1) O documento apresenta os principais conceitos matemáticos de conjuntos, como elementos, pertencimento e não pertencimento, utilizando símbolos como { }, E e ≠. 2) Novos tópicos como subconjuntos, operações com conjuntos e números de elementos em uniões são introduzidos nesta nova edição do livro didático. 3) Apresenta também novos capítulos sobre matemática financeira e estatística para acompanhar a moderna tendência do ensino.

1. ~ .
a ema lea
cawalao BIANCHINI eHerval PACCOLA

2. Apresenta~ao
Ecom enorme satisfayao que trazemos aos colegas de magisterio e estudantes esta nova
ediyao de Matematica para 0 2Q
grau.
Mantivemos aqui 0 compromisso de tonur mais agradaveis e produtivos tanto 0 ensino
como 0 aprendizado, meta essa tambem presente na ediyao anterior.
Voce pode estar questionando a necessidade desta reediyao. Simples: 0 mundo a nossa
volta torna-se a cada dia mais e mais dinamico. Dessa forma, por mais atualizado e ajustado
que um livro seja, em determinado momento, ele pode estar subestimando assuntos que
mereyam uma abordagem mais aprofundada.
Assim, acompanhando a moderna tendencia do ensino de estreitar a relayao aprendiza-
do/cotidiano, procuramos trabalhar os conceitos de forma criativa e motivadora, privilegian-
do sua aplicayao em problemas que estimulem 0 interesse do aluno. Tambem nos exemplos
resolvidos enos "Exerdcios propostos", sempre que possivel, procuramos trabalhar com
situayoes retiradas da realidade do estudante.
A respeito dos temas estudados, destacamos a inclusao de um capitulo sobre Matematica
Financeira, no volume 1, e outro sobre Estatistica, no volume 3. Foram acrescentados em
vista de sua import:lncia no mundo moderno e tambem em funyao do elevado numero de
questoes sobre esses assuntos nos (tltimos vestibulares.
Uma outra novidade desta reediyao e 0 "Tunel do tempo", uma seyao que, como 0
proprio nome sugere, leva 0 aluno a relacionar 0 tema em estudo com 0 momenta historico
em que foi desenvolvido.
No final de cada capitulo, antes dos "Exerdcios complementares" e dos "Testes", urn
resumo do assunto estudado auxilia 0 aluno na resoluyao das atividades.
Procuramos tambem aliar linguagem comunicativa, metodologia e rigor conceitual, com
vistas a atender as necessidades do estudante, tanto na qualidade de cidadao como na de
futuro vestibulando.
Temos perfeita consciencia de que nenhum livro substitui 0 trabalho do professor. Mas
acreditamos que, ao proporcionar uma solida base conceitual e didatica ao estudante, estamos
dando a nossa contribuiyao no sentido de auxiliar 0 mestre em sua tarefa de ensinar e formar
pessoas.
Atendendo a solicitayoes recebidas de diversas partes do pais, este trabalho esta sendo
apresentado em duas versoes. Na versao Alfa, as progressoes aritmeticas e geometricas sao
estudadas no volume 1, e a trigonometria e vista no volume 2. Na versao Beta, essa ordem se
inverte.
Finalmente, queremos registrar aqui nossos sinceros agradecimentos a todos os profes-
sores que, no decorrer desses anos, nos enviaram seu incentiyo na forma de criticas e su-
gestoes. Esperamos continuar merecendo a mesma acolhida nesta nova ediyao e, para tanto,
contamos com 0 seu apoio - e ele que, afinal, torna 0 nosso trabalho mais adequado e efi-
ciente.
Os Autores

3. Sumario
Capitulo I - CONJUNTOS
1. Primeiras noc;6es 1
2. Representac;ao de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio 4
4. Conjuntos iguais 4
5. Conjunto universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6. Alguns slmbolos da linguagem dos conjuntos 5
7. Subconjuntos 7
8. Operac;6es com conjuntos 10
9. Numero de elementos da reuniao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
Capitulo 2 - CONJUNTOS NUMERICOS
1. Introduc;ao 23
2. Conjunto dos numeros naturais 23
3. Conjunto dos numeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
4. Conjunto dos numeros racionais ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25
5. Conjunto dos numeros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
6. Conjunto dos numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
7. Intervalos 30
8. Operac;6es com intervalos ',' . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
9. Valor absoluto ou modulo de urn numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
Capitulo 3 - FUN<;:OES
1. Introduc;ao 42
2. Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
3. Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
4. Noc;ao de relac;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
5. Noc;ao matematica de func;ao 49
6. Linguagem das func;6es 51
7. Dominio de uma func;ao real de variavel real 53
8. Grafico de uma func;ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
9. Analise de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
10. Func;ao bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64
11. Func;6es inversas 67
12. Func;ao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
Capitulo 4 - FUN<;:AO DO 12 GRAU
1. Func;ao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79
2. Func;ao do 1Q grau 80
3. Estudo do sinal da func;ao do 1Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86
4. InequaC;6es do 1Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
Capitulo 5 - FUN<;:AO DO 22 GRAU
1. Introduc;ao 100
2. Grafico da func;ao do 2Q
grau 101

4. 3. Vertice da parabola 104
4. Raizes da func;ao do 2Q
grau 109
5. Estudo do sinal da func;ao do 2Q grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6. Inequac;oes do 2Q
grau 113
Capitulo 6 - FUNC;::AO MODULAR
1. Introduc;ao 123
2. Func;ao definida por duas ou mais sentenc;as 123
3. Func;ao modular 126
4. Equac;oes modulares 132
5. Inequac;oes modulares 134
Capitulo 7 - FUNC;::AO EXPONENCIAL
1. Revisao de potencia de expoente racional 145
2. Conceito de func;ao exponencial 146
3. Grafico da func;ao exponencial 147
4. Equac;oes exponenciais 149
5. Inequac;oes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Capitulo 8 - LOGARITMOS
1. Introduc;ao 162
2. Definic;ao de logaritmo 162
3. Propriedades dos logaritmos 168
4. Sistemas de logaritmos '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5. Propriedades dos logaritmos de mesma base 171
6. Mudanc;a de base 180
7. A func;ao logaritmica 183
8. Dominio da func;ao logaritmica 186
9. Inequac;oes logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Capitulo 9 - CALCULO E APLlCAC;::OES DOS LOGARITMOS DECIMAlS
1. Introduc;ao 197
2. Calculadora cientifica ou tabua de logaritmos? 199
3. 0 dlculo com logaritmos decimais 209
4. Algumas aplicac;oes dos logaritmos 214
Capitulo 10 - NOC;::OES SOBRE MATEMATICA FINANCEIRA
1. Porcentagem 221
2. Juros 229
Capitulo II -TRIGONOMETRIA NOTRIANGULO RETANGULO
1. Introduc;ao 239
2. Revendo conceitos ja estudados sobre triangulos redngulos 240
3. Aprendendo novos canceitos 241
4. Popriedades e relac;oes do seno, do casseno e de tangente de urn angulo agudo
de urn triangulo redngulo 244
:" . (:omo calcular os valoes das razoes trigonometricas 246
,_Q .- lei dos senos 257
7 . lei dos cassenos 259

5. Capitulo 12 - TRIGONOMETRIA - ARCOS E ANGULOS
1. Introdus:ao 269
2. Arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3. Medida de um angulo central 274
4. 0 eiclo trigonometrieo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5. 0 arco trrigonometrieo 279
Capitulo 13 - FUNC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. Introduc;ao 285
2. A funs:ao sene 286
3. A funs:ao cosseno 295
4. Os grafieos das funs:oes sene e eosseno 308
5. A func;ao tangente 311
6. Outt'as funs:oes trigonometrieas 318
7. Relas:oes entre as funs:oes trigonometrieas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
8. Identidades trigonometricas ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9. Recorreneia a um area do primeiro quadrante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10. Cilculo dos valores das funs:oes trigonometrieas 332
11. Func;oes trigonometrieas inversas 336
Capitulo 14 - FORMULAS DE TRANSFORMAC;:.o.O
1. Introduc;ao 349
2. Arco soma e area diferrens:a 351
3. 0 arco duplo " 356
4. 0 area metade 359
5. Funs:oes trigonometrieas de um area que mede a, em funs:ao da tangente do
area metade "..................... 362
6. Transformas:ao de soma em produto " " 364
Capitulo IS - EQUAC;:OES E INEQUAC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. Introdus:ao 373
2. Equac;oes trigonometrieas 374
3. Inequac;oes tt'igonometrieas 384
Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

6. Capitulo
I Conjuntos
I. Primeiras no~oes
As primeiras nos;oes sobre conjul1tos voce as adquiriu no curso de 1Q grau. Vamos reve-
las e ampliar esses conhecimel1tos introduzindo novos simbolos, liteis nao somente no estu-
do da matematica como tambem em outras areas.
Recordemos que se entende por conjunto qualquer coleS;ao de objetos.
Esses objetos podem ser de qualquer natureza. Podemos falar em conjul1to de casas, de
alunos, de logotipos, de figuras geometricas, de numeros etc.
o quadro abaixo mostra um conjunto de logotipos de algumas emissoras de televisao de
Sao Paulo.
Wi
,rCULTURIl
Fundat;:ao Padre Anchieta
Dm conjunto geralmente e indicado por uma letra maiuscula do alfabeto.
Os objetos que compoem um conjul1to sao chamados elementos.
Assim, por exemplo, chamando de L 0 conjunto dos logotipos acima, temos que cada um
deles e elemento de L.
Indica-se que um elemento x pertence a um conjunto A escrevendo-se:
x E A (le-se: x pertence a A) I
Se x nao pertence ao conjunto A, "cortamos" 0 simbolo com um tras;o, escrevendo:
I x f/= A (le-se: x nao pertence a A) I
Esse tipo de indicaS;ao e utilizado em muitas outras situas;oes. Voce pode verificar isso no
conjunto a seguir, onde os sinais sao cortados, indicando proibiS;ao.
Proibido fumar. Proibida a presen~a
de cachorros.
1
Proibido jogar
latas e garrafas.
Proibido
fazer fogueira.

7. 2. Representa~ao de conjuntos
Existem varias maneiras de se representar um conjunto. Uma delas eindicar todos os seus
elementos entre chaves. Vamos, como exemplo, representar os seguintes conjuntos:
a) 0 conjunto A formado pelos algarismos pares do numeral 6280 (extensao aproxima-
da, em quilometros, do Rio Amazonas).
Temos: A = 10,2,6,81
Rio Amazonas.
b) 0 conjunto IN dos nllmeros naturais. Como se trata de um conjunto infinito, nao epos-
sivel enumerar todos os seus elementos. Escrevemos, entao, apenas as primeiros elementos,
seguidos de reticencias:
IN = 10, 1,2,3, ... }
c) 0 conjunto B dos numeros naturais impares menores que 100. Como sao muitos os
elementos do conjunto B, por comodidade escrevemos os primeiros elementos, seguidos de
reticencias, e finalmente os ultimos elementos. Assim:
B = (1,3,5,7, ...,97,991
d) 0 conjunto T dos numeros que expressam as medidas dos lados do triangulo EDU,
sendo ED = 15,2 cm, EU = 16,4 cm e DU = 10,8 cm:
T= (15,2; 16,4; 10,81
e) 0 conjunto H dos algarismos do numeral 149 597 870 (disrancia media, em quilome-
tros, entre 0 centro da Terra e 0 centro do Sol). a representas:ao de um conjunto nao repe-
timos os elementos. Assil11, 0 conjunto H tem exatamente sete elementos. Observe:
H = 10, 1,4,5,7,8, 9}
Ul11a outra maneira de se representar um conjunto eindicar entre chaves uma proprieda-
de que caracteriza seus elementos. Vamos considerar 0 conjunto:
A = (janeiro, junho, julho I
Observe que todos os elementos desse conjunto sao meses do ana e seus nomes comec;:am
pela letra j. Essa euma propriedade caracteristica dos elementos desse conjunto. Podemos,
entao, escrever:
A = (x Ix emes do ano cujo nome COl11ec;:a pela letra il
(U-se A e0 conjunto de todo x, tal que x emes do ana cujo nome comec;:a pela letra j.)
Veja outros exemplos:
a) B = 10,5,10,15,20, ... }
B = Ixlxe numero natural multiplo de 5}
2
b) M = Im) a) t) e) i) c}
M = {xix eletra da palavra matemtitica)

8. },,IA={
Podemos ainda representar um conjunto utilizando 0 diagrama de Venn, que consiste em
colocar os elementos no interior de uma curva fechada simples. Como exemplo vamos repre-
sentar 0 conjunto
das bandeiras dos palses finalistas da Copa do Mundo de Futebol, de 1994:
A
•
·88
EXERCiclOS PROPOSTOS _
1. Os conjuntos a seguir estao representados por uma propriedade caracterfstica de seus elementos.
Escreva-os indicando esses elementos.
a) A = {x Ix eum numero natural menor que 10}.
b) B = {xix eum numero fmpar maior que 5}.
c) C = {xlxe numero multiplo de 3, maior que 10 e menor que 100}.
d) 0 = {xix enumero natural e 3x2
- 7x + 2 = O}.
2. Agora temos 0 inverso. Os conjuntos estao escritos com seus elementos indicados. Escreva-os indi-
cando uma propriedade caracterfstica de seus elementos.
a) A = {1, 3, 5, ...}
b) B = {segunda-feira, sexta-feira, sabado}
c) C = {a, 4, 8, 12, ... , 60}
d) 0 = {10, 15,20,25, 30}
3. Represente 0 conjunto por uma propriedade que caracteriza seus elementos.
A
o verde
o amarelo
o azul
'0 branco
4. Indica-se 0 numero de elementos de um conjunto A por n(A). Assim, dados os conjuntos abaixo,
determine n(A), n(B) e n(C).
a) A = {xix e numero natural e x 2
- 12x + 35 = a}.
b) B = {xix eletra da palavra Recife}.
c) C = {a, 3, 6, 9, ... , 120}
5. Dados os conjuntos A = {a, 2, 4, 6} e B = {x Ix2
- 11 x + 18 = O}, use 0 sfmbolo E ou f£ para
relacionar:
a) °eA b) °e B c) 2 eA d) 2 e B e) 9 eA f) 4 e B
3

9. 3. Conjuntos unitarios e conjunto vazio
A ideia de conjunto em matematica tern urn sentido mais amplo do que aquele que nor-
malmente esugerido pela propria palavra. Assim eque admitiremos conjuntos com urn so ele-
mento, chamados conjuntos unitarios, e conjunto sem elementos, chamado conjunto
vazio. 0 conjunto vazio erepresentado por 0 ou I }.
Veja os exemplos:
a) 0 conjunto do mamifero voador e0 conjunto unitario Imorcego }.
b) 0 conjunto dos numeros naturais maiores que 2 e menores que 3 e0 conjunto 0.
-
o morcego e0 unico mamffero voador.
'"c:
~
'"""(/)
0-
f-
'"Cl
Cl
I
ci
EXERCiclO PROPOSTO
6. Classifique cada conjunto como unitario ou vazio.
a) A = {xlxe natural e 2x = 5}.
b) B = {xlxe natural e 2x = 6}.
c) C = {xlxe natural e Ox = 6}.
d) 0 = {xlxe natural par e primo}.
4. Conjuntos iguais
Dois ou mais conjuntos sao iguais quando possuem os mesmos elementos.
Assim, se A e0 conjunto das letras da palavra "arte": A = la) r, t) c} e Be 0 conjunto das
letras da palavras "reta": B = Ir, c) t) a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos
elementos, nao importando a ordem em que foram escritos. Se A nao fosse igual a B, escre-
veriamos A =F B (le-se: A ediferente de B).
EXERCiclO PROPOSTO
7. Verifique se A = B ou A i' B, nos seguintes casos:
a) A = {x Ix eletra da palavra amoral e B = {x Ix eletra da palavra roma}.
b) A = {O, 1,2,3, 4} e B = {xix enumero natural menor que 4}.
c) A = {2, 5} e B = {xlx2
- ax + 12 = OJ.
5. Conjunto universo
o conjunto que tern todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se con-
junto universo. Geralmente, urn conjunto universo erepresentado pela letra U.
4

10. Consideremos a pergunta: Quais sao os numeros menores que 5? A resposta ira depender
do conjunto universo com que se estiver trabalhando. Vejamos:
• Se 0 conjunto universo for 0 conjunto dos numeros naturais, teremos como resposta os
numeros 0,1,2,3 e 4. Tambem podemos indicar a resposta por S = 10, 1,2,3,41, em que
S e chamado conjunto solus:ao.
• Se 0 conjunto universo for 0 conjunto dos numeros naturais pares, teremos como con-
junto solu<;:ao S = 10,2,4).
• Se 0 conjunto universo for 0 conjunto dos numeros inteiros, teremos:
S= 1...,-1,0,1,2,3,4}
EXERCICIOS PROPOSTOS _
8. Considerando U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} como conjunto universo, determine 0 conjunto solU9aO de:
a} {x E UI2 < x < 7} c) {x E Ulx + 1 = 10}
b) {xE Ulx + 3 = 8} d) {XE Ulx
2
- 9x+ 14 = O}
9. De 0 conjunto solU9ao da equa9ao 2x
2
+ 5x - 3 = 0 nos seguintes casos:
a) U = IN
b) U = t-1,---} , 0, 1,--}, 3}
c) U = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3)
d) U = {-3' -1, ---}, 0, --}, 1, 3}
6. Alguns simbolos da linguagem dos conjuntos
Para darmos continuidade aos nossos estudos, vamos introduzir alguns simbolos que irao
facilitar nossa linguagem, tornando-a mais precisa.
Implica~ao e equivalencia
Quando, a partir de uma afirma~ao p, concluimos uma outra afirma~ao q, dizemos que
p implica q e escrevemos p => q (le-se: p implica q ou se p entao q).
c) x e numero par => x e mLlltiplo de 2
(p) (q)
(Le-se: se Jose e pernambucano, entao
Jose e brasileiro, ou Jose e pernambucano
implica que Jose e brasileiro.)
Exemplos
a) Jose e pernambucano
(p)
=> Jose e brasileiro
(q)
x=8-2
(q)
=> x 2
= 25
(q)
b) x = 5
(p)
d) x + 2 = 8 =>
(p)
5

11. Observe nos exemplos c e d que tambem a partir de q podemos conduir p:
x e multiplo de 2 ~ x e numero par
x=8-2~x+2=8
Nesses casos, dizemos que p e qsao equivalentes e escrevemos p ¢=} q(le-se: p e equivalente a q):
x e nlimero par ¢=} x e mUltiplo de 2, ou seja, x e numero par se e somente se x e mUltiplo de 2.
x+2=8 ¢=} x=8-2
Se p ~ q e q ~ p, entao p ¢=} q
No exemplo a, de Jose e brasileiro, nao podemos conduir que Jose e pernambucano (ele
poderia ser. catarinense, carioca, paulista etc.). Jose e brasileiro p Jose e pernambucano (0
simbolo ~ le-se: nao implica).
No exemplo b, de x 2
= 25, nao podemos conduir que x = 5 (x poderia ser -5), pois
(-5)2 = (-5) . (-5) = 25. Portanto: x2
= 25 =/> x = 5.
Qualquer que seja (v)
Vamos resolver a equas:ao 2(3x - 1) = 6(x + 1) - 8 no universo U= 10,1,2,31. Temos:
2(3x - 1) = 6(x + 1) - 8 ~ 6x - 2 = 6x + 6 - 8 ~ 6x - 6x = 6 - 8 + 2 ~ Ox = 0.
Observe que a igualdade Ox = °se verifica para qualquer que seja x pertencente a U.
Representando a expressao qualquer que seja x por 'r/ x (le-se: qualquer que seja x ou para
todo x), podemos escrever:
'r/x E U ~ Ox = °
A solus:ao da equas:ao proposta e 0 proprio conjunto universo, isto e: S = u.
Existe ao rnenos urn (3)
Considere 0 conjunto A*-0. Sendo A*-0, entao existe ao menos urn x, tal que x E A.
Representando a expressao existe ao menos urn x par 3x, podemos escrever:
A*-0~3xlxEA
o simbolo ~x le-se: nao existe x algum.
Exemplos
a) Se A = 0, entao ,tlxlx EA.
b),tlxEIN12x= 3
Existe urn unico (31)
Considerando 0 conjunto universo U = 10, 1,2,3,4,5), existe urn unico valor de x que
verifica a sentens:a 2 < x < 4. Representando a expressao existe urn ilnico valor de x por
31x, podemos escrever:
31x E UI2 < x < 4
Exemplos
a) Se A e conjunto unitario, entao 31x Ix E A.
b) 31x E IN Ix-I = 2
6

12. EXERCICIOS PROPOSTOS
e) x 2
=16 ~'x=-4oux=4
f) 3x E U 12x = 5
g) 31x E UI3x = -12
h) lxE U=> Ox= 0
10. Sendo U = {-4, -3, -2, -1,0, 1,2,3, 4}, identifique as senten9as como verdadeiras (V) ou
falsas (F).
a) X= -4 => x2
= 16
b) x = 4 => x2
= 16
c) x2
= 16 => x = -4
d) x2
= 16 => x = 4
11. Considerando 0 conjunto A = {1, 3, 5, 6, 7, 9}, identifique as senten9as verdadeiras.
a) Ix E A => x enumero fmpar' c) 3x E A Ix edivisor de 9
b) 31xE Alxe par d) }XE A Ix> 10
7. Subconjuntos
ulB
Considere os conjuntos A = (2,3,5} e B = 11,2,3,4,5,6, 7}. Observe que todo ele-
mento de A e tambern elemeoto de B. Nessas condi<;:6es dizemos que A e subconjunto de B
ou que A esta contido em Be escrevemos A C B. Podemos tambem dizer que B contem A
e escrevemos B ::J A.
Essa situa<;:ao pode ser graticamente
representada assim:
Em simbolos, temos: A C B {=} {'Ix E A ~ x E B}
Voce, que dentro de pouco tempt:?, provavelmente, estara preocupado em "tirar" sua
Carteira Nacional de Habilita<;:ao para dirigir veiculos motorizados, necessitara, entre outtas
coisas, conhecer 0 conjunto S dos sinais de transito.
o conjunto P, dos sinais de transito que indicam proibi<;:ao, mostrado graficamente a
seguir, e urn subconjunto de S.
Sentido
proibido
Proibido virar
aesquerda
Proibido virar
adireita
Proibido
retornar
Proibido
estacionar
Proibido parar
e estacionar
Proibido
ultrapassar
Proibido mudar
de faixa de
trinsito
Proibido
transito de
veiculo de carga
Proibido transito
de veiculos
automotores
Proibido transito
de velculos de
tra~iio animal
Proibido
transito de
bicicletas
Proibido transito
de maquina
agricola
Proibido acionar
buzina au
sinal sonora
Proibido
transito de
pedestres
7

13. Vejamos outros exemplos:
a) Dados A = 13,6,91 e B = IN, temos que: A C B, pois todo elemento de A e tambem
elemento de B.
b) Sendo A = lxlxe animal mamiferol e B = lcao, baleia), temos que: A ~ B, pois todo
elemento de B e tambern elemento de A.
c) la, bl cIa, b, cl
d) 121 c 121
Se A nao esta contido em B, escreve-se: A r:t. B. Para se ter A r:t. Be necessario que
exista pelo menos urn elemento que pertenc;:a a A e nao pertenc;:a a B. Considere os conjun-
tos A = (1,2,3,41 e B = (1,3,4, Sj ..Temos: A r:t. B, pois 2 E A e 2 r¢. B.
Observap:>es
1. Todo conjunto e subconjunto de si mesmo.
I VA=}ACA
2. 0 conjunto vazio e subconjunto de qualquer conjunto.
I VA=}0 C A I
EXERCiclOS PROPOSTOS _
12. Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {2, 4}, identifique as sentenyas verdadeiras.
a) A c B b) A c C c) C c B d) B ~ C
13. Determine os conjuntos X que satisfazem a condiyao {2, 3} C Xc {2, 3, 4, 5}.
14. Dados os conjuntos A e B, com A # B e A c B, identifique as sentenyas falsas.
a) x E B => x E A d) x E A => x E B
b) xE B=>x$ A e) xE A=>x$ B
c) x $ B=> x $ A
15. Identifique as sentenyas verdadeiras em relayao aos conjuntos A, Be C.
a) Se A c Be B c A, entao A = B. c) Se C cAe A c B, entao C c B.
b) VB=>0CB. d) Sex$AeXEB,entaoAcB.
Conjuntos cujos elementos sao conjuntos
Os elementos de urn conjw1to podem tambem ser conjuntos. Considere, por exemplo, 0
conjunto M cujos elementos sao: la), lb}, la, b}, e Ic, d}. Temos:
M = (la}, lb), la, b), lc) dll
Nesse caso, dizemos que:
(al EM e nao lal eM
o mesmo acontece com os outros elementos de M:
(bl E M, Ia, bl E M, (c, dl E M
8

14. EXERCiclO PROPOSTO
j) {1, 5} E A
I) {{1, 5}} C A
m) {0, {1}, {5}} C A
16. Dado 0 conjunto A = {0, {1}, {5}, {1, 5}}, identifique as sentent;:as verdadeiras.
a)0EA d){1}EA g) {{1}}cA
b) {0,1,5}EA e)1EA h){5}EA
c) {0} C A f) {1} C A i) 5 E A
Conjunto das partes de urn conjunto
Considere, por exemplo, 0 conjunto A = {a, bl. Vamos escrever os subconjuntos de A:
• com um elemento: {a}, {bl;
• com dois elementos: {a, bl.
o conjunto cujos elementos sao todos os subconjuntos de A echamado conjunto das
partes de A e egeralmente indicado por P(A) (le-se: P de A).
Lembrando que 0 conjunto vazio esubconjunto de qualquer conjunto, temos:
P(A) = 10, (af, {b}, {a, bll
Considerando agora, por exemplo, 0 conjunto B = (m, n, P}, vamos determinar P(B).
Para isso, escreveremos os subconjuntos de B:
• com um elemento: {m), (n}, (p);
• com dois elementos: (m, n}, (m, pI, In, pI;
• com tres elementos: {m, n, pI.
Como 0 C B, temos:
P(B) = {0, {m f, (n}, {p}, {m, n}, {m, pI, {n, pI, {m, n, PII
Observe que:
• no primeiro exemplo 0 conjunto A tem dois elementos e P(A) tem quatro elementos,
ou seja, 22
;
• no segundo exemplo 0 conjunto B tem tres elementos e P(B) tem oito elementos, ou
seja, 23
.
De um modo geral, se urn conjunto A tem n elementos, 0 numero de elementos de P(A)
edado por 2".
Assim, par exemplo, se um conjunto C tem quatro elementos, entao P( C) ted. 24
ele-
mentos.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
17. Dado 0 conjunto A = {2, 4, 6, 8}, escreva todos os subconjuntos de A que tenham:
a) um elemento b) dois elementos c) tres elementos
18. Dado 0 conjunto B = {1, 3, 4}, pede-se:
a) 0 numero de subconjuntos de B com dois elementos.
b) 0 numero de subconjuntos de B.
19. Forme 0 conjunto das partes do conjunto B = {8, 9}.
20. Sendo x = {a, 2, 5}, determine P(x).
21. Escreva 0 conjunto das partes do conjunto A = {p, a, z}.
9

15. 22. De 0 numero de elementos de P(A) nos seguintes casos:
a) A={O,1,2,3,4} c) A={x!xepare4<x<10}
b) A={a,m,o,r} d) A={x!xefmpare3~x<18}
23. 0 numero de elementos de um conjunto A e dado por 2", onde n e 0 numero de elementos de A.
Entao, se P(A) tem 64 elementos, qual 0 valor de n?
24. 0 conjunto das partes do conjunto B tem 512 elementos. Quantos sao os elementos de B?
8. Opera~oes com conjuntos
Diferen~a entre conjuntos
Dados os conjuntos A = II, 2,3,4,5,6, 7} e B = 12,4,6,8, 9}, vamos escrever 0 con-
junto formado pelos elementos de A que nao pertencem ao conjunto B. Obtemos assim 0
conjunto {l, 3, 5, 71, chamado diferen~ entre A e B. Indicando a diferen<;:a entre A e B por
A - B (le-se: A menos B), temos:
A-B=(1,3,5,7}
Vamos mostrar isso graficamente:
A-B
De urn modo geral:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferen~ entre A e B 0 conjunto formado
pelos elementos de A que nao pertencem a B.
Usando simbolos, definimos a diferen<;:a entre dois conjuntos A e B assim:
I A - B = (xix E A e x ~ B) I
Voltando aos conjuntos dados, vamos determinar a diferen<;:a B - A. Os elementos de B
que nao pertencem ao conjunto A sao 8 e 9. Portanto:
B - A = l8,9}
Graficamente, temos:
10

16. I CRA = B - A, em que A C B I
Observas;oes
1. Se A e B sao conjuntos tais que A C B, entio a diferenc;:a B - A e chamada complemen-
tal' de A em Be indicada por CRA (le-se: complementar de A em B).
Em simbolo, temos:
Graficamente, temos:
A regiao colorida representa 0 complementar de A em B.
2. Em particular, se A e subconjunto do conjunto universo U, 0 complementar de A em rela-
c;:ao a U pode ser representado por A' (le-se: A linha) ou A (le-se: A barra). Assim:
A' = A = CuA = U - A
u
Exemplo
Dados A = {a, b, d}, B = {a, b, c, d, c} e U= (a, b, c, d, c,j;gl, calcular:
a)CRA b)CuA=A
SolUfiio
a) Como A C B, entao a diferenc;:a B - A eo complementar de A em relac;:ao a B:
CRA = B - A = {c, c}
b) CuA = A = U- A = lc, c,j;gl
ee
ecoeo
eb
ed
eg
11
er
u

17. EXERCiclOS PROPOSTOS _
25. Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {3, 5, 7} e e = {5, 6, 7, 8, 9}, determine:
a) A - B c) e - B e) e - A
b) A - e d) B - A f) CAB
26. Se B = {m, n} e A - B = {p, q}, quais os possfveis elementos de A?
27. Se B = {V; i} e A - B = {d, a}, determine A com 0 maior numero de elementos.
28. Determine x e y, sabendo que {2, 4, x, 8} - {2, 4, 5} = {6, y}.
29. Dados A = {m, n, p}, B = {m, n, p, q} e e = {m, p}, determine:
a) CaA b) CAe c) Cae
30. Dados U = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7} e B = {5, 6, 7, 8}, pede-se:
- - - -
a) A b) B c) A - B
Intersec~ao de conjuntos
Dados os conjuntos A = 11,2,3,4,5,6, 7}
e B = 12,4,6,8, 101, vamos escrever 0 con-
junto formado pelos elementos comuns ao
conjunto A e ao conjunto B. Obtemos assim 0
conjunto (2,4,61, chamado interseq:ao entre
A e B. Indicando a intersee<rao entre os conjun-
tos A e B por A n B (le-se: A inter B), temos:
An B = (2,4,6)
Vejamos isso no grafico ao lado.
De um modo geral:
Ana
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseq:ao de A com B 0 conjunto formado
pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. A interseCli:ao entre A e Be indi-
cada por A n B.
Usando simbolos, podemos definir a interseCli:ao entre os conjuntos A e B assim:
I An B = lxl x E A ex E B} I
Na intersee<rao de A com B, podem ocorrer tres casos, conforme nos mostram os exemplos:
a)A = (2,3,5,6, 8)
B = 13,5,8, 9}
An B = 13,5,81
b)A=13,5)
B = {2, 3,4, 5, 6)
AnB=(3,51
c) A = 12,3,5}
B = 14,61
An B= 0
Observa~o: se An B = 0, entao os conjuntos A e B sao chamados disjuntos.
12

18. EXERCiclOS PROPOSTOS _
31. Dados A = {1, 3, 4, 5, 7, 8}, B = {1, 3, 5, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9} e 0 = {6, 9, 10}, pede-se:
a) A n B c ) B n C e) (B n C) n 0
b) A n C d) C n 0 f) A n (B n C)
32. Sendo A = {4, 6, x, 8}, B = {1, 2, 7, y, 9} e A n B = {7, 8}, calcule x e y.
33. Sendo A = {x Ix edivisor natural de 18} e B = {x Ix edivisor natural de 24}, determine:
a) 0 conjunto A, indicando seus elementos.
b) 0 conjunto B, indicando seus elementos.
c) 0 conjunto A n B.
d) 0 m.d.c. (18, 24).
34. Dados A = {x E IN' Ix emultiplo de 4} e B = {x E IN' Ix emultiplo de 3}, determine:
a) 0 conjunto A, indicando seus elementos.
b) 0 conjunto B, indicando seus elementos.
c) 0 conjunto A n B.
d) 0 menor mUltiplo comum de 4 e 3.
Reuniao de conjuntos
Dados os conjuntos A = 11,2,3,4,5,6, 7} e B = 12,4,6,8, IO}, vamos escrever 0 con-
junto farmado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Obtemos assim 0 conjunto 11,2,
3,4, 5,6, 7, 8, IO}, chamado reuniao ou uniao de A com'B. Indicando a uniao entre os
conjuntos A e B por A U B (Ie-se: A uniao B), temos:
AU B = 11,2,3,4,5,6,7,8, IO}
Vejamos isso graficamente:
De urn modo geral:
A B
Dados dois conjuntos A e B, chama-se reumao ou uniao de A com B 0 conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A reuniao de A com B e indicada
por AU B.
Usando simbolos, podemos definir a uniao de A com B assim:
AU B = (xl x E A ou x E B}
13

19. Na uniao de A com B, podem ocorrer tre~s casos, conforme nos mostram os exemplos:
a)A= {O,2,4,51
B = {2, 4, 5, 6}
AU B = {a, 2, 4,5, 6}
b)A= {O,I,3,5,6}
B = {l, 3, 51
AU B = {a, 1,3, 5,61
c)A = {I, 3, 5}
B = [2,4}
AU B = {I, 2, 3,4, 5}
C)el
e5
e3 (::')
~J
OPOSTOS _
35. Sendo A = {2, 5, 8), B = {3, 4, 5, 7, 8), e = {2, 8) eO = {5, 7, 8), determine:
a) AU B c) B U 0 e) (e U 0) U B
b) A U e d) A U 0 f) A U (e U 0)
36. Dados A = {x E IN [xe par e menor que 10}, B = {x E IN [2 < x < 8} e e = {XE IN Ixe divisor de 12},
determine:
a) A U B b) B U e c) AU e d) (A U B) U e
37. Se x E A e x ff; B, identifique as sentenyas verdadeiras.
a) x E (A U B) b) x E (A n B) c) x E (A - B) d) x E (B - A)
38. Sabendo-se que A c S, identifique a sentenya falsa (se achar necessario, construa diagramas).
a) AU B = B b) An B = A c) A - B = 0 d) An B = B
Resolu~ao de expressoes
que associam opera~oes entre conjuntos
Vamos agora resolver algumas express6es envolvendo as operac;:6es estudadas: diferenc;:a,
complementar, intersecc;:ao e undo.
Exemplos
Dados os conjuntos A = {a, 1,3, 41, B = {2, 3,4, 51, C = {4, 5} e D = {5, 6, 7}, determinar:
a) (A U C) n B b) (B n C) U D c) (B - A) n C d) (CBC) U (A n B)
Solufao
a) (A U C) n B = {a, 1, 3,4,51 n {2, 3,4,5} = {3, 4,5)
-...,..--
[-----_.
b) (B n C) U D = {4, 5} U {5, 6, 7) = {4, 5, 6, 7}
~
c) (B-A) n C= {2, 5} n {4, 51 = {5)
d) (CBC) U (A n B) = {2, 3) U {3, 4} = {2, 3, 4}
---+ _J
14

20. EXERCiclOS PROPOSTOS _
39. Dados os conjuntos A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6, 7}, C = {5, 6, 7} e 0 = {2, 4}, determine:
a) (A n B) U C d) (C nO) U A g) B - CAD
b) (C U 0) n B e) (B - A) U 0 h) CA(A n 0)
c) (A n 0) U (A n C) f) B - (C U 0) i) (A - 0) U (B - C)
40. Sejam A, Be C tres conjuntos quaisquer e U 0 conjunto universo. Identifique, entre as seguintes afir-
mayoes, aquelas que sao verdadeiras.
a) Se A n B = A, entao A c B.
b) Se A c Be A c C, entao A c (B n C).
c) x E (A - B) .,. x E A ex(/'. B
d) A n B = 0 => A = 0 ou B = 0
e) An B = A US
f) BUS = U
41. Dados A ={1, 2, 3}, B ={1, 2, 3, 4} e C ={2, 3, 4, 5}, calcule:
a) CB(A n C) b) C(A u c)B c) CdB- A)
42. Se A = {xix enumero fmpar eO < x < 10}, B = {x Ix> 0 edivisor de 24} e C = {xix enumero par
e 2 < x < 13}, determine:
a) (A n C) U B b) C - (A n B) c) (A n B) U C
43. Uma operayao .i entre os conjuntos A e Be definida por M.iN = (M n N) U (M - N). Sendo
M = {a, b, c, d} eN = {b, c, e, f}, calcule M.iN.
9. Numero de elementos
da reuniao entre conjuntos
Indicando por n(A) 0 numero de elementos do conjunto A; n(B) 0 numero de elemen-
tos B; n(A U B) 0 nllmero de elementos de A U Be n(A n B) 0 numero de elementos de
A n B, evalida a seguinte relas:ao:
I n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B) I
Verifiquemos a validade dessa relas:ao no esquema abaixo:
A--~
.0.b
• c
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B)
'----v------J ~
9 5 + 6 2
Essa relas:ao eimportante na resolus:ao de certos problemas, como veremos a seguir.
Exemplo 1
Sendo n(A) = 10, n(A n B) = 3 e n(A U B) = 12, calcular 0 numero de elementos de B.
Soluyiio
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B), ou seja:
12 = 10 + n(B) - 3 ~ 12 = 7 + n(B) ~ n(B) = 12 - 7 ~ n(B) = 5
o numero de elementos de B e5.
15

21. Exemplo 2
Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou urn trabalho sobre Ecologia, tendo sido
indicados dois livros sobre 0 assunto. 0 livro A foi consultado por 26 alunos e 0 livro B, por
28 alunos. Pergunta-se:
a) Quantos alw10S consu.ltararn os dois livros?
b) Quantos alunos consultararn apenas 0 livro A?
Soluyiio
a) n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B)
48 = 26 + 28 - n(A n B)
48 = 54 - n(A n B)
n(A n B) = 6
Os livros A e B foram consultados
por 6 alw10s.
u
b) Entre os 26 alunos que consultaram 0 livro A, existem 6 alunos que consultaram tambern
o livro B. Logo, 0 numero de alunos que consultararn apenas 0 livro A e 26 - 6 = 20.
Exemplo 3
Desejando verificar qual 0 jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os
resultados constantes da tabela abaixo:
A
300
B
250
C
200
AeB
70
Ae C Be.C A, Be C Nenhum
65 105 40 150
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas leem apenas 0 jornal A?
b) Quantas pessoas leem 0 jornal A ou B?
c) Quantas pessoas nao leem 0 jornal C?
d) Quantas pessoas foram consultadas?
Para resolver 0 problema vamos recorrer aos
diagramas.
Em A n B n C colocaremos 40 e na regiao
complementar de AU B U C,150.
u
Como n(A n B) = 70 elementos e ja foram
colocados 40, restam 30 elementos para com-
pletar a regiao A n B.
Da mesma forma:
n(A n C) - 40 = 65 - 40 = 25
n(B n C) - 40 = 105 - 40 = 65
16
A
u
150

22. Para completar 0 conjumo A, devemos colocar:
300 - (30 + 40 + 25) = 300 - 95 = 205
Da mesma forma:
n(B) - 135 = 250 - 135 = US
n(C) - 130 = 200 - 130 = 70
A
150
u
Agora, consultando 0 diagrama, podemos responder as questoes:
a) 205 pessoas leem apenas 0 jornal A.
b) 205 + 30 + 40 + 25 + 65 + US = 480 ou
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B) = 300 + 250 - 70 = 480
480 pessoas leem 0 jornal A ou B.
c) 205 + 30 + US + 150 = 500
500 pessoas nao leem 0 jornal C.
d) 205 + US + 70 + 30 + 25 + 65 + 40 + 150 = 700
Foram consultadas 700 pessoas.
EXERCiclOS PROPOSTOS
44. Sendo n(A) = 18, n(B) = 22 e n(A n B) = 10, calcule n(A U B).
45. Sendo n(A U B) = 70, n(A) = 30 e n(B) = 60, calcule n(A n B).
46. Num vestibular eram eliminados os candidatos que nao obtivessem a nota minima 3,0 em mate-
matica e redac;:ao. Ap6s a apurac;:ao dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330 candi-
datos, sendo 236 em matematica e 210 em redac;:ao. Quantos candidatos foram eliminados nas
duas disciplinas?
47. Numa pesquisa sobre as emissoras de teve a que habitualmente assistem, foram consultadas 450
pessoas, com 0 seguinte resultado: 230 preferem 0 canal A; 250, 0 canal B; e 50 preferem outros
canais diferentes de A e B.
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?
b) Quantas pessoas assistem ao canal A e nao assistem ao canal B?
c) Quantas pessoas assistem ao canal Be nao assistem ao canal A?
d) Quantas pessoas nao assistem ao canal A?
48. Examinando as carteiras de vacinac;:ao das crianc;:as de uma creche, verificou-se que 60% receberam
a vacina Sabin, 80% receberam a vacina contra 0 sarampo e 10% nao foram vacinadas. Pede-se:
a) a porcentagem de crianc;:as
que receberam apenas
a vacina Sabin;
b) a porcentagem das que
receberam apenas a vacina
contra 0 sarampo;
c) a porcentagem das que
receberam as duas vacinas.
17

23. 49. 0 quadro abaixo mostra 0 resultado de uma pesquisa sobre as revistas que os estudantes do 2Q
grau
costumam ler:
A
50
B
54
G
40
AeB
22
AeG BeG
20 16
A, Be G
12
Nenhuma
12
Pergunta-se:
a) Quantos foram os estudantes consultados?
b) Quantos estudantes leem apenas a revista A?
c) Quantos estudantes leem a revista Be nao leem a C?
d) Quantos estudantes nao leem a revista A?
e) Quantos estudantes leem a revista A ou a revista C?
TUNEL DO TEMPO
Georg Cantor nasceu na Russia, na cidade de Sao
Petersburgo, em 1845. A partir dos 11 anos, mudou-se para
a Alemanha, onde iniciou seus estudos de filosofia, fisica e
matematica.
No campo da matematica dedicou-se especialmente ao estu-
do da teoria dos nlimeros. Admitindo a ideia de que "nume-
ras:oes definidas podem ser feitas com conjuntos infinitos tao
bern quanta com finitos", propos uma serie de definis:oes e Georg Cantor.
proposis:oes que deram origem ateoria dos conjuntos.
Cantor, considerado hoje urn dos mais notaveis matematicos de seu tempo, recebeu
naquela epoca severas criticas pelo seu trabalho. as continuos e duros ataques feitos pe-
10 alemao Leopold Kronecker (1823-1891) the valeram sucessivos esgotamentos ner-
vosos. Quase no final de sua vida (faleceu em 1918) recebeu 0 reconhecimento pelo seu
grandioso trabalho. A teoria dos conjuntos venceu e hoje e aplicada nao somente em
matematica como tambem em outras areas do conhecimento humano.
Sobre a teoria dos conjuntos, David Hilbert (1862-1943), urn dos maiores
matematicos alemaes do seculo XX, assim se expressou: "Ninguem nos expulsara do
parafso que Cantor criou para nos".
RELEMBRANDO CONCEITOS
• x E A indica que x pertence ao conjunto A.
• x $. A indica que x nao pertence ao conjunto A.
• A C B indica que A esta contido em B.
• A et. B indica que A nao esta contido em B.
• A ::J B indica que A cantem B.
• A 1J B indica que A nao cantem B.
• A U B indica a uniao de A com B.
• A n B indica a intersecs:ao de A com B.
• A - B indica a diferens:a entre A e B.
• CAB = A - B indica a complementar de Bern relas:ao a A.
• .Ifindica a complementar de A em relas:ao ao conjunto universo U.
• n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B).
18

24. EXERCiclOS COMPLEMENTARES
50. Se A, B e C sao conjuntos nao-vazios e 0 e 0 conjunto vazio, quais das seguintes sentent;:as sao
verdadeiras?
a) {xix EO A e x EO B} = A - B
b) {xix EO A e x EO B} = An B
c) {xix EO A ou x EO B} = A U B
d) {xix EO A ex(/. B} = A - B
e) AU 0 = 0
f) AcBeBCC=> AcC
51. Dados os conjuntos A e B, assinale as proposit;:6es falsas.
a) Se A U B = B, entao A C B d) 3A IA U B = A
b) Se A c B, entao CBA = A - B e) VA, VB, A - B c A
c) VA, VB, (A n B) C A f) Cu(A n B) = CuA n CuB
52. Dados os conjuntos A, Be C, nao-vazios, encontre as proposit;:6es que sao verdadeiras.
a) x EO A e x EO B => x EO (A n B). d) x EO A => x EO A .
b) x EO A ex(/. B => x EO (A U B). e) x EO (A U B) => x EO A ou x EO B.
c) x EO (A - B) => x EO A ex(/. B. f) Se A C B, entao x EO Be x (/. A.
53. Nas sentent;:as abaixo, assinale V para as sentent;:as verdadeiras e F para as falsas.
a) {2} C {2, 3}
b) {2} EO {{2}, {3}, (2, 3)}
c) 0 C {2}
d) 2 EO {{2}, {3}, (2, 3)}
e) 2 C {2, 3}
f) {2, 3} C ({2, 3)}
54. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 6} e C = {4, 5}, pede-se:
a) CAC b) (A - B) U C c) A - (B n C) d) (A U B) - (A n B)
55. Sendo A = {{1}, {2}, {1, 2}}, B = {1, 2, {1}, {2}}, pede-se:
a) A U B b) A n B c) A - B d) B - A
56. Sabendo que M = {2, 3, 4, 5, 6}, M U N = {2, 3, 4, 5, 6} e M n N = {2, 3, 4}, determine 0 con-
junto N.
57. Se A = {1, 3, 4, 5, 6}, A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A n B = {5, 6}, determine 0 conjunto B.
58. 0 conjunto das partes de um conjunto A e indicado por P(A). Se A = {s, a, I, V, e}, quantos elemen-
tos tem P(A)?
59. Dados os conjuntos A = {n, U, m, e, r, o} e B = {z, e, r, a}, quantos sao os subconjuntos de
(A U B) - (A n B)?
60. Sendo A = {1, 3} e B = {2, 3}, determine 0 numero de elementos de P(A) n P(B).
61. Sendo P(A) 0 conjunto das partes do conjunto A, quantos sao os elementos de P(P(0))?
62. Dados os conjuntos A, Be A n B, com 30, 50 e 1°elementos, respectivamente, quantos elementos
tem 0 conjunto A U B?
63. Numa escola, a area de ciencias exatas tem 16 professores, sendo que 6 leeionam apenas matema
tica, 5 apenas ffsica e 7 lecionam outras disciplinas distintas de matematica e ffsica. Quantos sao os
professores que lecionam matematica e ffsica?
19

25. 64. Uma escola ofereceu a seus alunos aulas de refor<;:o em matematica (M), ffsica (F) e quimica (0).
a numero de alunos matriculados constam da tabela abaixo:
~I~
Pergunta-se:
a) Quantos alunos se inscreveram apenas para as aulas de matematica?
b) Quantos alunos se inscreveram apenas para as aulas de qufmica?
c) Quantos alunos se inscreveram para as aulas de ffsica ou de qufmica?
d) Quantos alunos se inscreveram apenas em ffsica e matematica?
65. A determinat;:ao do tipo sanguineo de uma pessoa deve-se apresent;:a (ou nao) dos antfgenos A e
B no sangue. Se uma pessoa possuir somente 0 antfgeno A, ela edo tipo A; se tiver somente 0 antf-
geno B, edo tipo B; se tiver ambos, edo tipo AB, e se nao tiver nenhum edo tipo 0. Num grupo de
70 pessoas verificou-se que 35 apresentam 0 antfgeno A, 30 apresentam 0 antfgeno B e 20 apre-
sentam os dois antfgenos. Quantas pessoas sao do:
a) tipo A? b) tipo B? c) tipo AB? d) tipo O?
TESTES _
66. (U. Cat6lica de Salvador-SA) Sejam A, B, CeO conjuntos nao-vazios e tais que A c Be CeO.
Nessas condit;:6es, 0 conjunto (B - A) U (C - B) U (0 - C) eigual a:
a) 0 - A b) A U C c) B n O d ) A e) C
67. (Unifor-CE) Se A = {1}, B = to, 1} e C = to, 1, 2}, entao everdade que:
a) CA(A n B) = (1} d) CaA U CcB = {O, 1}
b) CdA U B) = {1, 2} e) CdA U B U C) = (O}
c) Ca(A n B n C) = {O}
68. (UFCE) Sejam os conjuntos K = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}, P1 = {1, 5, 7} e P2 = {3, 7, 8}.
Se P1 = {x E K; x(/: P1} e P2 = {x E K; x(/: P2}, entao P1 n P2 e0 conjunto:
a) {1, 2} b) {2, 9} c) {3, 5} d) {5, 9}
69. (Unirio) Considerando os conjuntos A, Be C, a regiao colorida no diagrama representa:
a) AU (C - B)
b) An (C - B)
c) An (B - C)
d) AU (B - C)
e) (A U B) - C
70. (PUC-PR) A regiao assinalada no diagrama representa:
a) (A n B) U C
b) (A - B) U (B - C)
c) (A - C) n (B - C)
d) (A - B) n (C - 0)
e) (A n C) - (B n C)
c
20

26. 71. (Vunesp) Se A n B = {a} e A U B = {a, b, C, d}, podemos afirmar que:
a) C esta em A e em B.
b) C nao esta em A, mas esta em B.
c) C nao esta em B, mas esta em A.
d) se b "* a, entao b nao esta em A ou b nao esta em B.
e) {b, c, d} c A ou {b, c, d} c B.
72. (Imes-SP) Se A e um conjunto finito qualquer, indicamos por n(A) 0 numero de elementos de A.
Sendo Be C dois conjuntos finitos quaisquer, assinale a afirmayao verdadeira.
a) n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B n C)
b) n(B U C) = n(B) + n(C) + n(B n C)
c) n(B n C) = n(B) + n(C) + n(B U C)
d) n(B n C) = n(B) - n(C)
e) n(B U C) = n(B) + n(C)
73. (U. F. Fluminense-RJ) Considerando tres conjuntos P, Q e R diferentes, tais que P n Q n R"* 0,
sao feitas as seguintes afirmay6es:
I. Pelo menos um dos conjuntos tem mais do que um elemento.
II. Pelo menos dois desses conjuntos tem, na sua intersecyao, dois elementos.
III. A uniao dos tres conjuntos tem, pelo menos, tres elementos. Entao pode-se concluir que somente:
a) a afirmativa I everdadeira. d) as afirmativas I e III sao verdadeiras.
b) a afirmativa II everdadeira. e) as afirmativas II e III sao verdadeiras.
c) as afirmativas I e II sao verdadeiras.
74. (UEBA) Sejam os conjuntos formados por numeros naturais:
A = conjunto dos multiplos de 3, B = conjunto dos divisores de 30 e C = conjunto dos numeros
pares. 0 numero de elementos de A n B n C e:
a) 2 b) 0 c) 3 d) 1 e) 4
75. (UFSE) Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que X - A = {O, 1, 5, 6) e
X - B = {O, 4, 6}. Se A n B = {2, 3}, 0 conjunto A U Be igual a:
a) {1, 4, 5) d) {1, 2, 3, 4, 5}
b) {O, 2, 3, 5} e) {O, 2, 4, 5, 6}
c) {1, 2, 3, 4}
76. (Mackenzie-SP) Se A = {3, 7} e B = {7, 8, 9}, entao 0 numero de elementos do conjunto Mtal que
An M = {3}, B n M = {8) e AU BUM = {3, 7, 8, 9, 10} e:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
77. (Unifor-CE) Indica-se por n(X) 0 numero de elementos de um conjunto X. Se dois conjuntos A e B sao
tais que n(A) = 7, n(B) = 5 e n(A n B) = 3, quantos elementos tem 0 conjunto (A - B) U (B - A)?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
78. (Osec-SP) Os conjuntos A e B tem, respectivamente, 16 e 8 subconjuntos. 0 conjunto A n B tem
dois elementos. Quantos elementos tem 0 conjunto A U B?
a) 22 b) 9 c) 7 d) 5 e) 3
79. (PUC-RJ) Dez mil estudantes fizeram exames
para as universidades A, Be C; 50% dos estu-
dantes foram aprovados na universidade A;
20% dos que passaram em A tambem passa-
ram em B; apenas 10% dos estudantes que
foram aprovados em A e B tambem passaram
em C. Quantos estudantes passaram somente
nas universidades A e B?
a) 900
b) 100
c) 3200
d) 800
e) 1 000
21

27. 80. (PUC-MG) Em uma classe de 45 meninas, cada uma delas ou tem cabelos pretos ou olhos casta-
nhos, 35 tem cabelos pretos e 20 tem olhos castanhos. 0 numero de meninas que tem cabelos pre-
tos e olhos castanhos e:
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
81. (Unisinos-RS) Numa pesquisa, realizada em alguns colegios de 22 grau, sobre a preparayaO dos alu-
nos para 0 concurso vestibular 94, foram obtidos os seguintes resultados:
Com base nesses dados, 0 numero de alunos consultados foi:
a) 378 b) 414 c) 450 d) 510 e) 514
82. (F. M. Pouso Alegre-MG) Numa cidade foi feito um levantamento para se saber quantas crianyas
haviam recebido as vacinas Sabin, Trfplice e contra 0 sarampo. Os dados obtidos foram:
Vacinas
I
Numero de crian~as ."
Sabin 5428
Trfplice 4346
Sarampo 5800
Sabin e Trfplice 812
Sabin e sarampo 904
Trfplice e sarampo 721
Trfplice, Sabin e sarampo 521
Nenhuma 1644
Entre as crianyas abrangidas pela pesquisa, assinale a alternativa falsa.
a) 4 233 crianyas receberam apenas a Sabin.
b) 3 334 crianyas receberam apenas a Trfplice.
c) 4 696 crianyas receberam apenas a de sarampo.
d) 874 crianyas receberam pelo menos duas vacinas.
e) Nenhuma.
83. (Mackenzie-SP) Dez mil aparelhos de teve foram examinados depois de um ana de usa e constatou
se que 4 000 deles apresentavam problemas de imagem, 2 800 tinham problemas de som e 3 500
nao apresentavam nenhum dos tipos de problemas citados.
Entao 0 numero de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem e:
a) 4 000 b) 3700 c) 3 500
22
d) 2 800 e) 2 500

28. Capitulo
Conjuntos numericos
I. Introdu~ao
Embora a ideia de nllinero acompanhe 0 homem desde os tempos mais primitivos, foram
necessarios muitos milhares de anos para chegarmos aos atuais conjuntos numericos.
Urn dos responsaveis pelo sistema de numeras:ao decimal, adotado universalmente, foi 0
matematico arabe Mohammed Ibu-Musa Al-Khowarizmi (780-850).
Ele escreveu varios livros sobre astronomia e dois sobre aritmetica e algebra. Estes ultiffios
tiveram importante papel na hist6ria da matematica. Seu livro De numero hindorum (Sobre a
arte hindu de calcular), em que Al-Khowarizmi nos fala sobre os numerais hindus e a forma
de opera-los, tornou-se 0 principal vekulo de divulgas:ao dos numeros decimais na Europa
ocidental. 0 sistema hindu de numeras:ao foi tao bern exposto, que acabou passando a
impressao de que 0 nosso sistema numerico e de origem arabe.
Convem ressaltar que Al-Khowarizmi em nenhum momenta manifesta a pretensao de
originalidade. Ate pelo contrario: ele assume claramente que 0 sistema decimal e originario
da India.
Como homenagem aimporrancia de sua obra, Al-Khowarizmi teve seu nome perpetuado
em duas palavras do sistema de numeras:ao decimal:
• algarismo, para indicar as simbolos hindo-aribicos 0, 1,2,3,4,5,6, 7, 8 e 9; e
• algoritmo, para se referir a qualquer regra especial de processo ou operas:ao.
Neste capitulo iremos rever os conjuntos numericos estudados ao longo do curso de
1Q grau.
2. Conjunto dos numeros naturais
o conjunto dos numeros naturais, conforme ja foi visto, e representado pela letra IN:
IN = {O, 1,2, 3, ... }
Retirando-se do conjunto IN 0 numero zero, obtemos 0 conjunto dos numeros naturais
nao-nulos:
IN* IN - {OJ (1,2,3, ... 1
Lembrando que, na representas:ao de dois numeros naturais a e b (com a < b) na reta
numerica, 0 numero a fica situado aesquerda de b, temos:
o 2
23
4 x

29. EXERCiclOS PROPOSTOS _
1. Dados os numeros naturais a e b, quais das seguintes sentenyas sao verdadeiras?
a) 5e a e b forem pares, entao a + b epar.
b) 5e a e b forem impares, entao a + be impar.
c) 5e a for par e b for fmpar, entao a + b efmpar.
d) 5e a for par e b for fmpar, entao a . be impar.
e) 5e a e fmpar, entao a2
sera impar.
f) 5e b2
epar, entao b epar.
g) 5e a e b forem primos entre si, 0 m.m.c. de a e be 0 produto a . b.
h) 5e a e b forem primos entre si, 0 m.d.c. de a e be 1.
2. Responda:
a) Qual 0 maior numero natural de dois algarismos cUjo quadrado tern tres algarismos?
b) Escrevendo todos os numeros naturais de 1 a 100, quantas vezes escrevemos 0 algarismo 3?
3. Usando quatro vezes 0 algarismo 3, eposslvel escrever alguns numerais naturais. Por exemplo:
• 0 numero zero ---> 33 - 33;
• 0 numero 1 ---> 33 : 33;
• 0 numero 2 ---> (3 : 3) + (3 : 3);
• 0 numero 3 ---> 3 . (3 - 3) + 3.
Usando quatro vezes, 0 algarismo 4, escreva todos os numerais naturais de 1 a 10.
3. Conjunto dos numeros inteiros
o conjunto dos numeros inteiros erepresentado pela !etra 7L.
7L = {..., -3, -2, -1,0,1,2,3, ... 1
Representemos 0 conjunto dos nLlmeros inteiros na reta numerada:
-3 -2 -I o 2 x
Do conjunto dos nllmeros inteiros merecem destaque os seguintes subconjuntos:
a) conjunto dos nLlmeros inteiros nao-nulos:
7L* = 7L - (01 (... , -3, -2, -1, 1,2,3, ... j (xE7L1x:;i:01
-4 -3 -2 -I 2 4 x
b) conjunto dos numeros inteiros nao-positivos:
7L- = {..., -3, -2, -1, OJ = Ix E 7L Ix:OS; 01
-4 -3 -2 -I o x
c) conjunto dos nLuneros inteiros negativos:
7L~= I..., -3, -2, -lj = IxE 7L1 x< OJ
-4 -3 -2 -I x
d) conjunto dos nLlmeros inteiros nao-negativos:
7L+ = 10,1,2,3, ... j = IN = Ix E 7L Ix;:;': OJ
o
24
2 4 x

30. e) conjunto dos numeros inteiros positivos:
1'.t = {1,2, 3,4, ... J = fN* = {xE 1'.1 x> 01
2 4 x
EXERCiclOS PROPOSTOS _
4. Usando os sfmbolos E, ri, C ou :::J, estabelec;;a relac;;ao entre:
a) 3 e IN e) 0 e IN
b) 3 e 7L f) 0 e 7L*
c) -3elN g) Oe7L+
d) -3 e 7L h) 0 e 7L-
i) IN e 7L
j)7L_e7L
I) 7L* e 7L*_
m) 7L*+ e 7L
5. Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos:
a) {x E 7L Ix > -3} e) {x E 7L 1-2 ~ x ~ 2}
b) {xE7Llx~ 2} f) {xE7L*_lx>-2}
c) {x E 7L* 1-3 < x < 3} g) {x E 7L+ Ix < -3}
d) {x E 7L+ Ix ~ 4} h) {x E L 1-3 < x < 4}
6. Classifique cada sentenc;;a como verdadeira (V) ou falsa (F).
a) x 2
= 36", x = 6 (x E IN) c) 3x E 7L I2x = -5
b) x2
= 36", x = -6 (x E 7L) d) "Ix E 7L '" Ox = 0
4. Conjuntos dos numeros racionais
Chama-se nfunero racional todo nllmero que pode ser colocado na forma de razao P
q'
com p E 1'. e q E 1'.*.
Observa~ao: todo numero racional pode ser representado por uma fra~ao (razao) em que 0
numerador e 0 denominador sao primos entre si, ou seja, por uma fra~ao irredutivel.
Assim sendo:
• Todo numero inteiro eracional.
Veja os exemplos:
a) °eracional, pois pode ser colocado na forma °1
b) - 3 eracional, pois pode ser colocado na forma ~3
.
c) 5 eracional, pois pode ser colocado na forma 5
1
• Todo numero decimal exato eracional.
Veja os exemplos:
a) 0,5 eracional, pois pode ser colocado na forma 5
10
b) 2,21 eracional, pois pode ser colocado na forma 221
100
25

31. • Todo numero decimal peri6dico eracional.
Veja as exemplos:
a) 0,444... b) 3,444... c) 0,3444 d) 0,131 313... e) -0,21313 ...
Mostremos que as exemplos dadas podem ser colocados na forma : ' com q oF O.
a) 0,444...
Chamando 0,444 de x, podemos escrever:
x = 0,444 CD
Multiplicando as dais membros par 10, temos:
lOx = 4,444... @
Subtraindo 0 de @, vern:
4lOx - x = 4,444... - 0,444... ~ 9x = 4 ~ x =
9
4
Logo, 0,444... = 9 Portanto eracional.
b) 3,444... 4
Temos: 3,444... = 3 + 0,444... = 3 +
9
31
9
c) 0,3444...
x = 0,3444... CD
lOx = 3,444... @
100x = 34,444... @
@ - @ =100x - lOx =34,444... - 3,444... ~ 90x =31 ~ x =
31
90
d) 0,131313 ...
x = 0,1313... CD
100x = 13,1313... ®
® - CD= 100x - x =13,1313... - 0,1313...
e) -0,21313 ...
x = -0,21313 .
lOx = -2,131 3 ~ lOx = -2 - 0,131 3... ~
~ 99x = 13 ~ x = 13
99
~ lOx = - 2 _ 13 ~
99
lOx = -211
99
-211
~ x=--
990
Conhecidos as numeros racionais e indicando par <Q a conjunto que as representa, temos:
<Q = {xIx= : ' em que p E 71.. e q E 71.. *}
26

32. Vamos destacar as seguintes subconjuntos de <0:
<0* = Ix E <01 x *- 01-> conjunto dos numeros racionais nao-nulos;
<0- = Ix E <0Ix ~ 0) -> conjunto dos numeros racionais nao-positivos;
<o~ = Ix E <01 x < 01-> conjunto dos numeros racionais negativos;
<0+ = Ix E <01 x ~ OJ -> conjunto dos nllmeros racionais nao-negativos;
<O~ = Ix E <01 x> 01-> conjunto dos nllmeros racionais positivos.
Representemos na reta numerada, onde ja se encontram fixados as numeros inteiros, as
. , . . -3 -1 1 1 7
segull1tes numeros raClOnalS: ~, 4' 3' 2 e 3'
-2
•-3
2
-I
• I • •
-I 0 1 I
4" 32
I •
2 7
3
x
Com'em observar que dados as numeros raClonaIS a e b sempre existira entre eles
, a + b b' . 1 A . 1 1 1 . ,a numero ---, tam em raClona. SSlm, par exemp 0, entre - e - eXlste a numero
2 4 2
~+~
3 _ 4 2
8 2
1
4"
•3
8'
1
2
x
EXERCiclOS PROPOSTOS
7. Identifique as senten<;:as verdadeiras.
a) -5 E IN e)
3
i) 0,12 E '0
5
E
b) -5 E lL f)
3
ElL j) 0,1222... E '05
c) -5 E '0 g)
3
E'O-
I) lL E '05
d) °E '0 h) 3 E '0* m) '0: u '0- = '0
5
8. Escreva na forma ~ ,q =1= 0, com p e q primos entre si:
a) 0,5
b) 2,4
c) -0,25
9. Calcule a valor das express5es:
a) 2-1
+ ~
d) 0,55
e) 0,55 ..
f) 0,355 .
c)
1- 3,15' 0,2
0,3737 ...
g) 2,1
h) 2,111 ...
i) 2,3111...
d)
27
a2
- ab2
1
- - - - , para a = -1 e b =--
2a - 3b 2

33. 5. Conjunto dos numeros irracionais
a fato de sempre existir, entre dois numeros racionais, urn outro numero racional nao sig-
nifica que os numeros racionais preencham completamente os pontos da reta, 0 que vale di-
zer que existem pontos da reta que nao representam nluneros racionais. A esses pontos asso-
ciamos os nfuneros irracionais.
Urn exemplo disso e 0 nllmero ,2, que nao e racional, e, no entanto, existe urn ponto
da reta que 0 representa, conforme podemos verificar pela figura:
I
!1f----------,--+I-------..o 1,[2 2
De acordo com 0 teorema de Pitagoras:
x 2
= 1 + 1 ~ x 2
= 2 ~ x = "2
Mostremos que E nao e nllmero racional.
De fato, se ,'2 fosse racional, entao deveriam existir dois numeros p e q primos entre si,
tal que -v2 = L, ou seja, p = E q.
q
Elevando ambos os membros ao quadrado, teremos: p2 = 2q2. Logo, p2 e par e conse-
qiientemente p e par, pois, se p fosse impar, p2 tambem seria impar.
Fazendo p = 2k (k E /l), teremos: 4k2 = 2 q2~ 2k2 = q2. Logo, q2 e par e entao q e par.
a fato de p e qserem pares nos mostra que a hip6tese de p e qserem primos entre si e falsa.
Logo, nao existe 0 numero racional : ,tal que ,12 = L. Portanto ,0: e numero irra-
. al qcIOn .
De urn modo geral, toda raiz nao-exata assim como todo nfunero decimal nao-exato e
nao-peri6dico sao irracionais.
Considere como exemplo 0 numero n = 0,151617.... Nele, ve-se claramente que a parte
decimal tern uma infinidade de elementos formados por pares de numeros sucessivos. Assim,
desejando expressar n com mais casas decimais, teriamos:
n = 0,15161718 .
n = 0,1516171819 etc.
Esse numero decimal nao e peri6dico nem exato. Ele e urn exemplo de numero irracional.
Vejamos outros exemplos de numeros irracionais:
a) Escritos na forma decimal: 0,373 373 337...; 0,412 413 414...; 2,121 221 222...;
1T = 3,14159...
b) Escritos na forma de radical: .J5; - 3; Vi; V5; 2 E; tfi3.
3
Observa~o: convem lembrar que todo radical pode ser escrito na forma de potencia,
como nos exemplos:
28

34. Racionaliza~ao de denominadores
Quando 0 denominador de uma fra~ao for um numero irracional escrito na forma de radi-
cal, e POSSIVe! racionaliza-Io multiplicando 0 numerador e 0 denominador por um numero
conveniente, como nos exemplos:
a) 5 =
3
_ 5,,3 _ 5-3
- ,32 --3-
2(4 + ,f5)
EXERCICIOS PROPOSTOS
10. Classifique cada um dos seguintes numeros em racional ou irracional.
3
a) 5 d) 0,211... g) ,8 j) 2
4
2
1
b) 3,6 e) 0,212212221 ... h) "0,25 I) 4
2
c) "3 f) ~8 i) ~25 m) 0,323 334 35...
11. Dado 0 conjunto {-3,1; -2; ~ ; 0,050050005 ... ; "1; ""2},dest?que 0 subconjunto dos numeros
racionais.
12. Assinale V para as senten<;:as verdadeiras e F para as falsas.
Se 8 e b sao dois numeros irracionais, entao:
a) 8 + be um numero irracional.
b) 8 + b pode ser um numero racional.
c) 8' be racional.
d) 8' be irracional.
e) existem valores de 8 e b de modo que 8 . be racional.
f) 8
2
pode ser um numero racional.
13. Racionalize 0 denominador das fra<;:6es:
a) 5
c)
2
e)
2"3
~ "2 - 1 3"2
b) d)
2
f)
6
~
13 "6 - "2 2 + " 15
14. Efetue:
a) ("5 + 2)2 c) (2"5 - 3,2 )2
b) ("5 - 2)("5 + 2) d) 2(2"2 - 33)
6. Conjunto dos numeros reais
Chama-se nu.mero real todo nllmero racional ou irracional, ou seja, 0 conjllnto dos
numeros reais (IR) ea rellniao do conjllnto dos numeros racionais (<Q) com 0 conjllnto dos
numeros irracionais (0): IR = <Q U O.
29

35. o diagrama ao lado nos mostra a relaS;ao entre os conjuntos estudados. Observe que:
r - - - - - - - - - - - - - IR------,
A imagem de todos os nllmeros racionais, juntamente com a imagem de todos os nllme-
ros irracionais, preenche completameme a reta numerada, chamada agora reta real.
Vamos construir a reta real e representarmos nela alguns de seus pontos:
---+1---+-1---+1--+-1J. /.d------l---+---1--+--1-----+-+1----'.
-3 - 2,6 -2 -..fi -I -1 0 I l..fi ..f3 2 2,55 1T x
2" "4
EXERCICIOS PROPOSTOS
15. Identifique as sentenc;:as verdadeiras.
a) ~E 7L c) ~E e) .J5 E 7L g) .J5 E 0
4 4
b) ~E <Q d) ~E IR f) .J5 E <Q h) .J5 E IR
4 4
16. Resolva a equac;:ao 2x2
+ 3x - 2 = 0 de acordo com 0 conjunto universe dado.
a) U = 7L
b) U = <Q
c) U = 0
d) U = IR
17. Resolva a equac;:ao ~ - 4x + 2 = 0, tendo como conjunto universe:
a) U = 7L
7.lntervalos
b) U = <Q c) U = 0 d) U = IR
Os subconjumos dos nllmeros reais determinados por desigualdades sao chamados inter-
valos. Vamos estudar alguns desses intervalos. Para isso vamos considerar dois nllmeros reais
II e b, com a < h.
• Intervalo fechado: equalquer conjunto do tipo Ix E IR Ia ~ x ~ hI, geralmente indicado
por [a, b). Entao: [a, h) = Ix E IR la ~ x ~ hJ. Os nllmeros reais a e hsao chamados extre-
mos do intervalo.
30

36. Representas:ao na reta:
•a
•b x
Exemplo { ~
o intervalo fechado de extremos - ~ e 2 eescrito [ - ; , 2] = x E IR 1-; ~ x ~ 2J
e representado na reta numerada assim:
• •2 x
• Intervalo aberto: equalquer conjunto do tipo lx E IR Ia < x < b}, geralmente indicado por
]a, h[ ou por (a, b). Entao: ]a, b[ = Ix E IR [a < x < b}.
Representas:ao na reta:
o
a
o
b x
Observa~o: a bolinha vazia indica que 0 extremo nao pertence ao intervalo e a bolinha
cheia indica que 0 extremo pertence ao intervalo.
Exemplo
o intervalo aberto de extremos -.J5 e - -fi eescrito
]- 5, - 2 [ = Ix E IR 1-"/5 < x < - -fil e representad.o na reta numerada assim:
o o
-../2 x
• Intervalo fechado aesquerda e aberto adireita: equalquer conjunto do tipo
Ix E IR la ~ x < b}, indicado por [a, b[ ou por [a, b). Entao: [a, b[ = Ix E IR[ a ~ x < h}.
Representas:ao na reta:
-----••------_O~---___i.~
a b x
Exemplo
o intervalo fechado aesquerda e aberto adireita de extremos 3 e 10 eescrito
[3, .,JlO[ = Ix E IR 1 3 ~ x < .,JlOI e representado na reta numerada assim:
-----•.-------O~---___i.~
3 .,JTO x
• Intervalo aberto aesquerda e fechado adireita: equalquer conjunto do tipo
Ix E IR la < x ~ b}, indicado por ]a, b] ou por (a) h]. Entao: ]a, b] = Ix E IR la < x ~ b].
Representas:ao na reta:
o
a
31
•b x

37. Exemplo
o intervalo aberto aesquerda e fechado adireita de extremos - 5 e 5 e escrito
]-5,5] = (x E IR 1-5 < x ~ 5) e representado na reta numerada assim:
o
-5 • x
Sendo a um nllmero real, tambem sao intervalos os seguintes subconjul1tos:
[a, +co[ = Ix E IR Ix;, a) • •a x
]-co, a] = Ix E IR Ix ~ a)
• •a x
]a, +co[ = Ix E IR Ix > al 0
•a x
]-co, a[ = Ix E IR Ix < al 0
•a x
]-co, +co[ = IR
•x
Observa~o: os simbolos -co e +co sao lidos, respectivamente, menos infinito e mais infinito.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
18. Represente na reta real os intervalos:
a) [-3,5]
b) ]-4,2,5]
c) ]-2,2[
d) ]-x, 2]
e) ]3, x[
f) (xE 1R1-2';:;: x,;:;: 2)
g) (XE 1R1-3 < X< 3)
h) (XE IRlx;;;. 1)
i) (XE IRI X< ,2)
19. Escreva em cada caso 0 intervalo real representado nas retas:
a) • • • d) 0
•-4 3 x 7.5 x
b)
• 0
• e) • •I
10
x 5 x
8'
c) 0 0
• f) 0
• •-6 x -10 10 x
-2
20. Quantos sao os numeros inteiros que pertencem ao intervalo:
a) [-10,20]?
b) [2, 15[?
c) ]-6, 8]?
d) [-5,5]?
e) ]-8, 8[?
f) ]0, 10[?
21. Dado 0 conjunto [-5, 5], responda:
a) Quantos sao os numeros naturais desse intervalo?
b) Quantos sao os numeros inteiros desse intervalo?
c) Quantos sao os numeros reais desse intervalo?
32

38. 8. Opera~oes com intervalos
Vamos estudar a interseG;ao e a reuniao de intervalos.
Intersec~ao
Vejamos tres exemplos da intersecr;ao de intervalos.
4
Exemplo 1
]-2, 4[ n [2,6]
Graficamente, temos:
-2 < x < 4
2~x<4
Logo, ]-2, 4[ n [2,6] = [2,4[.
Exemplo 2
]-2,4] n [4, +co[
Graficamente, temos:
-2 < x~ 4
x~4
4
Logo, ]-2,4] n [4, +co[ = 14).
Exemplo 3
]-2,4] n ]5, 6[
Graficamente, temos:
-2 < x ~ 4
5<x<6
-2 2 4 6
------9-----,;;--- ---------o.~
-Solu~
-2
---------+------l~
4
• -----SOlu~
-2>- 4 ....:,5-~6---..
A intersecr;ao e0 conjunto vazio. Logo, ]-2,4] n ]5, 6[ = 0.
Observa~o:os exemplos acima nos mostram que a intersec~o de dois intervalos pode ser
urn intervalo, urn conjunto unitmo ou 0 conjunto vazio.
33

39. EXERCICIO PROPOSTO _
22. Determine 0 intervalo correspondente aoperagao indicada:
a) [-5,4]n[-2,6]
b) ]-1,1] n [1, 3]
c) ]-4, 4[ n ]4, 6[
Reuniao
d) ]-00,2] n [-2, x[
e) [-3, 5] n [2, 50 ]
f) (XE IRlx,,;; 3) n (XE IRlx> -3)
Vejamos tres exemplos da reuniao de dois intervalos.
Exemplo 1
]-2,3] U ]2, 4[
Graficamente, temos: -2 < x ~ 3
2<x<4
-2 234
- 2 < x < 4 --6----~...:..-<:J>-----____...
-2 4
Logo, ]-2,3] U ]2, 4[ = ]-2,4[.
-----Snlu~o
Exemplo 2
]-1,4] U [4,6]
Graficamente, temos: -1<x~4
-I
---)---- 4 _ _-,--6_ _......:.~
-1<x~6
Logo, ]-1,4] U [4,6] = ]-1,6].
----<6-----.....;.--t----...
-I
u~
1 ~ x ~ 4 ou 5 ~ x ~ 7
Exemplo 3
[1,4] U [5, 7]
Graficamente, temos: 5 7
•
+ •
• •7
-Sol~
Logo, [1,4] U [5,7] = (x E IR 11 ~ x ~ 4 ou 5 ~ x ~ 71.
34

40. EXERCiclO PROPOSTO
23. Determine 0 intervalo correspondente aoperayao indicada:
a) [-10,2] U [-3, 5]
b) ]-6, 4[ U [1, 6[
c) ]-oo,3]U[-1,cc[
d) ]-00, 3] U [1, 4]
e) (x E IR Ix < 3) U (3)
f) (x E IR Ix;;. 2) U [-2, 2[
9. Valor absoluto ou modulo de um numero
Ao representarmos os numeros reais na reta, verificamos que:
1Q) Para todo numero real x existe urn numero real -x, chamado oposto ou simerrico de
x, tal que x + (-x) = 0.
-3 -2 -I o 2 x
Exemplos
a) 0 oposto de +3 e-(+3) = -3.
b) 0 oposto de - 2 e- (- 2) = 2.
c) 0 oposto de zero ezero.
2Q
) Os pontos que representam dois numeros opostos situam-se a uma mesma distancia do
ponto que representa 0 zero. Essa distancia echamada valor absoluto ou modulo do numero.
-4 -3 -2
4 unidades
-I o 2 •
4 unidades
4 x
1-41 = 4 e 1+41 = 4
Assim, os modulos de -4 e de +4 sao iguai~ a 4.
Indicando 0 modulo do numero real x pOl' Ixl (le-se: modulo de x), temos, para 0 exem-
plo anterior:
Observando que 0 modulo de urn numero real positivo ou nulo e0 proprio numero, e
que 0 modulo de urn numero negativo e0 seu oposto, podemos definir:
Se x;;': 0, entao Ixl = x.
Se x < 0, entao Ixl = -x.
Logo, se x = -4, temos: Ixl = 1-41 = -(-4) = 4;
sex= O,temos:lxl =101 = 0;
se x = +4, temos: Ixl = 1+41 = 4.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
24. Calcule 0 valor das express6es:
a) 2'1-101-4'1-21
b) 110 - 5 . 31 -12' 9 - 101
c) 1-12+3'1-511
d) 1-431.1 ~2 1.1-31
I
e) 1-101. ( -5 )
10 3
35

41. 25. Quais os valores de x para os quais Ix I = 107
26. Quais os valores naturais de x que verifjeam a desigualdade Ix I ,,;;; 57
27. Quais os valores de x E 7L que verifiearn a desigualdade Ixl ,,;;; 57
28. Quais os valores reais de x que verifiearn a desigualdade Ix I ,,;;; 57
29. Reeonhega quais das seguintes sentengas sao verdadeiras.
~
a) Se x E JR, entao ·X = X.
_ 12
b) Se x E JR+, entao ,x = x.
e) Se x E JR, entao .J;2 =Ixl·
d) Se Ixl < IYI, entao x < y.
e) Se Ixl = IYI, entao x = y.
f) Sex <y,entaolxl <IYI.
g) Se x e Y sao numeros reais positivos ex> Y, entao Ix I > IY I.
h) Se x e Y sao nurneros reais negativos e x < Y, entao Ix I > IYI.
i) Se x e Y sao nurneros reais ex> Y, entao Ixl > IYI.
TUNEL DOTEMPO
Os sinais das opera~oes aritmeticas sao hoje de ficil iden-
tifica~ao e aplica~ao. No entanto nem sempre foi assim.
Antigamente os matematicos costumavam indicar essas ope-
ra~oes usando palavras, como, por exemplo, os termos latinos
plus, para indicar "mais", e minus, para indicar "menos".
o monge alemao Jordanus Nemorarius, por volta do ana
1200, empregou os slmbolos p e m para indicar as opera~oes
de adi~ao e subtra~ao. William Oughtred.
Outros matematicos, em diferentes regioes, usavan1 Slm-
bolos distintos para indicar uma mesma opera~ao. 1sso e bastante compreenslvel devido
.adificuldade de comunicac;:ao naqueles tempos. Somente no inicio do seculo XVI, 0
grande mestre alemao Michael Stifel (1487-1567) comec;:ou a empregar os slmbolos +
e - como sinais de operac;:oes da forma usada atualmente.
o sinal X, para indicar a multiplicac;:ao, foi utilizado pela primeira vez pelo ingles
William Oughtred (1574-1660), em 1631. Nesse mesmo ano, outro ingles, Thomas
Harriot (1560-1621), utiliza-se do ponto' para indicar a mesma operac;:ao e 0 frances
Rene Descartes (1596-1650) escreve simplesmente ab para indicar a multiplicac;:ao de a
por b. Deve-se tambem a Descartes a atual indica~ao de uma potencia.
o sinal :, para representar a divisao, apareceu em 1657, tambem atribuldo
a Oughtred, e 0 sinal r, para indicar radical, surgiu em 1526, no livro eoss, do
alemao Christoph Rudolff(1500-1545).
Tantos foram os slmbolos apresentados para indicar as operac;:oes aritmeticas que
muitos seculos foram necessarios ate chegarmos a uma simbologia universal, adotada
nos dias de hoje.
36

42. RELEMBRANDO CONCEITOS
Conjunto dos nllmeros naturais
rN = 10, 1,2, 3, ... 1
Conjunto dos numeros inteiros
7l. = 1... , -3, -2, -1,0,1,2,3, ... J
Conjunto dos numeros racionais
<Q = {xl x= : ' com p E 7l. e q E 7l.*}
Sao numeros racionais:
• todo nllmero inteiro;
• todo nllmero fraciomlrio;
• todo numero decimal exato;
• todo nllmero decimal peri6dico.
Conjunto dos numeros irracionais
Sao numeros irracionais:
• todo numero decimal nao-exato e nao-peri6dico;
• toda raiz nao-exata.
Conjunto dos numeros reais
IR = 1xIxeracional au xeirracional)
Intervalos reais
Intervalo fechado [a, b]
Intervalo aberto ]a, b[
Intervalo aberto adireita [a, b[
Intervalo aberto aesquerda ]a, b]
EXERCICIOS COMPLEMENTARES
30. Escreva na forma fracionaria:
a) 0,25
b) 0,2525...
31. Escreva na forma de radical:
c) 0,2555...
d) 1,2
e) 1,222...
f) 1,022 2...
3 3 1
a) 58 b) 62 c) 42
32. Calcule 0 valor das potencias:
1
(~ ra) 5-2 c) 4-2 e)
1
b) 643 d) (0,2r
2
f) (2 + -!5l
37
1
d) 93
g) (-f2i

43. 33. Calcule 0 valor das express6es:
a) ~1-(~ Y e) (5 +.J2) . (5-.J2) + (5 +.J2/
b) ~1-0,555 ... f) ~8+ 15 . ~8- 15
c) 8-} ; ( ~ y2.(f )+ g)
cu=;r-(+r
d) 80,666... + 90,5. ( t )-1
34. Sendo a e b numeros reais nao-nulos, qual 0 conjunto de valores que podemos obter para
_. a + b ?
a expressao. TaT TbT .
35. Dados A = [-4,5], B = [-2, 6[ e C = [-3,8], determine:
a) AU B b)An B c) (A n C) u B d) (A n B) n C e) A - B
36. Sabendo que x2 = 91 4
e y3 = 91 6
, calcule (xy)10, com x> O· e y> O.
p2 + 3
37. Determine os tres menores valores naturais de p, de modo que a expressao - - - represente um
numero inteiro. p - 2
38. (EsPCEx) Simplifique:
a) (~4+f7 +~4_f7)2 b) 3,818 1... : 2,4545...
39. (UFSC) Dados os conjuntos A = {x E iZ' 11 < x,,;; 17), B = {x E IN Ixe imparl e C = {x E IR 19,,;; x,,;; 18j,
determine a soma dos elementos que formam 0 conjunto (A n B) - C.
40. (Fuvest-SP) Encontre todos os conjuntos de tres numeros inteiros consecutivos cuja soma e igual ao
seu produto.
TESTES _
41. (U. Cat61ica de Salvador-SA) Efetuando-se 0,35·3 - 0,648: 0,2, obtem-se:
a) -31,25 b) -2,19 c) 0,726 d) 2,01 e) 7,26
42. (UFCE) Se P = 8· H-~ e q = 3m - 2· ~ 3
6
2 ,entao 2.J3(p + q) e igual a:
43. (U. F. Fluminense-RJ) A desigualdade
a) 63 b) 65 c) 67
a+b
a . b < --- e verdadeira:
2
d) 69
a) para todo a, b E IR+ tal que a *' b.
b) para todo a, bE IR tal que a *' b, a . b> O.
c) para todo a, b E IR tal que a . b < O.
d) para todo a, b E IR+ tal que a = b.
e) para todo a, bE IR tal que a> b.
38

44. RELEMBRANDO CONCEITOS _
Conjunto dos nluneros naturais
IN = {O, 1,2,3, ... 1
Conjunto dos numeros inteiros
7L = {... , -3, -2, -1,0,1,2,3, ... j
Conjunto dos numeros racionais
~ = GIx = : ' com p E 7L e q E 7L*}
Sao numeros racionais:
• todo numero inteiro;
• todo numero fracionario;
• todo numero decimal exato;
• todo nllmero decimal peri6dico.
Conjunto dos numeros irracionais
Sao numeros irracionais:
• todo numero decimal nao-exato e nao-peri6dico;
• toda raiz nao-exata.
Conjunto dos numeros reais
IR = {x Ix eracional ou x eirracional j
Intervalos reais
Intervalo fechado [a, b]
Intervalo aberto la, b[
Intervalo aberto adireita [a, b[
Intervalo aberto aesquerda la, b]
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
30. Escreva na forma fracionaria:
a) 0,25
b) 0,2525...
31. Escreva na forma de radical:
c) 0,2555...
d) 1,2
e) 1,222...
f) 1,022 2...
3 3 1
a) 58 b) 62 c) 42
32. Calcule 0 valor das potencias:
1
(~ ra) 5-2 c) 4-2 e)
1
b) 643 d) (0,2r
2
f) (2 + "5)0
37
1
d) 93

45. 33. Calcule 0 valor das expressoes:
a) ~1-(~ Y e) (5 + 5) . (5-5) + (5 + 2 )2
b) ~1-0,555 ... f) ~8 + f15 .~8 - f15
c) 8+ : ( ~ r2
• ( +)+ g) cw;=;r-(~r
d) 80,666... +90,5 . ( +r1
34. Sendo a e b numeros reais nao-nulos, qual 0 conjunto de valores que podemos obter para
_. a + b ?
a expressao. jaf TbT .
35. Dados A = [-4,5], B = [-2, 6[ e C = [-3,8), determine:
a) AU B b)An B c) (A n C) U B d) (A n B) n C e) A - B
36. Sabendo que x2
= 91 4
e y3 = 91 6, calcule (xy)10, com x> O· e y> O.
p2 + 3
37. Determine os tn3s menores valores naturais de p, de modo que a expressao - - - represente um
numero inteiro. p - 2
38. (EsPCEx) Simplifique:
a) (~4+ 7 +~4--fi)2 b) 3,818 1... : 2,454 5...
39. (UFSC) Dados os conjuntos A = {XE 1:11 < x,,;;; 17), B = {XE IN Ixe imparl e C = {XE 1R19,,;;; x,,;;; 18},
determine a soma dos elementos que formam 0 conjunto (A n B) - C.
40. (Fuvest-SP) Encontre todos os conjuntos de tres numeros inteiros consecutivos cuja soma e igual ao
seu produto.
TESTES _
41. (U. Cat61ica de Salvador-SA) Efetuando-se 0,35' 3 - 0,648 : 0,2, obtem-se:
a) -31,25 b) -2,19 c) 0,726 d) 2,01 e) 7,26
42. (UFCE) Se P = 8· 3 _ -J12 e q =3m - 2· ,1 6
,entao 2.J3(p + q) e igual a:
4 2 32
a) 63 b) 65 c) 67 d) 69
43. (U. F. Fluminense-RJ) A desigualdade ~ < ~ e verdadeira:
2
a) para todo a, b E IR+ tal que a '* b.
b) para todo a, b E IR tal que a '* b, a . b > O.
c) para todo a, b E IR tal que a . b < O.
d) para todo a, b E IR+ tal que a = b.
e) para todo a, bE IR tal que a > b.
38

46. 4-J344. (PUC-MG) Se a = - - e b =
,"2
a) 16 - 3
b) 16 + 3
_ 3 ~ entao a - b eigual a:
,3 - ,2
c) -J3 --J2
d) "/3 + 2
45. (Unifor-CE) Se a e b sao numeros reais positivos, tais que a . b * 0, e a * b, a expressao
a-1 -b-1
----- eequivalente a:
...1. 1
a
2
- b
-2
a) ~+~ c) -Ja+.Jb e)
-Ja + ,iJ
a b a b b+a
b) .fa + ,b d)
,8 +,b
ab
46. (FEI-SP) A frayao a2 + ab + b2 ' quando a = 93 e b = 92, eigual a:
a) 0 b) 185 d) 1 e) 185
2
47. (UFSE) Se A= {XIX = ~ e n EIN}
A n B eigual a:
a) 0
b) ~:
e B= {XIX= __n_ e n EIN-},entao 0conjunto
n+2
1 1
d) 2'3
e) {X!x=-_1- enE }
n + 2
c)
1
2
48. (Fuvest-SP) Os numeros X e y sao tais que 5 ,,:;; X ,,:;; 10 e 20 ,,:;; Y ,,:;; 30. 0 maior valor
possivel de ~ e:
y
a)
1
6
b) 1
4
1
c) -
3
d) 1
2
e) 1
49. (Osec-SP) Os numeros a e b sao reais e -1 < a < 0 < b < 1. Entao:
a) -1 < ab < 0
b) ab<-1
c) 0 < ab < b
d) ab> 1
e) b < ab < 1
50. (Vunesp) Sejam x e y dois numeros reais nao-nulos e distintos entre si. Das alternativas abaixo, a
unica necessariamente verdadeira e:
a) -x < y
b) x< x + y
c) y< xy
d) x
2
*y2
39
e) x 2 - 2xy + y2 > 0

47. 51. (F. Santo Andre-SP) Para a = - +e b = +,0 valor numerico da expressao
2 1 -b
a +--
__~--"a'___;__ e:
b2+~
a
a)
39
52
b) 4
5
c) ~
44
d) 57
52
e) ~
5
52. Sejam os numeros reais a, bee.
a) Se a > b e ae > be, entao e = 1.
b) Se a> be ae> be, entao e;;< 2.
c) Se a < be ae < be, entao e < 0.
d) Se a < be ae > be, entao e < 0.
e) Se a > b e ae < be, entao e < -1.
53. (PUC-MG) Sendo x real positivo e y real negativo, a afirmativa correta e:
~
x
a) ~X2 + y2 =x+y d)
~>
-
Y
b) ~x e) x2 + y2 =y-x
17 =y
c) X2.y2 = x·y
54. (UFPE) Qual das afirmativas abaixo nao e verdadeira, a respeito do numero natural
19·18·17·16·15·14·13·12
- - - - - - - - - - - - - ?
8·7·6·5·4·3·2·1
a) Epar.
b) Emultiplo inteiro de 3.
c) Emultiplo inteiro de 7.
d) Emultiplo inteiro de 13.
e) Emultiplo inteiro de 19.
55. (Cesgranrio) A, Bee tentam adivinhar um numero selecionado ao acaso no conjunto
(1, 2, ... , 100}. Ganha um premio quem mais se aproximar do numero selecionado. Se A decidiu-se
por 33 e B escolheu 75, qual a melhor escolha que C pode fazer?
a) 16 b) 32 c) 48 d) 54 e) 76
a)
56. (UFPE) Assinale a afirmativa correta.
3 +~ ~. . . . I
---,,~-=_~ - 2,6 e um numero IrraClona .
3 - ,2
b) 0,6% de 3+ e igual a 0,2.
c)
0,178 178 178
0,50505
e um numero real irracional.
40

48. 57. (Unifor-CE) Se a e b sao numeros reais positivos, a expressao
(a + 2a+.b++ b) . (a - 2a+.b++ b) e equivalente a:
a) (a + b)2
b) (a - b)2
58. (U. F. Santa Maria-RS) Quando se multiplica um numero inteiro N, estritamente positivo, por (0,02)2,
esse numero N fica:
a) dividido por quatro milesimos.
b) multiplicado por quatro centesimos.
c) diminufdo de 2 500 unidades.
d) multiplicado por 2 500.
e) dividido por 2 500.
59. (Osec-SP) Dados os numeros reais a e b tais que 0 < a < b, entao e sempre verdadeiro que:
a) ~<~ d) ~<~
b 2b a b
b) ~<~ e) ~<~
b a a b
c)
a a2
- < -
b b2
60. (UnB-DF) Sabendo que x e y sao grandezas que tornam verdadeira a afirma<;:ao "se x = 2, entao
y < 0", pode concluir-se que:
a) se x "* 2, entao y;;. O.
b) sey= -1,entaox=2.
c) se y = 1 000, entao x "* 2.
d) se x = 2, entao y "* O.
41

49. Capitulo
Func;6es
I. Introdu(:ao
o conceito de fill1~ao, urn dos mais importantes da matematica, surge toda vez que pro-
curamos estabelecer uma rela~ao entre duas grandezas variaveis.
Assim, se considerarmos urn tanque com 1 200 ede capacidade e uma torneira que des-
peja nele 30 ede agua por minuto, 0 volume de agua despejada dependera do tempo que a
torneira ficar aberta:
• apos 1 min, sera de 30 e;
• apos 2 min, sera de 2 . 30 .e = 60 e;
• apos 5 min, sera de 5 . 30 e= 150 e;
• apos 10 min, sera de 10 ' 30 e= 300 e;
• apos 40 min, sera de 40 ' 30 e= 1200 e, momento em que 0 tanque ficanl totalmen-
te cheio.
Indicando 0 tempo (em minutos) por teo volume de agua '(em litros) por ~" podemos
construir a seguinte tabela:
Observe que as variaveis t e v se relacionam pela igualdade v = 30 ' t, com 0 ~ t ~ 40.
Observe ainda que a cadavalor atribuido avariavel t encontramos urn unico valor para a varia-
vel v. Essa situa~ao constitui urn exemplo de fun~ao. ela dizemos que v e fun~ao de t. A rela-
~ao v = 30t e chamada lei de associas:ao ou lei de formas:ao da funs:ao.
o conceito de fun~ao nao se aplica somente em matematica, mas tambern no desenvolvi-
mento de muitas teorias de varias ciencias.
Vejamos outras situa~6es que sao exemplos de tun~6es:
• 0 pre~o da taxa de agua a ser paga mensalmente e fun~ao da quantidade de agua con-
sumida.
• 0 tempo gasto por urn carro para percorrer determinada disrancia e fun~ao de sua velo-
cidade.
• 0 comprimento C de uma circunferencia e fun~ao de seu raio 1', definido pela lei:
C=2'1T'r
• A area S de urn quadrado e fun~ao da medida de seu lado. Se x for a medida do lado, a
lei que relaciona S com x e:
s = x ' x ou S = x 2
42

50. • Os dados da tabela abaixo mostram urn inter-relacionamento entre y e x, dado pela lei:
y = x + 3.
Vamos agora realizar urn estudo sobre fun~6es usando as no~6es sobre conjuntos. Para
isso necessitamos da no~ao de par ordenado.
2. Par ordenado
Ao escrevermos os elementos de urn conjunto, nos 0 fazemos sem a preocupa~ao com a
ordem dos mesmos. Desse modo, {a, b, c) = {e, b, al. Se, porem, e dado urn conjunto com
dois elementos men, onde necessariamente m deva ser 0 primeiro elemento e n 0 segundo,
entao 0 conjunto desses elementos e chamado par ordenado e sera representado par (m, n).
Os parenteses em substitui~ao as chaves indicam que a ordem dos elementos deve ser consi-
derada. Assim, se a e b sao numeros reais, entao (a, b) e urn par ordenado de numeros reais,
em que 0 primeiro elemento e a e 0 segundo elemento e b.
Propriedade
Dois pares ordenados (a, b) e (e, d) sao iguais se e somente se a = e e b = d.
I(a, b) = (e, d) {=} a = e e b ='d I
Exemplos
Vamos calcular a e b nos seguintes casos:
a) (a, b) = (2,5)
b) (a + 1,6) = (5, 2b)
SolUfiio:
a) (a, b) = (2,5)
De acordo com a propriedade anterior, temos: a = 2 e b = 5.
b) (a + 1,6) = (5, 2b)
Temos: a + 1 = 5 ~ a = 4 e 2b = 6 ~ b = 3.
Grafico cartesiano do par ordenado
Todo par ordenado de numeros reais pode ser repre-
sentado no plano cartesiano por urn ponto. Associando-
se ao par (a, b) 0 ponto P, cuja representa~ao no plano
cartesiano e vista a seguir, dizemos que:
Y Eixo das ordenadas
• P eo ponto de coordenadas a e b;
• 0 numero a e chamado abscissa de P;
• 0 numero b e chamado ordenada de P;
• a origem do sistema e 0 ponto 0(0,0).
43
b
o
__ P(a, b)
a
Eixo das abscissas
•x

51. Observe a representa<;:ao dos pontos:
a) M(2, 3)
b) N( -1,4)
c) P(-2, -1)
d) Q(3, -2)
e) R(4, 0)
f) 5(-3,0)
g) T(O, 1)
h) V(O, -3)
N·~I
1 T
S
-4 -3 -2 -I 0
p. -I
-2
~r
R
2 3 4 x
EXERCiclOS PROPOSTOS _
1. Estabeleya a lei que relaciona y com x levando em conta os dados da seguinte tabela:
2. Determine a e b de modo que:
a) (a + 5, b + 4) = (2a - 3, 8)
b) (3a - 5, 2b + 1) = (3 - 5a, 5 - b)
c) (a 2
- 7a, 3b) = (-12, 5b -4)
d) (a, 3a) = (2b - 1, 5b)
3. Represente num mesmo plano cartesiano os pontos A(3, 2),8(-2, -3), C(4, -1),0(0,3), E(-4, 0)
e F(-3, 4).
3. Produto cartesiano
Dados os conjuntos A = 12, 3,4) e B = {3, 5), vamos formar todos os pares ordenados
onde 0 primeiro elemento pertence a A e 0 segundo, a B.
Temos: (2,3); (2, 5); (3, 3); (3, 5); (4,3); (4, 5). Ao conjunto de todos esses pares orde-
nados chamaremos produto cartesiano de A por B e 0 indicaremos por A X B.
Podemos representar graficamente urn produto cartesiano indicando os pares ordenados
por meio de flechas.
Portanto:
A X B = 1(2,3); (2, 5); (3,3); (3, 5); (4, 3); (4,5)1
44

52. De urn modo geral:
~,e A e B sao conjuntos nao-vazios, chama-se produto cartesiano de A por B 0 con-
juno de todos os pares ordenados (x, y) em que x E A eyE B, isto e:
A X B = {(x, y)1 x E A eyE Bl
Observas:ao: se A = 0 ou B = 0, entao A X B = 0.
Vejamos algW1S exemplos.
Exemplo 1
Dados A = (1, 3} e B = {2, 3,41, determinar:
a) A X B b) B X A
Solufao
Temos:
a) A X B = {(I, 2); (1, 3); (1, 4); (3,2); (3, 3); (3, 4)}
b) B X A = {(2, 1); (2, 3); (3,1); (3, 3); (4,1); (4, 3)}
c) A 2
= A X A = {(I, 1); (1, 3); (3,1); (3, 3)}
c) A 2
= A X A
Observe que 0 produto cartesiano nao ecomutativo, isto e, A X B *- B X A.
Exemplo 2
Dados A = {3, 4,5) e B = {I, 21, determinar 0 numero de elementos de A X B.
Solufao
o esquema nos mostra que cada elemento de A da origem a dois pares ordenados. Como A
tern 3 elementos, entao 0 numero de elementos de A X B e3 . 2 = 6. De urn modo geral,
se A tern m elementos e B tern n elementos, entio A X B ted m . n elementos.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
4. Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2} e B = {-1, 1}, determine:
a) A x B b) B x A c) A2
d) B2
5. Dados A = {5, 6} e B = {3, 4, 5, 6}, determine 0 numero de elementos de:
a) A x B b) A x A c) B x A d) B2
6. Sejam A e B dois conjuntos tais que n(A) = 10 e n(B) = 3. Ache n(A x B).
7. Sendo A e B dois conjuntos, calcule x nos seguintes casos:
a) n(A) = 6, n(B) = x + 5 e n(A x B) = 54
b) n(A) = 3, n(B) = 7 e n(A x B) = 5x + 1
c) n(A) = x, n(B) = x - 2 e n(A x B) = 48
d) n(A) = 2x - 1, n(B) = x + 3 e n(A x B) = 8x - 1
45

53. Exemplo 3
Representar no plano cartesiano os produtos A X B nos seguintes casos:
a)A= {1,3,5}eB= {2,31
b) A = [1,4] e B = [1, 3[
c) A = {21 e B = [-3,3]
d) A = Ix E IRI x;:' I} e B = Iy E IRI y ;3 3}
-- .--- .
Solurao
a)A= {1,3,5} e B= {2,31
o grafico de A X B eformado pOl' todos os
pontos cuja abscissa eelemento de A e cuja
ordenada eelemento de B. Logo, A X B =
= {(I, 2); (1, 3); (3,2); (3, 3); (5, 2); (5, 3)).
Colocando esses pares ordenados no plano car-
tesiano, teremos sua representac;:ao cartesiana.
2 •
o 2
-.
4 x
b) A = [1,4] e B = [1, 3[
Pelos pontos de abscissas 1
e 4, trac;:amos retas perpen-
diculares ao eixo dos x.
Pelos pontos de ordenadas
1 e 3 trac;:amos retas parale-
las ao eixo dos x. Como 3
nao pertence ao intervalo
[1, 3[, a reta que passa pela
ordenada 3 sera tracejada.
A regIao retangular repre-
senta 0 grafico de A X B.
• y
4
.J .................•......
2
4
2
Do 234 x o x o 2 4 x
Grafico de A
c) A = {21 e B = [-3,3]
Pelo ponto de abscissa 2
trac;:amos uma reta perpen-
dicular ao eixo dos x.
Grafico de B
Pelos pontos de ordenadas
-3 e 3 trac;:amos retas parale-
las ao eixo dos x.
y
2
Grmco de A X B
o segmento de reta que liga 0
ponto (2, -3) ao ponto (2, 3)
representa 0 grafico de A X B.
2
o 1 2
Grafico de A
x o
-I
-2
-3
Grafico de B
46
x o
-I
-2
-3
2 3 4
Grafico de A X B
x

54. d) A = Ix E IRIx ~ If e B = {y E IRIy ~ 3}
y
4
3
2
o 2 3 4 'x
EXERCiclOS PROPOSTOS _
8. Represente no plano cartesiano os produtos A x B nos seguintes casos:
a) A = {-3, -1, 1, 3} e B = {2, 4}
b) A = {1, 4} e B = {-3, -2, 2, 3}
c) A = {2} e B = [1, 4]
d) A = [- 2, 3] e B = {3}
e) A = [1, 4] e B = [2, 4]
f) A={XElRlx~1}eB={yElRly~2}
9. Os grcHicos a seguir representam produtos cartesianos de A por B. Identifique, em cada caso, 0 con-
junto A e 0 conjunto B.
e--,
a)
:j
2T - ~
, --if-- --.j I ------+I----.,-I--~~
-2 -I 0 1 2 x
• -1 -- -.
.. :"2r-- ·
c) y
2
o
-I
-2
-3
2 x
e)
-3 o 4 x
:r.-.. -., .
b)
-2 _I 0
-I
-2
2 x
d) y
2
1
-3 -2 -I 0 1 2 3 x
-I
-2
f)
-3
y
o
-I
-2
4. No~ao de rela~ao
Dados os conjuntos A = (1,2, 3} e B = (2,3,4, 51, temos:
A X B = {(I, 2); (1, 3); (1,4); (1, 5); (2, 2); (2, 3); (2,4); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5)}
47

55. Destaquemos de A X B, por exemplo, 0 conjunto R formado pelos pares (x, y) que satis-
fas:am a seguinte lei de associas:ao: x + y = 5, ou seja:
R = {(x, y) E A X B Ix + y = 5)
Na tabela abaixo estao todos os valores de x + y, com destaque para aqueles cuja soma e5.
1
2
3
1
3
4
1
4
5
1
5
6
2
2
4
2
3
5
2
4
6
2
5
7
3
2
5
3
3
6
3
4
7
3
5
8
Essa tabela nos mostra que R edado por:
R = ((1,4); (2, 3); (3, 2)}
Observe que RCA X B.
Consideremos urn outro conjunto Sde A X B, cuja lei de associas:ao seja dada por y > 2x,
ou seJa:
S = {(x, y) E A X BI y > 2x}
o diagrama de flechas nos mostra os casos em que y > 2x.
A B
Valores de x Valores de y
Temos, portanto:
S = {(I, 3); (1,4); (1, 5); (2, 5)}
Observe que SeA X B.
Os conjuntos ReS, subconjuntos de A X B, constituem exemplos de rela~6es de A em B.
De urn modo geral:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relas:ao de A em B qualquer subconjunto de
A X B, isto e:
R euma relas:ao de A em B ** RCA X B
EXERCICIOS PROPOSTOS _
10. Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 3} e B = {O, 1, 2, 4, 6, 10j, determine as seguintes rela90es de A
em B:
a) R1 = {(x, y) E A x Bly = 2x + 4}
b) R2 = {(x, y) E A x BIY= x2}
c) R3 = {(x, y) E A x Bly = 12xl}
11. Sendo A = {-2'-1, - +,O},determine:
b) R2 = ~X,Y)EA2IY=x+ ~}
48

56. 12. Sendo A = {1, 2, 3, 6, 9}, determine as seguintes relayoes:
a) R = {(x, y) E A21 x . y = 18} b) S = {(x, y) E A21 x2 + y2 < 20}
13. Determine as seguintes relayoes:
a) R = {(x, y) E IN x IN12x + Y = 10} b) R = {(x, y) E IN X Zlx2 + y2 = 25}
5. No~ao matematica de fun~ao
Sejam dados, por exemplo, os conjuntos A = {2, 3, 51 e B = (1,3,4,61.
Vamos considerar os conjuntos de pares (x, y), tais que x E A eyE B.
Sabemos que qualquer urn desses conjuntos e chamado rela~o de A em B; porem, se a
rela~ao associar cada e1emento de A a urn <:mico e1emento de B, dizemos que ela e uma
fun~o de A em B.
Tomemos, por exemplo, 0 conjunto dos pares (x, y) E A X B, definidos pela lei de asso-
cia~ao: y = x + 1.
Veja 0 esquema:
Chamando de R essa rela~ao, temos que:
R = {(x, y) E A X BI y = x + 1l,
ou seja:
R = ((2,3); (3,4); (5, 6)}
Observe que cada x pertencente a A esta
associado a urn f:m.ico y pertencente a B. Nesse
caso, a rela~ao e urna fun~o de A em B.
Consideremos agora 0 conjunto dos pares (x, y) E A X B, definidos pela lei de associa-
~ao: y < x.
Veja 0 esquema:
Chamando de S essa rela~ao, temos que:
S = {(x, y) E A X BI y < xl,
ou seja:
S = ((2,1); (3,1); (5,1); (5, 3); (5, 4)}
Nesse caso, nao acontece de cada x perten-
cente a A estar associado a urn :mico y perten-
cente a B. Assim sendo, a rela~ao S n3:o efun-
~o de A em B.
Observe as re1a~6es de A = {Xl> x2, X3, x4 1em B = {YI, Y2, Y3, Y4, Ysl mostradas nos seguin-
tes esquemas:
Esta rela~ao efun~o de A em B, pois para
cada x de A esta associado urn unico Y de B.
49

57. Esta relas;ao nao efuns;ao de A em B, pois
o elemento X2 de A esta associado a mais de
urn elemento de B.
Esta relas;ao nao efuns;ao de A em B, pois
o elemento X 3 de A nao esta associado a
nenhum elemento y de B.
De urn modo geral:
Dados os conjuntos A e B, nao-vazios, e uma relas;ao R de A em B, dizemos que R e
uma funs;ao de A em B se para cada x de A existir em correspondencia urn unico y de B.
EXERCICIOS PROPOSTOS
14. Os esquemas abaixo representam relayoes de A em B. Indique as .relayoes que sao funyoes.
a)
A-_r.t c) A B e)
.A.~B~.I
2.~:~ 2.~.2
.3
3. 4 • 8. .6
• 4
10.
b) d) f)
15. Dados os conjuntos A = (-2, -1, 0, 1, 2) e B = {O, 1, 2, 3, 4}, construa 0 esquema de flechas e,
atraves dele, identifique as relayoes que sao funyoes.
a) R1 = {(-2, 0); (-1,1); (0, 2); (1, 3); (2, 4)}
b) R2 = {(-2, 0); (-2, 1); (0, 2); (0, 4)}
c) Rs = {( -2, 2); (-1, 2); (0, 3); (1, 3); (2, 4)}
d) R4 = {(O, 0); (1, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4)}
16. Sendo A = {-1, 0, 1, 2} e B = {O, 1, 2, 3, 4}, identifique as relayoes que sao funyoes.
a) R1 = {(x, y) E A x B Iy = x2
}
b) R2 = {(x, y) E A x B Iy = x + 1}
c) Rs = {(x, y) E A x B /y = 2x + 1}
50

58. 6. Linguagem das fun~oes
Dados dais conjuntos nao-vazios A e B, e
uma lei f que associa a cada demento x de A
urn fullco demento y de B, teremos uma fun-
c;:ao fde A em B.
1Q) Ao conjunto A da-se a nome de domi-
nio da func;:ao. 1ndica-se a dominio da func;:ao
fpor D ou D(f). Logo, D(f) = A.
2Q
) Ao conjunto B da-se a nome de contra-
dominio da func;:ao. 1ndiea-se 0 eontradominio
da func;:ao fpor C(f). Logo, C(f) = B. Dominic
Conjunto imagem
Contradominio
3Q
) Ao elemento yde B, assoeiado ao elemento xde A, da-se 0 nome de imagem de x, pela
func;:ao f 1ndiea-se que yea imagem de x pela notac;:ao y = f(x) (le-se: ye igual a f de x).
4Q
) Ao conjunto dos elementos y de B, que sao imagens dos elementos x de A, da-se a
nome de conjunto imagem au simplesmente imagem da func;:ao. 1ndiea-se a eonjunto ima-
gem da func;:ao par 1m au 1m(f). Para toda func;:ao, 1m C B.
5Q
) 1ndiea-se que fe uma ftll1c;:ao de A em B pela notac;:ao f: A -> B (le-se: fde A em B).
Observas:ao: a ftll1c;:ao tambem poderia ter sido indieada par qualquer outra !etra.
Para que uma func;:ao fique bem definida e preciso que sejam dados as conjuntos nao-
vazios A e B e uma lei que assoeie a eada x de A um linieo elemento y de B.
Vejamos os exemplos.
Exemplo 1
Dados as eonjuntos
A = {I, 2, 31 e B = {O, 1,2,3,4,5,6, 7},
eonsideremos a func;:ao f: A -> B,
definida par f(x) = 2x + 1 au y = 2x + l.
Temos:
Para x = 1 => y = 2 . 1 + 1 = 3.
Para x = 2 => y = 2 . 2 + 1 = 5.
Para x = 3 => y = 2 . 3 + 1 = 7.
Logo,f= {(I, 3); (2,5); (3, 7)1.
1ndiea-se que 3 e a imagem de 1, pela func;:aoj, porf(l) = 3.
Da mesma forma, temos: f(2) = 5 e f(3) = 7.
o eonjunto imagem dessa func;:ao e 1m(f) = (3,5, 71.
y=2x+ I
(Lei de associa,ao)
Exemplo 2
Dado A = {-2, -1,0, 1, 2}, determinar a eonjunto imagem da func;:ao f: A -> IR, definida
par f(x) = x 2
.
SolUfao
Temos: f( -2) = (-2)2 = 4
f(-I) = (-I? = 1
f(O) = (0)2 = 0
Portanto 1m(f) = {O, 1, 4}.
f(I)=1 2
=1
f(2) = 22
= 4
51

59. Exemplo 3
Dada a func;:ao f: IN -+ IR, definida por f(x) = 2x2
- 7x + 3, calcular 0 valor de x para que
f(x) = O.
SolUfiio
f(x) = 0 =} 0 = 2x2
- 7x + 3
2x2
- 7x + 3 = 0
11 = (-7? - 4· 2· 3 = 49 - 24 = 25 =} ~ = 5
-(-7) ± 5 7 ± 5 1
x = = - - =} x = 3 ou x = - $ IN.
2·2 4 2
Como D(f) = IN, entao x = 3.
EXERCICIOS PROPOSTOS _
17. 0 diagrama representa uma fun<;:ao de A em B. Pede-se:
a) f (1)
b) f(2)
c) f(3)
d) D(f)
e) C(f)
f) Im(f)
18. Dada a fun<;:ao f: IR --+ IR, definida por f (x) = 5x - 3, determine:
a) f(-2) c) f(O)
b) f( +) d) f(-3)
19. Dada a fun<;:ao f: IR --+ IR, definida por f (x) = 5x2
- 8x + 3, calcule:
e) x, sabendo que f (x) = 2
f) x, sabendo que f (x) = -1
20. Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1} e B = {-3,
da fun<;:ao f: A --+ B, definida por:
a) f (x) = x + 3 b) f (x) = 3x
0, +, 1, 2, 3, 1,determine 0 conjunto imagem
a) f(-1)
b) f (0) d) f(.J2)
c) f(x) = 3X
e) x, de modo que f (x) = 0
f) x, de modo que f (x) = 7
d) f(x) = E.13
21. Dada a fun<;:ao f de IN em IR, definida por f (x) = x2
- 3x - 3, determine x, tal que f (x) = 1.
Exemplo 4
Sendo f(x - 5) = 3x - 8 uma func;:ao de IR em IR, calcular f(x).
SolUfiio
Fazendo x - 5 = t, temos: x = t + 5.
Substituindo, emf(x - 5) = 3x - 8, x por t + 5, teremos:
f(t) = 3 . (t + 5) - 8 =} f(t) = 3t + 15 - 8 =} f(t) = 3t + 7.
Logo,f(x) = 3x + 7.
52

60. EXERCiclOS PROPOSTOS
22. Dada a func;:ao ,: IR ---> IR, definida por , (x + 1) = 5x - 2, calcule '(x).
23. Na func;:ao ,: IR ---> IR, definida por '(3x - 2) = 2x + 5, calcule '(4).
24. Dada a func;:ao ,: IR ---> IR, definida por ,(x + 2) = x + 2, calcule ~~~~.
25. Dadas as func;:5es '(3x + 1) = x + 2 e g(x - 3) = 4x + 7, de IR em IR, calcule 0 valor de
'(4) + g(-1).
7. Domlnio de uma fun~ao real de variavel real
Vimos que para definir uma funr;ao enecessario conhecermos dois conjul1tos A e B nao-
vazios e a lei que associa a cada elemento x de A urn unico elemento y de B. 0 entanto, e
comum definirmos uma funr;ao fapenas pela lei de associar;ao, sem especificarmos os conjun-
tos A e B. Nesse casa, convencionaremos que A e B sao subconjuntos de IR e diremos que
f euma fun~ao real de variave1 real.
o conjunto A, dominio da funr;ao f, sera formado par todos os valores reais de x, para os
quais as operar;6es indicadas na lei de associar;ao sejam possiveis em IR.
Exemplo
Determinar 0 dominio das seguintes funr;6es de variavel real:
a) y = Xl + 3x c) f(x)=_x-
x-2 e) f(x)=,3x-2 +'-x+4
1
b) y=-
x
f) f(x) =
SolUfiio
a) y = x 2
+ 3x
Substituindo x por qualquer numero real, obteremos para y urn valor real.
Logo, D( f) = IR.
1
b) )' =-
x
A expressao .l- somente tera sentido se x *- o.
x
Logo, D( f) = IR*.
c) f(x) =_x_
x-2
A expressao x 2 somente tera sentido se x - 2 *- 0, ou seja, se x *- 2.
x -
Logo, D(f) = IR - 121 ou D(f) = Ix E IR Ix *- 21·
d) Y =~3x - 2
Substituindo x por qualquer nlllnero real, obteremos para y urn valor real.
Logo, D( f) = IR.
53

61. e) f(x) = ~3x - 2 +,I-x + 4
Devemos ter simultaneamente:
{
3x - 2 ~ 0 ~ 3x ~ 2 ~ x ~ ~
-x + 4 ~ 0 ~ -x ~ -4 ~ x:S;: 4
Determinemos a solu~ao comum:
2
3"
(51) •
4
•2
3"
f) f(x) = -J;+2
.,J-x+4
1
i
4
Devemos ter simultaneamente:
x + 2 ~ 0 ~ x ~ -2
-x + 4 > 0 ~ -x> -4 ~ x < 4
Logo, D(f) = {x E IR 1-2:S;: x < 4}.
EXERCICIO PROPOSTO
26. Determine 0 dominio das funyoes.
2x - 1 5 2
a) Y= 3x + 2 f) y= I) y=-+--
,!3x + 5 x x-2
b) Y = x2
- 4
3x + 1 5 2
g) y=
x2
- 1
m) Y=- +
x-2x
2x - 1 x+4 5 2
c) y=-- h) y=
x2
-7x+12
n) Y=-+
.JX+2x-2 x
d) Y = ,!3x + 5 i) Y = ~-3x + 1 0) Y = ..-Ix - 2 + 2x - 1
-.j3X+5 rx=2 x-1e) y = ~3x + 5 j) y= p) Y=,x-2 +--
2x - 1 x+3
8. Grafico de uma fun~ao
Dada urna rela!tao f( fun!tao ou nao), se representarmos no plano cartesiano tOOos os pares orde-
nados (x, y), com x E D(f) e y = f(x), abteremas urn conjunto de pontas que e0 gcifico de f
Exemplo 1
Representar no plano cartesiana 0 grifico da fun~ao f(x) = 2x - 1, nos casas em que a domi-
Ilio seja:
a) D(f) = {-I, 0,1,2, 3} b)D(f) = {xE IRI-l :S;:x:S;: 3}
54
c) D(f) = IR

62. 4
5
Grmco
-4 -3 -2 -I 0 1 2 4 5 x
B -I
/ -2
A_ -- -3
/
C(1,1)
D(2, 3)
E(3, 5)
B(O, -1)
A(-I, -3)
Tabela
3
5
1
-3
-1
3
2
1
°
-1
SolUfiio
a) D(f) = 1-1,0,1,2, 3}
Para cada x E D(f), vamos encontrar 0 valor y = 2x - 1. Com isso obteremos os pares
(x, y), que representados no plano cartesiano pelos pontos A, B, C, D, Enos dao 0 grifi-
co da funs;ao.
Para x = - 1 =) y = f (- 1) = 2( - 1) - 1 = - 3.
Para x = ° =) y = f (0) 2 . °- 1 = - 1.
Para x = 1 =) y = f (1) 2 . 1 - 1 = 1.
Para x = 2 =) y = f(2) 2 . 2 - 1 = 3.
Para x = 3 =) y = f (3) 2 . 3 - 1 = 5.
Observe que os pontos A, B, C, DeE estao apoiados sobre uma reta. Isso acontece para
qualquer ponto determinado pela funs;ao y = 2x - 1.
55

63. Exemplo 2
Construir 0 grafico da funr;ao)' = f(x) = x2
- 1, nos seguintes casos:
a) D(f) = {-2, -1,0,1,2) b) D(f) = (x E IR 1-2:;;; x:;;; 2} c) D(f) = IR
x )' Ponto (x, y)
-2 3 A(-2, 3)
-1
° B(-I, 0)
° -1 qo, -1)
1
° D(I,O)
2 3 E(2, 3)
- -
SolUfaO
a) Tabela Grafteo
4
A. 3
.E
2
B D
-3 -2 -I 0 2 3 x
-I
C
-2
y
c) 0 grifico da funr;ao y = x 2 - 1 ea curva
abaixo. Curvas desse tipo sao chamadas
parabolas.
o grafico e0 conjunto dos pontos A, B, C, DeE.
b) 0 grafico ea curva abaixo.
E
x x
EXERCICIOS PROPOSTOS _
27. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x) = 2x + 1 nos seguintes casos:
a) O(f)=·{-2,-1,0,1,2} b) O(f)=[-2,2] c) O(f) = IR
28. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x) = x2
- 3 nos seguintes casos:
a) O(f)={-3,-2,-1,0,1,2,3} b) O(f) = [-3,3] c) O(f) = IR
29. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x) = 4 - x2
nos seguintes casos:
a) O(f) = {-3, -2, -1,0,1,2, 3) b)O(f)={XEIRI-3,,;;x";;3} c) O(f)=1R
30. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x) = 2 x + 1 nos seguintes casos:
a) O(f) = {-3, -2, -1,0, 1) b) O(f) = [-3, 1] c) O(f) = IR
31. Construa 0 grafico da funt;:ao f(x) = ~ nos seguintes casos:
x
a) O(f)= {-2,-1,-f,f,1,1 b)O(f)=IR*
32. Construa 0 grafico da funt;:ao f (x) = x3
, sendo O(f) = {-2, -1, 0, 1, 2).
56

64. 9. Analise de graficos
Ao examinarmos 0 grifico de uma re!a<;ao R, e possive! obter atraves dele algumas infor-
ma<;6es sobre as propriedades que a caracterizam, como par exemplo:
• reconhecer se R e ou nao e fun<;ao;
• se R for uma fun<;ao, identificar graficamente 0 dominio e 0 conjunto imagem e deter-
minar, se existirem, os valores de x para os quais R(x) = O.
Como reconhecer quando
um grafico representa uma fun~ao
Exemplo I
Verificar se os conjuntos de pontos das figuras constituem grificos de uma fun<;ao com domi-
nio D = (I, 2, 3,4):
a) b)
4 4
.---. .-- - - •
2 • 2 ,- - .,
• I· -- - .- ..
-I 0 2 4 x -I 0 2 4 x
-I -I
Solurao
a) 0 grifico representa uma fun<;ao, pois ca-
da xED tem uma unlca imagem.
b) 0 grifico nao representa fun<;ao, pois 0
e!emento x = 2 tem duas imagens: y = 1
e y = 2.
Exemplo 2
Reconhecer, a seguir, as curvas que representam fun<;6es:
a) y
o x
b)
o x
Solurao
Para reconhecer se uma curva representa ou nao uma fun<;ao, basta verificar se qualquer reta
parale!a ao eixo Oy e que passe por um ponto do dominio:
• encontra a curva em um s6 ponto; nesse caso a curva e grifico de uma fun<;ao;
• nao encontra a curva ou a encontra em mais de um ponto; nesse caso a curva nao e grifi-
co de uma fun<;ao.
57

65. Visto isso:
a) b) y
o x o
Dominio
x
Nao existe reta paralela ao eixo )' passando
por urn ponto do dominio que corte a curva
em mais de urn ponto. Essa curva egrafico de
uma funS;ao.
Existe reta paralela ao eixo y passando por urn
ponto do dominio que corte a curva em mais
de urn ponto. Essa curva nao e grafico de
uma funS;ao, pois para alguns valores de x
existe, em correspondencia, mais de um valor
de y.
EXERCiclOS PROPOSTOS
33. Identifique os conjuntos de pontos que representam grafico de fungoes com domfnio D = {-2, -1, 1, 2).
a) b) c) d)
• •
2 • 2 • 2
• • 2
• • • • • • •
• -. • • • •
-2 -I 0 1 2 3 x -2 -I 0 2 x -2 -I 0 2 x -2 -I 0 2 x
• •-I • • • -I •-I
-I
-2 -2 • -2
-2
34. Identifique os graticos que sao fungoes.
D =[-3.3]
g)
xo 1 2
e)D=IRc)
x
a)
b) d) f) h) y
D=IR
2 D=IR
x -2 -I 0 I 2 x -2 x 0 x
-I
58

66. Identifica~ao pelo grafico do dominio
e imagem de uma fun~ao
Considere a nll1S;aO representada pelo grifico abaixo:
~{:.E 3
2
o l 2 3 4 5 !J x
o dominio e0 conjunto das abscissas x dos
pontos do grafico.
Na figura, temos:
D(f) = [x E IR 11 <S; x <S; 6)
A imagem e 0 conjunto das ordenadas y
dos pontos do grifico. Na figura, temos:
Im(f) = ly E IR 12 <s; Y <s; 5)
EXERCiclO PROPOSTO
35. Determine 0 dominic e 0 conjunto imagem das fungoes.
-2 -I 0 1 2 3 x
-I
•-2
-2 -I 0
-I
-2
d)
xo
c)b) y
•
-- - .2
a)
Zeros de uma fun~ao
Os valores de x para os quais f(x) = 0 chamam-se zeros ou raizes da funS;ao. Geometrica-
mente os zeros de uma funs;ao sao as abscissas dos pontos onde 0 grafico corta 0 eixo x.
No grifico abaixo, temos:
f(l) = 0 e f(5) = 0
Logo, os numeros 1 e 5 sao os zeros da nll1s;ao.
o
A (1,0) e B (5,0)
x
59

67. Fun~ao crescente e fun~ao decrescente
o I+-A -I+- B--l
De um modo geral:
x
Considere a fw1~ao fdefinida pelo gratlco.
Observe que, no intervalo A, aumentando
o valor de x, aumenta tambem 0 yalor de y.
Dizemos entao que a fun~ao e crescente no
intervalo A.
No intervalo B, aumentando 0 valor de x,
o valor de y diminui. Dizemos entao que a
fi.ll1~ao e decrescente no intervalo B.
Sendo XI e X2 elementos quaisquer de um conjunto A C D(f), com Xl < X2,diz-se que
a fun~ao e crescente em A sef(x]) < f(x2 ) e decrescente sef(x]) > f(x2 ).
Exemplo
Dada a fi.ll1~ao representada pelo grafico ao lado,
vamos determinar:
a) os zeros da fun~ao;
b) os intervalos onde a fun~ao e crescente
e decrescente.
Solurao
a) Os zeros da fun~ao sao as abscissas dos pontos
onde a curva corta 0 eixo x. Logo, os zeros
da fun~ao sao -1, 0 e 1.
b) A fun~ao e crescente nos intervalos
A = {X E n<lx ~ - ~} e
x
B = {X E n<lx;;': ~} e decrescente no intervalo C = {X E n<1- ~ ~ X~ ~}.
EXERCiclOS PROPOSTOS
36. Determine as zeros das func;:6es representadas graficamente.
a) b) y c) y
x
60
x

68. 37. Nas fun90es reais definidas pelos graticos a seguir, de os intervalos em que cada uma e:
• crescente • decrescente
a)
x
b) c)
Valor maximo e valor minimo
Consideremos a funs:ao I: IR -+ IR, dada peIo seguinte grafieo:
o
-I
v
x
Esse grafico nos mostra que, para todo x do seu dominio, tem-se:
I(x) ;;. 1(4),
pois 1(4) = -1 e eIa nao assume nenhum valor menor que -1.
Nessas condis:6es, dizemos que 4 e urn minimante da funs:ao e 0 valor1(4) = -1 eo seu
valor minimo. 0 ponto do grafieo onde oeorre 0 valor minima e V(4, -1).
Da mesma forma, para a funs:ao g: IR -+ IR, definida peIo grafieo:
y
v
x
tem-se que, para qualquer valor de x do seu dominio,g(x) ,;;;; g(3).
Nessas eondis:6es, dizemos que 3 e urn maximante da funs:ao e 0 valor g(3) = 4 e 0 seu
valor maximo. 0 ponto do grafico onde ocorre 0 valor maximo e V(3, 4).
Vamos generalizar esses coneeitos eonsiderando as funs:6es representadas peIos grafieos da
pagina seguinte.
61

69. o grafico ao lado nos mostra que para to-
do x do dominio da funr;ao temos:
f(x) ~ f(xo)
Dizemos entao que X o e urn minimante
da funr;ao fe Yo = f(xo) e 0 valor minimo da
funr;ao.
o ponto do grafico da funr;ao f onde
ocorre 0 valor minimo e V{xo, Yo).
o grafico ao lado nos mostra que para to-
do x do dominio da funr;ao temos:
f(x) ,,;;: f(xo)
Dizemos entao que X o e urn maximante
da funr;ao fe Yo = f(xo) e 0 valor maximo da
funr;ao.
o ponto do gra.fico da funr;ao f onde
ocorre 0 valor maximo e V(xo, Yo).
y
v
f(xol --~
x
x
o grafico ao lado nos mostra que a funr;ao
fnao tern maximante nem minimante.
Fun~io par e fun~io impar
(
y
x
Considerando a funr;ao f(x) = Xl - 4, temos:
f(-l) = f(l) = -3
f(-2) = f(2) = 0
f(-3) = f(3) = 5
Isso quer dizer que a funr;ao possui 0 mes-
mo valor para valores simetricos da variavel.
Dizemos entao que a funr;ao e par. Observe
que a funr;ao tern 0 grafico simetrico em relar;ao
ao eixo y.
62
x

70. De um modo geral:
Func;:ao par e a func;:ao na qualf(-x) = f(x), "Ix E D(f).
Considerando agora a func;:ao f(x) = x 3
, temos:
f(-2) = -8 ef(2) = 8 ~ f(-2) = -f(2)
f(-1) = -1 ef(1) = 1 ~f(-1) = -f(1)
1sso quer dizer que a func;:ao possui valores
simetricos para valores simetricos da variavel.
Dizemos entao que a func;:ao e impar.
De um modo geral:
x
Func;:ao impar e a func;:ao na qualf(-x) = - f(x), "Ix E D(f).
EXERCICIOS PROPOSTOS
38. Considere 0 grafico da funr;:ao f (x) = 3x - 1.
Responda:
a) Qual e 0 domfnio da funr;:ao?
b) Qual e a imagem da funr;:ao?
c) A funr;:ao e crescente ou decrescente?
d) Para que valor de x, f (x) = O?
e) Para que valores de x, f (x) > O?
f) Para que valores de x, f (x) < O?
g) A funr;:ao e par?
h) A funr;:ao e fmpar?
i) A funr;:ao tem algum ponto de minimo ou de maximo?
-2 2 x
39. Considere 0 grafico da funr;:ao f (x) = - x2
+ 4.
Responda:
a) Qual eo domfnio da funr;:ao?
b) Qual e a imagem da funr;:ao?
c) Para que valor de x, f (x) e crescente?
d) Para que valores de x, f (x) e decrescente?
e) Para que valores de x, f (x) = O?
f) Para que valores de x, f (x) > O?
g) Para que valores de x, f (x) < O?
h) A funr;:ao e par ou fmpar?
i) Qual e 0 maximante da funr;:ao?
j) Qual e 0 valor maximo da funr;:ao?
63
x

71. 40. Considere 0 grafico da fun<;:8.o y = 2 x
.
Responda:
a) Qual e 0 dominio da fun<;:8.o?
b) Qual e a imagem da fun<;:8.o?
c) Existe x, tal que f (x) = O?
d) A fun<;:8.o e crescente ou decrescente?
e) Existe x, tal que f (x) < O?
f) Para que valor de x, f (x) = 1?
g) Para que valores de x, f (x) > 2?
h) A fun<;:8.o e par?
i) A fun<;:8.o e impar?
j) Para valores de x cada vez menores, 0 valor
de f (x) se aproxima de que numero?
8
2 x
41. Considere a fun<;:8.o representada pelo grafico.
Responda:
a) Qual eo dominic da fun<;:8.o?
b) No intervalo [0, 3) a fun<;:8.o e crescente ou
decrescente?
c) Para que valores de x, f (x) = O?
d) Para que valores de x, f (x) < O?
e) Qual e 0 maximante da fun<;:8.o?
f) Qual e 0 minimante da fun<;:8.o?
g) Qual e a imagem da fun<;:8.o?
I o. Fun~ao bijetora
y
x
Consideremos as func;:6es definidas pelos seguintes diagramas de flechas:
Veja que, nesse caso, cada
elemento do contradominio
B e imagem de um unico
elemento do COl1juntO A.
Quando isso ocorre, a func;:ao
echamada bijetora.
De um modo geral:
Veja que, nesse caso, exis-
te elemento do contradomi-
nio C que l1aO eimagem de
nenhum elemento do con-
junto A. Por esse motivo, a
func;:ao nao ebijetora.
Veja que, nesse caso, exis-
te elemento do contradomi-
nio B que eimagem de mais
de um elemento do conjunto
A. Por causa disso, a func;:ao
nao ebijetora.
Uma func;:ao f: A -> Be bijetora quando cada elemento do contradominio Be imagem
de um (mico elemento do conjunto A.
64

72. Observa~oes
1. Quando 0 conjunto imagem de uma func;ao for igual ao seu contradominio, elizemos que
a func;ao e sobrejetora.
2. Quando para quaisquer Xl e X2do dominio tais que Xl '* X2 tivermos f(Xl) '* f(x-z), dize-
mos que a func;ao e injetora.
Assim, nos esquemas anteriores temos que:
a) j; e sobrejetora e tambem injetora. Dizer que uma func;ao e bijetora e equivalente a eli-
zer que ela e injetora e sobrejetora. Portanto j; e uma fimc;ao bijetora.
b) h nao e sobrejetora mas e injetora.
c) j;, nao e sobrejetora nem injetora.
Podemos reconhecer se uma func;ao e ou nao bijetora au-aves de seu grifico. Para isso u-a-
c;amos retas paralelas ao eixo X pelos pontos do eixo 0)' que pertencem ao contradominio. Se
cada uma dessas retas interceptar 0 grifico em urn unico ponto, a func;ao sera bijetora.
Exemplos
Considere as func;6es f: A ~ B, com A = lX E IR 11 ,,;;: X ,,;;: 4) e B = (y E IR 11 ,,;;: )' ,,;;: 5),
representadas pelos graficos:
a)
b)
y
~r
/.
/ '
/
.g 3 t, /
E /
~ 2
/
U /
I ./
0 I 2 3 4 x
Do';'inio
J
1(:~ 3+---"'---/---
8 2 +----'+----'-=--1
U
I +-~-""""'----
j; e func;ao bijetora, pois as retas paralelas ao
eixo x, que passam pelos pontos do contrado-
minio, cortan1 0 grafico em urn (mico ponto.
h nao e func;ao bijetora, pois existem retas
paralelas ao eixo X que passam pelos pontos do
contradominio e cortam 0 grafico em mais de
urn ponto.
o 2 4
J
x
c)
it:-7-----~----:o 2 •
u :
I - - I :
.h nao e func;ao bijetora, pois existem retas
paralelas ao eixo X que passam pelos pontos do
contradominio e nao cortam 0 grifico.
o 2 4
J
x
65

73. EXERCICIOS PROPOSTOS
42. as esquemas representam func;:6es de A em B. Identifique quais sao sobrejetoras, injetoras ou bije-
toras.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
43. as graficos abaixo representam func;:6es de A em B. Indique quais sao bijetoras.
a) A = [-2,2] e B = [-1, 1] c) A = IR e B = IR:
~
1
0 x
-2 x
-I
b) A = IR e B=IR d) A = [0, 3] e B = [0,3]
y y
x o 3 x
44. Considerando a func;:ao f de P em Q, representada pelo diagrama abaixo, indique as sentenc;:as ver-
dadeiras (V) e as falsas (F).
a) A func;:ao f esobrejetora.
b) A func;:ao f e injetora.
c) Retirando-se 0 elemento q, a func;:ao torna-
se sobrejetora.
d) Se a flecha 0 Iigasse b com q, terfamos
uma func;:ao bijetora.
e) Se retirarmos a flecha 0 e 0 elemento b,
teremos uma func;:ao injetora.
66

74. I I.Fun~oes inversas
Dados A = {-2, -1,0, 1,21 e B = 1-3, -1, 1,3,51, consideremos a fun<;:ao f: A --+ B,
definida por f(x) = 2x + 1.
f= {( -2, -3); (-1, -1); (0, 1); (1, 3); (2, 5))
Como f euma fun<;:ao bijetora, podemos associar a todo elemento y de B urn unico ele-
mento x de A, tal que y = f(x).
-:.~:-2
-'~::+=+:.-I,. .0
A essa nova fun<;:ao de B em A chamaremos
funs;ao inversa da fun<;:ao f e indicaremos por
f-I. Portanto:
r l
= {(-3, -2);(-1, -1);(1,0);(3, 1);(5,2))
Observe que:
• 0 dominio de f e0 contradominio de f-
• 0 contradominio de f e0 dominio de f-I;
• se (a, b) Ef, entao (b, a) Ef-I.
Determinemos a lei que define f-I(X), no caso em que f(x) = 2x + 1.
f(x)
Sendo y = 2x + 1, devemos calcular x = f-I(y). CD
y-l @Isolando x em y = 2x + 1, temos: y = 2x + 1 => 2x = Y - 1 => x = --2- II
Comparando 0 e @ ,temos:
No entanto, na maioria das vezes, econveniente expressarmos a fun<;:ao inversa deixando x
como variavellivre. Assim, a lei que define f-I(X) edada por f-I(X) = x ~ 1 .
De um modo geral:
Dada a fun<;:ao bijetora: f: A --+ B, chama-se funs;ao inversa de f, indicada por f- I
, a
fun<;:ao f- I : B --+ A que associa cada y de B ao elemento x de A, tal que y = f(x).
Exemplo
2x + 5
Dada a fuwao f: IR - !3) --+ IR - {2), definida por y = determinar a fun<;:ao inver-)' x-3 '
sa def
67

75. SolUfao
f(x)
2x + 5 =} x = f-l(y) fJy= x-3 "--V
2x + 5
Isolando x, temos: y = x _ 3 =} (x - 3)y = 2x + 5 =} xy - 3y = 2x + 5 =}
3y+5 @=} xy - 2x = 3y + 5 =} (y - 2)x = 3y + 5 =} x = II
y-2
De CDe ® ,vem: f-l(y) = 3;~; , ou, escrevendo em func;ao de x: /-1(x) = 3x + 5
x - 2
Logo, a func;ao inversa de f er 1
, definida de IR - {21 em IR - (31, ou seja:
r 1
: IR - (21-> IR - {3), definida par r1(x) = ~~1.
Observas:ao: somente as func;6es bijetoras possuem inversa.
EXERCICIOS PROPOSTOS _
45. 0 esquema seguinte representa uma fun<;:ao bijetora f, de M em N. Fa<;:a 0 esquema da fun<;:ao inversa.
46. Sendo ,= {(-3, 2); (-1, 4); (1, 5); (2, 3)} uma fun<;:ao bijetora, escreva a fun<;:ao ,-1.
47. Sabendo que g8 uma fun<;:ao bijetora, g(5) = -4 e g(8) = 3, determine g-1(_4) e g-1(3).
48. De a fun<;:ao inversa de cada uma das fun<;:oes.
a) y = 4x - 1
b) ,(x) = x + 3
2
2x - 1
c) g(x) = ~ (x '" 2)
d) Y = ~2x + 3
e) y = 1 + x
3
f) ,(x) = 5x + 2 (x '" -2
1
)
2x - 1
49. Dada a fun<;:ao ,: IR - IR definida por ,(x) = 3x + 5, determine:
a) ,-1(5) d) ,-1(0,2)
50. Dadas as fun<;:oes reais 'e 9 definidas, respectivamente, por ,(x) = 4x2+ 1 e g(x) = x - 3, determine:
a) '-3) + g-1(5) b) g-O) - ,-1(+)
68

76. Grafico da fun~ao inversa
Vamos construir num mesmo plano cartesiano os grificos das funs:6es f(x) = 2x - 1 e sua
inversa f-'(x) = x; 1 .
f(x) = 2x - 1
x II ' : (x. ')~ I ~ x ' I' I tx. .) II ' •
o
2
-1
3
(0, -1)
(2,3)
1
3
1
2
(1, 1)
(3,2)
Observe que os graficos de fe de sua inversa f-1
sao simetricos em relas:ao abissetriz dos
quadrantes impares. Essa propriedade evalida para toda funs:ao f(x) e sua inversa f-l(X).
Em vista disso, conhecido 0 grafico de uma funs:ao f(x), podemos obter 0 grifico da fun-
s:ao f-'(x), caso exista, usando a simetria em relas:ao abissetriz dos quadrantes impares.
Exemplo
Usando a simetria em relas:ao abissetriz dos quadrantes impares, construir 0 grafico da fun-
s:ao inversa, nos seguintes casos:
a)
(
69
b)
y
o x

77. a)
x
b) f
x
EXERCiclO PROPOSTO
51. Algumas das figuras abaixo representam grcHicos de fun<;:oes.
a) Quais dos graficos representam fun<;:oes?
b) Quais representam fun<;:oes que admitem fun<;:8.o inversa?
c) Usando a simetria em rela<;:8.o areta y = x, construa 0 grafico daquelas fun<;:oes que admitem fun-
<;:8.0 inversa.
a)
x
c)
x
e)
x
b)
.X
d) y f)
x
12. Fun~ao composta
Consideremos os conjuntos A = (1,2,31, B = {2, 3,4,51, C = {4, 9,16,251 e as fun-
s:6es f: A -+ B definida por y = x + 1 e g: B -+ C, definida por z = y2.
70

78. o esquema nos mostra que existe uma fun~ao h: A -> C, em que:
• h(l) = 4 = g(2) = g(f(l))j' Isso significa que primeiro aplicamos ao elemento x a
• h(2) = 9 =g(3) =g(f(2)); fun~aof, obtendof(x), e em seguida aplicamosgem
• h(3) = 16 = g(4) = g(f(3)). f(x), obtendog(f(x)), ou seja, h(x) =g(f(x)).
A essa fun~ao h: A -> C damos 0 nome de fun~ao composta de g com f e a indicamos
por g 0 f (le-se: g composta com f).
De urn modo geral:
Dadas as fun~6es: f: A -> Beg: B -> C, chama-se fun~ao composta defeg a fun~ao
(g 0 f): A -> C, tal que (g 0 f)(x) = g(f(x)).
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1
Dadas as funs:6es f (x) = 3x - 1 e g(x) = x 2
+ 2, calcular:
a) (gof)(x) b) (fog)(x) c) (fof)(x) d) (g 0 g)(x)
Solurao
a) (g 0 f)(x) = g(f(x)) = g(3x - 1) = (3x - 1)2 + 2 = 9x2
- 6x + 1 + 2 = 9x2
- 6x + 3
b) (fog)(x) =f(g(x)) =f(x2
+ 2) = 3(x2
+ 2) -1 = 3x2
+ 6 -1 = 3x2
+ 5
c) (fo f)(x) = f(f(x)) = f(3x - 1) = 3(3x - 1) - 1 = 9x - 3 - 1 = 9x - 4
d) (g 0 g)(x) = g(g(x)) = g(x2
+ 2) = (x 2
+ 2)2 + 2 = x 4
+ 4x2
+ 4 + 2 = x 4
+ 4x2
+ 6
Exemplo 2
Dadosf(x) = 2x - 3 ef(g(x)) = 6x + 11, calcularg(x).
Solurao
f(x) = 2x - 3 ~ f(g(x)) = 2g(x) - 3
Como f(g(x)) = 6x + 11, entao 2g(x) - 3 = 6x + 11 ~ 2g(x) = 6x + 14 ~ g(x) = 3x + 7.
Exemplo 3
Sendog(x) = 2x - 3 ef(g(x)) = 6x - 8, calcular f(x).
~u~o t+3
Fazendog(x) = t, temos: 2x - 3 = t~ 2x = t + 3 ~ x = -2-
Substituindo em f (g( x)) = 6x - 8, g(x) por t e x por t ~ 3 ,encontramos:
f(t) = 6 ( t; 3) - 8 ~ f(t) = (3t + 3) - 8 ~ f(t) = 3t + 9 - 8 ~ f(t) = 3t + 1
Logo,f(x) = 3x + 1.
71

79. EXERCICIOS PROPOSTOS _
52. Sendo f (x) = 3x - 2 e g(x) = 2x + 1, determine:
a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x))
53. Dadas as fun90es f (x) = x + 3 e g(x) = 2x
2
- 3, determine:
a) f (g(x)) b) g(f (x)) c) f (f (x))
54. Sendo f (x) = 3x - 2 e g(x) = x2
- 3, determine:
a) f(g(O)) b) f(g(-1)) c) g(f(4))
55. Se f (x) = 3x + 7 e f (g(x)) = 6x + 10, calcule g(x).
56. Sendo g(x) = 3x - 5 e f (g(x)) = 12x - 22, calcule f (x).
57. Dados f (g(x)) = 8x + 39 e g(x) = x + 6, calcule f (x).
58. Sabendo que f (x) = x + 2 e f (g(x)) = 3x + 1, calcule g(x).
d) g(g(x))
d) g(g(x))
d) g(f(-1))
TUNEL DOTEMPO
Existem evidencias de que 0 homem tern, desde a
Antigilidade, a nor;:ao intuitiva de funr;:ao. Algumas dessas evi-
dencias sao tabelas encontradas no Egito, na India e na
Grecia, que associam comprimentos da sombra de uma vara a
certas horas do dia.
A formalizar;:ao da ideia de funr;:ao, no entanto, parece ter
ocorrido somente no seculo XVII. Ao que tudo indica, foi
Rene Descartes (1596-1650), £l6sofo e matematico frances, Rene Descartes.
o primeiro a usar 0 termo fun~o. Ao estudar a relar;:ao entre
duas grandezas, Descartes adotou urn sistema de eixos concorrentes, representando a
primeira grandeza sobre urn dos eixos e a segunda, sobre 0 outro. Dessa forma ele pode
determinar as coordenadas de urn ponto no plano.
a sistema de eixos ortogonais que voce utiliza e urn caso particular daquele criado
por Descartes. Dai 0 nome sistema cartesiano ortogonal.
Posteriormente outros grandes nomes da matematica dedicaram-se tanto aformali-
zar;:ao como a aplicar;:ao de funr;:6es, cabendo ao matematico suir;:o Leonhard Euler
(1707-1783) a introdur;:ao da notar;:ao f(x) universalmente utilizada.
Com 0 surgimento da teoria dos conjuntos, 0 conceito de funr;:ao passou a ser es-
truturado com base na ideia de pares ordenados e na lei que relaciona os elementos
desses pares.
Nos dias atuais as representar;:6es cartesianas estao em quase todas as atividades hu-
manas, como mostram os meios de comunicar;:ao ao analisar, por exemplo, a variar;:ao da
temperatura, das intenr;:6es de voto numa eleir;:ao, ou a oscilar;:ao das ar;:6es nas Boisas de
Valores.
Essas representar;:6es, alem de possibilitarem anilises rapidas atraves da simples vi-
sualizar;:ao de urn grafico, facilitam a monitorar;:ao do fenomeno em desenvolvimento.
72

80. RELEMBRANDO CONCEITOS _
Vma relac;:ao fde A em B, tal que cada elemento de A esta associado a um unico elemen-
to de B, e chamada fun~ao de A em B.
A e a domlnio e B e a contradominio da func;:ao f
Zeros da func;:ao sao as abscissas dos pontos onde a graftco da func;:ao carta a eixo x.
Funs:ao crescente e funs:ao decrescente
Se para quaisquer XI e X2 do dOmlnio, tais que Xl < X2 , temos:
• f(xI) < f(X2), a func;:ao e crescente;
• f(xl) > f(X2), a func;:ao e decrescente.
Funs:ao par e funs:ao impar
Se para qualquer X do dominio temos:
• f( -x) = f(x), a func;:ao e par;
• f(-x) = -f(x), a func;:ao e impar.
Funs:ao injetora
Se para quaisquer Xl e X2 do dominio, com XI *- X2, temos f(Xl) *- f(X2), a func;:ao e cha-
mada injetora.
Funs:ao sobrejetora
Quando a contradominio coincidir com a conjunto imagem.
Fun~ao bijetora
Quando for injetora e sobrejetora.
Funs:ao composta
(fo g)(x) = f(g(x))
Fun~ao inversa
Quando a func;:ao f de A em Be bijetora, existe a func;:ao irJversa f- I
de B em A.
Os gratlcos de duas func;:6es inversas sao curvas simetricas com relac;:ao abissetriz do 1Q e
do 3Q quadrante.
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
59. Dadas as func;:oes f (x) = 8x - 4, g(x) = -2x2
+ 5x e h(x) = ~ ,calcule:
a) f(-2)
b) 9 t ~)
c) h(2)
d) f-1
(x)
e) f(g (x))
f) g(f(2))
g) f (f(x))
h) f (x) + g(x)
i) g(x), h(x)
60. Sendo f (x) = 9 - 4x e g(x) = 2x2
- 11 x + 5, determine x, de modo que se tenha:
a) f(x) = 0 b) g(x) = 0 c) f- 1
(x) = 1 d) g(x) = -10
61. Sabendo que f (x + 5) = 15x - 8, calcule:
a) f(6) b) f(2x - 1)
73

81. 62. Dadas as func;:oes f (x) = x - 4 e f (g(x)) = 2x + 3, determine g(x).
63. Dadas as func;:oes f (x) = 3x - 16 e g(x) = 3x - x2
, calcule x de modo que:
a) f (x) = g(x) b) f(g(x)) = -10 c) f(x) + g(x) = -7
64. Dos conjuntos A e B, sabe-se que Btem tres elementos mais que A e n(A x B) = 2n(A) + 30. Quantos
elementos tem 0 conjunto B?
65. De 0 domfnio das func;:oes:
a) Y = .JX b) Y
x - 4
x - 2
.~
6
c) Y = -----;;,-------=----
x 2
- 7x + 10
d) Y
3x + 1
66. Sendo f(x) = ~,calcule f(f(x)).
67. Dada a func;:ao f de A = (1, 2, 3, 4, 5} em B = (0, 3, 8, 15, 24} definida por
f = {(x, y) EO A x B [y = x2
- 1}:
a) construa 0 grafico de flechas e verifique se f e uma func;:ao bijetora;
b) determine f-1
(x), se ffor uma func;:ao bijetora.
68. A figura mostra um retangulo de 10 em por
6 em. De um dos cantos foi retirado um quadra-
do de lado x(O < x < 3). Escreva a area y da
regiao colorida em func;:ao de x.
69. 0 grafico ao lado representa uma func;:ao f.
Pede-se:
a) 0 domfnio da func;:ao.
b) a imagem da func;:ao.
c) as rafzes da func;:ao.
d) 0 valor maximo de f.
e) 0 valor minimo de f.
f) 0 intervalo onde a func;:ao edecrescente.
;IL----_'ui I--IO-----~
70. Considere 0 grafico da func;:ao f (x) = 3
x
Responda:
a) Qual e0 domfnio da func;:ao?
b) Qual ea imagem da func;:ao?
c) A func;:ao ecrescente ou decrescente?
d) A func;:ao epar ou fmpar?
e) Para que valores de x, f (x) > O?
f) Para que valores de x, f (x) < O?
g) Para valores de x positivos cada vez
maiores, 0 valor de f (x) se aproxima
de que numero?
h) Para valores de x negativos cada vez
menores, 0 valor de f (x) se aproxima
de que numero?
-6
74
-3 -2 -I
012
-I
x

82. 71. A funyao f: A -+ B definida por f (x) =
dominio da funyao.
2x + 10
x _ 1 tem Im(f) = {-10, -5, -4, -2, 8}. De 0
72. (Ef,PCEx) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 4, 6, 16} e C = {2, 3, 8, 10} e as
rel&yoes R, = {(x, y) E A x B Iy = x
z
} e R z = ~x) y) E B x C Iy= ;}. Determine
R, n Rz.
73. (UFCE) Sejam f e 9 funyoes reais de variavel real, tais que f (x) = 2x - 5 e f (g(x)) = x. Determine
o valor de g(33).
74. (UFSC) Dadas as funyoes f (x) = ,/5 - x e g(x) = X
Z
- 1, de 0 valor de (g 0 f)(4).
2x - 2 _'( ) _ 2x + 1 .
75. (F. Salvador-SA) Sabendo-se que g(f (x)) = 2x + 2 e 9 x - 1 _ x ' determine
f(5) + 9 ~ ~).
TESTES _
76. (Osec-SP) Os conjuntos A e B sao tais que {(O, 2), (0, 3), (1, 2), (2, 3)} C A x B. Entao:
a) (2, 1) E A x B
b) A x B tem 6 elementos.
c) A U B = {O, 1, 2, 3} e A n B = {2}
d) {(1, 3), (2, 2)} C A x B
e) (0, 0) E A x £?
77. (UFES) Se A = {O, 1, 2} e B = {O, 2, 4, 5}, entao 0 numero de elementos distintos do conjunto
(A x B) U (B x A) e:
a) 4 b) 8 c) 12 d) 20 e) 24
78. (UFSE) Se A = {x E IR I2 < x < 3} e B = {y E IR 11 < Y < 2}, a figura que melhor representa 0 con-
junto A x Be:
a)
2
c)
y
2
e)
.........
b)
o
2
o
2
2
x
x
d)
o
2
o
75
2
o -0
-0 -0
2
x
x
o 2 x

83. 79. (Osec-SP) Seja a fungao real definida pela sentenga f (x) =
x + 1
~ . 0 dominic da fungao e:
' 'IX - 1
a) Of = {x E IR Ix = 1}
b) Of = {x E IR Ix;;. 1}
c) Of = {x E IR Ix = -1}
d) Of = {x E IR Ix = O}
e) Of= {XE IRlx> 1}
80. (F. C. Contabeis) Considerando as relagoes binarias
R = {(x, y) E IR x IN, Y = x2
- 1},
S = ~x, y) E ] 1,+ 00 [ x IR, Y = h} ,L -,x - 1
T = {(x, y) E IR x lR,y = ~x - 3 },
pode-se afirmar que:
a) ReS representam fungoes.
b) ReT representam fungoes.
c) SeT representam fungoes.
d) apenas T representa fungao.
e) apenas R representa fungao.
81. (UEBA) Sendo f(2x + 1) = x + 1 e g(2x - 1) = x, 0 valor de f(5) + g(3) e:
a) 15 b) 5 c) 1 d) 7 e) 8
82. (PUC-PR) Se f e 9 sao fungoes tais que f (x) = 2x + 1, e f (g(x)) = x, entao g(x) eigual a:
x-2
x-2 2x + 1 x-4
a) - - - c) _e)
2x + 1 2-x 2x + 8
2x + 3 2x + 1
b) d)
x-23
83. (U. Cat6lica de Salvador-BA) Se 0 dominio da fungao f, definida por f(x) = 1 - 2x, e0 intervalo ]-3,2],
o seu conjunto imagem e0 intervalo:
a) ]-7,3]
b) [-3,7[
c) ]-3,7]
d) [-3,5[
e) ]-3,3]
84. (FEI-SP) Se f (2x + 3) = 4x2
+ 6x + 1, Vx E IR, entao f (1 - x) vale:
a) 2 - x
2
c) x
2
+ 2x - 4 e) x 2
+ x - 1
b) 2 + x
2
d) 3x
2
- 2x + 4
85. (Unifor-CE) Sao dadas as fungoes f e g, de IR em IR, definidas por f (x) = 2x + k e g(x) = 3x - 1.
Se f(g(x)) = g(f(x)), entao 0 numero ke igual a:
1
a) - -
2
1
b) --
4
c) ~
4
d) ~
2
e) 1
86. (UECE) Seja f: IR ..... IR definida por f (x) = kx
2
, sendo kuma constante positiva. Se f (''2) = '3,
entao f(.,J6) e igual a:
a) -J8 b)m c) .f18 d)m
87. (Osec-SP) Seja f uma fungao real tal que f (x + 1) = (f (X))2 e f (0) = 10. Entao f (4) eigual a:
a) 1016
b) 100 c) 10256
d) 101 e) 121
76

84. 88. (Mackenzie-SP) A fungao real definida por f(x) = kx + me fmpar, tal que k E IR*, mE IR e f(-1) = 3.
Entao a soma das rafzes da equagao f (f (x)) = f ( _;2) e:
a) 3 b) -3 c) 0 d) -9 e) 9
89. (FEI-SP) Dadas as fungoes reais f (x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b, se f [g(x)] = 8x + 7, 0 valor de
a + be:
a) 13 b) 12 c) 15 d) 6 e) 5
90. (UFES) Se f: IR -+ IR, dada par f (x) = mx + n, com m "* 0, e tal que f (f (x)) = 2f (x) para todo x
real, entao m + n eigual a:
a) 3 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2
91. (U. F. Santa Maria-RS) Dada a fungao f (x) = ~ + 1 , 0 grcHico de sua inversa f -1 (x) e:
a)
b)
x
c)
d)
y
x
e)
x
y
-2
x
92. (F. C. Contabeis) Considerando f (x) = x + 3 , a lei que define uma fungao real, bijetora,
2x - 5
de dominio D = IR - {;}, pode-se afirmar que 0 domfnio de f-1
(x) edado por:
a) IR - {;}
b) IR - {-3}
c) IR e) IR - {- ;}
t2
1}d) IR - J
93. (Fuvest-SP) Uma fungao f de variavel real satisfaz a condigao f (x + 1) = f (x) + f (1), qualquer que
seja 0 valor da variavel x. Sabendo-se que f (2) = 1, podemos concluir que f (5) eigual a:
1 5
a) 2" b) 1 c) 2" d) 5 e) 10
94. (Mackenzie-SP) Sejam as fungoes reais definidas par f (x + 3) = x + 1 e f (g(x)) = 2x. Entao 0
valor de g(O) e:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
77

85. 95. (PUC-MG) Duas funyoes sao tais que f(x) = x + 3 e f[g(x)] = 5x + 4. Entao
a) -9 b) -3 c) 0 d) 1
g(-2) 13 igual a:
f(O)
e) 3
5x - 1 2x + 1
96. (Fesp-SP) Se a funyao f (x) = 2 e f-
1
(x) = m ,0 valor de me:
a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 1
97. (UFMG) Observe a figura:
x
Essa figura contem 0 gratico da funyao y = f (x) definida em A = {x E IR 1-7 ~ x ~ 3}.
Todas as afirmativas sobre a figura sao corretas, exceto:
a) a soma de todas as rafzes distintas de f (x) 13 negativa.
b) f(-5) < f(6).
c) f(-4) + f(2) > 1.
d) a soma de todos os valores distintos de x, x E A, tais que f (x) = 3, 13 urn nurnero positivo.
e) f(3) - f(-2) < O.
78

86. Capitulo
Fun~ao do IQ grau
I. Fun~ao constante
Existem fun<;:6es em que 0 valor de f(x) e sempre 0 mesmo para qualquer valor de x, co-
mo podemos verifiear no exemplo a seguir. x
r----oc---------------,
o retingulo da figura ao lado tern 12 em
de comprimento e 8 em de largura.
Considerando 0 trapezio assinalado, temos:
• a base maior (B) mede (12 - x) em;
• a base menor (b) mede x em;
• a altura (h) mede 8 em.
A area y de urn trapezio 'e dada por
y= B+b· h
2
fool. .f------12 ------}.MI
No nosso easo temos:
(12 - x) + x 12 - x + x
Y = 2 . 8 ~ y = 2 . 8 ~ y = 48
A area do trapezio e 48 em2
.
Observe que a area y nao depende do valor de x, Oll seja, para qualquer valor de x, com
o< x < 12, temos, no nosso easo, sempre y = 48.
Fun<;:6es desse tipo sao ehamadas fun~6es constantes.
De urn modo geral:
Dado urn numero real k, ehama-se fun~ao eonstante a fun<;:ao f: IR ---> IR, definida por
y = f(x) = k.
Sao exemplos de ull1<;:ao eonstante:
Grafico da fun~io constante
o grifieo da fun<;:ao eonstante f (x) = Ie e
uma reta paralela ao eixo x passando pelos
pontos de ordenadas y = k.
o dominio da ull1<;:ao eD(f) = IR.
A imagem da fun<;:ao e Im(f) = {k}.
a) f(x) = 3 b) y = -6
4
e)y= -
5
:I
d) y =
fix) =k
79

87. Exemplo 1
Construir 0 grifieo da func;:ao f(x) = 1.
SolUFio
Como f(x) = 1 e uma func;:ao eonstante, seu
grafieo e uma reta paralela ao eixo x passando
pelos pontos de ordenadas y = 1.
D( f) = IR e Im( f) = {I}
] fix) = I
01
•-I 2 x
Exemplo 2
Construir a grafieo da func;:ao f: IR+ -> IR definida par f(x) = -2.
SolUFio
A fimc;:ao f(x) = -2 e constante no seu dorrli-
nio D(f) = IR+. Seu grmco e uma semi-reta
paralela ao eixo x com origem no ponto (0, -2).
D(f) = IR+ e Im(f) = {-2l
EXERCiclO PROPOSTO
1. Canstrua a grafica das func;:6es abaixa:
o
-I
x
fix) =-2
5
a) f: IR .... IR, dada par y = 3 b) f: IR .... IR, dada par y =
2
c) f:IR .... IR,dadaparf(x) =
3
2
2. Fun~ao do 12 grau
A figura mostra um retangulo ABCD, D N C
de lados 18 em e 12 em. Sabre AB marcou-se
um ponto M, a x em de B. Par M trac;:ou-se
MN II BC. Dessa forma faram obtidos dais
rerangulos.
o perimetro y do redngulo MBCN assina- 12
lado e func;:ao de x definida par:
y = 2x + 24
Assim, para x = 3 em, teremos:
y = 2(3) + 24 = 6 + 24 = 30 A M B
18- x
o perimetro do redngulo sera de 30 em.
A area z do mesmo rerangulo em em2
, tambem func;:ao de x, e definida par:
z = 12x
80

88. f: IR ---> IR definida par y = f(x) = ax + b
Assim, para x = 3 em, teremos:
z = 12 . 3 = 36
A area do redngulo sera de 36 em2
.
Cada uma dessas duas func;oes eum exemplo de funs:ao do 1Q grau.
De um modo geral:
Dados os numeros reais a e b, com a oF 0, ehama-se funs:ao do 1Q
grau (ou funs:ao
afun) a func;ao:
Nas seguintes func;oes do 1Q grau, estamos destaeando os valores de a e b:
a) f(x) = 3x + 12, em que a = 3 e b = 12.
b) y = x - 3, em que a = 1 e b = - 3.
e) f(x) = -0,2x, em que a = -0,2 e b = 0.
as exemplos seguintes envolvem func;oes do 1Q grau.
Exemplo 1
Dada a func;ao f(x) = 2x, ealcular:
a) f(3) b)f(x+1)
Solurao
a) f(3) = 2 . 3 ~ f(3) = 6
b) f (x + 1) = 2 . (x + 1) ~ f (x + 1) = 2x + 2
Exemplo 2
Sendo f(3x + 2) = 5x + 3, ealcular f(8).
Solurao
Devemos fazer 3x + 2 = 8 ~ 3x = 6 ~ x = 2.
Logo,f(8) = 5(2) + 3 = 10 + 3 = 13.
Exemplo 3
Sendof(x + 2) = x + 3, calcularf(x - 5) em func;ao de x.
Solurao
Fazendo x + 2 = t, temos: x = t - 2.
Substituindo esses valares emf(x + 2) = x + 3, vem:
f(t) = (t - 2) + 3 ~ f(t) = t + 1
Substituindo t por x - 5, vem:
f(x - 5) = (x - 5) + 1 ~ f(x - 5) = x - 4
EXERCICIOS PROPOSTOS _
2. Dadas as funy6es de IR em IR, identifique aquelas que sao do 1Q grau.
3 2
a) f(x)=6x-15 c) h(x)=x2
+7x e) f(x) = -+-
x 3
b) g(x) = -9x + 1 d) Y = 10 - 4x
3
f) Y = x-
5
3. Dada a funyao f (x) = 5x - 2, determine:
a) f(-3) b) f( +)
81
c) f (0)

89. 4. Sendo f (x) = 4x + 5, esereva:
a) f(x - 2) b) f(3x + 4)
5. Dada a fun9ao f (x) = 8x + 12, determine 0 valor de x para que se tenha:
a) f(x) = 0 b) f(x) = 4 e) f(x) = 12
6. Sabendo que f (x + 2) = 10x - 7, pede-se:
a) f(3) b) f(1) e) f (5)
7. Sendo f (x + 6) = 8x - 15, determine:
a) f(x) b) f(3x + 2)
8. Uma transportadora realiza servi90s apenas para earga eompleta, eobrando uma quantia inieial de
100 UT (Unidade de Transporte) e mais 5 UT por qUil6metro rodado. Chamando de x 0 numero de
quil6metros pereorridos, responda:
a) Qual a lei que define 0 pre90 ya ser eobrado em fun9ao de x?
b) Quantas UT serao pagas para um transporte de 120 km?
e) Se um transporte eustou 300 UT, qual 0 total de quil6metros pereorridos?
9. De uma folha de eartolina retangular de 50 em
por 40 em foram retirados 6 quadradinhos de la-
do x, eonforme nos mostra a figura. Qual a lei
que define 0 perfmetro y da parte restante?
Grafico da fun~a.o do IQ grau
o grafico de uma fun<;ao do 1Q grau euma reta nao-paralela nem ao eixo x nem ao eixo y.
Seu dominio eD(J) = IR e sua imagem e1m(J) = IR.
Exemplo 1
Construir a grifico da fun<;ao y = 2x + 3 (a = 2 > 0).
Solurao
A fun<;ao y = 2x + 3 edo 1Q grau e, pOl'tanto, seu grafico euma reta. Como a tra<;ado de
uma reta pode ser feito a partir de dais de seus pontos, vamos atribuir a x dais valores arbi-
trarios e, consequentemente, encontraremos as valores respectivos de y, Para evitar passiveis
erros, podemos determinar um terceiro ponto da reta, que serviri para testar a alinhamento.
Tabela
.' Y (x, y)
Para x = 0 ~ y = 2 . 0 + 3 ~ Y = 3.
Para x = - 2 ~ y = 2 ' (- 2) + 3 ~ Y = - 1.
Para x = - 1 ~ .y = 2 . (- 1) + 3 ~ y = 1.
x2
Grmco
(0,3)
(-1, 1)
(-2, -1)
3
1
-1
o
-2
-1
Observe que a fun<;ao y = 2x + 3 ecrescente. 1sso ocorrera sempre que a coeficiente a do
termo em x da fun<;ao for positivo.
82

90. Exemplo 2
Construir a grafico da fun~ao y = - 2x + 3 (a = - 2 < 0).
Soluyiio
-1
o
2
Tabela
(x, y)
1 (1, 1)
3 (0, 3)
-1 (2, -1)
,-~ ,.
Graflco
'13
2
-3 -2 -1 0 x
-I
Observe que a fi.ll1~ao y = - 2x + 3 edecrescente. Isso ocorrera sempre que a coeficiente a
do termo em x da fun~ao for negativo.
Em resumo temos:
Se a > 0, a fun~ao y = ax + be crescente.
Se a < 0, a fun~ao y = ax + be decrescente.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
10. Construa 0 grcHico das fungoes:
a) f (x) = 2x + 5 b) f (x) = 5 - 2x c) y = 1 x + 2
2
11. Classifique em crescente ou decrescente as seguintes fungoes:
a) f (x) = 10x + 40 b) Y = -8x c) Y = - 2. x d) f (x) = x - 12
4
12. Dada a fungao y = (3m - 6)x + 8m, determine 0 valor de m, de modo que:
a) a fungao seja constante b) a fungao seja crescente c) a fungao seja decrescente
Exemplo 3
Escrever a fun~ao
correspondente ao grifico:
x
Soluyiio
o grifico euma reta nao-paralela aos eixos. Trata-se, pais, de uma fun~ao do 1Q grau, isto e,
llma fun~ao do tipo y = ax + b.
83

91. Como os pares (1, 2) e (2, 5) pertencem ao grafico:
• substituindo x por 1 e )' por 2, obtemos a + b = 2;
• substituindo x por 2 e)' por 5, obtemos 2a + b = 5.
. {a+b=2Resolvendo 0 sistema 2a + b = 5 ' encontramos a = 3 e b = - 1.
Logo, a fun<,:ao e)' = 3x - 1.
Exemplo 4
Urn autom6vel, com velocidade constante, percorre uma trajet6ria retilinea conforme mostra
a figura abaixo:
(Espa~o em km) y
";7'10 - -; ,
,
o 20 x (Tempo em min)
Calcular 0 tempo em que 0 autom6vel percorred. 30 km.
Solurao
o grafico corresponde a uma fun<,:ao do 1Q grau, ou seja, uma fun<,:ao do tipo )' = ax + b.
• Substituindo x por 5 e )' por 10, obtemos 5a + b = 10.
• Substitllindo x por 20 e y por 20, obtemos 20a + b = 20.
Resolvendo 0 sistema {5a + b = 10 ,encontramos a =
20a + b = 20
A fu
- , 2 20
n<,:ao e, portanto: y = - x + -
3 3
2 20
Para y = 30, obtemos: 30 = - x + -- => x = 35.
3 3
o alltom6vel percorrera 30 km em 35 min.
2 e b = 20
3 3
EXERCICIOS PROPOSTOS _
13. A tabela refere-se afun9ao do 1Q grau y = ax + b. Qual ea lei dessa fun9ao?
2 2
3 6
14. Dada a fun9ao f (x) = ax + b, em que f (1) = 11 e f (-2) = 5, pede-se 0 valor de a e de b.
15. De a lei da fun9ao do 12 grau cujo grcifico passa pelos pontos:
a) A(2, 8) e B(3, 9) b) A(2, -3) e B( -2, 5)
84

92. 16. De a lei das func;:6es determinadas pelos graficos:
~ ~ y
2
x x
c)
2 x
17. Um ciclista, com velocidade constante, percorre uma trajet6ria retilfnea conforme 0 grafico abaixo:
(Espa~o em km) yt
10j - - /
sot---+----/+______+_______:
--1.5 1'5 lI; (Tempo em min)
Em quanta tempo percorrera 15 km?
Zero da fun~ao do IQ grau
ax + b a valor de x para a qualCbama-se zero ou raiz da func;:ao do 1Q grau f (x)
f(x) = O. Assim:
f(x) = 0 ~ ax + b = 0 ~ ax = -b ~ .'1: = -
Entao a raiz da func;:ao f(x) = ax + be - ~ .
a
Determinemos, como exemplo, a raiz da func;:ao y = x-I.
Temos:
b
a
x-1=O~x=1
o numero 1 ea raiz da func;:ao y = x-I.
Observe na figura ao lado que a grafico da
func;:ao carta a eixo x no panto (1, 0). x
EXERCiclOS PROPOSTOS _
18. Calcule 0 zero de cada uma das func;:6es:
a) y = 2x - 8 b) Y = 3x c) Y= -7x+ 3,5
19. Determine as coordenadas do ponto onde 0 grafico das seguintes func;:6es corta 0 eixo dos x.
2x - 10 -x
a) y = 3x - 1 b) f (x) = 5 - 4x c) f (x) = d) f (x) =
4 8
85

93. 3. Estudo do sinal da fun~ao do IQ grau
Estudar 0 sinal da funs;ao do 1Q grau y = ax + b edeterminar os valores reais de x, para os
-b
quais se tenha y < 0, Y = 0 ou y > O. Sabemos que y = 0 se x = --. Para conhecermos os
a
valores reais de x de modo que se tenha y < 0 ou y > 0, devemos considerar 0 sinal do termo a.
Se a > 0, a funs;ao ecrescente.
Nesse caso, temos:
x<
-b
~ y< 0
a
x
x>
-b
=) y> 0
a
Se a < 0, a funs;ao edecrescente.
Nesse caso, temos:
x<
-b
=)y>O
a
x
x>
-b
=)y<O
a
Vamos resolver, como exemplos, alguns exerdcios.
Exemplo 1
Estudar 0 sinal da funs;ao y = 5x - 3.
Solurao
Calculemos 0 zero da funs;ao.
=) x =
3
5
Como a = 5 > 0, temos 0 seguinte esbos;o do grafico:
y = 0 ~ 5x - 3 = 0 =) 5x = 3
Entao:
3
• para x <-
5
=) y < 0;
3
• para x = -
5
~ y= 0; • para x >
3
5
=) y> O.
86

94. Exemplo 2
Estudar 0 sinal da funs:ao y = - 5x + 3.
SolUfiio
Calculemos 0 zero da funs:ao.
y = 0 ~ -5x + 3 = 0 ~ -5x = -3 ~ x =
3
5
Como a = -5 < 0, temos 0 seguinte esbos:o do grifico:
Entao:
x
3
• para x < - ~ y > 0;
5
3
• para x = - ~ y = 0;
5
• para x > 3 ~ y < O.
5
Exemplo 3
Considerando 0 grifico de j;, ao lado, verificar
se y e positivo, negativo ou nulo para os
seguintes valores de x:
a) x = 5 b) x = 1
x
SolUfiio
Observando 0 grifico, nota-se que para x = 5 tem-se y < 0 e para x = 1 tem-se y > O.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
20. Faya 0 estudo do sinal das seguintes funyoes:
a) y = 3x - 6 b) Y = - ~ c) y = 5x
3
21. Determine 0 sinal da funyao y = 3x - 15, quando:
a) x = -2 b) x = 2 c) x = 5
4. Inequa~oes do IQ grau
d) x= 7
2
d) y= -x- -
3
e) X= 9
Chama-se inequa~o do 1Q grau na varicivel x toda inequas:ao que se reduz a uma das
formas:
ax + b ;:" 0, ax + b > 0, ax + b,;;; 0, ax + b < 0,
em que a e b sao numeros reais quaisquer, com a *O.
Resolve-se uma inequas:ao do 1Q grau aplicando-se as propriedades da desigualdade.
87

95. Exemplo 1
Resolver a inequa<;:ao -5x + 10 ~ 0 em U = IR.
Solurao
- 5x + 10 ~ 0 => - 5x ~ - 10 => 5x ~ 10 => x ~ 2
Logo, S = Ix E IR Ix ~ 21.
Tambem poderiamos resolver a inequa<;:ao estudando 0 sinal da fun<;:ao y = -5x + 10:
y= 0 => -5x+ 10 = 0 => -5x= -10 => 5x= 10 => x= 2
Como a = -5 < 0, a fun<;:ao e decrescente.
Logo, y ~ 0 para x ~ 2.
Exemplo 2
Resolver a inequa<;:ao 2(2x - 1) - 3(4x - 2) ~ 3 em U = IR.
Solurao
2(2x - 1) - 3(4x - 2) ~ 3
4x - 2 - 12x + 6 ~ 3
4x - 12x ~ 3 + 2 - 6
-8x ~ -1 (multiplicando por - 1)
1
8x ~ 1 => x ~ -
8
Logo, S = {x E IRlx ~ ~l
EXERCiclO PROPOSTO
22. Resolva as inequac;:6es do 1Q
grau em IR:
x
a) 3(4x - 9) - 2(x + 2) > - 4
b) ~ _ 6x :;;; 1
2 5
c) ~_ 2x-~<2
3 4
d) 3(2x - 4) _ ~ > 0
4 3
Exemplo 3
Resolver a inequa<;:ao 1 < 3x - 2 ~ 10, considerando:
a) U = IR
Solurao
a) U = IR
b) U = 7L
88

96. Devemos resolver as inequa~6es 1 < 3x - 2 e 3x - 2 ,,;; 10:
1 < 3x - 2 3x - 2 ,,;; 10
- 3x < - 1 - 2 3x ,,;; 10 + 2
-3x < - 3 (multiplicando por -1) 3x,,;; 12
3x> 3 x";; 4
x>l
----Jl_---------••
I x
A intersec~ao dessas solu~6es nos da a solu~ao procurada:
I 4
•4
----f
i
---~6l_------....' ----...
I 4 Logo, S = Ix E IR 11 < x";; 41.
b) Para U = 7l., 0 conjunto solu~ao e S = {2, 3, 4}.
EXERCiclO PROPOSTO
23. Resolva as inequagoes considerando como conjunto universe U = IR,
a) -3 < 5x + 2 < 7 c) x:;;; 2x - 3 < x + 7
b) 2:;;; 6x - 10:;;; 2x d) 2x - 5 < 3x + 4 < 6x + 6
Inequa~ao-produto
Dadas as fun~6es f(x) e g(x), chama-se inequa~ao-produto toda inequa~ao do tipo:
f(x) . g(x) < 0, f(x)· g(x) ,,;; 0, f(x)· g(x) > 0 ou f(x)· g(x) ~ 0
Estudando os sinais de f(x) e g(x), determinaremos 0 sinal do produto f(x) . g(x) e obte-
remos tambem 0 conjunto solu~ao da inequa~ao.
Exemplo 1
Resolver a inequa~ao (x + 2) . (-2x + 3) ~ O.
Solurao
Dadosf(x) = x + 2 eg(x) = -2x + 3, estudemos 0 sinal de cada fun~ao.
Zero da fun~o f(x)
x + 2 = 0 ~ x = -2
Como a = 1 > 0, a ftll1~ao e crescente.
Sinais de f(x)
Zero da fun~o g(x)
- 2x + 3 = 0 ~ - 2x = - 3 ~ x = 3
2
Como a = - 2 < 0, a ftll1~ao e decrescente.
Sinais de g(x)
x x
89

97. +
3
~Solu
3
"2
~
-2
f(x) r +
g(x) +
! +
f(x) . g(x) +
•-2
Colocando em um quadro os sinais de cada fun<;:ao e determinando 0 sinal do produto
f(x) . g(x), temos:
Como queremos f(x) . g(x) ~ 0, temos:
S={xEfRl-2~X~ ~}
Exemplo 2
Resolver a inequa<;:ao x· (-2x + 4) . (x - 3) < 0.
SolUfao
Dadosj;(x) = x, h(x) = -2x + 4 e f,(x) = x - 3, estudemos 0 sinal de cada fun<;:ao.
Zero de j;(x) Zero de h(x) Zero de fix)
x=o - 2x + 4 = °=> x = 2 x-3=0 => x=3
Sinais de h(x) Sinais de h(X) Sinais de f,(x)
~ ~ b • ~ ~
yo x
2~
x
Y3 x
Quadro de sinais
0 2
~
j;(x) + + +
•h(X) + +
~
f,(x) +
•j;(x) . h(x) . f,(x) + +
6 6-------6
•0 2 3
Como queremos j;(x) . h(x) . f,(x) < 0, temos:
S = {x E fR 10 < x < 2 ou x > 3}.
90

98. EXERCiclO PROPOSTO
24. Resolva as inequa<;:6es:
a) (x - 2)(x + 3) > 0
b) (x - 2)(-2x + 8) ~ 0
c) (2x + 10)(-3x + 1) > 0
d) (-x - 2)(-3x - 4) < 0
e) (-x + 1)(-2x + 10)(x + 3) ~ 0
f) 3x(2x - 1)(-3x + 7) < 0
Inequa~ao-quociente
Dadas as funs:6es f(x) e g(x), chama-se inequas;ao-quociente toda inequas:ao do tipo:
f(x) > 0 f(x) ~ 0 f(x) < 0 ou f(x) :;;; 0
g(x) 'g(x) 'g(x) g(x)
Como a regra de sinais do quociente eigual aregra de sinais do produto, para resolver-
mos uma inequas:ao-quociente vamos proceder da mesma forma como fizemos na resolus:ao
da inequas:ao-produto, tomando-se agora 0 cuidado de colocar g(x) =1= O.
Exemplo 1
Resolver as inequas:6es:
d) 3x-4:;;;0
x-2
c) 3x -4 <0
x-2
b) 3x -4 ~O
x-2
a) 3x-4 >0
x-2
Solufao
Fas:amos f(x) = 3x - 4 eg(x) = x - 2.
Estudando os sinais das nms:6es f(x) e g(x), temos:
Zero de f(x) Zero deg(x)
3x-4=0=>x= 4
3
x-2=0 => x=2
Sinais def(x) Sinais de g(x)
x x
Colocando no quadro os sinais de f(x) e g(x), obteremos as sinais de f(x)
g(x)
4
3" 2
•f(x) + +
•g(x) +
f(x) •+ +
g(x) 6
•4
3"
91

99. a) Como f(x) > °graficamente temos:
g(x) ,
A llitima linha do quadro de sinais nos fornece as solus:6es das inequas:6es dadas.
4
3" 2
-----O)--------<O)------i.~
x
Portanto: S= {x E fRlx < ~ au x> 2}.
b) Como f(x) ;. 0, comg(x) oF 0,
g(x)
graficamente temos:
4
3" 2
----_.l---------<O)------i.~
x
Portanto: S= {x E fRlx ~ ~ au x> 2}
c) Como f(x) < °graficamente temos:
g(x) ,
Portanto: S= GE fR I ~ < x < 2}.
d) Como f(x) ~ 0, comg(x) oF 0,
g(x)
graficamente temos:
POl"tanto: S= {x E fRl ~ ~ x< 2}.
Exemplo 2
Resolver a inequas:ao 3x - 2 ~ 1.
x-3
4
3" 2
-------<O-------<O>-------l.~
x
4
3" 2
--------t._----_O>-------l.~
x
Solufao
3x - 2
---~1 =>
x-3
3x - 2 _ 1 ~ °=> 3x - 2 - (x - 3) ~ °=>
x-3 x-3
3x - 2 - x + 3
-------~ °=>
x - 3
2x +1
=> ~ 0, com x - 3 oF 0.
x-3
Zero de f(x)
1
2x+1=0=>x=--
2
Sinais de f(x)
Fazendof(x) = 2x + 1 eg(x) = x - 3, temos:
Zero deg(x)
x-3=0 => x=3
Sinais de g(x)
92
x

100. Quadro de sinais
-I
"2 3
•
r
•f(x) + +
•g(x) +
f(x) •+ +
g(x)
• 6
•-I 3
"2 Solu~ao
Como queremos f(x) ~ 0 com g(x) =F 0, temos:
g(x) ,
EXERCiclOS PROPOSTOS _
25. Resolva as seguintes inequar;:6es no conjunto IR.
x-3 6x-12
a) -->0 c) >0
x+2 x
b) 3x+9 ~O
x-4
26. Resolva as inequar;:6es:
(x-2)(4-x) 0
a) ~
x+3
3x-4
d) --<2
x+1
b)
x(x-4) <0
x+2
5-2x
e) --~1
x+2
f) ~<2
2x-5
27. Determine 0 domfnio das funr;:6es:
a) f(x) = ,'(x + 1)(x - 6)
Exemplo 3
5x -8
Resolver a inequa<;:ao - 1 ~ ~ 1.
3-x
Solufao
2x+3
b) y=~
Devemos ter: 5x - 8 ~ -1 CD e 5x - 8 ~ 1
3 -x 3-x
@
Resolvendo a inequa<;:ao CD 'encontramos: 51 = {x E IR I ~ ~ x< 3} .
Resolvendo a inequa<;:ao @, encontramos: 52 = tE IR Ix ~ I; ou x > 3}.
93

101. II
6 3
~ 9 •
.- c)
•
• •II
6 Solu~iio
52 - - - - - - -..-------(
51 n 52 -----;....---.----'----------.
5
4"
Como as condic,:6es CD e ® devem ocorrer simllltaneamente, a solllc,:ao sera: 5 = 51 n 52'
5
4"
51 •
Entao a soluc,:ao final e:
EXERCiclO PROPOSTO
28. Resolva as inequac;:oes:
3x - 6
a) -2';;; ,;;; 2
4-x
4x - 10
b) 2,;;; ,;;; 4
3x - 6
Inequa~ao-potencia
Dada a func,:aof(x) e 0 nlunero natural n(n ~ 2), chama-se inequa~ao-potenciatoda ine-
qllac,:ao do tipo:
[f(x)]" ~ 0, [f(x)]" > 0, [f(x)]" ~ 0 ou [f(x)]" < 0
Vejamos alguns exemplos de resolllc,:ao de inequac,:6es-potencia.
Exemplo 1
Resolver as inequac,:6es:
a) (2x - 6)4 ~ 0 b) (2x - 6)4 < 0 c) (2x - 6t > 0 d) (2x - 6)4 ~ 0
50lurao
Como n = 4 (par), entao a potencia (2x - 6)4 nunca sera negativa. Ela sera positiva se
2x - 6 *- 0 e nula se 2x - 6 = O. Em vista disso, temos:
a) (2x - 6)4 ~ 0 ~ 5 = IR
b) (2x - 6)4 < 0 ~ 5 = 0
c) (2x - 6t > 0 ~ 2x - 6 *- 0 ~ x*- 3. Logo, 5 = Ix E IR Ix *- 3).
d) (2x - 6)4 ~ 0 ~ 2x - 6 = 0 ~ x = 3. Logo, 5 = 13).
Exemplo 2
Resolver as inequac,:6es:
a) (2x - 6)3 > 0 b) (3x - 5)101 < 0
50lurao
A potencia de expoente impar tem sempre 0 sinal da base. Entao:
a) (2x - 6)3 > 0 ~ 2x - 6 > 0 ~ x> 3. Logo, 5 = Ix E IR Ix > 3).
b)(3x-5)101<0 ~ 3x-5<0 ~ x< ~.Logo, 5 =f E IRlx < ~}.
94

102. EXERCiclO PROPOSTO
29. Determine 0 conjunto soluyao das seguintes inequayoes:
a) (2x + 7)4 ;;;, ° e) (3x - 6)5> °b) (S-2X)2<0 f) (Sx+ 1)3<0
c) (2x + 0,8)6 ,,;; ° g) (-0,2x + 1,8)7 ,,;; °
(
4 )8 h) (0,3x + 12)9 ;;;, °d) ~ -1 > °S
RELEMBRANDO CONCEITOS _
Se a *0, y = ax + be uma fun~ao do 1Q grau.
a gra.fico da fun~ao euma reta r que carta 0 eixo dos x num unico ponto, de abscissa
-b
x= ~-.
a
Para a > 0, a fun~ao ecrescente e a varia~ao do seu sinal esta mostrada na figura:
x
Para a < 0, a ftll1~ao edecrescente e a varia~ao do seu sinal esta mostrada na figura:
x
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
30. Dada a funyao f (x) = (-2m + 10)x + m - 4, determine m de modo que:
a) f (x) seja uma funyao constante.
b) f (x) seja uma funyao do 1Q grau.
c) f (x) seja uma funyao crescente.
d) f (x) seja uma funyao decrescente.
31. Sendo f (x) = Sx + 4, pede-se:
a) f(O)
b) f( ~ )
c) f(2x - 3)
d) 0 zero de f (x)
e) 0 valor de x para que se tenha f (x) = -16.
32. Dada a funyao f (3x - 1) = 11 x - 10, determine:
~fW ~f~
95

103. 33. No retangulo mostrado na figura, foram retirados:
• de cada canto superior, um quadrado de lade x em;
• de cada canto inferior, um retangulo de x em por 12 em.
Dessa forma, obteve-se a cruz assinalada. De 0 perimetro
y dessa cruz.
u
12
16
-
22
12
x
34. Determine a raiz de cada uma das fun~6es representadas pelos graficos:
a)
x
b)
2
x
c)
x
35. Dois peda~os de cartolina retangulares, um de 8 em por 6 em e outro de 4 em por 3 em, foram cola-
dos conforme mostra a figura, de modo que a parte superposta resultou num quadrado de lade x em
(0 < x < 3).
a) De 0 perimetro y do poligono
ABCDEFGH.
b) De 0 perimetro no caso particular de
x = 2.
c) De 0 valor de x para 0 qual 0 peri-
metro e36 em.
6
8 - - - B
x e D1-- --,
H
36. Resolva a inequa~ao (x - 5)( -2x - 4) ~ 0 no conjunto universo dado.
GI..············
F 4 £
a) U = IN b) U= Z c) U = IR
37. Escreva a soma das solu~6es inteiras do sistema 1 ,;;; 2x - 3 ,;;; 7,5.
2
38. Ache 0 maior valor inteiro de x que satisfava a inequavao x(x - 2) < O.
x+3
39. (UFMG) Determine 0 valor de men de modo que os pontos P1 (-2, -1) e P2( -1, - 2) pertenvam ao
grafico da reta definida por y = nx + m.
40. (UFSC) Sabendo que a fun~ao f (x) = mx + n admite 5 como raiz e f (-2) = -63, calcule 0 valor de
f (16).
96

104. 56 - 7x
41. (EsPCEx) Determine 0 valor de x pertencente a "l. que satisfa~a a inequa~8.o 5x _ 37 :;,. O.
42. (PUC-RJ) Ache todos os numeros reais x que satisfa~am ~ ~ 2.
2-x
-4 3 -1
43. (Unicamp-SP) Ache os valores reais de x para os quais vale a desigualdade -- + - :;,. -
x 2 x
44. (Fatec-SP) Resolva em IR a inequa<;:8.o x + 2
3
~ x + 6
x- x +4 .
1
3x + 1 < 2x + 20
45. (Faap-SP) Determine 0 valor inteiro de x que satisfaz as desigualdades: x > 15
x - 1 4
--->-
X + 3 5
46. (F. Oswaldo Cruz-SP) Resolva a inequa<;:8.o (a - 1)x < a - 1, sendo a < 1.
TESTES
47. (U. Sagrado Cora<;:8.o-SP) Para que os pontos A(1. 2) e B(2, -1) perten~am ao gratico da fun~8.o
f (x) = ax + b, 0 valor de b - a deve ser:
a) 2 b) 8 c) -2 d) -8 e) 4
~
48. (U. E. Ponta Grossa-PR) Areta AB, representada abaixo, intercepta 0 eixo x no ponto de abscissa:
a) 8 - 3a b) 3a - 8 c) 5a d) -3a - 8 e) -5a
o 4 x
49. (Fatec/Ceeteps-SP) Seja P(t, t + 4) um ponto da reta AB dada pela figura abaixo. 0 valor de t e:
a)
35
4
b)
35
3
-3
c) 18
97
d) 10
x
e) 14

105. 50. (Unifor-CE) A fun9ao t, do 1Q grau, edefinida por t (x) = 3x + k. a valor de k para que 0 grafico de t
corte 0 eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 e:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2x-4
51. (F. Ibero-Americana-SP) a conjunto solU9ao da inequa9ao - - - ~ a e:x-2
a) S = {x E IR IX? 2} d) S = 0
b) S = {x E IR Ix oF 2} e) S = {x E IR Ix ~ 2}
c) S = {IR}
3-x
52. (U. Cat61ica de Salvador-SA) a mais amplo dominio real da fun98.0 definida por t (x) = e:
x-2
a) IR
b) ]-::0, 2[ U [3, +x[
c) [3, +::o[
d) ] -00, 2[
e) ]2,3]
{X+3-
53. (PUC-MG) a dominio da fun9ao t (x) = {x_2 e0 conjunto dos numeros reais x tais que:
a) x,;;; -3 ou x> 2
b) x < -2 ou x ~ 3
c) -2';;; x,;;; 3
d) -3';;; x< 2
e) x> -2
,2 + x
54. (UFCE) a dominio da fun9ao real t (x) =
,3 - x
e:
a) {x E IR; - ,2 ,;;; x < 3}
b) {XE IR; ,2- < x< '3}
c) {x E IR; - ,3 < x,;;; - ,2 }
d) {x E IR; x,;;; --; ,2 ou x> ,3)
55. (U. F. Vi90sa-MG) a conjunto solu9ao de x:.5 < 1 e:
a) {x E IR I x> 7}
b) {x E IR I x> 7 e x"* 5}
c) {x E IR I x < -3 ou x> 5}
d) {x E IR I x < 5 ou x> 7}
e) {x E IR I x < 5}
56. (Unirio) a conjunto solU9ao da inequa98.0 2x - 3 ~ 1 e0 seguinte intervalo:
3x-2
a) ]-00, -1]
b) ]- 00, ~]
c) [-1, ~ [
d) [-1, oo[
57. (Unifor-CE) Um raio cai a d metros de uma pes-
soa. Ela ve a luz do relampago e ap6s t segun-
dos ouve 0 som resultante. Sabendo-se que a
luz percorre a distancia d em um tempo despre-
zivel e que 0 som percorre 340 m por segundo,
a f6rmula que da aproximadamente a distancia
d em fun9ao do tempo t e:
a) d = 300 000 .
b) d = 340 . t
c) d = 340 . t2
d) d = (300 000 - 340) . t
e) d = 340 . t + 300 000
98

106. 58. (F. Santo Andre-SP) 0 grafico mostra como 0
dinheiro gasto (Y), por uma empresa, na produ-
gao de 61eo varia com a quantidade de 61eo pro-
duzida (x). Assim, podemos afirmar que:
a) quando a empresa nao produz nada, nao
gasta nada.
b) para produzir 2e de 61eo a empresa gasta
R$ 76,00.
c) para produzir 1e de 61eo a empresa gasta
R$ 54,00.
d) se a empresa gasta R 170,00, entao ela
produz 5e de 6leo.
e) para fabricar 0 terceiro litro de 6leo, a empre-
sa gasta menos do que para fabricar 0 quin-
to litro.
Y(RS)
190
20
o 5 x (e)
59. (Osec-SP) Dada a inequagao (x - 2)7. (x - 10)4. (x + 5)3 < 0, 0 conjunto solugao e:
a) {x E IR 1 x < -5} d) {x E IR 1-5 < x < 10}
b) {x E IR 12 < x < 10} e) 0
c) {x E IR I-5 < x < 2}
60. (PUC/Campinas-SP) Em uma certa cidade, os taxfmetros marcam, nos percursos sem parada, uma
quantia inicial de 4 UT (Unidade Taximetrica) e mais 0,2 UT por quil6metro rodado. Se, ao final de
um percurso sem paradas, 0 taxfmetro registrou 8,2 UT, 0 total de quil6metros percorridos foi:
a) 15,5 b) 21 c) 25,5
99
d) 27 e) 32,5

107. Caplt 10
Fun<;ao do 2° grau
I. Introdu~ao
A figura mostra urn quadrado com 20 em
de lado. Dele foram retirados:
• de eada canto superior, urn quadrado
.eujo lado mede x em;
• de cada canto inferior, urn retangula de
12 em par x em.
Obteve-se assim uma figura em forma de
cruz, euja area y efuns:ao de x, definida par:
y = 400 - 2(12x) - 2(x2
)
---,. ...-'
12
..... :X..·....l ----'.... :~.... j
~ Area dos quadrados dos cantos superiores
Area dos recingulos dos cantos uueriores
Area do quadrado
Partanto: y = -2x2
- 24x + 400.
A funs:ao aeima definida eurn exempla de funs:ao do 2Q
grau.
De urn modo geral:
Dados os numeros reais a, be c, com a *0, ehama-se funs:ao do 2 Q
grau (au funs:ao
quadratica) a funs:ao:
f: IR -+ IR definida par y = f(x) = a~ + bx + c
Nas seguintes funs:6es do 2Q
grau, estamas destaeando as valores de a, be c:
a) f(x) = 2x2
+ 4x - 10, em que a = 2, b = 4 e c = -10.
b) y = -3x2
- 5x, em que a = -3, b = -5 e c = 0.
c) y = x 2
- 12, em que a = 1, b = °e c = -12.
d) f(x) = 0,23x2
, em que a = 0,23, b = °e c = 0.
EXERCiclOS PROPOSTOS
1. Dadas as seguintes func;:6es de IR em IR, identifique aquelas que sao do 22
grau.
a) f (x) = 3x2
- 6x + 1 c) f(x) = 2 x
- 8 e) y=
5 4
7 x
b) y= _x2
+ 4x d) f (x) = 2x - 6 f)
x 2
5
y= -
8 6
100

108. 2. Dada a func;:ao f (x) = (5m - 20)x 2
+ 6x - 8, calcule m de modo que:
a) f (x) seja func;:ao do 2Q
grau. b) f (x) seja func;:ao do 1Q grau.
3. Para que valores de m a func;:ao y = (m2
- 9)x2
+ (m - 3)x + 1 representa:
a) func;:ao do 2Q
grau? b) func;:ao do 1Q
grau? c) func;:ao constante?
4. Dada a func;:ao f (x) = 3x2
- 7x + 3, determine:
5. Sendo f (x) = -4x2
+ +,calcule:
a) f (0) b) f(-1) c) f(+) d) f(-.J2)
a) f(+) b) f( -2
1
) c) f( "[ )
6. Dada a func;:ao f (x) = 6x2
- 5x + 1, calcule x de modo que:
a) f (x) = 0 b) f (x) = 1 c) f(x) = 15
7. Uma empresa vende mensalmente x unidades de um determinado artigo. 0 custo (C), em UV
(Unidades de Valor), e dado por C(x) = 2x
2
- 7x + 10. Calcule 0 custo da produc;:ao em UV para
100 unidades.
2. Grafico da fun~ao do 22 grau
o grafico de uma funs:ao do 2Q grau euma curva aberta chamada parabola.
Exemplo
Construir os graficos das seguintes funs:6es do 2Q
grau:
1
a) y = x 2
- 4x + 3 b) y = - 2 x 2
+ X
SolUfiio
a) y = x 2
- 4x + 3
Tabela Grmeo
x
y Ponto (x, y)
0 3 A(0,3)
1 0 B(I, 0)
2 -1 C(2, -1)
3 0 D(3,0)
4 3 E(4, 3)
•
c
a > 0: concavidade voltada para cima
Observa-se pdo grafico que:
• a imagem da funs:ao erm = (y E fR Iy ~ -I};
• os zeros da funs:ao sao x = 1 e x = 3;
• a funs:ao edecrescente no intervalo {x E fR Ix ~ 2} e crescente no intervalo {x E fR Ix ~ 2};
• a funs:ao tem um valor minimo (y = - 1) para x = 2.
101

109. Tabela
X
I
Y Ponto (x, y)I
-2 -4 A( -2, -4)
0 0 B(O, 0)
1
1
C(l, ;)2
2 0 D(2,0)
4 -4 E(4, -4)
Observa-se pelo grilleo que:
• a imagem da funr;ao e 1m = {! E IRly:s; ;};
Grmco
a < 0: concavidade voltada para baixo
x
• os zeros da funr;ao sao x = 0 e x = 2;
• a funr;ao e ereseente no intervalo {x E IR Ix:S; 1) e deereseente no intervalo {x E IR Ix ~ I};
• a funr;ao tern urn maximo (y = ; ) para x = 1.
Concavidade
Examinando os grafieos das funr;oes do exemplo anterior, podemos observar que aquela
que apresenta 0 eoefieiente a do termo em x 2
positivo tern a eoneavidade da parabola volta-
da para eima e aquela que apresenta 0 eoefieiente a negativo tern a coneavidade da parabola
voltada para baixo. Essa earaetenstiea eonstitui uma regra geral para toda funr;ao do 2Q
grau
y = ax2
+ bx + c.
a>O a<O
Exemplo 1
Achar as valores de m para os quais 0 grafico da funr;ao y = (m + 2)x2
+ (2m - l)x + 4
seja uma parabola concava para cima.
SolUfiio
Uma parabola tern a concavidade voltada para cima quando a> O. Logo, devemos ter:
m + 2 > 0 ~ m>-2
102

110. x
-5
-3 -2-1
Exemplo 2
Escreva a func;:ao do 2Q grau representada
pelo grmco ao lado.
Solurao
Como 0 grafico euma parabola, a func;:ao
edo tipo y = ax2
+ bx + c. Observa-se
pela figura que, entre outros, os pontos
(0,5), (2, -3) e (3, -4) pertencem
ao grafico. Substituindo esses valores
em y = ax2
+ bx + c, obtemos:
(0,5) Ef ~ 5 = a' (0) + b· (0) + c ~ c = 5
(2, -3) E f ~ -3 = a' (2)2 + b· (2) + c ~
~ 4a + 2b + 5 = -3 ~ 4a + 2b = -8
(3, -4) E f ~ -4 = a' (3? + b· (3) + c
~ 9a + 3b + 5 = -4 ~ 9a + 3b = -9
. {4a + 2b = -8
Resolvendo 0 slstema 9a + 3b = -9 ' encontramos a = 1 e b = -6.
Portanto a func;:ao ey = x 2 - 6x + 5.
Avi6es deserevendo
areas de parabolas.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
8. Identifique as funy6es quadraticas cujo grafico euma parabola c6ncava voltada para baixo.
a) y= 2x2
- 3x+ 4 b) f(x) = _x2
+ 6x- 9 c) f(x) = x 2
d) y= -2x2
+ 16
9. Determine m para que 0 grafico da funyao f (x) = (3m + 1)x2
+ (2m - 3)x + 6 tenha a concavida-
de voltada para baixo.
10. Qual deve ser 0 valor de k para que 0 grafico da funyao f (x) = (k - 5)x2
+ (2k + 3)x - 1 tenha a
concavidade voltada para cima?
11. Determine a funyao do 2Q
grau que passa pelos
pontos A, 8 e enos seguintes casos:
a) A(O, 8), 8(2, 0), C(3, 11)
b) A(O, 0), 8(2, 2), C(1, 2)
c) A(O, -1), 8(4,3), C(6, 11)
12. De a lei da funyao determinada pelo grafico ao lado.
x
103

111. 3. Vertice da parabola
Conforme vimos anteriormente, toda parabola tern urn ponto de ordenada maxima ou urn
ponto de ordenada minima. A esse ponto chamaremos vertice da parabola e 0 representare-
mos por V(xv, Yv).
o
a>O
Xv X
a<O
X
Ve 0 ponto de ordenada minima. Ve a ponto de ordenada maxima.
Eixo de simetria
Para melhor entendermos 0 eixo de sime-
tria de uma parabola, vamos voltar ao grafico
da func;:ao y = x 2
- 4x + 3, observando ago-
ra que os pontos de abscissas simetricas em
relac;:ao aabscissa do venice possuem ordena-
das iguais e vice-versa e os pontos da parabola
que tern mesma ordenada possuem abscissas
simetricas em relac;:ao aabscissa do vertice.
Assim:
f(-I) = f(5) = 8
f(O) = f(4) = 3
f(l) = f(3) = 0
Generalizando:
f(x" - p) = f(x" + p), para qualquer p.
y
p
r Eixo de simetria
p
Em razao disso podemos dizer que a parabola e simetrica em relac;:ao areta que passa por
x", paralela ao eixo y. Essa reta e chamada eixo de simetria.
Exemplo
Considerando a parabola construida ao lado,
pede-sef(I).
SolUfao
Como 1 e 5 sao simetricos em relac;:ao ao pon-
to de abscissa x" = 3, entao f(l) = f(5).
Sendo f(5) = 4 ~ f(l) = 4.
104
4
2
o
v
X

112. -b2+4ac
EXERCICIOS PROPOSTOS _
13. A abscissa do vertice de uma parabola e Xv = 3 e f (0) = 5. Calcule f (6).
14. Em uma parabola tem-se Xv = 5, f (1) = -9 e f (7) = -21. Pede-se:
~f~ ~f~
15. Em uma funyao do 22
grau sabe-se que f(1) = f(3) = -8. Calcule xv.
Calculo da abscissa do vertice
Dada a funs:ao do 2Q
grau y = ax2 + bx + c, sendo Xy a abscissa do venice da parabola
correspondente, os pontos de abscissas Xy - Pe Xy + Ppossuem ordenadas iguais, isto e:
a(xy - p)2 + b(xy - p) + c = a(xy + p? + b(xy + p) + c
ax~ - 2axyp + ap2 + bxy - bp = ax~ + 2axyp + at + bxy + bp
- 2axyp - 2axyp = bp + bp
-b
-4axyp = 2bp => 2axyp = - bp => Xy = 2a
Logo, a abscissa do venice e dada por: ,-x-y-=---;-;----,I.
Calculo da ordenada do vertice
Substituindo x por Xy = -2 b na funs:ao y = ax2 + bx + c, temos:a .
yy = a ( b_)2 + b (_-_b_) + c = _'a_b
2
b_
2
+ C = _b_
2
_-_2_b_
2
_+_4_ac_
2a 2a 4a2 2a 4a 4a
Como na equas:ao do 2Q
grau /1 = b
2
- 4ac, podemos escrever: 1 yy = ~ I·
Ponanto 0 vertice V da parabola da funs:ao y = ax2 + bx + ceo ponto:
V(_-b, f(--b)) ou v(_-b, _-/1 )
2a 2a 2a 4a
Valor maximo e valor minimo da fun~io do 2Q
grau
a>O
Examinando os graficos abaixo, observa-se que:
y y
a<O
x
v
Se a > 0, entao para x = ;; a funs:ao
tern 0 seu valor minimo dado por
(
-b ) -/1
yy = f 2a = 4a-'
105
x
S 0 - -b fu -e a < , entao para x = 2a a ns:ao
tern 0 seu valor mhimo dado por
(
-b ) -/1
yy= f 2a 4a-'

113. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1
Dada a fun<;ao y = x 2
- 2x - 3, pede-se:
a) 0 venice;
b) 0 grifico;
c) 0 valor maximo ou minima;
d) 0 conjunto imagem.
SolUfiio
-b -(-2) 2
a) Xv = 2a = ~ = 2 = 1
Ll = (-2)2 - 4 - (1) - (-3) = 4 + 12 = 16
-Ll -16 -16
Y - - - - - - - - --4
v - 4a - 4(1) - 4 -
Logo, 0 vertice e V(l, -4).
Observas:ao: a ordenada )'V do vertice da parabola poderia ter sido calculada substituindo-se
xporxv = 1 emy= x 2
- 2x- 3. Assim:yv= (1)2 - 2(1) - 3 = 1- 2 - 3 = -4.
b) Na constru<;ao do grifico atribuiremos a X valores menores e maiores que Xv-
-I o I
Xv
2 Gr:illco
x y I
Ponto (x, y)
-1 0 A( -1,0)
0 -3 B(O, -3)
1 -4 Vel, -4)
2 -3 C(2, -3)
3 0 D(3,0)
Valores menores Valores maiores
Tabela
1m
5
I •
X
c) Como a = 1 > 0, a fun<;ao admite urn valor minimo que ocorre para X = 1. Esse valor
minimo e -4.
d) 0 conjunto imagem da fun<;ao e 1m = {y E IR Iy;;;, -4).
Exemplo 2
Sabendo-se que 0 valor minimo da fun<;ao do 2Q
grau y = (k - 1)x2
+ kx + (k - 2) e -1,
determinar 0 valor de k.
SolUfiio
A condi<;ao para que uma fun<;ao do 2 Q
grau admita urn valor minimo e 0 coeficiente do ter-
mo em x 2
ser positivo. Devemos ter: k - 1 > 0 ~ k > 1. Q)
106

114. -/). @o valor minimo (ou maximo) de uma func;ao do 2Q grau edado por )Iv = 4a' II
. -/).
Nas eondic;oes do problema, temos: -- = -1 ~ /). = 4a.
4a
Substimindo /). por k2
- 4(k - 1) . (k - 2) e a por k - 1, vern:
k2
- 4(k - 1) . (k - 2) = 4(k - 1) ~ 3k2
- 8k + 4 = 0.
2
Resolvendo a equac;ao, eneontramos k = 2 ou k =
3
Como em CD k > 1, entao k = 2.
D p x C
N
6
Exemplo 3
No quadrado ABCD, com 6 em de lado, determinar:
a) a area eolorida da figura em func;ao de x;
b) 0 valor de x para que essa area seja maxima;
c) a area maxima.
Solufao
a) A area S da figura colorida eigual aarea do quadrado ABCD, menos a area do triingulo
PCN e menos a area do triingulo MBN. Entao:
S = AoABCD - A.c:.PCN - A.c:.MBN
Em em2
, temos:
AoABCD = 6 . 6 = 36
A.c:.PCN =
A.c:.MBN =
2 2
(6 - x) . (6 - x)
2
36 - 12x + x 2
x 2
- - - - - - =18 - 6x+-
2 2
x 2
x 2
Logo S = 36 - - - 18 + 6x - - ~ S = -x2
+ 6x + 18.
, 2 2
b) Como a = -1 < 0, a func;ao S admite urn ponto de maximo quando x assume 0 valor
-b -6 6
Xv = -- = --- = - = 3.
2a 2(-1) 2
Logo, a maior area possivel para a figura eolorida eobtida quando x = 3.
c) A area maxima e0 valor de )Iv da func;ao:
Yv = _(3)2 + 6 . (3) + 18 = -9 + 18 + 18 = 27
Logo, a area maxima e27 em2
.
Com os dados obtidos podemos agora
visualizar a figura de area maxima.
D p c
107

115. EXERCiclOS PROPOSTOS _
e)y=-x2
+9
f) f (x) = 4x2
- 16x
c) y = 2x2
- 6x + 4
d) f(x) = -3x2
+ 7x- 2
16. 0 grafico de cada uma das fun90es abaixo e uma parabola. Determine, em cada caso, 0 vertice da
parabola.
a) f (x) = x 2
- 9x + 18
b) Y = x 2
- 14x + 40
17. Determine 0 conjunto imagem das fun90es:
a) y= x 2
- 12x+ 20 c) f(x) = 5x2
- 9x
b) Y = -2x2
+ 6x - 4 d) Y = -x2
+ 4
e) y = -6x2
f) f (x) = x 2
+ 2x + 6
18. Construa 0 grafico cartesiano de cada uma das fun90es:
a) y = x 2
- 6x + 8 c) Y = x 2
- 1
b) Y = -x2
+ 4x - 3 d) Y = -x2
+ x
19. Construa no mesmo plano cartesiano 0 grafico das fun90es y = x 2
+ 2x e y = x + 2 e a partir
deles destaque os pontos de intersec9ao.
20. Determine graficamente os pontos de intersecvao dos graficos das fun90es y = x2
e y = - x 2
+ 2x + 3.
21. Para que valor de x a fun9ao y = x2
- 14x + 24 tern 0 seu valor minimo?
22. Determine 0 maximante da fun9ao y = -2x2
+ 12x - 10.
23. 0 vertice do grafico da fun9ao y = x 2
+ px + q e V(2, -16). Calcule p e q.
24. Determine m de modo que 0 valor minimo da funvao do 22 grau y = (m - 1)x2
- (2m + 2)x + 5 seja -4.
25. 0 valor maximo da fun9ao do 22 grau y = (m - 1)x2
+ (m + 6)x + m e 9. Calcule m.
26. 0 custo em R$ para a produ9ao de x unidades de certo produto e dado por: C = x 2
- 30x + 900.
Calcule 0 valor do custo minimo.
27. 0 lucro de uma empresa e dado por L = -30x2
+ 360x - 600, em que x eo numero de unidades
vendidas. Para que valor de x e obtido 0 lucro maximo?
28. A figura ao lade representa urn quadrado com
20 cm de lado. Pede-se:
a) a area y da figura colorida em fun9ao de x;
b) 0 valor de x para que essa area seja maxima;
c) a area maxima.
29. Numa festa de Sao Joao, a convite de Antonio,
Pedro disparou urn rojao. No plano cartesiano
(ver figura), a trajet6ria do rojao obedeceu a
seguinte lei:
y = -2x
2
+ 8x
45 3
Pergunta-se:
a) Ele caiu antes ou depois da fogueira?
b) Qual foi a altura maxima atingida pelo rojao?
108

116. 4. Raizes da fun~ao do 2Q
grau
D,da a flms:ao do 2Q
grauf(x) = ax2
+ bx + c, os valores de xtais quef(x) = 0 sao cha-
madm' raizes ou zeros da funs:ao. Portanto, para se obter os zeros de f (x), basta resolver a
equas:~:o do 2Q
grau ax2
+ bx + c = O.
Vamos como exemplo calcular os zeros das seguintes funs:6es:
a) f(x) = 2x2
- 5x - 3 b)f(x) = -x2
+ 12x - 36 c) f(x) = x 2
+ 2x + 2
SolUfao
a) f(x) = 2x2
- 5x - 3
Resolus:ao da equas:ao 2x2
- 5x - 3 = 0:
=7
12
... x =-=3
2 4
5±7x=--=
2·2
!:1 = (- 5)2 - 4 . 2 . (-3) ~ !:1 = 49 ~ !:1
-2 -1
x =--=--
.. I 4 2
o grafico da funs:ao euma parabola com a concavidade voltada para cima, pois a > O.
Como a funs:ao tem dois zeros reais e diferentes, 0 grafico da funs:ao corta 0 eixo dos x nos
-1
pontos cujas abscissas sao XI = 2 e Xz = 3.
Veja 0 esquema:
x
b)f(x) = -x2
+ 12x - 36
Resolus:ao da equas:ao - x 2
+ 12x - 36 = 0:
- x 2
+ 12x - 36 = 0 ~ x 2
- 12x + 36 = 0
t:. = (- 12)2 - 4 . 1 . 36 ~ t:. = 0
12±0
x=---=6
2·1
S = 161
o grafico da funs:ao euma parabola com a concavidade voltada para baixo, pois a < 0, e
etangente ao eixo dos x no ponto de abscissa x = 6.
Veja 0 esquema abaixo.
x
109

117. c) f(x) = X
2
+ 2x + 2
Resolu~ao da equa~ao x 2
+ 2x + 2 = 0:
Ll = 22
- 4 . 1 . 2 ~ Ll = -4 < °A equa~ao nao possui raizes reais.
s= 0.
A fun~ao nao tern raizes reais e portanto a parabola nao corta nem "toea" 0 eixo dos x.
Como a> 0, a concavidade evoltada para cima, conforme mostra 0 esquema:
v x
EXERCiclOS PROPOSTOS _
30. Determine 0 conjunto S das rafzes das seguintes func;:5es:
a) y = x2
- 10x + 9 c) ,(x) = 9x2
- 12x + 4
b) ,(x) = x2
- 6x d) y = - x2
+ 16
31. De os zeros das func;:5es esboc;:adas.
e) y= -x2
-12x- 40
f) ,(x) = x2
- 9x + 20,25
s. Estudo do sinal da fun~ao do 2Q
grau
o estudo do sinal da fun~ao do 2Q
grau efeito determinando-se os seus zeros (se existi-
rem) e analisando 0 esbo~o do grafico.
Vamos como exemplo estudar 0 sinal das seguintes fun~6es do 2Q
grau:
a) y = 3x2
- 4x + 1 b) y = -x2
+ 6x - 9 c) y = x 2
+ 2x + 3
So/urao
a) y = 3x2
- 4x + 1
Zeros da fun~o
Ll = (-4)2 - 4 . 3 . 1 = 16 - 12 = 4 ~ .Jt; = 2
-(-4)±2 4 ± 2 1
x = 6 ~ Xl = -3 e X 2 = 1
2 . 3
A parabola corta 0 eixo X nos pontos de abscissas 1 e 1. Como a = 3 > 0, sua concavi-
dade esta voltada para cima. 3
x
110

118. Estudo do sinal
Examinando 0 esbo~o do grafico podemos afirmar que:
• para x < 1- ou x > 1 => Y > 0;
3
• para x = 1- ou x = 1 => Y = 0;
3
• para 1 < x < 1 => Y < o.
3
b) y = - x 2
+ 6x - 9
Zeros da fun~o
Ll=62
-4·(-I)· (-9)=36-36=0:.
A parabola tangencia 0 eixo x no ponto de
abscissa 3; como a = -1 < 0, sua concavidade
esti voltada para baixo.
Estudo do sinal
Para x*-3 => Y < o. Para x = 3 => y = o.
c) y = x 2
+ 2x + 3
Zeros da fun~o
Ll = 22
- 4 . 1 . 3 = 4 - 12 = -8
A equa~ao nao possui raizes reais. A parabola nao
corta nem tangencia 0 eixo x. Como a = 1 > 0,
sua concavidade esta voltada para cima.
Estudo do sinal
Vx E IR => y> 0
-6 -6
x=--=-=3
2(-1) -2
v
x
x
Tendo em vista os exemplos feitos, podemos resumir 0 estudo do sinal de uma fun~ao do
2Q
grau da seguinte forma:
S AO fu d ' . di· d d -b + Ill• e L1 > , a n~ao tern uas ralZes reats e stIntas, a as por Xl = e
2a
Xz=
-b - Ll
2a
com a parabola cortando 0 eixo dos x nos pontos de abscissas Xl e X2.
y a < 0
x
x
••
Estudo do sinal
Para x < Xl ou X> Xz => f(x) > O.
Para Xl < X < Xz => f(x) < O.
Para X = Xl OU X = Xz => f(x) = o.
111
Estudo do sinal
Para X < Xl ou x> Xz => f(x) < O.
Para Xl < X < Xz => f(x) > o.
Para X = Xl OU X = Xz => f(x) = o.

119. • Se /). = 0, a fun<;:ao tern duas raizes reais e iguais, dadas por Xl = X 2 = ;: ,com a para.-
bola tangenciando 0 eixo dos X no ponto de abscissa Xl.
a>O
Estudo do sinal
Para X *- Xl ~ f(x) > o.
Para X = Xl ~ f(x) = o.
x
a<O
y
Estudo do sinal
Para X *- Xl ~ f(x) < o.
Para X = Xl ~ f(x) = o.
x
• Se /). < 0, a fun<;:ao nao admite raizes reais e a parabola nao tern ponto comum com 0
eixo dos x.
a>O
Estudo do sinal
Yx E IR ~ f(x) > 0
EXERCICIO PROPOSTO
x
a<O
Estudo do sinal
Yx E IR ~ f(x) < 0
x
32. Estude 0 sinal de cada uma das fungoes do 22 grau, assim definidas:
a) y = x 2
- ax + 15 f) Y = 3x
2
- 2x + 1
b) Y = _x2
+ 2x + a g) y = _x2
- 4x - 4
c) Y = 2x2
- 5x h) Y = - x
2
+ 3x - 5
d) Y = - x
2
+ 4x i) Y = - x
2
+ X + 2
e) y = x2
- 9 j) Y = x2
112

120. 6. Inequa~oes do 2Q
grau
Chama-se inequas:ao do 2 Q
grau, na variavel x, toda inequa~ao que se reduz a uma das
formas:
y ~ 0, y> 0, y,;;; 0 ou y < 0
Vejamos alguns exemplos de resolu~ao de inequa~6es do 2Q
grau em IR.
ax2
+ bx + c ~ 0, ax2
+ bx + c > 0, ax2
+ bx + c ,;;; 0 ou ax2
+ bx + c < 0,
em que a, bee sao numeros reais quaisquer, com a oF O.
Para resolvermos essas inequa~6es, estudamos primeiramente 0 sinal da fun~ao
y = ax2
+ bx + c. Em seguida determinamos os valores reais de x para os quais se tenha, res-
pectivamente:
Exemplo 1
Resolver as inequa~6es:
a) x 2
- 5x + 4 ~ 0
b) x 2
- 5x + 4 > 0
c) x 2
- 5x + 4 ,;;; 0
d) x 2
- 5x + 4 < 0
Solufao
Em primeiro lugar, estudemos os sinais da fun~ao y = x 2
- 5x + 4.
Zeros da funs:ao
Ll = (-5)2 - 4 . 1 ·4= 25 - 16 = 9 =) Ll = 3
-(-5) ± 3 5 ± 3
x= =---=) x =lex =4
2 . 1 2 1 2
Fa~amos um esbo~o do grafico da fun~ao:
Levando em conta 0 estudo dos sinais feito no grafico acima, daremos a solu~ao de cada uma
das inequa~6es propostas:
a) x 2
- 5x + 4 ~ 0 =) S = Ix E IR Ix,;;; 1 ou x ~ 4}
b)x2
- 5x+ 4 > 0 =) S= {xE IRlx< 1 oux> 4}
c)x2
-5x+4';;;0 =) S=(xEIRII';;;x,;;;41
d) x 2
- 5x + 4 < 0 =) S = {x E IR 11 < x < 41
Exemplo 2
Resolver as inequa~6es:
a) x 2
- 4x + 4 ~ 0
b) x 2
- 4x + 4 > 0
c) x 2
- 4x + 4 ,;;; 0
d) x 2
- 4x + 4 < 0
Solufao
Estudemos 0 sinal da fun~ao y = x 2
- 4x + 4.
Ll = (-4)2 - 4 . 1 . 4 = 16 - 16 = 0
-(-4) _ 4 _
x= ---2
2 . 1 2
113

121. Fac;:amos urn esboc;:o do grafico da func;:ao:
e.J e
2 x
Levando em conta 0 estudo dos sinais feito no grafico acima, daremos a soluc;:ao de cada uma
das inequaC;:6es propostas:
a) x 2
- 4x + 4 ~ 0 ~ S = IR
b)x2
- 4x+ 4> 0 ~ S= {xE IRlx* 2}
c) X 2 - 4x + 4 ~ 0 ~ S = {2}
d) x 2
- 4x + 4 < 0 ~ S = 0
Exemplo 3
Resolver as inequaC;:6es:
a) 2x2
+ x + 2 > 0 b) 2x2
+ X + 2 < 0
Solurao
Estudemos 0 sinal da func;:ao y = 2x2
+ X + 2.
A = 12
- 4·2·2 = 1 -16 = -15 < 0
Fac;:amos urn esboc;:o do grafico da func;:ao:
x
Levando em conta 0 estudo dos sinais feito no grafico acima, daremos a soluc;:ao de cada uma
das inequac;:6es propostas:
a) 2x2
+ x + 2 > 0 ~ S = IR
b) 2x2
+ X + 2 < 0 ~ S = 0
EXERCiclO PROPOSTO
33. Resolva as inequayoes tendo por conjunto universo U = IR.
a) x 2
- 4x - 12 > 0 f) 2x2
;;. 4 - 7x
b)x2
+7x+10<O g)5x2
-4x>-1
c) -x2
+x+20:;:;;O h)3x2
+12x+12<O
d) -9x2
+ 18x;;. 0 i) _x2
+ 2x - 1 :;:;; 0
e) x 2
;;. 25 j) 9x2
> 6x - 1
I) x 2
- 6x + 9 :;:;; 0
m)-x2
-10;;'O
n) x 2
+ 7x < x - 8
0) x(x + 2) ;;. 3(2x - 1)
Exemplo 4
Determinar os valores de m de modo que a func;:ao f(x) = x 2
- 6x + 2m + 1 seja positiva
para todo x real.
114

122. v
Solufao
o grafico de f euma parabola concava para cima. Como se deseja f(x) > 0 para todo x real,
temos 0 seguinte esbos:o do grafico:
x
Entao devemos ter 6. < o.
6. < 0 ~ (-6)2 - 4 . 1 . (2m + 1) < 0 ~ 36 - 8m - 4 < 0 ~ -8m < -32 ~ m> 4
Logo, para m> 4, tem-se f(x) > 0 para "Ix E IR.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
34. Determine os valores de m de modo que a fung8.o f (x) = x
2
- 8x + 3m - 2 seja positiva para todo
valor de x.
35. Determine os valores de kde modo que a fung8.o y = -3x2
+ (k - 1)x +k - _1_ seja negativa para
todo valor de x. 12
36. Para que valores reais de m a fung8.o y = _x2
+ (2m - 1)x + m - 2,5 esempre negativa?
Exemplo 5
Resolver 0 sistema
{
x 2
- 2x < 3
2x2
~ 5x - 2
Solufao
Vamos resolver cada inequas:ao separadamente.
CD x 2
- 2x < 3 @ 2x2
~ 5x - 2
x 2
- 2x - 3 < 0 2x2
- 5x + 2 ~ 0
Rah~:-le3 1
Raizes: - e 2
2
x
2-I
--+----:;;--(I)
Agora determinemos a intersecs:ao das soluc;:6es de cada inequac;:ao.
1
2"
(II)
(I) n (II)
o conjunto soluc;:ao do sistema e: S = { .. E IRI-l < x';;; ~ ou 2 .;;; x < 3}.
115

123. EXERCiclO PROPOSTO
37, Resolva os sistemas:
)'2=2-x
Raiz: 2.
a) {X2- 4x + 3 ,,;; 0
x 2
- 9x + 14 < 0
Exemplo 6
Resolver as inequac;oes:
a) (x2
- 5x + 4)(2 - x)(-x2
+ 3x) > 0
SolUtio
a) (x
2
- 5x + 4)(2 - x)(-x2
+ 3x) > 0
Estudemos os sinais das func;oes.
)'1 = x 2
- 5x + 4
Raizes: 1 e 4.
b) {x
2
- 4x< 0
x 2
- 6x + 5 ~ 0
b)
-2X2 + 5x - 2
-----,-------~-l
x 2
- 4
)'3 = _x2
+ 3x
Raizes: 0 e 3.
Montemos 0 quadro de sinais de)'1 ' )'2 . )'3'
0 2
..)'1 + + +
..)'2 + + +
..)'3 + + +
..)'1')'2')'3 + + +
0 2 4
Solu~ao
Como devemos ter )'1 ' )'2 ' )'3> 0, a soluc;ao e:
S = {x E IR 10 < x < 1 ou 2 < x < 3 ou x > 41
-2x2
+ 5x - 2
b) ~-l ~
x 2
- 4
-2x2
+ 5x - 2
------- + 1 ~ 0 ~
x 2
- 4
116

124. Estudemos os sinais das func;6es.
Yl = -x 2
+ 5x - 6
Razzes: 2 e 3.
Y2 = x 2 - 4
Razzes: -2 e 2.
e!e x x
Montemos 0 quadro de sinais de ..1L.
Y2
-2 2 3
-----<Q}-------<Q>----~.,...,------J.~
+
+ +
+ +
+
-----<O>------<O>-----4.t--·--------:l.~
-2 Lso'~s:aoJ 3
Como devemos tel' ..1L ~ 0, 0 conjunto soluc;ao e:
Y2
s = {x E IR 1-2 < x < 2 ou 2 < x.;;; 31
EXERCICIOS PROPOSTOS _
38. Resolva as inequagoes considerando U = IR.
a) (x2
+ x - 2)(x2
- 5x) > 0
b) (x2
+ 2x- 3)(-x2
+ x+ 2);" 0
e)
f)
2x2
- 3x - 2
---c;;----- ;" 0
x 2
- 6x + 5
x 2
- 8x + 16
---;;----- < 0
-x2
+ 7x - 10
c) (x - 2)(-2x2
+ 5x -2) ~ 0
d) (x
2
- 3x)(x - 1)(-x2
+ 4) < 0
39. De 0 domfnio das fungoes seguintes:
(x - 3)(x2
- 8x + 12)
g) ;" 0
x2
-5x + 6
(-x + 4)(x
2
- 10x + 25)
h) < 0
-2x
2
+ 3x - 10
a) f(x)=12x
2
-7x+1 b) f(x) = '(X - 2)(x
2
+ 3x)
117
I
x(x
2
- 4x)
c) y =
Vx
2
- 5x + 4

125. RELEMBRANDO CONCEITOS _
Se a *- 0,)' = f(x) = ax2
+ bx + c e uma nm<;ao do 2Q
grau.
a grafico e uma parabola que tern a concavidade voltada para cima quando a > 0 e vol-
tada para baLXO quando a < 0, e 0 sinal da fun<;ao varia conforme 0 resumo abaixo:
~>O
~>O
x
~=o
~=o
~<O
~<O
x
G G x
x x
(
- b - D. ) ( - b (- b ))a vertice da parabola tem por coordenadas V --, -- ou V --, f -- .
2a 4a 2a 2a
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
40. Dada a fun,,:ao f (x) = (m2
- 25)x2
+ (m - 5)x + m + 5, calcule m de modo que:
a) f (x) seja fun,,:ao do 2Q
grau.
b) f (x) seja fun,,:ao do 1Q grau.
c) 0 gratico da fun,,:ao seja uma parabola c6ncava para cima.
d) 0 grafico da fun,,:ao seja uma reta paralela ao eixo dos x.
41. Sendo f (x) = 5x2
- 11 x + 2, determine:
a) f(-1) b) flO) c) f (+) d) x, de modo que f (x) = 0
42. Dada a fun,,:ao f: A -+ IR definida por y = x 2
- 6x + 8, determine 0 conjunto imagem de f, sabendo
que A = {1, 2, 3, 4, 5}.
43. Dada a fun,,:ao y = x 2
- 10x, pede-se:
a) 0 vertice da parabola.
b) os zeros da fun,,:ao.
c) 0 valor mlnimo da fun,,:ao.
d) a imagem da fun,,:ao.
44. Considere a fun,,:ao y = _x2
+ 11x - 18. Determine:
a) as coordenadas do ponto maximo da fun,,:ao.
b) a imagem da fun,,:ao.
45. Sabendo-se que 0 valor minima da fun,,:ao y = (k - 1)x
2
+ 3kx - 16 e -25, calcule 0 valor de k.
46. 0 valor minimo da fun,,:ao f (x) = x2
- mx + 15 e-1. Sendo m um numero positivo, calcule seu valor.
118

126. 47. Escreva a fungao do 2Q
grau correspondente aparabola:
a) b)
OIjJ
, I ' •x
-4
_I 0 I
48. Determine 0 vEHtice de cada uma das fungoes do exercfcio anterior.
49. (EsPCEx) A parabola representativa da fungao (: IR --. IR definida par ((x) = -2x2
+ bx + c passa
pelo ponto (1, 0) e seu ponto maximo e0 ponto (3, v). Determine v.
50. (Faap-SP) Qual 0 numero de numeros inteiros estritamente positivos menores ou iguais a 9 que veri-
ficam a desigualdade (x2
- 8x + 7)(x2
- 13x + 30) ~ O?
51. (Mackenzie-SP) Resolva a inequagao - x 3
+ 6x2
- 9x ~ O.
52. (Vunesp) Tomando como conjunto universo 0 conjunto U = IR - (1}. resolva a inequagao
~<x+2
2 1-x'
53. (UFRJ) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajet6ria plana vertical de
equagao y = - +x
2
+ ~ X + 2, na qual os valores de x e y sao dados em metros.
x
Oscar acerta 0 arremesso e 0 centro da bola passa pelo centro da cesta, que esta a 3 m de altura.
Determine a distancia do centro da cesta ao eixo y.
54. (IME-RJ) Seja (: IR --. IR uma fungao quadratica tal que ((x) = ax2
+ bx + c, a '* 0, Vx E IR. Sabendo
que X1 = -1 e X2 = 5 sao as raizes e que ((1) = -8:
a) determine a, b, c.
b) calcule ((0).
c) verifique se ((x) apresenta maximo ou mlnimo, justificando a resposta.
d) de as coordenadas do ponto extremo.
e) faga 0 esbogo do grafico.
~ x + 1 ?
55. (Fesp-SP) Qual e0 dominic da fungao ((x) = x 2 _ 9 .
119

127. 56. (Faap-SP) Seja a funyao ((x) = mx2
+ nx + 1, X E IR, onde men sao constantes reais. Sabendo-
se que ((x + 1) = ((x) + 2x + 1 para qualquer x real, pede-se:
a) determinar men ap6s analisar ((0) e ((1). b) calcular ((2).
TESTES _
57. (PUC-MG) Com relayao afunyao do 2Q
grau ((x) = x 2
- 2x - 15, eincorreto afirmar que:
a) se -3 < x < 5, entao ((x) < O. d) se x> 1, entao ((x) edecrescente.
b) se x < -3 ou x> 5, entao ((x) > O. e) se x = -3 ou x = 5, entao ((x) = O.
c) ((x);;" -16, '<Ix E IR.
58. (U. Cat6lica de Salvador-SA) Quantos numeros inteiros e estritamente positivos satisfazem a ine-
_ x+2 x-2
quayao - - <--?
x-2 x+2
a) Nenhum b) Um c) Dois d) Tres e) Infinitos
59 (UFSE) S k · I - . . d . - x
2
- 5x + 4 - k" I. e e uma so uyao Intelra a Inequa<;:ao ~ 0, entao e Igua a:
x 2
-4x
a) 1 b) 1 ou 4 c) 2 ou 3 d) 1, 2, 3 ou 4 e) 5, 6, 7, 8 ou 9
60. (UFSE) A soma das soluy6es inteiras da desigualdade x 2
- 4 < 2 - x e:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
61. (UFRN) 0 dominio da funyao definida por ((x) = ~ e:
x
a) {x E IR 1-1 ~ x ~ 1 ex*- O}
b) IR
c) {XE 1R1-1 ~ x~ 1}
d) {x E IR 1-1 < x < 1 ex*- O}
e) {xElRlx<1}
62. (UFPE) Considere a equayao x 2
+ (k - 4)x - 2k + 4 = O. Indique os valores de k para os quais 0
numero real 3 esta compreendido entre as raizes dessa equayao.
a) k = 0 b) k> -1 c) k = -1 d) k < -1 e) k = 1 ou k = 2
e) 0 grafico de h nao passa pela origem.
-b2
d) 0 grafico de h intercepta a reta y = ~.
63. Considere a funyao h : IR ---> IR dada por h(x) = ax2
+ bx, a *- O. Admita que a imagem de he 0 inter-
valo ]-00, 4]. Analise as seguintes afirmay6es:
a) h( ;: )= 4
b) a> 0
c) 4 e0 valor minimo de h.
64. (Faap-SP) 0 valor maximo da funyao (: IR --> IR definida por ((x) = - x 2
+ 6x + 7 e:
a) 7 b) 6 c) 3 d) 16 e) 64
65. (Esal-MG) 0 gratico ao lade corresponde a:
a) y = x2
- 6x + 8
b) Y = 2x2
- 8x
c) Y = x2
- 1
d) Y = 2x2
- 2x
e) y = x 2
- 2x
120
x

128. 66. (Fuvest-SP) Quero construir uma quadra de futebol de salao retangular. Para cerca-Ia, disponho de
60 m de alambrado pre-fabricado e, por uma questao de economia, devo aproveitar 0 muro do quin-
tal (figura abaixo). Quais devem ser as dimens6es dessa quadra para que sua area seja maxima?
a) x = 20 m, y = 10 m
b) x = 15 m, y = 30 m
c) x=12m,y=18m
d) x = 10m, y = 20 m
e) x = 8 m, y = 30 m
Muro
a) a· b· C < 0
b) a < 0 e C> 0
c) 4ac> b2
d) b < 0 e c< 0
e) b> 0 e c> 0
67. (U. F. Santa Maria-AS) A figura representa graficamente, no plano cartesiano, a funyao polinomial do
22 grau f (x) = ax2
+ bx + C, em que a, be C sao constantes reais e f (X1) = f (x2) = O.
Entao, de acordo com a figura, a afirmayao correta e:
y
68. (UEBA) Uma funyao quadratica possui as rafzes 1 e ~. Alem disso, sabe-se que 0 seu grafico con-
tem 0 ponto (0, 3). Essa funyao possui um valor minimo igual a:'
a) -1 b) _ 1
5
c) _ 3
2
d) -2 e) _ 1
9
69. (Vunesp) 0 grafico da funyao quadratica definida por y = x2
- mx + (m - 1), em que m E IR, tem
um unico ponto em comum com 0 eixo das abscissas. Entao 0 valor de y que essa funyao associa a
x = 2 e:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
70. (UFAS) Uma bola colocada no chao e chutada para 0 alto, percorrendo uma trajetoria descrita por
y = -2x2
+ 12x, em que yea altura, dada em m. A altura maxima atingida pela bola e de:
a) 36m b) 18m c) 12m d)6m e)3m
71. (Unifor-CE) Disp6e-se de uma folha de papel retangular,
x x
medindo 20 em de largura por 24 em de comprimento. x x
Deseja-se recortar em cada quina da folha quatro quadra- --------------
dos iguais, conforme mostra a figura. Quanto deve medir 0
lade de cada quadrado para que a area da regiao colorida
seja maxima?
--------------
a) 4,5 em c) 5,5 em e) 6,5 em x x
b) 5 em d) 6 em x x
72. (U. Estacio de Sa-AJ) 0 lucro L de uma empresa e dado por L = - x 2
+ 7x - 6, em que x e a quan-
tidade vendida. 0 lucro sera positive se, e somente se:
a) 3 < x< 4
b) x < 1 ou x> 6
c) 1 < x < 6
d) 0 < x < 10
e) x> 8
121

129. 73. Um objeto elanc;ado no espac;o, em um local onde 0 solo eplano e horizontal. A sua altura, em rela-
c;ao ao solo, edada pela f6rmula: h(t) = -2t
2
+ 12t (h ea altura em metros e teo tempo em segun-
dos). A altura maxima que 0 objeto atinge e:
a)12m b) 24m c)9m d) 30m e)18m
74. (U. F. Vic;osa-MG) A temperatura de uma estufa, em graus centfgrados, e regulada em func;ao do
t 2
tempo t de acordo com a lei f dada por f (t) = 2 + 4t + 10, sendo t;;. O. Pode-se afirmar que:
a) a estufa nunca atinge zero grau.
b) a temperatura esempre positiva.
c) a temperatura mais alta eatingida para t = 2.
d) 0 valor da temperatura maxima e 18 graus.
e) a temperatura epositiva s6 para 0 < t < 5.
75. (UFMG) 0 conjunto de todos os valores reais de xque satisfazem adesigualdade
-x2
+ 2 .
---;:----- ~ 1 e:
-x2
+ 2x - 2
a) {x E IR Ix ~ 0 ou x;;. 2)
b) {x E IR Ix ~ 2)
c) {xElRllxl;;'1}
d) {XE IRllxl ~2 }
e) {xElRlx~-1}
a) m> 5
b) 2 < m < 5
c) 1 ~ m < 2
{
x2
- 7x + 10 < 076. (Unifor-CE) Se 0 numero real me soluc;ao do sistema
x2
- 1 ;;. 0
d) -1 ~ m ~ 1
e) m ~-1
, entao everdade que:
77. (UFMG) Seja b > O. Se 0 sistema {:::x-x2
tem soluc;ao unica, conclui-se que 0 vertice da parabola
de equac;ao y = -bx + x2
e:
a) (-2, -4) b) (-2,4) c) (2,0)
122
d) (2, -4) e) (0,4)

130. Capitulo
Fun~ao modular
I. Introdu~ao
As func;:6es estudadas ate 0 momenta foram definidas por uma lmica sentenc;:a, mas isso
nem sempre ocorre.
Neste capitulo, iremos estudar func;:6es que, em urn subconjunto D 1 do dominio, sao defi-
nidas por uma lei e, em urn subconjunto D 2, mudam de comportamento, obedecendo a uma
outra lei, e assim por diante.
Consideremos, por exemplo, a seguinte situac;:ao:
o prec;:o, em reais, cobrado por uma trans- ;F"~HiK""':~
portadora de pianos, por seus servic;:os, e calcu-
lado da seguinte forma:
• para qualquer distancia ate 20 km, urn
valor fixo de 500 reais;
• para distancias maiores, 500 + 22 . x, em
que x eo numero de quil6metros acima de 20.
Essas duas sentenc;:as mostram que 0 prec;:o
a ser cobrado e func;:ao do nllmero de quil6me-
tros rodados, podendo ser representado assim:
f(x) = {500, para x :%:: 20
500 + 22 . x, para x > 20
2. Fun~ao definida por duas ou mais senten~as
A situac;:ao anterior nos mostrou urn exemplo de func;:ao definida por duas sentenc;:as.
Vejamos outros exemplos.
Exemplo 1
Considere as seguintes func;:6es:
j;(x) = x, definida para Ix E fR Ix ~ 01
j;,(x) = -2, definida para Ix E fR Ix < 01
Construir 0 grafico e dar 0 conjunto imagem.
Solufao
Podemos indicar as func;:6es j;(x) e j;,(x) por uma lmica func;:ao f(x) do seguinte modo:
f(x) = {x, se x ~ 0 ,em que D(f) = fR
-2, se x < 0
A hmc;:ao f(x) assim indicada constitui-se num exemplo de func;:ao definida por duas sentenc;:as.
123

131. Vejamos 0 grafico e 0 conjunto imagem dessa flms:ao.
Grafico da flms:ao
f(x) = X, se x ~ 0
y
Grafico da funs:ao
f(x) = -2,sex<0
..
..
2 x
o
x
-I
--------------0---------------2
o grafico da funs:ao f(x) = {x'2se x ~ 0 ea reuniao das duas semi-retas.
- , se x < 0
-2
Observando 0 grafico, verificamos que Im(f) = IR+ U {-21.
Exemplo 2
Dada a flms:ao f: IR -> IR definida por:
{
X + I, se x> 0
f(x) = I, se -2 < x ~ 0
- x-I, se x ~ - 2
construir 0 grafico e dar 0 conjunto imagem de f
SolUfiio
Vamos construir separadamente 0 grafico de cada sentens:a:
f(x) = x + 1
(x> 0)
f(x) = 1
(-2 < x ~ 0)
y
~-----.--_ ..._----
f(x) = -x-1
(x ~ -2)
y
• 0 x -2 _I 0
124
x -2 -I",~ x

132. Reunindo os tres graficos, obteremos 0 gd.fico de f:
-2 _I 0
a conjunto imagem eIm(f) = (y E IR Iy ~ 11.
x
Exemplo 3
Dada a func;:ao f: IR -+ IR definida por:
{
x2, se x > 0
f(x) = -1, se -2 ~ x ~ 0
- x - 2, se x < - 2
construir 0 grafico, dar 0 dominio e 0 conju11to imagem de f
SolUfiio
Vamos construir separadamente 0 grafico de cada sentenc;:a:
4
f(x) = x 2
(x> 0)
...
······• 2
......
o 2 x
f(x) = -1
(-2~x~0)
-2 _I 0
-I
x
f(x) = -x - 2
(x < -2)
-2 ",.1 0
'.
x
Reunindo os tres graficos, obteremos 0 grafico de f:
4
a dominio eD(f) = IR.
a conjunto imagem eIm(f) = IR: U (-1).
125

133. EXERCiclOS PROPOSTOS _
1. Construa 0 grcHico e de 0 conjunto imagem das seguintes func;:oes de IR em IR:
a) f (x) = {X + 1, se x ;;. 0
1, se x < 0
b) f (x) = {-2X + 4, se x ~ 2
x-2, se x> 2
c) f(X)={x
2
,sex;;.o
-3x, se x< 0
{
2X - 2, se x;;. 0
d) f (x) = -2, se -2 < x < 0
-2x - 6, se x ~ -2
e) fIx) ={x
2
-4,sex~ -2oux;;.2
-x2
+ 4, se -2 < x < 2
{
- x + 3, se x > 1
2. Dada a func;:ao real f (x) = 2, se -1 ~ x ~ 1 ,pede-se:
x + 3, se x < -1
a) f(5) b) f(O) c) f(-2)
3. Fun~ao modular
Chama-se fun~o modular a fun~ao de IR em IR definida 'por f (x) = Ix I. Como, por
. {x se x;;. 0 {x se x;;. 0
defim~ao, IxI =' 0 ' temos: f(x) = IxI =' .
- x, se x < - x, se x < 0
A fun~ao modular e, portanto, definida por duas senten~as:
f(x) = x, se x;;. 0 e f(x) = -x, se x < 0
Vamos construir no plano cartesiano 0 grafico da fun~ao f(x) = IxI·
f(x)=x, sex;;' 0 I f(x)=-x, scx<O I f(x)=I·'C1
y y y
2 x
,
,
x
a grafico e uma semi-reta
fechada com origem no
ponto 0(0, 0). Ela ebisse-
triz do 1Q quadrante.
a grafico e uma semi-reta
aberta com origem no
ponto 0(0, 0). Ela ebisse-
triz do 2Q
quadrante.
a grafico e a reuniao das
duas semi-retas.
a dominio da fun~ao eD(f) = IR.
a conjullto imagem da fun~ao eIm(f) = IR+.
126

134. Exemplo 1
Sabendo quef(x) = Ix + 11, construir 0 grifico, dar 0 dorninio e conjunto imagem def
Solurao
De acordo com a definic;:ao, temos:
f () I 1 I {
X + 1, se x + 1 ~ 0 . I + 1 I {x + 1, se x ~ -1x = x + = , ou seJa: x = .
- (x + 1), se x + 1 < 0 - x-I, se x < - 1
f(x)=x+l, sex~-l I f(x)=-x-l,sex<-l I f(x)=lx+ll
-I
x
y
x x
o domlnio eD(f) = IR.
o conjunto imagem eIm(f) = IR+.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
3. Dada a fun«ao ,(x) = Ix + 21, pede-se:
a) 0 grafico da fun«ao b) 0 conjunto imagem de ,
4. Sendo ,(x) = 12x + 11, determine:
a) '(-2) b) 0 grafico de ,
5. Construa 0 grafico da fun«ao ,(x) = ~x2-4X + 4.
(Sugestao: lembre que ~x2-4x + 4 = ~(X-2)2 = IX-21.)
c) 0 conjunto imagem de ,
Exemplo 2
Sabendo quef(x) = -Ix + 11, construir 0 grmco, dar 0 dominio e 0 conjunto irnagem def
127

135. SO/UfaO
De acordo com a definis:ao, temos:
f(x) = -Ix + 11 = {-(X + 1), se x + 1 ~ 0
- [ - (x + 1)], se x + 1 < 0 '
{
-x - 1 se x:;:" - 1
ou seja: f(x) = - Ix + 1 I = + l' ~ 1 .
x , se x < -
f(x) = -x - I, se x ~ -I I f(x) = x + I, se x < -I I f(x) = - Ix + II
x
y
_I 0 x x
a dominio eD(f) = IR.
a conjunto imagem eIm(f) = IR_.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
6. Dada a fun<;:ao modular f (x) = - 1-x + 21, pede-se:
a) f(-4) b) ogrcHicodef
7. Sendo f (x) = -Ix - 21 e g(x) = x + 5, pede-se:
a) h(x) = f (g(x)) b) h(5)
c) 0 conjunto imagem de f
c) 0 conjunto imagem de h(x)
Exemplo 3
Sendo f(x) = Ix2
- 6x + 81, construir 0 grafico e dar 0 conjunto imagem de f
SO/UfaO
2 {x2
- 6x + 8, se x 2
- 6x + 8 ~ 0
f(x) = Ix - 6x + 81 = -(x2 - 6x + 8), se x 2 - 6x + 8 < 0
Estudemos 0 sinal da nms:ao h(x) = x2
- 6x + 8:
h(x) = 0 => x2
- 6x + 8 = 0 => Xl = 2 e X2 = 4
{
x2
- 6x + 8, se x <S 2 Oll X ~ 4
Entao f(x) =
- x2
+ 6x - 8, se 2 < x < 4
128
x

136. f(x) = X
2
- 6x + 8, se I f(x) = -x
2
+ 6x - 8, se I f(x) = I x 2 - 6x + 8 i
x :0;:; 2 ou x ;;;;. 4. 2 < :1': < 4.
Zeros da fun<;:ao: 2 e 4.
Vertice:
Zeros da h.ll1<;:ao: 2 e 4.
Vertice:
Jxv=
~v=
-b
2a
~=
4a
6- =3
2
-4- - =-1
4
Jxv=
tv =
-b = -6 = 3
2a -2
-D,. = -4 = +1
4a -4
o I 2.. 3 :4
-I -- ---'_.._ .. '
x
o I : 2 3
··········
4 x
···········
x
c) os valores de x para os quais f(x) > 0
d) os valores de x para os quais f(x) < 0
o conjunto imagem e Im(f) = IR+.
EXERCICIOS PROPOSTOS _
8. Sendo f (x) = Ix2
- 4x I. construa 0 grafico de f (x).
9. Sendo f (x) = Ix2
+ 2x I e g(x) = x + 1, determine:
a) h(x) = f (g(x)) c) h(-3)
b) h(-1) d) 0 conjunto imagem de h(x)
Exemplo 4
Dada a ftm<;:ao f(x) = Ix - 21 - I, construir 0 gratico, dar 0 conjunto irnagem defe, a par-
tir dele, determinar:
a) os zeros da fun<;:ao
b) 0 conjunto imagem
SolUfio
De acordo com a defini<;:ao, temos:
f(x) = Ix - 21 - 1 = J(x - 2) - I, se x - 2 ;;;;. 0
L-(x - 2) - 1, se x - 2 < 0 '
. . _{x - 3, se x;;;;' 2
ou sCJa·f(x) - + 1 < 2 .-x , se x
129

137. f(x) = x - 3, se x ;;;. 2 I f(x) = -x + I, se x < 2 I f(x) = !x - 21 - I
y
o
-I
,
,
x
o grafico nos mostra que:
a) os zeros da func;ao sao Xl = 1 e X2 = 3
b) 0 conjunto imagem da func;ao eIm( f) = l)' E IR I)';;;. -11
c) f(x) > 0 parax< 1 oux> 3
d) f(x) < 0 para 1 < X < 3
EXERCiclOS PROPOSTOS _
10. Dada a fun9ao f (x) = Ix + 1 1 - 2:
a) calcule f (-3). b) construa 0 grcHico.
11. Determine 0 conjunto imagem da funQao f (x) = Ix - 31 + 4.
c) de 0 conjunto imagem.
Exemplo 5
Sendo f(x) = Ix 1+ Ix - 31, construir 0 gra,fico de fe dar 0 conjunto imagem.
SolUfiio
De acordo com a definic;ao, temos:
IxI = {x, se x;;;. 0
-x, se x < 0
Entao:
e Ix - 3 I = {x - 3, se x ;;;. 3
-x + 3, se x < 3
Para x < 0 =>
{ ixi = -x => f(x) = -x + (-x + 3) => f(x) = -2x + 3,
Ix - 31 = -x + 3
Para x = 0 =>
{
ixi = 0
Ix - 31 = 3
=> f(x) = 0 + 3 => f(x) = 3.
130

138. 4. Equa~oes modulares
A resolus:ao de equas:oes modulares esta baseada nas seguintes propriedades:
• Se Ixl = a e a > 0, entao x = a ou x = -a.
• Se IxI = a e a = 0, entao x = O.
Vejamos alguns exemplos, considerando 0 universo U = IR.
Exemplo 1
Resolver a equas:ao j2x + 11 = 5.
SolUtio
De acordo com as propriedades, temos:
2x + 1 = 5
2x = 4
x=2
ou
2x + 1 = -5
2x = -6
x = -3
Logo, 0 conjunto solus:ao eS = {-3, 2}.
EXERCiclO PROPOSTO
14. Resolva as equa<;:oes:
a) Ix - 41 = 1 e) 13x + 51 = 0 g) I x; 1 1=5
b) 13 - 5xl = 2 d) 13x - 21 = --.l
2
h) I0,2
3
- x I= 0
Exemplo 2
Resolver a equas:ao Ix2
- lOx + 20 I = 4.
SolUtio
Temos: x 2
- lOx + 20 = 4
x 2
- lOx + 16 = 0 ou
x = 2 ou x = 8
x 2
- lOx + 20 = -4
x 2
- lOx + 24 = 0
x = 4 ou x = 6
Logo, 0 conjunto solus:ao eS = {2, 4, 6, 8}.
EXERCiclO PROPOSTO _
15. Resolva as equa<;:oes:
a) Ix2
- 5x + 51 = 1
b) Ix2
- 3x I = 4
c) Ix2
- 6xl = 7
d) 1x
2
- 8x + 13 I = 1
132

139. Exemplo 3
Resolver a equas:ao [5x - 7[ = 5x - 7.
SolUfao
Observe que a expressao entre barras e igual aexpressao do segundo membro. Isso pode nos
dar a falsa ideia de que qualquer valor de x real venha a ser solus:ao da equas:ao.
No entanto, como 0 modulo de urn numero real e sempre positivo ou nulo, entao a equas:ao
dada so tern sentido se 5x - 7 ~ 0, ou seja, x ~ 1.-.
5
Portanto 0 conjunto solus:ao e S = {xE IR [x ~ ~}.
EXERCICIO PROPOSTO
16. Resolva as seguintes equa90es:
a) 13x + 2 I = 3x + 2 b) 14 - 8x I = 4 - 8x c) 15X - +1= 5x - +
Exemplo 4
Resolver a equas:ao 13x + 21 = 5x - 8.
SolUfao
A equas:ao dada so e possive! quando 5x - 8 ~ 0, ou seja, x ~ 8 CD
5
Por definis:ao de modulo, temos:
13x + 2[ = 5x - 8
De @, temos:
{
3X + 2 = 5x - 8@
~ ou
3x + 2 = -(5x - 8) @
De @,temos:
3x + 2 = 5x - 8
3x - 5x = -8 - 2
-2x = -10
2x = 10 ~ x = 5
(Serve, pois satisfaz a condis:ao (D.)
Ponanto 0 conjunto solus:ao e S = {5j.
EXERCICIO PROPOSTO
3x + 2 = -(5x - 8)
3x + 2 = -5x + 8
3x + 5x = 8 - 2
8x = 6 ~ x = l.-
4
(Nao serve, pois nao satisfaz a condis:ao (D.)
17. Resolva as equa90es:
a) 12x - 41 = x - 1 b) Ix + 21 = 3x - 6
133
c) 13x - 41 = x - 2

140. Exemplo 5
Resolver a equas:ao 12x - 1 I = 1 3x - 8 I·
SolUfao
{
3X- 8
De acordo com a definis:ao, temos: 2x - 1 = ou
. -(3x - 8)
2x - 1 = - (3x - 8)
2x - 1 = -3x + 8
2x + 3x = 8 + 1
2x - 1 = 3x - 8
2x - 3x = -8 + 1
-Ix = -7
x=7
ou
5x = 9 ~ x = 9
5
o conjunto solus:ao e S = f, :}.
EXERCiclO PROPOSTO
18. Resolva as equagoes:
a) 14x - 61 = 13x + 21
Exemplo 6
Resolver a equas:ao Ixl2
- 31xl - 10 = O.
b) 12x + 1 I = Ix - 31
Solufao
Fas:amos IxI = y, com y ~ O.
Podemos escrever: y2 _ 3y _ 10 = 0 ~ {y = - 2 (Nao serve, pois y ~ 0.)
y=5
Como Ixl = y, vern
IxI = 5 ~ x = -5 ou x = 5
o conjunto soluc;:ao eS = (-5, 51.
EXERCiclO PROPOSTO
19. Resolva as equagoes:
a) Ixl
2
- 10lxl + 24 = 0
b) Ixj2 + 31xl - 10 = 0
c) Ixl
2
- 91xl + 20 = 0
d) Ixl
2
+ 41xl + 5 = 0
5. Inequa~oes modulares
A resolus:ao de inequaS:6es modulares esta baseada nas seguintes propriedades, validas para
todo numero a real e positivo:
PI) Ix I > a <=> x < -a ou x > a; graficamente, temos:
P2) IxI < a <=> -a < x < a; graficamente, temos:
-0
o
-0
o
o
o
x
Aplicando essas propriedades, vamos resolver algumas inequas:6es modulares.
134

141. ---:----(0)------------<
-3
Exemplo 1
Resolver a inequacrao 12x + 1 1 > 5.
SolUfiio
De acordo com PJ, podemos escrever:
2x + 1 < - 5 ~ 2x < - 6 ~ x < - 3 CD
ou
2x + 1 > 5 ~ 2x > 4 ~ x > 2 ®
Efetuando a unhio, temos:
-3
CD----<>-----------,--~
@
G)U@
Logo, S = Ix E IR Ix < -3 ou x> 21.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
20. Resolva as inequagoes:
a) Ix + 31> 5 b) 1
2X
2-
6
!;;. 4 c) 13x - 21 > 7
21. Ache 0 dominio das fungoes:
a) y=~
Exemplo 2
Resolver a inequacrao Ix - 21 < 6.
b) f(x)=~lx-41-1
SolUfiio
De acordo com P2 , podemos escrever: -6 < x - 2 < 6 ~
Efetuando a intersec~o, temos:
{
=-2 > - 6 ~ x > -4 CD
x-2<6~x<8®
8
CD
@
CDn@
-4
--?------------~-.......
------6-----~------~-~.~
-4 L --Solu~iio
Logo,S= IxEIRI-4<x<81.
135

142. EXERCiclO PROPOSTO _
22. Resolva as inequagoes:
a) Ix + 41 ~ 10 b) 13x + 91 ~ 12 c) 2x - 4 <6
2
Exemplo 3
Resolver a inequa~ao Ix2
- lOx + 20 I < 4.
SolUfao
Devemos ter -4 < x 2
- lOx + 20 < 4, ou seja:
x 2
- lOx + 20 > -4
x 2
- lOx + 24 > 0 CD
f(x)
Ralzes def(x)
x 2
- lOx + 24 = 0
x = 4 ou x = 6
Sinais de f (x)
e x 2
- lOx + 20 < 4
Xl - lOx + 16 < 0 @
g(x)
Ralzes de g(x)
x 2
- lOx + 16 = 0
x = 2 ou x = 8
Sinais de g(x)
01 ~ 0 d
I~ e
x
Efetuando a intersec~ao das solu~6es, temos:
2 4
7---
8
~
---<0 o>------{ _ - _ )---...
2 4
--So -0
Logo, a solu~ao eS = Ix E IR 12 < x < 4 ou 6 < x < 8}.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
23. Resolva as inequagoes:
a) Ix2
- 6x + 41 < 4
24. Ache 0 dominio das fungoes:
c) Ix2
- 6xl > 5
a) f(x) =" 4-lx2
1
Exemplo 4
Resolver a inequa~ao
x-2
2x+3
136

143. Soluyao
De acordo com Pl> temos:
x-2
---;;:.1 fi
2x + 3 .V
x-2 -1;;:.0
2x+ 3
x - 2 - 2x - 3
------;;:.o
2x+ 3
-x -5
---;;:.0
2x+ 3
Estudando separadamente os sinais das fun-
C;6esf(x) = -x - 5 eg(x) = 2x + 3, temos:
ou
x-2
--~-1 @
2x+ 3
x-2
---+1~0
2x+ 3
x - 2 + 2x + 3
------~o
2x + 3
3x + 1
---~O
2x+ 3
Estudando separadamente os sinais das fun-
c;6es h(x) = 3x + 1 eg(x) = 2x + 3, temos:
Raiz def(x) Raiz deg(x) Raiz de h(x) Raiz deg(x)
-x - 5 = 0 2x + 3 = 0 3x + 1 = 0 2x + 3 = 0
-x = 5 2x = -3 3x = -1 2x = -3
x = -5
3 1
..,
x= x= x= .:>
- -
2 3 2
Sinal def(x) Sinal deg(x) Sinal de h(x) Sinal de g(x)
~ ~ ~ ~-5 e x e -t x e -+ x e -t x
A soluc;ao de CDemostrada no quadro de
sinais abaixo:
A soluc;ao de @ emostrada no quadro de
sinais abaixo:
I -- Solu~aode 'I'
+
-3
2
•
•+
-3: •+
2:
137
-3 -I
2 "3
r r •+
•+ +
-3 : -I: •+
2
6 "3~
+
•
- - Solu~ao de 1!:'

144. Efetuando a uniiio, temos:
@
(Du@
-5
-5
-3 -I
2 3"
•
~ • •
0 II
•-3 -I
2 3"
5 lu~ao
Logo, S = {XEIRI-S ~x< -~ ou -~ <x~ -~} .
2 2 3
Exemplo 5
Resolver a inequal,:ao
1~1<3.x-I
S~u~o x-2
De acordo com P2' temos: -3 < --- < 3, ou seja:
x-I
_x_-_2 > -3 CD
x-I
x - 2 + 3x - 3
------>0
x -}
4x - 5
--->0
x-I
e
x-2 <3 @
x-I
x - 2 - 3x + 3
------<0 ~
x-I .
-2x + 1 < 0
x-I
Vamos estudar separadamente os sinais das
funl,:oesf(x) = 4x - 5 eg(x) = x-I.
Vamos estudar separadamente os sinais das
funl,:oes h(x) = - 2x + 1 e g(x) = x-I.
~
Y+ ~x
Raiz def(x)
4x - 5 = 0
4x = 5 ~ x =
Sinal def(x)
5
4
Raiz deg(x)
x-l=O
x=1
Sinal de g(x)
~
Y' x
Raiz de h(x)
-2x + 1 = 0
-2x = -1
2x = 1 ~ x = 1
2
Sinal de h(x)
--h-+~x
Raiz deg(x)
x-l=O
x=1
Sinal de g(x)
~yx
Quadro de sinais
5
4"
+
Quadro de sinais
I
2 1
o r>------·~
•
+
+ +
+
olur;ao de (J
+
I: + .
~>-----_<'b)_--_:_---l.~+
~ 50h r; 0
138

145. Efetuando a interseq:ao das solur;6es, temos:
~----------...r;;.-----,
I : 2.
4
:,;
T
-.,.......;;,0>--------'-------(0 •
~solu~ao
CD
@
(Dn@
I
2"
5
4
Logo, S={xElRlx< ~ oux> :}.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
25. Resolva as inequayoes:
1
3x
+
2
1
a) ---;;.2
x-3
26. Resolva as inequayoes:
I
x -41a) - - <3
x-2
1
3x
-
2
1b) - - >3
2x + 1
I
X+2!b) - - "';4,
x -1
RELEMBRANDO CONCEITOS _
{
X, se x;;;. 0
y = Ixl = -x, se x < 0
Para resolu<;:ao de equac;:6es, considerar que:
- selxl = a e a> O,entaox= a ou x= -a;
- se Ix I = a e a = 0, entao x = O.
Para resoluc;:ao de inequac;:6es, considerando a > 0, temos que:
-Ixl > a ~ x < -a ou x> a;
- Ix I < a ~ - a < x < a.
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
{
3x + 2, se x > 0
27. Dada a funyao f(x) = 2, se -3"'; x",; 0 ,
-x-1,sex<-3
a) f(-10)
b) f(O)
c) f(-3)
d) f(4)
pede-se:
e) 0 grafico da funyao
f) 0 conjunto imagem
g) os valores de x para os quais f (x) ecrescente
h) os valores de x para os quais f (x) edecrescente
139

146. 2x
28. Dada a funyao f (x) = TXT' calcule:
a) f(-3) b) f(3) c) f(-2) d) f(2)
29. Sendo f (x) = x - 1 e g(x) = Ix - 31 ' pede-se:
a) h(x) = f (g(x)) b) 0 gn3fico de h
30. Dada a funyao real definida por y = Ix2
- 1 I - 3, construa 0 seu grafico. Em face do grafico, pode-
se afirmar que sao verdadeiras as sentenyas:
a) 0 conjunto imagem da funyao e (y E IR Iy:;;. -3).
b) a funyao epositiva para x < -2 ou x> 2.
c) 0 eixo dos ye eixo de simetria do grafico da funyao.
d) a funyao ecrescente para -1 < x < 1.
e) os zeros da funyao sao -1 e 1.
f) 0 grafico intercepta 0 eixo dos y no ponto (0, -2).
31. Resolva as equayoes:
a) Ix2
- 17xl = 30
32. Resolva as inequayoes:
a) 10,2x-101 <20
33. De 0 dominic das funyoes:
x-1
a) y= IX-21
b) Ix + 61 + 5 = 2x
b) Ix2
- 5xl > 6
c)
I
X2 - 4x + 41 1
x+3 -6=0
c) 1
2
: ~1
5
1 ~ 3
c) y="lx2
-9x+91-9
34. (UFRJ) Considere a funyao y = f (x) definida por:
{
y = 4x, se °~ x ~ 2
Y= - x
2
+ 6x. se 2 < x ~ 6
a) Esboce 0 grafico de y = f (x) no intervalo °~ x ~ 6.
b) Para que valores de x temos f (x) = 5?
35. (Vunesp) Resolva a equayao x2
- 31x I + 2 = 0, tomando como universe 0 conjunto IR dos nllme-
ros reais.
I
X-31 x-336. (E. E. Maua-SP) Resolva a equayao - - = - - .
x+1 x+1
37. (Fatec-SP) Resolva a equayao 13x2
- 41 = x2
- 4 em IR.
38. (Fuvest-SP) Seja f (x) = 12x2 - 1 I, x E IR. Determine os valores de x para os quais f (x) < 1.
39. (Fuvest-SP) Resolva a inequayao x 'Ixl > x.
40. (FEI-SP) Construa 0 gratico da funyao f (x) = x + Ix I
Ixl
41. Esboce 0 gratico da funyao f (x) = 11 - x2
1 no intervalo - 2 ~ x ~ 2.
140

147. TESTES _
42. (PUC/Campinas-SP) Na fabrica9ao de ate 500 unidades por mes de certo produto, 0 gasto de uma
enpresa e composto por um valor fixe de 750 d61ares mais um custo, por unidade, de 5,50 d6lares.
Quando a produ9ao supera 500 unidades, 0 valor fixe nao muda, mas 0 custo por unidade cai para
4,(,0 d6lares. A rela9ao entre 0 gasto mensal G da empresa e 0 numero u de unidades produzidas
no mes e dada por:
a) {G(U) = 750 + 5,50, se 0 ,,;;; u,,;;; 500
G(u) = 750 + 4,00, se u> 500
b) {G(U) = 750 + 5,50' u, se u,,;;; 500
G(u) = 4,00 . u, se U> 500
c) {G(U) = 750 + 5,50' u, se 0,,;;; u,,;;; 500
G(u) = 4,00' u, se U> 500
5,50 + 4,00
d) G(u) = 750 + 'U, se U~ 0
2
e) fG(u) = 750 + 5,50' u, se 0 ,,;;; u,,;;; 500
lG(u) = 750 + 4,00' u, se U> 500
43. (Unifor-CE) Relativamente afun9ao f, de lR em lR, definida por f (x) = Ix - 1 I + 1, e correto afirmar que:
a) e crescente, qualquer que seja x. d) tem um valor maximo para x = 1.
b) e decrescente, se x> 1. e) admite raizes reais.
c) tem um valor minimo para x = 1.
44. (F. Ibero-Americana-SP) Considere a equa9ao Ixl = x - 6. Com respeito asolu9ao real dessa equa-
9ao, podemos afirmar que:
a) a equa9ao nao tem solu9ao.
b) a solU9ao pertence ao intervalo fechado [1, 2].
c) a solu9ao pertence ao intervalo fechado [-2, -1].
d) a solU9ao pertence ao intervalo aberto ]-1,1[.
e) a solu9ao pertence ao complementar da uniao dos intervalos anteriores.
45. (PUC-MG) A soma das raizes da equa9ao 12x - 1 I = 3 e igual a:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
46. (Mackenzie-SP) 0 numero de solU90es reais da equa9ao 14 - ~71 = 4e:
a) 3 b) 4 c) 0 d) 1 e) 2
47. 0 conjunto solU9ao em lR da equa9ao 12x2 - 51 = x2
- 4 e:
a) {- 3,.J3} b) {-,'3, -1, 1, ,'3} c) {-1,1} d) 0
48. (FEI-SP) Os valores reais de x, que satisfazem ainequa9ao 12x - 1 I < 3, sao tais que:
a) x< 2
b) x> -1
c) ..1- < x < 2
2
d) x> 2
e)-1<x<2
49. (FURRN) 0 dominio da fun9ao f (x) = ,'Ixl + 5 e:
a) x,,;;; -5 d) x ~ 2
b) x'* 0 e) todos os reais positivos
c) todos os reais
50. (Mackenzie-SP) Seja So conjunto solU9ao da inequa9ao x ·Ixl < x. Entao lR_ n S eo conjunto:
a) ]-00, -1[ b) S c) IR_ d) 0 e) {-1}
141

148. 51. (UEBA) A desigualdade 1 < Ix - 21 < 2 se verifica para todos os numeros reais xtais que:
a) 1 < x < 3 d) 0 < x < 1 ou 3 < x < 4
b) x < 3 ou x> 4 e) x < 1 ou x> 3
c) 0 < x < 4
52. (UECE) Sejam Z 0 conjunto dos numeros inteiros, M = {x E Z 112x - 31 = Ix - 21},
p= {XE zllx+ 21 = 13x- 41}, e T= {XE zllx- 31 ~ 2}. Oconjunto (T- M) n (T- P) e:
a) {1, 2, 4} b) {2, 4, 5} c) {3, 4, 5} d) {1, 2, 3}
53. (UFRN) 0 conjunto soluyao de 1 < Ix - 1 I < 2 e0 conjunto dos numeros reais x tais que:
a) -1 < x < 0 ou 2 < x < 3 d) -1 < x < 3
b) -1 < x < 0 e) 0 < x < 2
c) x < 0 ou x> 2
54. (UFPE) Indique qual das funyoes de IR em IR pode ser representada pelo grafico abaixo.
a) Y=2+M
b) y=2+ Ixl
) {
2 + x, se x > 0
C y=
2-x,sex~O
d) y = 3 - Ix - 1 I
2
) {
2-x,sex:;;.o
e y=
2+x,sex<O
55. (F. C. Contabeis) 0 esboyo grafico da funyao f (x) = Ix - 11 + x, x *1, edado por:
x -1
y y
a)
./
c)
/
e)
2 2 2
--":
x x 0
y
b) d)
/2
-9 2
0 :1 x x
142
x

149. 56. (F. Ibero-Americana-SP) 0 grafico que melhor representa a fun<;:ao definida por
a) Y c)
~L
L
b)
Y
o x
x
d)
o
x
x
Y =M x* 0 e"2 ) I '
X
e) n.d.a.
57. (u. Sao Francisco-SP) 0 conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem 0 sistema {IXI ,,;; 2 e:
IYI ,,;; 2
a) c) e)
Y
2~---...
b)
-2
o
Y
2
2 x
2 x
d)
Y
2·
Y
2
2 x
Y
2
-- -
1
-2 -I 0 I 2 x
-I
-2
58. Qual das fun<;:oes f (x) esta melhor representada no grafico?
{
4 - x2
, para x> 2
a) f(x) =
x + 1, para x < 2
{
2 - x2
, para x> 2
b) f(x) =
x2
- 4, para x ,,;; 2
c) f (x) = {x
2
- 4, para x,,;; 2
x - 1, para x > 2
d) f (x) = {x
2
- 2, para x < 2
x + 1, para x > 2
e) f (x) = {4 - x
2
, para x < 2
x + 1, para x > 2
143
GrafteD de ((xl

150. 59. (Mackenzie-SP) Na figura, temas a grafica da fun<;aa de IR - (-1} em IR definida par
((x) = _1_. A area da regiaa calarida vale:
Ix + 11
a) 4
b) 5
c)
7
2
d)
9-
2
e)
11
-
2 -3 x
144

151. Capit 10
Fun~ao exponencial
I . Revisao de potencia de expoente racional
No curso de 1Q grau, voce estudou e trabalhou com potencias.
Agora, iremos estudar assuntos que envolvem conceitos ja aprendidos e em especial aque-
les sobre potencias de base positiva.
Antes de iniciarmos esses novos estudos, e conveniente rever alguns conceitos atraves da
resolus:ao de exercicios.
Para facilitar 0 seu trabalho, mostramos no quadro as principais informas:6es sobre poten-
cias de base positiva e expoente racional.
Sendo a E IR: , mE 7L en E 7L~, temos:
• se m> 1, entao am = a' a' a' .... a;
'----v------J
m fatores
• se m = 1, entao am = a;
• se m = 0, entao am = 1;
Propriedades
Sendo a e b numeros reais e positivos,
com men numeros racionais, sao vaIidas
as seguintes propriedades:
• se m = -1, entao am =
• se m < -1, entao am =
• am/" = 1/ am
1
a
( ~ YIIl;
• (a . b)11l = am . bm
.(~)m=~
b b'"
Observa~o: as consideras:6es feitas para potencia de expoente racional sao vilidas para
potencia de expoente real.
EXERCiclOS PROPOSTOS
1. Calcule 0 valor das potencias:
a) 53 d)
(1+ Y g) C,2Y j) 2-3 n) (~ y
b) 104
e) (0,22)2 h)
CrrJ I)
(~ r1
0) (0,85)1
c)
(~ y f) (0,22 .. l i)
(': J m) (~ y2 p) (0,3)-2
145

152. 0)
2. Considerando a > 0 e b > 0, reduza a uma s6 potencia:
a) a2 . a. a4
f) a6
: a
6
b) a3 . a-I. a2
g) a5 : a-2
c) am + 2. a5 - m h) (a 2)3
d) a6
: a
4
i) (a3)X
e) a3 : a
5 j) (aX)X + 1
3. Escreva na forma de potencia de expoente fracionario:
c) .J1OX+1
d) ~2x
4. Escreva:
a) 2 x
+ 3 como produto de duas potencias de base 2.
b) 52X
+ 1 como produto de duas potencias de base 5.
c) 3x
- 2 como quociente de duas potencias de base 3.
d) 102X - 1 como quociente de duas potencias de base 10.
e) 1 como potencia de base 10.
I) a2
. b2
a3
m) -
b3
n) 3 x . 2 x
3x
5x
p)
e)~
f) ,'(~ r+4
IM= C' (1 + 0,05)"' I,
2. Conceito de fun~ao exponencial
Considere a seguinte situac;:ao:
Numa certa cultura de bacterias, observou-se que 0 numero de individuos duplicava a ca-
da hora. Considerando uma populac;:ao inicial de 4 bacterias, teremos:
• ap6s a 1'" hora, 0 numero de bacterias sera de: Y1 = 4 . 2 = 8 bacterias;
• ap6s a 2'" hora, 0 numero de bacterias sera de: Y2 = (4' 2) . 2 = 4 . 22
= 16 bacterias;
• ap6s a 3;[ hora, 0 numero de bacterias sera de: Y3 = (4 . 2 2
) . 2 = 4 . 23
= 32 bacterias.
Procedendo dessa forma, e facil concluir que a lei que expressa 0 numero de bacterias (y)
em func;:ao do tempo em horas (x) e definida por:
Estamos pois diante de urn novo tipo de func;:ao, chamada fun~o exponencial pelo fato
de apresentar variavel como expoente.
Sao muitos os acontecimentos que ocorrem obedecendo a leis expressas por func;:oes expo-
nenciais. Assim, por exemplo:
• 0 total de dinheiro existente numa caderneta de poupanc;:a que rende 5% ao mes e cal-
culado pela lei:
em que Ceo capital empregado e a variavel x e 0 numero de meses de aplicac;:ao;
• 0 processo de desintegrac;:ao radioativa de uma massa m de carbono 14 que e reduzida
a uma massa Y em t anos segundo a lei:
r - - - - - - - - - ,
146

153. De um modo geral:
Dado um numero real a, positivo e diferente de 1(a E IR: e a *- 1), chama-se fun~o
exponencial de base a a funs;ao f: IR ~ IR: definida por:
f(x) = aX
Assim, sao exemplos de funs;6es exponenciais:
a) f(x) = 2x
(nesse caso a base e2).
b) f(x) = (0,4)X (nesse caso a base e0,4).
c) f(x) = «2 + 1)X (nesse caso a base e " 2 + 1 ).
EXERCiclO PROPOSTO
5. Nas funQ6es definidas pelas sentenQas abaixo, identifique aquelas que sao exponenciais e indique a
base correspondente:
a) y = 5x b) Y = SX c) y = ( ~ Y d) Y = x
5
3. Grafico da fun~ao exponencial
Analisemos a representas;ao grifica das funs;6es exponenciais por meio de alguns exemplos.
Exemplo 1
y = f(x) = 3x
(nesse caso a base e3).
Vamos construir uma tabela de pontos pertencentes ao grafico cartesiano da funs;ao, atri-
buindo valores arbitrarios a x e, em seguida, calculando 0 valor de f(x) para cada um desses
valores.
Tabe1a
x y
I (x, y)
-2
1
( -2, ~ )-
9
-1 1
( -1, ~ )-
3
° 1 (0, 1)
1 3 (1, 3) I
2 9 (2,9)
]
1x= -2 => y= 3-2
=> y=
9
-1 y = 3-1 1
x= => => y= '"l
"x=O => y= 3° => y= 1
x= 1 => y= 31
=> y= 3
x=2 => y= 32
=> y=9
Grilleo
Assintota
y = 3'
Observe que a funs;ao ecrescente.
Observe que, quanta menor for 0 valor de x, mais os pontos do grafico da funs;ao se aproxi-
mam da reta suporte do eixo x, sem no entanto atingi-la. Quando isso ocorre, a reta echa-
mada assintota acurva.
Exemplo 2
y = f(x) = ( ~ r(Agora a base e ~ .)
147

154. Procedendo do mesmo modo que no exemplo anterior, temos:
Tabela
1
3
x v (x, 1')
-2 9 (-2,9)
-1 3 (-1,3)
0 1 (0, 1)
1
1
(1, ~ )-
3
2
1
(2, ~)-
9
=_.
Grmco
( 13 )-2x=-2=>y= =>y=32
=>y=9
( 13 )-1x=-l=>y= =>y=31
=>y=3
( 13 )0x=O=>y= =>y=l
( 13 )1x=l=>y= =>y=
x=2 => y= (~ y=> y= ~
- - - 9
r=(-t)' 8
7
6
5
4
2
1
,
,I
r-Assintou
1 I I I
•-2 -I 2 4 x
Observe que a fim<;ao edecrescente.
Observe que, quanto maior for 0 valor de
x, mais os pontos do grafico da fun<;ao se
aproximam da reta suporte do eLXO x, sem
no entanto atingi-la. Areta suporte do eixo
x e, por esse motivo, assintota acurva.
Assim, podemos classificar uma fun<;ao definida por y = aX em:
crescente quando a> I;
decrescente quando 0 < a < I.
Resumindo 0 estudo da fun<;ao y = aX, temos:
1) 0 dominio da fun<;ao eIR, ou seja: D(f) = IR.
2) 0 conjunto imagem da fun<;ao eIR:, ou seja: Im(f) = IR: (note que para "Ix E IR ternos
aX> 0). Entao 0 grafico da fun<;ao fica todo acima do eixo x.
3) Em qualquer dos casos, 0 ponto P(O, 1) pertence ao grafico da fun<;ao.
4) A fun<;ao einjetora, pois se XI =1= X 2, entao a XI
=1= a X2 .
5) A fun<;ao esobrejetora, pois para "lyE IR: existe x E IR tal que y = aX.
6) A fun<;ao ebijetora, pois einjetora e sobrejetora.
7) No caso de a> 1, a fun<;ao ecrescente, pois se Xl > X2, entao a XI
> aX2.
8) No caso de 0 < a < 1, a fun<;ao edecrescente, pois se Xl > x2, entao a Xt
< aX2.
148

155. Exemplo
Verificar se as funs;6es exponenciais abaixo sao crescentes ou decrescentes (em IR):
a) f(x) = 5" b) y = (0,85)"' (
3 )-'c)f(x) = 8
Solufao
a) f(x) = 5" e crescente, pois 5 > l.
b) y = (0,85)"' e decrescente, pois °< 0,85 < l.
( 3 )-'c) Quanto af(x) = 8 'como
EXERCiclOS PROPOSTOS
, a Rms;ao e crescente, pois -.! > 1.
3
6. Verifique em cada caso se a func;:ao ecrescente ou decrescente e justifique:
a) f(x) = (3, W c) Y= (2-3)X e) y= Ti
x
g) Y = ('2 + 2)X
b) y= (~ y d) h(x) = (O,23t h) Y = ( '; Y
7. Fac;:a a representac;:ao gratica das func;:6es:
a) f(x) = 2
x
b) f(x) = ( +r c) f(x) = 2x
+ 1 d) Y = 2x + 1
4. Equa~oes exponenciais
Considere a equas;ao 2" = 8. Ne!a, a variave! x aparece como expoente. ma equas;ao em
que isso ocorre e chamada equas:ao exponencial.
Veja outros exemplos de equas:6es exponenciais:
a) 5x
= 1 b) 3x
- 2 = 9'+ 1 c) 5 . 23X
- 1 = 20
Resolver uma equas:ao significa achar os valores da variave! que a tornem uma sentens:a nume-
rica verdadeira. Assim, na equas:ao 2'< = 8, temos que oX = 3 euma raiz, pois 23
= 8.
Muitas das equas;6es exponenciais podem, atraves das propriedades, serem transformadas
em outras equivalentes que possuam nos dois membros potencias de mesma base (maior que
zero e diferente de um). Obtido isso e lembrando que a funs;ao )' = aX einjetora, chegamos a
uma equas:~o que envolve somente os expoentes dos dois membros.
Dessa forma, voltando aeqllas;ao 2x
= 8, como 8 = 23
, temos que:
2x
= 23
~ X = 3 (pois a Rms:ao e injetora)
Observas:ao: neste capitulo estaremos estudando apenas equas:6es em que e possivel proceder
da forma citada. Para equas:6es nas quais tal procedimento nao seja possive!, llsan1-se OlltroS
metodos. No proximo capitulo, veremos algumas dessas equas;6es.
Acompanhe com atens:ao os exemplos de resolus;ao de equas;oes exponenciais no conjunto
dos nLuneros reais.
Exemplo 1
Determinar 0 valor de m nos casos:
a) 2111
• 2+ = 210 b) 62111 - 1 : 6111 - 3 = 6+
149

156. SolUfaO
a) 21/1 . 24 = 210
Como 21/1 . 24
= 2'" + temos:
2"'+4=210
~ m+4=lO ~ m=6
o conjunto solus:ao eS = {6I.
b) 62111 - 1 : 6'" - 3 = 64
Como 62111 - 1: 6111 - 3 = 62111 - 1 - (Ill - 3) = 62111 - I - 111 +3 = 6111 +2, temos:
6111 +2 = 64 ~ m + 2 = 4 ~ m = 2
o conjunto solus:ao eS = 121.
EXERCiclO PROPOSTO _
8. Calcule 0 valor de x nas equac;:6es:
a) 3 x '33 =3 c) 54X+1·5x-1 =5 10
f) (;Y: (;Y-3= (;Y
Exemplo 2
Resolver as eguas:6es:
a) 3x
= 243
SolUfao
a) 3x
= 243
Como 243 = 35, temos:
3x
= 35
~ X = 5
'----/
mesma base
o conjunto solus:ao eS = {5 I.
b) ( ~ yx (2;)
Como 2; = ~: = ( ~ y~ 2; = ( ~ r3
, entao:
( ~ )5X = ( ~r3 ~ 5x = -3 ~ x
----..........
mesma base
o conjunto solus:ao e S = {- ~}.
-3
5
EXERCiclO PROPOSTO _
9. Resolva as equac;:6es:
a) 2x
= 16
b) 5x
- 125 = 0
c) 23X
= 512
d) (~)X = l!-
4 64
e) 54X = _1_
25
f) 103
-
2X
= 1
150
g) 75X
- 2 = (+r-1
h) 4x - 8 = 0
i) gx+ 3 = 243

157. Exemplo 3
Resolver a equas:ao -J3 = 27 x
.
Solurao
1
Como ~ = 32: e 27 = 33, temos:
1 1
3
2
= (33 )" ~ 32: = 33X
~ 3x = 1
'--.--/ 2
mesma base
o conjunto solus:ao e S= {~} .
EXERCiclO PROPOSTO
10. Resolva as equaC;:5es:
1
~ x=
6
c) 322x + 1 = 8
d) '3X
-
2
= 9
e) 31)( 5 3x- 4
,2 = 2
f) 4~ 3r;:;;x+3
,9 = ,27
Exemplo 4 ( 1 )x2 - x
Resolver a equas:ao 9
x
= 3
Solurao
Como 9 = 32
e 1 = 3-J
, entao:
3
(32t=(3-1t2_X~ 32X=3x-x2 ~ 2x=x-x2 ~ x 2 +x=0 ~ x1=0 e x2
=-I
'--.--/
mesma base
(0 problema admite duas solus:oes.)
o conjumo solus:ao e S = I-I, OJ.
EXERCiclO PROPOSTO
11. Resolva as equac;:5es:
x (1)x
2
- x
a) 4 = -
2
Exemplo 5
Resolver a equas:ao 2x
+ 2·H
1 = 24.
c) (3Y + 3 = (9)X + 12
d) [( ~ rr= 6:;
Solurao
A equas:ao tambem pode ser escrita assim: 2" + 2x
• 2 = 24.
151

158. Fazendo 2x
= y, CD obtemos:
y + 2y = 24 => Y = 8
Entao 2x
= 8 => 2x
= 23
=> X = 3.
" ---./'
mesma base
o conjunto solw;ao eS = {3).
Observa~iio: quando houver uma troca de variaveis do tipo aX = y, com a positivo, como foi
feita em 0,todos os valores negativos de y que ocorrerem deverao ser descartados, pois nes-
sas condi<;6es "Ix E IR temos aX > O.
EXERCiclO PROPOSTO
12. Resolva as equac;:6es:
a) 5 x
+ 5 X
+ 1 = 150
b) 2x + 2x - 1 = 48
Exemplo 6
Resolver as equa<;6es:
a) 3 . 2-'+ I - 4 . 2' - 2 - 6 . 2' = -4
c) 2x + 4 - 2x + 1 = 56
d) 3x + 3x + 1 + 3x - 1 = 13
27
b) 25 1.'1 - 4 . 51'1 - 5 = 0
SolUfao
a) 3 . 2X+ I - 4 . 2' - 2 - 6 . 2' = -4
2' 2' .
Como 2'+ I = 2x
. 2 e 2''- 2 = -- = -- entao: 3 . 2' : 2 - 4 .
22
4'
Fazendo 2' = y, obtemos:
6 . Y - Y - 6 . y = -4 => -y = -4 => Y = 4
Como y = 2x => 2' = 4 => 2' = 22
=> X = 2.
~
mesma base
o conjunto solu<;ao eS = {21.
b) 251'[ - 4 . 51xI - 5 = 0
Como 25['1 = (5 2/,'1 = (5[·1 )2, fazendo 51'1 = y CD ,temos:
l - 4y - 5 = 0
Resolvendo essa equa<;ao encontramos y = -lou Y = 5.
Voltando em ([) :
para y = -1 => 51x1 = -1, senten<;a falsa para qualquer valor de x;
paray= 5 => 51·~1 = 5 => 51xI = 51 => Ixl = 1 => x= -1 oux= l.
o conjunto solu<;ao eS = {-I, 11.
EXERCiclO PROPOSTO
13. Resolva as equaC;:6es:
a) 2 . 5x
+ 3 . 5x
+ 1 = 17
b) 2 . 6x + 3 . 6x + 1 _ 4 . 6x - 1 = 29
9
d) 91x - 4 . 3!xl + 3 = 0
152

159. Exemplo 7
Resolver a equac;:ao 4-" - 3 . 2-" - 1 = 52.
SolUfiio
Temos:
4-" = (22
r = (2"?
2 x
2-"-1 = --
2
Substituindo na equac;:ao dada, temos:
(2-"? - 3· 2-" = 52
2
Fazendo 2-" = y( y > 0) CD 'vem:
l - 3y = 52 ~ 2l- 3y - 104 = 0 ~ y = 8 au y =
2
Voltando em Q) :
2'x=y~ 2-"=8 ~ 2-"=23 ~ x=3
o conjunto soluc;:ao e S = 13}.
EXERCiclO PROPOSTO
-13
2
(Esse valor nao serve.)
14. Resolva as equac;:oes:
a) 2 . 3x - 1 = 9x - 7 b) 5 + 25x
= 6 . -5x
s. Inequa~oes exponenciais
Considere a inequac;:ao 2'x
> 8. Ne!a, a variave! x aparece como expoente. Uma inequac;:ao
em que isso ocorre e chamada inequac;:ao exponencial.
Veja outros exemplos de inequac;:oes exponenciais:
a) 5-">25 b)2-"-1~4 c) 3-"-2 <9X+l d)5'23-"-1~20
Resolver uma inequac;ao significa achar as valores da variave! que a tornem uma sentenc;a
numerica verdadeira. AsSin1, na inequac;ao 2-" > 8, temos que x = 4, par exemplo, e uma solu-
c;:ao, pais 24
> 8.
Muitas das inequac;:oes exponenciais podem, atraves das propriedades, ser transformadas
em outras equivalentes que possuam nos dais membros potencias de mesma base (maior que
zero e diferente de um). Obtido isso e lembrando que a func;ao y = aX e:
• crescente quando a > 1;
• decrescente quando 0 < a < 1;
recaimos numa inequac;:ao que envolve apenas as expoentes.
Dessa forma, voltando ainequac;:ao 2-" > 8 e sendo 8 = 23, temos que:
2-" > 23
Como nos dais membros as bases sao iguais e maiores que I, a sinal> sera mantido para
as expoentes, pais, nessas condic;:oes, a func;:ao exponencial e crescente. Entao x > 3.
o conjunto soluc;:ao e S = Ix E IR Ix > 31.
Observac;:ao: neste capitulo estaremos estudando apenas inequac;:oes em que e passive! proce-
der da forma citada. Para inequac;oes nas quais tal procedimento nao seja possivel, usam-se
outros metodos. No proximo capitulo, veremos algumas dessas inequac;:oes.
153

160. Acompanhe com aten<;:ao os exemplos de resolu<;:ao de inequa<;:6es exponenciais no con-
junto dos numeros reais.
Exemplo 1
7
Resolver a inequa<;:ao (0,7t ",;
10
SolUfiio
Como ~ (07)1= , , ten10S:
10
(0,7t",; (0,7)1
mesma base
Sendo as bases iguais, positivas e menores que 1,0 sinal"'; sera trocado por ~, pois, nessas
condi<;:6es, a fun<;:ao exponencial edecrescente. Entao x ~ 1.
o conjunto solu<;:ao eS = (x E IR Ix ~ 1).
EXERCiclO PROPOSTO
15. Resolva as inequa90es:
a) 5x > 625 d) ( 2 Y 8 g) 2x2 + 20 > 29x
5 > 125
b) 2x < 64 e) (~Y<1: h) (3X)X ~ 3
c) (+Y
1
f) (0,1)X ~ 0,001",:;-
16
Exemplo 2
Resolver a inequa<;:ao ( ~ }~-l < 9
4
SolUfiio
9 32 (3)2 (2 )-2Como 4=2"2= 2 = 3 1 temos:
mesma base
As bases sao iguais, positivas e menores que 1. Entao x-I> - 2 ~ x > -1.
o conjunto solu<;:ao eS = (x E IR Ix > -1).
EXERCiclO PROPOSTO
16. Resolva as inequa90es:
7
",:;-
2
154
d) (0,1)X < 100

161. Exemplo 3
Resolver a inequas:ao C0,5 Y,;;:;;8.
Solurao
Temos: vo:s = ( ~ )+ = 2(-+). Entao: (2-+r ,;;:;;23 ~ 2- ~ ,;;:;; 23.
Como as bases sao iguais e maiores que 1, temos:
-x ,;;:;; 3 ~ -x';;:;; 9 ~ x ~ -9
3
Observa~o: lembre-se de que, ao multiplicar os dois membros de uma inequa<;ao por um mune-
ro negativo, ela muda de sentido. No nosso caso, multiplicamos os dois membros por -1.
o conjul1to solus:ao eS = {x E IR Ix ~ -9}.
EXERCiclO PROPOSTO
17. Resolva as inequa90es:
a) ff > 9 b) ~<~
4
Exemplo 4 (X 1)
R 1 . - 36 '3 - > 6" + 1 .eso ver a mequa<;ao
Solurao
( XI) ~ - 2
Temos: (62
) 3 > 6" + I ~ 6 3 > 6" + 1 .
mesma base
Como as bases sao iguais e maiores que 1, temos:
2x - 2 > x + 1 ~ 2x - 6 > 3x + 3 ~ x < -9
3
o conjunto solus:ao eS = Ix E IR Ix < -9).
EXERCiclO PROPOSTO
18. Resolva as inequa90es:
a) 73X
- 2 < 49
b) 5 x - 1 > 125
(
2 )X+ 2
c) - > 0,4
5
x 2
e) 83'-3',,;;; 32x - 2
3r:;+1
f) 2 <16
x2
h) 0,1 > 0,1
155

162. Exemplo 5
Resolver a inequa<;:ao 1- ~ 3-x
3
CD
SolUfiio
Devemos ter simultaneamente:
@
CD
e
@
CD 1- ~ 3-x
~ 3-1
~ 3-x
~ -1 ~ -x ~ x ~ 1, pois as bases sao iguais e maiores que 1.
3
(pelo mesmo motivo)
A solu<;:ao e CD n @.
Esbo~o grilleo
2
CD
-3 I
1 •
@ 0 •
(Dn @ ci i
•2
~sol~~ao-3
o conjunto solu<;:ao e S = {xE IR 1- ~ < x~ I} .
EXERCiclO PROPOSTO
19. Sendo U = IR, resolva as inequayoes:
2
3
a) 3 ~ 3x < 27 c) ~ < 3-x < gx+ 2 e) ~~(+Y~49
1
< 5x ~ 25
( 5 yx + 1 (5 r-1 5
( 2~ Y~ (+r< (+YX-3b) d) - < - <- f)
5 3 3 3
156

163. RELEMBRANDO CONCEITOS _
)' = aX, com a E IR: e a *- 1 e uma fun<;:ao exponencial de base a.
o dominio eIRe a imagem e IR:.
A fun<;:ao e injetora e sobrejetora, portanto, bijetora.
a>l O<a<l
x x
o ponto P(O, 1) pertence ao grafico.
A fun<;:ao e crescente.
o ponto P(O, 1) pertence ao grafico.
A fun<;:ao e decrescente.
Para resolver equa~oes exponenciais procure transformar (se passive!) os dois membros
em potencias de mesma base e "trabalhar" s6 com os expoentes, pois a £1.1I1<;:ao e injetora.
Para resolver inequa~oes exponenciais procure transformar (se possive!) os dois membros
em potencias de mesma base e "trabalhar" s6 com os expoentes:
• mantendo 0 sinal que a inequa<;:ao apresentar quando a> 1, pois a fun<;:ao e crescente;
• invertendo 0 sinal que a inequa<;:ao apresentar quando 0 <.a < 1, pois a n.ll1<;:ao e decres-
cente.
EXERCICIOS COMPLEMENTARES
20. Identifique com V as sentenyas verdadeiras e com F as falsas.
a) 2
5
>(+Y
b) (+r2
>(+y
c) (+y4>5
(3)-3 (5 )-1d) - <-
5 3
21. Reconheya, entre as sentenyas abaixo, aquelas que sao verdadeiras.
a) Se a> 1 e am > an, entao m > n.
b) Se 0 < a < 1 e am> an, entao m < n.
c) Se m> n e am < an, entao a > 1.
d) Se m > n e am < an, entao 0 < a < 1.
e) Se m > n e 0 < a < 1, entao am < an.
f) Se m < n e a > 1, entao am < an.
(
-31 )11d) f(x) =
c) 0 valor de x para que se tenha f (x) = 1
1
d) 0 valor de x para que se tenha f (x) = 16
(+y2-7e g(x) = ( +yx-1,determine x real de modo que:
c) f (x) > g(x)a) f (x) = g(x)
b) f (x) < g(x)
23. Dadas as funy6es f (x) =
22. Dada a funyao f (x) = 2x
, pede-se:
a) f(3)
b) f(-1)
157

164. 24. Resolva as equag5es, considerando U = IR.
a) (+Y= 9-
2
b) 2
3x
- 1 = ( +Y
x+2
c) (.J3) = 27
h) (3X
t- 3 = 1
9
i) (0,7)2x2
= ( 1~ Y-Sx
5· 2x = 40
4/
(0,1(2_ X =,110 x- 1
d) I)
e) 3. 52x +3 = 15 m) 10 . (0,2)X = 2 . (0,2)3
3 -
5,( ~ Y=2.( ~ y-xf) 102x + 3 =100 n)
3x-1
=~
3x-1..
g) (0,5)
-4-
0) (0,1) 3 = 1001-2X
8
25. Determine 0 conjunto solugao das equag5es, sendo U = IR.
a) 2x + 2 + 2x - 3 = 132 e) 5 . 2 x + 2 - 3 . 2x - 2 - 308 = 0
b) 3x + 2 - 3x = 24 f) 2· 3x + 5 . 3x - 1 = 4 . 3x + 1 - 75
c) 5x + 1 +5x - 2 =630 g)2x +4x =20
d) 2x + 1 _ 22 - x = _ 7 h) 9x - 3x + 2 = 3x - 9
26. Resolva as inequag5es no conjunto universe U = IR.
a) 10x - 1 .;; 0 d) (.J3)x-s> 9
x
g) 4X+ 2 < 8-X+ 3
(~ r« ~ y ( y2
+X (5 r2
+
24
(9 rx
b) e) 2
x
-
8
< t h) -- ~--
9 5
c) (2Y+1<_8 f) (2X)X - 2.;; ~ i) 2
x2
+ 16 ~ ( +yox
2 125 2
27. Determine os valores reais de x para os quais sejam validas as sentengas:
(
1 )4X-2
c) 2 <2
2X
<8
-"- + 3
d) 52 < 52x + 1 < 5 2
{
2<23X + 1 <8
28. Sendo U = IR , resolva 0 sistema 1 x 3x - 1
-- .;; 5 < 125
5
{
8X
• 4Y = ~
29. (Fuvest-SP) Resolva 0 sistema 4 .
4x ·2-Y = 2
30. (UFSC) Dado 0 sistema {5X
- Y = 1~5 ,calcule 0 valor de (x' y)3.
3x + Y = 243
{
52X + 3y = 5
31. (E. E. Maua-SP) Resolva 0 sistema x + y
3 = 1
158

165. 32. (Unifor-CE) Mensalmente a produyao em toneladas de eerta industria e dada pela expressao
y = 100 - 100 . 4-O,05X, na qual x e 0 numero de meses eontados a partir de uma eerta data. Ap6s
quantos meses a produyao atingira a marea de 50 toneladas?
33. (UFMG) Resolva em IR a equayao ((1 024x
nx
= 21
,25.
TESTES _
34. (Unifor-CE) Das figuras abaixo, a que melhor representa 0 grafieo da funyao fde IR em IR definida por
f(x) = ( ~ Ye:
a) e) e) y
V5
x x "4
° x
x
d)
x
35. 0 grafieo abaixo representa a funyao y = aX + b. Entao a + b e igual a:
a) -2
b) 1
e) 2
d) 3
e) 0
x
-2
36. (UFMG) Seja f(x) = 3 x
- ~ uma funyao real de variavel real. 0 eonjunto que eontem todos os va-
4
lores reais de x para os quais f (x) = f (x - 1) e:
a) {x E IR I 0 ,,;; x < 2}
b) {x E IR I 2 ,,;; x < 3}
e) {x E IR I 3 ,,;; x,,;; 4}
d) {x E IR I4 < x,,;; 5}
e) {x E IR I 5 < x,,;; 6}
159

166. 37. (UFMA) Resolva a equar;:ao 2 x
- 1 + 2 x
+ 3 + 2 x
- 2 + 2 x
= 2496.
a) x= 8
b) x = 6
c) x= 7
d) x= 9
e) x = -7
38. (FURRN) A solur;:ao da equar;:ao 2x
+ 1 - 23
- x - 6 = 0 pertence ao intervalo:
a) -1 ~ x < 2
b) -2 < x< 2
c) 2 < x < 4
d) 2 < x ~ 4
e) -2 < x ~ 2
39. (F. C. Contabeis) Da solur;:ao da equar;:ao 3 x
- 1 + 3 x
+ 1 + 3
x
= 351 resulta um numero:
a) multiplo de 2.
b) divisor de 3.
c) equivalente a 13
3
d) primo.
e) recfproco de 13.
40. (Vunesp) A soma das solur;:oes da equar;:ao 26
,x + 8 = 9· 23
,x eigual a:
a) 1 b) 2 c) 0 d) 4 e) 3
41. (U. F. Ouro Preto-MG) A soma das solur;:oes da equar;:ao 100(10
X
) = ~'10005 e:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
42. (Mackenzie-SP) A solur;:ao real da equar;:ao 4x
- 3x
- 0,5 = 3 x
+ 0,5 - 22x
- 1 esta no intervalo:
a) [-2,-1] b) ]2,3] c) ]0,1] d) ]-1,0] e) ]1,2]
43. (Faap-SP) 0 conjunto solur;:ao da equar;:ao exponencial 22x
- 12 . 2x
+ 32 = 0 e:
a) {x E IR Ix = -2 ou x = 3}
b) {x E IR Ix = 2 ou x = -3}
c) {x E IR Ix = -2 ou x = -3}
d) 0
e) {xElRlx=20ux=3}
44. (UFRN) A equar;:8.o 42X
- 2 - 17 . 4x
- 2 + 1 = 0 tem solur;:oes no intervalo:
a) [0,2] b) [4,5] c) [6,7] d) [8,13] e) [-2, -1]
45. A raiz da equar;:8.o (7X
- 2,10). (7
X
+ 2,10 ) = 9 e um numero:
a) irracional positivo.
b) inteiro negativo.
c) real negativo.
d) inteiro positivo.
46. (Osec-SP) 0 valor de f (x) = 2(3X - 2), sendo que 4x
- 2 . 2
x
- 8 = 0, e:
a) 4 b) 8 c) 16 d) 128 e) -2
47. (U. Uberaba-MG) Se a equar;:ao (25
X
+ 125) = 5 x +1 admite como solur;:oes os numeros reais a
6
e b, podemos afirmar que:
a) ~ = 1
b
b) a + b = 0
c) a· b = 2
d) a· b = 1
160
e) a - b = 0

167. {
2X
+ Y - 2 = 30 .
48. (UFSE) Sejam x e yos numeros reais que tornam verdadeiras as sentenc;:as
2x - Y - 2 = 0
Nessas condic;:6es, 0 valor de xY e:
a)
1
9
b)
1
8
c) 1 d) 8 e) 9
49. (Unifor-CE) Se x e y sao numeros reais tais que
{
32X + Y = 1
3x - 2y = -.l.
9
, entao x - y e igual a:
a)
3
5
b)
4
5
c)
6
5
d) - ~
5
e) - ~
5
{
2 X
+3Y =11
50. (F. Ibero-Americana-SP) Se (x, y) e soluc;:ao do sistema 2 x _ 3 Y
= 5 ,entao x + ye igual a:
a) 11 b) 3 c) 6 d) 4 e) 5
[( 23 )X]+51. 0 conjunto soluc;:ao em IR da inequac;:ao
a) {xEIR1X "'+}
b) {x E IR 1-2 ",; x",; 2)
c) {x E IR 1 x'" :}
d) {x E IR 12 ",; x",; 3)
52. (U. Cat61ica de Salvador-SA) 0 numero real x e tal que 3-x
. gX > 27 x
+ 1 se, e somente se:
a) X= 0
b) x< 3
2
c) x = 1
d) -3 < x < 3
e) x<- 3
2
53. (PUC/Campinas-SP) Considere a sentenc;:a a2X
+ 3 > a8
, na qual x e uma variavel real e a e uma
constante real positiva. Essa sentenc;:a e verdadeira se, por exemplo:
a) x = 3 e a = 1
b) x = -3 e a > 1
c) x = 3 e a < 1
d) x = -2 e a < 1
e) x = 2 e a> 1
54. (UESA) Uma populac;:ao de bacterias no instante t e definida pela func;:ao f (t) = C' 4kt
, em que t e
dado em minutos. Se a populac;:ao depois de 1 minuto era de 64 bacterias e depois de 3 minutos, de
256, conclui-se que a populac;:ao inicial era de:
a) 32 bacterias.
b) 16 bacterias.
c) 8 bacterias.
d) 2 bacterias.
e) 1 bacteria.
55. (U. Sao Francisco-SP) 0 censo realizado numa cidade apontou uma populac;:ao de 250 mil habitan-
tes e um crescimento populacional de 2% ao ano. Chamando de ya populac;:ao em milhares de habi-
tantes e de x 0 tempo em anos a partir da data do censo, a func;:ao que permite projetar a populac;:ao
futura dessa cidade em func;:ao do tempo e:
a) y = 250 + 1,02 x
b) Y = 250 + 1,02x
c) Y = 250 . 1,02 x
d) Y = 250 + 0,02x
e) y = 250 + 2x
161

168. Capitulo
Logaritmos
I. Introdu~ao
Ao estudar fun~ao exponencial, vimos como resolver uma equa~ao exponencial quando e
POSSIVe! obter potencias de mesma base nos dois membros da equa~ao. Isso, no entanto, nem
sempre ocorre, como par exemplo na equa~ao:
x
5 = 12
Sao muitos os acontecimentos em que aparecem equa~6es como essa. Vejamos a seguinte
situa~ao:
o numero de indivlduos de uma popula~ao de bacterias no instante t e definido pe!a
fun~ao:
f(t) = 30· 31095t,
em que teo tempo em minutos.
Deseja-se saber ap6s quantos minutos essa
popula~ao chegara a 11 100 bacterias.
De acordo com os dados do problema,
temos:
11100 = 30 . 31 095t ~ 31095t = 370
E agora? Veja que nao e POSSIVe! obter poten-
cias de bases iguais nos dois membros. Que
fazer? Estudar logaritmos, pois urn dos objetivos
desse estudo e justamente fornecer condi~6es
para a resolu~ao de equa~6es desse tipo.
2. Defini~ao de logaritmo
Cultura de bacterias.
Sejam a e b nllmeros reais, positivos, com a =F 1. Chamamos logaritmo de b na base a 0
numero real x tal que aX = b.
1ndicaremos que x e logaritmo de b na base a escrevendo x = log" b, em que:
• be 0 logaritmando (ou antilogaritmo);
• x e 0 logaritmo;
• a e a base do logaritmo.
Entao, lembrando que somente os numeros positivos e diferentes de 1 podem ser base,
temos:
Logaritmo de urn numero positivo, em uma certa base positiva e diferente de 1, e 0
expoente ao qual se deve elevar a base, de modo a se obter 0 numero.
162

169. Guarde bem isto:
obtemos
loga b = x ** b = aX
~
elevando
Assim:
a) logs 25 = 2, pais 52 = 25;
(
1 )-2b) log..!.. 4 = -2, pais 2 = 4.
2
Vejamos alguns exemplos onde estaremos aplicando a defini~ao de logaritmos.
Exemplo 1
Calcular a valor de:
a) log2 16 b) log36 6 c) log I 9
27
d) log9 '3
SolUfaO
Indicando a valor procurado par x, temos:
a) log2 16 = x => 2x
= 16 => 2x
= 24
=> X = 4
Portanto log2 16 = 4.
b) log36 6 = x => 36~ = 6 => (62t = 6 => e~ = 61
=> 2x =' 1 => x =
Portanto log36 6 = ~.
2
(
1 ) x [( 1 )3]~c)log-&-9=x=> 27 =9=> 3 =3
2
2
=>x=--
3
2
Portanto log 1 9 = - - .
27 3
Portanto log9 3 = ~
4
1
2
EXERCICIOS PROPOSTOS _
1. Usando a defini<;:ao de logaritmos, calcule 0 valor de x nos seguintes casos:
a) log2 32 = x 1
b) x = log 1 -
3 9
c) log255 = x d) x = logo,1 0,01
2. Determine 0 logaritmo do numero 8 na base 0,5.
163

170. 3. Encontre 0 valor do logaritmo do numero 49 na base .fT.
4. Calcule 0 valor das somas:
a) log 1 ~ + log3 -J243
16 2
5. Ache 0 valor de y nos seguintes casos:
a) y = 2 log5 25 - 410g2 ~ + logo01 100
8 .
1 8 2 1 1
b) Y = - log 2 - + - log16 64 - - log2 -
2 3" 27 3 2 4
c) y = [log5 (log3 243)] 2
Nos pr6ximos exemplos, iremos fazer uso da defini~ao de logaritmos para resolver equa-
~6es logaritmicas, que sao aquelas que apresentam a variivel na base, no logaritmando ou no
logaritmo.
Exemplo 2
Resolver as equa~6es:
a) lOg3 (2x + 31) = 4
b) lOg2 (x2
- 7x) = 3
c) (lOg4 x/ - 4 lOg4 X + 3 = 0
d) lOg2 [2 + lOg2 (x - 1)] = 1
qual devemos impor a seguinte restri~ao: 2x + 31 > 0 =) 2x> -31 =) x>
Solurao
a) lOg3 (2x + 31) = 4
De acordo com a defini~ao de logantmos, 0 logaritmando deve ser positivo, razao pela
31
2
Por defini~ao, temos:
,-------A
lOg3 (2x+ 31) = 4 =) 2x+ 31 = 34 =) 2x+ 31 = 81 =) 2x= 50 =) x= 25
Como esse valor satisfaz a restri~ao imposta, temos:
5 = 125)
b) lOg2 (x2
- 7x) = 3
Restri~ao: x2
- 7x > 0 =) x < 0 ou x> 7
A defini~ao de logaritmos nos garante que:
lOg2 (x2
- 7x) = 3 =) x2
- 7x = 23 =) x2
- 7x = 8 =) x2
- 7x - 8 = 0 =) x = -lou
x=8
Como -1 e 8 satisfazem a restri~ao, temos:
5=1-1,81
c) (lOg4 X)2 - 4 lOg4 X + 3 = 0
Restri~ao: x > 0
164

171. Fazendo log4 X = Y CD 'podemos escrever:
y2 - 4y + 3 = 0
Resolvendo essa eguac;:ao, encontramos y = 1 ou Y = 3.
Voltando em CD :
Para y = 1, temos: log4 x = 1 => x = 4.
Para y = 3, temos: log4 x = 3 => x = 43
=> X = 64.
Como os dois valores de x encontrados satisfazem a restric;:ao, temos:
s = 14,64}
d) log2 [2 + log2 (x - 1)] = 1
Restric;:oes: Ix-I> 0 I e
CD
12 + log2 (x - 1) > 0 I
@
~
Temos: log2 [2 + log2 (x - 1)] = 1 => 2 + log2 (x - 1) = 21
=> log2 (x - 1) = 0 =>
- -- --" -- ~
=> x-I = 20
=> x-I = 1 => x = 2.
Verificac;:ao das restric;:oes para x = 2:
CD x-1>O
2 - 1 > 0 (verdadeiro)
® 2 + log2 (x - 1) > 0
2 + log2 (2 - 1) > 0
2 + log2 1 > 0
2 + 0 > 0 (verdadeiro)
Logo, 2 eraiz e 0 conjunto soluc;:ao eS = Pl.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
6. Use a definiyao de logaritmos para calcular 0 valor de x nos seguintes casos:
a) log2 x = 6
b) log 1 X = 4
3
c) log'2 X = 6
d) log 0,01 X = -2
1
e) log 3 x =-
4" 2
1
f) log 5 X = - -
8 2
g) log2 (2x + 3) = 1
1
h) 1094 (x - 1) = '2
i) logs (x
2
- 12x + 52) = 2
I) log10 (x
2
+ 3x) = 1
m) log 1 (x2
- 8x + 14) = -1
2'
7. Determine 0 conjunto soluyao das equayoes:
a) (log2 X)2 - 5 log2 X + 4 = a
b) (log3 X)2 - 2 log3 X - 3 = 0
c) (Ioga X)2 - 2 loga x = a
d) 16 (log2 x)2 - 17 log2 x + 1 = 0
165

172. 8. Resolva as equac;:6es:
a) 1093 [3 + 1092 (x + 1)] = 1
c) 1094 [15 + 1092 (x - 3)] = 2
d) 109..l [2 + 109..l (x + +)]= -22 2
e) 1092 {1093 [2 + 1094 (x - 4)]} = 0
f) 1092 [1093 (x + 21)] = 2
Exemplo 3
Resolver as equac;:6es:
a) logx 10 = 3 b) log(x_ 2) 9 = 2 c) log(x+ 5) 64 = 3
SolUfiio
a) logx 10 = 3
Por definic;:ao, a base de urn logaritmo deve ser positiva e diferente de 1. Devemos entao
impor as seguintes restric;:6es:
I-x->-O---'I eI x '1= 1
®
~
Temos: logx 10 = 3 => x 3
= 10 => x = V!O.'-.---"
Verificac;:ao das restric;:6es:
CD VlO > 0 (VerdadeirO)} 3 r;-;:;-
=> 110 e raiz.
® VlO '1= 1 (verdadeiro)
o conjunto soluc;:ao e S = {V!OI.
b) log(x_ 2) 9 = 2
Restric;:6es: Ir-X---2->-0---'1 e Ix - 2 '1= 1
@
~
Temos: log(x-2) 9 = 2 => (x - 2)2 = 9 => (x - 2)2 = 32
~
Como os expoentes sao iguais e pares, devemos ter:
x-2=3=>x=5
ou
x-2=-3=>x=-1
Verificac;:ao das restric;:6es:
Para x = -1
CD - 1 - 2 > 0 (falso) => -1 nao eraiz.
Para x = 5
CD 5 - 2 > 0 (verdadeiro) } =>
5 eraiz.
@ 5 - 2 '1= 1 (verdadeiro)
o conjullto soluc;:ao eS = (5}.
166

173. c) 109(X+5) 64 = 3
Restri'roes: I x + 5 > 0 I e I x + 5 =/= 1
@
~~
Temos: log~ 64 = ~ ~ (x + 5)3 = 64 ~ (x + 5)3 = 43.
~I'- _
Como os expoentes sao iguais e impares, teremos:
x+5=4 ~ x=-I
Verifica'rao das restri'roes:
CD -1 + 5 > 0 (Verdadeiro)} .
~ -1 eraiz.
® -1 + 5 =/= 1 (verdadeiro)
o conjunto solu'rao eS = {- 11.
EXERCiclO PROPOSTO
9. Resolva as equa<;:oes:
a) logx 16 = 2
b) logx5 = 4
c) logx 729 = 3
d) log(x_ 2) 16 = 2
e) IOg(2x _ 3) 5 = 1
f) log(x _ 5) 125 = 3
g) log (x + 4) 49 = 2
h) log(x+ 2) 81 = 4
i) log (3x + 1) 32 = 5
Exemplo 4
Resolver a equa'rao log(." _ 3) (x - 1) = 2.
Soluyao
Restri'roes: I x-I > 0 I ' I x - 3 > 0 I e I x - 3 =/= 1
@
Temos: log(.,,_ 3) (x - 1) = 2 ~ (x - 3)2 = (x - 1) ~ x 2
- 7x + 10 = 0 ~ x = 2 ou
x = 5.
Verifica'rao das restri'roes:
Para x = 2
CD 2 - 1 > 0 (verdadeiro) }
~ 2 nao eraiz.
® 2 - 3 > 0 (falso)
Para x = 5
CD 5 - 1 > 0 (verdadeiro) J® 5 - 3 > 0 (verdadeiro)
@y 5 - 3 =/= 1 (verdadeiro)
o conjunto solu'rao eS = {5).
~ 5 eraiz.
167

174. EXERCiclO PROPOSTO
10. Resolva as equac;:6es:
a) 109x (5x - 8) = 1
b) 109x (13x - 40) = 2
c) 109(3x _ 10) (x
2
- 10x + 20) = 1
d) 109(x- 3) (2x + 2) = 2
3. Propriedades dos logaritmos
Sejarn a, bee nurneros reais positivos, com a oF 1, e x urn nurnero real qualquer. Da defi-
nir,:ao de logaritmos decorrem as seguintes propriedades:
Primeira propriedade
IlOgn 1 = 0, pois aO = 1
Segunda propriedade
IlOgn a = 1, pois a1
= a
Terceira propriedade
De fata, fazendo logn b = x, ternos aX = b.
Substituindo x por log" b em aX = b, vern: a log
" b = b.
Assirn, temos:
( )
Iog+ 2
)
1 _
c -
2
2
Fazendo uso dessa terceira propriedade, resolverernos 0 exernplo a seguir.
Exemplo
Calcular 0 valor de:
a) 23 + log2 5
SolUfiio
a) 23 + log2 5 = 23 . i og 2 5 = 8 . 5 = 40
b) 52 - log s 4 = _5_
2
_ = 25
Slogs 4 4
c) 7 2 ' log7 3 = 7(log 7 3)' 2 = (iog73)2 = 32 = 9
EXERCiclOS PROPOSTOS _
11. Calcule 0 valor das express6es:
a) 109121 b) 1098 8 c) 5
109
5
8
168

175. 12. Determine 0 valor de x nos seguintes casos:
a) x = 510954 c) X = 32 + 1093 4
b) x= 10109102 d) x= 23-10925
e) x = 102.109103
f) x = 82 . 1098 4
g) x = 7'097 20 - 1097 2
h) x= 310935.10956
13. Sendo a, b E IR: ,com a*,1 e b *' 1, determine N :
a) N = a2 + 109a 5 c) N = bl09b 10. 10910 3
b) N = a l09a 3 + bl09b 5 d) N = al09a b + blogb a
Quarta propriedade
Ilogll b = logll C ~ b = c I
Fazendo logll b = x, podemos escrever:
logll b = logll C = X
Entao, pela defini~ao de logaritmos:
aX = b e a~ = c, portanto b = c,
pois a fun~ao exponencial einjetora.
Exemplo 1
Fazendo uso da quarta propriedade dos logaritmos, determinar 0 valor de x na senten~a
logs (2x - 3) = logs (x + 1).
SoluFiio .
Segundo a defini~ao de logaritmos, existem inicialmente algumas restri<;:6es a serein conside-
radas, quais sejam:
2x - 3> 0
e
3
~ 2x> 3 ~ x>
2
x+1>O I ~ x>-l
Assim sendo, a restri<;:ao final para x e: x > 3
2
A quarta propriedade nos garante que:
2x - 3 = x + 1 ~ x = 4
Como 0 valor 4 satisfaz arestri~ao imposta, a solu~ao ex = 4.
Exemplo 2
Resolver a equa~ao logaritmica logs (x 2
- 2) = logs (-x), sendo 0 universo U = IR.
SolUFiio
Conforme a defini~ao de logaritmos, devemos impor as seguintes restri~6es:
Xl - 2 > °I' ou seja, x < - v2 ou x > 'V 2 ,
e
-x>OI,ouseja,x<O.
Assim sendo, a restri~ao final e: x < - '2
169

176. A quarta prppriedade nos fornece:
x 2
- 2 = -x => x 2
+ X - 2 = 0
Resolvendo essa equac;ao, encontramos x = 1 ou x = - 2.
o valor x = 1 nao serve, pois nao satisfaz arestric;ao imposta.
o valor x = - 2 satisfaz arestric;ao imposta.
o conjunto soluc;ao e S = 1-2).
EXERCiclO PROPOSTO
14. Resolva as se9uintes equayoes 109aritmicas:
a) 1095 (x + 1) = 1095 (2x - 3)
b) 109g (2x + 3) = 109g (x - 5)
c) 10910 (x
2
+ 2) = 10910 (4 - x)
d) 1097 2x
2
= 1097 (11 x + 6)
Exemplo 3
Determinar 0 valor de a na sentenc;a lo~ (2a - 5) = 2, utilizando a quarta propriedade dos
logaritmos.
So/ufao
Devemos considerar a seguinte restric;ao: I2a - 5 > 0 I,ou seja, a > ~.
Na quarta propriedade hi 0 aparecimento de dois logaritmos de mesma base, urn no primei-
ro membro e outro no segundo.
Como 2 = lo~ 16, podemos escrever:
lo~ (2a - 5) = lo~ 16
Fazendo uso da quarta propriedade, temos:
2a - 5 = 16 => 2a = 21 => a = 21
2
Como esse valor satisfaz arestric;ao imposta, a soluc;ao e a = 21
2
Observa~ao: esse problema poderia ser resolvido simplesmente aplicando a definic;ao de 10-
garitmos, assim:
42
= 2a - 5 => 2a - 5 = 16 => 2a = 21 => a = 21
2
EXERCiclO PROPOSTO
15. Utilizando a quarta propriedade. resolva as equayoes:
a) 1092 (x2
- 7x) = 3 b) 1095 (x - 3) - 2 = 0 .
4. Sistemas de logaritmos
Seja a urn numero positivo e diferente de 1. Chamamos sistemas de logaritmos de base
a 0 conjunto dos logaritmos na base a de todos os numeros reais positivos.
Dessa forma, existem infinitos sistemas de logaritmos. No entanto, pela simplicidade e
pelas aplicac;oes praticas, dois sao os sistemas de logaritmos mais usados:
a) Sistema de base 10: tambern chamado sistema de logaritmos decimais ou vulgares
ou ainda de Briggs.
170

177. Nesse sistema podemos dispensar a indicayao da base 10. De modo que ao escrever log x
devemos entender loglo x.
Os logaritmos decimais, pela facilidade de seu usa, sao especialmente utilizados na resolu-
yao de dJculos numericos.
b) Sistema de base e: tambem chamado sistema de logaritmos neperianos au logarit-
mos naturais. Os logaritmos neperianos tambem possuem representayao propria. Assim, a
logaritmo neperiano de x pode ser indicado par uma das seguintes formas:
loge x, Ln x, In x au Lx
o numero e
A base do sistema de logaritmos adotada par eper (ver seyao Timel do tempo, na pag.
182) foi a numero irracional e, urn numero realmente fantastico, pais ele aparece de maneira
natural na resoluyao de muitos problemas que envolvem nosso cotidiano.
Nao podemos aqui deduzir de forma rigorosa esse numero, mas e passiveI ter uma ideia
do que ele e. Para isso, vamos considerar a expressao (1 + ~ ) 11 e calcular a seu valor tro-
cando n par 1,2,3, ... , ou seja, com n crescendo indefinidamente.
Se voce tiver uma calculadora, pode conferir as dados da tabela a segu!r, na qual coloca-
mos apenas alguns valores para n. Os valores calculados sao aproximados e na tabela estao
com no maximo cinco casas decimais.
2 2,25 2,48832 2,593742,704812,71692 2,71827 2,718282,71828
2 5 10 100 1 000 100000 200000 500000
Observe que para valores maiores de n as diferenyas que existirem ocorrerao fora do nos-
so campo de visao, au seja, apos a quinta casa decimal...
Dessa forma, quando a valor de n cresce indefinidamente, as valores da nossa expressao
tenderao a urn numero que e aproximadamente 2,718 28 ... Esse e a numero e.
Mais adiante voce vera alguns problemas que, na sua soluyao, necessitam desse numero.
5. Propriedades dos logaritmos de mesma base
Veremos agora algumas propriedades envoIvenda logaritmos de mesma base, as quais sao
utilizadas no cilculo. Procure compreende-Ias par meio das aplicay6es presentes nos exem-
plos propostos.
.Logaritmo de um produto
Sejam a, b, c E IR: , com a =1= 1. 0 problema £onsiste em encontrar a loga (b . c), conhe-
cendo as valores de loga b e de loga c.
Sejam loga b = x e loga c = y.
Desse modo, pela definiyao de logaritmo, temos:
loga b = x ~ Ib = aX I e loga c = y ~ I c = aY
I
CD @
171

178. Multiplicando CD e ®' temos:
b . c = aX . aY => b· c = aX + Y
~
Aplicando novamente a definir;ao de logaritmo, temos loga (b' c) = x + y. Portanto:
IlOga (b . c) = loga b + loga c I
Observa~oes
1. Indicaremos loga (b . c) tambem por loga b· c.
2. A propriedade vista e generalizada para um produto de mais de dois fatores positivos.
Em resumo, se todos os fatores de um produto forem positivos, temos que:
o logaritmo de um produto e igual asoma dos logaritmos dos fatores (na mesma base).
Como exemplo, vamos usar essa propriedade na resolw;ao dos exercicios seguintes.
Exemplo 1
Aplicar a propriedade do logaritmo de um produto nos seguintes casos:
a) log3 5 . 4
SolUfiio
a) log3 5 . 4 = log3 5 + log34
b) log2 2 . 7· 10
b) log2 2· 7· 10 = log2 2 + log2 7 + 10g2 10
Exemplo 2
Reduzir as seguintes expressoes a urn Unico logaritmo:
a) logs 3 + logs 4 b) log I 5 + log I 2 + log I 3- -
2 2 2
SolUfiio
a) logs 3 + logs 4 = logs 3 . 4 = logs 12
b) log I 5 + log I 2 + log I 3 = log I 5 . 2 . 3 = log I 30
- - - -
2 2 2 2 2
EXERCiclOS PROPOSTOS _
16. Aplique a propriedade do logaritmo de um produto nos seguintes casos:
a) log3 10· 9
2
b) log4
3 ' 5·7 c) log 3· a· b (a > 0 e b> 0)
17. Reduza as seguintes express6es a um unico logaritmo:
a) log3 2 + log3 5 + log3 4
3 10
b) log4
5 + log4
3
c) log (x + 5) + log (x - 5) ,para x > 5.
d) logs (x + 1) + logs (x - 3) ,para x> 3.
18. Determine a expressao P cujo logaritmo na base 3 elog3 P = log3 5 + log3 2 + log3 h ,para h > O.
1
19. Escreva a expressao E cujo logaritmo decimal elog E = log 6 + log (2x + 1) , para x> - 2
20. Se log a = m + n e log b = m - n, qual 0 valor de log ab?
172

179. 21. Se logs a = m e logs b = n, calcule logs abo
22. Sabendo que log a + log b = 3, calcule abo
23. Ca'cule a e b sabendo que a + b = 7, log a + log b = 1 e a> b.
Exemplo 3
Resolver a equac;:ao log3 (2x + 1) + log3 (x - 1) = 3.
Solurao
Restric;:6es: I 2x + 1 > 0 I CD e I x-I> 0 I @
Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto, temos:
log3 (2x + 1) + log3 (x - 1) = 3 => log3 (2x + l)(x - 1) =,} => (2x + l)(x - 1) = 27 =>
=> 2x2
- x-I = 27 => 2x2
- X - 28 = 0 => Xl = 4 e X 2 =
Verificac;:ao das restric;:6es:
Para x = 4
CD 2 . 4 + 1 > 0 (Verdadeiro)}
=> 4 eraiz.
@ 4 - 1 > 0 (verdadeiro)
-7Para x = -
2
-7
2
CD 2( -; ) + 1 > 0 (falso) =>
o conjunto soluc;:ao eS = (4}.
-7 _ , .
- nao e raIz.
2
EXERCiclO PROPOSTO
24. Resolva as equayoes:
a) log3 (2x + 7) + log3 (x - 1) = 5
b) log (x + 2) + log (10x + 20) = 3
c) log2 (3x + 1) + log2 (9 - x) = 6
d) log2 X + log2 (x - 6) = 4
Logaritrno de urn quociente
Determinemos 0 valor de log" ~ conhecendo os valores de log" b e de log" c (em que
c
a,b,cE IR: ea=l= 1).
Seja log" b = x e log" c = y.
Pela definic;:ao de logaritmo, temos:
log" b = x => Ib = aX I e log" c = y => I c = aY
I
CD @
173

180. Dividindo Q) por ®' temos:
b x- y
~ - = a
c
Aplicando novamente a definic;:ao de logaritmo, temos log" b = x - y. Portanto:
c
Observa~ao: 0 oposto do logaritmo de urn numero e tambem chamado cologaritmo do
nlirnero, ou seja, colog" c = -log" c.
Resumindo, temos que, se em uma divisao 0 dividendo e 0 divisor sao numeros positivos:
o logaritmo do quociente e igual adiferenc;:a entre 0 logaritmo do dividendo e 0 loga-
ritmo do divisor (na mesma base).
Exemplo 1
Aplicar a propriedade do logaritmo de urn quociente nos seguintes casos:
b) log ~2 2
c) log60,2
3
a) logs 2 = logs 3 - logs 2
1
b) log2 2 = log2 1 - log2 2 = 0 - 1 = -1
c) log6 0,2 = log6 ~ = log6 2 - log6 10
10
Exemplo 2
Reduzir as seguintes expressoes a urn unico logaritmo:
a) log? 5 - log? 3 b) logs 3 - logs 10
SolUfiio
a) log? 5 - log? 3 = log? 5
3
3b) log, 3 - log, 10 = log. -, , , 10
EXERCiclOS PROPOSTOS _
25. Aplique a propriedade do logaritmo de um quociente nos seguintes casos:
8 1 a + b ·
a) log5
9 b) log3
4 c) log -c- (a, b, C E IR+)
174

181. 26. Reduza a um s6 logaritmo as express6es:
a) log3 12 - log34
b) log 5 - log 2
c) log4 X - log4 (x + 2) ,para x> O.
d) log (x - 2) - log (x + 2) ,para x> 2.
I
2bc
c) og 3".9
27. Usando a propriedade do produto e a do quociente, desenvolva 0 segundo membro ate onde for pos-
sive!. (Os numeros a, bee sao reais e positivos.)
ab a
a) Y = log2 C b) logs be
28. Reduza as seguintes express6es a um unico logaritmo:
a) log2 5 + log2 3 - log2 7 b) log4 X + log4 (x - 1) - log4 (x + 1) ,para x > 1.
29. Determine A sabendo que logaritmo na base 3 e log3 A = log3 20 - log3 6.
30. Determine S em funyao de (cujo logaritmo decimal e dado por log S = log 4 + log 'IT + log (3 - log 3.
1
31. Sendo loga b = x, calcule loga Ii'
32. Sabendo que log4 a - log4 b = 2, calcule a
b
33. Resolva 0 sistema {a + b = 15 _
log2 a - log2 b - 1
34. Calcule 0 valor de log 365 - log 36,5.
Exemplo 3
Resolver a equac;ao 10g6 (2x + 5) - 10g6 (32x + 20) = - 1.
Solurio
Restric;6es: 2x + 5 > 0 I e I 32x + 20 > 0
CD ®
Aplicando a propriedade do logaritmo de um quociente, temos:
10g6 (2x + 5) - 10g6 (32x + 20) = -1 => 10 2x + 5 = -1 =>
g6~
2x + 5
32x + 20
2x + 5
32x + 20
= ~ => 32x + 20 = 12x + 30 => x = 1
6 2
Verificac;ao das restric;6es:
CD 2· ~ + 5 > 0 (verdadeiro) } =>
® 32· ~ + 20 > 0 (verdadeiro)
2
o conjunto soluc;ao eS = {~}.
1
2
175
eraiz.

182. EXERCiclOS PROPOSTOS _
35. Resolva as equar;:6es:
a) 1093 (5x + 7) - 1093 (2x + 5) = 1
b) 109s (x
2
- 2x) - 109s (x - 2) = 2
c) 1093 X - 1093 (x - 2) = -2
d) 109 (2x - 4) - 109 (10x + 30) = -1
36. Usando as propriedades estudadas, resolva as equar;:6es:
a) 1094 (1 - 3x) = 1 - 1094 (x + 2)
b) 1096 (1 + x) + 1096 (x - +)= 0
c) 109 4x + 109 x - 109 (-11 x + 3) = 0
d) 1092 (x + 5) + 1092 (x + 3) = 3 + 1092 (x + 2)
Logaritmo de uma potencia
Calculemos agora 0 valor de loga b1fl
conhecendo 0 valor de loga b, 0 valor de me saben-
do que a, bE IR:, a *" 1 e m E IR.
Sejam loga bill = x e loga b = y.
Queremos, portanto, calclliar 0 valor de x. Aplicando a defini<;:ao de logaritmo, temos:
loga b
1fl
= X ~ I bill = aX I e loga b = y ~ I
0)
Elevando @ apotencia m, obtemos:
b = aY
I
@
b'" = (a
V
)1fl ~ I b
1fl
= a
llly
I
@)
ComparandoG)e @ ,temos ~x = '!'",y. Portanto:
x= m· y
Como x = loga b'" e y = loga b, sllbstituindo em ®encontramos:
~
loga b1fl
= m . loga b
Assim, por exemplo:
~
a) logs 23 = 3 . log5 2
Inversamente:
~
b) log3 5-2
= -2 . log3 5
3 + 1
c) log ' 5 = log 5 0 = 3 . log 5
a) 2 . lo~ 5 = lo~ 52
2 2 3 , ,--
b) 3 . log5 2 = log5 2 3 = log5 2- = log5 ~ 4
176

183. Vejamos agora alguns exemplos envolvendo as propriedades estudadas.
Exemplo 1
5a3
Sendo P = --, com a, bE IR:, calcular lo~ P.
3b
SolUfiio
Temos: log4 P = log4
3b
Exemplo 2
Determinar a valor de N nos seguintes casas:
a) logs N = 3 logs 2 + logs 4 b) log N = 1 + 3 log 2 - 2 log 5
SolUfiio
a) logs N= 3 logs 2 + logs 4 ~ logs N= logs 23
+ logs 4 ~
~ logs N = logs 8 + logs 4 ~ logs N = logs 8 . 4 ~ logs N = logs 32
-~
Mesma base
Pela 4~ propriedade dos logaritmos, temos N = 32.
b) log N = 1 + 3 log 2 - 2 log 5 ~ log N = log 10 + log 23
- log 52 ~
~ log N= log 10· 23
-log 25 ~ log N= log 80 ~ log N= log ~
25 ~5
Mesma base
~ N= 16
5
EXERCiclOS PROPOSTOS _
37. Aplique a propriedade do logaritmo de uma potEmcia nos casos a seguir:
38. Reduza aforma loga x as expressoes:
a) 3 logs 2 b) 2 log3 4 c) -110g2 d) ~ log 8
3
d) N = 4b
5
c
2
~';3
39. Sendo a, bee numeros reais positivos, indique como desenvolver 0 segundo membro das expres-
soes para se obter log N.
a2
b3
a) N=--
c
177

184. 40. Determine P nos seguintes casos:
a) logs P = logs 4 + 3 logs 3
b) log4 P = 2 log4 3 - log45
c) log2 P = 3 + 2 log2 5
41. Sendo loga b = x e loga c = y, calcule:
d) log P = 3 log 10 + 2 log 100 + 3 log 0,01
e) log P = -.llog 4 + 2 log ,'2 - log 102
2
I) log2 P = log2 4 + -.l log2 8 - 1
2
a) loga be
b) loga b
e
e) loga .fa
I) loga a
2
-Jb
b
Exemplo 3
Resolver a equac;:ao 2 . log3 (x - 1) - log3 (2x - 5) = 1 + log3 (5 - x).
SolUfiio
Restric;:6es: x-I > 0 I ' I 2x - 5 > 0 I e I 5 - x > 0
CD @
Temos: 2 log3 (x - 1) - log3 (2x - 5) = 1 + log3 (5 - x).
Como 1 = log3 3, a equac;:ao fica:
log3 (x - 1)2 - log3 (2x - 5) = log3 3 + log3 (5 - x) =>
(x - 1)2
=> log3 = log3 [3(5 - x)] =>
~~
19uais
(x - 1)2
2x _ 5 = 3(5 - x) =>
x 2
- 2x + 1
= 15 - 3x => x 2
- 2x + 1 = 30x - 6x2
- 75 + 15x =>
2x - 5
=> 7x2
- 47x + 76 = 0 => x = 4 au x = 19
7
Verificac;:ao das restric;:6es:
Para x = 4
CD 4 - 1 > 0 (verdadeiro)
@ 2· 4 - 5 > 0 (verdadeiro) => 4 euma raiz.
@ 5 - 4 > 0 (verdadeiro)
178

185. 19Parax= -
7
19 _ 1 > 0 (verdadeiro)
7
@ 2· 19 - 5 > 0 (verdadeiro)
7
@ 5 - 19 > 0 (verdadeiro)
7
o conjunto solus:ao e S= {4, 1;}.
~ 19 eoutra raiz.
7
EXERCiclO PROPOSTO _
42. Resolva as equac;:5es:
a) 2 1093 (2x + 1) - 1093 (x + 5) = 2
b) 1092(3x-7) - 2Io92(X-1) =-1
c) 2 1092 (x + 2) - 1092 X = 3
d) 1 - 109 (2x - 20) = 109 (x - 5) - 109 (3x - 35)
Exemplo 4
Dados log 2 = 0,30103 e log 3 = 0,47712, calcular:
a) log 32 b) log ~ill c) log 25
6
SolUfiio
a) log 32 = log 25
= 5 . log 2 = 5 . (0,30103) = 1,50515
d) log 144
b) log ~ 125 = ~ . log 125 = ~ . log 53 = ~ . 3 . log 5 = : log 5 CD
Precisamos calcular log 5. Lembrando que 5 = 1
2
0, temos:
10
log 5 = log 2 = log 10 - log 2 = 1 - 0,30103 = 0,69897
f7 3 3 2 09691
Voltando em lJ: - log 5 = -4 . (0,69897) =' = 0,52422
4 4
c) log 25 = log 25 - log 6 = log 52 - log (2 . 3) = 2 . log 5 - (log 2 + log 3) =
6
= 2 . log 5 - log 2 - log 3 = 2 . (0,69897) - 0,30103 - 0,47712 =
= 1,39794 - 0,77815 = 0,61979
d) log 144 = log 2 4
• 32 = log 24
+ log 32 = 4 . log 2 + 2· log 3 =
= 4· (0,30103) + 2 . (0,47712) = 1,20412 + 0,95424 = 2,15836
179

186. EXERCiclOS PROPOSTOS _
43. Dados log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule:
44. Sendo log 2 = 0,301 e log 6 = 0,778, calcule:
a) log 3 c) log 15
a) log 12
b) log~
8
b) log 24
c) log 3 16
' 9
d) log 5
d) log 36
e) log 625
f) log 3'0
e) log 80
20
f) log ' 27
6. Mudan~a de base
Em muitas situac;:6es necessitaremos transformar 0 logaritmo de urn numero em uma cer-
ta base para uma outra base.
Vamos estudar agora como fazer isso.
Mostremos que, sendo a, b, e E IR: , com a *1 e e *1, everdadeira a afumac;:ao:
I b
loge b
og =
" loge a
Chamando log" b = x, loge b = ye loge a = z, 0 problema consiste em mostrar que
x = L. Aplicando a definic;:ao de logaritmo, temos:
z
loge a = z ~ a = eZ(Elevando os dois membros a x-esima potencia) ~ aX = (eZr ~
~ aX = eX' z @
Comparando Q) e @ ~ eX. Z = eY ~ x' z = y ~ x = L
z
Portanto everdadeira a sentenc;:a:
1 b
loge b
og = ----'=-=----
" loge a Lei de mudan~ de base
Caso particular: se a, bE IR: - ll)' podemos transformar log" b para a base b. Temos:
log b = 10gb b ~ I log" b = 1 I
" log b a . log b a
Exemplo 1
Transformar em logaritrnos de base 5:
a) log32 c) log2 5
180
1d) log3 -
5

187. SolUfiio
1
0 1
1
-#
100 . -
16g; 1 - log, 5
d)
1 b, 5 -1
log3
5 = - - - -
log, 3 log, 3 log; 3
EXERCiclOS PROPOSTOS _
45. Transforme em 109aritmo de base 10:
a) 10957
b) 109210
46. Sendo 1093 7 = a, calcule 1097 3.
c) 1091 25
2
1
d) 1092 25
e) 109s 3
f) 1090,28
47. Dados 109 2 = 0,30 e 109 3 = 0,47, calcule:
a) 10932 b) 10923
1
c) 1093 2 d) 1091 2
3
48. Calcule 0 valor da expressao 1094 3· 1093 2.
49. Simplifique 0 produto 1092 5 . 1093 7 . 1095 3.
50. Sendo a, bee numeros reais positivos e diferentes de 1, calcule 109a b . 109b C . 10ge a.
1 1
51. Sabendo que -1--3 + -1--3 = 2, calcule 0 valor de abo
09a 09b
Exemplo 2
Resolver a eqllas:ao lo~ (x + 6) - log2 (x - 6) = O.
SolUfiio
Restris:oes: x + 6 > 0 I e I x - 6 > 0
@
Vamos transformar log4 (x + 6) para a base 2:
log2 4
i
log2(x+6)
lo~ (x + 6) = -.L . log, (x + 6)
2 -
181

188. Assim, a equac;ao dada fica:
1- .lOg2 (x + 6) - lOg2 (x - 6) = 0 => 10g2 (x + 6) - 2 . 10g2 (x - 6) = 0 =>
2
x+6
-----...
x+6
=> lOg2 (x + 6) - 10g2 (x - 6)2 = 0 => lOg2 = 0 =>
~ (X-6)2
=> X + 6 = (x - 6)2 => x 2
- 12x + 36 = x + 6 => x 2
- 13x + 30 = 0 => x = 3
Verificac;ao das restric;6es:
Para x = 3
CD 3 + 6 > 0 (Verdadeiro)}
@ => 3 nao e raiz.
II 3 - 6 > 0 (falso)
Para x = 10
CD 10 + 6> 0 (Verdadeiro)}
@ => 10 e raiz.
II 10 - 6> 0 (verdadeiro)
a conjunto soluc;ao e S = {10f.
EXERCiclO PROPOSTO
52. Resolva as equa90es 109arftmicas:
ou x = 10
a) 1095 (x + 10) = 1 + 10925 (2x - 5)
b) 1093 (x - 2) = 109g (x + 4)
c) 1094 X - 1092 (x - 3) = 1
1 1 1
d) 3 1094 (x + 10) - 6 1092 (x + 2) = 2 1098 (x - 4)
3
e) 1092 x + 1094 X = 2
f) 1093 X - 2 109g (x + 6) = -1
TUNEL DO TEMPO
as primeiros estudos sobre logaritmos faram feitos, quase simultaneamente, pelo teo-
logo escoces John Napier (1550-1617) e par Jobst Burgi (1552-1632), matematico sulc;o.
Napier (ou Neper) foi 0 primeiro a empregar 0 termo logaritmo (do grego logos,
razao, e arithmos, numero) em seu livro Mirifici logarithmorum canonis descriptio
(Descrifao das normas dos logaritmos maravilhosos), de 1614. Seis anos mais tarde, quan-
do os logaritmos ja eram populares, Burgi publicou Arithmetische undgeometrische pro-
gresstabulen (Ttibuas de progressiies aritmeticas egeometricas).
Neper utilizava-se da base e, motivo pelo qual os logaritmos nessa base sao chama-
dos neperianos.
Pouco antes da morte de Neper, 0 matematico ingles Henry Briggs (1561-1631)
procurou-o, propondo-lhe algumas modificac;6es no metodo de aplicac;ao dos logarit-
mos, bem como 0 uso da base decimal. a escoces concordou, mas ja nao tinha energia
suficiente para par em pratica tais ideias.
Coube entao a Briggs a tarefa pioneira de construir a tabela de logaritmos decimais,
publicada em seu livro Arithmetica logarithmica (1624). Dar a razao de os logaritmos
decimais serem tambem chamados logaritmos de Briggs.
182

189. 7. A fun~ao logaritmica
Sendo a urn numero real, positivo e diferente de 1 (a E IR~ - {I}), chamamos fun~o
logaritmica de base a a fun~ao:
g : IR~ --+ IR definida por g(x) = log" x
Observe que 0 dominio da fun~ao e IR~ , ou seja, somente valores positivos poderao ser
atribuidos a x.
Vamos analisar dois exemplos. No primeiro, a base e maior que 1 e, no segundo, a base
est;} entre 0 e 1 (os dois unicos tipos possiveis de base).
Vamos verificar tambem 0 grafico de cada tipo de fun~ao.
Exemplo 1
Consideremos a fun~ao definida por y = log3 X ou f(x) = log3 x.
Atribuindo valores arbitrarios a x e calculando f(x), obtemos uma tabela de pontos que per-
tencem ao grifico da fun~ao y = 10g3 x.
Tabe1a
I
I Ponto (X, y)x I ."
1
-2 A(~,-2)-
9
1 -1 B( ~ ,-1)-
3
1 0 C(I,O)
3 1 D(3,I)
9 2 E(9,2)
i
1
log3 = Y ~ Y = 3-2
~ Y = -2
9
log3 1 = Y ~ Y = 3-I ~ Y = - 1
3
log3 1 = Y ~ 3·Y
= 1 ~ q.Y = 3° ~ Y = 0
log3 3 = Y ~ Y = 31
~ Y = 1
log3 9 = Y ~ Y = 9 ~ Y = 32
~ Y = 2
Grmeoy
-2 A
...!..
~ [~ ~ ~
x =3,5
E y =10gJ x
I I I
789 x
+- Asslntou
Observe que, por converuencia, atribuimos a x somente valores que sao potencias de
expoente inteiro da base, pois desse modo obtemos valores inteiros para ologaritmo.
No caso de tomarmos urn valor qualquer para x, por exemplo, x = 3,5, ainda nao sabe-
mos 0 valor de f (3,5) = 10g3 3,5, mas sabemos onde esta esse valor. Veja no grifico que:
1 < log3 3,5 < 2
Observe tambem que, quanta mais 0 valor de x (positivo) "se aproxirna de zero", mais os
pontos do grifieo "se aproximam do eixo y", sem, porem, atingi-Io. Desse modo, a reta
suporte do eixo y e assmtota acurva.
183

190. Exemplo 2
Vejamos a func;:ao definida por y = log I X.
Procedendo de maneira analoga ado exemplo 1, uma tabela de pontos pertencentes ao gri-
fico da func;:ao pode ser esta:
Tabela
1
log I - =)' ~
3" 9
X
I
Y : Ponto (x, y)i
1
2 A(~,2)-
9
1
1 B( ~ ,1)-
"~
1 0 C(I,O)
3 -1 D(3, -1)
9 -2 E(9, -2)
(~Y=(~Y~y=2
1 (I)! (1)1log+3 = y ~ 3 = 3 ~ Y = 1
,
( 1 ) v ( 1 ) ! (1)°log+1 = Y ~ 3 = 1 ~ 3 = 3 ~ y = 0
,
(1)-" (1)-" (1 )-1log-+- 3 = )' ~ 3 = 3 ~ 3 = 3 ~ y = -1
,
(
1 )v ( 1)-" (1 )-2log I 9 =)' ~ 3 = 9 ~ 3 = 3 ~ y = - 2
3
Grmco
2 A
I I
"9 3"
~ Assintota
9
E
x
y = log I X
-,-
Os exemplos citados nos
levam a classificar uma func;:ao
definida por)' = logn x como:
• crescente quando a > 1
• decrescente quando
O<a<l
Resumindo 0 estudo da func;:ao)' = logn x, temos:
1) 0 dominio da func;:ao eIR~ , ou seja, somente os numeros positivos possuem logaritmo.
2) 0 conjunto imagem da func;:ao e IR, isto e, qualquer nt1l11erO real elogaritmo de al-
gum numero real positivo, em uma certa base.
3) 0 grafico da func;:ao fica todo adireita do eixo y.
4) Se x = 1 ~ )' = logn 1 = 0, pois aO = 1, ou seja, 0 ponto P(I, 0) pertence ao gri-
fico da func;:ao.
5) Em qualquer base 0 logaritmo de 1 eO.
6) Se x = a(base), temos y = logn a = 1, pois al
= a, ou seja, 0 10gaIitmo da base el.
7) A func;:ao einjetora, pois, se XI *- X 2, entao logn XI *- logn X2'
8) A func;:ao esobrejetora, pois para /)' E IR, 3x E IR: I)' = logn x_
9) A func;:ao ebijetora, pois eao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
10) No caso de a> 1 a func;:ao ecrescente, pois, se Xl > x2 , entao logn XI > logn X 2 .
11) No caso de 0 < a < 1 a func;:ao edecrescente, pois, se XI > X2, entao logn Xl < logn X2-
Observa~ao: quando a base nao esti'er escrita, subentendemos que a base e10, ou se-
ja, loglo x e0 mesmo que log x.
184

191. EXERCiclOS PROPOSTOS _
53. Construa 0 grafico das funyoes:
a) f (x) = log2 X b) Y = log 1 X
2
54. Verifique quais funyoes sao crescentes e quais sao decrescentes:
a) y = log4 X c) f(x) = log,3 x
b) Y = logo,2 X d) Y = log 3 X
5
e) y = log ,5 X
-2-
f) f (x) = log3-' X
55. Determine os valores reais de a tais que:
a) y = log(a _ 3) X ecrescente,
b) y = log(2 _ a) X ecrescente,
c) y = log(1 _ a2) X edecrescente.
. 56. Dada a funyao f (x) = 2 x
+ 1, determine:
a) f(9) b) f(-1) c) 0 valor de x para que se tenha f (x) = 128
57. Determine k de modo que 0 ponto (8, k) pertenya ao grafico da funyao f (x) = 1 + log 2 X.
58. Identifique com V as sentenyas verdadeiras e com F as falsas.
a) log5 10 > log5 2 e) log 2 5> log 2 1
- -
3 3
b) log 1 10 > log 1 2 f) log23 > 1
- -
5 5
c) log 1 10 < log 1 2 g) log 1 128> ()
- -5 5 2
d)
1 2
h) (0 < a < 1)log3 - < log3 - loga 3 > loga 2
2 3
Observa~o: revendo as resumos feitos para a funs:ao exponencial e para a funs:ao logaritmi-
ca, notamos que ambas sao bijetoras e porranto possuem funs:ao inversa.
Representa<;:ao grafica das nm<;:6es:
)' = 3x
e )' = log3 X
Representa<;:ao grifica das fun<;:6es:
(
1 )X)' = 3 e)' = log I X
3
y
• y =x
,':""- Bissetriz
x
185
y= (+V
o
• y =x
,,~ Bissetriz
x
y=log,x
"3

192. Veja que, nos dois casos, os gnificos sao simetricos em relac;:ao abissetriz do 1Q e do 3Q
quadrante. ~ _ _. ( 1 )XPortanto y = log3 x e y = 3· sao fun~oes mversas, 0 mesmo ocorrendo com y = 3
e y = logl... x. Como os casos vistos envolvem os linicos tipos de bases possiveis, podemos
3
conduir:
As func;:oes f(x) = aX eg(x) = log" x sao fun~oes inversas.
8. Dominio da fun~ao logaritmica
Lembrando que na func;:ao logaritmica 0 logaritmando deve ser real e positivo e a base
cleve ser real, positiva e diferente de 1, analisaremos alguns exemplos de determinac;:ao de
domil1io.
Exemplo 1
Achar 0 dominio da func;:ao definida por:
a) y = log3 (12 - 5x) b)y = logs (x 2
+ 8x + 15)
SolUfiio
a) y = log3 (12 - 5x)
Devemos ter: 112 - 5x > 0 I
Entao -5x> - 12 =) 5x< 12 =) x< 12
5
Portanto 0 dOrnlnio e D = {x EO IR Ix< 1~}.
b) Y = logs (x2
+ 8x + 15)
Devemos ter: Ix 2
+ 8x + 15 > 0
A fim de determinar os valores de x que tamam essa sentenc;:a verdadeira, vamos analisar a
variac;:ao do sinal da func;:ao f(x) = x 2
+ 8x + 15.
As raizes def(x) sao determinadas resolvendo a equac;:ao x 2
+ 8x + 15 = O. Logo, as rai-
zes sao Xl = -5 e X 2 = -3.
o sinal de f(x) varia assim:
x
Como queremos f(x) > 0,
a parte que nos interessa e:
----<c:L- 'o_---l.~
-5 -3 x
Portanto 0 dominio da func;:ao y = logs (x 2
+ 8x + 15) eD = Ix EO IR Ix < -Sou x > -3}.
186

193. EXERCiclO PROPOSTO _
59. Determine 0 dominio das fun90es definidas a seguir:
a) f (x) = log3 (3x + 12) f) f (x) = log3 (x
2
+ 4x)
b) Y = log (4 - 7x) g) h(x) = log (-x 2
+ 8)
c) g(x) = log2 (-3x - 1) h) g(x) = logs (-x 2
+ 6x - 8)
( )
i) Y = log (x
2
- 6x + 9)
d) h(x) = logs ~ - + j) y = logJ... (x2 + 4)
2
e) y = log (3x2
- 4x - 4)
Exemplo 2
Determinar 0 dominio da func;:ao y = log(5X- 12) 5.
Solurao
Devemos ter simultanearnente: I5x - 12 > 0 I e I 5x - 12 oF 1
CD @
CD
@
5x - 12 > 0 ~ 5x > 12 ~ x> 12
5
5x - 12 oF 1 ~ 5x oF 13 ~ x oF 13
5
Resumindo, temos:
12 13
CD
"5 "5
@ ¢
•
D= CD n ® 6 0
•12 13
"5 "5
o dominio e a intersecc;:ao de CD e ®, ou seja: D = CD n @ .Entao:
{
12 13 13}D= x E IR1- < x < - ou x > -
5 5 5
A resposta pode tambem ser dada assim: D = {x E IRIx > 1: e x oF 1:}.
EXERCiclO PROPOSTO
60. Determine 0 dominio de cada uma das fun90es:
a) f (x) = log(x _ 3) 10 c) log(x _ 3) (5x - 12)
b) g(x) = IOg(3X + 5) 3 d) log(x _ 1) (16 - x
2
)
Exemplo 3
Determinar 0 dominio da func;:ao definida por y = log(x2 _ 4) (2x - 3).
187

194. SolUfiio
Devemos ter simult::ll1eamente:
I X
2
- 4 > 0 I ' I X
2
- 4 *- 1 I e I 2x - 3 > 0
CD @ @
CD x
2
- 4 > 0
g(x)
As raizes deg(x) sao -2 e 2.
o sinal da fun~aog(x) varia assim:
x
A solu~ao de CD e:
o
-2
o
2 x
® x 2
- 4 *- 1 => x 2
*- 5 => x*-- ,,5 ex*-" 5 ,ou seja:
o n
5
x
@ 2x - 3 > 0 => 2x > 3 => x > 3 ,ou seja:
2
3
"2
o
x
Achando a intersec~ao de 0, ® e @, temos:
~i ' ..
-----'----"----------'-----~,.:~
2 x
3
CD - 5 -2 "2
"
@ 9
@
1(Dn ® n @
Solu~ao
o domfnio e, portanto, D = Ix E IR Ix > 2 ex*- 5 I.
188

195. EXERCiclO PROPOSTO
61. De 0 dominio das seguintes func;6es logaritmicas:
a) y = log(X2_ 9) (x
2
- 3x - 10) b) Y = log(_X2 + 2x) (x
2
- 1)
9. Inequa(:oes logaritmicas
Do mesmo modo que ocon-em equaC;:6es logal'itmicas, ocol'l'em tambem inequaC;:6es com
logaritmos, as quais chamamos inequa~6es logaritmicas.
Sao exemplos de inequaC;:6es logal'itmicas:
a) logz (x - 3) - 2 logz (x + 1) < 1
Ao eswdal'mos as inequaC;:6es logal'itmicas, devemos tel' cuidados especiais com as restri-
c;:6es a que deve estar submetida a incognita.
Na resoluc;:ao das inequac;:6es, procuraremos obter logaritmos de mesma base nos dois
membros_ A partir disso, trabalharemos apenas com os logaritmandos, usando 0 fata de a fun-
c;:ao ser crescente ou decrescente, conforme mostram os exemplos seguintes.
Exemplo 1
Resolver as inequaC;:6es:
a) log3 (2 - 5x) ~ 1 b) log 1 (2 - 5x) ~ 1
3
Solurao
a) log3 (2 - 5x) ~ 1
Re"",,OO 12 - 5x > 0 I~ -5x > - 2 ~ 5x < 2 ~ Ix < ~ I CD
Temos: log3 (2 - 5x) ~ 1 => log3 (2 - 5x) ~ log3 3.
19uais
o sinal da desigualdade sera mantido para os logaritmandos, porque a base e maior que
urn, e nessas condic;:6es a func;:ao e crescente. Entao:
2 - 5x ~ 3 => - 5x ~ 3 - 2 => - 5x ~ 1 => 5x ~ - 1 =>
Resumindo, temos:
~~-5- @
-I 2
CD
5 5
•
@ t ..
CDn ® • 6
•-I 2
5 5
Solu~ao
o conjunto soluc;:ao e S = {x E IRI ~l ~ x< ~}-
189

196. b) log 1 (2 - 5x) :s; 1
3
A restri~ao ea mesma determinada no item a, ou seja, x < 2 CD.5
1
Temos que: log 1 (2 - 5x) :s; log 1 ~.
3 "3 3
o sinal da desigualdade sera invertido para os logaritrnandos, porque a base eum numero
entre 0 e 1, e nessas condi~6es a fun~ao edecrescente. Entao:
2 - 5x;;' l => 6 -15x;;'1 => 15x- 6:s; -1 => 15x:s; 5 => x:s; 1 ®.
3 3
Resumindo, temos: I 2
CD
"3 5
•
@ + •
CDn @ • •I 2
"3 5
Solu~ao
o conjunto solu~ao e S = {x E IR Ix:S; ~}.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
62. Resolva as inequac;:6es:
a) logs (2x - 3) > 2
b) log4 (65 - 3x) < 3
c) log2 (2; - ~ ) ;;" -3
d) log (1 - 2x) ,;;; 2
e) log 1 (x + 3) > -2
2
f) log 1 (4 - 3x) < 1
5
63. Determine 0 dominio da func;:ao definida por y = ~1 - log (x - 2) .
Exemplo 2
Resolver a inequa~ao log2 (x 2
- lOx + 21) ;;. 1 + log2 (x - 3).
Solufiio
Devemos considerar as seguintes restri~6es:
a) x 2
- lOx + 21 > 0
f(x)
As ralzes def(x) = x 2
- lOx + 21 sao 3 e 7.
o sinal de f(x) varia assim:
entao devemos ter: x < 3 ou x > 7 CD
b)~
~
A raiz deg(x) = x - 3 e3.
CJ sinal de g(x) varia assim:
/
- --_/ ®~3-";;""'----""~
entao devemos ter: x > 3 @
190

197. Como 1 = log2 2, voltando ainequa<;:ao dada, temos:
log2 (x2
- lOx + 21) ~ log2 2 + log2 (x - 3) ~ log2 (x2
- lOx + 21) ~ log2 (2x - 6) ~
~ (x2
- lOx + 21) ~ (2x - 6) ~ x2
- 12x + 27 ~ 0
- - v - - -
hex)
As raizes de hex) = x 2
- 12x + 27 sao 3 e 9.
o sinal de hex) varia assim:
x
Dessa forma, devemos ter: 1 x:;;;; 3 ou x ~ 91 @
Compondo as condi<;:6es CD , @ e @, temos:
---_f~-------7----9 ••
T
CD
@
@
Q)n@n @ 7 x
---Solu~ao
o conjunto solu<;:ao eS = Ix E IR Ix ~ 9}.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
64. Resolva as inequayoes:
a) log2 (x
2
+ 3x) < 2 b) IOgO,25 x 2
> -2 c) log 1 (2~ - 5X) ;;. -1
3
65. Determine os valores reais de x que tornem verdadeiras as sentenyas:
a) log (2x + 4) ,,:; 1 + log (4 - x) b) log 1 (x + 3) + log 1 (x - 2)":; log 1 (9 - x)
- -
2 2 2
66. Transforme os logaritmos para uma mesma base, e em seguida resolva as inequayoes:
a) logs x;;. IOg25 (2x + 35) b) log3 (x - 1) ;;. logg (x - 7) + ~
2
RELEMBRANDO CONCEITOS _
Sendo a, bee reais positivos, com a *' 1 e m real, tem-se:
Def"'ni~o de logaritmo
loga b = x ~ b = ci'
loga 1 = 0 e loga a = 1
191

198. Mudan~a de base (para c =1= 1)
loge b
loga b = I
oge a
Propriedades
a) a10ga b = b
b)loga (b' c) = loga b + loga c
b
c) loga - = loga b - loga c
c
d)loga b'" = m' loga b
A fun~o logarltmica edefinida de IR: em IR par y = loga x.
Einjetora e sobrejetora, e portanto bijetora.
o ponto P(l, 0) pertence ao grafico da fun<;ao.
Caso de a base ser maior que 1
a>l
A fun<;ao ecrescente.
x
Caso de a base estar entre 0 e 1
O<a<l
A fun<;ao edecrescente.
x
Para resolver equa~6es logaritmicas procure, se possivel, transformar cada membra em
logaritmos de mesma base e, lembrando que a fun<;ao e injetora, trabalhe somente com os
logaritmandos.
Para resolver inequa~6es logaritmicas procure, se possive!, transformar cada membra em
logaritmos de mesma base e trabalhe somente com os logaritmandos:
a) mantendo para e!es 0 mesmo sinal da inequa<;ao quando a base for maior que um, pois
a fun<;ao ecrescente;
b) invertendo para e!es 0 sinal da inequa<;ao quando a base estiver entre 0 e 1, pois a fun-
<;ao edecrescente.
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
67. Calcule:
a) log 100 b) log 10 c) log 1
192
d) log 0,1 e) log 0,01

199. 68. Calcule x nos seguintes casos:
a) log x = 3
b) log (x - 2) = -2
c) logx 256 = 2
d) log(2x _ 3) 125 = 3
1
e) log~ x = -2
9
f) log (x
2
+7x-15)=2
,3
69. Lembrando que al09a b = b, calcule 0 valor das expressoes:
a) 3109310 b) 82+ 109a 2 c) 104 -109400
70. Resolva a equayao 5 logs (x2
- 24) = 2x.
71. Determine 0 domfnio das funyoes:
a) ((x) = log4 (-3x + 12)
b) ((x) = logx (x - +)
c) y = log (3x2
- 7x + 2)
d) Y = log(6 _ xl (x
2
- 7x + 12)
72. Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, determine:
a) log 72 b) log 5,4 c) log 5
32
d) log 243 e) loga 27
73. Se log x = a e log 2 = b, calcule:
a) 10g..J8x b) log 5 c) log 6,25 d) logx 10 e) log2 x
74. Calcule 0 valor da soma log9 3 + log3 9.
75. Sabendo que __1_ + __1_ + __1_ = 3, calcule 0 valor do produto xyz.
logx 2 logy 2 logz 2
76. Resolva as equayoes:
a) log2 (2x - 2) - log2 (x - 8) = 5
b) IOg3(X2 + 5x+ 15) -log3(x+ 3) = 2
c) log [log (3x - 5)] = 0
77. Resolva as inequayoes logarftmicas:
a) log2 (3x - 2) < 4
b) log3 ( ~ -+);;.-2
c) log 1 (x
2
+ 4X) ~ -1
5
d) log2 (2x + 10) - log4 (x + 1) = 3
e) log2 x =1 + log4 (x - 1)
f) 2 log (x - 3) = log (x + 6) + log (x - 5)
d) log4 (x + 3) + IOg4 (x - 9) > 3
e) logs x > IOg25 (2x + 35)
f) log 1 (x2
- 2x - 48) - log 1 (x - 8) ;;. -4
2 2
78. (Unifor-CE) Qual e0 valor de [logs (25 log2 32)]3?
79. (Esal-MG) Determine os valores (x, y) que sao soluyoes do sistema {3
1
x + y = 8
1
1 1
og3 x + og3 Y =
80. (E. E. Maua-SP) Determinar 0 intervalo em que a funyao ((x) = log2 (lOg+x) edefinida.
81. (F. M. Itajuba-MG) Seja a equayao log2 x + a . logx 2 = 2.
a) Para quais valores de a ela admite soluyao real em x?
b) Determine 0 valor de a e de x para que ela admita uma (mica soluyao em x.
193

200. 82. (Fuvest-SP) Resolva log10 x + 2 . logx 10 = 3.
1
83. (UFPE) Sejam a e b numeros reais positivos, tais que log2 a - 2 log2 b = 2. Determine 0 valor
2
da razao -%-b
84. (UFSC) Sabendo que log a = 6 log b, 2 log b = log c e que log c = 45, calcule 0 valor numerico de y
~
na expressao y = log V~ .
85. (Faap-SP) Na igualdade [109a ; + loga (xy) - loga xr= Z, sabe-se que a, x eyE IR*, com a "* 1
e Z E IR*. Qual a rela9ao que existe entre as variciveis x e a?
86. (Fuvest-SP) Determine 0 conjunto das solu90es da equa9ao log2 (x
2
- 1) = log(X2 _ 1)2.
87. (Fuvest-SP) Edada a fun9ao f definida por f (x) = log2 X - log4 (x - 3).
a) Determine os valores de x para os quais f (x) .;;; 2.
b) Determine os valores de x para os quais f (x) > 2.
TESTES
88. (F. C. Contcibeis) Sendo xy = 1000 e log x = 1 + log y, entao x +'y e igual a:
a) 10 b) 100 c) 110 d) 1000 e) 1100
89. (UFRS) 0 valor de log (217,2) - log (21,72) e:
a) -1
b) 0
c) 1
d) log (217,2 - 21,72)
e)
log (217,2)
log (21,72)
90. (UECE) Seja p um numero real maior do que 1. Se log3 (p2) = 5 + log 1 ~,entao log2 (p + 13)
e iguala: 3 p
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
91. (FEI-SP) Se log 2 = a e log 3 = b, escrevendo log ~ em fun9ao de a e b obtemos:
27
a) 2a + b b) 2a - b c) 2ab d)
2a
b
e) 5a - 3b
92. (Unisinos-RS) Se logx 25 = -2, entao logs x e igual a:
a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 4
93. (Fesp-SP) Se log14 7 = x e log14 5 = y, a expressao de IOg35 28 e:
a) (x + y)
x
c)
(3 + y)
Y
e)
2x
(x - y)
b)
(x + 2)
(x + y)
d)
(2 - x)
(x + y)
194

201. 94. (Fuvest-SP) Sabendo-se que 5P = 2, podemos concluir que log2 100 eigual a:
2 2 + 2p
a) - c) 2 + p2 e)
p p
b) 2p d) 2 + 2p
95. (Osec-SP) Se log4 x3
= 2, entao logs x 2
e:
a) 4 b) 2 c)
4
3
d) 1 e)
8
9
96. (U. Cat61ica de Salvador-SA) A expressao log 2 + log 3 + log 4
5
- log ~ eequivaiente a:
3 4 55
a) log 77 b) log 18 c) log 7 d) log 4 e) log ~
7
97. (PUC-PR) Sabendo que 10gA E = 2, loga E = 4, loge E = 6 e logo E = 8, pede-se que seja deter-
1
minado 0 valor real positivo y = [lOgE (A . B . C . 0)] 2
a)
b)
5.J2
6
6-15
7
c)
d)
5.J2
5
5-16
2
e) 2-16
5
98. (Osec-SP) Sejam x e y numeros reais positivos tais que:
{
log(x+ y) 16 = 2
gX _ 6 . 3x + 9 = 0
Entao os valores de x e y, nessa ordem, sao:
a) 1 e 2
b) 2 e 3
c) 1 e 3
d) 4 e zero
e) 5 e -1
99. (Unifor-CE) No universo IR*, a equayao .JTOQ;x = log2 -JX :
a) possui uma (mica soluyao no intervalo ]0, 1[.
b) possui uma unica soluyao no intervalo ]0,20[.
c) possui duas soluyoes no intervalo ] 2, 10[.
d) possui duas soluyoes no intervalo [1, 20[.
e) nao possui soluyoes reais.
100. (PUC-MG) A raiz da equayao log2 x + log4 X = 1 e igual a:
a) 2 b) ~ c) ~ d) 2~ e) 3~
101. (Mackenzie-SP) 0 produto das rafzes da equayao (4 + log3 x) . (4 - log3 x) = 12 e:
a)
9
b)
1
3
c) 1 d) 3 e) 9
102. (FEI-SP) A equayao log3 x = 1 + logx 9 tem duas rafzes reais. 0 produto dessas rafzes e:
1
a) 0 b) 3 c) 9 d) 6 e) 3
195

202. 103. (EsPECEx) 0 conjunto solugao da equagao 109x [10924 . 10946 . 10968] = 2 e:
a) 0 b) {-,3, 0, 3 } c) {v 3 } d) {-,3" 3 }
104. (Fuvest-SP) 0 numero real x que satisfaz a equagao 1092 (12 - 2 X) = 2x e:
a) 10925 b) 1092 ,3 c) 2 d) 1092,5 e) 10923
105. (Mackenzie-SP) Se a e b sao numeros reais positivos tais que a
2
+ b2
= 7ab, 109 a = k e 109 b = p,
a + b
entao 109 --3- vale:
a) 2(k + p) c) ~
7
e) ~
2
b) 3(k + p) d) ~
3
106. (Osec-SP) Se 1092 (2 - ,2) = a, entao 1092 (2 + '2) e i9ual a:
e) 2 - ac) 1 + aa)
3
2
b) 1 - a d) 1
2
107. (Unirio) Os valores reais de x para os quais 10109a (x
2
- 3x + 2) = 6109a 10, em que a > 0 e a *" 1, sao:
a) 4 e 1
b) -4 e 1
c) 4 e -1
d) 4 e 0
e) -4e-1
108. (Vunesp) Considere a fungao f definida por f (x) = 109a x. Se f (a) = be f (a + 2) = b + 1, os va-
lores respectivos de a e b sao:
a) 2 e 1
b) 2 e 2
c) 3 e 1
d) 3 e 2
e) 4 e 1
109. (Mackenzie-SP) Assinale 0 intervalo que nao esta contido no conjunto solugao da inequagao
109(2'-1 _ 1) 5 < 109(2'-1 _ 1) 2:
a) [:' ~ [
b) }, ~]
c) [~, ; [
d) ]1, 2[
196

203. Capit 10
Calculo e aplicac;6es
dos logaritmos decimais
I. Introdu~ao
No capitulo anterior estudamos a funr,:ao logaritmica e aprendemos a resolver algumas
equar,:6es e inequar,:6es logaritmjcas.
Muitas vezes, depois disso tudo, fica na caber,:a de alguns alunos uma indagar,:ao:
Porque, aprimeira vista, a impressao que se tern e de que eles nao se prestam a nenhuma
aplicar,:ao pratica.
Pois bern, os alunos que assim pensam estao completamente enganados.
Acompanhe com atenr,:ao as situar,:6es a seguir.
Quando uma fi.mr,:ao se expressa na forma:
f(t) = fo· ek
' t,
em que fo e uma constante positiva correspon-
dente a urn valor inicial, e e a base do sistema
neperiano de logaritmos eke uma constante
positiva, dizemos que essa TI1l1r,:ao tem um
crescimento exponencial.
o grafico ao lado ilustra uma fi.mr,:ao
desse tipo.
Se necessitarmos determinar 0 valor de t
para uma certa condjr,:ao dada, 0 uso dos loga-
ritmos resolved nosso problema.
197
o

204. '"c
"'"'".s
~
~L;
g
a:
0;
o...,
o
IS
log-
IR'
NIS = 10
Por exemplo, 0 crescimento de uma populas:ao humana ou de uma populas:ao de bacte-
rias etc. obedece a uma lei do tipo descrito anteriormente, desde que nao haja interferencia
externa sobre 0 processo.
Mais adiante trabalharemos com uma situas:ao desse tipo.
Quando uma funs:ao se expressa na forma:
f(t) = fa· e-k
. t, f(t}
em que fa e uma constante positiva correspon-
dente a um valor inicial, e e a base do sistema
neperiano de logaritmos eke uma constante
positiva, dizemos que essa funs:ao tem um
decrescimento exponencial.
o grafico ao lado ilustra uma funs:ao desse
tipo.
A desintegras:ao de substancias radioativas
obedece a uma lei como essa. Se quisermos
calcular, por exemplo, em quanto tempo a
quantidade de uma substancia radioativa esta-
ra reduzida ametade, teremos de lans:ar mao
dos logaritmos.
Vejamos mais uma aplicas:ao.
Numa danceteria existem dois aparelhos de
som de mesma potencia. Quando 0 aparelho A
foi Iigado no maximo, mediu-se 0 NIS (Nivel
de Intensidade Sonora), dado par 80 dB (deci-
bel). Determinar 0 numero de decibels que se
obtem no caso de 0 aparelho B tambem ser
ligado no maximo, sabendo que 0 NIS e dado
em decibels por:
em que IS e a intensidade sonora e IR eo indi-
ce unitario (em watt por cm2
).
Note que a formula para encontrar a solus:ao procurada envolve logaritmos. Esse proble-
ma sera resolvido no final deste capitulo.
Quer mais? Pois vamos la.
Quando voce deixa uma importancia C numa caderneta de poupans:a a uma taxa de 5% ao
mes, 0 total de dinheiro existente apos t meses de aplicas:ao e dado por:
p(t) = C . (l,05)t
Se desejarmos saber 0 valor de t para uma certa condis:ao dada, devemos utilizar loga-
ritmos para calcula-lo. Aguarde que mais afrente tambem trabalharemos com um exemplo
desse tipo.
Voce viu amostras de algumas situas:6es de natureza totalmente diferente que sao descri-
tas por funs:6es que envolvem logaritmos nos seus dJculos. E existem tantas outras!
Acreditamos que agora voce esteja convencido da imporrancia dos logaritmos em nossa
vida. Por isso vamos aprender a operar com e1es e finalmente resolver alguns problemas de
aplicas:ao.
198

205. 2. Calculadora cientifica
ou tcibua de logaritmos?
Em todas as equa~6es e inequa~6es logaritmicas vistas ate agora, conseguimos obter bases
iguais nos dois membros. No entanto isso nem sempre e possive!. Para podermos resolver
problemas nos quais nao se possa igualar as bases, aprenderemos a efetuar dlculos com loga-
ritmos.
Dois sao os problemas a serem estudados:
a) dado urn numero positivo, achar seu logaritmo;
b) dado 0 logaritmo de urn numero, achar 0 numero.
De urn modo geral, as calculadoras cientificas fornecem os logaritmos tanto na base 10
como na base e. Entretanto os nomes das teclas que fazem esses dlculos dependem da
marca e tipo da calculadora. Assim, por exemplo, em certas calculadoras voce encontrara
as teclas:
{
log para calcular 0, logari~o dec~al de un: numero. positivo que est~ja no visor;
10'" para achar 0 numero cUJo logantmo decunal estep mostrado no VISor;
{
In para achar 0 logaritmo neperiano de urn numero positiyo que esteja no visor;
eX para achar 0 numero cujo logaritmo neperiano esteja mostrado no visor.
o
'c
Sc:
«
N
':;
...J
Em outras, voce tera que digitar por exemplo a palavra log, seguida da digita~ao do nume-
ro e da ordem de executar a opera~ao, para obter 0 logaritmo decimal desse numero.
Existem ainda calculadoras nas quais voce encontrara outros tipos de teclas. t convenien-
te entao, se voce tern uma calculadora cientifica, verificar no manual de instru~6es quais teclas
deverao ser utilizadas nos dlculos.
Imaginando que nossa calculadora seja a do plimeiro tipo citado, vamos por exemplo calcular:
a) 0 logaritmo decimal do numero 253;
b) 0 logaritmo neperiano desse mesmo numero;
c) 0 numero cujo logaritmo decimal e aproximadamente 1,30103;
d) 0 numero cujo logaritmo neperiano e aproximadamente 6,335055.
199

206. Solufao
a) 0 logaritmo decimal do numero 253
Dado I Calcular I Etapas I Resultado
Numero 253. o logaritmo
decimal do numero
253.
1. Digitar 253.
2. Pressionar log.
Aproximadamente
2,40312.
1sso significa que 102
,40312 = 253.
b) 0 logaritmo neperiano do numero 253
Dado I Calcular I Etapas I Resultado ;
Numero 253. o logaritmo
neperiano do
numero 253.
1. Digitar 253.
2. Pressionar In.
Aproximadamente
5,53339.
c) 0 nl1ll1ero cujo logaritmo decimal eaproximadamente 1,30103
Dado I Calcular I Etapas I Resllitado
o logaritmo decimal
de um nllmero
e= 1,30103.
o numero que tern
esse logaritmo
decimal.
1. Digitar 1,301 03.
2. Pressionar 10"'.
Aproxlinadamente
20.
d) 0 numero cujo logaritmo neperiano eaproximadamente 6,335055
Dado I Calcular I Etapas I Resllitado I
o logaritmo neperiano
de um numero
e= 6,335055.
o numero que tern
esse logaritmo
neperiano.
1. Digitar 6,335 055.
2. Pressionar eX.
Aproximadamente
564.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
(Apenas para 0 caso de voce possuir uma calculadora cientifica.)
1. Calcule os logaritmos decimais dos numeros:
a) 286 b) 3645 c) 105,76 d) 0,867
2. Calcule os logaritmos neperianos dos numeros dados no exercicio 1.
3. Calcule os numeros cujos logaritmos decimais sao, aproximadamente:
a) 2,94399 b) 1,81823 c) 0,96806 d) -0,05749
4. Determine os numeros cujos logaritmos neperianos sao, aproximadamente:
a) 7,52077 b) 3,64806 c) 2,83321
200
d) 6,90776

207. Bem, voce viu que e"moleza" efetuar d.!culos logaritmicos quando se utiliza uma cal-
culadora cientifica. Mas quando nao temos esse recurso em maos, os dlculos sao um pOllCO
trabalhosos.
Veremos somente como operar com logaritmos decimais. Caso seja necessario utilizar
outra base qualquer, vamos "pass:i-Ia" para a base 10 usando a lei de mudan=a de base:
log" x
Caracteristica e mantissa dos logaritmos decimais
Ao calcularmos 0 logaritmo decimal de um numero positivo n, temos dois casos possiveis:
• n euma potencia de base 10 com expoente inteiro;
• n nao euma potencia de base 10 com expoente inteiro.
Analisaremos separadamente essas duas situa=oes.
~
log n = log 10 C = c . log 10 = c . 1 => log n = c
• n euma potencia de base 10 com expoente inteiro
Nessas condi=oes, n pode ser escrito assim: n = 10c, com c E 7L.
Dessa forma, temos:
o resultado deu um numero inteiro!
Exemplo 1
Calcular os logaritmos decimais dos seguintes numeros:
a) 100 b) 0,001 c) 10000 d) 1
a) log 100 = log 102
= 2 . log 10 = 2 . 1 => log 100 = 2
b) log 0,001 = log 10-3
= -3 . log 10 = -3 . 1 => log 0,001 -3
c) log 10000 = log 104
= 4· log 10 = 4·1 => log 10000 = 4
d) log 1 = log 10° = 0 . log 10 = 0 . 1 => log 1 = a
Eimportante destacar que:
Somente os numeros que sao potencia de expoente inteiro da base 10 possuem loga-
ritmos inteiros.
201

208. EXERCiclO PROPOSTO
5. Ache 0 logaritmo decimal de x nos casos:
a) x = 1000 b) x = 0,01 c) x = 1000000 d) x = 0,000 1
• n nao epotencia de base 10 com expoente inteiro
Nessas condi<;:6es, podemos sempre notar que n esta entre duas potencias em que a base e
10 e os expoentes sao numeros consecutivos, ou seja:
10c 10C+ 1 , . . {;r
< n < , em que c e mtelro ..!:.-J
Assim, por exemplo, se n = 548, temos que: 102
< 548 < 103
.
Voltando em CD, pelo fato de a fun<;:ao logaritmica ser crescente quando a base emaior
que 1, temos que:
log 10c
< log n < log 10c
+I, ou seja:
c' log 10 < log n < (c + 1) . log 10 :} c < log n < c + 1
Dessa forma concluimos que 0 logaritmo decimal de n "esta entre c e c + 1", ou seja, 0
logaritmo decimal de n "e c virgula alguma coisa". Assim:
log n = c, ... ou ainda log n = c + 0, ...
Ao numero inteiro c chanumos caracteristica do logaritmo decimal de n e aparte decimal
0, ... damos 0 nome de mantissa do logaritmo decimal de n (mantissa significa sobra, exce-
dente).
A mantissa do logaritmo decimal de um numero eencontrada numa tabela chamada tabua
de logaritmos, apresentada nas paginas 205 a 208.
Vamos como exerdcio encontrar a caractedstica do logaritmo decimal do numero n nos
seguintes casos:
a) n = 134 b) n = 2456 c) n = 0,4 d) n = 0,03 e) n = 8,2 f) n = 0,0067
SolUfao
a) n = 134
Como 100 < 134 < 1000, ou seja, 102
< 134 < 103
, entao:
log 102
< log 134 < log 103
portanto 2 < log 134 < 3.
Assim, log 134 = 2 + 0, ... portanto a caractedstica do logaritmo e2.
b) n = 2456
Como 1000 < 2456 < 10000, ou seja, 103
< 2456 < 10 entao:
log 103
< log 2456 < log 104
portanto 3 < log 2456 < 4.
Assim, log 2 456 = 3 + 0, ... portanto a caractedstica do logaritmo e3.
c) n = 0,4
Como 0,1 < 0,4 < I, ou seja, 10-1
< 0,4 < 10°, entao:
log 10-1
< log 0,4 < log 10° portanto -1 < log 0,4 < O.
Assim, log 0,4 = -1 + 0, ... portanto a caracteristica do logaritmo e -1.
d) n = 0,03
Como 0,01 < 0,03 < 0,1, ou seja, 10-2
< 0,03 < 10-1
, entao:
log 10-2
< log 0,03 < log 10-1
portanto -2 < log 0,03 < -1.
Assim, log 0,03 = -2 + 0, ... portanto a caractedstica do logaritmo e-2.
202

209. e) n = 8,2
.Como 1 < 8,2 < 10, ou seja, 10° < 8,2 < 101
, entao:
log 10° < log 8,2 < log 101
portanto 0 < log 8,2 < l.
Assim, log 8,2 = 0 + 0, ... portanto a caracteristica do logaritmo eO.
f) n = 0,0067
Corao 0,001 < 0,0067 < 0,01, ou seja, 10-3
< 0,0067 < 10-2
, entao:
log 10-3
< log 0,0067 < log 10-2
portanto -3 < log 0,0067 < -2.
Assim, log 0,0067 = - 3 + 0, ... portanto a caracteristica do logaritmo e- 3.
Vamos fazer urn resumo para esses exercicios:
Casos em que 0 nlunero
I
Numero de algarismos
I
Caracteri.stica
era maior que 1 da parte inteira encontrada
134 3 2
2456 4 3
8,2 1 0
Observe que, nos casos onde 0 numero era maior que 1, a caracteristica deu 0 nlimero
de algarismos da parte inteira, menos uma unidade.
Guarde bern essa regra, pois isso ocorre sempre!
Casos em que 0 numero
I
Total de
I
Caracteristica
estava entre 0 e 1 zeros iniciais encontrada
0,4 1 -1
0,03 2 -2
0,0067 3 -3
Observe que, nos casos onde 0 numero estava entre 0 e 1, a caracteristica deu exatamen-
te 0 nlimero de zeros iniciais, com 0 sinal trocado.
Guarde bem essa regra, pois isso ocorre sempre!
EXERCiclO PROPOSTO
6. Encontre a caracterfstica do logaritmo decimal dos numeros:
a) 54 b) 0,076 c) 875,34 d) 8500 e) 0,768
Antes de aprendermos a encontrar as mantissas, vamos entender uma propriedade muito
importante.
203

210. Caracteristica
Imagine que 0 logaritmo decimal de N seja c + m, em que ce a caracteristica e mea man-
tissa (um nLII11ero entre 0 e 1), ou seja:
Caracteristica
log N = c+ 0, ...
Mantissa
e desejamos encontrar 0 logaritmo decimal do produto de N pOl' uma potencia de base 10 e
expoente inteiro, isto e, queremos calcular:
log (N· 10
k
),
em que k e um nLlmero inteiro.
Temos:
log (N· 10
k
) = log N + log 10k
= log N + k· log 10 ~
~ log (N· 10k
) = k + log N = k + (c + 0, ... )
Entao 0 logaritmo do produto de N pOl' uma potencia de base 10 e expoente inteiro e
igual a:
log (N· 10k
) = (k + c) + 0, ...
Mantissa
e portanto tern a mesma mantissa do logaritmo decimal de N.
Vamos guardar bem esta propriedade:
Os logaritmos decimais de N e de N· 10 em que k e inteiro, possuem a mesma mantissa.
Assim, por exemplo, os logaritmos decimais dos numeros 345; 3450; 0,345; 3,450; 34,5
possuem a mesma mantissa.
EXERCiclOS PROPOSTOS
7. Quais dos numeros seguintes apresentam a mesma mantissa em seus logaritmos decimais?
a) 54,56 b) 54,65 c) 0,545 d) 5,456 e) 545,6
8. Sabendo que log 35 = 1,544068, determine:
a) log 3,5 b) log 350 c) log 3500
Tabua de logaritmos
d) log 0,35
Agora que ja sabemos encontrar a caracterlstica do logaritmo decimal de qualquer nume-
ro e fixamos uma importante propriedade a respeito das mantissas, vamos conhecer a tabua
de logaritmos, que poderia ser chamada tabua de mantissas, pois que nela aparecem apenas
as mantissas dos logaritmos decimais.
A rabua a seguir apresenta as mantissas, com seis "casas" depois da virgula, dos logaritmos
decimais dos numeros inteiros de 1 ate 1000.
204

211. n mantissa n mantissa n mantissa n mantissa n mantissa
0, ... 0, ... 0, ... 0, ... 0, ...
0 50 698970 100 000000 150 176091 200 301030
1 000000 51 707570 101 004321 151 178 977 201 303196
2 301030 52 716003 102 008600 152 181844 202 305351
3 477121 53 724276 103 012837 153 184691 203 307496
4 602060 54 732394 104 017033 154 187521 204 309630
5 698970 55 740363 105 021 189 155 190332 205 311 754
6 778151 56 748 188 106 025306 156 193 125 206 313867
7 845098 57 755875 107 029384 157 195900 207 315970
8 903090 58 763428 108 033424 158 198657 208 318063
9 954243 59 770852 109 037426 159 201 397 209 320146
10 000000 60 778151 110 041393 160 204120 210 322219
11 041393 61 785330 III 045323 161 206826 211 324282
12 079 181 62 792 392 112 049218 162 209515 212 326336
13 113943 63 799341 113 053078 163 212 188 213 328380
14 146128 64 806180 114 056905 164 214844 214 330414
15 176091 65 812913 115 060698 165 217484 215 332438
16 204120 66 819544 116 064 458 166 220108 216 334454
17 230449 67 826075 117 068 186 167 222716 217 336460
18 255273 68 832509 118 071882 168 225309 218 338456
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753 876795 803 904716 853 930949 903 955688 953 979093
754 877 371 804 905256 854 931458 904 956168 954 979548
755 877947 805 905796 855 931966 905 956649 955 980003
756 878522 806 906335 856 932474 906 957128 956 980458
757 879096 807 906874 857 932981 907 957607 957 980912
758 879669 808 907411 858 933487 908 958086 958 981366
759 880242 809 907949 859 933993 909 958564 959 981819
760 880814 810 908485 860 934498 910 959041 960 982271
761 881385 811 909021 861 935003 911 959518 961 982723
762 881955 812 909556 862 935507 912 959995 962 983175
763 882525 813 910091 863 936011 913 960471 963 983626
764 883093 814 910624 864 936514 914 960946 964 984077
765 883661 815 911 158 865 937016 915 961421 965 984527
766 884229 816 911 690 866 937518 916 961 895 966 984977
767 884795 817 912222 867 938019 917 962369 967 985426
768 885361 818 912753 868 938520 918 962843 968 985875
769 885926 819 913284 869 939020 919 963316 969 986324
770 886491 820 913814 870 939519 920 963788 970 986772
771 887054 821 914343 871 940018 921 964 260 971 987219
772 887617 822 914872 872 940516 922 964731 972 987666
773 888179 823 915400 873 941014 923 965202 973 988 113
774 888741 824 915927 874 941511 924 965672 974 988559
775 889302 825 916454 875 942008 925 966142 975 989005
776 889862 826 916980 876 942504 926 966611 976 989450
777 890421 827 917506 877 943000 927 967080 977 989895
778 890980 828 918030 878 943495 928 967548 978 990339
779 891 537 829 918555 879 943989 929 968016 979 990783
780 892095 830 919078 880 944483 930 968483 980 991226
781 892651 831 919601 881 944976 931 968950 981 991669
782 893207 832 920123 882 945469 932 969416 982 992 III
783 893762 833 920645 883 945961 933 969882 983 992 554
784 894316 834 921 166 884 946452 934 970347 984 992 995
785 894870 835 921686 885 946943 935 970812 985 993436
786 895423 836 922206 886 947434 936 971276 986 993877
787 895975 837 922725 887 947924 937 971 740 987 994317
788 896526 838 923244 888 948413 938 972 203 988 994757
789 897077 839 923762 889 948902 939 972 666 989 995196
790 897627 840 924279 890 949390 940 973128 990 995635
791 898176 841 924796 891 949878 941 973 590 991 996074
792 898725 842 925312 892 950365 942 974051 992 996512
793 899273 843 925828 893 950851 943 974512 993 996949
794 899821 844 926342 894 951338 944 974972 994 997386
795 900367 845 926857 895 951823 945 975432 995 997823
796 900913 846 927370 896 952308 946 975891 996 998259
797 901458 847 927883 897 952792 947 976350 997 998695
798 902003 848 928396 898 953276 948 976808 998 999131
799 902547 849 928908 899 953760 949 977 266 999 999565
800 903090 850 929419 900 954243 950 977724 1000 000000
208

215. 3. 0 calculo com logaritmos decimais
Bern, agora podemos come<;:ar nossos cilculos.
No inicio do capitulo anterior, comentamos que ainda nao tinhamos condi<;:6es de resol-
ver uma equa<;:ao exponencial quando nao era possive! obter potencias de mesma base nos dois
membros. Demos como exemplo a equa<;:ao:
5"' = 12
Agora ji temos condi<;:6es de resolve-la, e e0 que iremos fazer.
Aplicando logaritmos decimais nos dois membros da equa<;:ao dada, obtemos:
log 12
log 5"' = log 12 ~ x· log 5 = log 12 ~ x = ---==----
log 5
o numero 12 tern dois algarismos na parte inteira, portanto a caracteristica do seu loga-
ritmo decimal e1, ou seja:
log 12 = 1 + 0, ...
A mantissa, obtida diretamente da rabua, nos di 0,079 181. Assim:
log 12 = 1 + 0,079 181 ~ log 12 = 1,079181
o numero 5 tem um algarismo na parte inteira, portanto a caracteristica de seu logaritmo
decimal e0, ou seja:
log 5 = 0 + 0, ...
A mantissa, obtida diretamente da tibua, nos di 0,698970. Assim:
log 5 = 0 + 0,698 970 ~ log 5 = 0,698970
log 12
Substituindo na equa<;:ao x = os valores encontrados, obtemos:
log 5
x 1,079181 = 1,543959
0,698970
Vejamos em seguida mais alguns exemplos, nos quais procuraremos mostrar as situa<;:6es
que normalmente OCOlTem nos cilculos com logaritmos.
Exemplo 1
Nos necessitamos por algum motivo, em nossos cilculos, encontrar, por exemplo, 0 valor da
raiz cubica do numero 729, mas a calculadora "pifou". Como resolver 0 problema?
SolUfiio
o uso dos logaritmos resolveri nosso problema. Chamemos de x 0 valor da raiz cubica de
729. Assim:
x = 729.
I
Entao x = 729 3
. Tomando logaritmos nos dois membros, temos:
1
log x = log 729 3 ~ log x = 1 . log 729
3
209

216. Como 729 tem tres algarismos, a caractedstica do seu logaritmo sera 2 e a mantissa eachada
na tabua: 0,862728. Entao:
Caracteristica
log x = 1..- . 2,862728 => log x = 0,954243 => log x = °+ 0,954243
3 -.. ------'
Mantissa
Veja que agora temos 0 problema inverso para a utiliza~ao da tabua, ou seja, conhecemos 0
logaritmo de x e necessitamos achar 0 valor de x.
Procurando na tabua um numero que corresponda a uma mantissa de 0,954243, vemos que
o numero e9 ou 90 ou 900 ou...
Como a caracteristica do log x ezero, entao x tem um s6 algarismo na parte inteira, portan-
to temos x = 9. Assim, a raiz cubica de 729 e9.
EXERCiclOS PROPOSTOS
9. Determine 0 valor do logaritmo decimal de N nos casos seguintes:
a) N = 756 b) N = 78 c) N = 9
10. Determine 0 valor de x sabendo que:
a) log x = 2,905256
11. Utilizando logaritmos, calcule:
3~
a) N = ,343
b) log x = 1,929419
b) P=,841
c) log x = 0,845098
Nos exemplos anteriores, nas duas vezes em que foi necessario recorrer atabua de loga-
ritmos, nao tivemos muito trabalho, pois os numeros procurados la estavam. No entanto isso
pode nao ocorrer e nesse caso 0 nosso trabalho aumenta, como mostra 0 exemplo seguinte.
Exemplo 2
Ainda com nossa calculadora "pifada", necessitamos encontrar, por exemplo, a raiz cubica de
24,4.
Solurao
Chamemos de Z 0 valor da raiz cubica procurada, ou seja:
3 r---- 1..
Z = ,,24,4 => Z = 24,4 3
Aplicando logaritmos decimais nos dois membros, obtemos:
J... 1
log z = log 24 4 3 => log z = - . log 24,4 CD' 3
Veja que agora necessitamos do logaritmo decimal do numero 24,4. Sabemos que, pelo fato
de 0 numero ter dois algarismos na parte inteira, a caracteristica de seu logaritmo decimal e
1, ou seja:
Caracteristica
log 24,4 = 1 + 0, ...
Mantissa
210

217. A mantissa nao esta na tabua de logaritmos, pois la nao existe 0 nllmero 24,4. No entanto
24,4 esta entre dois nllmeros da tabua: 24 e 25. Temos:
Para 0 numcro
I A mantissa e I o logaritmo C
24 0,380211 1,380211
25 0,397940 1,397940
Assim sendo, temos que log 24,4 esta entre 1,380211 e 1,397940.
Para obtermos uma melhor aproxima~ao do valor do log 24,4, podemos observar 0 grafico
da ft.ll1~aO )' = log x.
----- - - - ------------------- --- --- -------------------------
A 8
10 24 25 x
Nesse grafico podemos notar que 0 trecho da curva que vai de A ate B "quase se confunde"
com 0 segmento de reta que vai de A ate B (vamos chamar essa reta de r). Isso nos leva a
admitir que, se acharmos na reta ra ordenada do ponto de abscissa 24,4, obteremos urn acei-
tavel valor de log 24,4.
Veja urn zoom daquele trecho (feito sem escala):
p
Diferen~a 0.017 729
Q
1.380211
0.4
24 24.4 25
A semelhan~a dos triangulos da figura nos permite escrever:
0,017729 = _1_ ~ a = °007092
a 0,4 '
A ordenada do ponto Psera 1,380211 + 0,007092 = 1,387303. Substituindo log 24,4 por
esse valor na equa~ao 0 'encontramos:
1
log z = 3 . 1,387 303 ~ log z = 0,462434,
ou seja: log z = °+ 0,462434.
Agora temos 0 logaritmo decimal do numero z e queremos achar z. Procurmdo a mmtissa
0,462434 na tabua, nao encontramos la esse valor, mas verificamos que ela corresponde a urn
nllmero que esta entre 290 e 291.
211

218. Como a caracteristica do logaritmo decimal de z e 0, entao z tem s6 um algarismo na parte
inteira. Portanto 0 valor de z esta entre 2,90 e 2,9l.
Se desejarmos uma melhor aproximac;:ao para z, recorreremos novamente ao grafico da func;:ao
y = log x.
M N
I
o 2
I
2.90 2.91
4 x
esse grafico observamos tambem que 0 trecho da curva entre MeN "se aproxima" do seg-
mento de reta de extremidades MeN. Veja um zoom daquele trecho (feito sem escala):
Reta
N _ _ 0.463 893
, 0.001 495
1 - - - - - - - -
2,90
0.000036
M
~------a---===.=.-=-.t~z,--------.-I.o--O,462 398
0.01 --------2.91
A semelhanc;:a dos triingulos da figura nos permite escrever:
0,001495 = 0,01 ~a=000024
0,000036 a '
o valor de z e, portanto, 2,90 + 0,00024, ou seja, 2,90024.
Dessa forma, concluimos:
~ 24,4 = 2,90024
EXERCiclOS PROPOSTOS _
12. Sabendo que x = 25 e y = 4, determine a valor de log x + log Y.
13. Calcule:
a) log 58,5 b) log 8,9 c) log 1 200 d) log 25,36
14. Calcule a valor de x nos casas seguintes:
1
a) x = 38 3
15. Calcule a valor de x conhecendo:
a) log x = 0,591 06
5~
b) x='384
b) log x = 2,265525
212
1
c) X = 53,8 4
c) log x = 1,689309

219. Exemplo 3
Calcular:
a) log x, se x = 0,324 b) x, se log x = -2,404504
SolUfiio
a) queremos 0 valor de log 0,324
Como xesta entre °e 1, a caracteristica do seu logaritmo decimal e0 numero de zeros ini-
ciais, com 0 sinal trocado; pot"tanto, como existe um zero inicial, a caracteristica do seu
logaritmo decimal e - 1. Dessa forma temos que:
Caracteristica
,
log 0,324 = -1 + 0, ...
'----.r-------'
Mantissa
A mantissa correspondente ao nllmero 0,324 e a mesma do numero 324, ou seja,
0,510545.
Entao: log 0,324 = -1 + 0,510545. CD
Esse valor pode ser indicado assim:
1,510545
Essa forma e chamada forma mista ou forma preparada do logaritmo, pois nela estao
destacadas:
• a parte "antes" da virgula, negativa, e que corresponde acaracteristica;
• a parte decimal, positiva, e que corresponde amantissa.
Observe que, se em CDefetuarmos os calculos, obteremos log 0,324 = -0,489495, sendo
que este ultimo valor nao nos mostl"a nem a caracteristica nem a mantissa do logaritl110.
b) log x = -2,404504 e queremos achar x
Observe que esse valor e um numero negativo, de forma que ele nao nos mostra nem a
caracteristica nem a mantissa do logaritmo. Vamos portanto "preparar" esse numero.
Temos que log x = -2 - 0,404504.
Somando e subtraindo 1 ao segundo membro, encontramos:
log x = -2 - 0,404504 + 1 - 1 => log x = -2_- 1 + (1 - 0,404504) =>
=> log x = -3 + 0,595496 ou 3,595496
Agora sim sabemos que a caracteristica e - 3 e que a mantissa e0,595 496.
Procurando na tabua encontl"amos para essa mantissa 0 nllmero 394.
Como a caracteristica e-3,0 numero procurado tem tres zeros iniciais, portanto:
x = 0,00394
Exemplo 4
Calcular:
a) Jog2 15
SolUfiio
a) log2 15
A lei de mudan<;:a de base nos garante que:
b) In 25
JoglO 15
Jog2 15 = -=-=--
Jogro 2
213

220. Portanto log2 15
1,176091
----.:..---- = 3,906889.
0,30103
b) In 25
Temos que In 25 eo mesmo que loge 25. Tomando e = 2,71828 e "passando" para a base
10, encontramos:
In 25
loglo 25
loglo 2,71828
1,397940 = 3,218879
0,434294
EXERCiclOS PROPOSTOS _
16. Calcule os logaritmos dos numeros a seguir. De tambem, se for 0 caso, a resposta na forma prepa-
rada, destacando a caracterfstica e a mantissa.
a) log 0,536 b) log 0,036 c) log 0,001 25
17. Sendo log x = n, determine x nos seguintes casos:
a) n = -0,437707 b) n = -2,376751
18. "Passando" para a base decimal, calcule 0 valor de N nos casos:
a) N = log3 58 b) N =log5 45 + log4 510 c) N = In 10 + log e
4. Algumas aplica~oes dos logaritmos
Vamos finalizar este capitulo resolvendo problemas que envolvem 0 cilculo de logaritmos,
alguns dos quais ja citados anteriormente.
Exemplo 1
Numa danceteria existem dois aparelhos de som exatamente iguais. Quando 0 aparelho A foi
ligado no maximo, mediu-se 0 NIS (Nivel de Intensidade Sonora), dado por 80 dB (decibel).
Determinar 0 numero de decibels que se obtem no caso de 0 aparelho B tambern ser ligado
no maximo, sabendo que 0 NIS e dado em decibels P~)f:
IS
NIS = 10 . log IR '
em que IS e a intensidade sonora e IR e 0 indice unitario (em watt por cm2).
SolUfiio
Aprimeira vista, poderiamos ser tentados a imaginar que 0 NIS em decibels seria 160, pelo
fata de termos dobrado a intensidade sonora ao ligarmos tambern 0 aparelho B. No entanto
isso nao e verdade. Vejamos por que.
Chamando de a 0 valor de IS e de NISI 0 mvel de intensidade sonora em decibels quando
IR
ligado apenas 0 aparelho A, temos que:
NISI = 10· log a = 80
214

221. Vamos imaginar agora 0 aparelho B tambern ligado no maximo. Dessa forma, a intensidade
sonora duplicou, ou seja, ficou sendo 2· a. Entao:
NIS = 10 . log (2 . a) ~ NIS = 10 . [log 2 + log a] ~ NIS = 10 . log 2 + 10 . log a
Tomando log 2 = 0,30103, temos:
NIS = 10 . (0,30103) + 80 ~ NIS = 3,0103 + 80 ~ NIS = 83,0103 dB
Observemos que, duplicada a intensidade sonora, 0 NIS aumentou pouco mais de 3 decibels!
EXERCiclOS PROPOSTOS _
19. Se urn aparelho de som ligado no maximo produz 60 dB, quantos decibels serao produzidos se Iigar-
mos, no mesmo ambiente, mais dois aparelhos de som exatamente iguais ao primeiro?
20. Numa pista de aeroporto urn aviao a jato liga sua
turbina. Mediu-se 0 NIS, obtendo-se 120 dB. Se,
nas proximidades, outro aviao a jato igual ao
anterior tambem ligar sua turbina, quantos dB
serao medidos?
Exemplo 2
Num certo pais 0 aumento da populac;:ao ocorre segundo a lei:
P(t) = Po . e O,003' 6,
em que Po e a populac;:ao num determinado ano inicial ou ano-base, te 0 numero de anos pas-
sados a contar do ano inicial e e e a base do sistema neperiano de logaritrnos. Determinar:
a) a populac;:ao, 6 anos ap6s ela ter sido de 200000 habitantes;
b) quantos anos deverao passar para que a populac;:ao seja 0 dobro da do ano-base, admitin-
do que a taxa de crescimento se mantenha.
SolUfiio
a) Queremos P(6), sabendo que Po = 200000.
P(6) = 200000· eO,003 . 6 ~ P(6) = 200000 . 1,018163 = 203632
Ap6s 6 anos a populac;:ao sera de aproximadamente 203 632 habitantes.
b) Queremos a populac;:ao duplicada.
Seja to numero de anos tal que esse fato ocorra. Assim sendo, 0 valor de P( t) devera ser
2 . Po, ou seja:
2 . Po = Po . eO,03' t
Simplificando os dois membros por Po, que e urn nlimero positivo, obtemos:
2 = eO,03' t CD
Veja que a simplificac;:ao feita nos proporcionou uma equac;:ao que nao depende de Po, ou
seja, a populac;:ao do ano inicial pode ser qualquer uma.
Aplicando logaritmos decimais nos dois membros de CD 'temos:
log 2 = log eO,03' t ~ 0,03 . t· log e = log 2
215

222. Substituindo log e por 0,434294, encontramos:
t -- log 2 -t-- 0,30103- --'-------- ~ t = 23,1
0,03 . 0,434294 0,013 029
A populac;:ao sera 0 dobro da atual ap6s pouco mais de 23 anos.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
21. Se a populayao de certa regiao cresce segundo a lei:
P(t) = Po . eO,02· t
em que Po e a populayao, num ana inicial qualquer, teo numero de anos apos 0 ano-base e ao qual
corresponde a populayao P(t), determine:
a) a populayao, 8 anos depois de ter ti~o 500000 habitantes.
b) se em 1980 a populayao era de 350000, qual foi a populayao em 1994?
c) depois de quantos anos (numero inteiro) podemos garantir que a populayao duplicou?
22. A populayao de uma dada regiao cresce exponencialmente segundo a lei:
P(t) = 600 000 . eO,025· t
Pergunta-se:
a) Qual a populayao daqui a 20 anos?
b) Qual a populayao daqui a 40 anos?
c) Em quanta tempo, aproximadamente, a populayao dessa regiao triplicara.?
23. Em uma aula de Biologia, um aluno, observando uma cultura de bacterias, fez as seguintes anotayoes:
_ - - - - - - 3 - : - 0 0 - - - - - - - - - - - 4 - : - : 0 - - - -
Sabendo que 0 crescimento dessa cultura obe-
dece alei:
o(t) = 0 o. ek . t
determine:
a) 0 valor de k.
b) a quantidade de bacterias prevista quando 0
tempo for de 25 minutos.
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'".§
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~
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:>
o
u
c:
'"E
'"lL
Exemplo 3
Numa aplicac;:ao de poupanc;:a foi colocada uma import:llcia de R$ 240.000,00. Sabe-se que
a lei que mostra 0 total de dinheiro que nela existe e dada por:
M(t) = C· (1,25)t,
em que teo numero de anos de aplicac;:ao, Ceo capital aplicado e Me 0 montante ou 0 to-
tal final. Determine:
a) 0 montante, ap6s 4 anos de aplicac;:ao;
b) em quantos anos 0 capital triplicara nessa aplicac;:ao.
216

223. Soluftio
a) Achar M(4).
Temos que:
M(4) = 240.000,00 . 1,254
=> M(4) = 240.000,00 . 2,4414 =>
=> M(4) = 585.936,00
o montante final sera de R$ 585.936,00.
b) Achar 0 numero de anos em que 0 capital triplicara.
Seja to m'tmero de anos para que isso ocorra. Assim sendo: M(t) = 3 . C. Portanto:
3 . C = C' 1,25t
Eimportante notar que na senten<;:a acima 0 tatar C pode ser simplificado, portanta a solu-
<;:ao do problema nao depende de "quanto" foi aplicado inicialmente. Temos:
1,25t
= 3
Aplicando logaritmos decimais nos dois membros, encontramos:
t log 3
log 1,25 = log 3 => t· log 1,25 = log 3 => t = ---="-----
log 1,25
0,477121
----'----- = 4,9
0,096910
o capital devera ficar aplicado por 5 anos (arredondado para cima).
EXERCiclO PROPOSTO
24. Uma aplicayao de poupanya e atualizada segundo a seguinte lei:
M(t) = C· 1,31
,
em que teo numero de anos, Ceo dinheiro aplicado e M, 0 montante.
a) Ache M quando C = AS 24.000,00 e t = 5.
b) Ache 0 menor numero de anos tal que M(t) atinja 0 valor 4C.
Exemplo 4
Num processo de decaimento radioativo, a quantidade residual Qde uma substancia varia em
hm<;:ao do tempo conforme a seguinte lei:
Q(t) = 1200 . e-0,0002' t,
em que 1 200 gramas era a quantidade inicial e t, 0 tempo em anos. Determinar a quantida-
de da substancia ap6s 150 anos.
SolUftio
Queremos encontrar Q(150). Portanto temos:
Q(150) = 1200 . e-0.0002· 150 => Q(150) = 1200 . 0,970 = 1 164
Entao a quantidade sera de 1 164 graI11as.
EXERCiclO PROPOSTO
25. Num processo de decaimento radioativo, a quantidade residual Q de uma substancia varia conforme
a seguinte lei:
Q(t) = Qo' e-0
•
OO03
· t , em que teo numero de anos.
a) Ache Q(800), para Q o = 680 gramas.
b) Se para t = 500 tivermos Q(t) = 379, determine Qo-
217

224. RELEMBRANDO CONCEITOS _
Mudan~ para a base 10
C:ilculo com logaritmos decimais
ou
log a
para a > 0, b > 0 e b "* l.
log b '
log a = c + 0, ...
em que c e a caracteristica do logaritmo e mea mantissa, com 0 ~ m < 1.
Propriedade irnportante
Se log a = c + 0, ... , entio, para N inteiro, tem-se que:
log (ION. a) = log ION + log a = N + c + 0, ... = (N + c) + 0,...
ou seja, os logaritmos de a e de (ION. a) possuem a mesma mantissa.
Determina~aoda mantissa do log a = c + 0, ...
Feita diretamente na tabua de logaritmos.
Determina~ao da caracteristica do log a = c + 0, ...
1Q caso: a> 1
A caracteristica ceo numero de algarismos da parte i.nteira de a, menos uma unidade.
2Q
caso: 0 < a < 1
A caracteristica e0 numero de zeros iniciais de a, com 0 sinal trocado.
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
26. Sendo log2 x = 1,38, calcule log x.
27. Sabendo que x = 151000
, diga quantos algarismos possui 0 numero x. (Sugestao: aplique logaritmos
decimais e analise a caracterfstica.)
28. Sabendo que log 3,52
= 1,088136, calcule 0 valor de N = log 350 + log 352.
29. Calcule 0 valor de P nos casos seguintes:
1
a) P = 629 4
30. Numa certa calculadora, quando voce fornece um numero negativo ou nulo e pressiona a tecla log,
ela simplesmente "trava" e nao executa mais nada ate que seja "destravada". Suponha que voce for-
neva a essa calculadora um numero N inteiro e positivo. Quantas vezes voce pode apertar seguida-
mente a tecla log antes que a calculadora "trave", nos casos seguintes:
a) N = 100? c) N tem seis algarismos?
b) N = 10? d) N tem tres algarismos?
31. Na calculadora do exercfcio 30, forneceu-se um numero N e a calculadora ''travou'' ao pressionarmos
tres vezes seguidas a tecla log. Determine entre quais potencias de 10 esta 0 numero N.
218

225. 32. A popula<;:ao de uma cidade aumenta segundo a lei P(t) = Po . 1,03
1
, em que: Po e a popula<;:ao num
ano qualquer, teo numero de anos ap6s 0 ano-base e P(t) e a popula<;:ao t anos ap6s aquele em
que ocorreu Po.
a) Se em 1981 a popula<;:ao era de 600 000 habitantes, qual foi a popula<;:ao em 1992?
b) Se em 1990 a popula<;:ao foi de 671 968, qual era a popula<;:ao em 1980?
c) De quantos em quantos anos a popula<;:ao dessa cidade dobra?
33. Ao estudar uma cultura de bacterias, um pesquisador determinou a seguinte tabela:
_
•• • f - - - - - - _
O
8------1
•• •••. 2400 3600
Supondo que 0 numero de bacterias aumente segundo a lei O(t) = 0 0 . ek
• I, em que 0 0 e 0 valor
inicial, determine:
a) 0 valor de k.
b) 0 nurnero previsto de bacterias ap6s 12 minutos do tempo inicial.
TESTES _
34. Sabendo que log N = -1,309804, entao a caracterfstica e a mantissa do logaritmo de N sao, res-
pectivamente:
a) -1 e 0,309804
b) -2 e 0,309804
c) -1 e 0,690 196
d) -2 e 0,690 196
e) 0 e 0,309804
35. (F. M. Santa Casa-SP) Admitindo-se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, os valores da caracterfstica e da
mantissa de log 0,45 serao, respectivamente:
a) -1 e 0,66 c) -1 e 0,34 e) 0 e 0,34
b) -1 e 0,54 d) 0 e 0,66
36. (U. E. Ponta Grossa-PR) Sendo log 2 = 0,30
10
a) log6 10 = 77
1
b) log6 10 = 77
1
c) log6 10 = - -
0,141
e log 3 = 0,47, entao:
100
d) log6 10 = 77
1
e) log6 10 = --14,1
log2 0,6
37. (UFSE) Sao dados log10 2 = 0,30 e IOg10 3 = 0,48. 0 valor de x = log2 10 e:
a) -0,22 b) -0,12 c) -0,08 d) 0,88 e) 1,02
38. (Unifor-CE) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, entao log 54 e igual a:
a) 1,74 b) 1 c) 0,43 d) 0,41 e) 0,03
39. Sabendo que log 20 = 1,301 03
a) 2,07189
b) 2,07919
e que log 0,6 = 1,77815, 0 valor de log 120 e:
c) 0,77815 e) 12
d) -13,16914
219

226. e) 2 vezesc) 3 vezes
d) 4 vezes
40. Numa certa calculadora cientffica, quando voce tenta encontrar 0 logaritmo de um numero negativo
ou nulo, ela da uma mensagem de erro. Suponha que nessa calculadora voce digite 0 numero
987654321 e pressione seguidamente a tecla log x. A mensagem de erro aparecera ap6s essa tecla
ser pressionada:
a) 9 vezes
b) 5 vezes
41. Na mesma calculadora do teste 40, voce digita um numero inteiro e, ap6s pressionar tres vezes a
tecla log x, apareceu a mensagem de erro. Se 0 numero digitado por voce fosse multiplicado por 10
e a tecla log x fosse pressionada seguidamente, a mensagem de erro apareceria ap6s pressionar:
a) 10 vezes c) 3 vezes e) 4 vezes
b) 13 vezes d) 7 vezes
42. (Imes-SP) Sendo log 2 = 0,301 °e log 3 = 0,477 1, 0 valor mais pr6ximo de log -J216 e:
a) 3,3343 c) 1,3343 e) 0,1671
b) 2,3343 d) 1,1680
43. (Unifor-CE) Utilizando-se a tabela ao lado,
conclui-se que 0 valor de V10 e:
a) 0,3
b) 1,26
c) 1,58
d) 1,99
e) 2,51
N
1,26
1,58
1,99
2,51
3,16
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
220

227. Caplt 10
o Na~6es sabre
Matematica Financeira
I. Porcentagem
Ao ler jomal, ao ouvir radio
ou assistir teve, e comum encon-
trarmos noticias como esras:
A LOJA P€CJ{INCHAo
esT/{ DNJDO UM IJESC(YflO
PROMOCIONAL f)E 25"%
NOS SBJS PREpas NIl
SGMIWA {)(} ClJNSVMIlXJf?
OKm
R$2QOOO
-AVISTA:
24'%.-
oesGC)P-4TO
Exemplo 1
A figura ao lado mostra uma
promos:ao numa revenda de car-
roS. Nessa promos:ao, esta sendo
dado urn desconto de 24% para
pagamento avista. Quanto cus-
ta, avista, 0 carro anunciado?
Vamos entender 0 que significa cada uma dessas noticias.
A primeira informa que, para cada R$ 100,00 que se gasrava de gasolina, houve urn acres-
cimo de R$ 4,00, passando-se a gastar R$ 104,00.
A segunda noticia informa que, para cada 100 eleitores existentes no ana anterior, hoje
existem 85.
A terceira informa que, na loja Pechinchao, na Semana do Consumidor, de cada R$ 100,00
comprados, somente R$ 75,00 serao pagos, pois R$ 25,00 representam 0 desconto.
A quarta informa que, para cada R$ 100,00 aplicados, houve urn rendimento de R$ 6,00
no meso
Problemas que envolvem situas:6es como essas sao tipicos de porcentagem.
Vejamos alguns exemplos.
221

228. SolUfiio
A taxa de desconto ede 24%. Isso significa que, em cada 100 reais marcados, serao descon-
tados 24.
Uma regra de tres simples e direta resolve nosso problema:
Entao:
Pres;o marcado (R$)
I 100,00
20.000,00
Desconto (R$)
1 24,00
x
100,00 = 24,00
20.000,00 x
1 24,00
=} - - = =} x = 4.800,00 (desconto total)
200 x
0,24 X R$ 20.000,00 = R.$ 4.800,00
ou
~ X R$ 20.000,00 = R$ 4.800,00
100
0,76 X R$ 20.000,00 = R.$ 15.200,00
o prec;:o avista sera, pOI-tanto:
R$ 20.000,00 - R$ 4.800,00 = R$ 15.200,00
Observas;oes
1. Calcular 24% (ou ~ ) de R$ 20.000,00 e0 mesmo que multiplicar 0,24 ou 24 por
100 100
R$ 20.000,00. Assim:
2. 0 prec;:o avista poderia ser epcontrado de modo mais direto lembrando que, se em cada
R$ 100,00 sao descontados R$ 24,00, entao, para cada R$ 100,00, serao pagos somente
R$ 76,00. Assim sendo, 0 prec;:o avista e encontrado calculando-se 76% de R.$ 20.000,00,
ou seja:
Exemplo 2
Um debito de R$ 60.000,00 foi pago ap6s 0 vencimento. Por causa disso houve um acresci-
mo de 2% no prec;:o, a titulo de Juros e multa. De quanto foi 0 pagamento?
SolUfiio
ovamente recorreremos a uma regra de tres simples e direta:
Entao:
Pres;o marcado (R$)
100,00
60.000,00
Acrescimo (RS)
2,00
x
_1_0_0-,-,0_0_ = _2_,0_0_ =} _1_ = _2_,0_0_ =} x = 1.200,00 (acrescimo)
60.000,00 x 600 x
Assim, houve um acrescimo de R$ 1.200,00 portanto, 0 pagamento feito foi de:
R$ 60.000,00 + R$ 1.200,00 = R$ 61.200,00
Observas;ao: 0 resultado poderia ser obtido diretamente, calculando-se (100 + 2)%, ou seja,
102%, ou ainda 1,02 de R$ 60.000,00. Assim:
1,02 X R$ 60.000,00 = R$ 61.200,00
222

229. EXERCiclOS PROPOSTOS
1. Determine:
a) 25% de 300
b) 12% de R$ 6.000,00
2. Determine:
a) 35% de 1,2
c) 1,5% de 100
d) 100% de 5,4
b) 5% de 20%
e) 120% de 15
I) 30% de 15%
c) 50% de 50%
3. Um autom6vel de R 18.000,00 foi comprado, avista, com desconto de 16%. Determine:
a) de quanta foi 0 desconto. b) quanta loi pago avista.
4. Uma mercadoria de R$ 120,00 loi paga depois do vencimento com uma multa de 10%. Quanto se
pagou no total?
5. Na venda de certo produto ha um imposto de 10%. Sobre esse imposto, 0 governo pretende cobrar
mais 5%. Admitindo-se que isso ocorra, determine a porcentagem do imposto total sobre a venda.
6. A loja A vende uma mercadoria de R$ 4.000,00 com 30% de desconto para pagamento avista. A 10-
ja B vende a mesma mercadoria por R$ 3.500,00, mas dando s6 25% de desconto para pagamento
avista. Em qual das duas lojas emelhor neg6cio comprar? Quanto em dinheiro vai se lucrar com-
prando-se nessa loja?
7. Qual das olertas seguintes emais vantajosa para 0 comerciante:
a) vender uma mercadoria com 25% de desconto avista?
b) vender com 1 mes de prazo para pagamento e trocando a duplicata por dinheiro, no mesmo dia
da venda, num banco que cobra 25% do total da duplicata?
8. Um revendedor de maquinas agrfcolas anuncia um trator por R$ 60.000,00, dando um desconto de
20% para pagamento avista. Em outro revendedor concorrente, 0 mesmo trator esta marcado com
o prec;:o de R$ 64.000,00. Para que a segunda loja possa vender, avista, pelo mesmo prec;:o da pri-
meira, qual a porcentagem de desconto a ser dada?
Exemplo 3
Sabe-se que numa sala de aula 20% dos estudantes sao meninos. Determinar 0 total de estu-
dantes nas seguintes situac;:6es:
a) existem 12 meninos b) existem 32 meninas
223

230. 20
12
Meninos
x = 1200 => x = 60.
20
x
100 20--=--=>
x 12
Total (estudantes)
100
Temos:
SolUfao
a) existem 12 meninos
Temos a seguinte regra de tres simples e direta:
Assim concluimos que 0 total de estudantes e60.
b) existem 32 meninas
Se 20% sao meninos, entao 80% sao meninas. Assim, temos:
Total (estudantes)
100
x
Meninas
80
t 32
100 80 3200
Temos: - - = -- => x = - - - => x = 40.
x 32 80
Assim concluimos que existem 40 estudantes no total.
EXERCICIOS PROPOSTOS _
9. Determine 0 numero N nos casos seguintes:
a) 36 e15% de N
b) 6 e24% de N
c) Ne 12% de 48
d) 20 eN% de 80
e) 4,5 eN% de 15
f) Ne 1,5% de 45
10. Ache 0 numero de habitantes de uma cidade nos casos a seguir:
a) 42% dos habitantes sao do sexo masculino e 116000 do sexo feminino.
b) os 312000 do sexo feminino correspondem a 39% do total.
11. Ao comprar uma mercadoria com 25% de desconto, economizei RS 18,50. Qual era 0 pre90 da mer-
cadoria e quanta foi pago por ela?
Exemplo 4
Num certo mes uma telefonista recebeu R$ 600,00 de salario. No mes seguinte, seu salario
foi reajustado em 30%, mas como foi descontado x% relativo as suas faltas, ela acabou rece-
bendo apenas R$ 702,00. Determinar x.
SolUfao
Se a telefonista naa tivesse faltada, teria recebido:
R$ 600,00 + 0,30 X R$ 600,00 = R$ 780,00
o desconta referente as faltas foi, partanto:
R$ 780,00 - R$ 702,00 = RS 78,00
224

231. A regra de tres simples e clireta resolve nosso problema:
Total (R$)
1
780,00
100,00
Desconto (R$)
178~0
Temos: 780,00 = 78,00
100,00 x
o desconto foi de 10%.
780
~--=
100
78,00 ~ x = 10,00
x
Exemplo 5
Na venda de urn produto, urn comerciante desonesto cobrou de urn consumidor R$ 40,00,
mas nao forneceu a devida nota fiscal. Dessa forma, 0 comerciante "embolsou"· os 18% desse
valor, relativos ao ICMS (Imposto sobre Circula~ao de Mercadorias e Servi~os). Sabendo que
o lucro do comerciante deveria ser de 25% sobre 0 custo da mercadoria, determinar:
a) 0 valor do imposto sonegado
b) qual foi 0 custo da mercadoria
c) a porcentagem real de lucro do comerciante
SolUfiio
a) 0 valor do imposto sonegado
o imposto devido era de: 0,18 X R$ 40,00 = R$ 7,20
b) qual foi 0 custo da mercadoria
Chamando 0 custo da mercadoria de C, temos:
Custo
C +
Lucro
I 0,25· C I + imposto
Venda
40,00
Como 0 imposto ede R$ 7,20, temos:
C + 0,25 . C + 7,20 = 40,00 ~ 1,25 . C = 32,80 ~ C = 26,24
o custo foi de R$ 26,24.
c) a porcentagem real de lucro do comerciante
o lucro do comerciante deveria ser de:
R$ 32,80 - R$ 26,24 = R$ 6,56
Quando ele sonegou 0 imposto ao nao fornecer a nota fiscal, seu lucro passou a ser de:
R$ 6,56 + R$ 7,20 = R$ 13,76
Dessa forma temos a seguinte regra de tres simples e clireta:
Assim:
Sobre (em R$)
1
26,24
100,00
Lucrou (em RS)
113~6
26,24 = 13,76 ~ 2624 = 13,76 ~ 2624 X x = 1.376,00 ~ x = 52,44
100,00 x 100 x
225

232. o lucro do sonegador passou a ser de quase 52,44.
Por isso, sempre ao comprar, exija nota fiscal, pois ecom 0 dinheiro dos impostos que 0
governo constr6i hospitais, escolas etc.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
12. Sabendo que 0 ICMS relativo a venda de certa mercadoria corresponde a 18% de seu prec;o, quan-
to um comerciante desonesto sonega de imposto ao vender a mercadoria por R$ 150,00 e nao emi-
tir a respectiva nota fiscal?
13. Um comerciante, ap6s efetuar a venda de certa mercadoria, emitiu a devida nota fiscal. Sabendo que
o ICMS devido corresponde a 18% sobre 0 valor da venda e que 0 imposto totalizou R 27,00, deter-
mine 0 prec;o da mercadoria vendida.
14. No mes de outubro um funcionario recebeu R$ 800,00. No mes seguinte 0 salario dele foi reajusta-
do em 32%. Mas como houve um desconto de x% de vales de antecipac;6es de pagamento, 0 fun-
cionario acabou recebendo a importancia de RS 992,64. Determine x.
15. Sobre uma conca de RS 54.000,00, vencida mas nao paga, 0 devedor foi multado em 20%. Ap6s cer-
to tempo sem que houvesse 0 pagamento, devedor e credor chegaram a um acordo, com 0 credor
oferecendo um desconto sobre 0 total da dfvida.
a) Quanto 0 devedor acabaria pagando se 0 desconto dado fosse de 5%?
b) Qual seria a porcentagem do desconto se 0 devedor pagasse R$ 59.616,00?
16. Veja a tabela abaixo com os dados sobre os vencimentos de Antonio e Pedro num determinado meso
960,00
Determine:
a) x % relativo as faltas de Antonio
b) y % correspondente ao aumento de Pedro
y% RS 48,00 1.200,00
17. Um comerciante decide fazer uma promoc;ao e reduz seus prec;os em 10%. Depois se arrepende e
resolve remarcar os prec;os com um acrescimo de 10%. as novos prec;os sao maiores, menores ou
iguais aos iniciais? Em que percentual?
18. Sabendo que 0 IPMF, "0 imposto do cheque", representava uma cobranc;a de 0,25% sobre 0 valor de
cheques emitidos, determine a quantia relativa ao IPMF cobrada na emissao de um cheque no va-
lor de R$ 8.000,00.
19. Sabendo que 0 IPMF relativo a um cheque foi de R$ 1.612,50, de quanta foi 0 cheque?
20. Quando voce descontava no banco um cheque no valor de R 120.000,00, voce pagava 0,25% so-
bre essa quantia de IPMF. Nessas condic;6es, qual e a porcentagem correspondente ao IPMF sobre
o valor Ifquido recebido?
Exemplo 6
Num certo pais, a infla<;ao acumulada em 2 meses foi de 78,2%. Determinar:
a) a infla<;ao do 2Q
mes, sabendo que a do 1Q foi de 32%.
b) a infla<;ao do 1Q mes, sabendo que a do 2Q
foi de 35%.
226

233. Solufao
a) a inflar;:ao do 29 mes
Chamando de x a inflar;:ao do 2Q
mes, temos:
Mes padrao
I 100 I
19 mes
132
com 32%
178,2
com x%
Do 1Q mes para 0 2Q, houve um aumento de:
178,2 - 132 = 46,2
A regra de tres simples e direta resolve nosso problema:
Em
132
100
Entao:
Aumento
46,2
x
132 46,2
--=--~x
100 x
A inflar;:ao do 2Q
mes [oi, portanto, de 35%.
b) a inflar;:ao do 1Q mes
Chamando de x a inflar;:ao do 1Q mes, temos:
46,2 . 100 = 35
132
Mes padrao
I 100 I
l Q
mes
100 + x
com x%
29 mes
100 + x + 0,35 . (100 + x)
com 35 %
Como a inflar;:ao acumulada foi de 78,2 %, temos:
100 + x + 0,35 . (100 + x) - 100 = 78,2 ~ x + 35 + 0,35 . x = 78,2 ~
~ 1,35 . x = 43,2 ~ x = 32
A inflar;:ao do 1Q mes foi de 32%.
Exemplo 7
VOla academia de ginastica e freqiientada
por 400 alunos, dos quais 20% sao homens.
Depois de uma promor;:ao, 0 numero de alu-
nas aumenta e a porcentagem de homens cai
para ] 6%. Quantas mulheres comer;:aram a
freqiientar a academia depois da promor;:ao?
227
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Ol
~a:
.2
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234. Solurao
Frequentavam inicialmente a academia:
0,20 X 400 = 80 homens
0,80 X 400 = 320 mulheres
Chamando de x 0 numero de mulheres que entraram depois da promo<;:ao, a situa<;:ao £leou assim:
80 homens
320 + x mulheres
Total: 400 + x
Como 16% desse total sao homens e, como sabemos, existem 80 deles, temos:
0,16 . (400 + x) = 80 ~ 64 + 0,16 . x = 80 ~ 0,16 . x = 16 ~ x = 100
Assim sendo, entraram 100 mulheres a mais.
EXERCICIOS PROPOSTOS
21. Num certo pais, a inflac;:ao nos ultimos 4 meses foi de 32%, 33%, 34% e 34%. Determine a inflac;:ao
acumulada nesses 4 meses.
22. Num certo pais, a'inflac;:ao acumulada nos ultimos 3 meses foi de 86%. Determine:
a) a inflac;:ao do 3Q
mes, sabendo que a do 1Q foi de 20% e a do 2Q
, 25%.
b) a inflac;:ao do 2Q
mes, sabendo que a do 1Q
foi de 20% e a do 3Q
, 24%.
23. A figura mostra um tanque que contem 400 ede
agua e 100 ede 6leo, 0 qual, por ser menos
dense que a agua, fica na parte de cima, e a
agua no fundo, de modo que, abrindo-se a tor-
neira, saira somente agua. Determine quantos
Iitros de agua devem sair de tal forma que 0 61eo
corresponda a 25% do total do Iiquido restante.
Agua
24. Na China, existem atualmente cerca de 750 ur-
sos panda, especie em extinc;:ao. Desse total,
52% sao femeas e 0 restante, machos.
Suponhamos que elas comecem a morrer, de tal
modo que 0 numero de femeas restantes repre-
sente apenas 25% do total de animais sobrevi-
ventes. Determine:
a) quantos sao os machos;
b) quantas femeas morreram;
c) quantas sobreviveram.
Ursa panda.
228

235. 25. Urn comerciante colocou etiquetas em seus produtos, mostrando os prer;:os de venda, calculados
com urn lucro de 25% sobre 0 custo. Desejando numa remarcar;:ao garantir urn lucro de 30% sobre
o custo, determine 0 percentual de aumento nos prer;:os das mercadorias.
2. Juros
Consideremos a seguinte questao:
A imporrancia de R$ 600,00 e aplicada numa instituic;ao financeira ataxa de 6% ao mes
(a.m.), durante 3 meses. Qual 0 montante apos esse tempo?
Problemas desse tipo, assim como outros sobre aplicac;6es financeiras, descontos etc., sao
muito comuns nos dias de hoje.
Entendendo por juro 0 pagamento feito pela utilizac;ao do dinheiro aplicado, 0 problema
dado e urn tipico problema de caIculo de juros.
Existem duas formas de 0 problema ser encarado:
a) as juros so serao acrescentados ao capital inicialmente aplicado apos 0 termino da apli-
cac;ao. Nessas condic;6es dizemos que estamos calculando juros simples.
b) as juros serao incorporados ao capital apos cada periodo de tempo (no exemplo dado,
o periodo de tempo e de 1 mes). Nessas condic;6es dizemos que estamos calculando juros
compostos.
Juros simples
o problema apresentado anteriormente, temos:
• capital aplicado R$ 600,00
• taxa %ao mes 6% ao mes, ou 0,06 ao mes}
Mesma unidade de tempo
• tempo em meses 3 meses
Temos que:
• apos 0 1Q periodo, os juros serao: 0,06 . R$ 600,00 = R$ 36,00
• apos 0 2Q
periodo, os juros serao: R.$ 36,00 + R$ 36,00 = RS 72,00
• apos 0 3Q
periodo, os juros serao: R$ 72,00 + R$ 36,00 = R$ 108,00
Assim, 0 montante (capital mais rendimentos) sera de:
R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00
Vamos generalizar, deduzindo uma formula para calcular os juros simples.
Sejam:
{
c = capital aplicado
i = taxa % por periodo de tempo
t = numero de periodos de tempo
Entao, temos:
• apos 0 1Q periodo, 0 total de juros sera: C· i;
• apos 0 2Q
periodo, 0 total de juros sera: C· i + C· i;
• apos 0 3Q periodo, 0 total de juros sera: C . i + C· i + C· i;
• apos 0 t-esimo periodo, 0 total de juros sera: C· i + C' i + ... + C· z.
t parcelas
Assim, a formula qm:"ltt>rnece 0 total de juros simples e:
229

236. 12
o montante final ede:
Vamos resolver novamente nosso problema, utilizando as f6rmulas citadas.
Calculando os juros simples, temos:
j = R$ 600,00 . 0,06' 3 = R$ 108,00
o montante sera de:
M = C + j = R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00
Vejamos mais alguns exemplos.
Exemplo 1
Vma pessoa aplica a ters;a parte do seu capital a 5% ao mes, a quarta parte a 8% ao mes e 0
restante a 6% ao meso No fim do mes recebe R$ 1.480,00 de rendimentos. Calcular 0 capital
inicial.
Solufao
Chamando de C 0 capital, temos:
• C foi aplicado a 5% a.m.
3
• C foi aplicado a 8% a.m.
4
Entao resta a ser aplicado (a 6% a.m.):
C __C __C=_1_2_'_C_-_4_'_C_-_3_'_C 5_'_C_
3 4 12
Assim sendo, ap6s 1 mes tem-se:
5 C 8 C 6 5·C-- ' - + -- , - + -- . - - = 1.480 00
100 3 100 4 100 12 '
Multiplicando os dois membros da equaS;ao anterior por 1 200, encontramos:
20· C + 24 . C + 30 . C = 1.776.000,00
portanto:
C = 24.000,00
Assim, concluimos que 0 capital inicial era de R$ 24.000,00.
Exemplo 2
Determinar em quanto tempo urn capital quadruplicara a juros simples quando aplicado a
10% ao meso
Solufao
Chamando de to numero de meses para que urn capital C quadruplique, temos que os juros
produzidos sao 0 triplo do capital inicial, ou seja, j = 3 . C.
Portanto:
j = C· i· t => 3, C = C· i' t => 3 . C = C, 0,10 . t => 0,10 . t = 3 => t = 30
o tempo necessario ede 30 meses, ou seja, dois anos e meio.
230

237. EXERCiclOS PROPOSTOS _
26. Calcular os juros simples produzidos por um capital de RS 36,000,00 quando aplicado:
a) a 8% a,m, em 5 meses
b) a 6,5% a,m, em 2 meses
c) a 8% a,m" na terga parte de um ana
d) a 5,5% a,m, em meio ana
e) a 20% ao ana em 1 ana
f) a 0,5% ao dia em 18 dias
27. Um capital de R$ 60,000,00 foi aplicado a juros simples, Determine a taxa de aplicagao, sabendo que:
a) ele rendeu R$ 12,000,00 em 2 meses,
b) ele rendeu R$ 36,000,00 em 4 meses,
c) ele produziu um montante de R$ 78,000,00 em 2 meses,
d) ele rendeu R$ 1,200,00 em 2 dias,
28. Calcule 0 montan,te de um capital de R$ 6.400,00 aplicado a juros simples, nos casos seguintes:
a) depois de 6 meses, a 7,5% a,m,
b) depois de um quarto de ano, a 5,2% a,m,
c) depois de 8 dias, a 0,5% ao dia,
29. Calcule 0 tempo em que um capital de R$ 240,000,00 ficou aplicado a juros simples, de modo a:
a) ter rendido R$ 76,800,00, a 8% ao mes,
b) ter rendido R$ 8,640,00, a 0,4% ao dia,
c) ter duplicado, a 5% ao mes,
d) ter produzido um montante de R$ 360,000,00, a 10% ao mes,
30. Determine 0 capital que, aplicado a juros simples:
a) rende R$ 12,240,00, a 8,5% ao mes, em 4 meses,
b) rende R$ 48,000,00, a 30% ao ano, em 2 anos,
c) produz um montante de R$ 79,200,00, a 0,4% ao dia, em 25 dias,
31. Um capital C, aplicado a juros simples, triplicou em 16 meses, A que taxa % ao mes foi aplicado?
32. Para que um capital, investido a juros simples, duplique a 10% a,m" ele deve ficar aplicado durante
quanta tempo?
Juros compostos
Quando estudamos juros simples, calculamos a montante produzido par R$ 600,00, apli-
cados a 6% a,m" depois de 3 meses, Obtivemos um montante final de R$ 708,00,
No entanto emuito mais COmUlTI as aplica<;:6es serem feitas a juros compostos, au seja,
apos cada pedodo de tempo, as juros sao integrados ao capital, passando tambem a render ju-
ras, como, par exemplo, nas cadernetas de poupan<;:a.
Vamos refazer aquele problema, utilizando juros compostos:
• apos a 1Q periodo (mes), a montante sera.:
1,06 . R$ 600,00 = R$ 636,00
• apos a 2Q
pedodo (mes), a montante sera.:
1,06' R$ 636,00 = R$ 674,16
• apos a 3Q
periodo (mes), a montante sed.:
1,06 . R$ 674,16 = R$ 714,61
Esse ea montante final, representado par M.
Observe que esse montante emaiar do que a achado anteriormente, quando utilizamos
juros simples.
231

238. Assim, como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma formula para 0 d.lculo de
juros compostos.
Sejam:
{
C = capital inicial
i = taxa %por perfodo de tempo
t = numero de periodos de tempo
M = montante final
Entao:
• apos 0 1Q
periodo (mes), 0 montante sera: M 1 = C + i· C ~ M 1 = C' (1 + i);
• apos 0 2Q
periodo (mes), 0 montante sera: M2 = Mj + i· Mj ~ M2 = M1 • (1 + i) =>
~ M2 = [C' (1 + i)] . (1 + i) ~ M2 = C' (1 + i?;
• apos 0 3Q
periodo (mes), 0 montante sera: M3 = M2 + i· M2 ~ M3 = M2 • (1 + i) ~
~ M3 = [C' (1 + i)2] . (1 + i) ~ M3 = C' (1 + i)3.
Procedendo de modo analogo, efieil conc1uir que, apos t periodos de tempo, 0 valor Mt>
que indicaremos simplesmente por M, sera:
I-M-=-C-'-(l-+-i)-t--'I
Assim, resolvendo novamente 0 problema dado, temos:
M = R$ 600,00' (1 + 0,06)3 ~ M = R$ 600,00 . 1,191 016 ~ M = R$ 714,61
Observa~o: na formula para 0 calculo de M aparecem quatro variaveis. Podemos encontrar
qualquer uma delas, desde que se conher;:am as outras tres.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1
as juros produzidos pela caderneta de poupanr;:a sao juros compostos, pois, apos cada mes,
os juros sao incorporados ao capital. Nessas condir;:6es, qual 0 montante produzido por
R$ 720.000,00, em 4 meses, a 10% ao mes?
Solurao
Temos: M = C' (1 + i)t, em que:
{~: ~ 720.000,00
i = 10% ou 0,1 ao mes} Mesma unidade de tempo
t = 4 meses
Entao:
M = R$ 720.000,00 . (1 + 0,1)4 ~ M = R$ 720.000,00 . 1,4641 = R$ 1.054.152,00
o montante final sera de R$ 1.054.152,00.
EXERCICIO PROPOSTO
33. A quantia de R$ 60.000,00 foi aplicada a juros compostos. Determine 0 montante obtido:
a) depois de 2 meses, a 8% a.m. c) depois de 3 dias, a 0,2% ao dia.
b) depois de 4 meses, a 7% a.m. d) depois de um quarto de ano, a 10% ao mes .
232

239. Exemplo 2
Qual 0 capital que, aplicada em caderneta de poupan<;:a, produz um montante de
R$ 41.674,50 em 3 meses, a 5% aa mes?
Solurao
Temas: M = C' (1 + i)t ~ C = M em que:
(1 + i) t '
{
M = R$ 41.674,50
C =?
i = 5% ou 0,05 ao mes} Mesma unidade de tempo
t = 3 meses
Entia:
C = R$ 41.674,50
(1,05 )3
o capital aplicada eR$ 36.000,00.
EXERCICIO PROPOSTO
R$ 41.674,50 = R$ 36.000,00
1,157625
34. Determine 0 capital que, aplicado a juros compostos:
a) produz um montante de RS 13.996,80, em 2 meses, a 8% a.m.
b) produz um montante de RS 224.972,80, em 3 meses, a 4% a.m.
c) produz RS 5.730,48 de juros, em 3 meses, a 6% a.m.
d) produz RS 480,48 de juros, em 2 dias, a 0,2% ao dia.
Exemplo 3
Determi.l1ar em quantas meses um capital de R$ 240.000,00 produz R$ 37.830,00 de rendi-
mento, quando aplicada a juras campostas, a 5% ao meso
Solurao
Encontranda inicialmente a mantante final, temos:
M = R$ 240.000,00 + R$ 37.830,00 = R$ 277.830,00
Entia: M = C' (1 + i)t, em que:
{
M = R$ 277.830,00
C = R$ 240.000,00
i = 5% au 0,05 ao mes } M 'd d desma urn a e e tempo
t = ? meses
Assim:
Partanta:
~ (1 + 0,05/ = R$ 277.830,00
R$ 240.000,00
(1 + 0,05)t = 1,15763
233
1,15763

240. Aplicando logaritmos nos dois membros, temos:
t· log (1,05) = log 1,157 63 ~ t = log 1,15763
log 1,05
o capital ficou aplicado durante 3 meses.
0,06357
0,02119
= 3
Exemplo 4
Foram aplicados R$ 50.000,00 a juros compostos a 10% a.m. Determinar depois de quanta
tempo essa quantia rendeu R$ 23.205,00.
SolUfaO
Temos: M = C' (1 + i)t e M = C + j, em que teo tempo em meses.
Entao:
R$ 50.000,00' (1 + O,l)t = R$ 50.000,00 + R$ 23.205,00 ~
~ 50.000' (l,l)t = 73.205,00 ~ (l,l)t = 1,464 1
Aplicando logaritmos nos dois membros, encontramos:
t· log 1,1 = log 1,4641 ~ t =
o tempo de aplica~ao foi de 4 meses.
log 1,4641
log 1,1
0,16557 = 4
0,04139
EXERCiclOS PROPOSTOS _
35. Determine quanta tempo ticou aplicado um capital de RS 200.000,00 a juros compostos, nos seguin-
tes casos:
a) 0 mantante tai de R$ 292.820,00, a 10% a.m.
b) a mantante toi de R$ 203.015,02, a 0,5% ao dia.
36. Determine a tempo de aplicac;:ao de um capital de R$ 500.000,00 a juros compostos, de modo que:
a) a 8% a.m., renda juros de R$ 83.200,00.
b) a 0,5% ao dia, renda juros de R$ 5.012,50.
Exemplo 5
A que taxa percentual ao mes foi aplicado, em caderneta de poupan~a, urn capital de
R$ 300.000,00 para, na quarta parte do ano, produzir urn montante de R$ 347.287,50?
SolUfaO
Como 0 problema pede a taxa percentual ao mes, deveremos trabalhar com 0 tempo em
meses. Como a quarta parte do ana equivale a 3 meses, temos:
{
M = R$ 347.287,50
M = C' (1 + ·)t C = RS 300.000,00t , em que ,
i = ? % ao mes
t = 3 meses } Mesma unidade de tempo
Entao:
~ (1 + i)t = 347.287,50 ~ (1 + i)t = 1,1576
300.000,00
234

241. Aplicando logaritmos nos dois membros, temos:
log [(1 + i)3] = log 1,157 6 ~ 3 . log (1 + i) = 0,063 6 ~
~ log (1 + i) ~ 0,021 2 ~ (1 + i) = 1,05 ~ i = 0,05
A taxa foi de 5% ao meso
EXERCiclO PROPOSTO
37. A que taxa devem ser aplicados RS 120.000,00 a juros compostos, de modo a:
a) produzir um montante de RS 175.692,00 em 4 meses?
b) produzir um montante de RS 142.572,00 na sexta parte do ano?
c) render R$ 17.388,00 de juros em 2 meses?
d) render R$ 961,92 de juros em 2 dias?
RELEMBRANDO CONCEITOS _
Juros simples
J=C·i·t
M= C+ J
J= juros simples
C = capital aplicado
t = numero de periodos de tempo
i = taxa %por periodo de tempo
M = montante '
Juros compostos
M = C· (1 + i)t
M= C+ J
J= juros produzidos
C = capital inicial
t = numero de periodos de tempo
i = t<Lxa % par periodo de tempo
M = montante final
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
38. Determine:
a) (4%)2 de 600 b) 4% de 6002 c) (4% de 600) ao quadrado
39. 0 prec;:o do produto A e 65% do prec;:o do produto B, que representa 40% do prec;:o do produto C, que
custa R$ 130.000,00. Qual 0 prec;:o do produto A?
40. Um ciclista, avelocidade constante de v km/h percorre a
distancia desde a cidade A ate a cidade B em 10 horas.
Em que percentual devera aumentar sua velocidade
para fazer 0 mesmo percurso em 8 horas?
<h
o
15.c
0-
""~(fl
.;..c
c.
'"N
41. Sobre 0 prec;:o etiquetado de certa mercadoria foram feitas tres remarcac;:oes sucessivas (para cima) de
10% cada uma. Determine 0 percentual da remarcac;:ao total sobre 0 prec;:o original marcado na etiqueta.
235

242. 42. Se 0 prer;:o do combustivel foi reajustado duas vezes num certo mes, sendo 0 primeiro reajuste de
16% e 0 segundo, de 15%, determine 0 percentual do reajuste mensaI do prer;:o.
43. Quais das afirmar;:6es seguintes sao verdadeiras?
a) Ap6s 0 desconto de 15%, um produto passou a custar R$ 60.000,00. Seu prer;:o antes da remar-
car;:ao era de RS 69.000,00.
b) 20% de 40 €I 0 mesmo que 40% de 20.
c) Se a inflar;:ao de um certo mes foi de 30% e a do mes seguinte, de 32%, a inflar;:ao acumulada foi
de 62%.
d) 35% de 80% €I 28%.
e) 8% de 50% €I 0 mesmo que 40% de 10%.
44. Supondo a taxa de aplicar;:ao constante, assinale qual das opr;:6es seguintes €I mais vantajosa para
a aplicar;:ao de RS 500.000,00.
a) Durante 32 dias e receber de volta R$ 700.000,00.
b) Durante 40 dias e receber de volta RS 740.000,00.
45. Para que um capital C, colocado a juros simples durante 2 meses, a 22% ao mes, produza 0 mes-
mo rendimento de quando aplicado a juros compostos, durante os 2 meses, qual deve ser a taxa
% a.m. para a aplicar;:ao?
46. (Faap-SP) Uma certa loja faz a seguinte promor;:ao: "Compre sua televisao hoje por R$ 142.805,00
e n6s Ihe devolveremos 0 dinheiro daqui a 4 meses". Se a taxa de inflar;:ao €I de 30% ao mes, qual 0
desconto que esta sendo oferecido?
47. A tabela seguinte mostra as varias faixas para desconto do Imposto de Renda (IR) na fonte de paga-
mento, para janeiro de 1994:
Tabela para calculo do IR na fonte em janeiro
Ate 642,80
De 642,81 ate 1.253,46
De 1.253,47 ate 11.570,40
De 11.570,41 ate 99.999,99
isento
15
26,6
35
96,42
241,94
1.213,77
Determine 0 valor do IR a ser descontado na fonte de pagamento se 0 ganho da pessoa for:
a) de RS 350,00
b) de R$ 900,00
c) de R$ 1.500,00
d) Quanto recebera, ap6s descontado 0 IR, uma pessoa cujo salario €I de RS 780,00?
48. A devia a B a importancia de R$ 150.000,00 e efetuou 0 pagamento depositando a importancia na
conta de B. No entanto, quando B sacou 0 dinheiro de sua conta, pagou 0,25% de IPMF. Assim
sendo, para que B nao tenha side prejudicado, qual a quantia minima que A deveria depositar de mo-
do que B sacasse livre os RS 150.000,00?
49. (Fuvest-SP) Um recipiente contem uma mistura de leite natural e de leite de soja, num total de
200 e, dos quais 25% sao de leite natural. Qual €I a quantidade de leite de soja que deve ser acres-
centada a essa mistura para que ela venha a conter 20% de leite natural?
50. (Vunesp) A diferenr;:a entre 0 prer;:o de venda anunciado de uma mercadoria e 0 prer;:o de custo €I igual
a RS 2.000,00. Se essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% sobre 0 prer;:o anunciado,
dara ainda um lucro de 20% ao comerciante. Determine seu prer;:o de custo.
236

243. 51. Na arrecadagao do IPVA (Imposto sobre Propriedade de Vefculos Automotivos) de 1994, 0 governo
ofereceu para pagamento total antecipado (ate 14 de janeiro) um desconto de 32%. Para 0 pagamen-
to total com vencimento para 15 de fevereiro, 0 governo retirou 0 desconto.
a) Supondo que a taxa de aplicagao de dinheiro nesse perrodo fosse de 40% ao mes, seria mais
vantajoso 0 pagamento antecipado com desconto ou 0 pagamento sem desconto?
b) A partir de que taxa de aplicagao para 0 dinheiro 0 pagamento em 15 de fevereiro sem desconto
seria mais vantajoso? (Resposta com 2 "casas" decimais.)
TESTES
52. (Unisinos-RS) A taxa de evasao escolar no final do 1Q grau brasileiro e uma das mais altas do mun-
do: aproximadamente 70%. 0 Brasil tem um dos mais altos rndices de analfabetismo, entre os par-
ses subdesenvolvidos mais populosos. (/stoE, 20.10.93.)
LONGE DAS AULAS
Faixa etaria TOTAL 15 a 19 20 a 24 25 a 29 30 a 39 40 a 49 50 e mais
Populagao
analfabeta
17.732.692 1.405.489 1.276.786 1.227.484 2.750.534 3.178.937 7.893.399
Consultando os dados da tabela, pode-se afirmar que, aproximadamente:
a) 10,5% da populagao analfabeta esta na faixa etaria 20 a 24 anos.
b) 20,3% da populagao analfabeta esta na faixa etaria 40 a 49 anos.
c) 17,5% da populagao analfabeta esta na faixa etaria 30 a 39 anos.
d) 6,3% da populagao analfabeta esta na faixa etaria 15 a 19 anos.
e) 44,5% da populagao analfabeta tem 50 anos e mais.
53. (UFRS) Um negociante recebeu uma encomenda de 4,05 t de cafe torrado. Supondo que 0 cafe em
grao perea 19% de seu peso na torrefagao, quantas toneladas de cafe em grao precisa 0 negocian-
te torrar para atender exatamente aencomenda?
a) 3,28 b) 4,00 c) 5,00 d) 6,00 e) 7,69
54. (Osec-SP) Uma pessoa tinha um total de x balas para distribuir. Numa primeira etapa, distribuiu 25%
do total e, numa segunda, 40% do numero restante. Se sobraram 18 balas, 0 valor de x e:
a) 34 b) 37 c) 38 d) 40 e) 45
55. (UFPI) A fabricagao de um produto numa empresa foi de 120000 toneladas em 1990 e de 145200
toneladas em 1992. 0 aumento anual medio, na fabricagao desse produto, alcangado pela empresa
nesse perfodo foi:
a) menor que 8%
b) entre 8% e 11%
c) entre 12% e 15%
56. Numa fila, onde comprava ingressos para uma
final de campeonato de futebol, um torcedor
comenta que vai gastar RS 73,00 com 2 ingres-
sos para cadeiras numeradas e 5 para a arqui-
bancada, enquanto 0 companheiro ao lade vai
pagar R$ 74,00 por 4 ingressos para cadeiras
numeradas e 2 para a arquibancada. Podemos
afirmar, corretamente, que 0 prego do ingresso
para arquibancada e:
a) R' 16,00
b) R$ 7,00
c) R$ 8,00
d) RS 9,00
e) R$ 10,00
d) entre 16% e 19%
e) maior que 20%
237

244. 57. (Unifor-CE) Dos candidatos inscritos num concurso vestibular, sabe-se que 0 numero de mulheres
esta para 0 de homens na razao 11.A porcentagem de mulheres inscritas nesse concurso e:
a) 45% b) 42,5% c) 40% d) 39,5% e) 38%
58. (UFSE) Examine a tabela abaixo, que apresenta a variavao percentual do prevo da cesta basica em
relavao asemana anterior.
SEMANA I VARIA<;Ao
3~ semana de outubro
4~ semana de outubro
+8%
+5%
Nessas duas semanas, 0 aumento percentual em relavao a2~ semana de outubro foi de:
a) 13,4% b) 12,0% c) 9,8% d) 4,0% e) 1,12%
59. (Unifor-CE) Um grupo de amigos comprou um presente por RS 630,00. Pretendiam dividir essa quan-
tia entre si, em partes iguais. Como 2 membros do grupo nao puderam cumprir 0 compromisso, ca-
da um dos restantes teve sua parcela aumentada de RS 36,00. 0 numero de pessoas do grupo era,
inicialmente:
a) 12 b) 15 c) 9 d) 8 e) 7
60. (Fuvest-SP) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condivoes: avista com 30% de desconto so-
bre 0 prevo de tabela ou no cartao de credito com 10% de acrescimo sobre 0 prevo de tabela. Um
artigo que avista sai por RS 7.000,00, no cartao saira por:
a) RS 13.000,00
b) RS 11.000,00
c) RS 10.010,00
d) R 9.800,00
e) RS 7.700,00
61. (Mogi-SP) Um comerciante antes de colocar em oferta um determinado produto aumenta 0 seu prevo
em 20%. Se 0 desconto proposto e tambem de 20%, 0 comprador pagara pelo produto:
a) 0 prevo inicial d) 0 prevo inicial com um desconto de 4%
b) 0 prevo inicial com um aumento de 20% e) 0 prevo inicial com um desconto de 24%
c) 0 prevo inicial com um aumento de 4%
62. (Osec-SP) Uma loja de departamentos instrui seus vendedores para calcular 0 prevo da mercadoria,
pelo cartao de credito, dividindo 0 prevo avista por 0,80. Dessa forma, podemos concluir que 0 va-
lor da compra sofreu:
a) reduvao de 20% c) acrescimo de 80% e) reduvao de 25%
b) acrescimo de 20% d) acrescimo de 25%
63. Uma loja vendia camisetas com acrescimo de 50% sobre 0 custo. Como as vendas cafram, a loja
ofereceu 20% de desconto no prevo de venda, para pagamento avista, a RS 12,00 a unidade. Se a
loja deseja lucrar RS 100,00 com as vendas avista, devera vender:
a) 50 camisetas
b) 35 camisetas
c) 22 camisetas
d) 10 camisetas
e) 15 camisetas
64. (Mackenzie-SP) 0 prevo de compra de um certo produto ex; se for vendido por k, havera, em rela-
vao a x, um prejufzo de 20%. Entao, se for vendido por 3k, havera, em relavao a x, um lucro de:
a) 40% b) 140% c) 60% d) 160% e) 240%
65. (UFPI) Um usuario de cartao de credito paga parte de sua dfvida num determinado mes, deixando
RS 12.500,00 para serem pagos no vencimento seguinte. Trinta dias ap6s, ele paga RS 18.125,00. A
taxa mensal de juros cobrada pela administradora do cartao foi de:
a) 30% ou menos c) 36% a 40% e) 46% ou mais
b) 31% a 35% d) 41% a 45%
238

245. Capitulo
I
Trigonometria no
triangulo retangulo
I. Introdu~ao
No 1Q grau, ja estudamos as relac;:oes entre os lados, entre os angulos e entre lados e angu-
los de um triangulo.
Neste capitulo vamos rever algumas dessas relac;:oes e aprender outras novas, para que, com
esses conhecimentos e outros a serem estudados, possamos resolver problemas de aplicac;:ao
mais complexos, como 0 da situac;:ao a seguir.
Imagine por exemplo que numa propriedade rural esteja sendo instalada uma rede de
energia eletrica.
Para a ligac;:ao entre dois postes quaisquer, 0 eletricista necessita saber a distancia entre eles
a fim de calcular a metragem de fio a ser utilizada.
Num determinado trecho da propriedade, passa um pequeno rio, e a medic;:ao direta da
distancia entre dois postes A e Be impossive!. Veja a ilustrac;:ao:
Como 0 eleu-icista calculara essa distancia?
No final deste capitulo, voce podera ajuda-lo a solucionar 0 problema.
239

246. 2. Revendo conceitos ja estudados sobre
triangulos retangulos
Vamos relembrar agora algumas rela~6es
importantes entre as medidas dos lados de um
triingulo retangulo. Essas rela~6es foram vistas
quando voce eursou a sa serie do 1Q grau.
Seja 0 triingulo retangulo ABC (reto em1 -
C ) e CD a altura relativa a hipotenusa.
c
b
h
m n
a
Ak---- _~D__
Observa~o: nas senten~as a seguir, quando falarmos em eatetos, hipotenusa, proje~ao e altu-
ra, estaremos nos referindo as suas medidas.
Com base na semelhanf<! dos triangulos ABC, ACD e CBD, foram provadas as seguin-
tes afirma~6es:
• Cada eateto e media proporeional entre a hipotenusa e sua proje~ao ortogonal sobre ela,
ou seja:
I b
2
= C • m I e I a2
= C • n I
• A altura relativa ahipotenusa e media proporeional entre os dois segmentos que ela
determina na hipotenusa, ou seja:
• 0 produto dos eatetos e igual ao produto da hipotenusa pela altura, ou seja:
• Teorema de Pitagoras
o quadrado da hipotenusa e igual a soma dos quadrados dos eatetos, ou seja:
(aplieado no D. ABC)
(aplieado no D.ACD)
(aplieado no D. BCD)
Fa~amos agora um problema de apliea~ao.
{
a=~
h=~
m= ?
n=?
Dados {b = 12 em
C = 20 em
Aehar
a
L..-----"'---.:.L..:..L---"-----------'>.B
Solurao
Exemplo
Um dos eatetos de um triangulo retingulo mede 12 em e a hipotenusa mede 20 em. Deter-
minar quanto mede, em em, 0 outro eateto, a altura relativa a hipotenusa e os segmentos
determinados na hipotenusa, pela altura.
c
240

247. Aplicando 0 teorema de Pitagoras no triangulo rerangulo ABC, temos a2
+ b2
= c2
.
EntIo a2
+ 144 = 400 => a2
= 400 - 144 => a2
= 256 => a = 16.
256 128
Como c· n = a2
=> 20 . n = 256 => n = -- => n = -- => n = 128.
20 10 '
Temos: m + n = C => m + 12,8 = 20 => m = 20 - 12,8 =>
4
,l-O"12
Como c· h = a . b, temos: 20 . h = 16 . 12 => h = A'O
5
m = 7,2.
=> h = 48
5
=> h = 9,6.
EXERCICIOS PROPOSTOS _
1. Determine 0 valor de x, ye z nos triangulos abaixo:
a) c) e)
Lh ~~
.. x
x Z Z 4 m
16 x Z 25
~~ Y.~
b)
L1ix .. y
d)
L1i~.15
f)
x+2
x+4
2. Se a diagonal de um quadrado mede L, quanta mede:
a) seu lado? b) seu perfmetro?
3. 0 lado de um triangulo eqOilatero mede L. Quando mede sua altura?
4. A altura de um triangulo eqOilatero mede h. Quanto mede seu lado?
5. Num triangulo retangulo a hipotenusa mede 3 cm a mais que 0 maior cateto e este mede 3 cm a mais
que 0 menor cateto. Quanto mede cada um dos lados do triangulo?
6. Um observador esta a 120 m de distancia do topo de uma torre. Quando ele anda 42 m em direyao
ao pe da torre, sua distancia ao topo passa a ser 90 m. Qual a altura da torre?
3. Aprendendo novas conceitos
Seja 0 triangulo rerangulo OMP, reta em M.
p
x
O F ' - - - - - - - - - -.....M
241

248. 1
Seja x a medida do angulo MOP. Podemos estabelecer entre as medidas de seus lados as
seguintes razoes:
Sena 1
Seno de x ea razao entre a medida do lado oposto ao angulo 0 e a medida da hipotenu-
sa. Indicando 0 sena de x por sen x e considerando OP como unidade de comprimento,
temos:
sen x = MP = MP = MP
OP 1
Cassena
Cosseno de x ea razao entre a medida do cateto adjacente ao angulo
hipotenusa. Indicando 0 cassena de x por cas x, temos:
cos x = OM = OM = OM ~ cos x = OM
OP 1
1
o e a medida da
Tangente
Tangente de x ea razao entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao angu-1
10 O. Indicando a tangente de x por tg x, temos:
MPtgx= - -
OM
A essas razoes damos 0 nome de razoes triganametricas.
Vejamos novan1ente a figura:
p
sen x
OL------------'M
cos x
Observas:aa: com a finalidade de facilitar a memorizac;ao, ao falarmos em hipotenusa e em
catetos estaremos nos referindo as suas medidas. Desse modo, temos:
sen x =
cos x =
cateto oposto a x
hipotenusa
cateto adjacente a x
hipotenusa
tg x =
cateto oposto a x
cateto adjacente a x
Exempla 1
Em urn triangulo retangulo ABC (B ereto) sabe-se que a = 4 em e b = 7 em. Deterrrunar
o seno, 0 cosseno e a tangente do menor de seus angulos.
242

249. SolUfao
c
Q = 4 em
0: =?
AL.--------~B
c =?
Achamos a medida do lado c aplicando a teorema de Pitagoras:
Como em um triangulo qualquer, ao menor lado op6e-se a menor angulo, entao a meno[
lado mede a, pais 4 < ,/33.
1
Par quest6es didaticas, sendo ex a medida do angulo A , indicaremos, par exemplo, sen ex
simplesmente par sen A. Assim:
sen A =
a
b
=> sen A =
4cm
7em
=> sen A =
4
7
cos A =
c cos A =
,33.cm
cos A =
,33- => => - -
b 7cm 7
4cm
,--
tgA =
a tg A = tg A =
4 au tg A =
433
=> => ~
c ill em ,33 33
EXERCICIOS PROPOSTOS
7. Determine 0 seno, 0 eosseno e a tangente de cada um dos angulos agudos de um triangulo ABC,
nos seguintes casos:
AL-----'1'2-cm,-----------' B
a) c
gem
c)
'v'-------"B C
8. Determine 0 seno, 0 eosseno e a tangente do maior angulo agudo de um triangulo ABC, onde a, be
c sao as medidas dos seus lados, nos seguintes easos:
1
a) a = 4 em, b = 8 em e 0 angulo C e reto.
1
b) a = 4 em, b = 8 em e 0 angulo B e reto.
243

250. 9. 0 perfmetro de um triangulo retangulo mede 264 mea hipotenusa mede 110 m. Qual 0 seno do
menor angulo agudo desse triangulo retangulo?
A .
10. Num triangulo retangulo ABC, reto em B, sabe-se que a hipotenusa mede 27,5 em e que sen A = 0,6.
Determine quanta mede cada cateto desse triangulo.
A
11. Um triangulo retangulo ABC ereto em B. Sabe-se que tg A = 1 e que um dos catetos mede 15 em.
Ache 0 perfmetro do triangulo.
4. Propriedades e rela~oes do seno, do cosseno
e da tangente de urn angulo agudo
de urn triangulo retangulo
c
Veremos, em seguida, algumas rela=oes
muito importantes entre as razoes trigonome-
tricas estudadas.
Observe 0 triangulo rerangulo ABC da
figura ao lado. A""-------.J. .,---- ---'--'
~
Temos: sen A = !!- e cos C = !!-. (Deu a mesma coisa!)
b b
~
Temos ainda: sen C = .!.- e cos A = .!.-. (Deu a mesma coisa!)
b b
A A
Entao, notando que a soma das medidas de A e C e 90° (ou seja, eles sao complemen-
tares), podemos tirar uma conclusao importante:
Se as medidas de dois angulos somam 90°, 0 seno de um deles e igual ao cosseno do
outro.
EXERCICIOS PROPOSTOS ... _
12. Nas figuras seguintes, determine 0 que se pede:
a) sen C, sendo dado
cos B = ~
8
c
AL:J·'--------------"'-B
b) cos 48°, sendo dado
sen B = 0,2831.
c
244
B
c) cos (2x), sendo dado
sen x = 0,5.
A
B

251. 13. Determine quanta vale:
a) cos (90° - 32°), sendo sen 32° = 0,5299.
b) sen (90° - 16°), sendo cos 16° = 0,961 3.
c) sen 19°, sendo cos 71 ° = 0,3256.
d) cos (18°30'), sendo sen (71°30') = 0,9483.
e) cos x, sendo sen (90° - x) = 0,7236.
I) cos (90° - x), sendo sen x = 0,1928.
Calculemos agora 0 valor da expressao (sen A)2 + (cos A?, a qual tambem indicamos por
sen2
A + cos2
A.
Como sen A = !!- e cos A = C temos
b b':
sen
2
A + cos
2
A = ( : y+ ( ~ y
Mas a2 + c2 = b2pelo teorema de Pita.goras. Portanto:
b/l
fji
1
Observe que esse resultado nao depende do angulo A. 1sso significa que, se procedermos
1
de modo analogo, teremos para 0 angulo C que sen2
C + cos2
C = 1. Entao, concluimos:
Se x e a medida de urn dos angulos agudos de urn triangulo redngulo, temos:
sen2
x + cos2
X = 1
Observa~ao: voce vera mais adiante que a relar;:ao acima e verdadeira para qualquer angulo.
1
Calculemos agora 0 valor da tangente de urn dos angulos agudos, por exemplo, 0 angulo A.
Temos que: tg A =
a~
C
a
Notemos que: sen A = _b_ ~
cosA C
b
sen A =!!-. (Deu a mesma coisa!)
cos A c
Entao: tg A =
sen A
cos A
Verifique, como exerdcio, que 0 mesmo ocone ao calcular tg C.
Resumindo, vamos guardar:
Se x e a medida de urn dos angulos agudos de urn triangulo retangulo, entao:
tg x =
sen x
cos x
Observa~ao: voce vera mais adiante que essa relar;:ao e verdadeira tambern para outros
angulos.
Vejamos urn exemplo de aplicar;:ao.
245

252. Exemplo
Se a e ~ sao as medidas de dois angulos agudos de um triangu[o rerangulo e sen a =
determinar sen ~, cos ~, cos a, tg a e tg ~.
1
3'
Solut;iio
Como a + ~ = 90°, temos que sen a = cos ~, entao: cos ~ = 1
3
1
9
3
Como sen2a + cos2a = 1 => cos2a = 1 - ( ~ )2 => cos2a = 1 -
=> cos2
a = 8 => cos a = ~ => cos a = 2,2
9 ~Sl 3
2,2
Sendo cos a = sen ~, temos que sen ~ =
Calculando as tangentes, temos:
1
sena ~'
tg a = --- => tg a = -----'~~
cos a 2/2
A'
1
=> tg a = -------=-- ou
2,2
Q = sen ~
tg t-' => tg ~ =
cos ~
~
=> tg ~ = 2 2
Observa~ao: lembrando que em qualquer triangulo rerangulo a hipotenusa e0 maior dos
lados, concluimos:
Para 0° < a < 90° temos:
o< sen a < 1, 0 < cos a < 1 e tg a > 0
EXERCICIO PROPOSTO
14. Sendo Ct e [3 as medidas dos angulos agudos de um triangulo retangulo, determine:
1
a) cos Ct, sen [3, cos [3, tg Ct e tg [3, sabendo que sen Ct = 2 .
b) sen Ct, cos Ct, sen [3, tg Ct e tg [3, sabendo que cos [3 =
c) sen Ct, cos Ct e tg Ct, sabendo que sen [3 = ~
s. Como calcular os valores
das razoes trigonometricas
Os valores do seno, do cosseno e da tangente podem ser determinados utilizando uma cal-
culadora cientifica ou fazendo usa de tabelas, chamadas tabuas.
246

253. No entanto, para alguns angulos, esses valores podem ser determinados facilmente, con-
forme veremos em seguida.
B
Q
Q
,(
,
Q
'" ,( 'rc;- ,
,(
I-r I,'r141°
AEntao, no triangulo redngulo ABC, temos:
a) Angulo de 45°
Consideremos urn quadrado cujo lade
mede a unidades. 0 teorema de Pitagoras
nos fornece a diagonal d:
a2
+ a2
= d2
=> d2
= 2a2
=> d = W 2 .
sen 45° =
a sen 45° =
1
sen 45° =
2
=> => - -
wv2 2 2
cos 45° =
a
cos 45° =
1
cos 45° =
2
--;=- => => - -
a'2 2 2
,2
45°
- -
tg 45° =
sen
tg 45° = -----l.- tg 45° = 1=> =>
cos 45° ,2
- -
2
Eimportante observar que esses valores nao dependem do valor de a.
b) Angulo de 60°
Seja urn triangulo equilatero cujo lade
mede a unidades (ver figura). Como todo
triangulo eqiiilatero etamb6n eqLiiangulo,
cada urn dos seus angulos mede 60°.
Trar;:ando a altura CH, temos que, sendo
o triangulo eqiiilatero, ela sera tambem
- 1
mediana de AB e bissetriz de C.
A medida da altura (h = ?) eachada aplican-
do 0 teorema de Pitagoras no triangulo
retangulo AHC:
A
Q
c
•
H
h=~
2
Q B
2"
3a2
=> h2
= - - . Entao: h =
4 2
Desse modo, temos:
sen 60° =
a
=> sen 60° = => sen 60° =
a
cos 60° = ~ => cos 60° =
a
1
a
2d
1
=> cos 60° = 1
2
247

254. ~ tg 60° = " 3~ tg 60° =
-J3
_2_
1
2
Novamente obtivemos valores que nao dependem do valor de a.
sen 60°
tg 60° =
cos 60°
c) Angulo de 30°
Como 30° + 60° = 90°, temos:
sen 30° = cos 60° ~ sen 30° = 1
2
cos 30° = sen 60° ~ cos 30° =
2
1
30°
-
sen _2_ 1 "3
tg 30° = ~ tg 30° = ~ tg 30° = OLl - -
cos 30° "3 "3 3
- -
2
Outra vez obtivemos valores que nao dependem do valor de a. Isso e muito importante,
pois os resultados serao os mesmos independentemente do tamanho das figuras.
Vamos guardar bem os dados da tabela abaixo, na qual se encontra um resumo de todos
os valores encontrados.
1 "2 "3- - - - -
2 2 2
"3 "2 1
- - - - -
2 2 2
"3 1 "3- -
3
Se voce lembrar que -.L eo mesmo que 2L, fica mais facil memorizar a tabela acima.
2 2
Vamos agora resolver alguns problemas praticos de aplicas:ao.
Exemplo 1
Um foguete e lans:ado a 200 mis, segundo um angulo de inclinas:ao de 60° (ver figura).
Determinar a altura do foguete ap6s 4 s, supondo a trajet6ria retilinea e a velocidade
constante.
SolUfiio
Ap6s 4 s ele percorre 4 . (200 m) = 800 m.
248

255. :'-=-----Trajetoria do foguete
,f
", ,, ,, ,, ,, ,
~/ :
~ " I'0 ' ,
,
:-=-----Altura x
,
,,,
Chao
Temos que: x = sen 60° => x = 800. ,3
800 2
=> x = 692,8
A altura eaproximadamente 692,8 m.
Exemplo 2
Suponha que, quando 0 foguete do exemplo 1 estiver a 750 m de altura, uma pessoa, do
chao, veja-o exatamente no prumo.
a) A que disrancia essa pessoa esra do ponto de lanc;:amento?
b) Quantos metros 0 foguete percorreu?
Solufao
f/f
I '
! ,"
y:,
,
,
x
a) Temos que: 750 = tg 600 => 750
x x
A disrancia ede aproximadamente 433 m.
750 m
'3 => x = 750 => x = 433
,3
249

256. 750
b) 0 foguete percorreu y m, em que: = sen 60° ~ y =
y
o foguete percorreu aproximadamente 866 m.
Exemplo 3
750
3
2
~ y = 866 m
Uma pessoa esti na margem de urn rio, onde existem duas arvores (B e C na figura). Na ou-
tra margem, em frente a B, existe outra arvore A, vista de C segundo urn angulo de 30°, com
relas;ao a B. Se a disrancia de B aCe 150 m, qual e a largura do rio, nesse trecho?
Solurao
A
x
B 150m c
Temos: x = tg 30° ~ x = 150 .
150
1
d
=> X = 86,7
A largura do rio e aproximadamente 86,7 m.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
15. Em Lim triangulo retangulo um angulo mede 30° e 0 lade oposto a esse angulo mede 120 m. Calcule
quanta mede cada um dos outros lados.
16. A hipotenusa de um triangulo retangulo mede 60 meum dos seus angulos mede 60°. Determine 0
perfmetro desse triangulo.
17. 0 menor cateto de um triangulo retangulo mede 15 cm eo maior dos angulos agudos mede 60°. Ache
a hipotenusa.
18. Num triangulo retangulo, um angulo agudo mede a metade do outro. 0 menor cateto mede 25 m.
Determine a medida de cada um dos outros lados.
250

257. 19. Um aviao esta a 500 m de altura, quando dele se ve a cabeceira da pista de pouso segundo um angu·
10 de declive de 30°. A que distancia 0 aviao esta da cabeceira da pista?
Pista••••• Cabeceira da pista
--~-~---.....----'-------------,
"'l!':::,::':J;;:'-----------------------------------------
500 m
r - - - -L---..---
20. Um helicoptero e um carro da polfcia perseguem um carro de bandidos. 0 helicoptero esta a 250 m
de altura; 0 carro da polfcia esta bem abaixo do helicoptero (no prumo). Do helicoptero 0 carro de
bandidos eavistado segundo um angulo de 60°. Qual ea distancia entre 0 carro da polfcia e 0 dos
bandidos?
", H
'"
250 m
.......... _ : -..
P B
Vimos ate aqui como trabalhar com as razoes trigonometricas de apenas alguns angulos
particulares: 30°,45° e 60°. Veremos em seguida como calcular as razoes trigonometricas de
urn angulo agudo qualquer.
Comentamos anteriormente que, para fazer isso, poderiamos utilizar uma calculadora
cientifica ou uma tabela de dados, tabela essa que e chamada de t<ibua de senos e cossenos.
Analisaremos separadamente essas duas situac;:oes.
a) Ca1culo das razoes trigonomhricas utilizando calculadora ciencifica
Quando estudamos logaritmos, vimos que a utilizac;:ao de uma calculadora cientifica nos
dlculos requeria certa atenc;:ao, pois 0 conjunto de teclas que realizam essas operac;:oes varia
para cada marca e tipo de calculadora.
Isso ocone tambem para 0 dlculo das razoes trigonometricas, de modo que, se voce tern
uma calculadora cientifica, e conveniente dar uma boa lida no manual de instruc;:oes para saber
quais as teclas que serao utilizadas em seus dlculos.
Alem disso, tenha 0 cuidado de verificar a unidade de medida de angulos com que a cal·
culadora esra operando, ou seja, se 0 "modo" esta em graus ou nao.
Nos pr6ximos exemplos, trabalharemos com urn tipo de calculadora cientifica que utiliza
as seguintes teclas:
{
sin para encontrar 0 seno do angulo que esta no visor;
sin-1
para encontrar 0 angulo cujo seno esra mostrado no visor;
251

258. {
COS para encontrar 0 cosseno do angulo que esta no visor;
cos-l
para encontrar 0 angulo cujo cosseno esta mostrado no visor;
{
tan para encantrar a tangente do angulo que esta no visor;
tan-l
para encontrar 0 angulo cuja tangente esta mostrada no visor.
Exemplo 1
Calcular sen 42°.
Solufao
A tabela seguinte esclarece as etapas a serem executadas.
Dado I Calcular I Etapas I Resultado
Urn angulo que
mede 42°.
1. Posicione 0 "modo"
em graus (DEG).
2. Digite 42.
3. Pressione sin.
Aproximadamente
0,6691.
Observa~ao: para 0 calculo de cos 42°, por exemplo, 0 procedimento e0 mesmo, apenas
pressionando a tecla cos no item 3 das etapas do calculo. Se voce tern uma calculadora cien-
tifica, fa~a essa operac;:ao como exerdcio. A resposta e0,743 1 aproximadamente.
Exemplo 2
1
Sendo A urn angulo agudo de urn triangulo retangulo tal que cas A = 0,829 0, determinar
1
quantos graus mede 0 angulo A.
Solufao
Ainda com a mesma calculadora, construimos a tabela:
Dado I Calclllar I Etapas I Rcsultado
1
Urn angulo A cujo
casseno e0,829 O.
Qllantos graus
1
mede 0 angulo A .
1. Posicione 0 "modo"
em graus (DEG).
2. Digite 0,829 O.
3. Pressione COS-I.
Aproximadamente
34°.
Observa~ao: para 0 calculo do angulo cujo seno fosse 0,829 0, por exemplo, 0 procedimen-
to e0 mesmo, apenas pressionando a tecla sin-l
no item 3 das etapas do calculo. Se "oce tern
uma calculadora cientifica, fac;:a, como exerdcio, essa operac;:ao. A resposta sera aproximada-
mente 56°.
Exemplo 3 1
Num triangulo retangulo ABC, A mede 23°. Deterrninar tg A.
Solufao
Ainda com a mesma calculadora, construimos a tabela da pagina seguinte.
252

259. Dado I Calcular I Etapas I Resultado
Um angulo que
mede 23°.
1. Posicione 0 "modo"
em graus (DEG).
2. Digite 23.
3. Pressione tan.
Aproximadamente
0,4245.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
(Somente para quem possuir uma calculadora cientffica. Dar a resposta com 4 "casas" decimais.)
21. Calcule:
a) sen 33° b) cos 21° c) tg 18°
22. Sendo ABC urn trianguio retangulo em B, determine:
a) sen A, no caso de A medir 65°.
b) cos C, no caso de C medir 72°.
c) tg A, no caso de A medir 4JO.
A A
23. Sendo A um angulo agudo de um triangulo retangulo, determine quantos graus mede A, no caso de:
a) sen A = 0,5878 b) cos A = 0,3746 c) tg A = 1,4281
b) Calculo das razoes trigonomerricas utilizando a tabua de senos e cossenos
Bem, agora que voce viu que "e moleza" trabalhar com as razoes trigonometricas quan-
do temos em maos uma calculadora cientifica, veremos como operar no caso de nao poder-
mos contar com esse recurso.
Para isso, necessitamos da seguinte tabua de senos e cossenos, na qual aparecem os senos
e os cossenos dos angulos de 1° a 45°.
Tabua de senos e cossenos
Anguloj Scno ICosseno IAngulo I Scno ICosscno IAngulol Scno ICosseno
1° 0,0175 0,9998 16° 0,2756 0,9613 31° 0,515 ° 0,8572
2° 0,0349 0,9994 17° 0,2924 0,9563 32° 0,5299 0,848 °3° 0,0523 0,9986 18° 0,309 ° 0,9511 33° 0,5446 0,8387
4° 0,0698 0,9976 19° 0,3256 0,9455 34° 0,5592 0,829 °5° 0,0872 0,9962 20° 0,342 ° 0,9397 35° 0,5736 0,8192
6° 0,1045 0,9945 21° 0,3584 0,9336 36° 0,5878 0,809 °7° 0,121 9 0,992 5 22° 0,3746 0,9272 3r 0,6018 0,7986
8° 0,1392 0,9903 23° 0,3907 0,9205 38° 0,6157 0,788 °9° 0,1564 0,9877 24° 0,4067 0,9135 39° 0,6293 0,777 1
10° 0,173 6 0,9848 25° 0,4226 0,9063 40° 0,6428 0,766 °
llo 0,1908 0,9816 26° 0,4384 0,8988 41° 0,6561 0,7547
12° 0,2079 0,978 1 27° 0,454 ° 0,8910 42° 0,6691 0,7431
13° 0,225 ° 0,9744 28° 0,4695 0,8829 43° 0,682 ° 0,7314
14° 0,2419 0,9703 29° 0,4848 0,8746 44° 0,6947 0,7193
15° 0,2588 0,9659 30° 0,500 ° 0,866 ° 45° 0,7071 0,7071
253

260. Que tal fazer no seu caderno uma tibua mais completa do que essa, na qual aparecesse
tambem uma coluna para a tangente? Es6 dividir 0 valor do sene pelo do cosseno...
Vamos aprender a utilizi-Ia, refazendo inicialmente os tres exemplos do item anterior.
a) Calcular sen 42°. 1
b) Dado cos A = 0,829 0, achar quantos graus mede A.
c) Calcular tg 23°.
Solurao
a) Calcular sen 42°.
Procuramos na tibua a linha correspondente ao angulo de 42° e, na coluna corresponden-
te ao seno, encontramos 0 valor 0,669 l.
1
b) Achar quantos graus mede A, sendo cos A = 0,8290.
Procuramos nas colunas do cosseno a valor 0,829 0. Esse valor corresponde ao angulo de 34°.
c) Calcular tg 23°.
Veja que na tibua que fornecemos nao existe coluna referente atangente (hi tabuas que
possuem essa coluna). No entanto temos que:
Buscando na tibua os valores de sen 23° e cos 23°, encontramos sen 23° = 0,3907 e
cos 23° = 0,9205. Efetuando os cilculos, obtemos tg 23 = 0,4244.
Observe que, nesses tres exerdcios, nao tivemos muito trabalho, pois os valores procurados
estavam na tabua. Mas isso nem sempre ocorre, como mostram os exemplos seguintes.
Exemplol
Calcular:
a) sen 71°
b) cos 50°
Solurao
a) Calcular sen 71°.
o angulo de 71° nao consta em nossa tibua, pois ela vai s6 ate 45°. Mas veja:
sen 71° = cos (90° - 71°) = cos 19° (Esse valor esti na tabua!)
Entao, como cos 19° = 0,9455, temos que sen 71° = 0,9455.
b) Calcular cos 50°.
o angulo de 50° tambem nao consta em nossa tibua, mas:
cos 50° = sen (90° - 50°) = sen 40° (Esse valor esti na tibua!)
Entao, como sen 40° = 0,6428, temos que cos 50° = 0,6428.
EXERCiclOS PROPOSTOS
24. Utilizando a tabua de senos e cossenos, calcule:
a) sen 39° b) cos 16° c) tg 29°
25. Calcule:
a) sen 48° b) cos 85°
254
c) tg 4JO

261. 26. Determine 0 valor de N nos seguintes casos:
sen 30° + sen 40°
a) N = ------,-----,--,----
3· cos 12°
Exemplo 2
Calcular sen 18°20'.
b) N =
2 . sen 54° - 3 . cos 60°
2· sen 30°
SolUfao
Esse valor nao esta em nossa tabua, mas 0 angulo de 18°20' esta "entre" 18° e 19°.
Observe na tabua, na coluna dos senos, que, amedida que 0 angulo cresce, 0 valor do sene
tambem cresce. Dessa forma, obteremos llma razoavel aproximac;:ao se utilizarmos uma regra
de tn~s simples. Vejamos:
sen 18° = 0,309 °e sen 19° = 0,3256
Assim, para um acrescimo de 10, ou seja, 60 I no angulo, houve um aumento nos senos de
0,3256 - 0,3090, ou seja, 0,0166.
Entao:
Assim:
Aumento no angulo
60'
; 20'
60
20
0,0166
x
Aumento no seno
0,0166
x
~ x = 0,0055
portanto 0 valor de sen 18°20' sera aproximadamente 0,309 °+ 0,005 5, ou seja:
sen 18°20' = 0,3145
EXERCICIO PROPOSTO
27. Calcule:
a) sen 35°30'
b) sen 60°40'
Exemplo 3
Calcular cos 30°40' .
SolUfao
Esse angulo nao consta na tabua, mas esta "entre" 30° e 31°.
Observe na tibua que, a medida que 0 angulo cresce, 0 valor do cosseno diminui.
Procedendo de modo analogo ao do exemplo 2, temos:
cos 30° = 0,866 °e cos 31° = 0,8572
Dessa forma, para um aumento de 10, ou seja, 60' no angulo, houve um decrescimo no cas-
seno de 0,866 °-0,8572, ou seja, 0,008 8.
255

262. Enhlo:
Aumento no angulo
60'
, 40'
Dessa forma temos:
60
40
0,0088
x
Diminui~ao no cosseno
0,0088
x
~ x = 0,0059
portanto cos 30°40' sera aproximadamente 0,8660 - 0,0059, ou seja:
cos 30°40' = 0,8601
EXERCiclOS PROPOSTOS _
28. Calcule:
a) cos 42°30'
29. Calcule:
a) tg 25°30'
b) cos 30°20'
b) sen 10°20' + cos 10°20'
Exemplo 4
No inicio deste capitulo vimos 0 problema de urn eletricista que necessitava calcular a distan-
cia entre dois postes, mas a medic;ao direta era impossivel, pois entre os postes passava urn rio.
Vamos rever a figura apresentada anteriormente:
/-?---A
Com 0 que estudamos ate aqui, ja temos condic;6es de ajudar 0 e1etricista, calculando a dis-
tancia entre os postes.
256

263. SolUfiio
Chamando de x a disrancia procurada, vamos proceder da maneira seguinte:
a) a partir do ponto A, procuremos, em terra firme, encontrar urn ponto C, tal que a trian-
gulo ABC seja redngulo em C; 1
b) medimos a disrancia de A ate C, bern como a angulo CAB.
Sejam, par exemplo, as seguintes valores encontrados:
B
A
Nessas condi~6es, temos:
25 = cos 60° =} x = ~ =} x = 50
x 0,5
Dessa forma, concluimos que a distancia procurada e de 50 m.
EXERCICIO PROPOSTO
30. A mediQao direta da disti'mcia entre as pontos A e Be impassive!.
Calcule essa distancia, nos casas seguintes:
~ ~
B B
_----_-r-r- -_RiO Rio
C A
6. A lei dos senos
Iremos aprender agora uma rela~ao muito importante, envolvendo as medidas dos lados
com as senos dos angulos de urn triingulo. Essa rela~ao e chamada lei dos senos.
Mostraremos que ela e verdadeira apenas quando urn triangulo for acurangulo. Mais adian-
te, no momenta oporumo, voce vera como ela e aplicada para qualquer tipo de triangulo..
Assim sendo, tomemos um triangulo acutingulo ABC, no qual a) bee sao as medidas de
seus ladas, e mostremos que e verdadeira a seguinte afirma~ao:
a b c
--- = --- = ---
sen A sen B sen C
257
(lei dos senos)

264. Para isso, observemos as figuras a seguir.
A!-I-----:.--~Iil
A figura da esquerda mostra que:
'- /'
A~I------,---~IB
- - - - - - -
x
b
x
a
= sen A
= sen B
=> fx = b . sen A =>
lx= a' sen B
b . sen A = a . sen B =>
a
sen A
b
sen B
o
A figura da direita mostra que:
L = sen B
c
L = sen C
b
De CD e ®
=>
{
y = C • sen B =>
C • sen B = b . sen C =>
y = b· sen C
, concluimos que everdadeira a afirmac;:ao:
C
sen C
b
sen B
@
a
sen A
Assim, por exemplo, na figura:
b
sen B
x
a
C
sen C
y
10m
45°
(lei dos senos)
podemos facilmente determinar OS valores de x, y e Ci utilizando a lei dos senos. Veja:
Temos que Ci + 45° + 60° = 180°, portanto Ci = 75°.
A lei dos senos permite escrever:
ox y
@
10
De CD temos que: y
sen 60°
10
=> y
10 . sen 60°
sen 75°
=> y = 8,97
258

265. De @ temos que: x
sen 45°
10 10 . sen 45°
~ x =
sen 75° sen 75°
~ x = 7,32
Assim sendo, os lados medem x = 7,32 em, y = 8,97 em e a = 75°.
EXERCiclO PROPOSTO
3W •
:L-----------',y
~ 1
8
31. Determine 0 que se pede em cada caso:
<;--
a) C/. =?
x=?
y=? x
b) C/. = ?
x=?
y=? x
150 em
60°
7. A lei dos cossenos
Assim como a lei dos senos, a lei dos cossenos emuito importante para a determinas:ao de
lados e angulos de um triangulo.
Consideremos um triangulo acutangulo ABC e mostremos que e verdadeira a seguinte
afirmas:ao:
a2
= b2
+ c2
- 2 . b· c· cos A
Mais adiante, no momento oportuno, voce vera como aplid.-Ia num triangulo qualquer.
Veja a figura ao lado.
No triangulo rerangulo CHB, peIo teore-
ma de Pitagoras, temos a2
= h2
+ n ou seja: ,c/
a2
= h2 + (c - m)2
{
sen A = ~ , entao h = b . sen A
Como
cos A = .!!!...-, entao m = b . cos A
b
Portanto, como h = b . sen A e m = b . cos A, temos:
a2
= (b . sen A)2 + (c - b . cos Ai
a2 = b2
• sen2
A + c2 - 2 . b· C' cos A + b2
. cos2
A
a2 = b2 . (sen2
A + cos2
A) + c2
- 2 . b· c . cos A
1
Dessa forma concluimos que:
I a2
= b2
+ c2
- 2 . b . c . cos A (lei dos cossenos) I
De modo analogo demonstra-se que:
b2
= a2
+ c2
- 2 . a' c· cos B e c2
= a2
+ b2
- 2 . a' b· cos C
259

266. Assim, por exemplo, dado 0 triangulo ABC:
40 em
50 em
x
podemos determinar X, a e ~ utilizando a lei dos cossenos.
Pela lei dos cossenos temos:
x 2
= 502
+ 402 - 2 . 50 . 40 . cos 60°
Substituindo cos 60° por 0,5, obtemos x 2
= 2 100, portanto x = 45,83.
Aplicando agora a lei dos senos, temos:
x 50- - - - ~
sen 60° sen a
45,83
sen 60°
- --- ~ sen a =
sen a 45,83
~
~ sen a = 0, 94 ~ a = 71 °
Como ~ = 180° - 60° - a, temos que ~ = 180° - 60° - 71°, portanto ~ = 49°.
Assim sendo, os valores procurados sao: x = 45,83 m, a = 71° e ~ = 49°.
Veja em seguida mais dois exemplos de aplicas:ao do assunto.
Exemplo 1
Uma equipe de trabalho parte de urn ponto P, em linha reta, abrindo uma estrada de 1200 m
que forma urn angulo de 60° com a reta 0 (ver figura). Uma segunda equipe esta em Qa
1639,23 m da primeira e deve iniciar uma segunda estrada que ligara Qa L. Sob que angu-
10 deve seguir a segunda equipe equal 0 comprimento da estrada?
SolUfiio
1200 m
,. 60°
p
Achamos x usando a lei dos cossenos:
",L
1639,23 m ~ IQ
1
2
x 2
= (1639,23)2 + 12002
- 2 . 1639,23 . 1200 . cos 60° ~ x = 1469,69
Usando a lei dos senos, achamos a:
sen a sen 60° 1 469,69
~ sen a = 0, 71 ~ a = 45°
o angulo deve ser de 45° e 0 comprimento sera 1469,69 m aproximadamente.
260

267. Exemplo 2
Um observador esta em A e necessita calcular sua distancia ate 0 ponto B, mas este ponto e
inacesslvel a ele. No entanto, ele conta com os dados mostrados na figura:
Rio
SolUfiio
Pela lei dos cossenos temos que:
x 2
= 802
+ 1002
- 2· 80· 100· cos 600
=> x 2
= 8400 => x = 91,65
A distincia procurada e 91,65 m aproximadamente.
EXERCiclOS PROPOSTOS
32. Nas figuras abaixo, determine x.
a)
75°
b)
16 em
x
33. Determine a largura do rio.
12 em
30°
6em
x
25m
7em
Rio
Scm
--_.....::....~======-c;50;-:m=---==-~-
34. Um menino, sentado num muro, observa 0 topo
eo "pe" de um predio, conforme a figura ao lado.
Determine a altura do predio.
,r 600
2S~-- _
261
DB
DB
DB
DB

268. TUNEL DO TEMPO
"Na maior parte das ciencias uma gera<;ao poe abaixo 0
que outra construiu, e 0 que uma estabeleceu a outra desfaz.
Somente na matematica e que cada gera<;ao constr6i urn no-
vo andar sobre a antiga estrutura."
Essas palavras do matematico Hermann Hankel retratam
o desenvolvimento das teorias matematicas atraves dos secu-
los. De fato tais teorias nao sao 0 resultado do trabalho de urn
s6 homem ou de apenas uma na<;ao, mas sim de uma evolu- Franc;:ois Viete.
<;ao continua e de muitas gera<;oes.
A trigonometria nao foge aregra. Muitas homens em muitas na<;oes - como os egip-
cios e babilonios - estudaram as razoes entre lados de triangulos semelhantes, mas e na
Grecia que encontramos pela primeira vez urn estudo sistematico entre arcos e 0 com-
primenta das cordas determinadas por esses arcos. Esse trabalho deve-se ao astronomo
grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.), considerado 0 "pai da trigonometria". E
muito provavel ser dele a primeira tabela mostrando valores que relacionavam arcos e
cordas. Essa tabela, a primeira tabela trigonometrica, muito contribuiu para 0 estudo da
astronomia e serviu de suporte para os trabalhos de muitos astronomos, entre eles
Claudio Ptolomeu, que viveu no segundo seculo da era crista. Trabalhando com a
inten<;ao de descobrir leis que justificassem 0 movimento dos corpos celestes, Ptalomeu
escreveu Syntaxis mathematica, seu livro mais importante, que passou a ser chamado
pelos estudiosos de sua obra de Almagesto, que significa "0 maior".
Entre os arabes vamos encontrar 0 astronomo Nasir Eddin (1201-1274), responsa-
vel pelo primeiro trabalho sobre trigonometria onde tal materia era tratada de modo
independente e nao apenas como auxiliar da astronomia, como acontecia na Grecia e na
India. Nesse trabalho sao estudadas as seis fun<;oes trigonometricas usuais e fornecidas
as regras para resolver varios casos de triangulos.
Na Europa, em fins do seculo XVI e come<;o do seculo XVII, houve urn grande inte-
resse pelos estudos da trigonometria. 0 nome "trigonometria" surgiu nessa epoca, co-
mo titulo de uma exposi<;ao feita por Bartholomeus Pitiscus (1561-1613).
Entre aqueles que mais contribuiram para 0 desenvolvimento da trigonometria
encontra-se 0 frances Fran<;ois Viete (1540-1603), que nao era matematico por profis-
sao, mas sim urn advogado que nas horas vagas se dedicava aos estudos da matematica.
Ele usou a trigonometria na resolu<;ao de problemas algebricos e aritmeticos, amplian-
do assim 0 alcance desse assunto.
RELEMBRANDO CONCEITOS _
Re1a~oes metricas num triangulo retangulo
a) h2
= m' n
b) b2
= C' m
c) a2
= c· n
d) a . b = C' h
e) c2
= b2
+ a2
(Pitagoras)
f) b2
= m2
+ h2
(Pitagoras)
g) a2
= n2
+ h2
(Pitagoras)
262
AI
b
m
c
h
n
Q

269. Razoes trigonomhricas num triangulo retangulo
M
PMsen x = - -
OM
cos x = OP
OM
t PM tg x =g x = OP , ou seja,
sen x
cos x a
x
p
(ou ~ rad) , entao, 0 senD de urn deles eSe as medidas de dois angulos somarem 90°
igual ao cosseno do outro, ou seja:
sen x = cos (90° - x)
cos x = sen (90° - x)
Sendo x a medida de urn angulo, entao vale a relac;:ao:
(sen X)2 + (cos X)2 = 1, ou seja, sen2
x + cos2
X = 1
Valores do seno, cosseno e tangente de alguns angulos
Angulo de 30° I Angulo de 45° I Angulo de 60°
sen 30° = 1-
2
cos 30° = "3
2
tg 30° = -3- -
3
sen 45° = "2
sen 60° = "3- - - -
2 2
cos 45° = "2 cos 60° = 1- - -
2 2
tg 45° = 1 tg 60° = "3
Lei dos senos
Num triingulo ABC tem-se:
c
,6.e
a
sen A
b
sen B
c
sen C
Lei dos cossenos
Num triingulo ABC tem-se:
a2
= b2
+ c2
- 2 . b . c . cos A
b2
= a2 + c2 - 2 . a . C • cos B
c2
= a2
+ b2
- 2 . a . b . cos C
c
,6.e
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
1
35. Um triangula retangula tem 0 angulo B reto. Sendo a e c as medidas dos catetos, determine a altura
relativa ao lade AC.
36. Num triangulo retangulo, a hipatenusa mede 10,2 cm a mais que 0 menor cateto, e este mede
5,.1 cm a menos que 0 maior cateto. Determine:
a) quanta mede cada cateto. b) qual 0 sene do maior angulo agudo.
263

270. 37. Um triElngulo retangulo ABC e rete em C. Sabendo que cos A = 0,6, determine 0 valor de N nos ca-
sos seguintes:
a) N = sen A + 3 . sen B + cos B
b) N = tg A + tg B
38. Os raios do sol formam um angulo de 60° com 0 nivel do chao. Responda:
a) Qual 0 comprimento da sombra de um predio de 45 m de altura?
b) Se a sombra de um predio tiver 30 m de comprimento, qual a altura dele?
39. Na figura seguinte, determine x, ye z.
-r'_
z
, 30° 45°
I,L-==--'y,--------;::ft'::;.---x::---~~I
40. Uma pessoa de 1,70 m de altura ve 0 topo de um predio segundo um angulo de eleva9ao de 60°.
a) Qual a altura do predio, se a distancia da pessoa a ele for 30 m?
b) Qual a distancia da pessoa a ele, no caso de 0 predio ter 40 m de altura?
III
III
III
•60°
41. 0 ponto A esta numa das margens de um rio e 0 ponto B, na outra. Determine a distancia de A ate
B, nos casos:
a)
A
B
75°5
°'>1
c
Rio
b)
264
A
B

271. 42. A distancia de uma pessoa a uma arvore e de 45 m. Essa pessoa tem 1,80 m de altura e 0 angulo de ele-
vac;:ao segundo 0 qual ela ve 0 topo da arvore e de 25°. Determine a altura aproximada dessa arvore.
r.;',-,- --:-.I~--iltI--::-........-:::.,-.~~·,...."...·.-_.
:~;';..:~:~:.!;::l:~~.~:~~:.:::::.:-..:::~~~_~'"''~_'''.._....~..-. 1,80m
43. Quando Pedrinho e seu pai estavam passeando na praia, os raios de sol formavam um angulo de
40° com 0 chao. Determine:
a) 0 comprimento da sombra de Pedrinho, sabendo que ele tem 1,20 m de altura.
b) a altura do pai dele, sabendo que a sua sombra mede 2 m.
44. Um poste de 5 m de altura tem em seu topo uma luz acesa. Uma pessoa, de 1,80 m de altura, cami-
nha a partir do poste ate um predio distante 15 m. Determine a que distancia a pessoa estara do pre-
dio quando sua sombra comec;:ar a atingir 0 predio.
45. A janela de um farol esta situada no ponto me-
dio de sua altura. Alguem, situado nessa janela,
ve um barqueiro no ponto A, sob um angulo de
40°, conforme mostra a figura. Ache 0 angulo
sob 0 qual 0 barqueiro ve 0 topo do faro!.
(Sugestao: use "aquela" tabua construfda no
caderno e que tem a coluna das tangentes, ou
uma calculadora cientffica.)
265
,,
A

272. 46. No triangulo a seguir, determine x, ye CI..
......./
<X
Y x
65° 35· /.......
I 100m I
47. Determine a, 0 e [3 no triangulo abaixo.
'-/
8
l: a
~
'-
60· f3 /
I 100 m I
48. Um piloto de aviao pretende ir de uma cidade X ate uma cidade A e, para tanto, deve tomar 0 rumo
300. Sua chegada e prevista para 3 horas ap6s a decolagem.
Ele levanta y~o, determina 0 rumo do aviao, liga 0 piloto automatico e... adormece! Tres horas depois,
nao venda a cidade A, 0 pilato percebe que havia determinado erroneamente 0 rumo 270, estando
portanto na posigao B. Veja a bussola com os rumos citados:
Rume 300.
'. A
'.,
270 ",
Rume 270 - -- - .-- - -- - - - -- - - --- - :~X
B 0
5
180
a) Qual 0 rumo que deve tomar para ir de B ate A?
b) Quanto tempo demorara para fazer esse percurso?
1
49. (E. E. Maua-SP) Determine as alturas de um triangulo ABC que e retangulo em A, dados AB = c
e AC = b.
50. (UFGO) Uma pessoa deseja subir uma rampa de comprimento dque forma um angulo CI. com a hori-
zontal. Ap6s subir a rampa, essa pessoa estara h metros acima da posigao em que se encontrava
inicialmente, como mostra a figura abaixo:
d
<X
----_.-:- -- -- - -- -- -- - - - -- - - -- --- -- - --- --
a) Que relagao existe entre os valores de CI., he d?
b) Supondo CI. = 30° e h = 1 m, qual 0 valor de d?
266

273. 51. (Unicamp-SP) Uma rampa de inclinayao cons-
tante, como a que da acesso ao Palacio do
Planalto em Brasilia, tem 4 metros de altura na
SU:1 parte mais alta. Uma pessoa, tendo come-
ya,io a subi-Ia, nota que ap6s caminhar 12,3
metros sobre a rampa esta a 1,5 metro de altu-
ra fm relayao ao solo.
a) Faya uma figura i1ustrativa da situayao des-
crita.
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve
caminhar para atingir 0 ponto mais alto da
rampa.
TESTES _
52. (U. Cat6lica de Salvador-BA) Na figura ao lado
tem-se 0 trifmgulo ABC, retangulo em B, no qual
o lado BC mede 8 cm. A altura BH , relativa ao
vMice B, mede 4,8 cm. A tangente do angulo
/I.
BAH eigual a: ~A H C
a) ,'3 b)
4
3
c) 1 d) e)
1
2
3
53. (U. F. Santa Maria-RS) Num triangulo retangulo, 0 cosseno de um angulo e 5 e a hipotenusa mede
10 cm. A soma dos catetos, em centfmetros, e:
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16
54. (UFRS) No triangulo retangulo da figura,
BC = 10 e cos ex = 0,8. 0 valor de AB e:
a) 8
b) 6
c) 5
d) 4
e) 2
B
A'----------------'>.C
55. Se os raios solares formam um angulo ex com 0 solo, qual e, aproximadamente, 0 comprimento da
sombra de um ediffcio com 10 m de altura? (Dado: sen ex = ~)
a) 16,6 m b) 15,5 m c) 14,4 m d) 13,3 m e) 12,2 m
56. (UFRS) 0 valor de sen 30° - cos 60° e:
a) 0 b) 1 c) d) e)
57. (UFSE) A area, em centfmetros quadrados, do
triangulo representado na figura ao lado e:
a) 40.J2
b) 20,3
c) 20.J2
d) 25
e) 10
267
~30°
8cm

274. 58. (U. Cat61ica de Salvador-SA) Na figura ao lade
tem-se um trapezio is6sceles cujos lados tem as
medidas indicadas. A medida ex do angulo assi-
nalado e:
")..1_4
jfI... 6
a) 60° c) 30°
59. (Unifor-CE) As diagonais de um paralelogramo formam entre si um angulo de 30° e seus comprimen-
tos sao 2 3 em e 4 em. 0 perfmetro desse paralelogramo, em centimetros, e:
a) 2.ff3 b) 4.ff3 c) 1 + '13 d) 2 + 2'13 e) 4 + 2'13
e) 7
8
d) ~
7
c) ~
4
b) -.!-
4
60. (PUC-MG) 0 cosseno do menor angulo interno do triangulo cujos lados medem 2 em, 1 em e 2 em
e igual a:
a) -.!-
2
c)
8
3-./'7e)b) _ $
8
61. (UFES) Dado 0 triangulo abaixo, podemos afirmar que 0 valor de cos ex e:
~ ; .~ - ~ ¥
'V?
62. (Imes-SP) Na figura, 0 valor de x e:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
h
63. (Unisinos-RS) Se num triangulo ABCtemos: med (A) = 30°, med (B) = 60° e med (AB) = 25 em,
entao med (BC) e, em em, igual a:
a) 25$ b) 25''2 c) 12,5'3 d) 12,5'2 e) 12,5
64. (FEI-SP) Se em um triangulo ABC 0 lade AB mede 3 em, 0 lade BC mede 4 em e 0 angulo interne
formado entre os lados AB e BC mede 60°, entao 0 lade AC mede:
a) .J37 em b) .ff3 em c) 2''3 em d) 3'3 em e) 2'2 em
65. (Vunesp) Do quadrilatero ABCD da figura ao la-
do, sabe-se que: os angulos internos de vertices
A e C sao retos; os angulos COB e ADB me-
dem, respectivamente, 45° e 30°; 0 lade CD
mede 2 dm.
Entao, os lados AD e AB medem, respectiva-
mente, em dm:
a) .J6 e ''3 d) ''6 e '5
b) -J5 e-v3
c) ''6"" e 2
e) ..J3 e '5
A
'-----------"D
268

275. Capit 0
2
Trigonometria -
areos e angulos
I. Introdu~ao
No capitulo anterior, trabalharnos com virias relas:oes envolvendo as medidas de lados e
de angulos de urn triangulo. Entre as relas:oes estudadas estavam as razoes trigonometricas de
angulos agudos: seno, cosseno e tangente.
o ramo da matematica que estuda esses tipos de relas:oes e chamado trigonornetria (do
grego trigonon, triangulo, e metria, medis:ao, ato de medir).
Os prirneiros estudos sobre trigonometria tiveram origem nas relas:oes existentes entre la-
dos e angulos num triangulo e datam de muito tempo.
Neste capitulo, prepararemos 0 terreno para 0 estudo de algumas novas funs:oes, chama-
das fun~5es trigonornerricas, entre as quais as fllns:oes seno e cosseno.
Essas funs:oes sao muito importantes, pois inurneros fenomenos que ocorrem em nossa
volta sao descritos pOl' funs:oes desse tipo.
Assim, pOl' exemplo, ocorre com a eletricidade, com as ondas sonoras, com estudos topo-
graficos etc.
Aoe
Dois pontos A e B quaisquer, tornados so-
bre uma circllnferencia, dividem-na em duas
partes, cada uma delas chamada arco da cir-
cunferencia.
A figura ao lado mostra 0 arco A:B. Nele,
o ponto A e a sua origem e B, a sua extrerni-
dade.
A medida do comprimento do arco AB pode ser feita utilizando-se qualquer das unida-
des usadas para rnedir seu raio, como 0 metro, 0 centimetro etc. As unidades mais comumen-
te usadas sao 0 grau e 0 radiano.
2. Arcos e angulos
• Medida de urn arco utilizando 0 grau como unidade
Com relas:ao ao grau, ja sabemos que e uma unidade de medida de urn arco de circun-
ferencia, tal que:
1
Urn grau (1°) corresponde a da circunferencia onde esta 0 arco a ser medido.
360
Portanto a circunferencia tern 3600
.
269

276. Sabemos ainda que:
I 1° tem 60' e I' tem 60" I
e que, a partir de segundos, voltamos a utilizar 0 sistema decimal, usando decimos, centesi-
mos etc. (de segundo).
Assim:
a) 12° 20' significa 12 graus e 20 minutos;
b) 5° 10' 30" significa 5 graus, 10 minutos e 30 segundos;
c) 30° 15'10,5" significa 30 graus, 15 minutos, 10 segundos e 5 decimos de segundo.
Vejan10s um exemplo de aplica~ao.
Considerando-se um rel6gio com pomeiro das horas e ponteiro dos minutos, calcular:
a) 0 deslocamento do ponteiro das horas em 1 hora.
b) 0 deslocamento do ponteiro das horas em 1 minuto.
c) 0 deslocamemo do ponteiro dos minutos em 1 hora.
d) 0 deslocamento do ponteiro dos minutos em 1 minuto.
e) 0 menor arco determinado pelos dois ponteiros quando for 3 h 10 min.
Soluriio
a) Veja 0 que ocorre, por exemplo, das 3 h as 4 h.
12 12
Notando que 0 mostrador esta dividido em 12 partes iguais (uma para cada hora), entao,
para cada hora, corresponded um deslocamemo de 360° --:- 12, ou seja, em 1 hora 0 pon-
teiro das horas se desloca 30°.
b) Ta sabemos que em 1 hora (60 min) 0 pomeiro das horas se desloca 30°, Temos a seguin-
te regra de tres simples e direta:
--------.... x
Deslocamento (graus)
-------+>30
Tempo (min)
60
1
60 30 1
Temos que: -- = -- ~ 60 . x = 30 ~ x = - ou 0, 5.
1 x 2
Entao, em cada minuto 0 ponteiro das horas se desloca 0,5°, ou seja, 30',
c) Em 1 hora 0 pomeiro dos minutos da uma volta completa, ou seja, 0 deslocamento e de
360°.
d) Em 1 hora (60 min) 0 ponteiro dos minutos se desloca 360°. Temos a regra de tres sim-
ples e direta mostrada a seguir.
270

277. x
Tempo (min) Deslocamento (graus)
60 - - - - - - - + . 360
1
Entio: 60 = 360 => 60 . x = 360 => x = 6.
1 x
Porranto, em eada minuto 0 ponteiro dos minutos se desloea 6°.
e) Vamos analisar 0 que oeorre desde as 3 hate 3 h 10 min.
12
l
3 h
12
3 h 10 min
As 3 h 0 areo era de 3 . 30°, ou seja, 90°. 1
Nos 10 min 0 ponteiro das horas se desloeau 10· - grau, ou seja, 5° (aumentou 0 area).
2
Nos mesmos 10 min 0 ponteiro dos minutos se desloeou 10 . 6°, ou seja, 60° (diminuiu
o areo).
Entao 0 area proeurado mede: 90° + 5° - 60° = 35°.
o menor area as 3 h 10 min mede 35°.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
1. Um rel6gio tem 0 ponteiro de horas e 0 de minu-
tos. Determine 0 deslocamento do ponteiro das
horas depois de passados:
a) 4 h
b) 25 min
c) 2 h 15 min
2. Nesse mesmo rel6gio, determine 0 deslocamento do ponteiro dos minutos depois de passados:
a) 20 min b) 30 min 30 s
3. Ainda com 0 mesmo rel6gio, calcule 0 menor dos angulos determinados pelos ponteiros quando marcarem:
a) 3 h 20 min b) 1 h 15 min c) 7 h 30 min
4. Um rel6gio perdeu 0 ponteiro dos minutos, mas
ainda tem 0 das horas. Num determinado
momento, esse ponteiro esta posicionado como
mostra a figura ao lado. Que horas sao?
271
" 130
0
,,
,
,
~

278. • Medida de urn arco usando 0 radiano como unidade
Vamos entender 0 que e radiano atraves da situac;ao a seguir.
Urn ciclista comec;a a rodar sua bicicleta para a direita...
Chao
A
... e, quando percebe que no chao existe tinta vermelha, que esra "pintando" 0 pneu...
Chao
)
A
... de para. S6 que, ao parar, de ja havia ava.l1c;ado lUna dist3..l1cia igual ao raio da roda da bicicleta.
A
o ciclista volta, de fe, para a posic;ao inicial. r
Chao
-
Posic;ao inicial.
Chao
Chao
272

279. Pois bem, 0 ciclista voltou aposirrao inicial mas, nisso, uma parte do pneu foi pintada de
vermelho! Exatamente a parte correspondente ao arco H' da figura e eujo eomprimento
eigual ao do raio.
Um area eujo eomprimento e igual ao do raio da circunferencia onde se eneantra mede
1 radiano e e indicado por 1 rad. No nosso exemplo, H' mede 1 rad.
Entao, definimos:
Radiano e uma unidade de medir arcos. Eum arco de eamprimento igual ao raio da
circunferencia onde esta 0 area a ser medido.
Observa~o: e importante notar que, como 0 comprimento de uma circunferencia e dado
por C = 2 . 7T . r, em que rea medida do raio, entio, em radianos, a circunferencia toda ted.:
11800 earrespondem a 7T rad. I
A transformarrao da medida de um arco dada em graus para radianos (e vice-versa) e feita
simplesmente aplicando-se uma regra de tres simples e direta.
Vejamos alguns exemplos.
1
2 . 7T .f rad, ou seja, 27T rad (7T vale aproximadamente 3,14).
f
1
Dessa forma, para uma circunferencia qualquer, temos que 360° correspondem a 27T rad,
ou sep:
Exemplo 1 900
Exprirnir 150° em radianos.
Solufao
Temos a regra de tres simples e direta:
Arco (graus) Arco (rad) 1800
00
180 • 7T
It 150 , x
6
Entao: 1-8'0 7T => 6x 57T => X
57T 2700
l-s6
- - -
x 6
5 'IT
"2
o arco mede
57T
-- rad.
6
Exemplo 2
'IT 0
Exprimir
7T
rad em graus.
6
SolUfao
Como 7T rad corresponde a 180°, entao
7T d d I 180
0
. 300ra correspon era a ---, ou seJa, .
6 6
273

280. Exemplo 3
Exprimir em graus 0 arco de ~ rad.
50
SolUtiio
180°
Como 'JT rad corresponde a 180°, entao ~ rad correspondera a
50 50
Vamos dividir 180° por 50:
Resto
o area procurado mede 3° 36' .
30° (resto)
X 60
1800'
1800'
300'
00
~
36'
EXERCICIOS PROPOSTOS _
5. Exprima em radianos:
a) 600
6. De em graus:
21T
a) 3 rad
7. Transforme:
a) 10
em radianos
b) 31T rad
4
c) 71T rad
6
b) 1 rad em graus
d) 1200
d) ~ rad
15
3. Medida de urn angulo central
Virnos em nossos estudos de 1Q grau que urn angulo, com vertice no centro de uma cir-
cunferencia, e chamado angulo central. 1
A figura abaixo mostra 0 angulo central AGB .
O_-----.,:..:.A--
Emuito eanveniente adotar como unidade de medida de urn angulo central 0 angulo que
determina na circunferencia urn arco unitario.
Dessa forma:
1
o numero que exprime a medida do angulo AGB e 0 mesmo que exprime a medida
do arco AB.
274

281. Assim
a) Se a w1idade de medida tor 0 grau e 0 area
ABmedir, por exemplo, 60°, entao
1
o angulo AGB tambem medira 60°.
b) Se a unidade de medida for 0 radiano e 0
...----.. 1T
area AB medir, por exemplo, - rad,
6
1
entao 0 angulo AGB tambem medinl
1T rad.
6
Oe-.l.-----4.,..A'-----
..-- -i-rad
OF---'----+,---
Vejamos alguns exemplos.
-i-rad
Exemplo 1
A eireunfereneia da figura abaixo tem 8 em de raio. Um inseto parte do ponto A e anda so-
1
bre ela ate 0 ponto B. Sabendo que a medida do angulo central AGB e 60°, determinar quan-
tos eentimetros andou 0 inseto.
Oe----'------tA
SolUfiio
Temos a seguinte regra de tres simples e direta:
Angulo central
(graus)
360
f 60
Entao:
Comprimento do areo
(em)
2 . 1T • 8
x
360
60
2 . 1T . 8 2 . 1T • 8 . 60
=>x= =>x
x 360
3,14 . 8
3
=> x = 8,37
Portanto 0 inseto andou aproximadamente 8,37 em.
Exemplo 2
Numa eireunfereneia que tem 28 em de diametro, um areo tem 12 em de eomprimento. Qual
e a medida (em rad) do angulo central earrespondente?
275

282. SolUfiio
Se 0 diametro mede 28 em, entao 0 raio mede 14 em. Temos a seguinte regra de tres simples
e direta:
Portanto:
Comprimento do arco
(em)
1
2 . 'IT ' 14
12
Angulo central
(rad)
2·'IT
x
2 . 'IT . 14
12
2·'IT
=---=>x=
X
2 ' 12
2 ' 14
=> x = 0,86
Assim sendo, 0 angulo central mede aproximadamente 0,86 rad.
Observa~o: de urn modo geral, ehamando de So eomprimento de tun area, de a a medida, em
radianos, do angulo central eorrespondente, e de l' a medida do raio, temos a seguinte regra de tres:
Comprimento do arco Medida do angulo central
(em rad)
~'IT 1
Entao:
S
portanto I S = a' r I
Utilizemos essa formula para solueionar 0 problema dado.
Como S = 12 em e l' = 14 em, temos:
12 em = a' 14 em => a =
12
14
=> a = 0,86 rad
Exemplo 3
Determinar quanto mede 0 raio de uma eireunfereneia, sabendo que urn area que mede 10 em
earresponde a urn angulo central de ~ radianos.
6
SolUfiio
Seja r a medida do raio, em em. Temos a regra de tres simples e direta:
Comprimento do arco Angulo central
I
(em) I(rad)
2''IT'r 2·'IT
10 5
6
Assim sendo:
2·'IT r 6
=---=>--=-=>r
5 10 5
6
6 . 10 => r = 12
5
Portanto 0 raio da eireunfereneia mede 12 em.
276

283. EXERCiclOS PROPOSTOS
(Para os exercfcios seguintes, usar 'IT = 3,14.)
8. Determine:
a) 0 comprimento de um arco de circunferencia (em cm), sabendo que ela tem 12 cm de raio e 0
angulo central correspondente mede 20°.
b) 0 angulo central (em rad) correspondente a um arco de 15 cm de comprimento, sabendo que ela
tem raio de 20 cm.
c) a medida do raio de uma circunferencia (em cm), sabendo que nela um angulo central de 15° cor-
responde a um arco de 30 cm.
9. Aroda dianteira de uma bicicleta tem 40 cm de raio.
a) Quantos metros ela percorre ao dar 5 000 voltas?
b) Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420 m?
4. 0 cicio trigonometrico
Quando em nossos estudos de 1Q grau estabelecemos a ideia de eixo, na verdade 0 que
fizemos foi 0 seguinte:
a) Tinha-se uma reta. b) Tomou-se um de c) Estabeleceu-se um d) Estabeleceu-se uma
seus pontos. sentido positivo. unidade de medir.
o
•
Que tal fazermos isso com uma circunfercncia?
Veja:
o
• +
o I
• • •+
a) Temos uma
circunfercncia.
o.
b) Tomemos um de
seus pontos como
origem dos arcos.
0.· - - - - - - - A
c) Estabele<;:amos um
sentido positivo
para as arcos.
+
0·-------1
d) Estabele<;:amos 0
radiano como
unidade de medida
de arcos.
+
O•. -------~A
277

284. Dessa forma, obtemos um ciclo trigonometrico.
Entao:
Ciclo trigonometriea ou simplesmente ciclo e uma circunfef(~nciaorientada, na qual 0
raio mede 1.
Considerando entao um ciclo trigonometrico, podemos estabelecer um sistema de coor-
denadas cartesianas ortogonais, com origem no centro do ciclo. Dessa forma, 0 plano carte-
siano fica dividido em quatro regioes, cada Llma chamada quadrante.
Veja a figura:
Eixo d.s ordenad.s
2" qu.dranee
8
I" quadrante
A, A
-------'~~-----:~---_ff.'-----'~ Eixo das abscissas
°1'--....--""1
3" quadranee
Assim, na figura:
8,
4" qu.dranee
®
E
F
CD
D
A
dizemos que:
° x
• AD e um area do 1Q quadrante;
G
® • Ai' e um arco do 2Q
quadrante;
...----...
e um arco do 39 quadrante;• AF
• AG e um arco do 4Q
quadrante.
Observe agora a figura:
Notemos que a cada numero real x earresponde um ponto P do ciclo, tal que AI> mede x.
o ponto Pea imagem de x no ciclo.
278

285. 1311" d--ra
6 '
Observa~ao: e importante observar que a eada x E IR corresponde urn s6 ponto P, mas para
eada ponto P existem infinitos arcos de origem A e extremidade P e, conseqiientemente, infi-
nitos valores de x.
Veja urn exemplo disso nas figuras seguintes. Os areos de medidas ~ rad,
6
2511" I'ad e -1l1T d . A 'd d Pra possuem a mesma ongem e a mesma extreml a e .
6 6
i rad 131T rad
6
(-i-rad e maiS)
I volta
251T rad
6
(i rad e rnaiS)
2 voltaS
::..!..!..E rad
6
Esse fato sugere a ideia de definirmos urn arco trigonometrieo.
s. 0 arco trigonometrico
Seja ao a medida de urn areo AP em radianos, tal que 0 ~ ao < 211". Chamamos area tri-
gonometrico 0 conjunto dos numeros a do tipo:
1 volta
a = ao + k· 211", onde k E 7L, ou seja, k E {..., -2, -1,0,1,2, ... 1
Assim:
• se k = 0, obtemos a = ao, que e a primeira determina<;:ao positiva do area AP;
• se k = -1, obtemos a = ao - 211", que e a primeira determina<;:ao negativa do areo AP.
-1l1T d' . . d ' ---- ra e a pnmelra etermma<;:ao ne-
6
No ultimo exemplo visto, ~ rad e a primeira determina<;:ao positiva do arco AP,
6
2511" d' .- - ra e a tereeu'a etc.;
6
1311" d' d- - ra e a segun a,
6
gativa.
Observa~ao: no easo de aoser a medida do area AP em graus, tal que 0° ~ ao < 360°, eha-
mamos arco trigonometrico 0 conjunto dos numeros a do tipo:
a = ao + k . 3600
, onde k E 7L
Na pratiea, 0 eneontro da primeira determina<;:ao positiva e feito, inieialmente, encontran-
do 0 numero de voltas.
Exemplo 1
Obter a primeira determina<;:ao positiva dos arcos eujas medidas sao:
a) 1250
b) 1250° e) 1311" rad
3
d) 3800
30'
279

286. SolUfiio
a) 125°
Como 0° < 125° < 360°, entao a primeira determinas:ao positiva e 125°.
b) 1250°
Observando que cada 360° cOlTesponde a uma volta no cicIo, temos que:
1250° 1360°
170° 3 (voltas)
portanto 1250° = 3 . 360° + 170°.
Entao a primeira determinas:ao positiva e 170°.
13'JT
c) - - rad
3
Lembrando que cada 2'JT rad corresponde a uma volta no cicIo, temos:
13'JT 12'JT road + 'JT- - rad =
3 3 3
rad = 4'JT rad + 'JT rad
3
2 voltas
3
'JT
Assim sendo, a primeira determinas:ao positiva e
d) 380° 30'
Temos que: 380° 30' = 360° + 20° 30 I
1 volta
Entao a prirneira determinas:ao positiva e 20° 30 I •
rad.
Exemplo 2
Calcular a primeira determinas:ao positiva e a primeira determinas:ao negativa dos areas cujas
medidas sao:
b) 400° c) -800° d) -15'JT rad
2
SolUfiio
a) -45°
Essa e a prirneira determinas:ao negativa. Como a primeira determinas:ao negativa do arco
trigonometrico a = ao + k . 360°, com k E 71, ocorre quando Ie = -1, ternos que:
-45° = ao - 1 . 360° ~ ao = 360° - 45° ~ ao = 315°
Entao a primeira determinas:ao positiva e 315° e a primeira determinas:ao negativa e -45°.
Veja a ilustras:ao:
315°~
O_----.A
280

287. b) 400°
Temos que 400° = 360° + 40°.
Assim sendo, aprimeira determina<;:ao positiva e 40°.
o area trigonometrico e, portanto:
a = 40° + k . 360°, k E 7L
Como a primeira determina<;:ao negativa ocorre quando k = - 1, temos:
a = 40° - 360° ~ a = - 320°
Dessa forma conduimos que a primeira determina<;:ao positiva e 40° e a primeira determi-
na<;:ao negativa e -320°.
Veja a ilustra<;:ao:
c) -800°
Note que cada - 360° corresponde a uma volta no cido, dada no sentido negativo. Entao:
-800° = -360° - 360° - 80°
~
2 voltas
Assim, a primeira determina<;:ao negativa e - 80°.
Como no area trigonometriea a = ao + Ie' 360°, k E 7L, a primeira determina<;:ao negati-
va ocorre quando k = - 1, temos:
d) -15'IT rad
2
Como cada - 2'IT rad corresponde a uma volta no cido, dada no sentido negativo, temos
que:
-15'IT rad = -12'IT rad _ 3'IT
2 2 2
rad = - 6'IT rad _ 3'IT
'-------v------ 2
3 voltas
rad
-3'IT
Assim, rad e a pnmelra determina<;:ao negativa. Como no area trigonometriea
2
a = ao + k· 2'IT, k E 7L, a primeira determina<;:ao negativa ocorre quando k = -1, temos:
3'IT
2
'IT
2
Dessa forma conduimos que a primeira determina<;:ao positiva e
termina<;:ao negativa e
-3'IT
rad.
2
281
'IT
rad e a primeira de-
2

288. EXERCiclOS PROPOSTOS _
15'iT rad
2
10. De a primeira determinacao positiva dos areos eujas medidas sao:
a) 54° b) S40° e) ; rad
11. Caleule a primeira determinacao negativa dos areos eujas medidas sao:
a) 64° b) 540° 24' e) 5; rad
d)
d)
19'iT
4
rad
12. Obtenha a primeira determinacao positiva e a primeira determinacao negativa dos areos de medidas:
a) -100° b) -SOO° e) -~'iT rad d) -1;'iT rad
13. No area trigonometrieo a = ao + k· 2'iT, k E &'., ealeule:
3'iT
a) a primeira determinacao negativa, se a primeira determinacao positiva for -S- rad.
-5'iT
b) a primeira determinacao positiva, se a primeira determinacao negativa for 6 rad.
14. No area trigonometrieo a = ao + k· 360°, k E &'., ealeule:
a) a primeira determinacao negativa, se a primeira determinacao positiva for 145°.
b) a primeira determinacao positiva, se a primeira determinacao negativa for -240°.
RELEMBRANDO CONCEITOS
Veja a figura ao lado.
o nllmero que exprime a medida do angu-
/
10 central AGB e 0 mesmo que exprime a
medida do area AB.
Unidades de medida de arco (ou de angulo central)
o~------'A-
1 Grau, indieado por 10
, eorresponde a _1_ da eireunfercneia onde esta 0 area a ser
medido. 360
1 grau tern 60 minutos, ou seja: 10
= 60'.
1 minuto tern 60 segundos, ou seja: I' = 60" .
1 Radiano, indieado por 1 rad, eOlTesponde ao area eujo eomprimento eigual ao raio da
eireunfercneia onde esta 0 area a ser medido.
o eamprimento (S) de urn area eujo angulo central, em radianos, mede a e 0 raio mede
r e dado por:
I S = a' r I
Arco trigonometrico
a = ao + k· 21T, k E 7L, com 0 "" ao "" 21T, eehamado area trigonometrieo.
Para k = 0, obtemos a = ao, ehamada primeira determinas:ao positiva do areo.
Para k = -1, obtemos a = ao - 21T, chamada primeira determinas:ao negativa do areo.
282

289. EXERCICIOS COMPLEMENTARES _
15. Quando Pedrinho comprou sua bicicleta, 0 pneu era bem borrachudo e tinha 35 cm de raio. Nessa
epoca, para ir de sua casa a escola, 0 pneu girava 345 vezes. Depois de muito usc, 0 pneu ficou
"careca", tendo perdido 0,5 cm de sua casca. Quantas vezes aroda da bicicleta devera girar para
fazer 0 mesmo trajeto, agora com pneu "careca"? (Usar 7T = 3,14.)
16. 0 rel6gio de parede de um matematico tem
mostrador circular e perdeu 0 ponteiro dos
minutos; s6 ficou 0 ponteiro das horas. No
entanto 0 matematico nao se incomoda muito
com isso, pois, quando quer saber as horas,
ele mede 0 angulo que 0 ponteiro forma com a
reta que passa pelo numero 12 e pelo centro
do mostrador. 5e numa manha, ao acordar, a
posiyao do ponteiro das horas era igual a da
figura ao lado, responda: A que horas exata-
mente ele acordou?
17. Na figura ao lado, vemos dois roletes circula-
res. Quando 0 rolete maior gira, ° atrito faz
com que 0 menor gire tambem. Considerando
que os raios dos roletes medem 45 cm e 25
cm, responda:
a) Quantas voltas completas dara 0 pequeno,
se 0 grande der 68 voltas?
b) Quantas voltas completas deu 0 grande, se 0
pequeno fez 1 251 voltas?
•
•
18. Uma pedra esta amarrada na ponta de um barbante e a outra ponta esta presa em 0 (ver figural. Ela
executa 0 movimento de um pendulo de rel6gio desde A ate a. 5e 0 barbante mede 32 cm e 0
angulo ADa e de ~ rad, determine quantos centfmetros percorre a pedra.
....... 0
19. Numa pista de autorama uma curva tem 60 cm e e arco de uma circunferencia. 5e 0 angulo central
correspondente e de 1~ rad, determine 0 raio da circunferencia.
283

290. TESTES
20. (Fesp-SP) A medida em radianos de um arco de 12° e:
a) ~
15
b) ~
12
c) ...21:.-
8
d)
6
e)
'IT
10
21. 0 angulo agudo formado pelos ponteiros de um rel6gio quando ele marca 1 h 20 min e:
a) 120° b) 110° c) 100° d) 90° e) 80°
22. (UFPI) Supondo que 0 movimento dos ponteiros de um rel6gio seja continuo (nao aos saltos), 0
angulo que esses ponteiros formam quando 0 rel6gio marca 11 horas e 45 minutos e:
23. (U. Bauru-SP) Na figura ao lade tem-se 5 arcos
de circunferencias concentricas e igualmente
espa<;:ados entre si. Sabendo-se que a soma
dos comprimentos desses arcos eigual ao com-
primento da circunferencia maior, assinale a
alternativa que indica a medida do angulo cen-
tral comum a todas as circunferencias:
a) 60° 30'
a) 120°
b) 90°
c) 72°
b) 72°
d) 60°
e) 45°
c) 60° d) 82° 30' e) 85°
24. (Faap-SP) Dois ciclistas percorrem, no mesmo
sentido, uma pista circular de 50 metros de dia-
metro. A cada volta, 0 primeiro percorre 2,5 m a
mais do que 0 segundo. Supondo que mante-
nham 0 mesmo ritmo, 0 primeiro ciclista tera
percorrido 1 radiano a mais do que 0 segundo
ap6s:
a) 20 voltas
b) 15 voltas
c) 10 voltas
d) 5 voltas
e) 2,5 voltas
284

291. Caplt 10
3 Fun~6es trigonometricas
I. Introdu~ao
Todos, seguramente, ja tiveram oportuni-
dade de ver uma roda-gigante em algum par-
que de diversoes, ou mesmo pela televisao.
Alguns ate ja "andaram" nela.
Agora imagine uma roda-gigante cujo raio
tenha, digamos, 8 metros, e que 0 setor de
embarque/desembarque, que chamaremos de
Blvel, seja como 0 mostrado na figura.
Voce vai entrar em um de seus comparti-
mentos, e aroda vai girar no sentido anti-
horario. Quando ela come~a a girar, a sua posi-
~ao relativamente ao nlvel come~a a mudar. A
tabela seguinte mostra de metro em metro a
sua posi~ao.
I
Posi~ao
I I
Sua posi~ao
Voce cstar.l rd.ltiva ao Obscrvas:ao scra
nivc) indicada por
... am esta no nivel a
subindo 1 111 acima 1
subindo 2 m acima 2
... ... ...
subindo 7 m acima 7
subindo 8 m acima altura maxima 8
descendo 7 m acima 7
descendo 6 m acima 6
... ... ...
descendo 1 m acima 1
descendo am esta no nivel a
descendo 1 m abaixo -1
descendo 2 m abaixo -2
... ... . ..
descendo 7 m abaixo -7
descendo 8 m abaixo altura minima -8
subindo 7 m abaixo -7
subindo 6 111 abaixo -6
... ... ...
subindo 1 m abaixo -1
subindo am esta no nlvel a
285

292. Entao, se estabelecermos um sistema carte-
siano ortogonal com origem no centro da ro-
da-gigante, e considerando a roda-gigante co-
mo uma circunferencia na qual a sua posis:ao
num certo instante qualquer e M, teremos 0
grafico ao lado.
Veja que, para cada numero real x, existe em correspondencia um ponto M, tal que 0 arco
.AM" mede x, e, para cada arco .AM", existe em correspondencia um numero real que varia
desde -8 ate 8, e que representa a sua altura com relas:ao ao nlvel.
Entao, temos que a altura e uma funs:ao de x. Poderiamos chamar essa funs:ao de "funs:ao
roda-gigante".
Note que, se aroda continuar a girar, voce passara novamente pelas mesmas posis:6es ante-
riares. 1sso significa dizer que a nossa funs:ao e peri6dica.
Voce entendeu bem essa funs:ao? Que bom! Assim voce entendera a funs:ao sene com bas-
tante facilidade.
2. A fun~ao sene
Agora que ja aprendemos 0 que e um ciclo
trigonometrico, e ate ja andamos de roda-gigan-
te, vamos definir uma funs:ao muito impartante:
a funs:ao seno. Voce vera que ela e bastante
parecida com a nossa "funs:ao roda-gigante".
Para tanto, tomemos um sistema cartesiano
ortogonal de origem 0, e um ciclo trigonome-
trico de centro em 0, onde A e a origem dos
arcos, como mostra a figura ao lado.
Eixo das ordenadas
8
--+---~~---+--J~ Eixo das abscissas
Agora observe a figura abaixo.
Eixo dos senos
+ 1 --
Varia~ao _A~,~ ::+---,-----=-_-.>-:A_~Eixo das abscissas
do sene
_I 't'
8,
Raio I ~
Para cada numero real x existe em correspondencia um ponto M, tal que 0 arco .AM"1
mede x, e 0 angulo AO){ tambem mede x.
286

293. Chamando de a a abscissa do ponto M, e de b a sua ordenada, temos:
M(a, b)
o numero b, ordenada do ponto Me chamado sene de x, e e indicado por:
sen x = b
Por esse motivo, 0 eixo das ordenadas e tambem chamado de eixo dos senos.
Defil1imos a funcrao sene como:
I f: IR ~ IR tal que f(x) = sen x
Partindo do ponto A, vamos dar uma volta completa no cicio. Dessa forma, observando
as ordenadas dos pontos A, B, Al e Bi> podemos informar os valores da fun<;ao sene para
alguns arcos. Veja:
Medida x do arco IExtte~idadedo "'wiOrnenada, do ponto I o valor de sen x
em radianos: esta no ponto: e: e:
0 A(l,O) 0 sen 0 = 0
1T
B(O,l) 1
1T
= 1-
sen 22
1T A I (-l,O) 0 sen 1T = 0
31T
Br(O, -1) -1
31T- - sen -- = -1
2 2
21T A(l,O) 0 sen 21T = 0
Vamos fazer uma analise mais detalhada da funcrao sene:
• 0 dominio da funcrao f(x) = sen x e IR.
• 0 conjunto imagem da funcrao f(x) = sen x e Im(f) = ly E IR 1-1 ~ y ~ I}, au se-
ja: Im(f) = [-1, 1].
• A funcrao e peri6dica.
Dizemos que uma funcrao f: IR ~ IR eperi6dica se, para qualquer x E IR, tivermos:
f(x + p) = f(x), com p E IR CD
o menor valor positivo de p tal que G) ocarra e chamado periodo da funcrao f
Assim sendo, como todos as valores do sene encontrados na primeira volta no cicio se
repetem nas voltas subsequentes, entao, para qualquer x E IR temos que:
k e0 nllinero de voltas
sen(x + k . 21T) = sen x @
o menor valor positivo tal que @ ocorra e k = 1.
Trocando k par 1 em ® 'encontramos:
Periodo
sen(x + 1 . 21T) = sen.': ~ sen(x + 21T) = sen x
Dessa forma conclufmos que a funcrao f(x) = sen x
eperi6dica de periodo 21T rad.
287
sen x =sen (x + k . 21T)
Eixo des senos
Eixo dos
abscissas

294. • Sinal da fun~o y = sen x: analisando 0 sinal da func,:ao y = sen x em cada urn dos qua-
ch-antes, temos:
1° quadrante
Seno positivo
22
quadrante
Seno positivo
3° quadrante
Seno negativo
4° quadrante
Seno negativo
Resumo
• A func,:ao f(x) = sen x e uma func,:ao impar.
Veja as figuras:
Eixo dos senos Eixo dos senos
sen x
sen (-x)
sen x
sen (-x)
A
b) A segunda faz corresponder ao ponto do
ciclo a sua ordenada.
Nos dois casos temos sen( - x) = -sen x. Isso ocorre para qualquer x E IR.
Assim, concluimos:
y = sen x e func,:ao impar.
Observas:ao: muitas vezes necessitamos encontrar 0 seno de urn arco que esta medido em
graus, como, por exemplo, sen 600
. Devemos entender isso como uma composic,:ao de duas
func,:6es:
a) A primeira faz corresponder a 600
urn ponto do ciclo.
p
p
sen 60°
A
x
o
A
x
Na pratica, procuramos exprimir a sua medida em radianos. Assim, sen 600
= sen ~.
3
Essa observac,:ao, com as oportul1as adaptac,:6es, sera valida para as outras func,:6es trigono-
metricas que estudaremos mais adiante.
288

295. Grafico da fun~ao y = sen x
Quando vimos a trigonametria no triangulo rerangulo, aprendemos que:
1 -/2: ~
sen 300
= - sen 450
= -- e sen 600
= --
2 ' 2 2
Utilizando esses valores, e observando a comportamenta da ordenada de um ponto P
que se move sabre a cicIo no sentido anti-hor;irio, dando uma volta completa, podemos
construir a tabela.
Tabela
x rad f(x) = sen x
cresce de 0 a 'IT cresce de 0 a
2- - -
4 2
cresce de 'IT 'IT cresce de 2 a l- a -
4 2 2
cresce de 'IT a 3'IT decresce de 1 a 2- - -
2 4 2
cresce de 3'IT decresce de _2_ aO-- a 'IT
4 2
5'IT -12cresce de 'IT a -- decresce de 0 a ---
4 2
cresce de
5'IT 3'IT decresce de
-..Ji--a --a-l
4 2 2
-
cresce de 3'IT a 7'IT cresce de - 1 a
- 2---
2 4 2
cresce de
7'IT
cresce de --f2-- a 2'IT --aO
4 2
Fizemos x variar de 0 a 2 'IT levando em conta a fata de ser a fun<;:ao y = sen x peri6dica,
de periodo 2'IT . 0 grafico da fun<;:ao y = sen x echamado senoide.
Grillco
Conjunto
imagem 1 - - - - -~---.:
1T
T
Repeti~ao
-I
Periodo 21T
...: - - - - - - - - - -
Sen6ide
Repeti~ao
x
289

296. Resumindo, temos:
1) Func,:ao y = sen x ouf(x) = sen x.
2) 0 dominio eD(f) = IR.
3) 0 conjunto imagem eIm(f) = [-1, 1].
4) A func,:ao eperi6dica, de periodo 2 'IT rad.
S) 0 sinal de func;ao e:
• positivo no 1Q e no 2 Q
quadrante;
• negativo no 3Q
e no 4Q
quadrante.
6) A func;ao eimpar.
7) A func;ao e:
• crescente no 1Q e no 4Q
quadrante;
• decrescente no 2 Q
e no 3Q
quadrante.
Van10s agora analisar 0 comportamento de algumas func;6es que envolvem 0 seno.
Exemplo 1
Determinar 0 dominio, a imagem, 0 grafico e 0 periodo das func;6es defmidas por:
a) y = 2 . sen x b) J' = - 3 + sen x
SolUfao
a) y = 2 . sen x
Tabela
0 0 0
'IT
1 2
2
'IT 0 0
3'IT
-1 -2
2
2'IT 0 0
Grafico
y
Conjunto 2
imagem I
Periodo 2"
o dominio eD(f) = IR.
A imagem eIm(f) = [-2,2], ou seja:
Im(f) = {y E IR 1-2 ~ Y ~ 21.
D periodo e2 'IT rad.
b) y = - 3 + sen x
Tabela
y = -3 + sen x
0 0 -3
'IT
1 -2-
2
'IT 0 -3
3'JT
-1 -4
2
2'IT 0 -3
Grafico
y
2
" 3"
2:
" "2 2"
0 x
Conjunto_1
imagem
x -2
-3
-4
Periodo 2"
o dominio eD(f) = IR.
A imagem eIm(f) = [-4, -2], ou seja:
Im(f) = lyE 1R1-4~y~ -2}.
o periodo e2 'IT rad.
290

297. EXERCICIOS PROPOSTOS _
1. Na figura ao lado, as medidas dos areos
AM; , AM;, AM;, AM;, AM;,, AM; e AM;,
em radianos, sao respeetivamente X1' X2' X3' X4'
xs, xe e X7' Determine:
a) sen X1
b) sen X2
e) sen X4
d) sen Xs
e) sen x3 + sen x7 - sen xe
y
1
3
4 1
1 2:
4 0
-I
""4 _I
-3 "'2
""4
x
2. Lembrando que a fun9ao sene euma fun9aO impar, verifique quais das senten9as abaixo sao ver-
dadeiras:
a) sen (-30°) = -sen 30°
b) -sen (-45°) = sen 45°
e) sen (-60°) = sen 60°
d) sen ( ~; ) = - sen ( 1~ )
e) -sen ( ~; ) = sen ( 1~ )
f) sen ( ~; ) = sen ( 1~ )
3. De 0 dominio, a imagem, 0 periodo, e eonstrua 0 grafieo das fun90es:
a) f (x) = 3 . sen x b) Y = -2 + sen x
Exemplo 2
Construa 0 grifico e determine 0 dominio, a imagem e 0 perfodo das funs:6es:
a) f(x) = sen ( ~ )
Solufao
a) f(x) = sen ( ~ )
b) sen (-2x)
Observe a coluna auxiliar colocada na tabela abaixo. Nela estao sendo atribufdos valores ao
area ~ desde 0 rad ate 2'IT rad.
2
Tabe1a
f(."() = sen ( ~ )
0 0 0
'IT-
'IT 1
2
'IT 2'IT 0
3'IT
3'IT -1
2
2'IT 4'IT 0
~ ... -
Rascunho
x
=0 x=O~
2
x 'IT
2
~ x = 'IT
2
x
x = 2'IT- = 'IT ~
2
X 3'IT
X = 3'IT
2
~
2
x
= 2'IT X = 4'IT~
2
291

298. Os valores que serao utilizados na constrw;:ao do grifico estao nas colunas destacadas.
Grmco
y
Conjunto
imagem I
'IT
Periodo 4'IT
x
D(f) = fR.
Im(f) = [-1,1].
o periodo e41T rad.
b)y= sen(-2x)
Procedendo como no exemplo anterior, temos:
Tabela
)' = sen (-2x)
0 0 0
1T -1T
1- - -
2 4
-1T
01T - -
2
31T -31T
-1
2 4
21T -1T 0
Grmco
Periodo -rr
Entao: D(f) = fR.
.,jm~f) == [.-1, 1].
o periodo e1T, pois 0 - (- 1T) = 0 + 1T = 1T.
292
Rascunho
-2x = 0 ~ x = 0
1T -1T
-2x = - ~ x =2 4
-1T
-2x = 1T ~ X =
2
-2x -_ 31T -31T~ x=--
2 4
Conjunto
I imagem
x

299. Observas:ao: nestes dois ultimos exerdcios houve mudanc;:a de periodo. Essa mudanc;:a ocor-
re quando multiplieamos 0 areo por uma constante (nao-nula e diferente de 1).
De urn modo geral tcmos que 0 periodo da func;:ao y = sen kx edado por f~ (k =F 0).
Conferindo isso, temos:
a) No caso y = sen ~ vern k = ~ . 0 periodo e 2'TT
I ~ I
2'TT
- - = 4'TT1 .
2
2'TT 2'TT
b) No caso y = sen (-2x) ternos k = -2.0 periodo e T=2T = 2 = 'TT.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
4. De 0 domfnio e a imagem das funyoes:
a) Y= sen ( ~ ) b) f(x) = sen(-3x)
5. De 0 perfodo das funyoes seguintes:
a) y = sen (7x) b) f (x) = sen ( ~ )
6. Construa 0 gratico das funyoes:
a) y = sen ( ; )
b) f(x) = sen (-x)
c) f(x) = sen ( -3
x
)
(
-3x )c) f (x) = sen -2-
7. Na funyao f (x) = sen (k . x), determine k de modo que 0 perfodo da funyao seja:
5'TT
a) rad
3
b) ~ rad
6
Exemplo 3
Construir 0 grifico e dar 0 dominio, a imagem e 0 periodo das func;:oes seguintes:
a)f(x)=sen(x+ ;)
Solufao
a) f(x) = sen (x + ; )
b) y = - 1 + 2 . sen ( ~ )
293

300. Procedendo como no exemplo anterior, temos a seguinte tabela:
Tabela
(x + -i-) rad f(x) = sen (x + t )
0
-'IT
0- -
2
'IT
0 1-
2
'IT
0'IT -
2
3'IT
-1
2
'IT
2'IT
3'IT
0
2
Grmco
Rascunho
x+
'IT
=0
-'IT
~ x=
2 2
x+
1T 1T
x=O~
2 2
x+
1T 1T
= 'IT ~ x=
2 2
x+
1T 3'IT- - ~ X = 'IT
2 2
x+
1T
= 21T 31T~ x=
2 2
o
1T
x
-I
Periodo 20
D(f) = IR.
Im(f) = [ -1, 1].
o periodo e2 'IT rad.
b) y = - 1 + 2 . sen ( ~ )
Veja que agora na tabela aparecem varias colunas auxiliares.
Tabela
x rad
0 0 0 0 -1
1T 3'IT
1- 2 1
2 2
1T 3'IT 0 0 -1 I
3'IT 91T -1 -2 -3-- --
2 2
2 'IT 6 'IT 0 0 -1
294

301. Grafico
o
Conjunto
imagem
-2
-3
Periodo 67T
D(f) = fRo
Im(f) = [-3,1].
o periodo e6 'IT rad.
57T 61T X
EXERCiclOS PROPOSTOS _
8. De 0 perfodo das fungoes seguintes:
a) f (x) = sen (x - : ) b) Y = 2 + sen ( 3; ) c) y = -3 + sen ( 3; )
9. Construa 0 gratico e de a imagem e 0 perfodo das fungoes seguintes:
a) f (x) = sen (x - : ) b) Y = sen (3x - 1T) c) f (x) = 2 - 2 . sen (x + 1T)
10. Sabendo-se que a e b sao numeros reais positivos e tais que y = a + b . sen (c· x), determine:
a) a e b de modo que a imagem da fungao seja [-1, 2].
21Tb) a, bee de modo que a imagem seja [-6, -1] e 0 perfodo
3
3. A fun~ao cosseno
Voce esta lembrado da "func;:ao roda-
gigante" que vimos no inicio deste capitulo,
quando aprendemos a func;:ao seno?
Pais bern, vamos imaginar que voce esta
naquela mesma roda-gigante, que gira no sen-
tido anti-hodrio.
Areta vertical que passa no ponto 0, cha-
maremos de marco. Num dado instante, voce
esta no ponto M, canforme mostra a figura ao
lado.
295

302. Chamaremos de deslocamento lateral a sua posic;:ao com relac;:ao ao marco.
Dessa forma, quando aroda comec;:a a girar, 0 seu deslocamento 'lateral coinec;:a a mudar.
A tabela seguinte mostra 0 deslocamento lateral de metro em metro.
Voce estara
I
Sua posi~ao
I
IS'" d.,I'~,m~n'n
indo pa,"a
relati'a ao Obser'a~ao lateral scr.1
marco indicado por
... 8 rna direita desloc. maximo a direita 8
esquerda 7 m a direita 7
... ... ...
esquerda 2 m a direita 2
esquerda 1 rna direita 1
esquerda Om esta no marco 0
esquerda 1 m a esquerda -1
esquerda 2 m a esquerda -2
... ... ...
esquerda 7 m a esquerda -7
esquerda 8 m a esquerda desloc. maximo a esquerda -8
direita 7 m a esquerda -7
direita 6 m a esquerda -6
... ... ...
direita 2 m a esquerda -2
direita 1 m a esquerda -1
direita Om esta no marco 0
direita 1 m a direita 1
direita 2 m a direita 2
... ... ...
direita 7 m a direita 7
direita 8 m a direita desloc. maximo a direita 8
Entao, estabelecendo urn sistema cartesiano ortogonal com origem no eixo da roda-gigan-
te, e considerando esta uma circunferencia na qual sua posic;:ao num certo instante qualquer
e M, teremos:
Marco
Eixo dos senos
_-+- ....,.. ...........A---J~ Eixo das abscissas
a
Veja que para cada numero real x existe em correspondencia urn ponto M, tal que 0 area
.AM'". mede x, e para cada area .AM'" existe em correspondencia urn nllmero real que varia
desde -8 ate 8, 0 qual representa a seu deslocamento lateral com relac;:ao ao marco.
296

303. Entao, temos que 0 seu deslocamento lateral e uma funr;:ao de x. Poderiamos chamar essa
funr;:ao de "funr;:ao deslocamento lateral".
Note que, se aroda continuar a girar, voce passara novamente pelas mesmas posir;:oes ante-
riares. Por esse motivo dizemos que a funr;:ao e peri6dica.
Se voce entendeu bern essa nossa ftmr;:ao, voce entendera com facilidade a fun~o cosse-
no, que iremos definir agora.
Para isso tomemos urn sistema cartesiano ortogonal de origem 0, e um cido trigonome-
trico de centro em 0, onde A e a origem dos arcos, como mostra a figura:
Eixo das ordenadas
au dos senos
--+-------"jt------e-:A---J~Eixo das abscissas
o
Observe a figura seguinte.
Eixo dos senos
AI.- -=..........+-_-4~A'--...... Eixo dos cossenos
Raio I
-I
Varia~ao
do cosseno
Para cada numero real x existe em correspondencia um ponto M, tal que 0 arco .AA?1
mede x, e 0 angulo AOM tambem mede x.
Chamando de a a abscissa do ponto M, e de b a sua ordenada, temos:
M(a, b)
o numero a, abscissa do ponto M, e chamado cosseno de x, e e indicado par:
cosx=a
Por esse motivo, 0 eixo das abscissas e tambern chamado de eixo dos cossenos.
Definimos a funr;:ao cosseno como:
I f: IR -+ IR tal quef(x) = cos x I
297

304. Partindo do ponto A, vamos dar uma volta completa no ciclo. Dessa forma, observando
as abscissas dos pontos A, B, Al e Bj , podemos informar os valores da fi.m~ao cosseno para
algw1S arcos. Veja:
Mcdida x do are<>
IEx"e'~';d'dc do ""'! Abscissa do ponto
I
o valor de cos x
em radianos: csta no ponto: c: e:
0 A(I, 0) 1 cos 0 = 1
7T
B(O, 1) 0
7T
=0- cos 22
7T A,(-l,O) -1 cos 7T = -1
37T
Bj(O, -1) 0
37T-- cos 2 = 0
2
27T A(l, 0) 1 sen 27T = 1
Como fizemos com a fun~ao seno, vamos fazer uma analise mais detalhada da fun~ao cos-
seno:
• 0 dominio da fim~ao f(x) = cos x eIR.
• 0 conjunto imagem da fi.m~ao f(x) = cos x eIm(f) = ( y E IR 1-1 ~ Y ~ I}, ou seja:
Im(f) = [-1, 1].
• A fi.m~ao eperi6dica de periodo 27T rad, pois para qualquer valor de x temos que:
cos (x + k . 2 7T) = cos X
n Q
de voltas
• Sinal da fun~ao y = cos x: estudando 0 sinal da fun~ao y = cos x em cada urn dos qua-
drantes, temos:
I· quadrante
Cosseno positivo
2Q
quadrante
Cosseno negativo
3· quadrante
Cosseno negativo
4· quadrante
Cosseno positivo
Resumo
A
• A fi.m~ao f(x) = cos x euma fun~ao par.
Observemos as figuras abaixo:
Eixo dos senos
_-+- --:+~....---1""A-... Eixo dos
cossenos
298
Eixo dos senos
--+--_l+--::+----t""A-... Eixo dos
cossenos

305. Nos dais casas temos cos (-x) = cos x. Isso ocorre para qualquer x E IR.
Entao, concluimos:
y = cos x efun<;:ao par.
Grafico da fun~ao y = COS X
Devido aperiodicidade da fun<;:ao, faremos a grafico cartesiano, fazendo x variar de 0 a
2TI. 0 grafico da fun<;:ao y = cos x echamado cossenoide.
Tabe1a
x rad
I f(x) = cos x
cresce de 0 a TI decresce de 1 a ,/2"-
4 2
r;:;:-
cresce de TI a TI decresce de 2LaO- -
4 2 2
cresce de TI a 3TI deeresee de 0 a ~-
2 4 2
cresce de 3TI decresce de --12 a-I-- aTI ---
4 2
5TI --12cresce de TI a 4 cresce de - 1 a ---
2
cresce de
5TI 3TI
cresce de
--12--a -- --aO
4 2 2
cresce de 3TI a 71T cresce de 0 a 5- - - -
2 4 2
cresce de 71T a 2TI cresce de _2_ a 1
4 2
Grilleo
Conjunto imagem
Cossen6ide
Repeti~ao
o
-I
Periodo 2"
299
Repeti~ao

306. Em resumo, temos:
1) Func;:ao y = cos x ou f(x) = cos x.
2) 0 dominio eD(f) = IR.
3) 0 conjunto imagem e1m(f) = [-1, 1].
4) A func;:ao eperi6dica, de periodo 2'7T rad.
S) 0 sinal da func;:ao e:
• positivo no 1Q e no 4Q
quadrante;
• negativo no 2Q
e no 3Q
quadrante.
6) A func;:ao epar.
7) A func;:ao e:
• crescente no 3Q
e no 4Q
quadrante;
• decrescente no 1Q e no 2Q
quadrante.
Exemplo 1
Construa 0 grafico, determine 0 dominio e a imagem das func;:6es definidas por:
a) y = 2 . cos x b) y = - 3 + cos x
SolUfao
a) y = 2 . cos x
Tabela
x f.hi ("t), X == .2 . (l)~ X
0 1 2
'7T
0 0-
2
'7T -1 -2
3'7T
0 0- -
2
2'7T 1 2
Gratlco
b) y = - 3 + cos x
Tabela
x {'.ld (l)~ X r = -3 + (OS x
I
0 1 -2
'7T
0 -3-
2
'7T -1 -4
3'7T
0 -3
2
2'7T 1 -2
Gratlco
COO,"Jimagem
D(f) = IR.
1m(f) = [-2,2].
yt 1T 31T
con;:1---2"-------2 21T_-'J)O~X
21T ------"-- imagem _ 21
-r---~
D(f) = IR.
1m(f) = [-4, -2].
300

307. EXERCiclOS PROPOSTOS _
11. A 'igura mostra um cicio trigonometrico no qual
as medidas dos arcos :4M;', AM;, Ji.M;,
:4A.1;, .AM; e AM; sao, em radianos, respec-
tivamente x1, x2' X3' X4' x5 e X6' Determine:
a) cos X1
b) cos X2
c) cos X4
d) cos X7
e) cos xa
f) cos X3 + 2 . cos x5 - cos x6
12. A figura ao lado mostra um cicio trigonometrico,
no qual os diametros AA1 e BB1 foram dividi-
dos em 10 partes iguais. Chamando as medidas
dos arcos :4M;', AM;, Ji.M;, AM4 , AM5 ,
AM;, AM; e AM; respectivamente de X1' X2'
X3' X4' X5' X 6' X7 e xa, determine:
a) sen x1
b) cos X3
c) sen x5
d) cos X7
13. Na figura do exercicio anterior, determine 0 valor de N nos casos:
a) N = cos X2 + sen X4 + cos X6 - 2 . sen xa
b) N = 2 . (sen x1 - cos x7) - 3 . (sen x5 - cos X3)
14. Lembrando que a funr;:ao cosseno e uma funr;:ao par, verifique quais das sentenr;:as abaixo sao ver-
dadeiras:
a) cos (-30°) = -cos 30°
b) -cos (-45°) = cos 45°
c) cos (-60°) = cos 60°
d) cos ( ~; ) = - cos ( 1~ )
e) - cos ( ~; ) = cos ( 1~ )
f) cos ( ~; ) = cos ( 1~ )
15. Dar 0 dominio, a imagem, 0 periodo e 0 grafico da funr;:ao:
a) y = 3 . cos x
b) f(x) = -2-cosx
Exemplo 2
Construa 0 grafico e determine 0 dominio, a imagem e 0 periodo das func;:oes:
a) y = cos ( ~ ) b) f (x) = cos (-2x)
301

308. SolUfiio
a) )' = cos ( ~ )
Observe a ealuna auxiliar na tabela abaixo.
Tabela
:
xrad
x.... rad y = cos (2-)2
0 0 1
'IT
0- 'IT
2
'IT 2'IT -1
3'IT
3'IT 0
2
2'IT 4'IT 1
.... _I.
Grwco
b)f(x) = cos (-2x)
Observe a eoluna auxiliar na tabela abaixo.
Tabela
-2x rad xrad 'f(x)=cos(-2x)
I I
0 0 1
'IT -'IT
0- - -
2 4
-'IT
-1'IT - -
2
3'IT -3'IT
0- -
2 4
2'IT -'IT 1
'--
Grafico
Conjunto
imagem
x
I Conjunto
Imagem
o
x
-I
D(f) = IR.
Im(f) = [-1, 1].
Periodo 1i
D(f) = IR.
Im(f) = [-1,1].
Como na fun~ao seno, tambem 0 periodo da fun~ao cosseno muda quando 0 area x apa·
rece multiplicado por urn numero k (Ie -:/= 0 e k -:/= 1). 0 valor do periodo e obtido da meso
rna forma que foi feita para a fun~ao seno, ou seja, dividindo·se 2'IT rad por Ikl, ou seja,
2'IT
p = W·
Assim:
• no easo a, 0 area aparece multiplicado por l..., portanto 0 periodo e
2
2'IT
P = - - = 4'IT
I ; I
• no caso b, 0 arco apareee multiplieado por - 2, portanto 0 periodo e
p=
1-2 1
302
= 'IT

309. EXERCiclOS PROPOSTOS _
16. De 0 perfodo das fun<;:oes definidas por:
a) y = cos ax b) ((x) = cos (-5x) c) y = cos ( 5; ) d) ((x) = -1 + cos ( ~ )
17. Construa 0 grafico e de 0 perfodo e 0 conjunto imagem das fun<;:oes:
a) y = cos ( ; ) b) Y = cos (-3x)
Exemplo 3
Dar 0 dominio, a imagem, a periodo e a grafico da fun~ao definida par
y = 1 + 2 cos (x - ; ).
SolUfiio
Tabela
( x - 'iT ) rad
I I
cos ( X - ; ) i 2 cos ( x - 'iT ); y = I + 2 cos ( x - ; )I x rad I
2 , . 2 . I
0
'iT
1 2 3-
2
'iT
0 0 1- 'iT
2
3'iT -1 -2 -1'iT
2
3'iT
2'iT 0 0 1- -
2
2'iT
5'iT
1 2 3--
2
- - - - - - - - -
x-
x-
'iT
=0
'iT 'iT 3'iT 'iT
= 2'iT
5'iT
=> x= , x- = 'iT => x= , x- => x= -- ,
2 2 2 2 2 2
'iT 'iT 'iT 3'iT X = 2'iT=> X = 'iT; x- =>
2 2 2 2
Grmco
Conjunto 2
imagem
o
-I
Periodo 21T
303
D(f) = IR.
Im(f) = [-1, 3].
Periodo = 2'iT rad.

310. EXERCiclO PROPOSTO
18. Nas fun90es abaixo, construa 0 grcHico, de 0 conjunto imagem e 0 perfodo.
a) y = -1 + 2 . cos (x - ; )
b) Y = 2 - cos (2x - 'IT)
Exemplo 4
Determinar para quais valores de k existe x tal que:
3k + 5
a) sen x = 2
Solufiio
k2
+ 9k + 7
b) cos x = 7
a) sen x =
3k + 5
2
Como para qualquer valor de x tem-se -1 :s;; sen x :s;; 1, entao:
CD
( ,
3k + 5
-1:s;; :s;; 1
2
@
A condir;:ao CD nos fornece:
3k+5~-1=>3k+5~-2=>k~ 7
2 3
A condir;:ao @ nos fornece:
3k + 5 :s;; 1 => 3k + 5 :s;; 2 => k:s;; -1
2
-I
-I
Solu~io
@. Entao:
CD
@
(Dn@S=
o conjunto solur;:ao ea intersecr;:ao de CD com
7
-3
Portanto a conjunto solur;:ao e:
304

311. EXERCiclOS PROPOSTOS _
16. De 0 perfodo das fun<;oes definidas por:
a) y = cos 8x b) f(x) = cos (-5x) c) y = cos ( 5; ) d) f(x) = -1 + cos ( ~ )
17. Construa 0 grafico e de 0 perfodo e 0 conjunto imagem das fun<;oes:
a) y = cos ( ; ) b) Y = cos (-3x)
Exemplo 3
Dar 0 dominio, a imagem, 0 periodo e 0 gd.fico da fun<;:ao definida por
y = 1 + 2 cos (x - ; ).
Solufiio
Tabela
(x - ;
I
) rad I xrad I cos ( X _ 1T ) ~ 2 cos! x- ; ) I .v = 1 + 2 cos I x - ; )
I 2
0
'li'
1 2 3-
2
'li'
0 0 1- 'li'
2
3'li' -1 -2 -1'li'
2
3'li'
2'li' 0 0 1- -
2
2'li'
5'li'
1 2 3--
2
- -'- -
x-
x-
'li'
0
'li' 'li' 3'li' 'li'
= 2'li'
5'li'= => x= - x- = 'li' => x= x- => x= -- ,
2 2
,
2 2
,
2 2
'li' 'li' 'li' 3'li' X = 2'li'=> X = 'li'; x- =>
2 2 2 2
Grafico
Conjunto 2
imagem
o
-I
Periodo 27T
303
D(f) = fRo
Im(f) = [ -1, 3].
Periodo = 2'li' rad.

312. EXERCiclO PROPOSTO
18. Nas funt;:oes abaixo, construa 0 grafico, de 0 conjunto imagem eo perlodo.
a) y = -1 + 2 . cos (x - ; )
b) Y = 2 - cos (2x - 'Ii)
Exemplo 4
Determinar para quais valores de k existe x tal que:
3k + 5
a) sen x = 2
SolUfiio
k2
+ 9k + 7
b) cos x = 7
3k + 5
a) sen x = 2
Como para qualquer valor de x tem-se -1 ~ sen x ~ 1, entao:
CD
f ,
-1 ~ 3k + 5 ~ 1
2
@
A condis;ao Q) nos fornece:
3k+5~-1=>3k+5~-2=>k~ 7
2 3
A condis;ao @ nos fornece:
3k + 5 ~ 1 => 3k + 5 ~ 2 => k ~ - 1
2
-I
t -I
L-solu~lio
@. Entao:
,CD
@
S= CD n @
o conjunto solus;ao ea intersecs;ao de Q) com
7
-3
Portanto 0 conjunto solus;ao e:
304

313. b)
k2 + 9k + 7
cos x = 7
Como -1 ~ cos x ~ 1 para qualquer valor de x, devemos ter:
CD
-1 ~
k2
+ 9k + 7
~ 1
7
@
A condic;:ao CD nos fornece:
~ -1 => k2 + 9k + 7 ~ -7 => k2 + 9k + 14 ~ °k2
+ 9k + 7
7
Calculando as raizes de f(k) = k2 + 9k + 14, encontramos k = -7 ou k = -2.
o sinal da func;:ao f(k) = k2 + 9k + 14
varia assim:
Como f(k) ~ 0, a solw;:ao da condic;:ao
CD e:
)0
x
Solu~ao-
•-7 -2 X
L - - Solu~ao
A condic;:ao ® nos fornece:
~ 1 => k2
+ 9k + 7 ~ 7 => k2 + 9k ~ °k2 + 9k + 7
7
Calculando as raizes deg(k) = k2 + 9k, encontramos k = -9 ou k = 0.
o sinal de g(k) = k2 + 9k varia assim: Como g(k) ~ 0, a solw;:ao da condic;:ao
® e:
)0
x -9 • 0
L-Solu~a
)0
x
A soluc;:ao final ea intersecc;:ao de CD com ®.
-2 0
r
~
1
)0
• Ii )0
-2 0
u~ao
•
•
-7
-7
-9
CD
®
s= (Dn@
5 .Il~a
Portanto 0 conjunto soluc;:ao e:
S = {k E IR 1-9 ~ k ~ -7 ou -2 ~ k ~ 0)
305

314. EXERCiclO PROPOSTO _
19. Determine para quais valores reais de p existe x real tal que:
7p + 3 p2 - 10p + 12
a) sen x = 5 c) sen x = 12
4 - 9p
b) cos x = 7
p2 + 7p + 3
d) cos x = 3
Exemplo 5
Determinar para quais valores de p a sentens:a sen x =
SolUfiio
Conforme vista no exemplo anterior, devemos ter:
4p - S
----=-~- pode ser verdadeira.
2-p
A condis:ao CD nos fornece:
-1 ::;;
CD
4p - S
2-p
@
::;; 1
4p-S ~-1
2-p
Observa~iio: nao podemos multiplicar os dois membros por (2 - p), pois (2 - p) nem sem-
pre epositivo! Dessa forma prepararemos melhor essa inequa~ao e, em seguida, analisaremos
os sinais do numerador e do denominador.
Temos:
4p - S
2-p ~ -1 ~
4p - S
+ 1 ~ 0 ~
2-p
4p - S + (2 - p)
2-p
f(p)
3p - 3
2-p
g(p)
a) anilise do numerador f(p) = 3p - 3
A raiz def(p) = 3p - 3 e1, e 0 sinal def(p) = 3p - 3 varia assim:
x
306

315. b) anaIise do denominador g( p) = 2 - P
A raiz de g(p) = 2 - Pe2, e 0 sinal de g(p) = 2 - Pvaria assim:
x
Lembrando que 0 denominador deve ser sempre diferente de zero, vamos fazer uma tabe-
la com os sinais do numerador e do denominador, para determinarmos como varia 0 sinal da
fra<;ao de @.
Tabela
2
+
+
+
+
2
+
Como, de acordo com @ ,devemos ter 0 quociente maior ou igual a zero, entao, a solu-
<;ao parcial que corresponde acondi<;ao CD e:
51 = {p E IR 11 ~ P< 2}
A condi<;ao @ nos oferece:
4p - 5
2
~ 1
-p
Procedendo como no estudo da condi<;ao 0, temos que:
~
4p - 5
2
~ 1 ~
-p
4p - 5 - (2 - p)
2-p
4p - 5
2-p -1~O ~
5p - 7 ~ 0 tiV'
2-p t::!.J
c) anaIise do numerador h(p) = 5p - 7
A raiz de h(p) = 5p - 7 e !...-, e 0 sinal de h(p) = 5p - 7 varia assim:
5
x
o sinal do denominador g(p) = 2 - Pja foi analisado quando estudamos a condi<;ao 0.
307

316. Construindo a tabela de sinais do numerador e do denominador de ® 'temos:
Tabela
7
5 2
+
+
+
+
+
Solu~io-~
7
5
2
Solu~io -------'
o quociente de ® deve ser menor ou igual a zero. Entao, a solw;:ao parcial cor-
respondente acondis:ao ® e:
52 = ~ E IR Ip ~ ~ ou P > 2}
A solus:ao final ea intersecs:ao de 51 com 52' Entao:
7
I 5 2
----4~----~--- ------:l.~
2
o
r
•7
5
•SOlu~aol_-j
Portanto a solus:ao final e:
5= ~EIRI-l~P~ ~}
EXERCiclO PROPOSTO
20. Determine para quais valores de k a sentenc;:a abaixo pode ser verdadeira:
8 - 5k k - 2
a) sen x = k _ 3 b) cos x = k-=-4
4. Os graficos das fun~oes seno e cosseno
Agora que voce ja aprendeu a construir graficos de funs:6es envolvendo senD e cosseno,
vamos conversar um pouco sobre os graficos aprenclidos.
Falamos em roda-gigante tanto quando estudamos a funs:ao senD como quando estuda-
mos a funs:ao cosseno. Roda-gigante nos lembra parque de clivers6es, e parque de clivers6es
nos lembra montanha-russa.
Falando em montanha-russa, voce nao reparou nada quando estudou aqueles grificos?
Pois e, eles sao como uma montanha-russa, s6 que apenas com movimentos de "sobe-desce-
vai em frente".
308

317. Assim, existe uma "montanha-russa seno",
e uma "montanha-russa cosseno".
Vamos imaginar dois amigos, urn na mon-
tanha-russa seno e outro na montanha-russa
cosseno, que estao uma ao lado da outra.
Veja que dificilmente eles estarao urn ao la-
do do outro, ocorrendo isso apenas em alguns
pontos particulares.
y
Montanha-russa
seno
Montanha-russa
cosseno
Vamos construir numa s6 figura as duas montanhas-russas.
Agora e f;kil observar alguns pontos onde os dois amigos estarao urn ao lado do outro.
Montanha-russa
cosseno
Montanha-russa
sene
Passarao
perto
Repare bern na ultima figura que, se a montanha-russa cosseno fosse deslocada de, por
exemplo, ~ rad para a direita, as duas montanhas-russas ficariam exatamente iguais, de tal
2
forma que os dois amigos poderiam ir ate conversando, cada urn na sua montanha-russa.
Vill que legal?
Vamos analisar melhor 0 que foi dito. Para isso construiremos dllas novas figuras, onde
aparecem .tanto 0 grifico da fun~ao senD como 0 da fun~ao cosseno.
Nelas, destacamos dois valores para x:urn valor aqualquer, e 0 valor (; a).
309

318. Veja a p~imeira figura:
sen a =cos(~- a)
x
Ela nos mostra que: ( )
• 0 valor da funs:ao seno para x = a e0 mesmo da ftms:ao casseno para x = ; a.
Veja a outra figura:
(
11' )cos a = sen '2 - a
x
Ela nos mostra que: ( )
• 0 valor da funs:ao cosseno para x = a e0 mesmo da funs:ao seno para x = ; a.
Essas duas afirmas:oes ja haviam sido vistas no caso de x ser a medida de urn angulo agu-
do de urn triangulo redngulo. Na verdade, e1as sao verdadeiras para qualquer valor de x!
Dessa forma, para qualquer valor de x tem-se:
sen x= cos ( ; x) e cos x= sen (; x)
EXERCiclOS PROPOSTOS
b) sen ( ; - x) ,sendo cos x=
21. Determine a que se pede em cada caso:
a) cos ( ; - x),sendo sen x= ~
1
5 .
c) sen x, sendo cos
d) cos x, sendo sen
( To)--x
2
(; -x)
2
5
= -0,5.
4 . sen ( ; - b) + 2 . cos a
N=
(; -a) = -0,8 e cos b = 0,25, determine a valor de N:
3 . cos a - 2 . cos b
22. Dados sen
310

319. s. A fun~ao tangente
Quando estudamos as funs:oes seno e cosseno, fizemos uso da imagem fornecida pOl' uma
roda-gigante para melhor compreendermos essas duas funs:oes.
Vamos estudar agora uma nova nms:ao trigonometrica: a fun~ao tangente e, para tornar
isso mais interessante, faremos uso novamente de uma roda-gigante.
Voce sabe que reta tangente a uma circunferencia e uma reta que possui apenas um ponto
em COml1111 com a CirCW1ferencia, e certamente alguma vez voce ja tras:ou uma l'eta como essa.
Assim sendo, na roda-gigante, vamos considel'ar um eL':o tangente a circunferencia no
ponto A, ponto de embarque/desembal'que, conforme mosU-a a figura seguinte:
Eixo tangente
Vm seu colega vai giral' na roda-gigante, enquanto voce, posicionado no chao, ao lado da
roda, vai fical' observando.
Em cada posis:ao que ele estivel', voce estara imaginando a reta que passa por ele e pelo cen-
u-o da roda-gigante, e tentando localizar 0 ponto T no qual a l'eta encontra 0 eixo tangente.
As figuras seguintes mostram algumas posis:oes da roda-gigante destacando 0 ponto T,
quando ele existe.
Enquanto aroda estiver parada, 0 ponto T coincide com 0 ponto A.
Quando aroda comes:a a girar, voce ira notal' que 0 ponto Tvai se distanciando do pon-
to A, cada vez mais, cada vez mais...
Quando seu colega estiver no ponto mais alto da roda-gigante, voce nao conseguira loca-
lizar mais 0 ponto T, pois 0 ponto T nao existe!
Quando ele passar do ponto mais alto, e comes:ar a descer, voce notara que 0 ponto Trea-
parece, bem longe de A, mas na parte de baixo do eixo tangente.
A medida que aroda continuar a girar, voce notara que 0 ponto T se aproxima cada vez
mais do ponto A, mas sempre na parte de baixo. Quando seu colega atingil' 0 nivel, nova-
mente 0 ponto Tvolta a coincidir com 0 ponto A.
Ate al a roda-gigante ja deu meia volta. Continuando a girar ate completar a primeira vol-
ta, voce ira notar que 0 ponto T passara pelas mesmas posis:oes anteriores, e dai em diante,
nas pr6ximas voltas dadas, tudo se repetira.
311

320. Assim, para cada posi~ao M que seu colega estiver na roda-gigante, existe em correspon-
dencia urn arco .AM que mede x, e existe em correspondencia urn desnlvel do ponto T com
rela~ao ao ponta A.
Dessa forma, 0 desnivel do ponto T com rela~ao ao ponto A e uma fun~ao de x.
Alem disso, pelo fata de 0 ponto Tassumir as mesmas posi~6es apos a primeira meia vol-
ta, dizemos que essa fun~ao e periodica.
Se voce entendeu bern isso, nao ten! dificuldade de entender a nova fun~ao que iremos
agora estudar, chamada fun~o tangente.
Para isso, tomemos urn sistema cartesiano ortogonal de origem 0 e urn ciclo trigonome-
trico de centro em 0, no qual A e a origem dos arcos, conforme mostra a figura:
Eixo dos senos au
das ordenadas
--+------=.----4i-'-.... Eixo dos cossenos
au das abscissas
Eixo das
tangentes
T(I. t)
Raio I
8,
X+1T
A,
.------;~......:>.:'----- ..'---..... Eixo dos
cossenos
Observe agora a figura. Nela foi tra~ado
urn eixo que passa em A e e paralelo ao eixo
dos senos. (0 sentido positivo desse eixo e
indicado pela ponta da flecha.) Esse eixo e cha-
mado eixo das tangentes.
TI
Para cada x E IR, tal que x*-2 + k· TI,
com k E 7l., corresponde urn unico ponto M
tal que .AM'mede x.
Nessas condi~6es, a reta r que passa pOl'
Me pOl' 0 sempre encontra 0 eixo das tan-
gentes.
Chamando de T esse ponto de encontro, e de t a sua ordenada, como a abscissa de
sempre 1, entao as suas coordenadas serao:
T(l, t)
Chamamos de tangente de x 0 nlimero real t, e 0 indicamos pOl':
tg x = t
Entao, definimos como fun~o tangente afunc;:ao:
f: R 1 -> IR tal quef(x) = tg x
onde R 1 = {x E IR Ix *- ; + k . TI, k E 7l.} .
Em seguida sera feita uma analise completa dessa fun~ao.
312

321. • 0 dominio da hllls;ao y = tg x e R} = {X E IR Ix *' ; + k . 'TT, k E z}.
Dessa forma nao fazem parte do dominio as valores de x correspondentes a todos as ar-
eas de extremidade em B au B} (veja figura). Note que para esses areas nao haveria ponto de
intersecs;ao T
• A imagem da fi.ll1s;ao y = tg x e IR, au seja, 1m(f) = IR.
• Periodo: a hllls;ao e peri6dica, de periodo 'TT rad.
Observando a figura anterior, consideremos a ponto £1 simetrico de M com relas;ao ao
ponto 0. Notemos que, se AM mede x, entao .AI; mede x + 'TT e, alem disso, esses arcos
possuem a mesma tangente!
De um modo geral, temos:
tg x = tg(x + k· 'TT), k E Z
Para k = 1 temos que tg x = tg(x + 'TT) e entao a periodo e 'TT rad.
• Sinal da fun~ao y = tg x: estudando a sinal dessa hll1s;aO em cada um dos quadrantes,
temos:
12
quadrante 22
quadrante 32
quadrante 42
quadrante Resumo
Tangente positiva
N,
I
Tangente negativa Tangente positiva
[ I Q,
Tangente negativa
• A funs;ao y = tg x e impar.
Observe as figuras:
Eixo das
tangentes
T
tg (-x)
Eixo das
tangentes
Eixo dos
senos
-+----.,,-t-.;J"-----t'-'---., Eixo dos
cossenos
Nos dais exemplos temos tg( - x)
tg x existe.
Concluindo:
-tg x. Isso ocorre para qualquer valor de x em que
y = tg x e funs;ao impar.
313

322. Grafico da fun~ao y = tg x
Mesmo sabendo que a funr;:ao e peri6dica, de periodo 1T, faremos x variar desde 0 ate
21T rad.
o numero real 8 que aparece na tabela e urn numero positivo que tende a zero. Isso sig-
nifica que a - 8 e urn numero que se aproxima de a, mas e menor que a; a + 8 e urn nume-
ro que se aproxima de a, mas e maior que a.
Tabela
x rad
,
y tg x
cresce de 0 para ( ~ - 8 ) cresce de 0 para +00
e igual a 1T nao existe-
2
cresce de ( ~ + 8) ate 1T cresce de -00 a 0
cresce de 1T para ( 3; _ 8) cresce de 0 para +00
e igual a 31T nao existe
2
cresce de (3; + 8) ate 21T cresce de - 00 a 0
Vamos entender 0 que esses sfmbolos significam.
Na primeira linha aparece "x cresce de 0 para (; - 8)" e "y = tg x cresce de 0 para
+00". Isso significa que, quando x se aproxima de ~ por valores menores que ~,ou seja,
2 2
mantendo-se no 1Q quadrante (indicamos por x -+ ; - ), 0 ponto T, intersecr;:ao da reta
+-+
OM com 0 eixo das tangentes, esta cada vez mais lange de A, ou melhor, a nfunero tg x
cresce cada vez mais.
Observe 0 grafico:
o ponto de intersec~ao esti
cada vez mais longe de A...
... quando x se aproxima de "1-
---t--,,;'----t'-'-~ por valores menores que "1-.
Eixo das
tangentes
Simbolicamente indicamos:
314

323. Quando x = ~ a tangente niio existe, pois nao hi ponto de intersecc;:ao da reta que
2
passa por 0 e M com 0 eixo das tangentes, pois essa reta eparalela ao eixo.
Veja a figura:
Paralelas
Vejarnos 0 que ocorre quando x = ~ + e, com e positivo e tendendo a zero.
2
Nessas condic;:6es x se aproxima de ~ mas mantendo-se no 22 quadrante, ou seja, por
2
valores maiores que ; (indicamos por x ~ ; +) .
Note que, quanto mais proximo x estiver de ~) mais longe de A estari 0 ponto T
2
intersecc;:ao da reta que passa por 0 eM com 0 eixo das tangentes (agora no sentido negati-
vo). 1sso significa que 0 nUmero tg x decresce cada vez mais.
Veja 0 grifico:
... 0 ponto de intersec~ao esta
cada vez mais longe de A.
'Sentido negativo
Quando x se aproxima de -T
par valores maiores que 2f...
Simbolicarnente, temos:
Do mesmo modo analisamos 0 que ocorre quando x passa por
37T
2
Fac;:a isso como
exerdcio.
Utilizando as informac;:6es contidas na wtima tabela, construimos 0 grifico da func;:ao
y = tg x. Esse grifico echamado tangentoide.
315

324. Grilleo
~Conjunto imagem
x
Perfodo'IT
Resumindo, temos:
1) Fun~ao y = tg x ou f(x) = tg x.
2) 0 dominio eD(f) = {X E IR Ix *- ; + k . 'IT, kEd}.
3) 0 conjunto imagem eIm(f) = IR.
4) A fun~ao eperiodica, de periodo 'IT rad.
S) 0 sinal da fun~ao e:
• positivo no P e no 3Q
quadrante;
• negativo no 2Q
e no 4Q
quadrante.
6) A hll1<;ao eimpar.
7) A fun<;ao ecrescente em todos os quadrantes.
Observas:oes
1. Ecomum utilizarmos os valores de sen x e de cos x quando necessitamos achar 0 valor da
tg x utilizando a rela~ao:
tg x =
sen x
cos x
Lembremos que ja utilizamos essa rela<;ao quando x era a medida de urn dos angulos agu-
dos de urn triangulo retingulo. No entanto, essa rela<;ao everdadeira para qualquer valor
real de x tal que cos x *- O.
2. 0 periodo da fun~ao )' = tg (kx) (k *- 0) edado por 1:1' Assim, por exemplo, a hll1<;ao
)' = tg 8x eperiodica, de periodo 1;1' ou seja, ; rad.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1
Achar 0 dominio e 0 periodo das fun<;oes:
a) y = tg (x + ~ ) b) f(x) = tg (4x)
316

325. SolUfiio
a) y = tg (x + : )
Devemos ter:
=,xi= 'IT
2
'IT 'IT
X + 4 i="2 + Ie • 'IT, Ie E 7L =,
- ~ + lz . 'IT Ie E 7L =, x i= ~ + Ie • 'IT, Ie E 7L
4 ' 4
o dominio e: D(f) = f E IRlx i= : +k· 'IT, Ie E 7L}
o periodo e'IT rad.
b) f(x) = tg (4x)
Devemos ter:
4x i= 'IT
2
+k·'lT IzE7L =, xi= ~ +k' ~ kE7L
, 8 4 '
Portanto, 0 dominic e: D(f) = {x E IRlx i= ~ + k· : ' k E 7L} .
'IT
o periodo e 4 rad.
Exemplo 2
Determinar 0 que se pede:
a) tg x eo quadrante do arco x, sendo sen x =
-3
5
e cos x =
-4
5 .
b) sen x e 0 quadrante do arco x, sendo cos x =
SolUfiio
a) tg x = ?
3 -,7
4 e tg x = 3
t
Temos: tg x = sen x . Entao:
cos x
tg x =
-3
5
-4
5
=, tg X = 3
4
• Sinal do seno
• Sinal do cosseno
Como 0 sene e 0 cosseno sao negativos, concluimos que x edo 3Q
quadrante (ver figura).
b) sen x = ?
Temos que tg x =
sen x
cos x
=, sen x = tg x . cos x. Entao:
sen x =
3
3
4
=, sen x =
Como 0 sene enegativo e 0 cosseno epositivo, concluimos que x edo 4 Q
quadrante (ver
figura do item a).
317

326. EXERCiclOS PROPOSTOS _
23. De 0 perfodo de cada uma das funQoes:
a) y = tg (x - ~ )
b) ((x) = tg ( ~)
24. Determine 0 domfnio das funQoes seguintes:
a) y = tg (x + ~ )
b) Y = tg (2X - ;)
c) y = tg ( 2;)
d) ((x) = tg ( ~ - ; )
c) y = tg (- ~)
d) ((x) = tg ( 5; + ;)
25. Na funQ8.o ((x) = tg (m . x), determine 0 valor de m tal que 0 perfodo da funQ8.o seja:
a) 7T rad b) ~ rad c) 27T rad
4 3
b) ((x) = 3 + tg
26. De 0 domfnio e 0 perfodo de cada uma das funQoes:
(
3x 7T )
a) y = 2 . tg 2 - 6 (; - ~ )
27. Determine 0 quadrante do arco que mede x, nos casos seguintes:
a) (sen x) . (cos x) > 0 b) (sen x) . (tg x) < 0 c) (tg x) . (cos x) < 0
6. Outras fun~oes trigonometricas
Existem ainda outras tres func;:6es trigonometricas, as quais serao mostradas apenas como
relac;:6es com 0 seno e com 0 cosseno.
cos x
Vma delas e a fun~ao cotangente de x, definida por cotg x = ---, para todo x E IR
sen x
tal que sen x -=/= 0, ou seja:
D(f) = Ix E IR x -=/= k· TI, k E Z}
, sen x 1
E interessante observar que, como tg x = - - - , temos cotg x = - - sempre que tg x
cos x tg x
existir e nao for nula.
1
Outra delas e a fun~ao secante de x, definida por sec x = - - - , para todo x E IR tal
cos x
que cos x -=/= 0, ou seja:
D(f) = {x E IR Ix -=/= ; + k . TI, k E z}
1
A outra e a fun~ao cossecante de x, definida por cossec x = ---, para todo x E IR tal
sen x
que sen x -=/= 0, ou seja:
D(f) = Ix E IR x -=/= k· TI, k E Z}
Como exerdcio, fac;:a um estudo completo dessas func;:6es, seguindo 0 roteiro das func;:6es
ja vistas.
318

327. EXERCiclO PROPOSTO
28. Determine 0 que se pede em cada caso:
-,3 1
a) cotg x, sendo sen x = -2- e cos x = 2'
b) tg x, sendo cotg x = 3.
-4
c) cotg x, sendo tg x = 5'
d) sec x, sendo cos x = ~ .
e) cos x, sendo sec x = -5.
-,5
f) sec x, sendo cos x = 3
g) cos x, sendo sec x = " 7 .
-,7
h) cossec x, sendo sen x = -8-'
i) sen x, sendo cossec x = -10.
7. Rela~oes entre as fun~oes trigonometricas
Agora que estudamos as varias func;:oes trigonometricas, veremos algumas importantes
relac;:oes entre elas.
A figura abaixo mostra um ciclo trigonometrico, no qual foi destacado um arco AM que
mede x rad.
B
Urn zoom (ou seja, urn detalhe ampliado) no triangulo rerangulo OMM1 nos fornece:
M
sen x
x
o.L------c
-
o
-
s
x----L:.JM1
Aplicando nele 0 teorema de Pitagoras, obtemos:
(senx)2 + (COSX)2 = p~ (senx)2 + (COSX)2 = 1
A igualdade acima costuma ser indicada assim:
I sen2 x + cos2 X = 1 I Relac;:ao fundamental
319

328. Observas:ao: a rela<;:ao vista e verdadeira para todo x real, mesmo quando a triangulo nao
existe, au seja, quando a ponto M coincidir com B, AI au A.
Urn zoom no triangulo rerangulo OAT nos fornece:
T
,,M
~
/'
#
tg x
sen x
~~ x
0 cos X M, A
Os triangulos OMIM e OAT sao semelhantes, pais possuem angulos de mesma medida.
Assim sendo, seus lados hom610gos sao proporcionais. Portanto:
OT = OA
OM OMI
OT
=>
1
1
cos x
=> OT = sec x
A rela<;:ao acima e verdadeira para todo x tal que cos x *o.
Eimportante que voce observe na figura que sec x se identifica com OT.
Sabendo portanto que OT = sec x, temos:
T
tg x
o
x
A
Aplicando a teorema de Pitigoras no triangulo rerangulo OAT, encontramos:
1 + (tg X)2 = (sec X)2
Essa rela<;:ao costuma ser indicada assim:
I 1 + tg2
X = sec 2 x
A rela<;:ao acima e verdadeira sempre que as fun<;:6es nela envolvidas existam, au seja, quan-
do M nao coincidir com B au com Bj •
Nem disso, temos:
1 + cotg 2 X = 1 +
cos 2
x
sen2
x
sen2
x + cos 2
X
?
sen- x
_-=l=----_ = cossec2
x, au seja:
sen2
x
1 + cotg2
X = cossec 2
x I
320

329. Resumindo, temos que, para qualquer valor real de x para 0 qual as funs:oes existem, sao
validas as seguintes afirmas:oes:
sen2
x + cos2
X = 1
1 + tg2
X = sec2
x
1 + cotg2
X = cossec2
x
Observas:ao: relas:oes desse tipo, que fornecem sentens:as numericas verdadeiras para qual-
quer valor de x para 0 qual as funs:oes existem, sao chamadas identidades.
Em seguida vamos resolver alguns problemas que envolvem as relas:oes acima.
Exemplo 1
1
Sabendo que sen x =
4
a) cos x
SolUfao
a) cos x =
'IT
,com 2 < x < 'IT, determine:
b) tg x
Temos que sen2x + cos 2X = 1 => ( ~ y+ cos 2X = 1 => cos 2
X = 1 - 11
6
=>
=> cos 2
X = ~.
16
Como x e do 2Q
quadrante, 0 valor do cosseno e negativo.
Portanto: cos x =
,---
15
'16 ,ou seja, cos x =
b) tg x = ?
Como tg x =
Exemplo 2
sen x
cos x
=> tg x =
1
4 -1
'15
ou
r- 3'IT
Sendo tg x = ' 2 com 'IT < X < --, achar 0 valor de:
2
a) cos x b) sec x c) sen x
SolUfao
a) cos x = ?
Temos que 1 + tg2
X = sec 2
x.
Entao: 1 + ( '2 )2 = sec 2x => sec 2x = 1 + 2 => ( __1_)2 = 3 =>
cos x
=> 1 = 3 => cos 2 X = .-L.
cos2
X 3
Como 0 cosseno e negativo no 3Q
quadrante, temos:
cos x =
1
' 3
=> cos x =
321

330. b) sec x = ?
Temos sec x =
c) sen x = ?
1
cos x
1
=> sec x = ------,o~ => sec x =
-./3
3
-3 r;;;;-
./3 => sec x = --v3 .
Temos que
sen x
cos x
= tg x.
-./3 ~
Entao sen x = cos x . tg x = - - . -V 2
3
=> sen x =
-0/6
3
EXERCICIOS PROPOSTOS _
29. Das sentenyas abaixo, determine as verdadeiras:
a) sen 2 (60°) + cos 2 (60°) = 1
b) sen 2 (20°) + sen 2 (70°) = 1
c) sen (25°) + cos (25°) = 1
d) sen 2
(35°) + cos 2
(55°) = 1
e) sen 2
(15°) + cos 2
(15°) = sen 2
(20°) + cos 2
(20°)
f) 1 - sen 2 ( : ) = cos
2
( : )
30. Determine:
-3
a) sen x, sabendo que cos x = 5' com x do 2Q
quadrante.
b) cos a, sendo 0 < a < ~ e sen a = ~ .
2 4
c) sen x, sabendo que x edo 3Q
quadrante e que cos x =
--./3
d) cos x, sendo sen x = -2- e x do 4Q
quadrante.
-1
2 .
1 To
e) sen (-x), sendo cos x = 2 eO < x < 2'
f) cos x, sabendo que sen (-x) = +e xe do 4Q
quadrante.
31. Determine 0 que se pede em cada caso:
-3
a) sen x e tg x, sabendo que x edo 2Q
quadrante e que cos x = 4 .
14
b) tg x, sabendo que cotg x = 3'
To
c) tg x, sendo sec x = 8 e 0 < x < 2'
d) cossec x, sabendo que tg x = 5 e que x edo 1Q quadrante.
,5 3To
e) cos x e sen x, sendo tg x = -3- e To < X < 2'
f) sen x + cos x, sendo tg x =
-4 To
5 e 2 < x< To.
322

331. Exemplo 3
Determine 0 valor de m tal que sen x =
bern 0 quadrante do arco x.
Solu~iio
1 + m
5
@
2m D .e que cos x = - - - . etermme tam-
5
Sabemos que -1 :;;;: sen x:;;;: 1 e que -1 :;;;: cos x:;;;: 1.
Sabemos ainda que sen2
x + cos 2
X = 1. Entao:
(
1 + m )2 (-2 m )25 + -5- =1=>
1 + 2m + m
2
4m2
------+--
25 25
1 =>
=> 1 + 2m + m2
+ 4m2
= 25 => 5m2
+ 2m - 24 = 0
Resolvendo essa equa<;ao encontramos m = 2 ou m =
• Para m = 2, obtemos:
12
5
3
sen x =
5
4
e cos x = - -
5
Para esses valores, tanto a condi<;ao CD como a condi<;ao @ sao verdadeiras.
Entao, m = 2 e uma solu<;ao do problema. Como sen x e positivo e cos x negativo, 0 arco x
e do 2Q
quadrante.
12
• Para m = - -- obtemos'5'· .
7
sen x = ---
25
24
e cos x =
25
Para esses valores, tanto a condi<;ao CD como a condi<;ao ® sao verdadeiras.
E - 12 , 1 - d bl C , . , . .ntao, m = - 5 e outra so u<;ao 0 pro ema. omo sen x e negatIvo e cos x e pOSltIVO,
entao 0 arco x e do 4Q
quadrante.
EXERCICIO PROPOSTO
32. Determine 0 valor de m, equal 0 quadrante do arco x, de modo que se tenha:
m + 1 m,'5a) sen x = --- e cos x = ---
3 3
3m
b) sen x = 8 ecosx=
,55m
8
,7m
c) cos x = -2- e sen x =
-3m
2
323

332. 8. Identidades trigonornetrieas
Vimos no item anterior a nos:ao de identidade. Vamos mostrar agora quando uma senten-
s:a do tipo f(x) = g(x) e uma identidade.
Se a sentens:a f(x) = g(x) for realmente uma identidade, urn born caminho para pravar
isso consiste em transformar 0 membra que apresenta expressao mais complicada na expres-
sao do outro membra. Para isso lltilizaremos as regras usuais da Algebra e as relas:oes trigo-
nometricas.
Caso os dois membras apresentem expressoes igllalmente complicadas, podemos transfor-
mar, cada urn deles, em uma mesma expressao mais simples que as anteriores.
Exemplo
Verificar a identidade cotg x = cossec x -
f(x)
sen x
1 + cos X I
g(x)
So/urao
A expressao do 2 Q
membra g(x) e a mais complicada.
Temos:
sen x
g(x) = cossec x -
1 + cos x sen x
sen x
1 + cos x
1 + cos x - sen 2 x
sen x (1 + cos x)
1 - sen2 x + cos x
~ g(x)=-------
sen x (1 + cos x)
cos2
X + cos x
sen x (1 + cos x)
1
cos x . -9--+-oos-x; = cos x =
sen x . -tJ-+-co x sen x
1
= cotg x = f(x)
Entao f(x) = g(x) e verdadeira para qualquer valor de x onde as funs:oes estao definidas.
EXERCiclO PROPOSTO
33. Verifique as seguintes identidades:
a) sec x + cotg x = (cossec x) . (cos x + tg x)
b) sec 2 e + cossec2 e = sec 2 e . cossec 2 e
c) tg 2
e + tg4
e = sec 4
e - sec2
e
9. Reeorreneia a urn area do prirneiro quadrante
_+-__---:~---+A~EiXOdos
0l'----.,r-~I cossenos
A figura mostra urn ciclo trigonometrico
de centra 0, em urn sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais de origem em O.
Sabemos que cada uma das quatro regioes do
plano OXY, assim obtidas, e chamada qua-
drante.
324
2° quadrant.
3° quadrant.
Eixo dos
senos
1° quadrant.
4° quadrant.

333. Nosso objetivo agora e: dado um arco .A::M de medida x (nao do 1Q quadrante), encon-
trar, no 1Q quadrante, um arco de medida Xl> cujas fun~6es trigonometricas tenham, em va-
lor absoluto, os mesmos valores das do arco x.
Isso significa dizer que iremos procurar um arco XI do 1Q quam'ante, tal que:
em que f e uma das fun~6es trigonometricas.
o arco Xl do 1Q quadrante e chamado areo auxiliar.
Seja portanto X a primeira determinaS;ao positiva do arco dado. Temos os seguintes casos
a considerar: X e do 2Q
, ou do 3Q
OU do 4Q
quadrante.
Veremos isso caso a caso.
.-------....
Recorrencia ao 12 quadrante quando 0 arco AM
tern extrernidade no 22 quadrante
-++-----,-;"j-__+-+_~ Eixo dos
o cossenos
cos (7T - x)
t
EiXO dos
senos
sen x e sen (7T - x)x
cos x
M
A figura mostra 0 arco .A::M , que mede X.
Tomando no cido 0 ponto M], simetrico do
ponto M com rela~ao ao eixo dos senos, temos
que a medida de ~ e('IT - x).
Dois arcos, um de medida X e outro de
medida ('IT - x) sao chamados areos suple-
mentares. Um deles e 0 suplemento do outro.
Observando a figura, vemos que os arcos
.A::M e AM; possuem:
• 0 mesmo seno,
• cossenos simetricos (ou seja, mesmo valor absoluto e sinais contrarios).
=> cotg x = -cotg ('IT - x)cotg x =
Dessa forma, temos:
sen x = sen ('IT - x)
cos x = -cos ('IT - x)
tg x = sen ('IT - x) => tg x = - tg ('IT - x)
- cos ('IT - x)
- cos ('IT - x)
sen ('IT - x)
sec x = 1
cos x
1 =>secx=-sec('IT-x)
- cos ('IT - x)
cossec x = 1
sen x
1 => cossec x = cossec ('IT - x)
sen ('IT - x)
Resumindo, se ~ < x < 'IT, temos:
2
sen x = sen ('IT - x)
cos x = -cos ('IT - x)
tg x = - tg ('IT - x)
cotg x = -cotg ('IT - x)
sec x = -sec ('IT - x)
cossec x = cossec ('IT - x)
Achar AM; bem como as respectivas fun~6es trigonometricas e 0 mesmo que "reduzir"
ao 1Q quadrante.
325

334. 3'IT
e) x = 4 rad
2'IT
d) x = rad
3
e) x = 840°b) x = -210°
Exemplo
Reeorrendo a urn areo do 1Q qlladrante, expressar sen x, eos x e tg x dos areos eujas rnedidas
sao:
a) x = 135°
So/urao
a) x = 135°
o areo auxiliar do 1Q qlladrante rnede 180° - 135° = 45°.
Entao: r-
"/2
sen 135° = sen 45° =
2
cos 135° = -cos 45° =
tg 135° = -tg 45° = -1
b) x = -210° (Observe que agora 0 arco e negativo.) Veja
a figura. Ela rnostra que a prirneira deterrninas:ao positi-
va do arco rnede 360° - 210° = 150° e tern a extrerni-
dade no 2Q
qlladrante.
o areo auxiliar do 1Q qlladrante rnede
180° - 150° = 30°.
Entao:
1
sen (-210°) = sen 150° = sen 30° =
2
ISO· "
_ 210·
o
A
cos (-210°) = eos 150° = -cos 30° =
tg (-210°) = tg 150° = -tg 30° = 3
3
e) x = 840°
840° 1360°
120° 2 (voltas)
Os valores das nUW6es trigonornetrieas do arco que rnede 840° sao os rnesrnos das funs:6es
trigonornetrieas do arco que mede 120° (areo do 2Q
quadrante).
o areo auxiliar do 1Q quadrante rnede 180° - 120° = 60°.
Entao:
sen 840° = sen 120° = sen 60° = 3
2
eos 840° = cos 120° = -eos 60° =
1
2
tg 840° = tg 120° = -tg 60° = -.J3
d) x = 2'IT rad
3
o areo amdliar do 1Q qlladrante rnede 'IT - 2'IT
3
'IT
3 (rad).
326

335. Entao:
2TI TI ,3
sen -- = sen - -
3 " 2.)
2TI TI 1
cos -- = -cos - -
3 3 2
2TI TI ,.-
tg -- = -tg -3
3 3
e) x = 3TI rad
4
a arco auxiliar do 1Q quadrante mede TI -
Entao:
,.-
3TI TI ,2
sen - = sen - -
4 4 2
3TI TI -J2cos - = -cos - -
4 4 2
3TI TI
tg = -tg = -1
4 4
3TI
4
TI
"4 (rad).
EXERCiclOS PROPOSTOS _
34. Recorrendo a um arco do 1Q
quadrante, fornec;:a os valores de sen x, cos x e tg x nos casos abaixo:
5'll' 17'll'
a) x= 1500
b) X= - - rad c) X= 12000
d) x= - - rad
4 6
35. Recorrendo a um arco do 1Q
quadrante, determine cotg x, sec x e cossec x, nos casos seguintes:
a) x= 1200
b) X= 4'll' rad c) X= -240°
5
36. Simplifique:
a) N =
3·'ll'
sen 164° . cos 130° . tg -5-
2·'ll'
tg -5- . sen 884° . cos 50°
3·'ll'
sen(-2300) . cos -4- . tg 460°
b) N = -----------'------
tg 80° . sen 50°
-----------Recorrencia ao 12 quadrante quando 0 arco AM
tern extrernidade no 32 quadrante
A figura da pagina seguinte mostra 0 area.A.M', que mede x. Tomando no cicio 0 ponto M 1,
simetrico do ponto M, com rela<;:ao ao centro 0, temos que a medida de ~ e(x - 1T ).
Dois arcos, urn de medida x e outro de medida (x - 1T), sao chamados arcos exple-
mentares.
327

336. y Eixo dos
senos
X -11
cos (X - To)
_+-_....!--_*_~_+A_~ Eixo dos
X cossenos
cos x
X
M
Observando a figura, vemos que os arcos AM e .AM; possuem senos simetricos (ou se-
ja, mesmo valor absoluto e sinais contrarios) e cossenos tambem simetricos.
Nessas condi<;6es, temos:
sen x = -sen (x - 1T)
cos X = -cos (x - 1T)
cos x
cos x
sen x
sen x -sen (x - 1T)
- - - -----'----------'--- = tg (x - 1T)
- cos (x - 1T)
- cos (x - 1T)
-sen (x _ 1T) = cotg (x - 1T)cotg x =
tg x =
cos x
sec x =
1 1---------,-----,-
-cos (x - 1T)
-sec (x - 1T)
sen x
cossec x =
1 1---------,-----,-
-sen (x - 1T)
- cossec (x - 1T)
Resumindo, se 1T < X < 31T, temos que:
2
sen x = -sen (x - 1T)
cos X = -cos (x - 1T)
tg x = tg (x - 1T)
cotg X = cotg (x - 1T)
sec x = -sec (x - 1T)
cossec x = -cossec (x - 1T)
Exemplo
Recorrendo a urn arco do 1Q quadrante, determine sen x, cos x e tg x, para os arcos x abaixo:
51Ta) x = 240° b) x = rad c) x = -140° d) x = 200°20'
4
Soluyao
a) x = 240°
o arco auxiliar do 1Q quadrante mede 240° - 180° = 60°.
Entao:
sen 2400
= - sen 60° =
,3
2
1
cos 240° = -cos 600
= - -
2
tg 2400
= tg 600
= 3
328

337. b) x = 5'IT rad
4
5'IT 'ITo arco auxiliar do 1Q quadrante mede - 'IT =
4 4
Entio:
5'IT 'IT --12sen - = -sen - -
4 4 2
5'IT
,-
'IT -,2
cos - = -cos - -
4 4 2
tg 5'IT = tg 'IT = 1-
4 4
c) x = -140°
A primeira determinas:ao positiva desse arco e 360° - 140° = 220°.
o arco auxiliar do 1Q quadrante mede 220° - 180° = 40°.
Entao:
sen (-140°) = sen 220° = -sen 40°
cos (-140°) = cos 220° = -cos 40°
tg (-140°) = tg 220° = tg 40°
d) x = 200°20 I
o arco auxiliar do 1Q quadrante mede 200°20 I - 180° = 20°20 I •
Entao:
sen 200°20 I = -sen 20°20 I
cos 200°20 I = -cos 20°20 I
tg 200°20 I = tg 20°20 I
EXERCICIOS PROPOSTOS _
37. Recorrendo a um arco do 1Q
quadrante, determine sen x, cos x e tg x nos casos:
a) x = -120° b) x = 8T1 rad
7
c) x = -150°
38. Recorrendo a um arco do 1Q
quadrante, determine 0 valor de N sendo:
(
-3T1 )N = cotg 225° + tg -4- .
----------Reeorrencia ao 12 quadrante quando 0 areo AM
tern extrernidade no 42 quadrante
A figura da pagina seguinte mostra 0 arco AM, que mede x.
Tomando no cicio 0 ponto M 1, simetrico do ponto M com relas:ao ao eixo dos cossenos,
temos que a medida de ~ e(2'IT - x).
Dois arcos, um de medida xe outro de medida (2 'IT - x), sao chamados areos replementares.
329

338. rtEixo dos
senos
2" -x
M
--/------k-__-+-.. Eixo dos
D x cossenos
x
Observando a figura, vemos que os arcos AM' e .AM; possuem senos simetricos (mesmo
valor absoluto e sinais contrarios) e 0 mesmo cosseno.
Nessas condi~oes, temos:
sen x = -sen (27T - x)
cos x = cos (27T - x)
tg x = -tg (27T - x)
cotg x = -cotg (27T - x)
sec x = sec (27T - x)
cossec x = -cossec (27T - x)
Exemplo 1
Recorrendo a urn arco do 1Q quadrante, determinar sen x, cos x e tg x nos casos:
97T
a)x=300° b)x= rad c)x=675°
5
SolUfio
a) x = 3000
o arco auxiliar do 1Q quadrante mede 3600
- 3000
= 600
•
Entao:
sen 3000
= -sen 600
=
'13
2
cos 3000
= cos 600
=
1
2
tg 3000
= -tg 600
= -·,J3
97T
b) x = -5- rad
97T 7T
o arco auxiliar do 1Q quadrante mede 27T - 5 5
Entao:
97T 7T
sen - - -sen
5 5
97T 7T
cos - - = cos
5 5
97T
tg 5
7T
-tg -
5
330

339. c) x = 675°
Temos: 675° = 360° + 315°
1 volta
o orco auxiliar do 1Q quadrante mede 360° - 315° = 45°,
Entao:
sen 675° = -sen 45° =
r-
'2
cos 675° = cos 45° = --
2
tg 675° = -tg 45° = -1
EXERCiclOS PROPOSTOS _
39. Recorrendo a um area do 1Q quadrante. calcule sen x e cos x nos casas:
15w -w
a) x = 690° b) x = -- rad c) x = -60° d) x = -- rad
4 6
40. Calcule a valor de N nos casas seguintes:
a) N = sen 150° + 2 ' cos 225° - tg (-45°)
b) N = 3 . cos ( 3; ) - 2 . sen ( 1~w ) - sec ( 1~ )
c) N = sen 390° - 2 . cos 150° + tg 240° - cos (-120°)
d) N = cos ( 5; ) - sen ( -~w ) + 2 . sen ( 5; ) + cos ( 9; )
Exemplo 2
Simplificar:
sen (~ - x) . cos ( 3; + x)
N=------------
cos (' ~ + x) .sen ('IT + x)
So/urao
Temos que:
sen (~ - x) = cos x
cos ( 3; + x) = cos [2'IT - ( 3; + x)] = cos (; - x) = sen x
cos (; + x) = -cos ['IT - (~ + x)] = -cos (; - x) -sen x
sen ('IT + x) = -sen [('IT + x) -'IT] = -sen x
Substituindo as valores encontrados, obtemos:
cos x.sen x cos xN = --------- = - - - = cotg x
-senx'(-senx) sen x
331

340. b) Y =
EXERCiclO PROPOSTO
'IT
41. Simplifique as express6es abaixo, considerando 0 < x < 2'
a) y = sen ( 3; - x) + cos ( ; + x) - 2 sen ('IT + x)
sen (x -f ) + 2 cos (x --T)
4 cos (3; + x) + sen ('IT - x)
c) y= sen ('IT + x) - tg ( ; + x) + cos (-x) - cotg (x _3; )
d) Y =
sen ( f -x) .cos ( f + x)
sen ( ; + x) .cos ( ; - x)
10. Calculo dos valores das
fun~oes trigonometricas
Quando estudamos a trigonometria no triingulo reta.ngulo, aprendemos a calcular as valo-
res das fi.ll1~6es trigonometricas para a.ngulos menores que 90°. Naquela oportunidade, voce
aprendeu a utilizar uma tabela de valores para calcular senos e eassenos daqueles ingulos.
Pais bem, com a usa daquela tabela, agora temos condi~6es de calcular as valores das
diversas fun~6es trigonometricas de um area que mede x, para qualquer valor de x!
Se tivermos em mao uma calculadora cientifica, a calculo e imediato, eamo ja foi vista
naquela oportunidade.
Como complemema<;ao, daremas apenas um exemplo onde ocorrem calculos aproxima-
dos, utilizando a tabela reproduzida abaixo.
Tabua de senos e cossenos
,
ICosseno I An:o I ICosseno I Arco I I CossenoArCl) : St..'no Seno Sena
1° 0,0175 0,9998 16° 0,2756 0,961 3 31° 0,5150 0,8572
2° 0,0349 0,9994 17° 0,2924 0,9563 32° 0,5299 0,8480
3° 0,0523 0,9986 18° 0,3090 0,9511 33° 0,5446 0,8387
4° 0,0698 0,9976 19° 0,3256 0,9455 34° 0,5592 0,8290
5° 0,0872 0,9962 20° 0,3420 0,9397 35° 0,5736 0,8192
6° 0,1045 0,9945 2P 0,3584 0,9336 36° 0,5878 0,8090
7° 0,1219 0,9925 22° 0,3746 0,9272 37° 0,6018 0,7986
8° 0,1392 0,9903 23° 0,3907 0,9205 38° 0,6157 0,7880
9° 0,1564 0,9877 24° 3,4067 0,9135 39° 0,6293 0,7771
10° 0,1736 0,9848 25° 0,4226 0,9063 40° 0,6428 0,7660
11° 0,1908 0,9816 26° 0,4384 0,8988 41° 0,6561 0,7547
12° 0,2079 0,978 1 27° 0,4540 0,8910 42° 0,6691 0,7431
13° 0,2250 0,9744 28° 0,4695 0,8829 43° 0,6820 0,7314
14° 0,2419 0,9703 29° 0,4848 0,8746 44° 0,6947 0,7193
15° 0,2588 0,9659 30° 0,5000 0,8660 45° 0,7071 0,7071
332

341. Exemplo
Calcular 0 valor de:
N = cos 140° - sen 100° + sen 230° - tg 320° [1]
SolUfaO
Faremos uso:
• do que vimos sobre recorrencia a arco do 1Q quadrante;
• da tabela dos valores de senos e cossenos;
• do conhecimento de que, quando dois arcos somam 90°, 0 sene de urn deles e igual ao cos-
sene do outro.
Assim, calculando separadamente cada parcela do segundo membra de [1], temos:
cos 140° = -cos 40° = -0,7660
sen 100° = sen 80° = cos 10° = 0,9848
sen 230° = -sen 50° = -cos 40° = -0,7660
sen 40° 0, 642 8
tg 320° = -tg 40° = - = 0,8392
cos 40° 0,7660
Substituindo esses valores em [1], encontramos:
N = -0,7660 - 0,9848 + (-0,7660) - 0,8392 = -1,8240
EXERCiclOS PROPOSTOS _
42. Calcule:
a) sen 43°
b) cos 11JO
c) tg 148°
d) sec 138°
e) sen 250°
f) cotg 254°
g) cossec 312°
h) sen 340°
43. Calcule a valor de P:
a) P = 3 . cos 310° - 4 . sen 95° + 2 . tg (-56°)
b) P = tg (285°) + 2· cos (-215°)
sen (-134°) - tg (330°)
Complementos sobre a lei dos senos e a lei dos cossenos
Quando estudamos a trigonometria no triangulo, vimos duas leis muito importantes: a lei
dos senos e a lei dos cossenos. No entanto, naquela oportunidade, a veracidade dessas duas
leis apenas se referia a urn triangulo acutangulo.
Agora que ja aprendemos as fi.1l1c;:6es trigonometricas de quaisquer arcos (ou quaisquer
angulos), eimportante saber que aquelas duas leis sao verdadeiras para qualquer triangulo.
Assim, para um triangulo ABC qualquer,
'~
A c B
Lei dos senos
sao verdadeiras as seguintes afirmaC;:6es:
Lei dos cossenos
a
sen A
b
sen B
c
sen C
a2
= b2
+ c2
- 2 . b· c· cos A
b2
= a2
+ c2
- 2 . a· c· cos B
c2
= a2
+ b2
- 2 . a· b· cos C
333

342. Exemplo 1
No triangulo ABC mostrado na figura ao lado,
determine 0 valor de x, utilizando a lei dos
eossenos.
Solurao
Aplieando a lei dos eossenos, temos:
c
30 em
A
x
40 em B
Xl = 1600 + 900 - 2 . 30 . 40 . cos (120°) ~
~ Xl = 2 500 - 2400· (- ~ ) ~
~ Xl = 3 700 ~ X = 60,82
o valor de X eaproximadamente 60,82 em.
Exemplo 2
No triangulo ABC mostrado na figura ao lado,
determine 0 valor de x e de y, utilizando a lei
dos senos.
C
~",m
~ ~.A x B
Solurao
Como 0 triangulo tem dois angulos medindo 30°, ele eisosceles, portanto y = 45 em.
o angulo C mede 180° - 30° - 30°, ou seja, C mede 120°.
Conforme 0 problema exige, utilizaremos a lei dos senos.
Temos:
45
sen 30°
45
sen 30°
x----~x
sen 120°
45 . sen 120°
sen 30°
45'~
___2_~ x = 45· --/3
1
2
Entao x = 45..J3 em.
EXERCiclO PROPOSTO
44. Calcule os elementos desconhecidos nos triangulos abaixo.
a) b)
;rc/.... Q
'---'
Cl. 15°
Y x
// A 45° 120°
45° 30°
~
" 60 I>]
A1"- - - 50em B C
334
c)
Cl.
65 m
y~L._--,~,----.:::,.
x

343. TUNEL DO TEMPO
A ideia da fun<;:ao corda, precursora da nossa fun<;:ao seno, foi trabalhada com bas-
tante intensidade durante muitos seculos anteriores a Ptolomeu. No seu Almagesto,
obra composta de 13 livros, em que sao estudados os movimentos dos planetas, aparece
uma tibua da fun<;:ao corda, desde 0,5 grau ate 180 graus, de meio em meio grau.
A fun<;:ao corda relacionava urn arco de circunferencia com a corda respectiva. Com
a natural evolu<;:ao do pensamento matemitico, quando alguem pensou em utilizar uma
tibua relacionando a metade da corda de urn arco duplo, estava inventada a nossa
fun~o seno, que em latim era designada sinus. Hi registros de que, por volta do secu-
10 V de nossa era, 0 matemitico hindu Aryabhata ji calculava essas semicordas.
Fun~ao corda Fun~ao seno
Raio
Corda
5emicorda
Raio
Relaciona a corda com ex. Relaciona a semicorda com 13.
o termo co-sinus foi utilizado pela primeira vez no seculo XVII, por Edmund
Gunter, para indicar 0 sene do complemento, combinando as palavras "complemento"
e "sinus", que em pOl·tugueS ficou cosseno.
Ideias equivalentes as nossas conhecidas fun<;:6es tangente e cotangente apareceram
hi mais de tres milenios, tanto em dlculos relativos a constru<;:ao de pira.mides, como
em dlculos envolvendo relogios de sol. Esses relogios mostravanl a rela<;:ao entre as ho-
ras do dia com 0 comprimento da sombra de uma vara, chamada gnomon.
No caso de a vara ser vertical, a sombra era projetada no chao, e no caso de ser hori-
zontal, a sombra era projetada numa parede. Veja isso nas figuras seguintes.
~ol
~~"
'['''''1= tgSHaste .. '"""
vertical (a)
sf""
n;;;;;;;;;;;;;;;;,)'",,,;)
~
50mbra horizontal (b)
~Ol
l>;
, Haste horizontal (a)
b
a=cotg<p
,,
Rel6gio de sol situado em Tiradentes - MG.
335

344. I I. Fun~oes trigonometricas inversas
Quando, em estudos anteriores, aprendemos os conceitos de func;:ao inversa, vimos que
somente as func;:oes bijetoras (ou seja, injetoras e sobrejetoras) tinham inversa.
Veremos agora como ajustar aqueles conceitos para as func;:oes trigonometricas aprendidas.
Fun~ao arco-seno
Van10s rever a definic;:ao da func;:ao sene:
f: IR --+ IR tal quef(x) = sen x
Agora veja 0 grafico dessa func;:ao:
-7T
...... 2 '
............-...._..:- -
, -I
-31T
-2-
__ L _
- r - - --
-- - --; ..
,JI'
0," "
x
Por ele, vemos que a func;:ao nao e sobrejetora, pois a imagem dela e 1m (f) = [-1,1] e
o seu contradominio e IR.
A figura mostra tambem que a func;:ao nao e injetora, pois, para urn mesmo valor Xl E IR,
existem infinitos valores de x, tais que sen X = sen Xl' como, por exemplo,
'IT ( -3'IT )sen "'2 = sen -2- = 1
Entao, nas condic;:oes apresentadas, a func;:ao y = sen X nao possui inversa.
No entanto, podemos restringir 0 contradominio ao conjunto [ -1, 1], intervalo esse
onde estao todos os valores de sen X para qualquer X E IR. Fazendo isso, a func;:ao e
sobrejetora.
Vamos agora restringir 0 dominio, de modo que a func;:ao seja tambern injetora.
Existem infinitos intervalos onde tal peculiaridade ocorre, como, por exemplo,
L = [ ; ; 3;] (veja figura). No entanto, convencionamos adotar para domlnio 0 intervalo
[ - ; ; ;], no qual a mesma peculiaridade tambem ocorre.
Dessa forma ternos a func;:ao P : [ - ; ; ;] --+ [-1, 1], definida por P(x) = sen x.
Nessas condic;:oes a func;:ao e bijetora e, portanto, tern inversa. Ela e definida assim:
p- I
: [ -1, 1] --+ [ - ; ; ; ] tal que p- 1
(y) = arc sen y (entende-se: arco cujo seno e y).
336

345. Veja 0 esquema:
Dominic F
x = arc sen y
Exemplo 1
Achar y nos casos seguintes:
a) y = arc sen ~
2
SolUfao
a)
( -"3 )b) y = arc sen -2-
1T 1T
--:;;;;y:;;;;-
2 2
c) y = 3 . cos (arc sen ~ )
1
y = arc sen 2
Portanto: y =
e
sen y =
1T rad.
6
1
2
=> y =
1T
6
a
-Ii
2"
b) 7T
"2
( -.J3 )y = arc sen --2- => e
Portanto: y =
3
rad.
seny = -/3
2
3
a
-Ii
3
c) y = 3 . cos
sen z =
z
4
Chamando z = arc sen
7
-~:;;;; z~ ~
2 2
4
7
e
y = 3 . cos z
C 2 2 1 ' 1 " e' 1omo cos z + sen z = => cos z = + " - sen- z , pOlS, como z ta que
1T 1T , ..
- - :;;;; z ~ -, seu cosseno e POS1UVO.
2 2
337

346. Entao: cos z = ~1 - ~
49
-J33=> cos z =
7
Assim sendo: y =
3· -J33
7
Exemplo 2
Sabendo que y = arc sen 0,4, determine aproximadamente 0 valor de y.
SO/UfaO
{
'IT 'IT--~y~-
2 2
Y = arc sen 0,4 => e
sen y = 0,4
Nesse caso, 0 valor do seno nao ede nenhum arco conhecido.
Assim, se desejarmos saber aproximadamente 0 valor de y, devemos fazer uso da tibua de
valores ou de uma calculadora cientifica.
Utilizando a tabua de valores de senos e cossenos, vemos que 0 valor de yesta entre 23° e 24°.
EXERCICIOS PROPOSTOS _
45. Determine a valor de y nos casas:
( .J2 )a) y = arc sen -2-
b) y= arc sen (-+)
46. Calcule y nos casas seguintes:
a) y = 2 . cos (arc sen 0,8)
47. Determine a valor de N:
a) N = 0,5 + cos [arc sen (- : )]
Fun~ao arco-cosseno
c) y = 2 . arc sen 0,342
d) Y = arc sen (-1) + arc sen 0,5
b) Y = sen (arc sen 0,5) + cos (arc sen 0)
b) N = tg [arc sen ( ~ )]
Do mesmo modo que a fun<;:ao seno, a fun<;:ao cassena, definida por f: IR --> IR tal que
f(x) = cas x, nao ebijetora e, portanto, naa tem inversa.
Restringindo 0 cantradominia aa intervala [-1; 1], a fun<;:aa esabrejetora.
Convencianamos restringir 0 dominio ao intervalo [0; 'IT], no qual a fun<;:ao e injetora.
Dessa forma temos a fun<;:ao:
P: [0; 'IT] --> [-1; 1] tal que P(x) = cas x
Agora, entaa, a fun<;:aa ebijetora e, portanto, tem inversa:
p-l : [ -1; 1] --> [0; 'IT] tal que P~1 (y) = arc cas y (entende-se: area enja cassena ey).
338

347. Veja 0 esquema:
x = arc cos y-
F Contradominio
Exemplo 1
Determinar y:
a) y = arc cos ( ~ )
SolUfiio
(-~ )b) y = arc cos -2-
a)
y = arc cos ( ~ ) => e
cos y =
1
2
=> y =
'IT
3
1T
o
1T
"3
cos y =
b)
Portanto: y = ; rad.
( --13 )y = arc cos --2- => e
Portanto: y =
5'IT
rad.
6
Exemplo 2
Determinar 0 dominio da hll1=ao:
a) f(x) = arc sen (x - 3) + arc cos (x2
- 10)
SolUfiio
Devemos ter simultaneamente:
-1 ""'x-3"'" 1
®
e
339
@)
-1 "'" x
2
- 10 "'" 1

348. A condic;ao CD nos fornece:
x-3;;'-1 ~ x;;' 2
A condic;ao @ nos fornece:
x-3::;;I~x::;;4
A condic;ao @ nos fornece:
g(x)
r -"---."
x 2 - 10 ;;, - 1 ~ x 2 - 9 ;;, 0
As ralzes da func;aog(x) = x 2
- 9 sao -3 e 3.0 sinal dessa func;ao varia assim:
x
Comog(x) ;;, 0, entao, a condic;ao @ se resume em: x::;; -3 ou x;;, 3.
A condic;ao ~ nos fornece:
x 2 - 10 ::;; 1 ~ x 2 - 11 ::;; 0
As ralzes da func;ao h(x) = x 2
- 11 sao -"11 e" 11 . 0 sinal dessa func;ao varia assim:
x
Como h (x) ::;; 0, a condic;ao ® se resume em: -" 11 ::;; x::;; " 11 .
Assim sendo, temos:
CD
-,II -3 2 '11 4
~ •
@
@ )i
® • t
..
(Dn@n @ n ® i ..
~Solu~ao
o domlnio da func;ao eD(f) = (x E IR 13 ::;; x::;; "lll.
340

349. EXERCICIOS PROPOSTOS
48. Determine y sabendo que:
a) y = arc cos ( J[ ) c) y = arc cos 0,5 + arc cos (-0,5)
b) Y = arc cos (-1) (
-j2 )d) Y = 2 . arc cos -2-
49. Calcule a valor de N para:
a) N = arc cos 0,9703
b) N = sen [arc cos ( : )] + cos [arc sen (-0,5)]
c) N = tg [arc cos ( ~ )]
50. Determine a dominio das fungoes:
a) y = arc sen (3x - 11)
b) Y = arc cos (x2
- 1)
c) f (x) = arc sen (3 + x) + arc cos (2x + 8)
Fun~ao arco-tangente
A fun<;ao tangente foi definida assim:
f: IR] -.IR tal quef(x) = tg x, com IRj = {x E lR[x =F ; + k· 'IT, k E z}
Nessas condi<;6es a fun<;ao e sobrejetora, pois tg x assume qualquer valor real, mas nao e
injetora. Desse modo nao e bijetora e, portanto, nao tern inversa.
Vamos restringir 0 dominio a um intervalo onde ela assuma todos os valores reais e, alem
russo, seja injetora. Existem infinitos intervalos onde isso ocorre.
Convencionamos restringir 0 dominio ao intervalo aberto ] - ; , ; [ . A fun<;ao fica
assim determinada:
P ··]-'IT2
,'IT2
[ --. IR, definida por P(x) = tg x
A hll1<;ao agora e bijetora e, portanto, tem inversa:
p-] : IR --. ] - ; , ; [ , definida por P- 1 (y) = arc tg y (arca cuja tangente e y).
Veja a esquema:
y = tgx
Contradominio
x = arc tg y
341

350. Exemplo
Determinar y nos casos abaixo:
a) y = arc tg ,3 .
b) y = arc tg 1 + arc tg ( ~ )
SolUfiio
a) y = arc tg ,13
11' 11'
--< y<-
2 2
Temos que: e
tg y = ,3 ~ y = 11'
3
b) y = ~ tg 1 + arc tg ( +)l )
z
-~ < z < ~
2 2
o
-1T
2
Chamando z = arc tg 1 ~ e
tg z = 1
=> z == ~ rad
4
-~<t<~
2 2
Chamando t = arc tg ( ~) ~ e ~ t = 11' rad
6
tg t =
.J3
3
11' 11' 511'
Como y = z + t ~ Y = "4" rad + 6 rad ~ y = 12 rad.
EXERCiclO PROPOSTO
51. Determine y nos casas:
a) y = arc t9 (-1)
( .J3)b) Y = arc t9 --3-
c) y = sen (arc t9 2) + cos (arc t9 3)
d) Y = t9 (arc t9 4) - arc t9 1
342

351. RELEMBRANDO CONCEITOS _
Resumo das principais fun~oes trigonomhricas
Fun~ao
I y = sen x
I
y = cos x y = tg."(
Domfnio IR IR R 1 = fE IR Ix *' ; + k . 'IT, k E IR}
Imagem [-1,1] [-1, 1] IR
Periodo 2 'IT rad 2 'IT rad 'IT rad
Sinais nos + no 1Q e 2 Q
+ no 1Q e 4 Q
+ no 1Q e 3Q
quadrantes - no 3Q
e 4Q
- no 2Q
e 3Q
- no 2Q
e 4Q
A figura mostra urn ciclo com as principais fun<;6es trigonometricas:
Eixo dos
senos
M"
Eixo das
tangentes
-I
-I
Algumas rela~oes importantes (para os arcos onde as fun~oes estao dermidas)
I
I
Seno Cosseno I
Tangentc.: 5eno e c()s~eno Diersas
I
sen (-x) = -sen x cos (-x) = cos x tg (-x) = -tg x sen 2 x + cos 2 X = 1
sen x
- - = tg x
cos x
1 1 1
sen ( ; - x) = cos x
cos ."- - = cossec x - - = sec x -- = cotgx - - = cotg x
sen x cos x tg x sen x
cos (; - x)= sen x 1 + tg2
X = sec 2
x
Para fun<;6es onde aparecem sen (kx) ou cos (kx), 0 periodo e dado por:
2'IT
p= - rad
Ikl
Para fun<;6es onde aparecem tg (kx) ou cotg (kx), 0 periodo e dado por:
'IT
P= TkT rad
343

352. Fun~oes trigonometricas inversas
Fun<;:aa area-sena
y = arc sen x
Fun<;:aa area-eassena
y = arc cas x
Fun<;:aa area-tangente
y = arc tg x
'IT o
'IT
"2
-'IT
T
-~ < y < ~
2 2
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
52. Sabendo que f (x) = 3 sen (2X - : ), assinale as afirmayoes corretas:
) 0 . d d f - . 3'IT da peno 0 a unyao e 2 ra.
b) A imagem da funy8.o e[-3, 3].
c) 0 grafico da funy8.o intercepta 0 eixo yem 3 pontos.
d) 0 perfodo da funy8.o e'IT rad.
e) A imagem da funy8.o e[-1, 1].
53. Sendo f (x) = 4 cos
a) f ( ~ )
( 'IT)--x
2
+ 2 cos x, determine:
c) f (0) + 2f ( ; ) + 3f ('IT)
3 5 cos x
54. Sabendo que tg x = -4 ,calcule 0 valor da express8.o
4 sen x
55. Simplifique a express8.o: sen ( ; - x) .cos (x - ; ) .tg x, para x"* ; -'- k7r, k E 7L
4 sec x + cossec x
56. Sabendo que sen x= - 5' com 180
0
< x< 270
0
, calcule 0 valor de N = tg x+ cotg x
57. Das afirmayoes abaixo, encontre as verdadeiras:
c) cos (2X - : ) = -cos ( : - 2X)
a) sen
b) cos
(; -x)
( 'IT)x--
2
- cos x = 0
= sen (-} - x)
d) cos (5X - ; ) = cos ( ; - 5X)
e) sen (4X - ; ) = -sen ( ; - 4X)
f) sen (2X - ; ) = sen ( ; - X)
344

353. 58. (UFSC) Conhecendo 0 valor de sen x = ~ ex E [0, ;], calcule 0 valor numerico da expressao:
(
sec2 x . cotg x - cossec x . tg X)-1
6 . sen x . cossec2 x
59. (U. F. Ouro Preto-MG) Determine os valores de x sabendo-se que 0 "" a "" 2'TT e que:
{
tg a =
sec a =
x + 1
2
,'x + 2
60. (UFPE) Seja 8 um angulo em radianos, compreendido entre 0 e
1 _ fr( 1) .
sen 8 - V2 --x=-1' Determine 2x.
~2" ,tal que cos 8 = ~ (x - 2) e
5
(
COS t + cotg t )
61. (Mogi-SP) Transforme a expressao em um produto de duas fungoes.
sec t + tg t
62. (UFMG) Seja ((x) = a + b· sen c· x, com a, b, c numeros reais positivos, uma fungao peri6dica de
. d 3'TTpeno 0 2'
a) Determine c.
b) Sabendo-se que a imagem de (e 0 intervalo [3, 5], determine a e b.
c) Determine os valores de x onde (assume seu valor maximo.
3'TT 'TT
63. (Fuvest-SP) Prove que cos 10 = sen 5'
64. (Fuvest-SP) Considere uma circunferencia de
centro 0 e raio 2 em tangente areta t no ponto T.
1
Seja x a medida do angulo AOT, onde A e um
ponto da circunferencia e 0 < x < ; . Calcule,
em fungao de x, a area do trapezio OABT sendo B
o ponto da reta t tal que AB e paralelo a OT.
65. Sabendo que x "* k· ; ,k E 7L, simplifique:
N = cos (3; - x) + sen (x - 'TT) + tg ( ; - x) + tg (3; + x) .
TESTES _
66. (PUC/Campinas-SP) Seja a fungao (: IR -+ IR, definida por ((x) = 2 - 3 cos x. 0 conjunto imagem de
( e 0 intervalo:
a) [-1,1] b) [-1,5] c) [-5, -1] d) [-5,5] e) IR
67. (Osec-SP) Um valor de x que satisfaz aigualdade sen (75° - 2x) = cos (10° + x) e:
a) -5° b) 15° c) 35° d) 45° e) 30°
345

354. 68. (PUC/Campinas-SP) Seja a func;:ao f, de IR em IR, definida por f (x) = cos x. Ecorreto afirmar que:
a) f ecrescente se 0 < x < ; .
b) 0 perfodo de f e'TT.
7'TT
c) f(x) < 0 se 3'TT < x < 2'
3'TT
d) f (x) < 0 se 2 < x < 2'TT.
e) f edecrescente em ['TT, 2'TT].
(
sec x - cossec x ) 1
69. (Mackenzie-SP) Se A = e cos x = -5 ,entao logs A vale:
1 - cotg x
a) 1 b)
1
2
c) 0 d)
1
2
e) -1
70. (UECE) Se cos e= __3_, ~ < e< 'TT, entao 0 valor de ,2cotg e + cossec2 e e:
,'10 2
a) 2 b) 5 c) 3 d) ,10
71. (FEI-SP) Sabendo que tg x = 1: e que 'TT < X < 3; ,podemos afirmar que:
5
a) cotg x = - 12
13
b) sec X= -
5
5
c) cos X= - -
13
12
d) sen x = 13
e) n.d.a.
72. (PUC-PR) Se x pertence ao 42 quadrante e sec x = ..J2, entao a expressao
1 + tg x + cossec x
----=-------- eigual a:
1 + cotg x - cossec x
a) -1 b) 0 c) 1 d) -2 e) 00
73. (PUC-PR) Sendo x um numero real em que as func;:6es sao definidas e 0 denominador diferente de
cos x - sec x - tg x
zero, a expressao eigual a:
tg x + sec x
a) 1 b) 1 - cos x c) 1 + cos x d) sen x e) -sen x
74. (U. Cat61ica de Salvador-SA) 0 valor de cos 2400° eigual ao valor de:
a) -sen 30° b) -sen 60° c) cos 30° d) cos 60° e) cos 300°
75. (Unisinos-RS) Se f: IR ..... IR euma func;:ao definida por f (x) = sen x + cos x, 0 valor de
f('TT) + f( T)
a) -3
e:
b) -2 c) 0
346
d) 1 e) 2

355. 76. (FURRN) As sentengas sen x = a e cos x = 2.ja=1 sao verdadeiras para todo x real, se e so-
mente se:
a) a = -5 b) a = -5 ou a = -1 c) a*-5 ou a*-1 d) a = 5 ou a = -1 e) a = 1
77. (F. Ibero-Americana-SP) as valores de m para que se tenha, simultaneamente, sen x = m - 1 e
cos x = m ,'3 sao:
a) 0 ou ~ b) 1 Oll ,'3
.J3 ~
c) - - ou ,,2
2
d)
,,'2 ,f3- - ou--
2 3
e) 1 ou 1
4 3
n - 1 tg2 X + 1
78. (U. F. Ouro Preto-MG) Se cos x = -n-' entao eigual a:
cotg2
x + 1
2n - 1
a) (n _ 1)2
2n - 1
b) -n-2- c)
n - 1
(n + 1)2
d)
(n + 1)2
2n + 1
e)
(n - 1)2
2n + 1
79. (Mackenzie-SP) a perfodo da fungao dada por y = sen ( 2X -~) e'4 .
a) ~
8
b) ~
4
c) 'Ti d) 2'Ti
'Ti
e) -
2
80. (UFRS) a grafico representa a fungao f, defini-
da no conjunto dos numeros reais, dada por:
a) f (x) = 1 - sen x
b) f(x) = 1 + sen x
c) f(x) = sen (x + 1)
d) f (x) = sen (x + ; )
e) f(x) = sen (x + 'Ti)
y
2
x
81. (Fuvest-SP) A fungao que melhor se adapta ao grafico e:
a) y = 11 + sen x I
b) y = Icos ; I
c) y = 1 + cos 2x
d) Y = sen x + cos x
o
e) y = 1 + Isen 2x I
7T
4"
7T
T
7T x
82. (F. C. Chagas-SP) Na figura abaixo tem-se parte do grafico da fungao definida por y = a cos bx. as
numeros a e b sao tais que:
x
a) Ibl = 28 b) a = 2b c) a + b = 3
347
d) a· b = 6 e)a-b=-1

356. 83. (Unifor-CE) Para todo x*- k'IT, onde k E "l, a expressao 2 . cos ('IT - x) . sen ('IT + x) . tg ( ; - x)
e equivalente a:
a) sec 2
x e) 1 - sen 2x
1
84. (ITA-SP) A expressao trigonometrica
(cos2
x - sen2
X)2
'IT •. I
x*-4 ' e tgua a:
para x E ] 0, ; [,
a) sen 2x b) cos 2x c) 1 d) ° e) sec x
85. (Mackenzie-SP) Se x E IR, x"* k'IT, k E "l, entao a unica alternativa sempre verdadeira e:
2
a) sen x = sen (-x)
b) cos x = - cos x
c) log (sen x) = log Isen x I
d) sen (log x) = sen Ilog x I
e) tg [arc tg (x)] = x
348

357. Capitulo
4 Formulas de transforma~ao
I. Introdu~ao
Outra vez iremos fazer uso da rada-gigante, com 0 intuito de que ela nos auxilie a enten-
der urn novo assw1to.
A rada-gigante, que tern 8 metros de raio (indicaremos por r), e na qual voce ira radar a
partir do ponto A, emostrada na figura.
~~;;-=:=~t'~~I~¥",~_N_iv...,el de embarque/desembarque
Se a rada girar, por exemplo, 30°, e fkil
saber qual sera sua altura em relas:ao ao nive!.
A figura mostra isso. Nela, chamando de x a
sua altura em relas:ao ao nivel, vemos que: x
~ = sen 30° ~ x = r· sen 30°
r
Agora es6 trocar r por 8 m e sen 30° por 1.-, e obtemos 0 valor da altura, que e4 m.
2
Se a rada tivesse girado 45°, no lugar de
30°, ainda seria fkil encontrar a sua altura em
relas:ao ao nive!. A figura mostra isso. Nela,
chamando de ya sua altura em relas:ao ao ni-
vel, vemos que:
~, e obtemos 0 valor da altura, que e
2
L = sen 45° ~ y = 1·· sen 45°
1"
Agora, es6 trocar 1" pOl' 8 m e sen 45° pOl'
4· .J2 m.
Imagine agora que voce desejasse saber a sua altura em relas:ao ao nivel, se a rada, a par-
tir de A, girasse 30° e, em seguida, mais 45°, ou seja, tivesse girado 75°.
349

358. Para isso, vamos sobrepor os dois triangu-
los das duas ultimas figuras. Veja, na figura ao
lado, que desejamos na verdade encontrar a al-
tura do ponto D em rela~ao ao rllvel.
D r ' sen 45°
J5d."wo .=""'". ,
E '.
45° 1
30° . '
o "A
D r ' sen 45°
------Vamos colocar mais alguns elementos na
nossa figura. Veja que LE foi tra~ado paralel0
a HM. Assim, temos que HL = ME [1].
1
Veja ainda nessa figura que 0 angulo LDE
tambem mede 30°, pois os seus lados sao perpen-
1
diculares aos do angulo MOE, que mede 30°.
A altura procurada corresponde amedida do segmento HD, com HD = LD + HL.
Vamos entao encontrar LD e depois HL. ~
• encontro de LD
Urn zoom no triangulo redngulo LDE nos mostra que:
LD = cos 30°
r . sen 45°
r . sen 45°
r/
Assim, 0 valor de LD e dado pOl':
LD = r' sen 45° . cos 30° [2]
• encontro de HL
A figura mostra urn zoom no triangulo re-
tangulo OED. Nesse triangulo temos:
OE = cos 45° => DE = r . cos 45°
r
o
e:-----E
r . sen 45°
E
E
300
r' cos 45°
A figura mostra agora um zoom no triangu-
10 redngulo OME. Temos:
ME = sen 30° => ME = r . sen 30° . cos 45°
r . cos 45°
Como de [1] temos que HL = ME, entao
HL = r' sen 30° . cos 45° [3]
Assim, como HD = HL + LD, substituindo os resultados encontrados em [2] e [3],
obtemos:
Altura procurada
.
HD = r' sen 30° . cos 45° + r' sen 45° . cos 30°, ou seja,
HD = r' (sen 30° . cos 45° + sen 45° . cos 30°) [4]
Trocando r por 8 m e os valores das fun~6es trigonometricas acima indicadas, encontra-
mos a altura procurada.
HD = 8 m . (.l. -J2 + -J2 . -J3 ) = 8 m . ( -J2 + .J6 ) = 2(-J2 + .J6) m
2 2 2 2 4
350

359. 2. Areo soma e areo diferen~a
Vamos retomar uma das figuras utilizadas no item anterior:
D
•
Vimos que:
HD = r' (sen 30° . cos 45° + sen 45° . cos 30°) [4]
A figura ao lado mostra em detalhe 0 trim-
guio redngulo OHD. Nele vemos que: 30°+45°
HD = r' sen (30° + 45°) 0 H
Substituindo esse valor em [4], obtemos:
r' sen (30° + 45°) = r' (sen 30° . cos 45° + sen 45° . cos 30°)
Dividindo os dois membros por r, encontramos:
sen (30° + 45°) = sen 30° . cos 45° + sen 45° . cos 30°
Essa llitima sentens:a pode ser generalizada para dois arcos cujas medidas sejam a e bquais-
quer. Teremos dessa forma descoberto llma formula que fornece 0 seno do arco de medida
(a + b), desde que se conhes:am as funs:6es trigonometricas do arco de medida a e do arco
de medida b.
A formula que fornece 0 seno do arco soma de a com be:
Isen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a I [5]
A partir dessa formula, podemos encontrar outras, tambem muito importantes:
• formula para achar sen (a - b)
Lembrando que sen (a - b) = sen [a + (-b)], aplicando a formula [5] obtemos:
sen [a + (- b)] = sen a . cos (- b) + sen (- b) . cos a
Como cos (- b) = cos be sen (- b) = -sen b, substituindo encontramos a formula que
di 0 seno do arco diferenp de a com b:
Isen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a I [6]
• formula para achar cos (a + b)
Temos que:
cos (a + b) = sen [; - (a + b)] = sen [ (; - a ) - b]
351

360. Aplicando a f6rmula [6], obtemos:
cos (a + b) = sen (; - a) . cos b - sen b . cos (; - a )
Como sen (; - a) = cos ae cos (; - a) = sen a, vern:
Icos (a + b) = cos a· cos b - sen a . sen b I [7]
• formula para achar cos (a - b)
Sabemos que cos (a - b) = cos [a + (-b)]. Podemos entao aplicar a f6rmula [7].
cos (a - b) = cos [a + (-b)] = cos a· cos (-b) - sen a· sen (-b)
Entao, como cos (-b) = cos be sen (-b) = -sen b, temos:
Icos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b I [8]
Vejamos alguns exemplos de aplica<;:ao das f6rmulas que dao os valores do seno e do cos-
seno do arco soma (a + b) e do arco diferen<;:a (a - b).
_+-_-+-_=.... ~A-.. Eixo dos
-I 0 cossenos
"2
Eixo dos senosExemplo 1
A figura mostra, num cicio trigonometrico,
urn arco .AM", que mede a e urn arco JfiJ',
que mede b. Determinar em qual quadrante
esta 0 arco de origem A, que mede:
a) (a + b)
b) (a - b)
Solurao
a)(a+b)
A figura nos mostra que:
3 1sen a = -, com a do 1Q quadrante, e cos b = - - , com b do 2Q
quadrante.
5 2
Vamos determinar sen (a + b) e cos (a + b) e, com os resultados obtidos, determinar em
qual quadrante esti 0 arco que mede (a + b).
Sabemos que:
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a e que
cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
Achamos cos a assim:
sen2 a + cos 2 a = 1 => cos 2 a = 1 - 9 => cos 2 a = 16
25 25
Como a e do 1Q quadrante, 0 seu cosseno e positivo, pOl"tanto:
cos a =
4
5
Achamos sen b assim:
sen 2 b = 1 - cos 2 b => sen 2 b = 1 - 1
4
=> sen 2 b =
3
4
352

361. Como be do 2Q
quadrante, 0 seu seno epositivo, portanto:
r-
sen b =
,,3
- -
2
Dessa forma, temos:
sen (a + b) =
3
(- ~) +
./3" 4
~ sen (a + b) =
-3 + 4 ../3"
(positivo)- - - -
5 2 5 10
4
. (- ~ ) 3 .J3 -4 - 3 . ,f3
cos (a + b) = - - - - ~ cos (a + b) = (negativo)
5 5 2 10
Como sen (a + b) epositivo e cos (a + b) enegativo, concluimos que 0 arco que mede
(a + b) tem sua extremidade no 2Q
quadrante, conforme mostra a figura.
Y Eixo dos senos
Seno G) Seno G)
Cosseno 8 Cosseno G
-+----,---::+------c:--~A'___:J~ Eixo dos
Seno 0 a Seno 0 x cessenos
Cosseno 0 Cosseno G)
b) (a - b)
Calculamos sen (a - b) e cos (a - b), utilizando os dados obtidos no item a.
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a ~ sen (a - b) = ~ . (- ~ ) -
Entio:
13
2
4
5
sen (a - b) =
-3 - 4 . "3
10
(negativo)
r-
-4 + 3 . ,3
cos (a - b) = 10 (positivo)
cos (a - b) = cos a' cos b + sen a' sen b ~ cos (a - b) = ~ . (- ~ ) + ~
Entio:
Como sen (a - b) enegativo e cos (a - b) epositivo, concluimos que 0 arco de medida
(a - b) tem extremidade no 4 Q
quadrante, conforme mostra a figura do item a.
Exemplo 2
Achar 0 valor de sen 1050
.
Solurao
Temos que: sen 105° = sen (60° + 45°)
Como sen (600
+ 45°) = sen 60° . cos 450
+ sen 45° . cos 60°, entio:
13 -fi -fi 1 6 +-fisen 105° = - - ' - - + -_. ~ sen 1050
=
2 2 2 2 4
Como exercicio, calcule 0 valor de cos 105°, e verifique que a resposta sera
353
-fi--J6
4

362. EXERCiclOS PROPOSTOS
Q
Eixo dos senos
3
I
4'
T I
T
0
N
p
Determine:
a) sen (a + b)
b) cos (a - b)
c) sen (b - c)
d) cos (b + c)
e) sen (a - d)
f) cos (a + d)
1. A figura mostra um cicio trigonometrico, no qual aparecem:
a) um area AM que mede a.
b) um area AiV que mede b.
c) um area JJ5' que mede c.
d) um area AD que mede d.
2. Usando a mesma figura do exercicio anterior, determine em qual quadrante esta a extremidade do
area que mede:
a) (a + c) b) (d - b)
3. Sabendo que cos x = ~ com x do 12
quadrante, determine:
a) sen (x + ;) b) cos ( ; - x) c) sen ( ; - x) d) cos ( 3; + x)
4. Calcule a que se pede em cada caso:
a) sen (a + b) e cos (a + b) sabendo que sen a
1
sen b = - 2 ' com b do 42 quadrante.
2 ' com a do 12
quadrante, e que
4 7T 1
b) cos (a - b) e sen (a - b), sabendo que sen a = 5' com 2 < a < 7T e que cos b = 2 com
b do 4Q
quadrante.
5. Calcule:
a) cos 750
b) sen 150
c) cos ( 1~ ) d) tg 1050
6. Determine tg (a + b) sabendo que:
1
sen b = 3 com b do 22
quadrante.
1
cos a = - 2 com a do 32 quadrante.
Observa~ao: 0 ultimo exercicio proposto sugere que desenvolvamos uma formula para en-
contrar 0 valor de tg (a + b) e de tg (a - b), quando se conhecem os valores de tg a e de
tg b. Veja:
tg (a + b) =
sen (a + b)
cos (a + b) , com (a + b) *- 'IT +k''ITekE71.
2
Dessa forma podemos escrever:
tg (a + b) =
sen a . cos b + sen b . cos a
cos a . cos b - sen a . sen b CD
354

363. Considerando a =1= ; + k . 1T e b =1= ; + k· 1T, com k E 7L, temos que tanto cos a como
cos b sao diferentes de zero. Assim sendo, podemos dividir numerador e denominador de
CD pOl' cos a . cos b. Entao:
tg (a + b) =
sen a' G0 b +
cos a . cos-lJ
_cos a-'SOS b _
cos-a'_cos~lJ
sen b '_C0S a
cos-a' cos b
sen a . sen b
cos a' cos b
tg (a + b) = tg a + tg b
1 - tg a . tg b
De modo analogo determinamos tg (a - b):
tg a - tg b
tg (a - b) = 1 + tg a . tg b
Fa~a como exercicio esse dlculo.
Exemplo 1
A figura mostra urn cicio trigonometrico. Nela
vemos:
• urn arco AM que mede a.
• urn arco AN que mede b.
Determinar:
a) tg (a + b)
b) tg (a - b)
SolUfao
A figura nos mostra que:
tg a = 1 e tg b = 2,5
tg a + tg b
Como tg (a + b) = 1 - tg a' tg b ' temos:
Eixo das
tangentes
Eixo dos
senos
2,5
-+-------::f----~~----"-~ Eixo dos
o cossenos
1 + 2,5 _ 3,5 _ -35 _ -7
tg (a + b) = 1 - 1 . 2,5 - -1,5 - 15 - -3-
Como tg (a - b) =
tg a - tg b _
1 + tg a . tg b ' entao:
1 - 25
tg (a - b) = ,
1 + 1 . 2,5
= -1,5 = -15 = -3
3,5 35 7
Exemplo 2
-J3Calcular tg 750
conhecendo tg 300
= - - e tg 450
= 1.
3
355

364. SolUfiio
Como 45° + 30° = 75°, temos:
3 +.f3=> tg 75° = ------=~
3 - "/3
(3 + .f3) . (3 + .f3)
(3 - .f3) . (3 + 3)
1 + _3_
3
- - - - - - =>
1-1' .f3
3
12 + 6~ = 2 + .f3
6
EXERCiclOS PROPOSTOS
Eixo dos
tangentes
,f.
--,.
Eixo dos
senos
--+---------"....----~l-'-t----'----.Eixo dos
o cossenos
Determine:
a) tg (a + b)
b) tg (a - b)
c) tg (b + c)
d) tg (c - a)
• um arco Aiiif que mede a.
• um arco AN que mede b.
• um arco AP que mede c.
7. A figura mostra um cicio trigonometrico. Nele vemos:
8. Determine 0 valor de tg 15°, sabendo que:
a) tg 30° = ..J3 e que tg 45° = 1
3
b) tg 45° = 1 e que tg 60° = ..J3
9. Calcule tg 105°. sabendo que tg 60° = ..J3 e que tg 45° = 1.
10. Calcule tg (x + y) e tg (x - y):
a) tg x = 3 e tg y = 2 b) tg x = -5 e tg y = -4 c) tg x = ,'2 e tg y = ..J3
3. 0 area duplo
Urn caso particular interessante e muito importante ocorre quando, nas formulas do se-
no, cosseno e tangente do arco (a + b), fazemos b = a. Observe:
sen (a + lJ) = sen a . cos b + sen b . cos a => sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a =>
a a a 2a
=> sen 2a = 2 . sen a . cos a
cos (a + Y~ = cos a . cos b - sen a . sen b => cos (a + a) = cos a . cos a - sen a . sen a =>
a a a 2a
=> cos 2a = cos 2
a - sen2
a
a
tg (a + Y
a
tg a + tg ,
=>
1 - tg a' tg b
a
tg a + tg a
tg (a + a) =
1 - tg a' tg a
2a
2 tg a
=> tg 2a =
1 - tg 2
a
356

365. Resumindo, guarde bern estas formulas:
sen 2a = 2 . sen a . cos a
cos 2a = cos2 a - sen2 a
2 tg a
tg 2a =
1 - tg2
a
Exemplo 1
Na figura vemos urn ciclo trigonometrico.
Ne1e e mostrado urn arco.A:M' que mede a.
Determinar:
Eixo dos senos
1.
5
a) sen 2a.
b) cos 2a.
c) em que quadrante esta 0 arco que mede 2a.
d) sen 3a.
-+----..----....~ Eixo dos
o cossenos
SO/Ufao
a) sen 2a.
Sabemos que sen 2a = 2 . sen a . cos a.
3
Sabemos ainda que sen a = 5' com a do 2Q
quadrante.
Achando cos a, encontramos:
sen2 a + cos2 a = 1 ~ cos2 a = 1 -
9
25
~ cos2 a = 16
25
Como a e do 2Q
quadrante, seu cosseno e negativo. Entao: cos a =
Dessa forma:
4
5
sen 2a = 2· ~ . (- ~ ) ~ sen 2a =
b) cos 2a.
Como cos 2a = cos2
a - sen2
a, temos:
cos 2a = ~ - ~ ~ cos 2a = 7
25 25 25
24
25
c) em que quadrante esta 0 arco que mede 2a.
Como sen 2a < 0 e cos 2a > 0, concluimos que 0 arco que mede 2a tern extremidade no
4 Q
quadrante.
d) sen 3a.
Como sen 3a = sen (2a + a), temos:
sen 3a = sen 2a . cos a + sen a . cos 2a ~
~ sen 3a = (- ~~ ) . (- ~ ) + ( ~ ) . (;5) ~ sen 3a =
357
117
125

366. EXERCiclOS PROPOSTOS _
-3
N "5
Eixo d.s
tangentes
Eixo dos
senos
--t--+-----:::.-------4f-'--'---. Eixo dos
-1 0 cossenos
2"
11. Veja a figura. Ela mostra um cicio no qual aparecem:
• um arco AM' que mede a.
• um arco AfV que mede b.
• um arco fiJJ que mede c.
Determine:
a) sen 2a
b) cos 2b
c) sen 3b
d) cos 3a
e) tg 2c
12. Determine:
a) sen 2x, sabendo que sen x = ~ e x edo 1Q quadrante.
5
b) cos 2x, sendo sen x = - .-!.- com x do 3Q
quadrante.
4
c) tg 2x, sabendo que tg x = 5.
d) tg 2a, sendo sen a = ~ com 0 < a < 'IT
5 2
13. Sabendo que cos x = - -±-, com x do 3Q
quadrante, determine 0 quadrante do arco que mede:
5
a) 2x b) 3x
Exemplo 2
Dada a func;:ao definida par f(x) = 6 . sen x· cos x, determinar:
a) 0 periodo b) a imagem
SolUfiio
a) determinac;:ao do periodo
Temos que:
sen 2x
f(x) = 6 . sen x . cos x ~ f(x) = 3 . (2 . sen x . cos x) ~ f(x) = 3 . sen (2x)
2'IT __ 2'IT __ 2'IT
Dessa forma 0 periodo da func;:ao sera: Ik I 121 2 = 'IT.
o periodo e'IT rad.
b) determinac;:ao da imagem
Temos que: f(x) = 3 . sen (2x).
Como 0 menor valor que sen (2x) pode assumir e-1, entao 0 menor valor que f(x) as-
sume e3 . (- 1) = - 3.
Como 0 maiar valor que sen (2x) pode assumir e1, entao 0 maiar valor que f(x) assume
e3 . 1 = 3.
Dessa forma concluimos que 0 conjunto imagem e:
1m (I) = [-3,3]
358

367. EXERCiclO PROPOSTO
14. Dar 0 perfodo e a imagem de cada uma das fungoes:
a) y = 10 . sen x . cos x
b) y=cos 2
x-sen 2
x
4. 0 area metade
_ -'---(2_·---'tg::.,------:x)_
c) y =
(1 - tg2
x)
d) Y = 2 . sen ( ; ) . cos ( ; )
a
Nosso objetivo agora e achar os valores das funy6es trigonometricas do arco que mede
~ ,conhecendo os valores das funy6es trigonometricas do arco que mede a.
Suponhamos que se conheya cos a. A partir desse valor, determinaremos os valores de
a a a p . c. d ' c.' Isen 2' cos 2 e tg 2' ara lSS0, laremos uso a segumte lormn a:
cos 2x = cos2 X - sen2 x
Ajustando essa formula ao nosso problema, fazendo 2 x = a, temos:
cos a = cos2 !!...- - sen2
2 2
a
Como cos2
2
1 - se112
a temos'
2' .
a aa a
cos a = 1 - sen2 - - sen2
2 2
=> 2 sen2
2
1 - cos a => sen2
2
1 - cos a
2
=>
=> a 11 - cos a
sen 2 = ±~ 2
Se em 0 substituirmos sen2 ~ por 1 - cos 2 ~, obteremos:
cos a = cos2
a
2
(1 -cos2 ~) => cos a = 2cos 2 a_I => cos2 a
2 2
1 + cos a
2
=>
a
Como tg 2
asen -
2
a
cos -
2
=>
a 11 + cos a
cos 2: = ±~ 2
(com ~ *- ; + k . 'IT, k E 7l..), temos:
a + 11 - cos atg - =
2 -~ 1 + cos a
359

368. Exemplo 1
Sabendo que cos a = ~, com a do 1Q quadrante, determinar:
a
a) sen 2
a
b) cos 2 a
c) tg 2
So/ufao
Ja sabemos os resultados, pois, sendo a do 1Q quadrante, com cos a =
. a
portanto - = 30°
2
Dessa forma, as respostas serao:
a 1
sen 2 = sen 30° = 2
a
= cos 30° =
-J3cos -
2 2
1-
=13a
= tg 30° =
2 1
tg -
13
-132 3
-2-
1
2 ' teremos a = 60°,
No entanto, iremos calcular novamente esses valores, fazendo uso das formulas vistas.
a
a) sen 2
a
Ternos que 2 e do 1Q quadrante, portanto seu seno sera positivo. Assim:
a
b) cos 2
;l-~
sen!!:...-=+'I 2
2 2
~l- _ 1
4 2
a
Como esta no 1Q quadrante, seu cosseno tambem e positivo. Assim:
2
co, ~ ~+~1+; ~ 1+ ~ -13
2 2 'I 4 2
c) tg -.!!.-
2
Tambem 0 valor da tg ~ e positivo, pois ~ e do 1Q quadrante. Assim:
11
"v 3 = -'-3- = -3-
360

369. Exemplo 2
Sabendo que cos a = - : ,com a do 3Q quadrante, determinar:
a
a) sen 2
a
b) cos 2
SolUfiio
Como 180° < a < 270°, entao 90° < ~ < 135°, portanto 0 arco que mede ~ tera. extre-
rnidade no 2Q
quadrante.
a
a) sen 2
Temos:
sen ~ = +
2
1-(f)
2
9 _ 3 _ 3· 10
10 - ~ - 10
a
b) cos 2
Temos:
a i1 +(f)
cos 2 = - 2
Observas:ao: se, no lugar de conhecermos cos a, conhecermos sen a ou tg a, podemos, a
partir desses elementos conhecidos, determinar cos a, e aplicar as mesmas formulas utiliza-
das acima.
EXERCiclOS PROPOSTOS _
Eixo dos senos
N
_; t ,
-+--+----:;:........,,-----It-'-.. Eixo dos
o 1. cossenos
5
a) sen ~ d)
a
sen
2
b) cos ~ e) cos
a-
2
c) tg ~ f) tg
a-
2
15. A figura mostra num cicio trigonometrico alguns arcos, dentre os quais:
• um arco ;;fJ;r que mede a.
• um arco Afil que mede b.
Determine:
361

370. 16. Na figura do exercfcio anterior, 0 arco AfS mede c. Determine:
a) sen ~ b) cos ~
(Sugestao: a figura mostra sen a. Ache cos a, e depois aplique as formulas.)
17. Calcule 0 valor de sen ~ e cos ~ , nos casos seguintes:
a) a = 30° b) a = 45°
3'IT
c) 2· sen a = -1, e 'IT < a <
2
18. Sabendo que tg a = ~ , com a do 1Q
quadrante, determine cos ~ .
(Sugestao: a partir do que se conhece, determine cos a, e depois aplique a formula correspondente
ao cos ~ .)
5. Fun~oes trigonometrieas de um area
que mede 0, em fun~ao da tangente
do area metade
Agora conhecemos tg ~ ,e queremos achar os valores das fun~6es trigonometricas de
urn arco que mede a. Veremos apenas como calcular tg a, cos a e sen a.
a) tg a = ?
2 tg a
Temos tg 2a = . Entao:
1 - tg2
a
a*- ~ +k·"IT kE71.
2 '
a
2 tg-
2tg a = - - - - -
1 - tg2
.!!-
2
b) cos a = ?
a
2 *-
"IT
2 + k· "IT, k E 71.
a (I -cos a
Temos que tg -2 = 2:, 1 . Entao, elevando os dois membros ao quadrado,
v + cos a
obtemos:
1 - cos a a a a
----- = tg2
- =} 1 - cos a = tg2
- + cos a . tg2
- ~
1 + cos a 2 2 2
=} cos a(1 + tg2
~) = 1 - tg2
~. Portanto:
1 - tg 2
~
cos a = --=2_
1 + tg2
~
2
362

371. c) sen a = ?
sen a
Como - - = tg a => sen a = cos a . tg a. Substituindo pelos valores ja encontrados,
cos a
ternos:
sen a =
2· tg ~
___--'2"'---_ . Enbio:
(1 - tg-2- ;-)
a
2· tg 2
sen a = -----=--
1 + tg2
~
2
Exemplo
a
Sabendo que tg 2 = -4, determinar, utilizando as formulas vistas, os valores de:
a) sen a
Solurao
a) sen a = ?
Temos:
b) cos a = ?
Temos:
c) tg a = ?
Temos:
b) cos a
2. tg _a_
sen a = __-----"2"--
1 + tg2
~
2
1 - tg2
~
cos a = ---"'-2_
1 + tg2
~
2
c) tg a
2· (-4) _ -8
1 + 16 17
1 - (-4)2 = -15
1 + (-4)2 17
2. tg _a_
tg a = --'"2'------
1 - tg2
~
2
2 . (-4) _ -8 _ 8
- - - - -
1 - (-4)2 -15 15
EXERCiclOS PROPOSTOS _
19. Sendo tg ~ = 2, calcule:
2
a) sen a b) cos a c) tg a
363
d) cotg a

372. 20. Conhecendo tg a = 2 - -J3, determine:
2
a) sen 2a
(Sugestao: ache antes sen a e cos a.)
b) cos 2a
{
a +)r= p! +
a -)/= q
2a = p + q ~ a =
6. Transforma~ao de soma em produto
Vamos resumir novamente as formulas ja estudadas na adic,:ao de arcos:
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a CD
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a @
cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b ®
cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b ®
Combinando de maneira conveniente essas formulas, obtemos algumas importantes rela-
c,:6es que nos permitirao transformar alguns tipos de somas em produtos. 1sso sera muito usa-
do ao resolvermos equac,:6es, futuramente.
Fac,:amos inicialmente a + b = pea - b = q. Desse modo, temos:
~
2
Portanto: b = P - P +2 q ~ b = 2p - P - q ~ b = P - q
2 2
Somando 0 e @, obtemos:
sen (a + b) + sen (a - b) = 2 . sen a' cos b
Subtraindo @ de 0, obtemos:
sen (a + b) - sen (a - b) = 2 . sen b· cos a
Somando @ e @, obtemos:
cos (a + b) + cos (a - b) = 2 . cos a . cos b
Subtraindo @ de @, obtemos:
cos (a + b) - cos (a - b)= -2 sen a . sen b
Substituindo os valores de a e b, teremos:
p+q p-q
sen p + sen q = 2 . sen . cos ---
2 2
p-q p+q
sen p - sen q = 2 . sen' --2- . cos --2-
p+q p-q
cos P + cos q = 2 . cos --- . cos ---
2 2
p+q p-q
cos p - cos q = - 2 sen 2 . sen --2-
Essas formulas sao importantes e devem ser memorizadas.
Vejamos alguns exemplos de aplicac,:ao.
364

373. Exemplo 1
Tran::-formar em produto:
a) N = sen 4x + sen 6x
b) N = 1 - sen 4 x
c) N ,= 1 + cos x
d) N ,= cos 8x - cos 2x
Solufao
a) N = sen 4 x + sen 6 x
p q
Usando a primeira das formulas vistas, obtemos:
4x + 6x 4x - 6x
N = 2 . sen . cos =? N = 2 . sen (Sx) . cos (- x) =?
2 2
=? N = 2 . sen Sx . cos x
b) N = 1 - sen 4x
'IT 'IT
Substituindo 1 por sen 2:' obtemos: N = sen 2 - sen 4x.
p q
Usando a segunda formula, obtemos:
=? N = 2 . sen (~ - 2x) . cos (~ + 2x)
c) N = 1 + cos x
Substituindo 1 por cos 0, obtemos: N = cos 0 + cos x.
p q
Usando a terceira formula, obtemos:
N = 2 . cos 0 ~ x . cos 0; X =? N = 2 . cos ~ . cos (- ~ )
Como cos (- ~ )
x x
= cos -, teremos: N = 2 . cos
2 2
x. cos
2
=? N = 2· cos2 x
2
d) N = cos 8x - cos 2x
p q
Usando a quarta formula, obtemos:
8x + 2x
N = - 2 . sen . sen
2
8x - 2x
2
=? N = -2 . sen (Sx) . sen (3x)
365

374. EXERCiclOS PROPOSTOS _
21. Transforme em produto:
a) y = sen 10x + sen 4x
b) y = cos 7x + cos x
22. Escreva N em forma de um produto:
a) N = 1 + sen 6x
b) N = 1 - cos 2x
Exemplo 2
Transformar N num produto:
a) N = sen x - cos x
c) y = sen 5x - sen 2x
d) y = cos ( ~ ) - cos x
c) N = sen x+ sen (x + :)
d) N = 1 + cos ( ; - x)
b) N = sen lOx + sen 8x + sen 6x + sen 4x
Solufao
a) N = sen x - cos x
Nesse caso, nenhuma das formulas vistas eaplicavel. Podemos, entretanto, trocar cos x por
sen (; - x), ou trocar sen x por cos (; - x).
Trocando, por exemplo, cos xpor sen (; - x), encontramos:
N = sen x - sen (; - x)
Agora existe formula para tral1sforma<;:ao em produto.
Temos:
~ N = 2 . sen (x - : ) .cos: = ,'2 . sen (x - : )
Fas:a novan1ente esse exerdcio, substituindo sen xpar cos (; - x) e confira 0 resultado.
b) N = sen lOx + sen 8x + sen 6x + sen 4x
Aplicando duas vezes a formula da soma de senos, obtemos:
N 2 lOx + 8x lOx - 8x + 2 . sen 6x + 4x
= sen 2 . cos 2 2
~ N = 2 . sen 9x . cos x + 2 . sen 5x cos x
Colocando 2 . cos x em evidencia, temos:
N = 2 . cos x . (sen 9x + sen 5x)
[
9x + 5x 9x -2 5x ]N = 2 . cos x· 2· sen 2 . cos ------::---
N = 2 . cos x· [2' sen 7x . cos 2x]
N = 4 cos x . cos 2x . sen 7x
366
. cos
6x - 4x
2

375. EXERCiclO PROPOSTO
23. Escreva y em forma de produto nos casas seguintes:
a) y = cos 3x + sen x
b) y = sen 5x - cos x
c) y = sen 10x + sen 6x + sen 8x + sen 4x
d) y = cos 3x + cos x - cos 7x - cos 5x
Exemplo 3
Transformar N numa soma ou diferenc;:a de func;:oes trigonometricas, sabendo que
N = 2 . sen 6 x . cos x.
SolUfiio
Esse problema faz 0 inverso dos vistas anteriormente.
Procuraremos identificar a expressao de N com alguma das formulas aprendidas.
Assim sendo, identificamos:
p+q . cos p-qN = 2 . sen 6x . cos x com a formula sen p + sen q = 2 . sen 2 2
Devemos ter:
p + q = 6x e p - q = x
2 2
Resolvendo 0 sistema:
{
p + q = 12x
P - q = 2x
encontramos: p = 7x e q = 5x.
Entao: N = sen 7x + sen 5x.
EXERCiclO PROPOSTO
24. Expressar N como uma soma au uma diferenya de funyoes trigonometricas:
a) N = 2 . cos 8x· cos 4x b) N = -2 . sen 4x· sen 2x c) tv = 2 . sen 2x· cos 8x
RELEMBRANDO CONCEITOS _
FORMULAS IMPORTANTES (Para os areos onde as fun~oes estao defmidas)
Areo soma
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
( b)
tg a + tg b
tg a + =
1 - tg a' tg b
Areo diferen~
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b
tg a - tg b
tg(a-b)=
1 + tg a· tg b
367

376. Arco duplo
sen 2a = 2 . sen a . cos a
cos 2a = cos 2
a - sen 2 a
2
2· tg a
tg a =
1 - tg2
a
Outras formulas importantes
a + ~ 1 - cos asen ~ =_
2 2
cos a
a I 1 + cos a
cos 2 = ±~ 2
a
tg ~ =±
2
1 - cos a
1 + cos a
Transformas:ao de soma em produto
sen p + sen q = 2 . sen p; q . cos
p - q
sen p - sen q = 2 . sen --2- . cos
p-q
2
p+q
2
2· tg ~
2sen a=~----
1 + tg2
~
2
1 - tg2
~
2cosa=-~---
1 + tg 2
~
2
2. tg _a_
tga= 2_
1 - tg2
~
2
p+q p-q
cos p + cos q = 2 . cos --2- . cos 2
p+q p-q
cos p - cos q = -2 . sen --2- . sen 2
368

377. EXERCiclOS COMPLEMENTARES
25. Sabendo que sen x = ~ e cos y = :' com x do segundo e y do 4Q
quadrante, determine tg (x + y).
26. Determine 0 valor maximo e 0 valor minimo da func;:ao: y = 5 sen (3x) cos (3x), para 0 < x < 1T.
27. Sabendo que y = 2 arc cos (- ~ ), determine tg y.
28. Sim lifi ue: = sen (10x) + sen (2x) + cos
2
(2x) - sen
2
(2x)
p q Y cos (10x) - cos (2x) 2 sen (2x) . cos (2x)
29. Calcule 0 valor de:
a) (sen 15° + cos 15°)2
30. (Fuvest-SP) Calcule:
a) sen 15°
b) a area do polfgono regular de 24 lados inscrito no cfrculo de raio 1.
31. (Faap-SP) Qual 0 valor numerico da expressao 5 cos (2x) + 10 sen 2 x, para qualquer x E IR?
32. (UFCE) Dado y = cos [2 arc sen ( ~ ) J. calcule 0 valor de 25y.
33. (U. F. Uberlandia-MG) Sendo y = tg [arc sen (- ~ ) - arc cos ( 1
5
3 )], determine 0 valor de y.
34. Calcule: tg [2 arc tg ( +)+ arc tg (-+)] .
TESTES _
35. (FMU/FIAM-SP) 0 cosseno de 105° vale:
.J2 + .J6 -J4
a) 4 b) 4
c) _ "'4
4
d) e)
-/6 - ....'236. (F. Ibero-Americana-SP) Dado sen x = , calcule cos 2x.
4
a) cos 2x =
b) cos 2x =
c) cos 2x =
~
d) cos 2x = 'I 2
~
e) cos 2x = v"4
37. (U. E. Ponta Grossa-PR) Sendo cotg ( ~ ) = ....;- ,entao e correto afirmar que:
a) sen a = .J3 d) sen a = 1- - -
2 2
b) sen a =
....2 e) sen a = ....3
2 2
c)
1
sen a = -
2
369

378. e -/5 _ 'IT 20-/5
38. (UFCE) Se tg -2- = -4- , entao 0 < e< -2 e 0 valor de 13:
_1_+ _1_
sen e tg e
a) 25 b) 30 c) 35 d) 40
-13 3'IT
39. (FURRN) Se sec x = -5- e 'IT < X < 2' 0 valor de sen 2x 13:
a)
12
13
b)
125
144
c)
120
169
d) -12
13
-120
e) 169
40. (U. F. Santa Maria-RS) Se f (x) = sen x, entao, para todo x real, f (2x) 13 igual a:
a) 2 sen 2x b) 2 f(x) c) 2 sen xcos x d) [f(x)f e) cos 2 x
41. (U. E. Ponta Grossa-PR) Sejam a um arco do 12 quadrante e [3 um arco do 22 quadrante tais que
cos a = 0,8 e sen [3 = 0,6. 0 valor de sen (a + (3) 13:
a) 0,00 b) 1,40 c) 0,96 d) 0,48 e) 0,70
42. (U. Uberaba-MG) A expressao sen (90° - a) + cos (-a) 13 identica a:
sen 2a
a) tg a b) cossec a c) sec a d) cos a e) cotg a
2 sen (x -~)cos (x + ~)
43. (FEI-SP) Simplificando 4 4 , com sen 2x 1= -1, obtemos:
1 + sen 2x
a) 1 b) 0 c) 2 d) cos 2x e) 1 - 2 sen x
sen a + sen b
44. (FEI-SP) Transformando a expressao onde existir, temos:
cos a + cos b
a) sen (a + b) b)
cos (a + b)
c) cotg ( a ; b) d) tg ( a ; b) e)
sen (a + b)
45. (UFSE) A expressao sen 2x + cos 2x + 2 sen 2
x 13 equivalente a:
a) 2 sen x (1 + sen x) d) 1 - 2 sen x cos x
b) (1 + cos X)2 e) 1 + cos 2
X - sen 2
x
c) (sen x + cos X)2
46. (Fuvest-SP) 0 valor de (sen 22°30' + cos 22°30')2 13:
3 2+-13 2+.J2
a) 2 b) 2 c) 2 d) 1 e) 2
d) somente I.
e) somente I e II.
47. (Mackenzie-SP) Com relac;:ao afunc;:ao definida por y =
mac;:6es:
I. 0 seu perfodo 13 'IT.
II. 0 maior valor que y pode assumir e2.
III. y> 0 se x pertence ao 32 quadrante.
Entao sao verdadeiras:
a) somente I e III.
b) somente III.
c) somente II e III.
cos2
X
--- , x 1= k'IT, k E Z, considere as afir-
sen 2x
370

379. e) 21T
3
1T
a)
48. (Unifor-CE) 0 periodo da funQao t, de IR em IR, definida por t (x) = cos 2x cos x - sen 2x sen x, e:
21T 31T
b) - c) 1T d) -
3 2
49. (Fuvest-SP) A tangente do angulo 2x e dada em funQao da tangente de x pela seguinte formula:
tg 2x = 2 tg 2
X
. Calcule um valor aproximado da tangente do angulo 22°30' .
1 - tg x
a) 0,22 b) 0,41 c) 0,50 d) 0,72 e) 1,00
50. (Fuvest-SP) 0 valor de (tg 10° + cotg 10°) sen 20° e:
a) + b) 1 c) 2 d)
5
2
e) 4
d) 2 cossec 0:
e) 2 sec a
a)
2
sen a + cos a
b)
2
+ sen a
c)
2
+ cos a
51. (Mackenzie-SP) Na figura, a circunferencia de centro 0 tem raio 1. Nessas condiQ5es, 0 numero real
tg ~ + cotg ~ esempre igual a:
a)
15-
4
b)
15
8
c) 2
d) 3 0
e) 4 I x
52. (Mackenzie-SP) A area do triangulo OPO assi-
nalado na figura e:
53. (Unifor-CE) Se 0 < a < 1T e a = arc cos (- ' ; ), 0 valor de tg 2a e:
a) -.../3 b) _.../3
2
c)
1
2
d) e) ,3
54. (FEI-SP) Se cotg x + tg x = 3, entao sen 2x eigual a:
a)
1
d)
2
- -
3 3
b)
3
e) n.d.a.-
2
c) 3
371

380. 55. (UFPE) Com relaC;;ao afigura abaixo, indique a alternativa falsa.
B
a
a) 0 comprimento do segmento BD e 15,'3 m.
b) 0 triangulo ABC e isosceles.
ec) 0 angulo ee igual asoma dos angulos 2 e a.
d) tg e = 3
3
e) A area do triangulo ABC eo dobra da area do triangulo BCD.
27T
56. (Unisinos-RS) Na figura, A e B sao vistos de C sob um angulo de 3 rad.
Se CA = CB = 10m, AB mede, aproximadamente:
a) 14,14 m
sen 1T = 0,5
6
b) 17,32 m c) 18 m d) 28,66 m e) 30 m
COS 'iT = 0.866
6
tg ~ = 0,577
6
sen ~ = 0,866
3
cos ~ = 0,5
3
tg 1T = 1,732
3
372

381. Equa~6es e inequa~6es
. , .
trlgonometrlcas
I. Introdu~ao
o
b
A = (a· h)
2
Seu Elias e jardineiro numa cidade do interior. Por sinal, urn otimo jardineiro. Dias
atras, ele recebeu uma incumbencia que esta the trazendo uma bela dor de cabec;:a. Ele
deve construir urn canteiro de forma triangular com 80 m2
de area, com urn lado medin-
do 20 m e 0 outro lado, 16 m. Alem disso, perguntaram a ele qual seria 0 angulo entre
esses dois lados.
Como seu Elias nunca estudou trigonometria, ele esta em serias dificuldades para execu-
tar tal tarefa. Vamos ajuda-Io?
A Figura ilustra 0 problema. Nela, a base do
triangulo foi tomada como sendo 0 lado a que
mede 20 m, e a altura relativa a esse lado foi
chamada de h. A area do triangulo e dada por:
h
onde = sen a ~ h = b . sen a
b
Entao, a area do triaogulo e:
A=
a . b . sen a
2
~ sen a =
2· A
--b- com 0° < a < 1800
a'
Substituindo a por 20 m, b por 16 meA por 80 m2, obtemos:
sen a =
1
2
Dessa forma, estamos querendo encontrar urn angulo a que tenha seno
1
2
maior que 0° e menor que 180°.
Duas sao as solw;6es possiveis: a = 30° ou a = 150°, pois:
sen 30° = 1
2
e sen 150° =
1
2
As figuras seguintes ilustram essas duas soluc;:6es.
373

382. Para que pudessemos resolver 0 problema do seu Elias utilizamos a equa~ao:
1
sen ex = 2 com 0° < ex < 180°.
Essa equa~ao e urn exemplo de equa~ao trigonomhrica.
Neste capitulo, veremos os principais tipos de equac;:6es trigonometricas.
2. Equa~oes trigonometricas
Chamamos de equa~o trigonometrica qualquer equac;:ao na qual a incognita faz parte
do arco (ou angulo) de alguma nll1c;:ao trigonometrica.
Dessa forma, sao exemplos de equac;:6es trigonometricas:
a) 3 . sen x + 4 . cos x = 1
b) tg x= cotg (x + : )
c) sen (x - ~ ) = cos (2x + : )
Resolver uma equac;:ao desse tipo significa encontrar os valores de x, caso existam, que a
tornem uma sentenc;:a numerica verdadeira.
Nao existe urn metodo unico para resolver todas as equac;:6es trigonometricas. No entan-
to, a maioria delas pode ser transformada (utilizando relac;:6es ja aprendidas) em outras mais
simples, mas equivalentes, ou seja, de mesma soluc;:ao.
Na verdade, uma grande parte delas pode ser solucionada se soubermos resolver as seguin-
tes equa~6es fundamentais:
a) sen x = sen a
b) cos x = cos a
c) tg x = tg a
Vejamos separadamente cada uma delas.
Equa~ao do tipo sen x = sen a
A figura abaixo mostra urn cicio trigonometrico, com urn arco AM' cuja medida e a.
y Eixo dos senos
x
a
_+- -::. .;.:.A_. Eixo dos cossenos
o
M
1
_
"IT-a _ :r.
Seno~
Note que todos os areos de extremidade em M possuem 0 mesmo senD do arco a.
Tambem possuem 0 mesmo seno de a todos os areos de extremidade em Ml> onde M j e
simetrico de M com relac;:ao ao eixo dos senos.
374

383. Dessa forma, eonclulmos:
{
X = a + k· 21T
sen x = sen a ** ou
x = 1T - a + k . 21T, k E 7L
Vejamos alguns exemplos de resolu~ao de equa~6es que reeaem nesse tipo.
Exemplo 1
Resolver as equa~6es:
( 1TS )a) sen x = sen b) sen x = 0,5 e) sen x = -1
Solurao
( 1TS )a) sen x = sen
Entao:
Portanto:
[
X = ~ + It . 21T ou
S '
x= 71T +k'21T,kE7L
S
o conjunto solu~ao sera:
S = {x E IR Ix= ; + k . 21T, ou X = 7; + k . 27T, k E ~
b) sen x = 0,5
( 1T6 )sen x = sen
1T
Uma solu~ao ex = 6 rad,
Observe na figura que todos os areos
eom extremidade em M ou em M j sao
solu~6es da equa~ao dada.
Dessa forma, 0 conjunto solu~ao e:
Y Eixo dos senos
-+----=..:'-'-'----;!!.:.---~~ Eixo dos cossenos
x
( ~) = 056 ' .
Entao:
pOlS sen
s= -G E IR Ix = : + k 21T, ou X = 5; + k . 21T, k E 7L}
375

384. Observe na figura que somente os areos de
extremidade em M sao soluc;:6es.
o conjw1to soluc;:ao e, portanto:
S = f E IRlx = 3; + k . 2TI, k E z}
e) sen x = -1
U 1 ' 3TI d .rna so uc;:ao e x = - - ra , pOlS sen
2
Entao:
sen x = sen 3TI
2
-1
(3; ) -1.
ytEixo dos senos
I-----;:o,.----ji-'--~xEixo dos cossenos
3.".
T
o OS
1. Resolva as equayoes abaixo:
a) sen x = sen ( 3: )
b) sen x - sen ( ~; ) = a
c) sen x = a
"3
d) sen x = - -2-
e) 2 . sen x = "2
f) sen x - 1 = a
Exemplo 2
Resolver as equac;:6es:
a) 2 . sen (2x) + 1 = 0
b) 2 . sen (x - ~ )= -J2
e) 2 . sen2 x + 5 . sen x = 3, eom 0 < x < 2TI
SolUfiio
a) 2 . sen (2x) + 1 = 0
Temos:
2 . sen (2x) = -1 ~ sen (2x) =
7TI ( 7
6
TI ) = - 21 .Uma soluc;:ao e2x = -- rad, pois sen
6
Entao, sen (2x) = sen ( 7; ).
Portanto, para 0 area 2x, temos:
1
2
7TI
2x = -- + k . 2TI ou
6
7TI2x = TI - -- + k . 2TI, k E Z
6
o eonjunto soluc;:ao e:
S={XEIR1X= 7TI +kTIoux= -TI +kTI,kEZL
12 12 jI
376

385. b) 2 . sen (X - ; ) = Ii
Temos: 2 sen (x - ; )= .fi ~ sen (x - ; )= '; .
Como sen : = -f,temos: sen (x - ; )= sen : .
Desse modo, concluimos:
1T + k . 21T OU X _ 1T1T
x-
3 4 3
=1T-
1T
+ k . 21T, k E 7L ~
4
~ x= 71T + k. 21T OU X = 131T + k· 21T, k E 7L
12 12
o conjunto solw;:ao sera:
{ I
71T 131T }S = x E IR x = -- + k . 21T, OU X = - - + k . 21T, k E 7L
12 12
c) 2 sen2
x + 5 sen x = 3, com 0 < x < 21T
Vamos fazer a seguinte mudanc;:a de variavel:
CD y = sen x com - 1 ~ y ~ 1 @
{
y =
ou
y = - 3 (Esse valor nao serve; veja ®.)
-5 ± 7
~y=---
4
-5 ± 7
Entao: y = - - -
2·2
Assim, temos:
2y2 + 5y - 3 = 0 (equac;:ao do 2Q
grau em y)
t::. = (+ 5)2 - 4 . 2 . (-3) = 25 + 24 = 49 ~ " t::. = 7
1
2
o Unico valvr possIve! de y e 1..-; substituindo em CD temos: sen x =
2
1
2
Assim: x = ~ + k· 21T OU X = 51T + k· 21T.
6 ,-_6"-r__~
@ ®
Como 0 < x < 21T, faremos k variar ate que isso seja conveniente.
Veja:
Para k < 0, tanto a condic;:ao @ como a condic;:ao ®fornecerao valores negativos para
x, 0 que nao convem ao problema.
Para k = 0, a condic;:ao @ fornece x = 1T
6
Para k = 0, a condic;:ao ® fornece x = 51T
6
377

386. Para k > 0, tanto a condis:ao @ como a condis:ao ® fornecerao valores de x maio-
res que 211" rad, 0 que nao convem ao problema.
Portanto, 0 conjunto solus:ao e:
5 = {11" 511"}
6' 6
EXERCiclOS PROPOSTOS _
2. Resolver as equag6es:
a) sen (3x) = sen ( 5; )
b) sen (x - : )= ; -
c) sen 2 x - 7 . sen x = -6
d) sen (5X - ; ) - sen (3X + ; ) = 0
e) 2 . sen2 x + 7 . sen x - 4 = 0, para 0 < x < 1T
f) sen 2 x - 1 = 0, para 0 ~ x ~ 1T
3. 0 triangulo mostrado na figura tem 50{3 m2
de area. Determine a medida do angulo ct.
~20 m
Equa~ao do tipo cos X = cos a
A figura mostra urn ciclo trigonometrico
com urn arco AM que mede a. Note que to-
dos os areos de extremidade em M possuem 0
mesmo cosseno do arco de medida a. Tambem
possuem 0 mesmo cosseno de a todos os ar-
cos de extremidade em Mj, onde M] e sime-
trico de M com relas:ao ao eixo dos cossenos.
Assim, concluimos:
Y Eixo dos senos
Cosseno
o
-+--------"....-=-......"----~----'~ Eixo dos cossenos
a x
-0
I cos x = cos a ¢* x = :::'::: a + k . 211", k E 7L I
Exemplo
Resolver:
a) cos x = cos ( 3; )
b) 4 . cos 2 X - 12 . cos x + 5 = 0
c) 2 . cos (5x) = 1 para 0 < x < 11"
2
378

387. SolUfiio
( 38'iT )a) cos x = cos
Devemos ter:
S = fE IR Ix = ± 3; + k . 2'iT, k E 7L}
o conjunto solus:ao e:
x= ± 3'iT + k. 2'iT, kE 7L
8
b) 4 cos2
X - 12 cos x + S = 0
CD
Fazendo y = cos x, com -1 :;;;; y:;;;; 1, temos a equas:ao do 2 Q
grau 4 y2 - 12y + S = O.
~
t1 = (-12)2 - 4 . 4 . S ~ t1 = 144 - 80 ~ t1 = 64 ~ " t1 = 8
-(-12) ± 8
Entao: y = --'---'---
2·4
12 ± 8
8
y=
ou
20
8
(Esse valor nao serve; veja CD.)
1
y=
2
0 ,' al ' l d ' 1 P 1LlI1lCO v' or possive eye -. ortanto: cos x = -.
2 2
Como cos ( ~ ) = ~, temos que cos x = cos ( ~ ).
3 2 • 3 I
1
2
o conjunto solus:ao e:
S = f E IR Ix = ± ~ + k . 2'iT, k E 7L}
c) 2· cos (Sx) = 1, para 0 < x< 'iT
2
Temos:
1
cos (Sx) = 2
Uma solus:ao eSx = ~ rad, pois cos ( ~ ) = ~
Entao: cos (Sx) = cos ( ~ ).
379

388. Dessa forma, devemos ter: 5x = ± ~ + k· 2"IT, k E 7L, ou seja:
3
x = ~ + k· 2"IT !l E 7L ou x = - ~ + k· 2"IT k E 7L
15 5 " 15 5 J '
@
Como °< x < ~,faremos k variar ate que seja conveniente. Assim:
2
Para k < 0, nem a condi<;:ao Q) nem a condi<;:ao ® fornecem valores para x entre °c
~ rad.
2
Para k = 0, a condi<;:ao fl fornece: x = ~ (serve).
:.J 15
Para k = 0, a condi<;:ao ® fornece valor negativo para x (nao serve).
Para k = 1, a condi<;:ao Q) fornece: x = ~~ (serve).
Para k = 1, a condi<;:ao ® fornece: x = ~ (serve).
3
Para I~ ~ 2, nem a condi<;:ao G) nem a condi<;:ao ® fornecem valores entre °e ; rad.
o conjumo solu<;:ao e:
s {
"IT 7"IT "IT}-- -- -
15' 15 ' 3
EXERCiclO PROPOSTO
4. Resolva as equayoes seguintes:
a) cos (5x) = cos ( 3; )
b) 1 + 2 . cos (3x) = 0
c) cos 2 X = cos x
d) cos (2x) = cos (x + :), para 0 < x < "IT
e) 2· cos 2
X + 11 cos x - 6 = 0, para 0 < x < "IT
Tangente
tEiXO das
tangentes
T
Eixo dos tsenos
-+-----+.,----....-....Eixo dos
o cossenos
Ii + a
A figura mostl·a um cicio trigonometrico
com um arco AM que mede a. ote que
todos os areos de extremidade em LVi pos-
suem a mesma tangente do arco de medida
a. Tambem possuem a mesma tangente de a
todos os areos de extremidade em LViI> onde
LVii e simetrico de LVi com rela<;:ao ao centro
do cicio.
Equa~ao do tipo tg X = tg a
380

389. Dessa forma, concluimos que:
l
'x = a + k . 2TI
tg X = tg a {=? OLl
X = TI + a + k . 2TI, Ie E 7L
Resumindo, temos:
I tg x = tg a {=? x = a + k . TI, k E 7L I
Exemplo
Resolver as equac;:6es:
a) tg x = tg ( 3; )
SolUfiio
( 37TI )a) tg x = tg
o conjul1to soluc;:ao e:
b) tg (3x) = tg ( ~ ) para 0 < x < ;
S fE IR Ix = 3; + Ie . TI, k E 7L}
c) tg (2x) =
( TI) TIb) tg (3x) = tg 8 para 0 < x < 2
Devemos ter:
3x =
TI TI
- + Ie' TI, k E 7L => x =
8 24
+k'~ kE7L
3 '
Faremos k variar ate que seja conveniel1te.
Para Ie < 0 obtemos valores negativos para x, 0 que l1ao cOl1vem ao problema.
TI
Para Ie = 0 => x = -- (serve).
24
Para Ie = 1 => x =
TI
24
+ TI
3
=> x =
9TI
,24
3TI
=> X = - - (serve).
8
Para k = 2 .=> x = TI + 2TI => ,"(; = 17TI (fora do intervalo fornecido).
24 3 24
Nenhum outro valor de k servira.
Assim sendo, 0 conjunto soluc;:ao e:
S={~ ~}24' 8
381

390. 3
-,3c) tg (2x) =
Um valor passive! para 2x e 5TI pais:
6 '
5TI
sen --
5TI 6tg - = -----"---
6 5TI
cos --
6
TI
sen -
6
TI
-cos -
6
TI
-sen -
6
TI
cos -
6
3
Entao, temos: tg (2x) = tg ( 5TI ). Portanto: 2x =
. 6 I
o conjunto solu~ao e:
5TI
6 + k· TI, k EO 7L.
S = Ix EO rR Ix= 5TI + It . ~ It EO 7L}
t 12 2 '
EXERCICIO PROPOSTO
5. Resolva as equa90es:
a) tg (2x) = tg ( : )
b) tg(5x)=-1paraO<x<~
2
c) 3· tg x = ,3
Outros tipos de equa~oes
d) tg (x - ; ) - tg ( ~) = 0
e) tg (4x) = tg (x - : )
f) tg (x - ; ) = tg (2x)
Vejamos agora OLltroS tipos de equa~6es trigonometricas.
Exemplo
Resolver as equa~6es:
a) sen (7x) + sen (4x) = 0 b) sen x + cos 4x = 0
SolUfao
a) sen (7x) + sen (4x) = 0
Observe que eposslvel transtormar a 1Q membro em um produto; aJem disso, 0 2Q
membro
e zero. Assim sendo, Iembrando que sen p + sen q = 2 . sen p + q . cos p - q temos'
2 2"
2 . sen
7x + 4,'1:;
2
. cos
7x - 4x
2
= 0 => sen
382
llx
2
. cos 3.' = 0 =>
2
[
llx
:: 3: ~O
cos = 0
2

391. Pal"a sell 11x 0= sen ,tenlos:
2
o
11x
=k· 1T, k E lL. Portanto:
2
21T11x = k . 21T => X = k . -- Il E lL
11'
3x 1T 3xPara cos -- = cos -, tenlOS: --
2 2 I 2
o
1T + Il . 1T, Ie E lL. Entao:
2
3x = 1T + k . 21T => X =
o conjunto solll<;ao e:
1T + Il' 21T k E lL
3 3 '
1T 21T
E IR Ix = - + k . -- Oll X
3 3
Il' 21T k E lL}
11'
b) sen x + cos 4x = 0
Observe que agora aparecem fun<;6es diferentes, no entanto, podemos trocar sen x par
cos ( ; - x ) Oll trocar cos (4x) por sen (; - 4X). Fazendo esta Lutima troca, obtemos:
sen x + sen (; - 4X) = 0 => sen x = -sen ( ; - 4X) =>
=> sen' x ,= sen (4X - ; ) => sen (4X - ; ) = sen x
4x- ~ = x + k· 21T 3x = 1T
+ Il . 21T
2 2
Entao ou => Oll =>
4x - 1T
= 'IT - X + Ie . 21T, k E lL 5x = 1T + 1T
+ Ie . 21T, Ie E 7L
2 2
1T + 1c. 21Tx=
6 ";)
=> ou
31T
+ k· 21T Ie E 7Lx= --
10 5 '
Portanto, 0 conjunto solu<;ao e:
S={~ElRlx=: + fl' ou x
3
383
31T + k .
10 5

392. EXERCiclO PROPOSTO
6. Resolva as equa<;:6es trigonometricas:
a) sen (5x) + sen (3x) = 0
b) sen (5x) + cos x = 0
c) sen (4x) = -sen (x - : )
d) cos (6x) + cos (4x) = 0
e) sen (4x) - sen (2x) = 0
f) cos (2x) + sen x = 0
3. Inequa~oes trigonometricas
..j';A
,,
,,
:h,,,,
b
.....L- ----' -"':
Cj-41 ~8
At:. =
Assim sendo, a area e dada pOl':
a . b . sen a
------ com 0° < a < 180°
2
onde !!.- = sen a ~ h = b . sen a.
b
No inicio deste capitulo vimos 0 caso do seu Elias, 0 jardineiro que estava com proble-
ma para atender a uma encomenda, problema esse que nos ate 0 ajudamos a resolver.
Vamos rever?
Seu Elias deveria construir urn canteiro triangular que tivesse um lado medindo 20 m, ou-
tro lado medindo 16 m, e com area de 80 m2
; tambern perguntaram a ele qual 0 angulo for-
mado pe10s dois lados citados.
Vamos imaginar agora a seguinte encomenda: urn canteiro triangular com um lado medin-
do 20 m, outro lado medindo 16 m, nus que tivesse no minimo 80 m2
de area. Qual deve-
ria ser 0 angulo entre os dois lados citados?
A figura mostra urn triangulo ABC. Ne1a, a base do triangulo foi tomada como sendo 0
lado a que mede 20 m, e a altura relativa ao lado a, medindo h.
A area do triangulo edada pOl':
Para que 0 triangulo ABC seja uma solucrao do nosso problema, devemos ter:
At:. ~ 80, ou seja:
a . b . sen a
------ ~ 80 ~ a' b . sen a ~ 160 ~ sen a ~
2
160
a . b
Substituindo a pOl' 20 e b por 16, obtemos:
sen a ~
160
20 . 16
~ sen a ~
1
2
Sabemos que sen 30° = l e que sen 1500 = 1
2 2
Para qualquer angulo a entre 30° e 150°,0 valor de sen a e maior que 1
2
Nessas condicroes 0 problema proposto tern infinitas solucroes, pois qualquer 'alor real de
a, tal que 30° :;::; a :;::; 150°, torna a sentencra CD verdadeira.
A figura da pagina seguinte ilustra isso.
384

393. Qualquer ponto deste arco
pode ser 0 vertice A
1T
b:~--- 6"
/300
C 20 cm B
A inequas:ao 0, utilizada para resolver nosso problema, e um exemplo de inequa~o tri-
gonomhrica, pois a incognita esta associada afL1I1s:ao seno, que e uma fL1I1s:ao trigonometrica.
De um modo geral, chamamos de inequas:ao trigonometrica qualquer inequas:ao onde a
incognita esta associada a alguma das funs:oes trigonometricas. Sao exemplos de inequas:oes
trigonometricas:
a) cos (3X :) > cos x
b) sen (4X ;) ~ cos (x + : )
Do mesmo modo que fizemos para as equas:oes trigonometricas, estudaremos alguns tipos
fL1I1damentais de inequas:oes.
Em geral, as inequas:oes trigonometricas recaem naqueles tipos fundamentais atraves de
transformas:oes convenientes.
Inequa~oes trigonometricas do IQ tipo
Sao inequas:oes que podem ser colocadas numa das formas seguintes:
sen x > a, ou sen x ~ a, OLl sen x < a ou sen x ~ a, com -1 ~ a ~ 1
Observe a figura:
Eixo des senos
Arcos x tais que sen x =a
_+ ~ 't-'-A,--.... Eixo dos cossenos
".,.,.....L.i~,..
Arcos x tais que sen x < a
Exemplo 1
Resolver as inequas:oes trigonometricas:
a) sen x < ~
2
b) 2 . sen x ~ 3
385

394. Solurao
a) sen x <
Percorrendo 0 cicio no sentido positivo, a partir de A, notamos que sen ( ; )
e sen ( 2; ) ';
Veja a figura:
Eixo dos senos
Onde estiio as extremidades
_l----~~dos areos proeurados
_¥ .,. -t>-!A:l-.... Eixo dos eossenos
o conjunto solus:ao e obtido percorrendo 0 cido no sentido positivo, a partir de A, ate
completar uma volta, e em seguida generalizando.
Dessa forma, os arcos x procurados sao tais que:
o+ k . 21T OS; X < ~ + k . 21T OU 21T + k . 21T < X < 21T + k . 21T, k E 7L
3 3
o conjunto solus:ao e, portanto:
s = fE IR Ik . 21T OS; X < ; +k . 21T ou 2; +k . 21T < X < 21T +k . 21T, k E 7L}
b) 2 . sen x ~ " 3
Temos que 2 . sen x ~ ,'3 ~ sen x ~
Utilizando a mesma figura do item a, temos que 0 conjunto solw;:ao e:
S = {x E IR I; + k . 21T OS; X OS; 2; + k . 21T, k E ~
Exemplo 2
Determinar 0 conjunto solus:ao da inequas:ao:
Isen (4x) I <
386
1
2

395. Solufao
Devernos ter:
CD
~ < sen (4x) < 1
2 2,
@
A condic;:ao CD nos di sen (4x) > -
---'t-------;:I-------f4
1
2
A condic;:ao @ nos di sen (4x) < 1
2
-~-------;d----...4
Como CD e @ devem ocorrer simultaneamente, fazendo a intersecc;:ao, temos:
Eixo dos senos
1T
"6
----£).---~------Q ~ Onde estao as extremidades
~ doarco3x
_-&-__-----;::I ----'-'A~~ Eixo dos
cossenos
Percorrendo 0 cicIo no sentido positivo, a partir de A, e generalizando, temos:
o+ k . 21l" ~ 4x < 1l" + k . 21l" OU
6
51l" + k . 21l" < 4x < 71l" + k . 21l"
6 6
ou
1111" k k-- + . 21l" < 4x < 21l" + . 21l", k E lL
6
Portanto 0 conjunto soluc;:ao e:
t 1l" 1l" 1l" 51l" 1l" 71l" 1l"
S = xElRlk'-~x<--+k'- ou --+k'-<x<--+k'- ou
2 24 2 24 2 24 2
111l" 1l" 1l" 1l" }--+k'-<x<-+k'- kElL
24 2 2 2 '
387

396. E E ciclos P OPOSTOS _
7. Resolva as inequag5es:
-f2a) sen x~ -2- b) sen x,,;,-
8. Resolva:
-f2
2
c) sen (5x) ~ 0 d) 2 . sen x ~ -1
a) [sen (3x) [ ,,;, ~
2
b) [sen (4x) [ ~ ~ , para 0 ,,;, x,,;, ~
2 2
c) 12 .sen (5x) [ > .J3
Inequa~oes trigonometricas do 22 tipo
Sao inequayoes que podem ser colocadas numa das formas seguintes:
cos x > a, ou cos x ~ a, ou cos x < a, ou cos x :s: a, com - 1 :s: a :s: 1
Observe a figura:
Arcos x tais que cos x :::; a
Arcos x tais que cos x > a
.k/
w.-__~+--__.~.a:.A~Eixo dos cossenos
I'
Exemplo
Resolver as inequayoes trigonometricas:
-1
a) cos x < --
2
SolUfiio
-1
a) cos x <
2
-J2b) cos (3x) ~
2
Procedendo como nos exemplos anteriores, temos:
cos ( 2; )
_ -1
2
e cos ( 4; )
-1
2
Eixo des senos
Onde estao as
extremidades dos
areos procurados
i--o---=O+----.A~---.Eixo dos
cossenos
388

397. o conjunto solwrao e:
J I h ~ ~S = r E IR -3- + k . 2'IT < X < -3- + k . 2'IT, k E ZJ
5b) cos (3x) ~ - -
2
Procedendo como nos exemplos anteriores, temos:
Veja a figura:
cos ( : )
_5- - -
2
e cos ( 7; ) 5- - -
2
Eixo dos senos
--+----O::+-----=~"A"--..... Eixo dos
cossenos
o conjunto solu~ao e:
{ I
2'IT 'IT 2'IT 7'IT 2'IT 2'IT 2'IT }
S = xEIR k·--~x~-+k·--ou --+k·--~x<--+k·--kEZ
3 12 3 12 3 3 3 '
EXERCiclOS PROPOSTOS _
9. Resolva as inequac;oes:
-1
a) cos X;;" 2
b) 2 . cos x < -../s
10. Resolva:
1
c) cos (5x) > 2
d) cos (2x) < 0
...f3
a) Icos xl .:; -2- b) Icos xl > ~
2
c) 2 . cos2
X + cos x < 0 d) 1 < cos x < 1
2
Inequa~oes trigonometricas do 32 tipo
Sao inequa~oes que podem ser colocadas numa das formas seguintes:
'IT
tg X > a, ou tg x ~ a, ou tg x < a, ou tg x ~ a, com x*-- + k . 'IT, k E Z
2
389

398. A figura seguinte ilustra isso:
Eixo dos
senos
Arcos x tais
que tg x > a
I Arcos x tais
que tg x =a
Arcos x tais
que tg x < a
-+-----,i<=--------'lIi-'-'--.-l~ Eixo dos
cossenos
Arcos x tais
que tg x < a
Eixo das
tangentes
Exemplo
Resolver as inequaC;:6es trigonometricas:
a) tg x;", .J3 b) 3 . tg (2x) < .J3
SolUfao
a) tg x;", .J3
Percorrendo 0 ciclo no sentido positivo, a partir de A, temos:
Veja a figura:
Eixo dos
senos
'IT
T
--+---=----+.=-------.>'-'-----:l~ Eixo dos
Onde est3.0 as areas x cossenos
tais que tg x ;;. , "3
Eixo d.s
tangentes
o conjunto soluc;:ao e, portanto:
{
11'" 11'" 4rr 31T }S = x E IR 1- + k· 211'" ~ X < - + k· 211'" ou - + k· 211'" ~ X < - + k· 211'" k E 7l.
3 2 3 2 '
b) 3· tg (2x) < ..J3
Devemos ter: tg (2x) < ..J3 .Procedendo da forma anterior, observamos que
3
3
3
..J3
3
390

399. , 3
-3-
Eixo dos
tangentes
3'ii
T
Onde estao as areas 2x
,'3 .---::~~---.1
tais que tg 2x < -3-
Eixo dos
senos
- __----+,.!"=----+-'--.... Eixo dos
cossenos
Entao:
o+ k . 2'IT ,;;;; 2x < 'IT + k . 2'IT ou
6
'IT + k . 2'IT < 2x < 7'IT + k . 2'IT ou
2 6
3'IT + k. 2'IT < 2x < 2'IT + k· 2'IT, k E 7L
2
Portanto 0 conjunto solus:ao e:
{
'IT 'IT 7'IT
S = X E IR Ik .'IT ,;;;; X < - + k .'IT OU - +k . 'IT < X < -- + k .'IT ou
12 4 12
3'IT }4+ k· 'IT < X <'IT +k· 'IT, k E 7L
EXERCiclO PROPOSTO
11. Resolva as inequayoes seguintes:
a) tg (3X) < ,"3
b) 0 < tg x,,;: 1
c) tg ( ~ ) > 1
d) 13·tg(5x)!,,;: ,"3
e) tg 2 X - tg x < 0
RELEMBRANDO CONCEITOS _
Equa~6es trigonoffihricas
Tipo
I Solus:ao
X = a + k· 2'IT
sen X = sen a ou
X = 'IT - a + k· 2'IT, k E 7L
x = a + k· 2'IT
cos X = cos a ou
x= -a + k· 2 'IT, k E 7L
tg x = tg a x = a + Il . 'IT, k E 7L
391

400. Inequas;oes trigonomhricas
Tipo I Solus;ao
Eixo des senos
sen X > a
sen x;3 a
sen X < a
sen X ~ a
com
cos X > a
cos x;3 a
cos X < a
cos X ~ a
com
-1 ~a~ 1
Arcos x tais que sen x > Q
iI'
'I-__==it'= Arcos x tais que sen x ;:;: a
--+-----;d--------l.o.:A'----.. Eixa das cassenas
Arcos x tais que cos x ;:;: a
"'A'ZAreas x <ais que cas x > a
- .......----;:;t----.=l-.....:.:.L-?x~
Arcos x tais
tg X > a que tg x> a
y
~ Arcos x tais
tg x;3 a que tg x = a
tgx< a Arcos x tais
tg X ~ a
que rg x < a
com
X =1=
'IT
+ k· 1T,
x
-
2
onde
Arcos x tais
que tg x < a
kE Z
EXERCiclOS COMPLEMENTARES
12. Quais as soluyoes da equay8.o tg 5x = 1, no intervalo
392
'IT < X< 'IT?
2

401. 13. Sabendo que 2 sen (2x) cos (2x) = cos 2
(2x) - sen 2
(2x), determine x sabendo que 0 < x < 7T.
14. Resolva a equa9ao: 2 sen2
x-9 cos ( ; - x) + 4 = O.
15. Para quais valores de x tais que 0 ,,;;; x < 27T, a senten9a sen (2x) = sen x everdadeira?
16. (U. F. Vi90sa-MG) Determine as solU90es da equa9ao cos 2x + sen 4x = 0, para - ; < x,,;;; ;
17. (Unicamp-SP) Ache os valores de x, com 0° ,,;;; x < 360°, tais que 2 cos 2
x + 5 sen x - 4 :;" O.
18. Resolva 0 sistema de inequa90es:
a) {sen x> 0
1
cos x< -
2
{
o < tg x,,;;; 1
b) 1
sen x> -
2
19. (Cesgranrio) Resolva a equa9ao (cos x + sen X)2 = +
TESTES _
20. (UEBA) No intervalo [0, 27T], a equa9ao trigonometrica tg x = -1:
a) nao possui raizes. d) possui exatamente tres rafzes.
b) possui uma unica raiz. e) possui uma infinidade de rafzes.
c) possui exatamente duas rafzes.
21. (Fuvest-SP) Resolver a equa9ao sec x = -2, com 0 ,,;;; x,,;;; 27T.
a) S = {; , ; }
b) S= {7T' ;}
c) S = f7T' ;}
d) S= {7T' 3;}
e) S= {2; ,4;}
22. (Faap-SP) Sendo x um arco do 1Q quadrante, a solu9ao da equa9ao 4sen
2
x = 2(-2 cos
2
x + 4 sen x) e:
a) ~ rad
8
b) ~ rad
4
c) ~ rad
2
d) ~ rad
6
e) ~ rad
3
23. (UFES) A soma de todos os valores distintos de ex, 0 < ex < 27T que satisfazem aequa9ao
sen 2ex = 2 sen 2
ex, e:
a)
77T
2
b)
•27T
3
c)
57T
3
d)
57T
2
e) 27T
24. (Unifor-CE) As solU90es de sen x - cos x:;" 0, no intervalo [0, ; ], sao tais que:
a) ~ :$:;X~ 7T
c) ~ :s:;x~ 7T
e) x = 0 ou x = 7T- -
4 2 6 4 2
b) ~~x:s; 7T
d) O,,;;;X,,;;;
7T
4 3 6
25. (Imes-SP) a valor de x E IR na equa9ao cos x + sen 2
x + 1 = 0, para todo k inteiro, e:
a) x = 7T + k7T c) X = 7T + ~ e) x = 2k7T
2
b) x = 7T + 2k7T d) x = k7T
393

402. 26. (Cesgranrio) Se °,,;; x,,;; 11", as raizes da equa9ao cos 2
x - sen 2
(11" - x) = ---.!.- sao:
2
a) ~ e 1T
3
b) ...2:.- e
4
c) °e 11"
d) ...2:.- ou
6
e) ...2:.- e 11"
2
27. (F. C. Chagas-BA) As solU90es da equa9ao cos 2
x + cos x = 0, no intervalo [0, 211"], sao:
a) 0, 311" e 211" c)
11" 311"
e)
11" 311" e 211"
2
2,11"e
2 2,11",
2
b) 0,
11"
d) 0, ; ,11" e 2'IT-e'ii
2
28. (FGV-SP) No intervalo [0, 211"] a soma das raizes da equa9ao
sen 3 x - 3 . sen 2 x . cos x + 3 . sen x . cos 2 X - cos 3 X = °e:
2
a)
11"
2
b) 11"
311"
c) d) 211" e) 511"
2
29. (Mackenzie-SP) A solU9aO da inequa9ao
real, tal que:
a) 0,,;; x,,;; 11"
b) ...2:.- < x<...2:.- ...2:.- < x<
511"
ou
6 2 2 6
c) ...2:.-,,;; x< 511"
2 6
sen2
x - sen x
--=------,---- > °no intervalo [0, 211"] e dada por x
2 sen x - 1
e) °< x < 11" ou 511" < X < 11"
6 6
30. (Mackenzie-SP) 0 numero de rafzes da equa9ao sen 2
x - 9 . cos x + 14 cos 2
x = °no intervalo
[0, 211"] e:
a) ° b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
31. (F. M. Santa Casa-SP) Qual e0 numero de solu90es do sistema
{
sen (x + y) = °, onde °,,;; x ,,;; 11" eO";; y ,,;; 11"?
sen (x - y) = °
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
32. (Fatec-SP) Se A = {x E [0, 11"] Isen 3
x + 3 cos 2
X + 3 tg 2
X = 3 sec 2
x - 2 sen xl, entao 0 numero
de elementos do conjunto e:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
33. (Especex) 0 conjunto solU9aO da equa9ao ( +-sen
2
6) cos 36 = 0, sendo °,,;; 6 ,,;; 11", e:
a) $ = {o, ; , 2; ,3Z}
b) $ = {o, ; , 2;}
{
11" 11" 'IT 11" 511"}
c) $= 6'4'3'2'6
d) $ = { ; , ; , ; , 3Z ' 5;}
394

403. 34. (Especex) 0 conjunto soluyao da equayao tg x + 3 cotg x = 5 sec x, para x E IR, e:
a) S= ~ E IR Ix = ; + 2k'IT ou X = 2; + 2k'IT, k E z}
b) S = ~ E IR Ix = ; + 2k'IT ou X = 3; + 2k'IT, k E z}
c) S= {x E IR Ix = ; + 2k'IT ou X = 5; + 2kro, k E z}
d) S = ~ E IR Ix = ; + 2k'IT ou X = 3; + 2k'IT, k E z}
35. (Mackenzie-SP) Se 2x E [0, 2ro], entao os pontos x do cicio trigonometrico correspondentes as
soluy6es do sistema {~;::;; 0 pertencem ao:
a) 12 quadrante somente.
b) 22
quadrante somente.
c) 32 quadrante somente.
d) 42 quadrante somente.
e) 12 OU 42 quadrante.
395

404. Respostas
Capitulo I - CONJUNTOS
c) A n B = {1, 2, 3, 6}
d) m.d.c. (18,24) = 6
c) A n B = {12, 24, 36, ...}
d) m.m.c. (3,4) = 12
d) {2, 5, 7, 8}
e) {2, 3, 4, 5, 7, 8}
f) {2, 5, 7, 8}
c) {a, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}
d) {a, 1,2,3,4,5,6,7,8, 12}
d) {2}.
f) {1, 2, 4, 6}
d) S = {-3, ~}
g) V
h) V
d) 256
e) {8, 9}
g) {2, 5, 6, 7}
h) {3}
i) {2, 3}
c) n(C) = 41
e) 9 fl A f) 4 fl B
d) unitario
c) A *B
d) S = {2, 7}
c) {n, q}
c) {2, 5, 6, 7, 8}
e) {6, 9} f) {5}
c) {12, 15, 18, ...,96, 99}
d) 0
d} {6, 9}
e) V
f) F
c) S={-3}
c) S = 0
d) 2 E B
c) vazio
b) {7, 9,11, ...}
d) {2, 3, 4}
e) {2, 4, 5, 6, 7}
f) {3}
b) {n}
b) {1, 2, 3}
c) {5, 6, 9}
c) F
d) F
b) {5, 7, 8}
9. a) S = {}
1. a) {a, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9}
2. a) {x Ix enumero natural imparl
b) {x Ix edia da semana cujo nome come9a pela letra s}
c) {x Ixe numero natural multiplo de 4 e menor ou igual a 60}
d) {x Ix enumero natural multiplo de 5 e 1°~ x ~ 30}
3. {xix ecor da bandeira brasileira}
4. a) n(A) = 2 b) n(B) = 5
5. a) °E A b) °fl B c) 2 E A
6. a) vazio b) unitario
7. a) A = B b) A *B
8. a) S = {3, 4, 5, 6} b) S = {5}
b) S = {~}
10. a) V
b) V
11. Verdadeiras: b, c, d
12. Verdadeiras: a, c, d
13. {2, 3}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5} e {2, 3, 4, 5}
14. Falsas: a, b, e
15. Verdadeiras: a, b, c
16. Verdadeiras: a, c, d, g, h, j, I, m
17. a) {2}, {4}, {6). {8}
~ ~,~,~,~,~,~,~,~,~,~,~,~
c) {2, 4, 6}, {2, 4, 8}, {2, 6, 8}, {4, 6, 8}
18. a) 3 b) 8
19. P(B) = {0, {8). {9}, {8,9}}
20. P(x) = {0, {O}, {2}, {5). {a, 2}, {a, 5}, {2, 5}, {a, 2, 5}}
21. P(A) = {0, {p}, {a}, {z). {p, a}, {p, z}, {a, z}, {p, a, z}}
22. a) 32 b) 16 c)4
23.6
24.9
25. a) {1, 2, 4, 6} b) {1, 2, 3, 4} c) {6, 8, 9}
26. P e q ou p, q e m ou p, q e n ou p, q, men
27. A = {v, i, d, a}
28. x = 6 e y = 8
29. a) {q}
30. a) {2, 6, 8}
31. a) {1, 3, 5}
32. x = 7 e y = 8
33. a) A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
b) B = {1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24}
34. a) A = {4, 8,12,16, ...}
b) B= {3, 6, 9,12,15, ... }
35. a) {2, 3, 4, 5, 7, 8}
b) {2, 5, 8}
c) {3, 4, 5, 7, 8}
36. a) {a, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12}
37. Verdadeiras: a, c
38. Falsa: d
39. a) {2, 3, 5, 6, 7}
b) {2, 5, 6, 7}
c) {2, 4}
396

405. c) {2, 3, 5}
c) {1, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
76. c
e) 70
t) V
d) {1, 2, 4, 6}
d) {1, 2}
d) 5
d) 25
74. a 75. d
e) F
73. e
d) 220
c) 50%
d) 60
d) F
c) {1, 2, 3, 4}
c) {{1, 2}}
c) 170
c) 57
c) 20
71. d 72. a
82. d 83. b
c) 38
b) 30%
70. c
81. c
b) {5}
b) C
b) 150
b) 10
b) 10
69. d
80. b
40. Verdadeiras: a, b, c, e, t
41. a) {1, 4}
42. a) B
43. M!:l N = {a, b, C, d)
44.30
45.20
46. 116
47. a) 80
48. a) 10%
49. a) 110 b) 20
50. Verdadeiras: b, c, d, t
51. Falsas: b, t
52. Verdadeiras: a, b, c, e
53. a) V b) V c) V
54. a) {1, 2, 3} b) {1, 2, 4, 5}
55. a) {1, 2, {1}, {2}, {1, 2}} b) {{1}, {2}}
56. N = {2, 3, 4}
57. B = {2, 5, 6, 7}
58.32
59. 16
60.2
61. 2
62.70
63.2
64. a) 20
65. a) 15
66. a 67. c 68. b
77. d 78. d 79. e
Capitulo 2 - CONJUNTOS NUMERICOS
g) 21
10
h) 19
9
i) 104
45
g) 0 E ;E~ j) ;E_ C ;E
h) 0 E L I ) ;E* ~ ;E~
i) C;E m) ;E~C ;E
e) {-2,-1,O,1,2} 9)0
t) {-1} h) {-2, -1, O}
c) F d) V
d) 11
20
e) 5
9
t) 16
45
1. Verdadeiras: a, c, e, t, g, h
2. a) 31 b) 20
3. Existem muitas soluc;:oes. Par exemplo: 0 = 44 - 44; 1 = 44 : 44; 2 = (4 : 4) + (4 : 4); 3 = (4 + 4 + 4) : 4;
4 = 4 . (4 - 4) + 4; 5 = (4 . 4 + 4) : 4; 6 = 4 + (4 + 4) : 4; 7 = (44 : 4) - 4; 8 = (4 + 4) + (4 - 4);
9 = (4 + 4) + (4: 4); 10 = (44 - 4) : 4
4. a) 3 E IN d) - 3 E ;E
b) 3 E ;E e) 0 E IN
c) -3 fi IN t) 0 fi ;E*
5. a) {-2, -1,0,1, ...} c) {-2, -1, 1, 2}
b) {..., -2, -1,0,1, 2} d){O, 1,2,3, 4}
6. a) V b) F
7. Verdadeiras: b, c, d, g, h, i, j, I, m
8. a) .2-
2
b)~
5
1
c) - -
4
7
9. a) (3 b) ~
3
c) 0,99 d) _ 5
2 .
10. Racionais: a, b, d, t, h, I; irracionais: c, e, g, i, j, m
11. {-3,1; -2; ~; '.1")
397

406. 12. Verdadeiras: b, e, f; falsas: a, c, d
5-12 r;::-
13. a) 2 c) 2('12 + 1) e) .J6
3
b) .J3
3
14. a) 9 + 4-J5
15. Verdadeiras: b, d, g, h
16. a) {-2}
d) .J6 + -12
2
b) 1 c) 38 - 12,10
b) {-2, ~} c) 0
f) 6(,15 - 2)
11
d) 4 - 3,'13
d) {-2, ~}
17. a) 0 b) 0 c) {2 - ,'2', 2 + ,~} d) {2 - ,~, 2 + ,~}
~ g) ~
-3 3
• h) •
~ i) ~,.
,2
e) ] -00, ~ ]
f) ]-10,10]
e) 15 f) 9
c) infinitos
e) [2,5] f) ]-3,3]
e) ]-00,3] f) [-2,00[
e) - 5
f)
17- -
3 12
2
2
d) 11
d) [-2,2]
d) ]-x, 4]
1
d) 10
-2
c) ]-6, --12[
d) ]7,5; oo[
c) 14
b) 11
c) 0
c) IR
b) {1}
b) ]-6,6[
b) 13
...- - -••-~~. d)
-3 5
c) __~ f)
-2 2
b) --o---.....__-.~ e) --0>__----.--4 2.5 3
18. a)
19. a) [-4,3]
b) [1,)1Q[
20. a) 31
21. a) 6
22. a) [-2, 4]
23. a) [-10,5]
24. a) 12 b) -3 c) 3
25.x=-10oux=10
26. 0, 1, 2, 3, 4, 5
27. -5, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5
28. {x E IR I- 5 ~ x ~ 5}
29. b, c, g, h
1
30. a) 4
25
b) 99
23
c) 90
d) 6
5
11
e) 9
46
f) 45
31. a) ~53
1
32. a) 25
1
33. a) 2
b) 63
1
b) 4 c) 2
b)
2 9- c) 163
d) 25
d) 13
5
e) 3 f) 1
d) ~9
g) 2
f) 7
3
h) 16
g) 2
34. {-2, 0, 2}
35. a) [-4, 6[ b) [-2, 5] c) [-3, 6[ d) [-2, 5] e) [-4, -2[
36. 91 40
37. 1,3 e 9
38. a) 14 b) J.±-
39. 15 9
40. {-1, 0, 1}, {-3, -2, -1}, {1, 2, 3}
41.b 42.d 43. a 44. a 45.c 46.d 47.d 48.d 49. a 50.e 51.c
52. d 53. d 54. c 55. b 56. d 57. b 58. e 59. b 60. d
398

407. 1. Y = 2x + 1
2. a) a = 8 e b = 4
3.
y
F, __ 4
3 D
2
Capitulo 3 - FUNC;:OES
4
b) a = 1 e b = c) a = 3 au a = 4 e b = 2
3
A
- - - - - e
d) a = 5 e b = 3
x
E -2 4
--->--+-----:+-----+---;~~
-4 -3 0
-I
e- -3
B
4. a) A x 8 = {(-2, -1), (-2,1), (0, -1), (0, 1), (2, -1), (2,1)}
b) 8 x A = {(-1, -2), (-1, 2), (-1, 0), (1, -2), (1, 2), (1, O)}
c) A2
= A x A = {(-2, -2), (-2,0), (-2,2), (0, -2), (0, 0), (0, 2), (2, -2), (2,0), (2, 2)}
d) 8 2
= 8 x 8 = {(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)}
5. a) 8 b) 4 c) 8 d) 16
6.30
7. a) 4 b) 4 c) 8 d) 2
8. a) b) y c)
~ - - - e -i
,
,
e- - e 4 e e
- e------e 2
e
•
- -e
-- - - --.
4
-3 _I 0 x o 1 4 x o 2 x
-2 • - - - - - - - e
-3 - e- - - - - - - - ...
d) e)
4
2
f)
-2 o x o 4 x o x
9. a) A={-2,0,2}e8={-2,-1,1,2}
b) A = {-2, -1, 0, 1, 2} e 8 = {2}
c) A = {2} e 8 = {y E IR 1-3 < Y < 3}
399

408. b) R2 = {(-1, -f).(-f, o)}
d) A = {x E IR 1-3 :;;; x:;;; 3) e B = {y E IR 1-2 :;;; y:;;; 2)
e) A = {x E IR 1-3 < x:;;; 4) e B = {2)
f) A = {XE IR Ix:;;, -3) e B = {yE IR Iy:;;. -1)
10. a) R1 = {(-1, 2), (0,4), (1, 6), (3, 10))
b) R2 = {(-1, 1), (0, 0), (1, 1))
c) R3 = {(-1, 2), (0, 0), (1, 2), (3, 6))
11. a) R1
= {(-2, -f). (-1, -1),(-f, -2)}
12. a) R = {(2,9), (3, 6), (6, 3), (9, 2))
b) S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3))
13. a) R = {(O, 10), (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2), (5, 0))
b) R = {(O, 5), (5, 0), (3, 4), (4, 3), (0, -5), (3, -4), (4, -3))
14. a, b, e
15. a)
b)
16. a, b
c)
d)
1a ~ -13 ~ -2
1
17. a) 2
2
b) 3
19. a) 16 b)3
20. a) {2, 3, 4)
21. 4
22. 5x - 7
23.9
3
24. 4
25. 18
1
c) -
4
c)
3
e) {~,2, ~,3, ~}4
d) {1, 2, 3) f) {~ , ~ , ~}
c) -3 d) -18 e) 1 f) ~
5
d) 13 - 8-/2 e) x = 1 au x = 3
f) x = 2 au x = 2-
5 5
b) {-3, 0, 3) c) {~, 1, 3} d) {o, ~}
400

409. 26. a) IR
b) IR
c) {x E IR Ix *2}
d) {x E IR Ix;;.-~}
e) IR
f) {x E IRlx > - ~}
g) {x E IR Ix * -1 ex *1}
h) {x E IR Ix *3 e x *4}
i) {x E IR Ix ~ ~}
j) {x E IR Ix ;;. - ~ e x * ~}
. I) {xE 1R*lx* 2}
m) {x E IR Ix > 2}
n) {x E 1R*lx > -2}
0) {x E IR Ix;;. 2}
p) {x E IR Ix;;, 2}
• •
-3 -2 -I 0 2 3 x
-2
• •
-3
YJ
• 3
•29. a) b)
-3 -2 _I 0
x
c)
c)
c)
x
Y
b)
-5
b)
x
-- .
2
•
•
2 3 x
•
-5
Y
6
,
.- -3
-2 _I 0
..:,
•
28. a) •
27. a)
401

410. -3 -2 _I 0
30. a)
•
•
4 •
2
I
x
b)
-3 -2 _I 0 x
c)
-3 -2 -I x
31. a)
4 •
2 - •
•
b)
32.
-2 -I
•
•
y
8
o
-I
-2
• -4
•
2 x
2 -1,0_11 2
- -2
-4
x
I - •
-2 -I
o I 2
• -I
-8
x
402

411. 33. bed
34. a, c, g, h
35. a) D = {-1, 0, 1,2, 3} elm = {-2, -1,0,1, 2}
b) D = [0, 4] e 1m = {y EO IR 1-3 ~ Y ~ 2}
c) D = IR e 1m = 1R*r
d) D = {x EO IR 1-2 ~ x ~ 3} e 1m = {y EO IR 1-2 ~ Y ~ 5}
36. a) -2 e 1 b) -3
37. a) Crescente: ]-00, -2] e [0, 00[. Decrescente: [-2,0]
b) Crescente: ] -00, 3]. Decrescente: [3, +oo[
c) Crescente: nao existe. Decrescente: IR
c) -2, 1 e 4
c) Nao
d) Crescente
c)-3,-1,1e5
d) -1 < x < 1
e) 3
f) 0
i) Nao
j) Zero
g) {yEO 1R1-3~ y~4}
g) Nao h) Nao i) Nao
g) x> 1
h) Nao
1
f) x< 3
1
e) x>
3
f) -2 < x < 2
g) x < - 2 ou x > 2
h) Par
i) 0
j) 4
e) Nao
f) x = 0
1
38. a) IR b) IR c) Crescente d) x = 3
39. a) IR
b) {y EO IR Iy ~ 4}
c) ]-00,0]
d) [0, +oo[
e) -2 ou 2
40. a) IR
b) 1R*r
41. a) [-3,5]
b) Crescente
42. Sobrejetoras: a, c, d, f; Injetoras: b, c, d; Bijetoras: c, d
43. b, c
44. Verdadeiras: c, d, e. Falsas: a, b
45.
e) ,-1 (x) = ~x -1
f) ,-1(x) = x+2
(x oF ~ )2x - 5
d)
8
5
x3
- 3
d) ,-1 (x) = 2
c) 9 - 1 (x) = 2x - 1 ( 2)
x - 2 x oF
b) ,-1 (x) = 2x- 3
49. a) 0 b) - 5
c) - 11- -
3 6
50. a)
37
b) 3
4
51. a) a, b, d, e, f b) a, b, d, f
403
46. ,-1 = {(2, -3), (4, -1), (5,1), (3, 2))
47. g-1(_4) = 5 e g-3) = 8
48. a) ,-1 (x) = ~
4

412. c)
@0 .".+ //1-
' '
,
0 x
0 x
,
® y
.".1-
eD .".1-
' '
x
x
c) {x E IR Ix"* 2 e x"* 5}
b) x = 1 au x = 2
b) 6x - 3
b) 2x2
+ 12x + 15
b) -8
d) {x E IR Ix > 4}
d) 4x + 3
d) 8x
4
- 24x
2
+ 15
d) 22
g) 64x - 36
c) x = 3
h) -2x2
+ 13x- 4
i) -4x + 10
5
d) 2 au 3
c) 9x - 8
c) x + 6
c) 97
c) 5
b) 30x - 98
d) f -1 (x) = X + 4
8
e) -16x2
+ 40x - 4
f) -228
1
2
b) {XE IRlx> 1}
b) 5 au
52. a) 6x + 1
53. a) 2x2
54. a) -11
55. 2x + 1
56. 4x - 2
57. 8x - 9
58. 3x - 1
59. a) -20
b) -3
c) 1
9
60. a) 4
61. a) 7
62. 2x + 7
63. a) x = -4 au x = 4
64.8
65. a) {x E IR Ix;;. 0 e x"* 4}
5x + 1
66. - - -
x + 1
67. a)
b) f -x) = {(0,1), (3, 2), (8, 3), (15, 4), (24, 5)}
404

413. f) [-1,1]
g) Zero h) Zero
79. e 80. c 81. b
90. b 91. e 92. d
e) 0
f) IR~
78. c
89. d
76. d 77. d
87. a 88. e
d) 2
d) fmpar e) IR-,
75. 6
86. d
97. d
74. 0
85. a
96. b
68. Y = 60 - x2
69. a) [-2, 2] b) [0, 2] c) 1
70. a) IR* b) IR* c) Decrescente
71. {-2' -1, - ~ , 0, 3}
72. 0 73. 9 (33) = 19
82. d 83. b 84. e
93. c 94. c 95. b
Capitulo 4 - FUNC;:AO DO IQ GRAU
1. a) b) y c) y
2
0 x
0
-I
x 0 x
-2
2. a, b, d, f
3. a) -17
4. a) 4x - 3
3
5. a) -2
6. a) 3
7. a) 8x - 63
8. a) y = 100 + 5x
9. Y = 4x + 180
~ -1 ~ -2
b) 12x+ 21
b) -1
b) -17
b) 24x - 47
b) 700 UT
d) 5,2 - 2
c) x + 9
c) 0
c) 23
c) 40 km
10. a) b)
y
x x
c)
o 2 x
11. a) Crescente
12. a) m = 2
13. Y = 4x - 6
14. a = 2 e b = 9
15. a) y = x + 6
16. a) y = 3x - 4
17. 25 min
18. a) x=4
19. a) (-t, 0)
b) Decrescente c) Decrescente
b) m> 2
b) Y = -2x + 1
b) Y = 2x + 3
b) x = 0
b) (~, 0) c) (5, 0)
d) Crescente
c) m < 2
c) y = -3x + 1
c) 0,5
d) (0,0)
405

414. 20. a) x < 2 => Y < 0; x = 2 => Y = 0; x > 2 => Y > O.
b) x < 0 => Y> 0; x = 0 => Y = 0; x> 0 => Y < O.
e) x < 0 => Y < 0; x = 0 => Y = 0; x> 0 => Y > O.
2 2 2
d) x < -3 => Y > 0; x = -3 => Y = 0; x> -3 => Y < O.
21. a) Y < 0
22. a) {x EO IR Ix > 2,7}
b) Y < 0 e) Y = 0 d) y> 0
b) {xEOlRlx~ 1~} e) {xEOlRlx>-~} d)
e) y> 0
f EO IRlx > 3
7
0}
24. a) {x EO IR Ix < -3 au x> 2}
b) {x EO IR Ix ~ 2 au x;;;. 4}
e) {x EO IRI-S < x< ~}
23. a) {x EO 1R1-1 < x< 1} b){XEO 1R12 ~ x~ 2,S} e) {x EO 1R13 ~ x< 10} d) {x EO IRlx > - ~}
d) {x EO 1R1-2 < x< - ~}
e) {x EO IR 1-3 ~ x ~ 1 au x;;;. S}
f) {x EO IR I0 < x < +au x > ~}
25. a) {x EO IR Ix < -2 au x> 3}
b) {x EO IR Ix ~ -3 au x> 4}
e) {x EO IR Ix < 0 au x> 2}
26. a) {x EO IR Ix < -3 au 2 ~ x ~ 4}
27. a) {x EO IRlx~ -1 au x;;;. 6}
28. a) {x EO IR 1-2 ~ x~ 1:}
29. a) IR e) {-0,4}
b) 0 d) {x EO IRlx"* ;}
30. a) m = 5 b) m"* 5
d) {x EO 1R1-1 < x< 6}
e) {x EO 1R1-2 < x~ 1}
f) {x EO IR Ix < ~ au x > 1;}
b) {x EO IR Ix < -2 au 0 < x < 4}
b) {x EO IR Ix ~ - ~ au x > 2}
b) {x EO 1R11 ~ x~ ~}
e) {x EO IR Ix > 2} g) {x EO IR Ix;;;. 9}
f) {x EO IRlx < - ~} h) {xEO IRlx;;;. -40}
e) m < S d) m> S
31. a) 4 b)7
32. a) f (x) = ~ - ~
3 3
33. Y = 76
e) 10x-11
b) 25
3
4d) x= --
S
e) x = -4
34. a) -+ b) 2-
2
35. a) y = 42 - 4x b) 34 em
36. a) {O, 1, 2, 3, 4, 5} b) {-2, -1,0,1,2,3,4, 5}
37. 42 38. 1 39. m = -3 en = -1 40. 99 41. x = 8
e) 2
e) 1,5
e) {x EO IR 1-2 ~ x ~ S}
42. S= {x EO IRlx ~ ~ au x> 2}
43. S = {x EO IR Ix < 0 au x;;;. 2}
44. S = {x EO IR Ix ~ -8 au -4 < x < 2}
45.18 46. {x EO IRlx> 1} 47. b
54. aSS. d 56. e 57. b 58. e
48. b
59. e
406
49. d
60. b
50. e 51. b 52. e 53. a

415. Capitulo 5 - FUNC;:AO DO 22 GRAU
1. a, b, f
2. a) m *4
3. a) m *3 e m * -3
4. a) 3
b) m = -3
b) m= 4
5. a)
1
2
b) 13
b)
1
2
c) 1
c) m = 3
d) 9-7,2
3
c) -
2
1 1
6. a) 3 0U 2
7. 19.310 UV
10. k > 5
11. a) Y = Sx2
- 14x + 8
12. f (x) = 2x2
- 6x + 4
13. 5
14. a) -9
15. Xv = 2
16. a) v(~ -~)2' 4
b) V(7, -9)
17. a) {y E IR IY;;. -16}
18. a)
5
b) 0 au "6
8. bed
b) y= _x2
+ 3x
b) -21
c) v(~ _...!..)2' 2
d) v( ~ ,~~ )
c) {rEIRIY;;.- ~~}
d) {yE IRIY~ 4}
c)
7
c) -"60u2
1
c) f (x) = 2 x
2
- X - 1
e) V(O,9)
f) V(2, -16)
e) {y E IR jy ~ O}
f) {y E IR IY;;. S}
2
o
-I
x
-I
-2
x
b) y d)
x
407
x

416. 19.
21. 7
22.3
23. P = -4 e q = -12
24. m = 2 ou m = 5
25. m = 0
26. c = R$ 675,00
27. x = 6
28. a) y = - x2
+ 3x + 340
29. a) depois
20.
(1,3)
(-2,0)
x
b) x = 1,5 em
b) 40
-2
e) y = 342,25 em2
x
30. a) S={1,9} b) S={0,6} e) S= {~} d) S={-4,4} e) S=0
31.a)1e5 b)-4 e)Oe2 d)5
32. a) x < 3 ou x> 5 => Y > 0; x = 3 ou x = 5 => Y = 0; 3 < x < 5 => Y < 0
b) x < -2 ou x> 4 => Y < 0; x = -2 ou x = 4 => Y = 0; -2 < x < 4 => Y > 0
5 5 5
e) x < 0 ou x > "2 => Y > 0; x = 0 ou x = "2 => Y = 0; 0 < x < "2 => Y < 0
d) x < 0 ou x> 4 => Y < 0; x = 0 ou x = 4 => Y = 0; 0 < x < 4 => Y > 0'
e) x < -3 ou x> 3 => Y> 0; x = -3 ou x = 3 => Y = 0; -3 < x < 3 => Y < 0
f) 'IX E IR => Y > 0
g) x = -2 => Y = 0; x oF -2 => Y < 0
h) 'IX E IR => Y < 0
i) x < -1 ou x > 2 => Y < 0; x = -1 ou x = 2 => Y = 0; -1 < x < 2 = Y > 0
j) x = 0 => Y = 0; x oF 0 => Y > 0
f) S= {;}
33. a) {XE IRlx< -20ux>6}
b) {x E IR 1-5 < x < -2}
e) {x E IR Ix ~ -4 ou x ~ 5}
d) {XE IRIO ~ x~ 2}
e) {x E IR Ix ~ -5 ou x ~ 5}
34. m> 6
35. -10 < k < 0
36. -~ < m < ~
2 2
f) {x E IR Ix ~ - 4 ou x ~ ~}
g) IR
h) 0
i) IR
j) {x E IR IxoF ~}
408
I) {3}
m)0
n) {x E IR 1-4 < x < -2}
0) {xElRlx~10ux~3}

417. b) f(O) = -5 c) f(x) tem valar minima, pais a = 1 > 0
b) Y = -x2
+ 4x - 4
38. a) {x E IR Ix < -2 au 0 < x < 1 au x> 5}
b) {xE 1R1-3 ~ x~ -1 au 1 ~ x~ 2}
c) {x E IRlx ~ ~}
d) {x E IR [-2 < x < 0 au 1 < x < 2 au x> 3}
39. a) {x E IR Ix ~ -+ au x ~ ~}
b) {x E IR 1-3 ~ x ~ 0 au x ~ 2}
c) {x E IR Ix = 0 au x> 1 ex*- 4}
40. a) m *- -5 em*- 5 b) m = -5
d) (2, -9)
d) m = 5
1
d) 5 au 2
c) y = x 2
+ X + 1
c) v(-f, ~ )
h) {x E IR Ix < 4}
g) {XE IRlx~ 6}
b) {xEIRI0<x~1}
e) {x E IRlx ~ - f au 1 < x ~ 2 au x > 5}
f) {x E IR Ix < 2 au x> 5}
c) 0
c) m < -5 au m > 5
c) -25 d) {y E IR IY ~ -25}
b) Im(f) = {rE IRIY ~ ::}
b) V(2,0)
b) {0,10}
b) 2
48. a) V(2, -1)
49.8
50.6
51. IR+
52. {XE IRlx< 1}
53.7
54. a) a = 1, b = -4, c = -5
e)
41. a) 18
42. 1m = {-1, 0, 3}
43. a) V(5, -25)
(
11 49)
44. a) 2'4
45. k = 2
46.8
47. a) Y = x2
- 4x + 3
37. a) {x E IR 12 < x ~ 3}
x
55. S = {x E IR 1-3 < x ~ -1 au x> 3}
56. a) m = 1 e n = 0
57. d 58. b 59. a 60. a 61. a
68. b 69. d 70. b 71. c 72. c
b) 5
62. d 63. a
73. e 74. d
64. d
75. b
65. e
76. b
66. b
77. d
67. a
409

418. Capitulo 6 - FUN(:AO MODULAR
1. a) y
x
c) e)
x
y
4
b) d)
x
-4
2. a) -2
3. a) y
b) 2
4. a) 3
c) 1
b) y c) IR+
5.
2
x
6. a) -6
410
b)

419. 7. a) h(x) = - Ix + 31
8.
9. a) h(x) = Ix
2
+ 4x + 31
10. a) 0
b)
x
b) h(5) = - 8
b) h(-1) = 0
c) 1m = IR_
c) h(-3) = 0
-3
c) 1m = {y E IR IY;;. -2}
11.lm={yElRly;;'4}
12. a)
2
b) 1m = {yE IRIY;;. 3}
13.
x
-I x
411

420. 14. a) S = {3, 5}
b) S = {~ ,~
15. a) S={1,2,3,4}
b) S={-1,4}
c) S = {- ~ , - ~} e) S = {- ~}
d) S = {~ , ~} f) S = {~, ~1}
c) S = {-1, 3 - ../2, 3 + ../2, 7}
{ r-2}d) S = 2, 6, 4 - 2, 4 +
g) S = {-14, 16}
h) S = {~}
c) S = {-5, -4,4, 5}
c) S= {x E IR [x ~ 2~}
b) S = {x E IR [x,,;;; 3 au x ~ 5}
c) S = {x E IR 1-4 < x < S}
d) S = {x E IR 1-+< x< ~}
16. a) S = f E IRlx ~ - ~} b) S = {x E IRlx,,;;; ~}
17. a) S = {3' ~} b) S = {4}
18. a) S= {;, S} b) S= {-4. ~}
19. a) S = {-6, -4,4, 6} b) S = {-2, 2}
20. a) S={xElRlx<-Saux>2}
b) S = {x E IR Ix,,;;; -1 au x ~ 7}
c) S = {x E IRlx < - ~ au x> 3}
21. a) S = {x E IR [x ~ 2 au x,,;;; -2}
22. a) S={xEIRI-14,,;;;x";;;6}
b) S={xEIRI-7,,;;;x";;;1}
c) S= 0
d) S= 0
23. a) S = {x E IR [0 < x < 2 au 4 < x < 6}
b) S = {x E IR I2 - 7 ,,;;; x,,;;; 1 au 3 ,,;;; x,,;;; 2 + 7}
c) S={xElRlx<3-.J14au1<x<5aux>3+ 14}
24. a) 0 = {x E IR 1-2";;; x,,;;; 2} b) 0 = {x E IR Ix,,;;; 0 au 2,,;;; x,,;;; S au x ~ 10}
25. a) S = {x E IR Ix ,,;;; - S au x ~ ~ e x 1= 3} b) S = {x E IR 1- ~ < x < - +e x 1= - ~}
26. a) S = {x E IR Ix < 1 au x > ~} b) S = {x E IR Ix,,;;; ~ au x ~ 2}
27. a) 9
e)
b) 2 c) 2
f) 1m = {y E IR Iy ~ 2}
g){xElRlx~O}
h) {x E IR Ix,,;;; -3}
d) 14
28. a) -2
-3 o
b) 2
x
c) -2
412
d) 2

421. 29. a) h(x) = Ix - 31 - 1
b)
30.
x
Verdadeiras: a, b, c, f.
31. a) S = {2 15 17 - ,/469 17 + .J409} b) S = {11)
" 2 ' 2
32. a) S={xEIRI-50<x<150}
b) S = {x E IR Ix < -1 au 2 < x < 3 au x> 6)
c) S = {x E IR Ix ~ -2 au x;;;. ~}
33. a) D = {x E IR Ix *' 2)
b) D = {x E IR Ix ~ -1 au x;;;. 5}
c) D = {x E IR Ix ~ 0 au 3 ~ x ~ 6 au x;;;. 9}
34. a) y
x
b) x = 2- au x = 5
4
35. S = {-2, -1, 1, 2}
36. S = {XE IRlx< -1 au x;;;. 3}
413

422. 37. S = 0
38. S={xEIR*I-1 <x<1}
39. S = {x E IR 1-1 < x < 0 ou x> 1}
40.
x
41.
42. e
53. a
43. c
54. e
44. a
55. d
45. d
56. a
46. a
57. e
47. d
58. e
48. e
59. a
49. c 50. a 51. d 52. b
Capitulo 7 - FUNC;:AO EXPONENCIAL
1. a) 125 d) ~ g) 2 .) 1 n) 1J -
16 8
b) 10000 e) 0,0484 h) JL I) ~ 0) 0,85
4 3
c) ~ f) ---±- i) ~ m) ~ p) 100
25 81 16 25 9
2. a) a7 d) a2 g) a7 j) ax2 + x n) 6
x
b) a4 e) a-2 h) a6 I) (a . b)2 0) (~ y
c) a7 f) aO = 1 i) a3x
m) (~ y p) a6
4 1 x+1 x 2x.,..1
(~ r;43. a) 2 5
b) 22 c) 10-2- d) 2 3
e) 3 5 f)
4. a) 2x
. 23 b) 52x . 5 c)
3x
d)
102x
e) 10°
32 10
5. b) (base: 5) e c) (base: +)
6. a) Crescente, pois a base 3,1 emaior que 1
b) Decrescente, pois a base ~ esta entre 0 e 1
3
c) Decrescente, pois a base 2-3 = +esta entre 0 e 1
d) Decrescente, pois a base 0,23 esta entre 0 e 1
e) Crescente, pois a base 'IT = 3,14 e maior que 1
f) Crescente, pois a base 3 = 1,73 emaior que 1
g) Crescente, pois a base .J2 + 2 = 1,41 + 2 = 3,41 emaior que 1
h) Decrescente, pois a base .J3 = 0,57 esta entre 0 e 1
3
414

423. 7. a)
o 1 2 3 x
c)
o 1 2 3 x
b) y d)
y
~
0-I x -I 1 2 x
8. a) -2 b)
3 c) 2 d) ~ e) 7 f) -3-
2 3
9. a) S = {4} c) S = {3} e) S = {- ~} g) S = {~} i) S = {- ~}
e) S = {x E IR Ix < 2}
f) S = {x E IR Ix ~ 3}
g) S = {x E IR Ix < 4 ou x> 5}
h) S = {XE IRlx~ -1 ou x~ 1)
c) S = {x E IRlx > - ~}
d) S = {x E IR Ix > -2}b) S= {XE IRlx~ -1}
16. a) S = {x E IR Ix > -3}
b) S = {3} d) S = {3} f) S = {~} h) S = {~}
10. a) S= {~} b) S= t~} c) S= {- ;O} d) S= {10} e) S= {3} f) S= {-8}
11.a)S={-1,O} b)S={2,6} c)S={-3,8} d)S={-2,2}
12.a)S={2} b)S={5} c)S={2} d)S={-2}
13.a)S={O} b)S={-1} c)S={4} d)S={-1,O,1}
14. a) S= {1} b) S= {a, 1}
15. a) S={xElRlx>4}
b) S = {x E IR Ix < 6}
c) S = {x E IR Ix ~ 4}
d) S={xElRlx<3}
415

424. b) ~
2
e) S = {x E IR Ix;;;. 3}
c) S = {x E IRlx;;;. ~}
d) S = {x E IR Ix < -2}
f) S={xElRlx<11}
g) S = {x E IR Ix ~ 2 ou x;;;. 5}
h) S = {x E IR 1-1 < x < 1}
c) S= {xEIRI-~ <X<2} e) S={xEIRI-2~x~2}
d) S = {x E IR Ix < -1} f) S = {x E IR Ix < 3}
c) V d) F e) F f) V
d) -4c) a
b) S={xEIRI-1 <x~2}
2~ ~ F ~ V
21. a, b, d, e, f
22. a) 8
19. a) S = {x E IR 11 ~ x < 3}
b) S = {x E IR Ix < -6}
18. a) S = {xE IR Ix < ~}
b) S = {x E IR Ix > 4}
c) S = {x E IR Ix < -1}
d) S = {x E IR 1-2 ~ x ~ 2}
17. a) S = {x E IR Ix > 4}
23. a) x = 2 ou x = 3 b) x < 2 ou x> 3 c) 2 < x < 3 d) -2 ou 2
24. a) S = {4} d) S = {3} g) S = {1:} j)S={1:} n) S = {;}
b) S = {~} e)S={-1} h) S = {1, 2} I) S= {1, -2} 0) S = {~}
c) S = {4} f) S= {;} i) S = {~ '2} m) S = {4}
b) S = {x E IR la ~ x < 2}
28. S = {x E IR I ~ ~ x< ~}
g) S = {2}
h) S = {a, 2}
g) S = {x E IR Ix < 1}
h) S = {x E IR 1-8 ~ x ~ -3}
i) S = {x E IR Ix ~ -8 ou x;;;. -2}
c) S= {xEIR1i<x< ;}
d) S = {x E IR I+< x< ~}
c) S = {3} e) S = {4}
d) S = {-1} f) S = {2}
d) S = {x E IR Ix< - ~}
e) S = {x E IR 1-4 < x < 2}
f) S={1}
b) S = {x E IR Ix > 5}
c) S = {x E IR Ix < -4}
25. a) S = {5}
b) S={1}
26. a) S={xElRlx~a}
27. a) S= {XE IRlx> 1}
29. X= aey= -1 30. 64 31. S= {(-1, 1)} 32. 1a 33. {~} 34. d 35. e
36. a 37. a 38. e 39. a 40. a 41. a 42. e 43. e 44. a 45. d 46. c
47. c 48. e 49. e 50. d 51. b 52. e 53. d 54. a 55. c
CapItulo 8 - LOGARITMOS
1. a) x = 5
2. -3
3.4
b) X= 2
1
c) X=-
2
d) X= 2
11
4. a)
4
b) 1
3
416

425. 5. a) 15
6. a) 64
1
b) 81
b)
7-
2
c) 8 e) -!3 9)
1- -
2 2
d) 10000 f)
2'/10 h) 3
5
c) 1
i) 3 au 9
j) :,:'6
2
I) -5 au 2
m) 2 au 6
f) S = {60}
d) S = {2, 1Z'2}
e) S = {8}
c) S = {9}
d) S = {6}
b) S = {5, 8}
b) 1
b) S = {~ , 27} c) S = {1, 64}
b) S = {- ~} c) S = {5} d) S = {O}
e) S = {4} 9) S = {3} i) S = {~}
f) S = {10} h) S = {1}
c) S = {10} d) S = {7}
c) 8 d) 2 e) 4
8. a) S = {O}
7. a) S = {2, 16)
9. a) S = {4}
b) S= {~}
10. a) S = {2}
11. a) 0
12. a) 4 b) 2 c) 36 d) 8
5
e) 9 f) 16 9) 10 h) 6
13. a) 5a2
14. a) S = {4}
15. a) S = {-1, 8}
b) 8
b) S= 0
b) S = {28}
c) 3
c) S = {-2, 1}
d) a + b
d) S = {6}
16. a) 109310 + 10939
17. a) 109340
2
b) 1094 - + 10945 + 10947 c) 1093 + 109 a + 109 b
3
b) 1094 2 c) 109 (x2
- 25) d) 1095 (x2
- 2x - 3)
25. a) 1095 8 - 1095 9 c) 109(a + b) - log c
x-2
d) 109--
x + 2
23. a = 5 e b = 2
d) S = {8}
1 000
c) 1094 _x_
x+2
b) 109 2-
2
19. E = 12x + 6 20. 2 m 21. m + n 22.
b) S = {8} c) S =~, ~1}
b) 10931 - 10934 = -10934
18. P = 10 h
26. a) 1093 3 = 1
24. a) S = {10}
27. a) 1092 a + 1092 b - 1092 C
b) 1095 a - 1095 b - 1095 C
c) 1092 + 109 b + 109 c - 1093 - 109 a
28. a) 1092 ~
7
b) 1094
x2
- x
x + 1
29. 10
3
4'lTr3
30. S=--
3
31. -x
33. a = 10 e b = 5
d) ~ .10925 e) 2 109 1 ~
3 2 4
32. ~ = 16
b
35. a) S = 0
36. a) S= {-1'-~}
37. a) 310942 = ~
2
b) S = {25}
b) S = {1}
b) 210957
c) S= 0
c) S = {1}
c) -log4 3
34. 1
d) S = {7}
d) S = {-1, 1}
417

426. 38. a) 10958 b) 109316 c) 109
1
e1) log 4
2
39. a) log N 2 log a I 310g b log c c) log N
1
log 2 I log a log 5 310g b
2
b) log N 1 I 4 log a 2 log b e1) log N log 4 I 5 log b I 2 log c 3
log a
5
41. a) x I y
40. a) P 108
1
b) log 2
42. a) S {4}
43. a) 1.079
44. a) 0.477
b) P 9 c) P 200 e1) P 10 e) P
1
f) P 4 2
5 25
b) x c) 3x e1) 2x I 3y e)
1
f) 4 x
Y
2 2
b) S {3.5} c) S {2} e1) S {15)
b) 1.005 c) 0,083 e1) 0.699 e) 2.796 f) 4.770
b) 1.380 c) 1,176 e1) 1.556 e) 1,903 f) 0.065
1
log 25
. log 3
c) e)
2
log 2 log 6
e1)
log 25
f)
log 8
log 2 log 2
log 7
log 5
45. a)
46.
a
eI) 0.63847. a) 0.638
48. 1
2
49. log27
50. 1
51. 9
52. a) S {15}
53. a)
b) 1,567
b) S {5}
c) 0,638
c) S {4} eI) S {6}
c)
e) S {2} f) S {3}
2
- 1 - - - - - - - - . -...
9 x
b)
418

427. i) D = {XE JRlx"* 3}
h) 0 = {x E JR 12 < x < 4}
f) D = {x E JR Ix < -4 au x> O}
g) D = {XE JRI-2·J2 < x< 2.J2}
c) -1<a<OauO<a<"
c) 6
54. Crescentes: a, c, e; decrescentes: b, d, f
55. a) a > 3 e a "* 4 b) a < 2 e a "* 1
56. a) 1 024 b) 1
57.4
58. Verdadeiras: a, c, d, f; falsas: b, e, g, h
59. a) D = {x E JR Ix > -4}
b) D = {x E JR Ix< ~}
c) 0 = {x E JRlx < - ~}
d) D = tE JR Ix > ~}
e) D = tE JRlx < - ~ au x> 2} j)D=JR
60. a) 0 = {x E JR Ix > 3 e x "* 4}
b) D = {x E JR Ix > - ~ e x "* - ~}
c) 0 = {x E JR 13 < x < 4 au x> 4}
d) 0 = {x E JR 11 < x < 2 au 2 < x < 4}
61. a) D = {x E JR Ix < -M au - 10 < x < -3 au x> 5}
b) D = {x E JR 11 < x < 2}
62. a) S = {x E JR Ix > 14} {
99 1}d) S = X E JR 1-2 .,:; x < 2
b) S={xEJRI+<x< 6
3
5} e) S={xEJRI-3<x<1}
c) S = {x E JRlx;3 ~} f) S = {x E JRlx < ~~}
63.0 = {xE JRI2 < x":; 12}
64. a) S = {x E JR 1-4 < x < -3 au 0 < x < 1}
b) S = {x E JR' 1-4 < x < 4}
c) S= {x E JRI-+.,:; x < 0au ; < x.,:; 3}
65. a) S = {x E JR 1-2 < x.,:; 3} b) S = {x E JR 13 .,:; x < 9}
66. a) S = {x E JR IX;3 7} b) S = {x E JR 17 < x.,:; 10 au X;3 19}
67. a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
68. a) 1 000 b) 2,01 c) 16 d) 4 e) ~
4
f) 2
d) 0 = {x E JR Ix < 3 au 4 < x < 6 ex*- 5}
c) 25 d) 2
c) 0= {x E JRlx < +au x > 2}
69. a) 10 b) 128
70. S = (6}
71. a) D = {XE JRlx< 4}
b) D = {x E JR Ix > +e x "* 1
72. a) 1,86 b) 0,74
73. a) 2a + 3b b) 1 - b
2
c) 0,7
c) 2 - 4b
d) -0,9
d) 1
a
e) 1,6
e) ~
b
419

428. 75. xyz = 874. 5
2
76. a) S= {2;} b) S={-2,6} c) S={5} d) S={3} e) S={2} f) S= {3
7
9}
77. a) S={XEIRI~ <X<6} c) S={XEIRx";;-50ux;;'1} e) S={xElRlx>7}
b) S={XEIRIX> ~1} d) S={xElRlx>13} f) S={xEIR18<x,,;;10}
78.27 79. S= {(1, 3), (3, 1)} 80. {XE IRIO < X< 1}
81. a) a,,;; 1 b)a=1ex=2
82. x = 10 ou x = 100
83.4
84. 180 r=-
85. x = a'z
86. S = { --I3, .J3}
87. a) S = {x E IR 14,,;; x,,;; 12}
88. c 89. c 90. c 91. e 92. b
99. d 100. c 101. e 102. e 103. c
b) S = {x E IR [3 < x < 4 ou X> 12}
93. d 94. e 95. e 96. e 97. e 98. c
104. e 105. e 106. b 107. c 108. a 109. a
Capitulo 9 - CALCULO E APLlCAC;OES DOS LOGARITMOS DECIMAlS
b) 2,4211
d) 3
c) = 35 anos
c) 44 anos
c) 2,73688
d) -0,455932
c) 0,954243
c) 7
-0,061 981 e) -1,545 16
d) -0,14272
d) 0,876
d) 1000
d) -4
e) -1
c) = 23 anos e meio
c) 23 anos
41. e 42. d 43. c
d) 3
40. d
c) 3,544068
c) 2
c) 2,024321 d)
c) 4,66117
c) 9,2909
c) 17
c) 6
b) = 500 000
b) = 4 370
38. a 39. b
b) 29
b) 2,544068
b) 1,892095
b) 85
b) 3,561697
b) 8,20111
b) 65,8
b) 38,4
b) -2
b) -2
1. a) 2,456 37
2. a) 5,65599
3. a) 879
4. a) 1 846
5. a) 3
6. a) 1
7. a, d, e
8. a) 0,544068
9. a) 2,878522
10. a) 804
11. a) 7
12. 2
13. a) 1,76714 b) 0,9491277 c) 3,079181 d) 1,40407
14. a) 3,361 936 b) 3,287505 c) 2,708293
15. a) = 3,9 b) = 184,3 c) = 48,9
16. a) log 0,536 = -0,270835 ou log 0,536 = 1,729165 caract -1 e mantissa 0,729165
b) log 0,036 = -1,443697 ou log 0,036 = 2,556303 caract -2 e mantissa 0,556303
c) log 0,001 25 = -2,90309 ou log 0,001 25 = 3,09691 caract -3 e mantissa 0,09691
17. a) = 0,365 b) = 0,0042
18. a) 3,69597 b) 6,86239
19. = 64,77 dB 20. = 123 dB
21. a) = 586755 b) = 463095
22. a) = 989233 b) = 1 630969
23. a) = 0,0288 b) = 6 163
24. a) R$ 89.110,32 b) 6 anos (arredondado para cima)
25. a) = 535 gramas b) = 440 gramas
26.0,4154 27.1177 28.5,6322 29. a) =5
30. a) 3 b) 2 c) 3
31. Entre 10° e 101
32. a) = 830 540
33. a) 0,05
34. d 35. a 36. d 37. a
420

429. Capitulo 10 - NOC;:OES SOBRE MATEMATICA FINANCEIRA
b) a partir de 47,06% ao mes
57. a 58. a 59. e 60. b
b) 8%
b) 30% foi 0 aumento para Pedro
c) R$ 11.520,00
d) R$ 11.880,00
b) 15% ao mes c) 15% ao mes
b) RS 7.398,40
b) 9 dias c) 20 meses
b) R$ 80.000,00
1,5 d) 5,4 e) 18
c) 25%
b) R$ 15.120,00
b) RS 175,00
d) 25 e) 30
b) 800000
62. d
f) 4,5%
61. d
f) 0,675
d) R$ 759,42
d) RS 79.860,00
d) R 120.000,00
d) 0,4% ao dia
c) 576
e) R$ 7.200,00
f) R$ 3.240,00
d) 1% ao dia
c) RS 6.656,00
d) 5 meses
c) RS 72.000,00
c) 120
c) R$157,06
c) R 60.360,72
c) RS 30.000,00
b) 3 dias
b) 2 dias
c) 7% a.m.
b) 25%
b) 270
c)
b) 1%
c) 5,76
b) R$ 78.647,76
b) R$ 200.000,00
b) 9% a.m.
b) 14400
b) 25
b) R 720,001. a) 75
2. a) 42%
3. a) I~$ 2.880,00
4. R$ 132,00
5. 10,5%
6. a) na loja 8
7. Mesma coisa.
8.25%
9. a) 240
10. a) 200 000
11. R$ 74,00 e foi pago R$ 55,50
12. R$ 27,00
13. R$ 150,00
14.6%
15. a) R$ 61.560,00
16. a) As faltas de Antonio correspondem a 5%
17. Ficam menores em 1%
18. RS 20,00
19. R$ 645 000,00
20. = 0,25063%
21. Aproximadamente 315,24%
22. a) 24%
23. 100 Iitros
24. a) 360
25. de 4%
26. a) R$ 14.400,00
b) R$ 4.680,00
27. a) 10% ao mes
28. a) R$ 9.280,00
29. a) 4 meses
30. a) R$ 36.000,00
31. 12,5% ao mes
32. 10 meses
33. a) R, 69.984,00
34. a) R$ 12.000,00
35. a) 4 meses
36. a) 2 meses
37. a) 10% a.m.
38. a) 0,96
39. R$ 33.800,00
40.25%
41. 33,1%
42. 33,4%
43. b, d, e
44. a emelhor
45. 20% ao mes
46. 35,01%
47. a) isento b) R$ 38,58
48. No minimo R$ 150.375,94
49. 50 litros
50. R$ 6.000,00
51. a) Melhor antecipado com desconto
52. e 53. c 54. d 55. b 56. d
63. a 64. b 65. d
421

430. d) x = 16,43, Y = 22,25 e z = 24,37
e) x= 15,y=26,67ez=33,34
f) 4
Capitulo II - TRIGONOMETRIA NO TRIANGULO RETANGULO
1. a) x = 20, Y = 21,33 e z = 26,66
b) x= 19,2, y= 10,8 e z= 14,4
c) x = 2,65, Y = 2,34 e z = 3,54
2 a) L$ b) 2$ L. 2
L$
3. 2
2$ h
4. 3
5. 9,12,15
6.72 m
3 4 3 4 3 4
7. a) sen A = 5' cos A = 5' tg A = 4' sen C = 5' cos C = 5' tg C = 3
2 . j 2 2 ,2
b) sen 8 = -2-' cos B = -2-' tg B = 1, sen C = -2-' cos C = -2-' tg C = 1
c) sen A = 0,6, cos A = 0,8, tg A = 0,75, sen B = 0,8, cos B = 0,6, tg B = 1,33
2$ $ $ 1 rr>
8. a) sen B = -5- , cos B = -5- , tg B = 2 b) sen C = -2-' cos C = 2' tg C = ,,3
3
9. 5
10. 22 em e 16,5 em
11. (30 + 15 2) em
3
12. a) 8 b) 0,2831 c) 0,5
13. a) 0,5299
14. a) cos Ct =
b) sen a. =
c) sen Ct =
b) 0,961 3 c) 0,3256 d) 0,9483 e) 0,7236
,'3 $ 1 ,3
-2-' sen 13 = -2-' cos 13 = 2' tg a. = -3-' tg 13 = ,3
2 $ $
-2-' cos a. = -2-' sen 13 = -2-' tg Ct = 1, tg 13 = 1
4 3 4
5 ' cos Ct = 5' tg Ct = 3
f) 0,1928
15. 240 m e aprox. 207,8 m
16. aprox. 141,96 m
17. 30 em
18. 50 m e aprox. 43,3 m
19. 1 000 m
20. aprox. 433 m
21. a) = 0,5446
22. a) = 0,9063
23. a) = 36°
24. a) = 0,6293
25. a) = 0,7431
26. a) = 0,3894
27. a) = 0,5807
28. a) = 0,7373
29. a) = 0,4769
30. a) = 96 m
31. a) Ct = 75°, x = 104 em e y = 104 em
422
c) = 0,3249
c) = 1,0724
c) = 55°
c) = 0,5543
c) = 1,0724

431. 32. a) x= 17,34 em
33. = 21,65 m
34. = 56,8 m
b) x= 44°
36. a) 0 menor mede 15,3 em e 0 maior, 20,4 em
37. a) 3,4
38. a) = 26 m
39. a) x = 20 em, Z = 20 em e y = 14,64 em
40. a) = 53,6 m
41. a) = 187 m
42. = 22,78 m
43. a) = 1,43 m
44. 5,40 m
45. = 6]0
46. x = 92 m, y = 58 m e IX = 80°
47. a = 95 m, ~ = 55° e 8 = 65°
48. a) rumo 15
49. uma mede b, outra mede C, e outra mede C
50. a) h = d . sen Ct
51. a)
b)
4-
5
b)
25
12
b) = 52 m
b) = 22,11 m
b) = 194 m
b) = 1,68 m
b) poueo mais de uma hora e meia
. sen B ou b . sen C
b) d = 2 m
b) 20,5 m
'~"I-d--1,~4m
52. b 53. e 54. b 55. d 56. a 57. e 58. a 59. d 60. e 61. d 62. b
63. e 64. b 65. e
d) 3'li rad
4
d) - ~ rad
2
d) 2'li rad
3
d) 12°
b) ~ rad e) ~ rad
6 4
b) 135° e) 210°
b) aprox. 57°
b) aprox. 43° e) aprox. 115 em
b) 3750 voltas
b) 120° e) ~ rad
8
b) -(179°36') e) - ~ rad
3
Capitulo 12 - TRIGONOMETRIA - ARCOS E ANGULOS
b) 12°30' e) 67°30'
b) 183°
b) 52°30'
11. a) -296°
1. a) 120°
2. a) 120°
3. a) 20°
4. 4h 20min
5. a) ~ rad
3
6. a) 120°
7. a) aprox. 0,01745 rad
8. a) aprox. 4,19 em
9. a) 12560 m
10. a) 54°
12. a)
b)
e)
13. a) - 13'lT rad
8
1g determinagao positiva e260° e 1g determinagao negativa e -100°
1g determinagao positiva e280° e 1g determinagao negativa e - 80°
1g determinagao positiva e 13'li rad e 1g determinagao negativa e - 3'li rad
8 8
d) 19 determinagao positiva e 3'lT rad e 19 determinagao negativa e- 5'lT rad
4 4
b) 7'lT rad
6
423

432. 14. a) -2150
15. 350 voltas
16. 5h 30min
17. a) 122
18. 5,03 em
19. = 229,3 em
20. a 21. e 22. d 23. a 24. e
b) 1200
b) 695
Capitulo 13 - FUNC;OES TRIGONOMETRICAS
1
1. a) 4
2. a, b, d, e
3. a) D(f) = IR
Im(f) = [-3,3]
perfodo = 2"IT rad
b) ~
2
e)
1
2
d) - ~
b) D(f) = IR
Im(f) = [-3, -1]
periodo = 2"IT rad
e) 5
4
-3
1
...-_--'p:.::e:.:;riO:.:d:::.-O.::.:2'IT - - .,
'IT 37T
"2 'IT "2 2'IT
X 0 x
Conjunto- I
imagem
-2
Periodo 21i
-4. a) D(f) = IR e im(f) = [-1, 1]
2"IT
5. a) rad
7
6. a)
y
b) D(f) = IR e Im(f) = [-1, 1]
b) 10"IT rad
e) D(f) = IR e Im(f) = [-1,1]
e) 4"IT rad
3
I - - - - - - - - - - - - - Y";;'-"'-- - -..;--;.:>.-,-- - - - - - - - - - - - - -,- - - - - - - - - - - - r -
o
,
-I --------------------"
I
b)
-I -
I
, 27T
x
424

433. 7. a) ±: 6
5
b) ±: 12
x
41T rad
3
c)
Periodo 2'IT
161T rad
3
'IT
2"
o
b)
'jI - - - -1- - - - - - - _--~~_
,
, , '_I - - - - .1- - - - - - - - _ ~ - ~ - - .t - - - - - - _•..,.--........-~
,,
'~
Conjunto
imagem
8. a) 21T rad
9. a)
Im(f) = [-1, 1], periodo = 21T rad
b)
Conjunto
Imagem
'j1 -
o
-I --- ---
,
, ,
---l- ----I
'....' ~_...:.P-=erc.:.:io:.=d:=..:o21T :
3~
Im(f) = [-1, 1]
periodo = rad
Im(f) = [0. 4]
periodo = 21T rad,'IT
,'IT
2"
o
Conjunto YjImagem
,------- 4--
-'IT
T Periodo 2'IT
--------------.;
c)
10. a)
1
eb=
3 7 5
ec=±:3a= - b) a = - - b = -
2 2 2 ' 2
11. a)
3
b)
1
c)
1
d)
1
e)
1
f)
1
- -
4 2 4 2 4 2
425

434. 12. a)
2 b)
2
c)
1
d)
1- - -
5 5 5 5
13. a)
12 b) -~-
5 5
14. C, f
15. a)
1 --
o
-I
-2
-3 -
b)
y
o
1T
2
_L _
Periodo 21T
1T
,,
,
- -- - -.,
x
D(f) = IR
Im(f) = [-3, 3]
perfodo = 2'11" rad
x
-I ----------~~
-2 --- -- - -
-3
+--
Periodo 21T
,
--~I-----------.,
,
,
D(f) = IR
Im(f) = [-3, -1]
perfodo = 2'11" rad
16. a) ~ rad
4
17. a)
y
1
b) 2'11" rad
5
c) 6'11" rad
5
d) 8'11" rad
o
-I
1T 61i X
Im(f) = [-1, 1]
perfodo = 6'11" rad
- - Periodo 61T
426

435. b) (Iembre que cos (-3x) = cos (3x))
y
18. a)
Perfodo 27T
3
Im(f) = [-1, 1]
2'IT
perfodo = rad
3
b)
I -
Conjunto
im.gem -I
-2
-3
y
Conjunto 3
Im.gem
2
7T
Periodo 2'ii
- Im(f) = [-3, 1]
perfodo = 2'IT rad
o 7T
"4
1T 31i iT 57i
"2 "4 "4
Periodo'IT
3ii
"2
x Im(f) = [1,3]
perfodo = 'IT rad
19. a) ~ E IR 1- ~ ~ p ~ ~}
b) ~ E IRI-+ ~ p ~ ~1}
c) (p E IR t 0 ~ p ~ 4 ou 6 ~ P ~ 10j
427

436. 20. a) {k E IR I ~ ~ k~ ~1}
21. a) 2 b) 1
3 5
22. ~
6
b) {k E IR I k ~ 3}
c} _ 2
5
d) -0,5
24. a) D(f) = {x E IRlx"* ~~ + krr, k E Z}
b) D(f) = {x E IRlx"* ~; + k; , k E Z}
23. a) '1T rad b) 2'1T rad c) 3'1T rad d) 2'1T rad
2
c) D(f) = {x E IRlx"* -;'1T - k3'1T, k E Z}
d) D(f) = {x E IRlx"* ~~ + k· 3; , k E 1
25. a) m = ±1 b) m = ±4
26. a) D(f) = {x E IR Ix"* 4; + k· 2; , k E Z} e perfodo = 2;
b) D(f) = {x E IRlx"* -~'1T - k5'1T, k E 1e perfodo = 5'1T rad
3c) m = ±-
2
rad
c) 32 au 42 quadrantes
f) ,3
2
27. a) 12 au 32 quadrantes b) 22 au 32 quadrantes
28. a) -,/rj c)
5
e)
1
3 4 5
b)
1
d)
3
f)
-3,5-
3 2 5
29. a, b, e, f
30. a)
4
b)
,7 c)
_ ,3
d)
1
- -
5 4 2 2
g)
,7
7
h)
-8,7
7
e) _ ,3
2
i)
1
10
31. a)
f7 .J7 d) .J26sen x = -'-'- e tg x = -
4 3 5
3 -3,'14 ,70
b) - e) cos x = e sen x =14 14 14
c) -J63 f) - ,41
41
32. a) m = - ~ , com x do 32 quadrante, au m = 1, com x do 12 quadrante
b) m = 1, com x do 12 quadrante, au m = -1, com x do 32 quadrante
c) m = ~, com x do 42
quadrante, au m = - ~ , com x do 22 quadrante
2 2
33. demonstra98.o
1 ,/rj _,3
34. a) sen 1500
= sen 300
= 2"' cos 1500
= -cos 300
= --2-' tg 1500
= -tg 300
= 3
b) sen 3; = sen : = +,cos 3; = -cos : = - ~ , tg 3; = -tg : =-1
c) sen 1 2000
= sen 1200
= sen 600
= -J3 cos 1 2000
= cos 1200
= -cos 600
=
2 ' 2 '
tg 1 2000
= tg 1200
= -tg 600
= -.;3
428

437. d)
17'IT 5'IT 'IT
sen - - = sen - = sen -
6 6 6
1 17'IT
2' cos 6
5'IT 'IT
= cos = -cos
6 6
3
-2-'
tg 17'IT = tg 5'IT = -tg ~ ,T3
6 6 6 3
35. a) cotg 120° = - cotg 60° = - .j3 ,sec 120° = - sec 60° = -2, cossec 120° = cossec 600 = 2,3
3 3
b) cotg 4'IT = - cotg ~ sec 4'IT = - sec ~ cossec 4'IT = cossec ~
5 5' 5 5' 5 5
c) cotg (-240°) = cotg 120° = -cotg 60° = - ~ , sec (-240°) = sec 120° = -sec 60° = -2,
cossec (- 240°) = cossec 120° = cossec 600 = 2" 3
3
36. a) N = 1 b) N= - ~
2
37. a) sen 240° = -sen 60° = - ~ cos 240° = -cos 60° = - ~ tg 240° = tg 60° = ,3
2 ' - 2 '
8'IT 'IT 8'IT 'IT 8'IT -_ tg ~
b) sen 7 = -sen T' cos 7 = -cos T' tg 7 7
1 _ ,3
c) sen (-150°) = sen 210° = -sen 30° = -2' cos (-150°) = cos 210° = ,cos 30° = 2'
tg (-150°) = tg 30° = .j3
3
d) sen (560°10') = sen (200°10') = -sen (20°10'), cos (560°10') = cos (200°10') =
= -cos (20°10'), tg (560°10') = tg (200°10') = tg (20°10')
38.2
39. a) sen 690° = sen 330° = - sen 30° = - +,cos 690° = cos 330° = cos 30° =
b) sen 15
4
'IT = -sen 'lT
4
- -J2 cos 15'IT = cos ~ = ,,2
2' 4 4 2
3-
c) sen (-60°) = -sen 60° = -T e cos (-60°) = cos 60° = ~
d) sen (- ; ) = -sen ( ; ) = -+,e cos (- ; ) = cos ( ; )
,3
2-
- 340. a) N = -"12 +-
2
b) N = ,2 - 2 c) 1 + 2,3 d)
3+,2
2
d) -1
g) -1,3456
h) -0,3420
c) a = 30°, f3 = 30°, x = Y = 37,53 m
3
46. a) 1,2 b) 2
c) cos x - sen x + tg x + cotg x
e) -0,9397
f) 0,2867
b) 200,76 m
d) -~ rad
3
c) 40°
b)
b) - ; rad
(-cos x - 2 sen x)
(5 sen x)
42. a) 0,6820 c) -0,6248
b) -0,4540 d) -1,3456
43. a) -5,021 4 b) 37,846
44. a) a = 105°, x = 36,60 cm, y = 25,88 cm
45. a) ~ rad
4
41. a) sen x - cos x
47. a) 1,1 b) 3,55
55
'IT
48. a) 6 rad b) 'IT rad c) 'IT rad d) ~ rad
2
429

438. 50. a) D(f) = {x E IRI 1~ ~ x ~ ~
b) D(f) = {x E 1R1-,'2 ~ x ~ ,'2}
49. a) 14°
6 + 5 3
b) 10
c) D(f) =
4
c) -
3
{xEIRI-4~X~ -;}
57. a, d, e 58. 12
53. a) 2 + ,3 b) - 2
64. A = 4 sen x - 2 sen x . cos x
69. a 70. a 71. c 72. a
80. b 81. e 82. a 83. d
63. demonstravao
66. b 67. a 68. c
77. a 78. a 79. c
c) {x E IRIx= 3; + k 3; , k E ~
65. -2 sen x
73. e 74. a 75. b 76. e
84. c 85. e
c)
4$ + .ffO
d) 4-~
10 4
c) 4
5
55. sen2
x54. 3"
59. x = 3 au x = -1 60. 5
b) a = 4 e b = 1
b) y= -~ rad
6
4
62. a) 3"61. cos t· cotg t
52. b, d
7
56. -5
'IT
51. a) y = - 4 rad
Capitulo 14 - FORMULAS DE TRANSFORMAC;:AO
3. a) 1 b) 1
4. a) sen (a + b) = 0 e cos (a + b) = 1
-3 - 4 3
b) cos (a - b) = 10 e sen (a - b) =
b) 22 quadrante
)
,'Ef - ,"2
c 4
4 - 3,'3
10
-/6+...ff
c) 4
,3
f) 2e) 1
d) -9c) 0,2
d) 3,7
8
c) -1
b) --.-!-
22
7. a)-~
2
3 - .J2f
b) 8
-/6-...ff
b) 4) -/6 - ...ff
5. a 4
~-1
6. .J8 + $
3$ - .ff
1. a) 8
2. a) 32
quadrante
8. a) 2 - $ b) 2 - V3
1
10. a) tg (x + y) = -1 e tg (x - y) = 7 c) tg (x + y) =
2 +$ ...ff-~3
1 - ,f6 e tg (x - y) = 1 + 6
b) tg (x + y) = 1
9
9 e tg (x - y) =
1
21
11. a) -$
2
7
b) 25 c)
117
125
d) 1 e)
12
5
4.J2f
12. a) 25 b) 2-
8
5
c) -
12
24
d) 7
13. a) 12 quadrante b) 42
quadrante
430

439. c) periodo = ; rad e Im(f) = IR
d) perfodo = 4'IT rad e Im(f) = [-1, 1]
14. a) perfodo = 'IT rad e Im(f) = [-5, 5]
b) perfodo = 'IT rad e Im(f) = [-1, 1]
,TO ,,'15
15. a) 5 b) 5 c)
d} ,3
2
1
e) -
2
f) - 3
,'516. a) 5
b) 2,'5
5
~2 '3 a
17. a) sen ~ = sen 15° = 2' e cos 2 = cos 15° =
,2 + ,'3
2
d) -
3
20. ) ,3 b)
1- a - - -
4 2 2
c) y = 2 sen ( 3; ) cos (7; )
d) Y = 2 sen ( 3: ) sen (; )
e cos f = cos 22°30' = ,2 +2,2
-,'2 - ,'3
2
b) sen
a
= sen 22°30' =
...,/2 - ,'2-
2 2
a 2+ 3 a
c) sen - e cos -
2 2 2
a 13 + 2,113
18. cos 2 = 26
19. a)
4
b) -
3
c) -
4- - -
5 5 3
21. a) y = 2 sen 7x cos 3x
b) Y = 2 cos 4xcos 3x
22. a) N = 2 sen ( : + 3X) cos ( : - 3X)
b) N = 2 sen2
x
c) N = 2 sen (x + ;) cos ( ; ) au N = 2 cos
2
( : - ~ )
d) N = 2 cos ( : - ~ ) cos ( ~ - : )
23. a) y = 2 sen ( : - x) cos ( : - 2X) c) y = 4 cos (2x) sen (7x) cos x
b) Y = 2 sen (3X - : ) cos (2X + :) d) Y = 4 cos x sen (4x) sen (2x)
b) N = cos 6x - cos 2x24. a) N = cos 12x + cos 4x
25. -~
7
26. Valor maximo = 2,5 e valor minima = -2,5
c) N = sen 10x - sen 6x
34.1 35. e 36. a 37. a 38. a 39. c 40. c
b) S = 3(,'6 - 2) unid. de area
27. - 3
28.0
29. a)
3 b)~
2 2
31. 5 32.7 33. 63
16
41. a 42. b 43. a
52. b 53. a 54. d
44. d
55. d
30. a)
45. c
56. b
6 - ,'2
4
46. c 47. a 48. b 49. b 50. c 51. d
431

440. Capitulo 15 - EQUAC;:OES E INEQUAC;:OES TRIGONOMETRICAS
1. a) S= ~ E IR Ix = 3; + k2'IT au x = : + k2'IT, k E :l}
b) S = Ix E IRlx = 5'IT + k2'IT au x = 7'IT + k2'IT, k E :lL. l 12 12 J
c) S = {x E IR Ix = k'IT, k E :l}, respasta equivalente a:
S = {x E IR Ix = k2'IT au x = 'IT + k2'IT, k E :l}
d) S = ~ E IR Ix = 4; + k2'IT au x = - ; + k2'IT, k E :l}
e) S= ~ E IR Ix = ; + k2'IT au x = 3; + k2'IT, k E :l}
f) S = ~ E IR Ix = ; + k2'IT, k E :l}
2 ) S = Ix E IR Ix = 5'IT + k· 2'IT au x = ~ + k· 2'IT k E :lL. a l 24 3 8 3' J
b) S = ~ E IR Ix = ~; + k2'IT au x = ~ + k2'IT, k E :l}
c) S = ~ E IRlx = ; + k2'IT, k E :l}
d) S = Ix E IR Ix = 5'IT + k'IT au x = 5'Ti + k . ~ k E :lLl 12 48 4 ' J
e) S= {; , 5;}
f) S = { ; }
3. 600
au 1200
4 ) S = Ix E IR Ix = ± 37T + k· 27T k E :lL. a l 20 5' J
b) S = ~ E IR Ix = ± 2; + k· 2; , k E :l}
c) S = ~ E IR Ix = ± ; + k . 2'Ti au x = k . 2'Ti, k E :l}
d) S = { : ' ~;}
e) S = {;}
5. a) S = ~ E IR Ix = ; + k· ; , k E :l}
b) S = {~~ , ~~}
c) S = f E IRlx = ; + k'Ti, k E :l}
432

441. {
'IT ;LS = x EO IR Ix = - 8 + kTI, k EO ~
d) S = {x EO IRlx = 1;; + k'IT, k EO;E}
e) S = f EO IRlx = - 1~ + k· ; , k EO ;E}
f) S = 0 EO IR Ix = - ; - k'IT, k EO ;E} mesma que:
S = 0 EO IR Ix = k· ~ au x = ; + k'IT. k EO ;E}
b) S = Ix EO IRlx = _2.. + k . 2.. au x = 2.. + k . ~ k EO ;E}
L 8 2 4 3'
c) S = Ix EO IRlx = ~ + k· 2'IT au x = 2.. + k· 2'IT k EO ;EL
L 20 5 4 3' j
d) S = f EO IRlx = 1~ + k· ~ au x = ; + k'IT, k EO ;E}
e) S = 0 EO IR Ix = k'IT au x = ~ + k· ; , k EO ;E}
f) S = 0 EO IR Ix = ; + k2'IT au x = ; + k· 2; , k EO ~
S = 0 EO IR I ~ + k2TI ,,;;; x,,;;; 3: + k . 2TI, k EO ~
b) S = Ix E IR I 5'IT + k2TI ,,;;; x,,;;; 7'IT + k2'IT, k EO ;EL
L 4 4 ., j
) S = Ix EO IR Ik· 2'IT ,,;;; X ,,;;; 2.. + k : 2TI k EO ;EL
c L 5 5 5 ' j
d) S = 0 EO IRlk2'IT ,,;;; x,,;;; 7; + k2TI au 1.~~ + k2'IT ,,;;; X < 2'IT + k2'IT, k EO z}
S = Ix EO IRlk· 2TI ,,;;; X ,,;;; ~ + k· 2-r. au 5TI + k· 2'IT ,,;;; x,,;;; 7TI + k. 2'IT au
L 3 18 3 18 3 18 3
11'IT + k. 2'IT ,,;;; X < 2'IT + k. 2'iT k EO ;E}
18 3 3 3 '
b) s=IxEOIRI~";;;x,,;;; 5'IT au 7TI ,,;;;x,,;;; 11'IT}
L 24 24 24 24
c) S = fx EO IRI~ + k· 2'IT < X < 2'IT + k· 2'IT au
L 15 5 15 5
4'IT + k. 2'IT < X < ~ + k. 2TI k EO ;EL
15 5 3 5' j
S = 0 EO IR Ik2'IT ,,;;; x,,;;; 2; + k . 2'IT au 4; + k2'iT ,,;;; X < 2'IT + k2'IT, k EO ;E}
b) S=0EOIRI~ +k2'IT<x< 1~'IT +k2TI,kEO;E}
J. 2'IT 'IT 2'IT 'IT 2'IT 2'IT 2'IT :Lc) S = l EO IRlk· -5- <x< 15 + k· 5 au 3 + k· -5- <x< -5- + k· -5-' k EO;EJ
9. a)
8. a)
6. a)
7. a)
d) S = 0 EO IR I ~ + k'IT < X < 3: + k'IT, k EO ~
433

442. 10. a) S = Ix E IR I~ + k2Ti ~ X ~ 5Ti + k2Ti au 7Ti + k2Ti ~ X ~ 11Ti + k2Ti k E zl'l 6 6 6 6 ' j
b) S=JxElRlk2Ti~X<~+k2TiaU 2Ti +k2Ti<x< 4Ti +k2Tiau
l 3 3 3
5; + k2Ti < X < 2Ti + k2Ti, k E z}
c) S = (x E IR I~ + k2Ti < X < 2Ti + k2Ti au 4Ti + k2Ti < X < 3Ti + k2Ti, k E zlt 2 3 3 2 j
d) S = {x E IR Ik2Ti < X < ; + k2Ti au 5; + k2Ti < X < 2Ti + k2Ti, k E z}
11 ) S = Ix E IRlk· 2Ti ~ X < ~ + k· 2Ti au ~ + k. 2Ti < X < 4Ti + k. 2Ti au
.a l 3 9 3 6 3 9 3
~ + k· 2Ti < X < 2Ti + k. 2Ti k E Z}2 3 3 3 '
b) S = ~ E IR 1 k2Ti < X ~ ~ + k2Ti au Ti + k2Ti < X ~ 5; + k2Ti, k E Z}
{
3Ti 3Ti 15Ti 9Ti ~c) S = x E IR 1-- + k6Ti < X < -- + k6Ti au - - + k6Ti < X < -- + k6Ti, k E Z
4 2 4 2
d) S = Ix E IR 1 k· 2Ti ~ X ~ ~ + k· 2Ti au ~ + k· 2Ti ~ X ~ 7Ti + k. 2Ti au
l 5 30 5 6 5 30 5
11Ti + k. 2Ti ~ X ~ 2Ti + k. 2Ti k E Z}30 5 5 5 '
e) S = ~ E IRlk2Ti < X < ~ + k2Ti au Ti + k2Ti < X < 5; + k2Ti, k E ~
12.
15.
14.
16.
13Ti 177i"--au--
20 20
Ti 5Ti 9Ti 13Ti
16'16'16'~
S = ~ E IR Ix = k2Ti + ; au x = k2Ti + 5; , k E Z}
Ti 5Ti
0, 3' Ti, 3
-~e~
12 4
17. 300
~ x ~ 1500
18. a) S = ~ E IR I ; + k2Ti < X < Ti + k2Ti, k E Z}
13.
b) S = ~ E IR I ; + k2Ti < X ~ ~ + k2Ti, k E Z}
S
t I I, 7Ti I, 11Ti ~19. = x E IR x = 1Ti + -- au x = 1Ti + --, k E Z
12 12
20. c 21. e 22. d 23. d 24. a 25. b 26. d
31. c 32. b 33. d 34. c 35. b
27. c 28. c 29. e 30. e
434

443. Para Abeh, Ma, Ayeeyo (vovó), Mahad e à memória querida de Haweya
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