1. O documento apresenta um resumo de tópicos fundamentais de análise matemática, incluindo conceitos de conjuntos, funções, sequências, séries numéricas e cálculo.
2. Os capítulos abordam noções preliminares como teoria de conjuntos, números reais, funções e suas propriedades, gráficos de funções, limites e continuidade.
3. Também são tratados conceitos mais avançados como derivada, integral e suas aplicações. O documento parece ser um material didático sobre os fundamentos da an
Uma base sólida nos conceitos de Orientação a Objetos e na linguagem de programação Java é um fator determinante para quem deseja entrar no mercado de trabalho como desenvolvedor de aplicações Java. Neste curso, apresentaremos os conceitos de Orientação a Objetos e como eles são aplicados com a linguagem Java. Além disso, você aprenderá as principais bibliotecas da plataforma Java como Collections e Java Swing.
Pré-requisitos:
- Lógica de Programação
- Experiência com alguma linguagem de programação
Teoria sobre Controle Discreto (ou amostrado no tempo). Não inclui controle no espaço de estados. Exige como pré-requisitos: base teória inicial na área de controle automático clássico (contínuo no tempo). Material atualizado em 22/mar/2017. Material usado na disciplina de Controle Automático III, Engenharia Elétrica, Universidade de Passo Fundo.
Uma base sólida nos conceitos de Orientação a Objetos e na linguagem de programação Java é um fator determinante para quem deseja entrar no mercado de trabalho como desenvolvedor de aplicações Java. Neste curso, apresentaremos os conceitos de Orientação a Objetos e como eles são aplicados com a linguagem Java. Além disso, você aprenderá as principais bibliotecas da plataforma Java como Collections e Java Swing.
Pré-requisitos:
- Lógica de Programação
- Experiência com alguma linguagem de programação
Teoria sobre Controle Discreto (ou amostrado no tempo). Não inclui controle no espaço de estados. Exige como pré-requisitos: base teória inicial na área de controle automático clássico (contínuo no tempo). Material atualizado em 22/mar/2017. Material usado na disciplina de Controle Automático III, Engenharia Elétrica, Universidade de Passo Fundo.
dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf dfdf fdfd f fdf f fd fdfdf fdf fdfdfdf
América Latina: Da Independência à Consolidação dos Estados NacionaisValéria Shoujofan
Aula voltada para alunos do Ensino Médio focando nos processos de Independência da América Latina a partir dos antecedentes até a consolidação dos Estados Nacionais.
Slides Lição 10, CPAD, Desenvolvendo uma Consciência de Santidade, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 10, CPAD, Desenvolvendo uma Consciência de Santidade, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Lições Bíblicas, 2º Trimestre de 2024, adultos, Tema, A CARREIRA QUE NOS ESTÁ PROPOSTA, O CAMINHO DA SALVAÇÃO, SANTIDADE E PERSEVERANÇA PARA CHEGAR AO CÉU, Coment Osiel Gomes, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, de Almeida Silva, tel-What, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique, https://ebdnatv.blogspot.com/
CIDADANIA E PROFISSIONALIDADE 4 - PROCESSOS IDENTITÁRIOS.pptxMariaSantos298247
O presente manual foi concebido como instrumento de apoio à unidade de formação de curta duração – CP4 – Processos identitários, de acordo com o Catálogo Nacional de Qualificações.
Livro de conscientização acerca do autismo, através de uma experiência pessoal.
O autismo não limita as pessoas. Mas o preconceito sim, ele limita a forma com que as vemos e o que achamos que elas são capazes. - Letícia Butterfield.
Projeto de articulação curricular:
"aLeR+ o Ambiente - Os animais são nossos amigos" - Seleção de poemas da obra «Bicho em perigo», de Maria Teresa Maia Gonzalez
proposta curricular para educação de jovens e adultos- Língua portuguesa- anos finais do ensino fundamental (6º ao 9º ano). Planejamento de unidades letivas para professores da EJA da disciplina língua portuguesa- pode ser trabalhado nos dois segmentos - proposta para trabalhar com alunos da EJA com a disciplina língua portuguesa.Sugestão de proposta curricular da disciplina português para turmas de educação de jovens e adultos - ensino fundamental. A proposta curricular da EJa lingua portuguesa traz sugestões para professores dos anos finais (6º ao 9º ano), sabendo que essa modalidade deve ser trabalhada com metodologias diversificadas para que o aluno não desista de estudar.
1. 1
Princ´ıpio de An´alise
Exerc´ıcios de Matem´atica
David Armando Zavaleta Villanueva
Durante a elabora¸c˜ao deste trabalho
o autor recebeu aux´ılio financeiro da FAPERN.
2. Pref´acio
Estas notas foram escritas durante os dois anos de experiˆencia lecionando a disciplina
an´alise para o curso de bacharelado em matem´arica no departamento de Matem´atica da UFRN.
A publica¸c˜ao desta apostila foi financiada totalmente pela FAPERN.
1
6. Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
Este livro ser´a um verdadeiro ajudante para resolver alguns problemas de an´alise. Ele foi
escrito fundamentado na experiˆencia do ensino da disciplina de an´alise do curso de bacharelado
em matem´atica da UFRN.
No come¸co de cada cap´ıtulo damos as defini¸c˜oes necess´arias e uma breve teoria. O material
te´orico ilustra-se com um grande n´umero de exemplos e problemas de diferentes dificuldades.
No poss´ıvel, os tipos de problema e met´odos de sua solu¸c˜ao s˜ao sistematizados. Em Cada final
de cap´ıtulo propoem-se exerc´ıcios que podem ser resolvidos usando os m´etodos apresentados
anteriormente.
5
7. Cap´ıtulo 2
Preliminares
2.1 Elementos da Teoria de Conjuntos
2.1.1 Defini¸c˜oes Principais
A defini¸c˜ao de conjunto desempenha um papel importante na matem´atica. A id´eia de
conjunto ´e intuitiva e t˜ao amplia que resulta dif´ıcil dar uma defini¸c˜ao exata, motivo pela qual,
´e comum associar a palavra ”conjunto” com expres˜oes como cole¸c˜ao, classe, sistema,etc.
Designemos os conjuntos com letras mai´usculas: A, B, C, . . . e seus elementos com letras
min´usculas:a, b, c, . . .. Dizer que o elemento a pertence ao conjunto A, denotamos por a ∈ A,
se o elemento a n˜ao pertence ao conjunto A, denotamos por a /∈ A.
Defini¸c˜ao 2.1.1 Dizemos que um conjunto A ´e subconjunto de B ou A ´e parte de B quando
todos os elementos que pertencem a A, tamb´em pertencem a B(n˜ao esta excluido o caso A = B).
A nota¸c˜ao que usamos para dizer que A ´e subconjunto de B ´e A ⊂ B. Dizemos que dois
conjuntos A e B s˜ao iguais se;
A = B ⇐⇒ A ⊂ B e B ⊂ A
´E muito conveniente introduzir um conjunto que n˜ao possua nenhum elemento, que denotaremos
por ∅. Assim por exemplo o conjunto, cujos elementos x ∈ R satisfazem 1 + x2
= 0 ´e um um
conjunto vazio, pois n˜ao existe nenhum n´umero real que satisfaza a equa¸c˜ao 1 + x2
= 0.
O conjunto vazio ∅ ´e um subconjunto de qualquer conjunto.
2.1.2 Opera¸c˜oes sobre Conjuntos
Admitamos a existˆencia de um a um conjunto universo U, isto ´e, o conjunto que contenha
todos os conjuntos arbitr´arios com os quais desejamos trabalhar.
1. Reuni˜ao de Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos arbitr´arios; chama-se reuni˜ao de A e B, A ∪ B ao conjunto
formado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos A ou B. Em
nota¸c˜ao matem´atica podemos escrever a reuni˜ao de A e B como sendo o conjunto
A ∪ B = {x ∈ U; x ∈ A ou x ∈ B}.
6
8. A B
A U B
Analogamente podemos definir a reuni˜ao de qualquer n´umero (finito ou infinito) de con-
juntos; se Aα, α ∈ I, onde I = 1, 2, 3, . . . s˜ao conjuntos arbitr´arios, ent˜ao ∪α∈IAα ´e a
cole¸c˜ao de elementos, cada um dos quais pertence ao menos a um dos conjuntos Aα.
2. Interse¸c˜ao de Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos arbitr´arios; chama-se interse¸c˜ao de A e B, A∩B ao conjunto
formado pelos elementos que pertencem tanto ao conjunto A como ao conjunto B. Em
nota¸c˜ao matem´atica podemos escrever a interse¸c˜ao de A e B como sendo o conjunto
A ∩ B = {x ∈ U; x ∈ A e x ∈ B}.
Analogamente podemos definir a interse¸c˜ao de qualquer n´umero (finito ou infinito) de
conjuntos; se Aα, α ∈ I, onde I = 1, 2, 3, . . . s˜ao conjuntos arbitr´arios, ent˜ao ∩α∈IAα
´e a cole¸c˜ao de elementos, cada um dos quais pertence aos conjuntos Aα. Uma no¸c˜ao
importante na interse¸c˜ao de conjuntos ´e a defini¸c˜ao de conjuntos disjuntos: Diz-se que
dois conjuntos A e B s˜ao conjuntos disjuntos quando sua interse¸c˜ao ´e vazia, ou de outra
forma A ∩ B = ∅.
Evidentemente, podemos estender esta defini¸c˜ao para uma fam´ılia de conjuntos disjuntos:
Uma fam´ılia de conjuntos Aα ´e dita de conjuntos disjuntos se ∩α∈IAα = ∅.
3. Diferen¸ca de dois Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos arbitr´arios; chama-se diferen¸ca de A e B, AB ao conjunto
formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A mas n˜ao pertencem ao conjunto B.
Em nota¸c˜ao matem´atica podemos escrever a diferen¸ca de A e B como sendo o conjunto
AB = {x ∈ U; x ∈ A e x /∈ B}.
´E conveniente introduzir tamb´em a chamada diferen¸ca sim´etrica de dois conjuntos. Sejam
A e B dois conjuntos arbitr´arios; chama-se diferen¸ca sim´etrica de A e B, A B ao conjunto
7
10. formado pelo uni˜ao das diferen¸cas AB e BA. Em nota¸c˜ao matem´atica podemos escrever
a diferen¸ca sim´etrica de A e B como sendo o conjunto
A B = (AB) ∪ (BA).
A B
Figura 2.3: A B
4. Complementar de um Conjunto
Seja A um conjunto arbitr´ario. O complementar de A, A ´e o conjunto diferen¸ca UA.
No caso do complementar entre dois conjuntos, definimos da seguinte forma; Sejam A e
B dois conjuntos tais que A ⊂ B; chama-se conjunto complementar de A em B, CAB
definido por
BA = CAB.
Na teoria dos conjuntos e suas aplica¸c˜oes desempenha uma ferramenta muito importante
o chamado Pr´ıncipio de Dualidade ou Leis de De Morgan que se baseiam nas seguintes
afirma¸c˜oes:
• O complementar da reuni˜ao ´e igual a interse¸c˜ao dos complementares
α
Aα =
α
(Aα) .
• O complementar da interse¸c˜ao ´e igual a uni˜ao dos complementares
α
Aα =
α
(Aα) .
9
11. 2.1.3 Produto Cartesiano
Pelo conceito de igualdade de conjuntos, a ordem em que os elementos de um conjunto s˜ao
enumerados n˜ao ´e muito importante, por exemplo os conjuntos {2, 5, 7} e {5, 7, 2} s˜ao iguais.
Entretanto h´a alguns casos em matem´atica em que a ordem dos elementos ´e importante. Um
desses conceitos ´e o denominado par ordenado.
Defini¸c˜ao 2.1.2 Dados dois elementos a e b. O par ordenado (a, b) ´e definido quando fica
determinado que a ser´a o primeiro elemento e b o segundo elemento.
Por exemplo em Geometria Anal´ıtica o par ordenado (2, 5) indica que 2 ´e a primeira coordenada
e 5 a segunda coordenada, e ´e diferente do par ordenado (5, 2).
Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) s˜ao iguais quando;
(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c e b = d.
Defini¸c˜ao 2.1.3 Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano dos conjuntos A e B ´e o
conjunto A × B definido como
A × B = {(a, b); a ∈ A e b ∈ B}.
Exemplo 2.1 Consideremos os conjuntos A = {2, 5, 8} e B = {3, 9}. Teremos ent˜ao;
A × B = {(2, 3), (2, 9), 5, 3), (5, 9), (8, 3), (8, 9)}.
2.1.4 Conjuntos Finitos e Infinitos
Quando consideramos diferentes conjuntos, podemos determinar seus elementos ou indicar
a propriedade que satisfazem seus elementos, assim, em alguns casos podemos indicar o n´umero
de elementos que compoem o conjunto. Por exemplo, o conjunto dos alunos da disciplina de
an´alise da UFRN, o conjunto dos sortudos da loteria federal, o conjunto dos campe˜oes mundias
de futebol, etc. Todos estes exemplos s˜ao conjuntos finitos.
Podemos comparar entre si dois conjuntos finitos da seguinte forma; contamos os elementos
do primeiro conjunto e o comparamos com os elementos do segundo conjunto. No caso de ser
igual o n´umero de elementos dos dois conjuntos, podemos estabelecer uma correspondˆencia
biun´ıvoca, isto ´e, estabelecer uma correspondˆencia que asigne a cada elemento de um conjunto
um elemento e somente um elemento do outro ou visceversa. Por exemplo, para verificar se o
n´umero de ciclistas e o n´umero de bicicletas ´e igual, podemos sem contar o n´umero de ciclistas
e bicicletas sentar cada ciclista em uma bicicleta determinada. Se todos os ciclistas est˜ao
sentados em sua respectiva bicicleta e n˜ao h´a bicicleta sobrando, ent˜ao estabelecemos uma
correspondˆencia biun´ıvoca entre estes dois conjuntos, e isto significa que eles tˆem o mesmo
n´umero de elementos.
Dizemos que um conjunto ´e infinito quando nunca paramos de contar seus elementos ou
quando ele n˜ao ´e finito. Assim, dado um conjunto finito arbitr´ario A, dizemos que B ´e infinito
se n˜ao existe uma correspondˆencia biun´ıvoca entre A e B. Exemplos de conjuntos infinitos
podem ser o conjunto de retas no plano, o conjunto de polinˆomios com coeficientes racion´ais, o
conjunto de pontos entre a linha AB, etc.
Proposi¸c˜ao 2.1.1 Todo subconjunto de um conjunto finito ´e finito.
10
12. Prova: Sejam A o conjunto finito e B um subconjunto qualquer de A, B ⊂ A.
Suponhamos A = ∅, caso contr´ario, ∅ ⊂ B, pois o conjunto vazio ´e subconjunto de qualquer
conjunto. Mas como B ⊂ A ou A ⊂ ∅, segue que B = ∅ e B ´e finito.
Como A ´e finito, podemos contar seus elementos, isto ´e, podemos estabelecer uma corre-
spondˆencia biun´ıvoca com o conjunto {1, 2, . . . , n}, e como B ⊂ A, existe uma correspondˆencia
biun´ıvoca entre o conjunto B e o conjunto {l1, l2, . . . , lk}, onde k = 1, 2, . . . , n. Assim, B ´e
finito.
2.1.5 Conjuntos Enumer´avies
Seja N o conjunto dos n´umeros naturais. ´E f´acil de ver, que se o conjunto A ´e finito, ent˜ao
´e enumer´avel, pois podemos escrever A como A = {a1, a2, . . . , an}. Em geral, dizemos que
um conjunto ´e enumer´avel se existe uma correspondˆencia biun´ıvoca entre ele e o conjunto dos
n´umeros naturais. Em otras palavras, um conjunto enumer´avel ´e um conjunto cujos elementos
podemos escrever como uma sequˆencia, a1, a2, . . . , an, . . ..
Enunciemos algumas propriedades gerais dos conjuntos enumer´aveis.
Proposi¸c˜ao 2.1.2 Todo subconjunto de um conjunto enumer´avel ´e finito ou enumer´avel.
Prova: Sejam A um conjunto enumer´avel e B um subconjunto qualquer de A. Podemos
escrever A como A = {a1, a2, . . . , an, . . .}. E seja B = {an1 , an2 , an3 , . . .}. Se o m´aximo dos nk
´e um n´umero finito, dizemos que o conjunto B ´e finito e portanto enumer´avel. Caso contr´ario,
dizemos que B ´e enumer´avel.
Proposi¸c˜ao 2.1.3 A uni˜ao de qualquer fam´ılia de conjuntos enumer´aveis ´e enumer´avel.
Prova: Seja Aα, α = 1, 2, 3, . . . , uma fam´ılia de conjuntos enumer´aveis disjuntos dois a dois,
pois, caso contr´ario podemos considerar os conjuntos A1, A2A1, A3(A2 ∪ A1), . . . cuja uni˜ao ´e
igual ´a α Aα. Como os Aα s˜ao enumer´aveis, ent˜ao podemos escrever;
A1 = {a11, a12, . . . , a1n, . . .}
A2 = {a21, a22, . . . , a2n, . . .}
A3 = {a31, a32, . . . , a3n, . . .}
...
An = {an1, an2, . . . , ann, . . .}
...
Agora passemos a enumerar todos os elementos da uni˜ao α Aα em ”diagonais” da seguinte
forma; Tomemos o primeiro elemento a11, o segundo elemento a12, o terceiro elemento a21, o
quarto elemento a31, etc., seguindo o sentido das setas que indicam o seguinte gr´afico;
Desta forma, cada elemento de cada conjunto estar´a em correspondˆencia com um n´umero
natural determinado, assim fica estabelecido uma correspondˆencia viun´ıvoca entre α Aα e o
conjunto dos n´umeros naturais. Para uma maior vizualiza¸c˜ao, podemos escrever α Aα, como
α
Aα = {a11, a12, a21, a31, a22, a13, . . .}
.
11
13. a a
a a
a a a
a a
aa
a
a
a
a
a
aa
a a
11 12 13 14
a
a
a
a
a
15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
2.2 Fun¸c˜oes
No an´alise, o conceito de fun¸c˜ao ´e introduzido da seguinte maneira: Sejam A e B dois
conjuntos arbitr´arios. Diz-se que no conjunto A est´a definida uma fun¸c˜ao f com valores em B
se a cada elemento x ∈ A corresponde um, e somente um elemento y ∈ B.
A nota¸c˜ao que usaremos para denotar que f ´e uma fun¸c˜ao de A em B ´e a seguinte;
f : A → B
x → f(x)
a nota¸c˜ao x → f(x) ´e para indicar que f faz corresponder o elemento x ao elemento f(x).
Defini¸c˜ao 2.2.1 O conjunto A chama-se dom´ınio da fun¸c˜ao e o conjunto B chama-se con-
tradom´ınio da fun¸c˜ao e os definiremos como
Df = {x ∈ A; f(x) = y para alg´um y ∈ B}
e
Im(f) = {y ∈ B; ∃x ∈ A tal que f(x) = y}
respectivamente.
Defini¸c˜ao 2.2.2 Uma fun¸c˜ao f : A → B chama-se injetiva se verificamos o seguinte: dados
x, y ∈ A, f(x) = f(y) segue que x = y.
Defini¸c˜ao 2.2.3 Uma fun¸c˜ao f : A → B chama-se sobrejetiva se verificamos que Im(f) = B,
ou em outras palavras, para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A, tal que f(x) = y.
´E conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f ´e uma fun¸c˜ao do conjunto A ”sobre”
o conjunto B se f(A) = B; no caso geral, quando f(A) ⊂ B, dizemos que f ´e uma fun¸c˜ao de
A ”em” B.
Defini¸c˜ao 2.2.4 Uma fun¸c˜ao f : A → B chama-se bijetiva quando ´e simultaneamente injetiva
e sobrejetiva.
12
14. No cap´ıtulo 5 faremos um estudo mais profundo sobre fun¸c˜oes. A pequena introdu¸c˜ao feita
acima ser´a ´util para mostrar algumas propriedades dos n´umeros naturais, inteiros, racionais e
reais.
13
15. Cap´ıtulo 3
N´umeros Reais
3.1 N´umeros Naturais
Nesta se¸c˜ao estabeleceremos a defini¸c˜ao de n´umero natural. Suponhamos a existˆencia de um
conjunto n˜ao vazio N, chamado de n´umeros naturais, para o qual valem os seguintes axiomas
de Peano:
1. 1 ´e um n´umero natural
2. Cada n´umero natural n possui um ´unico sucessor, que denotaremos por n , n = n + 1.
3. O n´umero natural 1 n˜ao ´e sucessor de nenhum outro n´umero natural, 1 = n .
4. Se n e s s˜ao n´umeros naturais tais que n = s , ent˜ao n = s.
5. Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Seja A(n) uma afirma¸c˜ao sobre n ∈ N, que cumpra as
seguintes condi¸c˜oes:
• A(1) ´e verdadeira, isto ´e, a afirma¸c˜ao vale quando n = 1
• Se A(k) ´e verdadeira, ent˜ao A(k+1) ´e verdadeira, isto ´e, supondo que a afirma¸c˜ao vale
para n = k arbitr´ario, ent˜ao ´e poss´ıvel provar qua a afirma¸c˜ao vale para n = k + 1.
Nestas condi¸c˜oes a afirma¸c˜ao A(n) ´e verdadeira para qualquer n ∈ N.
Observa¸c˜ao 3.1.1 Para todo n ∈ N, n ≥ 1.
Definem-se em N duas opera¸c˜oes: Adi¸c˜ao (+) e Multiplica¸c˜ao (·). Estas duas opera¸c˜oes satis-
fazem as seguintes propriedades:
• Comutatividade: Sejam n, m ∈ N, ent˜ao
n + m = m + n, e n · m = m · n.
14
16. • Associatividade: Sejam n, m, s ∈ N, ent˜ao
n + (m + s) = (n + m) + s, e n(m · s) = (n · m)s.
• Lei do corte: Sejam n, m, s ∈ N, se
n + s = m + s, ent˜ao n = s, n · s = m · s, ent˜ao n = m.
• Distributibidade: Sejam n, m, s ∈ N, ent˜ao
n · (m + s) = n · m + n · s.
Usemos o pr´ıncipio de indu¸c˜ao para mostrar a veracidade de algumas f´ormulas que
aparecem no conjunto dos n´umeros naturais N.
Exemplo 3.1 Verifique a seguinte f´ormula
1
1 × 2
+
1
2 × 3
+
1
3 × 4
+ . . . +
1
n × (n + 1)
=
n
n + 1
, ∀n ∈ N.
Prova: Escrevamos os termos
1
n × (n + 1)
da seguinte forma:
1
1 × 2
= 1 −
1
2
,
1
2 × 3
=
1
2
−
1
3
,
1
3 × 4
=
1
3
−
1
4
, . . . ,
n
n × (n + 1)
=
1
n
−
1
n + 1
.
Ent˜ao,
1
1 × 2
+
1
2 × 3
+
1
3 × 4
+ . . . +
1
n × (n + 1)
=
= 1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+ . . . +
1
n
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
=
n
n + 1
.
Usemos indu¸c˜ao para provar a f´ormula acima. Seja P(n) a afirma¸c˜ao
1
1 × 2
+
1
2 × 3
+
1
3 × 4
+ . . . +
1
n × (n + 1)
=
n
n + 1
, ∀n ∈ N.
• A proposi¸c˜ao vale para n = 1, isto ´e, P(1) ´e verdadeira,
1
1 × 2
=
1
1 + 1
.
• Suponhamos que a afirma¸c˜ao P(k) ´e verdadeira, e mostremos que P(k + 1) ´e verdadeiro.
De fato,
1
1 × 2
+
1
2 × 3
+
1
3 × 4
+ . . . +
1
k × (k + 1)
+
1
(k + 1) × (k + 2)
=
=
k
k + 1
+
1
(k + 1) × (k + 2)
=
(k + 1)2
(k + 1) × (k + 2)
=
k + 1
k + 2
.
15
17. • Logo P(n) ´e verdadeira para todo n ∈ N.
Exemplo 3.2 Seja P(n) a seguinte afirma¸c˜ao,
n3
− n ´e m´ultiplo de trˆes, ∀n ∈ N.
Prova: Apliquemos de novo o m´etodo de indu¸c˜ao.
• A proposi¸c˜ao vale para n = 1, isto ´e, P(1) ´e verdadeira, 13
− 1 = 0 ´e m´ultiplo de 3.
• Suponhamos que a afirma¸c˜ao P(k) ´e verdadeira, e mostremos que P(k + 1) ´e verdadeiro.
De fato,
(k + 1)3
− (k + 1) = k3
+ 3k2
+ 3k + 1 − k − 1
= k3
+ 3k2
+ 2k
= k3
+ 3k2
− k + 3k
= k3
− k + 3(k2
+ k),
como k3
− k ´e multiplo de trˆes e 3(k2
+ k) tamb´em, ent˜ao a soma de dois m´ultiplos de
trˆes tamb´em ´e m´ultiplo de trˆes.
• Logo P(n) ´e verdadeira para todo n ∈ N.
Exemplo 3.3 Seja P(n) a seguinte afirma¸c˜ao,
1 + 2 + 3 + . . . + n =
n(n + 1)
2
∀n ∈ N.
Prova: Por indu¸c˜ao, temos
• A proposi¸c˜ao vale para n = 1, isto ´e, P(1) ´e verdadeira, 1 =
1(1 + 1)
2
• Suponhamos que a afirma¸c˜ao P(k) ´e verdadeira, e mostremos que P(k + 1) ´e verdadeiro.
De fato,
1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) =
k(k + 1)
2
+ (k + 1)
=
k(k + 1) + 2(k + 1)
2
=
(k + 1)[k + 2]
2
=
(k + 1)[(k + 1) + 1]
2
.
• Logo P(n) ´e verdadeira para todo n ∈ N.
Exemplo 3.4 Seja P(n) a seguinte afirma¸c˜ao,
2n
> n2
, ∀n ≥ 5.
Prova: Por indu¸c˜ao, temos
16
18. • A proposi¸c˜ao vale para n = 5, isto ´e, P(5) ´e verdadeira, 25
= 32 > 52
= 25.
• Suponhamos que a afirma¸c˜ao P(k) ´e verdadeira, e mostremos que P(k + 1) ´e verdadeiro,
isto ´e, 2k+1
> (k + 1)2
. De fato, escrevendo 2k+1
= 2 × 2k
> 2k2
, basta provar que
2k2
≥ (k + 1)2
.
Assim,
2k2
≥ (k + 1)2
= k2
+ 2k + 1 ⇐⇒ k2
≥ 2k + 1 ⇐⇒
⇐⇒ k2
− 2k + 1 ≥ 2 ⇐⇒ (k − 1)2
≥ 2
que vale para k ≥ 5.
• Logo P(n) ´e verdadeira para todo n ∈ N.
Teorema 3.1.1 N ´e fechado com rela¸c˜ao a adi¸c˜ao.
Prova: dizer que N ´e fechado com rela¸c˜ao a adi¸c˜ao, significa que ∀n, m ∈ N, n + m ∈ N.
Consideremos o seguinte conjunto,
M = {n ∈ N; n + m ∈ N, ∀m ∈ N}.
Usemos o pr´ıncipio de indu¸c˜ao para mostrar o teorema.
De fato, observamos que 1 ∈ N, pois m + 1 ∈ N desde que m ∈ N.
Suponhamos que n ∈ N. Ent˜ao mostremos que para m ∈ N, temos n + m ∈ N.
(n + 1) + m = 1 + (n + m) = (n + m) + 1 ∈ N,
assim, n + 1 ∈ M e isto mostra que M = N.
Teorema 3.1.2 N ´e fechado com rela¸c˜ao a multiplica¸c˜ao.
Prova: Consideremos o seguinte conjunto,
M = {n ∈ N; nm ∈ N, ∀m ∈ N}.
Usemos o pr´ıncipio de indu¸c˜ao para mostrar o teorema.
De fato, observamos que 1 ∈ N, pois 1m = m ∈ N desde que m ∈ N.
Suponhamos que n ∈ N e fixemos m ∈ N. Ent˜ao mostremos que nm ∈ N.
(n + 1)m = mn + m,
como n ∈ M, nm ∈ N e pela fechadura da adi¸c˜ao em N, temos que nm + 1 ∈ N, assim,
n + 1 ∈ M e isto mostra que M = N.
Definimos no conjunto N a rela¸c˜ao < da seguinte forma: Dados dois n´umeros naturais
n, m, a desigualdade n < m significa que existe s ∈ N tal que n + s = m. Dizemos neste caso
que n ´e menor que m. Quando escrevemos n ≤ m significa que n < m ou n = m. Esta rela¸c˜ao
de ”ordem” tˆem as seguintes propriedades:
17
19. 1. Tricotomia: Dados n, m ∈ N, vale uma e somente uma, das seguintes afirma¸c˜oes:
n = m, ou n < m, ou m < n.
2. Monotonicidade: Dados n, m, s ∈ N e n < m, ent˜ao
n + s < m + s e sn < sm.
3. Transitividade: Dados n, m, s ∈ N e n < m, m < s, ent˜ao n < s.
A rela¸c˜ao de ordem tamb´em possui uma propriedade muito importante, chamada princ´ıpio
da boa ordena¸c˜ao,
Propriedade da boa ordena¸c˜ao. Todo subconjunto n˜ao vazio de N possui um menor
elemento, isto significa que se M ⊂ N ´e um conjunto, existe mo ∈ M tal que mo ≤ m para todo
m ∈ M.
O sistema dos n´umeros naturais apresenta uma deficiˆencia natural: dada uma equa¸c˜ao da
forma m + x = n com n, m ∈ N, esta equa¸c˜ao n˜ao sempre possui uma solu¸c˜ao em N. Por
exemplo a equa¸c˜ao 4 + x = 9 tem como solu¸c˜ao x = 5 ∈ N, mas, a equa¸c˜ao 6 + x = 4 n˜ao tem
solu¸c˜ao no conjunto dos n´umeros naturais.
3.2 N´umeros Inteiros
Nem sempre equa¸c˜oes da forma n + x = m possuem solu¸c˜ao em N dados n, m ∈ N. Esta
dificuldade pode ser ”resolvida” se ampliarmos o conjunto dos naturais N para um conjunto
maior onde possamos resolver equa¸c˜oes do tipo acima. Assim, podemos construir o conjunto
dos n´umeros inteiros Z como o conjunto que cont´em o conjunto dos n´umeros naturais, e no
qual est˜ao definidas as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao herdadas de N. Al´em disto:
• Z possui um elemento neutro chamado zero, que denotaremos por 0, com a seguinte
propriedade, n + 0 = 0 + n = n, ∀n ∈ Z.
• Toda equa¸c˜ao da forma n + x = m admite uma ´unica solu¸c˜ao em Z, para quaisquer
n, m ∈ Z.
Como antes, o elemento 1 ∈ N ´e o elemento neutro com rela¸c˜ao a multiplica¸c˜ao em Z, isto
´e, dado m ∈ Z, 1m = m1 = m.
Assim podemos entender o conjunto dos inteiros como sendo Z = N ∪ {0} ∪ (−N), ou seja,
Z = N − N = {n − m; n, m ∈ N} = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Proposi¸c˜ao 3.2.1 O conjunto dos n´umeros inteiros Z ´e enumer´avel.
Prova: Basta estabelecer uma correspondˆencia entre todos os n´umeros inteiros e todos os
n´umeros naturais. Por exemplo, o seguinte esquema estabelece essa correspondˆencia;
0 −1 1 −2 2 . . .
1 2 3 −4 5 . . .
18
20. Em geral, podemos escrever explicitamente essa correspondˆencia como uma fun¸c˜ao f : Z → N
bijetora da seguinte forma;
f(n) =
2n + 1, se n ≥ 0,
2|n|, se n < 0.
O sistema dos n´umeros inteiros apresenta uma deficiˆencia ´obvia; dada uma equa¸c˜ao da
forma mx = n com n, m ∈ Z, n˜ao sempre possui uma solu¸c˜ao em Z. Por exemplo a equa¸c˜ao
3x = 9 tem como solu¸c˜ao x = 3 ∈ Z, mas, a equa¸c˜ao 6x = 4 n˜ao tem solu¸c˜ao no conjunto dos
n´umeros inteiros.
3.3 N´umeros Racionais
Como vimos na se¸c˜ao anterior, nem sempre equa¸c˜oes da forma nx = m possuem solu¸c˜ao em
Z dados n, m ∈ Z. Esta dificuldade pode ser ”suprida” se ampliarmos o conjunto dos inteiros
Z para um conjunto maior onde possamos resolver equa¸c˜oes do tipo acima. Assim, podemos
construir o conjunto dos n´umeros racionais Q como o conjunto que cont´em o conjunto dos
n´umeros inteiros, isto ´e,
Q = {
m
n
; m, n ∈ Z, n = 0}.
Uma fra¸c˜ao da forma m/1 pode ser identificada com o inteiro m. Esta identifica¸c˜ao, permite
dizer que Q cont´em Z como um subconjunto pr´oprio, isto ´e,
N ⊂ Z ⊂ Q.
Definimos as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e igualdade em Q da seguinte forma:
• Adi¸c˜ao:
m
n
+
s
t
=
ms + nt
nt
, n = 0, t = 0.
• multiplica¸c˜ao:
m
n
·
s
t
=
ms
nt
, n = 0, t = 0.
• Igualdade:
m
n
=
s
t
⇐⇒ mt = ns, n = 0, t = 0.
Al´em de satisfazer as propriedades associativa, comutativa e existˆencia dos elementos neutros
(0 para a adi¸c˜ao e 1 para a multiplica¸c˜ao), Q satisfaz as propriedades de existˆencia do elemento
inverso aditivo e do inverso multiplicativo, isto ´e, se p ∈ Q, ent˜ao −p ∈ Q, e 1/p ∈ Q com,
p + (−p) = 0, p(1/p) = 1.
Podemos definir um subconjunto Q+ em Q como sendo,
Q+ = {
m
n
; mn ∈ N},
isto ´e o subconjunto dos racionais positivos. Este conjunto possui as seguintes propriedades:
1. Q+ ´e fechado com rela¸c˜ao as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao em Q, isto ´e,
p, q ∈ Q+, ent˜ao p + q, pq ∈ Q+.
19
21. 2. Dado p ∈ Q, temos que uma das afirma¸c˜oes a seguir ´e verdadeira:
ou p = 0 ou p ∈ Q+ ou − p ∈ Q+.
A rela¸c˜ao de ordem < introduzida em Q : p < q se q − p ∈ Q+, generaliza a rela¸c˜ao de
ordem introduzida em Z que por sua vez generalizou a rela¸c˜ao de ordem introduzida em N.
Teorema 3.3.1 O conjunto Q ´e fechado com rela¸c˜ao as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao.
Q, munido das opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao e satisfazendo
os axiomas da rela¸c˜ao de ordem constitui um corpo ordenado.
A seguir mostremos trˆes propriedades importantes de Q.
Proposi¸c˜ao 3.3.1 Se p e q s˜ao n´umeros racionais, tais que p < q, ent˜ao podemos encontrar
infinitos n´umeros racionais entr e p e q.
Prova Sendo p < q, podemos escolher um n´umero racional r =
q − p
n
, onde n ∈ N. Os
n´umeros racionais
p + r, p + 2r, . . . , p + (n − 1)r
est˜ao entre p e q, e como n ´e um n´umero natural qualquer, segue a afirma¸c˜ao. Em particular
se n = 2, temos
p <
p + q
2
< q.
Proposi¸c˜ao 3.3.2 (Propriedae Arquimediana de Q) Se p e q s˜ao dois n´umeros racionais
positivos, existe um inteiro positivo n tal que np > q.
Prova: Sejam p =
m
r
e q =
s
t
Suponhamos que m, r, s, t sejam maiores ou iguais a 1, pois p
e q s˜ao positivos. Segue, ent˜ao que mt ≥ 1 ou 2mt ≥ 2 > 1. Multiplicando esta desigualdade
por rs, temos, 2mtrs > rs. Reescrevendo esta desigualdade por (2rs)p > q, e considerando
n = 2rs, obtemos np > q.
Proposi¸c˜ao 3.3.3 O conjunto dos n´umeros racionais Q ´e enumer´avel.
Prova: Seja α =
p
q
, q > 0 um n´umero racional arbitr´ario. Para evitar n´umeros repetidos
digamos que α seja irredut´ıvel. Chamaremos de altura do n´umero racional α a soma |p|+q. Da
defini¸c˜ao de altura, observamos que o n´umero de fra¸c˜oes de altura dada ´e finita. Por exemplo
a altura 3 tˆem 4 fra¸c˜oes:
2
1
,
1
2
,
−2
1
,
−1
2
. Agora podemos organizar todos os n´umeros racionais
segundo sua altura, isto ´e, primeiro os n´umeros de altura 1, depois os n´umeros de altura 2, etc.
Desta forma cada n´umero racional possui seu n´umero, e isto significa que est´a estabelecida uma
correspondˆencia biun´ıvoca entre N e o conjunto dos n´umeros racionais Q.
20
22. 3.3.1 Supremo e ´Infimo de um Conjunto em Q
Para mostrar algumas deficiˆencias alg´ebricas do conjunto Q dos n´umeros racionais, intro-
duziremos algumas defini¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 3.3.1 Um subconjunto E de Q ´e dito limitado se existe um n´umero positivo M tal
que −M < x < M para todo x ∈ E.
Se para qualquer n´umero positivo M, existe xo ∈ E tal que xo > M, ent˜ao dizemos que o
conjunto E ´e ilimitado.
Defini¸c˜ao 3.3.2 Um subconjunto E de Q ´e dito limitado superiormente se existe um n´umero
M tal que x ≤ M para todo x ∈ E.
Um n´umero M nas condi¸c˜oes da defini¸c˜ao anterior chama-se cota superior. ´E claro que n´umeros
maiores que M tamb´em s˜ao cotas superiores para E.
Defini¸c˜ao 3.3.3 Um subconjunto E de Q ´e dito limitado inferiormente se existe um n´umero
K tal que x ≥ K para todo x ∈ E.
Um n´umero K nas condi¸c˜oes da defini¸c˜ao anterior chama-se cota inferior. ´E claro que n´umeros
menores que K tamb´em s˜ao cotas inferiores para E.
´E evidente que um conjunto limitado E ⊂ Q ´e simultaneamente limitado inferiormente e
superiormente.
Defini¸c˜ao 3.3.4 Diz-se que α ∈ Q ´e um elemento m´ınimo(m´aximo) de E ⊂ Q se ´e uma cota
inferior(superior) e al´em disso α ∈ E.
Defini¸c˜ao 3.3.5 Diz-se que o n´umero β ∈ Q ´e o supremo de um conjunto limitado superior-
mente E ⊂ Q se ´e a menor das cotas superiores e al´em disso esse m´ınimo existe. Em outras
palavras, β = sup E satisfaz,
1. β ´e uma cota superior para E, e
2. Se σ ´e outra cota superior para E, ent˜ao β ≤ σ.
Esta segunda condi¸c˜ao pode ser substituida por;
(a) Se dado ε > 0 arbitr´ario, ent˜ao existe x ∈ E tal que β − < x.
´E de verifica¸c˜ao imediata de que o supremo de um conjunto limitado superiormente, quando
existe ´e ´unico, isto ´e,
Proposi¸c˜ao 3.3.4 Se um conjunto E ⊂ Q ´e limtado superiormente e possui supremo, ele ´e
´unico.
Prova: Sejam β1 e β2 dois supremos de E. Para qualquer ε > 0 obtem-se de 2(a) que
β1 − ε < x para algum x ∈ E. E por defini¸c˜ao de supremo, x ≤ β2, ent˜ao β1 − ε < β2, isto
´e, β1 < β2 + ε. Isto significa que β1 ≤ β2. De maneira an´aloga, trocando β1 e β2, obtemos
β2 ≤ β1. Portanto β1 = β2.
Analogamente define-se ´ınfimo de um subconjunto limitado inferiormente de Q.
21
23. Defini¸c˜ao 3.3.6 Diz-se que o n´umero α ∈ Q ´e o ´ınfimo de um conjunto limitado inferiormente
E ⊂ Q se ´e a maior das cotas inferiores e al´em disso esse m´aximo existe. Em outras palavras,
α = inf E satisfaz,
1. α ´e uma cota inferior para E, e
2. Se σ ´e outra cota inferior para E, ent˜ao α ≥ σ.
Esta segunda condi¸c˜ao pode ser substituida por;
(a) Se dado ε > 0 arbitr´ario, ent˜ao existe x ∈ E tal que β + > x.
´E de verifica¸c˜ao imediata de que o ´ınfimomo de um conjunto limitado inferiormente, quando
existe ´e ´unico, isto ´e,
Proposi¸c˜ao 3.3.5 Se um conjunto E ⊂ Q ´e limtado inferiormente e possui ´ınfimo, ele ´e ´unico.
Uma deficiˆencia grande do corpo dos racionais ´e dada pela seguinte afirma¸c˜ao,
Proposi¸c˜ao 3.3.6 N˜ao existe um n´umero racional cujo quadrado seja igual a 2.
Prova: Seja r =
p
q
∈ Q, onde p e q s˜ao primos entre si, isto ´e MDC(p, q) = 1. Suponhamos que
p
q
2
= 2, ent˜ao p2
= 2q2
. Como todo n´umero racional multiplicado por 2 ´e par, resulta que p2
´e par, logo p ´e par e podemos escrever p = 2k, k ∈ Z. Portanto, de p2
= (2k)2
= 2 · 2k2
= 2q2
,
segue que 2k2
= q2
. Daqui concluimos que q ´e par. Absurdo, pois p e q s˜ao n´umeros primos.
Portanto n˜ao existe r ∈ Q tal que r2
= 2
O seguinte exemplo tamb´em explicita uma outra deficiˆencia dos num´eros racionais. Trata-se
de um conjunto E ⊂ Q que ´e limitado superiormente mas n˜ao possui supremo e de um conjunto
F ⊂ Q que ´e limitado inferiormente mas n˜ao possui ´ınfimo [1].
Exemplo 3.5
E = {x ∈ Q; x > 0 e x2
< 2}
E = {y ∈ Q; y > 0 e y2
> 2}
3.4 N´umeros Reais
J´a vimos na se¸c˜ao anterior duas deficiˆencias do corpo dos racionais: n˜ao existe um racional
cujo quadrado seja igual a 2 e existem conjuntos limitados superiormente que n˜ao possuem
supremo e conjuntos limitados inferiormente que n˜ao possuem ´ınfimo.
Vamos supor a existˆencia de um corpo ordenado que contenha propriamente Q, chamado
de corpo dos n´umeros reais R, para o qual vale o seguinte resultado, conhecido como cortes de
Dedekind [2].
Teorema 3.4.1 Se o conjunto R dos n´umeros reais ´e dividido em dois conjuntos n˜ao vazios
disjuntos, isto ´e,
R = A ∪ B, A ∩ B = ∅
tais que, todo a ∈ A ´e menor que qualquer b ∈ B, ent˜ao ou existe um n´umero c que ´e o maior
entre os n´umeros pertencentes a A e B n˜ao tem menor elemento, ou existe um n´umero c que
´e o menor entre todos os n´umeros prtencentes a B, e A n˜ao tem maior elemento.
22
24. Uma forma equivalente de expresar o teorema anterior ´e a afirma¸c˜ao seguinte;
Teorema 3.4.2 Todo subconjunto E ⊂ R limitado superiormente(inferiormente) pelo n´umero
M(m), possui supremo(´ınfimo).
Um corpo ordenado para o qual vale o teorema anterior, chama-se corpo ordenado completo.
Assim R ´e um corpo ordenado completo.
3.4.1 N´umeros irracionais
Defini¸c˜ao 3.4.1 Um n´umero chama-se irracional se n˜ao ´e racional.
A nota¸c˜ao que usamos para denotar os irracionais ´e RQ. Como Q e RQ s˜ao disjuntos, temos
que R = Q ∪ RQ. Na se¸c˜ao anterior vimos que
√
2 ´e um n´umero irracional. Existem infinitos
n´umeros irracionais, entre eles os mais famosos, o n´umero π e o n´umero neperiano e, etc.
Teorema 3.4.3 Se p ´e um n´umero primo positivo, ent˜ao
√
p ´e irracional.
Prova: Vamos supor que
√
p n˜ao seja irrational. Ent˜ao
√
p =
m
n
com MDC(m, n) = 1.
Elevando ao quadrado, temos p =
m
n
2
, ou seja n2
p = m2
. Como m e n s˜ao primos entre
si, segue que p m2
(p divide m2
) e portanto p m, ou seja m = pl. Substituindo m na igualdade
acima, temos n2
p = p2
l2
e simplificando obtemos n2
= pl2
. Isto significa que p n2
, portanto p n.
Segue portanto que p ´e um fator comum dos n´umeros m e n. Absurdo, pois MDC(m, n) = 1.
E isto mostra que
√
p ´e irracional.
3.4.2 Propriedade Arquimediana
A Propriedade Arquimediana apresentada nos n´umeros racionais tamb´em vale para o corpo
dos reais.
Teorema 3.4.4 Sejam a, b ∈ R com a > 0, ent˜ao existe um n ∈ N tal que na > b.
Prova: Vamos supor que an > b ´e falsa para algum n ∈ N, isto ´e, na ≤ b para todo n ∈ N.
Consideremos o seguinte conjunto E,
E = {na; n ∈ N}.
´E ´obvio que este conjunto ´e limitado superiormente, pela complete¸ca de R existe o supremo de
E, digamos α = sup E, ou seja na ≤ α para todo n ∈ N.
Pelo fato de N ser infinito, temos n ∈ N, segue que (n + 1) ∈ N, e portanto,
(n + 1)a ≤ α segue na ≤ α − a ∀n ∈ N.
Mas, α − a < α tamb´em ´e uma cota superior para E, ou que contradiz o fato que na ≤ b para
todo n ∈ N.
Agora estabeleceremos duas propriedades importantes do R: Q e RQ os conjuntos dos
racionais e irracionais respectivamente s˜ao conjuntos densos em R.
23
25. Proposi¸c˜ao 3.4.1 (Densidade dos Racionais em R) Sejam a e b dois n´umeros reais arbitr´arios
com a < b, ent˜ao existe um s ∈ Q tal que a < s < b.
Prova:
Proposi¸c˜ao 3.4.2 (Densidade dos Irracionais em R) Sejam a e b dois n´umeros reais ar-
bitr´arios com a < b, ent˜ao existe um ξ ∈ RQ tal que a < ξ < b.
Prova: Sejam a e b os n´umeros reais arbitr´arios com a < b. Ent˜ao a −
√
3 < b −
√
3.
Observamos que a −
√
3 e b −
√
3 s˜ao reais, ent˜ao pela proposi¸c˜ao anterior, existe um s ∈ Q tal
que
a −
√
3 < s < b −
√
3, ou a < s +
√
3 < b.
Escrevendo ξ = s +
√
3, temos a < ξ < b.
3.4.3 Valor Absoluto de um N´umero Real
A rela¸c˜ao de ordem definida em Q e estandida para R permite definir o valor absoluto ou
m´odulo de um n´umero x ∈ R, como sendo,
|x| =
x, se x ≥ 0
x, se x < 0
Em outras palavras, |x| = max{x, −x}.
Exemplo 3.6 Se x = 12, |x| = 12;
Se x = −7, |x| = | − 7| = −(−7) = 7.
Uma consequˆencia imediata da defini¸c˜ao de m´odulo de um n´umero ´e a seguinte afirma¸c˜ao
Lema 3.4.1 para qualquer n´umero real x, vale a seguinte rela¸c˜ao:
−|x| ≤ x ≤ |x|.
Prova: Analizemos dois casos;
1. Suponha que x ≥ 0. Ent˜ao x = |x| ≥ 0 e −|x| ≤ 0, e portanto
−|x| ≤ x ≤ |x|.
2. Suponha que x < 0. Ent˜ao |x| ≥ 0 e x < |x|. Como |x| = −x ou −|x| = x, segue que;
−|x| ≤ x ≤ |x|.
Mais geralmente, podemos observar que a desigualdade
|x| < ε
´e equivalente as duas desigualdades
−ε < x < ε, x, ε ∈ R.
Portanto a desigualdade
|x − y| < ε
´e equivalente as duas desigualdades
y − ε < x < y + ε, x, y, ε ∈ R.
O valor absoluto de um n´umero real satisfaz as seguintes propriedades:
24
26. Teorema 3.4.5 Para n´umeros reais arbitr´arios x, y, temos
1. |x| ≥ 0, para todo x, e |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
2. |xy| = |x||y| e
x
y
=
|x|
|y|
se y = 0.
3. |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdade triangular).
4. ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
Prova:
1. Se x ≥ 0 ent˜ao |x| = x, se x < 0, ent˜ao |x| = −x > 0. Em ambos casos |x| ≥ 0.
Se x = 0, |x| = x = 0 por defini¸c˜ao. Se x = 0, ent˜ao x < 0 ou x > 0. Se x < 0, ent˜ao
|x| = −x > 0, se x > 0, |x| = x > 0. Nestes dois casos temos |x| = 0.
2. Se um dos x ou y for nulo a igualdade na multiplica¸c˜ao ´e ´obvia. Suponhamos que x, y = 0.
Analizemos trˆes casos:
(a) x > 0 e y > 0; ent˜ao |x| = x e |y| = y, logo
|xy| = xy = |x||y|.
(b) x > 0 e y < 0; ent˜ao |x| = x e |y| = −y, logo
|xy| = x(−y) = |x||y|.
(c) x < 0 e y < 0; ent˜ao |x| = −x e |y| = −y, logo
|xy| = (−x)(−y) = |x||y|.
Para mostrar que
x
y
=
|x|
|y|
, escrevamos
x
y
= z, ent˜ao x = y · z. Usando o resultado
anterior, temos
|x| = |yz| = |y||z|, donde |z| =
|x|
|y|
ou
x
y
=
|x|
|y|
.
3. Como
−|x| ≤ x ≤ |x|,
tamb´em teremos
−|y| ≤ y ≤ |y|,
ent˜ao
−(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|.
Usando a forma equivalente destas desigualdades, obtemos
|x + y| ≤ |x| + |y|.
25
27. 4. Escrevamos |x| da seguinte forma;
|x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y| pela desigualdade triangular.
Assim
|x| − |y| ≤ |x − y|.
De forma similar, obtemos
|y| − |x| ≤ |x − y|, ou − (|x| − |y|) ≤ |x − y|.
Por defini¸c˜ao, ||x| − |y|| ´e um dos n´umeros |x| − |y| ou −(|x| − |y|), em ambos casos
||x| − |y|| ≤ |x − y|.
3.4.4 Intervalos
Vamos a definir agora uma classe de subconjuntos de R, chamados de intervalos limitados.
Dados c, d ∈ R com c < d
(c, d) = {x ∈ R; c < x < d} [c, d) = {x ∈ R; c ≤ x < d}
(c, d] = {x ∈ R; c < x ≤ d} [c, d] = {x ∈ R; c ≤ x ≤ d}
Introduziremos os simbolos +∞ e −∞ para indicar mais infinito e menos infinito respecti-
vamente. Assim o proprio R ´e considerado como um intervalo da forma (−∞, +∞).
Defini¸c˜ao 3.4.2 Chamamos de extens˜ao de R ao conjunto R∗
formado por R, +∞ e −∞.
Em R∗
temos as seguintes opera¸c˜oes:
1. se x ∈ R, temos
x + (+∞) = +∞ x + (−∞) = −∞,
x + −(+∞) = −∞ x − (−∞) = +∞.
2. Se x > 0,
x · (+∞) = +∞, x · (−∞) = −∞.
3. Se x < 0,
x · (+∞) = −∞, x · (−∞) = +∞.
4.
(+∞) + (+∞) = (+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞.
(−∞) + (−∞) = (+∞) · (−∞) = −∞.
Agora estamos em condi¸c˜oes de definir intervalos infinitos:
(−∞, c) = {x ∈ R; x < c} (−∞, c] = {x ∈ R; x ≤ c}
(c, +∞) = {x ∈ R; x > c} [c, +∞) = {x ∈ R; x ≥ c}
26
28. 3.4.5 R n˜ao ´e Enumer´avel
J´a foi mostrado que Q ´e enumer´avel, mas no entanto o corpo R n˜ao ´e enumer´avel.
Teorema 3.4.6 O conjunto dos n´umeros reais n˜ao ´e enumer´avel.
Prova: ´E suficiente mostrar que o intervalo aberto (0, 1) ⊂ R n˜ao ´e enumer´avel. Suponhamos
que exista uma enumera¸c˜ao(lista) de todos os n´umeros reais α, pertencentes ao intervalo (0, 1),
ou seja;
(0, 1) = {α1, α2, . . . , αn, . . .},
α1 = 0, a11a12a13 . . . a1n . . . ,
α2 = 0, a21a22a23 . . . a2n . . . ,
α3 = 0, a31a32a33 . . . a3n . . . ,
... =
...
αn = 0, an1an2an3 . . . ann . . . ,
... =
...
onde os aik ´e a k−´esima cifra decimal do n´umero αi. Vamos mostrar que existe ao menos um
elemento β ∈ (0, 1) da forma,
β = 0, b1b2b3 . . . bn . . .
que n˜ao pertence a lista acima. De fato, o n´umero β ´e construido da seguinte maneira: b1
´e um algorismo diferente de a11; b2 ´e diferente de a22, etc., em geral bn ´e diferente de ann.
Assim a fra¸c˜ao β ´e diferente do n´umero α1, pois os diferem ao menos no primeiro termo de sua
representa¸c˜ao decimal, tamb´em difere de α2 no segundo termo de sua representa¸c˜ao decimal,
etc., etc. Em geral, como bn = ann, para todo n, a fra¸c˜ao β = αi. Daqui segue que nenhuma
lista de n´umeros reais pode enumerar (0, 1). Como um subconjunto de R o intervalo (0, 1) n˜ao
´e enumer´avel, segue que R n˜ao ´e enumer´avel.
Corol´ario 3.4.1 O conjunto dos n´umeros irracionais RQ n˜ao ´e enumer´avel.
Prova: J´a sabemos que podemos escrever R como auni˜ao disjunta:
R = Q ∪ RQ.
Q ´e enumer´avel e R n˜ao ´e enumer´avel, portanto, RQ n˜ao ´e enumer´avel.
27
29. Cap´ıtulo 4
Sequˆencias e S´eries Num´ericas
4.1 Progress˜ao Aritm´etica
Defini¸c˜ao 4.1.1 Chamamos de progres˜ao aritm´etica a sequˆencia de n´umeros {an}, n ∈ N,
onde cada termo, come¸cando do segundo ´e igual ao anterior somado por uma constante ´unica
d, isto ´e,
an+1 = an + d, n ∈ N.
O n´umero d chama-se raz˜ao da progres˜ao aritm´etica, a1-primeiro termo e an-termo geral.
Assim por exemplo, a sequencia
2, 7, 12, 17, 22, . . .
onde o primeiro termo ´e 2, e a raz˜ao ´e 5.
Para qualquer n ≥ 2 temos
an+1 − an = d,
an − an−1 = d.
desta forma
an+1 − an = an − an−1
ou
an =
an−1 + an+1
2
,
isto ´e, cada termo da progres˜ao aritm´etica come¸cando do segundo termo ´e igual a m´edia ar-
itm´etica do termo anterior e termo posterior.
Exemplo 4.1 Mostre que a sequˆencia {an} com termo geral an = 2n − 7 ´e uma progres˜ao
aritm´etica.
Solu¸c˜ao Para n ≥ 2 temos
an = 2n − 7, an−1 = 2(n − 1) − 7 = 2n − 9, an+1 = 2n + 5.
Portanto
an = 2n − 7 =
(2n − 5) + (2n − 9)
2
=
an−1 + an+1
2
,
o que demonstra a afirma¸c˜ao.
28
30. Para a progress˜ao aritm´etica {an} com raz˜ao d tem lugar a seguinte f´ormula:
an = ak + d(n − k), 1 ≤ k ≤ n − 1,
onde n e k s˜ao n´umeros naturales. Trocando k por n − k e por n + k, obtemos
an = an−k + kd,
an = an+k − kd.
Daqui encontramos
an =
an−k + an+k
2
1 ≤ k ≤ n − 1.
Al´em disso, para qualquer progress˜ao aritm´etica {an} tem lugar a seguinte igualdade
am + an = ak + al.
se m + n = k + l.
Exemplo 4.2 Para a progress˜ao aritm´etica {an} com a1 = 7 e d = 4, obtemos as seguintes
f´ormulas;
1. an = 7 + (n − 1) · 4 = 4n + 3;
2. a10 =
a5 + a15
2
, pois a5 = a10−5 e a15 = a10+15;
3. a7 + a8 = a5 + a10.
Em geral, podemos escrever o termo geral de uma progress˜ao aritm´etica da seguinte maneira:
an = nd + (a1 − d).
Exemplo 4.3 A soma do segundo e terceiro termos da progress˜ao aritm´etica {an} ´e igual a
16, o produto do primeiro e quinto termos ´e igual a 64. Encontre o primeiro termo e a raz˜ao
desta progress˜ao.
Solu¸c˜ao: Por hip´otese, temos a2 + a4 = 16 e a1a5 = 64; ent˜ao obtemos o seguinte sistema
a1 + 2d = 8
a1(a1 + 4d) = 64.
Encontrando da primeira equa¸c˜ao do sistema, 2d e substituindo na segunda equa¸c˜ao, obtemos
a2
1 − 16a1 + 64 = 0,
ou
(a1 − 8)2
= 0.
Desta forma, a1 = 8; portanto, 2d = 8 − a1 = 0, isto ´e d = 0.
Exemplo 4.4 Os n´umeros 5 e 38 s˜ao o primeiro e decimo segundo termos respectivamente de
uma progress˜ao aritm´etica {an}. Encontre an para n = 2, 3, · · · , 11.
29
31. Solu¸c˜ao: Como
d =
a12 − a1
12 − 1
=
38 − 5
11
= 3,
ent˜ao os correspondentes termos s˜ao
8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35.
A soma Sn = a1 + a2 + · · · an dos primeiros n-termos de uma progress˜ao aritm´etica {an} ´e
dada pela f´ormula
Sn =
a1 + an
2
n.
Exemplo 4.5 Num jardim que possui a forma de um triˆangulo equil´atero queremos saber se
´e possivel plantar 105 ´arvores, de tal forma que na primeira s´erie colocamos um ´arvore, na
segunda s´erie colocamos dois ´arvores, na terceira 3 ´arvores, e assim adiante e na n−´esima
s´erie colocamos n ´arvores.
Solu¸c˜ao: Observamos, que se existe tal valor para n, para o qual vale vale a igualdade
1 + 2 + · · · n = 104, ent˜ao tal jardim ´e poss´ıvel. Basta resolver a seguinte equa¸c˜ao
n(n + 1)
2
= 105.
Encontramos daqui n = 14.
4.2 Progress˜ao Geom´etrica
Defini¸c˜ao 4.2.1 Chamamos de progres˜ao geom´etrica a sequˆencia de n´umeros {bn}, n ∈ N,
onde cada termo, come¸cando do segundo ´e igual ao anterior multiplicado por uma constante
´unica q = 0, isto ´e,
bn+1 = anq, n ∈ N.
O n´umero q chama-se raz˜ao da progres˜ao geom´etrica, b1-primeiro termo e bn-termo geral.
Assim, por exemplo a sequˆencia
1, 3, 9, 27, 81, · · ·
onde cada termo, come¸cando pelo segundo, obtem-se do anterior multiplicando por 3 ´e uma
progress˜ao geom´etrica, de raz˜ao q = 3 e b1 = 1.
Para uma progress˜ao geom´etrica {bn} com raz˜ao q para n ≥ 2 temos
bn
bn−1
=
bn+1
bn
= q,
isto ´e
b2
n = bn−1bn+1.
Por exemplo, para a progress˜ao geom´etrica
1, 3, 9, 27, 81, 243, · · · , 3n−1
, · · ·
temos as seguintes igualdades
32
= 1 · 9; 92
= 3 · 27; 272
= 9 · 81; 2432
= 81 · · · 729; 32n
= 3n−1
· 3n+1
.
30
32. Exemplo 4.6 Suponha que os n´umeros a, b, c s˜ao os termos consecutivos de uma progress˜ao
geom´etrica. Mostre que
a2
b2
c2 1
a3
+
1
b3
+
1
c3
= a3
+ b3
+ c3
.
Solu¸c˜ao: Como a, b, c s˜ao os termos consecutivos de uma progress˜ao geom´etrica, ent˜ao b2
= ac.
portanto
a2
b2
c2 1
a3
+
1
b3
+
1
c3
=
b2
c2
a
+
a2
c2
b
+
a2
b2
c
=
acc2
a
+
b4
b
+
a2
ac
c
=
= a3
+ b3
+ c3
.
Para qualquer progress˜ao geom´etrica {bn} ´e v´alida a seguinte igualdade
bmbn = bkbl se m + n = k + l.
Exemplo 4.7 Todos os termos da progress˜ao geom´etrica {bn} s˜ao positivos. se b10 = 2 e
b18 = 3. Encontre b16 e b3b27.
Solu¸c˜ao: Como 10 + 18 = 14 + 14, ent˜ao b2
14 = b10b18 = 6; portanto, b14 =
√
6. Tamb´em,
como 14 + 18 = 16 + 16, ent˜ao b2
16 = b14b18 = 3
√
6, isto ´e, b16 = 3
√
6. Porfim, de 14 + 16 =
30 = 3 + 27, segue que,
b3b27 = b14b16 =
√
6 3
√
6 = 3 2
√
6.
A soma Sn = b1 + b2 + b3 + · · · + bn dos primeiros n termos de uma progress˜ao geom´etrica
{bn} de raz˜ao q = 0 ´e dado pela f´ormula
Sn = b1
1 − qn
1 − q
,
se q = 1 , ent˜ao Sn = nb1.
Por exemplo
1. 1 + 2 + 4 + · · · + 2n−1
=
1 − 2n
1 − 2
= 2n
− 1;
2.
1
53
+
1
54
+ · · · +
1
5n−1
=
1
53
1 − (1
5
)n−3
1 − 1
5
=
1
100
1 −
1
5n−3
.
Exemplo 4.8 Calcular a seguinte soma
Sn = 1 + 2a + 3a2
+ 4a3
+ · · · + nan−1
, a = 0.
Solu¸c˜ao: Multiplicando Sn por a, temos
aSn = a + 2a2
+ 3a3
+ 4a4
+ · · · + nan
,
ent˜ao
aSn − Sn = nan
− (1 + a + a2
+ a3
+ · · · an−1
).
Como
1 + a + a2
+ a3
+ · · · an−1
) =
an
− 1
a − 1
,
obtemos
Sn =
nan
a − 1
−
an
− 1
(a − 1)2
.
31
33. Exemplo 4.9 Calcular a seguinte soma
S = 1 + 11 + 111 + · · · + 1111 · · · 111
1000 algor´ıtmos
.
Solu¸c˜ao. O n´umero 1111 · · · 111
n algor´ıtmos
para qualquer n natural podemos escrever na forma
1111 · · · 111
n algor´ıtmos
=
n algor´ıtmos
9999 · · · 999
9
=
10n
− 1
9
,
ent˜ao
S =
10 − 1
9
+
102
− 1
9
+
103
− 1
9
+ · · · +
101000
− 1
9
=
=
1
9
(10 + 102
+ 103
+ · · · + 101000
− 1000) =
=
1
9
[
10(101000
− 1)
10 − 1
− 1000] =
1
9
(1111 · · · 110
1000 algor´ıtmos
−1000)
=
1
9
(1111 · · · 11
997 algor´ıtmos
0110).
4.3 Defini¸c˜ao de Sequˆencias Num´ericas
Se a cada n´umero natural n fazemo-os corresponder um n´umero real an, ent˜ao dizemos que
est´a definido uma sequˆencia n´umerica
a1, a2, a3, · · · , an, · · ·
Os n´umeros a1, a2, · · · chamam-se termos da sequˆencia, e an ´e o termo geral.
A sequˆencia denota-se por {an}∞
n=1 ou {an}. Uma sequˆencia pode ser definida com ajuda
da f´ormula
an = f(n) n ∈ N,
onde f ´e alguma fun¸c˜ao; neste caso esta f´ormula chama-se f´ormula do termo geral da sequˆencia
{an}. Por exemplo
1. an =
√
n, n ∈ N;
2. an = n!, n ∈ N;
3. an =
n2
, se n = 2k
1/n, se n = 2k − 1,
k = 1, 2, · · ·
Para definir uma sequˆencia podemos usar tamb´em uma rela¸c˜ao de recorrˆencia. Este m´etodo
consiste em definir um ou alguns primeiros termos da sequˆencia, e logo escrever uma f´ormula
que nos permita encontrar o termo geral an atrav´es dos primeiros termos. Por exemplo, se
32
34. 1. a1 = 1, an+1 = an + 1 para n ≥ 1;
2. b1 = 1, b2 = 2, bn = 2bn−1 + bn−2 para n ≥ 3.
Ent˜ao destas rela¸c˜oes de recorrˆencia, encontramos que,
a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 5, · · · ;
b1 = 1, b2 = 2, b3 = 5, b4 = 12, b5 = 29, · · ·
4.4 Sequˆencias Mon´otonas
Defini¸c˜ao 4.4.1 Uma sequˆencia {an} chama-se crescente, se para qualquer n´umero natural n
vale a desigualdade
an+1 > an, n ∈ N.
Exemplo 4.10 Mostre que a sequˆencia {an} cujo termo geral an =
n − 1
n
´e uma sequˆencia
crescente.
Solu¸c˜ao: Analizemos a diferen¸ca an+1 − an. Temos
an+1 − an =
(n + 1) − 1
n + 1
−
n − 1
n
=
n2
− n2
+ 1
n(n + 1)
=
1
n(n + 1)
> 0.
Desta forma, an+1 > an para todo n ∈ N.
Defini¸c˜ao 4.4.2 Uma sequˆencia {an} chama-se decrescente, se para qualquer n´umero natural
n vale a desigualdade
an+1 < an, n ∈ N.
Exemplo 4.11 Mostre que a sequˆencia {an} cujo termo geral ´e an = −(n+2) ´e uma sequˆencia
decrescente.
Solu¸c˜ao: Analizemos a rela¸c˜ao
an+1
an
. Temos
an+1
an
=
−((n + 1) + 2)
−(n + 2)
=
−n − 2
−n − 1
=
n + 2
n + 1
= 1 +
1
n + 1
> 1.
Desta forma,
an+1
an
> 1. Como todos os termos da sequˆencia s˜ao negativos, ent˜ao obtemos
an+1 < an para todo n ∈ N.
Defini¸c˜ao 4.4.3 Uma sequˆencia {an} chama-se n˜ao-decrescente, se para qualquer n´umero nat-
ural n vale a rela¸c˜ao
an+1 ≥ an, n ∈ N.
Defini¸c˜ao 4.4.4 Uma sequˆencia {an} chama-se n˜ao-crescente, se para qualquer n´umero nat-
ural n vale a rela¸c˜ao
an+1 ≤ an, n ∈ N.
33
35. Em geral, estes tipos de sequˆencias chamam-se mon´otonas.
A sequˆencia {an} chama-se limitada superiormente, se existe um n´umero real A tal que,
para qualquer n´umero natural n vale a desigualdade xn ≤ A.
Exemplos de sequˆencias limitadas superiormente s˜ao as seguintes sequˆencias com termos
gerais,
an = −n3
, an = (−1)n
, an = sin4 πn
2
.
A sequˆencia {an} chama-se limitada inferiormente, se existe um n´umero real B tal que, para
qualquer n´umero natural n vale a desigualdade xn ≥ B.
Exemplos de sequˆencias limitadas inferiormente s˜ao as seguintes sequˆencias com termos
gerais,
an = 2n
, an = (−1)n
, an =
−(n + 1)
n
.
Uma sequˆencia {an} chama-se limitada, quando ela ´e limitada superior e inferiormente. Ou
equivalentemente, se existem n´umeros reais A e B tais que,
A ≤ an ≤ B, ∀n ∈ N.
Exemplo de sequˆencia limitada ´e a sequˆencia com termos geral an = 1/2n+2
. De fato, para
qualquer n natural verifica-se;
0 <
1
2n+2
< 1, isto ´e 0 < an < 1, ∀n ∈ N.
Exemplo 4.12 Mostremos que a sequˆencia cujo termo geral an =
n − 2
n + 1
´e limitada.
Prova: Como an =
n − 2
n + 1
=
n + 1 − 3
n + 1
= 1 −
3
n + 1
< 1, isto ´e, an < 1 para qualquer natural
n, ent˜ao {an} ´e limitada superiormente.
Analizemos a diferen¸ca an − an−1. Temos;
an − an−1 =
n − 2
n + 1
−
n − 1
n + 2
=
−3
(n + 1)(n + 2)
< 0,
isto ´e, an < an−1, ∀n ∈ N. Por isso a1 = −1/2 ´e o menor termo desta sequˆencia. Desta forma,
an ≥ −1/2, ∀n ∈ N, isto ´e, a sequˆencia {an} ´e limitada inferiormente. Segue da defini¸c˜ao
acima que, a sequˆencia {
n − 2
n + 1
}n ´e limitada.
4.5 Limite de uma Sequˆencia
O n´umero a chamase limite da sequˆencia {an}, se para qualquer n´umero positivo(arbitr´ario)
, encontra-se um n´umero no tal que, para todos os naturais n > no vale a desigualdade
|an − a| < ε.
Se a ´e o limite da sequˆencia {an}, usamos a seguinte nota¸c˜ao: lim
n→∞
an = a.
Se a sequˆencia possui limite, dizemos que ela converge, caso contr´ario dizemos que ela diverge.
34
36. Como a desigualdade |an − a| < ε equivale a desigualdade −ε < an − a < ε, isto ´e,
a − ε < an < a + ε, ent˜ao a afirma¸c˜ao que a ´e limite da sequˆencia {an}, equivale a dizer que
para qualquer ε > 0 , encontra-se no ∈ N, que depende de ε, tal que todos os termos come¸cando
com o ´ındice no +1 os termos ano+1, ano+2, · · · pertencem ao intervalo (a−ε, a+ε), e fora deste
intervalo encontram-se somente um n´umero finito de termos da sequˆencia (no m´aximo no).
Exemplo 4.13 Mostre que o n´umero 1 ´e o limite da sequˆencia {
n + 1
n
}, isto ´e,
lim
n→∞
=
n + 1
n
= 1
.
Solu¸c˜ao. ´E necess´ario mostrar que para cada positivo, encontra-se um no tal que para todo
n > no segue
n + 1
n
− 1 < .
Como
n + 1
n
−1 =
1
n
=
1
n
. Ent˜ao a desigualdade |
n + 1
n
−1| < ´e equivalente a desigualdade
1
n
< , isto ´e n >
1
. Se tomamos o n´umero natural no maior que
1
, ent˜ao para qualquer n´umero
natural maior que este no, cumpre-se
n + 1
n
− 1 =
1
n
<
1
no
<
1
1/
< ,
e isto significa que lim
n→∞
n + 1
n
= 1.
Exemplo 4.14 Mostre que se |q| < 1, ent˜ao
lim
n→∞
= qn
= 0.
Solu¸c˜ao. Para mostrar que lim
n→∞
= qn
= 0, ´e necess´ario provar que para qualquer > 0, existe
um n´umero natural no, tal que para todos os n´umeros naturais n > no vale a desigualdade
|qn
− 0| < .
Em caso de q = 0, nada temos a mostrar. Seja q = 0. Como 0 < |q| < 1, ent˜ao 1/|q| > 1,
e portanto existe um n´umero positivo α, tal que 1/|q| = 1 + α. Como α > 0, ent˜ao usando a
desigualdade de Bernoulli, obtemos
1/|q|n
= (1/|q|)n
= (1 + α)n
≥ 1 + nα > nα.
Daqui |q|n
< 1
nα
para todo n natural. escolhamos no > 1
α
, onde α = 1
|q|
− 1. Ent˜ao para cada
n > no temos
n >
1
α
ou
1
nα
< ,
e portanto
|qn
− 0| = |qn
| = |q|n
<
1
nα
< .
Exemplo 4.15 Mostre que a sequˆencia an = (−1)n
n˜ao possui limite.
35
37. Solu¸c˜ao. Mostremos isto por contradi¸c˜ao. Suponhamos que a sequˆencia {an} converge para
o n´umero a. Ent˜ao para qualquer positivo existe um n´umero no = no( ) tal que, para cada
n > no vale a desigualdade |an − a| < . Em particular para = 1/2 existe n1 tal que para
qualquer n > n1 vale
|an − a| < 1/2.
Como 2n1 > n1 e 2n1 + 1 > n1, ent˜ao para termos da sequˆencia a2n1 e a2n1+1 cumpren-se as
desigualdades
|a2n1 − a| < 1/2, e |a2n1+1 − a| < 1/2.
Como a2n1 = (−1)2n1
= 1, e a2n1+1 = (−1)2n1+1
= −1, ent˜ao temos
|1 − a| < 1/2, | − 1 − a| < 1/2,
de onde segue
2 ≡ |(1 − a) + (a + 1)| ≤ |1 − a| + |1 + a| < 1/2 + 1/2 = 1.
Assim, da suposi¸c˜ao que a sequˆencia {an}n converge obtemos que 2 < 1, absurdo.
4.6 Opera¸c˜oes com Sequˆencias
4.7 Existˆencia do Limite de uma Sequˆencia Mon´otona
Limitada
4.8 O n´umero e
4.9 Crit´erio de Cauchy para a Existˆencia do Limite
4.10 Teorema de Weierstrass
4.11 S´eries Num´ericas
4.11.1 Defini¸c˜oes B´asicas
Consideremos a seguinte sequˆencia num´erica,
u1, u2, u3, . . . , un, . . . (4.1)
Desta sequˆencia, obtenhamos outra sequˆencia,
S1, S2, S3, . . . , Sn, . . .
onde,
S1 = u1,
S2 = u1 + u2,
S3 = u1 + u2 + u3,
. . . . . .
Sn = u1 + u2 + u3 + . . . + un.
36
38. Se existe o limite da soma parcial Sn, isto ´e,
S = lim
n→∞
Sn,
ent˜ao dizemos que a s´erie num´erica
∞
n=1
un = u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . (4.2)
converge, e possui soma igual ´a
S = u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . .
Se Sn n˜ao tende a nenhum limite(ou tende para infinito), ent˜ao dizemos que a s´erie (4.2) diverge.
A express˜ao
∞
n=1
un ´e meramente formal, pois a adi¸c˜ao ordin´aria de um n´umero infinito de
termos n˜ao faz sentido.
Um exemplo simples de uma s´erie n´umerica ´e a progres˜ao geom´etrica:
∞
n=1
aqn−1
= a + aq + aq2
+ . . . + aqn−1
+ . . . (a = 0) (4.3)
Analizemos quatro poss´ıveis casos para os valores de q.
1. |q| < 1.
A soma parcial Sn ´e igual `a;
Sn = a + aq + aq2
+ . . . + aqn−1
=
a − aqn
1 − q
=
a
1 − q
−
a
1 − q
qn
.
J´a foi provado que se |q| < 1, ent˜ao limn→∞ |qn
| = 0, por isso,
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
a
1 − q
−
a
1 − q
qn
=
a
1 − q
,
e a s´erie (4.3) converge para
a
1 − q
se |q| < 1.
2. |q| > 1.
A soma parcial Sn como foi visto acima ´e igual `a;
Sn = a + aq + aq2
+ . . . + aqn−1
=
a
1 − q
−
a
1 − q
qn
.
J´a foi provado que se |q| > 1, ent˜ao limn→∞ |qn
| = +∞, por isso,
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
a
1 − q
−
a
1 − q
qn
= ±∞,
e a s´erie (4.3) diverge se |q| < 1.
37
39. 3. q = 1.
A soma parcial Sn ´e igual `a;
Sn = a + a + a + . . . + a = na,
e portanto
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
na = ±∞.
E isto significa que a s´erie (4.3) diverge.
4. q = −1.
A soma parcial Sn ´e igual `a;
Sn = a − a + a − . . . + (−1)n−1
a,
e portanto
lim
n→∞
Sn =
0 se n ´e par
a se n ´e ´ımpar.
Isto significa que a s´erie (4.3) diverge, pois Sn tendo a dois limites diferentes.
4.11.2 Opera¸c˜oes com S´eries
As s´eries convergentes possuem algumas propriedades, que nos permitem operar com eles
como se fossem somas finitas.
1. Se a s´erie
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . .
possui soma S, ent˜ao a s´erie
au1 + au2 + au3 + . . . + aun + . . . (4.4)
converge para aS. De fato, a soma parcial σn da s´erie (4.4) ´e da seguinte forma
σn = au1 + au2 + au3 + . . . + aun = aSn,
e por isso,
lim
n→∞
σn = lim
n→∞
aSn = a lim
n→∞
Sn = aS.
2. S´eries convergentes podem ser somadas ou subtraidas, isto ´e, se
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . = S
v1 + v2 + v3 + . . . + vn + . . . = σ,
ent˜ao a s´erie
(u1 ± v1) + (u2 ± v2) + (u3 ± v3) + . . . + (un ± vn) + . . .
tamb´em converge, e a soma ´e igual a (S ± σ).
38
40. 3. A propriedade da s´erie ser convergente ou divergente n˜ao ´e alterado se adicionamos ou
tiramos um n´umero finito de termos a s´erie.
4. O termo geral un de qualquer s´erie convergente tende para zero, isto ´e,
lim
n→∞
un = 0. (4.5)
De fato,
un = Sn − Sn−1,
e como a s´erie converge, ent˜ao
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
Sn−1 = S,
de onde,
lim
n→∞
un = lim
n→∞
Sn − lim
n→∞
Sn−1 = S − S = 0.
A condi¸c˜ao (4.5) ´e necess´aria para a convergˆencia da s´erie, mas n˜ao ´e suficiente; pois pode
acontecer que o termo geral tenda para zero, mas a s´erie divergir.
Exemplo 4.16 Consideremos a s´erie Harmˆonica
∞
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
n
+ . . . .
Solu¸c˜ao: Aqui, temos
un =
1
n
→ 0, quando n → ∞.
Agrupemos os termos da s´erie Harmˆonica em grupos de 1, 2, 4, 8, . . . termos:
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+ . . . +
1
8
+
1
9
+ . . . +
1
16
+ . . . ,
desta forma no k−grupo temos 2k−1
termos. Se em cada grupo, trocamos todos os termos pelo
´ultimo termo(menor elemento do grupo), obtemos a s´erie
1 +
1
2
+
1
4
· 2 +
1
8
· 4 +
1
16
· 8 + . . . = 1 +
1
2
+
1
2
+ . . . ,
cuja soma parcial Sn ´e igual a
Sn = [1 +
1
2
(n − 1)].
´E ´obvio que lim
n→∞
Sn = +∞.
Tomando um n´umero grande de termos da s´erie Harmˆonica, podemos obter um n´umero grande
de grupos e a soma de estes termos ser´a maior que [1 +
1
2
(n − 1)], e daqui podemos concluir
que a soma parcial Sn da s´eie Harmˆonica tende para o infinito, isto ´e, Sn → ∞.
39
41. 4.11.3 S´eries com Termos Positivos. Crit´erios de Convergˆencia
Vamos estudar s´eries com termos positivos(n˜ao negativos):
u1, u2, u3, . . . , un, . . . ≥ 0.
Para esses tipos de s´eries, estabeleceremos crit´erios de convergˆencia e divergˆencia.
Teorema 4.11.1 (Teste de Compara¸c˜ao) Consideremos duas s´eries
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =
∞
n=1
un (4.6)
v1 + v2 + v3 + . . . + vn + . . . =
∞
n=1
vn (4.7)
com termos positivos.
a) Se uk ≤ vk (k = 1, 2, . . .), a convergˆencia da s´erie (4.7) implica a convergˆencia da s´erie (4.6)
e a divergˆencia da s´erie (4.6) implica a divergˆencia da s´erie (4.7).
b) Se
lim
k→∞
uk
vk
= A > 0, (4.8)
ent˜ao as s´eries (4.6) e (4.7) convergem ou divergem simultaneamente.
Prova: a) Denotemos por Sn e σn as somas parciais de (4.6) e (4.7) respectivamente. Por
hip´otese, temos,
Sn ≤ σn.
Mas, a s´erie (4.7) converge, e suponhamos que para a soma σ, ent˜ao
σn ≤ σ, por isso Sn ≤ σ.
Como a sequˆencia {Sn} ´e mon´otona crescente e limitada, concluimos que a s´erie (4.6) converge.
Agora, suponhamos que a s´erie (4.6) ´e divergente; ent˜ao sua soma parcial Sn cresce infini-
tamente, e pela desigualdade
Sn ≤ σn,
segue que a soma parcial de (4.7) σn cresce infinitamente, e isto significa que a s´erie (4.7)
diverge.
b) Suponhamos que cumpre-se (4.8), ent˜ao para um n´umero positivo ε < A, existe um no ∈ N,
tal que para todo k > no segue A − ε <
uk
vk
< A + ε, ou
vk(A − ε) < uk < (A + ε)vk. (4.9)
Se a s´erie (4.7) ´e convergente, a s´erie
∞
k+1
(A + ε)vk tamb´em ´e convergente e pela desigualdade
(4.9), a s´erie
∞
k+1
uk tamb´em ´e convergente junto com a s´erie (4.6).
Se a s´erie (4.7) ´e divergente, ent˜ao a s´erie
∞
k+1
vk(A − ε) tamb´em ´e divergente, e pela de-
sigualdade (4.9), a s´erie
∞
k+1
uk tamb´em ´e divergente junto com a s´erie (4.6).
40
42. Exemplo 4.17 Analize a convergˆencia da seguinte s´erie
∞
n=1
1
n · 3n
=
1
1 · 31
+
1
2 · 32
+
1
3 · 33
+ . . . +
1
n · 3n
+ . . .
Observamos que o termo geral da s´erie un =
1
n · 3n
<
1
3n
, j´a sabemos que a s´erie geom´etrica,
cujo termo geral ´e
1
3n
, isto ´e,
∞
n=1
1
3n
=
1
31
+
1
32
+
1
33
+ . . . +
1
3n
+ . . .
converge, logo pelo crit´erio acima, podemos concluir que a s´erie
∞
n=1
1
n · 3n
tamb´em converge.
Exemplo 4.18 Analize a convergˆencia da seguinte s´erie
∞
n=2
ln n
n
=
ln 2
2
+
ln 3
3
+
ln 4
4
+ . . . +
ln n
n
+ . . .
O termo geral da s´erie un =
ln n
n
>
1
n
. J´a sabemos que a s´erie Harmˆonica, cujo termo geral ´e
1
n
, diverge, portanto pela parte a) do crit´erio de compara¸c˜ao concluimos que a s´erie
∞
n=2
ln n
n
tamb´em diverge.
Exemplo 4.19 A seguinte s´erie
∞
n=1
1
2n − 1
= 1 +
1
3
+
1
5
+ . . . +
1
2n − 1
+ . . .
´e divergente, pois
lim
n→∞
1
2n − 1
:
1
n
=
1
2
= 0,
e como j´a sabemos a s´erie Harmˆonica cujo termo geral ´e
1
n
diverge.
Teorema 4.11.2 (Crit´erio de Cauchy) Consideremos a s´erie
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =
∞
n=1
un
com termos positivos.
a) Se
n
√
un ≤ q < 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.10)
onde q n˜ao depende de n, ent˜ao a s´erie converge.
b) Se
lim
n→∞
n
√
un = q, (4.11)
ent˜ao a s´erie converge se q < 1 e diverge se q > 1. Se q = 1 o crit´erio n˜ao ´e conclusivo.
41
43. Prova: a) a desigualdade (5.8) implica que un < qn
(n = 1, 2, . . .), e como a s´erie
∞
n=1
qn
converge, segue que a s´erie
∞
n=1
un tamb´em converge.
b) Pela propriedade (5.3) com q < 1 segue que
n
√
un < q + ε < 1 (n ≥ no)
para um no suficientemente grande, portanto
un < (q + ε)n
.
Como a s´erie
∞
n=no
(q + ε)n
´e convergente, segue que a s´erie
∞
n=no
un ´e convergente ao igual que
a s´erie
∞
n=1
un.
Se a desigualdade (5.3) vale para q > 1, segue que un > 1 para todo n > no, onde no ∈ N ´e um
n´umero suficientemente grande. E isto implica que a s´erie
∞
n=1
un diverge.
Exemplo 4.20 Analize a convergˆencia da seguinte s´erie
∞
n=1
n
3n + 1
n
=
1
4
1
+
2
7
2
+
3
10
3
+ . . . +
n
3n + 1
n
+ . . .
Aplicando o crit´erio de Cauchy ao termo geral da s´erie, temos
lim
n→∞
n
√
un = lim
n→∞
n n
3n + 1
n
= lim
n→∞
n
3n + 1
=
1
3
< 1.
Logo, podemos concluir que a s´erie converge.
Teorema 4.11.3 (Crit´erio de D´Alembert) Consideremos a s´erie
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =
∞
n=1
un
com termos positivos.
a) Se
un+1
un
≤ q < 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.12)
ent˜ao a s´erie
∞
n=1
un converge; se
un+1
un
≥ 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.13)
ent˜ao a s´erie
∞
n=1
un diverge. b) Se
lim
n→∞
un+1
un
= q, (4.14)
ent˜ao a s´erie converge se q < 1 e diverge se q > 1. Se q = 1 o crit´erio n˜ao ´e conclusivo.
42
44. Prova: a) De (4.12) segue que u2 ≤ u1q, u3 ≤ u2q, un ≤ un−1q, portanto
un = u1qn
, q < 1 (n = 1, 2, . . . .
Como a s´erie
∞
n=1
u1qn
converge, segue que a s´erie
∞
n=1
un tamb´em converge.
Da rela¸c˜ao (4.13), segue que un ≥ u1 (n = 1, 2, . . .)e, a s´erie u1 + u1 + u1 + . . . ´e divergente,
ent˜ao a s´erie
∞
n=1
un tamb´em ´e divergente.
b) Se a igualdade (4.14) cumpre-se e q < 1, ent˜ao para um n´umero positivo ε satisfazendo a
condi¸c˜ao q + ε < 1, temos
un+1
un
< q + ε < 1 (n > no), no ∈ N suficientemente grande.
Como foi visto acima, a s´erie
∞
n=no
un converge e por isso a s´erie
∞
n=1
un tamb´em converge.
Se a igualdade (4.14) cumpre-se e q > 1, temos
un+1
un
> 1 (n > no), no ∈ N suficientemente grande.
Como foi visto acima (4.13), a s´erie
∞
n=no
un diverge e por isso a s´erie
∞
n=1
un tamb´em diverge.
Exemplo 4.21 Analize a convergˆencia da seguinte s´erie
∞
n=1
3n + 1
3n
=
4
3
+
7
32
+
10
33
+ . . . +
3n + 1
3n
+ . . .
Observamos que;
un =
3n + 1
3n
, un+1 =
3n + 4
3n+1
.
Aplicando o crit´erio de D´Alembert, temos
lim
n→∞
un+1
un
= lim
n→∞
3n + 4
3n+1
3n + 1
3n
= lim
n→∞
3n
(3n + 4)
3n+1(3n + 1)
=
= lim
n→∞
3n + 4
3(3n + 1)
=
1
3
lim
n→∞
3n + 4
3n + 1
=
1
3
lim
n→∞
3 + 4
n
3 + 1
n
=
1
3
< 1.
Logo, podemos concluir que a s´erie converge.
Teorema 4.11.4 (Crit´erio Integral de Cauchy) Consideremos a s´erie
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =
∞
n=1
un
43
45. com termos positivos, tais que
u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ . . . ≥ un ≥ . . .
Se existe uma fun¸c˜ao f(x) cont´ınua e n˜ao crescente, tal que
f(1) = u1; f(2) = u2; f(3) = u3; . . . f(n) = un.
Ent˜ao podemos afirmar que se a integral impr´opria
∞
1
f(x)dx
converge, ent˜ao, a s´erie
∞
n=1
un tamb´em converge, mas se a integral diverge(ou ´e igual a infinito),
a s´erie diverge.
Prova:
Exemplo 4.22 Estudar a convergˆencia da p-s´erie
∞
n=1
1
np
=
1
1p
+
1
2p
+
1
3p
+ . . . +
1
np
+ . . .
Seja f(n) =
1
np
, ent˜ao f(x) =
1
xp
. Comparemos a p-s´erie com a integral impr´opria
∞
1
dx
xp
.
Ent˜ao, temos
∞
1
dx
xp
= lim
A→∞
A
1
dx
xp
=
1
1 − p
x1−p
A
1
=
1
1 − p
(A1−p
− 1) para p = 1
ln x
A
1
= ln A para p = 1.
Tomando o limite quando A → ∞, obtemos
1. Se p > 1, a integral
∞
1
dx
xp
=
1
p − 1
converge, por isso a s´erie converge.
2. Se p < 1, a integral
∞
1
dx
xp
= ∞ diverge, por isso a s´erie diverge.
3. Se p = 1, a integral
∞
1
dx
x
= +∞ diverge,por isso a s´erie diverge.
44
46. 4.12 S´eries Alternadas. Teorema de Leibnitz
Consideremos agora uma s´erie onde os sinais dos seus termos s˜ao alternados isto ´e, positivos
e negativos. Tais s´eries s˜ao da forma
∞
n=1
(−1)n+1
un = u1 − u2 + u3 − . . . + (−1)n+1
un + . . .
com u1, u2, u3, . . . positivos.
Teorema 4.12.1 (Crit´erio de Leibnitz) Consideremos a s´erie alternada
∞
n=1
(−1)n+1
un = u1 − u2 + u3 − . . . + (−1)n+1
un + . . .
com termos positivos, tais que formam uma sequˆencia decrescente, isto ´e
u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ . . . ≥ un ≥ . . .
e se
lim
n→∞
un = 0
Ent˜ao podemos afirmar que a s´erie alternada converge e sua soma n˜ao ´e maior que o primeiro
termo.
Prova: Analizemos primeiramente a soma parcial de um n´umero par de termos, isto ´e,
S2n = u1 − u2 + u3 − u4 + . . . + u2n−1 − u2n.
Pela hip´otese do teorema, os valores dos termos da s´erie decrescem quando n cresce, ent˜ao,
uk ≥ uk+1 e u2n+1 − u2n+2 ≥ 0,
e por isso
S2n+2 = S2n + u2n+1 − u2n+2 ≥ S2n,
isto ´e, a sequˆencia S2n)n ´e crescente. De outro lado, temos
S2n = u1 − (u2 − u3) − (u4 − u5) + . . . − (u2n−2 − u2n−1) − u2n ≤ u1.
Desta forma temos que
0 ≤ S2m ≤ u1,
e isto significa que a a sequˆencia (S2n)n ´e limitada. Como a a sequˆencia (S2n)n ´e mon´otona
crescente e limitada , ent˜ao ela ´e convergente, isto ´e,
lim
n→∞
S2n = S.
Al´em disto, temos
S2n+1 = S2n + u2n+1,
por isso,
lim
n→∞
S2n+1 = lim
n→∞
(S2n + u2n+1) = S,
pois por hip´otese
lim
n→∞
un = 0.
45
47. Cap´ıtulo 5
Fun¸c˜oes e suas Propriedades
5.1 Conceitos B´asicos
Seja X um conjunto num´erico. Suponhamos que seja dado uma lei f pela qual a cada
n´umero x ∈ X fazemos corresponder com um ´unico n´umero y ∈ Y . Ent˜ao dizemos que est´a
definida uma fun¸c˜ao y = f(x) com dom´ınio de defini¸c˜ao X.
O conjunto Y de todos os valores de y, que para cada um deles existe ao menos um x ∈ X
tal que y = f(x), chama-se Imagem da fun¸c˜ao f. A nota¸c˜ao que usaremos para denotar que f
´e uma fun¸c˜ao de X em Y ´e a seguinte;
f : X → Y
x → f(x)
a nota¸c˜ao x → f(x) ´e para indicar que f faz corresponder o elemento x ao elemento f(x).
Defini¸c˜ao 5.1.1 O conjunto X chama-se dom´ınio da fun¸c˜ao e o conjunto Y chama-se con-
tradom´ınio da fun¸c˜ao e os definiremos como
Df = {x ∈ X; f(x) = y para alg´um y ∈ Y }
e
Im(f) = {y ∈ Y ; ∃x ∈ X tal que f(x) = y}
respectivamente.
Defini¸c˜ao 5.1.2 O gr´afico de uma fun¸c˜ao f : X → Y ´e o subconjunto denotado por G(f) e
definido, como sendo
G(f) = {(x, y) ∈ X × Y ; y = f(x)} ⊂ X × Y.
46
48. X X
Y
Y
x
f(x)
(x,f(x))
G(f)
x
A figura a esquerda ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao f : X → Y , no entanto a figura da direita
n˜ao ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao f : X → Y .
Defini¸c˜ao 5.1.3 Uma fun¸c˜ao f : A → B chama-se injetiva se verificamos o seguinte: dados
x, y ∈ A, f(x) = f(y) segue que x = y, ou em outras palavras, se tivermos x1, x2 ∈ A, com
x1 = x2 implica
f(x1) = f(x2).
Claramente a fun¸c˜ao I : A → A identidade ´e injetora e a fun¸c˜ao constante ´e injetora se e
somente se A possuir apenas um elemento.
Defini¸c˜ao 5.1.4 Uma fun¸c˜ao f : A → B chama-se sobrejetiva se verificamos que Im(f) = B,
ou em outras palavras, para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A, tal que f(x) = y.
´E conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f ´e uma fun¸c˜ao do conjunto A ”sobre”
o conjunto B se f(A) = B; no caso geral, quando f(A) ⊂ B, dizemos que f ´e uma fun¸c˜ao de
A ”em” B.
Defini¸c˜ao 5.1.5 Dada uma fun¸c˜ao f : A → B e dado Y ⊂ f(A), o conjunto
f−1
(Y ) = {x; x ∈ A tal que f(x) ∈ Y }
´e chamado de imagem inversa do conjunto Y pela f.
Assim, da defini¸c˜ao segue que f−1
(Y ) ⊂ A.
Defini¸c˜ao 5.1.6 Uma fun¸c˜ao f : A → B chama-se bijetiva quando ´e simultaneamente injetiva
e sobrejetiva.
Se a fun¸c˜ao esta dada mediante uma f´ormula, ent˜ao dizemos que ela est´a definida de forma
anal´ıtica. Por exemplo, cada uma das fun¸c˜oes:
1. y = x3
, x ∈ [0, ∞)
47
49. 2. y =
x
x2 + 3x
, x ∈ R
3. y =
x, se x ≤ 0,
x2
− 2x, se x > 0.
Exemplo 5.1 Encontre o dom´ınio de existˆencia da fun¸c˜ao f(x) =
1
√
1 − x2
.
Solu¸c˜ao: O dom´ınio da fun¸c˜ao dada consiste de todos os pontos x para os quais a expres˜ao√
1 − x2 tem sentido e ´e poss´ıvel a divis˜ao por
√
1 − x2. Desta forma, temos 1 − x2
> 0, isto ´e
|x| < 1. Portanto o dom´ınio da fun¸c˜ao acima ´e o intervalo (−1, 1).
Exemplo 5.2 Encontre o dom´ınio de existˆencia da fun¸c˜ao f(x) + g(x), se
f(x) = ln(2 −
√
x − 1) e g(x) =
− log0,2(x − 1)
√
−x2 + 2x + 8
.
Solu¸c˜ao: Como
ln(2 −
√
x − 1) ≥ 0 ⇐⇒ 2 −
√
x − 1 ≥ 1 ⇐⇒ 1 ≥
√
x − 1 ⇐⇒
⇐⇒
x − 1 ≥ 0
1 ≥ x − 1
⇐⇒
x ≥ 1
x ≤ 2
⇐⇒ 1 ≤ x ≤ 2,
ent˜ao o dom´ınio de existˆencia da fun¸c˜ao f(x) ´e o intervalo [1, 2].
Como
−x2
+ 2x + 8 > 0 ⇐⇒ x2
− 2x − 8 < 0 ⇐⇒ (x − 4)(x + 2) < 0 ⇐⇒
⇐⇒ −2 < x < 4,
− log0,2 x − 1) ≥ 0 ⇐⇒ log0,2(x − 1) ≤ 0 ⇐⇒ x − 1 ≥ 1 ⇐⇒ x ≥ 2,
ent˜ao, resolvendo o sistema
−2 < x < 4,
x ≥ 2,
encontramos que o dom´ınio de existˆencia da fun¸c˜ao g(x) ´e o intervalo [2, 4).
Resolvendo o sistema
1 ≤ x ≤ 2,
2 ≤ x < 4,
encontramos que o dom´ınio da fun¸c˜ao f(x) + g(x) consiste de um ´unico ponto x = 2.
Exemplo 5.3 Demonstre que a fun¸c˜ao y = 2x e y = |x − 1| + |x + 1| s˜ao equivalentes no
intervalo [1, +∞).
Solu¸c˜ao: Se x ≥ 1 ent˜ao x − 1 ≥ 0 e x + 1 > 0, e por isso |x − 1| = x − 1 e |x + 1| = x + 1,
portanto,
|x − 1| + |x + 1| = x − 1 + x + 1 = 2x.
Assim, para cada x ∈ [1, +∞), vale a igualdade |x − 1| + |x + 1| = 2x, e por isso as fun¸c˜oes
dadas s˜ao equivalentes no intervalo [1, +∞).
O n´umero xo do dom´ınio da fun¸c˜ao f(x) chama-se zero da fun¸c˜ao se f(xo) = 0.
Por exemplo, o n´umero xo = 1 ´e um zero da fun¸c˜ao y = log2 x, pois log2 1 = 0.
48
50. 5.1.1 Fun¸c˜ao Inversa
Seja dada a fun¸c˜ao f : X → Y , que a cada diferentes x ∈ X corresponde diferentes y ∈ Y ,
ent˜ao a fun¸c˜ao x = f−1
(y) chamase fun¸c˜ao inversa de f(x), x ∈ X. Com isto, a fun¸c˜ao inversa
possui dom´ınio Y e imagem X, e a cada yo corresponde xo, tal que f(xo) = yo, xo ∈ X. Portanto
para cada x ∈ X, temos
f−1
(f(x)) = x, x ∈ X.
Desta forma,, se f : X → Y e a fun¸c˜ao f(x) ´e tal que f(x1) = f(x2) quando x1 = x2 e
x1, x2 ∈ X, ent˜ao f−1
: Y → X e
f−1
(f) : X → X,
f(f−1
) : Y → X,
com isto
f−1
(f(x)) ≡ x, x ∈ X,
f(f−1
(y)) ≡ y, y ∈ Y.
O par de fun¸c˜oes f e f−1
s˜ao mutuamente inversas.
Quando estudamos as fun¸c˜oes inversas f e f−1
, as vari´aveis dependentes costuma-se indicar
por x, e os valores destas fun¸c˜oes indica-se por y. Em outras palavras, para a fun¸c˜ao y =
f(x), x ∈ X, a fun¸c˜ao inversa escreve-se na forma y = f−1
(x), x ∈ Y .
Notamos que com estas novas nota¸c˜oes, temos as seguintes identidades:
f−1
(f(x)) ≡ x, x ∈ X,
f(f−1
(x)) ≡ x, x ∈ Y.
Por exemplo, as fun¸c˜oes y = x + 3, x ∈ R, e y = x − 3, x ∈ R e tamb´em as fun¸c˜oes y = xn
e
y = n
√
x s˜ao fun¸c˜oes inversas.
f(x1) = y1 ⇐⇒ f−1
(y1) = x1, ent˜ao o par ordenado (x1, y1) pertence ao gr´afico de f se
e somente se (y1, x1) pertence ao gr´afico de f−1
. Desta forma obtemos o par ordenado (y1, x1)
a partir do par ordenado (x1, y1) refletindo-o em torno da reta y = x. Podemos usar este
resultado para dizer o seguinte: quando trocamos x por y para encontrar a fun¸c˜ao inversa,
obtemos o gr´afico da fun¸c˜ao f−1
a partir do gr´afico de f.
Teorema 5.1.1 Se a fun¸c˜ao f : A → B ´e bijetora, ent˜ao existe uma e somente uma fun¸c˜ao
f−1
: B → A, tal que
f(f−1
(y)) = y
qualquer que seja y ∈ B.
Prova: Como f ´e sobrejetora, f(A) = B, a cada y ∈ B corresponde um x ∈ A, isto ´e f(x) = y.
Mostremos agora que esse x ´e ´unico.
Suponhamos que exista outro x1 ∈ A tal que f(x1) = y, ent˜ao f(x) = f(x1), mas como f ´e
injetora, segue que x = x1; logo, para todo y ∈ B existe um e somente um x ∈ A tal que
f(x) = y, desta forma fica definida uma fun¸c˜ao representada por
f−1
: B → A tal que f−1
(y) = x,
Do an´alise anterior, segue que para todo y ∈ B, temos
f(f−1
(y)) = y.
49
51. (a,b)
(b,a)
y=x
00 X X
Y
Y
y=x
f
-1
f
5.1.2 Fun¸c˜ao Composta
Consideremos a fun¸c˜ao f : A → B. Se f(A) ⊂ C e g : C → D e fazemos corresponder a cada
x ∈ A o elemento g(f(x)) ∈ D, pois
f(x) ∈ f(A) ⊂ C,
podemos definir uma fun¸c˜ao h : A → D chamada de fun¸c˜ao composta e representado por
h = g ◦ f, isto ´e, para todo x ∈ A,
h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Vamos demonstrar um resultado para fun¸c˜oes compostas.
Teorema 5.1.2 1) Se a fun¸c˜ao f : A → B e g : C ⊃ f(A) → D, ent˜ao se A1 ⊂ A, ent˜ao,
(g ◦ f)(A1) = g(f(A1)).
2) Se D1 ⊂ (g ◦ f)(A), ent˜ao,
(g ◦ f)−1
(D1) = f−1
(g−1
(D1)).
Prova: 1) Se z ∈ (g ◦f)(A), ent˜ao z = (g ◦f)(x) para algum x ∈ A, e pela defini¸c˜ao de fun¸c˜ao
composta
(g ◦ f)(x) = g(f(x)),
temos que z = g(f(x)), sendo f(x) ∈ f(A),
g(f(x)) ∈ g(f(A)),
logo
(g ◦ f(A) ⊂ g(f(A)).
50
52. Se agora z ∈ g(f(A)), ent˜ao z = g(f(y)) para algum y ∈ f(A), donde y = f(x) para algum
x ∈ A e
z = g(f(x)) = (g ◦ f)(x),
segue que z ∈ (g ◦ f)(A) e
g(f(A)) ⊂ (g ◦ f)(A)
o que prova que
(g ◦ f)(A1) = g(f(A1)).
2) Se x ∈ (g ◦ f)−1
(D1) ent˜ao (g ◦ f)(x) ∈ D1 ou
g(f(x)) ∈ D1 e f(x) ∈ g−1
(D1),
donde
x ∈ f−1
(g−1
(D1)) e (g ◦ f)−1
(D1) ⊂ f−1
(g−1
(D1)).
Se x ∈ f−1
(g−1
(D1)), ent˜ao f(x) ∈ g−1
(D1), segue que g(f(x)) ∈ D1 ou seja (g ◦ f)(x) ∈ D1,
donde
x ∈ (g ◦ f)−1
(D1) e f−1
(g−1
(D1)) ⊂ (g ◦ f)−1
(D1)
e assim fica provado que
(g ◦ f)−1
(D1) = f−1
(g−1
(D1)).
5.1.3 Algumas Fun¸c˜oes Elementares
1. Polinˆomios e Fun¸c˜oes Racionais
Um polinˆomio de grau n ´e uma fun¸c˜ao do tipo
f(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + ao, an = 0,
onde ao, a1, · · · , an s˜ao coeficientes constantes e n ∈ N chama-se grau do polinˆomio.
A rela¸c˜ao entre dois polinˆomios, isto ´e, uma fun¸c˜ao do tipo
f(x)
anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + ao
bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b1x + bo
, an = 0, bm = 0,
chama-se fun¸c˜ao racional.
Assim por exemplo, as fun¸c˜oes
f(x) = x +
√
4, f(x) = x3
+ 5x, f(x) =
x − 2
3x2 + 4x
s˜ao exemplos de fun¸c˜oes racion´ais.
2. Fun¸c˜ao Potˆencia
A fun¸c˜ao do tipo f(x) = xα
, onde α ´e uma constante, chama-se fun¸c˜ao potˆencia. Assim
por exemplo, as fun¸c˜oes
f(x) = x−1/2
, f(x) = x1/3
, f(x) = x7/4
,
s˜ao fun¸c˜oes potˆencia.
51
53. 3. Fun¸c˜ao Exponencial
A fun¸c˜ao do tipo f(x) = ax
, onde a ´e uma constante positiva, chama-se fun¸c˜ao exponen-
cial. Assim por exemplo, as fun¸c˜oes
f(x) = 4x
, f(x) = ex
, f(x) = (
1
2
)x
,
s˜ao exemplos de fun¸c˜oes exponenciais.
0 X
Y
a = 1 2 a = 1 4
a = 6 a = 3
y = 1
Figura 5.1: Todos os gr´aficos da fun¸c˜ao ax
cortam o eixo 0Y no ponto y = 1
4. Fun¸c˜ao Logaritmo
A fun¸c˜ao do tipo f(x) = loga x, onde a ´e uma constante positiva e a = 1 chama-se fun¸c˜ao
logar´ıtmica. Assim por exemplo, as fun¸c˜oes
f(x) = loge x = ln x, f(x) = log1/2 x,
s˜ao fun¸c˜oes logar´ıtmicas.
5. Fun¸c˜ao Trigonom´etrica
As fun¸c˜oes do tipo
f(x) = cos x, f(x) = sin x, f(x) = tan x, f(x) = cot x
52
54. 0 X
Y
y = log xa
a = 4
a = 10
a = 1 3
a = 1 2
1
Figura 5.2: Todos os gr´aficos da fun¸c˜ao loga x cortam o eixo 0X no ponto x = 1
s˜ao fun¸c˜oes trigonom´etricas.
O gr´afico da fun¸c˜ao y = sin x ´e mostrado a seguinte figura.
Usando a f´ormula
sin x = cos(x +
π
2
),
n˜ao ´e dif´ıcil obter o gr´afico da fun¸c˜ao y = cos x a partir do gr´afico da fun¸c˜ao da fun¸c˜ao
y = sin x, com uma simples transla¸c˜ao ao longo do eixo 0X a esquerda um comprimento
de
π
2
.
Quando movimentamos os gr´aficos das fun¸c˜oes y = sin x e y = cos x ao longo do eixo 0X
a direita ou esquerda num intervalo de comprimento 2π, estes gr´aficos coincidem, o que
corresponde com o fato, que as fun¸c˜oes sin x e cos x possuem per´ıodos de 2π., isto ´e,
sin(x ± 2π) = sin x, e cos(x ± 2π) = cos x, para qualquer x.
53
56. Quando movimentamos os gr´aficos das fun¸c˜oes y = tan x e y = cot x ao longo do eixo 0X
a direita ou esquerda num intervalo de comprimento π, estes gr´aficos coincidem, o que
corresponde com o fato, que as fun¸c˜oes tan x e cot x possuem per´ıodos de π., isto ´e,
tan(x ± π) = tan x, e cot(x ± π) = cot x, para qualquer x.
Os gr´aficos das fun¸c˜oes:
y = A sin ax, y = A cos ax (A > 0, a > 0) (5.1)
s˜ao muito parecidos com os gr´aficos das fun¸c˜oes y sin x e y = cos x. Para obter por
exemplo o gr´afico da fun¸c˜ao y = A sin ax de (5.1) a partir do gr´afico de y = sin x, ´e
necess´ario multiplicar o comprimento de todas as ordenadas da fun¸c˜ao y = sin x por A e
mudar no eixo 0X a absi¸ca do ponto x pela absi¸ca com ponto
x
a
. A fun¸c˜ao y = A sin ax
´e peri´odica de per´ıodo
2π
a
.
Os gr´aficos das fun¸c˜oes:
Y = A sin(ax + b), y = cos(ax + b), (5.2)
chamadas de curvas harmˆonicas simples obtem-se dos gr´aficos das fun¸c˜oes (5.1)
fazendo uma transla¸c˜ao ao longo do eixo 0X um intervalo de comprimento
b
a
a es-
querda(considerando b > 0). As fun¸c˜oes (5.2) possuem per´ıodos
2π
a
.
55
57. 0 X
Y
A B C D
Figura 5.3: Gr´afico da fun¸c˜ao y = tan x. A = −π/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2
A B C D0 X
Y
Figura 5.4: Gr´afico da fun¸c˜ao y = cot x. A = −π, B = −π/2, C = π/2, D = π
56
58. Observamos que os gr´aficos das fun¸c˜oes
y = A1 sin a1x + A2 sin a2x + B1 cos a1x + B2 sin a2x,
que s˜ao combina¸c˜oes de fun¸c˜oes do tipo (5.1), podemos construir somando as ordenadas
dos gr´aficos dos termos separados. As curvas assim obtidas chamam-se curvas harmˆonicas
compexas.
Por exemplo o gr´afico da fun¸c˜ao y = 3 sin x + 2 cos 2x apresemta-se na seguinte figura
Notamos que a fun¸c˜ao
y = A1 sin a1x + B1 cos a1x (5.3)
pode ser escrita na forma de (5.2) e apresenta-se como um movimento harmˆonico simples.
De fato, escrevemos,
m =
A1
A2
1 + B2
1
,
n =
B1
A2
1 + B2
1
,
A = A2
1 + B2
1.
temos, obviamente
A1 = mA, B1 = nA, (5.4)
e al´em disso
m2
+ n2
= 1,
57
59. |m| ≤ 1, n| ≤ 1,
e por esta raz˜ao, como ´e conhecido na trigonometria, sempre ´e poss´ıvel encontrar um
ˆangulo b1, tal que,
cos b1 = m, sin b1 = n. (5.5)
Substituindo em (5.3) as express˜oes de A1 e B1 de (5.4) e usando as igualdades (5.5),
obtemos
y = A(cos b1. sin a1x + sin b1. cos a1x),
isto ´e,
y = A sin(a1x + b1).
6. Fun¸c˜oes Trigonom´etricas Inversas
f(x) = arcsin x, f(x) = arccos x, f(x) = arc tan x, f(x) = arc cot x.
Analisemos a fun¸c˜ao
y = arcsin x. (5.6)
O g´afico desta fun¸c˜ao obtem-se pelo m´etodo indicado acima de fun¸c˜oes inversas. O gr´afico
todo est´a ubicado entre as retas veticais x = −1 e x = 1, isto ´e, a fun¸c˜ao (5.6) est´a definida
somente no intervalo −1 ≤ x ≤ 1. Notamos que a equa¸c˜ao (5.6) ´e equivalente a equa¸c˜ao
x = sin y, que como ´e conhecido da trigonometria, para um x dado, obtemos um conjunto
de valores para o ˆangulo y. Do gr´afico observamos que as retas perpendiculares ao eixo
0X nos pontos do intervalo −1 ≤ x ≤ 1 cortam gr´afico em um n´umero infinito de pontos,
isto ´e, a fun¸c˜ao (5.6) ´e uma fun¸c˜ao de m´ultiples valores.
Imediatamente do gr´afico da fun¸c˜ao y = arcsin x observamos que esta fun¸c˜ao ser´a uni-
valente se nos restringimos aos valores do ˆangulo y, que tem sin y = x, no intervalo
(−
π
2
,
π
2
).
No seguinte gr´afico da fun¸c˜ao y = arccos x, observamos que esta fun¸c˜ao ser´a univalente
se nos restringimos aos valores do ˆangulo y, que tem cos y = x, no intervalo (0, π).
No seguinte gr´afico da fun¸c˜ao y = arctan x, oobservamos que esta fun¸c˜ao ser´a univalente
se nos restringimos aos valores do ˆangulo y, que tem tan y = x, no intervalo (−
π
2
,
π
2
).
No seguinte gr´afico da fun¸c˜ao y = arccotx, oobservamos que esta fun¸c˜ao ser´a univalente
se nos restringimos aos valores do ˆangulo y, que tem cot y = x, no intervalo (0, π).
N˜ao ´e dif´ıcil mostrar, que as fun¸c˜oes inversas trigonom´etricas definidas acima, satisfazem
as seguintes rela¸c˜oes:
arcsin x + arccos x =
π
2
arctan x + arccot x =
π
2
.
O conjunto de fun¸c˜oes elementares dividam-se em duas classes: fun¸c˜oes elementares
alg´ebricas e fun¸c˜oes elementares trascendentes.
O sentido da divis˜ao em duas classes consiste no seguinte: Consideremos o polinˆomio de duas
vari´aveis P(x, y). Suponhamos que a fun¸c˜ao y = f(x) definida num intervalo [a, b] satisfa¸ca a
equa¸c˜ao P(x, y) = 0, isto ´e,
P(x, f(x)) ≡ 0, x ∈ [a, b].
58
60. 0 X
Y
-1 1
A
B
C
D
E
Figura 5.5: Gr´afico da fun¸c˜ao y = arcsin x. A = −π/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2, E = 2π
A
B
C
D
0
X
Y
-1 1
Figura 5.6: Gr´afico da fun¸c˜ao y = arccos x. A = −pi/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2
59
61. 0 X
Y
A
B
C
D
1 2 3-1-2-3
Figura 5.7: Gr´afico da fun¸c˜ao y = arctan x. A = −π/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2
Ent˜ao a fun¸c˜ao y = f(x), x ∈ [a, b] chama-se alg´ebrica. Por exemplo a fun¸c˜ao y =
√
4 − x4 ´e
uma fun¸c˜ao alg´ebrica quando −2 ≤ x ≤ 2, ela satisfaz a equa¸c˜ao alg´ebrica x2
+ y2
= 4.
Qualquer fun¸c˜ao racional ´e uma fun¸c˜ao alg´ebrica, pois a fun¸c˜ao y =
P(x)
Q(x)
, onde P(x) e
Q(x) s˜ao polinˆomios de algum grau, satisfaz a equa¸c˜ao Q(x)y − P(x) = 0
As fun¸c˜oes alg´ebricas que n˜ao s˜ao racion´ais chamam-se irracion´ais. Em qualidade de exem-
plos de fun¸c˜oes alg´ebricas irracionais s˜ao as fun¸c˜oes y =
√
x, y =
3
√
x2.
Exemplo 5.4 Mostre que a fun¸c˜ao y =
√
x ´e uma fun¸c˜ao alg´ebrica irracional.
Prova: Suponhamos que a fun¸c˜ao y =
√
x seja alg´ebrica racional, isto ´e,
√
x =
Pn(x)
Qm(x)
, x ≥ 0, (5.7)
onde Pn(x) e Qm(x) s˜ao polinˆomios de grau n e m respectivamente. Suponhamos que estes
polinˆomios n˜ao tenham um fator comum da forma xk
, k > 0. Analizemos a equa¸c˜ao (5.7) no
intervalo [a, b], b > a > 0. Temos
Q2
m(x)x = P2
n (x), (5.8)
e portanto , o polinˆomio P2
n (x) ´e divis´ıvel por x. Daqui segue que x divide Pn(x) e portanto
Pn(x) = xPn−1(x)
. Pondo esta expres˜ao de Pn(x) em (5.8), obtemos
Q2
m(x)x = x2
P2
n−1(x),
60
62. daqui, simplificando por x,
Q2
m(x) = xP2
n−1(x).
Raciocinando, de forma an´aloga ao caso de Pn(x), obtemos
Qm(x) = xQm−1(x)
. Desta forma, os polinˆomios Pn(x) e Qm(x) possuem um fator comum x, o que contradiz a
suposi¸c˜ao que
√
x =
Pn(x)
Qm(x)
´e uma fun¸c˜ao alg´ebrica racional. A contradi¸c˜ao obtida mostra que
√
x ´e uma fun¸c˜ao alg´ebrica irracional.
Defini¸c˜ao 5.1.7 A fun¸c˜ao f(x) chama-se trascedental se ela n˜ao satisfaz nenhuma equa¸ca˜o
alg´ebrica da forma P(x, y) = 0, onde P(x, y) ´e um polinˆomio das vari´aveis x e y.
5.2 Fun¸c˜ao Par e Fun¸c˜ao ´Impar
O Conjunto de pontos X da reta num´erica chama-se sim´etrica com rela¸c˜ao `a origem de
coordenadas, se para qualquer ponto x ∈ X o n´umero −x tamb´em pertence a X.
Exemplos de tais conjuntos podem ser:
a) a uni˜ao dos intervalos (−∞, 0) e (0, +∞); b) o intervalo [−a, a]; c) o intervalo (−a, a).
Defini¸c˜ao 5.2.1 A fun¸c˜ao y = f(x), definida no conjunto X, chama-se par, se cumprem-se
as seguintes condi¸c˜oes:
1o
. O conjunto X ´e sim´etrico com rela¸c˜ao `a origem de coordenadas
2o
. para qualquer x ∈ X vale a igualdade
f(x) = f(−x).
Exemplos de fun¸c˜oes pares s˜ao as seguintes fun¸c˜oes
y = x6
y =
x2
1 + x4
, y = cos x, y = 2|x|
− | sin x|.
Se f(x), x ∈ X, ´e par, ent˜ao para cada x ∈ X os pontos do seu gr´afico (x, f(x)) e
(−x, f(−x)) s˜ao sim´etricos com rela¸c˜ao ao eixo Y . Desta forma, o gr´afico de uma fun¸c˜ao par
´e sim´etrico com rela¸c˜ao ao eixo Y .
Defini¸c˜ao 5.2.2 A fun¸c˜ao y = f(x), definida no conjunto X, chama-se ´ımpar, se cumprem-se
as seguintes condi¸c˜oes:
1o
. O conjunto X ´e sim´etrico com rela¸c˜ao `a origem de coordenadas
2o
. para qualquer x ∈ X vale a igualdade
f(−x) = −f(x).
61
64. Exemplos de fun¸c˜oes ´ımpares s˜ao as seguintes fun¸c˜oes
y = x3
y =
x
1 + x4
, y = sin x, y = x
√
x2 − 9.
Se f(x), x ∈ X, ´e ´ımpar, ent˜ao para cada x ∈ X os pontos do seu gr´afico (x, f(x)) e
(−x, f(−x)) s˜ao sim´etricos com rela¸c˜ao `a origem de coordenadas. Desta forma, o gr´afico de
uma fun¸c˜ao ´ımpar ´e sim´etrico com rela¸c˜ao `a origem de coordenadas.
Notamos que existem fun¸c˜oes, que nem s˜ao pares nem ´ımpares; por exemplo,
1. A fun¸c˜ao y =
√
x n˜ao ´e nem par nem ´ımpar, pois seu dom´ınio n˜ao ´e um conjunto
sim´etrico com rela¸c˜ao `a origem de coordenadas;
2. A fun¸c˜ao y = (1/2)x
n˜ao ´e nem par nem ´ımpar, ainda que seu dom´ınio seja ´e um conjunto
sim´etrico com rela¸c˜ao `a origem de coordenadas, no entanto, por exemplo,
y(1) = 1/2 = 2 = y(−1), y(1) = 1/2 = −2 = −y(−1).
A ´unica fun¸c˜ao, definida num conjunto sim´etrico M com rela¸c˜ao `a origem de coordenadas que
´e par e ´ımpar ao mesmo tempo neste conjunto, ´e a fun¸c˜ao f(x) ≡ 0, x ∈ M ⊂ R.
Qualquer fun¸c˜ao y = f(x), definido no conjunto X sim´etrico com rela¸c˜ao `a origem de
coordenadas podemos escrever como soma de uma fun¸c˜ao par ϕ(x) e de uma fun¸c˜ao ´ımpar
ψ(x), isto ´e f(x) = ϕ(x) + ψ(x). Aqui
ϕ(x) =
f(x) + f(−x)
2
, ψ(x) =
f(x) − f(−x)
2
.
Propriedades das Fun¸c˜oes Pares e ´Impares
1. Se f(x) e g(x) s˜ao fun¸c˜oes pares no mesmo conjunto X, ent˜ao as fun¸c˜oes
fx)+g(x), f(x)−g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x), g(x) = 0, s˜ao fun¸c˜oes pares no conjunto X.
2. Se f(x) e g(x) s˜ao fun¸c˜oes ´ımpares no mesmo conjunto X, ent˜ao as fun¸c˜oes f(x) +
g(x), f(x) − g(x), s˜ao fun¸c˜oes ´ımpares no conjunto X. A fun¸c˜ao f(x)g(x) ´e par no
conjunto X; da mesma forma, a fun¸c˜ao f(x)/g(x) ´e par desde que g(x) = 0.
Exemplo 5.5 Mostre que a seguinte fun¸c˜ao ´e ´ımpar
y = log2(x +
√
1 + x2).
Solu¸c˜ao: O dom´ınio de existˆencia da fun¸c˜ao dada ´e o conjunto de todo os pontos x tais que
x +
√
1 + x2 > 0. Esta desigualdade ´e satisfeita para qualquer x ∈ R. na verdade se x = 0,
ent˜ao x +
√
1 + x2 = 1 > 0. Para qualquer x = 0 temos
x +
√
1 + x2 = x + |x| 1 +
1
x2
> x + |x| ≥ 0.
Desta forma, o dom´ınio da fun¸c˜ao dada ´e sim´etrica com rela¸c˜ao `a origem de coordenadas.
63
65. Continuando com o an´alise, para qualquer x real valem as seguintes igualdades
y(−x) = log2(−x + 1 + (−x)2) = log2(−x +
√
1 + x2)
= log2
(−x +
√
1 + x2)(x +
√
1 + x2)
x +
√
1 + x2
= log2
1
x +
√
1 + x2
= log2(x +
√
1 + x2)−1
= − log2(x +
√
1 + x2) =
= −y(x).
Como o o dom´ınio da fun¸c˜ao dada ´e a reta num´erica e y(x) = −y(−x) para todo x ∈ R, ent˜ao
a fun¸c˜ao dada ´e ´ımpar.
Exemplo 5.6 Escreva como soma de uma fun¸c˜ao par e uma fun¸c˜ao ´ımpar a seguinte fun¸c˜ao
y = 3x
.
Solu¸c˜ao: Escrevamos
ϕ(x) =
3x
+ 3−x
2
, ψ(x) =
3x
− 3−x
2
.
Ent˜ao ϕ(−x) = ϕ(x), ψ(−x) = −ψ(x), isto ´e, ϕ(x) ´e uma fun¸c˜ao par, e ψ(x) ´e uma fun¸c˜ao
´ımpar. Assim
y(x) = ϕ(x) + ψ(x).
Exemplo 5.7 Verifique se a seguinte fun¸c˜ao ´e par ou ´ımpar,
f(x) = log2
x + 1
x − 1
x − log2
2 + x
2 − x
.
Solu¸c˜ao: Primeiramente calculemos o dom´ınio da fun¸c˜ao;
x + 1
x − 1
> 0,
2 + x
2 − x
> 0,
⇐⇒
−2 < x < −1
1 < x < 2,
ent˜ao o dom´ınio da fun¸c˜ao f(x) ´e sim´etrica com rela¸c˜ao ao origem de coordenadas.
Para qualquer x pertencente ao dom´ınio da fun¸c˜ao, temos
f(−x) = log2
−x + 1
−x − 1
−x − log2
2 − x
2 − (−x)
=
= − log2
x − 1
x + 1
x + log2
2 − x
2 + x
=
= log2
x − 1
x + 1
−1
x − log2
2 − x
2 + x
−1
=
= log2
x + 1
x − 1
x − log2
2 + x
2 − x
=
= f(x).
Portanto, a fun¸c˜ao f(x) ´e par.
64