Este documento apresenta notas de aula sobre cálculo I. Aborda tópicos como números reais, funções, limites, derivadas e suas aplicações. Apresenta definições, propriedades e exercícios relacionados a esses conceitos fundamentais do cálculo.

1. C´lculo I
a
Notas de aulas
Andr´ Arbex Hallack
e
Setembro/2009

3. ´
Indice
1 N´meros reais
u 1
1.1 N´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 1
1.2 Rela¸˜o de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 3
1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Fun¸˜es
co 13
2.1 Defini¸˜o e elementos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca a 13
2.2 Constru¸˜o de fun¸˜es a partir de outras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca co 18
2.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Invers˜o de fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a co 27
2.5 Fun¸˜es exponenciais e logar´
co ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Fun¸˜es trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co e 33
2.7 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca 47
3.1 Motiva¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 47
3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Teoremas para (ajudar no) c´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 53
3.4 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
i

4. 4 Derivada 69
4.1 A defini¸˜o da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 69
4.2 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Regras de deriva¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 75
4.5 Deriva¸˜o impl´
ca ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Aplica¸˜es da Derivada
co 93
5.1 Acr´scimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 93
5.2 A Derivada como raz˜o de varia¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ca 99
5.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5 Concavidade e pontos de inflex˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
a
5.6 Aplica¸˜es em problemas de m´ximos e/ou m´
co a ınimos . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.7 Aplica¸˜es em esbo¸os de gr´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
co c a
5.8 Apˆndice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
e
5.9 Apˆndice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
e
5.10 Apˆndice C : Formas indeterminadas
e
e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.11 Apˆndice D: Aproxima¸˜es via
e co
Polinˆmios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
o
Referˆncias
e 147

5. Cap´
ıtulo 1
N´ meros reais
u
1.1 N´ meros reais
u
Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos n´meros reais, os
u
quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:
Vejamos agora alguns conjuntos de n´meros reais nessa identifica¸˜o:
u ca
IN = { 1, 2, 3, . . . } (n´meros naturais) ⊂ IR
u
∩
Z = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } (n´meros inteiros) ⊂ IR
u
∩
Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q = 0 } (n´meros racionais) ⊂ IR
u
Temos ainda n´meros reais que n˜o s˜o racionais. S˜o os chamados n´meros irracionais.
u a a a u
Alguns exemplos:
(A) Consideremos um triˆngulo retˆngulo cujos catetos medem 1:
a a
Do Teorema de Pit´goras, temos a2 = b2 + c2 = 2 .
a
√ √
Portanto a = 2 (e 2 n˜o ´ racional).
a e
1

6. 2 CAP´
ITULO 1
(B) Outro n´mero irracional famoso:
u
FATO: A raz˜o entre o comprimento e o diˆmetro de qualquer circunferˆncia ´ constante.
a a e e
Essa raz˜o ´ um n´mero chamado π .
a e u
Assim, se C ´ qualquer circunferˆncia, l o seu comprimento e r seu raio, temos:
e e
l
=π
2r
π ´ um n´mero irracional ( π ≈ 3, 141592 )
e u
Obs.: Existem muito mais n´meros irracionais do que racionais !
u
Opera¸˜es b´sicas em IR
co a
Existem em IR duas opera¸˜es b´sicas:
co a
¸˜
ADICAO: a ∈ IR, b ∈ IR −→ a + b ∈ IR (soma)
¸˜
MULTIPLICACAO: a ∈ IR, b ∈ IR −→ a · b ∈ IR (produto)
Essas opera¸˜es possuem as seguintes propriedades:
co
COMUTATIVIDADE: a+b = b+a quaisquer que sejam a, b ∈ IR.
a·b = b·a
ASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.
a · (b · c) = (a · b) · c
ˆ
EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a+0 = a para todo a ∈ IR.
a·1 = a
ˆ
EXISTENCIA DE INVERSOS:
Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a + (−a) = 0 .
Todo a = 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .
DISTRIBUTIVIDADE: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .

7. N´meros reais
u 3
Obs.: O n´mero 0 ´ o unico elemento neutro para a adi¸˜o e o n´mero 1 ´ o unico elemento
u e ´ ca u e ´
neutro para a multiplica¸˜o.
ca
Conseq¨ˆncias: (das propriedades)
ue
1) Duas novas opera¸˜es:
co
Subtra¸˜o: Dados a, b ∈ IR, definimos: a − b = a + (−b) ;
ca
a
Divis˜o: Dados a, b ∈ IR, com b = 0, definimos:
a = a · b−1 .
b
2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .
3) Se a · b = 0 , ent˜o a = 0 ou b = 0 .
a
4) Cada a ∈ IR possui um unico inverso aditivo −a ∈ IR.
´
Cada a = 0 em IR possui um unico inverso multiplicativo a−1 ∈ IR .
´
5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.
1
6) a−1 = para todo a = 0 em IR.
a
7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b .
8) Se a2 = b2 ent˜o a = ±b .
a
Exerc´
ıcio: Tente provar as consequˆncias de 2) a 8) acima.
e
1.2 Rela¸˜o de ordem em IR
ca
Podemos decompor a reta IR como uma uni˜o disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ { 0} :
a
IR+ ´ o conjunto dos n´meros reais POSITIVOS;
e u
IR− ´ o conjunto dos n´meros reais NEGATIVOS.
e u
De modo que:
• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:
ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−

8. 4 CAP´
ITULO 1
• a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ;
• A soma de dois n´meros positivos ´ um n´mero positivo.
u e u
O produto de dois n´meros positivos ´ um n´mero positivo.
u e u
Exerc´ıcio: Prove que:
a) A soma de dois n´meros negativos ´ um n´mero negativo;
u e u
b) O produto de dois n´meros negativos ´ um n´mero positivo;
u e u
c) O produto de um n´mero positivo por um n´mero negativo ´ um n´mero negativo.
u u e u
Dados n´meros reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a ´ menor do que
u e
b (ou b ´ maior do que a ) quando b − a ∈ IR+ , ou seja, b − a ´ um n´mero positivo:
e e u
Obs.: Escrevemos a ≤ b e dizemos que a ´ menor ou igual a b quando a < b ou a = b .
e
Propriedades da rela¸˜o de ordem:
ca ( Exerc´
ıcio: Tente prov´-las ! )
a
1) Para todo a = 0 em IR, tem-se a2 > 0 .
2) Se a < b e b < c ent˜o a < c .
a
3) Se a, b ∈ IR ent˜o a = b ou a < b ou a > b .
a
4) Se a < b ent˜o a + c < b + c para todo c ∈ IR.
a
5) Se a < b , temos: c>0 ⇒ a·c < b·c
c<0 ⇒ a·c > b·c
6) Se a < b e a < b ent˜o a + a < b + b .
a
7) Se 0 < a < b e 0 < a < b ent˜o 0 < a · a < b · b .
a
1
8) Se a > 0 ent˜o
a >0.
a
1 1
9) Se 0 < a < b ent˜o 0 <
a < .
b a

9. N´meros reais
u 5
Intervalos: Dados n´meros reais a < b , definimos:
u
(a, b) = { x ∈ IR ; a < x < b }
[a, b] = { x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b }
(a, b] = { x ∈ IR ; a < x ≤ b }
[a, b) = { x ∈ IR ; a ≤ x < b }
(a, +∞) = { x ∈ IR ; x > a }
[a, +∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a }
(−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b }
(−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b }
(−∞, +∞) = IR
• Aten¸˜o: +∞ e −∞ n˜o s˜o n´ meros reais ! S˜o apenas s´
ca a a u a ımbolos !
Exemplo: Encontre os n´meros reais que satisfa¸am as desigualdades abaixo e fa¸a a
u c c
representa¸ao gr´fica na reta real:
c˜ a
(a) 2 + 3x < 5x + 8
(b) 4 < 3x − 2 ≤ 10

10. 6 CAP´
ITULO 1
7
(c) > 2, x = 0
x
x
(d) < 4, x = 3
x−3
(e) (x + 1)(x + 5) > 0
Conjuntos limitados:
Um subconjunto X ⊂ IR ´ dito LIMITADO quando existem n´meros reais a e b tais
e u
que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b . Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR .
Um conjunto ´ dito ILIMITADO quando ele n˜o ´ limitado. (Exemplos)
e a e
Observa¸˜es:
co
(A) Todo conjunto finito ´ limitado.
e
˜
(B) CUIDADO ! NAO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !
Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.

11. N´meros reais
u 7
˜ ´
(C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos n´meros naturais NAO E limitado.
u
Conseq¨ˆncias importantes deste fato:
ue
(C.1) Propriedade arquimediana: Dados n´meros reais a e b , com a > 0 , ´ poss´ obter
u e ıvel
um n´mero natural n ∈ IN tal que n · a > b .
u
⇓
(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois n´meros reais a e b quaisquer, com a < b , ´
u e
poss´ obter um n´mero RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q = 0) tal que a < r < b
ıvel u
(por menor que seja a distˆncia entre a e b ).
a
A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer n´mero real x
u
(mesmo irracional), ´ poss´ obter uma seq¨ˆncia de n´meros RACIONAIS que se aproximam
e ıvel ue u
de x tanto quanto quisermos !!!
Exemplos:
1) π = 3, 141592 . . .
31 314 3141 31415
3 3, 1 = 3, 14 = 3, 141 = 3, 1415 = ... −→ π
10 100 1000 10000
2) Tome um n´mero racional r1 > 0 e considere:
u
1 3 2
r2 = r1 + ∈ Q (r2 > 0 , r2 > 3 )
2 r1
↓
1 3 2
r3 = r2 + ∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r3 > 3 )
2 r2
↓
1 3 2
r4 = r3 + ∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r4 > 3 )
2 r3
↓
.
.
.
↓
1 3 2
rn+1 = rn + ∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , rn+1 > 3 )
2 rn
↓
.
.
.
Esta seq¨ˆncia de racionais (r1 , r2 , r3 , . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo
ue
n´mero real. Qual ?
u
Tente generalizar esse processo !

12. 8 CAP´
ITULO 1
1.3 Valor absoluto
´
Dado qualquer n´mero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MODULO
u
DE x ) da seguinte forma:
x se x ≥ 0
|x| =
−x se x < 0
Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um n´mero real x ´ a distˆncia de x at´
u e a e
o 0 (zero). (Exemplos)
Obs.: S˜o imediatos da defini¸˜o:
a ca
|x| ≥ 0 para todo x ∈ IR ;
|x| = 0 se, e somente se (⇔), x = 0 .
Propriedades:
1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x, −x} (o maior dos dois valores).
2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 .
3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
1 1
Exerc´
ıcio: Se b = 0 em IR, mostre que = .
b |b|
a |a|
Conclua que se a, b ∈ IR com b = 0 ent˜o
a = .
b |b|

13. N´meros reais
u 9
4) |a + b| ≤ |a| + |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
ıcio: Mostre que |a − b| ≥ | |a| − |b| | ≥ |a| − |b| , para todos a, b ∈ IR .
Exerc´
5) Seja c > 0 :
|x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c
|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c
Exemplos:
1) Resolva as seguintes equa¸˜es:
co
(a) |3x + 2| = 5
(b) |2x − 1| = |4x + 3|
(c) |5x + 4| = −3

14. 10 CAP´
ITULO 1
(d) |x| + 2 |x − 2| = 1 + 4x
2) Encontre os n´meros reais que satisfa¸am as seguintes desigualdades:
u c
(a) |x − 5| < 4

15. N´meros reais
u 11
3 − 2x
(b) ≤ 4 , x = −2
2+x
(c) |3x + 2| > 5

16. 12 CAP´
ITULO 1
1.4 Exerc´
ıcios
P´ginas 10 e 11 da referˆncia bibliogr´fica [1].
a e a

17. Cap´
ıtulo 2
Fun¸oes
c˜
2.1 Defini¸˜o e elementos b´sicos
ca a
Defini¸˜o 2.1. Uma fun¸˜o f : X → Y ´ constitu´ de:
ca ca e ıda
´
(a) Um conjunto X, n˜o-vazio, chamado o DOMINIO da fun¸˜o (onde a fun¸˜o est´ definida)
a ca ca a
a ´
(b) Um conjunto Y , n˜o-vazio, chamado o CONTRA-DOMINIO da fun¸˜o (onde f “toma os
ca
valores”)
(c) Uma correspondˆncia que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X
e
´
um UNICO elemento f (x) = y ∈ Y .
Obs.: Estaremos interessados em estudar fun¸˜es tais que X e Y s˜o conjuntos de n´meros
co a u
reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.
• Imagem: Dada uma fun¸˜o f : X → Y , sua IMAGEM ´ o conjunto
ca e
Im (f ) = f (X) = { y = f (x) ; x ∈ X } ⊂ Y
• Os elementos do dom´ ´
ınio s˜o representados por uma VARIAVEL INDEPENDENTE.
a
´
Os elementos da imagem s˜o representados por uma VARIAVEL DEPENDENTE.
a
a ´
• Gr´fico: O GRAFICO de uma fun¸˜o f : X → Y ´ o conjunto dos pontos (x, y) do
ca e
Plano Cartesiano tais que y = f (x) , com x ∈ X .
• Fun¸˜es limitadas: Uma fun¸˜o f : X → Y ´ dita LIMITADA quando sua imagem
co ca e
f (X) ´ um conjunto limitado. Em geral, ´ dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f (A) ´ um
e e e
conjunto limitado.
13

18. 14 CAP´
ITULO 2
• Fun¸˜es crescentes ou decrescentes: Uma fun¸˜o f : X → Y ´ dita ...
co ca e
... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) .
... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) .
(Obs.: o mesmo tipo de defini¸˜o se aplica tamb´m a subconjuntos do dom´ - por exemplo,
ca e ınio
podemos dizer que uma certa fun¸˜o ´ crescente ou decrescente em um determinado intervalo
ca e
dentro do dom´
ınio).
Exemplos:
(A) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = −x2 + 4 .
(B) f2 : [1, 3] → IR dada por f2 (x) = −x2 + 4 .
˜ ¸˜
Obs.: Note que as fun¸˜es f1 e f2 acima SAO FUNCOES DISTINTAS. Apesar de possu´
co ırem
o mesmo contra-dom´ ınio e a mesma maneira de associar x → y = f (x) , elas tˆm dom´
e ınios
diferentes (veja a defini¸˜o de fun¸˜o). Como consequˆncia, possuem caracter´
ca ca e ısticas diferentes
(f2 ´ limitada, decrescente, enquanto que f1 n˜o ´ limitada, n˜o ´ decrescente e nem crescente).
e a e a e

19. Fun¸˜es
co 15
(C) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = |x| .
(D) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| .
√
(E) f5 : [−1, 1] → [0, +∞) dada por f5 (x) = 1 − x2 .
(F) f6 : [−1, 1] → IR que associa x → y tais que x2 + y 2 = 1 .

20. 16 CAP´
ITULO 2
 1 1


 x se x>
 4
(G) f7 : IR → IR dada por f7 (x) =

 1
−3 se x≤


4
(H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2] → IR dada por f8 (x) = x .
(I) f9 : IR → IR dada por f9 (x) = −2x + 1 .
√
(J) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10 (x) = − x .

21. Fun¸˜es
co 17
• M´ximos e m´
a ınimos: Dizemos que uma fun¸˜o f : X → Y assume VALOR
ca
´
MAXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f (c) ≥ f (x) para todo
´
x ∈ X . Neste caso f (c) ´ chamado VALOR MAXIMO ABSOLUTO DE f .
e
Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f (c) ≥ f (x) para todo
a e ´
x ∈ (a, b) ∩ X , ent˜o c ´ dito um PONTO DE MAXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f (c)
´
´ um VALOR MAXIMO RELATIVO DE f .
e
De modo an´logo, definimos tamb´m M´
a e INIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E M´
INIMOS
RELATIVOS (LOCAIS).
(Ilustra¸˜o)
ca
Exemplo: f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| .
Observa¸˜es:
co
(i) Todo m´ximo (m´
a ınimo) absoluto ´ m´ximo (m´
e a ınimo) local.
ca ˜
(ii) Uma fun¸˜o PODE NAO ASSUMIR valores m´ximos ou m´
a ınimos.
Exerc´ ıcio: Para cada uma das fun¸˜es dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), de-
co
termine seus pontos e valores m´ximos e m´
a ınimos, se existirem.

22. 18 CAP´
ITULO 2
2.2 Constru¸˜o de fun¸˜es a partir de outras
ca co
Via opera¸˜es aritm´ticas:
co e
Sejam f : X → IR e g : Y → IR fun¸˜es tais que X ∩ Y = φ .
co
A partir de f e g vamos construir novas fun¸˜es (f + g), (f − g), (f · g) :
co
(f + g) : X ∩ Y → IR dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f − g) : X ∩ Y → IR dada por (f − g)(x) = f (x) − g(x)
(f · g) : X ∩ Y → IR dada por (f · g)(x) = f (x) · g(x)
Exemplos:
√
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f (x) = 4 − x e g : (−∞, −1] ∪ [1, +∞) dada
√
por g(x) = x2 − 1 :
(B) Consideremos agora a fun¸˜o indentidade f : IR → IR dada por f (x) = x e fun¸oes
ca c˜
constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc (x) = c (cada c ´ um n´mero real qualquer,
e u
fixado).
Utilizando a fun¸˜o identidade e fun¸˜es constantes, podemos construir (atrav´s das opera¸˜es
ca co e co
de adi¸˜o e multiplica¸˜o) um importante tipo de fun¸˜o p : IR → IR chamada FUNCAO
ca ca ca ¸˜
POLINOMIAL e dada por:
p(x) = an xn + an− xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 para todo x ∈ IR
an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ∈ IR , an = 0
(essa ´ dita uma fun¸˜o polinomial de grau n)
e ca
(Exemplos)

23. Fun¸˜es
co 19
Obs.: Alguns tipos especiais de fun¸˜es polinomiais:
co
1) Fun¸oes constantes: f : IR → IR com f (x) = c ∀ x ∈ IR , sendo c ∈ IR fixo.
c˜
S˜o as fun¸˜es polinomiais de grau 0 (zero).
a co
(Exemplos)
2) Fun¸oes polinomiais de grau 1: f : IR → IR com f (x) = ax + b , a, b ∈ IR e a = 0 .
c˜
Seus gr´ficos s˜o retas, n˜o paralelas aos eixos coordenados.
a a a
Se a > 0, f ´ crescente. Se a < 0, f ´ decrescente.
e e
(Exemplos)
3) Fun¸oes quadr´ticas: f : IR → IR com f (x) = ax2 + bx + c , a, b, c ∈ IR e a = 0 .
c˜ a
S˜o as fun¸˜es polinomiais de grau 2.
a co
Seus gr´ficos s˜o par´bolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade
a a a
voltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0.
a a e ´
A interse¸˜o da par´bola (gr´fico) com o eixo de simetria ´ o VERTICE da par´bola, tem
ca a
−b −∆
coordenadas , , sendo ∆ = b2 − 4ac , e representa o m´ximo ou m´
a ınimo absoluto
2a 4a
da fun¸˜o, de acordo com a concavidade do gr´fico (sinal de a).
ca a
(Exemplos)

24. 20 CAP´
ITULO 2
Se quisermos agora utilizar a opera¸˜o de divis˜o para construir o quociente de duas fun¸oes
ca a c˜
dadas, temos que tomar o cuidado para evitar “divis˜es por 0 (zero)”.
o
Assim, dadas f : X → IR e g : Y → IR , sendo Z = { x ∈ Y ; g(x) = 0 } , podemos
definir:
f (x)
(f /g) : (X ∩ Y ) − Z → IR pondo (f /g)(x) =
g(x)
Exemplos:
√
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f (x) = 4 − x e g : (−∞, −1] ∪ [1, +∞) dada
√
por g(x) = x2 − 1 :
¸˜
(B) Chamamos de FUNCOES RACIONAIS as fun¸˜es dadas pelo quociente de fun¸oes
co c˜
polinomiais:
p, q : IR → IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 }
⇓
p(x)
(p/q) : IR − Z → IR dada por (p/q)(x) =
q(x)
(Exemplos)

25. Fun¸˜es
co 21
Via composi¸˜o de fun¸˜es:
ca co
Sejam f : X → IR e g : Y → Z fun¸˜es tais que f (X) ⊂ Y
co (a imagem de f est´
a
contida no dom´
ınio de g).
A cada elemento de X associamos um unico elemento de Z, aplicando inicialmente a fun¸˜o
´ ca
f e depois a fun¸˜o g.
ca
Podemos pensar ent˜o em uma fun¸˜o de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X
a ca
um unico elemento g(f (x)) ∈ Z :
´
(g ◦ f ) : X −→ Z
x −→ g(f (x))
Essa nova fun¸˜o g ◦ f : X → Z ´ chamada a fun¸˜o COMPOSTA de g com f .
ca e ca
Exemplos:
√
(a) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = x2 + 5 e g : [0, +∞) → IR ´ dada por g(x) =
e e x ,
obtenha g ◦ f e f ◦ g , se poss´ıvel.
(b) Seja h : IR → IR dada por h(x) = (5x2 − 2x + 1)5 . Obtenha fun¸˜es f e g tais que
co
h=g◦f .

26. 22 CAP´
ITULO 2
2.3 Exerc´
ıcios
1) Sejam f : IR → IR dada por f (x) = 3x − 1 , g : IR → IR dada por g(x) = x − 7 e
h = f /g . Obtenha:
5h(−1) − 2h(0) + 3h(5)
(a) O Dom´
ınio de h ; (b) ; (c) f ◦ h ;
7
(d) h2 (5) = [h(5)]2 = h(5).h(5) ; (e) h[h(5)] = (h ◦ h)(5) .
2) Para cada uma das fun¸˜es dadas abaixo, fa¸a um esbo¸o do gr´fico da fun¸˜o e obtenha:
co c c a ca
o conjunto imagem da fun¸˜o, se a fun¸˜o ´ ou n˜o limitada, m´ximos e m´
ca ca e a a ınimos (absolutos
ou locais), intervalos do dom´ ınio onde a fun¸˜o ´ crescente ou decrescente e identifique ainda
ca e
quais s˜o polinomiais ou racionais:
a
(a) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x2 + 8x + 14
(b) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = −x2 + 4x − 1
(c) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = (x − 2)2
(d) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = −(x + 2)2
(e) f5 : IR → IR dada por f5 (x) = x3
(f) f6 : IR → IR dada por f6 (x) = 4 − x3
(g) f7 : (−5, 3] → IR dada por f7 (x) = |x|
1
(h) f8 : IR − {2} → IR dada por f8 (x) =
x−2
−2
(i) f9 : [−4, 7] → IR dada por f9 (x) =
x+5
√
(j) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10 (x) = 2x
3) Exprimir como fun¸˜o de x (n˜o se esque¸a do dom´
ca a c ınio e do contra-dom´
ınio):
(a) A ´rea de um cubo de aresta x.
a
(b) A ´rea total de uma caixa de volume V , sabendo que a base ´ um quadrado de lado x.
a e
(c) O comprimento l de uma corda de um c´
ırculo de raio 4 cm, sendo x a distˆncia da
a
corda ao centro do c´
ırculo.
4) Exprimir a fun¸˜o l obtida na Letra (c) do Exerc´ 3) acima como a composta de duas
ca ıcio
fun¸˜es.
co

27. Fun¸˜es
co 23
5) Sejam f, g : IR → IR dadas por f (x) = x + 3 e g(x) = 5 − 2x . Fa¸a um esbo¸o dos
c c
gr´ficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos gr´ficos, os valores
a a
de x para os quais f (x) < g(x) . Resolva algebricamente a inequa¸˜o.
ca
6) X ⊂ IR ´ dito sim´trico em rela¸˜o ` origem 0 quando x ∈ X ⇔ −x ∈ X .
e e ca a
Exemplos: (−6, 6), [−13, 13], {−12} ∪ (−7, 7) ∪ {12} , IR , etc.
Y = (−5, 3] n˜o ´ sim´trico em rela¸˜o ` origem, pois −4 ∈ Y mas 4 ∈ Y .
a e e ca a
Seja f : X → IR uma fun¸˜o tal que X ´ sim´trico em rela¸˜o ` origem.
ca e e ca a
A fun¸˜o f ´ dita...
ca e
... PAR quando f (−x) = f (x) para todo x ∈ X .
√ 1
Exemplos: − x4 − 16 (−2 ≤ x ≤ 2) , −3x6 + x2 − 5 (x ∈ IR) , (x ∈ IR) , etc.
1 + x2
... ´
IMPAR quando f (−x) = −f (x) para todo x ∈ X .
x
Exemplos: x3 + 2x (x ∈ IR) , (x ∈ IR) , etc.
1 + x2
Alguma observa¸˜es e propriedades interessantes:
co
(1) O produto/quociente de duas fun¸˜es pares (ou duas ´
co ımpares) ´ uma fun¸˜o PAR (prove);
e ca
(2) O produto/quociente de uma fun¸˜o par por uma fun¸˜o ´
ca ca ımpar (ou vice-versa) ´ uma
e
´
fun¸˜o IMPAR (prove);
ca
(3) O gr´fico de uma fun¸˜o par ´ sim´trico em rela¸˜o ao eixo Oy das ordenadas (ilustre);
a ca e e ca
(4) O gr´fico de uma fun¸˜o ´
a ca ımpar ´ sim´trico em rela¸˜o ` origem O(0, 0) (ilustre);
e e ca a
´ o
(5) E ´bvio que existem fun¸˜es que n˜o s˜o pares nem s˜o ´
co a a a ımpares (dˆ exemplos);
e
(6) Toda fun¸˜o f : X → IR (X sim´trico em rela¸˜o ao 0) pode ser escrita como a soma de
ca e ca
uma fun¸˜o par com uma fun¸˜o ´
ca ca ımpar (desafio = tente provar).
3x − 5 2y + 5
7) Sejam f, g : IR → IR dadas por f (x) = e g(y) = .
2 3
(a) Obtenha (g ◦ f )(x) e (f ◦ g)(y) .
(b) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos de f e g. O que se pode concluir sobre os gr´ficos de f e g ?
c c a a
(c) Seja f : [1, 3] → [−5, 3] dada por f (x) = 4 − x2 .
Obtenha uma fun¸˜o g : [−5, 3] → [1, 3] que cumpre as condi¸˜es da Letra (a) e fa¸a esbo¸os
ca co c c
dos gr´ficos de f e g.
a

28. 24 CAP´
ITULO 2
8) Seja f : IR → IR dada por f (x) = −x2 + 4x − 3 .
(a) Fa¸a um esbo¸o do gr´fico de f .
c c a
f (0 + h) − f (0)
(b) Dado h = 0, calcule m0 (h) = e dˆ uma interpreta¸˜o geom´trica
e ca e
h
para m0 (h) .
(c) Qual o significado de m0 (h) quando h se aproxima de 0 ?
(d) Sabemos que o gr´fico de f ´ uma par´bola. Se V = (a, b) ´ o v´rtice dessa par´bola,
a e a e e a
obtenha suas coordenadas a e b.
(e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do v´rtice) e, dado h = 0, tente adivi-
e
f (a + h) − f (a)
nhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com ma (h) = quando
h
h se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas).
9) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = ax2 + bx + c , com a = 0 , USE O EXERC´
e ICIO
ANTERIOR para deduzir as coordenadas do v´rtice da par´bola que ´ o gr´fico da fun¸˜o f .
e a e a ca
10) Um grupo de amigos trabalha no per´ ıodo de f´rias vendendo salgadinhos nas praias.
e
O aluguel do trailler e todos os equipamentos necess´rios para a produ¸˜o custam R$ 2000,00
a ca
por mˆs. O custo do material de cada salgadinho ´ de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal
e e
como fun¸˜o do n´mero de salgadinhos elaborados.
ca u
11) Um fabricante produz pe¸as para computadores pelo pre¸o de R$ 2,00 cada uma.
c c
Calcula-se que, se cada pe¸a for vendida por x reais, os consumidores comprar˜o por mˆs
c a e
(600 − x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como fun¸˜o do pre¸o. Obter
ca c
o pre¸o ´timo de venda.
c o
12) O pre¸o de uma corrida de t´xi ´ constitu´ de uma parte fixa, chamada bandeirada,
c a e ıdo
e de uma parte vari´vel, que depende do n´mero de quilˆmetros rodados. Em uma cidade X
a u o
a bandeirada ´ R$ 10,00 e o pre¸o do quilˆmetro rodado ´ R$ 0,50.
e c o e
(a) Determine a fun¸˜o que representa o pre¸o da corrida.
ca c
(b) Se algu´m pegar um t´xi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de
e a
distˆncia, quanto pagar´ pela corrida ?
a a
13) Um avi˜o com 120 lugares ´ fretado para uma excurs˜o. A companhia exige de cada
a e a
passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o n´mero de
u
passageiros que torna m´xima a receita da companhia ?
a

29. Fun¸˜es
co 25
14) Uma ind´stria comercializa um certo produto e tem fun¸˜o custo total em mil reais,
u ca
2
dada por CT (q) = q + 20q + 475 , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A fun¸˜o receita
ca
total em mil reais ´ dada por R(q) = 120q .
e
(a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades.
(b) Em que valor de q acontecer´ lucro m´ximo ?
a a
Respostas:
−263 8x + 4
1) (a) IR − {7} (b) (c) f ◦ h : IR − {7} → IR dada por (f ◦ h)(x) =
98 x−7
11
(d) h2 (5) = 49 (e) (h ◦ h)(5) =
7
2) (a) Im (f1 ) = [−2, +∞) , f1 n˜o ´ limitada, x = −4 ´ ponto de m´
a e e ınimo absoluto.
f1 ´ decrescente em (−∞, −4] e crescente em [−4, +∞) . f1 ´ polinomial.
e e
(b) Im (f2 ) = (−∞, 3] , f2 n˜o ´ limitada, x = 2 ´ ponto de m´ximo absoluto. f2 ´
a e e a e
crescente em (−∞, 2] e decrescente em [2, +∞) . f2 ´ polinomial.
e
(c) Im (f3 ) = [0, +∞) , f3 n˜o ´ limitada, x = 2 ´ ponto de m´
a e e ınimo absoluto. f3 ´
e
decrescente em (−∞, 2] e crescente em [2, +∞) . f3 ´ polinomial.
e
(d) Im (f4 ) = [−∞, 0] , f4 n˜o ´ limitada, x = −2 ´ ponto de m´ximo absoluto. f4 ´
a e e a e
crescente em (−∞, −2] e decrescente em [−2, +∞) . f4 ´ polinomial.
e
(e) Im (f5 ) = IR , f5 n˜o ´ limitada e n˜o possui m´ximos ou m´
a e a a ınimos. f5 ´ crescente
e
(em todo seu dom´ ınio). f5 ´ polinomial.
e
(f) Im (f6 ) = IR , f6 n˜o ´ limitada e n˜o possui m´ximos ou m´
a e a a ınimos. f6 ´ decrescente
e
(em todo seu dom´ ınio). f6 ´ polinomial.
e
(g) Im (f7 ) = [0, 5] , f7 ´ limitada, x = 0 ´ ponto de m´
e e ınimo absoluto, x = 3 ´ ponto
e
de m´ximo local. f7 ´ decrescente em (−5, 0] e crescente em [0, 3] .
a e
(h) Im (f8 ) = IR − {0} , f8 n˜o ´ limitada e n˜o possui m´ximos ou m´
a e a a ınimos. f8 ´
e
decrescente em (−∞, 2) e crescente em (2, +∞) . f8 ´ racional.
e
(i) Im (f9 ) = [−2, −1/6] , f9 ´ limitada, x = −4 ´ ponto de m´
e e ınimo absoluto, x = 7 ´
e
ponto de m´ximo absoluto. f9 ´ crescente (em todo seu dom´
a e ınio). f9 ´ racional.
e
(j) Im (f10 ) = [0, +∞) , f10 n˜o ´ limitada, x = 0 ´ ponto de m´ximo absoluto. f10 ´
a e e a e
crescente (em todo seu dom´ ınio).
3) (a) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 6x2 ;
4V
(b) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 2x2 + ;
x

30. 26 CAP´
ITULO 2
√
(c) l : [0, 4] → IR dada por l(x) = 2 16 − x2 .
4) l = g ◦ f , com f : [0, 4] → IR dada por f (x) = 16 − x2 e g : [0, +∞) → IR dada por
√
g(x) = 2 x .
2
5) S = −∞ ,
3
7) (a) (g ◦ f )(x) = x e (f ◦ g)(y) = y
(b) Os gr´ficos de f e g s˜o sim´tricos em rela¸˜o ` reta y = x .
a a e ca a
√
(c) g[−5, 3] → [1, 3] dada por g(y) = 4 − y .
8) (b) m0 (h) = −h + 4 ´ o coeficiente angular da reta secante ao gr´fico de f , passando
e a
pelos pontos (0, f (0)) e (h, f (h)).
(c) Como h varia, o ponto (h, f (h)) varia sobre o gr´fico de f , enquanto que o ponto
a
(0, f (0)) permanece fixo. Assim, quando h se aproxima de 0, a reta secante se aproxima da
reta tangente ao gr´fico de f no ponto (0, f (0)) e m0 (h) se aproxima do coeficiente angular
a
dessa tangente.
(d) a = 2 e b = 1 , ou seja, V (2, 1) ´ o v´rtice da par´bola.
e e a
(e) ma (h) = −h tende a 0 quando h tende a 0.
x
10) C : IN ∪ {0} → IR dada por C(x) = 2000 + (x ´ o n´mero de salgadinhos
e u
10
elaborados)
11) l : [0, 600] → IR dada por l(x) = −x2 + 602x − 1200 . Pre¸o ´timo de venda:
c o
x = 301 .
x
12) (a) P : [0, +∞) dada por P (x) = 10 + .
2
(b) R$ 14,00.
13) 105 passageiros.
14) L : [0, +∞) → IR dada por L(q) = −q 2 + 100q − 475 .
(a) L(80) = R$1.125.000,00 ;
(b) Em q = 50 acontecer´ lucro m´ximo.
a a

31. Fun¸˜es
co 27
2.4 Invers˜o de fun¸oes
a c˜
Seja f : X → Y uma fun¸˜o. A cada x ∈ X est´ associado um unico f (x) ∈ Y .
ca a ´
Nos interessa a situa¸˜o em que a associa¸˜o inversa f (x) → x ´ uma fun¸˜o de Y em X.
ca ca e ca
Para isso, f dever´ possuir duas caracter´
a ısticas:
• f (X) = Y (a imagem de f ´ todo o conjunto Y );
e
• x1 = x2 em X ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) em Y .
Uma fun¸˜o f : X → Y ´ chamada SOBREJETORA quando f (X) = Y , ou seja, a
ca e
imagem de f ´ todo o contradom´
e ınio Y .
Uma fun¸˜o f : X → Y ´ chamada INJETORA quando elementos distintos do dom´
ca e ınio
tˆm sempre imagens distintas, ou seja, x1 = x2 em X ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) em Y .
e
Exemplos:
(a)
(b)

32. 28 CAP´
ITULO 2
(c)
Uma fun¸˜o f : X → Y ´ INVERT´
ca e IVEL quando ela ´ sobrejetora e injetora ao mesmo
e
¸˜
tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNCAO g : Y → X que associa y → g(y) e
tal que g(f (x)) = x ∀ x ∈ X e f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y .
¸˜
g ´ dita A INVERSA DA FUNCAO f e escrevemos g = f −1 .
e
Exemplo:

33. Fun¸˜es
co 29
Exerc´
ıcio: Para cada uma das fun¸˜es dadas posteriormente, fa¸a o que se pede:
co c
c c ´
a) Fa¸a um esbo¸o do GRAFICO da fun¸˜o.
ca
b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a fun¸˜o dada ´ LIMITADA ou n˜o.
ca e a
c) Em que partes de seu dom´
ınio a fun¸˜o ´ CRESCENTE ou DECRESCENTE ?
ca e
d) Determine pontos e valores MAXIMOS ou M´
´ INIMOS (quando existirem).
e) A fun¸˜o ´ INJETORA ? Justifique.
ca e
f) A fun¸˜o ´ SOBREJETORA ? Justifique.
ca e
g) Se a fun¸˜o dada for INVERT´
ca IVEL, determine sua INVERSA e fa¸a um esbo¸o do
c c
´
GRAFICO DA FUNCAO ¸ ˜ INVERSA.
1) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = 3x − 1 .
2) g1 : IR → [0, +∞) dada por g1 (x) = |3x − 1| .
3) h1 : IR → IR dada por h1 (x) = −x2 + 9 .
4) p1 : (0, 3] → (0, 6] dada por p1 (x) = 2x .
x2 se x < 1
5) q1 : (−∞, 5] → IR dada por q1 (x) = .
−x + 2 se x ≥ 1
6) r1 : [0, +∞) → [0, +∞) dada por r1 (x) = |x2 − 3x| .
7) s1 : IR → IR dada por s1 (x) = x2 + 2 .
8) u1 : [−2, 3] → IR dada por u1 (x) = x2 + 2 .
9) v1 : IR+ → IR+ dada por v1 (x) = x2 .
10) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = − |x| .
x
11) g2 : IR → IR dada por g2 (x) = − +1.
3

34. 30 CAP´
ITULO 2
x
12) h2 : (−3, +∞) → IR dada por h2 (x) = − +1.
3
√
13) p2 : [0, +∞) → (−∞, 0] dada por p2 (x) = − 2x .
1 se 1 ≤ x ≤ 3
14) q2 : IR → IR dada por q2 (x) = .
0 se x < 1 ou x > 3
15) r2 : IR → IR dada por r2 = q2 .s1 .
1/x se x = 0
16) s2 : IR → IR dada por s2 (x) = .
0 se x = 0
−π se x < −1
17) v2 : (−∞, −1) ∪ [0, +∞) → IR dada por v2 (x) = .
x2 se x ≥ 0
√
18) f3 : (−1, 1] → IR dada por f3 (x) = 1 − 1 − x2 .
2.5 Fun¸˜es exponenciais e logar´
co ıtmicas
Revis˜o:
a
a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes).
1
a = 0 ⇒ a0 = 1 e a−n = (n = 1, 2, 3, . . .) .
an
√
n PAR e a ≥ 0 : b = n
a ⇔ bn = a , b ≥ 0 .
√
n ´
IMPAR e a ∈ IR : b = n a ⇔ bn = a .
Definimos potˆncias RACIONAIS de n´meros reais positivos do seguinte modo:
e u
√
a > 0 , p, q inteiros , q = 0 ⇒ ap/q = q
ap
Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1 +r2 e ar > 0 .
Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional).
Para isso consideremos a > 0 .
√
Se x ´ racional, j´ temos ap/q =
e a q
ap .

35. Fun¸˜es
co 31
Se x ´ IRRACIONAL, sabemos que ´ poss´ obter uma seq¨ˆncia de racionais r1 , r2 , r3 , . . .
e e ıvel ue
que se aproxima de x tanto quanto quisermos:
r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , . . . −→ x
FATO: A seq¨ˆncia ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um n´mero real, o qual DEFINI-
ue u
x
MOS como a .
Temos ent˜o a nossa fun¸˜o exponencial de base a:
a ca
• Fixado a > 0 em IR, a fun¸˜o fa : IR → IR+ dada por fa (x) = ax para todo x ∈ IR
ca
¸˜
´ chamada FUNCAO EXPONENCIAL DE BASE a.
e
Propriedades:
ax · ay = ax+y , (ax )y = ax·y , (a · b)x = ax · bx , a0 = 1
Gr´fico:
a
CRECENTE se a>1
Crescimento ou decrescimento: fa (x) = ax ´
e
DECRESCENTE se a<1
Inversa: Se a = 1 ent˜o
a fa : IR → IR+ ´ SOBREJETORA e INJETORA, ad-
e
x → ax
mitindo portanto uma fun¸˜o inversa
ca fa : IR+ → IR
−1 .
−1
y → fa (y)
fa ´ chamada FUNCAO LOGAR´
−1
e ¸˜ −1
ITMICA DE BASE a e escrevemos fa (y) = loga y .
Temos ent˜o: y = ax ⇔ x = loga y .
a
−1
fa fa
x −→ ax = y −→ x = loga y = loga ax
−1
fa fa
y −→ x = loga y −→ y = ax = aloga y

36. 32 CAP´
ITULO 2
• Fixado a > 0 , a = 1 em IR, temos a fun¸˜o fa : IR+ → IR dada por fa (y) = loga y .
ca −1 −1
Propriedades:
loga (x · y) = loga x + loga y , loga (xy ) = y · loga x , loga 1 = 0
Gr´fico:
a
Um n´ mero especial:
u
1 1 1 1
Consideremos a soma 1 + 1 + + + + + . . . . Mostra-se que esta soma converge
2! 3! 4! 5!
(“se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos”) para um n´mero real conhecido por
u
CONSTANTE DE EULER e denotado por e .
1 1 1 1
Assim, podemos escrever e = 1 + 1 + + + + + . . . .
2! 3! 4! 5!
´ a
E f´cil ver que 2 < e < 3 :
1 1 1 1 1 1 1 1
2 < 1+1+ + + + + ... < 1 + 1 + + 2 + 3 + 4 + ... = 3
2! 3! 4! 5! 2 2 2 2
O n´mero real e acima definido ir´ desempenhar um importante papel ao longo do nosso
u a
curso de C´lculo I, no que se refere `s fun¸˜es exponencial e logar´
a a co ıtmica, na base e :
fe : IR → IR+ dada por fe (x) = ex (fun¸˜o exponencial de base e) e sua inversa
ca
−1 + −1
fe : IR → IR dada por fe (x) = loge x (fun¸˜o logar´
ca ıtmica de base e).
Escrevemos tamb´m loge x = log x = ln x .
e
Obs.: Outro modo de obter o n´mero e :
u
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
1+ , 1+ , 1+ , 1+ , 1+ , . . . −→ e
1 2 3 4 5

37. Fun¸˜es
co 33
2.6 Fun¸˜es trigonom´tricas
co e
• Medidas de ˆngulos em radianos:
a
Um ˆngulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferˆncia (centrada
a e
no v´rtice do ˆngulo) de comprimento igual ao raio da circunferˆncia considerada:
e a e
Assim, um ˆngulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo
a
r o raio da circunferˆncia considerada:
e
θ l
= ⇒ l =θ·r
1 r
Desta forma, ´ f´cil ver que a medida de “uma volta” em radianos ´ 2π rad :
e a e
2πr = θ · r ⇒ θ = 2π rad
• Rela¸˜es trigonom´tricas nos triˆngulos retˆngulos:
co e a a
π
Consideremos 0 < θ < e um ˆngulo de θ rad em um triˆngulo retˆngulo:
a a a
2
b c sen θ b
sen θ = cos θ = tg θ = = cos2 θ + sen 2 θ = 1
a a cos θ c

38. 34 CAP´
ITULO 2
• O c´
ırculo trigonom´trico:
e
Rela¸˜es:
co
cos2 θ + sen 2 θ = 1 , sec2 θ = 1 + tg 2 θ , csc2 θ = 1 + ctg 2 θ
1 1 1
ctg θ = ( sen θ = 0) , sec θ = (cos θ = 0) , csc θ = ( sen θ = 0)
tg θ cos θ sen θ
ˆ
• Angulos not´veis:
a
θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π
√ √
1 2 3
sen θ 0 2 2 2
1 0 −1 0
√ √
3 2 1
cos θ 1 2 2 2
0 −1 0 1
√
3
√
tg θ 0 3
1 3 0 0
• F´rmulas de transforma¸˜o:
o ca
A partir das f´rmulas abaixo, para cosseno e seno da soma e da diferen¸a de dois ˆngulos,
o c a
podemos deduzir (veja exerc´ıcios mais ` frente) outras importantes f´rmulas de transforma¸˜o,
a o ca
as quais tˆm utilidade no c´lculo de certas integrais trigonom´tricas.
e a e

 cos(a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b cos(a − b) = cos a · cos b + sen a · sen b
 sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a sen (a − b) = sen a · cos b − sen b · cos a

39. Fun¸˜es
co 35
• Fun¸˜es trigonom´tricas:
co e
Fun¸˜o SENO:
ca
sen : IR −→ IR
x −→ sen x
Gr´fico:
a
Im ( sen ) = [−1, 1]
sen (−x) = − sen x (´ uma fun¸˜o ´
e ca IMPAR)
e ca ´
sen (x + 2π) = sen x (´ uma fun¸˜o PERIODICA de per´
ıodo T = 2π)
A fun¸˜o SENO ´ ...
ca e
... CRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k PAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k ´
IMPAR, k ∈ Z
´
Assume o VALOR MAXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k ∈ Z)
Assume o VALOR M´
INIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + 3π/2 (k ∈ Z)
1
Se sen x = 0 , ent˜o temos csc x =
a . Assim, n˜o ´ dif´ ver que a fun¸˜o
a e ıcil ca
sen x
csc : IR − {kπ , k ∈ Z} → IR , que associa x → csc x = 1/ sen x tem gr´fico:
a

40. 36 CAP´
ITULO 2
˜ ´ ˜ ´
A fun¸˜o SENO NAO E injetora e NAO E sobrejetora, mas a quando restringimos seu
ca
ınio ınio, temos uma nova fun¸˜o f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1] , a qual
dom´ e seu contra-dom´ ca
x −→ sen x
´ BIJETORA
e
e tem portanto inversa f −1 : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2]
y −→ f −1 (y) = arc sen y
Exerc´
ıcio: Fa¸a um estudo semelhante ao que fizemos com a fun¸˜o SENO, para as fun¸˜es
c ca co
COSSENO e TANGENTE.
2.7 Exerc´
ıcios
1) Sabendo que f : IR → IR ´ uma fun¸˜o polinomial do 1o grau, que f (−1) = 2
e ca
e f (2) = 3 , determine f (x) para cada x ∈ IR (uma fun¸˜o polinomial do 1o grau est´
ca a
totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 2 pontos distintos = uma reta
est´ totalmente determinada quando conhecemos 2 de seus pontos).
a
2) Sabendo que g : IR → IR ´ uma fun¸˜o polinomial do 2o grau, que g(1) = 3 ,
e ca
g(−1) = −1 e g(2) = 6 , determine g(x) para cada x ∈ IR (uma fun¸˜o polinomial do
ca
o
2 grau est´ totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 3 pontos distintos =
a
uma par´bola est´ totalmente determinada quando conhecemos 3 de seus pontos).
a a

41. Fun¸˜es
co 37
3) (Polinˆmios de Lagrange) Sejam x1 , x2 , x3 n´meros reais distintos e y1 , y2 , y3
o u
n´meros reais n˜o necessariamente distintos. O unico polinˆmio p(x) do 2o grau tal que
u a ´ o
p(x1 ) = y1 , p(x2 ) = y2 e p(x3 ) = y3 ´ dado por
e
(x − x2 )(x − x3 ) (x − x1 )(x − x3 ) (x − x1 )(x − x2 )
p(x) = y1 · + y2 · + y3 ·
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) (x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x3 − x1 )(x3 − x2 )
(a) Usando o resultado acima, refa¸a o exerc´ anterior.
c ıcio
(b) Generalize o resultado acima e obtenha a fun¸˜o polinomial do 3o grau que assume em
ca
−1, 0, 1, 4 os valores 1, 0, 0, −2 , respectivamente.
4) Sejam X ⊂ IR um conjunto sim´trico em rela¸˜o ` origem 0 e f : X → IR uma fun¸˜o.
e ca a ca
1
(a) Mostre que g : X → IR dada por g(x) = [f (x) + f (−x)] ´ uma fun¸˜o par e que
e ca
2
1
h : X → IR dada por h(x) = [f (x) − f (−x)] ´ ´e ımpar (veja Exerc´ 6 da p´g. 23).
ıcio a
2
(b) Obtenha a soma g +h e tente fazer agora (se vocˆ ainda n˜o fez) o item 6) do Exerc´
e a ıcio
6 da p´g. 23.
a
x−1
(c) Seja f : IR − {−1, 1} → IR a fun¸˜o dada por f (x) =
ca . Mostre que f n˜o ´ par
a e
x+1
e n˜o ´ ´
a e ımpar. Escreva f como a soma de uma fun¸˜o par com uma fun¸˜o ´
ca ca ımpar.
5) Prove que cada uma das fun¸˜es abaixo ´ invert´ (bijetora) e obtenha a inversa:
co e ıvel
(a) f : IR → IR dada por f (x) = 3x + 4 ;
1
(b) g : IR − {a} → IR − {0} dada por g(x) = (a ∈ IR) ;
x−a
x+a
(c) h : IR − {a} → IR − {1} dada por g(x) = (a ∈ IR) ;
x−a
√
(d) r : [1, +∞) → [0, +∞) dada por r(x) = x − 1 .
x
6) (Desafio) Seja g : (−1, 1) → IR dada por g(x) = . Prove que g ´ invert´
e ıvel
1 − |x|
(ou seja, bijetora) e obtenha g −1 .
15
7) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = 2x , mostre que f (x + 3) − f (x − 1) =
e .
2f (x)
1−x
8) Dada φ : (−1, 1) → IR dada por φ(x) = ln , verifique a igualdade:
1+x
a+b
φ(a) + φ(b) = φ
1 + ab

42. 38 CAP´
ITULO 2
9) (Decaimento exponencial) A massa de materiais radioativos, tais como o r´dio, o urˆnio
a a
ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a
taxa de decaimento da massa desses materiais ´ utilizando o conceito de meia-vida.
e
A meia-vida de um material radioativo ´ definida como o tempo necess´rio para que sua
e a
massa seja reduzida ` metade.
a
Denotando por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massa
presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela fun¸˜o exponencial dada por
ca
M = M0 e−Kt sendo t > 0 e K > 0 uma constante que depende do material.
A equa¸˜o acima ´ conhecida como modelo de decaimento exponencial.
ca e
Sabendo que a meia-vida do carbono-14 ´ de aproximadamente 5730 anos, determinar:
e
(a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material;
(b) A quantidade de massa presente ap´s dois per´
o ıodos de meia-vida, se no instante t = 0
a massa era M0 ;
(c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presen¸a do carbono-14 neste
c
´ 80% da quantidade original.
e
10) Uma certa substˆncia radioativa decai exponencialmente e, ap´s 100 anos, ainda restam
a o
60% da quantidade inicial.
(a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substˆncia.
a
(b) Determinar a sua meia-vida.
(c) Determinar o tempo necess´rio para que reste somente 15% de uma dada massa inicial.
a
11) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos das seguintes fun¸˜es:
c c a co
(a) f : IR → IR dada por f (x) = 2x ;
(b) g : IR → IR dada por g(x) = e−x ;
(c) h : IR → IR dada por h(x) = −ex ;
(d) s : IR − {0} → IR dada por s(x) = ln |x| ;
(e) l : (−∞, 0) → IR dada por l(x) = ln(−x) ;
(f) m : IR+ → IR dada por m(x) = |ln x| ;
(g) n : (−1, +∞) → IR dada por n(x) = − ln(1 + x) .

43. Fun¸˜es
co 39
ca e ´
12) Uma fun¸˜o f : X → IR ´ dita PERIODICA quando existe um n´mero T > 0 u
(chamado o per´ıodo de f ) tal que f (x + T ) = f (x) para todo x ∈ X . Neste caso, seu gr´fico
a
se repete a cada intervalo de comprimento T .
As fun¸oes trigonom´tricas constituem exemplos cl´ssicos de fun¸˜es peri´dicas:
c˜ e a co o
(a) Mostre que as fun¸˜es fn : IR → IR dadas por fn (x) = sen nx (n = 1, 2, 3, 4, . . .) s˜o
co a
todas ´
ımpares e peri´dicas de per´
o ıodo T = 2π .
(b) Mostre que as fun¸˜es gn : IR → IR dadas por gn (x) = cos nx (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .)
co
s˜o todas pares e peri´dicas de per´
a o ıodo T = 2π .
13) (F´rmulas de Transforma¸˜o) Prove as seguintes identidades trigonom´tricas:
o ca e
 sen 2 a = 1 − cos 2a



 2
 cos2 a = 1 + cos 2a



2

 cos a · cos b = 1 1
 · cos(a + b) + · cos(a − b)
2 2







1 1

sen a · sen b = · cos(a − b) − · cos(a + b)


 2 2



 sen a · cos b = 1 · sen (a + b) + 1


 · sen (a − b)
2 2
14) Seja f : IR − {x ∈ IR ; cos x = 0 } → IR dada por f (θ) = tg θ . Verifique:
2f (θ)
f (2θ) =
1 − [f (θ)]2
15) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos das seguintes fun¸˜es:
c c a co
(a) f : IR → IR dada por f (x) = sen 3x ;
(b) g : IR → IR dada por g(x) = 2 cos 2x ;
(c) h : IR → IR dada por h(x) = 1 + sen x ;
(d) s : IR → IR dada por s(x) = | sen x| ;
(e) l : IR → IR dada por l(x) = sen (x − (π/2)) .
16) Seja f : [1, 100] → IR dada por f (x) = arc sen [log10 (x/10)] . Obtenha f (1), f (100)
√
e f ( 10 ) .

44. 40 CAP´
ITULO 2
17) (Fun¸˜es Hiperb´licas) Definimos as fun¸˜es hiperb´licas b´sicas:
co o co o a
ex − e−x
• Fun¸˜o Seno Hiperb´lico: senh : IR → IR dada por senh x =
ca o
2
e + e−x
x
• Fun¸˜o Cosseno Hiperb´lico: cosh : IR → IR dada por cosh x =
ca o
2
(a) Fa¸a um esbo¸o do gr´fico das fun¸˜es senh e cosh.
c c a co
(b) Prove que cosh2 x − senh 2 x = 1 para todo x ∈ IR .
(c) Prove que cosh x ≥ 1 para todo x ∈ IR .
Definimos ainda:
senh x
tgh : IR → IR dada por tgh x =
cosh x
cosh x
ctgh : IR − {0} → IR dada por ctgh x =
senh x
1
sech : IR → IR dada por sech x =
cosh x
1
csch : IR − {0} → IR dada por csch x =
senh x
(d) Obtenha (prove) rela¸˜es entre as fun¸˜es tgh e sech e entre ctgh e csch .
co co
18) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 2 senh x − 3 tgh x . Obtenha f (2) , f (−1) e f (0) .
Respostas de exerc´
ıcios:
• Exerc´ da p´gina 17:
ıcio a
(A) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f1 (0) = 4 .
a a
f1 n˜o possui nenhum ponto de m´
a ınimo.
(B) M´ximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume o valor m´ximo absoluto f2 (1) = 3 .
a a
M´
ınimo absoluto (e local) em x = 3 onde assume o valor m´ınimo absoluto f2 (3) = −5 .
(C) M´
ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´
ınimo absoluto f3 (0) = 0 .
(D) M´ximo local em x = 0 onde assume o valor m´ximo local f4 (0) = 4 . M´
a a ınimo
absoluto (e local) no conjunto {−2, 2} , onde assume o valor m´
ınimo absoluto f4 (2) = 0 .
(E) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f5 (0) =
a a
1 . M´ınimo absoluto (e local) no conjunto {−1, 1} , onde assume o valor m´
ınimo absoluto

45. Fun¸˜es
co 41
f5 (−1) = 0 .
(F) f6 n˜o ´ fun¸˜o.
a e ca
(G) M´ximo local no conjunto (−∞, 1/4) , onde assume o valor m´ximo local f7 (−2) =
a a
−3 . M´ ınimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, 1/4] , onde assume o valor m´
ınimo absoluto
f7 (−4) = −3 .
(H) M´ximo absoluto (e local) em x = 2 onde assume o valor m´ximo absoluto f8 (2) = 2 .
a a
f8 n˜o possui nenhum ponto de m´
a ınimo.
(I) f9 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´
a a ınimo.
(J) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f10 (0) = 0 .
a a
f10 n˜o possui nenhum ponto de m´
a ınimo.
• Exerc´ da p´gina 29:
ıcio a
1) Im (f1 ) = IR . f1 n˜o ´ limitada. f1 ´ crescente em todo o seu dom´
a e e ınio. f1
n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´
a a ınimo. f1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo
e
−1 −1 y+1
inversa f1 : IR → IR dada por f1 (y) = .
3
2) Im (g1 ) = [0, +∞) . g1 n˜o ´ limitada. g1 ´ decrescente em (−∞, 1/3] e crescente
a e e
em [1/3, +∞) . g1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 1/3 onde assume
valor m´ınimo absoluto 0. g1 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo. g1 ´ sobrejetora mas
a a e
n˜o ´ injetora e por isso n˜o ´ invert´
a e a e ıvel.
3) Im (h1 ) = (−∞, 9] . h1 n˜o ´ limitada. h1 ´ crescente em (−∞, 0] e decrescente
a e e
em [0, +∞) . h1 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
a
m´ximo absoluto 9. h1 n˜o possui nenhum ponto de m´
a a ınimo. h1 n˜o ´ injetora e n˜o ´
a e a e
sobrejetora, e por isso n˜o ´ invert´
a e ıvel.
4) Im (p1 ) = (0, 6] . p1 ´ limitada. p1 ´ crescente (em todo o seu dom´
e e ınio). p1 possui
ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor m´ximo 6. p1 n˜o possui
a a a
−1
nenhum ponto de m´ ınimo. p1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo inversa p1 : (0, 6] → (0, 3]
e
−1 w
dada por p1 (w) = .
2
5) Im (q1 ) = [−3, +∞) . q1 n˜o ´ limitada. q1 ´ crescente em [0, 1] e decrescente
a e e
em (−∞, 0] e em [1, 5] . q1 possui ponto de m´ximo local em x = 1 onde assume valor
a
m´ximo local 1. q1 possui ponto de m´
a ınimo absoluto (e local) em x = 5 onde assume valor
m´ınimo absoluto −3 e possui ponto de m´ ınimo local em x = 0 onde assume valor m´ ınimo
local 0. q1 n˜o ´ injetora e n˜o ´ sobrejetora, e por isso n˜o ´ invert´
a e a e a e ıvel.
6) Im (r1 ) = [0, +∞) . r1 n˜o ´ limitada. r1 ´ crescente em [0, 3/2] e em [3, +∞)
a e e
e decrescente em [3/2, 3] . r1 possui ponto de m´ximo local em x = 3/2 onde assume
a

46. 42 CAP´
ITULO 2
valor m´ximo local 9/4. r1 possui ponto de m´
a ınimo absoluto (e local) no conjunto {0, 3}
onde assume valor m´ınimo absoluto 0. r1 ´ sobrejetora mas n˜o ´ injetora e por isso n˜o ´
e a e a e
invert´
ıvel.
7) Im (s1 ) = [2, +∞) . s1 n˜o ´ limitada. s1 ´ decrescente em (−∞, 0] e crescente
a e e
em [0, +∞) . s1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
m´ınimo absoluto 2. s1 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo. s1 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´
a a a e a e
injetora, e por isso n˜o ´ invert´
a e ıvel.
8) Im (u1 ) = [2, 11] . u1 ´ limitada. u1 ´ decrescente em [−2, 0] e crescente em [0, 3] .
e e
u1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor m´ınimo absoluto
2. u1 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor m´ximo
a a
absoluto 9 e possui ponto de m´ximo local em x = −2 onde assume valor m´ximo local 6.
a a
u1 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´ invert´
a e a e a e ıvel.
9) Im (v1 ) = IR+ . v1 n˜o ´ limitada. v1 ´ crescente em todo o seu dom´
a e e ınio. v1
n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´
a a ınimo. v1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo
e
−1 + + −1 √
inversa v1 : IR → IR dada por v1 (z) = z .
10) Im (f2 ) = (−∞, 0] . f2 n˜o ´ limitada. f2 ´ crescente em (−∞, 0] e decrescente
a e e
em [0, +∞) . f2 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
a
m´ximo absoluto 0. f2 n˜o possui nenhum ponto de m´
a a ınimo. f2 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´
a e a e
injetora, e por isso n˜o ´ invert´
a e ıvel.
11) Im (g2 ) = IR . g2 n˜o ´ limitada. g2 ´ decrescente em todo o seu dom´
a e e ınio. g2
n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´
a a ınimo. g2 ´ injetora e sobrejetora, possuindo
e
−1 −1
inversa g2 : IR → IR dada por g2 (y) = −3y + 3 .
12) Im (h2 ) = (−∞, 2) . h2 n˜o ´ limitada. h2 ´ decrescente em todo o seu dom´
a e e ınio.
h2 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´
a a ınimo. h2 ´ injetora mas n˜o ´ sobrejetora
e a e
e por isso n˜o ´ invert´
a e ıvel.
13) Im (p2 ) = (−∞, 0] . p2 n˜o ´ limitada. p2 ´ decrescente em todo o seu dom´
a e e ınio. p2
possui nenhum ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo
a a
absoluto 0. p2 n˜o possui nenhum ponto de m´
a ınimo. p2 ´ injetora e sobrejetora, possuindo
e
2
t
inversa p−1 : (−∞, 0] → [0, +∞) dada por p−1 (t) =
2 2 .
2
14) Im (q2 ) = {0, 1} . q2 ´ limitada. q2 n˜o ´ crescente ou decrescente em intervalo
e a e
algum. q2 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) no conjunto [1, 3] onde assume valor
a
m´ximo absoluto 1. q2 possui ponto de m´
a ınimo local no conjunto (1, 3) onde assume valor
m´ınimo local 1. q2 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] onde
assume valor m´ ınimo absoluto 0. q2 possui ponto de m´ximo local no conjunto IR − [1, 3]
a
onde assume valor m´ximo local 0. q2 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´
a a e a e a e

47. Fun¸˜es
co 43
invert´
ıvel.
15) Im (r2 ) = {0} ∪ [3, 11] . r2 ´ limitada. r2 ´ crescente em [1, 3] . r2 possui ponto
e e
de m´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor m´ximo absoluto 11. r2 possui
a a
ınimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] onde assume valor m´
ponto de m´ ınimo absoluto
0. r2 possui ponto de m´ximo local no conjunto IR − [1, 3] onde assume valor m´ximo local
a a
0. r2 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´ invert´
a e a e a e ıvel.
16) Im (s2 ) = IR . s2 n˜o ´ limitada. s2 ´ decrescente em (−∞, 0] e em [0, +∞) . s2
a e e
n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´
a a ınimo. s2 ´ injetora e sobrejetora, possuindo
e
−1
inversa s2 = s2 .
17) Im (v2 ) = {−π} ∪ [0, +∞) . v2 n˜o ´ limitada. v2 ´ crescente em [0, +∞) .
a e e
v2 possui ponto de m´ximo local em (−∞, −1) onde assume valor m´ximo local −π. v2
a a
possui ponto de m´ınimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, −1) onde assume valor m´ınimo
absoluto −π. v2 possui ponto de m´ ınimo local em x = 0 onde assume valor m´
ınimo local 0.
v2 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´ invert´
a e a e a e ıvel.
18) Im (f3 ) = [0, 1] . f3 ´ limitada. f3 ´ crescente em (−1, 0] e decrescente em [0, 1] .
e e
f3 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume valor m´ximo absoluto
a a
1. f3 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor m´ ınimo
absoluto 0. f3 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´ invert´
a e a e a e ıvel.
• Exerc´ da p´gina 36 (antes da Se¸˜o 2.7):
ıcio a ca
Fun¸˜o COSSENO:
ca
cos : IR −→ IR
(Gr´fico)
a
x −→ cos x
Im (cos) = [−1, 1]
cos(−x) = cos x (´ uma fun¸˜o PAR)
e ca
e ca ´
cos(x + 2π) = cos x (´ uma fun¸˜o PERIODICA de per´
ıodo T = 2π)
A fun¸˜o COSSENO ´ ...
ca e
... CRESCENTE em [kπ, (k + 1)π] , k ´
IMPAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kπ, (k + 1)π] , k PAR, k ∈ Z
´
Assume o VALOR MAXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ (k ∈ Z)
Assume o VALOR M´
INIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + π (k ∈ Z)

48. 44 CAP´
ITULO 2
1
Se cos x = 0 , ent˜o definimos sec x =
a .
cos x
Assim, sec : IR − {kπ + π/2 , k ∈ Z} → IR associa x → sec x = 1/ cos x . (Gr´fico)
a
˜ ´ ˜ ´
A fun¸˜o COSSENO NAO E injetora e NAO E sobrejetora, mas a quando restringimos seu
ca
dom´ ınio, temos uma nova fun¸˜o g : [0, π] −→ [−1, 1] , a qual ´ BI-
ınio e seu contra-dom´ ca e
x −→ cos x
−1
JETORA (Gr´fico) e tem portanto inversa g : [−1, 1] −→ [0, π]
a (Gr´fico)
a
y −→ g −1 (y) = arc cos y
Fun¸˜o TANGENTE:
ca
tg : IR − {x ∈ IR ; cos x = 0 } −→ IR
sen x (Gr´fico)
a
x −→ tg x =
cos x
Im ( tg ) = IR
tg (−x) = − tg x (´ uma fun¸˜o ´
e ca IMPAR)
e ca ´
tg (x + π) = tg x (´ uma fun¸˜o PERIODICA de per´
ıodo T = π)
A fun¸˜o TANGENTE ´ ...
ca e
... CRESCENTE em [kπ − π/2, kπ + π/2] , k ∈ Z
NAO ASSUME VALOR MAXIMO OU M´
˜ ´ INIMO EM NENHUM PONTO.
1 cos x
Se tg x = 0 , ent˜o definimos ctg x =
a = .
tg x sen x
cos x
Assim, ctg : IR − {x ∈ IR ; sen x = 0 } → IR associa x → ctg x = 1/ tg x = .
sen x
(Gr´fico)
a
´ ˜ ´
A fun¸˜o TANGENTE E SOBREJETORA e NAO E injetora, mas a quando restringimos
ca
ınio temos uma nova fun¸˜o h : (−π/2, π/2) −→ IR
seu dom´ ca , a qual ´ BIJETORA
e
x −→ tg x
(Gr´fico) e tem portanto inversa
a h−1 : IR −→ (−π/2, π/2) (Gr´fico)
a
y −→ h−1 (y) = arc tg y

49. Fun¸˜es
co 45
• Exerc´ıcios da Se¸˜o 2.7:
ca
x+7
1) f (x) = .
3
x2 2
2) g(x) = + 2x + .
3 3
−4x3 + 15x2 − 11x
3) (b) h : IR → IR dada por h(x) = .
30
x2 + 1 2x
4) (b) g + h = f (c) f (x) = + .
x2 − 1 1 − x2
y−4
5) (a) f −1 : IR → IR dada por f −1 (y) = .
3
1 + aw
(b) g −1 : IR − {0} → IR − {a} dada por g −1 (w) = .
w
a + az
(c) h−1 : IR − {1} → IR − {a} dada por h−1 (z) = .
z−1
(d) r−1 : [0, +∞) → [1, +∞) dada por r−1 (x) = x2 + 1 .
log 2 [− log(0, 8)] · 5730
9) (a) K = (b) M0 /2 (c) t = ≈ 1846 anos.
5730 log 2
log 0, 6
·t −100. log 2
10) (a) M = M0 · e 100 (b) t1/2 = ≈ 135, 6915448856724 anos.
log 0, 6
100. log 0, 15
(c) t = ≈ 371, 3830897713448167 anos.
log 0, 6
√
16) f (1) = −π/2 , f (100) = π/2 , f ( 10 ) = −π/6 .
17) (d) 1 − tgh 2 x = sech 2 x e 1 − ctgh 2 x = − csch 2 x .
e8 − 3e6 + 3e2 − 1 1 − 3e + 3e3 − e4
18) f (2) = , f (−1) = , f (0) = 0 .
e6 + e2 e3 + e

50. 46 CAP´
ITULO 2

51. Cap´
ıtulo 3
Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca
3.1 Motiva¸˜o
ca
Seja dada uma fun¸˜o f : X → Y (X, Y ⊂ IR) .
ca
Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhan¸a de x por uma
c
fun¸˜o cujo gr´fico ´ uma reta ´ atrav´s da reta tangente ao gr´fico de f no ponto (x, f (x)) ,
ca a e e e a
se houver esta tangente.
Conseq¨ˆncia: Podemos relacionar uma s´rie de informa¸˜es sobre o comportamento de
ue e co
f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gr´fico de f em cada ponto (onde existir).
a
Por exemplo:
(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.
47

52. 48 CAP´
ITULO 3
(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo.
f assumindo m´ximo ou m´
a ınimo local
(C) ⇒ mt = 0 no ponto de m´ximo ou m´
a ınimo.
no interior de um intervalo
Concavidade do gr´fico de f
a
(D) ⇒ mt crescente neste intervalo.
voltada para cima, em um intervalo
Concavidade do gr´fico de f
a
(E) ⇒ mt decrescente neste intervalo.
voltada para baixo, em um intervalo
Obtendo “mt ” (coeficiente angular da reta tangente)
Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter o
coeficiente angular mta da reta ta , tangente ao gr´fico de f no ponto (a, f (a)) :
a

53. Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca 49
¸˜
Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMACOES POR RETAS SECANTES”:
Para cada x = a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),
secante ao gr´fico de f , passando pelos pontos (a, f (a)) e (x, f (x)) :
a
Temos ent˜o uma fun¸˜o
a ca msa : I − {a} → IR
f (x) − f (a)
x → msa (x) =
x−a
Nos interessa investigar o comportamento de msa (x) (coeficiente angular das secantes)
quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x → a ).
O esperado ´ que, quando x → a , msa (x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum
e
n´mero real e teremos
u
msa (x) → mta ∈ IR , quando x → a
Neste caso, dizemos que a fun¸˜o f ´ deriv´vel no ponto a, existe a reta tangente ao gr´fico
ca e a a
de f no ponto (a, f (a)) e seu coeficiente angular mta ´ chamado a derivada de f no ponto
e
a (escrevemos f (a) ).
´
Obs.: E fundamental, para fazermos x → a , que possamos aproximar o ponto a por uma
seq¨ˆncia de pontos do dom´
ue ınio X de f , diferentes de a.
Exemplo:

54. 50 CAP´
ITULO 3
Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,
Dada uma fun¸˜o g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por
ca
pontos x ∈ X , x = a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x → a
(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) → L ∈ IR quando
x→a.
3.2 Limites
Dada uma fun¸˜o f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f (x) quando
ca
x se aproxima de a , x = a .
Para isso, a n˜o precisa pertencer ao dom´
a ınio de f , mas deve ser aproximado por pontos
do dom´
ınio:
Defini¸˜o 3.1. (Ponto de acumula¸˜o): Um ponto a ´ chamado um PONTO DE ACUMULACAO
ca ca e ¸˜
do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, t˜o pr´ximos de a
a o
quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.
Denotamos por X o conjunto dos pontos de acumula¸˜o de X.
ca
Exemplos:
(A) A = [−1, 3)
(B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)
(C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ {7}

55. Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca 51
Consideremos agora, por exemplo, a fun¸˜o f : IR − {1} → IR dada por
ca
3x2 − 2x − 1
f (x) =
x−1
a ınio de f , mas ´ ponto de acumula¸˜o de IR − {1} . Podemos
1 n˜o pertence ao dom´ e ca
ent˜o observar o comportamento de f (x) quando x → 1 (x se aproxima de 1, x = 1)
a
Temos:
x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
f (x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997 f (x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003
Observemos que f (x) se aproxima cada vez mais de 4 ` medida que x → 1 .
a
Dizemos ent˜o que 4 ´ o limite de f (x) quando x tende a 1 (x → 1) e escrevemos:
a e
3x2 − 2x − 1
lim = 4.
x→1 x−1
A defini¸˜o de limite
ca
Defini¸˜o 3.2. Sejam f : X → IR uma fun¸˜o e a ∈ X
ca ca (a ´ ponto de acumula¸˜o do
e ca
dom´
ınio - n˜o precisa pertencer a X).
a
Dizemos que um n´mero real L ´ o LIMITE de f (x) quando x tende a a , e escrevemos
u e
lim f (x) = L
x→a
quando ...
... podemos obter f (x) t˜o pr´ximo de L quanto
a o
desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por va-
lores (no dom´nio de f ) diferentes de a .
ı
TRADUZINDO
... para cada > 0 dado, ´ poss´ obter um
e ıvel
δ > 0 (em geral dependendo do ) tal que :
se x ∈ X e 0 < |x − a| < δ ent˜o |f (x) − L| < .
a

56. 52 CAP´
ITULO 3
Alguns limites fundamentais
• Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = c ∀ x ∈ IR (fun¸˜o constante).
ca
Para cada a ∈ IR temos:
lim f1 (x) = lim c = c
x→a x→a
• Seja f2 : IR → IR dada por f2 (x) = x ∀ x ∈ IR (fun¸˜o identidade).
ca
Para cada a ∈ IR temos:
lim f2 (x) = lim x = a
x→a x→a
• Seja f3 : IR → IR dada por f3 (x) = sen x ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim sen x = 0
x→0
• Seja f4 : IR → IR dada por f4 (x) = cos x ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim cos x = 1
x→0
sen x
• Seja f5 : IR − { 0} → IR dada por f5 (x) = ∀x=0.
x
Temos:
sen x
lim =1
x→0 x
cos x − 1
• Seja f6 : IR − { 0} → IR dada por f6 (x) = ∀x=0.
x
Temos:
cos x − 1
lim =0
x→0 x
ex − 1
• Seja f7 : IR − { 0} → IR dada por f7 (x) = ∀x=0.
x
Temos:
ex − 1
lim =1
x→0 x

57. Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca 53
3.3 Teoremas para (ajudar no) c´lculo de limites
a
Teorema 3.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X . Temos:
lim f (x) = L ⇔ lim (f (x) − L) = 0 ⇔ lim |f (x) − L| = 0
x→a x→a x→a
Em particular, considerando L = 0 , temos: lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0 .
x→a x→a
Exemplo: Sabemos que lim x = 0 . Ent˜o segue que lim |x| = 0 .
a
x→0 x→0
Teorema 3.2. (Sandu´che) Sejam f , g , h fun¸˜es tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo
ı co
x = a em um intervalo aberto contendo a .
Se lim f (x) = L = lim h(x) , ent˜o lim g(x) = L .
a
x→a x→a x→a
Exemplo: Vamos mostrar que lim sen x = 0 .
x→0

58. 54 CAP´
ITULO 3
Teorema 3.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X e lim f (x) = L , lim g(x) = M . Ent˜o:
a
x→a x→a
lim [f (x) ± g(x)] = L ± M ;
x→a
lim f (x) · g(x) = L · M ;
x→a
f (x) L
lim = se M = 0 ;
x→a g(x) M
n
√
n e´
se n ´ IMPAR e L ´ qualquer real
e
lim f (x) = L
x→a se n ´ PAR e L > 0
e
Exemplos:
(A) Seja p : IR → IR dada por p(x) = cn xn + cn−1 xn−1 + . . . + c1 x + c0 ,
com cn , cn−1 , . . . , c1 , c0 ∈ IR (constantes) e cn = 0 ( p ´ uma fun¸˜o polinomial de grau n).
e ca

59. Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca 55
(B) Fun¸˜es racionais (quocientes de fun¸˜es polinomiais)
co co
(C) lim cos x = 1
x→0

60. 56 CAP´
ITULO 3
sen x
(D) lim =1
x→0 x
cos x − 1
(E) lim =0
x→0 x

61. Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca 57
Teorema 3.4. Se lim f (x) = 0 e g ´ limitada num intervalo aberto contendo o ponto a
e
x→a
(sem precisar estar definida em a), ent˜o lim f (x) · g(x) = 0 .
a
x→a
(Exemplo)
Teorema 3.5. (Troca de vari´veis) Se lim f (u) = L , lim u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e
a
u→b x→a
x = a ⇒ u = b , ent˜o
a
lim f (u(x)) = lim f (u) = L
x→a u→b
Exemplos:
sen 4x
(A) lim
x→0 4x
sen 3x
(B) lim
x→0 x
5x − 1
(C) lim
x→0 x

62. 58 CAP´
ITULO 3
3.4 Exerc´
ıcios
f (x)
(A) Prove que se lim f (x) = L = 0 e lim g(x) = 0 ent˜o
a (n˜o existe) lim
a .
x→a x→a x→a g(x)
f (x) f (x)
Sugest˜o: Suponha que exista lim
a = M e considere lim f (x) = lim · g(x) .
x→a g(x) x→a x→a g(x)
(B) Calcule os limites abaixo, justificando:
√ √
x2 − 9 3 + 2x x+2− 2
1) lim 2) lim 3) lim Sugest˜o: racionalize o numerador
a
x→3 x − 3 x→1/2 5 − x x→0 x
x−2
4) lim Sugest˜o: use que (an − bn ) = (a − b).(an−1 + an−2 b + . . . + abn−2 + bn−1 )
a
x→2 x4 − 16
x+3 |x| x2 + 5x + 6 1
5) lim 6) lim √ 7) lim 8) lim √
x→−3 (1/x) + (1/3) x→0 x4 + 7 x→−3 x2 − x − 12 u→1 5−u
√
3 1 4− 16 + h 3 2 + 5x − 3x3 y3 + 8
9) lim x sen √ 10) lim 11) lim 12) lim
x→0 3
x h→0 h x→3 x2 − 1 y→−2 y+2
1 − cos t x2 − x − 2 3x2 − 17x + 20 sen 3w
13) lim 14) lim 2
15) lim 2 − 25x + 36
16) lim
t→0 sen t x→2 (x − 2) x→4 4x w→0 sen 5w
√3
h+1−1 1 + tg x sen 2 2t sen x
17) lim 18) lim 19) lim 20) lim
h→0 h x→0 sen x t→0 t2 x→π x − π
x 1 − cos x 3x − 1 3x2
21) lim 22) lim 23) lim 24) lim
x→0 cos x x→0 x2 x→0 x x→0 1 − cos2 (x/2)
√
x5 − (1/ 2)5 (x − 1)(x + 2) x2 − 9
25) lim√ √ 26) lim 27) lim
x→1/ 2 x − (1/ 2) x→−2 x2 + 4x + 4 x→3 x−3
e7y − 1 (1 − sec x). ctg x. cos x
28) lim 29) lim
y→0 sen y x→0 x
√
x2 − 6x + 9 π 3 − πx x − π/2
30) lim 31) lim√ √ 32) lim
x→3 (x + 1)(x − 3) x→ 3 x3 − 3 3 x→π/2 cos x
sen 3 x 3 1 − e2y
33) lim 34) lim
x→0 5x(1 − cos x) y→0 y
√
3x − 3 2 sen πy x2 − 1
35) lim
√ 36) lim 37) lim
x→ 2 x6 − 8 y→0 y x→1 (1 − x)3

63. Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca 59
1 + cos x ex + sen 2 x − 1
38) lim 39) lim
x→−π x+π x→0 x
3 x−3 x3 + 2x2 + x e sen x − 1
40) lim 41) lim 42) lim
x→3 27 − x3 x→−1 x+1 x→0 2x
sen 7y + cos πy − 1 1 − cos x
43) lim 44) lim √
y→0 y x→0 5 · x · sen x
√
x3 − 3 3 e2y − 1
45) lim
√ √ 46) lim
x→ 3 4x − 4 3 y→0 sen (3y)
x3 + x2 − x − 1 1 − sen x
47) lim 48) lim
x→−1 x3 − x x→π/2 x − (π/2)
Teoremas adicionais sobre limites
Teorema 3.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X .
O lim f (x) , quando existe, ´ unico.
e´
x→a
Teorema 3.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X . Se existe L = lim f (x) ent˜o a fun¸˜o f ´
a ca e
x→a
LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.
1
Exemplo: Seja f : IR − {0} → IR dada por f (x) = ∀x=0.
x
e ca ınio IR − {0} .
0 ´ ponto de acumula¸˜o do dom´
˜ 1
Podemos afirmar que NAO EXISTE o lim , pois f n˜o ´ limitada em nenhum
a e
x→0 x
intervalo aberto contendo 0 .
Teorema 3.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X e L = lim f (x) .
x→a
Se L > M ent˜o f (x) > M para todo x = a do dom´
a ınio em um intervalo aberto
contendo o ponto a .
Em particular, se lim f (x) > 0 ent˜o f (x) > 0 para todo x = a do dom´
a ınio em um
x→a
intervalo aberto contendo a .
Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim f (x) = L < M .
x→a

64. 60 CAP´
ITULO 3
Teorema 3.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X .
Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X
menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f :
lim f (x)
x→a+
(limite de f (x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto ´, por valores x ∈ X, com x > a)
e
lim f (x)
x→a−
(limite de f (x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto ´, por valores x < a em X)
e
Temos, neste caso, que existe L = lim f (x) se, e somente se, existem e s˜o iguais a L
a
x→a
ambos os limites laterais, ou seja: lim f (x) = lim− f (x) .
x→a+ x→a
|x|
Exemplos: (a) Seja f : IR − {0} → IR dada por f (x) = .
x
(b)
´
Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBEM PARA LIMITES LATERAIS,
¸˜
COM AS DEVIDAS ADAPTACOES !

65. Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca 61
Exerc´
ıcios:
1) Sejam f, g : IR → IR dadas por:
x3 + 3 se x ≤ 1 x2 se x ≤ 1
f (x) = g(x) =
x+1 se x > 1 2 se x > 1
Fa¸a um estudo sobre os limites:
c lim f (x) lim g(x) lim (f.g)(x)
x→1 x→1 x→1
f (x) − f (a) f (a + h) − f (a)
2) Mostre que lim = lim (se existirem)
x→a x−a h→0 h
3) Para cada fun¸˜o f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩ X (a ´ ponto do dom´
ca e ınio e
ponto de acumula¸˜o do dom´
ca ınio), tamb´m fornecido, obtenha
e
mta = coeficiente angular da reta tangente ao gr´fico de f no ponto (a, f (a)).
a
(a) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = 3x − 1 e a = −5 .
(b) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = −x2 e a = 3 .
(c) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = sen x e a = π/6 .
(d) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = cos x e a = π/6 .
(e) f5 : IR → IR dada por f5 (x) = ex e a = 2 .
√
(f) f6 : (0, +∞) → IR dada por f6 (x) = 1/x e a = 2.
Fa¸a ainda um esbo¸o e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esbo¸o.
c c c
Sugest˜es:
o
Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa (x) das secantes por (a, f (a)) e (x, f (x)),
fazendo x → a.
Para as letras (c),(d) e (e), use tamb´m o exerc´ anterior.
e ıcio
Pode tentar tamb´m fazer antes o Exerc´ 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e-
e ıcio
xerc´ se torna um caso particular.
ıcio
4) Para cada fun¸˜o f : X → IR do exerc´ anterior, tente generalizar o resultado, obtendo
ca ıcio
mta para um a ∈ X qualquer !

66. 62 CAP´
ITULO 3
3.5 Continuidade
Defini¸˜o 3.3. Consideremos uma fun¸˜o f : X → IR tal que X ⊂ X
ca ca (todo ponto do
dom´
ınio ´ ponto de acumula¸˜o).
e ca
´ ´
Dado um ponto a , dizemos que f E CONTINUA NO PONTO a quando as seguintes
condi¸˜es s˜o satisfeitas:
co a
1) Existe f (a) (ou seja, a ∈ X);
2) Existe lim f (x) ;
x→a
3) lim f (x) = f (a) .
x→a
Se f n˜o ´ cont´nua em um ponto a pertencente a seu dom´
a e ı ´
ınio, dizemos que f E
´
DESCONTINUA EM a, ou que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.
e ¸˜ ´
Dizemos que f : X → IR ´ uma FUNCAO CONTINUA EM X quando ela ´ cont´
e ınua em
todos os pontos de seu dom´nio.
ı
Exemplos: (e contra-exemplos)
(A) Toda fun¸ao polinomial ´ cont´
c˜ e ınua !
(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :
(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOV´
IVEL:
(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:

67. Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca 63
Continuidade e opera¸˜es entre fun¸˜es
co co
Teorema 3.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X e a ∈ X .
Se f e g s˜o cont´nuas no ponto a ∈ X , ent˜o:
a ı a
(f ± g) s˜o cont´nuas em a ;
a ı
(f · g) ´ uma fun¸˜o cont´nua em a ;
e ca ı
(f /g) ´ cont´nua em a se g(a) = 0 .
e ı
Teorema 3.11. (Composi¸˜o) Sejam f : X → IR (X ⊂ X ) e g : Y → IR (Y ⊂ Y ) de
ca
forma que a composta g ◦ f : X → IR est´ bem definida
a
Se f ´ cont´nua em a ∈ X e g ´ cont´
e ı e ınua em b = f (a) ∈ Y ent˜o a composta
a
g ◦ f : X → IR ´ cont´nua no ponto a ∈ X .
e ı
Fun¸˜es cont´
co ınuas em intervalos
• Quando estudamos problemas sobre m´ximos e m´
a ınimos, podemos ter fun¸˜es que n˜o
co a
assumem valores m´ximos e/ou m´
a ınimos.
Por exemplo:
f : IR → IR dada por f (x) = x NAO ASSUME MAXIMO NEM M´
˜ ´ INIMO !
g : (−1, 2) → IR dada por g(x) = x NAO ASSUME MAXIMO NEM M´
˜ ´ INIMO !

68. 64 CAP´
ITULO 3
Existe uma situa¸˜o (envolvendo continuidade) na qual estes problemas n˜o ocorrem:
ca a
Teorema 3.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b] → IR ´ uma fun¸˜o cont´
e ca ınua (em todos os pontos
do intervalo limitado e fechado [a, b]), ent˜o f assume valores m´ximo e m´
a a ınimo absolutos
neste intervalo [a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que
f (cM ) ≥ f (x) para todo x ∈ [a, b]
f (cm ) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b]
• Outra boa propriedade das fun¸˜es cont´
co ınuas ´ a “PROPRIEDADE DO VALOR IN-
e
´
TERMEDIARIO”:
Teorema 3.13. (Teorema do valor intermedi´rio) Se f : X → IR ´ cont´
a e ınua no intervalo
[a, b] ⊂ X e f (a) = f (b) , ent˜o f assume todos os valores entre f (a) e f (b) , ou mellhor,
a
dado qualquer d entre f (a) e f (b) , existe x entre a e b tal que f (x) = d .
(Ilustra¸˜o)
ca
(Exemplo)

69. Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca 65
3.6 Exerc´
ıcios
√
1) Seja f : [0, +∞) → IR dada por f (x) = x .
√ √
(i) Mostre que lim x = 0 (Sugest˜o: Considere apenas o limite lateral lim x - pois 0
a
x→0 x→0 +
√ √
s´ pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare x com x para 0 < x < 1 )
o 3
(ii) Conclua que f ´ cont´
e ınua (em todos os pontos de seu dom´
ınio).
√
x
(iii) Mostre que lim (racionalize).
x→0 x
√
(iv) Generalize para g : [0, ∞) → IR dada por g(x) = n x , n = 2, 4, 6, 8, . . .
2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f ´ cont´
e ınua ou n˜o),
a
justificando:
√
(a) f : (−∞, 16] → IR dada por f (x) = 16 − x .
1
(b) f : [0, +∞) → IR dada por f (0) = 0 e f (x) = se x = 0 .
x2
 x+1

 3
 x +1 se x = −1
(c) f : IR → IR dada por f (x) = .


3 se x = −1

x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0
3) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
−x + 2 se x ≥ 0
(a) Discuta a CONTINUIDADE de f .
(b) A equa¸˜o f (x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE.
ca
x3 − x − 3 se x < 2
4) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
5−x se x ≥ 2
(a) Onde f ´ cont´
e ınua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2)
(b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe
x tal que f (x) = 0 ? JUSTIFIQUE.

70. 66 CAP´
ITULO 3
2x + 1 se x ≤ 3
5) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
−x2 + 8x − 8 se x > 3
(a) Responda se f ´ cont´
e ınua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).
(b) Sabendo que f ´ crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10, +∞) , podemos
e
afirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f (xM ) ≥ f (x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE)
x+1 se x < −1
6) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
1 + sen (x + 1) se x ≥ −1
ınua em a = −1 . (JUSTIFIQUE).
(a) Responda se f ´ cont´
e
(b) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , ´ poss´ afirmar que dado d entre f (a) e f (b), existe c entre
e ıvel
a e b com f (c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.
sen [π(x − 1)]
7) (a) Seja f : IR → IR uma fun¸˜o tal que f (x) =
ca ∀ x = 1 . f pode ser
x−1
cont´
ınua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f (1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se
n˜o, JUSTIFIQUE.
a
|x − 1|
(b) Seja g : IR → IR uma fun¸˜o tal que g(x) =
ca ∀ x = 1 . g pode ser cont´
ınua
x−1
em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se n˜o,a
JUSTIFIQUE.
Respostas de exerc´
ıcios:
• Exerc´ (B) da Se¸˜o 3.4:
ıcio ca
√
8 2 1 1 1 1
1) 6 2) 3) 4) 5) −9 6) 0 7) 8) 9) 0 10) −
9 4 32 7 2 8
3 1
11) −2 12) 12 13) 0 14) (n˜o existe)
a 15) 1 16) 17) 18)
5 3
1
19) 4 20) −1 21) 0 22) 23) ln 3 24) 12 25) 5/4 26)
2
√ π
27) 6 28) 7 29) −1/2 30) 0 31) − 32) −1
9
√
2 √
3 2 √
33) 34) − 2 35) 36) π 37) 38) 0
5 16
1 1
39) 1 40) − 41) 0 42) 43) 7
3 2

71. Limite de uma fun¸˜o e Continuidade
ca 67
1 9 2
44) √ 45) 46) 47) 0 48) 0
2 5 4 3
• Exerc´
ıcios da p´gina 61:
a
1) lim f (x) , lim g(x) , lim (f.g)(x) = 4
x→1 x→1 x→1
2) Fa¸a a mudan¸a de vari´veis x − a = h e aplique o Teorema sobre limites de fun¸˜es
c c a co
compostas !
3) (a) f1 (−5) = mt−5 = 3
(b) f2 (3) = mt3 = −6
√
3
(c) f3 (π/6) = mtπ/6 =
2
1
(d) f4 (π/6) = mtπ/6 =−
2
(e) f5 (2) = mt2 = e2
√ 1
(f) f6 ( 2) = mt√2 = −
2
4) (a) f1 (a) = 3
(b) f2 (a) = −2a
(c) f3 (a) = cos a
(d) f4 (a) = − sen a
(e) f5 (a) = ea
1
(f) f6 (a) = −
a2
• Exerc´
ıcios da Se¸˜o 3.6:
ca
2) Cont´
ınua em...
√
a) ... (−∞, 16] . Em a = 16 temos: lim− 16 − x = 0 = f (16)
x→16
b) ... (0, +∞) . Em a = 0 temos: lim f (x)
x→0+
c) ... IR − {−1} . Em a = −1 temos: ∃ lim f (x) = 1/3 = f (−1)
x→−1

72. 68 CAP´
ITULO 3
3) (a) f ´ cont´
e ınua em todo a = 0 e n˜o ´ cont´
a e ınua em a = 0 .
ca e ınua no intervalo [−2, −1] e f (−2) < 0 < f (−1) , temos
(b) Como a fun¸˜o f ´ cont´
´
ent˜o pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIARIO que existe x entre −2 e −1 tal que
a
f (x) = 0 .
4) ınua em todo a ∈ IR .
(a) f ´ cont´
e
(b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a fun¸˜o ´ cont´
ca e ınua e “muda de sinal”.
´
O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIARIO nos garante que sob estas condi¸˜es a fun¸˜o co ca
assume o valor 0 (zero) nestes intervalos.
5) (a) f ´ cont´
e ınua em a = 3 (verificados tamb´m os limites laterais).
e
(b) SIM! f ´ cont´
e ınua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume a´ı
m´ximo absoluto em um ponto xM deste intervalo. Mostra-se ent˜o (com as outras hip´teses)
a a o
que f (xM ) ≥ f (x) ∀ x ∈ IR .
6) ınua em a = −1 (
(a) f n˜o ´ cont´
a e lim f (x) ).
x→−1
˜
(b) NAO PODEMOS! Contra-exemplo: considere f no intervalo [−2, −1] . Temos:
−1 = f (−2) < 1/2 < f (−1) = 1 mas n˜o existe nenhum c ∈ [−2, −1] tal que f (c) = 1/2 .
a
7) (a) SIM! f (1) = π para que f seja cont´
ınua em x = 1 .
˜
(b) NAO ! g n˜o pode ser cont´
a ınua em x = 1 , qualquer que seja o valor de g(1) .

73. Cap´
ıtulo 4
Derivada
4.1 A defini¸˜o da Derivada
ca
Defini¸˜o 4.1. Consideremos uma fun¸˜o f : X → IR , com X ⊂ X
ca ca (todo ponto do
dom´
ınio ´ ponto de acumula¸˜o do dom´
e ca ınio).
´
Dizemos que f ´ DERIVAVEL em a ∈ X quando existe o limite
e
f (x) − f (a) f (a + h) − f (a)
f (a) = lim = lim
x→a x−a h→0 h
O n´mero f (a) ∈ IR ´ chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.
u e
Observa¸˜es:
co
• Em nossas aplica¸˜es, o dom´ X ser´ quase sempre um intervalo (e j´ teremos X ⊂ X );
co ınio a a
• Outras nota¸˜es para f (a) :
co
df df dy
f (a) = Dx f (a) = (a) = ou ainda f (a) = y (a) = (a) , se y = f (x)
dx dx x=a dx
• Podemos considerar a fun¸˜o f : x → f (x) definida em todos os pontos x ∈ X onde
ca
¸˜
existir f (x) . f ´ chamada a FUNCAO DERIVADA DE f .
e
69

74. 70 CAP´
ITULO 4
Interpreta¸˜o geom´trica
ca e
J´ vimos, como motiva¸˜o para o estudo de limites, que se f : X → IR ´ deriv´vel em
a ca e a
a ∈ X , ent˜o f (a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gr´fico
a a
de f no ponto (a, f (a)) :
Vimos tamb´m que o conhecimento de f (a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos
e
trazer uma s´rie de informa¸˜es sobre o comportamento da fun¸˜o f .
e co ca
Primeiros exemplos:
(A) Fixemos c ∈ IR (constante) e seja f : IR → IR dada por f (x) = c ∀ x ∈ IR .

75. Derivada 71
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g (2) , por exemplo:
Exerc´
ıcio:
(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 ent˜o g (x) = 3x2 ∀ x ∈ IR .
a
(ii) Generalize (i) e mostre que se f (x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) ent˜o f (x) = nxn−1 .
a
(C) Seja f : IR → IR dada por f (x) = sen x .
ıcio: Obtenha a derivada de g : IR → IR dada por g(x) = cos x .
Exerc´
(D) Seja u : IR → IR dada por u(t) = et (fun¸˜o exponencial na base e).
ca

76. 72 CAP´
ITULO 4
(E) Seja f : IR → IR dada por f (x) = |x| .
1
(F) Seja g : IR − {0} → IR dada por g(x) = 4
= x−4 .
x
Exerc´ıcio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x−n (n = 1, 2, 3, . . .)
ent˜o g (x) = −nx−n−1 ∀x = 0 .
a
(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR → IR dada por u(t) = at (fun¸˜o exponencial na base a).
ca

77. Derivada 73
4.2 Derivadas e continuidade
e ´ a e ´
Teorema 4.1. Se f : X → IR ´ DERIVAVEL em a ∈ X , ent˜o f ´ CONTINUA em a.
De fato:
f (x) − f (a)
Se f ´ deriv´vel em a ∈ X , ent˜o existe o limite lim
e a a = f (a) .
x→a x−a
Existe f (a) (pois a ∈ X).
f (x) − f (a)
Se x = a , temos: f (x) − f (a) = · (x − a) .
x−a
f (x) − f (a)
Como lim = f (a) e lim (x − a) = 0 , segue que
x→a x−a x→a
f (x) − f (a)
lim f (x) − f (a) = lim · lim (x − a) = f (a) · 0 = 0
x→a x→a x−a x→a
Logo lim f (x) = f (a) e portanto f ´ cont´
e ınua no ponto a .
x→a
Algumas conseq¨ˆncias:
ue
• S˜o cont´
a ınuas em todos os pontos de seus dom´
ınios as fun¸˜es:
co
1
f : IR − {0} → IR dada por f (x) = n (n = 1, 2, 3. . . .) ,
x
g1 : IR → IR dada por g1 (x) = sen x , g2 : IR → IR dada por g2 (x) = cos x ,
u : IR → IR dada por u(t) = at (a > 0) , pois s˜o todas deriv´veis em todos os pontos de
a a
seus dom´ ınios.
• Se uma determinada fun¸˜o ´ descont´
ca e ınua
em algum ponto de seu dom´
ınio, ent˜o ela n˜o ´
a a e
deriv´vel neste ponto de descontinuidade.
a
• CUIDADO! N˜o podemos garantir a rec´
a ıproca do teorema anterior, ou seja, podemos
ter uma fun¸˜o que ´ cont´
ca e ınua mas n˜o ´ deriv´vel em determinados pontos.
a e a
Exemplo: f (x) = |x| ´ cont´
e ınua no ponto 0 ( lim |x| = 0 = f (0) ), mas j´ vimos que f (0) .
a
x→0

78. 74 CAP´
ITULO 4
4.3 Exerc´
ıcios
1
1) (a) Seja f (x) = ∀x = 0 . Obtenha, via defini¸˜o, f (1) .
ca
x3
(b) Seja f (x) = sen x ∀x ∈ IR . Obtenha (via defini¸˜o) f (2π/3) .
ca
(c) Se g(x) = 5x ∀x ∈ IR , mostre (via defini¸˜o) que g (x) = 5x . ln 5 ∀x ∈ IR .
ca
√
(d) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 3 · 3
x ∀ x ∈ IR
1
Mostre, via defini¸˜o, que
ca (n˜o existe) f (0) e que f (a) = √
a 3
∀a=0.
a2
2) (Derivadas Laterais) Quando f : X → IR , a ´ ponto de acumula¸˜o BILATERAL
e ca
de X e f ´ definida de modos diferentes ` direita e ` esquerda de a, a existˆncia do limite
e a a e
que define a derivada no ponto a ´ verificada observando-se a existˆncia e a igualdade dos
e e
limites laterais correspondentes (veja Teorema 3.9), chamados DERIVADAS LATERAIS DE
` `
f (A DIREITA OU A ESQUERDA) NO PONTO a:
f (x) − f (a) f (x) − f (a)
f+ (a) = lim+ e f− (a) = lim−
x→a x−a x→a x−a
x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0
(a) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
−x + 2 se x ≥ 0
f ´ deriv´vel em x = 0 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f (0). Se n˜o for, justifique.
e a a
6x − 2 se x ≤ 1
(b) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
5−x se x > 1
f ´ deriv´vel em a = 1 ? Se for, PROVE e obtenha f (1). Se n˜o, justifique.
e a a
2x + 1 se x ≤ 3
(c) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
−x2 + 8x − 8 se x > 3
f ´ deriv´vel em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f (3). Se n˜o for, justifique.
e a a
x3 − x − 3 se x < 2
(d) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
7 − x2 se x ≥ 2
f ´ deriv´vel em a = 2 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f (2). Se n˜o for, justifique.
e a a
x+1 se x < −1
(e) Seja f : IR → IR dada por f (x) =
1 + sen (x + 1) se x ≥ −1
f ´ deriv´vel em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f (−1). Se n˜o, justifique.
e a a

79. Derivada 75
4.4 Regras de deriva¸˜o
ca
Teorema 4.2. Se f , g : X → IR s˜o deriv´veis em a ∈ X , ent˜o:
a a a
(a) Para cada constante c ∈ IR , (cf ) : X → IR ´ deriv´vel em a e (cf ) (a) = c · f (a) ;
e a
(b) f ± g s˜o deriv´veis em a e (f ± g) (a) = f (a) ± g (a) ;
a a
(c) (f · g) ´ deriv´vel em a e (f · g) (a) = f (a).g(a) + f (a).g (a) ;
e a
f (a).g(a) − f (a).g (a)
(d) (f /g) ´ deriv´vel em a se g(a) = 0 e (f /g) (a) =
e a .
[g(a)]2
Exemplos:
(A) Para cada fun¸˜o f dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada)
ca
1) f : IR → IR dada por f (x) = 6x3 − 3x2 − x + 7 .
6t − 10
2) f : IR → IR dada por f (t) = .
t2 + 5
3) f : IR − Z → IR , Z = {x ∈ IR ; cos x = 0} , dada por f (x) = tg x .
d d d
Exerc´
ıcio: Obtenha ctg x , sec x , csc x
dx dx dx
4) f : IR → IR dada por f (u) = eu (u3 + 3 cos u) .

80. 76 CAP´
ITULO 4
5) f : IR → IR dada por f (t) = sen 2t .
1
6) f : IR − {0} → IR dada por f (x) = = x−n (n = 1, 2, 3, . . .) .
xn
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = 4 − x2 .
1) Obtenha as equa¸˜es das retas tangentes ao gr´fico de g e que passam pelos pontos:
co a
A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .
2) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de g e que ´ paralela ` reta y = 2x .
ca a e a

81. Derivada 77
3) Obtenha a equa¸˜o da reta normal ao gr´fico de g no ponto A(1, 3) .
ca a
4) Em que ponto a tangente ao gr´fico ´ “horizontal”? (tem coeficiente angular 0)
a e
5) Onde o coeficiente angular da tangente ´ positivo ?
e
6) Onde o coeficiente angular da tangente ´ negativo ?
e
A Regra da Cadeia - Derivadas de fun¸˜es compostas
co
Teorema 4.3. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e a
composta (g ◦ u) : X → IR est´ bem definida:
a
Dado a ∈ X , se u ´ deriv´vel em a (existe u (a)) e g ´ deriv´vel em b = u(a) (existe
e a e a
g (b) = g (u(a)) ), ent˜o a composta (g ◦ u) : X → IR ´ deriv´vel em a ∈ X em temos ainda:
a e a
(g ◦ u) (a) = g (b) · u (a) = g (u(a)) · u (a)
Quanto ` fun¸˜o derivada (g◦u) : x → (g◦u) (x) , escrevemos (g◦u) (x) = g (u(x))·u (x)
a ca
para todo x onde existirem as derivadas.

82. 78 CAP´
ITULO 4
Exemplos:
Para cada fun¸˜o f : IR → IR dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada):
ca
(A) f dada por f (x) = cos(x3 + 1) .
(B) f dada por f (t) = (4t3 − t2 + 3t − 2)2 .
(C) f dada por f (x) = (5x2 − 2x + 1)−3 .
(D) f dada por f (w) = (2w2 − 3w + 1)(3w + 2)4 .
(E) f dada por f (t) = ekt , k = 0 (constante).

83. Derivada 79
(F) f dada por f (t) = sen 2t .
(G) f dada por f (t) = cos5 t .
2
(H) f dada por f (x) = e(x ) .
(I) f dada por f (w) = (ew − sen w)2 .
3
(J) f dada por f (t) = eπ cos(2t ) .

84. 80 CAP´
ITULO 4
Derivadas de fun¸˜es inversas
co
´
Teorema 4.4. Seja f : I (intervalo) → J (intervalo) uma fun¸˜o INVERTIVEL (bijetora =
ca
´
injetora e sobrejetora) e CONTINUA (em todos os pontos de seu dom´
ınio I).
Sua inversa g : J → I ´ cont´nua em todos os pontos de J.
e ı
Mais ainda:
Se f ´ deriv´vel em a ∈ I e f (a) = 0 , ent˜o g ´ deriv´vel em b = f (a) e podemos
e a a e a
obter g (b) atrav´s da Regra da Cadeia.
e
Exemplos:
(A) Derivada da fun¸˜o logar´
ca ıtmica na base e:
ıcio: Fixado a > 0 , a = 1 , obtenha g (x) se g : (0, +∞) → IR ´ dada por
Exerc´ e
g(x) = loga x
1
Resposta: g(x) = loga x , x ∈ (0, +∞) ⇒ g (x) = ∀x>0.
x ln a

85. Derivada 81
(B) Ra´
ızes:
(C) Fun¸˜es trigonom´tricas e suas inversas:
co e
Exerc´
ıcio:
(a) Se g : [−1, 1] → [0, π] ´ dada por g(x) = arc cos x , mostre que
e
1
g (x) = − √ ∀ x ∈ (−1, 1)
1 − x2

86. 82 CAP´
ITULO 4
(b) Se h : IR → (−π/2, π/2) ´ dada por h(x) = arc tg x , mostre que
e
1
h (x) = ∀ x ∈ IR
1 + x2
4.5 Deriva¸˜o impl´
ca ıcita
√
Seja f : [−1, 1] → IR a fun¸˜o dada por f (x) =
ca 1 − x2 para todo x ∈ [−1, 1] .
Pondo y = f (x) , temos:
√
y = 1 − x2
⇓
y 2 = 1 − x2 , y ≥ 0
⇓
(∗) x2 + y 2 = 1 (y ≥ 0)
A equa¸˜o (*) acima estabelece uma rela¸˜o entre x e y = f (x) . Juntamente com a
ca ca
ca ca ´
restri¸˜o y ≥ 0 ela define bem a fun¸˜o f . Por isso dizemos que f ESTA IMPLICITAMENTE
DEFINIDA POR (*).
Tendo em mente que y = f (x) , ou seja, y ´ fun¸˜o de x , ´ f´cil ver que a equa¸˜o (*)
e ca e a ca
2 2
estabelece a igualdade entre x + f (x) e a fun¸˜o constante e igual a 1. Podemos pensar
ca
¸˜ `
portanto em DERIVAR EM RELACAO A VARIAVEL x. ´
Vamos fazer isso, admitindo que y = f (x) ´ deriv´vel e tomando o cuidado de lembrar
e a
que y = f (x) , ou seja, y 2 ´ uma composi¸˜o de fun¸˜es e DEVEMOS USAR A REGRA
e ca co
DA CADEIA:
x2 + y 2 = 1
⇓
2x + 2yy = 0
⇓
x
(∗∗) y =− (y = 0)
y
√
Lembrando que y = f (x) = 1 − x2 , temos:
x
f (x) = y = − √ , x ∈ (−1, 1)
1 − x2

87. Derivada 83
Poss´
ıveis vantagens da deriva¸˜o impl´
ca ıcita:
• Derivar a equa¸˜o (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar
ca
obter a derivada atrav´s da express˜o expl´
e a ıcita de f .
• Uma equa¸˜o em x e y pode definir implicitamente v´rias fun¸˜es e, caso isto ocorra,
ca a co
a deriva¸˜o impl´
ca ıcita serviria para todas elas.
Exemplos:
(A) Admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f (x) = ln x ´ deriv´vel, obtenha f (x) por
e a
deriva¸˜o impl´
ca ıcita.
(B) Fixado qualquer α ∈ IR e admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f (x) = xα seja
deriv´vel, use logar´
a ıtmos para obter f (x) por deriva¸˜o impl´
ca ıcita.
x2 √
(C) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ` curva
ca a + y 2 = 1 no ponto (1, − 3 /2) .
4

88. 84 CAP´
ITULO 4
(D) Seja g : (0, +∞) → IR dada por g(x) = loga x (a > 0, a = 1) . Admitindo que g ´
e
deriv´vel, obtenha g (x) via deriva¸˜o impl´
a ca ıcita.
x
(E) Se y = 3
, obtenha y (x) por deriva¸˜o impl´
ca ıcita.
x3 +1
4.6 Exerc´
ıcios
(A) O objetivo deste exerc´ ´ observar a naturalidade da medida de ˆngulos em radianos,
ıcio e a
no seguinte sentido: alguns c´lculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao
a
inv´s de graus como unidades de medida.
e
Quando lidamos com as fun¸˜es trigonom´tricas, por exemplo, quase todos os resultados
co e
decorrem do seguinte limite:
sen x
lim = 1 (Limite Trigonom´trico Fundamental)
e
x→0 x
Ajuste a demonstra¸˜o que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a
ca
medida dos ˆngulos em GRAUS.
a
d sen x
Calcule tamb´m
e quando x ´ medido em graus.
e
dx

89. Derivada 85
(B) Para cada fun¸˜o dada abaixo (por quest˜es de economia, cometemos um abuso ao
ca o
omitir os dom´ınios e contra-dom´
ınios), calcule sua derivada, indicando onde existe:
2w
1) f (x) = 10x2 + 9x − 4 2) h(x) = (2x2 − 4x + 1)(6x − 5) 3) f (w) = 3
w −7
3
1 −5 3t + 4 9z 3 + 2z
4) f (x) = 5) g(x) = (8x−7) 6) s(t) = 7) h(z) =
1 + x + x2 + x3 6t − 7 6z + 1
2x + 3 5 2 √
3
8) H(x) = √ 9) f (x) = 5
1/x 10) f (x) = 6x2 − +√
3
11) f (w) = 3w2
4x2 + 9 x x2
6
12) f (t) = (t6 − t−6 ) 13) f (x) = xm/n m, n = 0 ∈ Z 14) h(s) = ln(5s2 + 1)3
x2
15) f (x) = x ln x 16) g(x) = 17) f (u) = ue−u 18) h(s) = s2 e−2s 19) f (x) = ex ln x
ln x
ew + 1
20) g(w) = ln 21) f (x) = ecos 2x 22) g(x) = x sen x 23) h(x) = ln tg x
ew − 1
arc tg x e2x
24) f (w) = ln cos2 3w 25) f (x) = 26) f (x) =
x2 + 1 arc sen 5x
(C) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de y = 2x3 + 4x2 − 5x − 3 no ponto
ca a
P (−1, 4).
(D) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de y = 3x2 + 4x − 6 e tal que:
ca a
(i) Essa tangente seja paralela ` reta 5x − 2y − 1 = 0 ;
a
(ii) Seja tangente ao gr´fico no ponto P (1, 1) .
a
4
(E) Obtenha a equa¸˜o da reta que passa por P (3, 1) e ´ tangente ao gr´fico de y =
ca e a .
x
(F) Obtenha a equa¸˜o da reta normal ao gr´fico de f (x) = (x − 1)4 no ponto P (2, 1) .
ca a
(G) Determine as equa¸˜es da tangente e da normal ao gr´fico de y = 8 sen 3 x no ponto
co a
P (π/6, 1) .
(H) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de f : IR → (−2π, 2π) dada por
ca a
f (x) = 4. arc tg x no ponto A(1, π) .
(I) Considere f : IR → IR dada por f (x) = e−2x .
(i) Qual a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ?
ca a
(ii) Qual a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de f e que tem coeficiente angular −1/2 ?
ca a

90. 86 CAP´
ITULO 4
arc tg x
(J) Considere f : IR → IR dada por f (x) = .
π
(i) Qual a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ?
ca a
√
(ii) Qual a equa¸˜o da reta normal ao gr´fico de f no ponto B( 3 , 1/3) ?
ca a
(K) Seja f : IR → IR dada por f (x) = e(2x−1) ∀ x ∈ IR . Obtenha, se existir, a equa¸˜o
ca
da reta tangente ao gr´fico de f e que passa pelo ponto A(1, 0)
a
(L) (i) A reta 3y + 8x + 1 = 0 ´ NORMAL ao gr´fico de uma certa fun¸˜o f : IR → IR
e a ca
no ponto A(1, −3) (pertencente ao gr´fico de f ). Obtenha (JUSTIFICANDO) f (1) .
a
(ii) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao gr´fico dea
(x2 +6x+1)
g(x) = e no ponto B(0, e) (pertencente ao gr´fico de g) ? (JUSTIFIQUE)
a
(M) Para cada fun¸˜o dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os dom´
ca ınios
e contra-dom´
ınios), calcule sua derivada, indique onde existe e forne¸a ainda o que se
c
pede:
1) f (x) = (3x − 1).(2x + 1)5 .
√
2) g(w) = 3
3w − 1 = (3w − 1)1/3 . Obtenha ainda, em particular, g (3).
π
3) h(s) = π. sec s = . Obtenha ainda, em particular, h (0).
cos s
2 −t)
4) f (t) = e(3t . Obtenha ainda, em particular, f (1/3).
5) f (x) = ln( sen 4 2x) .
2x2
6) f (x) = . Obtenha ainda, em particular, f (2).
(x − 4)2
ctg s cos s
7) h(s) = √ = √ . Obtenha ainda, em particular, h (π/4).
2 2 · sen s
2 +2t)
8) g(t) = (2t − 1)3 · e(t . Obtenha ainda, em particular, g (0).
9) f (w) = ln (5w2 + 2 + cos w) . Obtenha ainda, em particular, f (0).
√
10) g(y) = arc tg ( y − 1 ) .
x3
11) f (x) = . Responda: Para quais valores de x temos f (x) = 0 ?
e2x
2 +3s)
12) h(s) = sen (3s2 − s) + 2(s . Obtenha ainda, em particular, h (0).

91. Derivada 87
13) g(w) = tg w · ln(3 − w2 ) . Obtenha ainda, em particular, g (0).
s(t)2
14) v(t) = (existe s (t) ∀ t ∈ IR). Se s(1) = 1 e s (1) = 2, obtenha v (1) .
3t
15) u(y) = 4
2y 2 + 5 + 4 cos y = (2y 2 + 5 + 4 cos y)1/4 .
3 s2
16) h(s) = . Obtenha ainda, em particular, h (1).
1 + s2
17) v(t) = ln 2 · log 1 (3t2 + 1) . v (1) ´ positivo, negativo ou zero ? Obtenha v (1) para
e
2
justificar.
2 x2
18) f (x) = x · ln x − . Responda: Para quais valores de x temos f (x) = x ?
2
1
19) g(w) = csc2 w = . Obtenha ainda, em particular, g (π/4).
sen 2 w
1 √
20) u(y) = tg arc tg . Obtenha ainda, em particular, u ( 3 ) .
y
21) f (x) = x · (ln 5 − 1 + ln x) . Obtenha ainda, em particular, f (2) .
22) h(θ) = ( tg θ + 1)2 . Obtenha ainda, em particular, h (π/3).
2 3)
3(3w −w
23) g(w) = ln(w2 − w) + . Obtenha ainda, em particular, g (2).
ln 3
sen [s(t)]
24) v(t) = (existe s (t) ∀ t ∈ IR). Se s(2) = π/2 e s (2) = e, obtenha v (2) .
t
√
25) u(y) = 3 · 3 arc tg y . Obtenha ainda u (1) e responda se u (1) ´ maior ou menor
e
que 1 (mostre as contas).
Respostas de exerc´
ıcios:
d
• Segundo exerc´ da p´gina 71:
ıcio a cos x = − sen x
dx
• Exerc´
ıcios da Se¸˜o 4.3:
ca
2) (a) f n˜o pode ser deriv´vel em x = 0 pois f n˜o ´ cont´
a a a e ınua neste ponto.
(b) f n˜o ´ deriv´vel em a = 1 (apesar de ser cont´
a e a ınua neste ponto), pois temos que
f+ (1) = −1 = 6 = f− (1) .

92. 88 CAP´
ITULO 4
f (x) − f (3)
(c) ∃ f (3) = lim = 2 ( f ´ deriv´vel em a = 3 ).
e a
x→3 x−3
(d) f n˜o ´ deriv´vel em a = 2 (apesar de ser cont´
a e a ınua neste ponto), pois temos que
f+ (2) = −4 = 11 = f− (2) .
(e) f n˜o ´ deriv´vel em a = −1 pois n˜o ´ cont´
a e a a e ınua neste ponto.
• Exerc´ da p´gina 75:
ıcio a
d
ctg x = − csc2 x para todo x tal que sen x = 0
dx
d
sec x = sec x. tg x para todo x tal que cos x = 0
dx
d
csc x = − csc x. ctg x para todo x tal que sen x = 0
dx
• Exerc´
ıcios da Se¸˜o 4.6:
ca
sen x π d sen x π cos x
(A) lim = e = (se x ´ dado em GRAUS).
e
x→0 x 180 dx 180
(B) 1) f (x) = 20x + 9 ∀ x ∈ IR 2) h (x) = 36x2 − 68x + 26 ∀ x ∈ IR
−4w3 − 14 √
3 (3x2 + 2x + 1)
3) f (w) = 3 − 7)2
∀w= 7 4) f (x) = − ∀ x = −1
(w (1 + x + x2 + x3 )2
7 135(3t + 4)2 7
5) g (x) = −40(8x − 7)−6 ∀ x = 6) s (t) = − 4
∀t=
8 (6t − 7) 6
108z 3 + 27z 2 + 2 1 18 − 12x
7) h (z) = ∀z=− 8) H (x) = ∀ x ∈ IR
(6z + 1)2 6 (4x2 + 9)3
1 5 4
9) f (x) = − √ ∀x=0 10) f (x) = 12x + 2
− √3
∀x=0
5x x
5
x 3x x2
2
11) f (w) = √
3
∀w=0 12) f (t) = 6(t6 − t−6 )5 .(6t5 + 6t−7 ) ∀ t = 0
9w
m
m −1 ∀ x > 0 se n ´ par
e 30s
13) f (x) = ·xn 14) h (s) = ∀ s ∈ IR
n ∀ x = 0 se n ´ ´
e ımpar 5s2 + 1
2x ln x − x
15) f (x) = ln x + 1 ∀ x > 0 16) g (x) = ∀x>0
(ln x)2
17) f (u) = (1 − u) · e−u ∀ u ∈ IR 18) h (s) = (s − s2 ) · 2e−2s ∀ s ∈ IR

93. Derivada 89
−2ew
19) f (x) = xx (ln x + 1) ∀ x > 0 20) g (w) = ∀w=0
e2w − 1
sen x
21) f (x) = −2ecos 2x · sen 2x ∀ x ∈ IR 22) g (x) = x sen x cos x ln x + ∀x>0
x
1
23) h (x) = se tg x > 0 24) f (w) = −6 tg 3w se cos 3w = 0
sen x cos x
1 − 2x arc tg x
25) f (x) = ∀ x ∈ IR
(x2 + 1)2
√
2e2x · arc sen 5x · 1 − 25x2 − 5e2x 1 1
26) f (x) = √ ∀x∈ − ,
1 − 25x2 · ( arc sen 5x)2 5 5
(C) y = −7x − 3
5 99
(D) (i) y = x− (ii) y = 10x − 9
2 16
−1 4
(E) y = −x + 4 ou y = x+
9 3
x 3
(F) y = − +
4 2
√
√ π 3
(G) tangente: y = 3 3 x + 1−
2
√ √
3 π 3
normal: y = − x+ 1+
9 54
(H) y = 2x + (π − 2)
1 1 + ln 4
(I) (i) y = −2x + 1 (ii) y = − x+
2 4
√
1 12π 3 + 1
(J) (i) y = x (ii) y = −4π x +
π 3
(K) y = 2e2 x − 2e2 .
3
(L) (i) f (1) = (ii) b = 3e .
8

94. 90 CAP´
ITULO 4
(M) 1) f (x) = (2x + 1)4 (36x − 7) ∀ x ∈ IR
1
2) g (w) = ∀ w = 1/3 e g (3) = 1/4
3
(3w − 1)2
3) h (s) = π. tg s. sec s se cos s = 0 e h (0) = 0
2 −t
4) f (t) = e3t · (6t − 1) ∀ t ∈ IR e f (1/3) = 1
5) f (x) = 8 ctg 2x se sen 2x = 0
−16x
6) f (x) = ∀x=4 e f (2) = 4
(x − 4)3
csc2 s √
7) h (s) = − √ se sen s = 0 e h (π/4) = − 2
2
2 +2t
8) g (t) = (2t − 1)2 · et · [6 + (2t − 1)(2t + 2)] ∀ t ∈ IR e g (0) = 4
10w − sen w
9) f (w) = ∀ w ∈ IR e f (0) = 0
5w2 + 2 + cos w
1
10) g (y) = √ se y > 1
2y y − 1
x2 (3 − 2x)
11) f (x) = ∀ x ∈ IR . f (x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/2 .
e2x
2 +3s)
12) h (s) = cos(3s2 − s).(6s − 1) + 2(s . ln 2.(2s + 3) ∀ s ∈ IR . h (0) = 3 ln 2 − 1 .
ln(3 − w2 ) 2w tg w √ √
13) g (w) = − ∀ cos w = 0 e − 3<w< 3 . g (0) = ln 3 .
cos2 w 3 − w2
2t · s(t) · s (t) − s(t)2
14) v (t) = ∀ t = 0 . v (1) = 1 .
3t2
y − sen y
15) u (y) = ∀ y ∈ IR .
4
(2y 2 + 5 + 4 cos y)3
√
3
2 3 (1 + s2 )2 4
16) h (s) = √ ∀ s = 0 . h (1) = .
3(1 + s2 )2 . 3 s 6
−6t 3
17) v (t) = 2+1
∀ t ∈ IR . v (1) = − < 0 .
3t 2
√
18) f (x) = 2x ln x ∀ x > 0 . x = f (x) quando x = e .

95. Derivada 91
−2 cos w
19) g (w) = ∀ sen w = 0 . g (π/4) = −4 .
sen 3 w
1 √ 1
20) u (y) = − 2
∀ y = 0 . u ( 3) = − .
y 3
21) f (x) = ln x + ln 5 ∀ x > 0 . f (2) = ln 10 .
√
22) h (θ) = 2( tg θ + 1). sec2 θ ∀ cos θ = 0 . h (π/3) = 8( 3 + 1) .
2w − 1 2 3 3
23) g (w) = 2−w
+ (6w − 3w2 ) · 3(3w −w ) ∀ w < 0 ou w > 1 . g (2) = .
w 2
cos[s(t)] · s (t) · t − sen [s(t)] 1
24) v (t) = ∀ t = 0 . v (2) = − .
t2 4
1 1 3 2
25) u (y) = · ∀ y = 0 . u (1) = < 1.
3
( arc tg y)2 1 + y2 π2

96. 92 CAP´
ITULO 4

97. Cap´
ıtulo 5
Aplica¸˜es da Derivada
co
5.1 Acr´scimos e diferenciais
e
Consideremos uma fun¸˜o f : X → IR deriv´vel em pontos x ∈ X . Podemos escrever:
ca a
f (x + ∆x) − f (x)
f (x) = lim (para cada x onde f for deriv´vel)
a
∆x→0 ∆x
e ´
∆x ´ chamado ACRESCIMO DE x e representa a varia¸˜o na vari´vel independente x.
ca a
Pondo y = f (x) como vari´vel dependente, temos que ∆y = f (x + ∆x) − f (x) representa
a
¸˜ ¸˜
a VARIACAO DA FUNCAO f (devida ao acr´scimo ∆x ) e
e
∆y
f (x) = lim
∆x→0 ∆x
Os limites acima significam que, quando ∆x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores
diferentes de 0), ∆y/∆x se aproxima cada vez mais de f (x) .
Ent˜o podemos dizer que ∆y/∆x ´ uma boa aproxima¸˜o para f (x) quando ∆x ´
a e ca e
pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever
∆y
≈ f (x) quando ∆x ´ pequeno
e
∆x
ou ent˜o, de modo equivalente,
a
(∗) f (x + ∆x) − f (x) = ∆y ≈ f (x) · ∆x quando ∆x ´ pequeno
e
A rela¸˜o (*) acima nos diz que podemos obter boas aproxima¸˜es para a varia¸˜o da
ca co ca
fun¸˜o, ∆y = f (x + ∆x) − f (x) , atrav´s de f (x) · ∆x , com ∆x pequeno !!!
ca e
93

98. 94 CAP´
ITULO 5
Por exemplo, vamos obter uma aproxima¸˜o para (0, 98)4
ca
Portanto, f (x) · ∆x (que depende dos valores de x e ∆x considerados) desempenha esse
importante papel de ser uma boa aproxima¸˜o para a varia¸˜o da fun¸˜o f quando ∆x ´
ca ca ca e
pequeno.
f (x) · ∆x ser´ denotado por dy e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo
a
com x e ∆x).
Escrevemos tamb´m dx = ∆x para a chamada diferencial de x.
e
dy = f (x) · ∆x
dx = ∆x
Geometricamente, temos:

99. Aplica¸˜es da Derivada
co 95
Exemplos:
(A) Use diferenciais para obter aproxima¸˜es para:
co
2
√
(a) 3 · (2, 001) − 5 · (2, 001) + 3 (b) 4 82
(B) A medida de um lado de um cubo ´ encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade
e
de erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro m´ximo no c´lculo do volume do
a a
cubo.

100. 96 CAP´
ITULO 5
(C) A Lei da Gravita¸˜o de Newton afirma que a for¸a F de atra¸˜o entre duas part´
ca c ca ıculas de
g · m1 · m2
massas m1 e m2 ´ dada por F =
e onde g ´ uma constante e s ´ a distˆncia entre
e e a
s2
as part´
ıculas. Se s = 20 cm , use diferenciais para obter (aproximadamente) uma varia¸˜o de
ca
s que aumente F em 10% .
`
(D) A medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha cˆnica cuja
o
altura ´ sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio ´ de 10 cm, use diferenciais para
e e
aproximar a varia¸˜o do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.
ca

101. Aplica¸˜es da Derivada
co 97
Exerc´
ıcios:
1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01)4 − 3(2, 01)3 + 4(2, 01)2 − 5 ,
√ √ √ √ 1
3
65 , 37 , 3 0, 00098 , 0, 042 , 5(0, 99)3/5 − 3(0, 99)1/5 + 7 , √ .
4
15
2) Considerando ln 2 ≈ 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01) .
3) Use diferenciais para obter uma aproxima¸˜o para ctg 46◦ .
ca
4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da ´rea de uma esfera, quando o raio
a
varia de 2 a 2, 02 p´s.
e
5) Os lados oposto e adjacente a um ˆngulo θ de um triˆngulo retˆngulo acusam medidas
a a a
de 10 p´s e 8 p´s, respectivamente, com erro poss´ de 1,5 polegada na medida de 10 p´s.
e e ıvel e
Use a diferencial de uma fun¸˜o trigonom´trica inversa para obter uma aproxima¸˜o do erro
ca e ca
no valor calculado de θ . (Obs.: 1 p´ = 12 polegadas)
e
6) A altura de um cone circular reto ´ duas vezes o raio da base. A medida encontrada da
e
altura ´ de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado
e
no c´lculo do volume do cone.
a
7) Se l (em metros) ´ o comprimento de um fio de ferro quando est´ a t graus de temper-
e a
0,00001. t
atura, ent˜o l = 60e
a . Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l
quando t cresce, de 0 a 10 graus.
8) Em um ponto situado a 20’ (p´s) da base de um mastro, o ˆngulo de eleva¸˜o do topo
e a ca
◦ ◦
do mastro ´ de 60 , com erro poss´ de 0, 25 . Obtenha, com aux´ de diferenciais, uma
e ıvel ılio
aproxima¸˜o do erro no c´lculo da altura do mastro.
ca a
9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm3 . Os seis
lados da caixa v˜o ser feitos de metal com 1/4 cm de espessura. Se o pre¸o do metal que vai
a c
3
ser usado na fabrica¸˜o da caixa ´ de R$ 0,80 por cm , use diferenciais para encontrar o pre¸o
ca e c
aproximado de todo o metal necess´rio.
a
10) A resistˆncia el´trica R de um fio ´ proporcional ao seu comprimento l e inversamente
e e e
proporcional ao quadrado de seu diˆmetro d. Suponha que a resistˆncia de um fio, de compri-
a e
mento dado (fixo), seja calculada a partir do diˆmetro com uma possibilidade de erro de 2%
a
∆d
na medida do diˆmetro
a · 100 = 2 . Encontre a poss´ porcentagem de erro no c´lculo
ıvel a
d
do valor da resistˆncia.
e

102. 98 CAP´
ITULO 5
11) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacess´ ıvel) em rela¸˜o ao
ca
seu n´
ıvel, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicialmente um sofisti-
√
cado aparelho baseado num feixe de laser e obteve 17 km como medida da distˆncia de B ao
a
ponto A . Por´m, para medir o ˆngulo θ da linha BA com o horizonte foi utilizado um outro
e a
aparelho, n˜o t˜o preciso, e obtida a leitura de θ = π/3 rad, com possibilidade de erro igual a
a a
∆θ = ±0, 01 rad.
(a) Obtenha a equa¸˜o que expressa o desn´ h(θ) entre A e B, como fun¸˜o do ˆngulo θ.
ca ıvel ca a
(b) Baseado na leitura de θ = π/3 rad, qual o desn´ h(θ) calculado pelo explorador ?
ıvel
(USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado).
(c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproxima¸˜o para o erro h(θ + ∆θ) − h(θ) no c´lculo
ca a
do desn´ıvel.
¸˜
12) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproxima¸˜o para a VARIACAO
ca
5 5
da ´rea de uma esfera quando seu raio aumenta de
a cm para + 0, 005 cm.
π π
b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento ∆r do raio que, aplicado ` esfera de
a
raio r = 15 cm provoca um aumento aproximado de 10% em seu volume?
4 3
Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua ´rea ´ 4πr2 cm2 e seu volume ´
a e e πr cm3
3
13) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diˆmetro, vocˆ recebe a oferta
a e
de pagar 10% a mais por um acr´scimo de 3 cm no diˆmetro. Sem calcular ´reas, USE
e a a
DIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou n˜o a oferta.
a
(Sugest˜o: Calcule aproximadamente o aumento percentual na ´rea devido ao acr´scimo
a a e
∆d = 3 cm)
Para qual diˆmetro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diˆmetro com um
a a
aumento de 10% no pre¸o seria justa para ambas as partes (vocˆ e o vendedor) ?
c e
14) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde ser´ constu´ a
a ıda
ponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens s˜o desniveladas. Mede-se ent˜o o ˆngulo de
a a a
inclina¸˜o que a ponte ter´ e obtem-se a medida de 30 , com possibilidade de erro de 1o . Use
ca a o
diferenciais para obter uma aproxima¸˜o do erro no c´lculo do comprimento da ponte.
ca a
15) Um empres´rio fabrica tanques com a forma de cones “invertidos” nos quais a altura ´
a e
sempre igual ao diˆmetro da base. Sem calcular volumes, USE DIFERENCIAIS para obter
a
(JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade (volume) dos tanques se
o raio da base ´ aumentado em 3, 333 . . . % .
e

103. Aplica¸˜es da Derivada
co 99
5.2 A Derivada como raz˜o de varia¸˜o
a ca
Varia¸˜o m´dia:
ca e
Sejam f : X → IR e y = f (x) .
A vari´vel y representa uma quantidade de “alguma grandeza” (distˆncia, volume, ´rea,
a a a
etc.) que depende da vari´vel independente x, a qual por sua vez representa tamb´m uma
a e
quantidade de alguma grandeza.
J´ vimos que ∆y = f (x1 + ∆x) − f (x1 ) ´ a varia¸˜o da fun¸˜o, correspondente a uma
a e ca ca
varia¸˜o de x1 a x1 + ∆x (∆x ´ o chamado acr´scimo em x).
ca e e
∆y f (x1 + ∆x) − f (x1 )
Ent˜o
a = ¸˜ ´
´ a chamada VARIACAO MEDIA de y por unidade
e
∆x ∆x
de varia¸˜o de x, quando x varia de x1 a x1 + ∆x.
ca
Exemplo: Seja S (em cent´ ımetros quadrados) a ´rea de um cubo de aresta x (cent´
a ımetros).
Encontre a raz˜o de varia¸˜o m´dia da ´rea por unidade de varia¸˜o no comprimento da aresta
a ca e a ca
quando x varia de ... (a) ... 3 a 3, 2 cm (b) ... 3 a 3, 1 cm
Varia¸˜o instantˆnea:
ca a
∆y
Quando fazemos ∆x → 0 no quociente ∆y/∆x lim , o limite (quando existir)
∆x→0 ∆x
˜ ¸˜ ˆ
ser´ a RAZAO (TAXA) DE VARIACAO INSTANTANEA de y por unidade de varia¸˜o de x
a ca
em (no INSTANTE em que) x = x1 .
∆y f (x1 + ∆x) − f (x1 )
Mas lim = lim = f (x1 ) (se existir o limite).
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
Portanto a derivada f (x1 ) representa a raz˜o (taxa) de varia¸˜o instantˆnea de y = f (x)
a ca a
por unidade de varia¸˜o de x no instante em que x = x1 .
ca

104. 100 CAP´
ITULO 5
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a raz˜o de varia¸˜o da ´rea do cubo por
a ca a
varia¸˜o de cent´
ca ımetro no comprimento da aresta quando x = 3 ?
a ¸˜
Definimos ainda a taxa (raz˜o) de VARIACAO RELATIVA de y por unidade de varia¸˜o
ca
f (x1 )
de x em x1 como sendo (propor¸˜o da varia¸˜o instantˆnea em rela¸˜o ` quantidade
ca ca a ca a
f (x1 )
¸˜
f (x1 ) em x = x1 ). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIACAO PERCENTUAL,
f (x1 )
dada por · 100 .
f (x1 )
Exemplos:
(A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm3 ´ o
e
volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre:
(a) A raz˜o de varia¸˜o m´dia do volume por unidade de varia¸˜o do raio, quando r varia
a ca e ca
de 5 a 5, 1 cm.
(b) A raz˜o de varia¸˜o instantˆnea do volume , por unidade de varia¸˜o do raio, quando
a ca a ca
r = 5 e quando r = 5, 1 cm.
(c) As taxas de varia¸˜o relativas do volume, por unidade de varia¸˜o do raio, quando r = 5
ca ca
e quando r = 5, 1.

105. Aplica¸˜es da Derivada
co 101
(B) O lucro de um dep´sito de retalhos ´ de 100y reais quando x reais s˜o gastos diariamente
o e a
2
em propaganda e y = 2500 + 36x − 0, 2x . Use a derivada para determinar se seria vantajoso
que o or¸amento di´rio de propaganda aumentasse, nos seguintes casos:
c a
(a) O or¸amento atual ´ de 60 reais di´rios;
c e a (b) O or¸amento atual ´ de 100 reais di´rios.
c e a
(C) Em um circuito el´trico, se E ´ a for¸a eletromotriz, R ohms ´ a resistˆncia e I amperes
e e c e e
´ a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E .
e
Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma raz˜o que ´ proporcional
a e
ao inverso do quadrado de I.
Se E = 100 volts, qual a taxa de varia¸˜o de I por unidade de varia¸˜o de R quando
ca ca
R = 20 ohms ?
(D) A Lei de Boyle para os gases afirma que p · V = c , onde p ´ a press˜o, V ´ o volume e
e a e
c uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a press˜o seja dada por 20 + 2t
a
u.p., com 0 ≤ t ≤ 10 . Se em t = 0 o volume ´ de 60 cm3 , determine a taxa de varia¸˜o do
e ca
volume por unidade de varia¸˜o do tempo quando t = 5.
ca

106. 102 CAP´
ITULO 5
Um caso particular: interpreta¸˜o cinem´tica da Derivada
ca a
Suponhamos agora que s = s(t) represente a posi¸˜o de um objeto ao longo de uma linha
ca
reta, como fun¸˜o do tempo t:
ca
Se em t1 o objeto estava em s(t1 ) e em t1 + ∆t estava em s(t1 + ∆t) , a varia¸˜o total da
ca
posi¸˜o do objeto entre os instantes t1 e t1 + ∆t ´ dada por
ca e
∆s = s(t1 + ∆t) − s(t1 )
A taxa de varia¸˜o m´dia de s por unidade de varia¸˜o de tempo, entre o t1 e t1 + ∆t ´
ca e ca e
s(t1 + ∆t) − s(t1 )
∆t
e ´
Essa ´ a VELOCIDADE MEDIA com que o objeto se movimentou de s(t1 ) at´ s(t1 + ∆t)
e
entre os instantes t1 e t1 + ∆t.
A raz˜o de varia¸˜o instantˆnea da posi¸˜o s do objeto por unidade de varia¸˜o do tempo,
a ca a ca ca
no instante t1 ´ dada por
e
s(t1 + ∆t) − s(t1 )
s (t1 ) = lim
∆t→0 ∆t
ˆ
Essa ´ a VELOCIDADE INSTANTANEA do objeto no instante t = t1 .
e
Se s (t1 ) > 0 ent˜o a taxa de varia¸˜o em t1 ´ positiva, ou seja, s est´ aumentando em t1 ,
a ca e a
ou melhor, o objeto est´ se movimentando no sentido adotado como positivo.
a
Se s (t1 ) < 0 , o movimento em t1 ´ contr´rio ao sentido positivo.
e a
Se s (t1 ) = 0 ent˜o o objeto est´ parado no instante t1 .
a a
Exemplos:
(A) Um foguete ´ lan¸ado verticalmente para cima e est´ a s m do solo t s ap´s ter sido lan¸ado
e c a o c
2
(t ≥ 0), sendo s(t) = 160t − 5t (o sentido positivo ´ para cima). Determine:
e
(a) A velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e t = 4 s.
e
(b) A velocidade instantˆnea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s.
a
(c) Em t = 20 s, o foguete est´ subindo ou caindo ?
a

107. Aplica¸˜es da Derivada
co 103
(d) Quanto tempo leva o foguete para alcan¸ar a sua altura m´xima ?
c a
(e) Qual a altura m´xima atingida pelo foguete ?
a
(B) Uma pedra ´ solta de um edif´ de 80 m de altura e a equa¸˜o do movimento ´ dada por
e ıcio ca e
2
s(t) = −5t (t em segundos, t ≥ 0, orienta¸˜o positiva para cima).
ca
(a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo ap´s ser lan¸ada ?
o c
(b) Quanto tempo leva a pedra para alcan¸ar o solo ?
c
(c) Qual a velocidade (instantˆnea) da pedra ao atingir o solo ?
a
(d) Qual a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e o choque com o solo ?
e

108. 104 CAP´
ITULO 5
Obs.: Assim como definimos a velocidade como varia¸˜o da posi¸˜o por unidade de varia¸˜o
ca ca ca
do tempo, definimos a ACELERACAO¸ ˜ como sendo a varia¸˜o da velocidade (olhando v = v(t))
ca
por unidade de varia¸˜o do tempo.
ca
ca ıneo ´ dada por s(t) = 2t3 − 15t2 + 48t − 10 ,
(C) A posi¸˜o s de um objeto em movimento retil´ e
com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a acelera¸˜o quando a velocidade ´
ca e
2
de 12 m/s. Determine a velocidade quando a acelera¸˜o ´ de 10 m/s .
ca e
(D) Um bombardeiro est´ voando paralelo ao ch˜o a uma altitude de 2 km e a uma veloci-
a a
dade constante de 4, 5 km/min. A que raz˜o varia a distˆncia entre o bombardeiro e o alvo
a a
exatamente 20 segundos ap´s o bombardeiro passar sobre o alvo ?
o

109. Aplica¸˜es da Derivada
co 105
Exerc´
ıcios:
1) O volume de um bal˜o esf´rico (em p´s c´bicos) t horas ap´s 13:00 ´ dado pela equa¸˜o
a e e u o e ca
4 3
V (t) = π(9−2t) , com 0 ≤ t ≤ 4. Qual a varia¸˜o m´dia do volume por unidade de varia¸˜o
ca e ca
3
de tempo entre t = 0 e t = 4 ? Qual a taxa de varia¸˜o do volume por unidade de varia¸˜o de
ca ca
tempo `s 16:00 ?
a
2) Suponha que, t segundos ap´s ter come¸ado a correr, o pulso de um indiv´
o c ıduo tenha sua
2
taxa dada por P (t) = 56 + 2t − t (batimentos por minuto), com 0 ≤ t ≤ 7 . Determine a
varia¸˜o m´dia de P por unidade de varia¸˜o de t quando t varia de 2 a 4 segundos. Obtenha
ca e ca
a taxa de varia¸˜o de P por unidade de varia¸˜o de t em t = 2, t = 3, t = 4.
ca ca
3) O iluminamento I (em u.i. - “unidades de iluminamento” ) de uma fonte de luz ´ e
diretamente proporcional ` intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado
a
da distˆncia d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 120 u.i. a uma distˆncia de 2 p´s,
a a e
determine a taxa de varia¸˜o de I por unidade de varia¸˜o de d, quando d = 20 p´s.
ca ca e
4) A rela¸˜o entre a temperatura F , na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala
ca
Celsius, ´ dada por C = 5/9(F − 32). Qual a taxa de varia¸˜o de F em rela¸˜o a C ?
e ca ca
5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm de
largura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto
e dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em fun¸˜o de s e determine a taxa
ca
de varia¸˜o de V em rela¸˜o a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume poss´
ca ca ıvel,
responda se ´ conveniente ou n˜o aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm.
e a
¸˜
Obs.: Lembremos que a ACELERACAO de um objeto em movimento retil´
ıneo ´ a taxa
e
de varia¸˜o da velocidade v por unidade de varia¸˜o do tempo t.
ca ca
6) Para cada uma das situa¸˜es abaixo, define-se a posi¸˜o s de um objeto em movimento
co ca
retil´
ıneo como fun¸˜o do tempo t. Determine a velocidade e acelera¸˜o em cada instante
ca ca
t e tente descrever o movimento (posi¸˜o inicial, velocidade inicial, dire¸˜es do movimento,
ca co
quando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados:
(a) s(t) = 3t2 −12t+1 , t ∈ [0, 5] (b) s(t) = t+4/t , t ∈ [1, 4] (c) s(t) = 24+6t−t3 , t ∈ [−2, 3]
1 − e−3t
(d) s(t) = , t ∈ [0, 2] (e) s(t) = 3 cos πt , t ∈ [0, 2] (f) s(t) = t2 −4 ln(t+1) , t ∈ [0, 4]
3
7) Lan¸a-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s p´s ap´s t segs
c e o
dada por s(t) = 144t − 16t2 . Obtenha a velocidade e a acelera¸˜o iniciais e no instante t = 3
ca
s (descreva o que ocorre). Qual a altura m´xima atingida ? Quando o objeto atinge o solo ?
a

110. 106 CAP´
ITULO 5
8) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸˜o s(t) =
ca
[ln(1 + t)] − t/4 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) = posi¸˜o ao longo de um eixo
ca
orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e
e
t = 2. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2. (c) Em que
instante o objeto p´ra ? Em que posi¸˜o isto ocorre ? Qual a acelera¸˜o neste instante ?
a ca ca
9) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
10 ln(2t + 1)
pela equa¸˜o s(t) =
ca (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸˜o ao longo
ca
(2t + 1)
de um eixo orientado, medida em metros).
(a) Obtenha a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade
e
nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto est´ parado ?
a
(d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 at´ t → +∞ .
e
10) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸˜o ca
2t2
s(t) = t (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸˜o ao longo de um eixo orientado,
ca
e
medida em metros). (a) Obtenha a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e t = 2, a
e
velocidade no instante t = 1 e responda qual delas ´ a maior (mostre as contas). (b) O que
e
ocorre com s(t) quando t → +∞ ? (c) Qual a maior distˆncia da posi¸˜o inicial que ´ atingida
a ca e
pelo objeto ?
11) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸˜o ca
s(t) = t · ln(1 + 2t) (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸˜o ao longo de um eixo
ca
orientado, medida em metros).
e3 − 1
(a) Obtenha a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e t =
e . (b) Obtenha a
2
e3 − 1
velocidade nos instantes t = 0 e t = . (c) Obtenha a acelera¸˜o no instante t = 0 .
ca
2
(d) O que ocorre com a velocidade e com a acelera¸˜o quando t → +∞ ?
ca
12) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸˜o ca
2
s(t) = 3 − e−t (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸˜o ao longo de um eixo
ca
orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e
e
t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas ´ a maior (mostre as contas).
e
(b) O que ocorre com a velocidade instantˆnea v(t) quando t → +∞ ? (c) O que ocorre
a
com s(t) quando t → +∞ ? Qual a maior distˆncia da posi¸˜o inicial que ´ atingida pelo
a ca e
objeto (se existir)?
Obs.: Para 9) (d), 10) (b), 11) (d) e 12) (b), (c) use as Se¸˜es 5.8, 5.9 e 5.10
co

111. Aplica¸˜es da Derivada
co 107
5.3 Taxas relacionadas
Em alguns problemas, podemos ter v´rias grandezas relacionadas atrav´s de equa¸˜es.
a e co
Exemplos:
(A) Uma escada com 5 m de comprimento est´ inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua
a
base, apoiada no ch˜o, est´ sendo empurrada na dire¸˜o da parede a uma velocidade de 0,5
a a ca
m/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando a
base est´ a 4 m da parede ?
a
(B) Infla-se um bal˜o esf´rico de tal modo que seu volume aumenta ` raz˜o de 5 dm3 /min. A
a e a a
que raz˜o o diˆmetro do bal˜o cresce quando o diˆmetro ´ de 12 dm ?
a a a a e

112. 108 CAP´
ITULO 5
(C) Um tanque de ´gua com a forma de cone invertido e altura igual ao diˆmetro est´ sendo
a a a
3
enchido ` raz˜o de 3 m /s. Qual a velocidade com que o n´ de ´gua sobe, quando a parte
a a ıvel a
cheia com ´gua tem 2 m de altura ?
a
(D) Um farol, situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta est´ girando com uma
a
velocidade de 3 rpm (rota¸˜es por minuto). Qual a velocidade da luz do farol na regi˜o
co a
costeira quando o ˆngulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol ` praia ´ de π/4 rad ?
a a e

113. Aplica¸˜es da Derivada
co 109
Exerc´
ıcios:
1) Um papagaio de papel est´ voando a uma altura de 40m. Um garoto est´ empinando
a a
o papagaio de tal modo que este se move horizontalmente a uma raz˜o de 3m/seg. Se a linha
a
est´ esticada, com que raz˜o deve o garoto dar linha quando o comprimento da corda solta ´
a a e
50m ?
2) Um carro que viaja ` raz˜o de 30m/seg aproxima-se de um cruzamento. Quando o
a a
carro est´ a 120m do cruzamento, um caminh˜o que viaja a 40m/seg atravessa o cruzamento.
a a
O carro e o caminh˜o est˜o em estradas que formam ˆngulos retos uma com a outra. Com
a a a
que rapidez separam-se o carro e o caminh˜o 2 segundos depois que o caminh˜o passou pelo
a a
cruzamento ?
3) De um orif´ em um recipiente vaza areia, que forma um monte cˆnico cuja altura ´
ıcio o e
sempre igual ao raio da base. Se a altura aumenta ` raz˜o de 6 pol/min, determine a taxa de
a a
vazamento da areia quando a altura da pilha ´ 10 pols.
e
4) Uma lˆmpada colocada em um poste est´ a 5m de altura. Se um homem de 2m de altura
a a
caminha afastando-se da lˆmpada ` raz˜o de 1m/seg, com que rapidez se move a extremidade
a a a
de sua sombra no instante em que ele est´ a 4m do poste ? Com que rapidez se alonga sua
a
sombra neste instante ? Qual velocidade ´ a maior, a da extremidade da sombra ou a de
e
alongamento da sombra ? O que ocorre em outros instantes ?
5) A Lei de Boyle para os gases afirma que p.v = c, onde p ´ a press˜o, v ´ o volume e c
e a e
uma constante. Em certo instante, o volume ´ de 75 pols , a press˜o 30 lbs/pol2 e a press˜o
e 3
a a
2
decresce ` raz˜o de 2 lbs/pol por minuto. Qual a taxa de varia¸˜o do volume neste instante ?
a a ca
6) Um ponto P (x, y) se move sobre o gr´fico da equa¸˜o y = ln(x3 ) (x > 0) e sua abscissa
a ca
x varia ` raz˜o de 0,5 unidade por segundo. A ordenada y tamb´m varia a uma raz˜o fixa ?
a a e a
Qual a taxa de varia¸˜o da ordenada no ponto (e, 3) ?
ca
7) Quando duas resistˆncias el´tricas R1 e R2 s˜o ligadas em paralelo, a resistˆncia total
e e a e
R ´ dada por 1/R = (1/R1 ) + (1/R2 ). Se R1 e R2 aumentam ` raz˜o de 0,01 ohms/s e 0,02
e a a
ohms/s, respect., qual a taxa de varia¸˜o de R no instante em que R1 = 30 ohms e R2 = 90
ca
ohms ?
8) Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida, seu
comprimento aumenta ` taxa de 0,005 cm/min e seu diˆmetro cresce ` raz˜o de 0,002 cm/min.
a a a a
Qual a taxa de varia¸˜o do volume quando o comprimento ´ 40 cm e o diˆmetro ´ 3 cm ?
ca e a e

114. 110 CAP´
ITULO 5
9) Uma escada com 6 m de comprimento est´ apoiada em um dique inclinado a 60◦ em
a
rela¸˜o ` horizontal. Se a base da escada est´ sendo movida horizontalmente na dire¸˜o do
ca a a ca
dique ` raz˜o de 1 m/s, com que rapidez move-se a parte superior da escada (apoiada no
a a
dique), quando a base estiver a 4 m do dique ?
10) Um avi˜o voa a uma altura constante de 5000 p´s ao longo de uma reta que o levar´
a e a
diretamente a um ponto acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador
nota que o ˆngulo de eleva¸˜o do avi˜o ´ de 60◦ e aumenta ` raz˜o de 1◦ por segundo, deter-
a ca a e a a
mine a velocidade do avi˜o neste instante.
a
11) Um triˆngulo is´sceles tem os dois lados iguais com 6 pols cada um. Se o ˆngulo entre
a o a
◦
os lados iguais varia ` raz˜o de 2 por min, com que velocidade varia a ´rea do triˆngulo
a a a a
◦
quando θ = 30 ?
12) A luz de um farol localizado a 1/8 de milha do ponto mais pr´ximo P de uma estrada
o
retil´
ınea est´ sobre um carro que percorre a estrada com a velocidade de 50 milhas por hora,
a
se afastando de P. Determine a taxa de rota¸˜o do farol no instante em que o carro est´ a 1/4
ca a
de milha do farol.
13) Uma escada de 5 m de altura est´ apoiada numa parede vertical. Se a parte inferior
a
da escada ´ puxada horizontalmente para fora da parede de tal forma que o topo da escada
e
escorrega ` raz˜o de 3 m/s, com que velocidade est´ variando a medida do ˆngulo entre a
a a a a
escada e o solo quando a parte inferior da escada est´ a 3 m da parede ?
a
14) Um homem num cais est´ puxando um bote ` raz˜o de 2 m/s por meio de uma corda
a a a
(esta ´ a velocidade com que puxa a corda). As m˜os do homem est˜o a 30 cm do n´ do
e a a ıvel
ponto onde a corda est´ presa no bote. com que velocidade varia a medida do ˆngulo de
a a
deflex˜o da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o comprimento da corda ´
a e
de 50 cm ?
15) Um quadro de 40 cm de altura est´ colocado numa parede, com sua base a 30 cm
a
acima do n´ dos olhos de um observador. Se o observador se aproximar da parede ` raz˜o
ıvel a a
de 4 m/s, com que velocidade varia a medida do ˆngulo subtendido pelo quadro a seus olhos,
a
quando o observador estiver a 1 m da parede ?

115. Aplica¸˜es da Derivada
co 111
16) Despeja-se ´gua num recipiente de forma cˆnica ` raz˜o de 8 cm3 /min. O cone tem
a o a a
20 cm de profundidade e 10 cm de diˆmetro em sua parte superior. Com que velocidade deve
a
aumentar a profundidade da ´gua no recipiente quando a ´gua estiver a 16 cm do fundo ?
a a
Suponhamos agora que se tenha a informa¸˜o adicional de que existe um furo no fundo, pelo
ca
qual a ´gua escoa, e que a ´gua est´ subindo ` raz˜o de 1/8π cm/min neste instante (quando
a a a a a
a ´gua est´ a 16 cm do fundo). Com que velocidade a ´gua est´ escoando ?
a a a a
17) Uma escada de 5 m de comprimento est´ apoiada em uma parede vertical. Sua base, que
a
est´ apoiada no ch˜o, est´ sendo empurrada na dire¸˜o da parede a uma velocidade constante
a a a ca
de 1 m/s. (a) Mostre que a velocidade com que o topo da escada se desloca n˜o ´ constante.
a e
(b) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando a base est´ a 3 m da parede
a
? (c) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando o ˆngulo da escada com
a
o ch˜o ´ de π/4 rad ?
a e
18) A luz de um farol que gira ` taxa de 1,5 rpm (rota¸˜es por minuto) est´ iluminando
a co a
(acompanhando) um carro que passa numa estrada retil´ ınea. (Obs.: O farol est´ distante da
a
estrada)
No momento em que o ˆngulo do feixe de luz do farol com a perpendicular do farol ` estrada
a a
´ de π/3 rad, a distˆncia do farol ao carro ´ de 250 m = 1/4 km. Obtenha a velocidade do
e a e
carro neste instante, em km/h.
A velocidade de rota¸˜o do farol ´ constante. Responda se a velocidade do carro tamb´m
ca e e
´ constante e justifique.
e
19) Uma escada de 4 m est´ apoiada numa parede vertical. Se a base da escada (apoiada
a
no ch˜o) ´ empurrada na dire¸˜o da parede ` raz˜o (constante) de 2 m/s, com que velocidade
a e ca a a
est´ variando a medida do ˆngulo (agudo) entre a escada e a parede vertical quando a base da
a a
escada est´ a 2 m da parede ? A velocidade de varia¸˜o deste ˆngulo ´ constante ? (Justifique)
a ca a e
20) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto `s 8 horas da manh˜, um viajando para
a a
leste, a 15 km/hora, e o outro para o sul, a 20 km/hora.
(a) Como estar´ variando a distˆncia entre eles quando for meio-dia ?
a a
(b) Como estar´ variando a ´rea do triˆngulo formado pelo ponto de partida e as posi¸˜es
a a a co
dos ciclistas ao meio-dia ?
21) Um homem num cais est´ puxando um bote ` raz˜o de 1 m/s por meio de uma corda
a a a
(esta ´ a velocidade do bote). As m˜os do homem est˜o a 1 m acima do n´ do ponto onde a
e a a ıvel
corda est´ presa no bote. Com que velocidade varia a medida do ˆngulo de deflex˜o da corda
a a a
√
(entre a corda e o movimento do bote) quando o bote est´ a 3 m de distˆncia (“medidos na
a a
horizontal”) do homem ?

116. 112 CAP´
ITULO 5
5.4 Alguns resultados importantes
Pontos cr´
ıticos, m´ximos e m´
a ınimos:
ca e ´
Defini¸˜o 5.1. Um ponto c ∈ X ´ um PONTO CRITICO de f : X → IR quando f (c) = 0
ou n˜o existe f (c) .
a
Exemplos:
(A) Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x .
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 .
(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = ex .
(D) Seja s : IR → IR dada por s(x) = cos x .
√
(E) Seja f2 : IR → IR dada por f2 (x) = (x + 5)2 3 x − 4 .

117. Aplica¸˜es da Derivada
co 113
Teorema 5.1. Seja f : X → IR uma fun¸˜o. Se c ´ um ponto de m´ximo ou m´
ca e a ınimo local
de f e c ∈ I (intervalo aberto) ⊂ X ent˜o c ´ um ponto cr´
a e ıtico de f , ou seja, f (c) = 0 ou
f (c) .
Consequˆncia importante do Teorema 5.1: Se f : [a, b] → IR ´ uma fun¸˜o cont´
e e ca ınua,
sabemos (ver Teorema 3.12) que f assume m´ximo e m´
a ınimo absolutos neste intervalo, ou seja,
existem cM e cm em [a, b] tais que f (cM ) ≥ f (x) e f (cm ) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b] .
O Teorema 5.1 nos diz que os candidatos a cM e cm s˜o os pontos cr´
a ıticos de f em (a, b)
juntamente com os extremos a e b do intervalo [a, b] .
Exemplos:
(A) f : [−3, 5] → IR dada por f (x) = x3 − 12x .

118. 114 CAP´
ITULO 5
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 .
Obs.: Este exemplo mostra que n˜o vale a rec´
a ıproca do Teorema 5.1
(C) (Aplica¸˜o) Um fabricante de caixas de papel˜o deseja fazer caixas abertas de peda¸os
ca a c
quadrados de 12 dm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados.
Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo
volume seja m´ximo.
a

119. Aplica¸˜es da Derivada
co 115
O Teorema do Valor M´dio para Derivadas:
e
Teorema 5.2. (Rolle) Se f ´ cont´nua em um intervalo limitado e fechado [a, b] , deriv´vel
e ı a
no intervalo aberto correspondente (a, b) e f (a) = f (b) , ent˜o existe (pelo menos um)
a
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0 .
⇓
Teorema 5.3. (Teorema do Valor M´dio, de Lagrange) Se f ´ cont´
e e ınua em um intervalo
limitado e fechado [a, b] e deriv´vel no intervalo aberto correspondente (a, b) ent˜o existe
a a
f (b) − f (a)
(pelo menos um) c ∈ (a, b) tal que f (b)−f (a) = f (c)·(b−a) , ou seja, f (c) = .
b−a
Principais conseq¨ˆncias do Teorema do Valor M´dio:
ue e
Teorema 5.4. (Sobre crescimento e decrescimento) Seja f cont´ ınua em um intervalo limitado
e fechado [a, b] e deriv´vel no intervalo aberto correspondente (a, b) .
a
(i) Se f (x) > 0 para todo x em (a, b), ent˜o f ´ CRESCENTE em [a, b] .
a e
(ii) Se f (x) < 0 para todo x em (a, b), ent˜o f ´ DECRESCENTE em [a, b] .
a e

120. 116 CAP´
ITULO 5
Teorema 5.5. (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma fun¸˜o cont´
ca ınua em [a, b] e deriv´vel
a
ıtico c ∈ (a, b) .
em (a, b), exceto possivelmente em um ponto cr´
(i) Se f (x) > 0 ∀ x ∈ (a, c) e f (x) < 0 ∀ x ∈ (c, b) , ent˜o c ´ ponto de m´ximo local de f .
a e a
(ii) Se f (x) < 0 ∀ x ∈ (a, c) e f (x) > 0 ∀ x ∈ (c, b) , ent˜o c ´ ponto de m´
a e ınimo local de f .
(iii) Se f (x) > 0 ∀ x = c em (a, b) ou se f (x) < 0 ∀ x = c em (a, b) ent˜o c n˜o ´ nem
a a e
m´ximo nem m´nimo local de f .
a ı
Exemplos:
(A) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR . Obtenha m´ximos ou m´
a ınimos
locais de g e onde g ´ crescente ou decrescente.
e

121. Aplica¸˜es da Derivada
co 117
(B) Seja f : IR → IR dada por f (x) = x4 − 4x2 ∀ x ∈ IR .
(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = x1/3 (8 − x) ∀ x ∈ IR .
√
(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = (x + 5)2 3 x − 4 ∀ x ∈ IR .
5.5 Concavidade e pontos de inflex˜o
a
Derivadas de ordem superior:
Consideremos, POR EXEMPLO, f : IR → IR dada por f (x) = 2x3 − 5x2 + x + 2 .
Para todo x ∈ IR existe f (x) = 6x2 − 10x + 1 .
Podemos considerar portanto a fun¸˜o f : IR → IR dada por f (x) = 6x2 − 10x + 1
ca
f (x) − f (a)
e indagar se ela ´ deriv´vel ou n˜o, ou seja, se existe lim
e a a = f (a) para cada
x→a x−a
a ∈ IR (existindo, f (a) ´ chamada a derivada segunda de f em a).
e
Como f (neste exemplo) ´ polinomial, sabemos que existe, ∀ x ∈ IR, f (x) = 12x − 10
e
e temos portanto uma nova fun¸˜o f : IR → IR dada por f (x) = 12x − 10 ∀ x ∈ IR (f ´
ca e
a fun¸˜o derivada segunda de f .
ca
Podemos pensar (novamente) em derivar f e assim por diante...
(Exemplos)
Obs.: (A) J´ interpretamos f como taxa de varia¸˜o instantˆnea de y = f (x) por unidade
a ca a
de varia¸˜o de x.
ca
Como f ´ a derivada de f , ent˜o f ´ a taxa de varia¸˜o instantˆnea de f (x) por unidade
e a e ca a
de varia¸˜o de x.
ca
Em resumo: f mede a varia¸˜o de f ;
ca
f mede a varia¸˜o de f ;
ca
f mede a varia¸˜o de f e assim por diante ...
ca
(B) Vimos tamb´m que se s = s(t) representa a posi¸˜o s de um objeto ao longo de uma
e ca
linha reta, como fun¸˜o do tempo t, chamamos de VELOCIDADE (INSTANTANEA) a taxa
ca ˆ
de varia¸˜o instantˆnea de s por unidade de varia¸˜o de t, ou seja, v(t) = s (t) .
ca a ca
Derivando novamente, temos a varia¸˜o da velocidade v (t) = s (t) (derivada segunda de
ca
¸˜
s), a qual chamamos de ACELERACAO no instante t.

122. 118 CAP´
ITULO 5
Testes de concavidade:
Teorema 5.6. (Sobre concavidade) Seja f deriv´vel em um intervalo aberto contendo c .
a
(i) Se existe f (c) > 0 ent˜o no ponto ponto (c, f (c)) o gr´fico de f tem a concavidade
a a
voltada para cima.
(ii) Se existe f (c) < 0 ent˜o no ponto ponto (c, f (c)) o gr´fico de f tem a concavidade
a a
voltada para baixo.
Exemplos:
(A) Seja f : IR → IR dada por f (x) = x3 ∀ x ∈ IR .
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = ex ∀ x ∈ IR .

123. Aplica¸˜es da Derivada
co 119
(C) Seja h : (0, +∞) → IR dada por h(x) = ln x ∀ x > 0 .
(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = sen x ∀ x ∈ IR .
(E) Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR .
Defini¸˜o 5.2. (Ponto de inflex˜o) Um ponto (c, f (c)) do gr´fico de uma fun¸˜o f , f cont´nua
ca a a ca ı
em c, ´ chamado um PONTO DE INFLEXAO
e ˜ quando neste ponto a concavidade “muda
de sentido” , ou seja, existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que uma das seguintes
situa¸˜es ocorre:
co
(i) f (x) > 0 se x ∈ (a, c) e f (x) < 0 se x ∈ (c, b) ;
(ii) f (x) < 0 se x ∈ (a, c) e f (x) > 0 se x ∈ (c, b) .

124. 120 CAP´
ITULO 5
Teorema 5.7. (Teste da Derivada Segunda) Se f ´ deriv´vel em um intervalo aberto contendo
e a
c e f (c) = 0, temos:
(i) Se f (c) < 0 ent˜o f tem m´ximo local em c ;
a a
(ii) Se f (c) > 0 ent˜o f tem m´nimo local em c .
a ı
Obs.: Se f (c) = 0 nada podemos concluir (tente o Teste da Derivada Primeira).
Exemplo: Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x .
Resumindo:
• f mede a varia¸˜o de f ; Sinal de f : crescimento e decrescimento de f ;
ca
Teste da Derivada Primeira: m´ximos e/ou m´
a ınimos.
• f mede a varia¸˜o de f ; Sinal de f : concavidade do gr´fico de f ;
ca a
Teste da Derivada Segunda: m´ximos e/ou m´
a ınimos.
5.6 Aplica¸˜es em problemas de m´ximos e/ou m´
co a ınimos
(A) Determine as dimens˜es do retˆngulo de ´rea m´xima que pode ser inscrito num triˆngulo
o a a a a
equil´tero de lado a, com dois dos v´rtices sobre um dos lados do triˆngulo.
a e a

125. Aplica¸˜es da Derivada
co 121
(B) Os pontos A e B s˜o opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de
a
largura. O ponto C est´ na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma com-
a
panhia telefˆnica deseja estender um cabo de A at´ C. Se o custo por km do cabo ´ 25% mais
o e e
caro sob a ´gua do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia ?
a
(C) Um cartaz de 20 p´s de altura est´ localizado no topo de um edif´ de tal modo que
e a ıcio
seu bordo inferior est´ a 60 p´s acima do n´
a e ıvel do olho de um observador. Use fun¸˜esco
trigonom´tricas inversas para determinar a que distˆncia de um ponto diretamente abaixo
e a
do cartaz o observador deve se colocar para maximizar o ˆngulo entre as linhas de vis˜o do
a a
topo e da base do cartaz.

126. 122 CAP´
ITULO 5
Exerc´
ıcios:
1) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de 4 p´s c´bicos,
e u
determine as dimens˜es que exigem a menor quantidade de material (desprezar a espessura e
o
aperda de material). Refa¸a o problema considerando o caso de uma caixa coberta.
c
2) Determine as dimens˜es do cone circular reto de volume m´ximo que pode ser inscrito
o a
numa esfera de raio a.
3) Uma longa folha retangular de metal, de 12 polegadas de largura, vai ser utilizada para
formar uma calha, dobrando-se em ˆngulo reto duas bordas (de mesma medida). Quantas
a
polegadas devem ser dobradas de forma que a capacidade da calha seja m´xima ? Refa¸a o
a c
problema considerando que os lados da calha devam fazer um ˆngulo de 2π/3 rad com a base.
a
4) Encontre as dimens˜es do retˆngulo de maior ´rea que tem 200 cm de per´
o a a ımetro.
5) Determine o ponto do gr´fico de y = x3 mais pr´ximo do ponto (4, 0).
a o
6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$20,00 por unidade para pedidos
de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (at´ 600), o pre¸o unit´rio
e c a
tem um desconto igual a US$0,02 vezes o n´mero de encomendas. Qual volume de encomendas
u
proporciona maior receita para o fabricante ?
`
7) As 13:00 horas um navio A est´ a 30 milhas ao sul do navio B e navegando rumo norte
a
a 15 mph (milhas por hora). Se o navio B est´ navegando rumo oeste a 10 mph, determine o
a
instante em que a distˆncia entre os dois navios ´ m´
a e ınima.
8) Uma ilha est´ num ponto A, a 6 km do ponto B mais pr´ximo numa praia reta. Um
a o
armaz´m est´ num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem pode remar ` raz˜o de 4
e a a a
km/h e caminhar ` raz˜o de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armaz´m
a a e
no menor tempo poss´ ?
ıvel
9) Encontre as dimens˜es do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito
o
num cone circular reto com altura 12 cm e raio da base 6 cm.
10) Jos´ comprou uma TV nova, de tela plana, para assistir ` Copa do Mundo. A TV tem
e a
uma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distˆncia dos olhos de Jos´, quando ele estiver
a e
sentado confortavelmente em seu sof´, xingando aqueles milion´rios que est˜o jogando vezes
a a a
o que deveriam para ganhar a Copa ( → 0). Sabendo que os olhos de Jos´, ao sentar-se, est˜o
e a
a 1,5 m de altura do solo e num n´ entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura
ıvel
do solo deve ser colocada a TV para que o ˆngulo de vis˜o de Jos´ seja m´ximo ?
a a e a

127. Aplica¸˜es da Derivada
co 123
11) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas margens
opostas e um rio retil´
ıneo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto ser´ constru´ sob a ´gua,
a ıda a
de A at´ um ponto C na margem oposta, e o restante ` superf´
e a ıcie, de C at´ B. Se o custo de
e
constru¸˜o do oleoduto sob a ´gua ´ quatro vezes o custo da constru¸˜o ` superf´
ca a e ca a ıcie, determine
a localiza¸˜o de C que minimize o custo de constru¸˜o.
ca ca
12) O propriet´rio de um pomar estima que, plantando 24 ´rvores por are, cada ´rvore
a a a
produzir´ 600 ma¸˜s por ano. Para cada ´rvore adicional plantada por are, haver´ uma
a ca a a
redu¸˜o de 12 ma¸˜s por p´ por ano. Quantas ´rvores deve plantar por are para maximizar o
ca ca e a
n´mero de ma¸˜s (por are por ano) ?
u ca
13) Um piloto de testes da F´rmula 1 percorre um circuito el´
o ıptico plano, de forma que
sua posi¸˜o, ap´s t vezes 10-segundos, ´ dada por s(t) = (x(t), y(t)) = (2 cos t, sen t) (fa¸a um
ca o e c
esbo¸o da trajet´ria percorrida pelo piloto). O vetor velocidade (tangencial), num instante t
c o
´ dado por v(t) = s (t) = (−2. sen t, cos t) (tente fazer um esbo¸o). A velocidade (tangencial)
e c
escalar ´ dada pelo m´dulo do vetor velocidade: |v(t)|. Supondo que o deve completar pelo
e o
menos uma volta no circuito, calcule os pontos onde o piloto alcan¸a as velocidades m´ximas
c a
2
e m´ınimas. (Sugest˜o: maximizar e minimizar |v(t)| )
a
14) Dado um cilindro circular reto de altura h cm e raio das bases r cm, sua ´rea total ´
a e
2 2 2 3
S = (2πr + 2πrh) cm e seu volume ´ V = πr h cm . DENTRE TODOS OS CILINDROS
e
´ 2
DE AREA TOTAL S = 12π cm , obtenha as dimens˜es (r e h) daquele que tem o maior
o
volume poss´ e forne¸a o maior volume que pode ser obtido.
ıvel c
15) Quando duas resistˆncias el´tricas R1 e R2 s˜o ligadas em paralelo, a
e e a
1 1 1
resistˆncia total R ´ dada por
e e = + .
R R1 R2
Se R1 > 0, R2 > 0 e R1 + R2 = 50 ohms, obtenha (JUSTIFICANDO) R1 e R2 tais que R
seja m´xima. (Sugest˜o: Exprima R como fun¸˜o de uma unica vari´vel para ent˜o resolver o
a a ca ´ a a
problema) E se fossem pedidos R1 e R2 tais que R seja m´
ınima ? Justifique a resposta.
16) Um fazendeiro disp˜e de 1km de cerca. Uma parte da cerca ser´ utilizada para cercar
o a
uma ´rea circular e o restante para cercar uma ´rea quadrada. Ele tamb´m pode utilizar toda
a a e
a cerca para cercar uma unica ´rea (circular ou quadrada). Como ele deve proceder para que:
´ a
(a) A ´rea total cercada seja a menor poss´
a ıvel; (b) A ´rea total cercada seja a maior poss´
a ıvel.
17) Obtenha o raio das bases e a altura do CILINDRO CIRCULAR RETO de VOLUME
´ 3
MAXIMO que pode ser inscrito numa esfera de raio m.
2

128. 124 CAP´
ITULO 5
5.7 Aplica¸˜es em esbo¸os de gr´ficos
co c a
Dada uma fun¸˜o f : X → IR , nos interessa utilizar nossos estudos sobre derivadas para
ca
fazer um esbo¸o do gr´fico de f .
c a
Algumas dicas:
1) Obter a derivada primeira f e os pontos cr´ıticos (onde f se anula ou n˜o existe);
a
2) Estudando o sinal de f , obter informa¸˜es sobre o crescimento/decrescimento de f ;
co
3) Obter a derivada segunda f e estudar o seu sinal para obter informa¸˜es sobre a
co
concavidade do gr´fico de f ;
a
4) Usar o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir
m´ximos ou m´
a ınimos locais;
5) Obter alguns pontos do gr´fico para ajudar no esbo¸o (pontos de m´ximo ou m´
a c a ınimo,
pontos de interse¸˜o com os eixos coordenados, etc.);
ca
6) Observar o comportamento de f (x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) -
busca de ass´
ıntotas horizontais (*);
7) Observar quando f (x) → ±∞ - busca de ass´ ıntotas verticais (*).
(*) Veremos estes dois ultimos ´
´ ıtens com mais detalhes nas pr´ximas aulas.
o
Exemplo: Seja f : IR → IR dada por f (x) = 5x3 − x5 .

129. Aplica¸˜es da Derivada
co 125
5.8 Apˆndice A : Limites no infinito
e
No¸˜o b´sica:
ca a
Dada f : X → IR, nos interessa investigar (se poss´
ıvel) o comportamento de f (x) quando
x → ±∞ .
Dizemos que um n´mero real L ´ o limite de f (x) quando x → +∞ e escrevemos
u e
lim f (x) = L
x→+∞
quando f (x) se aproxima tanto quanto quisermos de L ` medida que x cresce indefinidamente,
a
ou seja, quando x → +∞ .
Neste caso, a reta y = L ´ chamada uma ASS´
e INTOTA HORIZONTAL do gr´fico de f .
a
Analogamente, escrevemos lim f (x) = M ∈ IR quando f (x) se aproxima tanto
x→−∞
quanto quisermos de M ` medida que x → −∞ .
a
Neste caso tamb´m y = M ´ ass´
e e ıntota horizontal do gr´fico de f .
a
Exemplos:
1
(A) f : [2, +∞) → IR dada por f (x) = .
x

130. 126 CAP´
ITULO 5

 4+ 1 se x ≤ −1
(B) g : (−∞, 3) → IR dada por g(x) = x
 6 se −1 < x < 3
(C) u : IR → IR dada por u(x) = sen x .
Teoremas sobre limites no infinito:
Valem os mesmos teoremas vistos no estudo de limites, com as devidas adapta¸˜es.
co
Por exemplo: Se lim f (x) = L e lim g(x) = M , ent˜o podemos comcluir que
a
x→+∞ x→+∞
lim f (x) ± g(x) = L ± M , lim f (x) · g(x) = L · M , lim f (x)/g(x) = L/M se M = 0
x→+∞ x→+∞ x→+∞
(analogamente para x → −∞ )
Alguns limites b´sicos no infinito:
a
1) lim c = c
x→±∞
c
2) Se k ∈ Q, k > 0 e c = 0 ent˜o
a lim = 0 (se fizerem sentido)
x→±∞ xk
x
1 ln x
3) lim 1+ =e 4) lim =0
x→+∞ x x→+∞ x
1 1
5) lim ex = 0 6) lim =0 7) lim =0
x→−∞ x→+∞ ex x→+∞ ln x

131. Aplica¸˜es da Derivada
co 127
Exemplos:
−5x3 + 2x
(A) lim 3
x→+∞ x − 4x2 + 3
3x − 4
(B) lim
x→−∞ 5x2
√
5x2 − 6
(C) lim
x→+∞ 4x + 3
sen x
(D) lim
x→−∞ x
(E) (Exerc´ıcio) Use seus conhecimentos sobre derivadas para mostrar que ex > x sempre
que x ≥ 1 (Sugest˜o: Mostre que f (x) = ex − x ´ crescente em [1, +∞) e f (1) > 0 ) e
a e
1
conclua que lim x = 0 .
x→+∞ e
2 2 1 1
(F) (Exerc´
ıcio) Mostre que lim e−x = 0 (Sugest˜o: Mostre que 0 < e−x =
a x2
< x
x→+∞ e e
quando x → +∞ e aplique o Sandu´
ıche).

132. 128 CAP´
ITULO 5
5.9 Apˆndice B : Limites infinitos
e
Dada f : X → IR e a ∈ X , vamos estudar agora, para aux´ no esbo¸o do gr´fico de f ,
ılio c a
ca ˜
a situa¸˜o na qual NAO EXISTE o lim f (x) (f n˜o pode ser cont´
a ınua em a) e, AINDA
x→a
ASSIM, f (x) tem um comportamento especial quando x se aproxima de a (e x = a).
Escrevemos lim f (x) = +∞ quando f (x) → +∞ ` medida que x → a (x = a) .
a
x→a
Neste caso, a reta x = a ´ chamada uma ASS´
e INTOTA VERTICAL do gr´fico de f :
a
Analogamente, lim f (x) = −∞ quando f (x) → −∞ ` medida que x → a (x = a) .
a
x→a
Neste caso tamb´m dizemos que x = a ´ uma ass´
e e ıntota vertical do gr´fico de f :
a
Observa¸˜es:
co
1) Temos conceitos semelhantes quando analisamos os limites laterais lim+ f (x) ou lim− f (x) .
x→a x→a
˜
2) CUIDADO: A rigor, nestes casos, o limite lim f (x) NAO EXISTE (n˜o ´ um n´mero
a e u
x→a
real). Apenas escrevemos lim f (x) = ±∞ para descrever um comportamento especial de
x→a
f (x) quando x se aproxima de a.

133. Aplica¸˜es da Derivada
co 129
Exemplos:
1
(A) lim = +∞
x→−3 (x + 3)2
1
(B) lim = +∞
+
x→2 (x − 2)3
1
lim = −∞
x→2 − (x − 2)3
(C) Em geral:
1
Se n ´ PAR: lim
e = +∞
(x − a)n
x→a
1 1
Se n ´ ´
e IMPAR: lim+ = +∞ e lim− = −∞
x→a (x − a)n x→a (x − a)n
(D) lim ln x = −∞
+
x→0
(E) lim tg θ = +∞
θ→π/2−
Proposi¸˜o 5.1. (Para ajudar no c´lculo de alguns limites infinitos)
ca a
Sejam lim f (x) = +∞ , lim g(x) = c ∈ IR , lim h(x) = −∞ . Temos:
x→a x→a x→a
1) lim [f (x) + g(x)] = +∞ , lim [h(x) + g(x)] = −∞ .
x→a x→a
g(x) g(x)
2) lim = 0 , lim =0.
x→a f (x) x→a h(x)
f (x)
3) c > 0 ⇒ lim f (x) · g(x) = +∞ , lim h(x) · g(x) = −∞ , lim = +∞ ,
x→a x→a x→a g(x)
h(x)
lim = −∞ .
x→a g(x)
f (x) h(x)
c < 0 ⇒ lim f (x) · g(x) = −∞ , lim h(x) · g(x) = +∞ , lim = −∞ , lim = +∞
x→a x→a x→a g(x) x→a g(x)
Obs.: Valem resultados an´logos para limites laterais.
a

134. 130 CAP´
ITULO 5
Exemplos:
2x2
(A) f (x) =
x2 − 9
(B) lim sen x tg x
x→−π/2+
√
x4 + 2
(C) lim
x→0+ ln x

135. Aplica¸˜es da Derivada
co 131
Observa¸˜o: De modo inteiramente an´logo ao que fizemos para lim f (x) = ±∞ ,
ca a
x→a
podemos ter LIMITES INFINITOS NO INFINITO e resultados como a proposi¸˜o anterior
ca
continuam v´lidos! (apenas n˜o temos mais as ass´
a a ıntotas verticais nestes casos)
(D) lim x = +∞ , lim x = −∞
x→+∞ x→−∞
(E) lim ex = +∞ (F) lim ln x = +∞
x→+∞ x→+∞
(G) lim −5x4 + 3x + 2
x→+∞
Observa¸˜o: As conclus˜es que n˜o podemos (e as que podemos) tirar quando lidamos
ca o a
com limites infinitos:
Devemos sempre tomar cuidado com opera¸˜es entre fun¸˜es que tˆm LIMITES INFINI-
co co e
¸˜
TOS, pois podem surgir as chamadas INDETERMINACOES, que s˜o as formas cujos com-
a
˜ PODEMOS PREVER A PRIORI.
portamentos NAO
¸˜
Destacamos aqui as PRINCIPAIS INDETERMINACOES:
0 ∞
, , 0 · ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ , ∞ − ∞
0 ∞
Em qualquer um destes casos, devemos trabalhar com as fun¸˜es dadas de modo que
co
¸˜
possamos ELIMINAR AS INDETERMINACOES. (EXEMPLOS)

136. 132 CAP´
ITULO 5
5.10 Apˆndice C : Formas indeterminadas
e
e a Regra de L’Hopital
0 ∞
As formas
, , 0 · ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ , ∞ − ∞ s˜o todas consideradas
a
0 ∞
¸˜
INDETERMINACOES.
Al´m de tentarmos trabalhar com as express˜es que geram as indetermina¸˜es visando
e o co
´
ELIMINA-LAS, veremos a seguir alguns m´todos para atacar estes problemas.
e
0 ∞
C.1) Indetermina¸˜es do tipo
co ou :
0 ∞
Uma ferramenta muito util ´ a ...
´ e
Regra de L’Hopital:
f (x) 0 ∞
Suponhamos que tome a forma indeterminada ou quando x → c ou
g(x) 0 ∞
f (x)
x → ±∞ . Se tem limite (ou tende a ±∞ ) quando x → c (ou x → ±∞ ), ent˜o
a
g (x)
f (x) f (x)
lim = lim
g(x) g (x)
Exemplos:
3 − 2x − 3 cos x
(A) lim
x→0 5x
ln x
(B) lim
x→+∞ x

137. Aplica¸˜es da Derivada
co 133
e2x
(C) lim
x→+∞ x2
Obs.: CUIDADO! N˜o saia aplicando a Regra de L’Hopital antes de verificar que realmente
a
se tem uma indetermina¸˜o do tipo 0/0 ou ∞/∞ .
ca
C.2) Indetermina¸˜es do tipo 0 · ∞ :
co
f (x) g(x)
Escrevendo-se f (x) · g(x) = ou f (x) · g(x) = recai-se numa forma do tipo
1/g(x) 1/f (x)
0/0 ou ∞/∞ .
Exemplos:
(A) lim x · ln x
+
x→0
π
(B) lim arc tg x − ·x
x→+∞ 2

138. 134 CAP´
ITULO 5
C.3) Indetermina¸˜es do tipo 00 , ∞0 ou 1∞ :
co
O roteiro abaixo pode ser util nestes casos:
´
0) Seja f (x)g(x) a express˜o que gera a indetermina¸˜o;
a ca
1) Tome y = f (x)g(x) ;
ıtmos: ln y = ln f (x)g(x) = g(x) · ln f (x) (e recaia em casos j´ vistos);
2) Tome logar´ a
3) Determine lim ln y (se existir);
4) Se lim ln y = L ent˜o lim y = eL . (Aten¸˜o: N˜o pare em 3)
a ca a
Exemplos:
(A) lim x1/x
x→+∞
x
1
(B) lim 1+
x→+∞ x
(C) lim x1/ ln x
x→+∞

139. Aplica¸˜es da Derivada
co 135
C.4) Indetermina¸˜es do tipo ∞ − ∞ :
co
Trabalhe com a express˜o para cair em casos conhecidos !
a
Exemplos:
(A) lim (sec x − tg x)
x→π/2−
1 1
(B) lim −
+
x→0 ex −1 x
Exerc´
ıcio:
APLICANDO RESULTADOS SOBRE DERIVADAS, fa¸a um esbo¸o do gr´fico de cada
c c a
fun¸˜o f dada a seguir:
ca
Roteiro:
a. Obtenha a derivada primeira f e os pontos cr´ıticos de f .
b. Estudando o sinal de f , obtenha informa¸˜es sobre o crescimento/decrescimento de f .
co
c. Obtenha a derivada segunda f e estude seu sinal para obter informa¸˜es sobre a concavidade
co
do gr´fico de f .
a
d. Use o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir m´ximos
a
ou m´ınimos locais.
e. Obtenha alguns pontos do gr´fico de f para ajudar no esbo¸o (pontos de m´ximo ou m´
a c a ınimo,
pontos de interse¸˜o com os eixos coordenados, etc.).
ca
f. Observar o comportamento de f (x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) - busca
de ass´
ıntotas horizontais.
g. Observar quando f (x) → ±∞ - busca de ass´ ıntotas verticais.

140. 136 CAP´
ITULO 5
1) f (x) = 4 − x2 2) f (x) = x3
3) f (x) = x3 − 9x 4) f (x) = x4 − 6x2
√ x2
5) f (x) = 1 − 3
x 6) f (x) =
1 + x2
√
7) f (x) = 10x3 (x − 1)2 8) f (x) = 3 x (8 − x)
√
9) f (x) = (x + 5)2 3 x − 4 10) f (x) = x2/3 (x2 − 8)
3 1
11) f (x) = x3 + (x = 0) 12) f (x) = (x = 0, 3)
x x(x − 3)2
2x2 3x2
13) f (x) = (x = ±1) 14) f (x) = (x = 9)
1 − x2 (x − 9)2
15) f (x) = ex 16) f (x) = e−x 17) f (x) = ex − x
2
18) f (x) = e−x 19) f (x) = ln x (x > 0)
x ln x
20) f (x) = e1/x (x = 0) 21) f (x) = 22) f (x) = (x > 0)
ex x
ex + e−x ex − e−x ex − e−x
23) cosh x = senh x = tgh x = 24) f (x) = arc tg x
2 2 ex + e−x
25) f (x) = e−x sen x (x ∈ [0, 4π] )
26) f (x) = 2 cos x + sen 2x (x ∈ [0, 2π] )
2x2 3x
27) f : IR − {4} → IR dada por f (x) = 28) f : IR → IR dada por f (x) =
(x − 4)2 ex
x2 x2
29) f : IR → IR dada por f (x) = x 30) f : IR − {±2} → IR dada por f (x) =
e 4 − x2
−3x
31) f : IR − {1} → IR , f (x) = . 32) f : IR − {0} → IR , f (x) = x · ln(x2 ) .
(1 − x)2
ex √
3
33) f : IR − {0} → IR dada por f (x) = 34) f : IR → IR dada por f (x) = 1 − x2
x3
2x2
35) f : IR → IR dada por f (x) = ∀ x ∈ IR .
1 + x2

141. Aplica¸˜es da Derivada
co 137
5.11 Apˆndice D: Aproxima¸˜es via
e co
Polinˆmios de Taylor
o
Recordando...
Quando estudamos acr´scimos e diferenciais, vimos que se f : X → IR ´ deriv´vel em
e e a
f (x + ∆x) − f (x)
x ∈ X, ou seja, se existe f (x) = lim , ent˜o a varia¸˜o da fun¸˜o y = f (x),
a ca ca
∆x→0 ∆x
dada por ∆y = f (x + ∆x) − f (x) , pode ser aproximada por f (x) · ∆x quando ∆x est´ a
pr´ximo de 0:
o
∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f (x) · ∆x = dy quando ∆x → 0
Isto ´ o mesmo que
e
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f (x) · ∆x .
Geometricamente:
A id´ia ´ aproximar o gr´fico de f por uma reta numa vizinhan¸a em torno de x. A reta que
e e a c
melhor cumpre esse papel ´ a reta tangente ao gr´fico de f em (x, f (x)), cujo coeficiente
e a
angular ´ f (x) . Quando fazemos essa aproxima¸˜o, cometemos um erro r = r(∆x) .
e ca
Quanto menor ´ |∆x| , ou seja, quanto mais pr´ximos est˜o ∆x e 0, melhor a aproxima¸˜o
e o a ca
obtida e menor ´ o erro cometido.
e
Pergunta: Podemos melhorar este processo e obter aproxima¸˜es cada vez melhores ?
co
Resposta: SIM ! (sob certas condi¸˜es)
co

142. 138 CAP´
ITULO 5
Um passo adiante:
Se f : I (intervalo aberto) → IR ´ duas vezes deriv´vel em um ponto x ∈ I ent˜o, se
e a a
x + ∆x ∈ I , temos
f (x)
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f (x) · ∆x + · (∆x)2 (∆x pequeno)
2!
Da mesma forma que antes, quanto menor |∆x| , melhor ´ a aproxima¸˜o.
e ca
Por´m, desta vez estamos aproximando f (em torno de x) por um polinˆmio do 2o grau, ou
e o
seja, geometricamente, o gr´fico de f ´ aproximado por um arco de par´bola e a expectativa
a e a
´ que isto funcione melhor como aproxima¸˜o do que uma reta:
e ca
Generalizando:
Se f : I (intervalo aberto) → IR ´ n−vezes deriv´vel em um ponto x ∈ I ent˜o, se
e a a
x + ∆x ∈ I , temos:
f (x) f (x) f (n) (x)
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f (x) · ∆x + · (∆x)2 + · (∆x)3 + . . . + · (∆x)n
2! 3! n!
e quanto menor |∆x|, melhor ´ a aproxima¸˜o.
e ca
Obs.:
1) Como o ponto x ∈ I, onde a fun¸˜o ´ n−vezes deriv´vel, est´ fixo e ∆x varia (∆x → 0),
ca e a a
vamos adotar uma NOVA NOTACAO: ¸˜
f : I → IR n−vezes deriv´vel em um ponto a ∈ I . Se a + h ∈ I , temos:
a
f (a) 2 f (a) 3 f (n) (a) n
f (a + h) ≈ f (a) + f (a) · h + ·h + · h + ... + ·h
2! 3! n!
e quanto menor |h| , melhor ´ a aproxima¸˜o.
e ca

143. Aplica¸˜es da Derivada
co 139
e a ˆ
2) Se f : I → IR ´ n−vezes deriv´vel em um ponto a ∈ I , definimos o POLINOMIO DE
¸˜
TAYLOR DE GRAU n DA FUNCAO f NO PONTO a:
Pn,f (a) (h) = a0 + a1 · h + a2 · h2 + . . . + an · hn
f (a) f (n) (a)
sendo a0 = f (a) , a1 = f (a) , a2 = , . . . , an = , ou seja,
2! n!
f (i) (a)
ai = i = 1, 2, . . . , n
i!
Neste caso temos:
f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h)
Exemplos:
(A) f (x) = ex , a = 0 , n = 5 .
(B) g(x) = sen x , a = 0 , n = 7 .
(C) h(x) = cos x , a = 0 , n = 10 (Exerc´
ıcio)

144. 140 CAP´
ITULO 5
Buscando estimativas: A F´rmula de Taylor:
o
Teorema 5.8. (F´rmula de Taylor)
o
Se uma fun¸˜o f ´ n + 1 vezes deriv´vel em um intervalo aberto I contendo x = a ent˜o,
ca e a a
se a + h ∈ I, temos:
f (a) 2 f (n) (a) n f (n+1) (z) n+1
f (a + h) = f (a) + f (a) · h + · h + ... + ·h + ·h
2! n! (n + 1)!
com z = z(n, h) entre a e a + h.
• Continuamos tendo f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h) quando h est´ pr´ximo de 0.
a o
f (n+1) (z) n+1
• Rn (h) = ·h ´ o erro cometido na aproxima¸˜o f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h)
e ca
(n + 1)!
(quanto menor |h|, menor o erro).
• A F´rmula de Taylor nos permite, al´m de aproximar f (a + h) por Pn,f (a) (h) , tentar
o e
obter estimativas para o erro cometido.
(Exemplo)

145. Aplica¸˜es da Derivada
co 141
Indo um pouco mais al´m: A S´rie de Taylor:
e e
Uma fun¸˜o f : I (intervalo aberto) → IR ´ chamada ANAL´
ca e ITICA quando para cada a ∈ I
admite o desenvolvimento em S´rie de Taylor numa vizinhan¸a em torno de a:
e c
f (a) 2 f (a) 3
f (a + h) = f (a) + f (a) · h + ·h + · h + ...
2! 3!
Quando a + h est´ pr´ximo de a (o quanto, depende de f e sua S´rie) a soma ` direita,
a o e a
´
chamada a SERIE DE TAYLOR DE f EM TORNO DE a converge para o valor (exato de)
f (a + h), ou seja, se aproxima tanto quanto desejarmos de f (a + h).
Obs.:
1) Uma fun¸˜o anal´
ca ıtica pode ser derivada tantas vezes quanto desejarmos.
2) As fun¸˜es cl´ssicas p(x) = a0 +a1 x+. . .+an xn , ex , sen x, cos x, ln x s˜o todas anal´
co a a ıticas.
Exemplos:
(A) f : IR → IR dada por f (x) = ex em torno de a = 0 .
(B) g : IR → IR dada por g(x) = sen x em torno de a = 0 .
Exerc´
ıcio: Obtenha a S´rie de Taylor de f (x) = ln x em torno do ponto a = 1 .
e

146. 142 CAP´
ITULO 5
Respostas de exerc´
ıcios
• Exerc´
ıcios das p´ginas 97 e 98:
a
√ √
1) a) Express˜o ≈ 3, 12 b) 3 65 ≈ 4 + 1/48 = 193/48
a c) 37 ≈ 6 + 1/12 = 73/12
√ 1 2 √ 3 1122
d) 3
0, 00098 ≈ − e) 0, 042 ≈ 0, 205 f) Express˜o ≈ 9−
a = = 8, 976
10 3 · 103 125 125
1 65
g) √
4
≈
15 128
π 8π
2) ln(2, 01) ≈ 0, 6981 3) ctg 46◦ ≈ 1 − 4) S(2, 02) − S(2) ≈ p´s2
e
90 25
1 9π 4π
5) ∆θ ≈ ± rad 6) ∆V ≈ ± cm3 7) ∆l ≈ 0, 6 cm 8) ∆h ≈ ± pols
164 50 3
9) ≈ R$19,20 10) Erro ±2% em d ⇒ Erro no c´lculo de R ≈
a 4%
√ 25
11) (a) h(θ) = 17 · sen θ km (b) h(π/3) ≈ = 3, 571... km
7
√
17 1
(c) h(θ + ∆θ) − h(θ) ≈ ± km (com θ = π/3 , ∆θ = ± )
200 100
12) (a) S(r + ∆r) − S(r) ≈ S (r) · ∆r = 1/5 cm2 (b) ∆r = 0, 5 cm.
13) Aceito a oferta, pois 3 cm a mais no diˆmetro gera um aumento aproximado de 12%
a
na ´rea da pizza. d = 60 cm para que a oferta seja justa para ambos.
a
14) ∆l ≈ ± π/90 m.
15) 10% (aumento percentual aproximado no volume)
• Exerc´
ıcios das p´ginas 105 e 106:
a
∆V 728π
1) =− p´s3 /hora ;
e V (3) = −72π p´s3 /hora.
e
∆t 3
∆P
2) = 11 bpm/s ; P (2) = 7 bpm/s ; P (3) = 11 bpm/s ; P (4) = 15 bpm/s.
∆t
9 ◦ ◦
3) I (20) = −0, 12 u.i./p´
e 4) F (C) = F/ C
5
5) V (s) = 4s3 − 200s2 + 2400s ; V (s) = 12s2 − 400s + 2400 ;
V (5) = 700 cm3 /cm ⇒ ´ conveniente aumentar s quando s = 5;
e
3
V (10) = −400 cm /cm ⇒ n˜o ´ conveniente aumentar s quando s = 10.
a e

147. Aplica¸˜es da Derivada
co 143
6) (a) s(0) = 1 ; v(t) = s (t) = 6t − 12 ⇒ v(0) = −12 ; a(t) = v (t) = 6 ;
v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = −11 ; v(5) = 18 ; s(5) = 16 .
(b) s(1) = s(4) = 5 ; v(t) = 1 − 4/t2 ; v(1) = −3 ; v(4) = 3/4 ; a(t) = 8/t3 ;
v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = 4 .
(c) s(−2) = 20 ; s(3) = 15 ; v(t) = 6 − 3t2 ; v(−2) = −6 ; v(3) = −21 ; a(t) = −6t ;
√ √ √
v(t) = 0 ⇒ t = ± 2 ⇒ s(− 2) ≈ 18, 3 , s( 2) ≈ 29, 7 .
(d) s(0) = 0 ; s(2) ≈ o, 33 ; v(t) = e−3t > 0 ; v(0) = 1 ; v(2) ≈ 0, 0025 ; a(t) = −3e−3t .
(e) s(0) = s(2) = 3 ; v(t) = −3π sen (πt) ; v(0) = v(2) = 0 ; a(t) = −3π 2 cos(πt) ;
v(1) = 0 ; s(1) = −3 .
4
(f) s(0) = 0 ; s(4) ≈ 9, 5 ; v(t) = 2t − ; v(0) = −4 ; v(4) = 7, 2 ;
t+1
4
a(t) = 2 + ; v(t) = 0 ⇒ t = 1 ⇒ s(1) = 1 − 4 ln 2 .
(t + 1)2
7) v(0) = 144 p´s/s ; a(0) = −32 (p´s/s)/s ; v(3) = 48 p´s/s ; a(3) = −32 (p´s/s)/s ;
e e e e
Em t = 3s, o objeto est´ a 288 p´s de altura, subindo e perdendo velocidade ;
a e
Altura m´xima: 324 p´s (em t = 9/2s) ; Atinge o solo em t = 9 segundos.
a e
1 1 3 1
8) (a) vm [0, 2] = ln 3 − m/s (b) v(0) = m/s ; v(2) = m/s
2 2 4 12
3 1
(c) v = 0 em t = 3 s : s(3) = ln 4 − m e a(3) = − (m/s)/s
4 16
10 ln 7 20 − 20 ln 7
9) (a) vm [0, 3] = m/s (b) v(0) = 20 m/s ; v(3) = m/s
21 49
e−1
(c) v = 0 em t = s (d) s(0) = 0 m , v(0) = 20 m/s (inicialmente) ;
2
e−1 10
s = m (objeto parado) ; lim s(t) = 0 (se aproxima da posi¸˜o 0 qdo t → +∞).
ca
2 e t→+∞
4 2
10) (a) vm [0, 2] = 2
m/s, v(1) = m/s e v(1) > vm [0, 2] . (b) lim s(t) = 0 .
e e t→+∞
8
(c) A maior distˆncia ´ atingida em t = 2 (justifique) e s(2) = 2 m.
a e
e
e3 − 1 e3 − 1 4e3 − 1
11) (a) vm [0, ] = 3 m/s (b) v(0) = 0 m/s ; v( )= m/s
2 2 e3
(c) a(0) = 4 (m/s)/s. (d) lim v(t) = +∞ e lim a(t) = 0 .
t→+∞ t→+∞

148. 144 CAP´
ITULO 5
e4 − 1 2
12) (a) vm [0, 2] = 4
m/s e v(1) = m/s. vm [0, 2] < v(1) .
2e e
(b) lim v(t) = 0 . (c) lim s(t) = 3 . A maior distˆncia do objeto ` posi¸˜o inicial
a a ca
t→+∞ t→+∞
˜ ´
NAO E ATINGIDA em momento algum, pois s(t) < 3 ∀ t e lim s(t) = 3 .
t→+∞
• Exerc´
ıcios das p´ginas 109, 110 e 111:
a
9
1) m/s 2) 14 m/s 3) 600π pol3 /min
5
5 2
4) Extremidade: m/s ; Alonga: m/s (menor). Outros inst.: mantˆm velocidades
e
3 3
3 11
5) 5 pol3 /min 6) u/s 7) Ω/s
2e 1600
√
21π 2+ 6
8) cm3 /min 9) m/s
160 4
√
1000π π 3 5
10) − p´s/s
e 11) pol2 /min 12) 100 rad/hora = rpm
27 10 6π
13) -1 rad/s 14) 3 rad/s
1
15) ≈ 0, 778 rad/s 16) cm/min , 6cm3 /min (escoando)
2π
17) x(t) = dist. da base da escada ` parede ; y(t) = dist. do topo at´ o ch˜o
a e a
x 3
(a) y = (b) quando x = 3 m : y = m/s (c) quando θ = π/4 rad : y = 1 m/s
y 4
18) x(t) = dist. do carro a (perp. ∩ estrada) ; θ(t) = ˆngulo feixe-perpendicular
a
45π sec2 θ
Quando θ = π/3 rad : x = 90π km/h ; x n˜o ´ constante
a e x =
2
19) A velocidade de varia¸˜o do ˆngulo n˜o ´ constante (depende de θ ) e temos
ca a a e
√
3
θ =− rad/s quando x = 2 m.
3
20) (a) d = 25 km/h ao meio-dia. (b) S = 1200 km2 /h ao meio-dia.
1 √
21) θ = rad/s quando x = 3 m.
4

149. Aplica¸˜es da Derivada
co 145
• Exerc´
ıcios das p´ginas 122 e 123:
a
√
3
1) Aberta: b = 2 p´s, a = 1 p´; Coberta: b = a =
e e 4 p´s
e
√
4a 2a 2
2) h = , r=
3 3
ˆ ˆ
3) Angulo reto: d = 3 pols ; Angulo 2π/3 : d = 4 pols
4) a = b = 50 cm
5) P (1, 1) 6) 500 unidades
7) t = 18/13 horas ap´s 13:00
o
8) a 8 km de B, entre B e C
9) h = r = 4 cm 10) a 1,25m do solo
1
11) a √ milhas de B, entre B e C 12) 37 ´rvores por are
a
15
13) M´xima em: s(π/2) e s(3π/2) ; M´
a ınima em: s(0) e s(π)
6 − r2
14) h = (rela¸˜o entre h e r nos cilindros de ´rea total 12π cm2 )
ca a
r
√ √
⇒ V = V (r) = π(6r − r3 ) , 0 < r < 6 ⇒ Ponto cr´ ıtico: r = 2 .
Analisando o crescimento/decresc. do volume, temos que o volume ´ m´ximo quando
e a
√ √ √ √
r = 2 e h = 2 2 e temos V ( 2 ) = 4π 2 cm2 .
e ´
15) R ´ MAXIMA quando R1 = 25 ohms e R2 = 25 ohms.
R NAO ASSUME M´
˜ INIMO.
4
16) (a) A ´rea total cercada ´ a menor poss´ quando y =
a e ıvel ´ o per´
e ımetro da ´rea
a
4+π
π
quadrada e x = ´ o per´
e ımetro da ´rea circular.
a
4+π
(b) A ´rea total cercada ´ a maior poss´ quando toda a cerca ´ utilizada para cercar
a e ıvel e
uma unica ´rea circular.
´ a
√ √
3 6
17) h = m e r= m para que o volume do cilindro seja m´ximo.
a
2 2

150. 146 CAP´
ITULO 5

151. Referˆncias
e
[1] Flemming, Diva M. e Goncalves, Mirian B., C´lculo A. Prentice Hall Brasil. (*)
¸ a
[2] Swokowski, Earl W., C´lculo com geometria anal´
a ıtica, vol. 1. Makron Books.
[3] Leithold, Louis, C´lculo com geometria anal´
a ıtica. Makron Books.
[4] Simmons, George F., C´lculo com geometria anal´
a ıtica. Makron Books.
[5] Stewart, J., C´lculo, vol. 1. Thomson Learning.
a
[6] Munem, Mustafa e Foulis, David J., C´lculo. Editora Guanabara Dois.
a
[7] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de c´lculo, vol. 1. Editora LTC.
a
[8] Anton, H., C´lculo, um novo horizonte, vol. 1. Bookman.
a
(*) Principal referˆncia
e
147