1. This document introduces fundamental arithmetic topics like numeration systems, operations on natural numbers and their properties.
2. It includes examples and exercises for addition, subtraction, multiplication, division and exponentiation on natural numbers.
3. The author thanks God, family, colleagues and readers for their support in completing this work to help arithmetic students and exam candidates.
Este documento apresenta 25 exercícios de expressões algébricas para os alunos do 8o ano do ensino fundamental. Os exercícios envolvem cálculos com variáveis, determinação de expressões algébricas, resolução de problemas e identificação de sequências numéricas.
Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...Waldir Montenegro
1) O documento contém 16 questões de matemática sobre trigonometria no triângulo retângulo. 2) As questões envolvem cálculos de medidas de lados, alturas e comprimentos utilizando fórmulas trigonométricas e informações dadas nos enunciados. 3) O aluno deve responder às questões calculando as medidas solicitadas.
Trigonometria no Triângulo Retângulo 2011tioheraclito
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Exercícios para aprofundar a trigonometria no triângulo retângulo.
Indicado para a 9º ano, 2ª série e 3ª série
Com gabarito
1) El documento presenta problemas de simplificación de raíces, determinación de verdadero o falso, aplicación de la propiedad de la raíz de un producto y cálculos. 2) Contiene ejercicios de álgebra. 3) El objetivo es practicar diferentes operaciones y propiedades algebraicas.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática sobre progressão aritmética.
2) As questões abordam tópicos como cálculo de termos, razão e soma dos termos de PAs.
3) É fornecido o gabarito com as respostas corretas para cada uma das questões.
1) O documento descreve conceitos fundamentais de movimento uniforme, incluindo equações de posição versus tempo e velocidade versus tempo.
2) É fornecido um exemplo numérico de como calcular a distância entre um atirador e uma parede usando a velocidade do som.
3) São apresentados exercícios sobre movimento uniforme para cálculo de posições, velocidades, distâncias e tempos.
Este documento apresenta 25 exercícios de expressões algébricas para os alunos do 8o ano do ensino fundamental. Os exercícios envolvem cálculos com variáveis, determinação de expressões algébricas, resolução de problemas e identificação de sequências numéricas.
Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...Waldir Montenegro
1) O documento contém 16 questões de matemática sobre trigonometria no triângulo retângulo. 2) As questões envolvem cálculos de medidas de lados, alturas e comprimentos utilizando fórmulas trigonométricas e informações dadas nos enunciados. 3) O aluno deve responder às questões calculando as medidas solicitadas.
Trigonometria no Triângulo Retângulo 2011tioheraclito
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Exercícios para aprofundar a trigonometria no triângulo retângulo.
Indicado para a 9º ano, 2ª série e 3ª série
Com gabarito
1) El documento presenta problemas de simplificación de raíces, determinación de verdadero o falso, aplicación de la propiedad de la raíz de un producto y cálculos. 2) Contiene ejercicios de álgebra. 3) El objetivo es practicar diferentes operaciones y propiedades algebraicas.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática sobre progressão aritmética.
2) As questões abordam tópicos como cálculo de termos, razão e soma dos termos de PAs.
3) É fornecido o gabarito com as respostas corretas para cada uma das questões.
1) O documento descreve conceitos fundamentais de movimento uniforme, incluindo equações de posição versus tempo e velocidade versus tempo.
2) É fornecido um exemplo numérico de como calcular a distância entre um atirador e uma parede usando a velocidade do som.
3) São apresentados exercícios sobre movimento uniforme para cálculo de posições, velocidades, distâncias e tempos.
O documento fornece informações sobre ângulos, incluindo sua definição, classificação, propriedades e problemas de cálculo envolvendo ângulos. É apresentada a definição formal de ângulo e sua classificação de acordo com a medida, soma e posição. Propriedades como ângulos entre retas paralelas e perpendiculares também são explicadas, assim como problemas de resolução envolvendo ângulos.
1. O documento apresenta 40 questões sobre funções quadráticas, incluindo identificação de vértices, raízes e valores mínimos e máximos.
2. As questões abordam conceitos como equações de parábolas, identificação de pontos importantes dos gráficos e resolução de problemas envolvendo funções quadráticas.
3. Os tópicos incluem análise de gráficos, cálculo de vértices, raízes e valores extremos de funções quadráticas dadas por suas equações.
O documento apresenta as regras de prioridade de operações em expressões numéricas e algébricas, como potenciação e radiciação têm prioridade sobre multiplicação e divisão, que têm prioridade sobre adição e subtração. Ele também fornece exemplos detalhados de como aplicar essas regras para resolver expressões.
O documento apresenta exercícios de classificação e soma dos ângulos internos de triângulos para um curso preparatório de matemática ministrado pelo professor Paulo Roberto Martins Berndt em 15 de setembro de 2011 no Instituto Federal do Rio Grande do Sul. Os exercícios vão de 01 a 23 e incluem identificar tipos de triângulos e calcular a soma dos ângulos internos.
O documento apresenta uma série de exercícios de álgebra que envolvem cálculo do valor numérico de expressões algébricas para diferentes valores de variáveis. Os exercícios incluem operações como soma, subtração, multiplicação, divisão e potenciação de variáveis e números.
Relações métricas no triângulo retângulocon_seguir
O documento apresenta as definições e propriedades geométricas do triângulo retângulo. Ele define o triângulo retângulo, apresenta suas partes e relações métricas, como o Teorema de Pitágoras. O documento também fornece exemplos resolvidos de problemas que aplicam essas propriedades para calcular medidas desconhecidas em triângulos retângulos.
O documento define números racionais e irracionais e fornece exemplos de cada um. Números racionais podem ser escritos como frações a/b, enquanto números irracionais têm casas decimais infinitas que não são periódicas. Exercícios são fornecidos para que os alunos classifiquem números como racionais ou irracionais.
1) O documento apresenta noções básicas de óptica geométrica, incluindo definições de luz, velocidade da luz, raio de luz, feixe de luz, fonte de luz, meios de propagação, princípios da óptica geométrica e fenômenos como reflexão, refração e absorção.
2) A luz se propaga através de ondas eletromagnéticas a uma velocidade de cerca de 300.000 km/s no vácuo. Um raio de luz representa a
D28 (mat. 9º ano) resolver problema que envolva porcentagem blog do prof. ...clenyo
O documento apresenta uma série de problemas envolvendo porcentagem, como descontos, aumentos de preços, distribuição de itens entre grupos. Os problemas devem ser resolvidos escolhendo a alternativa correta.
1. O documento apresenta 25 questões sobre progressões geométricas e aritméticas, envolvendo cálculos de termos, razões e somas.
2. São abordados conceitos como PG infinita, PA constante e não constante, desvalorização geométrica e crescimento exponencial.
3. As questões variam entre cálculos algébricos simples e problemas mais complexos envolvendo raciocínio lógico.
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercíciosAndréia Rodrigues
1) O documento contém uma lista de exercícios sobre funções de primeiro grau. Inclui determinar valores de funções afins dadas, calcular valores de x para f(x)=g(x) e f(x)=constante, e classificar funções como crescentes ou decrescentes.
2) Também contém exercícios sobre interpretar tabelas e gráficos para identificar leis de formação de funções e seus zeros.
3) Inclui ainda problemas geométricos sobre cálculo de medidas de terrenos e comprimentos com base em informações dadas
1) O documento é um teste sobre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Ele contém 7 questões sobre ângulos correspondentes, alternos internos e externos, e colaterais internos e externos.
2) As questões 1-3 pedem para identificar medidas de ângulos em figuras geométricas. As questões 4-5 pedem para calcular valores de ângulos. A questão 6 pede para nomear pares de ângulos. A questão 7 classifica afirmações sobre ângulos como verdadeiras ou falsas.
Lista de exercícios publicação inequações luisresponde
Este documento apresenta 12 questões de exercícios sobre inequações matemáticas para alunos do 8o ano. As questões abordam determinar conjuntos soluções, encontrar valores para variáveis, resolver sistemas de inequações e problemas de mundo real envolvendo inequações.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.Gleidson Luis
1) O documento apresenta exercícios resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis e inequações de 1o grau. 2) São dados 10 sistemas de equações para serem resolvidos e encontradas suas soluções. 3) Também são apresentadas 23 inequações para serem resolvidas e encontrados os números que as satisfazem.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
Lista de exercício com propriedades de radicaisalunosderoberto
O documento é uma apostila de matemática contendo 10 questões sobre radicais. As questões abordam cálculo de raiz quadrada, decomposição de radicandos em fatores primos, simplificação e transformação de radicais.
O documento apresenta a fórmula para o cálculo do termo geral de uma progressão aritmética, definindo seus componentes. Explica como calcular termos específicos e a soma dos termos de uma PA, usando a fórmula (A1 + An) * (n/2).
Este documento es una lista de ejercicios de ecuaciones irracionales para el 9o año de la escuela Anísio Teixeira. Incluye 10 ejercicios de ecuaciones irracionales con sus soluciones. El objetivo es que los estudiantes practiquen la resolución de este tipo de ecuaciones.
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)Ilton Bruno
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre equações de segundo grau. A lista contém 32 exercícios que abordam tópicos como raízes reais e imaginárias de equações, resolução de problemas geométricos usando equações de segundo grau e determinação de valores que satisfaçam certas condições nas equações.
1) O documento apresenta as regras e propriedades da potenciação, incluindo o comportamento da base quando o expoente é par/ímpar, positivo/negativo ou zero.
2) São mostrados exemplos de cálculos de potenciação para diferentes bases e expoentes.
3) As propriedades operatórias de potenciação, como soma e multiplicação de expoentes para mesma base, são explicadas.
O documento discute conceitos e características dos contratos administrativos no Brasil. Apresenta definições de contrato administrativo e aspectos como objeto, prazo de vigência, garantias, cláusulas, modificações e responsabilidades nas relações entre administração pública e particulares.
O documento fornece informações sobre ângulos, incluindo sua definição, classificação, propriedades e problemas de cálculo envolvendo ângulos. É apresentada a definição formal de ângulo e sua classificação de acordo com a medida, soma e posição. Propriedades como ângulos entre retas paralelas e perpendiculares também são explicadas, assim como problemas de resolução envolvendo ângulos.
1. O documento apresenta 40 questões sobre funções quadráticas, incluindo identificação de vértices, raízes e valores mínimos e máximos.
2. As questões abordam conceitos como equações de parábolas, identificação de pontos importantes dos gráficos e resolução de problemas envolvendo funções quadráticas.
3. Os tópicos incluem análise de gráficos, cálculo de vértices, raízes e valores extremos de funções quadráticas dadas por suas equações.
O documento apresenta as regras de prioridade de operações em expressões numéricas e algébricas, como potenciação e radiciação têm prioridade sobre multiplicação e divisão, que têm prioridade sobre adição e subtração. Ele também fornece exemplos detalhados de como aplicar essas regras para resolver expressões.
O documento apresenta exercícios de classificação e soma dos ângulos internos de triângulos para um curso preparatório de matemática ministrado pelo professor Paulo Roberto Martins Berndt em 15 de setembro de 2011 no Instituto Federal do Rio Grande do Sul. Os exercícios vão de 01 a 23 e incluem identificar tipos de triângulos e calcular a soma dos ângulos internos.
O documento apresenta uma série de exercícios de álgebra que envolvem cálculo do valor numérico de expressões algébricas para diferentes valores de variáveis. Os exercícios incluem operações como soma, subtração, multiplicação, divisão e potenciação de variáveis e números.
Relações métricas no triângulo retângulocon_seguir
O documento apresenta as definições e propriedades geométricas do triângulo retângulo. Ele define o triângulo retângulo, apresenta suas partes e relações métricas, como o Teorema de Pitágoras. O documento também fornece exemplos resolvidos de problemas que aplicam essas propriedades para calcular medidas desconhecidas em triângulos retângulos.
O documento define números racionais e irracionais e fornece exemplos de cada um. Números racionais podem ser escritos como frações a/b, enquanto números irracionais têm casas decimais infinitas que não são periódicas. Exercícios são fornecidos para que os alunos classifiquem números como racionais ou irracionais.
1) O documento apresenta noções básicas de óptica geométrica, incluindo definições de luz, velocidade da luz, raio de luz, feixe de luz, fonte de luz, meios de propagação, princípios da óptica geométrica e fenômenos como reflexão, refração e absorção.
2) A luz se propaga através de ondas eletromagnéticas a uma velocidade de cerca de 300.000 km/s no vácuo. Um raio de luz representa a
D28 (mat. 9º ano) resolver problema que envolva porcentagem blog do prof. ...clenyo
O documento apresenta uma série de problemas envolvendo porcentagem, como descontos, aumentos de preços, distribuição de itens entre grupos. Os problemas devem ser resolvidos escolhendo a alternativa correta.
1. O documento apresenta 25 questões sobre progressões geométricas e aritméticas, envolvendo cálculos de termos, razões e somas.
2. São abordados conceitos como PG infinita, PA constante e não constante, desvalorização geométrica e crescimento exponencial.
3. As questões variam entre cálculos algébricos simples e problemas mais complexos envolvendo raciocínio lógico.
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercíciosAndréia Rodrigues
1) O documento contém uma lista de exercícios sobre funções de primeiro grau. Inclui determinar valores de funções afins dadas, calcular valores de x para f(x)=g(x) e f(x)=constante, e classificar funções como crescentes ou decrescentes.
2) Também contém exercícios sobre interpretar tabelas e gráficos para identificar leis de formação de funções e seus zeros.
3) Inclui ainda problemas geométricos sobre cálculo de medidas de terrenos e comprimentos com base em informações dadas
1) O documento é um teste sobre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Ele contém 7 questões sobre ângulos correspondentes, alternos internos e externos, e colaterais internos e externos.
2) As questões 1-3 pedem para identificar medidas de ângulos em figuras geométricas. As questões 4-5 pedem para calcular valores de ângulos. A questão 6 pede para nomear pares de ângulos. A questão 7 classifica afirmações sobre ângulos como verdadeiras ou falsas.
Lista de exercícios publicação inequações luisresponde
Este documento apresenta 12 questões de exercícios sobre inequações matemáticas para alunos do 8o ano. As questões abordam determinar conjuntos soluções, encontrar valores para variáveis, resolver sistemas de inequações e problemas de mundo real envolvendo inequações.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.Gleidson Luis
1) O documento apresenta exercícios resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis e inequações de 1o grau. 2) São dados 10 sistemas de equações para serem resolvidos e encontradas suas soluções. 3) Também são apresentadas 23 inequações para serem resolvidas e encontrados os números que as satisfazem.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
Lista de exercício com propriedades de radicaisalunosderoberto
O documento é uma apostila de matemática contendo 10 questões sobre radicais. As questões abordam cálculo de raiz quadrada, decomposição de radicandos em fatores primos, simplificação e transformação de radicais.
O documento apresenta a fórmula para o cálculo do termo geral de uma progressão aritmética, definindo seus componentes. Explica como calcular termos específicos e a soma dos termos de uma PA, usando a fórmula (A1 + An) * (n/2).
Este documento es una lista de ejercicios de ecuaciones irracionales para el 9o año de la escuela Anísio Teixeira. Incluye 10 ejercicios de ecuaciones irracionales con sus soluciones. El objetivo es que los estudiantes practiquen la resolución de este tipo de ecuaciones.
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)Ilton Bruno
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre equações de segundo grau. A lista contém 32 exercícios que abordam tópicos como raízes reais e imaginárias de equações, resolução de problemas geométricos usando equações de segundo grau e determinação de valores que satisfaçam certas condições nas equações.
1) O documento apresenta as regras e propriedades da potenciação, incluindo o comportamento da base quando o expoente é par/ímpar, positivo/negativo ou zero.
2) São mostrados exemplos de cálculos de potenciação para diferentes bases e expoentes.
3) As propriedades operatórias de potenciação, como soma e multiplicação de expoentes para mesma base, são explicadas.
O documento discute conceitos e características dos contratos administrativos no Brasil. Apresenta definições de contrato administrativo e aspectos como objeto, prazo de vigência, garantias, cláusulas, modificações e responsabilidades nas relações entre administração pública e particulares.
1) O documento apresenta operações com números decimais, incluindo adição, subtração, multiplicação e divisão.
2) É explicado que para adição e subtração os números decimais devem ser alinhados pelas casas decimais.
3) Para multiplicação, o número de casas decimais do resultado é a soma das casas decimais dos fatores.
3 av mat._2013_demo-p&b-sad-sed-adm.(nm)Elaine Chica
1. O documento apresenta um resumo de matemática com tópicos sobre operações básicas com números naturais, inteiros, racionais e reais.
2. Inclui definições de conjuntos numéricos, representação de números inteiros na reta numérica, comparação e operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.
3. Fornece exemplos resolvidos e explicações sobre propriedades dessas operações.
O documento descreve as quatro operações fundamentais da matemática - adição, subtração, multiplicação e divisão - definindo cada uma delas, seus termos e resultados. Ele também fornece exemplos de como realizar cada operação e exercícios para praticar.
Este documento fornece um índice geral de tópicos matemáticos como números, álgebra, geometria, estatística e probabilidade. A lista inclui conceitos como números naturais, racionais, irracionais e complexos, equações de 1o e 2o grau, funções, sistemas lineares, porcentagem, geometria plana e espacial, estatística e probabilidades.
O documento apresenta exercícios de potenciação e radiciação. No primeiro exercício, pede-se para escrever produtos na forma exponencial. No segundo, números na forma exponencial devem ser escritos como potências. Por fim, pede-se para calcular raízes quadradas de números perfeitos.
1) O documento apresenta 13 exercícios de matemática básica envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão.
2) As questões abordam tópicos como porcentagem, equações, interpretação de gráficos e problemas do mundo real.
3) Há um gabarito no final com as respostas corretas para cada uma das 13 questões propostas nos exercícios.
Resolução da Lista de exercícios - Conversão de bases e aritmética computacionalVitor Hugo Melo Araújo
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conversão de bases numéricas entre binário, octal, decimal e hexadecimal. Inclui exercícios de conversão entre as bases, expressar valores em diferentes bases e calcular o número máximo de valores possíveis em cada base com um determinado número de algarismos.
O documento apresenta 30 problemas de matemática envolvendo as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão). Os problemas variam em complexidade e abordam cálculos com números inteiros, frações, porcentagens e operações sequenciais. As respostas são fornecidas no formato de cálculos detalhados para cada problema.
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las transacciones con bancos rusos clave y la prohibición de la venta de aviones y equipos a Rusia. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
1.000.000
14. Escreva por extenso: 567.321
________________________________________________________________________________
15. Escreva na forma decomposta: 453.621
________________________________________________________________________________
16. Qual é a missão nesta sequência?
Aprender a representar números naturais até 1 milhão na forma padrão, decomposta e por extenso.
17. Os números que faltam na lista são: 2, 6 e 8.
18. c) 10 × 1
19. 100 unidades
20. 100
21. 100 × 100 = 10.000
22.
1) O documento apresenta um curso de análise real escrito por Cassio Neri e Marco Cabral com o objetivo de ensinar conceitos básicos de análise real como teoria dos conjuntos, números naturais, inteiros, racionais e reais.
2) Os autores fornecem informações biográficas, explicam as modificações feitas na segunda edição do livro e agradecem contribuições recebidas para aperfeiçoar o texto.
3) O livro está organizado em capítulos abordando temas como te
1. O documento apresenta um guia de atividades para alunos do curso Destino: Matemática sobre frações.
2. As atividades foram elaboradas para manter os alunos focados nos conceitos, registrar informações dos tutoriais e praticar o conteúdo.
3. O guia inclui seções como "Vamos registrar" para anotar durante os tutoriais e "Agora é sua vez" com exercícios adicionais para cada unidade.
Este livro apresenta os principais conceitos de pré-cálculo necessários para o estudo de cálculo. Aborda tópicos como conjuntos, números, funções do primeiro grau, trigonometria e álgebra matricial. Nesta terceira edição revisada e ampliada, novos exercícios e exemplos foram adicionados, além de um capítulo sobre progressão aritmética e geométrica. O livro serve como referência para cursos introdutórios de cálculo e pré-cálculo.
(1) O documento apresenta um resumo de estruturas algébricas como grupos e anéis. (2) Aborda noções preliminares de conjuntos, relações e funções e introduz os inteiros e operações aritméticas. (3) Discutem-se grupos, subgrupos, classes laterais e homomorfismos de grupos. (4) Apresenta definições e exemplos de anéis, ideais, anéis quocientes e corpos de frações.
1) O documento apresenta um livro sobre cálculo utilizando o software Maple para auxiliar no ensino de cálculo diferencial e integral. 2) O objetivo é transformar aulas tradicionais em parcerias onde alunos e professores interajam ativamente, utilizando recursos computacionais. 3) Os autores esperam que o livro auxilie na compreensão dos conceitos matemáticos e no desenvolvimento de um senso crítico sobre limitações dos softwares.
Matemática volume único edwaldo bianchini e herval paccolaAdriana Barbosa
1) O documento apresenta os principais conceitos matemáticos de conjuntos, como elementos, pertencimento e não pertencimento, utilizando símbolos como { }, E e ≠.
2) Novos tópicos como subconjuntos, operações com conjuntos e números de elementos em uniões são introduzidos nesta nova edição do livro didático.
3) Apresenta também novos capítulos sobre matemática financeira e estatística para acompanhar a moderna tendência do ensino.
Este documento apresenta um número especial da Revista do Professor de Matemática destinado ao Programa de Iniciação Científica da OBMEP. Contém vários artigos e atividades sobre tópicos matemáticos do ensino fundamental e médio, incluindo problemas, jogos e demonstrações. As atividades propostas no início visam trabalhar operações aritméticas e visualização espacial de figuras para que os alunos possam "fazer matemática".
1. O documento apresenta atividades para impressão relacionadas ao programa de matemática Destino: Matemática, de nível Algebra II.
2. As atividades foram elaboradas para manter os alunos focados nos conceitos, dar oportunidade de registrar informações e refletir sobre o conteúdo, permitir prática do que foi aprendido, oferecer avaliações amplas de cada sequência e propor problemas de situações reais.
3. O material é dividido em seções como "Vamos registrar" e "Agora é sua vez!", para servir de
V = base x altura x comprimento
5. Escreva a fórmula do volume de um prisma retangular usando variáveis:
V = b x h x c
Onde:
V = Volume
b = Base
h = Altura
c = Comprimento
6. Qual é a unidade de medida do volume?
_________________________________________________________________
7. Quais são as variáveis que representam os termos da fórmula do volume de um prisma retangular?
b, h, c
8. O que representam essas variáveis?
b = base
h = altura
c = comprimento
9
Este documento apresenta um curso de análise real ministrado no Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro. O curso é dividido em capítulos que abordam noções de teoria dos conjuntos, números naturais, inteiros, racionais e reais, sequências e séries, e a construção dos conjuntos numéricos.
Este documento apresenta notas de aula sobre cálculo I. Aborda tópicos como números reais, funções, limites, derivadas e suas aplicações. Apresenta definições, propriedades e exercícios relacionados a esses conceitos fundamentais do cálculo.
Este documento fornece atividades para impressão complementares ao software educacional Destino: Matemática - Conceitos e Habilidades II. As atividades estão organizadas por módulos de senso numérico, operações, geometria e medidas e pensamento algébrico, e incluem instruções para professores e folhas para alunos. O objetivo é consolidar os conceitos matemáticos apresentados no software de forma lúdica e prática.
Este documento apresenta um livro sobre programação em C#. O livro ensina os conceitos básicos da programação estruturada em C#, cobrindo tópicos como tipos de dados, variáveis, operadores, instruções de decisão e repetição, métodos, vetores e matrizes. O livro fornece mais de 100 exemplos e 200 exercícios resolvidos para ajudar na aprendizagem dos conceitos.
O documento descreve um livro sobre funções de uma variável. O livro aborda tópicos como números, funções, limites e continuidade, derivadas, integral e aplicações destes conceitos. O sumário lista os capítulos e subseções que compõem o conteúdo do livro.
1. O documento apresenta notas de aula sobre Teoria dos Grafos.
2. As notas abordam diversos tópicos como emparelhamentos, conexidade, planaridade, coloração e problemas extremos.
3. O documento foi compilado por alunos que tomaram notas em uma disciplina de Teoria dos Grafos no segundo semestre de 2012.
1. O documento apresenta um resumo de tópicos fundamentais de análise matemática, incluindo conceitos de conjuntos, funções, sequências, séries numéricas e cálculo.
2. Os capítulos abordam noções preliminares como teoria de conjuntos, números reais, funções e suas propriedades, gráficos de funções, limites e continuidade.
3. Também são tratados conceitos mais avançados como derivada, integral e suas aplicações. O documento parece ser um material didático sobre os fundamentos da an
Este documento apresenta um módulo de recuperação sobre números racionais positivos e operações com esses números. O módulo aborda tópicos como leitura, escrita, comparação e ordenação de números racionais, operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números racionais, resolução de problemas envolvendo esses conceitos.
Este documento apresenta um programa para a unidade curricular de Análise Matemática III. Apresenta cinco capítulos principais: (1) Elementos de Geometria Diferencial em R3, (2) Introdução à Análise Complexa, (3) Equações Diferenciais Ordinárias, (4) Sistemas de EDOs e (5) Séries de Fourier. O objetivo é que os alunos adquiram conhecimentos sobre estas áreas da matemática e sejam capazes de aplicá-los na resolução de problemas.
Semelhante a Ap mat aritmetica e exercicios resolvidos (20)
O documento discute conceitos básicos de número inteiro como divisores, números primos, números compostos e métodos para identificar cada um. Explica como decompor um número em seus fatores primos e calcular seus divisores.
Este documento fornece uma introdução às funções polinomiais de 2o grau. Discute como Galileu Galilei usou funções quadráticas para descrever o movimento de objetos sob a gravidade. Também define funções quadráticas como qualquer função na forma y = ax2 + bx + c, e discute como calcular e interpretar os vértices, zeros, máximos e mínimos dessas funções.
Este documento discute o cálculo de áreas de várias figuras geométricas planas, incluindo retângulos, quadrados, triângulos, paralelogramos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área de cada figura e exemplos passo-a-passo de como aplicar as fórmulas para resolver problemas.
O documento discute expressões algébricas, incluindo: 1) O uso de letras em lugar de números para representar variáveis; 2) A definição de termos algébricos; 3) Como classificar termos algébricas em racionais inteiros, racionais fracionários e irracionais. Também discute graus de monômios e polinômios, e como escrever expressões algébricas para representar situações matemáticas.
O documento define equações do segundo grau e explica que elas podem ser escritas na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes. Ele também diferencia entre equações completas e incompletas do segundo grau e explica que as raízes de uma equação são os valores de x que tornam a equação verdadeira. Finalmente, discute a resolução de diferentes tipos de equações do segundo grau.
1. O documento define razão como o quociente entre dois números, com o primeiro número sendo o antecedente e o segundo o conseqüente.
2. Apresenta exemplos de cálculo de razões entre quantidades de alunos, valores monetários e velocidades.
3. Explica que duas razões são inversas quando o produto entre elas é igual a 1 e lista algumas razões notáveis como densidade, escala e π.
1. O documento discute as conicas como seções de um cone cortado por um plano.
2. Apresenta as equações canônicas das principais conicas - elipse, hipérbole e parábola - definindo seus elementos característicos como focos, centro e vértices.
3. Explica como escolher um sistema de coordenadas apropriado para obter as equações canônicas de cada conica.
O documento descreve a construção dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais e evoluindo para os inteiros, racionais e reais. Explica que os números irracionais surgiram da descoberta de que a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa como fração. Define o conjunto dos números reais como a união dos conjuntos racionais e irracionais, representando todos os pontos da reta numérica.
O documento explica o que são números decimais, frações decimais e números decimais. Detalha como transformar frações decimais em números decimais e vice-versa. Descreve as propriedades e como comparar números decimais.
O documento fornece uma introdução sobre números racionais, incluindo: 1) A definição de números racionais como frações a/b onde a e b são inteiros e b ≠ 0; 2) Os principais subconjuntos dos números racionais Q; 3) Como representar números racionais na reta numérica.
O documento explica os conceitos básicos de divisibilidade, como determinar se um número é divisível por outro através de critérios como a soma dos algarismos ou os algarismos das unidades. Além disso, apresenta os principais critérios de divisibilidade para números de 2 a 11, permitindo verificar a divisibilidade mentalmente.
Este documento discute equações de primeiro grau com duas incógnitas, como encontrar soluções para tais equações, e representá-las graficamente em um plano cartesiano. Explica como cada solução é um par ordenado (x, y) e como atribuir valores a uma das variáveis calcula o valor da outra.
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidostrigono_metria
(1) O documento apresenta exemplos resolvidos de fatoração algébrica, incluindo fatoração de trinômios quadrados perfeitos, diferenças de quadrados, trinômios de Stevin e diferenças de cubos.
(2) É dada uma observação importante sobre o uso do sinal de identidade ao invés de igualdade em casos de fatoração e produtos notáveis.
(3) Exercícios propostos de fatoração algébrica são divididos em sete categorias e uma resposta é solicitada.
1) O documento apresenta propriedades e operações com radicais, incluindo simplificação e racionalização do denominador.
2) São mostrados exemplos de como calcular radicais, aplicar propriedades como a−b=a/b e racionalizar denominadores.
3) As últimas seções tratam de simplificar expressões radicais e racionalizar denominadores dividindo o numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
1. O documento apresenta uma tabela geral de derivadas com as principais regras de diferenciação de funções.
2. São listadas as derivadas de funções como polinômios, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas e inversas.
3. A tabela serve como um resumo informal dos principais teoremas e regras gerais de cálculo diferencial.
Este documento fornece uma introdução às equações do 1o grau, discutindo igualdades, propriedades da igualdade, princípios de equivalência e como formular e identificar equações. O documento usa exemplos para ilustrar esses conceitos-chave e fornece referências bibliográficas no final.
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002trigono_metria
Problemas do primeiro grau envolvem a resolução de equações ou sistemas de equações de primeiro grau. Estes problemas transformam dados em linguagem matemática e podem ser resolvidos de forma mais simples usando o menor número possível de variáveis, preferencialmente uma única incógnita.
1) O documento discute trigonometria no triângulo retângulo e na circunferência, definindo termos como seno, cosseno e tangente.
2) É apresentado o Teorema de Pitágoras para triângulos retângulos e as funções trigonométricas básicas.
3) As unidades de medida de arcos como radianos e graus são explicadas, assim como a relação entre elas.
Mat utfrs 06. razao e proporcao exerciciostrigono_metria
O documento apresenta 20 exercícios de razão e proporção sobre diversos temas como escalas em mapas, velocidade média, misturas e proporções. Os exercícios devem ser resolvidos utilizando conceitos como razão, proporção, escala e regra de três. As respostas são fornecidas no final.
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
Caderno de Resumos XVIII ENPFil UFU, IX EPGFil UFU E VII EPFEM.pdfenpfilosofiaufu
Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
Egito antigo resumo - aula de história.pdfsthefanydesr
O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
Por volta de 3500 a.C., os nomos se uniram formando dois reinos: o Baixo Egito, ao Norte e o Alto Egito, ao Sul. Posteriormente, em 3200 a.C., os dois reinos foram unificados por Menés, rei do alto Egito, que tornou-se o primeiro faraó, criando a primeira dinastia que deu origem ao Estado egípcio.
Começava um longo período de esplendor da civilização egípcia, também conhecida como a era dos grandes faraós.
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Agradecimento
Agradeço a Deus por me permitir concluir este trabalho, aos meus pais,
esposa e filhos pela ajuda e apoio, assim como aos colegas que contribuíram
com sugestões, críticas e observações.
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Apresentação
Este trabalho destina-se aos admiradores da Aritmética em geral e particu-
larmente aos candidatos às instituições de ensino em que esta ciência seja uma
referência.
Esta edição, que ora apresenta-se, foi revista e ampliada. Além disso,
procurou-se reforçar as demonstrações dos conceitos e fórmulas, sem perder-se,
entretanto, a objetividade dos exercícios.
Sabe-se que um trabalho deste vulto não se encerra nesta edição, portanto
quaisquer novas sugestões podem ser encaminhadas para o endereço na contra
capa. Desde já agradece-se as novas “proposições”.
Atenciosamente
José Carlos Admo Lacerda
Março de 2.009
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16 [CAP. 1: NUMERAÇÃO
.
.
.
Cuidado! A quantidade de algarismos nos intervalos 9 < Q ≤ 189, 189 < Q ≤
2.889, . . . poderá gerar um número que não tenha todas as ordens (v. exerc. resolv.
n o 6) .
1.12.13 Cálculo Simplificado de Q em Função de N, e
vice-versa
Vimos que: Q = (N + 1) × α − (111 . . . 1) algarismos
α 1’s
Se α = 1 → Q = N ou N = Q
Q+9
Se α = 2 → Q = 2N − 9 ou N =
2
Q + 108
Se α = 3 → Q = 3N − 108 ou N =
3
Q + 1.107
Se α = 4 → Q = 4N − 1.107 ou N =
4
.
.
.
Observe uma “lei" regendo o numerador: 9, 108, 1.107, 11.106, 111.105, . . .
1.13 Exercícios Resolvidos
1) Calcular a quantidade de números naturais sucessivos que existem, de 7 até 18.
Resolução:
De acordo com a 1a propriedade, podemos facilmente ver que:
[(18 − 7) + 1] = 12 números.
2) Escolher um algarismo significativo, qualquer, e verificar que de 0 até 10n
(exclusive) ele aparece n × 10n−1 vezes, nas 1a , 2a , 3a ,. . . n-ésimas ordens.
Resolução:
Seja, para efeito de demonstração, o algarismo 7.
1o ) De 0 até 10 (exclusive) o 7 aparece uma única vez, quando escrevemos o
próprio 7.
2o ) De 0 até 100 (exclusive) deveremos analisá-lo nas, 1a e 2a ordens.
Na ordem das unidades u o 7 aparece nos números:
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87 e 97
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62 [CAP. 2: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (EM N)
45) Em uma divisão, adiciona-se 16 unidades ao dividendo e 2 ao divisor. Sabendo-
se que o quociente e o resto não se alteraram, qual foi o quociente?
46) Numa divisão inexata, o dividendo é igual a 500 e o divisor 55. Determine o
maior número que se pode subtrair do divisor sem alterar o quociente.
47) Tomando-se para divisor o quociente de uma certa divisão, em que caso se
obtém, para quociente e resto, os mesmos números da primeira divisão?
48) Dividindo-se um número natural A por um outro B, obtém-se um quociente Q
e um resto R. Ao aumentarmos o dividendo A de K unidades e o divisor B de
L unidades, o quociente e o resto não se alteram. Determine o quociente.
49) (CN) Quantos devem ser os números naturais k, de modo que a divisão de
113k + 7 por k + 1 seja exata?
50) Observe o algoritmo seguinte:
43 4
r q
Qual é o menor número que se pode somar ao dividendo, de modo que o quo-
ciente aumente de 500 unidades?
51) Sejam D e d números naturais tais que, o resto da divisão de D por d seja igual
a 4 e o resto da divisão de 14 × D por d seja 17. Ache o resto da divisão de
210 × D por d.
Respostas:
1) 39 28) 1.008
2) 86 29) R × D + R
3) 72 30) 41
4) 138 31) 95
5) 11 32) 9
6) 20 33) 96
7) 241 34) 266
8) 18.905 35) 33
9) 11 36) 3
10) 141 e 21 37) 25
11) 5.831 38) 179, 183, 187, 191, 195 e 199
12) 3.163 39) q × q − 1
13) 832 40) 47
14) 644 41) 3
15) 56 e 840 42) Não há números que satisfaçam
às condições dadas
16) 266.709 43) a ) 8, 16, 24, 32, 40 e 48
17) 131 b) 1, 9, 17, 25, 33 e 41
18) 13 c) 8, 30, 66, 116, 180 e 258
19) 387 d) 8, 18, 30, 44, 60 e 78
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64 [CAP. 2: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (EM N)
2.6 Potenciação
É qualquer multiplicação onde todos os fatores são iguais.
Ex1 .: 2×2×2
Ex2 .: 3×3
Ex3 .: a ×a × a × ··· ×a
2.6.1 Notação
a × a × a × · · · × a ou am (m ∈ N, tal que m ≥ 2)8
m fatores
m
Em a = p, temos as seguintes nomenclaturas:
a . . . base ou raiz
m . . . expoente ou grau de multiplicidade
p . . . potência
2.6.2 Leitura
A representação am , lê-se: a elevado a m.
Ex.: 24 . Lê-se: dois elevado a quatro.
Obs.: Quando o expoente for 2 ou 3, são utilizadas as palavras quadrado e cubo,
respectivamente.
Ex1 .: 32 . Lê-se: três elevado a dois ou três ao quadrado.
Ex2 .: 53 . Lê-se: cinco elevado a três ou cinco ao cubo.
2.6.3 Potência
Dá-se o nome de potência9 a qualquer produto obtido através da potenciação.
Ex1 .: 23 = 2 × 2 × 2 = 8, onde o 8 é a potência.
Ex2 .: 32 = 3 × 3 = 9, onde o 9 é a potência.
8A notação am é devida a Nicholas Chuquet (1.445 − 1.488) e generalizada por René
Descartes (1.596 − 1.650)
9 No contexto da matemática, esta palavra é atribuida a Hipócrates de Quio (460a.c).
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[SEC. 2.6: POTENCIAÇÃO 71
Substituindo (I) e (II) em (III), teremos:
ba = ab + 36
10b + a = 10a + b + 36
10b − b + a − 10a = 36
9b − 9a = 36
b−a=4
Analisando essa última igualdade, poderemos determinar os algarismos e, con-
sequentemente, os números que satisfazem a condição do problema, ou seja:
b = 9 e a = 5 ⇒ N = 59;
b = 8 e a = 4 ⇒ N = 48;
b = 7 e a = 3 ⇒ N = 37;
b = 6 e a = 2 ⇒ N = 26;
b = 5 e a = 1 ⇒ N = 15
Resp.: 59, 48, 37, 26 e 15
3) (OBM) Para escrever todos os números naturais consecutivos desde 1ab até
ab2, inclusive, foram utilizados 1ab1 algarismos. Determinar o número de
algarismos a mais que precisaremos para escrever todos os números naturais
até aab, inclusive.
Resolução:
(ab2 − 1ab + 1) × 3 = 1ab1
(100a + 10b + 2 − 100 − 10a − b + 1) × 3 = 1.000 + 100a + 10b + 1
(90a + 9b − 97) × 3 − 100a − 10b = 1.001
270a + 27b − 100a − 10b = 1001 + 291
17(10a + b) = 1.292
1.292
ab =
17
ab = 76
Portanto, de 763 até aab ⇒ (776 − 763 + 1) × 3 = 14 × 3 = 42.
Resp.: 42 algarismos
4) (CN) Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal
existe um único número de dois algarismos (ab) tal que (ab)2 − (ba)2 = (cc)2 .
Calcular a + b + c.
Resolução:
(ab)2 − (ba)2 = (cc)2
(10a + b)2 − (10b + a)2 = (10c + c)2
100a2 + 20ab + b2 − 100b2 − 20ab − a2 = 121c2
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[SEC. 2.11: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 81
4) Se a ∗ b = (a + b)2 − (b − a2 )(a + b)2 + (b + a2 ), determine (1 ∗ 2) ∗ 3.
5) Se a∆b = a · b − 1 e x y = x2 − y2 , determine (4∆2) − (3 2).
6) Se 8@6 = 44, 7@6 = 43 e 7@5 = 32, calcule 8@5.
7) Se 2 ∗ 3 = 7, 3 ∗ 4 = 13, −5 ∗ −2 = 23 e −6 ∗ 1 = 37, calcule 5 ∗ (3 ∗ −5).
8) Se 3∆2 = 11, 5∆4 = 29 e 8∆7 = 71, ache 6∆2.
9) Se 5 ∗ 3 = 6, 7 ∗ 4 = 12 e 8 ∗ 7 = 7, calcule 6 ∗ 2.
10) Se a ∗b representa o maior de a e b, e a#b representa o menor de a e b, calcule
o valor de:
(1#(2 ∗ (3#4))) + (1 ∗ (2#(34))).
11) (CN) Dadas as operações x ∗ y = x + y, x#y = x − y e x∆y = x · y, ache o
valor da expressão: [2 ∗ (8#12)] ∗ {[(3 ∗ 2)#5]∆[10 ∗ (2#(4∆2))]}
12) A operação x ⊗ y = x · y − 3 + x − 3 · y, ache 2 ⊗ (3 ⊗ (4 ⊗ · · · ⊗ (11 ⊗ 12)) . . . ).
13) Se x#y = y(x + y) e x@y = y(y − x), ache 1#(2@3). Huntington C. Mathematics
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8
Respostas:
1) 4 8) 38 ou 23
2) 7 9) 8
3) 1
10) 10
4) 264
11) −2
5) 440
6) 33 12) −1
7) 29 13) b
2.11 Exercícios Resolvidos
2
1) Calcular a potência gerada por: 23
Resolução:
2
23 = 2 × 2 × · · · × 2 = 2 × 2 × · · · × 2 = 29 = 512
3 2 fatores 9 fatores
2 2
Na prática, 23 = 2(3 )
= 29 = 512
99
21
2) Calcular a potência gerada por: 23
Resolução:
1o )
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[SEC. 2.11: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 85
b=2
Substituindo b em (I), teremos: a = 3 × 2 ⇒ a = 6
Resp.: N = 62
11) Um número N é constituído por três algarismos tais que, o das centenas é o
dobro do das dezenas, e o das dezenas é o dobro do das unidades. Determinar
N, sabendo que a soma de seus algarismos é 14.
Resolução:
De acordo com os dados, temos:
N = cdu . . .
(I)
c = 2d . . . (II)
d = 2u . . .
(III)
c + d + u = 14 . . . (IV )
Explicitando (II) em função de u, tem-se:
c = 2 × (2u) ou c = 4 × u . . . (V )
Substituindo (III) em (IV ) teremos:
4 × u + 2 × u + u = 14
7 × u = 14
u=2
Substituindo u em (III), tem-se:
d = 2 × 2, donde, d = 4
Substituindo d = 4 em (II), teremos:
c = 2 × 4, donde, c = 8.
Resp.: 842
12) Determinar o quociente e o resto da divisão de 7 × 351 por 5 × 349 .
Resolução:
7 × 351 7 × 32 × 349 63 × 349
49
= 49
=
5×3 5×3 5 × 349
63 5
3 12
63 × 349 5 × 349
3 × 349 12
Resp.: Quociente = 12 e resto = 3 × 349 = 350
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108 [CAP. 3: NUMERAÇÃO NÃO DECIMAL
4a ) A soma gerada por [(10β )n + k], k < β é, na base 10, igual a βn + k.
Obs1 .: Se k = 0, então (10β )n = βn , (∀β)2
Obs2 .: Se k = 1, então (10β )n + 1 = βn + 1, ∀ β
3.10 Tópico Complementar - Sistema de Nume-
ração Romana
3.10.1 Introdução
É um sistema de limitadas aplicações. Elas podem ser encontradas em capítulos
de livros, séculos, relógios de paredes, etc.
Os numerais romanos, são representados por letras e seus valores em ordem cres-
cente são:
I V X L C D M
(1) (5) (10) (50) (100) (500) (1.000)
3.10.2 Regras
1a ) Um traço horizontal colocado sobre um número aumenta mil vezes seu valor, dois
traços aumentam um milhão de vezes e assim sucessivamente.
Ex.:
V = 5.000
V = 5.000.000
Obs.: Os numerais 1.000, 2.000 e 3.000 não são representados por I, II e III e sim
por: M, MM e MMM.
2a ) Os numerais I, X, C e M podem ser escritos, seguidamente, até três vezes.
Ex.: II, XXX, CCC
3a ) Os numerais I, X e C só podem anteceder um dos dois de maior valor que lhes
sucedem a ordem, isto é:
Ex.: I, antes de V ou de X
X, antes de L ou de C
C, antes de D ou de M
Obs.: Nesse caso, subtrai-se o menor do maior.
2 ∀... David Hilbert (1.862 − 1.943).
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23. page 140
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140 [CAP. 4: TEORIA DOS NÚMEROS PRIMOS
4.13 Quantidade de Divisores de um Número Na-
tural N
Teorema:
A quantidade de divisores de um número natural N, QD(N) , é dada pelo produto
dos sucessivos de todos os expoentes de seus fatores primos.
Demonstração:
Sabemos que, se N = aα × bβ × cγ × . . . , então:
D(aα ) = {a0 , a1 , a2 , . . . aα }, ou seja, (α + 1) divisores;
D(bβ ) = {b0 , b1 , b2 , . . . bβ }, ou seja, (β + 1) divisores;
D(cγ ) = {c0 , c1 , c2 , ...cγ }, ou seja, (γ + 1) divisores.
Multiplicando-se agora os α + 1 divisores da 1a linha pelos β + 1 divisores da
segunda e, em seguida, os [(α + 1) × (β + 1)] divisores anteriores pelos (γ + 1) divisores
da 3a e, assim, sucessivamente, obteremos a quantidade, QD(N) , de divisores de N,
ou seja:
QD(N) = (α + 1) × (β + 1) × (γ + 1) × . . . Q.E.D
Ex1 .: Determinar a quantidade de divisores de 360.
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
360 = 23 × 32 × 51
QD(360) = (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24
Obs.: A quantidade de divisores de um número natural N é um número par, exceto
quando o(s) expoente(s) do(s) fator(es) obtido(s) na decomposição em fatores primos
de N for(em) número(os) par(es).
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[SEC. 4.21: TÓPICOS COMPLEMENTARES 153
31o 216.091 65.050 Slowinski e Gage 1.985
32o 756.839 22.783 Slowinski e Gage 1.992
33o 859.433 258.716 Slowinski 1.994
34o 1.257.787 378.632 Slowinski 1.996
35o 1.398.269 420.921 Armengaud e Woltman 1.996
36o 2.976.221 895.932 Spence e Woltman 1.997
37o 3.021.377 909.526 Clarkson, Woltman e Kurowski 1.998
38o 6.972.593 2.098.960 Hajratwala, Woltman e Kurowski 1.999
39o 13.466.917 4.053.946 Michael Cameron 2.001
40o 20.996.001 6.320.430 Michael Shafer’s 2.003
41o 24.036.583 7.235.733 Josh Findley 2.004
42o 25.964.951 7.816.230 Martin Nowak 2.005
43o 30.402.457 9.152.052 Curtis Cooper e Steven Boone 2.005
44o 32.582.657 9.808.358 Curtis Cooper e Steven Boone 2.006
45o 43.112.609 12.978.189 Edson Smith 2.008
46o 37.156.667 11.185.272 Hans-Michael Elvenich 2.008
4.21.8 Número Perfeito
É todo número igual à soma de seus divisores próprios.
Ex1 .: 6 é um número perfeito9 , pois, 1 + 2 + 3 = 6.
Ex2 .: 28 é um número perfeito, pois, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Ex3 .: 496 é um número perfeito, pois, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.
4.21.9 Teorema
Se p for um número primo e 2p − 1 for primo de Mersenne, então
p−1
2 × (2p − 1) é um número perfeito par.
Demonstração:
Como p e 2p − 1, é por definição um número primo, a expressão geral dos números
perfeitos pares é dada por (I), onde a, b, c, . . . pertence ao conjunto dos números pares
maiores que 2.
De acordo com a definição de números perfeitos, podemos escrever:
2n × aα × bβ × cγ × · · · = (1 + 2 + 22 + · · · + 2n )(1 + a + a2 + · · · + an )(1 + b +
b + · · · + bn )(1 + c + c2 + · · · + cn ) × · · · − 2n × aα × bβ × cγ × . . .
2
2n+1 × aα × bβ × cγ × · · · = (2n+1 − 1)(1 + a + a2 + · · · + aα )(1 + b + b2 + · · · +
b )(1 + c + c2 + · · · + cα ) × . . .
α
(1 + a + a2 + · · · + aα )(1 + b + b2 + · · · + bα )(1 + c + c2 + · · · + cα ) × · · · =
2n+1 × aα × bβ × cγ × . . .
2n+1 − 1
9 Questão em aberto: Existem números perfeitos ímpares? Ninguém ainda os encontrou.
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25. page 159
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[SEC. 4.23: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 159
360 = 23 × 32 × 5
ϕ(360) = 23−1 × 32−1 × 51−1 × (2 − 1) × (3 − 1) × (5 − 1)
ϕ(360) = 96
7) Determinar o número de vezes que o fator primo 3 aparece na decomposição, em
fatores primos, do produto dos cinquenta primeiros números naturais, a partir de 1.
Resolução:
Seja 1 × 2 × 3 × · · · × 48 × 49 × 50, a multiplicação que gera tal produto. Como
nos múltiplos de 3 o fator (3), é claro, aparece em sua decomposição, apenas irão nos
interessar os fatores que contenham esses múltiplos, ou seja:
3 × 6 × 9 × · · · × 47 × 48
16 fatores
Decompondo-se, convenientemente, os fatores anteriormente “subchaveados", ter-
emos:
3 × 1 × 3 × 2 × 3 × · · · × 3 × 15 × 3 × 16
32 fatores
Vê-se que de 3 × 1 até 3 × 16 o fator 3 aparece 16 vezes, logo a expressão anterior
pode, também, ser escrita da forma:
316 × 1 × 2 × 3 · · · × 16
16 fatores
Daqui por diante, raciocinaremos de modo análogo ao que já foi feito anterior-
mente. Assim sendo, a expressão anterior ficará:
316 × 3 × 6 × 9 × · · · × 15 ou 316 × 3 × 1 × 3 × 2 × 3 × 3 × · · · × 3 × 5
5 fatores 10 fatores
= 316 × 35 × 1 × 2 × 3 × · · · × 5 ou 316 × 35 × 31
5 fatores
Conservando-se a base 3 e somando-se os expoentes, teremos:
316+5+1 = 322 .
Conclusão: O fator 3 aparece 148 vezes.
Obs1 .: O expoente 148 poderá ser obtido somando-se apenas todos os quocientes
obtidos nas divisões sucessivas do número 100 (último fator) por 3, ou seja:
50 3
2 16 3
1 5 3
2 1 3
ou simplesmente . . .
50 ÷ 3 = 16 ÷ 3 = 5 ÷ 3 = 1
Conclusão: O fator 3 aparece 16 + 5 + 1, ou seja, 22 vezes.
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26. page 178
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178 [CAP. 5: DIVISIBILIDADE
Conclusão: O número dado não é divisível por 1.000, e o resto é igual a 200.
b) Divisibilidade por 9 ou por 3
b.1) Teorema
Um número será divisível por 9 ou por 3, quando a soma de seus algarismos for
um número divisível por 9 ou por 3.
Demonstração:
1a ) Sabemos que:
˙
101 = 10 = 9 + 1 ⇒ 101 = 9 + 1
2 2 ˙
10 = 100 = 99 + 1 ⇒ 10 = 9 + 1
3 3 ˙
10 = 1.000 = 999 + 1 ⇒ 10 = 9 + 1
.
.
.
˙
10n = 1 00 . . . 0 ⇒ 10n = 9 + 1
n zero(s)
Vemos que qualquer potência de 10 é igual a um múltiplo de 9 mais 1.
2o ) Seja N = abc . . . stu, um número com n algarismos.
Explicitando-o sob forma polinômica, teremos:
N = a × 10n−1 + b × 10n−2 + c × 10n−3 + · · · + s × 102 + t × 101 + u × 100
ou
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
N = a × (9 + 1) + b × (9 + 1) + c × (9 + 1) + · · · + s × (9 + 1) + t × (9 + 1) + u
3o ) Desenvolvendo e ordenando convenientemente, teremos:
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
N = a × 9 + b × 9 + c ×9 + ··· + s × 9 + t ×9+a + b + c + ··· + s + t + u
múlt. de 9 S alg
˙
N = 9 + (a + b + c + · · · + s + t + u)
Dividindo os dois membros por 9 e aplicando o T.F.D, teremos:
N ≡ [a + b + c + · · · + s + t + u](mod. 9)
Obs.: Como todo múltiplo de 9 também é múltiplo de 3, poderemos escrever:
N ≡ [a + b + c + · · · + s + t + u](mod. 9; 3)
b.1.1) Corolário
O resto da divisão de um número por 9 ou por 3 é o mesmo que o resto da soma
dos algarismos desse número por 9 ou por 3.
Ex.: Verificar se o número 12.003.100.512 é divisível por 3 e, em seguida, por 9.
Salg = 1 + 2 + 0 + 0 + 3 + 1 + 0 + 0 + 5 + 1 + 2 = 15
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27. page 188
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188 [CAP. 5: DIVISIBILIDADE
Separando de duas em duas ordens da direita para a esquerda tem-se, 7.49.18.18.59.36,
cuja soma é igual a
36 + 59 + 18 + 18 + 49 + 7 = 187 e que dividida por 11 deixa resto igual a 0.
Obs.: 187(87 + 1 = 88 ÷ 11 ⇒ resto 0)
b) 6.432.178
Analogamente, tem-se 6.43.21.78 cuja soma é 78 + 21 + 43 + 6 = 148, que dividida
por 11 deixa resto 5.
Obs.: 148 (48 + 1 = 49) ÷ 11 ⇒ resto5
c) 84.937.052
Da mesma forma, 84.93.70.52, cuja soma 52 + 70 + 93 + 84 = 299, que dividida
por 11 deixa resto 2.
Obs.: 299 (99 + 2 = 101) , 101 (01 + 1 = 2 ÷ 11 ⇒ resto2)
Obs.: O critério de divisibilidade por 11 também pode ser aplicado aos de 33 ou 99.
5.7.3 Regra dos Noves-Fora
A regra dos noves-fora 2 , abreviadamente (n.f) nos permite verificar se o resultado
de uma operação fundamental, está ou não correto, aplicando o critério de divisibili-
dade por 9.
Se por exemplo, estivermos diante de uma adição, devemos provar que “a soma
dos 9 s fora das parcelas é igual aos 9 s fora da soma das mesmas". Este raciocínio
é análogo para qualquer operação.
Ex1 .: Verificar, através da regra dos 9 s fora para a igualdade: 578 + 435 = 1.013
1o ) 578 → 5 + 7 = 12, n.f, 3; 3 + 8 = 11, n.f, 2
2o ) 435 → 4 + 3 + 5 = 12, n.f, 3
3o ) 1.013 → 1 + 0 + 1 + 3 = 5, n.f, 5
578 + 435 = 1.013
n.f,2 n.f,3 n.f,5
Observe que a soma dos 9 s fora no 1o membro, ou seja 2 + 3 = 5, n.f , 5 é igual
aos 9 s fora da soma (5), no 2o membro.
Conclusão: A soma está correta.
Ex2 .: Determinar, através da regra dos 9 s fora, o valor de y na igualdade 2.465×
3.214 = 792y510
2.465 × 3214 = 792y510
n.f,8 n.f,1 n.f,6+y
8×1 = 6+y ∴ y = 2
2 Podemos aplicar também a regra dos 6 s, 7 s, 11 s ou 13 s fora.
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28. page 222
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222 [CAP. 6: MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
A×B
O quociente gerado por é múltiplo de A e de B, conseqüentemente,
mdc (A; B)
será múltiplo do mmc, ou seja,
A×B
= mmc (A; B) × k ... (I)
mdc (A; B)
Dividindo-se, separadamente, os dois membros da igualdade anterior por B e por
A, teremos:
A mdc (A; B)
1o ) = ×k
mdc (A; B) B
B mdc (A; B)
2o ) = ×k
mdc (A; B) A
A B
Como os quocientes gerados por e são primos entre si,
mdc (A; B) mdc(A; B)
conclui-se que k = 1.
A×B
Substituindo k = 1 em (I), teremos: = mmc (A; B) ou ainda
mdc (A; B)
A × B = mdc (A; B) × mmc (A; B) ... Q.E.D
Ex.: Verificar a igualdade anterior, supondo A = 60 e B = 36.
Substituindo 60 e 36 na relação anterior, teremos:
60 × 36 = mdc (60; 36) × mmc (60; 36)
2.160 = 12 × 180
2.160 = 2.160 (ok!)
3a O mmc. de dois ou mais números naturais, onde o maior é múltiplo do(s)
menor(es), é o maior.
˙
Sejam A e B dois números onde A = B.
Se A é múltiplo de B, então A é divisível por B, então, o
mdc (A; B) = B ......... (I)
Vimos anteriormente que A × B = mdc (A; B) × mmc (A; B) ... (II)
Substituindo (I) em (II), tem-se: A × B = B × mmc (A; B).
Simplificando, convenientemente, teremos: mmc (A; B) = A ... Q.E.D
Ex1 .: mmc (3; 6) = 6, pois 6 é o múltiplo de 3.
Ex2 .: mmc (4; 8; 16) = 16, pois 16 é múltiplo de 4 e 8, simultaneamente.
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29. page 243
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[SEC. 7.12: OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 243
D × Q1 ± D × Q2 ± D × Q3 ± · · · = A ± B ± C ± · · · ou
D × (Q1 ± Q2 ± Q3 ± · · · ) = A ± B ± C ± · · · ou ainda,
A ±B ± C ±···
Q1 ± Q2 ± Q3 ± · · · =
D
A B C A ± B ± C ± ···
± ± ± ··· = ... Q.E.D
D D D D
3 2 4 3+2+4 9
Ex1 .: + + = =
11 11 11 11 11
7 1 6:2 3
Ex2 .: − = =
8 8 8:2 4
2o caso: Com Frações Heterogêneas
Regra:
Reduzimos as frações ao mesmo denominador, dividimo-lo por cada um dos de-
nominadores e, em seguida, multiplicamos cada um dos quocientes obtidos pelos seus
respectivos numeradores.
Demonstração:
A C E
Seja ± ± ± · · · uma operação.
B D F
o
1 ) mmc (B, D, F, . . .) = m
m m
2o ) = q1 ⇒ B = ou m = B × q1
B q1
m m
= q2 ⇒ D = ou m = D × q2
D q2
m m
= q3 ⇒ F = ou m = F × q3
F q3
.
. .
. .
.
. . .
A C E A C E
3o ) ± ± ± ··· = ± ± ± ··· (I)
B D F m/q1 m/q2 m/q3
A C E A × q1 C × q2 A × q1 C × q2
4o ) ± ± ± ··· = ± ± ··· = ± ··· (II)
B D F B × q1 D × q2 m m
Como (I) é igual a (II), podemos escrever que:
A C E A C E A × q1 C × q2
± ± ± ··· = ± ± ±··· = ± ±
B D F m/q1 m/q2 m/q3 m m
E × q3
± ···
m
Como as frações são homogêneas, teremos, de acordo com o caso anterior:
A C E A × q1 ± C × q2 ± E × q3 ± · · ·
± ± ± ··· = ... Q.E.D
B D F m
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