e
cont´m a origem, pois T (0, 0) = 0.
    e
     J´ uma aplica¸˜o afim de lR 2 em lR tem a forma geral
      a           ca

                              A(x, y) = α x + β y + γ,

onde α, β e γ s˜o n´ meros reais.
               a u
      O gr´fico de A ´ um plano contido em lR 3 que intersecta o eixo Oz na
          a         e
altura γ.
      No caso das aplica¸˜es afins, temos um grau de liberdade a mais em
                          co
rela¸˜o aos funcionais lineares, pois temos um n´mero extra γ para determi-
    ca                                          u
nar a aplica¸˜o.
            ca
       Suponha que f : A ⊂ lR 2 −→ lR seja uma fun¸˜o diferenci´vel em
                                                  ca           a
(a, b). A aplica¸˜o
                ca
                                     ∂f                  ∂f
          A(x, y) = f (a, b) +          (a, b) (x − a) +    (a, b) (y − b)
                                     ∂x                  ∂y
´ a melhor aproxima¸˜o afim da fun¸˜o f , numa pequena vizinhan¸a do
e                  ca            ca                           c
ponto (a, b).
      H´ uma maneira cl´ssica de apresentar este tema, isto ´, a no¸˜o de
       a                 a                                  e      ca
diferencial. A terminologia usada ´ a de acr´scimos. Usando a nota¸˜o de
                                  e         e                      ca


                                                                                   99   CEDERJ
Plano tangente, diferencial e gradiente


               acr´scimos, mudaremos a aplica¸˜o afim para uma linear, que passar´ a ser
                  e                          ca                                 a
               chamada diferencial.
                    Coloquemos z = f (x, y). Nesses termos, x e y s˜o as vari´veis indepen-
                                                                   a         a
               dentes e z ´ a vari´vel dependente.
                          e       a
                    Veja: se colocarmos h = x−a e k = y−b, podemos reescrever a equa¸˜o
                                                                                    ca
               que define a aplica¸˜o afim A da seguinte maneira:
                                  ca

                                                             ∂f            ∂f
                           A(a + h, b + k) − f (a, b) =         (a, b) h +    (a, b) k.
                                                             ∂x            ∂y

                     A f´rmula do lado direito da igualdade define um funcional linear nas
                        o
               vari´veis h e k, os respectivos acr´scimos de x e de y, aplicados em (a, b):
                   a                              e

                                                   ∂f            ∂f
                                    T (h, k) =        (a, b) h +    (a, b) k,
                                                   ∂x            ∂y

                                                              ∂f           ∂f
               determinada unicamente pelo par ordenado           (a, b),     (a, b) .
                                                              ∂x           ∂y
                                                                         ∂f            ∂f
                      Resumindo, dados os acr´scimos h e k, T (h, k) =
                                             e                               (a, b) h+ (a, b) k
                                                                          ∂x           ∂y
               ´ a melhor aproxima¸˜o linear ao acr´scimo obtido na vari´vel z. Isto ´,
               e                     ca               e                          a           e
               T (h, k) ´ a melhor aproxima¸˜o ao acr´scimo f (a + h, b + k) − f (a, b).
                        e                  ca        e
                    Classicamente, denotam-se os acr´scimos em x e em y por dx e dy
                                                       e
               (h = dx e k = dy). O acr´scimo real, f (a + dx, b + dy) − f (a, b), em z, ´
                                          e                                               e
               denotado por ∆z, para diferenci´-lo do acr´scimento obtido com a diferencial,
                                              a          e
               denotado por dz.
                    Assim, representamos a transforma¸˜o linear T (h, k) por
                                                     ca

                                                    ∂f      ∂f
                                            dz =       dx +    dy,
                                                    ∂x      ∂y

               chamada diferencial da fun¸˜o z = f (x, y).
                                         ca
                    Como
                                                         ∂f             ∂f
                 E(h, k) = f (a + h, b + k) − f (a, b) −    (a, b) h −     (a, b) k
                                                         ∂x             ∂y
                                                              ∂f               ∂f
                           = f (a + h, b + k) − f (a, b) −        (a, b) dx +      (a, b) dy
                                                              ∂x               ∂y
                           = ∆z − dz,

               denotamos dz      ∆z para indicar que dz ´ uma aproxima¸˜o de ∆z. Eles
                                                        e             ca
               diferem pelo erro E(h, k) que ´ t˜o menor quanto mais h e k estiverem
                                              e a
               pr´ximos de zero.
                 o

CEDERJ   100
Plano tangente, diferencial e gradiente
                                                                                      ´
                                                                                     MODULO 1 – AULA 9



        A(a + dx, b + dy)                                                            Esta figura ´ esquem´tica.
                                                                                                   e          a
                                                            Erro = |∆z − dz|         Note que o dom´    ınio de f ,
        f (a + dx, b + dy)
                                                                                     que est´ contido em lR 2 , foi
                                                                                             a
                                               ∆z      dz                            representado como um
                     f (a, b)                                                        subconjunto de lR . Dessa
                                                                                     forma, o gr´fico de f , que ´
                                                                                                  a                 e
                                                                                     uma superf´  ıcie, est´
                                                                                                           a
                                                                                     representado por uma curva,
                                                                                     enquanto o gr´fico de A, que
                                                                                                     a
                                                                                     ´ um plano, est´
                                                                                     e                 a
                                (a, b) (a + dx, b + dy)                              representado por uma reta.
                                                                                     A pr´tica de representar
                                                                                           a
                                                                                     espa¸os de dimens˜es
                                                                                          c               o
                                                                                     maiores por seus similares de
                                                                                     dimens˜es menores ´ comum
                                                                                             o              e
                                                                                     em Matem´tica. Com isso
                                                                                                 a
     Veja como usar essa nota¸˜o no seguinte exemplo.
                             ca                                                      facilita-se a visualiza¸˜o e
                                                                                                             ca
                                                                                     espera-se ajudar o
Exemplo 9.4                                                                          entendimento.

     Vamos calcular a express˜o geral para a diferencial da fun¸˜o
                             a                                 ca

                                f (x, y) =   6 − x2 − y 2

e us´-la para calcular uma aproxima¸˜o ao valor f (0.99, 1.02).
    a                              ca

     Para calcular a forma geral da diferencial, precisamos calcular as deri-
vadas parciais de f .


       ∂f                   −x                  ∂f                   −y
          (x, y) =                      ;          (x, y) =                      .
       ∂x               6 − x2 − y 2            ∂y                6 − x2 − y 2

     Assim, se colocarmos z = f (x, y), a diferencial de f ´
                                                           e
                              x                     y
             dz = −                    dx −                  dy
                          6 − x2 − y 2          6 − x2 − y 2
                      −x dx − y dy
             dz =                   .
                       6 − x2 − y 2

     Agora, vamos usar essa f´rmula para avaliar f (0.99, 1.02).
                             o
     O ponto de referˆncia ´, nesse caso, (1, 1). Isto ´, a = 1, b = 1,
                       e     e                         e
a + h = 0.99 e b + h = 1.02.
     Calculada em (1, 1), a diferencial fica
                                        1    1
                                  dz = − dx − dy.
                                        2    2
     Os acr´scimos s˜o: dx = 0.99 − 1 = −0.01 e dy = 1.02 − 1 = 0.02.
           e        a
Portanto,
                            0.01 − 0.02
                       dz =             = −0.005.
                                 2

                                                                                          101       CEDERJ
Plano tangente, diferencial e gradiente


                    Como f (1, 1) = 2, f (0.99, 1.02)      f (1, 1) + dz = 1.995.
                    Veja, usando uma m´quina de calcular, obtemos uma aproxima¸˜o mais
                                          a                                      ca
               acurada do valor f (0.99, 1.02), como 1.994868417. Nada mal para uma apro-
               xima¸˜o, vocˆ n˜o acha?
                   ca       e a
                    Chegamos ao ultimo tema da aula.
                                ´


               O vetor gradiente

                     A palavra dualidade ´ usada em circunstˆncias bem especiais, na Ma-
                                         e                  a
               tem´tica. Em geral, ela indica a existˆncia de uma bije¸˜o entre certos
                   a                                  e                 ca
               conjuntos. Mas ´ mais do que isso.
                               e
                     Por exemplo, podemos dizer que h´ uma dualidade entre os s´lidos de
                                                        a                         o
               Plat˜o, estabelecida pela rela¸˜o entre n´ meros de v´rtices e n´ meros de
                   a                          ca          u             e       u
               faces. Veja, na tabela a seguir, o nome, o n´mero de v´rtices, o n´ mero de
                                                            u            e       u
               arestas e o n´ mero de faces desses poliedros regulares.
                            u


                                         Nome             v´rtices
                                                           e           arestas   faces
                                       Tetraedro              4           6       4
                                    Hexaedro (cubo)           8           12      6
                                       Octaedro               6           12      8
                                      Dodecaedro              20          30      12
                                       Icosaedro              12          30      20

                     Note que o nome do poliedro tem o prefixo grego que indica o n´mero
                                                                                  u
               de faces. Assim, por exemplo, o hexaedro ´ o s´lido regular que tem seis
                                                          e    o
                                       ´ o nosso popular cubo.
               faces, todas quadradas. E
                     O hexaedro, ou cubo, ´ dual ao octaedro. Isso porque o cubo tem seis
                                             e
               faces e oito v´rtices (f = 6, v = 8), enquanto o octaedro tem oito faces e seis
                             e
               v´rtices (f = 8, v = 6).
                e
                     O dodecaedro ´ dual ao icosaedro. Assim, n˜o ´ surpresa que, conhe-
                                     e                         a e
               cendo o dodecaedro, os gregos acabaram descobrindo o seu dual, o icosaedro.
               Veja: se no centro de cada face do dodecaedro marcarmos um ponto, e li-
               garmos todos esses pontos, obteremos um icosaedro inscrito no dodecaedro
               original, e vice-versa.
                     Resta a pergunta: quem ´ o dual do tetraedro, o mais simples dos
                                               e
               s´lidos regulares? Ora, sem mais delongas, o tetraedro ´ auto-dual, pois ´ o
                o                                                     e                 e
               unico s´lido regular a ter o mesmo n´mero de faces e de v´rtices.
               ´      o                            u                     e

CEDERJ   102
Plano tangente, diferencial e gradiente
                                                                                         ´
                                                                                        MODULO 1 – AULA 9


      Depois disso tudo, voltamos ` nossa aula.
                                  a
     H´ uma bije¸˜o entre o espa¸o dos funcionais lineares de lR 2 e o pr´prio
      a          ca             c                                        o
  2
lR , que associa o funcional definido por T (x, y) = α x + β y ao par
ordenado (α, β).
      Isso ´ um outro exemplo de uma dualidade. Na verdade, o espa¸o dos
           e                                                        c
                         2                                                               A palavra gradiente prov´m    e
funcionais lineares de lR ´ um espa¸o vetorial e ´ chamado espa¸o dual.
                           e       c             e             c                                  do latim gradientis,
                                                                                              partic´ıpio de gradi, que
                                                                                            significa caminhar, assim
                                                ∂f         ∂f                           como a palavra grau prov´m     e
      Isso nos faz olhar para o vetor              (x, y),    (x, y) , como o dual da
                                                ∂x         ∂y                                 de gradus, que significa
                   ∂f             ∂f                                                      passo, medida, hierarquia,
diferencial dz =      (x, y) dx +    (x, y) dy, num ponto gen´rico (x, y) do
                                                             e                                              intensidade.
                   ∂x             ∂y
                                                                                                  A palavra gradiente
dom´
   ınio de f , e nome´-lo gradiente de f . Usamos a nota¸˜o
                      a                                  ca                                    significa, na linguagem
                                                                                                 comum, a medida da
                                           ∂f         ∂f                                  declividade de um terreno.
                          ∇f (x, y) =         (x, y),    (x, y) .                       Significa, tamb´m, a medida
                                                                                                          e
                                           ∂x         ∂y                                 da varia¸˜o de determinada
                                                                                                  ca
                                                                                          caracter´ ıstica de um meio,
                                                                                                  tal como press˜o ou
                                                                                                                   a
      Esse vetor desempenhar´ um papel importante de agora em diante.
                            a
                                                                                          temperatura, de um ponto
      Com isso, chegamos ao fim desta aula. A seguir, uma lista com alguns                      para outro desse meio.
                                                                                           Como tal, nada mais ´ do  e
exerc´
     ıcios para vocˆ praticar o que acabou de aprender.
                   e                                                                      que uma taxa de varia¸˜o.  ca
                                                                                           O s´ ımbolo ∇, usado para
                                                                                             representar esse vetor, ´   e
                                                                                                        chamado nabla.
Exerc´
     ıcios

Exerc´ 1
     ıcio
      Calcule a equa¸˜o do plano tangente e uma equa¸˜o param´trica da
                    ca                              ca       e
reta normal ao gr´fico de f no ponto indicado.
                 a

 (a) f (x, y) = x2 − 2y                  (1, 0, 1);

 (b) f (x, y) = ln (x2 + y 2 )           (1, −1, ln 2);

 (c) f (x, y) = sen xy                   (π, 1/2, 1);
                     2y
 (d) f (x, y) = ex                       (1, 0, 1);

 (e) f (x, y) = xy − y 3                 (1, 1, 0).

Exerc´ 2
     ıcio
     Determine o plano tangente ao gr´fico de f (x, y) = x2 + 3xy + y 2, que
                                      a
´ paralelo ao plano z = 10x + 5y + 15.
e


                                                                                             103        CEDERJ
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  • 1. Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis co a a ´ MODULO 1 – AULA 1 Aula 1 – Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis co a a Objetivo • Apresentar as fun¸˜es de v´rias vari´veis. co a a Introdu¸˜o ca A partir desta aula, at´ o fim do semestre, o foco de nossas aten¸˜es ser´ e co a as fun¸˜es de v´rias vari´veis. Vocˆ j´ estudou as fun¸˜es reais e vetoriais co a a e a co de uma vari´vel que servem para descrever fenˆmenos que dependem de um a o unico parˆmetro ou vari´vel. Como exemplos, vocˆ pode tomar a posi¸˜o ´ a a e ca de uma part´ ıcula, a sua velocidade e a sua acelera¸˜o. Nesses casos, os ca fenˆmenos variam em fun¸˜o do tempo. No entanto, h´ diversas situa¸˜es o ca a co nas quais o resultado depende de mais de uma vari´vel. Vamos a um exemplo. a Podemos usar uma fun¸˜o para descrever as diversas temperaturas em ca diferentes pontos de uma dada placa de metal. Isto ´, a cada ponto P da e placa associamos a sua temperatura T (P ), dada em graus Celsius, digamos. Muito bem; para determinarmos um ponto em uma placa, precisamos de duas informa¸˜es: uma latitude e uma longitude. Isto ´, necessitamos de co e duas coordenadas. Ou seja, T ´ uma fun¸˜o de duas vari´veis. e ca a Veja uma outra situa¸˜o. Dado um corpo com a forma de um parale- ca lep´ ıpedo, podemos associar a cada um de seus pontos P a densidade δ(P ) do objeto nesse exato ponto. Isso nos d´ uma fun¸˜o δ, que depende de trˆs a ca e vari´veis, uma vez que, para localizar um ponto no paralelogramo, necessi- a tamos de trˆs informa¸˜es: altura, largura e profundidade. e co Vocˆ seria capaz de imaginar uma situa¸˜o que demandasse uma fun¸˜o e ca ca de quatro vari´veis para descrever um determinado fenˆmeno? a o Fun¸˜es de duas vari´veis co a Chamamos fun¸˜es de duas vari´veis as fun¸˜es do tipo co a co f : A ⊂ lR 2 −→ lR , cuja lei de defini¸˜o tem a forma ca z = f (x, y). 7 CEDERJ
  • 2. Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis co a a Isto ´, x e y s˜o as vari´veis independentes. O subconjunto A de lR 2 ´ e a a e o dom´ınio da fun¸˜o. ca Exemplo 1.1 Seja f : lR 2 −→ lR a fun¸˜o definida por f (x, y) = x + 2y. ca Este exemplo ´ bem simples. Esta fun¸˜o de duas vari´veis ´ chamada, e ca a e ´ na Algebra Linear, de um funcional linear. As fun¸˜es de duas vari´veis tˆm um papel importante no nosso estudo co a e de fun¸˜es de v´rias vari´veis, pois podemos esbo¸ar seus gr´ficos. Em geral, co a a c a o gr´fico de uma fun¸˜o de duas vari´veis ´ uma superf´ em lR 3 . No caso a ca a e ıcie em quest˜o, esta superf´ ´ um plano que cont´m a origem. Sua interse¸˜o a ıcie e e ca e e ´ com o plano xOz ´ a reta z = x e com o plano yOz ´ a reta z = 2y. E claro que na figura representamos apenas parte do plano. Veja a seguir. z x y Em geral, representamos o espa¸o tridimensional com o plano z = 0, c gerado pelos eixos Ox e Oy, fazendo o papel de ch˜o onde estamos, o plano a x = 0, gerado pelos eixos Oy e Oz, como se fosse uma parede ligeiramente a` nossa frente e o plano y = 0, gerado pelos eixos Ox e Oz, como se fosse uma outra parede ligeiramente a nossa esquerda. ` Note, tamb´m, que representamos apenas parte da superf´ e ıcie. Na ver- dade, o gr´fico da fun¸˜o ´ um plano e, como tal, deve continuar em todas as a ca e dire¸˜es. No entanto, limitamo-nos a representar sua interse¸˜o com o plano co ca zOy, fazendo x = 0, obtendo a reta z = 2y, e a sua interse¸˜o com o plano ca zOx, fazendo y = 0 e obtendo a reta x = x. Al´m disso, na regi˜o x ≥ 0, e a y ≥ 0, desenhamos apenas uma parte do plano, sobre um dom´ triangular. ınio ´ E bom acostumar-se com essas representa¸˜es. Temos de contar com a co ajuda delas para visualizar a geometria das fun¸˜es de v´rias vari´veis. co a a CEDERJ 8
  • 3. Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis co a a ´ MODULO 1 – AULA 1 A seguir, mais duas fun¸˜es com seus gr´ficos. co a Exemplo 1.2 f (x, y) = x2 + y 2 g(x, y) = 1 − x2 − y 2 Note que estas duas superf´ ıcies s˜o conhecidas da Geometria Anal´ a ıtica. O gr´fico de f ´ o parabol´ide de revolu¸˜o definido pela equa¸˜o z = x + y 2 a e o ca ca 2 e o gr´fico de g ´ uma semi-esfera. Isto ´, os pontos (x, y, z) que pertencem a e e ao gr´fico de g satisfazem ` equa¸˜o z = 1 − x2 − y 2 e, portanto, tamb´m a a ca e 2 2 2 satisfazem ` equa¸˜o x + y + z = 1, pertencendo, por isso, a esfera de raio a ca ` 1, centrada na origem. Dom´ ınios das fun¸˜es de duas v´rias vari´veis co a a Seguindo a mesma regra geral usada no C´lculo I, quando dizemos “seja a z = f (x, y) uma fun¸˜o”, estamos subentendendo que seu dom´ ´ o maior ca ınio e 2 subconjunto de lR no qual a lei esteja bem definida. Exemplo 1.2 (Revisitado) No caso de f (x, y) = x2 + y 2 , cujo gr´fico ´ um parabol´ide, o dom´ a e o ınio 2 ´ todo o plano lR . Esta ´ uma fun¸˜o polinomial, pois sua lei de defini¸˜o e e ca ca ´ um polinˆmio em duas vari´veis. e o a Nesses casos, costumamos usar a express˜o “o plano todo”. a Consideremos agora a fun¸˜o g(x, y) = ca 1 − x2 − y 2 , que est´ bem a y definida, desde que 1 − x − y ≥ 0. Em outras palavras, o dom´ 2 2 ınio de g ´ e o conjunto 1 x A = { (x, y) ∈ lR ; x2 + y2 ≤ 1 }, a que chamamos disco fechado de raio 1, centrado na origem. 9 CEDERJ
  • 4. Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis co a a Exerc´ 1 ıcio Determine o dom´ ınio de f (x, y) = ln (x + y − 2) e fa¸a um esbo¸o, representando-o. c c Fun¸˜es de trˆs ou mais vari´veis co e a No caso das fun¸˜es com mais do que duas vari´veis, n˜o dispomos dos co a a esbo¸os de seus gr´ficos, sen˜o de maneira simplificada, uma vez que eles s˜o c a a a subconjuntos de lR n , com n ≥ 4. No entanto, podemos esbo¸ar os dom´ c ınios 3 de fun¸˜es de trˆs vari´veis, pois eles s˜o subconjuntos de lR . Veja um co e a a exemplo a seguir. Quando o dom´ ınio da fun¸˜o ca Exemplo 1.3 ´ um subconjunto de lR 3 , e costumamos usar as letras Vamos determinar o dom´ ınio da fun¸˜o ca x, y e z para indicar as coordenadas de um ponto gen´rico, estabelecendo, as- e w = f (x, y, z) = 4 − x2 − y 2 − z 2 sim, essa nomenclatura para as vari´veis independentes, a usando, em geral, w para a e fazer um esbo¸o deste subconjunto de lR 3 . c vari´vel dependente. Isto ´, a e atribu´ ıdos valores para x, y Nesse caso, para que a fun¸˜o esteja bem definida, as coordenadas do ca e z, de modo que (x, y, z) ´ um elemento do dom´ e ınio ponto devem satisfazer a condi¸˜o ca da fun¸˜o, o valor de w = ca f (x, y, z) fica determinado. 4 − x2 − y 2 − z 2 ≥ 0. z Ou seja, o dom´ ınio de f ´ o conjunto e y A = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; x2 + y2 + z2 ≤ 4 }, 2 x que corresponde aos pontos interiores a esfera de raio 2 e o seu bordo. ` Exerc´ 2 ıcio Determine o dom´ ınio da fun¸˜o ca √ g(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 − 1 + z e fa¸a um esbo¸o desse conjunto. c c CEDERJ 10
  • 5. Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis co a a ´ MODULO 1 – AULA 1 Alguns gr´ficos de fun¸˜es (simples) de duas vari´veis a co a Em geral, esbo¸ar o gr´fico de uma fun¸˜o de duas vari´veis pode ser c a ca a uma tarefa trabalhosa, a menos que vocˆ disponha de um computador com e algum programa pr´prio para fazer isso. Mas vocˆ j´ acumula uma consi- o e a der´vel bagagem matem´tica, enriquecida nos cursos de Pr´-C´lculo, C´lculo a a e a a I, Geometria Anal´ ´ ıtica e Algebra Linear I, que lhe permite lidar com alguns casos mais simples. Superf´ ıcies quadr´ticas a Comecemos com os casos que usam as superf´ ıcies quadr´ticas que vocˆ a e estudou na Geometria Anal´ ıtica. Exemplo 1.4 Vamos determinar o dom´ ınio e esbo¸ar o gr´fico da fun¸˜o c a ca f (x, y) = 36 − 9x2 − 4y 2. y O dom´ ´ determinado pela condi¸˜o 36−9x2 −4y 2 ≥ 0, equivalente ınio e ca a ` inequa¸˜o ca x2 y 2 x + ≤ 1, 4 9 2 que corresponde ao interior de uma elipse, incluindo o seu bordo. Agora, o gr´fico da fun¸˜o. Para determinarmos o gr´fico de f , po- a ca a 3 demos observar que os pontos cujas coordenadas satisfazem a equa¸˜o z = ca 36 − 9x2 − 4y 2 tamb´m satisfazem a equa¸˜o e ca x2 y 2 z 2 + + = 1, 4 9 36 que determina um elips´ide com centro na origem. O gr´fico ´ a parte do o a e elips´ide que est´ contida no semi-espa¸o determinado por z ≥ 0: o a c 6 2 3 11 CEDERJ
  • 6. Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis co a a Exerc´ 3 ıcio Esboce o gr´fico da fun¸˜o f : lR 2 −→ lR 2 , definida por a ca   − x2 + y 2 − 1, se x2 + y 2 ≥ 1,  f (x, y) =   1 − x2 − y 2 , se x2 + y 2 ≤ 1. Superf´ ıcies cil´ ındricas Veremos, agora, gr´ficos de fun¸˜es que s˜o superf´ a co a ıcies cil´ ındricas. Lem- bre-se, superf´ ıcies cil´ ındricas s˜o aquelas obtidas por um feixe de retas pa- a ralelas colocadas ao longo de uma curva plana. Exemplos de tais superf´ ıcies do nosso dia-a-dia s˜o um cano de pvc ou uma telha de cobertura. a Os gr´ficos das fun¸˜es de duas vari´veis cujas leis de defini¸˜o envolvem a co a ca apenas uma vari´vel independente s˜o superf´ a a ıcies cil´ ındricas. O feixe de retas paralelas ´ paralelo ao eixo correspondente a vari´vel que est´ faltando. Veja e ` a a a seguir alguns exemplos. Exemplo 1.5 z z y x y x z = f (x, y) = 6 + sen x z = g(x, y) = y 2 z z x y y x z = h(x, y) = x2 z = k(x, y) = |y| CEDERJ 12
  • 7. Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis co a a ´ MODULO 1 – AULA 1 Superf´ ıcies de revolu¸˜o ca As fun¸˜es cujas leis de defini¸˜o tˆm a forma co ca e z = f (x, y) = g(x2 + y 2 ), em que g ´ uma fun¸˜o real de uma vari´vel, s˜o relativamente simples. e ca a a Essas fun¸˜es s˜o constantes ao longo dos c´ co a ırculos concˆntricos na origem. e Realmente, se (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) s˜o tais que x2 + y1 = x2 + y2 , ent˜o a 1 2 2 2 a f (x1 , y1) = f (x2 , y2 ). Portanto, os gr´ficos de tais fun¸˜es s˜o superf´ a co a ıcies de revolu¸˜o em ca torno do eixo Oz. Para esbo¸ar o gr´fico de alguma dessas fun¸˜es, basta esbo¸ar o gr´fico c a co c a da fun¸˜o ca z = f (x, 0), por exemplo, e girar esta curva sobre o eixo Oz. A superf´ obtida ser´ o ıcie a gr´fico da fun¸˜o z = f (x, y). O parabol´ide e a semi-esfera apresentados no a ca o exemplo 21.2 ilustram essa situa¸˜o. Vejamos um outro exemplo. ca Exemplo 1.6 Vamos esbo¸ar o gr´fico da fun¸˜o c a ca f (x, y) = arctg (x2 + y 2). Usando a t´cnica que aprendemos no C´lculo I, conclu´ e a ımos que o gr´fico a 2 da fun¸˜o z = h(x) = f (x, 0) = arctg x ´ ca e Portanto, o gr´fico de f (x, y) = arctg (x2 + y 2) ´ a e 13 CEDERJ
  • 8. Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis co a a Chegamos, assim, ao fim da primeira aula sobre fun¸˜es de v´rias co a vari´veis. Vocˆ deve ter percebido que a maior parte do conte´ do, de al- a e u guma forma, n˜o lhe era estranho. No entanto, muito provavelmente vocˆ a e reviu essas coisas numa nova perspectiva. As inequa¸˜es que vocˆ estudou co e no Pr´-C´lculo lhe ser˜o uteis no momento em que vocˆ for determinar os e a a ´ e dom´ ınios dessas novas fun¸˜es. Os conte´ dos de Geometria Anal´ co u ıtica estar˜o a constantemente servindo como fonte de exemplos, atrav´s das cˆnicas e das e o qu´dricas. Vocˆ usar´ tudo o que aprendeu no C´lculo I sobre as fun¸˜es a e a a co o a a ´ de uma vari´vel real e, nas pr´ximas aulas, ver´ a importˆncia da Algebra a Linear. Espero que esta aula, assim como as pr´ximas, sejam de grande o est´ ımulo para vocˆ. Aproveite bem esta experiˆncia. e e Agora, as respostas dos exerc´ ıcios propostos acompanhadas de uma pequena lista de mais alguns. Exerc´ ıcios Exerc´ 1 ıcio Determine o dom´ ınio de f (x, y) = ln (x + y − 2) e fa¸a um esbo¸o, representando-o. c c Solu¸˜o: ca O dom´ ınio de f ´ o conjunto e Dom(f ) = { (x, y) ∈ lR 2 ; x + y > 2 }. Este ´ o conjunto dos pontos do plano que est˜o acima da reta x+y = 2. e a CEDERJ 14
  • 9. Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis co a a ´ MODULO 1 – AULA 1 Exerc´ 2 ıcio Determine o dom´ ınio da fun¸˜o ca √ g(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 − 1 + z e fa¸a um esbo¸o desse conjunto. c c Solu¸˜o: ca Nesse caso, temos duas condi¸˜es que devem ser simultaneamente sa- co tisfeitas. Assim, o dom´ ınio de g ´ a interse¸˜o de dois conjuntos: e ca Dom(g) = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; x2 + y2 ≥ z2 + 1 } ∩ { (x, y, z) ∈ lR 3 ; z ≥ 0 }. A equa¸˜o x2 + y 2 − z 2 = 1 determina um hiperbol´ide de uma folha. ca o 3 Este hiperbol´ide divide o espa¸o tridimensional lR em duas regi˜es: uma o c o que cont´m o eixo Oz, que chamaremos interior ao hiperbol´ide, e a outra, e o que chamaremos exterior ao hiperbol´ide. A condi¸˜o x2 + y 2 ≥ z 2 + 1, mais o ca z ≥ 0, determina o subconjunto do espa¸o que ´ exterior ao hiperbol´ide e c e o que fica acima do plano xOy: Exerc´ 3 ıcio Esboce o gr´fico da fun¸˜o f : lR 2 −→ lR 2 , definida por a ca   − x2 + y 2 − 1, se x2 + y 2 ≥ 1,  f (x, y) =   1 − x2 − y 2 , se x2 + y 2 ≤ 1. Solu¸˜o: ca Na regi˜o determinada por x2 + y 2 ≤ 1, a fun¸˜o ´ dada pela equa¸˜o a ca e ca z = 1−x 2 − y 2 . Nesta regi˜o, seu gr´fico ´ uma semi-esfera. a a e Na regi˜o x2 + y 2 ≥ 1, a fun¸˜o ´ definida por z = − x2 + y 2 − 1. a ca e Esta equa¸˜o define a parte inferior de um hiperbol´ide de uma folha (veja ca o exerc´ ıcio anterior). Combinando as partes das superf´ ıcies, chegamos ao gr´fico esperado: a 15 CEDERJ
  • 10. Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis co a a Exerc´ 4 ıcio Determine e fa¸a um esbo¸o do dom´ c c ınio de cada uma das fun¸˜es co a seguir: a) f (x, y) = x2 − 4y 2 − 4. b) g(x, y) = ln (x2 + y 2 − 1). c) h(x, y) = sec (x + y). d) k(x, y, z) = 1 + x2 + y 2 − z 2 . Exerc´ 5 ıcio Esboce o gr´fico das seguintes fun¸˜es: a co   4−x  2 − y2, se x2 + y 2 ≤ 4; a) f (x, y) =   0, se x2 + y 2 ≥ 4. b) g(x, y) = 1 + x2 + y 2. Exerc´ 6 ıcio Esboce o gr´fico de cada uma das fun¸˜es a seguir: a co 2 a) f (x, y) = cos y. b) g(x, y) = e1−y . 2 −y 2 c) h(x, y) = ln (x). d) k(x, y) = e1−x . CEDERJ 16
  • 11. Derivadas parciais ´ MODULO 1 – AULA 5 Aula 5 – Derivadas parciais Objetivos • Aprender a calcular as derivadas parciais de fun¸˜es de v´rias vari´veis. co a a • Conhecer a interpreta¸˜o geom´trica desse conceito. ca e Introdu¸˜o ca Ao longo das quatro ultimas aulas vocˆ aprendeu os conceitos b´sicos da ´ e a teoria das fun¸˜es de v´rias vari´veis, incluindo o conceito de continuidade. co a a Nesta aula, iniciaremos uma nova etapa, o estudo das no¸˜es de di- co ferenciabilidade das fun¸˜es de v´rias vari´veis. Na verdade, esse assunto co a a ocupar´ todas as nossas aulas, de agora em diante. a As derivadas parciais desempenham um papel relevante nesse contexto, especialmente do ponto de vista pr´tico; por´m, como veremos um pouco a e mais adiante, n˜o completamente decisivo. Mas estamos antecipando demais a nossa hist´ria. Tudo a seu tempo. o Seguindo a pr´tica j´ rotineira, estabeleceremos os conceitos para os a a casos das fun¸˜es de duas e de trˆs vari´veis, observando que eles podem ser co e a estendidos para fun¸˜es com mais vari´veis. co a Antes de atacarmos o nosso tema principal, no entanto, precisamos de um novo conceito sobre conjuntos. Conjuntos abertos Essa no¸˜o caracterizar´ os dom´ ca a ınios das fun¸˜es que estudaremos de co agora em diante. Intuitivamente, podemos dizer que um subconjunto do plano lR 2 ou do espa¸o lR 3 ´ aberto se for um conjunto sem fronteiras ou bordos. Exemplos c e t´ ıpicos s˜o a D = { (x, y) ∈ lR 2 ; (x − a)2 + (y − b)2 < r }, o disco de centro em (a, b) e raio r, aberto em lR 2 , B = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c) < r }, 55 CEDERJ
  • 12. Derivadas parciais a bola de centro em (a, b, c) e raio r > 0, aberta em lR 3 . Um detalhe importante: a no¸˜o conjunto aberto ´ uma no¸˜o relativa. ca e ca Isto ´, depende do ambiente. Veja, a sintaxe ´: A ´ aberto em lR 2 . e e e Para tornarmos este conceito mais preciso, introduziremos a no¸˜o de ca ponto interior ponto interior. Dizemos que um ponto (a, b) ∈ A ⊂ lR ´ um ponto interior 2 e do conjunto A se existe um disco aberto D de centro em (a, b) e raio r > 0 contido em A. Em s´ ımbolos matem´ticos, (a, b) ∈ D ⊂ A ⊂ lR 2 . a Analogamente, um ponto (a, b, c) ∈ A ⊂ lR 3 ´ um ponto interior de A e se existe uma bola aberta B de centro em (a, b, c) e raio r > 0 contida em A. Intuitivamfente, um ponto (a, b) ´ um ponto interior de A se todos os e 2 pontos de lR que o cercam tamb´m s˜o pontos de A. e a Exemplo 5.1 Seja H = { (x, y) ∈ lR 2 ; y ≥ 1 }. O ponto (1, 2) ´ um ponto interior e de H, pois o disco aberto de centro em (1, 2) e raio 1/2, por exemplo, est´ a contido em H. J´ o ponto (2, 1) ∈ H n˜o ´ ponto interior de H, pois qualquer a a e disco que tomarmos, com centro em (2, 1), conter´ pontos do tipo (2, b), com a b < 1 e, portanto, pontos que n˜o pertencem a H. Em outras palavras, (2, 1) a pertence a H mas n˜o est´ envolvido por pontos de H. Veja a ilustra¸˜o a a ca a seguir. H 2 1 1 2 CEDERJ 56
  • 13. Derivadas parciais ´ MODULO 1 – AULA 5 Conjunto aberto Um subconjunto A ⊂ lR 2 ´ dito aberto em lR 2 se todos os seus pontos e forem pontos interiores. O conjunto H, do Exemplo 25.1, n˜o ´ um subconjunto aberto de lR 2 , a e pois (2, 0) ∈ H, mas n˜o ´ ponto interior. Aqui est˜o alguns exemplos de a e a subconjuntos abertos de lR 2 . Exemplo 5.2 A1 = { (x, y) ∈ lR 2 ; y > 1 }; A2 = { (x, y) ∈ lR 2 ; x = y }; A3 = { (x, y) ∈ lR 2 ; 0 < x < 1, 0 < y < 1 }; A4 = { (x, y) ∈ lR 2 ; (x, y) = (1, 2) }. O argumento usado no Exemplo 25.1, para mostrar que (1, 2) ´ um e ponto interior de H, pode ser adaptado para mostrar que todos os elementos de A1 s˜o pontos interiores. Note que A1 se diferencia de H exatamente por a n˜o conter os pontos do tipo (a, 1), que est˜o no bordo. a a Para se convencer de que cada ponto (a, b) ∈ A2 ´ ponto interior, basta e observar que a distˆncia de (a, b) at´ a reta x = y ´ positiva, uma vez que a e e a = b. Assim, basta tomar o disco D, de centro em (a, b), com raio igual a ` metade dessa distˆncia, por exemplo. a Caso (a, b) ∈ A3 , sabemos que 0 < a, b < 1. Escolha r > 0, um n´ mero u menor do que qualquer um dos n´ meros |a|, |b|, |a − 1|, |b − 1|. O disco D, u de centro em (a, b) e raio r, n˜o tocar´ nenhum dos bordos do quadrado. a a Portanto, estar´ contido em A3 . a Para constatar que A4 ´ um conjunto aberto (A4 ´ o plano todo menos e e um ponto), basta escolher r > 0 menor do que a distˆncia entre (a, b) e (1, 2). a O disco D centrado em (a, b), com tal raio, n˜o cont´m o ponto (1, 2). Logo, a e D est´ contido em A4 e isso mostra que A4 ´ um subconjunto aberto de lR 2 . a e Os discos abertos de lR 2 e as bolas abertas de lR 3 fazem o papel dos intervalos abertos de lR . Al´m disso, se A ´ um subconjunto aberto de lR 2 , e e ent˜o A ´ igual a uma uni˜o de discos abertos, pois todos os seus pontos a e a s˜o interiores. Al´m disso, todos os pontos de A s˜o, tamb´m, pontos de a e a e acumula¸˜o de A. ca ´ E bom lembrar que o plano lR 2 ´, ele mesmo, um aberto em lR 2 e, e como ´ imposs´ exibir um elemento do conjunto vazio que n˜o seja ponto e ıvel a interior, dizemos que ∅ ´ um conjunto aberto (em qualquer ambiente). e 57 CEDERJ
  • 14. Derivadas parciais A uni˜o qualquer de conjuntos abertos ´ um conjunto aberto, mas, a e surpreendentemente, a interse¸˜o infinita de conjuntos abertos pode n˜o ser ca a um conjunto aberto. Terminamos agora essa conversa, que est´ um pouco longa, e vamos ao a nosso tema principal. Derivadas parciais Seja f : A ⊂ lR 2 → lR uma fun¸˜o tal que A ´ um subconjunto aberto ca e de lR , e seja (a, b) ∈ A. Ent˜o, existe um certo n´ mero r > 0, tal que, se 2 a u x ∈ (a − r, a + r), ent˜o f (x, b) est´ bem definida. a a Assim, z = f (x, b), com x ∈ (a−r, a+r), ´ uma fun¸˜o de uma vari´vel e ca a O s´ ımbolo ∂ ´ chamado e e podemos, portanto, considerar a existˆncia da derivada de tal fun¸˜o em e ca derronde, que ´ uma e x = a. Isto ´, considere e corruptela do francˆs de e rond que quer dizer dˆ e f (x, b) − f (a, b) f (a + h, b) − f (a, b) lim = lim . redondo. Isso se deveu ao x→a x−a h→0 h fato de os franceses, na ´poca da Revolu¸˜o e ca Se esse limite for um n´ mero real, ele ser´ chamado derivada parcial de u a Francesa, adotarem essa forma especial de escrever a f em rela¸ao a x, no ponto (a, b). Nesse caso, usamos as seguintes nota¸˜es c˜ co letra d. Esse s´ ımbolo ´ e para represent´-lo: a particularmente util para ´ ∂f ∂z diferenciar a derivada parcial (a, b) = (a, b) = fx (a, b). de uma fun¸˜o de v´rias ca a ∂x ∂x vari´veis, em rela¸˜o a a ca “ ∂f ” Analogamente, podemos considerar a derivada parcial de f em rela¸˜o ca alguma delas , da ∂x a y no ponto (a, b). Nesse caso, tomamos derivada de uma fun¸˜o de ca “ df ” uma vari´vel a dx . f (a, y) − f (a, b) f (a, b + h) − f (a, b) lim = lim , y→b y−b h→0 h e, caso o limite seja um n´ mero, denotamos por u ∂f ∂z (a, b) = (a, b) = fy (a, b). ∂y ∂y Exemplo 5.3 Vamos calcular a derivada parcial da fun¸˜o f (x, y) = sen xy, em ca rela¸˜o a x, no ponto (a, b). ca ∂f f (a + h, b) − f (a, b) (a, b) = lim = ∂x h→0 h sen (a + h)b − sen ab = lim = h→0 h sen ab cos hb + cos ab sen hb − sen ab = lim = h→0 h sen ah (cos hb − 1) + sen hb cos ab = lim . h→0 h CEDERJ 58
  • 15. Derivadas parciais ´ MODULO 1 – AULA 5 cos hb − 1 sen hb Observe que lim = 0 e lim = b. Assim, h→0 h h→0 h ∂f sen ah (cos hb − 1) sen hb (a, b) = lim + cos ab = ∂x h→0 h h = b cos ab. Na verdade, podemos concluir que, se f (x, y) = sen xy, ent˜o, subs- a titutindo o termo gen´rico a por x e b por y, temos e ∂f (x, y) = y cos xy. ∂x ∂f ∂f As fun¸˜es co , ∂x ∂y Seja z = f (x, y) uma fun¸˜o definida num subconjunto aberto A de lR 2 . ca Suponha que f admita derivadas parciais, em rela¸˜o a x e a y, em todos os ca ∂f pontos (x, y) ∈ A. Nesse caso, obtemos duas fun¸˜es, denotadas por co e ∂x ∂f ∂z ∂z , definidas em A. As nota¸˜esco e tamb´m s˜o muito usadas para e a ∂y ∂x ∂y representar essas fun¸˜es. co ∂w ∂w ∂w De maneira an´loga, se w = g(x, y, z), usamos a , e para ∂x ∂y ∂z denotar as respectivas fun¸˜es obtidas pela deriva¸˜o parcial, no caso das co ca fun¸˜es de trˆs vari´veis. co e a Exemplo 5.4 Seja f (x, y, z) = xy 2 + z sen xyz. ∂f ∂f ∂f Esta fun¸˜o est´ definida no espa¸o lR 3 . Vamos calcular ca a c , e . ∂x ∂y ∂z Isto ´, queremos calcular as derivadas parciais de f . Podemos fazer isso di- e retamente, usando as regras de deriva¸˜o aprendidas no C´lculo I. Basta que ca a derivemos em rela¸˜o a vari´vel indicada, considerando as outras vari´veis ca ` a a como constantes. ∂f (x, y, z) = y 2 + yz 2 cos xyz. ∂x Veja que usamos a Regra da Cadeia na segunda parcela. ∂f (x, y, z) = 2xy + xz 2 cos xyz. ∂y 59 CEDERJ
  • 16. Derivadas parciais ∂f (x, y, z) = sen xyz + xyz cos xyz. ∂z No caso da derivada em rela¸˜o a z, a derivada da primeira parcela ca ´ nula, pois ´ constante em rela¸˜o a z. A derivada da segunda parcela ´ e e ca e calculada com a Regra do Produto de duas fun¸˜es: z × sen xyz. co Exerc´ 1 ıcio ∂f ∂f Calcule (x, y) e (1, −1), onde f (x, y) = 3x sen (x + y). ∂x ∂y H´ situa¸˜es em que o c´lculo da derivada parcial requer a defini¸˜o. a co a ca Veja mais um exemplo. Exemplo 5.5    2 1  (x + y 2 ) sen  , se (x, y) = (0, 0)  x2 + y2 Seja f (x, y) = .      0, se (x, y) = (0, 0) ∂f ∂f Vamos verificar que (0, 0) = 0 e (0, 0) = 0. ∂x ∂y Note que a fun¸˜o n˜o se altera se trocarmos a ordem das vari´veis: ca a a f (x, y) = f (y, x) . Isso significa que, caso a fun¸˜o admita alguma das ca derivadas parciais em (0, 0), a primeira igualdade j´ estar´ estabelecida. Por- a a tanto, basta calcular, digamos, ∂f f (h, 0) − f (0, 0) (0, 0) = lim = ∂x h→0 h 1 h2 sen −0 h2 1 = lim = lim h sen = 0, h→0 h h→0 h2 1 pois lim h = 0 e a fun¸˜o g(x) = sen ca , definida em lR − { 0 }, h→0 x2 ´ limitada. e ∂f ∂f Conclu´ ımos, ent˜o, que a (0, 0) = 0 e (0, 0) = 0. ∂x ∂y Exemplo 5.6   x3 + 2y 2   2  x + y2 , se (x, y) = (0, 0) Seja f (x, y) = .     0, se (x, y) = (0, 0) CEDERJ 60
  • 17. Derivadas parciais ´ MODULO 1 – AULA 5 ∂f Esse exemplo nos reserva uma surpresa. Vamos calcular (0, 0). ∂x ∂f f (h, 0) − f (0, 0) (0, 0) = lim = ∂x h→0 h h3 2 −0 = lim h = lim 1 = 1. h→0 h h→0 No entanto, ∂f f (0, h) − f (0, 0) (0, 0) = lim = ∂y h→0 h 3h2 2 −0 2 = lim h = lim . h→0 h h→0 h 2 Como a fun¸˜o g(x) = , definida em lR − { 0 }, n˜o admite limite ca a x quando x → 0, dizemos que a fun¸˜o f n˜o admite derivada parcial em ca a rela¸˜o a y no ponto (0, 0). ca Interpreta¸˜o geom´trica da derivada parcial ca e Vamos usar o fato de que a derivada g (a), de uma fun¸˜o y = g(x), no ca ponto a, pode ser interpretada geometricamente como o coeficiente angular da reta tangente ao gr´fico de g no ponto (a, b), para uma interpreta¸˜o a ca geom´trica para as derivadas parciais. e Seja z = f (x, y) uma fun¸˜o que admite derivadas parciais, em rela¸˜o ca ca a x e em rela¸˜o a y, num dado ponto (a, b) de seu dom´ ca ınio. Ao fixarmos uma das vari´veis, digamos y = b, estamos considerando a restri¸˜o da fun¸˜o f a ca ca sobre a reta y = b. Geometricamente, estamos considerando a interse¸˜o do ca gr´fico de f com o plano y = b. Essa interse¸˜o ´ uma curva do plano e pode a ca e ser vista como o gr´fico da fun¸˜o z = f (x, b). a ca 61 CEDERJ
  • 18. Derivadas parciais Na figura da esquerda, vemos o gr´fico de f com o plano y = b e, na a figura da direita, vemos o plano y = b com curva obtida da sua interse¸˜o ca com o gr´fico de f . a A derivada parcial de f , em rela¸˜o a x, no ponto (a, b), pode ser ca interpretada como o coeficiente angular da reta tangente a curva de interse¸˜o ` ca do plano com o gr´fico de f , no ponto (a, b, f (a, b)). Veja, a seguir, mais a uma ilustra¸˜o. ca z z x x y Chegamos ao fim da aula. Aqui est´ uma s´rie de exerc´ a e ıcios para vocˆ e colocar em pr´tica os conceitos e t´cnicas que aprendeu. a e Exerc´ ıcios Exerc´ 1 ıcio ∂f ∂f Calcule (x, y) e (1, −1), onde f (x, y) = 3x sen (x + y). ∂x ∂y Solu¸˜o: ca ∂f (x, y) = 3 sen (x + y) + 3x cos(x + y). ∂x ∂f ∂f (x, y) = 3x cos(x + y) =⇒ (1, −1) = 3. ∂y ∂y Exerc´ 2 ıcio Em cada um dos seguintes exerc´ ıcios, calcule a derivada parcial indi- cada. ∂f ∂f a) f (x, y) = 2xy + y 2 ; (x, y), (x, y). ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f b) f (x, y, z) = 2xy(1 − 3xz)2 ; , , . ∂x ∂y ∂z x ∂z ∂z c) z = x ln ; , . y ∂x ∂y CEDERJ 62
  • 19. Derivadas parciais ´ MODULO 1 – AULA 5 d) x = 1 + x2 + y 2 + z 2 ; wx , wz , wy (0, 0, 0). ∂f e) f (u, v) = uv − u2 + v 2 ; , fv (0, −1). ∂u ∂g ∂g f) g(r, θ) = r cos θ + r sen θ; , . ∂r ∂θ y ∂z ∂z g) z = arctg ; , . x ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f h) f (x, y, z) = (x + y) ex−y+2z ; , , . ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f i) f (u, v) = u2 arcsen v; , . ∂u ∂v Exerc´ 3 ıcio Seja f (x, y) = ln x2 + y 2 . a) Mostre que Dom(f ) ´ um conjunto aberto. e b) Determine a curva de n´ 0. ıvel ∂f ∂f c) Verifique que x +y = 1. ∂x ∂y Exerc´ 4 ıcio y Seja f (x, y, z) = . Verifique que x2 + y2 + z2 x fx + y fy + z fz = −f. Exerc´ 5 ıcio   x2 y   2  x + y2 , se (x, y) = (0, 0) Seja f (x, y) = .     0, se (x, y) = (0, 0) ∂f ∂f Calcule e . (Veja que vocˆ dever´ usar as regras de deriva¸˜o e a ca ∂x ∂y ∂f ∂f para calcular (x, y) e (x, y), no caso de (x, y) = (0, 0), e a defini¸˜o ca ∂x ∂y ∂f ∂f de derivada parcial num ponto espec´ ıfico para calcular (0, 0) e (0, 0)). ∂x ∂y 63 CEDERJ
  • 20. Derivadas parciais As derivadas parciais s˜o usadas para expressar um par de equa¸˜es a co muito importantes, na teoria das fun¸˜es de vari´vel complexa, chamadas co a Equa¸˜es de Cauchy-Riemann. co Um par de fun¸˜es u(x, y) e v(x, y) que satisfazem as equa¸˜es co co ∂u ∂v ∂u ∂v = e = − ∂x ∂y ∂y ∂x s˜o, respectivamente, a parte real e a parte complexa de uma fun¸˜o dife- a ca renci´vel (num sentido complexo) de uma vari´vel complexa. a a Exerc´ 6 ıcio Mostre que cada par de fun¸˜es de duas vari´veis a seguir satisfaz as co a Equa¸˜es de Cauchy-Riemann. co a) u(x, y) = x2 − y 2; v(x, y) = 2xy. b) u(x, y) = ex cos y; v(x, y) = ex sen y. c) u(x, y) = x3 + x2 − 3xy 2 − y 2 ; v(x, y) = 3x2 y + 2xy − y 3 . x −y d) u(x, y) = ; v(x, y) = . x2 + y2 x2 + y2 1 y e) u(x, y) = ln (x2 + y 2); v(x, y) = arctg . 2 x CEDERJ 64
  • 21. Plano tangente, diferencial e gradiente ´ MODULO 1 – AULA 9 Aula 9 – Plano tangente, diferencial e gradiente Objetivos • Aprender o conceito de plano tangente ao gr´fico de uma fun¸˜o dife- a ca renci´vel de duas vari´veis. a a • Conhecer a nota¸˜o cl´ssica para a melhor aproxima¸˜o linear de uma ca a ca fun¸˜o diferenci´vel – a diferencial. ca a • Aprender o conceito de vetor gradiente como o dual da diferencial. As duas ultimas aulas apresentaram a no¸˜o de diferenciabilidade de ´ ca uma fun¸˜o de v´rias vari´veis e as suas implica¸˜es imediatas. Foram aulas ca a a co teoricamente mais densas e, portanto, o car´ter um pouco mais simples que a esta aula pretende ter deve ser uma bem-vinda mudan¸a de ritmo. c Antes de prosseguir, no entanto, vamos reconhecer um d´bito que ser´ e a pago na pr´xima aula de exerc´ o ıcios. Veja, na aula anterior, foi provado que toda fun¸˜o de classe C 1 ´ diferenci´vel. Isto ´, ser de classe C 1 ´ uma ca e a e e condi¸˜o suficiente para ser diferenci´vel. Diante disso, vocˆ deve conside- ca a e rar a quest˜o da necessidade dessa condi¸˜o para a diferenciabilidade. Em a ca outras palavras, essa condi¸˜o suficiente ´ tamb´m necess´ria? Muito bem, ca e e a adiantando a resposta: n˜o! H´ fun¸˜es diferenci´veis cujas fun¸˜es deriva- a a co a co das parciais n˜o s˜o cont´ a a ınuas. Vocˆ ver´ um exemplo na pr´xima aula de e a o exerc´ ıcios. Promessa ´ d´ e ıvida! Muito bem, com isso fora da pauta, vamos ao primeiro tema desta aula. Plano tangente Na defini¸˜o de diferenciabilidade de uma fun¸˜o f : A ⊂ lR 2 −→ lR , ca ca no ponto (a, b) ∈ A, subconjunto aberto de lR , a equa¸˜o 2 ca ∂f ∂f f (x, y) = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b) + E(x, y) ∂x ∂y desempenha um papel fundamental, pois define o erro E(x, y), que converge para zero mais rapidamente do que |(x, y) − (a, b)|. Isso quer dizer que a aplica¸˜o afim ca ∂f ∂f A(x, y) = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b), ∂x ∂y 95 CEDERJ
  • 22. Plano tangente, diferencial e gradiente no caso de f ser diferenci´vel em (a, b), ´ aquela que, entre todas as aplica¸˜es a e co afins, d´ as melhores aproxima¸˜es aos valores da fun¸˜o f , em alguma vizi- a co ca nhan¸a do ponto (a, b). c Mas, como sabemos, equa¸˜es do tipo co z = c + mx + ny definem planos em lR 3 . Isso nos motiva a estabelecer o seguinte. Defini¸˜o 9.1: ca Seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR , uma fun¸˜o definida no subconjunto aberto ca 2 A de lR , diferenci´vel no ponto (a, b). Dizemos que o plano definido pela a equa¸˜o ca ∂f ∂f z = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b) ∂x ∂y ´ o plano tangente ao gr´fico da fun¸˜o f , no ponto (a, b). e a ca Exemplo 9.1 Vamos calcular a equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f (x, y) = ca a x − xy − y no ponto (1, 1, −1). 2 2 Para isso, calculamos as derivadas parciais: ∂f ∂f (x, y) = 2x − y, (x, y) = −x − 2y. ∂x ∂y Substituindo (x, y) por (1, 1), obtemos: ∂f ∂f (1, 1) = 1, (1, 1) = −3. ∂x ∂y Assim, a equa¸˜o procurada ´ ca e ∂f ∂f z = f (1, 1) + (1, 1) (x − 1) + (1, 1) (y − 1); ∂x ∂y z = −1 + (x − 1) − 3(y − 1); z = x − 3y + 1. CEDERJ 96
  • 23. Plano tangente, diferencial e gradiente ´ MODULO 1 – AULA 9 Exemplo 9.2 Vamos calcular a equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f (x, y) = ca a 2xy − y que seja paralelo ao plano z = 2x + 4y. 2 ∂f ∂f Para que os planos z = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b) e ∂x ∂y ∂f ∂f z = 2x + 4y sejam paralelos, ´ preciso que e (a, b) = 2 e (a, b) = 4. ∂x ∂y ∂f ∂f Como (x, y) = 2y e (x, y) = 2x − 2y, temos de achar os valores ∂x ∂y a e b tais que 2b = 2 e 2a − 2b = 4. Portanto, o ponto que procuramos ´ e (a, b) = (3, 1), e a equa¸˜o do plano tangente procurado ´ ca e z = f (3, 1) + 2(x − 3) + 4(x − 1); z = 2x + 4y − 5. Reta normal ao gr´fico a O espa¸o tridimensional lR 3 ´ munido de um produto que o torna c e muito especial. Dados v1 , v2 ∈ lR 3 , podemos efetuar o produto vetorial, v1 × v2 , obtendo um terceiro vetor. Se v1 e v2 s˜o linearmente independentes, a ent˜o v1 × v2 ´ perpendicular ao plano gerado por eles. a e v1 × v2 v1 v2 Isso est´ ligado ao fato de todo plano contido em lR 3 ter uma unica a ´ dire¸˜o ortogonal. Ou seja, dado um plano π ⊂ lR e um ponto (a, b, c) ∈ lR 3 , ca 3 existe uma unica reta r, tal que r ´ perpendicular a π e (a, b, c) ∈ r. ´ e E ainda, se a equa¸˜o cartesiana do plano tem a forma ca α x + β y + γ z = δ, ´ f´cil obter uma equa¸˜o param´trica da reta ortogonal: e a ca e r(t) = (α t + a, β t + b, γ t + c). 97 CEDERJ
  • 24. Plano tangente, diferencial e gradiente Portanto, reescrevendo a equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f , no ca a ponto (a, b, f (a, b)) como ∂f ∂f ∂f ∂f (a, b) x + (a, b) y − z = (a, b) a + (a, b) b − f (a, b), ∂x ∂y ∂x ∂y obtemos uma equa¸˜o param´trica da reta normal ao gr´fico de f no ponto ca e a (a, b, f (a, b)): ∂f ∂f r(t) = (a, b) t + a, (a, b) t + b, −t + f (a, b) . ∂x ∂y Exemplo 9.3 Vamos calcular uma equa¸˜o param´trica da reta normal ao gr´fico de ca e a f (x, y) = xy no ponto (−1, −2, 2). Come¸amos calculando as derivadas parciais de f : c ∂f ∂f (x, y) = y e (x, y) = x, ∂x ∂y ımos (x, y) por (−1, −2): e substitu´ ∂f ∂f (1, −1) = −2 e (1, −1) = −1. ∂x ∂y Aqui est´ uma equa¸˜o param´trica da reta normal ao gr´fico de z = xy a ca e a no ponto (−1, −2, 1): r(t) = (−2t − 1, −t − 2, 2 − t). O pr´ximo tema ´ um cl´ssico da Matem´tica: a diferencial. o e a a Diferencial Vocˆ deve ter notado que, em diversas situa¸˜es, usamos a termino- e co logia “melhor aproxima¸˜o linear”, enquanto em outras usamos “a melhor ca aproxima¸˜o afim”. Vamos esclarecer a diferen¸a que h´ entre uma e outra ca c a terminologia. No fundo, ´ uma quest˜o de referencial. e a CEDERJ 98
  • 25. Plano tangente, diferencial e gradiente ´ MODULO 1 – AULA 9 O termo linear ´ usado para caracterizar um tipo especial de fun¸˜es: e co as transforma¸˜es lineares. Uma transforma¸˜o linear de um espa¸o vetorial co ca c V no espa¸o vetorial W (digamos, reais) ´ uma fun¸˜o T : V −→ W , com as c e ca seguintes propriedades: ∀v, w ∈ V, ∀λ ∈ lR , • T (v + w) = T (v) + T (w); • T (λv) = λ T (v). Ou seja, T preserva as opera¸˜es que caracterizam V como um espa¸o co c vetorial, na imagem em W . Em particular, as transforma¸˜es lineares de lR 2 em lR , tamb´m cha- co e 2 madas funcionais lineares de lR , tˆm a forma geral e T (x, y) = α x + β y, onde α e β s˜o n´ meros reais. a u Isto ´, cada funcional linear de lR 2 ´ caracterizado unicamente por um e e par ordenado (α, β). O gr´fico de um funcional linear de lR 2 ´ um plano contido em lR 3 que a e cont´m a origem, pois T (0, 0) = 0. e J´ uma aplica¸˜o afim de lR 2 em lR tem a forma geral a ca A(x, y) = α x + β y + γ, onde α, β e γ s˜o n´ meros reais. a u O gr´fico de A ´ um plano contido em lR 3 que intersecta o eixo Oz na a e altura γ. No caso das aplica¸˜es afins, temos um grau de liberdade a mais em co rela¸˜o aos funcionais lineares, pois temos um n´mero extra γ para determi- ca u nar a aplica¸˜o. ca Suponha que f : A ⊂ lR 2 −→ lR seja uma fun¸˜o diferenci´vel em ca a (a, b). A aplica¸˜o ca ∂f ∂f A(x, y) = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b) ∂x ∂y ´ a melhor aproxima¸˜o afim da fun¸˜o f , numa pequena vizinhan¸a do e ca ca c ponto (a, b). H´ uma maneira cl´ssica de apresentar este tema, isto ´, a no¸˜o de a a e ca diferencial. A terminologia usada ´ a de acr´scimos. Usando a nota¸˜o de e e ca 99 CEDERJ
  • 26. Plano tangente, diferencial e gradiente acr´scimos, mudaremos a aplica¸˜o afim para uma linear, que passar´ a ser e ca a chamada diferencial. Coloquemos z = f (x, y). Nesses termos, x e y s˜o as vari´veis indepen- a a dentes e z ´ a vari´vel dependente. e a Veja: se colocarmos h = x−a e k = y−b, podemos reescrever a equa¸˜o ca que define a aplica¸˜o afim A da seguinte maneira: ca ∂f ∂f A(a + h, b + k) − f (a, b) = (a, b) h + (a, b) k. ∂x ∂y A f´rmula do lado direito da igualdade define um funcional linear nas o vari´veis h e k, os respectivos acr´scimos de x e de y, aplicados em (a, b): a e ∂f ∂f T (h, k) = (a, b) h + (a, b) k, ∂x ∂y ∂f ∂f determinada unicamente pelo par ordenado (a, b), (a, b) . ∂x ∂y ∂f ∂f Resumindo, dados os acr´scimos h e k, T (h, k) = e (a, b) h+ (a, b) k ∂x ∂y ´ a melhor aproxima¸˜o linear ao acr´scimo obtido na vari´vel z. Isto ´, e ca e a e T (h, k) ´ a melhor aproxima¸˜o ao acr´scimo f (a + h, b + k) − f (a, b). e ca e Classicamente, denotam-se os acr´scimos em x e em y por dx e dy e (h = dx e k = dy). O acr´scimo real, f (a + dx, b + dy) − f (a, b), em z, ´ e e denotado por ∆z, para diferenci´-lo do acr´scimento obtido com a diferencial, a e denotado por dz. Assim, representamos a transforma¸˜o linear T (h, k) por ca ∂f ∂f dz = dx + dy, ∂x ∂y chamada diferencial da fun¸˜o z = f (x, y). ca Como ∂f ∂f E(h, k) = f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b) h − (a, b) k ∂x ∂y ∂f ∂f = f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b) dx + (a, b) dy ∂x ∂y = ∆z − dz, denotamos dz ∆z para indicar que dz ´ uma aproxima¸˜o de ∆z. Eles e ca diferem pelo erro E(h, k) que ´ t˜o menor quanto mais h e k estiverem e a pr´ximos de zero. o CEDERJ 100
  • 27. Plano tangente, diferencial e gradiente ´ MODULO 1 – AULA 9 A(a + dx, b + dy) Esta figura ´ esquem´tica. e a Erro = |∆z − dz| Note que o dom´ ınio de f , f (a + dx, b + dy) que est´ contido em lR 2 , foi a ∆z dz representado como um f (a, b) subconjunto de lR . Dessa forma, o gr´fico de f , que ´ a e uma superf´ ıcie, est´ a representado por uma curva, enquanto o gr´fico de A, que a ´ um plano, est´ e a (a, b) (a + dx, b + dy) representado por uma reta. A pr´tica de representar a espa¸os de dimens˜es c o maiores por seus similares de dimens˜es menores ´ comum o e em Matem´tica. Com isso a Veja como usar essa nota¸˜o no seguinte exemplo. ca facilita-se a visualiza¸˜o e ca espera-se ajudar o Exemplo 9.4 entendimento. Vamos calcular a express˜o geral para a diferencial da fun¸˜o a ca f (x, y) = 6 − x2 − y 2 e us´-la para calcular uma aproxima¸˜o ao valor f (0.99, 1.02). a ca Para calcular a forma geral da diferencial, precisamos calcular as deri- vadas parciais de f . ∂f −x ∂f −y (x, y) = ; (x, y) = . ∂x 6 − x2 − y 2 ∂y 6 − x2 − y 2 Assim, se colocarmos z = f (x, y), a diferencial de f ´ e x y dz = − dx − dy 6 − x2 − y 2 6 − x2 − y 2 −x dx − y dy dz = . 6 − x2 − y 2 Agora, vamos usar essa f´rmula para avaliar f (0.99, 1.02). o O ponto de referˆncia ´, nesse caso, (1, 1). Isto ´, a = 1, b = 1, e e e a + h = 0.99 e b + h = 1.02. Calculada em (1, 1), a diferencial fica 1 1 dz = − dx − dy. 2 2 Os acr´scimos s˜o: dx = 0.99 − 1 = −0.01 e dy = 1.02 − 1 = 0.02. e a Portanto, 0.01 − 0.02 dz = = −0.005. 2 101 CEDERJ
  • 28. Plano tangente, diferencial e gradiente Como f (1, 1) = 2, f (0.99, 1.02) f (1, 1) + dz = 1.995. Veja, usando uma m´quina de calcular, obtemos uma aproxima¸˜o mais a ca acurada do valor f (0.99, 1.02), como 1.994868417. Nada mal para uma apro- xima¸˜o, vocˆ n˜o acha? ca e a Chegamos ao ultimo tema da aula. ´ O vetor gradiente A palavra dualidade ´ usada em circunstˆncias bem especiais, na Ma- e a tem´tica. Em geral, ela indica a existˆncia de uma bije¸˜o entre certos a e ca conjuntos. Mas ´ mais do que isso. e Por exemplo, podemos dizer que h´ uma dualidade entre os s´lidos de a o Plat˜o, estabelecida pela rela¸˜o entre n´ meros de v´rtices e n´ meros de a ca u e u faces. Veja, na tabela a seguir, o nome, o n´mero de v´rtices, o n´ mero de u e u arestas e o n´ mero de faces desses poliedros regulares. u Nome v´rtices e arestas faces Tetraedro 4 6 4 Hexaedro (cubo) 8 12 6 Octaedro 6 12 8 Dodecaedro 20 30 12 Icosaedro 12 30 20 Note que o nome do poliedro tem o prefixo grego que indica o n´mero u de faces. Assim, por exemplo, o hexaedro ´ o s´lido regular que tem seis e o ´ o nosso popular cubo. faces, todas quadradas. E O hexaedro, ou cubo, ´ dual ao octaedro. Isso porque o cubo tem seis e faces e oito v´rtices (f = 6, v = 8), enquanto o octaedro tem oito faces e seis e v´rtices (f = 8, v = 6). e O dodecaedro ´ dual ao icosaedro. Assim, n˜o ´ surpresa que, conhe- e a e cendo o dodecaedro, os gregos acabaram descobrindo o seu dual, o icosaedro. Veja: se no centro de cada face do dodecaedro marcarmos um ponto, e li- garmos todos esses pontos, obteremos um icosaedro inscrito no dodecaedro original, e vice-versa. Resta a pergunta: quem ´ o dual do tetraedro, o mais simples dos e s´lidos regulares? Ora, sem mais delongas, o tetraedro ´ auto-dual, pois ´ o o e e unico s´lido regular a ter o mesmo n´mero de faces e de v´rtices. ´ o u e CEDERJ 102
  • 29. Plano tangente, diferencial e gradiente ´ MODULO 1 – AULA 9 Depois disso tudo, voltamos ` nossa aula. a H´ uma bije¸˜o entre o espa¸o dos funcionais lineares de lR 2 e o pr´prio a ca c o 2 lR , que associa o funcional definido por T (x, y) = α x + β y ao par ordenado (α, β). Isso ´ um outro exemplo de uma dualidade. Na verdade, o espa¸o dos e c 2 A palavra gradiente prov´m e funcionais lineares de lR ´ um espa¸o vetorial e ´ chamado espa¸o dual. e c e c do latim gradientis, partic´ıpio de gradi, que significa caminhar, assim ∂f ∂f como a palavra grau prov´m e Isso nos faz olhar para o vetor (x, y), (x, y) , como o dual da ∂x ∂y de gradus, que significa ∂f ∂f passo, medida, hierarquia, diferencial dz = (x, y) dx + (x, y) dy, num ponto gen´rico (x, y) do e intensidade. ∂x ∂y A palavra gradiente dom´ ınio de f , e nome´-lo gradiente de f . Usamos a nota¸˜o a ca significa, na linguagem comum, a medida da ∂f ∂f declividade de um terreno. ∇f (x, y) = (x, y), (x, y) . Significa, tamb´m, a medida e ∂x ∂y da varia¸˜o de determinada ca caracter´ ıstica de um meio, tal como press˜o ou a Esse vetor desempenhar´ um papel importante de agora em diante. a temperatura, de um ponto Com isso, chegamos ao fim desta aula. A seguir, uma lista com alguns para outro desse meio. Como tal, nada mais ´ do e exerc´ ıcios para vocˆ praticar o que acabou de aprender. e que uma taxa de varia¸˜o. ca O s´ ımbolo ∇, usado para representar esse vetor, ´ e chamado nabla. Exerc´ ıcios Exerc´ 1 ıcio Calcule a equa¸˜o do plano tangente e uma equa¸˜o param´trica da ca ca e reta normal ao gr´fico de f no ponto indicado. a (a) f (x, y) = x2 − 2y (1, 0, 1); (b) f (x, y) = ln (x2 + y 2 ) (1, −1, ln 2); (c) f (x, y) = sen xy (π, 1/2, 1); 2y (d) f (x, y) = ex (1, 0, 1); (e) f (x, y) = xy − y 3 (1, 1, 0). Exerc´ 2 ıcio Determine o plano tangente ao gr´fico de f (x, y) = x2 + 3xy + y 2, que a ´ paralelo ao plano z = 10x + 5y + 15. e 103 CEDERJ