Livro Completo sobre Maple

MAPLE PARA CÁLCULO EM UMA
VARIÁVEL
2 4 6 8 10
0.2
0.2
0.4
0.6
Mauricio A. Vilches - Maria Hermínia de P. Leite
Departamento de Análise - IME
UERJ

2
Todos os direitos reservados
Proibida a reprodução parcial ou total

3
PREFÁCIO
Esse livro surgiu da necessidade de modernização do ensino de Cálculo Diferen-
cial e Integral, na Universidade do Estado do Rio de Janeiro, UERJ. O texto,
elaborado para a disciplina introdutória, Cálculo I, foi concebido para servir de
guia a todos que buscam uma renovação da prática docente, de modo a con-
ciliar aspectos do ensino tradicional com a utilização de recursos computacio-
nais. A intenção que norteou essa iniciativa foi, não somente ilustrar melhor
os conceitos teóricos, através da utilização dos recursos gráficos e da elaboração
de cálculos algébricos mais complexos que são possibilitados pelos programas
computacionais matemáticos, mas, principalmente, promover uma mudança de
metodologia.
O objetivo principal do livro é transformar o conceito tradicional, onde o pro-
fessor, em geral, é o único participante ativo da atividade de ensino, sendo os
alunos meros receptores, numa parceria, onde tanto mestre como alunos pos-
sam interagir, todos participando ativamente do desenvolvimento da aula.
Acreditamos que a utilização desse livro irá auxiliar o professor no seu papel
de orientador, instigador e moderador do processo de aprendizagem, bem como
possibilitará que os alunos se tornem verdadeiros colaboradores na elaboração
da aula, através de uma melhor compreensão dos conceitos abordados, de uma
busca mais divertida das soluções de muitos dos problemas propostos e da cria-
ção, por eles próprios, de novas tarefas ou exercícios.
Outro aspecto que consideramos de grande importância é desmistificar a idéia
de que "o computador é capaz de tudo", idéia essa, que parece se firmar, cada
vez mais, num mundo que presencia o ritmo acelerado em que se desenvolve a
Tecnologia de Informação e Comunicação. As limitações dos algoritmos empre-
gados em certas versões dos programas computacionais ocasionam deficiências
nas resoluções de alguns problemas matemáticos. São os chamados conflitos
computacionais. Assim, desejamos também que o aluno desenvolva um senso
crítico em relação ao uso da "máquina"e percebam que não se pode abster "do
pensar"e que "o cérebro é ainda a melhor máquina". Por isso, a seção 1.23

4
do Capítulo 1 é dedicada a problemas matemáticos, que não são resolvidos de
maneira satisfatória pela versão do MAPLE que utilizamos.
No Curso de Matemática da UERJ, a disciplina de Cálculo I, com aulas ex-
positivas tradicionais, é complementada com uma disciplina de Laboratório de
Cálculo I. Para as aulas de laboratório, utilizamos o programa MAPLE. A expe-
riência dos autores em ministrar, simultaneamente, por mais de dois anos, essas
duas disciplinas, a teórica e de laboratório, possibilitou a elaboração desse texto,
que apresenta, em todos os seus capítulos, os comandos básicos do MAPLE,
versão 9.5, relacionando-os com os conceitos que são abordados na disciplina
teórica. Muitos poderiam observar que esses comandos são obtidos através da
"Ajuda"do programa. No entanto, lembramos que o aluno está tendo o seu
primeiro contato com o Cálculo Diferencial e Integral e muitos deles não têm o
conhecimento, nem da terminologia empregada no Cálculo, nem dos programas
computacionais que podem ser utilizados nessa área. Assim, sentem dificul-
dades em manipular tais programas, a começar pela própria busca de tópicos.
Portanto, o fato do livro explicitar os comandos mais básicos do MAPLE poupa
um tempo precioso do aluno, que poderá melhor empregá-lo para se dedicar á
resolução de problemas e desenvolvimento de projetos que viabilizem a aprendi-
zagem dos conceitos matemáticos.
O conteúdo do livro é o mesmo de um curso tradicional de Cálculo, mas o seu
enfoque foi o da utilização do computador como ferramenta para a resolução de
exercícios e de chamar a atenção para a ocorrência de eventuais conflitos com-
putacionais. Tem a vantagem de ser auto-explicativo, o que permite ao aluno
determinar o seu próprio ritmo de estudo, além de contribuir para o seu desem-
penho individual. Como muitas das sintaxes dos programas computacionais
utilizados em Matemática são parecidas, nossa experiência mostra que, após
esse primeiro contato com a disciplina Laboratório de Cálculo I, onde se fez a
opção de usar o MAPLE, o aluno adquire habilidade para lidar com esse tipo de
ferramenta computacional e consegue facilmente manipular outros programas
semelhantes.
Não podemos deixar de externar nossos mais sinceros agradecimentos ao pro-
fessor Mário Olivero Marques da Silva, do Instituto de Matématica da Uni-
versidade Federal Fluminense, UFF, que foi um dos idealizadores de um projeto
pioneiro, realizado na UFF, no final da década de 1990, que utilizou o Maple

5
V como uma ferramenta didática para auxiliar a compreensão do conteúdo pro-
gramático da disciplina de Cálculo I. Um dos produtos gerados por esse projeto
foi o material didático que pode ser encontrado nas referências e do qual nos
utilizamos, como ponto de partida, para as nossas primeiras experiências leci-
onando a disciplina de Laboratório de Cálculo I, na UERJ. Assim, muitas das
idéias contidas nesse livro sofreram inﬂuência dessa iniciativa pioneira.
Os autores
Rio de Janeiro - Brasil

Conteúdo
1 COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE 11
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Início . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Operações e Números Pré-Definidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Funções Pré-Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Cálculos Aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Manipulações Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Equações, Inequações e Sistemas de Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Nomeação de Objetos e Substituições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9 Livrarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.9.1 Livraria - RealDomain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10 Conjuntos e Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 35
2.1 Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Conversão de Expressões em Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Funções Definidas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Composta de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7 Gráficos de Outros Tipos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7.1 Gráficos de Funções Definidas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7.2 Gráficos de Funções Definidas por Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8 Livraria do Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.9 Gráficos de Regiões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.10 Animações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.11 Traçado de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.12 Deficiências do MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 LIMITES E CONTINUIDADE 75
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Cálculo de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7

8 CONTEÚDO
3.4 Definição de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.5 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 DERIVADA 107
4.1 Retas Secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4 Sintaxes que envolvem a Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4.1 O Operador Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6 Derivaçãos Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.7 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.8 Aproximação de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.9 Polinômio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.10 Erros de Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5 VARIAÇÃO DE FUNÇÕES 147
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2 Determinação de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.3 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.4 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6 INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 171
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.2 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.4 Método para Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7 INTEGRAÇÃO DEFINIDA 187
7.1 Intodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2 Definição e Cálculo da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.3 Teorema Fundamental do Cálculo e Construção de Primitivas . . . . . . . . . . . 199
7.4 Definição de Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4.1 Logaritmo como Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4.2 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.4.3 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.4.4 Método para Funções Racianais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

CONTEÚDO 9
8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 217
8.1 Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2 Cálculo do Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.3 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.4 Volume de Sólidos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.4.1 Cálculo do Volume dos Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.4.2 Método das Arruelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 257
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.2 Integrais Deﬁnidas em Intervalos Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.3 Valor Principal de uma Integral Imprópria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.4 Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.5 Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
9.5.1 Distribuição Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.5.2 Distribuição Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.5.3 Distribuição de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.6 Distribuição Normal ou Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.6.1 Distribuição Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.7 Integrais de Funções Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Bibliograﬁa Básica 295

Capítulo 1
COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
1.1 Introdução
O MAPLE é um tipo de software, pertecente a uma classe chamada de computação simbólica
ou algébrica, dirigido para a resolução de diversos problemas em Matemática e outras Ciências
afins.
Uma das principais características do MAPLE é permitir manipulações numéricas e simbólicas,
além de gerar gráficos em dimensão 2 e 3. As manipulações simbólicas são operações do tipo
- expressar uma variável em função de outra, substituição, simplificação, fatoração, reagrupa-
mentos dos termos de uma expressão, etc. A capacidade simbólica do software, permite obter
soluções exatas em diversos tipos de problemas.
O MAPLE consiste de três partes principais, a saber: o núcleo (kernel), que é a parte central do
software, escrita em linguagem C, onde são realizadas as operações; as livrarias (packages), que
são um conjunto de funções pré-definidas e que são acionadas por uma sintaxe própria, quando
necessário; e finalmente, a interface do usuário, chamada folha de trabalho (worksheet), onde
se realizam as operações de entrada e saída. O MAPLE tem, essencialmente, dois tipos de
comandos: os que utilizam o núcleo e os comando da interface do usuário.
O MAPLE é uma ferramenta poderosa que serve não somente para testar os conhecimentos
de Cálculo I, como também abrange muitas áreas da Matemática. Nestas notas nos concentra-
remos, essencialmente, na parte básica do software, direcionado exclusivamente ao Cálculo de
funções de uma variável real. As sintaxes apresentadas nestas notas correspondem às versões
do MAPLE 5 em diante.
Recomendamos que, ao ler os capítulos, já esteja instalado o MAPLE para reproduzir os exem-
plos e os exercícios.
Finalmente, observamos que é recomendável a utilização de recursos computacionais, no
apoio ao ensino do Cálculo, é recomendável, mas isso não exclui, de forma alguma, a abor-
dagem do aprendizado teórico em sala de aula, o qual sempre se mostrou indispensável.
A utilização do MAPLE no Cálculo é um ótimo laboratório para testar e esclarecer muitos
conceitos estudados em sala de aula. Veja o último parágrafo deste capítulo.
11

12 CAPÍTULO 1. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE
1.2 Início
Após o início do software, a digitação das expressões serão feita ao lado do prompt :
>
Isto é, quando aparecer o prompt, implica em que o MAPLE está pronto para receber os co-
mandos.
A sintaxe de todo comando do MAPLE deve terminar em ponto e vírgula:
>expressão;
Ou dois pontos:
>expressão:
Utilizamos ";” (ponto e vírgula) quando desejamos que o resultado seja mostrado imediata-
mente na tela. Utilizamos ":” (dois pontos) quando desejamos que o MAPLE execute o co-
mando e o resultado seja guardado na memória, sem mostrá-lo na tela. A execução da sintaxe
do comando após ";” ou ":” é finalizada pressionando a tecla enter.
Em geral, é conveniente, ao início de cada exercício, utilizar o comando:
>restart;
Este comando apaga da memória os comandos utilizados anteriormente, porém, não apaga o
que já foi digitado no worksheet.
É possível guardar os dados digitados, enviando-os para um arquivo de extensão *.mws, o
qual poderá ser lido pelo MAPLE em outra ocasião.
1.3 Operações e Números Pré-Definidos
Alguns dos comandos básicos para diversas operações pré-definidas do MAPLE são:
Adição: +
Subtração: -
Multiplicação: *
Divisão: /
Potenciação: ˆ
Fatorial de um número natural: !
Maior e menor que: > e <
Maior ou igual e menor ou igual que: >= e <=
Diferente de: <>

1.3. OPERAÇÕES E NÚMEROS PRÉ-DEFINIDOS 13
Máximo divisor comum: igcd(a,b,c,...)
Mínimo múltiplo comum: ilcm(a,b,c,...)
Menor inteiro maior ou igual a x: ceil(x)
Parte inteira de x: trunc(x)
Parte fracionária de x: frac(x)
O MAPLE tem os seguintes números pré-definidos:
O número π é definido por: Pi
O número e é definido por: exp(1)
A unidade imaginária é definida por: I
Notamos que o Maple utiliza para os decimais ".” ponto. Por exemplo:
3
7
é denotado na forma
decimal 0.428571.
Exemplo 1.1.
1. Para calcular 3 × 71/9 + 113 − 1. Devemos digitar:
> 3*7 ˆ(1/9) +11 ˆ 3 -1;
3
9
√
7 + 1330
2. Para calcular
5 π − 1
3
. Devemos digitar:
> (5*Pi-1)/3;
5 π − 1
3
Devemos ter cuidado nos parênteses utilizados na construção de uma expressão. No exem-
plo anterior, o resultado será diferente se digitarmos:
> 5*Pi-1/3;
5 π −
1
3
Logo, o resultado será diferente.
3. Determine o máximo divisor comum de 6 e 26 e mínimo múltiplo comum de 5 e 24.
Escrevemos:

> igcd(6,26);
2
Analogamente, escrevemos:
> ilcm(5,24);
120
4. Determine o menor inteiro maior ou igual a 5.3 e a parte inteira de 223.34.
Escrevemos:
> ceil(5.3);
6
Analogamente, escrevemos:
> trunc(223.34);
223
1.4 Funções Pré-Definidas
O MAPLE tem algumas funções elementares e transcendentes pré-definidas, por exemplo:
Valor absoluto de x, ( |x|): abs(x)
Sinal de x, ( sgn(x)): csgn(x)
O maior inteiro que é menor ou igual a x, ( [[x]]): floor(x)
Raiz quadrada de x, (
√
x): sqrt(x)
Raiz n-ésima de x, ( n
√
x): root(x,n )
Exponencial de x, ( ex): exp(x)
Logaritmo natural de x, (ln(x)): ln(x)
Logaritmo na base 10 de x, (log(x)): log(x)
Logaritmo na base b de x, (logb(x)): log[b](x)
Funções Trigonométricas:
sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)

1.4. FUNÇÕES PRÉ-DEFINIDAS 15
.
Onde x, é em radianos.
Funções Trigonométricas Inversas:
arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x), arcsec(x), arcsc(x)
Funções Trigonométricas Hiperbólicas:
sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x), sech(x), csch(x)
Funções Trigonométricas Hiperbólicas Inversas:
arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x), arccoth(x), arcsech(x), arcsch(x)
Exemplo 1.2.
1. Determine o valor de tg(
4 π
3
). Devemos digitar:
> tan(4*Pi/3);
√
3
2. Determine o valor de 4 sen(
π
3
) − sec2(
π
4
). Devemos digitar:
> 4*sin(Pi/3)-sec(Pi/4) ˆ 2;
2
√
3 − 2
3. Determine o valor de arcsen(1) − arctan(1) + sech(4). Devemos digitar:
> arcsin(1)-arctan(1)+sech(4);
π
2
+ sech(2)
4. Determine o valor de log5(3) + ln(5) + log(
1
2
). Devemos digitar:
> log[5](3)+ln(5)+log(1/2);
ln(3)
ln(5)
+ ln(5) − ln(2)
Pode explicar este resultado?
5. Determine o valor de [[π + 70
√
12929 + e5]]. Devemos digitar:
> ﬂoor(Pi+root(12929, 70)+exp(5));
152

1.5 Cálculos Aproximados
Para efetuar cálculos aproximados no MAPLE, utilizaremos o comando:
> evalf(expressão, digitos );
Ou, alternativamente:
> evalf[digitos ] (expressão);
O comando evalf expressa o valor aproximado na forma de número decimal com um total de
10 digítos, se não é indicado o números de digitos. Podemos alterar o número de digítos da
resposta, como mostram os exemplos a seguir:
Exemplo 1.3.
1. Determine o valor aproximado de π. Devemos digitar:
> evalf(Pi);
3.141592654
Se desejamos mais digítos na aproximação, por exemplo 100, escrevemos:
> evalf[100](Pi);
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286
208998628034825342117068
2. Determine o valor aproximado de 43
√
5 +
17
3
+ e 5
√
456 − [[ln(453)]]. Devemos digitar:
> evalf(4 ˆ 3*sqrt(5)+17/3 +exp(1)*root(456, 5)-ﬂoor(ln(453)));
152.0238611
Para obter o resultado com 30 digítos:
>evalf(4ˆ3*sqrt(5)+17/3 +exp(1)*root(456, 5)-ﬂoor(ln(453)),30);
152.023861144905348681717678473
3. Determine o valor aproximado de 4 sen(
π
3
) − sec2(
π
4
). Devemos digitar:
> evalf(4*sin(Pi/3)-sec(Pi/4) ˆ 2) ;
1.464101616

1.6. MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS 17
4. Determine o valor aproximado de log5(3) + ln(5) + log(
1
2
). Devemos digitar:
> evalf(log[5](3)+ln(5)+log(1/2));
1.598896926
1.6 Manipulações Algébricas
Como foi comentado no início do capítulo, o MAPLE aceita também expressões algébricas.
Os seguintes comandos são utilizados para manipulações de expressões numéricas e/ou algé-
bricas:
Desenvolver uma expressão: expand( )
Fatore uma expressão: factor( )
Simpliﬁque uma expressão: simplify( )
Decompor um número em fatores primos: ifactor( )
Estes comandos possuem algumas opções adicionais. Por exemplo:
> expand(expressão, opção);
Os argumentos desta sintaxe são: trig, exp, ln , power ou radical. Outras opções podem ser
consultadas, utilizando >?sintaxe.
Exemplo 1.4.
1. Desenvolver (x2 + 4)4. Devemos escrever:
> expand((x ˆ 2 +4)ˆ4);
x8
+ 16 x6
+ 96 x4
+ 256 x2
+ 256
2. Desenvolver sen(2 x). Devemos escrever:
> expand(sin(2*x));
sen(2 x)
Agora, se digitamos:
> expand(sin(2*x),trig);
2 sin(x) cos(x)
3. Desenvolver cosh(x + y). Devemos escrever:
> expand(cosh(x+y),exp);

cosh(x) cosh (y) + sinh(x) sinh(y)
Procure outras formas de utilizar este comando, digitando >?sintaxe.
4. Desenvolver sen(ω (x − x0) + α). Se escrevemos:
>expand(sin(omega*(x-x0)+alpha));
sin(ω x) cos(ω x0 ) cos(α) + sin(ω x) sin(ω x0 ) sin(α) − cos(ω x) sin(ω x0 ) cos(α)+
cos(ω x) cos(ω x0 ) sin(α)
Agora, se escrevemos:
>expand(sin(omega*(x-x0 )+alpha),x-x0 );
sin(ω (x − x0 )) cos(α) + cos(ω (x − x0 )) sin(α)
5. Fatore x6 − 4096. Devemos escrever:
> factor(x ˆ 6 -4096);
(x − 4) (x + 4) (x2 + 4 x + 16) (x2 − 4 x + 16)
6. Simpliﬁque
x6 − 4096
x4 − 16
. Devemos escrever:
> simplify((x ˆ 6 -4096))/(xˆ4 -16);
x4
+ 16 x2
+ 256
7. Simpliﬁque cosh2(x) − senh(x)2. Devemos escrever:
> simplify(cosh(x) ˆ 2 -sinh(x) ˆ 2);
1
Explique este resultado.
8. Desenvolver sen(x + y). Devemos escrever:
> expand(sin(x+y));
sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
9. Decompor em fatores primos 3628800. Devemos escrever:
> ifactor(3628800);

1.6. MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS 19
((2))8
((3))4
((5))2
(7)
Em geral, o MAPLE não assume, a priori, o domínio das variáveis, numa expressão. Vejamos
o exemplo a seguir.
Exemplo 1.5.
1. Digite a seguinte expressão:
> sin(4*Pi*n);
sin(4 π n)
O MAPLE não lançou o resultado igual a zero. Isto é devido ao fato de que o MAPLE supõe
que n é uma variável independente e não necessariamente um número inteiro.
Utilizamos a seguinte sintaxe, para deﬁnir o domínio de uma variável:
> assume(variável, opção);
O tipo pode ser inteiro (integer), real (real) ou por exemplo:
> assume(variável>0);
No exemplo anterior:
> assume(n,integer);
> sin(4*Pi*n);
0
> cos(Pi*n);
(−1)n
2. Simpliﬁque x2 y2, se x e y são números positivos.
> simplify(sqrt(x ˆ 2 y ˆ 2), assume=nonneg);
x y
Também podemos utilizar:
> assume(variável1 >0, variável2 >0,....):
Quando se tratar de funções que envolvem logarítmos. Por exemplo:
3. Desenvolver ln
y
x
. Devemos digitar:

>assume(x>0,y>0):
> expand(ln(x/y);
ln(x) − ln(y)
4. Simpliﬁque ln(ex). Digitamos:
>assume(x, real):
> simplify(ln(exp(x)));
x
Outro comando de manipulação algébrica é o combine que produz o efeito inverso do co-
mando expand, o qual combina diversas expressões para conseguir uma mais reduzida. Ao
utilizar este comando, é nescesário indicar, como argumento, que tipo de elementos se deseja
combinar. A sintaxe é:
> combine(expressão, opção);
Ou, equivalentemente:
> combine[opção] (expressão);
As opções desta sintaxe são: trig, exp, ln , power ou radical.
Exemplo 1.6.
1. Digite:
> combine(2*sin(x)*cos(x),trig);
sin(2 x)
2. Digite:
> combine(exp(x)*exp(y),exp);
exy
3. Digite:
> combine(x ˆ y /x ˆ 2 ,power);
xy−2
4. Digite:
>combine[radical](sqrt(27)*sqrt(10)*sqrt(31)+sqrt(10)*sqrt(x ˆ 2 +1);
3
√
930 + 10 x2 + 10

1.7. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 21
1.7 Equações, Inequações e Sistemas de Equações
Para resolver equações, inequações, sistemas lineares, utilizamos o comando solve.
Para equações em uma variável:
> solve(equação, variável);
Para equações ou sistemas de equações de mais de uma variável, a sintaxe do comando deve
incluir as variáveis que desejamos determinar. Quando desejamos resolver um sistema a sin-
taxe é:
> solve({equação1,equação2,.....}, {variável1,variável2,......});
Este comando também é utilizado quando, numa equação com mais de uma variável, deseja-
mos expressar uma delas em função das outras.
Para determinar as soluções inteiras de uma equação, utilizamos a seguinte sintaxe:
>isolve(equação);
Quando se deseja obter o resultado aproximado de uma equação ou sistema utilizamos a sin-
taxe:
> fsolve(equação,variável, opções);
ou
> fsolve({equação1 ,equação2,....},{variável1, variável2, ....}, opções);
A opção mais utilizada, nesta sintaxe, é o intervalo onde se deseja achar a soluação aproximada.
Exemplo 1.7.
1. Determine a solução de x3 − 7 x2 + 4 x + 12 = 0. Devemos escrever:
>solve((x ˆ 3 -7*x ˆ 2 +4*x +12,{x});
{x = −1}, {x = 2}, {x = 6}
2. Determine a solução de x2 − 3 x y + 2 y2 = 0 em função de y. Devemos escrever:
>solve((x ˆ 2 -3*x*y+2*y ˆ 2 =0,{y});
{y = x}, {y =
x
2
}
3. Determine a solução do sistema:

5 x − 3 y = 1
−2 x + 8 y = 9.
Digite:
>solve(({5*x-3*y=1,-2*x+8*y=9},{x,y});
{x =
35
34
}, {y =
47
34
}
Podemos aproximar as soluções:
>solve(({5*x-3*y=1,-2*x+8*y=9},{x,y}):
>evalf(%)
{x = 1.029411765}, {y = 1.382352941}
Utilizamos o comando % para chamar a expressão imediatamente anterior sem repetir a
digitação. Este comando é muito útil quando se manipula expressões muito complicadas
e/ou extensas. Analogamente, o comando % % representa o penúltimo resultado.
4. Determine a solução de |x + |x + 2|2 − 1| > 9. Devemos digitar:
>solve(abs(x+abs(x+2)ˆ 2 -1)>9,x);
RealRange (Open (1) , ∞) , RealRange (−∞, Open (−6))
Isto é, (−∞, −6) ∪ (1, +∞).
5. Determine a solução de x x3 − 3 x2 − 9 x + 27 < 0. Devemos digitar:
>solve(x *abs(xˆ3 -3*x ˆ2+9*x+27) <0,x);
RealRange(Open(0), Open(3)), RealRange(Open(3), inﬁnity), RealRange(Open(-3), Open(0)),
RealRange(-inﬁnity, Open(-3))
Isto é, (−∞, −3) ∪ (−3, 0) ∪ (0, 3) ∪ (3, +∞).
6. Determine a solução de x2 − 36 x + 100 = 0, no intervalo [−20, 20]. Devemos digitar:
>fsolve(x ˆ 2 -36*x+100=0,{x},x=-20..20);
{3.0033370453}
7. Determine as soluções inteiras de: x4 +
5 x3
6
−
7 x2
3
+
x
6
+
1
3
= 0. Devemos digitar:
>isolve(xˆ 4+(5/6)*xˆ3-(7/3)*xˆ2+(1/6)*x+1/3);

1.7. EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 23
{x = −2}, {x = 1}
Note que:
>solve(xˆ 4+(5/6)*x ˆ 3-(7/3)*xˆ2+(1/6)*x+1/3,{x});
{x = −2}, {x = 1}, {x =
1
2
}, {x = −
1
3
}
sen(x + y) − ex y = 0
x − y = 1;
se (x, y) ∈ [−2, 2] × [−2, 2].
Digitemos:
>fsolve({sin(x+y)-exp(x) * y=0,x-y=1},{x,y},{x=-2..2,y=-2..2});
{x = 1.278443473, y = −0.2784434726}
O Maple ocasionalmente, lança soluções em função da expressão RootOf. Vejamos o seguinte
exemplo:
Exemplo 1.8.
Digitemos:
> solve(x ˆ 5 - 2*x + 3 = 0,x);
{x = RootOf(_Z5 − 2_Z + 3; index = 1)},
{x = RootOf(_Z5 − 2_Z + 3; index = 2)},
{x = RootOf(_Z5 − 2_Z + 3; index = 3)},
{x = RootOf(_Z5 − 2_Z + 3; index = 4)},
{x = RootOf(_Z5 − 2_Z + 3; index = 5)}
RootOf(expressão) é a forma genérica das raízes do polinômio. Isto indica que x é uma raiz
do polinômio z5 − 2 z + 3, onde index é o número e a ordem da solução Para obter soluções
explícitas, complexas, utilizamos a sintaxe:
> evalf(%);
{x = .9585321812+.4984277790*I}, {x = -.2467292569+1.320816347*I}, {x = -1.423605849},
{x = -.2467292569-1.320816347*I}, {x = .9585321812-.4984277790*I}
Estas são as 5 raizes da equação. As soluções da equação, onde aparece o símbolo I, são as
soluções que não são reais.

Para obter todas as soluções de uma equação equação, especialmente, as trigonometricas, uti-
lizamos a seguinte sintaxe:
>solve(equação,variável,AllSolutions);
Exemplo 1.9.
1. Determine a solução de sen(x) = 0.
>solve(sin(x)=0,x);
0
Digitamos:
>solve(sin(x)=0,{x},AllSolutions);
{x = π _Z5˜}
Isto equivale a:
x = k π, k ∈ Z
2. Determine a solução de cos(x) +
√
3
2
= 0.
>solve(cos(x)+sqrt(3)/2=0,x);
5
6
π
Digitamos:
>solve(cos(x)+sqrt(3)/2=0,{x},AllSolutions);
{x =
5
6
π −
5
3
π__B2˜ + 2 π_Z2˜}
Isto equivale a:
x =
5 π
6
+ 2 k π, x = −
5 π
3
+ 2 k π, m, k ∈ Z
3. Determine a solução de cos(4 x) + sen(2 x) = 0.
>solve(cos(4*x)+sin(2*x)=0,x,AllSolutions);
1
4
π + π _Z1˜, −
1
12
π + π _Z2˜, −
5
12
π + π _Z3˜
Interprete o resultado.

1.8. NOMEAÇÃO DE OBJETOS E SUBSTITUIÇÕES 25
1.8 Nomeação de Objetos e Substituições
Quando necessitamos utilizar seguidamente uma expressão e/ou valor numérico, podemos
nomeá-los, evitando assim digitá-los repetidamente.
A sintaxe para isto é:
:= (dois pontos e igual)
Para substituir os valores numa expressão já deﬁnida, utilizamos a seguinte sintaxe:
> subs(objeto a substituir, expressão);
Exemplo 1.10.
1. Se digitamos:
> eq1:=x+y-3=0;
eq1 := x + y − 3 = 0
Podemos chamar a expressão anterior, fazendo:
> eq1;
x + y − 3 = 0
Ou, resolvê-la:
> solve(eq1,{x});
{x = −y + 3}
2. Num sistema de equações, podemos nomeá-las como:
> eq1:=3 *x-5*y+z=1 :
> eq2:=x+3*y-z=5:
> eq3:=-x-y+z=1:
Escrevemos:
> solve({eq1,eq2,eq3 },{x,y,z});}
{x = 3, y = 3, z = 7}
3. Escreva a seguinte sequência de comandos:

> eq1:=a*x ˆ 2 +b * x+c;
a x2
+ b x + c
> sol:=solve(eq1=0,x);
{x =
1
2
−b +
√
b2 − 4 a c
a
} {x =
1
2
−b −
√
b2 − 4 a c
a
}
> sol[1];
{x =
1
2
−b +
√
b2 − 4 a c
a
}
Interprete a sequência de comando e faça > sol[2];.
4. Substitua no exemplo anterior os valores a = 1, b = 5 e c = 3. Devemos digitar:
> subs(a=1,b=5,c=3,eq1);
x2
+ 5 x + 3
5. Determine a solução de:
x5
− x4
e −
23 x4
8
+
23 e x3
8
−
179 x3
8
+
179 e x2
8
+
85 x2
4
−
85 e x
4
+ 3 x − 3 e = 0;
Devemos digitar:
>eq:=x ˆ 5-x ˆ 4*exp(1)-(23/8)*x ˆ 4+(23/8)*x ˆ 3*exp(1)-(179/8)*x ˆ 3+
+(179/8)*x ˆ 2*exp(1)+(85/4)*x ˆ 2-(85/4)*x*exp(1)+3*x-3*exp(1) = 0):
>sol:=solve(eq,{x});
{x = 1}, {x = −
1
8
}, {x = 6}, {x = −4}, {x = e}
>sol[1],sol[4]
{x = 1}, {x = −4}



x2 + y2 + z2 = 1
x − y + 2 z = −1
x y + y z + x z = 0
.
Devemos digitar:
>eq1:=x ˆ 2 +y ˆ 2 +z ˆ 2 =1:
>eq2:=x-y+2 *z=-1:

1.8. NOMEAÇÃO DE OBJETOS E SUBSTITUIÇÕES 27
>eq3:=x*y+y*z+z*x=-1:
>solve({eq1,eq2,eq3},{x,y,z});
{x = −
3
2
∗ RootOf(7 * _Z ˆ 2-3) +
1
2
, y =
1
2
∗ RootOf(7 * _Z ˆ 2 -3) +
3
2
, z = RootOf(7* _ Z ˆ 2- 3)},
{x = −
3
2
−
3
2
∗ RootOf(7* _ Z ˆ 2 +8 * _ Z-3), y = −
1
2
+
1
2
∗ RootOf(7* _Z ˆ 2+8*_Z-3),
z = RootOf(7*_ Z ˆ 2+8*_Z-3)}
evalf(%);
{x = −.4819805066, y = 1.827326836, z = .6546536711},
{x = −1.946306256, y = −.3512312478, z = .2975375043}
Para veriﬁcar que os resultados obtidos pelo MAPLE são, realmente, soluções de uma equação
e/ou um sistema de equações, utilizamos a seguinte sintaxe:
>eq:=equação:
>sol:=solve(eq,variável);
>subs(variável=sol[i],eq);
Exemplo 1.11.
1. Determine as soluções de x4 + x3 − 7 x2 − x + 6 = 0. Devemos digitar:
>xˆ 4+xˆ 3-7*xˆ 2-x+6 = 0:
>sol:=solve(eq,x);
sol := 2, −1, 1, −3
subs(x=sol[1],eq);
0 = 0
subs(x=sol[3],eq);
0 = 0

1.9 Livrarias
Uma das características do MAPLE são suas livrarias (packages). As livrarias são pacotes de co-
mados especiais, utilizados para resolver tipos especificos de problemas. Por exemplo, o MA-
PLE possui livrarias especificas, para Gráficos, Geometria, Álgebra Linear, Álgebra Vetorial,
etc. O MAPLE possui em torno de 2000 comandos; somente os mais importantes são carrega-
dos automaticamente na memória. No ato de executar o programa os outros comandos ficam
nas livrarias. As livrarias são agrupadas por temas e podem ser carregadas, individualmente,
ou uma função só. Para usuários avançados é possível criar suas próprias livrarias.
A sintaxe para ativar uma livraria na memória, é:
> with(livraria):
A sintaxe para ver o conteúdo das livrarias é:
> with(livraria);
No decorrer do texto, apresentaremos as livrarias mais utilizadas em Cálculo em uma Variável.
1.9.1 Livraria - RealDomain
Em geral, o MAPLE trabalha com os números complexos. A livraria RealDomain faz com que
o MAPLE trabalhe somente com os números reais.
Primeiramente, vejamos o conteúdo da livraria:
>with(RealDomain);
[Im,Re, ˆ,arccos,arccosh,arccot,arccoth,arccsc,arccsch,arcsec,arcsech,arcsin,arcsinh,arctan,
arctanh,cos,cosh,cot, coth,csc,csch,eval,exp,expand,limit,ln ,log,sec,sech,signum,simplify,
sin,sinh, solve,sqrt,surd,tan,tanh]
Isto nos indica que quando digitamos a sintaxe:
>with(RealDomain):
Todos os comandos da livraria, de acima, assumirão que os cálculos serão efetuado em R.
Exemplo 1.12.
Nos exemplos abaixo os comandos são dados, primeiramente, sem usar a livraria RealDomain.
Veremos que obtemos respostas não reais (complexas).
1. Simplifique
√
x4:
>simplify(sqrt(x ˆ 4));
csgn(x2
)x2

1.9. LIVRARIAS 29
onde, csgn (x) é o sinal de x.
2. Simpliﬁque (−4913)1/3:
>simplify(root(-4913,3));
17
2
+
17
2
I
√
3
3. Resolva x3 − y = 1 para x.
>solve(x ˆ 3 -y=1,x);
(y + 1)1/3
, −
1
2
(y + 1)1/3
+
1
2
I
√
3 (y + 1)1/3
, −
1
2
(y + 1)1/3
−
1
2
I
√
3 (y + 1)1/3
Se utilizamos a livraria:
>with(RealDomain):
>simplify(sqrt(x ˆ 4));
x2
>simplify(root(-4913,3));
−17
>solve(x ˆ 3 -y=1,x);
(y + 1)1/3
Pode explicar estes resultados?
3. Se, digitamos:
>solve(xˆ5 -3*x+25=0,{x});
{x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 1)}, {x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 2)},
{x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 3)}, {x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 4)},
{x = RootOf(_ Z ˆ 5-3*_ Z+25, index = 5)}
Se, digitamos:
>with(RealDomaine):
>solve(xˆ5 -3*x+25=0,{x});
{x = RootOf (_Z5
− 3 _Z + 25, −1.986834074)t}
evalf(%);
{x = −1.986834073}

1.10 Conjuntos e Sequências
Para deﬁnir conjuntos se utiliza a seguinte sintaxe:
> {a, b, c,....};
{a, b, c, . . .}
A sintaxe das operações de conjuntos são as seguintes:
União: union
Interseção: intersect
Diferença: minus
Subconjunto: subset
A sintaxe para gerar sequências de objetos é:
>seq(r(i),i=a..b);
O comando gera uma sequência, aplicando a cada i a fórmula r(i). Se i ∈ X, onde X é um
conjunto, utlizamos a sintaxe:
>seq(r(i),i in X);
Como veremos nas próximas seções, esta sintaxe será associada a outras situções um pouco
diferentes de aquelas que geraram seqûencias numéricas.
Exemplo 1.13.
1. Sejam A = {a, b c, d} e B = {a, c, e, f, g}. Determine A ∪ B, A ∩ B e A − B.
Escrevemos:
> A:={a, b, c, d};
A := {a, b c, d}
> B:={a, c, e, f, g};
B := {a, c, e, f, g}
Então:
>X:= A union B;
X := {a, b, c, d, e, f, g}
>Y:= A intersect B;

1.10. CONJUNTOS E SEQUÊNCIAS 31
Y := {a, c}
>Z:= A minus B;
Z := {b, d}
Observe que:
>X subset Y;
false
e
>Y subset X;
true
Interprete estes últimos resultados.
2. Gere os 10 primeiros termos da sequência r(i) =
1
i2
, i ∈ N.
>seq(1/iˆ 2,i=1..20);
1,
1
4
,
1
9
,
1
16
1
25
1
36
,
1
49
1
64
1
81
1
100
3. Gere os termos da sequência:
r(i) =
2 i
i2 + 1
,
se i ∈ X, onde X = {−20, −10, −1, 0, 20, 300}.
>X:= {-20,-10,-1,0,20,300}:
>seq(2*1/(iˆ 2 +1),i in X);
−
40
401
, −
20
101
, −1, 0,
40
401
,
600
90001

1.11 Exercícios
1. Determine os valores de x tais que:
(a)
√
x2 = x
(b) (x − 1)2 = x − 1
(c)
√
x2 − 2 x + 1 = 1 − x
(d)
√
x4 = x2
(e) |x + 1| = |x − 1|
(f) |x − 1|2 = |2 x − 1|
(g) |x| = |x + 7|
(h) |x − 1|2 = |2 x + 1|
2. Veriﬁque se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de a resposta ser falso:
(a) Para todo x, y e z: |x + y + z| = |x| + |y| + |z| e
(b) Para todo x e y: |x − y| ≤ |x| − |y|.
3. Determine as constantes A, B e C tais que:
(a)
2 x + 1
1 − x2
=
A
1 + x
+
B
1 − x
.
(b)
1
(x + 2)(2x + 1)
=
A
x + 2
+
B
2x + 1
.
(c)
1
(x + 2)(x2 − 1)
=
A
x + 2
+
B
x + 1
+
C
x − 11
.
4. Determine o quociente e o resto das divisões:
(a) 3 x4 − 5 x2 + 6 x + 1 ÷ x2 − 3 x + 4.
(b) 5 x5 − 4 x3 − 2 x + 1 ÷ x + 1.
(c) x11 − 1 ÷ x + 1.
(d) x5 + 12 x4 + 3 x2 − 16 ÷ x2 + 3 x − 4.
(e) x3 − 3 x2 + 2 x + 1 ÷ x2 − x + 1.
5. Determine as constantes a e b de modo que o polinômio P(x) seja divisível por Q(x),
onde:
(a) P(x) = x4 − 3 x3 + a x + b, Q(x) = x2 − 2 x + 4.
(b) P(x) = 6 x4 − 7 x3 + a x2 + 3 x + 2, Q(x) = x2 − x + b.
(c) P(x) = 8 x3 − 10 x2 + a x + b, Q(x) = 2 x3 − 3 x + 2.
(d) P(x) = 3 x3 + a x2 − 7 x + b, Q(x) = x2 − 5 x + 1.
6. Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto
solução:

1.11. EXERCÍCIOS 33
(a) x4 − x2 < 0
(b) x2 − 2 ≥ x
(c) x2 + x > 2
(d) (x − 5)4 (x + 10) ≤ 0
(e) |x + 2| < 1
(f) |x − 5| < |x + 1|
(g) 4 x2 + 10 x − 6 < 0
(h) |x − 1|2 < |2 x + 1|
(i)
3 x − 5
2 x + 4
> 1
(j) |x2 − 1||x + 1| > 0
(k) 2 x2 − 2 ≤ x2 − x
(l) |x − 1| + |x − 2| > |10 x − 1|
(m) x2 − 7 x + 8 > (x − 6)2
(n) |x2 − x − 1| < 2
(o)
|x2 − 5 x + 4|
|x2 − 4|
< 1
(p) |x − 1| + |x + 2| ≥
|x − 2|
2
(q) |x + 1| + |x + 2| > |10 x − 1|
(r) |x2 − 1| < |x − 1|
7. Determine o conjunto-solução de:
(a)
3 x − 2 < x
6 x − 4 > 3 − x
(b)
x + 3 ≤ 5
x + 3 ≤ 2 x
(c)



5 x + 1 ≤
3x
2
+ 5
2 (x + 3) ≥ x
(d)
5 x − 3 < 6 + 2 x
3 − 2 x > 4
(e)
3 x − 15 < x − 5
2 − x ≥ 6
(f)
x + 3 > 0
x2 + x − 2 < 0
8. Esboce as regiões determinadas por:
(a) x − 2y − 3 > 0
(b) 2x + y > 5
(c) 2x − 3y ≤ −1
(d) 3x − 2y ≤ 13
(e)
x + y
x − 2y + 3
< 0
(f) x2 + y2 − 2 x − 2 y + 1 ≥ 0
9. Esboce as regiões da solução de:
(a)
2 x − y < 3
x + y < 3
(b)
x + y < 2
2 y − 2 x > 4
(c)



x + y < 120
3 y − x ≤ 0
x ≤ 100
y ≤ 100
(d)



x + y > 2
−2 x + y ≤ 1
−x + 2 y ≥ −3

10. Obter o valor simpliﬁcado de:
(a) sen θ +
π
2
(b) cos θ +
3 π
2
(c) sec(θ + 6 π)
(d) sen(θ + 360 π)
(e) cos(θ + 480 π)
(f) sen θ −
3 π
2
cos θ +
π
2
11. Resolva as inequações:
(a) sen(x) + cos(x) ≥
√
2
2
(b) |tg(x)| ≥
√
3
(c) sen2(x) ≥ 1
(d) sen2
(x) ≥
1
2
se x ∈ [0, π]

Capítulo 2
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
A sintaxe para deﬁnir funções de uma variável é a seguinte:
> f:=x-> expressão;
Exemplo 2.1.
1. Se f(x) = x2 sen(x) + 3 cos(x), calcule f(
π
2
) e f(π). Escrevemos:
>f:=x->x ˆ 2*sin(x)+3*cos(x);
f := x −→ x2
sin(x) + 3 cos(x)
Logo:
>f(Pi/2);
π2
4
e
>f(Pi);
−3
2. Se f(x) = e3x − 2 ln(5 x) + log4(x), calcule o valor aproximado de f(
1
2
) e f(2). Escrevemos:
>f:=x->exp(3*x)-2*ln(5*x)+log[4](x);
f := x −→ e3x
− 2 ln(5 x) + log4(x)
Logo:
35

36 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
>evalf(f(1/2));
5.367983431
e
>evalf(f(2));
402.5424991
3. Deﬁna a função racional f(x) =
x2 + 3 x − 1
x3 − x2 + x + 3
, calcule f(1) e fatore f(a) − f(a−1).
Escrevemos:
> f:=x->(x ˆ 2 +3*x-1)/(x ˆ 3 -x ˆ 2 +x+3);
f := x →
x2 + 3 x − 1
x3 − x2 + x + 3
>f(1);
3
4
>factor(f(a)-f(1/a));
−
(a2 − 8 a + 1)(a2 − a + 1)
(3 a2 − 2 a + 1)(a2 − 2 a + 3)
O MAPLE não simpliﬁca uma expressão automaticamente, somente quando reconhece fato-
res comuns.
2.1 Tabelas
Para fazer no Maple uma tabela de uma função, utilizamos a sintaxe abaixo, onde as entradas
são os pontos do domínio e as saidas são os pontos da imagem:
>array( [seq( [i, f(i)], i = a..b) ] );
onde i ∈ Z. Caso desejamos que os valores de saida sejam aproximados, utilizamos a seguinte
sintaxe:
>array( [seq( [i, evalf(f(i))], i = a..b) ] );
Estas sintaxes produzem una sequência de valores verticais.

2.1. TABELAS 37
Exemplo 2.2.
1. Seja:
> f:=x->(x ˆ 2 +3*x-1)/(x ˆ 3 +x ˆ 2 +x+3);
f := x →
x2 + 3 x − 1
x3 + x2 + x + 3
>array( [seq( [i, (f(i))], i = -5..5) ] );








































−5 −
3
34
−4 −
3
49
−3
1
18
−2 1
−1 −
3
2
0 −
1
3
1
1
2
2
9
17
3
17
42
4
9
29
5
39
158








































2. Seja:
>g:=x->exp(3*x)-2*ln(5*x)+log[4](x);
g := x −→ e3x
− 2 ln(5 x) + log4(x)
>array( [seq( [i, evalf(g(i))], i = 1..10) ] );


























1 16.86666110
2 399.3236233
3 8098.460309
4 162749.7999
5 3269012.095
6 65659963.63
7 1318815728.0
8 26489122120.0
9 532048240600.0
10 10686474580000.0

























3. Estude a função f(x) = x sen
1
x2
, perto do zero:
>f:=x->x*sin(1/xˆ 2);
f := x → x sin(x−2
)
>X := {-1,-0.1,-0.001, -0.0001,-0.00001,0.00,1,0.1,0.001, 0.0001,0.00001}:
>array([seq([i, evalf(f(i), 4)], i in X)]) ;


































−1 −0.8415
1 0.8415
−0.1 0.05064
−0.01 0.003056
−0.001 0.0003500
−0.0001 −0.00009316
−0.00001 0.000004875
0.0 Float(undeﬁned)
0.00001 −0.000004875
0.0001 0.00009316
0.001 −0.0003500
0.01 −0.003056
0.1 −0.05064


































Note que digitamo zero como 0.00; por que?

2.2. CONVERSÃO DE EXPRESSÕES EM FUNÇÕES 39
4. Seja h(x) = ex + ln(x2 + 1) cos(π x); faça uma tabela com os valores aproximados de:
h(−20), h(−10), h(−1), h(20), h(30), h(
1
2
) e h(, 4
√
19).
>h:=x->exp(x)+ln(x ˆ 2+1)*cos(Pi*x):
>X:={-20, -10, -1, 20, 30, 1/2, root(19, 4)}:
>array([seq([i, evalf(f(i))], in (i, X))]);
















−20 5.993961429
−10 4.615165917
−1 −0.3252677394
20 485165201.4
30 10686474580000.0
1/2 1.648721271
4
√
19 9.682431939
















2.2 Conversão de Expressões em Funções
Para converter uma expressão em função, utilizamos a sintaxe:
> unapply(expressão, variável);
Exemplo 2.3.
1. Suponha que temos a expressão:
> p:= x ˆ 3+x ˆ 2-5*x+1-x ˆ 2*y-y;
p := x3
+ x2
− 5 x + 1 − x2
y − y
> h:=solve(p=0,y);
x3 + x2 − 5 x + 1
x2 + 1
Se desejamos, por exemplo, avaliar a expressão anterior para x = 0, isso não será possível
antes de converter a expressão em função, utilizando o comando unapply
g := unapply(h, x);
x →
x3 + x2 − 5 x + 1
x2 + 1
Agora podemos calcular, por exemplo:

>g(0),g(-1),g(1);
1, 3, −1
2. Suponha que temos a expressão:
> p:= b ˆ 2 * x ˆ 2 *sin(b*x)+2*b*x*cos(b*x);
p := b2
x2
sin(b x) + 2 b x cos(b x)
f := unapply(p, x);
x → b2
x2
sin(b x) + 2 b x cos(b x)
Agora podemos calcular, por exemplo:
>f(0),f(Pi/b);
10, −2 π
2.3 Funções Definidas por Partes
É comum, nas aplicações, definir funções por partes. A sintaxe para definir funções por partes
é:
>piecewise(x<a1,f1(x),x<a2,f2(x),....);
No caso de funções definidas por partes, em intervalos limitados, utilizamos a opção:
and
Por exemplo, se a ≤ x < b, escrevemos:
a <=x and x<b;
Exemplo 2.4.
1. Escreva a função f(x) =
−1 se x ≤ 1
1 se 1 < x
.
Digitamos:
>piecewise(x<=1,-1,1<x,1);
−1 x ≤ 1
1 1 < x



x se x ≤ 1
x + 2 se 1 < x ≤ 4
x se 4 < x
.

2.4. COMPOSTA DE FUNÇÕES 41
Digitamos:
>piecewise(x<=1,x,1<x and x<=4,x + 2,3<x,x);



x x ≤ 1
x + 2 1 < x and x ≤ 4
x 4 < x



x se x ≤ 1
x2 se 1 < x < 3
√
x se 3 < x < 6
x se 6 ≤ x
.
Digitamos:
>piecewise(x<=1,x,1<x and x<3,x ˆ 2,3<x and x<6,sqrt(x),x>=6,x);



x x ≤ 1
x2 1 < x and x < 3
√
x 3 < x and x < 6
x 6 ≤ x
2.4 Composta de Funções
Dadas f e g funções tais que Dom(g) ⊂ Im(f), podemos deﬁnir a composta:
g ◦ f
A sintaxe para obter a composta é feita com o operador @ (arroba). Logo, a composta de g e f
é:
>g @ f;
Para fazer a composta de f consigo mesma n vezes, utilizamos a sintaxe:
>f @@ n;
Exemplo 2.5.
1. Dadas f(x) = ln(x) + 1 e g(x) = ex − 1; determine f ◦ g, g ◦ f e f ◦ f ◦ f ◦ f. Calcule
(f ◦ f ◦ f ◦ f)(1).
Digitamos a seguinte sequência de comandos:
>f:=ln(x)+1:

>g:=exp(x)-1):
>h1:=f @g:
>h2:=g @f:
>h3:=f@@4:
Agora podemos calcular
>h1(x);
ln(ex
− 1) + 1
>h2(x);
eln(x)+1
− 1
>simplify(%);
x e − 1
>h3(x);
ln(ln(ln(ln(x) + 1) + 1) + 1) + 1
>h3(1);
1
2. Dadas f(x) = 5 x + 4 e g(x) =
√
x2 + 1; determine f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f ◦ f e f ◦ f ◦ g ◦ g ◦ g.
Digitamos a seguinte sequência de comandos:
>f:=5*x+4:
>g:=sqrt(x ˆ 2 +1):
>h1:=f @g:
>h2:=g @f:
>h3:=f@@3:
>h4:=(f @@2)@(g@@3):
Agora podemos calcular
>h1(x);
5 x2 + 1 + 4
>h2(x);
25 x2 + 40 x + 17

2.5. FUNÇÃO INVERSA 43
>h3(x);
125 x + 124
>h4(x);
25 x2 + 3 + 24
3. Se f(x) = x − 3, calcule f@10. Digitamos a seguinte sequência de comandos:
>f:=x-3:
>h:=f@@10:
>h(x);
x − 30
2.5 Função Inversa
A função inversa de f é deﬁnida por >f @@ (-1); mas o MAPLE somente calcula f−1 para as
funções pré-deﬁnidas.
Uma forma de determinar a inversa de uma função é:
>f:=x->expressão;
>solve(y=expressão,x);
>g:=unapply( % ,y);
Logo, g é a função inversa de f. Se for necessário, utilize:
>with(RealDomain):
Veja os exemplos.
Exemplo 2.6.
1. Determine a função inversa de f(x) = x3.
>with(RealDomain):
>f:=x->x ˆ 3;
f := x → x3
>solve(y=f(x),x);
y1/3

>g:=unapply(% ,y);
g := y → y1/3
simplify((g @ f)(x));
x
simplify((f @ g)(y));
y
2. Determine a função inversa de f(x) =
a x + b
c x + d
.
>f:=x->(a*x+b)/(c*x+d);
f := x →
a x + b
c x + d
>solve(y=f(x),x);
−
−y d + b
−yc + a
>g:=unapply(% ,y);
g := y → −
−yd + b
−yc + a
simplify((g @ f)(x));
x
simplify((f @ g)(y));
y
3. Determine a função inversa de f(x) = a x2 + b x + c.
>f:=x->a*xˆ 2+b*x+c;
f := x → a x2
+ b x + c
>sol:=solve(f(x)=y,x);
1
2
−b + b2 − 4 ac + 4 ay
a
, −
1
2
b + b2 − 4 ac + 4 ay
a
>g1:=unapply(sol[1],y);

2.6. GRÁFICOS DE FUNÇÕES 45
g1 := y →
1
2
−b + b2 − 4 ac + 4 ay
a
>assume(2*a*x+b>0):
Por que?
>simplify((f@g1)(y));
y
>simplify((g1@f)(x));
x
>restart;
>g2:=unapply(sol[2],y);
g2 := y → −
1
2
b + b2 − 4 ac + 4 ay
a
>assume(2*a*x+b<0):
Por que?
>simplify((f@g2)(y));
y
>simplify((g2@f)(x));
x
2.6 Gráficos de Funções
A sintaxe básica para o esboço do gráfico de uma função y = f(x) onde x ∈ [a, b] é:
> plot(f(x),x=a..b, opções);
A seguir apresentamos algumas destas opções:
Para indicar a variação da ordenada, ser for necessário, para uma melhor visualização do grá-
fico, utilizamos: y=c..d
Para ver uma porção determinada do gráfico, utilizamos: view=[a. .b,c. .d]

Para melhorar a resolução gráfica, onde n ≥ 50 é o número de pontos que vai gerar o gráfico,
utilizamos: numpoints=n
Para usar a mesma escala em ambos os eixos, utilizamos: scaling=constrained
Para mudar a cor de um gráfico, utilizamos: color=c
c é a cor desejada. Alguns cores são: aquamarine, black, blue, coral, cyan, brown, gold, green,
grey, khaki, magenta, maroon, navy, orange, pink, plum, red, sienna, tan, turquoise, violet,
wheat, white, yellow.
Para mudar a espessura de um gráfico, utilizamos: thickness=n, n = 0, 1, 2, 3.
Para esboçar gráficos em intervalos que incluem pontos onde as funções não sejam definidas,
evitando que sejam desenhadas linhas verticais nesses pontos, utilizamos: discont=true
Para esboçar os gráficos em diferentes estilos, utilizamos: style
Por exemplo, gráficos pontilhados: style=point
Para indicar o tipo de eixos, utilizamos: axes
Tipos de eixos : boxed, frame, none e normal.
Para incluir legendas no gráfico, utilizamos: legend
Quando se usa a opção style=point, onde s é o tipo de símbolo: cross, solidcircle, utilizamos:
symbol=s
Exemplo 2.7.
1. Esboçe o gráfico de f(x) = x2 sen(x) + sen(10 x) para x ∈ [−3, 3]. Escrevemos:
>f:=x->x ˆ 2*sin(x)+sin(10*x);
f := x −→ x2
sin(x) + sin(10 x)
Logo:
>plot(f(x), x = -3 .. 3, color = blue, thickness = 3, numpoints = 100);

Figura 2.1: .
2. Esboçe o gráﬁco de g(x) = ex/2 cos(4 π x) para x ∈ [−4, 4]. Escrevemos:
>g:=x->exp(x/2)*cos(4*Pi*x);
g := x −→ ex/2
cos(4 π x)
Logo:
>plot(g(x),x=-4..4, thickness = 3, numpoints = 100, axes = boxed);
Figura 2.2: .
3. Esboce o gráﬁco de h(x) =
cos(π x)
x4 + x2 + 1
, x ∈ [−4, 4]. Digitemos:
>h:=x->cos(Pi*x)/(x ˆ 4 +x ˆ 2 +1):
h := x →
cos(π x)
x4 + x2 + 1

>plot(h(x) ,x=-4..4,color=blue,numpoint=100,thickness=3);
Figura 2.3: .
4. Esboce o gráfico de tg(x). Digitemos:
>plot(tan(x),x=-2*Pi..2*Pi);
Figura 2.4: .
O MAPLE, traçou o gráfico de tg(x) em uma vizinhança de x = ±π/2, onde a função atinge
valores muito grandes. Note que não foi especificado a variação do eixo das ordenadas.
Para contornar este problema, especificamos a variação do eixo dos y:
>plot(tan(x), x = -2*Pi .. 2*Pi, y = -10 .. 10, thickness = 2);

Figura 2.5: .
Para não incluir as retas verticais, no gráﬁco, usamos a opção:
discont=true
>plot(tan(x), x = -2*Pi .. 2*Pi, y = -10 .. 10, color = blue, thickness = 3, discont = true);
Figura 2.6: .
4. Esboce o gráﬁco de f(x) =
x3 cos(x)
x2 + 1
, utilizando pontos.
>p3:=(xˆ 3 *cos(x))/(xˆ 2 +1):
>plot(p3, x = -10 .. 10, discont = true, color = magenta, style = point, symbol = solidcircle,
symbolsize = 10));

Figura 2.7:
5. Esboce o gráﬁco de f(x) = x2 sen
1
x
+ x2 cos
1
x
, em uma vizinhança de zero.
>p4:=xˆ 2 *sin(1/x)+xˆ 2*cos(1/x):
>plot(p3, x = -.3 .. .3, y = -0.2e-1 .. 0.5e-1, discont = true, color = blue, numpoints = 100,
thickness = 2);
Figura 2.8:
A melhor forma de aprender a utilizar todas as opções é digitar o seguinte comando para entrar
no help do MAPLE e experimentar cada uma delas:
>?plot;
Outra forma de esboçar gráﬁcos de funções, é utilizar a sintaxe:
> smartplot(função);

2.7. GRÁFICOS DE OUTROS TIPOS DE FUNÇÕES 51
O MAPLE esboça o gráfico da função num intervalo que, visualmente, é ótimo.
Exemplo 2.8.
1. Esboce o gráfico de sen(x) + cos(x) + sen(2 x) cos(2 x). Digitamos:
> smartplot(sin(x)+cos(x)+sin(2*x)*cos(2*x));
Figura 2.9: .
2.7 Gráficos de Outros Tipos de Funções
2.7.1 Gráficos de Funções Definidas por Partes
Sabemos que para definir funções por partes, utilizamos a sintaxe:
>piecewise(x<a1,f1(x),x<a2,f2(x),....);
Para esboçar o gráfico, utilizamos o comando plot, seguido de uma opção do plot:
>p1:=piecewise(x<a1,f1(x),x<a2,f2(x),....):
>plot(p1,x=a..b,discont=true);
Como sabemos, no caso de não incluir o comando discont=true, o gráfico apresentará linhas
verticais ao passar por cada estágio da definição da função.
Exemplo 2.9.
1. Esboce o gráfico da função f(x) =



x se x ≤ 1
x2 se 1 < x < 3
√
x se 3 ≤ x
.
>p1 :=piecewise(x<=1,x,1<x and x<3,x ˆ 2,3<=x,sqrt(x)):
>plot(p1, x = -3 .. 8, y = -4 .. 5, discont = true, thickness = 3, numpoints = 100);

Figura 2.10: .
Como exercício, digite:
>plot(p1,x=-2..5);
2. Esboce o gráfico da função f(x) =



x (x2 − 1) se − 1 ≤ x ≤ 1
x, sen(π x) se 1 < x < 4
√
x − 3 se 4 ≤ x
.
>p2:=piecewise(-1 <= x and x <= 1 , x*(x ˆ 2-1), 1 < x and x < 4,
x*sin(Pi*x), x >= 4, sqrt(x-3)):
>plot(p2, x = -1 .. 8, discont = true, thickness = 3, numpoints = 100);
Figura 2.11: .
3. Esboce o gráfico de f(x) = x2 [[x]], onde [[x]] é o maior inteiro que é menor ou igual a x.
>p3:=x ˆ 2 *floor(x):
>plot(p3, x = -4 .. 4, discont = true, thickness = 3);

2.7. GRÁFICOS DE OUTROS TIPOS DE FUNÇÕES 53
Figura 2.12: .
2.7.2 Gráficos de Funções Definidas por Tabelas
É comum definir algumas funções utilzando-se de dados, isto é por tabelas. Os dados da tabela
são digitados com a seguinte sintaxe:
>plot([dados],style=points,opções);
A seguir apresentamos alguns exemplos.
Exemplo 2.10.
1. Suponha que num período de 10 dias, é controlada a febre, em graus Celsius, de um paciente
com malária, obtendo:
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C 38 39 41 41.5 42 41.4 41 39 38 36
Podemos armazenar os dados como pares ordenados:
>dat1:=[[1,38],[2,39],[3,41],[4,41.5],[5,42],[6,41.4],[7,41],[8,39],[9,38],[10,36]]:
dat := [[1, 38], [2, 39], [3, 41], [4, 41.5], [5, 42], [6, 41.4], [7, 41], [8, 39], [9, 38], [10, 36]]
Agora, façamos:
>plot(dat1, style = point, thickness = 10, symbolsize = 15, color = blue);

Figura 2.13: .
Vejamos o que acontece se digitamos:
>plot(dat1);
Figura 2.14: .
2. A tabela mostra o tempo T, em segundos e a velocidade V , em km/h, de um carro:
T 0 1.8 2.6 3.4 5.1 6.5 7.2 8.5 9.6 10
V 0 25 33 50 60.2 80 90 100 110 125
Podemos armazenar os dados como pares ordenados:
>dat2:=[[0,0],[1.8,25],[2.6,33],[3.4,50],[5.1,60.2],[6.5,80],[7.2,90],[8.5,100],
[9.6,110],[10,125]];
dat2 :=[[0, 0], [1.8, 25], [2.6, 33], [3.4, 50], [5.1, 60.2], [6.5, 80], [7.2, 90], [8.5, 100],
[9.6, 110], [10, 125]]
Agora, façamos:
>plot(dat2,style = point, thickness = 10, symbol = solidcircle,symbolsize = 15,
color = magenta);

2.8. LIVRARIA DO PLOT 55
Figura 2.15: .
3. Se f(n) =
e2n
n!
, n = 1, . . . 20, podemos armazenar os dados como pares ordenados:
>dat3 := [seq([i, evalf(f(i))], i = 0 .. 20)]:
plot(dat3,style = point, thickness = 10, symbol = cross, symbolsize = 20, color = magenta);
Figura 2.16: .
2.8 Livraria do Plot
O comando plot tem uma livraria no MAPLE, para fazer gráﬁcos mais elaborados ou os gráﬁ-
cos de várias funções, no mesmo referencial. Para ativar a livraria do plot, utilizamos a sintaxe:
>with(plots):
Para saber o conteúdo desta livraria, digitamos:
>with(plots):
[ animate, animate3d, animatecurve , arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal,
conformal3d, contourplot , contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display ,

display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcont-
plot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto,
pointplot, pointplot3d, , polarplot , polygonplot, polygonplot3d, polyhedra_supported, polyhedraplot,
replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surf-
data, textplot, textplot3d, tubeplot]
Todas estas sintaxes podem ser utilizadas para diferentes tipos de gráficos. Inicialmente, utili-
zaremos os comando display, animate e implicitplot.
Para esboçar os gráficos de várias funções, no mesmo referencial, utilizamos:
>with(plots):
>g1:=plot(f1(x),x=a1..b1,opções):
...
>gn:=plot(fn(x),x=an..bn,opções):
Finalmente:
>display(g1,g2,g3,. . . , gn);
Notamos, novamente, que uma vez digitado o comado with(plots):, ele fica rodando na me-
mória e não é necessário voltar a digitá-lo para fazer outros exemplos.
Uma alternativa para esboçar gráficos no mesmo referencial é utilizar:
>plot({f1(x),f2(x),....,fn(x)},x=a..b,y=c..s, color=[cor1,cor2,....,corn], opções);
Exemplo 2.11.
1. Se f(x) = x3 − 7 x + 6, esboce os gráficos de f(x), f(x − 1)3 e f(x + 1), no mesmo referencial.
Digitamos:
f:=x->xˆ 3-7*x+6:
g:= x-> f(x-1):
h:= x-> f(x+1):
>plot({f(x),g(x),h(x) },x=-4..4,color=[red,aquamarine, gold],thickness=3,
view=[-4..4,-10..20]);

Figura 2.17: .
2. Esboce os gráﬁcos de f(x) =
2 x − 4
x + 3
e sua inversa, no mesmo referencial.
>f:=x->(2*x-4)/(x+3);
f := x →
2 x − 4
x + 3
>solve(y=f(x),x);
−
3 y + 4
y − 2
subs(y=x,%);
−
3 x + 4
x − 2
>g:=unapply(% ,x);
g := x → −
3 x + 4
x − 2
>plot({f(x),g(x)},x=-15..15, discont=true, color=[blue,red], thickness=[3,3]);

Figura 2.18: .
3. Esboce os gráﬁcos de f(x) = log1/4(x) e sua inversa, no mesmo referencial.
>with(RealDomain):
>f:=x->log[1/4] (x);
f := x → −
1
2
ln(x)
ln(2)
>solve(y=f(x),x);
4−y
subs(y=x,%);
4−x
>g:=unapply(% ,x);
g := x → 4−x
>plot({f(x),g(x)},x = 0 .. 1.6, y = -0.5 .. 3, discont = true, thickness = [3, 3],
color = [blue, red]);

Figura 2.19: .
4. Determine os pontos de interseção das curvas y = 1−x2 e y = 3 x (1−x2). Esboce o resultado
obtido.
>p1 := 1-x ˆ 2:
p2 := 3*x*(1-xˆ 2):
> sol := fsolve(p1=p2, x);
sol := −1., .3333333333, 1.
>pontos := [[sol[1], subs(x = sol[1], p1)], [sol[2], subs(x = sol[2], p1)], [sol[3], subs(x = sol[3], p1)]];
pontos := [[−1., 0.], [.3333333333, .8888888889], [1., 0.]]
>with(plots):
>g1:=plot(p1,x=-1..1,color=red,thickness=2):
>g2:=plot(p2, x = -1 .. 1, color = green, thickness = 2):
>g3 := plot(pontos, thickness = 3, style = point, color = black, symbol = solidcircle,
symbolsize = 15):
>display(g1,g2,g3);

Figura 2.20: .
5. Este exemplo é para mostrar como podem ser incluidos textos nos gráﬁcos:
>p1:=(1/2) ˆ x:
>p2:= 5 ˆ x:
>p3:=(1/3) ˆx:
>plot([exp(x), p1,p2,p3], x = -1 .. 1, color = [blue, red, black, green],thickness = [2, 2, 2, 2],
title = "Funcoes Exponenciais", legend = [exp(x), p1, p2,p3], view = [-1 .. 1, 0 .. 3])
Figura 2.21:
No caso, em que não desejamos carregar a livraria, podemos utilizar a seguinte sintaxe sem
digitar with(plots):

2.9. GRÁFICOS DE REGIÕES 61
>plots[sintaxe da livraria](função, x=a..b,opções);
Exemplo 2.12.
1. Esboçe o gráfico de xx, em escala logarítmica. Digitamos:
> plots[logplot](x ˆ x ,x=1..10);
2 4 6 8 10
5
10
15
20
Figura 2.22:
2.9 Gráficos de Regiões
As novas versões do MAPLE tem a seguinte sintaxe para obter a solução gráfica de um sistema
linear de inequações:
>inequal(eq1,eq2,..., variação dos x,variação dos y, opções);
As opções são:
Para esboçar a região que satisfaz o problema: optionsfeasible
Para esboçar a região que não satisfaz pelo menos uma das equações do sistema:
optionsexcluded
Para esboçar as limitações da região que não satisfaz o sistema optionsopen
Para esboçar as limitações da região que é solução o sistema: optionsclosed
Exemplo 2.13.
1. Considere o sistema:
x + y > 0
x − y > 1
>eq1:=x+y>0:
>eq2:=x-y>1:

>inequal(eq1, eq2, x = -1 .. 3, y = -3 .. 2, optionsfeasible =(color = green),
optionsopen = (color = blue, thickness = 2), optionsexcluded = (color = yellow));
Figura 2.23:
2 Considere o sistema:



y > 2 − x
y < 2 x + 1
2 y ≥ x − 3
>eq1:=y>2-x:
>eq2:=y<2*x+1:
>eq3:=2*y>=x-3:
>inequal(eq1, eq2,eq3, x = -4 .. 7, y = -4 .. 7, optionsfeasible =(color = green),
optionsopen = (color = blue, thickness = 2), optionsexcluded = (color = yellow),
optionsclosed = (color = red, thickness = 3));
Figura 2.24:

2.10. ANIMAÇÕES 63
2.10 Animações
A sintaxe para fazer animações é simples. Precisamos digitar, primeiramente, with(plots): caso
isso ainda não tenha sido feito:
>with(plots):
>animate(função, intervalo,parametro de animação,opções);
Ou
>plots[animate](função, intervalo, parametro de animação, opções);
Quando aparece o desenho, levamos a seta do mouse sobre este e pressionamos o mouse uma
vez. Uma barra horizontal aparecerá no alto da tela. O botão com um triângulo iniciará a
animação:
A opção frames=n especiﬁca o número, n, de gráﬁcos da animação.
Exemplo 2.14.
1 Digite:
>with(plots):
>animate(sin(x*t),x=0..2*Pi,t=1..2,frames=100);
Figura 2.25: Desenhos de 4 frames.
2. Digite:
>plots[animate]((x+t) ˆ 2, x=-10..10,t=1..10,frames=100,color=blue);

3. Digite:
>animate( 3*exp(-0.2*t-xˆ 2)*sin(Pi*(x+t)),x=-5..5,t=0..20, view=[-3..3,-3..3],frames=70,
thickness=3,color=blue,numpoints=200);
Figura 2.27:
2.11 Traçado de Curvas
Considere a equação F(x, y) = 0, nas variáveis x e y. Para esbocar o lugar geométrico da
equação, utilizamos a seguinte sintaxe:

2.11. TRAÇADO DE CURVAS 65
>with(plots):
>implicitplot(F(x,y)=0,variação do x,variação do y, opções);
Ou
>plots[implicitplot](F(x,y)=0,variação do x,variação do y,opções);
Para traçar várias curvas no mesmo referencial utilizamos a sintaxe:
>implicitplot([F(x,y)=0,G(x,y)=0,.....],variação do x,variação do y, opções);
As opções são as mesmas da sintaxe plot.
Exemplo 2.15.
1. Esboce o gráﬁco de x2 + y2 = 4 e x2 − y2 = 1, no mesmo referencial. Digitamos:
>implicitplot([x ˆ 2 +y ˆ 2 =4, x ˆ 2 -y ˆ 2 =1], x = -2 .. 2, y = -2 .. 2,color = [magenta, blue],
thickness = [3, 3], tickmarks = [[-2, -1, 0, 1, 2], [-2, -1, 0, 1, 2]], view = [-2.2 .. 2.2, -2.2 .. 2.2]);
Figura 2.29:
2. Esboce o gráﬁco das seguintes retas x = −0.5, x = 0.5, x = −1, x = 1, y = −1 e y = 1, no
mesmo referencial. Digitamos:
>implicitplot([x = -1, x = -0.5, x = 0.5, x = 1, y = -1, y = 1], x = -2 .. 2, y = -2 .. 2,
color = [blue, green, black, red, magenta, coral], thickness = [3, 3, 3, 3,3,3]);

Figura 2.30:
3. Esboce o gráfico de x2 − y2 = i e y2 − x2 = i, onde i ∈ {1, . . . , 5}, no mesmo referencial.
Digitamos:
>curv1 := seq(xˆ2-yˆ 2 = i, i = 1 .. 5):
>curv2 := seq(-xˆ2+yˆ 2 = i, i = 1 .. 5):
>implicitplot([curv1,curv2], x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, color = blue, color = [blue, red, green, black,
magenta], thickness = [2, 2, 2, 2, 2], view = [-5 .. 5, -4 .. 4]);
Figura 2.31:
2.12 Deficiências do MAPLE
O MAPLE apresenta deficiências ao resolver alguns problemas, podendo, inclusive, não con-
seguir resolvê-los; isto se deve, essencialmente, às limitações dos algoritmos utilizados pelo

2.12. DEFICIÊNCIAS DO MAPLE 67
software. Muitos destes algoritmos não foram programados para reproduzir manipulações
algébricas, que são possíveis quando resolvemos o problema à mão.
Portanto, é recomendável que se verifiquem todos os resultados obtidos no MAPLE.
A seguir, apresentaremos alguns exemplos destas deficiências.
Exemplo 2.16.
1. Consideremos a função:
f(x) =
x2 − 1
x − 1
.
Note que Dom(f) = R − {1}. Se fizermos:
>f:=x->(x ˆ2 -1)/(x-1) :
>simplify(f(x)):
>g:=unapply(%,x);
g := x → x + 1
Ora, a função g(x) = x + 1 tem domínio R, portanto as funções f e g, são diferentes; f(1) não
existe e g(1) = 2.
O seguinte exemplo se aplica as versões do MAPLE, que não possuem a opção AllSolution;
por exemplo, nas versões anteriores a 9.5, inclusive.
2. Resolva a equação cos(x) = 0. Se fizermos:
>solve(cos(x)=0,{x});
{x =
1
2
π}
Mas, sabemos que esta equação possui infinitas soluções.
Algumas vezes é indicado o comando fsolve, que permite especificar o intervalo onde se deseja
achar a solução.
Se fizermos:
>fsolve(cos(x)=0,{x},Pi..2*Pi);
{4.712388980}
Note que a solução da equação no intervalo [π, 2 π] é
3 π
2
. Utilize o comando evalf para compa-
rar os resultados.
3. Resolva a equação:

ecos(x)
= ln(2 + sen(x)).
Se digitamos:
>fsolve(exp(cos(x))=ln(2+sin(x)),{x});
O MAPLE não apresenta uma solução razoável. Note que esta equação tem solução; para isto,
basta fazer os gráﬁcos das funções exp(cos(x)) e ln(2 + sen(x)).
>with(plots):
>p1:=plot(exp((cos(x)),x=0..Pi,color=black):
>p2:=plot(ln((2+sin(x)),x=0..Pi,color=red):
>display(p1,p2);
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1.0
1.5
2.0
2.5
Figura 2.32: .
4. Resolva o sistema:
x3 − 9 x2 + y2 x + 24 x − 7 y2 − 16 = 0
3 x2 − 18 x + y2 + 24 = 0.
Façamos:
>p1:=x ˆ 3 -9*x ˆ 2 +yˆ2 *x+24*x -7 y ˆ 2 -16=0:
>p2:=3*xˆ2 -18*x +y ˆ 2 +24=0:
>solve({p1,p2 },{x, y});
Obtemos {x = 4, y = 0} e:
{y = RootOf(Z2 − 33 + 15 ∗ RootOf(_Z2 + 11 ∗ _Z + 19)), x = RootOf(_Z2 + 11 ∗ _Z + 19)};
Fazendo:

2.12. DEFICIÊNCIAS DO MAPLE 69
> evalf(RootOf(Z2 − 33 + 15 ∗ RootOf(_Z2 + 11 ∗ _Z + 19)));
−0.9008493159
> evalfRootOf(_Z2 + 11 ∗ _Z + 19));
2.145898034
Agora, a forma mais econômica de resolver o sistema é pondo em evidência y2 na segunda
equação e substituindo na primeira:
>p3:=-2*xˆ3 +30*xˆ2 -126*x+152=0:
>solve(p3,{x});
Obtemos {x = 4}, {x =
11 + 3
√
5
2
} e {x =
11 − 3
√
5
2
}, de onde podemos obter os valores de y:
>solve(subs(x=4,p2),y);
Fica como exercício, obter os valores de y.

2.13 Exercícios
1. Verifique que a distância do ponto (x0, y0) à reta ax + by + c = 0 é
|ax0 + by0 + c|
√
a2 + b2
.
2. Determine a distância entre as retas 4x + 3y + 12 = 0 e 4x + 3y − 38 = 0.
3. Ache a equação da reta que passa pelos pontos:
(a) P1 = (3, 1); P2 = (5, 2)
(b) P1 = (1, 3); P2 = (2, 5)
(c) P1 = (−5, 3); P2 = (0, 4)
(d) P1 = (1, −1); P2 = (−1, 1)
(e) P1 = (2, 3); P2 = (4, 7)
(f) P1 = (1, 1); P2 = (−1, −1)
4. Obtenha a equação da reta paralela à reta 2 x + 3 y + 1 = 0 e que passa pelo ponto
P = (5, −2).
5. Ache a equação da reta perpendicular à reta 2 x + 5 y − 1 = 0 e que passa pelo ponto
P = (1, 1).
6. Verifique que as retas 2 x + 3 y = 1 e 6 x − 4 y − 1 = 0 são perpendiculares.
7. Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações:
(a) 3y2 − 2x − 12y + 12 = 0
(b) 16x2 − 9y2 = −144
(c) x2 + y2 − 2x − 8 = 0
(d) 2x2 + 4x + 3y − 4 = 0
(e) 9x2 + 4y2 − 18x − 16y − 11 = 0
(f) 9x2 − 16y2 − 36x − 32y − 124 = 0
(g) 9x2 + 16y2 = 25
(h) x2 + y2 + 16x + 16y + 64 = 0.
(i) 5x2 + 25x + 10y2 − 5 = 0
(j) x2 + 8 x + −y2 + 3 y = 0.
(k) x2 + y2 − 4 x − 4 y = 0
(l) x2 + y2 − 18 x − 14 y + 130 = 0.
(m) x2 + y2 + 8 x + 10 y + 40 = 0
(n) 4 x2 + 4 y2 + 12 x − 32 y = −37.
8. Defina as funções f(x) = |x| + |x + 4| e g(x) = |x| + 2 |x + 4|.
(a) Determine os domínios.
(b) Esboce os gráficos de f e g no mesmo referencial.
9. Defina f(x) = |x| − 2 x.

(a) Esboce o gráfico de f.
(b) Calcule f(1), f(1), f(−0.9) e f − 2
3 .
(c) Verifique que f(|a|) = −|a|.
10. Defina a função f(x) =
x − 1
2 x + 7
.
(a) Determine os domínios.
(b) Esboce o gráfico de f.
(c) Calcule f
1
x
e f(x)
−1
.
(d) Esboce os gráficos, no mesmo referencial, das funções obtidas no ítem anterior.
11. Esboçando os gráficos, no mesmo referencial, verifique se as seguintes funções são cons-
tantes; explique:
(a) f(x) =
1
x
+
x − 1
x
.
(b) f(x) =
x
|x|
−
|x|
x
.
12. Determine f + g, f − g, f · g e f/g e esboce os respectivos gráficos, se:
(a) f(x) = 2 x, g(x) = x2 + 2
(b) f(x) = 3x − 2, g(x) = |x + 2|
(c) f(x) =
√
x + 1, g(x) = x2 − 1
(d) f(x) =
√
x + 1, g(x) =
√
x + 3
(e) f(x) = x4
, g(x) = (
1
x
)4
(f) f(x) =
1
x
, g(x) = x2
(g) f(x) = x3
+ x2
, g(x) = (
1
x2
)4
(h) f(x) =
1
x2
, g(x) = x2
13. Verifique que Im(f) ⊂ Dom(g) e determine g ◦ f se:
(a) f(x) = x + 2, g(x) = 3 x + 1
(b) f(x) = x2 + 2, g(x) =
√
x
(c) f(x) = x2 + 3, g(x) =
x + 1
x − 2
(d) f(x) = 2x − 3, g(x) = −x2 + 3x + 1
(e) f(x) = x + 1, g(x) =
2
x − 2

(f) f(x) =
x
x + 1
, g(x) =
x + 1
x − 1
14. Se f(x) =
x + 1
r
x − 1. Determine Dom(f) e calcule:
(a) (f ◦ f ◦ f ◦ f)(x2 + 1)
(b) (f ◦ f ◦ f)((x + 1)2)
(c) (f ◦ f)
1
1 − x
(d) (f ◦ f)
1
x
(e) Esboce os respectivos gráficos.
15. Esboce o gráfico das seguintes funções logarítmicas:
(a) y = ln(−x), x < 0
(b) y = ln(|x|)
(c) y =
ln(x)
x
(d) y = x ln(x)
(e) y = |ln(x)|
(f) y = ln(x2)
16. O pH (potencial hidrogênico) é uma escala logarítmica que varia de 0 a 14, e nos indica
quão ácida ou alcalina é uma substância. Valores abaixo de 7,0 são ácidos e acima são
alcalinos. O valor 7 é neutro e corresponde ao pH da água destilada. O pH é modelado
por:
pH = −log10[H+
],
onde [H+] é a concentação de íons de hidrogênio mol/litro.
(a) Complete a seguinte tabela:
Substância [H+] pH
Leite 1.5848 × 10−7
L. de Magnesia 10−10
Suco de laranja 3.162 × 10−5
Limão 0.501 × 10−2
Vinagre 12.58 × 10−4
Tomate 6.30 × 10−8
(b) Esboce o gráfico da tabela.

17. Esboce o gráﬁco da função deﬁnida pela seguinte tabela:
x 0 1 2 3 4 5 6 10
f(x) 0 5 3 5 6 8 3.2 9
18. Utilize a sintaxe animate, para analisar o papel dos parâmetros da equação de segundo
grau a x2 + b x + c = 0.
19. Utilize a sintaxe animate, para analisar o papel dos parâmetros da função f(x) = eax+b,
se:
(a) a > 0 e b > 0
(b) a > 0 e b < 0
(c) a < 0 e b > 0
(d) a < 0 e b < 0
(e) a > 0 e b = 0
(f) a < 0 e b = 0

Capítulo 3
LIMITES E CONTINUIDADE
3.1 Introdução
A seguir, apresentaremos como listar os valores de uma função, no formato de tabela, em uma
vizinhança de um ponto que não necessariamente pertence ao do domínio da função. Não nos
aprofundaremos muito no significado destas sintaxes:
copiar: print
para: for
se: if
então: then
se não: else
de: from
a: to
faça: do
A sintaxe print(expressão); permite exibir a expressão digitada. A sintaxe for se utiliza para
indicar a variação de um contador da seguinte forma - for contador from início to final do. Em
geral, a sintaxe é utilizada para realizar tarefas repetitivas, uma certa quantidade de vezes.
A sintaxe if é para executar uma instrução, ou um grupo de instruções, se e, somente se, verifica
certa condição. Se além disso, desejamos que as intruções sejam executadas, ainda que algumas
outras intruções não se verifiquem, se utiliza a sintaxe else.
As sintaxes fi e od são para fechar as intruções. Note que fi é if ao contrário e od é do ao
contrário.
Sugerimos que a seguinte tabela seja copiada, para realizar os exercícios. A sintaxe para obter
estas tabelas é a seguinte:
Para estudar uma função em uma vizinhança de 0, escrevemos
> print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
for i from -10 to 10 do
if i <> 0 then print(array([seq([evalf(1/(100*k),6),evalf(f(1/(100*k)),5)],k=i)]))
else print(‘indefinido em x=0‘)
75

76 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
fi ;
od;
Para estudar uma função para valores de |x| arbitrariamente grandes; isto é em ±∞, escreve-
mos:
> print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
if i <> 0 then print(array([seq([evalf(100*k,6),evalf(f(100*k),5)],k=i)]))
else print(‘x->+infinito‘)
fi ;
od;
Exemplo 3.1.
1. Seja f(x) =
1
x
. Estudemos f em uma vizinhança de 0:
>f:=x->1/x:
>print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
if i <> 0 then print((array([seq([evalf(1/(100*k)),evalf(f(1/100*k),5)],k=i)]))
else print(‘indefinida em x=0‘)
fi ;
od;
[x. f(x)]
[-0.001000000 -1000.]
[-0.001111111 -900.]
[-0.001250000 -800.]
[-0.001428571 -700.]
[-0.001666667 -600.]
[-0.002000000 -500.]
[-0.002500000 -400.]
[-0.003333333 -300.]
[-0.005000000 -200.]
[-0.01000000 -100.]
indefinida em x=0
[0.01000000 100.]
[0.005000000 200.]
[0.003333333 300.]

3.1. INTRODUÇÃO 77
[0.002500000 400.]
[0.002000000 500.]
[0.001666667 600.]
[0.001428571 700.]
[0.001250000 800.]
[0.001111111 900.]
[0.001000000 1000.]
A tabela nos indica que os comportamentos da função à esquerda e à direita de x = 0, são
diferentes.
2. Analogamente, estudemos f em uma vizinhança de ±∞:
>f:=x->1/x:
>print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
if i <> 0 then print(array([seq([evalf(100*k),evalf(f(100*k),5)],k=i)]))
else print(‘x->+infinito‘);
fi ;
od;
[x. f(x)]
[-1000 -0.0010000.]
[-900 -0.001111111.]
[-800 -0.001250000.]
[-700 -0.001428571.]
[-600 -0.001666667.]
[-500 -0.002000000.]
[-400 -0.002500000.]
[-300 -0.003333333.]
[-200 -0.005000000.]
[-100 -0.01000000.]
x->+infinito
[100 0.01000000.]
[200 0.005000000.]
[300 0.003333333.]

[400 0.002500000.]
[500 0.002000000.]
[600 0.001666667.]
[700 0.001428571.]
[800 0.001250000.]
[900 0.001111111.]
[1000 0.001000000.]
A tabela nos indica que o comportamento da função em ±∞, tende a zero.
3.2 Limites
Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma
função y = f(x) nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu
domínio.
Exemplo 3.2.
1. Seja
f(x) =
sen(x)
x
É claro que Dom(f) = R − {0}. Estudaremos a função nos valores de x que ficam próximos de
0, mas sem atingir 0. Vamos construir uma tabela de valores de x aproximando-se de 0, pela
esquerda (x < 0) e pela direita (x > 0) e os correspondentes valores de f(x).
Digitemos:
>f:=x->sin(x)/x,
f := x −→
sen(x)
x
>print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
if i <> 0 then print(array([seq([evalf(1/(100*k)),evalf(f(1/(100*k)),5)],k=i)]))
else print(‘indefinido em x=0‘)
fi ;
od;
[x. f(x)]
[-0.001000000 0.9999998333.]
[-0.001111111 0.9999997938.]

3.2. LIMITES 79
[-0.001250000 0.9999997392.]
[-0.001428571 0.9999996601.]
[-0.001666667 0.9999995370.]
[-0.002000000 0.9999993335.]
[-0.002500000 0.9999989584.]
[-0.003333333 0.9999981480.]
[-0.005000000 0.9999958334.]
[-0.01000000 0.9999833334.]
indefinida em x=0
[0.01000000 0.9999833334.]
[0.005000000 0.9999958334.]
[0.003333333 0.9999981480.]
[0.002500000 0.9999989584.]
[0.002000000 0.9999993335.]
[0.001666667 0.9999995370.]
[0.001428571 0.9999996601.]
[0.001250000 80.9999997392.]
[0.001111111 0.9999997938.]
[0.001000000 0.9999998333.]
Observando o resultado da tabela, podemos verificar que: “à medida que x vai se aproximando
de 0, os valores de f(x) vão aproximando-se de 1”. A noção de proximidade pode ficar mais
precisa utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer x, y ∈ R é
|y − x|. Assim a frase escrita entre aspas, pode ser expressa por: se |x| aproxima-se de zero,
então |f(x) − 1| também se aproxima de zero; em outras palavras: para que |f(x) − 1| seja
pequeno é necessário que |x| também seja pequeno. Logo:
lim
x→0
sen(x)
x
= 1.

Figura 3.1: .
2. Seja
f(x) = (1 + x)1/x
.
É claro que Dom(f) = R − {0}. Estudaremos a função nos valores de x que ficam próximos de
0, mas sem atingir 0. Vamos construir uma tabela de valores de x aproximando-se de 0, pela
esquerda (x < 0) e pela direita (x > 0) e os correspondentes valores de f(x).
Digitemos:
>f:=x->(1+x) ˆ (1 / x),
f := x −→ (1 + x)1/x
>print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
if i <> 0 then print(array([seq([evalf(1/(100*k)),evalf(f(1/(100*k)),5)],k=i)]))
else print(‘indefinida em x=0‘)
fi ;
od;
[x. f(x)]
[-0.001000000 2.719642216.]
[-0.001111111 2.719793525.]
[-0.001250000 2.719982704.]
[-0.001428571 2.720226004.]
[-0.001666667 2.720550530.]
[-0.002000000 2.721005103.]
[-0.002500000 2.721687486.]
[-0.003333333 2.722826185.]

3.3. CÁLCULO DE LIMITES 81
[-0.005000000 2.725108829.]
[-0.01000000 2.731999026.]
indeﬁnida em x=0
[0.01000000 2.704813829.]
[0.005000000 2.711517123.]
[0.003333333 2.713765158.]
[0.002500000 2.714891744.]
[0.002000000 2.715568521.]
[0.001666667 2.716020049.]
[0.001428571 2.716342738.]
[0.001250000 2.716584847.]
[0.001111111 2.716773208.]
[0.001000000 2.716923932.]
Observando o resultado da tabela, podemos veriﬁcar que: “à medida que x vai se aproximando
de 0, os valores de f(x) vão aproximando-se de e”. Logo, para que |f(x) − e| seja pequeno é
necessário que |x| também seja pequeno. Logo:
lim
x→0
(1 + x)1/x
= e.
Figura 3.2: .
3.3 Cálculo de Limites
A sintaxe para o cálculo do limite:
lim
x→a
f(x)
é:

> limit(função, variável=a, direção);
a pode ser um ponto
-infinity se a = −∞
infinity se a = +∞.
A direção é opcional e pode ser:
left se for um um limite lateral pela esquerda
right se for um um limite lateral pela direita.
Uma forma alternativa para calcular limites é utilizar a seguinte sintaxe:
> Limit(função, variável=a, direção);
>evalf(%);
Observamos que o comando onde aparece limit, com letra minúscula, calcula o limite e o co-
mando Limit, om letra maiúscula, somente exibe a expressão matemática do limite, por isso
acima precisamos utilizar o comando evalf(%);.
Juntando ambas as sintaxes, podemos reescrever os limites em forma mais didática:
> Limit(função, variável=a, direção)=limit(função, variável=a, direção);
Veja os exemplos
Exemplo 3.3.
1. Determine lim
x→0
7
√
x2 + 1 − 7
√
x2 − 1
4
√
x2 + 1 − 4
√
x2 − 1
.
>p1:=(root(x ˆ 2+1,7)-root(1-x ˆ 2 ,7))/(root(x ˆ 2+1,4)-root(1-x ˆ 2 ,4)):
> Limit(p1,x=0)=limit(p1,x=0);
lim
x→0
7
√
x2 + 1 − 7
√
1 − x2
4
√
x2 + 1 − 4
√
1 − x2
=
4
7
2. Determine lim
x→π/2
tg(x).
> Limit(tanx(x),x=Pi/2)=limit(tan(x),x=Pi/2);
lim
x→π/2
tan(x) = undefined
Se incluimos as opções:
> Limit(tanx(x),x=Pi/2,right)=limit(tan(x),x=Pi/2,right);

lim
x→π+/2
tan(x) = −∞
> Limit(tanx(x),x=Pi/2,leftt)=limit(tan(x),x=Pi/2,left);
lim
x→π−/2
tan(x) = ∞
3. Determine lim
x→0
sen
1
x
.
>Limit(sin(1/x),x=0)=limit(sin(1/x), x=0)
lim
x→0−
sin
1
x
= −1 . . . 1
Pode explicar este resultado?
4. Determine lim
x→0
√
x4 + x2
x
.
> p2:=sqrt(x ˆ 4 +x ˆ 2) /x:
>Limit(p2,x=0)=limit(p2, x=0)
lim
x→0
√
x4 + x2
x
= undeﬁned
>Limit(p2,x=0,left)= limit(p2, x=0, left)
lim
x→0−
√
x4 + x2
x
= −1
> Limit(p2,x=0,right)=limit(p2, x=0, right)
lim
x→0+
√
x4 + x2
x
= 1
Pode explicar este resultado.
Figura 3.3: .

5. Determine lim
x→0
cos(α x) − cos(β x)
x2
.
>p3:=(cos(alpha*x)-cos(beta*x))/x ˆ2:
lim
x→0
cos (α x) − cos (β x)
x2
= −
1
2
α2
+
1
2
β2
6. Determine lim
x→0
tg(2 x)
x
.
>Limit(tan(2*x)/x,x=0)=limit(tan(2*x)/x, x=0)
lim
x→0
tan(2 x)
x
= 2
7. Determine lim
x→+∞
x + 3
x + 5
x
.
>p4:=((x+3)/(x+5)) ˆ x:
> Limit(p4,x=inﬁnity)=limit(p4,x=inﬁnity);
lim
x→∞
x + 3
x + 5
x
= e−2
8. Determine lim
x→0
6x − 1
x
.
>p5:=(6 ˆ x-1)/x:
lim
x→0
6x − 1
x
= ln(2) + ln(3)
Figura 3.4: .

9. Determine lim
x→b
x2 − b2
√
x −
√
b
.
>p6:=(x ˆ2-b ˆ 2)/(sqrt(x)-sqrt(b):
> Limit(p6,x=b)=limit(p6,x=b);
lim
x→b
x2 − b2
√
x −
√
b
= 4 b3/2
10. Se f(x) =



x cos(π x) se x < −1
sen(π x) se − 1 ≤ x < 1
√
x se x > 1
, calcule lim
x→±1
f(x).
>p7:= piecewise(x < 1, x*cos(x), and -1 <= x, x <= 1, sin(x)/x, x > 1, sqrt(x)):
> Limit(p7,x=-1,right)=limit(p7,x=-1,right);
lim
x→−1+



x cos(π x) x < 1
sin(π x) −1 ≤ x and x ≤ 1
√
x 1 < x
= 1
> Limit(p7,x=-1,right)=limit(p7,x=-1,right);
lim
x→−1+



x cos(π x) x < 1
√
x 1 < x
= 0
> Limit(p7,x=1,right)=limit(p7,x=1,right);
lim
x→1+



x cost(π x) x < 1
√
x 1 < x
= 1
> Limit(p7,x=1,left)=limit(p7,x=1,left);
lim
x→1−



x cos (π x) x < 1
√
x 1 < x
= 0

Figura 3.5: .
11. Se f(x) = x2 sen
1
x
; determine
lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
.
>f:=x->x ˆ2 *sin(1/x):
p8:=(f(x+h)-f(x))/h:
>factor(limit(p8,h=0));
2 sin
1
x
x − cos
1
x
3.4 Definição de Limite
Seja :
f : A ⊂ R −→ R,
definida em A, exceto possívelmente, em a. Sabemos que:
lim
x→a
f(x) = L
se, e somente se:
Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se x ∈ (a − δ, a + δ) ∩ A − {a} , então f(x) ∈ (L − ε, L + ε).
Observe que o limite de uma função y = f(x) num ponto a, depende apenas dos valores que f
assume nas proximidades de a, ou seja, num pequeno intervalo aberto de centro a.
Uma das principais dificultades, dos alunos, de entender a definição de limite é sua carac-
terística dinâmica. Para facilitar a compreensão da definição, apresentaremos alguns exem-
plos, onde é utilizanda a sintaxe animate.

3.4. DEFINIÇÃO DE LIMITE 87
Exemplo 3.4.
1. É claro que lim
x→2
x2
= 4. Então para todo número real positivo ε existe outro número real
positivo δ, que depende de ε, tal que se 0 < |x − 2| < δ, então |f(x) − 4| < ε.
Esbocemos a situação para ε = 0.8 e δ ≤ 0.18, digitando a seguinte sequência de comandos:
with(plots):
> H:=plots[implicitplot]({x=2,y=4},x=0..2,y=-1..4,color=blue):
> G:=plots[implicitplot]({x=1.82,x=2.18},x=0..4,y=-1..7,color=red):
> L:=plot(x ˆ 2,x=0..4,color=black,thickness=2):
>M:=plot({4.8,3.2},x=0..4,y=-1..7,color=red):
>display(H,G,L,M);
Figura 3.6: .
2. Visualizemos lim
x→1
2 x = 2.
Esbocemos a situação, digitando a seguinte sequência de comandos:
>with(plots):
>M := plot(2*x, x = 0 .. 2, numpoints = 300, scaling = constrained, color = black):
>M1 := plot(2, x = 0 .. 1, numpoints = 200, scaling = constrained, color = blue):
>M2 := plots[implicitplot](x = 1, x = 0 .. 1, y = 0 .. 2, numpoints = 200,
scaling = constrained, color = blue):
>A1 := animate(2+(1-(1/10)*t), x = 0 .. 2, t = 0 .. 8, frames = 50, scaling = constrained, color = red):
>A2 := animate(1+(1/10)*t, x = 0 .. 2, t = 0 .. 8, frames = 50, scaling = constrained, color = red):
>B1 := animate([1+(1-(1/10)*t)*(1/3), x, x = 0 .. 3.5], t = 0 .. 8, frames = 50,
scaling = constrained, color = green):
>B2 := animate([x, 2+2*((1-(1/10)*t)*(1/3)), x = 0 .. 2], t = 0 .. 8, frames = 50,
scaling = constrained, color =green):

>B3 := animate([1-(1-(1/10)*t)*(1/3), x, x = 0 .. 3.5], t = 0 .. 8, frames = 50,
>B4 := animate([x, 2-2*((1-(1/10)*t)*(1/3)), x = 0 .. 2], t = 0 .. 8, frames = 50,
>display(M, M1, M2, A1, A2, B1, B2, B3, B4);
Notemos que as retas limitantes em vermelho indicam a escolha do ε e as retas limitantes
horizontais, em verde, indicam a regão de segurança para o correspondente δ representado
pelas retas limitantes verticais, em verde.
Nos desenhos, diferentes estágios da animação:
Figura 3.7:
Figura 3.8:
Agora estamos em condições de esclarecer o primeiro exemplo, do parágrafo sobre as deﬁciên-
cias do MAPLE, no capítulo anterior.
Consideremos a função:
f(x) =
x2 − 1
x − 1

3.5. ASSÍNTOTAS 89
>f:=x->(x ˆ2 -1)/(x-1) :
>f(1);
Error, (in f) numeric exception: division by zero
>g:= unapply(simplify(f(x)), x);
g := x → x + 1
>g(1);
2
Quando usamos o comado simplify, o MAPLE cancela, seguindo o mesmo procedimento que
utiliza para determinar a solução de:
lim
x→1
x2 + 1
x − 1
= lim
x→1
x + 1 = 2
Isto é, ao simplificar, o MAPLE não considera mais a função f, e sim, a função g.
3.5 Assíntotas
A reta y = b é uma assíntota horizontal ao gráfico da função y = f(x), se pelo menos uma das
seguintes afirmações é verdadeira:
lim
x→+∞
f(x) = b ou lim
x→−∞
f(x) = b.
A reta x = a é uma assíntota vertical ao gráfico da função y = f(x), se pelo menos uma das
seguintes afirmações é verdadeira:
lim
x→a+
f(x) = ±∞ ou lim
x→a−
f(x) = ±∞.
Observamos que, mesmo se Dom(f) = R, a função pode ter assíntotas verticais. Por exemplo:
f(x) =



1
x
se x = 0
2 se x = 0
No caso, de Dom(f) = R e a função ser contínua, então f não possui assíntotas verticais.
Para descobrir, experimentalmente, se uma função possui assíntotas horizontais e/ou verticais,
utilizamos a sintaxe:
>plot(f, x = -infinity .. infinity);

Figura 3.9: Gráfico de x+1
x+3 quando x −→ ±∞.
Exemplo 3.5.
1. Esboce o gráfico de y =
x
x − 1
.
Dom(f) = R − {1} e a curva passa por (0, 0). De fato:
>f:=x->x/(x -1):
>solve(f(x)=0,x);
0
>plot(f(x), x = -infinity .. infinity)
Figura 3.10: Gráfico de f quando x −→ ±∞.
Do desenho, podemos concluir que o gráfico da função possui uma assíntota horizontal e uma
vertical. De fato:
>lim(f(x),x=infinity,left);

3.5. ASSÍNTOTAS 91
1
>lim(f(x),x=infinity,rigth);
1
Logo, y = 1 é uma assíntota horizontal. Por outro lado, determinamos as assíntotas verticais:
>lim(f(x),x=1,left);
−∞
>lim(f(x),x=1,rigth);
∞
Logo, x = 1 é uma assínota vertical. Esboço do gráfico:
>with(plots):
>p:= x/(x-1):
>a1:= plot(p, x = -3 .. 3, discont = true, thickness = 3, color = blue):
>a2:= plot(1, x = -3 .. 3, style = point, symbol = cross, color = green):
>a3:= implicitplot([x = 1], x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, style = point):
>display(a1,a2,a3,view=[-3..3,-4..4]);
Figura 3.11: gráfico de f.
x2
x2 − 1
.
Dom(f) = R − {−1, 1} e a curva passa por (0, 0). De fato:

>f:=x->x ˆ 2/(x ˆ 2 -1):
>solve(f(x)=0,x);
0
Figura 3.12: gráﬁco de f quando x −→ ±∞.
Do desenho, podemos concluir que o gráﬁco da função possui uma assíntota horizontal e duas
verticais. De fato:
1
1
Logo, y = 1 é uma assíntota horizontal. Por outro lado, determinamos as assíntota verticais:
−∞
∞
>lim(f(x),x=-1,left);
∞

3.5. ASSÍNTOTAS 93
>lim(f(x),x=-1,rigth);
−∞
Logo, x = ±1 são assíntotas verticais. Esboço do gráﬁco:
>with(plots):
>p:= xˆ 2/(x ˆ 2 -1):
>a2:= plot(1, x = -3 .. 3, style = point, symbol = cross, color = green):
>a3:= implicitplot([x = -1,x=1], x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, style = point):
>display(a1,a2,a3,view=[-3..3,-4..4]);
x4 + 1
x5 − x
.
>f:=x->(x ˆ 4 +1)/(x ˆ 5 -x):

Figura 3.14: Gráﬁco de f quando x −→ ±∞.
Do desenho, podemos concluir que o gráﬁco da função possui uma assíntota horizontal e três
verticais. De fato:
0
0
Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal. Por outro lado, determinamos as assíntota verticais:
−∞
∞
>lim(f(x),x=-1,left);
−∞
>lim(f(x),x=-1,rigth);
−∞

3.6. CONTINUIDADE 95
∞
−∞
Logo, x = −1, x = 1 e x = 0 são assíntotas verticais. Esboço do gráﬁco:
>with(plots):
>p:= (xˆ 4 +1)/(xˆ 5 -x):
>a2:= implicitplot([x=-1,x = 1], x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, style = point):
>display(a1,a2,view=[-3..3,-4..4]);
3.6 Continuidade
A seguinte sintaxe é utilizada para saber se uma função é contínua ou não:
>iscont(função, x=a..b);
A resposta será true onde for contínua e false onde for descontínua, relativa ao intervalo (a, b).
Para o intervalo [a, b], utilizamos:
>iscont(função, x=a..b,closed);
Para determinar os pontos de descontinuidade de uma função, utilizamos:

>discont(função, x);
Vamos a prestar atenção à diferença de terminologia empregada nas Ciências Aplicadas, como
Engenharia e Física, e daquela usada em Matemática.
Considere uma função racional f(x) =
g(x)
h(x)
, onde g e h são contínuas e a ∈ R tal que h(a) = 0,
se existe δ > 0 tal que se (a − δ, a + δ) ∩ A − {a} = ∅, então faz sentido perguntar se f admite
uma extensão contínua que esteja deﬁnida no ponto a; isto é, se existe F tal que F(x) = f(x)
para todo x ∈ Dom(f) = A e F(a) exista e seja contínua nesse ponto. Isso foi o que MAPLE
executou no exemplo, onde substituiu:
f(x) =
x2 − 1
x − 1
por F(x) = x + 1.
É claro que na prática, se existe a extensão contínua, iremos sempre substituir a função original
por sua extensão contínua.
Porém, nas Ciências Aplicadas, a terminologia empregada é outra. É comum usarem a palavra
descontinuidade para os pontos que anulam o denominador da função e perguntarem se f
tem descontinuidade removível em a. No exemplo a seguir, empregaremos a terminologia
das Ciências Aplicadas. Achar “os pontos onde f é descontínua” é equivalente a determinar o
domínio da função racional f e achar os pontos que anulam o seu denominador.
O comando discont( ), exclui de R os pontos que anulam no denominador de f e, futuramente,
iremos perguntar se f admite uma extensão contínua a esses pontos.
Exemplo 3.6.
1. Determine os pontos onde f(x) =
x2 − 5
x4 + 2 x3 − 17 x2 − 18 x + 72
é descontínua.
q:=(x ˆ 2-5)/(x ˆ 4+2*x ˆ 3-17*x ˆ 2-18*x+72):
>discont(q,x);
{−4, −3, 2, 3}
2. Veriﬁque se a função :
f(x) =
x2 se x ≤ 2
x2 + 2 se x > 2
é contínua.
> k:=piecewise(x<=2,x ˆ 2,x>2,x ˆ 2 +2);
k :=
x2 x ≤ 2
x2 + 2 x > 2

>discont(k,x);
{2}
>iscont(k,x=0..3);
false
>iscont(k,x=2.1..infinity);
true
>iscont(k,x=-infinity..1.9);
true
De fato, calculemos diretamente:
> limit(k,x=2,left);
4
> limit(k,x=2,right);
6
Logo, os limites laterais não são iguais; portanto, a função é descontínua em x0 = 2. Para ver o
gráfico:
>plot(k, x = -4 .. 4, thickness = 3, color = blue, discont = true);
Figura 3.16: Exemplo 1.
2. Determine a constante c, tal que:
f(x) =



x2 sen(
1
x
) se x = 0
c se x = 0

seja contínua.
> k1:=piecewise(x<>0,x ˆ 2 *sin(1/x),c);
k1 :=



x2 sen(
1
x
) se x = 0
c otherwise
> limit(k1,x=0,left);
0
> limit(k1,x=0,right);
0
Logo, definimos c = 0 e:
k1 :=



x2 sen(
1
x
) se x = 0
0 otherwise
>iscont(k1,x=-infinity..infinity);
true
Para ver o gráfico:
>plot(k1, x = -0.2 .. 0.2, thickness = 3, color = blue);
3. Seja
f(x) =



1
(x − 1)2
se x = 1
4 se x = 1.
Verifique se f é contínua em 1.

> k2:=piecewise(x=1,4,1/(x-1)ˆ2);
k2 :=



4 x = 1
1
(x − 1)2
otherwise
> limit(k2,x=1,left);
∞
> limit(k2,x=1,right);
∞
Por outro lado, f(1) = 4; logo, a função não é contínua em 1.
>plot(k2, x = -1 .. 2.5, color = blue, thickness = 3, discont = true, view = [-1 .. 2.5, 0 .. 10]);
4. Seja
f(x) =



2 se x ≤ −1
A x + B se − 1 < x < 3
−2 se x ≥ 3.
Determine A e B tais que f seja uma função contínua em R.
Os pontos problemáticos do domínio de f são x = −1 e x = 3. Utilizando a deﬁnição, f é
contínua se: 


lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1+
f(x) = f(−1)
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3+
f(x) = f(3),
Digitamos:
> z1:=piecewise(x<=-1,2, -1<x and x<3,A*x+B,x>=3,-2);

z1 :=



2 x ≤ −1
A x + B −1 < x and x < 3
−2 x ≥ 3.
> eq1:=limit(z1,x=-1,left)=limit(z1,x=-1,right);
eq1 := −A + B = 2
> eq2:=limit(z1,x=3,left)=limit(z1,x=3,right);
eq1 := 3 A + B = −2
> solve({eq1,eq2},A, B);
{A = −1} {B = 1}
Logo, temos:
z1 :=



2 x ≤ −1
1 − x −1 < x and x < 3
−2 x ≥ 3.

3.7 Exercícios
1. Calcule os seguintes limites usando tabelas:
(a) lim
x→1
x3 − 2 x2 + 5 x − 4
x − 1
(b) lim
x→0
x2
−
2x
1000
(c) lim
x→0
tg(4 x)
x
(d) lim
x→1
(x + 2)2
x
(e) lim
x→0
3x − 1
x2 + x + 2
(f) lim
x→1
(x2 − 1)
x − 1
2. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→1
4x5 + 9x + 7
3x6 + x3 + 1
(b) lim
x→2
x3 + 3x2 − 9x − 2
x3 − x − 6
(c) lim
x→3
x2 − 9
x2 − 3x
(d) lim
x→1
2x2 − 3x + 1
x − 1
(e) lim
x→0
x2 − a2
x2 + 2 a x + a2
(f) lim
x→0
x6 + 2
10x7 − 2
(g) lim
x→2
2 − x
2 −
√
2x
(h) lim
h→0
(t + h)2 − t2
h
(i) lim
x→1
x4 − 1
3x2 − 4x + 1
(j) lim
x→2
8 − x3
x2 − 2x
(k) lim
x→−1
x + 1
√
6x2 + 3 + 3x
(l) lim
x→0
√
9 + 5x + 4x2 − 3
x
(m) lim
x→0
√
x + 4 − 2
x
(n) lim
x→7
2 −
√
x − 3
x2 − 49
(o) lim
x→1
x4 + x3 − x − 1
x2 − 1
3. Veriﬁque se os seguintes limites existem:
(a) lim
x→1
x3 − 1
|x − 1|
(b) lim
x→3
|x − 3|
(c) lim
x→1
x2 − 3x + 2
x − 1
(d) lim
x→5
x3 − 6 x2 + 6 x − 5
x2 − 5 x
(e) lim
x→−4
x2 + 3x − 4
x3 + 4 x2 − 3 x − 12
(f) lim
x→8
x − 8
3
√
x − 2
(g) lim
x→0
(cos(x) − [[sen(x)]])
(h) lim
x→0
(sen(x) − [[cos(x)]])
(i) lim
x→0+
x
a
b
x
(j) lim
x→0+
[[
x
a
]]
4. Calcule os seguintes limites no inﬁnito:

(a) lim
x→+∞
2x3 + 5x + 1
x4 + 5x3 + 3
(b) lim
x→+∞
3x4 − 2
√
x8 + 3x + 4
(c) lim
x→−∞
x2 − 2x + 3
3x2 + x + 1
(d) lim
x→+∞
x
x2 + 3x + 1
(e) lim
x→+∞
√
x2 + 1
3x + 2
(f) lim
x→−∞
√
x2 + 1
3x + 2
(g) lim
x→+∞
√
x + 3
√
x
x2 + 3
(h) lim
x→+∞
(x − x2 + 1)
(i) lim
x→−∞
3
x
x2 + 3
(j) lim
x→+∞
3
√
x3 + 2x − 1
√
x2 + x + 1
5. Calcule os seguintes limites inﬁnitos:
(a) lim
x→−∞
5x3 − 6x + 1
6x2 + x + 1
(b) lim
x→+∞
m
√
x
(c) lim
x→3+
5
3 − x
(d) lim
x→0+
2x + 1
x
(e) lim
x→1+
2x + 3
x2 − 1
(f) lim
x→1−
2x + 3
x2 − 1
(g) lim
x→3+
x2 − 3x
x2 − 6x + 9
(h) lim
x→2+
x2 − 4
x2 − 4x + 4
(i) lim
x→0+
sen(x)
x3 − x2
(j) lim
x→0+
ln(x)
x
(k) lim
x→0
ln(|x|)
6. Se f(x) = 3 x − 5 e g(x) =
x
2
−
2
3
, calcule:
(a) lim
x→1
(f + g)(x)
(b) lim
x→1
(g − f)(x)
(c) lim
x→1
(g f)(x)
(d) lim
x→1
f
g
(x)
(e) lim
x→1
g
f
(x)
(f) lim
x→1
(f f)(x)
(g) lim
x→2
(f ◦ g)(x)
(h) lim
x→2
(g ◦ f)(x)
(i) lim
x→− 3
2
(f ◦ g ◦ f)(x)
(j) lim
x→2
ln(|f(x)|)
(k) lim
x→ 4
3
cos
g(x)
f(x)
(l) lim
x→0
x sen
1
g(x)
7. Calcule os seguintes limites:

(a) lim
x→π
sen(x)
x − π
(b) lim
x→+∞
x sen(
1
x
)
(c) lim
x→0
x − tg(x)
x + tg(x)
(d) lim
x→+∞
(1 +
2
x
)x+1
(e) lim
x→0
1 +
1
2x
x
(f) lim
x→0
(1 + 2x)
1
x
(g) lim
x→0
e2x − 1
x
(h) lim
x→0
ex2
− 1
x
(i) lim
x→0
5x − 1
x
(j) lim
x→0
3x − 1
x2
(k) lim
x→0
eax − ebx
sen(ax) − sen(bx)
, a, b = 0
(l) lim
x→0
x cos2
(x)
(m) lim
x→0
tg2(x)
x2 sec(x)
(n) lim
x→+∞
(1 −
4
x
)x+4
(o) lim
x→−∞
(1 −
1
x
)x
8. Calcule lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
e lim
t→0
f(t + a) − f(a)
t
, se:
(a) f(x) = x2, a = 2
(b) f(x) = x2 + 1, a = 2
(c) f(x) = 3 x2 − x, a = 0
(d) f(x) = |x|2, a = 2
(e) f(x) =
√
x, a = 1
(f) f(x) = x (1 − x), a = 1
(g) f(x) = cos(x), a = π
(h) f(x) = (x − 3)2, a = 1
(i) f(x) = ln(x), a = 1
(j) f(x) = e2x, a = 0
9. Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram, num certo
bairro, após t dias é dado por:
L(t) =
100000
1 + 19900 e−0.8t
(a) Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença.
(b) Esboce o gráﬁco de L.
10. Esboce o gráﬁco das seguintes funções:
(a) y =
1
(x − 1) (x3 + 1)
(b) y =
x
(x − 1) (x3 + 1)
(c) y =
1
(x − 3) (x + 2) (x2 + 1)
(d) y =
x2
(x − 3) (x + 2) (x2 − 1)

11. Verifique se as seguintes funções são contínuas:
(g) f(x) =
2 x se x ≤ 1
1 se x > 1
(h) f(x) =



x2 − 4
x − 2
se x = 2
4 se x = 2
Esboce os gráficos correspondentes.
12. Seja f(x) = x3 + x. Verifique que:
(a) |f(x) − f(2)| ≤ 20 |x − 2| se 0 ≤ x ≤ 3 (b) f é contínua em 2.
13. Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
(a) f(x) =



x2 − x
x
se x = 0
L se x = 0
, no ponto x = 0.
(b) f(x) =



x2 − 9
x − 3
se x = 3
L se x = 3
, no ponto x = 3.
(c) f(x) =
x + 2L se x ≥ −1
L2 se x < −1
, no ponto x = −1.
(d) f(x) =
4 3x se x < 0
2 L + x se x ≥ 0
, no ponto x = 0.
14. Verifique se as seguintes funções são contínuas.
(a) f(x) =



sen(x)
x
x = 0
0 x = 0
(b) f(x) =



|x2 − 5x + 6|
x2 − 5x + 6
x = 2, 3
1 x = 2
9 x = 3
(c) f(x) =



1 − x
1 − x3
x = 1
1 x = 1
(d) f(x) =



1 − x2 x < −1
ln(2 − x2) −1 ≤ x ≤ 1
x − 1
x + 1
x > 1
15. Seja f(x) = 1 − x sen
1
x
, x = 0. Como escolher o valor de f(0), para que a função f
possa ser definida em x = 0 e seja contínua no ponto?

16. Sendo f(x) = arctg
1
x − 2
, x = 2, é possível escolher o valor de f(2) tal que a função f
possa ser definida em x = 2 e seja contínua no ponto?
17. A função sinal de x é definida por:
sgn(x) =



1 se x > 0
0 se x = 0
−1 se x < 0.
Verifique se f(x) = x sgn(x) e g(x) = x2 sgn(x) são funções contínuas.
18. Verifique que a equação x = tg(x) tem uma infinidade de raízes reais.
19. Uma esfera oca de raio R está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A
intensidade de um campo elétrico E(x) num ponto P localizado a x unidades do centro
da esfera é determinada pela função:
E(x) =



0 se 0 < x < R
1
3x2
se x = R
x−2
se x > R.
Verifique se a função E = E(x) é contínua. Esboce o gráfico de E.
20. A função de Heaviside é utilizada no estudo de circuitos elétricos para representar o
surgimento de corrente elétrica ou de voltagem, quando uma chave é instantaneamente
ligada e, é definida por:
H(t) =
0 se t < 0
1 se t ≥ 0
(a) Discuta a contínuidade de f(t) = H(t2 + 1) e de g(t) = H(sen(π t)). Esboce os respec-
tivos gráficos em [−5, 5].
(b) A função R(t) = c t H(t) (c > 0) é chamada rampa e representa o crescimento gradual
na voltagem ou corrente num circuito elétrico. Discuta a continuidade de R e esboce seu
gráfico para c = 1, 2, 3.
(c) Verifique que uc(t) = H(t − c).
(d) Se h(t) =
f(t) se 0 ≤ t < c
g(t) se t ≥ c
, verifique que h(t) = (1 − uc(t)) f(t) + uc(t) g(t).

Capítulo 4
DERIVADA
Seja:
f : A −→ R
uma função definida num domínio A e x0 ∈ A. Suponha que para todo intervalo aberto I que
contenha x0, se tenha: I ∩ (A − {x0}) = ∅.
4.1 Retas Secantes
Da Geometria Analítica elementar sabemos que o coeficiente angular da reta, que passa pelos
pontos P = (x0, f(x0)) e q = (x, f(x)) é:
msec =
f(x) − f(x0)
x − x0
Fazendo a mudança h = x − x0, temos:
msec =
f(x0 + h) − f(x0)
h
.
A reta secante ao gráfico de f, que passa por (x0, f(x0)) e (x0 + h, f(x0 + h)) é definida por:
y = msec (x − x0 − h) + f(x0 + h)
Observamos que h será usado como parâmetro. Veja os exemplos a seguir:
Exemplo 4.1.
1. Determine as retas secante a f(x) = x2 − 3 x − 4, no ponto (0,-4).
>with(plots):
>f:=x->x ˆ 2-3*x-4:
>x0:=0:
107

108 CAPÍTULO 4. DERIVADA
>p0:=[x0,f(x0)]:
>p1:=[x0+h,f(x0+h)]:
>h1:=[seq(5/i,i=1..50)]:
>m:=(f(x0+h)-f(x0))/h:
>s:=x->m*(x-x0-h)+f(x0+h):
>T:=seq(plot(f(x),s(x),x=-2..6,color=[blue,coral],thickness=[3,2],view=[-2..6,-10..10]),h=h1):
>display(T,insequence=true,frames=70);
Esta sequência de comandos, gera uma animação das secantes.
Figura 4.1: Dois frames do exemplo 1.
Observe que, se modiﬁcamos:
>h1:=[seq(5/i,i=1..50)]:
por:
>h2:=[seq(-5/i,i=1..50)]:
e
>T:=seq(plot(f(x),s(x),x=-6..6,color=[blue,coral],thickness=[3,2],view=[-6..6,-15..40]),h=h2):
Esta sequência de comandos, gera uma animação das secantes, no sentido contrário.

4.1. RETAS SECANTES 109
2. Determine as retas secante a f(x) = sen(x), no ponto (
π
2
, 1).
>with(plots):
>f:=x->sin(x):
>x0:=Pi/2:
>p0:=[x0,f(x0)]:
>p1:=[x0+h,f(x0+h)]:
>h1:=[seq(3/i,i=1..50)]:
>m:=(f(x0+h)-f(x0))/h:
>s:=x->m*(x-x0-h)+f(x0+h):
>T:=seq(plot(f(x),s(x),x=-.5..4,y=-1..1.5,color=[blue,red],thickness=[3,2]),h=h1):
Esta sequência de comandos, gera uma animação das secantes.

4.2 Reta Tangente
Com as hipóteses iniciais; considere P = (x0, f(x0)) e Qi = (xi, f(xi)) (i = 1, 2, 3......) pontos
no gráfico de f, P = Qi; seja r1 a reta secante que passa por P e Q1; seu coeficiente angular é:
m1 =
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
.
Fixemos o ponto P e façamos o ponto Q1 se mover sobre o gráfico de f em direção a P, até um
novo ponto Q2 = (x2, f(x2)) tal que Q2 = P. Seja r2 a reta secante que passa por P e Q2; seu
coeficiente angular é:
m2 =
f(x2) − f(x0)
x2 − x0
.
Suponha que os pontos Qi (i = 1, 2, 3......) vão se aproximando sucessivamente do ponto P
(mas sem atingir P), ao longo do gráfico de f; repetindo o processo obtemos r1, r2, r3, ..., retas
secantes de coeficientes angulares m1, m2, m3, ..., respectivamente.
Vamos supor que, a medida que os pontos Qi vão se aproximando cada vez mais do ponto P,
os mi respectivos tendam a um valor limite constante, que denotaremos por mx0 .
Definição 4.1. A reta passando pelo ponto P e tendo coeficiente angular mx0 , é chamada reta tangente
ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)).
Se
mx0 = lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
existe. Como x0 é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente
ao gráfico de f para qualquer ponto (x, f(x)):

4.2. RETA TANGENTE 111
mx = lim
t→0
f(x + t) − f(x)
t
Assim, mx só depende x.
Definição 4.2. Se f for contínua em x0, então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(x0, f(x0)) é:
y − f(x0) = mx0 (x − x0)
se o limite dado na definição anterior, existe.
Podemos gerar as retas tangentes ao gráfico de uma função, apenas modificando:
>m:=(f(x0+h)-f(x0))/h:
no traçado das retas secantes, por:
>m:=limit((f(x0+h)-f(x0))/h,h=0):
Ou, utilizamos a seguinte sintaxe:
>with(student):
>showtangent(função, x=ponto,opções);
Exemplo 4.2.
1. Seja f(x) = x2 − 3 x − 4 e esbocemos as retas tangentes, nos pontos x = 0, −1, 1, −3, 3.
>with(student):
>with(plots):
>f:=x ˆ 2-3*x-4:
>a1:=showtangent(f,x=0,thickness=2):
>a2:=showtangent(f,x=-1,thickness=2):
>a4:=showtangent(f,x=-3,thickness=2):
>display(a1,a2,a3,a4,a5);

Para gerar uma sequência de retas tangentes, podemos utilizar:
>retan:=seq(showtangent(f1, x = i), i = -8 .. 8):
>display(lista, title = ‘ Retas Tangentes a f(x)‘)
2. Seja h(x) = x (x2 − 1), façamos uma animação das retas tangentes à h = h(x).
>with(plots):
>h:=x*(x ˆ 2-1):
>g1:=limit((f(x+h)-f(x))/h, h = 0):

>g2 := subs(x = t, g1):
>g := unapply(g2, t);
g := t → 3 t2
− 1
>ta :=f(t)+g(t)*(x-t);
ta := t → t t2
− 1 + 3 t2
− 1 (x − t)
>animate(plot, [f(x), ta(t), x = -1.3 .. 1.3, color = [blue, red], thickness = [3, 2]], t = -1 .. 1,
frames = 50, view = [-1.3 .. 1.3, -.5 .. 1]);
Da deﬁnição, segue que a equação da reta normal ao gráﬁco de f no ponto (x0, f(x0)) é:
y − f(x0) = −
1
mx0
x − x0 , se mx0 = 0
Exemplo 4.3.
1. Considere h(x) = x (x2 − 1), façamos uma animação das retas normais à h = h(x).
>with(plots):
>h:=x*(x ˆ 2-1):
>g1:=limit((f(x+h)-f(x))/h, h = 0):
>g2 := subs(x = t, g1):
>g := unapply(g2, t);
g := t → 3 t2
− 1

>no:=f(t)-(1/g(t))*(x-t);
no := t → t t2
− 1 −
x − t
3 t2 − 1
>animate(plot, [f(x), no(t), x = -1.3 .. 1.3, color = [blue, red], thickness = [3, 2]], t = -1 .. 1,
frames = 50,view = [-1.3 .. 1.3, -.5 .. 1]);
O MAPLE 13, possui uma livraria que calcula, automaticamente, a reta tangente ao gráﬁco de
uma função, num ponto dado. A sintaxe é:
>with(Student[Calculus1]):
>Tangent(expressão,x=ponto);
Exemplo 4.4.
1. Determine a reta tangente à f(x) = arctg(x3 + x − 1), nos pontos x0 = −1, x = 0 e x0 = 1.
>p:=arctan(xˆ3+x-1):
>Tangent(p, x = -1);
2
5
x + arctan(3) +
2
5
>Tangent(p, x = 0);
1
2
x −
1
4
π
>Tangent(p, x = 1);

2 x +
1
4
π − 2
Verifique as respostas!
2. Determine a reta tangente á f(x) =
x6 − 3 x5 + x3 + x − 1
x4 + 1
, nos pontos x0 = −1, x0 = 0 e
x0 = 1.
>p:=(xˆ6-3*xˆ5+xˆ3+x-1)/(xˆ4+1):
>q:=seq(Tangent(p, x = i),i=-1..1);
−
15
2
x − 7, x − 1, −
3
2
x + 1
Verifique as respostas! Para esboçar os gráficos, façamos:
>with(plots):
>s:={q}:
>a1 := plot(p, x = -2 .. 2, color = blue, thickness = 3):
>a2 := plot(s, x = -2 .. 2, thickness = [2, 2, 2]):
>display(a2, a1, view = [-2 .. 2, -4 .. 5]);

4.3 Funções Deriváveis
Definição 4.3. Seja f : A −→ R uma função definida num domínio A e x0 ∈ A. Suponhamos que para
todo intervalo aberto I que contenha x0, se tenha: I ∩(A−{x0}) = ∅. f é derivável ou diferenciável
no ponto x0 quando existe o seguinte limite:
f′
(x0) = lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
Fazendo a mudança t = x − x0, temos:
f′
(x0) = lim
t→0
f(x0 + t) − f(x0)
t
.
f′(x0) é chamada a derivada de f no ponto x0. Como x0 é um ponto arbitrário, podemos
calcular a derivada de f para qualquer ponto x ∈ Dom(f);
f′
(x) = lim
t→0
f(x + t) − f(x)
t
Assim f′ é função de x e f′(x0) ∈ R.
Definição 4.4. Uma função f é derivável (ou diferenciável) em A ⊂ R, se é derivável ou diferenciável
em cada ponto x ∈ A.
Outras notações para a derivada de y = y(x) são:
dy
dx
ou D(f).

4.4. SINTAXES QUE ENVOLVEM A DERIVADA 117
4.4 Sintaxes que envolvem a Derivada
A sintaxe da derivada de uma função ou uma espressão, é:
>diff(função,variável);
Como no caso dos limites, podemos reescrever as derivadas, em forma mais didática, utili-
zando a sintaxe:
>Diff(função,variável)=diff(função,variável);
O MAPLE, possui todas as regras de derivação, por exemplo:
A regra do produto:
>Diff(f(x)*g(x),x)=diff(f(x)*g(x),x);
d
dx
(f (x) g (x)) =
d
dx
f (x) g (x) + f (x)
d
dx
g (x)
A regra do quociente:
>Diff(f(x)/g(x),x)=diff(f(x)/g(x),x);
d
dx
f (x)
g (x)
=
d
dx f (x) g (x) − f (x) d
dx g (x)
(g (x))2
Para derivadas sucessivas, utilizamos:
>diff(função,variável$n);
onde n é a ordem da derivada.
Exemplo 4.5.
1. Determine as 7 primeiras derivadas de f(x) = ln(x); digitamos:
>seq(diff(ln(x), x$n),n=1..7);
1
x
, −
1
x2
,
2
x3
, −
6
x4
,
24
x5
, −
120
x6
,
720
x7
De forma alternativa, podemos digitar:
>diff(ln(x),x), diff(ln(x),x$2), ...., diff(ln(x),x$7);
2. Calcule a n-ésima derivada de f(x) = e2x; digitamos:
>Diff(exp(2*x),x$n)=diff(exp(2*x),x$n);

dn
dxn
e2 x
= 2n
e2 x
3. Calcule a n-ésima derivada de f(x) = sen(x); digitamos:
>Diff(sin(x),x$n)=diff(sin(x),x$n);
dn
dxn
sin(x) = sin(x +
1
2
nπ)
Pode explicar o resultado?
4. Estude a diferenciabilidade de:
f(x) =



x
1 + e1/x
se x = 0
0 se x = 0
A função é contínua em R e diferenciavél se x = 0; logo, o único ponto problemático é x = 0.
>plot(f, x = -1 .. 1, view = [-1 .. 1, -0.4 ..0.4], axes = box, thickness = 3, color = blue,discont=true);
Figura 4.10: Gr aﬁco de f.
>f1:=x->x/(1+exp(1/x)):
>p:=f1(h)/h;
p :=
1
1 + e1/h
>Limit(p,h->0,left);
1
>Limit(p,h->0,right);

0
Logo, a função f não é derivavél em x = 0. A função f deve ter uma quina na origem.
5. Estude a diferenciabilidade de: h(x) = arctg
x + 1
x − 1
.
Note que a função não é contínua em x = 1, logo, não é derivável em x = 1. Por outro lado:
>h:=x->arctan((x+1)/(x-1)):
>p:=simplify(diff(h(x),x));
p := −
1
1 + x2
>Limit(p,x=1,left)=limit(p,x=1,left);
lim
x→1−
−
1
1 + x2
= −
1
2
>Limit(p,x=1,right)=limit(p,x=1,right);
lim
x→1+
−
1
1 + x2
= −
1
2
Pode explicar o resultado?
>plot(p, x = -2 .. 3, discont = true, thickness = 3, color = blue);
6. Esboce a reta tangente e a reta normal a f(x) = x3 − 5 x + 1, no ponto x0 = 1; digitamos:
>with(plots):
>f:=x->x ˆ 3 -5*x+1:

>p:=diff(f(x),x):
>h:=unnaply(p,x);
h := x → 3 x2
− 5
>ta:=f(1)+h(1)*(x-1);
ta := −1 − 2 x
>no:=f(1)-(1/h(1)) *(x-1);
no := −
7
2
+
1
2
x
>a1:= plot(no(x), ta(x), x = -8 .. 8, y = -8 .. 8, color = [coral, red], thickness = [2, 2]):
>a2 := plot(f(x), x = -3 .. 3, color = blue, thickness = 3):
>display(a1,a2);
7. (Serpentina de Newton). Seja f(x) =
8 x
x2 + 1
:
(a) Determine os pontos do gráﬁco onde o coeﬁciente angular é igual a 3.
(b) Determine as equações das retas tangente e normal nos pontos de (a).
(a) Digitamos:
>f:=x->8*x/(x ˆ 2 +1):
>simplify(diff(f(x),x)):

>m:=unapply( ,x);
m := x → −8
x2 − 1
(x2 + 1)2
>with(RealDomain):
>solve(m(x)=3,{x});
{x = −
1
3
√
3}, {x =
1
3
√
3}
>x0=-sqrt(3)/3,x1:=sqrt(3)/3:
>ta:=z->f(z)+m(z)*(x-2):
>no:=z->f(z)-(1/m(z))*(x-2):
>ta0:=ta(x0);
ta0 := − (3) + 3 x
>ta1:=ta(x1);
ta1 := 3 x +
√
3
>no0:=no(x0);
no0 := −
19
9
√
3 − 1/3 x
>no1:=no(x1);
no1 :=
19
9
√
3 − 1/3 x

4.4.1 O Operador Diferencial
O operador diferencial D calcula a derivada de operadores e não de funções. Não confundir
com diff, que calcula a derivada de funções. O argumento e o resultado de D são operadores.
A sintaxe é:
D(expressão,variável);
A derivada de ordem n, tem a seguinte sintaxe:
>D@@n;
Exemplo 4.6.
1. Note a diferenças:
>D(g @f);
(D (g) ◦ f) D (f)
>diff(g @f);
Error, invalid input: diff expects 2 or more arguments, but received 1
>diff((g @f)(x),x);
D (g) (f (x))
d
dx
f (x)

2. Digite
>D(f)(x);
D (f) (x)
>convert( , diff);
d
dx
f (x)
agora, se digitamos:
>D(f)(0);
D (f) (0)
>convert( , diff);
d
dt1
f(t1)
t1=0
3. Digite
>D(arctan);
z →
1
1 + z2
Pode explicar?
4. Digite:
>Id:=x->x:
>H:=Id+D-D@@2+6*D@@3-D@@4;
Id + D − D(2)
+ 6 D(3)
− D(4)
H deve ser aplicado em funções, por exemplo:
>f:=x->sin(3*x):
>H(f)(x);
−71 sin(3 x) − 159 cos(3 x)
Agora H(f) é uma função e pode ser calculada em algum valor:
>H(f)(Pi);

159
Considere:
>g:=x->xˆ2*cosh(x):
>H(g)(x);
−x2
cosh(x) + 38 x cosh(x) + 7 x2
sinh(x) − 14 cosh(x) − 12 x sinh(x) + 36 sinh(x)
>H(g)(0);
−14
No exemplo 3, podemos calcular:
>D(arctan)(Pi);
1
1 + π2
4.5 Regra da Cadeia
Sejam f e g funções, tais que g ◦ f esteja bem deﬁnida. Se f é derivável em x e g é derivável em
f(x), então g ◦ f é derivável em x e:
(g ◦ f)′
(x) = g′
(f(x)) · f′
(x)
Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se y = g(x) e x = f(t), nas hipóteses do
teorema, temos que:
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
O MAPLE já tem a regra da cadeia:
>Diff((g @f)(x),x)=diff((g @ f)(x),x);
d
dx
g (f (x)) = D (g) (f (x)) D (f) (x)
Exemplo 4.7.
1. Calcule a derivada de f(x) = ln(cos(α(x))); digitamos:
>p:= ln(cos(alpha(x))):
>Diff(p, x)=diff(p, x);

4.6. DERIVAÇÃOS IMPLÍCITA 125
d
dx
ln (cos (α (x))) = −
sin (α (x)) d
dx α (x)
cos (α (x))
2. Calcule a derivada de f(x) = arctg(α(x))); digitamos:
>p:= arctan(alpha(x)):
>Diff(p, x)=diff(p, x);
d
dx
arctan (α (x)) =
d
dx α (x)
1 + (α (x))2
3.Calcule y′ se y = x4 − 2 x3 + 2 e x = x(t) = t sen(t).
>f:=x->xˆ4 -2*x ˆ 3+2:
>x:=t->t*sin(t):
>h:=f(x(t)):
>simplify(diff(h,x)
2 (sin (t))2
t2
−2 (cos (t))2
t + 2 sin (t) cos (t) t2
− 3 t cos (t) + 2 t − 3 sin (t)
4.6 Derivaçãos Implícita
Seja F(x, y) = 0 uma equação nas variáveis x e y.
Definição 4.5. A função y = f(x) é definida implicitamente pela equação F(x, y) = 0, quando
F(x, f(x)) = 0.
Em outras palavras, quando y = f(x) satisfaz à equação F(x, y) = 0.
Se F(x, y) = 0, define implicitamente, uma função derivável y = f(x), a sintaxe para calcular a
derivada da função definida implicitamente é:
>implicitdiff(expressão, y, x);
onde y é a variável dependente e x a variável independente. Em geral:
>implicitdiff({f1,...,fm}, {y1,...,yn}, x1,...,xk) ;
Observemos que nada garante que uma função definida implicitamente seja contínua, deri-
vável, etc. Na verdade, nem sempre uma equação F(x, y) = 0 define implicitamente alguma
função. Por exemplo, considere a seguinte equação:
x3
y6
+ x3
tg(x y2
) + ln(x + y) + sen(x) = 0.

Exemplo 4.8.
Calcule a derivada das funções deﬁnidas implícitamente, se y = f(x) é uma função derivável:
1. x3 − 3 x2 y4 + y3 = 6 x + 1; digitamos
>F:=x ˆ 3 - 3*x ˆ 2 *y ˆ 4 +y ˆ 3 =6*x+1:
> implicitdiff(F, y, x);
2 − x2 + 2 x y4
y2 (1 − 4 x2 y)
2. x2 + x y + x sen(y) = y sen(x); digitamos
>F:=x ˆ 2+x*y +x*sin(y)=y*sin(x):
−
−2 x − y − sin (y) + y cos (x)
−x − x cos (y) + sin (x)
O processo de derivar implicitamente pode ser usado somente se a função determinada pela
forma implícita é derivável. Mas, para os exemplos e exercícios, sempre consideraremos esta
exigência satisfeita.
Exemplo 4.9.
1. (Folium de Descartes). Ache a equação da reta tangente à função deﬁnida implicitamente
por:
x3
+ y3
= 6 x y,
no ponto (3, 3).
>F:=x ˆ 3 +y ˆ 3 =6*x*y:
−x2 + 2 y
y2 − 2 x
>m := subs(x = 3, y = 3, );
m := −1
>ta:=3+m*(x-3);
ta := 6 − x
>with(plots):

4.6. DERIVAÇÃOS IMPLÍCITA 127
>a1:=implicitplot(F=0,x=-5..7,y=-6..6,thickness=3,color=blue,gridrefine=3):
Pesquise a opção gridfine.
>a2 := plot(ta(x), x = -4 .. 7, thickness = 2):
>display(a1,a2);
Figura 4.14: Folium de Descartes.
2. (Lemniscata de Bernoulli). Ache a equação da reta tangente à função definida implicita-
mente por:
2 (x2
+ y2
)2
= 25 (x2
− y2
),
no ponto (3, 1).
>F:=2*(x ˆ 2 +y ˆ 2)ˆ 2 =25*(x ˆ 2-y ˆ 2):
−
x 4 x2 + 4 y2 − 25
y (4 x2 + 4 y2 + 25)
>m := subs(x = 3, y = 1, );
m := −
9
13
>ta:=1+m*(x-3);
ta :=
40
13
−
9
13
x
>with(plots):
>a1:=implicitplot(F, x = -4 .. 4, y = -2 .. 4, thickness = 3, color = blue, gridrefine = 3):

>a2 :plot(ta(x), x = -4 .. 6, y = -2 .. 4, thickness = 2):
>display(a1,a2);
Figura 4.15: Lemniscata de Bernoulli.
4.7 Aproximação Linear
É intuitivo pensar que uma função derivável restrita a um pequeno intervalo contido em seu
domínio "comporta-se"como uma função polinomial do primeiro grau.
Por exemplo, consideremos y = f(x) = x2. Estudando f num pequeno intervalo contendo
x = 1, por exemplo I = [0.99, 1.01], obtemos:
x f(x)
0.99 0.9801
0.999 0.998001
1 1
1.001 1.0002001
1.01 1.0201
A reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1 é dada por y = 2 x − 1; seu coeficiente angular
é 2. Determinemos os coeficientes angulares das retas passando pelos pontos (0.999, f(0.999)),
(1, f(1)) e (1.001, f(1.001)), (1, f(1)), respectivamente:
m1 =
f(1) − f(0.999)
1 − 0.999
= 1.9990
m2 =
f(1.001) − f(1)
1.001 − 1
= 2.0010.
m1 e m2 são valores bastante próximos de 2. Observe que se |x − 1| → 0 (x perto de 1), então
f(x) = x2 fica próxima de y = 2 x − 1. De fato:

4.7. APROXIMAÇÃO LINEAR 129
lim
x→1
|f(x) − y| = lim
x→1
|x2
− 2 x + 1| = 0.
Isto nos leva a estabelecer a seguinte definição:
Definição 4.6. Seja y = f(x) uma função derivável em x0. A aproximação linear de f em torno de x0
é denotada por l(x) e definida por:
l(x) = f(x0) + f′
(x0) (x − x0)
se x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0 pequeno.
A função l(x) também é chamada linearização de f ao redor ou em torno do ponto x0.
A proximidade de f(x) e l(x) nos permitirá fazer algumas aplicações.
A notação para f(x) próxima a l(x) é f(x) ≃ l(x). O erro da aproximação é E(x) = f(x) − l(x)
e satisfaz à seguinte condição:
lim
x→x0
E(x)
x − x0
= lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
− f′
(x0) = 0.
A sintaxe, para determinar a linearização de uma função, é a mesma que para achar a reta
tangente. De fato, a linearização de f(x) ao redor do pointo x0 é:
>f:=x->expressão:
>p:=diff(f(x),x):
>h:=unnaply(p,x):
>l:=x->f(x0 )+h(x0 )*(x-x0 );
Exemplo 4.10.
1. Se f(x) =
1
(1 + 2 x)4
representa a temperatura num arame, calcule aproximadamente a
temperatura f(0.01).
Vamos determinar l(x) = f(0) + f′(0) x:
>x0=0:
>f:=x->1/(1+2*x)ˆ4:
>p:=diff(f(x),x):
>h:=unapply(p,x):
>l:=x->f(x0)+h(x0)*(x-x0);

l := x → 1 − 8 x
>l(0.01);
0.92
Note que:
1
(1 + 2 x)4
≃ l(x) = 1 − 8 x,
no intervalo (−ε, ε), tal que ε > 0 (pequeno). Como 0.01 ∈ (−ε, ε), temos:
f(0.01) ≃ l(0.01) = 0.92 graus
Figura 4.16: Aproximação linear de f do exemplo 1.
2. Se f(t) = e0.3x representa o crescimento de uma população de bactérias, calcule a população
de bactérias para x = 20.012.
Vamos determinar l(x) = f(20) + f′(20) (x − 20); então:
>x0=20:
>f:=x->exp(3*x):
>p:=diff(f(x),x):
>h:=unapply(p,x):
>l:=x->f(x0)+h(x0)*(x-x0);
l := x → 403.42 + 121.02 (x − 20)

4.7. APROXIMAÇÃO LINEAR 131
>l(20.012);
404.87
3. Calcule, aproximadamente (1.001)7 − 2 3
(1.001)4 + 3.
Considere a função f(x) = x7 − 2
3
√
x4 + 3 e x = 1.001. Então, para x0 = 1, temos:
>x0=1:
>f:=x->xˆ 7-2*root(xˆ4,3):
>p:=diff(f(x),x):
>h:=unapply(p,x):
>l:=x->f(x0)+h(x0)*(x-x0);
l := x →
1
3
(13 x − 7)
>l(1.001);
2.00433

4.8 Aproximação de Ordem Superior
De forma análoga à aproximação linear podemos definir, em uma vizinhança do ponto x0,
uma aproximação quadrática, aproximação cúbica, etc. É possível verificar que o erro destas
aproximações é cada vez menor ao redor de um pequeno intervalo em torno de x0.
Definição 4.7. Seja f ∈ C4. A aproximação quadrática e a aproximação cúbica de f em torno de x0 são
denotadas e definidas por:
q(x) = f(x0) + f′
(x0) (x − x0) +
f′′(x0)
2
(x − x0)2
c(x) = f(x0) + f′
(x0) (x − x0) +
f′′(x0)
2
(x − x0)2
+
f(3)(x0)
3!
(x − x0)3
.
se x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0 pequeno.
As aproximações linear, quadrática e a cúbica são casos especiais do chamado polinômio de
Taylor.
4.9 Polinômio de Taylor
Seja f uma função n vezes derivável no ponto x0.
Definição 4.8. O polinômio de Taylor de ordem n, (n = 0, 1, 2, ....), no ponto x0 é denotado por Pn(x)
e definido por:
Pn(x) =
n
k=0
f(k)(x0)
k!
(x − x0)k
= f(x0) + f′
(x0) (x − x0) +
f′′(x0)
2
(x − x0)2
+ ......... +
f(n)(x0)
n!
(x − x0)n

4.9. POLINÔMIO DE TAYLOR 133
onde f(0) = f.
O polinômio de Taylor é aplicado para aproximar uma função em uma vizinhança de um ponto
x0, conforme foi feito na deﬁnição 4.7 acima. A aproximação gera um resto, cuja expressão
contém derivadas da função de ordens superiores àquelas usadas para formar o polinômio de
Taylor. Assim, para aproximar uma função por seu polinômio de Taylor de ordem n, em uma
vizinhança de x0, devemos, pelo menos, exigir que as derivadas da função, até ordem n, sejam
contínuas e que a derivada de ordem n + 1 exista, numa vizinhança de x0. Por isso, na sintaxe,
abaixo, para achar o polinômio de Taylor de ordem n, inclui n + 1.
A sintaxe para determinar o polinômio de Taylor ao redor de x0, de ordem n, é:
>taylor(função,x=x0,n+1);
Exemplo 4.11.
1. Determine o polinômio de Taylor de ordem 10, no ponto x0 = 0, de f(x) = sen(x).
>taylor(sin(x),x=0,11);
x −
1
6
x3
+
1
120
x5
−
1
5040
x7
+
1
362880
x9
+ O x11
A expressão O(x11) envole derivadas da func cão f de ordem maior ou igual a 11 e que repre-
senta o erro cometido na aproximação polinomial fa função.
2. Determine o polinômio de Taylor de ordem 6, nos pontos x0 = 0 e x = −1, de f(x) = ex.
>taylor(exp(x),x=0,7);
1 + x +
1
2
x2
+
1
6
x3
+
1
24
x4
+
1
120
x5
+
1
720
x6
+ O x7
>taylor(exp(x),x=-1,7);
e−1
+ e−1
(x + 1) +
1
2
e−1
(x + 1)2
+
1
6
e−1
(x + 1)3
+ 1
1
24
e−1
(x + 1)4
+
1
120
e−1
(x + 1)5
+
+
1
720
e−1 (x + 1)6
+ O (x + 1)7
A sintaxe para obter as aproximações é:
>s:=taylor(função,x=x0,n+1):
>p:=simplify(convert(s,polynom));
>aprox:=unapply(p,x);
No MAPLE 13, podemos utilizar a seguinte sintaxe:

>p:=TaylorApproximation(função, x = ponto, order = a ordem de aproximação);
Exemplo 4.12.
1. Determine a aproximação de ordem 4 de f(x) =
x
1 + x2
, ao redor de x0 = 0.
>f:=x/(1+xˆ2):
>s:=taylor(f,x=0,5);
s := x − x3
+ O x5
p:=simplify(convert(s,polynom));
p := x − x3
aprox := x → x − x3
Figura 4.19: Gráﬁco de f(x) (azul) e da aproximação (vermelho).
2. A proporção de lâmpadas de sódio que falham após x horas de uso é dada por:
P(x) = 1 −
10000
(x + 100)2
.
Determine a proporção de lâmpadas que falham após 99 horas de uso.

4.9. POLINÔMIO DE TAYLOR 135
Faremos diversas aproximações:
>f:=1-10000/(x+100)ˆ 2 :
>p1:=TaylorApproximation(f,x=100,order=1);
p1 :=
1
2
+
1
400
x
p2 :=
5
16
+
1
160
x −
3
160000
x2
p3 :=
3
16
+
1
100
x −
9
160000
x2
+
1
8000000
x3
>l:=unapply(p1,x);
l := x →
1
2
+
1
400
x
>q:=unapply(p2,x);
q := x →
5
16
+
1
160
x −
3
160000
x2
>c:=unapply(p3,x);
c := x →
3
16
+
1
100
x −
9
160000
x2
+
1
8000000
x3
Logo:
>evalf(l(99));
0.7475
>evalf(q(99));
0.74748125
>evalf(c(99));
0.747481250

Figura 4.20: Aproximação linear e quadrática, respectivamente.
Figura 4.21: Aproximação cúbica.
3. Calcule, aproximadamente (1.1)2 ×
√
10 − 1.12, utilizando uma aproximação de ordem 5.
Considere a função f(x) = x2
√
10 − x2 e x = 1.1. Então, para x0 = 1, temos:
>g:=xˆ 2 *sqrt(10-xˆ 2):
>p:=TaylorApproximation(g,x=1,order=5);
p := −
125
4374
+
295
2187
x +
2125
729
x2
+
466
2187
x3
−
1025
4374
x4
−
1525
39366
x5
>apro:=unapply(p,x);
apro := x → −
125
4374
+
295
2187
x +
2125
729
x2
+
466
2187
x3
−
1025
4374
x4
−
1525
39366
x5
>apro(1.1);

4.10. ERROS DE APROXIMAÇÃO 137
3.587400047
Figura 4.22: Gráﬁco de f(x) (azul) e da aproximação (vermelho).
4.10 Erros de Aproximação
É possível provar que, se f ∈ Cn+1([a, b]) e x0 ∈ (a, b), então:
f(x) = Pn(x) + Rn(x), ∀x ∈ [a, b]
onde:
Rn(x) =
(x − x0)n+1
(n + 1)!
f(n+1)
(ν), ν ∈ (x1, x2)
onde x1 = min{x0, x} e x2 = max{x0, x}. Se |f(n+1)(x)| ≤ M para todo x ∈ [a, b], temos que:
E(x) ≤
|x − x0|n+1 M
(n + 1)!
E(x) = |f(x) − Pn(x)| é o erro da aproximação. A função Rn = Rn(x) é dita resto de Lagrange;
no MAPLE é denotado, por O((x − x0))n. Note que para n = 0 temos o Teorema do Valor
Médio.
Exemplo 4.13.
1. Determine o erro cometido ao calcular ln(1.00013), utilizando aproximação de ordem 4.
>g:=ln(x):
p := 4 x −
25
12
− 3 x2
+
4
3
x3
−
1
4
x4

>q:=diff(p,x$5);
q :=
24
x5
Note que q ≤ 24 se x ≥ 1, logo:
>R4:=24*abs(x-1)ˆ5 /5!;
R4 :=
1
5
|x − 1|5
>simplify(subs(x = 1.00013, R4));
7.425860000 × 10−21
Figura 4.23: Gráﬁcos de f(x) (varmelho) e apro(x) (azul).
2. Determine o erro cometido ao calcular
√
e, utilizando aproximação de ordem 8.
>g:=exp(x):
p := 1 + x + 1/2 x2
+ 1/6 x3
+ 1/24 x4
+
1
120
x5
+
1
720
x6
+
1
5040
x7
+
1
40320
x8
>q:=diff(p,x$9);
q := ex
Note que, se 0 < x < 1, então ex < e < 3, logo:
>R8:=3*xˆ9 /9!;
R8 :=
1
120960
x9

>simplify(subs(x = 0.5, R8));
1.614686673 × 10−8
3. Determine o erro cometido ao calcular cos(1.570791), utilizando aproximação de ordem 5.
>evalf(Pi/2);
1.570796327
>g:=cos(x):
>p:=TaylorApproximation(g,x=Pi/2,order=5);
p := −x +
1
2
π + 1/6 x3 − 1/4 x2π + 1/8 xπ2 − 1/48 π3 −
1
120
x5 + 1/48 x4π −
1
48
x3π2+
+
1
96
x2π3 −
1
384
xπ4 +
1
3840
π5
>q:=diff(p,x$6);
q := −cos(x)
Note que, se |cos(x)| ≤ 1,
>R5:=abs(x-Pi/2)ˆ 6 /6!;
R5 :=
1
720
|x −
1
2
π|6
>simplify(subs(x =1.570791, R5));
3.173684014 × 10−35

4. Usando o polinômio de Taylor, em x0 = 0, aproxime 3
√
e, com um erro inferior a 10−5.
Pelo visto no exemplo 2.
>Rn:=n->3ˆ(-n)/(n+1)!;
Rn := x →
3−n
(n + 1)!
>convert(Rn( 1) < 10ˆ(-5), ’truefalse’);
false
false
true
>p:=TaylorApproximation(exp(x),x=0,order=5);
p := 1 + x +
1
2
x2
+
1
6
x3
+
1
24
x4
+
1
120
x5
evalf(subs(x = 1/3, p))
1.395610425

Figura 4.26: Gráﬁcos de f(x) (varmelho) e da aproximação (azul).

4.11 Exercícios
1. Determine a equação da reta tangente ao gráﬁco das seguintes funções, no ponto de abs-
cissa dada:
(a) y = ln(x2), x = 1
(b) y = tg(x + 1), x = −1
(c) y = sen((x + 1) π), x = 0
(d) y = 3
√
ex, x = 0
(e) y =
x
x3 + 1
, x = 1
(f) y =
1
√
x2 + 1
, x = 1
(g) y =
x5 − 1
x4 + 1
, x = −1
(h) y =
1
x2 (x4 + 1)
, x = 1
2. Determine as equações das retas tangentes à curva y = x2, nos pontos de abscissa x = ±3.
3. Determine o ponto onde a curva y = x3 tem tangente paralela à reta tangente à mesma
curva no ponto de abscissa x = 4. Determine a equação da reta tangente nesse ponto.
4. Determine as equações das retas tangentes e das retas normais às curvas, nos pontos de
abscissas dadas:
(a) y = tg(−x2 + 1), x = 1
(b) y = e− 1
x , x = −1
(c) y = cos(
x
2
), x = 0
(d) y = arccos(2 x), x = 0
(e) y =
x5 + 1
x4 + 1
, x = 1
(f) y = sen(ex), x = ln(π)
(g) y = ln(x2 + 1), x = 1
(h) y = (4 x3 + 3 x + 1) ln(x), x = 1
5. Sabendo que as curvas y = 4 x2 e y = −x−1 tem retas tangentes paralelas com abscissa
comum, determine-as.
6. Determine f′(x) se:
(a) f(x) = (x2 + x + 1) (x3 + x) (x + 1)2
(b) f(x) = (x5 + x3 + 1)3
(c) f(x) =
x + 2
3 x + 1
(x2
+ 2)
(d) f(x) =
x3 + 1
x2 − 3
(x4
− 2 x3
+ 1)
7. Calcule as derivadas das funções:
(a) y = 5x−1
(b) y = (10x + 10−x)2
(c) y = log5(x2)
(d) y = x log4(x) − x
(e) y = ln(
x
x + 1
)
(f) y = ln(cosh(x))
(g) y = ln(10x)

(h) y = ln(log10(x))
(i) y = sen(ex)
(j) y = ex sen(ln((x)))
(k) y =
√
x3 + 2
(l) y =
x + 4
x + 7
6
(m) y = xx−1
(n) y = 3ln(x)
(o) y =
ex (x3 − 1)
√
2x + 1
(p) y = (x2)x
(q) y = xx2
(r) y = x
1
x
(s) y = sen(x)
x
(t) y = xex
(u) y = cos(x)
sen(x)
(v) y = ln(x)
ln(x)
(w) y = 1 − tg2(x)
(x) y = 2 − cos2(x)
(y) y =
1
cos(2 x)
(z) y = arcsen
x
3
8. Supondo que a equação dada deﬁne implicitamente y = f(x), calcule
dy
dx
. :
(a) x3 + y3 = 5
(b) x3 + x2y + y2 = 0
(c)
√
x +
√
y = 10
(d) y3 =
x − y
x + y
(e) 3 cos2(x + y) = 7
(f) tg(y) = x y
(g) ey = x + y
(h) ln(y2 + x) = y3 − x2
(i) (x + y)2 = (x − y)2
(j) (x2 − y2)2 = y2 + x2
(k) sen(x y) = x cos(y)
(l) ln(y − x) = ln(y + x)
(m) e−2x−y = 5 + ln(x)
(n) ln(y x) = exy
(o) ln
y
x
= e
x
y
(p) cos(y x2) = sen(y x2)
(q) x y2 + 3 tg(y) = x y
(r) x arctg(y) + y arctg(x) = 1
9. Supondo que a equação dada deﬁne implicitamente x = g(y), calcule
dx
dy
. :
(a) x3 + y3 = 5
(b) x3 + x2y + y2 = 0
(c)
√
x +
√
y = 10
(d) y3 =
x − y
x + y
(e) 3 cos2(x + y) = 7
(f) tg(y) = x y
(g) ey = x + y
(h) ln(y2 + x) = y3 − x2
(i) (x + y)2 = (x − y)2
(j) (x2 − y2)2 = y2 + x2
(k) sen(x y) = x cos(y)
(l) ln(y − x) = ln(y + x)
(m) e−2x−y = 5 + ln(x)
(n) ln(y x) = exy
(o) ln
y
x
= e
x
y
(p) cos(y x2) = sen(y x2)
(q) x y2 + 3 tg(y) = x y
(r) x arctg(y) + y arctg(x) = 1

10. Determine os pontos da curva x2 + 2 x y + 3 y2 = 3 nos quais as retas tangentes nesses
pontos sejam perpendiculares à reta x + y = 1.
11. Determine a segunda e terceira derivada de:
(a) y = 6
√
x
(b) y = x−5
(c) y = sen(x2)
(d) y = tg2(x)
(e) y = sen2(x) + cos(x)
(f) y =
x
2 (x + 1)
(g) y = 1 +
1
x
2
(h) y =
x
√
x2 − 1
(i) y =
ex
x
(j) y = cos(sen(x))
(k) y = ln(ln(x))
(l) y = arctg(sen(x))
(m) y = sec(
√
x)
(n) y = arcsec(x2)
(o) y = arccotgh(x3 + 1)
12. Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada:
(a) y = 3 x4 − 2 x, n = 5
(b) y =
√
3 − x2, n = 10
(c) y =
1
x − 1
, n = 14
(d) y = e2x+1, n = 12
(e) y = ln(2 x), n = 14
(f) y = −2 cos
x
2
, n = 15
(g) y = sen(a x), n
(h) y = ln
1
x
, n = 10
(i) y = x ex, n
(j) y = x cosech(ln(x)), n = 10
(k) y = x arctgh(x) − ln(
√
1 − x2), n = 4
(l) y = cosh9(x), n = 6
(m) y = arcsenh(ex), n = 4
(n) y = ln(sech(x)), n = 5
(o) y = senh(cosh(x)), n = 38
(p) y = x sen(ln(x)) − cos(ln(x)) ,
n = 10
(q) y = ln
1 + sen(x)
1 − sen(x)
, n = 5
13. Seja y = a ex + b e−x + c x + x5, veriﬁque que:
x3
y(3)
+ 5 x2
y′′
+ (2 x − x3
) y′
− (2 + x2
) y = 40 x3
− 4 x5
.
14. Calcule y′′(x) se:
(a) x4 + y4 = 16
(b) x2 + 6 x y + y2 = 8
(c) x2 y2 = (y + 1)2(y − y2)
(d) y2 = x3 (2 − x)
(e) sen(y) + sen(x) + sen(x y) = x
(f) cos(y) − sen(x) = x
15. Determine a aproximação, linear, quadrática e cúbica, no ponto x0 = 0, das seguintes
funções:

(a)
x
x2 + 1
(b) x2 cos(x)
(c) arctg(x2 + 1)
(d)
√
x + 3
(e) e−2x
(f) 3
√
x + 1
(g)
x
x2 + 1
(h) ln(x3 + 5 x + 5)
(i) (4 x3 + 3 x − 1)7
16. Esboce, no mesmo referencial, as aproximações obtidas no ítem anterior.
17. Calcule, utilizando aproximação de ordem 10, o valor de:
(a) 3
√
0.12668
(b) 10
√
102340.462380
(c) sen(610)
(d) (1.0022546)7 + sen(1.0024589 × π)
(e) 3
(8.014567)4 −
1
3
√
8.0194623
(f) 22.0025783
18. Use o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f(x) = sen(x) em x0 =
π
6
para achar o
valor aproximado de sen(31o). Avalie o erro e esboce a função e a aproximação no mesmo
referencial.
19. Use o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f(x) = sen(x) em x0 = 0 para achar o
valor aproximado de sen(2o). Avalie o erro e esboce a função e a aproximação no mesmo
referencial.
20. Use o polinômio de Taylor de ordem 4 da função f(x) = cos(x) em x0 = 0 para achar o
valor aproximado de cos(2o). Avalie o erro e esboce a função e a aproximação no mesmo
referencial.
21. Use o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f(x) = ln(x + 1) em x0 = 0 para achar
o valor aproximado de ln(1.56783). Avalie o erro e esboce a função e a aproximação no
mesmo referencial.
22. Usando o polinômio de Taylor, em x0 = 0, determine uma aproximação de sen
π
11
, com
erro inferior a 3 × 10−4.
23. Usando o polinômio de Taylor, em x0 =
π
4
, determine uma aproximação de cos(46o), com
erro inferior a 10−5.
24. Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta
varia de 10 cm para 10.1 cm.

25. Mostre que a função logística:
L = L(t) =
A
1 + C A e−rt
satisfaz à equação
dL
dt
= C L 1 −
L
A
Se L = L(t) representa o crescimento populacional, quando a população se estabiliza?
26. A redução de oxigênio na água de uma lagoa, devido ao despejo de esgoto, só volta a
níveis normais t dias após o despejo do esgoto. Sabendo que a quantidade de oxigênio
que permanece, após t dias é dada por:
P(t) = 500
t2 + 10 t + 100
t3 + 20 t2 + 200
,
medido em % do nível normal de oxigênio, determine a velocidade com que a quantidade
de oxigênio está sendo reduzida, após 1, 10, 20 e 50 dias após o despejo.
27. A frequência da vibração da corda de um violino é dada por
f =
1
2 L
T
ρ
,
onde L é o comprimento da corda, T é a tensão sobre a corda e ρ é densidade linear de
massa da corda. Determine a taxa de varição de f em relação a L (com T e ρ constantes);
a taxa de varição de f em relação a T (com L e ρ constantes); a taxa de varição de f em
relação a ρ (com L e T constantes) e interprete os resultados.

Capítulo 5
VARIAÇÃO DE FUNÇÕES
Neste capítulo, aplicaremos tudo o que foi aprendido sobre o MAPLE, nos capítulos anteriores.
5.1 Introdução
Seja f uma função e x0 ∈ Dom(f).
f possui um ponto de máximo relativo ou de máximo local no ponto x0, se existe um intervalo
aberto I que contem x0 tal que:
f(x0) ≥ f(x), para todo x ∈ I ∩ Dom(f)
A imagem de x0, f(x0), é chamada valor máximo local de f.
f possui um ponto de mínimo relativo ou de mínimo local no ponto x0, se existe um intervalo
aberto I que contem x0 tal que:
f(x) ≥ f(x0), para todo x ∈ I ∩ Dom(f)
A imagem de x0, f(x0), é chamada valor mínimo local de f.
Em geral, um ponto de máximo ou de mínimo é chamado ponto extremo.
Proposição 5.1. Se f é uma função derivável no intervalo (a, b) e x0 ∈ (a, b) é um extremo relativo de
f, então f′(x0) = 0.
A proposição nos indica que num ponto de máximo ou de mínimo relativo de uma função f,
a reta tangente ao gráﬁco de f nesse ponto é paralela ao eixo dos x. A proposição nos dá uma
condição necessária para que um ponto x0 ∈ (a, b) seja extremo.
Deﬁnição 5.1. Seja f uma função contínua em (a, b) e x0 ∈ (a, b). O ponto x0 é chamado ponto
crítico de f, se uma das condições abaixo ocorre:
1. f′(x0) não existe.
147

148 CAPÍTULO 5. VARIAÇÃO DE FUNÇÕES
2. f é derivavável em x0 e f′(x0) = 0.
Pela proposição anterior, todo ponto extremo é ponto crítico. A recíproca é falsa. Um ponto
"candidato"a máximo ou mínimo relativo de uma função derivável f sempre deve satisfazer à
equação:
f′
(x) = 0
Mais adiante saberemos descartar dos pontos críticos, aqueles que não são extremais.
O ponto onde uma função atinge o maior valor (se existe) é chamado máximo absoluto da
função. Um ponto x0 ∈ Dom(f) é de máximo absoluto de f quando para todo x ∈ Dom(f),
tem-se
f(x0) ≥ f(x).
O ponto onde uma função atinge o menor valor (se existe) é chamado mínimo absoluto da
função. Um ponto x0 ∈ Dom(f) é de mínimo absoluto de f quando para todo x ∈ Dom(f),
tem-se
f(x0) ≤ f(x).
Observamos que uma função pode não ter pontos onde f atinge o seu valor máximo e/ou
mínimo absolutos.
Um ponto de máximo absoluto é um ponto de máximo local. A recíproca é falsa; analogamente
para mínimo absoluto.
Seja y = f(x) uma função deﬁnida num domínio D.
f é crescente em D se para todo x0, x1 ∈ D com x0 < x1, tem-se f(x0) < f(x1).
f é decrescente em D, se para todo x0, x1 ∈ D com x0 < x1, tem-se f(x0) > f(x1).
Em ambos os casos, f é dita monótona.
Proposição 5.2. Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b).
1. Se f′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em [a, b].
2. Se f′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em [a, b].
5.2 Determinação de Máximos e Mínimos
Teorema 5.1. Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b), exceto possivelmente num
ponto x0 ∈ (a, b).
1. Se f′(x) > 0 para todo x < x0 e f′(x) < 0 para todo x > x0, então x0 é ponto de máximo local
de f.

5.2. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 149
2. Se f′(x) < 0 para todo x < x0 e f′(x) > 0 para todo x > x0, então x0 é ponto de mínimo local de
f.
Do teorema 5.1 segue que num ponto de máximo ou de mínimo de uma função contínua nem
sempre existe derivada.
Teorema 5.2. Seja f uma função duas vezes derivável e x0 um ponto crítico de f. Se:
1. f′′(x0) > 0, então x0 é um ponto de mínimo relativo de f.
2. f′′(x0) < 0, então x0 é um ponto de máximo relativo de f.
Dos teoremas 5.1 e 5.2 temos que os candidatos a pontos de máximos e mínimos relativos são
não só pontos críticos, mas também, podem ser os pontos do domínio onde a função não é
derivável.
No caso em que o domínio de f é um intervalo do tipo [a, b], após determinarmos os pontos de
máximo e de mínimo no intervalo (a, b), devemos calcular os valores da função nos extremos
do intervalo e comparar estes valores com os valores máximos e mínimos relativos obtidos
anteriormente nos pontos críticos; o maior valor corresponderá ao máximo absoluto e o menor
valor ao mínimo absoluto da função e os pontos correspondentes serão, respectivamente, os
pontos de máximo e de mínimo absolutos.
No caso em que f′′(x0) = 0, o teorema 5.2 não afirma nada; quando acontecer isto, recomen-
damos usar o teorema 5.1.
Em muitos casos é conveniente, para ver se existem possíveis pontos extremos de uma função,
fazer:
>plot(f(x),x=-infinity..infinity);
Exemplo 5.1.
1. Calcule caso existam, os pontos extremos absolutos de f(x) = a x2 + b x + c; a, b, c ∈ R e
a = 0.
Como f é diferenciável em todo ponto, calculemos os pontos críticos de f:
>f:=aˆ2 +b*x+c:
>solve(diff(f,x)=0,{x});
{x = −
1
2
b
a
}
>d2:=unapply(diff(f,x$2),x);
d2 := x → 2 a

Logo, o vértice x = −
b
2a
é um ponto de máximo absoluto de f se a < 0 e um ponto de mínimo
absoluto se a > 0.
2. Calcule caso existam, os pontos extremos absolutos de:
f(x) =
x3 − x2 − 8 x + 1 se − 2 ≤ x
5 ex+2 outro caso
>f:x->piecewise(-2 <= x, xˆ3-xˆ2-8*x+1, 5*exp(x+2)):
>plot(f(x), x = -3 .. 2,thickness=3,color=blue);
Figura 5.1: Gráfico de f.
Note que f não pussui derivada em x = −2.
>d1:=diff(f(x),x);
p :=



5 ex+2 x < −2
undefined x = −2
3 x2 − 2 x − 8 −2 < x
Verifique, efetivamente, que f não pussui derivada em x = −2.
>solve(p>0,x);
RealRange(−∞, Open(−2)), RealRange(Open(−2), Open(−4/3)), RealRange(Open(2), ∞)
>solve(p<0,x);
RealRange(Open(−4/3), Open(2))
Logo, x = −
4
3
é um ponto de máximo relativo e x = 2 é um ponto de mínimo relativo.

5.2. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 151
3. Calcule os pontos extremos relativos de f(x) =
x6
4
−
x4
2
+ 2 se x ∈ [−2, 2].
f é diferenciável em todo ponto.
>f:=x->xˆ6 /4 -xˆ4 /2 +2:
Figura 5.3: Gráﬁco do exemplo 3.
>solve(diff(f(x),x)=0,{x});
{x = 0}, {x =
2
3
√
3}, {x = −
2
3
√
3}
>d2:=unapply(diff(f(x),x$2),x);
d2 := x →
15
2
x4
− 6 x2
>d2(2*sqrt(3)/3),d2(-2*sqrt(3)/3),d2(0);;

16
3
,
16
3
, 0
Como f′′(0) = 0 utilizamos o teorema 5.1:
>solve(diff(f(x),x)>0,x);
RealRange(Open(−2/3 (3)), Open(0)), RealRange(Open((2/3) (3)), ∞)
>solve(diff(f(x),x)<0,x);
RealRange(−∞, Open(−(2/3) (3))), RealRange(Open(0), Open((2/3) (3)))
f′(x) > 0 se −
2
3
√
3 < x < 0 e f′(x) < 0 se 0 < x <
2
3
√
3; logo, x = 0 é ponto de máximo
relativo de f.
>f(2),f(-2),f(0),f(2*sqrt(3)/3),f(-2*sqrt(3)/3);
10, 10, 2,
46
27
Logo, −2 e 2 são pontos de máximo absolutos, −
2
3
√
3 e
2
3
√
3 são pontos de mínimo absolutos.
No MAPLE 13 há a seguinte sintaxe para calcular diretamente os pontos de máximos e de
mínimos relativos:
>maximize(expressão, variável, location);
>minimize(expressão, variável, location);
No exemplo:
>p:=xˆ6 /4 -xˆ4 /2 +2:
>minimize(p,x=-2..2,location);
46
27
x = −
2
3
√
3 ,
46
27
, x =
2
3
√
3 ,
46
27
>maximize(p,x=-2..2,location);
10 {[{x = −2}, 10], [{x = 2}, 10]}

5.3. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO DE FUNÇÕES 153
5.3 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funções
Seja y = f(x) uma função derivável em D, onde D é um intervalo aberto ou uma reunião de
intervalos abertos.
f é dita côncava para cima em D se f′(x) é crescente em D.
f é dita côncava para baixo em D se f′(x) é decrescente em D.
Intuitivamente, quando um ponto se desloca ao longo do gráfico de uma função f, da esquerda
para a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido anti-horário, isto significa
que o coeficiente angular dessa reta tangente cresce à medida que x aumenta. Neste caso a
função tem a concavidade voltada para cima.
Analogamente, quando um ponto se desloca ao longo do gráfico de uma função f, da esquerda
para a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido horário, isto significa que o
coeficiente angular dessa reta tangente decresce à medida que x aumenta. Neste caso a função
tem a concavidade voltada para baixo.
Não confundir concavidade com crescimento ou decrescimento de uma função. No desenho a
seguir, o gráfico de uma função crescente e côncava para cima e o de uma função decrescente e
côncava para cima, respectivamente.
Figura 5.4:
Proposição 5.3. Seja y = f(x) uma função duas vezes derivável em D.
1. Se f′′(x) > 0 para todo x ∈ D, então f é côncava para cima em D.
2. Se f′′(x) < 0 para todo x ∈ D, então f é côncava para baixo em D.
Um ponto (x0, f(x0)) do gráfico de uma função f é um ponto de inflexão de f, se existe um
pequeno intervalo (a, b) ⊂ D tal que x0 ∈ (a, b) e:
1. f é côncava para cima em (a, x0) e côncava para baixo em (x0, b), ou
2. f é côncava para baixo em (a, x0) e côncava para cima em (x0, b).
Se a função é duas vezes derivável, para obter os pontos x0, candidatos a pontos de inflexão,
resolvemos a equação:
f′′
(x) = 0

e estudamos o sinal de f′′(x) para x > x0 e x < x0, onde x0 é solução da equação. O fato de
f′′(x0) = 0 não implica em que x0 seja abscissa de um ponto de inflexão.
Notemos que, se f′′(x0) = 0 e f(3)(x0) = 0, então, x0 é um ponto de inflexão.
Num ponto de inflexão, não necessariamente existe a segunda derivada da função.
Exemplo 5.2.
1. Seja f(x) = x4:
>diff(f(x),x$2);
12 x2
Logo, f′′(x) = 0 se x = 0 e x = 0 é um ponto de mínimo absoluto de f (verifique!).
Figura 5.5: Gráfico de f(x) = x4.
2. Seja f(x) = x |x|:
>f:=x*abs(x):
>f1:=convert(f,piecewise);
f1 :=
−x2 x < 0
x2 0 ≤ x
>diff(f1,x);
−2 x x ≤ 0
2 x 0 < x
>diff(x*abs(x),x$2);




−2 x < 0
undefined x = 0
2 0 < x
Então, a origen é um ponto de inflexão e f′′(0) não existe.
Figura 5.6: Gráfico de f(x) = x |x|.
3. Determine os pontos extremos, estude a concavidade e ache as assíntotas de
f(x) =
3
√
x2 (1 − x2
).
>f1:=x->root(xˆ2,3)*(1-xˆ2):
Pontos críticos de f:
>d1:=diff(f(x),x);
d1 := −
2
3
x −1 + 4 x2
(x2)2/3
Se x = 0, a função f(x) =
3
√
x2 (1 − x2
) é contínua para todo x ∈ R; mas, não existe f′(0).
Logo, no ponto (0, 0) do gráfico deve existir uma "cúspide"como no gráfico do valor absoluto.
Se x = 0, os pontos críticos de f são:
>p:=solve(d1=0,x);
p := −
1
2
,
1
2
Máximos e mínimos relativos de f:
Se x = 0; então:
>d2:=unapply(simplify(diff(d1,x)));

d2 := x → −
2
9
20 x2 + 1
(x2)
2
3
.
>evalf(d2(p[1])),evalf(d2(p[2]));
−3.359789466, −3.359789466
logo, x = −
1
2
e x =
1
2
são pontos de máximos relativos de f.
Se x = 0, estudamos o sinal da derivada de f para valores à esquerda e à direita de x = 0:
>assume(x>0):
>solve(d1>0,x);
RealRange(Open(0), Open(1/2))
>solve(d1<0,x);
RealRange(Open(1/2), ∞)
Logo, x = 0 é um ponto de mínimo local de f.
Concavidade de f: Como f′′(x) < 0 para todo x ∈ R − {0}, f é côncava para baixo em R − {0}.
Logo, não tem pontos de inflexão.
Assíntotas:
>Limit(f1(x),x=-infinity)=limit(f1(x),x=-infinity);
lim
x→−∞
3
√
x2 (x2
− 1) = ∞
>Limit(f1(x),x=infinity)=limit(f1(x),x=infinity);
lim
x→∞
3
√
x2 (x2
− 1) = ∞
Logo, f não possui assíntotas horizontais e nem verticais.

Figura 5.7: Gráﬁco de f(x) = x2/3 (1 − x2).
4. Determine os pontos extremos, estude a concavidade e ache as assíntotas da família de
curvas:
f(x =
1
x2 + 2 x + c
, c ∈ R
>f2:=1/(xˆ2 +2*x+c):
>solve(f2=0,x);
−1 +
√
1 − c, −1 −
√
1 − c
se c > 1, Dom(f) = R, se c = 1, Dom(f) = R − {−1} e se c < 1, Dom(f) = R − {−1 ±
√
1 − c}.
>solve(diff(f, x) = 0, x);
−1
f′(x) = 0 se x = −1, (c = 1). Neste caso, o ponto crítico é (−1,
1
c − 1
).
Máximos e mínimos de f:
>d2:=unapply(simplify(diff(f, x$2),x);
d1 := x → −
2 (3 x2 + 6 x + 4 − c)
(x2 + 2 x + c)3
>d2(-1);
−
2
(c − 1)2
Logo, x = −1 é ponto de máximo relativo se c = 1.

Resolvendo f′′(x) = 0:
>solve(d2(x)=0,x);
−3 + 3 (c − 1)
3
,
−3 − 3 (c − 1)
3
Se c > 1, temos dois pontos de inflexão.
Assíntotas:
Assíntotas horizontais:
lim
x→−∞
1
x2 + 2 x + c
= 0
>Limit(f2(x),x=infinity)=limit(f2(x),x=infinity);
lim
x→∞
1
x2 + 2 x + c
= 0
Então, y = 0 é assíntota horizontal.
Assíntotas verticais:
Se c = 1,
>Limit(f2(x),x=-1)=limit(f2(x),x=-1);
lim
x→−1
1
x2 + 2 x + 1
= ∞
se c < 1,
>Limit(f2(x),x=-1-sqrt1-c)=limit(f2(x),x=-1-sqrt1-c);
lim
x→−1−
√
1−c
1
x2 + 2 x + c
= ∞
>Limit(f2(x),x=-1+sqrt1-c)=limit(f2(x),x=-1+sqrt1-c);
lim
x→−1+
√
1−c
1
x2 + 2 x + c
= ∞
x = −1 e x = −1±
√
1 − c são assíntotas verticais da curva, para c = 1 e c < 1, respectivamente.

Figura 5.8: Esboço dos gráﬁcos para c = −2 e c = 1, respectivamente.
Figura 5.9: Esboço para c = 2.
5. Determine os pontos extremos, estude a concavidade e ache as assíntotas da família de
curvas
f(x) =
c x
1 + c2 x2
c ∈ R.
f3:=c*x/(1+cˆ2 *xˆ2):
>p:=solve(diff(f3, x) = 0, x);
p :=
1
c
, −
1
c
se c = 0.
Máximos e Mínimos de f:
>d2:=unapply(simplify(diff(f, x$2),x);

d2 := x → 2
c3x −3 + c2x2
(1 + c2x2)3
>d2(p[1]),d2(p[2]);
−
1
2
c2
,
1
2
c2
Logo, x =
1
c
é ponto de máximo relativo de f e x = −
1
c
é ponto de mínimo relativo de f.
(c = 0).
>solve(diff(f, x$2) = 0, x);
0,
√
3
c
, −
√
3
c
pontos de inﬂexão.
Assíntotas:
lim
x→−∞
c x
1 + c2 x2
= 0
y = 0 é assíntota horizontal da curva.
Figura 5.10: Esboço dos gráﬁcos para c = ±1
2 e c = ±1

5.4. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 161
5.4 Problemas de Otimização
O seguente teorema, devido a Weierstrass, garante a existência de pontos extremos absolutos
de uma função, sem a hipótese de que a função seja derivável. A prova deste teorema será
omitida. Para mais detalhes veja a bibliografia avançada.
Teorema 5.3. (Weierstrass)
Seja f : [a, b] −→ R contínua. Então existem x1 e x2 em [a, b] tais que:
f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), para todo x ∈ [a, b].
No teorema as hipóteses de que o domínio seja um intervalo do tipo [a, b] e de que a função
seja contínua são condições essenciais.
De fato, a função contínua f(x) = x não possui pontos de máximo nem de mínimo em qualquer
intervalo aberto. A função descontínua f(x) =
1
x
se x = 0 e f(0) = 0, não possui ponto de
máximo nem de mínimo no intervalo [−1, 1].
Nesta seção apresentaremos problemas de maximização e minimização aplicados a diversas
áreas. O primeiro passo para resolver este tipo de problema é determinar, de forma precisa, a
função a ser otimizada,em geral, é uma expressão que depende de mais de uma variável. Mas
usando as condições adicionais dadas no problema, a sua expressão pode ser reescrita como
uma função de uma variável derivável e assim poderemos aplicar os teoremas.
O segundo passo é verificar como é o domínio da função a ser otimizada. Caso o domínio da
função seja um intervalo fechado, o teorema de Teorema de Weierstrass, garante que a função
atinge um valor de máximo absoluto e um valor de mínimo absoluto.
Assim, dependendo do tipo do domínio da função a ser otimizada, temos dois procedimentos
básicos para determinar os valores de máximo e/ou mínimo absoluto de f:
1. Se o domínio da função for um intervalo fechado [a, b]: Primeiramente, determinamos os
pontos críticos da função. A seguir, avaliamos a função nos pontos críticos encontrados e
nos extremos do intervalo [a, b].
2. Se o domínio da função for um intervalo aberto ou a reta : Não há garantia que a função
atingirá um valor de extremo absoluto, quer seja máximo absoluto, quer seja mínimo ab-
soluto.. Nesse caso, determinamos os pontos críticos da função e analisando a natureza
de cada um, verificando se há pontos de extremos relativos. A seguir, precisamos justifi-
car se a função atinge, de fato, o seu valor de máximo e/ou mínimo absoluto em algum
dos pontos de extremo relativo.
Caso o domínio da função seja um intervalo que não seja nem aberto e nem fechado, combi-
namos os procedimentos 1 e 2 acima. Por exemplo, se o domínio da função for o intervalo
[a, b), não podemos nos esquecer de avaliar a função no extremo e comparar esse valor, com os
valores da função nos pontos de extremos relativos.

Exemplo 5.3.
1. Determine os pontos da curva xy = 1 mais próximos da origem.
Seja (x, y) um ponto da curva e considere: d((0, 0), (x, y)) = x2 + y2. Minimizar d é equiva-
lente a minimizar d2((0, 0), (x, y)) = x2 + y2.
>d:=xˆ2+yˆ2:
como (x, y) pertence à curva, temos que y = x−1:
>d1:=subs(y=1/x,d);
d1 := x2
+
1
x2
>solve(diff(d1,x)=0,x);
−1, 1, I, −I
obtem-se os pontos críticos x = ±1.
>diff(d1,x$2);
2 +
6
x4
que é sempre positiva; logo, x = ±1 são pontos de mínimo; os pontos mais próximos da origem
são (1, 1) e (−1, −1).
1 1
1
1
Figura 5.11: Exemplo [2].
2. Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito na elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1; a, b > 0.

5.4. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 163
x
y
Figura 5.12: Exemplo [3].
Pela simetria da ﬁgura, estudaremos o problema no primeiro quadrante e multiplicaremos o
resultado por quatro. A área do retângulo é 4 x y, mas otimizaremos a função A = 16 x2 y2:
>el:=xˆ2/aˆ2 +yˆ2/bˆ2 =1:
>A1:=16*xˆ2 *yˆ2:
>s1:=solve(el,yˆ2);
s1 :=
b2 (−x2 + a2)
a2
A:=subs(yˆ2=s1,A1);
A := 16
b2 x2 (−x2 + a2)
a2
Se x > 0.
>solve(diff(A,x)=0,x);
0,
1
2
√
2 a, −
1
2
√
2 a
Logo, x =
1
2
√
2 a.
AA:=simplify(diff(A,x$2));
AA := 32
b2 (−6 x2 + A2)
A2
>subs(x=sqrt(2)*a/2,AA);
−64 b2
Logo,
1
2
√
2 a é ponto de máximo de A e:
>subs(x=sqrt(2)*a/2,sqrt(s1));

1
2
√
2 b
Logo, a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse é:
>subs(x=sqrt(2)*a/2,y==sqrt(2)*b/2,A1);
2 a b
As dimensões do retângulo são 2 x =
√
2 a e 2 y =
√
2 b.

5.5 Exercícios
1. Calcule os pontos críticos (se existem) de:
(a) y = x3 + 2x2 + 5x + 3
(b) y = x4 + 4x3
(c) y = sen(x) − cos(x)
(d) y = ex − x
(e) y = 3
(x2 − 9)2
(f) y =
x
x2 − 4
(g) y = |2x − 3|
(h) y = (4 x2 − 3 x − 1)7
(i) y = xm (a − x)n, n, m ∈ Z e a > 0
2. Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento
das seguintes funções:
(a) f(x) = 6 x4 − 20 x3 − 6 x2 + 72 x + 12
(b) f(x) = 4 x3 − 3 x
(c) f(x) = ex − x
(d) f(x) = ln(x2 + 1)
(e) f(x) = x2 ln(x)
(f) f(x) =
1
√
x2 + 1
(g) y = 3x2 + 6x + 7
(h) y = x3 + 2x2 − 4x + 2
(i) y = (x − 1)(x − 2)(x + 3)
(j) y = sen(x) +
x
2
(k) y = 2x
(l) y = x e−x − x2
(m) y =
x2
x − 1
3. Calcule os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
(a) y =
x3
3
+ 3x2
− 7x + 9
(b) y =
x4
4
+
5
3
x3
+ 4x2
(c) y =
3
√
6 x2 − 2x
(d) y = 5 + 5
(x − 2)7
(e) y = 3 + 3
(2x + 3)4
(f) y =
4 x
x2 + 4
(g) y =
x + 1
x2 + 2x + 1
− 2x
(h) y = (x + 2)2(x − 1)3
(i) y = x2
√
16 − x
(j) y = x4 +
4 x3
3
+ 3 x2
(k) y = x − 3 +
2
x + 1
(l) y = x2
√
3 − x2
(m) y = x2
√
5 + x
(n) y = 3
√
x (x + 2)− 2
3
(o) y = (x + 2) (x − 2)3
(p) y = 2 x2 +
2
x2
4. Calcule os pontos de inﬂexão (se existem) e estude a concavidade de:

(a) y = −x3 + 5 x2 − 6 x
(b) y = 3 x4 − 10 x3 − 12 x2 + 10 x + 9
(c) y =
1
x + 4
(d) y = x2 −
1
3 x2
(e) y =
x2 + 9
(x − 3)2
(f) y = e−x2
(g) y = (x + 4) ex+4
(h) y =
x + 1
x
(i) y = x
√
1 − x2
(j) y = sen(π x)
(k) y = ln(x2 − 2 x + 2)
(l) y = cos(π x)
5. Esboce os gráficos de:
(a) y = −x4 − x3 − 2x2
(b) y =
3x + 1
(x + 2)(x − 3)
(c) y = ln(x2 + 1)
(d) y =
4
√
x + 2
(e) y =
x2
x − 3
(f) y = 2
√
x − x
(g) y = x3 − 3x2
(h) y = x +
1
x
(i) y =
1
x2
−
1
x
(j) y = x5 − x3
(k) y = x6 − x4.
(l) y =
x + 1
x2 + 2 x
(m) y = (x + 1) (x − 3)
2
3
(n) y =
1
√
x3 + 1
(o) y =
x2 + 2
x2 − x − 2
(p) y =
(x + 1)2
(x − 1) (x + 2)2
(q) y =
x2 − 4 x − 5
x − 5
(r) y = (x2 − 1)2
(s) y = 2 x ln2(x)
(t) y =
x (x − 1)
x2 − 4
(u) y =
x2
ex2
(v) y = (x4 − x2) ln(x)
(w) y =
3
√
x2 −
3
√
x4
(x) y = 3
(x − 1)2
6. Determine o valor de k tal que a função y = x3 +kx2 +x+1 admita um ponto de inflexão
em x = 1.
7. Seja y = ax3 + bx2 + cx + d; a, b, c, d ∈ R e a = 0.
(a) Verifique que y tem um único ponto de inflexão de y.
(b) Verifique que y tem um ponto de máximo e um ponto de mínimo se b2 − 3ac > 0.

8. Seja y = xm (1 − xn), onde m, n são números naturais. Veriﬁque:
(a) Se m é par, y tem um ponto de mínimo em x = 0.
(b) Se n é par, y tem um ponto de mínimo em x = 1.
9. Esboce o gráﬁco da família de curvas y = x4 + x3 + c x2, c ∈ R.
Problemas de Otimização
1. Determine a área do retângulo máximo, com base no eixo dos x e vértices superiores
sobre a parábola y = 12 − x2.
2. Com uma quantidade A de material dada deve-se construir um depósito de base qua-
drada e paredes verticais. Determine as dimensões que dão o volume máximo.
3. Uma reta passando por (1, 2) corta o eixo dos x em A = (a, 0) e o eixo dos y em B = (0, b).
Determine o triângulo AOB de área mínima para a e b positivos.
4. Um cartaz deve conter 50 cm2 de matéria impressa com duas margens de 4 cm cada, na
parte superior e na parte inferior e duas margens laterais de 2 cm cada. Determine as
dimensões externas do cartaz de modo que sua área total seja mínima.
5. Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa h em torno de um de seus catetos,
gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume máximo.
6. Determine o ponto da curva y2 = 2(1 − x) situado á menor distância da origem.
7. Determine o volume do maior cilindro circular reto que pode ser inscrito numa esfera de
raio r.
8. Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a 125πm3. Deter-
mine os valores do raio r e da profundidade h (altura), de modo que a piscina possa ser
construida com a menor quantidade de material possível.
9. Determine a altura do maior cone que pode ser gerado pela rotação de um triângulo
retângulo de hipotenusa igual a 2 cm em torno de um dos catetos.
10. Determine o ponto do eixo dos x cuja soma das distâncias a (4, −5) e (−2, 3) é mínima.
11. Entre todos os retângulos de área dada a, qual o que tem menor perímetro?
12. Determine os catetos de um triângulo retângulo de área máxima sabendo que sua hipo-
tenusa é h.

13. Uma janela tem formato retangular com um semi-círculo no topo. Determine as dimen-
sões da janela de área máxima, se o perímetro é de 12 metros.
14. Determine a área do maior retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados e que
pode ser inscrito na região limitada pelas curvas y =
√
1 − x2 e y = 0.
15. Para fazer um cilindro circular reto de um retângulo de folha de aço, colam-se duas bor-
das paralelas da folha. Para dar rigidez ao cilindro cola-se um arame de comprimento l
ao longo da diagonal do retângulo. Ache a tangente do ângulo formado pela diagonal e
o lado não colado, de tal modo que o cilindro tenha volume máximo.
16. Um sólido é construido, colando um cilindro circular reto de altura h e raio r a uma
semi-esfera de raio r. Se a área do sólido é 5 π, determine r e h para que o volume seja
máximo.
17. Suponha que a resistência de uma viga retangular é dada pela fórmula: R = l h2, onde l
e h são, respectivamente, a largura e a altura da seção da viga. Determine as dimensões
da viga mais resistente que pode ser cortada de um tronco de árvore cilíndrico de raio a.
18. Uma janela tem forma de um retângulo, tendo acima um triângulo equilátero. Sabendo-
se que o perímetro da janela é igual a 4 metros, determine as dimensões do retângulo que
proporciona a área máxima para a janela.
19. A diferença de dois número é 20. Determine os números de modo que o produto seja o
menor possível.
20. A soma de duas vezes um números e cinco vezes um segundo número é 70. Determine
os números de modo que o produto seja o maior possível.
21. Determine as dimensões do retângulo de maior perímetro que pode ser inscrito na elipse:
x2
a2
+
y2
b2
= 1;
a, b = 0.
22. Se a velocidade de uma onda de comprimento L, em águas profundas, é dada por:
v = M
L
B
+
B
L
,
onde M e B são constantes positivas, qual é o comprimento da onda que minimiza a
velocidade?

23. A taxa aeróbica de uma pessoa com x anos de idade é dada por:
A(x) =
110 (ln(x) − 2)
x
,
sendo x ≥ 11. Em que idade a pessoa tem capacidade aeróbica máxima?
24. Com um ﬁo de comprimento 2 a constroi-se um arco de círculo de modo que a área do
segmento circular que determina seja máxima. Qual é o raio?
25. Se uma droga é injetada na corrente sanguínea, sua concentração t minutos depois é dada
por C(t) = k (e−2t − e−3t), onde k é uma constante positiva.
(a) Em que instante ocorre a concentração máxima?
(b) Que se pode dizer sobre a concentração após um longo período de tempo?
26. A vazão de água de uma represa é modelada por:
f(t) =
10
(t − 6)2 + 1
,
se 0 ≤ t ≤ 12, onde t é o tempo em meses. Determine quando a vazão foi máxima.
27. Suponha que numa experiência realizada foram coletados os seguintes pares de dados:
(x1, y1), (x2, y2), ..................., (xn−1, yn−1), (xn, yn),
tais que os xi não são todos iguais. A teoria subjacente à experiência sugere que os dados
devem estar ao longo de uma reta y = m x. Devido a erros experimentais, os pontos não
são colineares. O problema consiste em determinar a reta que melhor se ajusta aos dados,
ou seja, consiste em determinar m de modo que a soma dos desvios verticais seja mínima.
O ponto sobre a reta y = m x que está mais próximo (distância vertical) dos pontos dados
tem coordenadas (xi, m xi); logo o quadrado da distância vertical a estes pontos é:
Ei = (m xi − yi)2
, 1 ≤ i ≤ n.
(a) Minimize a função:
f(m) = E1 + E2 + ........ + En =
n
i=1
(m xi − yi)2
(b) Ache a reta que melhor se ajusta aos pontos (−2, −1), (0, 0), (1, 2), (3, 1) e (4, 3).

Capítulo 6
INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
6.1 Introdução
Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua
derivada. Este problema é chamado de integração indefinida.
Definição 6.1. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) no intervalo I se para todo
x ∈ I, tem-se:
F′
(x) = f(x)
Muitas vezes não faremos menção ao intervalo I, mas a primitiva de uma função sempre será
definida sobre um intervalo.
Definição 6.2. Seja F(x) uma primitiva da função f(x) no intervalo I. A expressão F(x) + c, c ∈ R
é chamada a integral indefinida da função f e é denotada por:
f(x) dx = F(x) + c
Logo:
f(x) dx = F(x) + c ⇐⇒ F′
(x) = f(x)
em particular:
f′
(x) dx = f(x) + c.
Assim, a integral indefinida permite que encontremos uma família de primitivas de f(x).
A sintaxe para o cálculo da integral indefinida de uma função é:
>int(função,variável)+C;
ou de forma mais didática:
>Int(função,variável)=int(função,variável)+C;
171

172 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Exemplo 6.1.
1. Calcule
dx
x2 + a2
, a = 0.
>f:=1/(xˆ2 +aˆ2):
>Int(f,x)=int(f,x)+C;
1
x2 + a2
dx =
arctan(x)
a
+ C
Note que:
>diff(arctan(x)/a +C,x);
1
x2 + a2
2. Calcule
sec2(
√
x)
√
x
dx.
>f:=sec(sqrt(x))ˆ2/sqrt(x):
sec2(
√
x)
√
x
dx =
2 sin(
√
x)
cos(
√
x)
+ C
Figura 6.1: Gráﬁcos de algumas primitivas de f, exemplo 2.
Note que:
>diff(2 sin(sqrt(x))/cos(sqrt(x)) +C,x);

6.1. INTRODUÇÃO 173
sec2(
√
x)
√
x
3. Calcule
dx
x2 + 2x + 5
.
>f:=1/(xˆ2 +2*x+5):
dx
x2 + 2x + 5
=
1
2
arctan
1
2
x +
1
2
+ C
Note que:
>diff(arctan(x/2 +1/2)/2 +C,x);
1
x2 + 2x + 5
4. Calcule eax
sen(b x) dx; a, b = 0.
>f:=exp(a*x)*sin(b*x):
eax
sen(bx) dx =
eax (−cos(b x) b + a sin(b x))
a2 + b2
+ C
Note que:
>diff(exp(a*x)*(-cos(b*x)*b+a*sin(b*x))/(aˆ2 +bˆ2) +C,x);
eax
sen(bx)
Muitas vezes o MAPLE não consegue calcular de forma eﬁciente uma integral. Por exemplo,
considere:
x (x + 1)3000
dx
O Maple, antes de calcular a integral, desenvolve o binômio, o utiliza uma grande parte da
memória do computador. Convidamos ao leitor a digitar:
> int(x ∗ (x + 1)3000
, x);

Veja o último exemplo do próximo parágrafo.
Existem funções cujas primitivas não podem ser expressas em termos de funções elementa-
res. Veja o seguinte exemplo:
Exemplo 6.2.
1. Calcule e−x2
dx.
>f:=exp(xˆ2):
e−x2
dx =
1
2
√
π erf(x) + C,
onde erf(x) é a chamada função erro, que não é elementar, a qual será revista nos próximos
capítulos.
É interessante e importante entender os passos intermediários que o MAPLE realiza para
calcular as integrais indefinidas.
6.2 Método de Substituição
Sejam F uma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F ◦ g esteja
definida. Usando a regra da cadeia; temos:
F(g(x))
′
= F′
(g(x)) · g′
(x) = f(g(x)) · g′
(x).
Logo, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) · g′(x), então:
f(g(x)) · g′
(x) dx = F(g(x)) + c;
fazendo u = g(x), tem-se du = g′(x) dx; substituindo na expressão anterior:
f(g(x)) · g′
(x) dx = f(u) du = F(u) + c
A sintaxe é:
>with(student):
>f:=função:
>a:=Int(f,variável);
>a1:=changevar(equação que define a mudança=u,a,u);
>a2:=value(a1);
>Int(f,x)=subs(u=equação que define a mudança,a1)+C;

6.2. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 175
Exemplo 6.3.
1. Calcule
2 x
x2 + 1
dx.
>with(student):
>f:=2*x/(xˆ2 +1):
>a:=Int(f,x);
a :=
2 x
x2 + 1
dx
>a1:=changevar(xˆ2 +1 =u,a,u);
a1 :=
1
u
du
integral imediata:
>a2:=value(a1);
a2 := ln(u)
>Int(f, x) = subs(u = xˆ2+1, a2)+C;
2 x
x2 + 1
dx = ln(x2
+ 1) + C
2. Calcule
sec2(
√
x)
√
x
dx.
>with(student):
>f:=sec(sqrt(x))ˆ2 /sqrt(x)):
>a:=Int(f,x);
a :=
sec2(
√
x)
√
x
dx
>a1:=changevar(sqrt(x)=u,a,u);
a1 := 2 sec(u)2
du
integral imediata:
>a2:=value(a1);
a2 :=
2 sin(u)
cos(u)

>Int(f, x) = subs(u = sqrt(x), a2)+C;
sec2(
√
x)
√
x
dx =
2 sin(
√
x)
cos(
√
x)
+ C
3. Calcule x cos(x2
) sen(sen(x2
)) dx.
>with(student):
>f:=x*cos(xˆ2)*sin(sin(xˆ2)):
>a:=Int(f,x);
a := x cos(x2
) sen(sen(x2
)) dx
>a1:=changevar(sin(xˆ2 )=u,a,u);
a1 :=
1
2
sin(u) du
integral imediata:
>a2:=value(a1);
a2 := −
1
2
cos(u)
>Int(f, x) = subs(u =sin(xˆ 2), a2)+C;
x cos(x2
) sen(sen(x2
)) dx = −
1
2
cos(sin(x2
)) + C
4. Calcule x (x + 1)3000
dx
>with(student):
>f:=x*(x+1)ˆ3000:
>a:=Int(f,x);
a := x (x + 1)3000
dx
>a1:=changevar(x+1=u,a,u);
a1 := (−1 + u) u3000
du
>a2:=value(a1);

6.3. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 177
a2 := −
u3001
3001
+
u3002
3002
>Int(f, x) = subs(u =x+1, a2)+C;
x (x + 1)3000
dx = −
(x + 1)3001
3001
+
(x + 1)3002
3002
+ C
6.3 Método de Integração por Partes
Sejam f e g funções deriváveis no intervalo I. Derivando o produto f · g:
f(x) g(x)
′
= f′
(x) g(x) + f(x) g′
(x),
ou, equivalentemente, f(x) g′(x) = (f(x) g(x))′ − f′(x) g(x). Integrando ambos os lados:
f(x) g′
(x) dx = f(x) g(x) − f′
(x) g(x) dx;
fazendo: u = f(x) e dv = g′(x) dx, temos: du = f′(x) dx e v = g(x). Logo:
f(x) g′
(x) dx = u dv = u v − v du
Este método de integração nos permite transformar a integração de u dv na integração de v du.
É importante saber “escolher” a substituição u e dv na integral de partida. Devemos escolher
v′ tal que permita determinar v. As expressões de u′ e v devem ser mais simples que as de u e
v′, respectivamente.
A sintaxe que utilizaremos é:
>with(student):
>f:=função:
>a:=Int(f,variável);
>a1:=intparts(a, função que foi chamada de u);
>a2:=value(a1);
>Int(f,x)=a2+C;
Exemplo 6.4.
1. Calcule ln(x) dx.
>with(student):
>f:=ln(x):
>a:=Int(f,x);

a := ln(x) dx
>a1:=intparts(a,ln(x));
a1 := x ln(x) − (1) dx
>a2:=value(a1);
a2 := x ln(x) − x
>Int(f,x)=a2+C;
ln(x) dx = x ln(x) − x + C
2. Calcule x sen(x) dx.
>with(student):
>f:=x*sin(x):
>a:=Int(f,x);
a := x sen(x) dx
>a1:=intparts(a,x);
a1 := −x cos(x) − (−cos(x)) dx
>a2:=value(a1);
a2 := −x cos(x) + sin(x)
>Int(f,x)=a2+C;
x sen(x) dx = −x cos(x) + sin(x) + C
3. Calcule (x3
+ 5) ln(x) dx.
>with(student):
>f:=(xˆ3 +5)*ln(x):
>a:=Int(f,x);
a := (x3
+ 5) ln(x) dx

6.4. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 179
a1 := ln(x)
1
4
x4
+ 5 x −
1
4
x4 + 5 x
x
dx
>a2:=value(a1);
a2 := ln(x)
1
4
x4
+ 5 x −
1
16
x4
− 5 x
>Int(f,x)=a2+C;
(x3
+ 5) ln(x) dx = ln(x)
1
4
x4
+ 5 x −
1
16
x4
− 5 x + C
6.4 Método para Integração de Funções Racionais
Um polinômio P(x) não constante de coeﬁcientes reais pode ser sempre expresso como um
produto de fatores lineares e/ou quadráticos, sendo que os fatores quadráticos são irredutíveis
sobre os reais. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau de P(x).
P(x) = (a1 x2
+ b1x + c1)s1
(a2 x2
+ b2x + c2)s2
......(al x2
+ blx + cl)sl
(x − d1)r1
. . . (x − dn)rn
,
onde ri, sj ∈ N, i = 1 . . . n e j = 1 . . . l tais que não todos os ri e sj sejam nulos.
Exemplo 6.5.
[1] P(x) = x2 − 3 x + 2 = (x − 2) (x − 1).
[2] P(x) = x3 + 4 x2 + 5 x + 2 = (x + 1)2 (x + 2).
[3] P(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x2 + 1) (x − 1).
[4] P(x) = x8 + x7 − 9 x6 + 3 x5 − 33 x4 + 3 x3 − 35 x2 + x − 12 = (x2 + 1)5 (x − 3) (x + 4).
[5] P(x) = x4 + x3 + 2 x2 + x + 1 = (x2 + 1) (x2 + x + 1).
Seja uma função racional:
P(x)
Q(x)
.
A decomposição de uma função racional em frações mais simples, depende da fatoração do
polinômio Q(x). Se numa função racional o grau de P(x) é maior ou igual ao grau de Q(x),
então podemos dividir os polinômios. De fato, se grau(P(x)) ≥ grau(Q(x)) então
P(x) = Q(x) A(x) + R(x),
onde grau(R(x)) < grau(Q(x)); então,
P(x)
Q(x)
= A(x) +
R(x)
Q(x)
. Logo, basta estudar o caso em
que:
grau(P(x)) < grau(Q(x)),

pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios.
Essencialmente temos os seguintes casos:
Caso 1: Q(x) se decompõe em fatores lineares distintos.
Caso 2: Q(x) se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos.
Caso 3: Q(x) se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que os
fatores quadráticos não se repetem.
Caso 4: Q(x) se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que
alguns dos fatores quadráticos se repetem.
A sintaxe utilizada para decompor uma função racional em frações mais simples é:
>with(student):
>f:=função racional:
>a:=Int(f, x);
>b:=convert(integrand(a), parfrac, x);
>a1:=Int(b, x);
>Int(f,x)=value(a1)+C;
Exemplo 6.6.
1. Calcule
x3 + 3 x − 1
x4 − 4 x2
dx.
>with(student):
>f:=(xˆ3+3*x-1)/(xˆ4 -4*xˆ2):
>a:=Int(f,x);
a :=
x3 + 3 x − 1
x4 − 4 x2
dx
b :=
15
16 (x + 2)
+
1
4 x2
−
3
4 x
+
13
16 (x − 2)
>a1:=Int(b,x);
a1 :=
15
16 (x + 2)
+
1
4 x2
−
3
4 x
+
13
16 (x − 2)
dx

6.4. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 181
x3 + 3 x − 1
x4 − 4 x2
dx =
13
16
ln(x − 2) −
1
4 x
−
3
4
ln(x) +
15
16
ln(x + 2) + C
2. Calcule
3 x2 + 4 x + 2
x3 + 2 x2 + x
dx.
>f:=(3*xˆ2+4*x+2)/(xˆ3+2*xˆ2+x):
>a:=Int(f,x);
a :=
3 x2 + 4 x + 2
x3 + 2 x2 + x
dx
b :=
2
x
−
1
(x + 1)2
+
1
x + 1
>a1:=Int(b,x);
a1 :=
2
x
−
1
(x + 1)2
+
1
x + 1
dx
3 x2 + 4 x + 2
x3 + 2 x2 + x
dx = 2 ln(x) +
1
x + 1
+ ln(x + 1) + C
3. Calcule
3 x3 − 12 x2 + 13 x − 7
x4 − 4 x3 + 5 x2 − 4 x + 4
dx.
>f:=(3*xˆ3-12*xˆ2 +13*x-7)/(xˆ4 -4*xˆ3+5*xˆ2 -4*x+4):
>a:=Int(f,x);
a :=
3 x3 − 12 x2 + 13 x − 7
x4 − 4 x3 + 5 x2 − 4 ∗ x + 4
dx
b :=
2 x − 1
x2 + 1
−
1
(x − 2)2
+
1
x − 2
>a1:=Int(b,x);
a1 :=
2 x − 1
x2 + 1
−
1
(x − 2)2
+
1
x − 2
dx
3 x3 − 12 x2 + 13 x − 7
x4 − 4 x3 + 5 x2 − 4 ∗ x + 4
dx = ln(x2
+ 1) − arctan(x) +
1
x − 2
+ ln(x − 2) + C

6.5 Exercícios
1. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(a)
x
5
√
x2 − 1
dx
(b)
3x
x2 + 1
dx
(c)
√
x + 5 dx
(d)
dy
√
b − ay
(e) y(b − ay2
) dy
(f)
4x2
√
x3 + 8
dx
(g)
6x
(5 − 3x2)2
dx
(h)
dy
(b + ay)3
(i) x3
a + bx4 dx
(j)
ln(x) + 2
x
dx
(k) sen(2x) cos2
(2x) dx
(l) tg(
x
2
) sec2
(
x
2
) dx
(m)
cos(ax)dx
b + sen(ax)
(n)
1
x(ln(x))2
dx
(o)
x3
√
1 + x4
dx
(p) x2
ex3
dx
(q)
arcsen(y)
2 1 − y2
dy
(r)
ex
e2x + 16
dx
(s)
sen(θ)
(5 − cos(θ))3
dθ
(t)
x + 3
(x2 + 6x)2
dx
(u)
dx
x ln(x)
(v)
earcsen(x)
√
1 − x2
dx
(w)
sen(ln(x))
x
dx
(x)
cos(
√
x + 1)
√
1 + x
dx
(y)
x5
3
√
x6 + 4
dx
(z) 3x
cos(3x
) dx
2. Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
(a)
dx
x
√
x2 − 2
, use x =
√
2 sec(t)
(b)
dx
ex + 1
, use x = −ln(t)
(c)
x dx
√
x + 1
, use t =
√
x + 1
(d)
x dx
√
1 − x2
, use x = sen(t)
(e)
dx
1 +
√
x
, use z = 1 +
√
x
(f)
dx
1 + x
1
3
, use z = 1 + 3
√
x
3. Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:

(a) 3x
cos(x) dx
(b) x arctg(x) dx
(c)
e
1
x
x3
dx
(d)
x3
√
1 − x2
dx
(e) x cosec2
(x) dx
(f) x sec(x) tg(x) dx
(g) x3
sen(5 x) dx
(h) x4
cos(2x) dx
(i) x4
e−x
dx
(j)
x arcsen(x)
√
1 − x2
dx
(k) x sec2
(x) dx
(l) ln3
(x) dx
(m)
sen2(x)
cos4(x)
dx
(n) tg5
(x)sec3
(x) dx
(o)
cos4(x)
sen6(x)
dx
(p) sen4
(ax) dx
(q) sen3
(y) cos4
(y) dy
(r)
sen4(x)
cos6(x)
dx
4. Calcule as seguintes integrais:
(a)
√
16 − x2
x2
dx
(b)
dx
x3
√
x2 − 9
(c)
dx
(4x − x2)
3
2
(d) x2 + 2 dx
(e)
dx
(1 + x2)
√
1 − x2
(f)
dx
(1 − x2)
√
1 + x2
(g)
dx
x2
√
x2 − 4
(h)
7x3
(4x2 + 9)
3
2
dx
(i) ( 1 + x2 + 2x) dx
(j)
ex
√
ex + 1
dx
(k)
x + 1
√
x2 − 1
dx
(l)
dx
x2
√
x2 + 4
(m) sen(x)
(25−cos2(x))
3
2
dx
(n) dx
x((ln(x))2−4)
3
2
(o) cos(x)
√
4+sen2(x)
dx
(p)
dx
√
−3 + 8x − 4x2
(q)
x
√
1 − x + 3x2
dx
(r)
2x
(x2 + 3x + 4)2
dx
(s)
dx
√
x2 + 3 x + 5
(t)
dx
√
x2 − x − 1
(u)
5 x + 3
√
4 x2 + 3 x + 1
dx

(v)
dx
√
4 x − x2 − 3
(w)
1 − 2 x
√
2 x − x2 + 3
dx
(x)
x
√
x2 − 3 x + 4
dx
(y)
x + 2
√
x2 + 6 x + 34
dx
5. Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
(a)
dx
x3 + 8
(b)
4dx
x4 − 1
(c)
x5 + 4x3
(x2 + 2)3
dx
(d)
x3 + 3x
(x2 + 1)2
dx
(e)
dx
x4 + x2
(f)
x3 + x − 1
(x2 + 1)2
dx
(g)
x4 + 8x3 − x2 + 2x + 1
(x2 + x)(x3 + 1)
dx
(h)
dx
x3(x2 + 1)
(i)
x + 1
(x2 + 4x + 5)2
dx
(j)
x3 + x + 1
x(1 + x2)
dx
(k)
x3 + 1
(x2 − 4x + 5)2
dx
(l)
dx
(x + 1)(x2 + x + 1)2
(m)
dx
x8 + x6
(n)
3x + 1
x2 − x + 1
dx
(o)
dx
x4 − 3x3 + 3x2 − x
(p)
x
x4 − 1
dx
(q)
5x3 − 3x2 + 2x − 1
x4 + 9x2
dx
(r)
x5 + 4x3 + 3x2 − x + 2
x5 + 4x3 + 4x
dx
(s)
2x + 2
x(x2 + 2x + 2)2
dx
(t)
dx
x3 + 3x2 + 7x + 5
(u)
x2 − 3 x + 2
x3 + 6 x2 + 5 x
dx
(v)
3 x3 + x2 + x − 1
x4 − 1
dx
(a) cos(x) ln(sen(x)) dx
(b) x 5x
dx
(c) x5
cos(x3
) dx
(d) tg(x) sec3
(x) dx
(e) cos(3 x) cos(4 x) dx
(f)
x
(x2 + 4)5
dx
(g)
dx
√
x2 + 4 x + 8
(h) et
9 − e2t dt
(i)
x2 + 2 x
x3 + 3 x2 + 4
dx
(j)
x − 3
(x2 + 2 x + 4)2
dx

(k)
x4 + 1
x (x2 + 1)
dx
(l)
sen(x) cos2(x)
5 + cos2(x)
dx
(m)
x2
(x + 1)3
dx
(n)
dx
4 x2 + 12 x − 7
(o)
2 x + 3
x3 + 3 x
dx
(p)
3 x2 − 4 x + 5
(x − 1) (x2 + 1)
dx
(q)
x3
3
√
x2 + 1
dx
(r)
√
x
x + 1
dx
(s)
dx
(x2 + 9)
√
x2 + 4
(t)
dx
(x − 1)
√
x2 + 2 x − 2
(u)
dx
1 + 2 sen(x) cos(x) + sen2(x)
(v)
2 cos2(x
2 )
x + sen(x)
dx
(w)
1 − tg2(x)
sec2(x) + tg(x)
dx
(x)
dx
(x + 3)
√
x − 1
dx

Capítulo 7
INTEGRAÇÃO DEFINIDA
7.1 Intodução
Neste capítulo introduziremos a noção de integral definida, cuja origem foi a formalização
matemática da idéia do cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos gráficos de fun-
ções.
Observemos que somente "sabemos"calcular, efetivamente, a área de regiões limitadas por seg-
mentos de retas como retângulos, triângulos ou composições destes. Como motivação, come-
çaremos com um problema.
Problema: Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua, não negativa. Calcule a área da região
plana R delimitada pelo gráfico de y = f(x), pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x.
a b
Figura 7.1: Área da região dada no problema.
Solução do Problema: O subconjunto P = {x0, x1, ......, xn} ⊂ [a, b] é chamado de partição
de ordem n do intervalo [a, b] se:
a = x0 < x1 < x2 < ......... < xn−1 < xn = b.
Subdividamos o intervalo [a, b] em n subintervalos, escolhendo os pontos da partição P. For-
memos os seguintes subintervalos:
187

188 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
[x0, x1], [x1, x2], ........, [xn−1, xn].
Denotemos qualquer destes subintervalos por [xi−1, xi], i variando de 1 até n.
Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimento do subintervalo [xi−1, xi], i variando de 1 até n. Note que
estes subintervalos não tem necessariamente o mesmo comprimento. Para cada i, variando de
1 até n, consideremos o retângulo Ri limitado pelas retas x = xi−1, x = xi e altura y = f(ci),
onde ci ∈ [xi−1, xi].
Figura 7.2: Subdivisão da região.
Obtemos assim n retângulos Ri. É intuitivo que a soma das áreas dos n retângulos é uma apro-
ximação da área da região R. Se n é muito grande ou, equivalentemente, se n cresce, então
∆xi, a base do retângulo correspondente, é muito pequena e a soma das áreas dos n retângulos
aproxima-se cada vez mais da área da região R.
Figura 7.3: Nova subdivisão da região.
A área de cada Ri é f(ci) × ∆xi (base por altura); a soma Sn das áreas dos n retângulos é:
Sn =
n
i=1
f(ci) ∆xi.

7.1. INTODUÇÃO 189
A soma Sn é chamada uma soma de Riemann da função f. Denotemos por |∆xi| a maior me-
dida dentro os ∆xi. A área de uma região plana R delimitada pelo gráfico da função contínua
y = f(x), definida no intervalo [a, b] e pelas retas x = a e x = b é:
A(R) = lim
|∆xi|→0
n
i=1
f(ci) ∆xi.
É possível provar com rigor matemático que, quando a função é contínua, este limite sempre
existe e é igual a área de R; mais ainda, este limite não depende da escolha da partição do
intervalo [a, b] ou da escolha dos pontos ci. Para mais detalhes veja a bibliografia intermediária
e avançada.
No MAPLE, utilizaremos as seguintes sintaxes:
>with(student):
leftsum(f(x), x=a..b, n): A soma de Riemann com n subintervalos de comprimentos iguais e a
escolha de cada ci como sendo a extremidade esquerda de cada subintervalo.
leftbox(f(x), x=a..b, n): Esboça o gráfico de leftsum.
middlesum(f(x), x=a..b, n): A soma de Riemann com n subintervalos de comprimentos iguais
e a escolha de cada ci como sendo o ponto médio de cada subintervalo.
middlebox(f(x), x=a..b, n): Esboça o gráfico de middlesum.
rightsum(f(x), x=a..b, n): A soma de Riemann com n subintervalos de comprimentos iguais e
a escolha de cada ci como sendo a extremidade direita de cada subintervalo.
rightbox(f(x), x=a..b, n): Esboça o gráfico de rightsum.
Nas versões mais recentes do MAPLE, podemos utilizar a seguinte sintaxe, para fazer anima-
ções:
>RiemannSum(função, x =a..b, method = left ou right ou middle, output = animation);
Exemplo 7.1.
1. Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função y = f(x) = x2, o eixo dos x e pelas
retas x = 0 e x = 1.

Figura 7.4: Área limitada por y = f(x) = x2.
O intervalo de integração é [0, 1] e f(x) = x2.
a) Consideremos a seguinte partição de ordem 4 de [0, 1]:
x0 = 0 < x1 =
1
4
< x2 =
1
2
< x3 =
3
4
< x4 = 1;
Os subintervalos são: [0,
1
4
], [
1
4
,
1
2
], [
1
2
,
3
4
] e [
3
4
, 1] e ∆xi =
1
4
, para cada i.
>with(student):
>f:=xˆ2:
>leftsum(f,x=0..1,4);
1
4
3
i=0
1
16
i2
>value( );
7
32
Note que escolhemos:
ci 0
1
4
1
2
3
4
f(ci) 0
1
16
1
4
9
16
Logo:
1
4
× 0 +
1
4
×
1
16
+
1
4
×
1
4
+
1
4
×
9
16
=
7
32
.

>leftbox(f,x=0..1,4);
Figura 7.5: Partição da região.
Agora, façamos:
>rightsum(f,x=0..1,4);
1
4
4
i=1
1
16
i2
>value( );
15
32
Note que se escolhemos:
ci
1
4
1
2
3
4
1
f(ci)
1
16
1
4
9
16
1
Logo:
1
4
×
1
16
+
1
4
×
1
4
+
1
4
×
9
16
+
1
4
× 1 =
15
32
.
>rigtbox(f,x=0..1,4);

Figura 7.6: Partição da região.
É intuitivo que:
7
32
≤ A(R) ≤
15
32
.
b) Consideremos a seguinte partição de ordem n:
x0 = 0 < x1 =
1
n
< x2 =
2
n
< x3 =
3
n
< .................. < xn =
n
n
= 1.
∆xi =
1
n
.
Se escolhemos c1 = 0, c2 =
1
n
, c3 =
2
n
,............, cn =
n − 1
n
:
>leftsum(f,x=0..1,n);
n−1
i=0
i2
n2
n
>value( );
1
6
(2 n − 1) (n − 1)
n2
Logo:
n−1
i=0
i2
n3
=
(n − 1) (2 n − 1)
6 n2
.
Se escolhemos c1 =
1
n
, c2 =
2
n
, c3 =
3
n
,............, cn =
n
n
:
>rightsum(f,x=0..1,n);

n
i=1
i2
n2
n
>value( );
1
6
(2 n + 1) (n + 1)
n2
Logo:
n
i=1
i2
n3
=
(n + 1) (2 n + 1)
6 n2
.
Figura 7.7: Nova partição da região.
Então,
(n − 1) (2 n − 1)
6 n2
≤ A(R) ≤
(n + 1) (2 n + 1)
6 n2
.
Por outro lado:
lim
n→+∞
(n − 1) (2 n − 1)
6 n2
= lim
n→+∞
(n + 1) (2 n + 1)
6 n2
=
1
3
;
então,
A(R) =
1
3
Agora, façamos uma animação:
>RiemannSum(f, x = 0 .. 1, method = left, output = animation);

Figura 7.8: Um frame da animação.
Façamos uma tabela para comparar o resultado, com as diversas partições e o erro do calculo.
>with(student):
>for i to 10 do j := 2000*i:
>LE[i] := evalf(leftsum(f(x), x = 0 .. 1, j)):
>RI[i] := evalf(rightsum(f(x), x = 0 .. 1, j)):
>MID[i] := evalf(middlesum(f(x), x = 0 .. 1, j)):
>Er[i] := RI[i]-LE[i]:
>fil[i] := [j,LE[i], RI[i], MID[i], Er[i]] :
>end do:
>array([fil[1], fil[2], fil[3], fil[4], fil[5], fil[6], fil[7], fil[8], fil[9], fil[10]]);


























2000 0.3330833750 0.3335833750 0.3333333125 0.0005000000
4000 0.3332083438 0.3334583438 0.3333333280 0.0002500000
6000 0.3332500047 0.3334166714 0.3333333311 0.0001666667
8000 0.3332708359 0.3333958359 0.3333333320 0.0001250000
10000 0.3332833350 0.3333833350 0.3333333325 0.0001000000
12000 0.3332916678 0.3333750012 0.3333333327 0.0000833334
14000 0.3332976199 0.3333690485 0.3333333329 0.0000714286
16000 0.3333020840 0.3333645840 0.3333333330 0.0000625000
18000 0.3333055561 0.3333611116 0.3333333331 0.0000555555
20000 0.3333083338 0.3333583338 0.3333333331 0.0000500000

























2. Calcule a área da região limitada pelo gráﬁco da função y = f(x) = e−x2
, o eixo dos x e pelas
retas x = −2 e x = 2.
Figura 7.9: Área limitada por y = f(x) = e−x2
.
Utilizemos a opção: middle:
>with(student):
>f:=exp(-xˆ2):
>middlesum(f,x=-2..2,n);
4
n
n−1
i=0
e−4(−n+2i+1)2/n2
>limit(% , n = inﬁnity);
√
π erf(2)

>evalf(%);
1.764162782
Agora, façamos uma animação:
>with(plots):
>f:=exp(-xˆ2):
>par:=[seq(i, i = 4 .. 100)]:
>:=seq(middlebox(f,x=-2..2,n),n=boxes):
>display(S, insequence = true);
Figura 7.10: Um frame da animação.

7.2. DEFINIÇÃO E CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA 197
7.2 Definição e Cálculo da Integral Definida
Definição 7.1. Sejam f uma função definida no intervalo [a, b], P uma partição qualquer do intervalo
[a, b] e ci um ponto qualquer em cada subintervalo definido pela partição. A integral definida de f de
a até b é denotada por:
b
a
f(x) dx
e definida por:
b
a
f(x) dx = lim
|∆xi|→0
n
i=1
f(ci)∆xi
se o limite existe.
Se o limite da definição existe, é independente das escolhas feitas, como no caso da definição
de área. Portanto, deve ter sempre um único valor.
Se f é contínua e não negativa em [a, b] a definição de integral definida coincide com a defini-
ção de área da região R delimitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e pelo eixo dos x
(g = 0):
Figura 7.11: A região R.
R = {(x, y) /a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
Neste caso teremos:
A(R) =
b
a
f(x) dx
Os números a e b são chamados limites inferior e superior de integração.
Definição 7.2. Uma função f definida em [a, b] é dita integrável em [a, b] se sua integral definida
existe.

Algumas das provas deste capítulo serão omitidas, pois fogem do objetivo destas notas. Um
leitor interessado pode recorrer à bibliografia indicada.
Teorema 7.1. Se a função f é contínua em [a, b], então é integrável em [a, b].
Observemos que a recíproca deste teorema é falsa. Por exemplo, considere a função:
f(x) =
1 se x ∈ [0, 1]
0 se x ∈ (1, 2].
f é descontínua, mas a região limitada pelo gráfico de f, possui área igual a 1 no intervalo [0, 1]
e zero no intervalo (1, 2]; logo, f é integrável.
Propiedades da Integral Definida
Se f e g são funções integráveis em [a, b], então:
1. Linearidade da Integral. α f + β g é função integrável em [a, b], para todo α, β ∈ R e:
b
a
α f(x) + β g(x) dx = α
b
a
f(x) dx + β
b
a
g(x) dx
2. Monotonicidade da Integral. Se f(x) ≥ g(x) em [a, b]; então,
b
a
f(x) dx ≥
b
a
g(x) dx
3. |f| é integrável e:
b
a
f(x) dx ≤
b
a
f(x) dx
4. Sejam a < c < b e f uma função integrável em [a, c] e [c, b] respectivamente. Então f é
integrável em [a, b] e:
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx

7.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E CONSTRUÇÃO DE PRIMITIVAS 199
7.3 Teorema Fundamental do Cálculo e Construção de Primitivas
Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua. Definamos a função:
g(x) =
x
a
f(t) dt.
Por exemplo, se f(x) = cos(x), então:
g(x) =
x
0
cos(t) dt = sen(x);
por outro lado observe que, g′(x) = cos(x) = f(x). Este fato pode ser generalizado. É o que
estabelece o seguinte teorema.
Teorema 7.2. (Fundamental do Cálculo). Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua. A função:
g(x) =
x
a
f(t) dt
é derivável em (a, b), e:
g′
(x) = f(x) ou g′
(x) =
d
dx
x
a
f(t) dt = f(x)
Este resultado implica que toda função contínua possui uma primitiva.
Existem funções integráveis que não possuem primitivas (não podem ser contínuas). Por exem-
plo, a função definida por:
f(x) =
0 se x = 0
1 se x = 0;
f não é derivada de nenhuma função:
g(x) =
x
a
f(t) dt = 0, para todo x.
Corolário 7.3. Se f é uma função integrável em [a, b] e admite uma primitiva F(x) em [a, b], então:
b
a
f(x) dx = F(b) − F(a)
O corolário nos diz que para calcular a integral definida de uma função, basta procurar uma
primitiva da função e avaliá-la nos limites de integração. A integral definida é um número real.
Notação:
F(x)
b
a
= F(b) − F(a).

A sintaxe para o cálculo da integral deﬁnida de uma função é:
>int(função,x=a..b);
ou de forma mais didática:
>Int(função,x=a..b)=int(função,x=a..b);
Corolário 7.4. Na hipótese do corolário anterior, temos:
1.
b
a
f(x) dx = −
a
b
f(x) dx.
2.
a
a
f(x) dx = 0.
Corolário 7.5. Seja f : I −→ R contínua e α : J −→ R derivável; I e J são intervalos tais que
α(J) ⊂ I. Então:
g(x) =
α(x)
a
f(t) dt
é derivável e:
g′
(x) = f(α(x)) α′
(x)
A sintaxe que utilizamos é:
>p:=Int(função,t=variação);
>diff(p,x);
Exemplo 7.2.
1. Uma primitiva de f(x) = sen(x6) é:
F(x) =
x
0
sen(t6
) dt
De fato:
>p:=Int(sin(tˆ6),t=0..x);
p :=
x
0
sen(t6
) dt
>diff(p,x);

7.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E CONSTRUÇÃO DE PRIMITIVAS 201
sin(x6
)
2. Calcule
1
−1
|sen(π x)| dx.
>p:=abs(sin(Pi*x)):
>Int(p, x =-1..1) = int(p, x =-1..1);
1
−1
|sin (π x)| dx =
4
π
Observamos que sen(π x) ≥ 0 se 0 ≤ x ≤ 1 e sen(π x) ≤ 0 se −1 ≤ x ≤ 0.
sen(π x) dx = −
cos(π x)
π
+ c.
Logo, :
>F:=x->-cos(Pi*x)/Pi):
>Int(p, x =0..1)-Int(p, x =-1..0) = F(1)-F(0)-(F(0)-F(-1));
1
0
sen(π x) dx −
0
−1
sen(π x) dx =
4
π
>Int(p, x =-1..1)=F(1)-F(0)-(F(0)-F(-1));
1
−1
|sen(π x)| dx =
4
π
3. A função :
S(x) =
x
0
sen
π t2
2
dt,
é chamada de Fresnel e aparece no estudo da difração de ondas de luz, calcule:
lim
x→0
S(x)
x3
O limite apresenta uma indeterminação do tipo (0
0); aplicamos L’Hôpital,
>p:=sin(Pi*tˆ2)/2):
>S:=Int(p,t=0..x):
>S’:=diff(S,x);
S′
(x) = sen
π x2
2

logo:
lim
x→0
S(x)
x3
= lim
x→0
S′(x)
3 x2
=
π
6
.
Figura 7.12: Gráﬁco de S(x).
4. A função:
erf(x) =
2
√
π
x
0
e−t2
dt
é chamada função erro.
Figura 7.13: Gráﬁco de erf(x).
Calcule a derivada de:
i) x erf(x).
ii) erf(
√
x).
i) Seja:

7.4. DEFINIÇÃO DE LOGARITMO NATURAL 203
>p:=x*erf(x):
>diff(p,x);
erf (x) + 2
x
√
πex2
logo:
d
dx
x erf(x) = erf(x) +
2 x
√
π
e−x2
.
ii) Seja:
>p:=erf(sqrt(x)):
>diff(p,x);
e−x
√
π
√
x
7.4 Definição de Logaritmo Natural
Definição 7.3. A função ln : (0, +∞) −→ R é definida por:
ln(x) =
x
1
dt
t
ln(x) é chamado logaritmo natural de x.
Proposição 7.1. Das propriedades da integral definida e do Teorema Fundamental do Cálculo, segue
que:
1. ln(1) = 0
2. ln(x) < 0 se 0 < x < 1
3. ln(x) > 0 se x > 1
4. [ln(x)]′ =
1
x
5. A função logarítmica é crescente.
7.4.1 Logaritmo como Área
Seja Hx a região limitada pelo gráfico da função f(t) = 1
t , o eixo dos x e as retas t = 1 e t = x.

11 11
Figura 7.14: A região Hx.
Geometricamente, ln(x) é definido por
ln(x) =
área(Hx) se 1 ≤ x
−área(Hx) se 0 < x < 1.
Se x = 1, Hx é um segmento de reta; logo, a área(Hx) = 0 e ln(1) = 0.
Por outro lado, verifiquemos que ln(x y) = ln(x) + ln(y), para todo x, y ∈ (0, +∞). De fato:
ln(x y) =
x y
1
dt
t
=
x
1
dt
t
+
x y
x
dt
t
= ln(x) +
x y
x
dt
t
.
Fazendo t = x s, tem-se, dt = x ds e:
x y
x
dt
t
=
y
1
ds
s
= ln(y).
ln(xα) = α ln(x); x > 0 e α ∈ R. De fato:
ln(xα
) =
xα
1
dt
t
.
Fazendo t = sα, tem-se, dt = α sα−1 ds e:
xα
1
dt
t
= α
x
1
ds
s
= α ln(x).
Em particular, ln
x
y
= ln(x) − ln(y); x, y > 0.
ln
x
y
= ln x y−1
= ln(x) + ln(y−1
) = ln(x) − ln(y).
Podemos agora definir a função exponencial assim:
y = ex se, e somente se x = ln(y).
Todas as propriedades da função exponencial podem ser demonstradas a partir desta definição.

Exemplo 7.3.
1. Calcule
e2
e
ln(x) dx.
>p:=ln(x):
>Int(p, x = exp(1) .. (exp(1))ˆ2) = int(p, x = exp(1) .. (exp(1))ˆ2);
(e1
)
2
e1
ln (x) dx = e2
2. Seja
f(x) =



b
a
tx
dt se x = −1
ln
b
a
se x = −1.
Veriﬁque se f é contínua em x = −1.
Calculando diretamente:
>p:=tˆx:
>int(p,t):
>F:=unapply(% ,t);
F := t →
tx+1
x + 1
>Int(p,t=a..b)=simplify(F(b)-F(a));
b
a
tx
dt = F(b) − F(a) =
bx+1 − ax+1
x + 1
.
Por outro lado, aplicando limite:
lim
x→−1
f(x) = lim
x→−1
(bx+1
ln(b) − ax+1
ln(a))
= f(−1);
logo, f é contínua em −1. Tente refazer o exercício 3, utilizando:
>Int(p,x=a..b):

7.4.2 Método de Substituição
Se u = g(x), então du = g′(x) dx; logo,
b
a
f(g(x)) g′
(x) dx =
g(b)
g(a)
f(u) du
Utilizamos a seguinte sintaxe:
>p:=função:
>k:=Int(p, x = a .. b);
>k1:=changevar(equação que deﬁne a mudança=u,k);
>k2:=value(k1);
7.4.3 Método de Integração por Partes
b
a
f(x) g′
(x) dx = f(x) g(x)
b
a
−
b
a
g(x) f′
(x) dx
>with(student):
>p:=função:
>a1:=intpar(p,função chamada de u);
>a2:=value(a1);
>Int(p,x=a..b)=a2;
7.4.4 Método para Funções Racianais
Integrai do tipo:
b
a
f(x)
g(x)
dx
>with(student):
>p:=função:
>p2:=integrand(p);
>p3:=convert(p2,parfrac,x);
>p4:=Int(p3,x=a..b);
>value(p4);

Exemplo 7.4.
1. Veriﬁque que:
a
0
f(x)
f(x) + f(a − x)
dx =
a
2
,
sendo f tal que o integrando seja deﬁnido.
Seja:
>p:=f(x)/(f(x)+f(a-x)):
>k:=Int(p, x = 0 .. a);
k :=
a
0
f(x)
f(x) + f(a − x)
dx
Fazendo:
>k1:= changevar(u = a-x, k, u);
k1 := −
0
a
f(a − u)
f(a − u) + f(u)
du
Por outro lado:
k1 = −
0
a
f(a − u)
f(a − u) + f(u)
du =
a
0
f(a − x)
f(a − x) + f(x)
dx
logo,
2 k =
a
0
f(x)
f(x) + f(a − x)
dx +
a
0
f(a − x)
f(a − x) + f(x)
dx =
a
0
dx = a.
2. Calcule
π
0
cos(x)
sen(x) + 1
dx.
Seja:
>with(student):
>p:=cos(x)/sqrt(sin(x)+1):
>k:=Int(p, x = 0 .. Pi);
k :=
π
0
cos(x)
sen(x) + 1
dx
Fazendo:
>k1:= changevar(sin(x)=u, k, u);

k1 :=
1
0
1
√
u + 1
du
Pois sin(0) = 0 e sin(π/2) = 1
>k2:=value(k1);
k2 := 2 (−1 +
√
2)
3. Calcule
2
1
(x3
+ 5) ln(x) dx.
>with(student):
>f:=(xˆ3 +5)*ln(x):
>a:=Int(f,x=1..2);
a :=
2
1
(x3
+ 5) ln(x) dx
a1 := 14 ln(2)2
−
2
1
1
4
x4 + 5 x
x
dx
>a2:=value(a1);
a2 := 14 ln(2) −
95
16
>Int(f,x=1..2)=a2;
2
1
(x3
+ 5) ln(x) dx = 14 ln(2) −
95
16
4. Calcule
4
1
3 x2 + 4 x + 2
x3 + 2 x2 + x
dx.
>f:=(3*xˆ2+4*x+2)/(xˆ3+2*xˆ2+x):
>a:=Int(f,x=1..4);
a :=
4
1
3 x2 + 4 x + 2
x3 + 2 x2 + x
dx
b :=
2
x
−
1
(x + 1)2
+
1
x + 1

>a1:=Int(b,x=1..4);
a1 :=
4
1
2
x
−
1
(x + 1)2
+
1
x + 1
dx
>Int(f,x=1..4)=value(a1);
4
1
3 x2 + 4 x + 2
x3 + 2 x2 + x
dx = 3 ln(2) −
3
10
+ ln(5)
Aplicação
Seja f uma função integrável sobre [−a, a]. Se f é uma função par:
a
−a
f(x) dx = 2
a
0
f(x) dx (1)
Se f é uma função ímpar:
a
−a
f(x) dx = 0 (2)
De fato:
a
−a
f(x) dx =
0
−a
f(x) dx +
a
0
f(x) dx = −
−a
0
f(x) dx +
a
0
f(x) dx.
Façamos a seguinte substituição u = −x, então:
−
−a
0
f(x) dx =
a
0
f(−u) du.
Se f é uma função par, segue (1) e se f é uma função ímpar, segue (2).
Exemplo 7.5.
1. Calcule
π
4
− π
4
tan (x) cos (3 x)
x20 + 7 x10 + 6 x6 + x4 + cos (x)
dx.
>p:=tan(x)*cos(3*x)/(xˆ20+7*xˆ10+6*xˆ6+xˆ4+cos(x)):
>int(p,x=-Pi/4..Pi/4);
0
De fato, a função é ímpar.

Figura 7.15: Gráﬁco da função do exemplo 1..

7.5 Exercícios
1. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(a)
3
−1
√
2 x + 3 dx
(b)
π
3
π
4
sec2(x)
tg3(x)
dx
(c)
π
2
0
2 e2x + cos(x)
e2x + sen(x)
dx
(d)
π
8
0
sec2(2x)
1 + tg(2 x)
dx
(e)
π
4
0
sen(x) cos(x) dx
(f)
1
0
e2x
e2x + 1
dx
(g)
π
4
0
sen(x) ln(cos(x)) dx
(h)
π
4
0
sec2(x)
etg(x)
dx
(i)
4
1
e
√
x
√
x
dx
(j)
1
0
(2 x − 1)100
dx
(k)
3
0
dx
2 x + 3
(l)
e4
2
dx
x ln(x)
(m)
2
0
x2
√
x3 + 1
dx
(n)
1
0
ex
sen(ex
) dx
(o)
3
1
x − 2
(3 x2 − 12 x + 1)4
dx
(p)
1
0
x2
ex3
dx
(q)
2
1
x
3
√
x2 + 1
dx
(r)
1
0
arcsen(x)
√
1 − x2
dx
(s)
1
0
dx
1 +
√
x
(t)
8
3
sen(
√
x + 1)
√
x + 1
dx
(u)
a
0
(x − a) 2 a x − x2 dx; a = 0
(v)
π
2
0
cos(x)
6 − 5 sen(x) + sen2(x)
dx
(w)
2
1
sen(ln(x))
x
dx
(x)
1
0
x2
√
x6 + 4
dx
2. Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
(a)
1
0
x e−x
dx
(b)
π
2
0
e2x
sen(3 x) dx
(c)
π
0
3x
cos(x) dx
(d)
1
0
x4
e−x
dx
(e)
4
2
x ln(
√
x) dx
(f)
1
0
arctg(x) dx
(g)
1
2
0
x3
√
1 − x2
dx
(h)
π
2
π
4
x cosec2
(x) dx

(i)
1
0
x ex
(x + 1)2
dx
(j)
π
3
0
x sec(x) tg(x) dx
(k)
4
1
ln(
√
x) dx
(l)
eπ
1
cos(ln(x)) dx
(m)
1
0
(x2
− 1) ex
dx
(n)
4
1
e
√
x
dx
(o)
e
1
ln3
(x) dx
(p)
π2
4
0
cos(
√
x) dx
(q)
π
4
0
x sec2
(x) dx
(r)
1
0
arcsen(x) dx
(s)
π
3
0
sec3
(x) dx
(t)
π
−π
x cos(x) dx
(u)
2
1
√
x ln(x) dx
(v)
1
2
0
x arcsen(2 x) dx
(w)
π
2
0
cos3
(x) dx
(x)
0
−1
x
√
x + 1 dx
(a)
π
2
π
4
cos(x) ln(sen(x)) dx
(b)
1
0
x 5x
dx
(c)
3√
π
0
x5
cos(x3
) dx
(d)
π
3
0
tg(x) sec3
(x) dx
(e)
π
0
cos(3 x) cos(4 x) dx
(f)
1
0
x dx
(x2 + 4)5
(g)
2
0
dx
√
x2 + 4 x + 8
(h)
ln(3)
0
et
9 − e2t dt
(i)
3
2
(x2 + 2 x) dx
x3 + 3 x2 − 4
(j)
1
0
(x − 3) dx
(x2 + 4 x + 3)2
(k)
2
1
(x4 + 1) dx
x (x2 + 1)
(l)
π
2
0
(sen(x) cos2(x)) dx
5 + cos2(x)
(m)
1
0
x2 dx
(x + 1)3
(n)
2
1
dx
4 x2 + 12 x − 7
(o)
3
1
(2 x + 3) dx
x3 + 3 x
(p)
3
2
(3 x2 − 4 x + 5) dx
(x − 1) (x2 + 1)
(q)
1
0
x3 dx
3
√
x2 + 1
(r)
1
0
√
x dx
x + 1
(s)
8
0
3
√
x (x − 1) dx
(t)
11
3
dx
√
2 x + 3

(u)
1
0
dx
(1 + x2)3
(v)
4
2
(2 x2 + 1)dx
(x + 1)2 (x + 2)
(w)
a
0
x
a2 − x2
a2 + x2
dx
(x)
π
0
x dx
4 − cos2(x)
4. Calcule as seguintes derivadas:
(a)
d
dx
x
0
(t2
+ 1)
1
3 dt
(b)
d
dx
x
0
t sen(t) dt
(c)
d
dx
x
1
t ln(t) dt
(d)
d
dx
x
0
1 + t4 dt
(e)
d
dx
ex
x
1 + t2 dt
(f)
d
dx
x2
2
sen(t2
) dt
(g)
d
dx
x
0
(2t
+ t2
) dt
(h)
d
dx
x3
0
t
√
1 + t3
dt
5. Seja f uma função contínua em [a, b] e suponha que
x
a
f(t) dt = x, para todo x ∈ [a, b].
Determine f e a.
6. A seguinte função é utilizada em Engenharia Elétrica:
Si(x) =
x
0
sen(t)
t
dt; (x > 0).
1. Determine os pontos extremos e esboce seu gráﬁco.
7. O número:
µ =
1
b − a
b
a
f(x) dx
é chamado valor médio da função f no intervalo [a, b]. Calcule o valor médio das funções
nos intervalos indicados:
(a) f(x) = sen2(x); [0, π]
(b) f(x) = 5 cos(x); [−π, π]
(c) f(x) = ln(x); [1, 2]
(d) f(x) =
x
1 + x2
; [0, 1]
(e) f(x) =
cos(x)
sen(x)
; [0, π
2 ]

(f) f(x) = x2 ex; [0, 1]
8. Diga qual das integrais é maior, sem calculá-las:
(a)
1
0
1 + x2 dx ou
1
0
x dx
(b)
2
1
ex2
dx ou
2
1
ex
dx.
9. Seja a > 0 e suponha que f é uma função contínua no intervalo [−a, a]. Defina g em
[−a, a] por:
g(x) =
−x
0
f(t) dt +
x
0
f(−t) dt,
para todo x ∈ [−a, a].
(a) Verifique que g′(x) = 0, para todo x ∈ [−a, a].
(b) Use a parte a) para verificar que g(x) = 0, para todo x ∈ [−a, a].
(c) Conclua que:
0
−x
f(t) dt =
x
0
f(−t) dt.
10. Calcule as seguintes integrais sem utilizar métodos de integração:
(a)
10
−10
x5
− 6 x9
+
sen3(x)
(x6 + x4 + x2 + 1)4
dx
(b)
π
−π
sen( 3
√
x7 + x5 + x3)
x4 + cos(x)
dx
11. Verifique que para todo n, m ∈ Z:
(a)
π
−π
sen(m x) cos(n x) dx = 0
(b)
π
−π
sen(m x) sen(n x) dx =
0 se n = m
π se n = m
(c)
π
−π
cos(m x) cos(n x) dx =
0 se n = m
π se n = m

12. Calcule
π
−π
f(x) dx, onde f(x) =
sen(x) se x ≤ 0
1 − cos(x) se x > 0
13. Seja g(x) =
α2(x)
α1(x)
f(t) dt, onde f : I −→ R é contínua e αi : J −→ R são funções
deriváveis (i = 1, 2); I e J intervalos tais que αi(J) ⊂ I. Verifique que:
g′
(x) = f(α2(x)) α
′
2(x) − f(α1(x)) α
′
1(x).
14. Calcule g′(x) se g(x) =
x2+x
x2+1
2−t2
dt.
15. Calcule g′
(
1
2
) se g(x) =
x3
x2
1
t
dt.
16. Seja f : R −→ R contínua. Sabendo que
3
−3
f(t) dt = 4, calcule
4
1
f(5 − 2 x) dx
17. Seja f(x) =
x
0
et2
1 + t2
dt. Verifique que f é uma função contínua ímpar e que f(x) ≥ x,
para todo x > 0.
18. Esboce o gráfico de f(x) =
x
0
2 t e−t2
dt
Logaritmo
1. Verifique que: ln(x) =
x−1
0
du
u + 1
.
2. Verifique que: ln(x) = L(x) + R(x), onde L(x) = (x − 1) −
1
2
(x − 1)2
+
1
3
(x − 1)3
e
R(x) =
x−1
0
u3
u + 1
du.
3. Se x > 1 e 0 ≤ u ≤ x − 1, mostre que: R(x) ≤
1
4
(x − 1)4
. (R(x) do exercício anterior).
4. Usando os exercícios anteriores conclua que: ln(x) ≃ L(x) com E(x) = |ln(x) − L(x)| ≤
1
4
(x − 1)4
. Equivalentemente, L(x) aproxima ln(x) superiormente, com erro E(x) não
superior a
1
4
(x − 1)4
.
5. Calcule aproximadamente ln(1.2) e E(1.2).

6. Repita os exercícios 2, 3, 4 e 5 escrevendo:
1
u + 1
= 1 − u + u2
− u3
+ u4
−
u5
u + 1
.
7. Veriﬁque que: ln(x) ≤ x − 1. Quando vale a igualdade?
8. Veriﬁque que
x
1 + x
≤ ln(x + 1) ≤ x, para todo x ≥ 1.

Capítulo 8
APLICAÇÕES DA INTEGRAL
DEFINIDA
8.1 Áreas
O cálculo da área de uma região plana pode ser feito via integral deﬁnida. A seguir, estudare-
mos as situações mais comuns.
Teorema 8.1.
Sejam f, g : [a, b] −→ R funções contínuas. A área de uma região plana R delimitada pelo gráﬁco das
funções contínuas y = f(x), y = g(x) e pelas retas x = a e x = b é:
A(R) =
b
a
|f(x) − g(x)| dx
Se f(x) ≥ 0 e g(x) = 0, para todo x ∈ [a, b], então:
A(R) =
b
a
f(x) dx
onde:
R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
b
R
a
y=f(x)
Figura 8.1: R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.
217

218 CAPÍTULO 8. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
Se f(x) ≤ 0 e g(x) = 0, para todo x ∈ [a, b], então:
A(R) = −
b
a
f(x) dx
onde
R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ 0}
a
R
b
Figura 8.2: R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ 0}
Se f(x) ≥ g(x), para todo x ∈ [a, b], então:
A(R) =
b
a
f(x) − g(x) dx
onde
R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}
a b
f
g
R
Figura 8.3: R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}.
Se f(x) ≥ g(x), a ≤ x ≤ c e g(x) ≥ f(x), c ≤ x ≤ b; então, R = R1 ∪ R2, onde:
R1 = {(x, y) / a ≤ x ≤ c, g(x) ≤ y ≤ f(x)} e
R2 = {(x, y) / c ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)}

8.1. ÁREAS 219
A(R) =
c
a
f(x) − g(x) dx +
b
c
g(x) − f(x) dx
a b
f
c
g
Figura 8.4: R = R1 ∪ R2.
Exemplo 8.1.
1. Calcule a área da região limitada pelo eixo dos x e pelo gráﬁco de y = 4 x4 − 5 x2 + 1.
Determinemos a interseção da curva com os eixos coordenados:
>with(plots):
>f:=4*xˆ4 -5*xˆ2+1:
>with(RealDomain):
>sol:=solve(f=0,x);
sol := −1, −
1
2
,
1
2
, 1
>a:=plot(f,x = -1 .. 1, ﬁlled = true, color = yellow):
>b:=plot(f,x = -1 .. 1, color = blue, thickness=3):
>display(a,b);

Figura 8.5: Gráfico de R.
Seja, R = R1 ∪ R2 ∪ R3 onde:
R1 = {(x, y) ∈ R2
/ − 1 ≤ x ≤ −
1
2
, 4 x4
− 5 x2
+ 1 ≤ y ≤ 0};
R2 = {(x, y) ∈ R2
/ −
1
2
≤ x ≤
1
2
, 0 ≤ y ≤ 4 x4
− 5 x2
+ 1} e
R3 = {(x, y) ∈ R2
/
1
2
≤ x ≤ 1, 4 x4
− 5 x2
+ 1 ≤ y ≤ 0}.
>A:=Int(f,x=sol[1]..sol[2])+Int(f,x=sol[2]..sol[3])+Int(f,x=sol[3]..sol[4]);
A :=
− 1
2
−1
(4 x4
− 5 x2
+ 1) dx +
1
2
− 1
2
(4 x4
− 5 x2
+ 1) dx +
1
1
2
(4 x4
− 5 x2
+ 1) dx
>value(% );
1
u.a. (unidades de área).
2. Calcule a área da região limitada pelos gráficos de y = x2 e y = x + 2.
Calculemos as interseções dos gráficos; em outras palavras, resolvamos o seguinte sistema de
equações:
y = x + 2
y = x2,
>solve(x+2=xˆ2,x);
−1, 2
Os pontos de interseção são (−1, 1) e (2, 4).

8.1. ÁREAS 221
Figura 8.6: A região do exemplo 2.
Notemos que x + 2 ≥ x2 se x ∈ [−1, 2]; logo:
>f:=x+2-xˆ2:
>A:=Int(f,x=-1..2)=int(f,x=-1..2);
A :=
2
−1
(x + 2 − x2
) dx =
9
2
3. Calcule a área da região limitada pelos gráﬁcos de y = x2 − x4 e y = x2 − 1.
Calculemos as interseções dos gráﬁcos; em outras palavras, resolvamos o seguinte sistema de
equações:
y = x2 − x4
y = x2 − 1,
>with(RealDomain):
>solve(xˆ2 -xˆ4=xˆ2-1,x):
−1, 1
Os pontos de interseção são (−1, 0) e (1, 0).

Notemos que x2 − x4 ≥ x2 − 1 se x ∈ [−1, 1]:
>f:=1-xˆ4:
>A:=Int(f,x=-1..1)=int(f,x=-1..1);
A =
1
−1
(−x4
+ 1) dx =
8
5
u.a.
4. Calcule a área da região limitada pelos gráficos das seguintes curvas: y2 = a x, a y = x2,
y2 = −a x e a y = −x2 se a > 0.
As curvas são parábolas. O esboço da região é um pouco mais complicado (a = 1):
>with(plots):
>a:= plot(xˆ2, x = -1 .. 1, color = white, filled = true);
>b:= plot(sqrt(x), x = -1 .. 1, color = yellow, filled = true);
>a1:= plot(xˆ2, x = -1 .. 1, color = blue, thickness = 3);
>b1:= implicitplot(yˆ2 = x, x = -1 .. 1, y = -1 .. 1, color = red, thickness = 3);
>c:= plot(-xˆ2, x = -1 .. 1, color = white, filled = true);
>c1:= plot(-xˆ2, x = -1 .. 1, color = blue, thickness = 3);
>d:= plot(sqrt(-x), x = -1 .. 1, color = yellow, filled = true);
>d1:= implicitplot(-yˆ2 = x, x = -1 .. 1, y = -1 .. 1, color = red, thickness = 3);
>e:= plot(-sqrt(x), x = -1 .. 1, color = yellow, filled = true);
>e1 := plot(-sqrt(-x), x = -1 .. 1, color = yellow, filled = true);

8.1. ÁREAS 223
>display(a, a1, b, b1, c, c1, d1, d, e, e1);
Pela simetria da região, podemos calcular a área da região situada no primeiro quadrante e
multiplicar o resultado por 4.
Observemos primeiro que y2 = a x não é função de x. Calculemos a interseção das curvas,
resolvendo o sistema:
y2 = a x
x2 = a y.
>eq1:=yˆ2 =a*x:
>eq2:=subs(y=xˆ2/a,eq1):
>solve(eq2,x);
0, a
são os limites de integração. A região no primeiro quadrante, cuja área queremos calcular é
limitada superiormente pela função f(x) =
√
a x e inferiormente por g(x) = a x2, logo:
>f:=sqrt(a*x):
>g:=a*xˆ2:
>A:=4*Int(f-g,x=0..a)=4*int(f-g,x=0..a);
A := 4
a
0
√
a x −
x2
a
dx =
4 a2
3

Observação Importante
Muitas vezes os problemas ﬁcam mais simples de resolver se integramos em relação a y e não
em relação a x. Podemos repetir o processo de partição num intervalo que ﬁca no eixo dos y e
a obtenção das somas de Riemann.
Seja R a região plana limitada pela direita pela função x = M(y), pela esquerda por x = N(y)
e pelas retas y = c e y = d.
c
M(y)N(y)
d
Figura 8.9: .
Não é difícil provar que se as funções M(y) e N(y) são contínuas em [c, d], então:
A =
d
c
M(y) − N(y) dy
Por isso, para resolver os problemas de área é sempre indicado fazer o desenho da região cor-
respondente.
Exemplo 8.2.
1. Calcule a área da região limitada pelas curvas y2 = 2 x e y = x − 4.
Sejam x = M(y) = y + 4 e x = N(y) =
y2
2
.

8.1. ÁREAS 225
-2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
-2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
>M:=yˆ2 /2 :
>N:=y+4:
>solve(M=N,y);
−2, 4
>A:=Int(N-M,x=-2..4)=int(N-M,x=-2..4);
A :=
4
−2
y + 4 −
y2
2
dy = 18.
2. Calcule a área da região limitada pelas curvas 2 y2 = x + 4 e y2 = x.
Sejam x = M(y) = y2 e x = N(y) = 2 y2 − 4.
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
>M:=2*yˆ2 -4:
>N:=yˆ2:

>solve(M=N,y);
−2, 2
>A:=Int(N-M,y=-2..2)=2*int(N-M,y=0..2);
A :=
2
−2
(4 − y2
) dy =
32
3
3. Calcule a soma das áreas limitadas pela curva y = x sen
x
a
e o eixo dos x, sabendo que
x ∈ [0, n π a], sendo n, a ∈ N.
A =
aπ
0
x sen
x
a
dx −
2aπ
aπ
x sen
x
a
dx + ...... + (−1)n+1
naπ
(n−1)aπ
x sen
x
a
dx.
Vemos que A = A0 + ........ + An−1, onde Ak é a área limitada pela curva, o eixo dos x, se
k a π ≤ x ≤ (k + 1) a π e k = 0, 1...n − 1, ou seja,
>assume(k::integer):
Em versões anteriores ao MAPLE 12, pode ser utilizado:
>assume(k;integer):
>A[k]:=Int(x*sin(x/a), x = k*a*Pi .. (k+1)*a*Pi);
Ak :=
(k+1)aπ
kaπ
x sen
x
a
dx
considerando: Ak =
(k+1)aπ
kaπ
x sen
x
a
dx , se k é ímpar.
>A[k]:=Int(x*sin(x/a), x = k*a*Pi .. (k+1)*a*Pi)=int(x*sin(x/a), x = k*a*Pi .. (k+1)*a*Pi) ;
Ak :=
(k+1)aπ
kaπ
x sen
x
a
dx = (2 k + 1) a2
π

8.2. CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO 227
Logo,
A = a2
π (1 + 3 + 5 + ..... + (2 n − 1)) = a2
n2
π
pois, 1 + 3 + 5 + ..... + (2 n − 1) é soma de termos de uma P.A.
8.2 Cálculo do Comprimento de Arco
Seja a função derivável:
f : [a, b] −→ R.
A porção AB do gráﬁco de f, comprendida entre os pontos: A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)) é
chamado arco.
Nosso interesse é medir o comprimento deste arco. Se a curva é uma reta, para calcular o
comprimento de arco s da reta, compreendido entre os pontos (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)), usamos
o Teorema de Pitágoras e obtemos:
(x2 − x1)2 + (f(x2) − f(x1))2.
Generalizando esta idéia para o gráﬁco da função contínua f, fazemos uma partição de ordem
n do intervalo [a, b]: a = x0 < x1 < ...... < xn = b; denotamos por Qi = (xi, f(xi)), 1 ≤ i ≤ n.
x b=0 i-1 i n
n
i
i-1
1
Q
Q
0
Q
a=x x x
Q
Q
Figura 8.13:
Ligando cada Qi−1 a Qi (1 ≤ i ≤ n) por um segmento de reta, obtemos uma linha poligonal
formada pela reunião dos segmentos de reta. Como sabemos calcular o comprimento de cada
segmento de reta, sabemos calcular o comprimento da poligonal. Intuitivamente, o compri-
mento da poligonal é bastante próximo do comprimento do arco da curva; então:
Ln =
n
i=1
(xi − xi−1)2 + (f(xi) − f(xi−1))2
é o comprimento da poligonal. Aplicando o Teorema do Valor Médio a f em cada subintervalo
[xi−1, xi], vemos que existe ci ∈ (xi−1, xi) tal que f(xi) − f(xi−1) = f′(ci) (xi − xi−1), para cada
i de 1 até n; logo,

Ln =
n
i=1
(xi − xi−1)2 + (f′(ci)(xi − xi−1))2 =
n
i=1
1 + (f′(ci))2 (xi − xi−1)
=
n
i=1
1 + (f′(ci))2 ∆xi,
onde ∆xi = xi − xi−1. Novamente observamos que quando n cresce muito, ∆xi aproxima-se
de zero e Ln aproxima-se do comprimento do arco. Se para cada partição do intervalo [a, b], os
ci são escolhidos como antes, temos que o comprimento do arco AB da curva é:
LAB = lim
|∆xi|→0
n
i=1
1 + (f′(ci))2∆xi.
Se f′(x) é uma função contínua em [a, b], é possível provar que o limite anterior sempre existe
e é igual a L, para qualquer escolha da partição e dos ci. Em tal caso, temos que:
L =
b
a
1 + (f′(x))2 dx
A sintaxe que utilizaremos, é:
>f:=função:
>c:=simplify(diff(f,x)ˆ2 +1);
>cp:=simplify(sqrt(c));
>Int(cp,x=a..b)=int(cp,x=a..b);
Se a curva é o gráﬁco de uma função x = g(y) deﬁnida no intervalo [c, d], com as hipóteses
anteriores, temos que:
L =
d
c
1 + (g′(y))2 dy
>g:=função:
>c:=simplify(diff(g,y)ˆ2 +1);
>cp:=simplify(sqrt(c));
>Int(cp,y=c..d)=int(cp,y=c..d);
As versões mais recentes de MAPLE, tem a seguinte sintaxe para calcular o comprimento de
arco:
>ArcLength(f(x), x = a..b);

8.2. CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO 229
Exemplo 8.3.
1. Calcule o comprimento de arco da curva y =
3
√
x2 entre os pontos (8, 4) e (27, 9).
Figura 8.14: Calculamos o comprimento da parte azul.
>with(plots):
>f:= root(xˆ2, 3);
f :=
3
√
x2
c :=
1
9
4 + 9
3
√
x2
3
√
x2
>cp:= simplify(sqrt(c));
cp :=
1
3
4 + 9
3
√
x2
3
√
x2
>Int(cp,x=8..27)=int(cp,x=8..27);
27
8
1
3
4 + 9
3
√
x2
3
√
x2
dx = −
80
27
√
5
√
2 +
85
27
√
5
√
17
u.c.=unidades de comprimento.
Note que ﬁzemos u = 9
3
√
x2 + 4; logo, du =
6
3
√
x
dx.
2. Calcule o comprimento de arco da curva y =
x4
4
+
1
8 x2
tal que 1 ≤ x ≤ 2.

Figura 8.15: Gráﬁco de y =
x4
4
+
1
8 x2
, calculamos o comprimento da parte azul.
f:=xˆ4 /4+1/(8*xˆ2);
f :=
1
4
x4
+
1
8 x2
c :=
1
16
16 x12 + 8 x6 + 1
x6
cp :=
1
4
(4 x6 + 1)2
x6
>Int(cp,x=1..2)=int(cp,x=1..2);
2
1
1
4
(4 x6 + 1)2
x6
dx =
123
32
u.c.
3. Calcule o comprimento de arco da curva y = ln(cos(x)) tal que 0 ≤ x ≤
π
4
.

8.3. TRABALHO 231
Figura 8.16: Gráﬁco de y = ln(cos(x)), calculamos o comprimento da parte azul.
>f:=ln(cos(x));
f := ln(cos(x))
c :=
1
cos(x)2
>assume(cos(x)>0):
cp :=
1
cos(x)
>Int(cp,x=0..Pi/4)=int(cp,x=0..Pi/4);
1/4 π
0
1
cos(x)
dx = −
1
2
ln(2) + ln(2 +
√
2)
u.c.
8.3 Trabalho
Consideremos uma partícula de massa m que se desloca ao longo de uma reta sob a inﬂuência
de uma força F.
Da segunda lei de Newton, sabemos que F é dada pelo produto da massa pela sua aceleração
a: F = m × a. Se a aceleração é constante, então a força também é constante. O trabalho W
realizado pela partícula para deslocar-se ao longo de uma reta, percorrendo uma distância d é
dado pelo produto da força pela distância:
W = F × d,

W medido em J (Joule).
Se uma força variável y = f(x) (f função contínua ) atua sobre um objeto situado no ponto x
do eixo dos x, o trabalho realizado por esta força quando o objeto se desloca de a até b ao longo
deste eixo, é dado por:
W =
b
a
f(x) dx
W medido em J (Joule).
De fato, suponhamos que a partícula desloca-se ao longo do eixo dos x de x = a até x = b.
Consideremos a função contínua
f : [a, b] −→ R.
Subdividamos o intervalo [a, b] efetuando uma partição de ordem n tal que os subintervalos
[xi−1, xi] têm o mesmo comprimento ∆x = xi − xi−1, para 1 ≤ i ≤ n. Seja ci ∈ [xi−1, xi]; a força
no ponto ci é f(ci). Se ∆x → 0, a função contínua f restrita ao subintervalo [xi−1, xi] é quase
constante (varia muito pouco); então o trabalho Wi realizado pela partícula para mover-se de
xi−1 até xi é:
Wi
∼= f(ci) × ∆x
e o trabalho total Wn, é:
Wn
∼=
n
i=1
f(ci) ∆x.
É possível provar, com rigor matemático, que o seguinte limite sempre existe e é igual ao tra-
balho W realizado pela partícula:
W = lim
n→+∞
Wn = lim
∆x→0
n
i=1
f(ci) ∆x.
E mais ainda, este limite não depende da escolha da partição do intervalo ou da escolha dos
pontos ci.
Exemplo 8.4.
1. Suponha que um partícula é localizada a uma distância de x cm da origem. Uma força de
(x4 + 2 x3 + 3 x2) N age sobre a partícula quando a mesma se move de x = 1 até x = 2. Qual é
o trabalho realizado pela partícula para deslocar-se?
Deﬁnamos:
>f:=xˆ4 +2*xˆ3 +3*xˆ2:
>W:=Int(f,x=1..2)=int(f,x=1..2);

8.3. TRABALHO 233
W :=
2
1
x4
+ 2 x3
+ 3 x2
dx =
207
10
Joules
2. Qual é o trabalho realizado ao se esticar uma mola em 8 cm sabendo que a força de 1 N a
estica em 1 cm? (N=Newton)
De acordo com a lei de Hooke, a força de y N que estica em x m a mola é dada por y = k x,
onde k é uma constante. Como x = 0.01 m e y N = 1 N, temos k = 100 e y = 100 x.
Definamos:
>f:=100*x:
>W:=Int(f,x=0..0.08)=int(f,x=0..0.08);
W :=
0.08
0
100 x dx = 0.32
Joules
3. Energia Cinética: O trabalho realizado por uma força f atuando sobre uma partícula de
massa m que se move de x1 até x2 é W. Usando a segunda lei de Newton, a regra da cadeia e
considerando que v1 e v2 são as velocidades da partículas em x1 e x2, obtemos:
W =
x2
x1
f(x) dx =
m v2
2
v2
v1
=
m (v2
2 − v2
1)
2
,
pois:
f = m a = m
dv
dt
= m v
dv
dx
.
A expressão:
m v2
2
é chamada energia cinética do corpo em movimento com velocidade v.
Logo, o trabalho realizado por uma força f é igual à variação da energia cinética do corpo e o
cálculo desta variação dará o trabalho realizado.
Qualquer fenômeno que possa ser estudado utilizando partições pode ser modelado por inte-
grais definidas. Outras aplicações da integral definida podem ser encontradas nos exercícios.

8.4 Volume de Sólidos de Revolução
Se giramos uma região plana em torno de uma reta, obtemos o que é chamado um sólido de
revolução. A reta em torno da qual a região é girada chama-se eixo de revolução. Por exemplo,
considere a seguinte região no plano:
Figura 8.17:
Girando a região em torno do eixo dos x, obtemos:
Figura 8.18: Sólido gerado pela região.
Exemplo 8.5.
1. Seja R a região limitada pelas curvas y = x, −1 ≤ x ≤ 1 e o eixo dos x.

8.4. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 235
-1 1
-1
1
-1 1
-1
1
Figura 8.19: A região.
Se giramos a região R em torno do eixo dos x, obtemos o sólido:
Figura 8.20: O sólido.
2. Seja R a região limitada pelo gráﬁco de y = sen(x) para x ∈ [0, 2 π] e o eixo dos x.
1 3 6
-1
1
1 3 6
-1
1
Figura 8.21: A região.
Se giramos a região R em torno do eixo dos x, obtemos o sólido:

Figura 8.22:
Se giramos a região R em torno do eixo dos y, obtemos o sólido:
Figura 8.23:
Sintaxe para ageração de sólido de revolução:
>VolumeOfRevolution(função, x = a .. b, output = plot, axis=opção);
As opções são:
axis=horizontal O eixo de revolução é o eixo dos x.
axis=vertical O eixo de revolução é o eixo dos y.
Se não utilizamos a sintaxe axis, o MAPLE assume axis=horizontal.
Clicando o botom direito do mouse sobre o desenho, se abre uma quantidade enorme de opções
para gráﬁcos em 3D.
Os MAPLE mais novos, tem um manipulador iterativo para 3D; a sintaxe é:
>VolumeOfRevolutionTutor(função, x = a .. b);

8.4.1 Cálculo do Volume dos Sólidos
Sejam f : [a, b] −→ R uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 em [a, b] e a região:
R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
Figura 8.24: A região e o sólido, respectivamente.
Fazendo girar a região R ao redor dos eixo dos x , obtemos um sólido de revolução S. Considere
a seguinte partição do intervalo [a, b]:
a = x0 < x1 < x2 < ..... < xn = b.
Como antes, ∆xi = xi − xi−1 é o comprimento de cada subintervalo [xi−1, xi], i variando de 1
até n. Em cada subintervalo [xi−1, xi], escolha ci, i variando de 1 até n. Seja Ri o retângulo de
altura f(ci) e base ∆xi, i variando de 1 até n.
a b
f(x)
x xcii-1 i
R i
Figura 8.25:
Girando Ri em torno do eixo dos x obtemos um cilindro circular reto Ci de volume
f(ci)2
× ∆xiπ.

R i
∆ i
Ci
x
Rj
Cj
∆xj
Figura 8.26:
A soma dos volumes dos n cilindros é:
Vn = π
n
i=1
f(ci)2
∆xi.
Vn é uma aproximação do volume do sólido de revolução, quando ∆xi aproxima-se de 0, ou,
equivalentemente, se n cresce. Intuitivamente estamos “preenchendo” o sólido de revolução
por cilindros de altura pequena, dos quais sabemos efetivamente calcular o volume. Seguindo
o mesmo raciocínio utilizado quando definimos área de uma região plana, temos:
V (S) = lim
|∆xi|→0
π
n
i=1
f(ci)2
∆xi = π
b
a
f(x)2
dx,
se o limite existe.
É possível demonstrar que, se f é contínua, este limite sempre existe e é independente das
escolhas feitas. Se a função f é negativa em algum subconjunto de [a, b], o sólido de revolução
obtido a partir da região limitada pelo gráfico de f, o eixo dos x e as retas x = a e x = b coincide
com o sólido de revolução obtido a partir da região limitada pelo gráfico de |f|, o eixo dos x
e as retas x = a e x = b. O fato de que o integrando f(x)2 ≥ 0, implica em que seja válida a
mesma fórmula para ambos os casos.
11
11
Figura 8.27: As regiões e o sólido, respectivamente.

Figura 8.28:
Proposição 8.1. Sejam f : [a, b] −→ R uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 em [a, b] e a região:
R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
Considere o sólido de revolução S obtido girando a região ao redor do eixo dos x. Então o volume V (S)
do sólido S é:
V (S) = π
b
a
f(x)2
dx
Em geral, este processo, pode ser feito para qualquer região limitada pelos gráﬁcos de funções
contínuas.
Sejam f, g : [a, b] −→ R funções contínuas tais que f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] e a
região:
R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}
a b
f
g
R
Figura 8.29: R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}.
O volume do sólido de revolução S obtido girando R em torno do eixo dos x é:
V (S) = π
b
a
f(x)2
− g(x)2
dx

De forma análoga, sejam M, N : [c, d] −→ R funções contínuas tais que M(y) ≥ N(y) para
todo y ∈ [c, d] e a região:
R = {(x, y) / c ≤ y ≤ d, N(y) ≤ x ≤ M(y)}
0000011111
c
d
M(y)
N(y)
R
Figura 8.30: R = {(x, y) / c ≤ y ≤ d, N(y) ≤ x ≤ M(y)}.
O volume do sólido de revolução obtido girando R ao redor dos eixo dos y é:
V (S) = π
d
c
M(y)2
− N(y)2
dy
Em particular, para a reta x = N(y) = 0, ou seja, o eixo dos y.
V (S) = π
d
c
M(y)2
dy
A sintaxe, para calcular o volume de um sólido de revolução:
>h:=Pi*(f2
-g2
):
>V:=Int(h,x=a..b)=int(h,x=a..b);
Analogamente:
>h:=Pi*(M2
-N2
):
>V:=Int(h,y=c..d)=int(h,y=c..d);
A sintaxe, para calcular automaticamente, o volume de um sólido de revolução:
>VolumeOfRevolution(função, x = a .. b, output = integral, axis=horizontal)
=VolumeOfRevolution(função, x = a .. b,axis=opção);

No caso da região ser limitada por duas curvas, utilizamos:
>VolumeOfRevolution(função1,função2, x = a .. b, output = integral, axis=horizontal)
=VolumeOfRevolution(função1,função2, x = a .. b,axis=opção);
As opções são:
axis=horizontal O eixo de revolução é o eixo dos x.
axis=vertical O eixo de revolução é o eixo dos y.
Se não utilizamos a sintaxe axis, o MAPLE assume axis=horizontal.
Exemplo 8.6.
1. Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos x a região
limitada pela curva y = sen(x), x ∈ [0, 2 π] e o eixo dos x.
1 3 6
-1
1
1 3 6
-1
1
Figura 8.31: Região do exemplo 1.
>h:=Pi*sin(x)ˆ2:
> Int(h, x = 0 .. 2*Pi) = int(h, x = 0 .. 2*Pi);
2 π
0
π (sin (x))2
dx = π2
Utilizando a livraria Student[Calculus1]:
>f:=sin(x):
>VolumeOfRevolution(f, x = 0 .. 2*Pi, output =
integral, axis = horizontal) = VolumeOfRevolution(f, x = 0 .. 2*Pi, axis = horizontal);

2 π
0
π (sin (x))2
dx = π2
Figura 8.32: O sólido do exemplo 1.
limitada pelo gráﬁco de y =
1
√
x (x + 2)
, 1 ≤ x ≤ 4 e o eixo dos x.
>h:=Pi/(sqrt(x)*(x+2))ˆ2:
> Int(h, x = 1 .. 4) = int(h, x = 1 .. 4);
4
1
π
x (x + 2)2
dx = −
1
12
π +
1
4
π ln(2)

>f:=1/(sqrt(x)*(x+2)):
>VolumeOfRevolution(f, x = 1 .. 4, output = integral, axes = horizontal)
= VolumeOfRevolution(f, x = 1 .. 4);
4
1
π
x (x + 2)2
dx = −
1
12
π +
1
4
π ln(2)
limitada pelos gráﬁcos de 4 y = 13 − x2 e 2 y = x + 5.
Figura 8.34: Região do exemplo 3.
>h:=Pi*(((13-xˆ2)/4)ˆ2 -((x+5)/2)ˆ2;
1
16
π (69 − 30 x2
+ x4
− 40 x)
>solve((13-xˆ2)/4 -(x+5)/2=0,x);
−3, 1
> Int(h, x = -3 .. 1) = int(h, x = -3 .. 1);
1
−3
1
16
π (69 − 30 x2
+ x4
− 40 x) dx =
64
5
π
>f:=(13-xˆ2)/4:
>g:=(x+5)/2:
>VolumeOfRevolution(f,g, x = -3 .. 1, output = integral, axes = horizontal)
= VolumeOfRevolution(f,g, x = -3 .. 1);

1
−3
1
16
π (69 − 40 x − 30 x2
+ x4
) dx =
64
5
π
8.4.2 Método das Arruelas
Sejam f : [a, b] −→ R função contínua tal que f(x) ≥ 0 em [a, b] e a região:
R = {(x, y) / 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.
Fazendo girar a região R ao redor dos eixo dos y , obtemos um sólido de revolução S. Se a > 0,
o sólido possui um espaço vazio internamente.
b
y=f(x)
R
x
a
y
Figura 8.36:
Como antes, considere a seguinte partição do intervalo [a, b]: a = x0 < x1 < x2 < ..... < xn = b.
∆xi = xi −xi−1 é o comprimento de cada subintervalo [xi−1, xi], i variando de 1 até n. Em cada
subintervalo [xi−1, xi], escolha:

ci =
xi + xi−1
2
,
o ponto médio do subintervalo [xi−1, xi], i variando de 1 até n. Seja Ri o retângulo de altura
f(ci) e base ∆xi, i variando de 1 até n. Fazendo girar Ri em torno do eixo dos y obtemos uma
arruela cilíndrica Ai de raio médio ci e altura f(ci).
R
y
i
Figura 8.37:
O volume de Ai é 2 π ci f(ci) ∆xi. A soma dos volumes dos n cilindros é:
Vn = 2 π
n
i=1
ci f(ci) ∆xi.
Vn é uma aproximação do volume do sólido de revolução, quando ∆xi aproxima-se de 0, ou
equivalentemente, se n cresce. Intuitivamente estamos “fatiando” o sólido de revolução por
inúmeras arruelas de altura pequena, das quais sabemos efetivamente calcular o volume. Se-
guindo o mesmo raciocínio anterior, temos:
V (S) = lim
|∆xi|→0
2 π
n
i=1
ci f(ci) ∆xi = 2 π
b
a
x f(x) dx,
se o limite existe.
É possível demonstrar que se f é contínua este limite sempre existe e é independente das esco-
lhas feitas. Em geral, este processo pode ser feito para qualquer região limitada pelos gráﬁcos
de funções contínuas.
Sejam f, g : [a, b] −→ R funções contínuas tais que f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], a ≥ 0 e
a região R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}.

a b
f
g
R
Figura 8.38: R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}
O volume do sólido de revolução S obtido girando R em torno do eixo dos y é:
V (S) = 2 π
b
a
x (f(x) − g(x)) dx
A sintaxe, para calcular o volume de um sólido de revolução:
>h:=2*Pi*x*(f-g):
>V:=Int(h,x=a..b)=int(h,x=a..b);
Exemplo 8.7.
1 Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos y a região
limitada pela curva y = (x − 1)2, 0 ≤ x ≤ 2 e o eixo dos x.
>h:=2*Pi*x*(x-1)ˆ2:
>Int(h,x=0..2)=int(h,x=0..2);
2 π
2
0
x (x − 1)2
dx =
4
3
π

2. Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos y a região
limitada pelas curvas y = x3 − 3 x2 + 2 x, 0 ≤ x ≤ 2.
>f:=xˆ3-3*xˆ2+2*x:
>solve(f = 0, x);
0, 2, 1
>h:=2*Pi*x*f:
>Int(h,x=0..2)=int(h,x=0..1)-int(h,x=1..2);
1
0
2 π x2
(x2
− 3 x + 2) dx = 5 π

3. Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos y a região
limitada pelas curvas y = 1 − x6 e y = x4 − 1, 0 ≤ x ≤ 1.
>h:=2*Pi*x*((1-xˆ6) -(xˆ4 -1)):
>with(RealDomain):
>solve((1-xˆ6 )=(xˆ4 -1)),x);
0, 1
>Int(h,x=0..1)=int(h,x=0..1);
V = 2 π
1
0
x (2 − x6
− x4
) dx =
17
12
π

8.5 Exercícios
Áreas
Calcule a área sob o gráﬁco de y = f(x) entre x = a e x = b, esboçando cada região, se:
1. f(x) = 1 − x2, x = −1, x = 1
2. f(x) = x3 − x, x = −1, x = 1
3. f(x) = x3 − 4 x2 + 3 x, x = 0, x = 2
4. Sf(x) =
x − x3
3
, x = −1, x = 1
5. f(x) = ln(x), x = 1, x = e
6. f(x) = cos2(x), x = 0, x = 2 π
7. f(x) = 2
√
x − 1, x = 1, x = 10
8. f(x) = x (x − 5)2, x = 0, x = 1
9. f(x) =
5
√
x + 2
, x = 0, x = 5
10. f(x) = x
√
4 x2 + 1, x = 0, x = 2
11. f(x) = |x|, x = −2, x = 6
12. f(x) = (x + 1)3 + 1, x = −2, x = 0
13. f(x) = x2 + 2 x, x = −1, x = 3
14. f(x) = x4 − x2, x = −1, x = 1
Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
1. y = sen(x), y = cos(x), x = 0, x =
π
2
2. y = cos(x), y = 1 − cos(x), x = 0, x =
π
2
3. y = x2 + 1, y = x + 1
4. y = x2 − x, y = sen(π x), x = −1, x = 1
5. y = x2, y = −x + 2
6. y = |x|, y = (x + 1)2 − 7, x = −4
7. y = ln(|x|), |y| = 3
8. y = cosh(x), y = senh(x), x = ±1
9. y = ln(x), x = 1, y = 4
10. y = x4 − 2 x2, y = 2 x2
11. y = cos(x), y = cos2(x), 0 ≤ x ≤ π
12. y = ex, y = e2x−1, x = 0
13. 2 y (1 + y2)3 − x = 0, y = 0, y = 1
14. y =
8
x2
, y = x, y = 8x, x > 0

15. y = x (x − 3), y = x (3 − x)
16. y =
1 − x
1 + x
, x = 0, x = 1, y = 0
17. y =
sen(2 x)
2
, y =
sen(2 x)
2
+ sen(2 x), 0 ≤ x ≤ π
18. y (x2 + 4) = 4(2 − x) e os eixos coordenados
19. y =
1 − x2
1 + x2
e o eixo dos x
20. x − 4y2 − y4 = 0 e o eixo dos y
21. y =
1
(2x + 1)2
, x = 1, x = 2
22. y =
1
√
2x + 1
, x = 0, x = 4
23. y = e−x, y = x + 1, x = −1
24. y = e−x, y =
√
x + 1, x = 1
25. y = ex, y = 10x, y = e
26. y = −x3 + 2 x2 + 3 x, y = −5 x
27. x2 y = 3, 4 x + 3 y − 13 = 0
28. x = y (y − 3)2, x = 0
29. y = x4 − 3 x2, y = x2
30. x = 1 − y2, x = y2 − 1
31. y = x e−x, y = 0, x = 0, x = c, onde c é a abscissa do ponto de inﬂexão da curva
32. x2 − 2 y + y2 = 0, x2 + y2 = 1
33. x = 3 y, x + y = 0 e 7 x + 3 y = 24
34. x2
= 4 y, y =
8
x2 + 4
Comprimento de Arco
Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
1. y = 5 x − 2; (−2, −12) e (2, 8)
2. 12 x y = 4 x4 + 3; (1,
7
12
) e (3,
109
12
)

3. x −
y3
3
−
1
4 y
= 0; (
7
12
, 1) e (
67
24
, 3)
4. y = ln(x); (x, y) tal que
√
3 ≤ x ≤
√
8
5. y =
1
6
x3
+
3
x
; (1,
2
3
) e (3,
14
3
)
6. x
2
3 + y
2
3 = 2
2
3
7. y =
1
3
(x2
+ 2)
3
2 ; (x, y) tal que 0 ≤ x ≤ 1
8. y =
x
4
√
t − 1 dt, do ponto (4, 0) até (9,
9
4
√
t − 1 dt)
9. y =
x
0
t t2 + 2 dt, do ponto (0, 0) até (2,
2
0
t t2 + 1 dt)
10. y =
x
1
t4 + t2 − 1 dt, do ponto (1, 0) até (3,
3
1
t4 + t2 − 1 dt)
11 y =
√
x3, do ponto (0, 0) até (1, 1)
11. y =
3
√
x2, do ponto (0, 0) até (1, 1)
12. y =
x4
8
+
1
4x2
, de x = 1 até x = 3
13. y =
2
3
x
3
2 −
√
x
2
, de x = 1 até x = 4
14. y = ln(sen(x)), de x =
π
3
até x =
π
2
15. y = ln(sec(x)), de x = 0 até x =
π
3
16. y = (1 − x
2
3 )
3
2 , de x =
1
8
até x = 1
17. y = ln(cos(x)) de x = 0 a x = π
4
18. y = 2
√
x de x = 1 a x = 2
19. y = arcsen(e−x) de x = 0 a x = 1
Trabalho
1. Uma partícula move-se ao longo do eixo dos x do ponto a até o ponto b sob a ação de
uma força f(x), dada. Determine o trabalho realizado, sendo:
(a) f(x) = x3 + 2 x2 + 6 x − 1; a = 1, b = 2

(b) f(x) = 8 + 2 x − x2; a = 0, b = 3
(c) f(x) =
x
(1 + x2)2
; a = 1, b = 2
(d) f(x) = (x3 + 2 x2 + 1) (3 x2 + 4); a = 0, b = 1
(e) f(x) = x2 sen(x); a = 0, b =
π
2
(f) f(x) = sen(x) + cos(x); a = 0, b = π
(g) f(x) = e−x sen(x); a = 0, b = 50 π
2. Uma bola de ferro é atraída por um imã com uma força de 12 x−2 N quando a bola está
a x metros do imã. Qual o trabalho realizado para empurrá-la no sentido contrário ao do
imã, do ponto onde x = 2 ao ponto onde x = 6?
3. Uma partícula está localizada a uma distância de x metros da origem. Se uma força de
(x2 + 2 x) N é aplicada sobre a partícula. Qual é o trabalho realizado para mover a partí-
cula de x = 1 até x = 3?
4. Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo dos x atua uma força cuja componente
na direção do deslocamento é f(x) =
2
x2
. Calcule o trabalho realizado pela força quando
a partícula se desloca de x = 1 até x = 2.
5. Uma mola tem comprimento de 25 cm e uma força de 54 N a estica 1.5 cm. Qual é o
trabalho realizado para esticar a mola de 25 cm a 45 cm?
6. Um imã atrai uma bola de ferro com uma força de f(x) =
15
x2
N quando a bola está a x
metros do imã. Calcule o trabalho realizado para empurrá-la no sentido contrário ao do
imã de um ponto onde x = 3 a um ponto onde x = 5.
7. Uma mola suportando um carro tem comprimento de 38 cm e uma força de 36000 N a
comprime 1.5 cm. Calcule o trabalho realizado para comprimí-la de 38 cm a 12 cm.
8. Duas cargas elétricas e1 = 100 e e2 = 200 se encontram no eixo dos x, respectivamente
nos pontos x0 = 0 e x1 = 1 cm. Calcule o trabalho realizado para mover a segunda carga
até o ponto x2 = 10 cm. Sugestão: Use a segunda lei de Coulomb.
9. Quando um gás se expande mum pistão cilíndrico de raio r, em qualquer instante de
tempo a pressão é função do volume P = P(V ). A força exercida pelo gás sobre o pistão
é o produto da pressão pela área do pistão F = π r2 P.

Figura 8.45:
Verifique que o trabalho realizado pelo gás quando o volume se expande de V1 a V2 é:
W =
V2
V1
P dV.
10. Centro de massa: Intuitivamente o centro de massa P de uma lâmina fina é o ponto
da lâmina onde, se a levantamos a partir de P paralelamente a um plano horizontal ela
permanece paralela (em equilíbrio) em relação ao plano onde foi levantada. F = π r2 P.
P
Figura 8.46:
Considere uma lâmina com densidade uniforme no plano dada por:
R = {(x, y) ∈ R2
/ a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)},
onde f e g são funções contínuas em [a, b]. Pesquise na bibliografia e verifique que o
centro de massa da lâmina, chamado de centróide de R, é o ponto (x, y) tal que:
x =
1
A
b
a
x f(x) − g(x) dx, y =
1
2A
b
a
f2
(x) − g2
(x) dx,
onde A é a área de R. Determine o centróide da lâmina R, determinada por:
(a) y = x, y = x2
(b) y = 3 x + 5, y = 0, x = −1 e x = 2
(c) y = cos(2 x), y = 0 e x = ±
π
4

Volumes de Revolução
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x,
da região limitada pelas seguintes curvas:
11. y = x + 1, x = 0, x = 2, y = 0
12. y = x2 + 1, x = 0, y = 0, x = 2
13. y = x2, y = x3
14. y = cos(x), y = sen(x), x = 0, x =
π
4
15. x + y = 8, x = 0, y = 0
16. y = x4, y = 1, x = 0
17. x y = 1, x = 2, y = 3
18. x2 = y3 e x3 = y2
19. y = cos(2 x), 0 ≤ x ≤ π
20. y = x ex, y = 0 e x = 1
21. O triângulo de vértices (0, 0), (0, 2) e (4, 2)
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y,
22. y = ln(x), y = −1, y = 2, x = 0
23. y = 4 − x2, no primeiro quadrante
24. x = 1 + sen(y), x = 0, y = ±
5π
2
25. y2 = 4x, y = 0 e x = 4
26. y = 1 −
1
x4
, x = 1, y = 0 e y = 15
16
27. 9 x2 + 16 y2 = 144
28. y = x2 + 1, x = 0 e x = 2
29. y2 = x, x = 2 y
30. y =
√
x2 + 1, x = 0 e x = 2
31. y = 4
√
4 − x2, x = 0 e x = 1
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno a reta indicada,

32. 2 x + y = 2 e o eixo dos x
33. y = ex, 1 ≤ x ≤ 2; a reta y = 1
34. y = x4, y = 1; a reta y = 2
35. y =
√
x, y = 1 a reta y = 1
36. y = 4 − x2, no primeiro quadrante; a reta x = 2
37. y = 2 x − x2; a reta y = 0
38. y = 4 − x2, y = 2; a reta y = 2
39. y =
√
x, y = 0 e x = 9; a reta x = 9

Capítulo 9
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
9.1 Introdução
Na definição de integral definida, consideramos a função integranda contínua num intervalo
fechado e limitado. Agora, estenderemos esta definição para os seguintes casos:
Funções definidas em intervalos do tipo [a, +∞), (−∞, b] ou (−∞, +∞), ou seja para todo
x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ∈ R, respectivamente.
A função integranda é descontínua em um ponto c tal que c ∈ [a, b].
As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias são
de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equa-
ções diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, em
Estatística.
9.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
Antes de enunciar as definições estudemos o seguinte problema:
Problema: Calcular a área da região R determinada pelo gráfico de:
f : [1, +∞) −→ R
tal que f(x) =
1
x2
e o eixo dos x.
Primeiramente note que a região R é ilimitada e não é claro o significado de "área"de uma tal
região.
257

258 CAPÍTULO 9. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Figura 9.1: Gráfico de y = f(x).
Seja Rb a região determinada pelo gráfico de y =
1
x2
e 1 ≤ x ≤ b, acima do eixo dos x.
11
Figura 9.2: Gráfico de y = f(x), 1 ≤ x ≤ b.
A área de Rb é:
A(Rb) =
b
1
dx
x2
= −
1
x
b
1
= 1 −
1
b
.
É intuitivo que para valores de b, muito grandes, a área da região limitada Rb é uma boa apro-
ximação da área da região ilimitada R. Isto nos induz a escrever:
A(R) = lim
b→+∞
A(Rb),
quando o limite existe. Neste caso:
A(R) = lim
b→+∞
A(Rb) = lim
b→+∞
b
1
dx
x2
= lim
b→+∞
(1 −
1
b
) = 1 u.a.
É comum denotar A(R) por:
+∞
1
dx
x2
.

9.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 259
Esta integral é um exemplo de integral imprópria com limite de integração infinito. Motivados
pelo raciocínio anterior temos as seguintes definições:
Definição 9.1.
1. Se f é uma função integrável em [a, +∞), então:
+∞
a
f(x) dx = lim
b→+∞
b
a
f(x) dx
2. Se f é uma função integrável em (−∞, b], então:
b
−∞
f(x) dx = lim
a→−∞
b
a
f(x) dx
3. Se f é uma função integrável em R = (−∞, +∞), então:
+∞
−∞
f(x) dx = lim
a→−∞
0
a
f(x) dx + lim
b→+∞
b
0
f(x) dx
Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes;
caso contrário são ditas divergentes.
A sintaxes que podemos utilizar são:
>f:=função:
>Int(f,x=a..infinity)=int(f,x=a..infinity);
>Int(f,x=-infinity..b)=int(f,x=-infinity..b);
>Int(f,x=-infinity..infinity)=int(f,x=-infinity..infinity);
Ou alternativamente:
>f:=função:
>Int(f,x=a..infinity)=limit(int(f,x=a..b),b=infinity);
>Int(f,x=-infinity..b)=limit(int(f,x=c..b),c=-infinity);
Exemplo 9.1.
Calcule as seguintes integrais impróprias:
1.
+∞
0
dx
1 + x2
.
>f:=1/(1+xˆ2):

>Int(f,x=0..infinity)=limit(int(f,x=0..b),b=infinity);
+∞
0
1
1 + x2
dx =
π
2
2.
+∞
0
e−x
dx.
>f:=exp(-x):
∞
0
e−x
dx = 1
3.
+∞
−∞
e−x
dx.
Figura 9.3: Gráfico de f(x) = e−x.
+∞
−∞
e−x
dx =
0
−∞
e−x
dx +
+∞
0
e−x
dx
>f:=exp(-x):
∞
0
e−x
dx = 1
>Int(f,x=-infinity..0)=limit(int(f,x=c..0),c=-infinity);
0
−∞
e−x
dx = ∞
logo; a integral diverge.

9.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 261
4. Calcule a área da região, no primeiro quadrante, determinada pelo gráfico de y = 2−x, o eixo
dos x e à direita do eixo dos y.
Figura 9.4: Gráfico de y = 2−x.
>f:=1/2ˆx:
>A(R):=Int(f,x=0..infinity)=limit(int(f,x=0..b),b=infinity);
A(R) =
∞
0
(2x
)−1
dx = (ln (2))−1
u.a.
5. Seja p ∈ R. Calcule
+∞
1
dx
xp
.
b
1
dx
xp
=
1
1 − p
(b1−p
− 1), p = 1
De fato:
>f:=1/xˆp:
>assume(p<>-1,b>0):
>int(f,x=1..b);
−
−1 + b−p+1
p − 1
a) Se p > 1:
>assume(p>1):
∞
1
(xp
)−1
dx = (p − 1)−1

b) Se p < 1:
>assume(p<1):
∞
1
(xp
)−1
dx = ∞
c) Se p = 1
>Int(1/x,x=1..infinity)=limit(int(1/x,x=1..b),b=infinity);
∞
1
x−1
dx = ∞
Em geral:
+∞
1
dx
xp
=



∞ se p ≤ 1
1
p − 1
se p > 1.
Portanto, a integral converge para p > 1 e diverge para p ≤ 1.
Muitas vezes não é possível calcular o valor exato de uma integral imprópria, mas, podemos
indagar se uma integral imprópria converge ou diverge.
Proposição 9.1. Sejam f e g funções integráveis em [a, +∞) tais que f(x) ≥ g(x) > 0 para todo
x ≥ a.
1. Se
+∞
a
f(x) dx converge, então
+∞
a g(x) dx converge.
2. Se
+∞
a
g(x) dx diverge, então
+∞
a
f(x) dx diverge.
A prova, segue diretamente das definições. Seja f(x) ≥ 0, para todo x ≥ a. Para mostrar a con-
vergência da integral de f, é preciso que f seja menor que uma função cuja integral converge.
Para mostrar a divergência da integral de f, é preciso que f seja maior que uma função cuja
integral diverge.
Exemplo 9.2.
1. Analise a convergência da integral:
+∞
1
sen(x) + 2
√
x
dx.

9.3. VALOR PRINCIPAL DE UMA INTEGRAL IMPRÓPRIA 263
Figura 9.5: Gráfico de sen(x)+2√
x
.
>f:=(sin(x)+2)/sqrt(x):
>Int(f, x = 1 .. infinity) = limit(int(f, x = 1 .. b), b = infinity);
∞
1
sin (x) + 2
√
x
dx = ∞
De fato, considere a seguinte desigualdade:
1
√
x
=
−1 + 2
√
x
≤
sen(x) + 2
√
x
.
Por outro lado:
+∞
1
2
√
x
dx diverge; logo, pela proposição, parte 2, temos que a integral dada
diverge.
9.3 Valor Principal de uma Integral Imprópria
Consideremos a integral imprópria:
+∞
−∞
f(x) dx.
Chamamos de valor principal da integral imprópria ou valor principal de Cauchy ao limite:
lim
a→+∞
a
−a
f(x) dx
se o limite existe. Nesse caso, dizimos que a integral converge no sentido de Cauchy. A notação
que utilizaremos é:
V P
+∞
−∞
f(x) dx.
Observações 9.1.

1. Se a integral imprópria converge, então integral imprópria converge no sentido de Cau-
chy. Porém, a reciproca não é verdadeira. De fato, considere:
V P
+∞
−∞
x dx.
Sabemos que a integral imprópria
+∞
−∞
x dx diverge. Por outro lado:
V P
+∞
−∞
x dx = lim
a→+∞
a
−a
x dx = 0.
2. A diferença entre a integral imprópria e o valor principal da integral imprópria é a se-
guinte:
Na definição de integral imprópria a maneira como a → −∞ é independente da forma
como b → +∞. Isto é, os extremos a e b das integrais são fixadas de forma arbitrária, sem
que deva haver alguma relação entre elas. Já na definição do valor principal da integral
imprópria os extremos são fixados de modo a serem simétricos.
3. Se f é ímpar, então:
V P
+∞
−∞
f(x) dx = 0 e
+∞
−∞
f(x) dx diverge.
4. Se f é par e a integral imprópria converge no sentido de Cauchy, então a integral impró-
pria converge e:
+∞
−∞
f(x) dx = 2
+∞
0
f(x) dx = V P
+∞
−∞
f(x) dx.
Se f é uma função contínua em [a, c) ∪ (c, b], a < c < b e tal que:
lim
x→c+
|f(x)| = lim
x→c−
|f(x)| = +∞.
O valor principal de Cauchy é definido por:
lim
ε→0+
c−ε
a
f(x) dx +
b
c+ε
f(x) dx
quando o limite existe.

9.4. FUNÇÃO GAMA 265
9.4 Função Gama
Se x > 0, a função Gama é deﬁnida e denotada por:
Γ(x) =
+∞
0
tx−1
e−t
dt.
Figura 9.6: Gráﬁco de Γ[x], x > 0.
>GAMMA(x);
Γ(x)
Exemplo 9.3.
1. Calcule Γ(1), Γ(5) e Γ(10)
Digitemos:
>f:=x->GAMMA(x);
f := x → Γ(x)
Logo:
>f(1);f(5);f(10);
1
24
362880
2. Calcule Γ
1
2
e Γ
1
3

Digitemos:
>g:=x->GAMMA(x);
g := x → Γ(x)
Logo:
>g(1/2);
√
π
>g(1/3);
2
3
π
√
3
Γ(2/3)
>evalf(% );
2.678938537
Não é difícil ver que, utilizando integração por partes, obtemos:
Γ(x + 1) = x Γ(x).
Em particular, se n ∈ N, temos que:
Γ(n + 1) = n Γ(n) = n (n − 1) Γ(n − 1) = n (n − 1) . . . 2 × 1 × Γ(1).
Como:
Γ(1) =
+∞
0
e−t
dt = 1.
Logo, se n ∈ N, temos que:
Γ(n + 1) = n!
Por outro lado, para x > 0 temos:
Γ(x) =
1
x
Γ(x + 1).
Deﬁnamos primeiramente a função Γ, para −1 < x < 0, por:
Γ(x) =
1
x
Γ(x + 1).

9.4. FUNÇÃO GAMA 267
Exemplo 9.4.
1. Calcule Γ(−0.2):
Γ(−0.2) = −
1
0.2
Γ(−0.2 + 1) = −
1
0.2
Γ(0.8).
No MAPLE:
>restart;
>f:=x->GAMMA(x+1)/x;
f := x →
Γ(x)
x
>f(-0.2);
29.10574284
Logo, podemos deﬁnir a função Γ, para −2 < x < −1 por:
Γ(x) =
1
x
Γ(x + 1).
Exemplo 9.5.
1. Calcular Γ(−1.2)
Γ(−1.2) = −
1
1.2
Γ(−1.2 + 1) = −
1
1.2
Γ(−0.2) =
1
0.2
1
1.2
Γ(0.8).
No MAPLE:
>f(-1.2);
−4.042464284
Continuando este processo, podemos deﬁnir a função Γ, para x < 0 por:
Γ(x) =
1
x
Γ(x + 1).

9.5 Probabilidades
Uma função f : R −→ R positiva e integrável é chamada função de densidade de probabilidade
se:
+∞
−∞
f(x) dx = 1
Assim denotamos e definimos a probabilidade de um número x estar comprendido entre a e b
(a < b); por:
P(a < x < b) = P(a ≤ x ≤ b) =
b
a
f(x) dx
Analogamente definimos as outras possibilidades:
P(a < x) = P(a ≤ x) =
+∞
a
f(x) dx
P(x < b) = P(x ≤ b) =
b
−∞
f(x) dx
Também podemos definir o valor esperado ou esperança do número x, como
E(x) =
+∞
−∞
x f(x) dx,
onde f é a função de densidade de probabilidade. Por exemplo, se f mede o lucro de uma
carteira de ações, a esperança é o lucro esperado que pode propocionar tais ações.
E a variância do número x é definida por:
V (x) =
+∞
−∞
x − E(x)
2
f(x) dx
A variável independente x é chamada variável aleatória contínua (v.a.c.) A variância mede a
dispersão ou espalhamento dos pontos ao redor da média. Por exemplo, se temos uma carteira
de ações, a variância mede o risco das ações.
Não é difícil verificar que:
V (x) = E(x2
) − E(x)
2
.
O desvio padrão de uma função de densidade de probabilidade é definido e denotado por:
σx = V (x).
σx fornece uma medida de dispersão da distribuição dos valores de x.
As sintaxes que utilizaremos, são:

9.5. PROBABILIDADES 269
>f:=função:
>P(a < = x <= b) := int(f, x = a .. b);
>P(a < = x) := int(f, x = a .. infinity);
>E :=int(x*f, x = -infinity .. infinity);
>V:=int((x-E)ˆ2,x=-infinity..infinity);
>sigma: =sqrt(V);
Exemplo 9.6.
1. Seja:
f(x) =



0 se 0 > x
a x se 0 ≤ x ≤
1
2
a (1 − x) se
1
2
≤ x ≤ 1
0 se x > 1.
(a) Determine a constante a tal que f seja uma função de densidade de probabilidade.
(b) Calcule P(x ≤
1
2
) e P(
1
2
≤ x ≤
3
4
) .
(c) Determine E(x), V (x) e σx.
(a) Devemos ter:
+∞
−∞
f(x) dx = 1;
logo:
>Int(f(x),x=0..infinity)=int(a*x,x=0..1/2)+int(a*(1-x),x=1/2..1);
+∞
−∞
f(x) dx =
a
4
então,
a
4
= 1 e a = 4:
>f:= piecewise(x < 0, 0, 0 <= x and x < 1/2, 2*x, 1/2 <= x and x <= 1, x > 1, 0);
f :=



0 x < 0
4 x 0 ≤ x and x < 1/2
4 (1 − x) 1/2 ≤ x and x ≤ 1
0 otherwise

0.5 0.5 1.0 1.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 9.7: Gráfico da distribuição f.
(b) Calculamos:
>P(x<=1/2):=int(4*x,x=0..1/2);
P(x ≤
1
2
) :=
1
2
>P(1/2 <=x<=3/4):=int(4*(1-x),x=1/2..3/4);
P(
1
2
≤ x ≤
3
4
) :=
3
8
.
(c) Calculamos:
>E:=int(x*f,x=-infinity..infinity);
E(x) :=
1
2
.
Determinemos:
>V:=int(f*(x-E)ˆ2),x=-infinity..infinity) ;
V :=
1
24
.
Finalmente:
>sigma:=evalf(sqrt(V)));
σ := 0.204124
2. Se a venda de cimento (em toneladas), de uma fábrica segue a seguinte função de densidade
de probabilidade:
f(x) =



3
2
(1 − x2) se 0 ≤ x ≤ 1
0 outro caso.

Qual é valor esperado de vendas? Determine o desvio padrão.
>f := piecewise(0 <= x and x <= 1, 3/2*(1-xˆ2));
f :=
3/2 − 3/2 x2 0 ≤ x and x ≤ 1
0 otherwise
O valor esperado é:
>E:= int(f*x, x = -infinity .. infinity);
E :=
3
8
∼= 0.375.
Por outro lado:
>V:=int(f*(x-E)ˆ2, x = -infinity .. infinity);
V :=
19
320
Como :
>sigma:=sqrt(V);
σ := 0.24366
A fábrica venderá mais ou menos 0.244 toneladas de cimento.
9.5.1 Distribuição Uniforme
Definimos a função densidade de probabilidade da distribuição uniforme sobre o intervalo
[a, b], por:
f(x) =



1
b − a
se a ≤ x ≤ b
0 outro caso
Observe que:
+∞
−∞
f(x) dx =
1
b − a
b
a
dx = 1.

Figura 9.8: Gráﬁco da distribuição f.
O valor esperado do número x:
E =
a + b
2
.
A variância:
V =
(b − a)2
12
.
O desvio padrão:
σx =
b − a
√
12
.
Exemplo 9.7.
1. Um ponto é escolhido aleatóriamente no intervalo [0, 10]. Determine a probabilidade que
que o ponto escolhido esteja entre 8 e 8.6.
Deﬁnimos a função densidade de probabilidade da distribuição uniforme sobre o intervalo
[0, 10], por:
>f:= piecewise(0 <= x and x <= 10, 1/10);
f(x) =



1
10
0 ≤ x and x ≤ 10
0 otherwise
Logo:
>P(8≤ x≤ 8.5):=int(f,x=8..8.6);
P(8 ≤ x ≤ 8.5) :=
0.6
10
∼= 0.06.
[2] Suponha que a v.a.c. tem distribuição uniforme com esperança igual a 4 e a variância igual
4
3
. Determine P(x ≤ 4) e P(3 ≤ x ≤ 4).

Sabemos que E(x) =
a + b
2
= 4 e V (x) =
(b − a)2
12
=
4
3
, logo:
eq1 := a + b = 8
eq2 := b − a = 4.
>solve({eq1,eq2},{a,b});
{a = 2, b = 6}
Então:
>P(x ≤ 4):=int(f,x=2..4);
P(x ≤ 4) :=
1
2
=⇒ 50%
E
P(3 ≤ x ≤ 4):=int(f,x=3..4);
P(3 ≤ x ≤ 4) :=
1
4
=⇒ 25%.
[3] Um atacadista vende entre 100 e 200 toneladas de grãos, com distribuição uniforme de
probabilidade. Sabe-se que o ponto de equilíbrio para esta operação corresponde a uma venda
de 130 toneladas. Determine a esperança, a variância e a probabilidade de que o comerciante
tenha um prejuízo em um determinado dia.
Note que a = 100 e b = 200, então:
E :=
100 + 200
2
= 150
V :=
(200 − 100)2
12
= 833.3.
Como o equilíbrio (não se perde nem se ganha) acontece quando vende 130 toneladas, devemos
calcular:
P(x < 130) :=
130
100
dx
100
=
30
100
= 0.3.
Isto é, tem uma probabilidade de 30%.
9.5.2 Distribuição Exponencial
Esta função de densidade de distribuição é frequentemente utilizada para determinar a vida
útil de equipamentos eletrônicos e do tempo entre ocorrências de eventos sucessivos, como por
exemplo, o tempo entre chegadas de clientes a uma agência bancária.
Deﬁnimos a função densidade de probabilidade da distribuição exponencial de parâmetro α,
por:
f(x) =
α e−αx se x > 0
0 se x ≤ 0,

α > 0. Observe que f(x) ≥ 0, para todo x.
Figura 9.9: Gráﬁco da distribuição exponencial.
Note que:
+∞
−∞
f(x) dx = 1.
Por outro lado, a probabilidade de que um número x ∈ (a, b) é:
P(a ≤ x ≤ b) = α
b
a
e−αx
dx = e−a α
− e−b α
O valor esperado do número x:
E =
1
α
.
A variância:
V =
1
α2
.
O desvio padrão:
σx =
1
α
.
Exemplo 9.8.
1. Para determinado tipo de baterias de telefone celular, a função de densidade de probabi-
lidade onde x horas é o tempo de vida útil de uma bateria escolhida aleatoriamente é dada
por:
f(x) =



e−x/20
20
se x > 0
0 se x ≤ 0.
Determine a probabilidade de que uma bateria escolhida aleatoriamente tenha um tempo de
vida útil entre 10 a 15 horas e de uma que funcione pelo menos 50 horas. Determine a esperança
e a variância.
Digitemos:

>f:= piecewise(0 <= x, (1/20)*exp(-(1/20)*x));
f :=



1
20
e−x/20 x > 0
0 otherwise
Devemos calcular P(10 ≤ x ≤ 15) e P(x ≥ 50), então:
>P(10 ≤ x ≤ 15):=int(f,x=10..15);
P(10 ≤ x ≤ 15) := 0.134
aproximadamente, 13.4%.
>P(x ≥50):=int(f,x=50..inﬁnity);
P(x ≥ 50) := 0.082
Aproximadamente 8.2%. Determinemos a esperança e a variância:
E = 20 e V = 400.
Figura 9.10: Gráﬁco da distribuição exponencial do exemplo [1].
2. O tempo de espera entre o pedido de atendimento num banco é uma v.a.c. com distribuição
exponencial, com tempo médio de espera igual a 10 minutos. Determine a probabilidade do
tempo de espera superior a 10 minutos. Ache a esperança e a variância.
Note que E =
1
α
=
1
10
= 0.1. Logo, digitemos:
>f:= piecewise(0 <= x, 0.1*exp(-0.1*x));
f :=
0.1 e−0.1x x > 0
0 otherwise
Devemos calcular P(10 ≤ x)

>P(10 ≤ x ):=int(f,x=10..infinity);
P(10 ≤ x) := e−1
aproximadamente, 36.8%, e:
E = 10 min. e V = 100 min.
9.5.3 Distribuição de Pareto
É uma distribuição frequentemente utilizada em Economia no estudo da distribuição de renda
de uma população.
Definimos a função de densidade de probabilidade da distribuição de Pareto, por:
f(x) =



α βα
xα+1
se x ≥ β
0 se x < β.
α > 1 e β > 0. O parâmetro β pode ser interpretado como a renda mínima de uma população
e o parâmetro α pode ser interpretado como a dispersão da renda.
Note que:
+∞
−∞
f(x) dx = 1.
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 9.11: Gráfico de f, para α = 3/2 e β = 1/2.
A esperança, a veriância e o desvio padrão, são:

E =
α β
α − 1
V =
α β2
(α − 1)2 (α − 2)
σx =
β
α − 1
α
α − 2
.
Exemplo 9.9.
1. Uma distribuição de Pareto tem esperança e variância 2 e
1
2
, respectivamente.
(a) Determine a distribuição.
(b) Calcule P(x ≥ 10).
(a) Temos:
E :=
α β
α − 1
= 2
V :=
α β2
(α − 1)2 (α − 2)
=
1
2
>solve({E,V},{alpha ,beta});
{α = −2, β = 3}, {α = 4, β =
3
2
}
logo, como α > 1 temos β =
3
2
e α = 4, e:
>f:=piecewise(x >= 3/2, 81/(4*xˆ5));
f :=



81
4 x5
x ≥
3
2
0 otherwise
(b) Calculamos:
P(x>= 10):=int(f,x=10..inﬁnity);
P(x ≥ 10) := 0.00050625.
2. Numa população a renda é distribuida segundo uma distribuição de Pareto, com α = 3 e
β = 1000.

(a) Qual é a probabilidade de que uma pessoa ganhe mais de 5000 u.m?
(b) Qual é a probabilidade de que uma pessoa ganhe entre 2000 e 3000 u.m?
(c) Qual é a probabilidade de que uma pessoa ganhe abaixo da média u.m?
Digitemos:
>f:= piecewise(x >= 1000, 3*1000ˆ3/xˆ4);
f :=



3000000000
x4
1000 ≤ x
0 otherwise
(a) Calculamos:
>P(x>= 5000):=int(f,x=5000..inﬁnity);
P(x ≥ 5000) :=
1
125
>evalf(%);
0.008
Logo, 0.8%
(b) Calculamos:
>P(2000 <= x<= 3000):=int(f,x=2000..3000);
P(2000 ≤ x ≤ 3000) :=
19
216
>evalf(%);
0.087963
Logo, 8.79 %
(c) Calculamos:
>E:=int(f*x,x=1000..inﬁnity);
E := 1500
logo:
>P(x<1500):=int(f,x=1000..1500);
P(x < 1500) :=
19
27
.
>evalf(%);

0.703704
Logo, 70.37 %
3. Se em duas cidades, as respectivas rendas seguem as seguintes distribuições de Pareto,
respectivamente:
f1(x) =



4 × 10004
x5
se x ≥ 1000
0 se x < 1000
f2(x) =



5 × 12005
x6
se x ≥ 1200
0 se x < 1200.
(a) Qual é o renda médio de cada cidade e o desvio padrão?
(b) Em qual cidade é mais provavel que uma pessoa ganhe mais de 2000 u.m?
(c) Em qual cidade é mais provavel que uma pessoa ganhe entre 2000 e 3000 u.m?
500 1000 1500 2000 2500
0.001
0.002
0.003
0.004
Figura 9.12: Gráﬁco de f1 e f2, respectivamente.
>f1:=piecewise(x >= 1000, 4*1000ˆ4/xˆ5);
f1 :=



4000000000000
x5
x ≥ 1000
0 otherwise
>f2:=piecewise(x >= 1000, 5*1200ˆ5/xˆ6);
f2 :=



12441600000000000
x6
x ≥ 1200
0 otherwise

Denotemos por Ei a média relativa á distribuição fi; analogamente as outras quantidades.
(a) Sabemos que E =
α β
α − 1
; logo:
E1 :=
4000
3
= 1333.33 e E2 := 1500.
Por outro lado, o desvio padrão é: σx =
β
α − 1
α
α − 2
; logo:
σ1 = 471.405 e σ2 = 387.298.
Na segunda cidade é provável que se ganhe, em média, mais.
(b) Digitamos:
>P1(2000<x):=int(f1,x=2000..infinity);
P1(2000 < x) :=
1
16
>evalf(%);
0.0625
>P1(2000<x):=int(f2,x=2000..infinity);
P2(2000 < x) :=
243
3125
=
>evalf(%);
0.07776
Na segunda cidade é provável que se ganhe, em média, mais de 2000 u.m.
(c)
Digitamos:
>P1(2000<=x<=3000):=int(f1,x=2000..3000);
P1(2000 ≤ x ≤ 3000) :=
65
1296
>evalf(%);
0.05015435
>P2(2000<=x<=3000)=int(f2,x=2000..infinity);
P2(2000 ≤ x ≤ 3000) :=
211
3125
>evalf(%);
0.06752

9.6. DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA 281
9.6 Distribuição Normal ou Gaussiana
Esta é a função de distribuição mais importante; ela está associada a erros de medidas, tempos
de reação de experimentos psicológicos e indicadores econômicos.
Definimos a função de densidade de probabilidade da distribuição normal, por:
f(x) =
1
σ
√
2 π
e−(x−µ)2/2 σ2
, −∞ < x < +∞,
onde µ ≥ 0 e σ > 0.
x
y
Figura 9.13: Gráfico de f, para µ = 0 e σ = 1.
A constante µ é dita média e σ é dito o desvio padrão.
Verificação de que esta função é uma densidade de probabilidade. De fato:
Digitemos:
>f:=exp(-(x-mu)ˆ2/(2*sigmaˆ2))/(sigma*sqrt(2*Pi)):
>assume(sigma>0):
>Int(f,x=-infinity..infinity)=int(f,x=-infinity..infinity);
∞
−∞
1/2 e−1/2 (x−µ)2
σ2
√
2σ−1 1
√
π
dx = 1
De forma análoga, é possível verificar que:
E = µ.
A variância:
V = σ2
.
Devido a complexidade da integral envolvida nos cálculos que devem ser feitos quando é utili-
zada a distribuição normal, os estatísticos criaram uma tabela, única, da chamada distribuição

normal padrão; isto é, se σ = 1 e µ = 0. É possível provar que qualquer distribuição normal
pode ser transformada numa distribuição normal padrão, fazendo a mudança:
z =
x − µ
σ
.
Finalmente, observamos que:
1
σ
√
2 π
e−(x−µ)2/2 σ2
dx = −
1
2
erf
µ − x
√
2 σ
.
Exemplo 9.10.
1. Um certo tipo de bateria de celular tem, em média, duração de 3 anos com desvio standard
σ = 0.5. Se a duração das baterias é normalmente distribuida, determine a probabilidade de
uma bateria durar menos que 2.3 anos.
σ = 0.5 e µ = 3, então f(x) = 0.797885 e−2 (−3+x)2
:
>f:=0.797885* exp(-2*(-3 + x)ˆ2):
>P(x<2.3):=int(f,x=0..2.3);
P(x < 2.3) := 0.0807567.
2. Numa prova para concurso, a média das notas foi de 82 com desvio standard σ = 5. O
número de pessoas que obtiveram notas entre 88 e 94 foi 8; determine o número de pessoas
presente na prova.
σ = 5 e µ = 82, então f(x) = 0.0797885 e−0.02(−82+x)2
. Supondo que as notas são números
inteiros:
>f:=0.0797885* exp(-0.02*(-82 + x)ˆ2):
>P(87.5<x<94.5):=int(f,x=87.5..94.5);
P(87.5 < x < 94.5) := 0.129456.
Logo, as 8 pessoas que obtiveram notas entre 88 e 94 representam 12.95% dos alunos; então o
total de alunos é, aproximadamente, 62.
9.6.1 Distribuição Gama
A função Γ = Γ(x) estudada nos capítulos anteriores dá origem à seguinte distribuição, que é
utilizada nos fenômenos limitados, como por exemplo, os intervalos de tempo de espera numa
ﬁla de banco ou para analisar o tempo de permanência de pacientes num hospital.
A função de densidade de probabilidade Gama, de parametros λ > 0 e ν ∈ R, é deﬁnida por:
f(x) =



λν
Γ(ν)
e−λ x xν−1 se x > 0
0 outro caso.

9.6. DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA 283
Note que se ν = 1, temos a densidade de probabilidade exponencial. Utilizando a definição da
função gama, obtemos que:
+∞
0
e−λ x
xν−1
dx =
Γ(ν)
λν
.
Donde segue que:
+∞
−∞
f(x) dx = 1.
2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 9.14: Gráfico de f, para ν = 1, 2, 3, 4 e λ = 1.
Por outro lado, é possível verificar que:
E(x) =
ν
λ
.
Analogamente:
V (x) =
ν
λ2
.
Exemplo 9.11.
1. O tempo, em horas, utilizado para a montagem de um carro segue a distribuição gama. Se
a esperança e a variância são 2 e 1, respectivamente. Estime a probabilidade de que um carro
seja montado pelo menos em uma hora.
Sabemos que E(x) =
ν
λ
e V (x) =
ν
λ2
; logo:



eq1 :=
ν
λ
= 2
eq2 :=
ν
λ2
= 1
>solve({eq1,eq2},{λ, ν});
{λ = 2, ν = 4}

f(x) =
16 e−2 x x3 se x > 0
0 outro caso.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Figura 9.15: Gráﬁco de P(x < 1).
>f:=16*exp(-2*x)*xˆ3:
>P(x<1):=int(f,x=0..1);
P(x < 1) := 6 − 38 e−2
>evalf(%);
0.857259238
2. Se o tempo de sobrevivência no mercado, em anos, de um certo tipo de microempresa segue
a distribuição gama para λ = 0.81 e ν = 7.81, determine:
(a) O tempo médio de sobrevivência destas microempresas.
(b) Qual é a probabilidade de que a sobrevivência seja menor que 10 anos.
f(x) =
0.0000559896 e−0.81 x x6.81 se x > 0
0 outro caso.

9.7. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 285
5 10 15 20 25 30
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
Figura 9.16: Gráfico de f.
>f:=0.0000559896* exp(-0.81*x) *xˆ6.81:
(a) Sabemos que:
E(x) =
ν
λ
=
7.81
0.81
= 9.64198
o tempo médio de sobrevivência é 10 anos.
(b) Digite:
>P(x<10):=int(f,x=0..10);
P(x < 10) := 0.587755
É de quase 60%.
9.7 Integrais de Funções Descontínuas
Como antes, iniciamos o parágrafo, com um problema:
Problema: Calcular a área da região R determinada pelo gráfico de
y =
1
√
x
, x ≤ 9
e o eixo dos x.
Notamos que a região R é ilimitada pois a função f nem é definida no ponto x = 0.
Seja Rε a região determinada pelo gráfico de y =
1
√
x
, ε ≤ x ≤ 9 com ε > 0 pequeno e o eixo
dos x..

99
Figura 9.17: A região Rε.
A área de Rε é:
A(Rε) =
9
ε
dx
√
x
= 2
√
x
9
ε
= 6 − 2
√
ε u.a.
É intuitivo que para valores de ε muito pequenos, a área da região limitada Rε é uma boa
aproximação da área da região ilimitada R. Isto nos induz a escrever:
A(R) = lim
ε→0+
A(Rε) = lim
ε→0+
9
ε
dx
√
x
= lim
ε→0+
6 − 2
√
ε = 6 u.a.
9
0
dx
√
x
é um exemplo de integral imprópria com integrando ilimitado.
Motivados pelo raciocínio anterior, temos as seguintes deﬁnições:
Deﬁnição 9.2.
1. Se f é uma função integrável em (a, b], então:
b
a
f(x) dx = lim
ε→a+
b
ε
f(x) dx
2. Se f é uma função integrável em [a, b), então:
b
a
f(x) dx = lim
ε→b−
ε
a
f(x) dx

a
y=f(x)
b
+ -
Figura 9.18:
3. Se f é uma função integrável em [a, b] exceto em c tal que a < c < b, então:
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx = lim
ε→c−
ε
a
f(x) dx + lim
σ→c+
b
σ
f(x) dx
Se nas deﬁnições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes;
caso contrário, são ditas divergentes.
As sintaxes que utilizaremos, são:
>f:=função:
>Int(f,x=a..b)=limit(int(f,x=e..b),e=a,right);
>Int(f,x=a..b)=limit(int(f,x=a..e),e=b,left);
Exemplo 9.12.
Calcule as seguintes integrais impróprias:
1.
π
2
0
cos(x)
sen(x)
dx.
>f:=cos(x)/sqrt(sin(x)):
>Int(f,x=0..Pi/2)=limit(int(f,x=e..Pi/2),e=0,right);
1/2 π
0
cos (x)
sin (x)
dx = 2
2.
1
−4
dx
3
√
x + 2
.
Observe que a função integranda não é deﬁnida em −2 ∈ [−4, 1].
>f:=1/surd(x+2,3):

Pesquise no Help do MAPLE por que utilizamos o comado surd.
>Int(f,x=-4..1)=int(f,x=-4..1);
1
−4
1
3
√
x + 2
dx = −
3
2
22/3
+
3
2
32/3
3. Calcule o comprimento da astróide
3
√
x2 + 3
y2 =
3
√
a2, a > 0.
Figura 9.19: A astróide para a = 1.
A curva não é diferenciável nos pontos de interseção com os eixos coordenados.
Pela simetria, calcularemos o comprimento da curva no primeiro quadrante e multiplicaremos
o resultado por 4.
>g:=surd(xˆ(2),3)+surd(yˆ(2),3):
>assume(x > 0, y > 0, a > 0):
>a:=simplify(sqrt(simplify(implicitdiff(g, y, x)ˆ2+1)));
a :=
x2/3 + y2/3
3
√
x
>b:=:=simplify(subs(xˆ(2/3)+yˆ(2/3)=aˆ(2/3)),a);
b :=
3
√
a
3
√
x
Na última igualdade usamos o fato de que
3
√
x2 + 3
y2 =
3
√
a2; logo,
>L := 4*(int(b, x = 0 .. a));
L := 6 a
4. Calcule a área limitada por f(x) =
1
√
x − 2
, pelo eixo dos x e pelas retas x = 2 e x = 5.

Figura 9.20: Gráfico de f(x) = 1√
x−2
.
>A(R):=int(1/surd(x-2,2),x=2..5);
A(R) := 2
√
3
Numa integral imprópria com limite superior infinito e cuja função integranda não é definida
no limite inferior, procedemos assim: Se f é integrável em (a, +∞) então
+∞
a
f(x) dx = lim
ε→a+
c
ε
f(x) dx + lim
b→+∞
b
c
f(x) dx
onde a < c; analogamente nos outros casos.
Aqui utilizamos a sintaxe
Int(f, x = a .. infinity) = int(f, x = a .. infinity);
Exemplo 9.13.
1.
+∞
2
dx
x
√
x2 − 4
.
>f:= 1/(x*sqrt(xˆ2-4)):
>Int(f, x = 2 .. infinity) = int(f, x = 2 .. infinity);
∞
2
1
x
√
x2 − 4
dx =
1
4
π
2. Calcule a área da região limitada pelo gráfico de y =
1
√
x (x + 1)
e o eixo dos x.

Figura 9.21: Gráfico de f(x) = 1√
x (x+1)
.
>f:= 1/(sqrt(x)*(x+1)):
>Int(f, x = 0 .. infinity) = int(f, x = 0 .. infinity);
∞
0
1
√
x (x + 1)
dx = π

9.8 Exercícios
1. Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
+∞
1
dx
x
√
x
(b)
+∞
3
dx
x2 + 9
(c)
+∞
0
dx
(x + 1)(x + 2)
(d)
+∞
0
x e−x2
dx
(e)
+∞
−∞
|x| e−x2
dx
(f)
+∞
2
dx
x ln(x)
(g)
+∞
0
cosh(x)
1 + senh(x)
dx
(h)
0
−∞
x 5−x2
dx
(i)
0
−∞
x cosh(x) dx
(j)
+∞
1
ln(x)
x
dx
(k)
+∞
−∞
dx
x2 + 1
(l)
+∞
0
sen(t π) e−t
dt
(m)
1
−∞
dx
(2 x − 3)2
(n)
+∞
−∞
x
x2 + 1
dx
(o)
+∞
−∞
dx
x2 + 2 x + 5
(p)
+∞
1
dx
x3 + x
(q)
+∞
0
e−x
sen(x) dx
(r)
+∞
1
x
(x2 + 1)2
dx
(s)
+∞
0
x3
1 + x4
dx
(t)
+∞
e2
dx
x ln3(x)
(u)
+∞
0
x sen(x) dx
(v)
0
−∞
dx
x2 + 1
(w)
+∞
1
dx
3
√
x2
(x)
+∞
2
dx
x ln2(x)
2. Calcule a área das regiões determinadas por:
(a) y = (ex + e−x)−1 (b) y = x−2, y = e−2x e x ≥ 1
(c) y = 1
x4+1
e o eixo dos x.
3. Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
(a)
+∞
0
e−st
dt
(b)
+∞
0
e−st
sen(t) dt
(c)
+∞
0
e−st
et
dt
(d)
+∞
0
t2
e−st
dt

(e)
+∞
0
e−st
senh(t) dt
(f)
+∞
0
e−st
cosh(t) dt
(g)
π
2
0
1 − cos(x)
xs
dx
(h)
π
0
dx
(sen(x))s
4. Seja Γ(x) =
+∞
0 tx−1 e−t dt, x > 0; esta função é chamada função gama. Verifique:
(a) Γ(x + 1) = x Γ(x), x > 0.
(b) Se n ∈ N, Γ(n + 1) = n!
5. Se o erro envolvido na medição de certos instrumentos eletrônicos tem uma distribuição
de probabilidade:
f(x) =
0.00123 (4 − x2) se − 2 ≤ x ≤ 2
0 outro caso.
(a) Esboce o gráfico de f.
(b) Calcule P(x > 0) e P(−1 < x < 1).
(c) Qual é a esperança e σx?
6. A concentração de um certo contaminante numa lagoa tem uma distribuição de probabi-
lidade uniforme em [0, 20] partes por milhão. Se a concentração do contaminante é de 8
ou mais partes por milhão, ela é considerada tóxica. Pergunta-se:
(a) Qual é a probabilidade de coletar uma amostra em que a concentração seja tóxica?
(b) Qual é a esperança e a variância?
(c) Qual é a probabilidade de coletar uma amostra em que a concentração seja exata-
mente 10.
7. Se o consumo familiar de um certo produto tem uma distribuição de probabilidade uni-
forme com esperança igual a 10 e variância igual a 1, determine a probabilidade de que o
consumo esteja entre 8 e 12.
8. O tempo para consertar um liquidificador tem uma distribuição de probabilidade expo-
nencial:
f(x) =
0.04545 e−x/22 se x > 0
0 se x ≤ 0,
isto é, em média 22 minutos.

(a) Determine a probabilidade de que o tempo do conserto seja menor que 10 minutos.
(b) Se o custo do conserto é de 20 u. m. por cada 30 minutos ou fração de reparos; qual
é a probabilidade de que um conserto custe 40 u.m?
(c) Para um planejamento futuro, quanto tempo se deve utilizar em cada conserto para
que a probabilidade de que qualquer tempo de reparo maior que o tempo dado seja
de 0.1?
9. Numa fábrica de circuitos impressos, a vida útil desses circuitos tem uma distribuição
descrita pela densidade de probabilidade exponencial:
f(x) =
0.002 e−0.002x se x > 0
0 se x ≤ 0.
(a) Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de 600 horas?
(b) Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após 600 horas?
10. Os marcapassos funcionam, com probabilidade exponencial em média, 16 anos.
(a) Qual é a probabilidade de que uma pessoa que já tenha um marcapasso deva reim-
plantar um novo antes de 20 anos?
(b) Se o marcapasso estivesse funcionando durante 5 anos, qual é a probabilidade de
que o paciente deva reimplantar outro após 25 anos?
11. Numa população a renda é distribuido segundo a distribuição de Pareto, com α = 5 e
β = 2200.
(a) Qual é a probabilidade de que uma pessoa ganhe mais de 1000?
(b) Qual é a probabilidade de que uma pessoa ganhe entre 1000 e 1500?
(c) Qual é a probabilidade de que uma pessoa ganhe abaixo da média?
12. Se em três cidades, as rendas seguem as seguintes distribuições de Pareto para α = 3,
β = 1200, α = 4, β = 1300 e α = 5, β = 1500, respectivamente.
(a) Qual é a renda me´dio de cada cidade e o desvio padrão?
(b) Em qual cidade é mais provavel que uma pessoa ganhe mais de 2000 u.m?
(c) Em qual cidade é mais provavel que uma pessoa ganhe entre 2000 e 3000?

13. Numa prova de vestibular, a média das notas foi 50 com desvio standard σ = 6. O número
de pessoas que obtiveram notas entre 70 e 90 foi 120. Utilize um software matemático
para determinar o número de pessoas presentes no exame.
14. Se o tempo utilizando um computador com time-sharing segue uma distribuição gama
com média de 20 minutos e variância de 80 minutos, pede-se:
(a) Determine ν e λ.
(b) Qual é a probabilidade de um usuário utilizar o computador no máximo 20 minutos?
(c) Qual é a probabilidade de um usuário utilizar o computador entre 20 e 40 minutos?
15. Se o tempo de sobrevivência de um certo tipo de cirugia, em anos, segue a distribuição
gama para λ = 0.9 e ν = 81; determine:
(a) O tempo médio de sobrevivência.
(b) Qual é a probabilidade de sobrevivência seja menor de 5 anos.
16. Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
4
0
dx
√
x
(b)
1
0
cos(x
1
3 )
x
2
3
dx
(c)
4
0
dx
√
16 − x2
(d)
4
0
e−
√
x
√
x
dx
(e)
1
1
2
dx
x 7
(ln(x))2
(f)
1
−1
dx
x3
(g)
π
−π
dx
1 − cos(x)
(h)
2
0
dx
√
2 x − x2
(i)
5
4
dx
5
(5 − x)2
(j)
2
1
dx
x2
√
4 − x2
(k)
1
0
dx
√
1 − x2
(l)
3
0
dx
(x − 1)2
(m)
π
2
0
dx
cos(x)
(n)
3
1
dx
√
4 x − x2 − 3
(o)
1
0
3 x2 + 2
3
√
x2
dx
(p)
−1
−2
dx
x
√
x2 − 1
(q)
2
1
dx
x ln2(x)
(r)
2
1
dx
x ln(x)
(s)
2
0
2 + x
2 − x
dx
(t)
2
π
0
1
x2
sen(
1
x
) dx
(u)
1
0
dx
(1 − x3)
(v)
1
2
0
dx
x 3
ln(x)

Bibliograﬁa
[M-M] Maria Hermínia de Paula Leite - Mário Olivero Marques: Introdução ao MAPLE V,
visando o ensino de Cálculo Diferencial e Integral I - funções reais de uma variável real, Texto
Didático: Projeto PROIN/CAPES - Instituto de Matemática, Universidade Federal
Fluminense, 1999.
[VC] Mauricio A. Vilches - Maria Luiza Corrêa: Cálculo: Volume I, edição online em
www.ime.uerj.br/∼calculo, 2007.
Bibliograﬁa Suplementar
Angela R. Santos - Waldecir Bianchini: Aprendendo Cálculo com o Maple - Cálculo de uma variável,
Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
295

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