1. O documento apresenta atividades para impressão relacionadas ao programa de matemática Destino: Matemática, de nível Algebra II.
2. As atividades foram elaboradas para manter os alunos focados nos conceitos, dar oportunidade de registrar informações e refletir sobre o conteúdo, permitir prática do que foi aprendido, oferecer avaliações amplas de cada sequência e propor problemas de situações reais.
3. O material é dividido em seções como "Vamos registrar" e "Agora é sua vez!", para servir de
V = base x altura x comprimento
5. Escreva a fórmula do volume de um prisma retangular usando variáveis:
V = b x h x c
Onde:
V = Volume
b = Base
h = Altura
c = Comprimento
6. Qual é a unidade de medida do volume?
_________________________________________________________________
7. Quais são as variáveis que representam os termos da fórmula do volume de um prisma retangular?
b, h, c
8. O que representam essas variáveis?
b = base
h = altura
c = comprimento
9
1.000.000
14. Escreva por extenso: 567.321
________________________________________________________________________________
15. Escreva na forma decomposta: 453.621
________________________________________________________________________________
16. Qual é a missão nesta sequência?
Aprender a representar números naturais até 1 milhão na forma padrão, decomposta e por extenso.
17. Os números que faltam na lista são: 2, 6 e 8.
18. c) 10 × 1
19. 100 unidades
20. 100
21. 100 × 100 = 10.000
22.
Este documento fornece informações sobre atividades impressas para o programa de matemática Destino: Matemática da editora Saraiva.
[1] O documento apresenta os objetivos das atividades, que incluem manter os alunos focados nos conceitos, dar oportunidade para registrar informações e refletir sobre o conteúdo, e permitir prática dos conceitos aprendidos.
[2] As atividades são organizadas em seções como "Vamos registrar" e "Agora é sua vez" para acompanhar as sequências do programa, além de se
Este documento fornece atividades para impressão complementares ao software educacional Destino: Matemática - Conceitos e Habilidades II. As atividades estão organizadas por módulos de senso numérico, operações, geometria e medidas e pensamento algébrico, e incluem instruções para professores e folhas para alunos. O objetivo é consolidar os conceitos matemáticos apresentados no software de forma lúdica e prática.
1. O documento apresenta um guia de atividades para alunos do curso Destino: Matemática sobre frações.
2. As atividades foram elaboradas para manter os alunos focados nos conceitos, registrar informações dos tutoriais e praticar o conteúdo.
3. O guia inclui seções como "Vamos registrar" para anotar durante os tutoriais e "Agora é sua vez" com exercícios adicionais para cada unidade.
O documento fornece atividades para impressão relacionadas ao programa educacional Destino: Matemática. As atividades abordam conceitos matemáticos como números naturais, adição, subtração e geometria para alunos do 1o ano do ensino fundamental. Cada atividade é composta por uma página para o aluno e instruções para o professor, e visa consolidar os conceitos ensinados no software de forma lúdica.
Este livro apresenta os principais conceitos de pré-cálculo necessários para o estudo de cálculo. Aborda tópicos como conjuntos, números, funções do primeiro grau, trigonometria e álgebra matricial. Nesta terceira edição revisada e ampliada, novos exercícios e exemplos foram adicionados, além de um capítulo sobre progressão aritmética e geométrica. O livro serve como referência para cursos introdutórios de cálculo e pré-cálculo.
Este documento apresenta um módulo de recuperação sobre números racionais positivos e operações com esses números. O módulo aborda tópicos como leitura, escrita, comparação e ordenação de números racionais, operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números racionais, resolução de problemas envolvendo esses conceitos.
V = base x altura x comprimento
5. Escreva a fórmula do volume de um prisma retangular usando variáveis:
V = b x h x c
Onde:
V = Volume
b = Base
h = Altura
c = Comprimento
6. Qual é a unidade de medida do volume?
_________________________________________________________________
7. Quais são as variáveis que representam os termos da fórmula do volume de um prisma retangular?
b, h, c
8. O que representam essas variáveis?
b = base
h = altura
c = comprimento
9
1.000.000
14. Escreva por extenso: 567.321
________________________________________________________________________________
15. Escreva na forma decomposta: 453.621
________________________________________________________________________________
16. Qual é a missão nesta sequência?
Aprender a representar números naturais até 1 milhão na forma padrão, decomposta e por extenso.
17. Os números que faltam na lista são: 2, 6 e 8.
18. c) 10 × 1
19. 100 unidades
20. 100
21. 100 × 100 = 10.000
22.
Este documento fornece informações sobre atividades impressas para o programa de matemática Destino: Matemática da editora Saraiva.
[1] O documento apresenta os objetivos das atividades, que incluem manter os alunos focados nos conceitos, dar oportunidade para registrar informações e refletir sobre o conteúdo, e permitir prática dos conceitos aprendidos.
[2] As atividades são organizadas em seções como "Vamos registrar" e "Agora é sua vez" para acompanhar as sequências do programa, além de se
Este documento fornece atividades para impressão complementares ao software educacional Destino: Matemática - Conceitos e Habilidades II. As atividades estão organizadas por módulos de senso numérico, operações, geometria e medidas e pensamento algébrico, e incluem instruções para professores e folhas para alunos. O objetivo é consolidar os conceitos matemáticos apresentados no software de forma lúdica e prática.
1. O documento apresenta um guia de atividades para alunos do curso Destino: Matemática sobre frações.
2. As atividades foram elaboradas para manter os alunos focados nos conceitos, registrar informações dos tutoriais e praticar o conteúdo.
3. O guia inclui seções como "Vamos registrar" para anotar durante os tutoriais e "Agora é sua vez" com exercícios adicionais para cada unidade.
O documento fornece atividades para impressão relacionadas ao programa educacional Destino: Matemática. As atividades abordam conceitos matemáticos como números naturais, adição, subtração e geometria para alunos do 1o ano do ensino fundamental. Cada atividade é composta por uma página para o aluno e instruções para o professor, e visa consolidar os conceitos ensinados no software de forma lúdica.
Este livro apresenta os principais conceitos de pré-cálculo necessários para o estudo de cálculo. Aborda tópicos como conjuntos, números, funções do primeiro grau, trigonometria e álgebra matricial. Nesta terceira edição revisada e ampliada, novos exercícios e exemplos foram adicionados, além de um capítulo sobre progressão aritmética e geométrica. O livro serve como referência para cursos introdutórios de cálculo e pré-cálculo.
Este documento apresenta um módulo de recuperação sobre números racionais positivos e operações com esses números. O módulo aborda tópicos como leitura, escrita, comparação e ordenação de números racionais, operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números racionais, resolução de problemas envolvendo esses conceitos.
Matemática volume único edwaldo bianchini e herval paccolaAdriana Barbosa
1) O documento apresenta os principais conceitos matemáticos de conjuntos, como elementos, pertencimento e não pertencimento, utilizando símbolos como { }, E e ≠.
2) Novos tópicos como subconjuntos, operações com conjuntos e números de elementos em uniões são introduzidos nesta nova edição do livro didático.
3) Apresenta também novos capítulos sobre matemática financeira e estatística para acompanhar a moderna tendência do ensino.
Este documento apresenta um número especial da Revista do Professor de Matemática destinado ao Programa de Iniciação Científica da OBMEP. Contém vários artigos e atividades sobre tópicos matemáticos do ensino fundamental e médio, incluindo problemas, jogos e demonstrações. As atividades propostas no início visam trabalhar operações aritméticas e visualização espacial de figuras para que os alunos possam "fazer matemática".
Este documento discute a importância da álgebra no ensino básico. Primeiro, aborda a história da álgebra e perspectivas sobre pensamento algébrico. Depois, fornece orientações gerais para o ensino de álgebra e discute conceitos-chave como relações, sequências, expressões algébricas e equações de primeiro grau. Finalmente, apresenta exemplos de tarefas para a sala de aula. O objetivo é desenvolver pensamento algébrico nos alunos desde os primeiros anos de escolaridade.
O documento apresenta um resumo sobre operações matemáticas com números inteiros, fracionários e decimais. Aborda conceitos como números pares e ímpares, divisibilidade, múltiplos e divisores. Explica também o sistema métrico decimal e conceitos como juros, porcentagem, razão e proporção. Por fim, apresenta questões resolvidas sobre esses tópicos.
1. This document introduces fundamental arithmetic topics like numeration systems, operations on natural numbers and their properties.
2. It includes examples and exercises for addition, subtraction, multiplication, division and exponentiation on natural numbers.
3. The author thanks God, family, colleagues and readers for their support in completing this work to help arithmetic students and exam candidates.
O documento apresenta um material didático de matemática básica elaborado por dois professores. O material aborda tópicos como conjuntos, expressões numéricas, números e grandezas proporcionais, equações e sistemas, funções lineares e quadráticas. O documento informa os direitos autorais sobre o material e fornece contatos dos autores.
Este documento é uma apostila sobre a linguagem de programação C++. Ele contém 9 módulos que cobrem tópicos como a história e características de C++, compiladores, tipos de dados, funções, estruturas de controle de fluxo, matrizes, strings, ponteiros e ponteiros para funções. O documento serve como um guia de aprendizagem abrangente sobre a sintaxe e conceitos fundamentais da linguagem C++.
Este documento descreve os fundamentos da programação orientada a objetos e da linguagem Java, incluindo tópicos como classes, herança, polimorfismo, tipos primitivos, expressões, exceções, APIs, desenvolvimento de interfaces gráficas e applets.
Este documento fornece uma introdução ao ambiente R, abordando tópicos como a instalação e uso básico do R, pacotes disponíveis, objetos fundamentais como vetores e matrizes, programação em R incluindo funções e depuração, e manipulação e visualização de dados.
Este documento apresenta uma introdução ao software R para estatística básica. Ele discute a interface, tipos de dados, comandos básicos, vetores, matrizes, gráficos, medidas estatísticas, probabilidade, variáveis aleatórias, inferência estatística, regressão linear e programação em R.
O documento apresenta um curso introdutório sobre LaTeX, abordando tópicos como a instalação do LaTeX e editor Kile, estrutura básica de um documento LaTeX, formatação de texto, inserção de fórmulas matemáticas, figuras e tabelas.
Este documento é uma ficha de avaliação sumativa de Matemática B para o 10o ano. A avaliação é constituída por duas partes, uma de escolha múltipla com 5 questões e outra de desenvolvimento com 5 questões. A segunda parte inclui cálculos, justificações e representações geométricas.
Apostila bnb2014 cef_informatica_sergio_spoladorEliene Meira
O documento discute planilhas eletrônicas, incluindo conceitos básicos como células e tipos de conteúdo, e como criar fórmulas e usar funções em planilhas.
O documento descreve os principais componentes e características das turbinas usadas no Airbus A380, incluindo: (1) Os motores podem ser do tipo Rolls-Royce Trent900 ou Engine Alliance GP7200; (2) Ambos os motores são projetados para alta eficiência e baixo consumo de combustível e emissões; (3) O documento fornece detalhes técnicos sobre os componentes e desempenho de cada tipo de motor.
1) O documento descreve um curso de programação de robôs móveis ministrado na USP e PUC-RS.
2) O curso ensina conceitos básicos de robótica móvel, ferramentas de simulação e programação remota de robôs usando o Player/Stage.
3) A agenda inclui introdução à robótica móvel, programação no Player/Stage, desenvolvimento de comportamentos de controle e tarefas autônomas para robôs.
A pandemia de COVID-19 afetou profundamente a vida das pessoas em todo o mundo. Muitos países implementaram medidas de isolamento social para conter a propagação do vírus, levando a interrupções generalizadas nas atividades econômicas e sociais. À medida que as vacinas se tornam mais amplamente disponíveis, há esperança de que a vida possa voltar ao normal no futuro próximo.
O documento apresenta fotos de aviões tiradas da internet para aqueles que gostam de ver aviões de perto. As fotos foram coletadas online para mostrar diferentes modelos e ângulos de aviões.
The document summarizes a CFD analysis of fluid flow around a classic Rolls-Royce vehicle. The initial model showed recirculating and reversed flow behind the vehicle. To improve the design, the author modeled an airfoil-shaped rear end. Simulation results for the original and modified designs showed that the modified design with smooth edges eliminated wake and low pressure regions behind the vehicle, indicating an efficient design. The author recommends preventing circulating velocity fields and low pressure spaces behind vehicles in CFD design work.
1. O documento introduz programação com robôs Lego e descreve o kit Lego Mindstorms NXT, incluindo seus componentes como sensores, motores e o Brick NXT.
2. É explicado o que cada parte do Brick NXT faz, como os botões, portas, visor e alto-falante. Também são detalhados cada um dos 4 sensores incluídos e suas funções.
3. O documento servirá de guia para a montagem e programação de um robô Lego usando o software e os componentes do kit NXT.
Matemática volume único edwaldo bianchini e herval paccolaAdriana Barbosa
1) O documento apresenta os principais conceitos matemáticos de conjuntos, como elementos, pertencimento e não pertencimento, utilizando símbolos como { }, E e ≠.
2) Novos tópicos como subconjuntos, operações com conjuntos e números de elementos em uniões são introduzidos nesta nova edição do livro didático.
3) Apresenta também novos capítulos sobre matemática financeira e estatística para acompanhar a moderna tendência do ensino.
Este documento apresenta um número especial da Revista do Professor de Matemática destinado ao Programa de Iniciação Científica da OBMEP. Contém vários artigos e atividades sobre tópicos matemáticos do ensino fundamental e médio, incluindo problemas, jogos e demonstrações. As atividades propostas no início visam trabalhar operações aritméticas e visualização espacial de figuras para que os alunos possam "fazer matemática".
Este documento discute a importância da álgebra no ensino básico. Primeiro, aborda a história da álgebra e perspectivas sobre pensamento algébrico. Depois, fornece orientações gerais para o ensino de álgebra e discute conceitos-chave como relações, sequências, expressões algébricas e equações de primeiro grau. Finalmente, apresenta exemplos de tarefas para a sala de aula. O objetivo é desenvolver pensamento algébrico nos alunos desde os primeiros anos de escolaridade.
O documento apresenta um resumo sobre operações matemáticas com números inteiros, fracionários e decimais. Aborda conceitos como números pares e ímpares, divisibilidade, múltiplos e divisores. Explica também o sistema métrico decimal e conceitos como juros, porcentagem, razão e proporção. Por fim, apresenta questões resolvidas sobre esses tópicos.
1. This document introduces fundamental arithmetic topics like numeration systems, operations on natural numbers and their properties.
2. It includes examples and exercises for addition, subtraction, multiplication, division and exponentiation on natural numbers.
3. The author thanks God, family, colleagues and readers for their support in completing this work to help arithmetic students and exam candidates.
O documento apresenta um material didático de matemática básica elaborado por dois professores. O material aborda tópicos como conjuntos, expressões numéricas, números e grandezas proporcionais, equações e sistemas, funções lineares e quadráticas. O documento informa os direitos autorais sobre o material e fornece contatos dos autores.
Este documento é uma apostila sobre a linguagem de programação C++. Ele contém 9 módulos que cobrem tópicos como a história e características de C++, compiladores, tipos de dados, funções, estruturas de controle de fluxo, matrizes, strings, ponteiros e ponteiros para funções. O documento serve como um guia de aprendizagem abrangente sobre a sintaxe e conceitos fundamentais da linguagem C++.
Este documento descreve os fundamentos da programação orientada a objetos e da linguagem Java, incluindo tópicos como classes, herança, polimorfismo, tipos primitivos, expressões, exceções, APIs, desenvolvimento de interfaces gráficas e applets.
Este documento fornece uma introdução ao ambiente R, abordando tópicos como a instalação e uso básico do R, pacotes disponíveis, objetos fundamentais como vetores e matrizes, programação em R incluindo funções e depuração, e manipulação e visualização de dados.
Este documento apresenta uma introdução ao software R para estatística básica. Ele discute a interface, tipos de dados, comandos básicos, vetores, matrizes, gráficos, medidas estatísticas, probabilidade, variáveis aleatórias, inferência estatística, regressão linear e programação em R.
O documento apresenta um curso introdutório sobre LaTeX, abordando tópicos como a instalação do LaTeX e editor Kile, estrutura básica de um documento LaTeX, formatação de texto, inserção de fórmulas matemáticas, figuras e tabelas.
Este documento é uma ficha de avaliação sumativa de Matemática B para o 10o ano. A avaliação é constituída por duas partes, uma de escolha múltipla com 5 questões e outra de desenvolvimento com 5 questões. A segunda parte inclui cálculos, justificações e representações geométricas.
Apostila bnb2014 cef_informatica_sergio_spoladorEliene Meira
O documento discute planilhas eletrônicas, incluindo conceitos básicos como células e tipos de conteúdo, e como criar fórmulas e usar funções em planilhas.
O documento descreve os principais componentes e características das turbinas usadas no Airbus A380, incluindo: (1) Os motores podem ser do tipo Rolls-Royce Trent900 ou Engine Alliance GP7200; (2) Ambos os motores são projetados para alta eficiência e baixo consumo de combustível e emissões; (3) O documento fornece detalhes técnicos sobre os componentes e desempenho de cada tipo de motor.
1) O documento descreve um curso de programação de robôs móveis ministrado na USP e PUC-RS.
2) O curso ensina conceitos básicos de robótica móvel, ferramentas de simulação e programação remota de robôs usando o Player/Stage.
3) A agenda inclui introdução à robótica móvel, programação no Player/Stage, desenvolvimento de comportamentos de controle e tarefas autônomas para robôs.
A pandemia de COVID-19 afetou profundamente a vida das pessoas em todo o mundo. Muitos países implementaram medidas de isolamento social para conter a propagação do vírus, levando a interrupções generalizadas nas atividades econômicas e sociais. À medida que as vacinas se tornam mais amplamente disponíveis, há esperança de que a vida possa voltar ao normal no futuro próximo.
O documento apresenta fotos de aviões tiradas da internet para aqueles que gostam de ver aviões de perto. As fotos foram coletadas online para mostrar diferentes modelos e ângulos de aviões.
The document summarizes a CFD analysis of fluid flow around a classic Rolls-Royce vehicle. The initial model showed recirculating and reversed flow behind the vehicle. To improve the design, the author modeled an airfoil-shaped rear end. Simulation results for the original and modified designs showed that the modified design with smooth edges eliminated wake and low pressure regions behind the vehicle, indicating an efficient design. The author recommends preventing circulating velocity fields and low pressure spaces behind vehicles in CFD design work.
1. O documento introduz programação com robôs Lego e descreve o kit Lego Mindstorms NXT, incluindo seus componentes como sensores, motores e o Brick NXT.
2. É explicado o que cada parte do Brick NXT faz, como os botões, portas, visor e alto-falante. Também são detalhados cada um dos 4 sensores incluídos e suas funções.
3. O documento servirá de guia para a montagem e programação de um robô Lego usando o software e os componentes do kit NXT.
O documento descreve a história da empresa Airbus e suas principais aeronaves comerciais, incluindo o A300, o primeiro widebody de duas turbinas da empresa, o A320, o primeiro avião de fuselagem estreita da Airbus, e o A380, o maior avião comercial de passageiros da história.
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre equações diferenciais parciais (EDPs) aplicadas à dinâmica de fluidos computacional. As três principais EDPs discutidas são:
1) As equações de Navier-Stokes, que descrevem a conservação da massa e do momento para um fluido viscoso e compressível.
2) A classificação de EDPs em lineares/não-lineares e elípticas/parabólicas/hiperbólicas, dependendo das propriedades das soluções.
3) Sistemas de EDP
O documento discute tópicos sobre discretização e otimização em dinâmica de fluidos computacional, incluindo formas adimensionais de equações, simplificações de modelos, classificação de equações diferenciais parciais e técnicas de discretização espacial.
Este documento apresenta o resumo de uma aula sobre formulações via diferenças finitas para resolver equações diferenciais parciais que descrevem a dinâmica de fluidos computacionalmente. A aula introduz como as derivadas nas equações podem ser aproximadas por diferenças finitas através da expansão em séries de Taylor, permitindo que os computadores resolvam numericamente os problemas.
Conceituando função quadrática através do geogebralucienejade
1) O documento discute a origem e conceito de funções quadráticas, mostrando como elas podem ser representadas geometricamente e algebraicamente.
2) O software Geogebra é apresentado como uma ferramenta para estudar funções quadráticas de forma dinâmica e interativa.
3) Exemplos de aplicações de funções quadráticas em diferentes áreas como física, biologia e administração são dados.
O documento apresenta uma linha do tempo das principais aeronaves, desde os primeiros voos no início do século XX pelos irmãos Wright e Santos Dumont, passando pela evolução nas décadas de 1930 a 1980 com modelos como o DC-3, Comet, Boeing 707 e 747, até os dias atuais com o Embraer 190 e o gigantesco Airbus A380.
This document appears to contain a 3D model of a military turbofan engine. The model is unlabeled and contains no additional text or context. It seems to be intended as a placeholder or template for including a 3D model, but provides little other information on its own in just the model image.
O documento discute a trigonometria em triângulos retângulos, definindo seno, co-seno e tangente em termos das relações entre os lados e ângulos. Ele fornece um exemplo de como calcular a altura de um prédio usando a tangente do ângulo de 60 graus e as relações trigonométricas.
Design of a Formula One Front Wing for the 2014 Season (with regulations)Josh Stevens
This document presents the design of a Formula One front wing for the 2014 season in accordance with FIA regulations. It begins with background on Formula One aerodynamics and the importance of downforce. It then outlines the project aims, methodology, and relevant FIA regulations. The initial design is modeled in CAD software and tested using CFD simulations. Several redesigns are analyzed and elements are tested. The final design is intended to produce downforce while reducing drag. In conclusion, future development could include further optimization and testing beyond the limitations of student software.
[1] O documento apresenta um tutorial básico sobre o programa GeoGebra, que permite a construção de objetos geométricos e o estudo de funções quadráticas de forma dinâmica. [2] O GeoGebra foi criado em 2001 para uso em escolas e permite a inserção de equações, funções e coordenadas para alterar objetos geométricos em tempo real. [3] O tutorial ensina a baixar e usar o GeoGebra, inserindo equações e criando variáveis dinâmicas para explorar conceitos sobre funções quadráticas.
O documento discute o tópico de robótica móvel, abordando sua definição, classificação, desafios e aspectos fundamentais como sensores, atuadores e controle. É apresentada uma introdução histórica e conceitual sobre robôs móveis, seguida de seções sobre sensores, atuadores, cinemática, dinâmica e técnicas de controle.
1) O documento apresenta um curso de análise real escrito por Cassio Neri e Marco Cabral com o objetivo de ensinar conceitos básicos de análise real como teoria dos conjuntos, números naturais, inteiros, racionais e reais.
2) Os autores fornecem informações biográficas, explicam as modificações feitas na segunda edição do livro e agradecem contribuições recebidas para aperfeiçoar o texto.
3) O livro está organizado em capítulos abordando temas como te
1) O documento apresenta um livro sobre cálculo utilizando o software Maple para auxiliar no ensino de cálculo diferencial e integral. 2) O objetivo é transformar aulas tradicionais em parcerias onde alunos e professores interajam ativamente, utilizando recursos computacionais. 3) Os autores esperam que o livro auxilie na compreensão dos conceitos matemáticos e no desenvolvimento de um senso crítico sobre limitações dos softwares.
O documento fornece atividades para impressão relacionadas ao programa educacional Destino: Matemática. As atividades abordam conceitos matemáticos como números naturais, adição, subtração e geometria para reforçar o aprendizado dos alunos de forma lúdica e sem o uso de computadores. Cada atividade é composta por uma parte para o aluno e instruções para o professor, cobrindo tópicos como contagem, conjuntos e operações numéricas.
Este documento apresenta um curso de análise real ministrado no Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro. O curso é dividido em capítulos que abordam noções de teoria dos conjuntos, números naturais, inteiros, racionais e reais, sequências e séries, e a construção dos conjuntos numéricos.
Algebra linear um_livro_colaborativo_ufrgs_reamat_2018_210pagOnariClaudeGrossl
1) Este documento apresenta um livro colaborativo sobre álgebra linear dividido em capítulos semanais.
2) O livro é escrito de forma colaborativa por professores e alunos de universidades e está licenciado sob Creative Commons para que qualquer pessoa possa copiar, redistribuir e construir sobre o conteúdo.
3) O objetivo do livro é fomentar o desenvolvimento colaborativo de materiais didáticos sobre álgebra linear para aplicação em diversas áreas da ciência e tecnologia.
Este documento fornece uma introdução ao software Winplot, incluindo sua história, instalação e interface. Discute como o Winplot pode ser usado para plotar gráficos de funções e foi desenvolvido originalmente para rodar no DOS.
Este documento apresenta uma introdução ao cálculo diferencial, abordando conceitos como taxa de variação instantânea, derivada e reta tangente a gráficos. Ele também descreve como calcular a função derivada de funções polinomiais e como derivar a soma e o produto de funções.
Este documento apresenta um módulo de matemática dividido em duas unidades temáticas. A primeira unidade trata dos números racionais e contém dezessete lições sobre números naturais, inteiros e racionais. A segunda unidade aborda equações lineares com uma incógnita e contém sete lições. O módulo fornece introduções detalhadas para cada unidade e lição, além de objetivos, estrutura, material necessário e resultados esperados de aprendizagem.
Este documento apresenta um resumo de cinco unidades sobre modelagem matemática. A primeira unidade discute os conceitos de modelagem e formulação de problemas, incluindo as etapas do processo de modelagem. As unidades subsequentes abordam métodos de ajuste de curvas, equações em diferenças, equações diferenciais ordinárias e aplicações destas equações em modelos de dinâmica populacional.
Este documento apresenta um curso introdutório sobre LaTeX. Ele inclui seções sobre a estrutura básica de um documento LaTeX, formatação de texto, inserção de fórmulas matemáticas, imagens, criação de comandos personalizados e produção de livros usando LaTeX. O curso foi originalmente desenvolvido para alunos da Universidade Estadual Vale do Acaraú e já teve três edições.
Este documento apresenta um programa para a unidade curricular de Análise Matemática III. Apresenta cinco capítulos principais: (1) Elementos de Geometria Diferencial em R3, (2) Introdução à Análise Complexa, (3) Equações Diferenciais Ordinárias, (4) Sistemas de EDOs e (5) Séries de Fourier. O objetivo é que os alunos adquiram conhecimentos sobre estas áreas da matemática e sejam capazes de aplicá-los na resolução de problemas.
O documento descreve cursos de programação oferecidos pela Caelum, incluindo o curso RR-71 de desenvolvimento ágil para web 2.0 com Ruby on Rails. Além disso, fornece informações sobre a Caelum como empresa reconhecida nacionalmente com mais de 8 mil alunos treinados e instrutores qualificados.
O documento descreve cursos de programação oferecidos pela Caelum, incluindo o curso RR-71 de desenvolvimento ágil para web 2.0 com Ruby on Rails. Além disso, fornece informações sobre a Caelum como empresa reconhecida nacionalmente com mais de 8 mil alunos treinados e instrutores qualificados.
Este manual do usuário descreve os recursos e ferramentas da suíte de aplicativos gráficos CorelDRAW X4. Ele contém três seções principais sobre o CorelDRAW, o Corel PHOTO-PAINT e índices para cada aplicativo.
Este manual do usuário descreve os recursos e funcionalidades da suíte de aplicativos gráficos CorelDRAW X4. Ele contém três seções principais: a primeira seção apresenta o CorelDRAW e fornece informações sobre instalação e aprendizagem; a segunda seção descreve em detalhes as ferramentas e funcionalidades do CorelDRAW; a terceira seção trata do Corel PHOTO-PAINT.
1. A Caelum é uma empresa fundada em 2002 que atua no desenvolvimento de sistemas e consultoria usando a plataforma Java.
2. A Caelum criou uma série de cursos de Java em 2004 que se tornaram muito populares no mercado.
3. Este documento é um manual sobre Java produzido pela Caelum que ensina os conceitos básicos da linguagem de uma forma simples e direta.
Este documento apresenta um trabalho de conclusão de curso sobre construções geométricas por régua e compasso. O trabalho discute conceitos teóricos sobre tais construções, números construtíveis e problemas clássicos da geometria grega. Além disso, sugere atividades para aplicar essas construções no ensino fundamental entre os 6o e 9o anos.
Este documento descreve os fundamentos da programação orientada a objetos utilizando a linguagem Java. Ele discute conceitos como classes, objetos, herança e polimorfismo e apresenta os principais elementos da linguagem Java como tipos, expressões, classes, exceções e APIs.
Este documento apresenta um sistema de controle de estoque doméstico desenvolvido em Java. O sistema permite cadastrar itens de estoque, realizar entradas e saídas, e gerar relatórios. O banco de dados utilizado é o PostgreSQL.
Este documento apresenta uma oficina sobre jogos matemáticos para o ensino fundamental que será realizada por estudantes e professores da Universidade Federal de Viçosa. A oficina visa utilizar atividades lúdicas para facilitar o entendimento dos alunos e incentivar a interação entre eles e os professores. A oficina inclui instruções e materiais para seis jogos matemáticos como tangram, torre de Hanói, jogo da senha e corrida ao dez.
1) O documento apresenta regras e origens de vários jogos matemáticos, incluindo Semáforo, Amazonas, Hex, Ouri e GO.
2) O Semáforo foi inventado em 1998 e envolve trocar peças de cores diferentes em sequência. Amazonas é um jogo para dois jogadores criado em 1988 que envolve mover peças em linhas retas e trajetórias.
3) Hex foi inventado na década de 1940 e envolve conectar lados opostos de um tabuleiro colocando peças. Ouri é um jogo de fam
O documento apresenta jogos lógicos para serem utilizados no ensino de matemática para alunos do 5a série do ensino fundamental e 1a série do ensino médio, com o objetivo de oferecer momentos de concentração, atividades desafiadoras e estimular o raciocínio lógico dos alunos. São descritos jogos como Números Lógicos, Sudoku, Kakuro e exercícios com palitos para serem resolvidos em grupos. A metodologia proposta inclui a apresentação dos desafios em grup
Este capítulo discute como a matemática surgiu como uma construção humana para resolver problemas da vida cotidiana e compreender a natureza. Inicialmente, o homem buscava explicações míticas para os fenômenos naturais, mas, ao longo do tempo, passou a desenvolver conhecimentos baseados em evidências, dando origem à matemática. Os primeiros conceitos numéricos e geométricos surgiram a partir da observação da natureza. Atualmente, a matemática continua se desenvolvendo para modelar novas realidades e solucionar problemas cada
Este documento relata experiências de estudantes de licenciatura em matemática que utilizaram materiais concretos e jogos em aulas de ensino fundamental. Os materiais, como balanças e fichas coloridas, ajudaram os alunos a aprender conceitos matemáticos de forma lúdica e motivadora. Os futuros professores observaram que as atividades envolvendo jogos e materiais concretos tornaram as aulas mais prazerosas para alunos e professores, contribuindo para a aprendizagem.
Livro aprender mais_matematica_anos_finaisFran Correa
Este documento apresenta um projeto chamado "Aprender Mais" desenvolvido pela Secretaria de Educação de Pernambuco com o objetivo de fornecer atividades pedagógicas adicionais para alunos que apresentam deficiências de aprendizagem. O projeto visa ajudar esses alunos a consolidar e ampliar seus conhecimentos em matemática por meio de sequências didáticas que abordam situações-problema. O documento fornece orientações sobre como implementar essas sequências didáticas em sala de aula de forma a prom
3. Bem-vindo às Atividades para impressão do Destino: Matemática.
O material tem o objetivo de auxiliar os alunos na compreensão dos conceitos e na
aquisição e desenvolvimento de habilidades à medida que progridem no curso.
Estas atividades foram elaboradas com a finalidade de:
• manter os alunos focados na apresentação dos conceitos;
• dar oportunidade aos alunos de registrar informações apresentadas no
programa e refletir sobre o conteúdo dos tutoriais;
• permitir que tenham oportunidade de praticar o que aprenderam em
cada sequência;
• oferecer uma avaliação de conceitos mais ampla em cada sequência;
• propor problemas utilizando situações reais e com as quais os alunos
possam identificar-se.
Para ajudá-lo na condução do trabalho, são propostas duas seções que visam
servir de suporte às sequências:
• Vamos registrar: enquanto os alunos assistem aos tutoriais, são
convidados a registrar informações e a reforçar a compreensão dos conceitos.
Também pode servir como um guia dos conteúdos de revisão para que
os alunos possam alcançar completo domínio dos conceitos algébricos.
• Agora é sua vez!: oferece atividades adicionais para cada sequência. Elas
foram elaboradas de modo que os alunos possam realizá-las sem o uso do
computador e tenham oportunidade de reforçar os conceitos que estudaram.
Além disso, as Atividades para impressão contam com outras duas seções em
cada unidade:
• Investigando: páginas projetadas para explorar um conceito algébrico que
serve como tema de cada unidade. Pode ser utilizada como exploração inicial
ou como atividade de culminância.
• Avaliação da unidade: verificação de todas as habilidades e conceitos da
unidade. Podem servir também como avaliação diagnóstica, ajudando a determinar
o conhecimento preexistente do aluno sobre as habilidades e conceitos.
As atividades podem ser facilmente adaptadas ao currículo da escola, de
acordo com a necessidade dos alunos, com o andamento da aprendizagem coletiva, com
o programa de Matemática e estilo pedagógico de cada professor.
Palavra ao professor
7. 7
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____
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Palavras-chave:
Número inteiro
Número natural
Número racional
Raiz
Propriedade da
densidade
Número irracional
Número real
Objetivos de
aprendizagem:
Definir números
reais.
Definir números
racionais.
Definir números
irracionais.
Usar o teorema de
Pitágoras para provar
a existência de
números irracionais.
Arredondar o valor
de uma raiz quadrada
dos números reais
e localizá-los na reta
numerada.
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 1: DefininDo os núMeros reais
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. Número racional: um número na forma p
q
, em que p e q são ________________________,
e q é diferente de ________________.
2. Um número racional, quando expresso como decimal, pode ser _______________________
ou ____________________________________________.
3. A propriedade da densidade declara que entre quaisquer ____________________ números,
terá sempre outro _________________.
4. Um número irracional é aquele que não pode ser representado como uma _____________
entre ______________________________________.
5. Quando expresso na forma decimal, um número irracional não é ______________________
nem ______________________________________.
6. A propriedade da densidade é verdadeira tanto para números ________________________
quanto para ________________________.
7. Juntos, os conjuntos dos números racionais e irracionais formam o conjunto dos números
____________________.
8. O símbolo expressa uma ___________________________________ de qualquer número.
9. Então, 5 é um número irracional e pode ser representado usando um _______________.
8. 8
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
Agora é
sua vez!
Agora é
sua vez!
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais – Sequência 1: Definindo os Números Reais
1. Escreva cada número racional de três maneiras diferentes utilizando razões equivalentes.
a) –6 = ___________; ________; _________.
b) 1
5
= _________; ________; _________.
c) – 8
3
= _________; ________; _________.
d) 2 1
4
= ________; ________; _________.
2. Escreva cada número racional na forma decimal. Se for uma dízima periódica, use um
tracinho sobre a parte que se repete.
a) 1
4
= ___________________ c) 7
2
= ___________________
b) 9
2
= ___________________ d) 5
7
= ___________________
3. Que número racional está no ponto médio entre 1,22234 e 1,222346?
______________________________________________________________________________
4. Dê um exemplo de um número irracional expresso na forma radical e na forma decimal.
____________________ e ____________________
5. Aproxime a raiz quadrada de cada um dos números reais a seguir para
o milésimo mais próximo. Depois, marque as respostas na reta numerada.
a) 7<________________ c) 22 <______________
b) 35 <______________ d) 14 <______________
A-C5-1.1-S1-2a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
➤➤
9. 9
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____
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Palavras-chave:
Quadrado perfeito
Raiz quadrada
Radical
Radicando
Racionalizar
Objetivos de
aprendizagem:
Calcular a raiz
quadrada de um
quadrado perfeito.
Simplificar a raiz
quadrada do produto.
Simplificar a divisão
de duas raízes.
Racionalizar o
denominador de
uma expressão
envolvendo raízes.
Somar ou subtrair
expressões
envolvendo raízes,
utilizando a propriedade
distributiva.
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 2: raDicais
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. Na fórmula do comprimento da circunferência, C = 2 r, o número irracional é
aproximadamente igual a _____________.
2. Na fórmula da velocidade de uma onda, v = 3,1 p, o valor de p pode ser racional ou
irracional, dependendo do valor de ___________, que representa a ____________________
da água.
3. A expressão sob o símbolo de radical é chamada __________________________________.
4. Escreva os primeiros cinco quadrados perfeitos não nulos: ________, ________, ________,
________ e ________.
5. A propriedade dos quadrados perfeitos declara que, se a > 0, então __________________.
6. A raiz quadrada de um número real não negativo é um número real ____________________
___________.
7. Complete a afirmação: a × b = __________________________.
8. O radicando 250 pode ser simplificado como _______________.
9. Complete a afirmação, considerando a > 0 e b > 0.
a
b
=__________
10. ______________________ significa converter o _____________________ de uma fração que
está sob o radical em um número___________________.
11.Para somar ou subtrair raízes, _________________ os radicandos, simplificando as raízes,
e _________________ as raízes equivalentes.
10. 10
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
Agora é
sua vez!
Agora é
sua vez!
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais – Sequência 2: Radicais
1. Use a propriedade dos quadrados perfeitos para completar cada expressão.
a) 81 = (— )2
= _____________
b) _______ = 252
= ___________
c) _______ = (— )2
= 12
2. Escreva os cinco primeiros quadrados perfeitos consecutivos maiores que 100.
________; ________; ________; ________ e ________.
3. Expresse cada radical na forma reduzida.
a) 160 = ____________ b) 5 108 = ____________ c) –
1
14
490 = ____________
4. Simplifique o produto (3 43
) (–2 28). _______________
5. Simplifique a expressão
3
8
32 . __________________
6. Racionalize cada denominador.
a)
1
6 = ___________ b)
3
11 = ___________ c)
2
7 = ___________
7. Simplifique estas expressões racionalizando os denominadores.
a) 8 32
2 50
= ___________ b) 1000
8
= ___________ c)
36
27 = ___________
8. Simplifique a expressão 7 2 + 3 18. _______________
9. A fórmula t =
2d
9,8 informa o tempo, em segundos, que um objeto parado leva para
percorrer d metros em queda, onde 9,8 é a aceleração da gravidade, em metros
por segundo ao quadrado. Quantos segundos leverá para um objeto percorrer 58,8 m
em queda? Escreva a resposta na forma reduzida.
___________________
11. 11
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____
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Palavras-chave:
Raiz quadrada
Domínio
Imagem
Interpolação
Extrapolação
Parâmetro
Função não afim
Objetivos de
aprendizagem:
Construir o gráfico
de um conjunto
finito de pares ( , ).
Construir o gráfico da
função raiz quadrada.
Identificar o domínio,
a imagem e a lei
da função raiz quadrada.
Analisar o coeficiente a
no gráfico de = a .
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 3: a função raiz quaDraDa
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. Se representa a área de um quadrado, então _________________________ representa o
comprimento de seu lado.
2. Explique como você sabe que a função raiz quadrada não é linear.
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
3. Por que a relação da raiz quadrada é uma função?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
4. _______________________ é determinar o valor de uma função entre dois valores
conhecidos do _______________________.
5. _______________________ é inferir o valor de uma função em um intervalo não observado
a partir de valores em um intervalo já _______________________.
6. Qual conjunto de números descreve o domínio da função raiz quadrada?
_______________________________________________________________________________
7. Qual conjunto de números descreve a imagem da função raiz quadrada?
_______________________________________________________________________________
8. Na equação = 3,1 , o coeficiente 3,1 é chamado _______________________________
.
9. Em gráficos de funções na forma = a , o valor de a afeta a _______________________
do gráfico e determina o _______________________ pelo qual passa o gráfico.
12. 12
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
Agora é
sua vez!
Agora é
sua vez!
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais – Sequência 3: A Função Raiz Quadrada
1. Complete a tabela a seguir, arredondando os valores de para duas casas decimais.
0 1,3 2,0 2,7 3,4 4,8 5,2 5,9
��
2. Marque os pontos da tabela no gráfico.
0,50 1 1,5 2,5 3,5 4,5 5,52 3 4 5 6
1
2
3
��
3. Faça o gráfico da função raiz quadrada = para valores de de 0 a 25.
� �
�
20 4 6 8 10 122 4 6 8
2
4
6
14 16 18 20 22 24 26
�
4. Identifique o gráfico correspondente de cada equação.
a) = 0,7 ______________________
b) = – 2
3
____________________
c) = 2,4 _______________________
d) = 3 _________________________
e) = – 3 ________________________
x
y
0
1 2
3
4
5
��
�
�
�
�
�
��
13. 13
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
Avaliação
de unidade
Avaliação
da unidade
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais
1. Identifique cada número como racional ou irracional. Justifique sua resposta.
a) 0,35621 _________________________________________
b) 12,5
7
_____________________________________________
c) 5 _______________________________________________
d) 0,552552 ________________________________________
e) – 9 _____________________________________________
f) 8 _______________________________________________
g) 12,3145 _________________________________________
h) 2,121121112 _____________________________________
2. Sempre, às vezes ou nunca é verdade que um número racional pode ser expresso na
forma de decimal exato?______________________________
3. Sempre, às vezes ou nunca é verdade que um número irracional pode ser expresso na
forma de número não decimal? ________________________
4. Em um triângulo retângulo com catetos de comprimentos a e b e hipotenusa de
comprimento c, o teorema de Pitágoras declara que a² + b² = c². Determine se o
comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos lados medem
4 unidades e 5 unidades é um número racional ou irracional. Explique sua resposta.
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
5. Cada par de números a seguir representa os comprimentos dos lados de um
triângulo retângulo. Quais pares representam os catetos de um triângulo retângulo cujo
comprimento da hipotenusa é um número irracional? Circule as respostas.
a) (12, 5) b) (12, 13) c) (8, 15) d) (2, 4)
6. Marque cada número irracional a seguir na reta numerada.
a) 0,2 b) 17 c) 3 d) 1,4
0 1 2 3 4 5
➤➤
14. 14
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
Avaliação
de unidade
Avaliação
da unidade
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais
7. Quais das afirmações abaixo são verdadeiras se a > b e b > 0? Circule a resposta.
a) a + b = a + b c) a × b = a × b
b) a – b = a – b d)
a
b
= a
b , b 0
8. Escreva cada expressão na forma reduzida.
a) 75 = ___________________________ f) 96
8
= _____________________________
b) 0,0036 = __________________________ g) 180 – 45 = _____________________
c) 5 × 85 = ______________________ h) 3 12 + 4 108 = ___________________
d) 98×14 = ___________________________ i) 9
5
= ___________________________
e) 96
2
= __________________________ j) 2
10
× 5
2
= _______________________
9. Quais dos pares ordenados a seguir descrevem pontos que estão no gráfico de
= ? Circule as respostas.
a) (1,8, 1,34) b) (2, 4) c) (16, 4) d) (4,90, 24)
10. Identifique o gráfico correspondente a cada equação.
a) = – 12
5
__________________
b) = 3
–2
____________________
c) = 1
3
____________________
d) = – 11
2
__________________
e) = 7
4
____________________ �
x0
1
2
3
4
5
y
��
�
�
�
�
�
�
15. 15
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InvestigandoInvestigando
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais
Explorando a vista de uma aeronave
Ao voar em um dia claro, é possível avistar objetos até o horizonte. Entretanto, como
a Terra é quase uma esfera, não é possível avistar além do horizonte, mesmo utilizando
binóculos ou um telescópio.
A distância aproximada, em milhas, até o horizonte é dada pela fórmula d = 1,22 ,
em que representa a altitude em pés.
1. Faça o gráfico desta função, criando uma escala no eixo horizontal com valores de 0 a
35000 e no eixo vertical com valores de 0 a 300.
Altitude (pés)
0
��
�
�
Distânciadohorizonte
(milhas)
2. Informe as coordenadas de cinco pontos de referência do gráfico ___________________,
__________________, __________________, __________________ e __________________.
3. O que representa o ponto cuja coordenada é zero?
_______________________________________________________________________________
4. Use o gráfico para determinar a distância aproximada para a dezena mais próxima, entre o
horizonte e uma aeronave que voa a uma altitude de 30 000 pés.
________________________________________________________________________________
5. Use o gráfico para determinar a altitude aproximada para o milhar mais próximo de uma
aeronave cuja distância do horizonte é de 100 milhas.
_______________________________________________________________________________
16. 16
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Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
InvestigandoInvestigando
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais
6. Use o gráfico para determinar a altitude aproximada para o milhar mais próximo de uma
aeronave cuja distância do horizonte é de 200 milhas.
_______________________________________________________________________________
7. Calcule, até a dezena mais próxima, a alteração da distância do horizonte conforme a
altitude do avião aumenta de 35 000 pés para 25 000 pés. Demonstre seu raciocínio.
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
17. 17
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Vamos
registrar
Vamos
registrar
Palavras-chave:
Potência
Base
Expoente
Objetivos de
aprendizagem:
Simplificar expressões
contendo expoentes
negativos e zero.
Simplificar expressões
envolvendo produto e
divisão de potências.
Simplificar expressões
envolvendo potência
de potências.
Simplificar expressões
envolvendo potência de
produtos e frações.
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 1: Potências
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. Um ________________________ indica o número de vezes que a _____________ é utilizada
como fator.
2. Qualquer número real diferente de zero elevado a zero é igual a ______________.
3. a–n
=______________, onde a 0 e n é um número inteiro.
4. Um número não nulo elevado a um expoente é igual ao _________________ desse número
elevado ao _________________ desse expoente.
5. No exemplo 1011
× 10², você pode multiplicar essas duas expressões porque os fatores
têm a mesma ______________.
6. Para qualquer número real não nulo a, ar
× as
= _____________, onde r e s são
_________________________________.
7. Para qualquer número real não nulo a, ar
÷ as
= _____________, onde r e s são
_________________________________.
8. Para qualquer número real não nulo a, (ar
)s
= _______________, onde r e s são
_________________________________.
9. Para quaisquer números reais não nulos a e b, (ab)n
= ___________, onde n é um
_________________________________.
10.Para quaisquer números reais não nulos a e b, ( a
b
)n
= __________, onde n é um
_________________________________.
18. 18
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Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
Agora é
sua vez!
Agora é
sua vez!
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios – Sequência 1: Potências
1. Expresse cada número a seguir como uma potência com uma base formada
por um número primo.
a) 9 = _______________________ c) 35–1
= ______________________
b) 1
9
= _____________________ d) 1
3–2
= _______________________
2. 850
= ________________.
3. Aplique as propriedades das potências e simplifique as expressões a seguir:
a) b–3
× b8
= _________________ d) 33
× (32
)–2
= _________________
b) –(c4
) (3c–2
)c = _____________ e) (2 3 4
)5
= ___________________
c) 250
25–6
= _____________________ f)
(5
2 )4
= ______________________
4. A tabela a seguir apresenta a distância aproximada, em quilômetros, entre o Sol e alguns
planetas do Sistema Solar. Complete a tabela utilizando notação científica.
Planeta Distância aproximada (km) Distância em notação científica
Mercúrio
Terra
Marte
Saturno
58 000 000
150 000 000
230 000 000
1 400 000 000
5. Um quilômetro é igual a 1 000 m ou 10³ m. Use notação científica para expressar a
distância, em metros, de Saturno ao Sol. __________________________________________
19. 19
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Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____
Vamos
registrar
Vamos
registrar
Palavras-chave:
Monômio
Binômio
Trinômio
Polinômio
Ordem decrescente
Ordem crescente
Inverso da adição
(oposto) de um
polinômio
Objetivos de
aprendizagem:
Explorar as
definições
relacionadas às
expressões
polinomiais.
Organizar os termos
de um polinômio
em ordem crescente
e decrescente.
Encontrar a soma e a
diferença entre dois
ou mais polinômios.
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 2: soManDo e subtrainDo PolinôMios
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. A área de um quadrado com lados de tamanho pode ser expressa como ____________.
2. Monômio em uma variável é um termo na forma ____________, onde a é um ___________
________________________, é uma _____________________ e n é um ________________
________________________.
3. _____________________ é um monômio ou uma soma finita de monômios.
4. A expressão ² + 2 + 1 é um ________________________________, porque é formada por
______________________________________________.
5. Quando os termos de um polinômio são organizados de forma que os expoentes da
variável diminuem da ________________ para a ________________, podemos dizer que o
polinômio está organizado em ___________________________________________________.
6. Quando os termos do polinômio são organizados de forma que os expoentes da
variável aumentam da ________________ para a ________________, podemos dizer que o
polinômio está organizado em ___________________________________________________.
7. Para determinar se a soma de dois polinômios está certa, substitua valor por um valor
____________________________. Se você _________________________ as expressões e o
resultado for uma _________________________, a soma está correta.
8. Por que ² e 2 não são termos semelhantes?
______________________________________________________________________________.
9. Complete cada quadro com um exemplo de cada tipo de expressão.
Monômio Binômio Trinômio
20. 20
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Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
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Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios – Sequência 2: Somando e Subtraindo Polinômios
1. 2 –3
é um monômio? Explique sua resposta utilizando a definição de monômio.
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
2. Simplifique as expressões a seguir e, depois, indique se a expressão resultante é um
monômio, binômio ou trinômio.
a) –6 + 2 ² + 9 + – 3 = ________________________________________________________
b) 4s23
+ 15s – 7s17
– 16s = _____________________________________________________
3. Some os polinômios a seguir e escreva cada soma em ordem decrescente.
a) (5 ² – 3 + 7) + (2 ³ + 5 ² + + 5) = ___________________________________________
b) (–3b4
+ b² – b) + (b4
– b² + 4) = ________________________________________________
c) (9c² + 3c – 2) + (7c³ – 3c² – 3c) = ______________________________________________
4. Subtraia os polinômios a seguir e escreva cada diferença em ordem crescente.
a) (7a³ – a) – (–4a³ + 2a) = ______________________________________________________
b) (8 ³ – 2 ² + 1) – (4 ² + – 2) = ________________________________________________
c) (b² + b – 4) – (b³ – 2b² – 4) = __________________________________________________
5. O painel central de uma janela com três partes tem sua área representada pelo trinômio
2n² + 5n + 3. Cada painel lateral tem área representada pelo binômio n² + 2n.
a) Qual é a área total dos dois painéis laterais em termos de n?_______________________
b) Qual é a área do painel central mais a área de um painel lateral em termos de n?
______________________________
c) Qual é a área total dos três painéis da janela em termos de n? _____________________
21. 21
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Palavras-chave:
Produto
Fator
Binômio
Trinômio
Trinômio quadrado
perfeito
Objetivos de
aprendizagem:
Usar um modelo
de área para
representar o produto
entre dois binômios.
Usar a propriedade
distributiva para
determinar o produto
de dois polinômios.
Reconhecer o
quadrado de um
binômio como
um trinômio quadrado
perfeito.
Reconhecer o
produto da soma pela
diferença de dois
monômios como uma
diferença entre
dois quadrados.
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 3: MultiPlicanDo PolinôMios
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. A largura da parte frontal de um folheto é representada pelo binômio _________________.
2. Para a parte frontal do folheto, a expressão que demonstra a aplicação da propriedade
distributiva a (n + 10) (n + 1) é _____________________.
3. O resultado da multiplicação de dois binômios é a __________________________________
dos quatro ____________________.
4. Para verificar se um produto está certo, _____________________ a variável por um valor e
veja se o resultado é uma _____________________.
5. Para todos os números reais a e b, (a + b)² = ______________________________________.
6. Para todos os números reais a e b, (a – b)² é igual ao trinômio _______________________.
7. Para todos os números reais a e b, (a + b)(a – b) = _________________________________.
22. 22
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
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Agora é
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Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios – Sequência 3: Multiplicando Polinômios
1. Expresse a área de cada retângulo deste diagrama como o produto de seu comprimento
por sua largura e como um trinômio em termos de n.
B
A
D F H
n + 2
n + 8
n n -- 1
C E G
a) Retângulo ABDC _____________________=______________________
b) Retângulo CDFE ______________________=______________________
c) Retângulo EFHG ______________________=______________________
d) Retângulo ABHG ______________________=______________________
2. Multiplique (n + 3)(4n – 2) aplicando a propriedade distributiva e, depois, simplifique.
3. Determine o quadrado dos binômios a seguir. Verifique se suas respostas estão certas
substituindo a variável por –2.
a) (3b + 2)²
b) (5 + 3)²
4. ( + 4)( – 4) = ___________________________.
5. O comprimento de uma metade de um cartão comemorativo é n, e sua largura é n + 8.
Se esse cartão tem duas metades iguais, qual é sua área em termos de n? Explique
como chegou a essa resposta. ___________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
23. 23
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Avaliação
de unidade
Avaliação
da unidade
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios
1. Quais das expressões a seguir são equivalentes a 1
4–2
? Circule a(s) resposta(s).
a) 4–2
b) 4² c) 16 d) 1
8
2. Simplifique as expressões a seguir.
a) –(8a–6
) (4a9
) = ____________________________
b) 15r
3r–5
= ___________________________________
c) 45
× (4³)–3
= ______________________________
d) (–2 0
³)4
= _______________________________
e) (2sn+2
)³ = _________________________________
f) (4r
7s
)³ = ___________________________________
3. Um ácaro adulto pode medir 0,038 mm. Expresse esse número em notação científica.
_______________________________________________________________________________
4. Os trinômios a seguir representam as áreas de três tapetes retangulares.
A: 4n² + 11n – 3 B: 3n² – n – 2 C: 2n² + 14n + 12
a) Que polinômio representa a área de piso coberta pelos tapetes A e B?
_______________________________________________________________________________
b) Que polinômio representa a área adicional coberta pelo tapete C em relação ao tapete A?
_______________________________________________________________________________
c) Que polinômio representa a área adicional coberta pelo tapete B em relação ao tapete C?
_______________________________________________________________________________
d) Que polinômio representa a área do piso coberta pelos três tapetes?
_______________________________________________________________________________
24. 24
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Avaliação
de unidade
Avaliação
da unidade
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios
5. Multiplique os binômios (2n + 3)(3n – 4) aplicando a propriedade distributiva nos
primeiros termos, nos extremos, nos intermos e nos últimos.
6. Qual é o produto de ( – 5 ) ( + 5)? Circule a resposta.
a) ² + 10 – 25 c) ² + 25
b) ² –10 – 25 d) ² – 25
7. Verifique se a resposta que você escolheu na questão 6 está correta, considerando = 3.
Demonstre seu raciocínio.
8. O diagrama a seguir representa um jardim retangular com uma fonte retangular no centro.
Complete as sentenças expressando as respostas em termos de n.
n –1
3n +1
n
2
2
nn + 4
a) O binômio _______________________________ representa a área da fonte.
b) O trinômio _______________________________ representa a área total necessária para
colocar as flores e a fonte.
c) O trinômio _______________________________ representa a área onde as flores podem
ser plantadas.
25. 25
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InvestigandoInvestigando
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios
Área
Uma empresa pretende construir um novo shopping center que ocupará uma área retangular,
com um pátio interno destinado ao lazer dos clientes. Três lojas de departamentos já se
interessaram em alugar espaço no shopping. Faça o projeto para este shopping com base nas
especificações a seguir.
O comprimento do shopping é três vezes sua largura.
A área mínima que pode ser ocupada pelo shopping é de 30 000 m2
.
A área máxima que pode ser ocupada pelo shopping é de 120 000 m2
.
A maior loja chama-se Moda Tropical.
As outras duas lojas de departamentos têm a mesma área, porém, com dimensões
diferentes, e são menores que a loja Moda Tropical.
A área do átrio retangular é igual à metade da área da loja Moda Tropical.
O shopping precisa ter, no mínimo, 6 lojas para cobrir os custos de construção.
O número máximo de lojas no shopping é 10.
1. Complete o diagrama a seguir com seu projeto para o shopping.
Pátio central
26. 26
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InvestigandoInvestigando
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios
2. Utilizando a variável , escreva as expressões algébricas para cada dimensão e área a seguir.
a) Moda Tropical:
Comprimento: _____________ Largura: ______________ Área: _________________
b) Loja de departamentos 1
Comprimento: _____________ Largura: ______________ Área: _________________
c) Loja de departamentos 2
Comprimento: _____________ Largura: ______________ Área: _________________
d) Comprimento do átrio
Comprimento: _____________ Largura: ______________ Área: _________________
e) Outras lojas do shopping:
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
3. Qual será a área do shopping dentro dos limites estabelecidos? ______________________
4. Com base na área, quais são as dimensões do shopping?
Comprimento: ________________ Largura: _______________
5. O custo do metro quadrado de construção das lojas e do átrio é de R$ 50,00.
a) Qual será o custo para construir o shopping que você projetou? _____________________
b) Se o orçamento inicial da construção é de R$ 5.000.000,00, será possível construir o
shopping que você projetou? _____________________________________________________
27. 27
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Palavras-chave:
Fator
Número primo
Número composto
Máximo divisor
comum
Grau de um monômio
Grau de um polinômio
Polinômio primo
Fator comum
Teorema fundamental
da Aritmética
Objetivos de
aprendizagem:
Identificar diferenças
entre números primos
e compostos.
Identificar o máximo
divisor comum de dois
ou mais monômios.
Fatorar um polinômio
para encontrar o
máximo divisor comum.
Fatorar um polinômio
para encontrar um
binômio em comum.
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 1: encontranDo fatores coMuns
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. Números primos são ____________________________________________ com apenas dois
fatores: __________________ e __________________.
2. Por que 1 não é número primo?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
3. Um número inteiro positivo que não é primo nem igual a 1 é um ______________________
__________________________.
4. Para determinar o máximo divisor comum de dois números, encontre os _______________
__________________________ que eles têm em comum e calcule o ____________________
desses números.
5. Para determinar o máximo divisor comum de dois monômios de mesma base, __________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________.
6. O expoente da variável de um monômio em uma variável é o _____________ do monômio.
7. Qual é o máximo divisor comum de 24n³ e 60n²? _____________
8. Fatorar um polinômio significa expressá-lo como o __________________________________
______________________________________________________________________________.
9. O grau de um polinômio é o ______________________ grau dos _______________________
que fazem parte dele.
28. 28
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Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios – Sequência 1: Encontrando Fatores Comuns
1. Escreva a fatoração de cada monômio a seguir:
a) 60 = _______________________________ ou ____________________________
b) 155 = ____________________________________________________________
c) 144n² = ____________________________ ou ____________________________
2. Determine o máximo divisor comum de cada conjunto de monômios a seguir:
a) 72 4
, 40 3
: ____________________________
b) 4a5
, –12a4
, 28a³: _______________________
3. Considere o polinômio 6 ² + 3 .
a) Desenhe ou use figuras algébricas como e ², como as exibidas abaixo, para fazer
uma representação geométrica da área retangular expressa por esse polinômio.
2
b) Use seu desenho para expressar esse polinômio como produto de dois polinômios.
_____________________________________________________________________________
c) Verifique se o produto dos dois fatores representa 6 ² + 3 substituindo por 4.
4. Fatore completamente os polinômios a seguir.
a) 12n³ + 20n __________________________________________________
b) 72 4
+40 ³ ___________________________________________________
c) ² + 2 + 5 + 10 _____________________________________________
d) 3m² + 21m + 6m + 42 ________________________________________
29. 29
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Palavras-chave:
Binômio
Trinômio
Termo do 20
grau
Termo linear
Termo constante
Forma padrão de uma
expressão do 20
grau
Objetivos de
aprendizagem:
Fatorar um trinômio
do 20
grau da forma
1 ² + b + c, em
que c 0.
Fatorar um trinômio
do 20
grau da forma
1 ² + b + c,
em que c 0.
Fatorar um
trinômio do 20
grau
da forma a ² + b + c,
em que a 1.
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 2: fatoranDo trinôMios Do 20
grau
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. Ao fatorar o trinômio ² + 10 + 24, você está procurando um par de fatores numéricos
cujo produto é _____ e cuja soma é ______.
2. Quais são os binômios para ² + 10 + 24? ______________________________________
3. Um monômio cujo grau é 2 é chamado __________________________________________.
4. ____________________________ é um monômio cujo grau é 1.
5. ____________________________ é outro nome para o monômio cujo grau é 0.
6. A expressão do 20
grau ² + 10 + 24 está escrita na forma geral?
Explique sua resposta. ________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
7. Se a constante em polinômios do 20
grau que pode ser fatorada é negativa, então os
sinais das constantes dos binômios são _______________________.
8. Quais são os binômios de ² + 7 – 12? _________________________________________
9. Represente a expressão 2r² + 7r + 6 como o produto de dois binômios.
_____________________________________________________________________________
10.Represente a expressão 6n² + 11n – 10 como o produto de dois binômios.
_____________________________________________________________________________
30. 30
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Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios – Sequência 2: Fatorando Trinômios do 20
Grau
1. Considere o trinômio 2g² + 9g + 10.
a) Desenhe ou use figuras algébricas para completar um retângulo
cuja área é 2g² + 9g + 10.
g2
g
1
b) Use o modelo para expressar o trinômio como o produto de dois binômios
______________________________________________________________________________
c) Verifique seus fatores substituindo g por 2 nos fatores e no polinômio original.
2. Dado o trinômio 5s + s² + 1:
a) escreva a expressão do 20
grau na ordem decrescente;___________________________
b) identifique o termo do 20
grau;_________________________________________________
c) identifique o termo linear; _____________________________________________________
d) identifique o termo constante. _________________________________________________
3. Fatore completamente cada polinômio abaixo.
a) ² + 5 + 6 _________________________________________________________________
b) d² – 4d – 32 ________________________________________________________________
c) 2p² + 7p + 3 ________________________________________________________________
d) 3 ² – 7 + 4 ________________________________________________________________
e) 3f² + 3f + 18 ________________________________________________________________
31. 31
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Palavras-chave:
Trinômio quadrado
perfeito
Termo do 20
grau
Termo linear
Termo constante
Polinômio do 30
grau
Objetivos de
aprendizagem:
Reconhecer e fatorar
um trinômio quadrado
perfeito: a² + 2ab + b².
Reconhecer e fatorar
a diferença entre dois
quadrados: a² – b².
Fatorar completamente
um polinômio dado.
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 3: casos esPeciais
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. Se um trinômio está na forma a² + 2ab + b², então é um quadrado perfeito e é igual a
__________________.
2. O polinômio a² – b² é conhecido como _________________ entre ____________________.
3. Quais são os binômios de 4 ² – 9? ______________________________________________
4. Se a e b são números reais,
a² – b² = _____________________________________________________________________
5. Fatore 25k² – 144.
_____________________________________________________________________________
6. O polinômio 4
– 64 é um exemplo da diferença entre dois quadrados?
Explique sua resposta.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
7. Fatore completamente 4
– 64. _________________________________________________
8. Um polinômio que não pode ser fatorado é __________________.
9. Para fatorar um polinômio, você deve:
a) primeiro, verificar quais são os ___________________________ e aplicar a propriedade
________________________ para simplificar a expressão;
b) depois, procurar no polinômio restante algum padrão como um ___________________
_______________________________ou uma ______________________________________.
10. Se a e b são números reais e não têm fatores comuns, então a² + b² é um __________
_________________________________________.
32. 32
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Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios – Sequência 3: Casos Especiais
1. Complete a tabela a seguir.
Forma fatorada Trinômio Caso especial
x2 + 18x + 81
x2 --- 6x + 9
x2 -- 25
x2 -- ________
x2 + 81
4x2 -- 80x + 400
(2 +10)2
( +7) (__________) Diferença de dois quadrados
Soma de dois quadrados
2. O que significa “quadrado da diferença” e “diferença entre dois quadrados”?
Dê um exemplo de cada.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3. Use a substituição numérica para verificar se os exemplos que você deu na questão a
são equivalentes.
33. 33
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de unidade
Avaliação
da unidade
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios
1. Na primeira etapa de sua técnica para identificar números primos, Eratóstenes
eliminava todos os números maiores que 2 múltiplos de 2. Descreva as outras etapas
que ele utilizava para identificar os outros números primos menores que 100.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Fatore o número 24 em seus fatores primos. _____________________________________
ou ___________________________________________
3. a) Determine dois números cujo máximo divisor comum é um número composto
_________________ e _________________, cujo mdc = _____________________________.
b) Determine dois números cujo máximo divisor comum é um número primo.
_________________ e _________________, cujo mdc = _____________________________.
4. Qual é o máximo divisor comum de b4
e b7
? ______________________________________
5. Escreva o máximo divisor comum de cada termo abaixo.
Termos Máximo divisor comum
16, 24
64m, 32m, 96m
42x2, 18x3
6. Use o conjunto de figuras algébricas
exibido à direita para fazer esta atividade.
a) Escreva uma identidade mostrando
que o produto de dois binômios é igual a
um trinômio.
_______________________________________
______________________________________
b) Verifique sua resposta utilizando a
substituição numérica.
1
1
1
1
34. 34
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Avaliação
de unidade
Avaliação
da unidade
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios
7. Fatore:
a) g² – 10g + 2g – 20 ___________________________________________________________
b) k² + 12k + 36 _______________________________________________________________
c) p² – 6p – 16 ________________________________________________________________
d) 4 ² + 16 + 15 _____________________________________________________________
e) ² + 64 ____________________________________________________________________
f) 16a² – 25 ___________________________________________________________________
8. Um fábrica produz porta-retratos retangulares de vários tamanhos. A borda de um
porta-retrato padrão mede 2 cm. As expressões a seguir representam as dimensões em
centímetros de quatro fotos retangulares. Determine a expressão fatorada para a área
da borda em torno de cada foto.
a) p por p ____________________________ c) d por 2d ___________________________
b) h por 12 ___________________________ d) ² por ² – 12 ______________________
� �
2cm
2cm � �2cm
2cm
����
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InvestigandoInvestigando
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios
Plantas baixas
O proprietário de uma casa quer acarpetar uma sala quadrada cujas dimensões são s
metros por s metros. Em dois lados adjacentes dessa sala, ele quer colocar 2 m de lajotas
em vez de carpete.
1. Utilizando c para representar o comprimento do carpete em metros, desenhe a
planta baixa dessa sala. Identifique as partes que serão acarpetadas e as partes que
serão cobertas por lajotas.
2. Identifique seu desenho em termos de c e s.
3. Use esses desenhos para ajudá-lo a escrever um polinômio que represente a área
total da região quadrada a ser acarpetada e revestida com lajotas. A seguir, escreva o
polinômio também na forma fatorada.
Polinômio: ___________________________________________________________________
Forma fatorada: _______________________________________________________________
4. Suponha que o proprietário quer a mesma distribuição de carpete, mas com n metros
de lajotas em vez de 2 m.
a) No espaço acima, represente a nova planta baixa e identifique todas as partes em
termos de c e n.
b) Escreva um polinômio que represente a nova área da região revestida de lajotas e da
região acarpetada e, depois, escreva-o também na forma fatorada.
Polinômio: ___________________________________________________________________
Forma fatorada: _______________________________________________________________
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InvestigandoInvestigando
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios
5. Que caso especial de polinômio é representado quando a largura de área revestida
por lajotas é igual nas duas paredes?
_____________________________________________________________________________
6. Desenhe um exemplo de um piso retangular com carpete e lajotas cuja área total é
igual ao produto de dois binômios.
7. Represente a área total do piso, incluindo carpete e lajotas, como um polinômio e,
a seguir, na forma fatorada.
Polinômio: ____________________________________________________________________
Forma fatorada: _______________________________________________________________
8. Qual é a vantagem de fatorar um polinômio que representa a área de um piso
retangular? ___________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
37. 37
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Palavras-chave:
Função quadrática
Parábola
Função parabólica
Valor mínimo de
uma parábola
Valor máximo de
uma parábola
Simetria/Eixo de
simetria
Vértice de uma
parábola
Função par
Objetivos de
aprendizagem:
Reconhecer que o
gráfico de uma
equação do 20
grau
= a ² é uma função.
Identificar o domínio
e a imagem da função
= a ².
Descrever os efeitos
do coeficiente a sobre
uma curva do gráfico
de uma função na
forma = a ².
Determinar o valor
mínimo e o valor
máximo da função
quadrática na forma
= a ².
Determinar a equação
do eixo de simetria
da função quadrática na
forma = a ².
Determinar as
coordenadas do vértice
da função quadrática
na forma = a ².
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 1: traçanDo Parábolas
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. O que é uma função quadrática? ________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Na função = a ², o ___________________________ pode ser qualquer número real e o
____________________________ tem que ser maior ou igual a zero.
3. Quando o coeficiente a em = a ² é positivo, a parábola tem concavidade
____________________________.
4. Quando o coeficiente a em = a ² é negativo, a parábola tem concavidade
____________________________.
5. Qual é o valor mínimo de uma parábola cuja equação está na forma = a ² se o valor
de a for positivo?
_____________________________________________________________________________
6. Qual é o valor máximo de uma parábola cuja equação está na forma = a ² se o valor
de a for negativo?
_____________________________________________________________________________
7. ____________________________ é uma reta que divide uma figura de forma que, quando
dobrada, os dois lados da figura coincidem.
8. Qual é a equação do eixo de simetria para uma parábola cuja equação está na forma
= a ²? ____________________________
9. A intersecção de uma parábola com seu eixo de simetria é chamada
____________________________ da parábola.
38. 38
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Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções – Sequência 1: Traçando Parábolas
1. Qual(is) da(s) equação(ões) a seguir representam funções parabólicas?
Circule a(s) resposta(s).
a) = 3 2
b) = 2 c) d = 16 2
2. Determine se as parábolas representadas pelas equações a seguir têm concavidade
para cima ou para baixo.
a) = –8 ² __________ b) d = 6t² __________ c) a = 25b² __________
3. a) Quais das parábolas da questão anterior têm um mínimo? _______________________
b) Quais das parábolas da questão anterior têm um máximo?_______________________
c) Qual das parábolas da questão anterior é mais fechada? _________________________
4. Construa um gráfico da função = 2 ² e responda as questões a seguir.
a) Qual é o domínio e a imagem desta função?
______________________________________________________________________________
b) Qual é a equação do eixo de simetria?
______________________________________________________________________________
c) Quais são as coordenadas do vértice desta parábola?
______________________________________________________________________________
d) A parábola tem concavidade para cima ou para baixo?
______________________________________________________________________________
e) Qual é o mínimo ou o máximo da parábola?
______________________________________________________________________________
�
�
5
–3 –2 –1 0 1 2 3
10
15
39. 39
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Palavras-chave:
Função quadrática
Parábola
Valor mínimo de
uma parábola.
Valor máximo de
uma parábola.
Simetria/Eixo de
simetria.
Vértice de uma
parábola.
Forma reduzida de uma
equação do 20
grau.
Forma incompleta de
uma equação do 20
grau em duas variáveis.
Objetivos de
aprendizagem:
Examinar as
propriedades de
parábolas com
equações na forma
= a ² + c, em
que c 0.
Reconhecer que a
constante c em uma
função quadrática na
forma = a ² + b + c
é o ponto de
intersecção em de
uma parábola.
Examinar as
propriedades de
parábolas com
equações na forma
= a ² + b .
Examinar as
propriedades de
parábolas com
equações na forma
= a ² + b + c, em
que b 0, c 0.
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 2: investiganDo as ProPrieDaDes Das Parábolas
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. O que a constante 1000 na equação = – 4,9 ² + 1000 representa?
_____________________________________________________________________________
2. A parábola definida pela equação do 20
grau = – 4,9 ² + 1000 tem concavidade
________________ e tem um ________________ cuja coordenada é ________________.
3. A forma reduzida de uma função quadrática em duas variáveis é = a ² + b + c, onde
a 0, e a, b e c são ______________________.
4. A equação h = – 4,9t2
+ vt é uma equação do 20
grau _____________________ em duas
variáveis porque a constante c é igual a ______________________.
5. Para determinar o máximo da parábola h = – 4,9t² + 44,1t, primeiro determine o
_____________________________ entre os pontos de intersecção da parábola com a
horizontal, depois substitua t por esse valor na equação para determinar o valor da
_____________________________.
6. O valor máximo da parábola cuja equação é h = – 4,9t² + 68,6t é ___________________.
7. O valor máximo da parábola cuja equação é h = – 4,9t² + 68,6t ocorre quando
t = _________.
8. Se b = 0, então o gráfico de = a ² + c é uma ________________________ cujo eixo de
simetria é o _________________________ e cujo _________________________ é (0, c).
9. Se c = 0, o gráfico de = a ² + b tem uma intersecção em e duas _______________
___________________________, uma das quais é sempre ________.
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Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções – Sequência 2: Investigando as Propriedades das Parábolas
1. Qual é a intersecção em cada parábola a seguir?
a) = 3 ² – 8 – 5 ____________
b) h = 4,9t² + 16t _____________
c) d = –4,9t² + 67 ____________
2. Quais dessas equações representam parábolas que têm = 0 como eixo de simetria?
Circule-as.
a) = –8 ² + 2 + 16 c) d = 24,9 t² + 125
b) h = 4,9 t² d) h = 4,9 t² + 2t
3. Use os eixos à direita para
desenhar uma parábola com
as seguintes propriedades:
com concavidade para cima,
com eixo de simetria cuja
equação é = –2 e com um
valor mínimo de –3.
4. Qual é o vértice de uma parábola que tem concavidade para baixo se a equação de seu
eixo de simetria é = 8 e seu máximo é 15? _____________________________________
5. Uma pedra é lançada de um penhasco. A distância entre a pedra e o solo em qualquer
momento t pode ser calculada utilizando d = – 4,9t2
+ 400.
a) Qual é o máximo da parábola representada pela equação d = – 4,9 t2
+ 400? _______.
b) O que o máximo representa?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
�
x
�
�
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2-3-4-5-6-7-8-9
y
�
-1
0
-3
9
7
5
3
1
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Palavras-chave:
Função quadrática
Trajetória
Forma reduzida de
uma equação do 20
grau em uma variável
Intersecção em
de um gráfico
Solução de uma
equação do 20
grau
em uma variável
Raiz de uma equação
Objetivos de
aprendizagem:
Analisar uma
parábola na forma
= a 2
+ b + c
com duas intersecções
no eixo , e perceber
que a equação do 20
grau correspondente,
na forma a 2
+ b + c = 0,
tem duas soluções reais.
Descobrir que as
equações do 20
grau
têm, no máximo, duas
soluções reais.
Analisar uma parábola
com apenas uma
intersecção no eixo
e perceber que a
equação do 20
grau
correspondente, na
forma a 2
+ b + c = 0,
tem uma solução real.
Perceber que, se
uma parábola não tem
intersecção com o
eixo , a equação do 20
grau correspondente,
na forma
a 2
+ b + c = 0, não
tem solução real.
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 3: resolvenDo eQuações Do 20
grau Por Meio De gráFicos
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. Somar a constante – 6 no lado direito da equação h = –0,036d² + 1,29d não afeta o
termo ___________________ e o termo ___________________ da equação; apenas altera
a intersecção vertical do gráfico de ________ para ________.
2. O eixo de simetria intersecta a parábola no seu ___________________.
3. A _________________ ou ________________ de uma equação é um número que, quando
colocado no lugar da variável, satisfaz a equação.
4. As ___________________________________________ de uma função são as soluções da
equação correspondente quando o valor da ordenada é igual a zero.
5. Qual é o máximo da parábola cuja equação é h = – 0,036d² + 1,29d – 6, arredondado
para o décimo mais próximo? ________
6. Se uma função quadrática tem duas intersecções em , a equação do 20
grau
correspondente quando a ordenada é zero tem duas ______________________________.
7. Se uma função quadrática tem apenas uma intersecção em , a
equação do 20
grau correspondente quando a ordenada é zero tem exatamente uma
___________________________________.
8. Se uma função quadrática não tem __________________________, a equação do 20
grau
correspondente quando a ordenada é zero não tem solução real.
42. 42
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Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções – Sequência 3: Resolvendo Equações do 20
Grau por Meio de Gráficos
1. Um jogador de golfe arremessa uma bola, que atinge o chão a uma distância
horizontal de 7,6 m de onde foi arremessada. Sua trajetória pode ser representada pela
equação h = – 0,06d² + 1,3d + 5, onde h é a altura da bola em cada instante e d é a
distância horizontal de onde ela foi arremessada.
a) A que altura do solo estava a bola
quando foi arremessada? ____________
b) Qual a altura máxima alcançada
por ela?____________________________
c) Faça o gráfico da parábola cuja
equação é h = –0,06d² + 1,3d + 5.
Qual parte deste gráfico corresponde à
trajetória da bola? (Dica: Lembre-se que
a distância, d, é sempre não negativa.)
___________________________________
2. Analise as equações da tabela para determinar se a parábola correspondente a cada
equação tem uma, nenhuma ou duas intersecções horizontais; se tem concavidade
para cima ou para baixo; e se tem um valor máximo ou mínimo.
�
d
�
�
�10 �5
�5
5 10 15 20 25
h
�
20
25
15
10
5
Equação Raízes Concavidade Max./Mín.
h = 0,5d2
+ 1
y = –3
2
+ 6
= 4 2
+ 4 – 35
d = –1,9t2
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Avaliação
de unidade
Avaliação
da unidade
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções
1. Dada a equação = 3 ² + 5x – 7.
a) Qual é o termo do 20
grau? __________________
b) Qual é o termo linear? ______________________
c) Qual é o termo constante? ___________________
d) Como você sabe se a equação representa uma parábola? ________________________
e) Qual parâmetro da equação do 20
grau determina a abertura da parábola?
_____________________________________________________________________________
f) Qual parâmetro da equação determina se a parábola correspondente tem
concavidade para cima ou para baixo? ___________________________________________
_____________________________________________________________________________
g) Qual parâmetro da equação é a intersecção em da parábola?
_______________________
2. Determine se as parábolas que correspondem a cada equação têm um valor
mínimo ou máximo.
a) h = –4,9t²__________________________________
b) = 5 ² – 2x – 4 ____________________________
c) h = 0,5d² + 1,2d + 2 ________________________
3. Combine cada parábola a seguir com a equação correspondente: = ² – 1, = – ² + 1.
a) b)
�
�
x
y
�
�2�1 1 2 3 40
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
�
�
�
x
y
�
�2�1 1 2 3 40
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
�
44. 44
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Avaliação
de unidade
Avaliação
da unidade
4. Analise as equações destas parábolas para determinar o número de soluções reais das
equações do 20
grau correspondentes.
a) d = 2t2
+ 6t ________________________________
b) = 5 ² + 17_______________________________
c) h = 4,9t² + 5t – 6____________________________
d) = ² _____________________________________
Um carro acelera em uma estrada. Se a aceleração for constante, a distância
percorrida por ele depois de qualquer intervalo de tempo pode ser calculada utilizando
a equação d = 2t²+ vt, onde t é o tempo em segundos, v é a velocidade inicial, em metros
por segundo, e d é a distância em metros.
5. Faça o gráfico da função
d = 2t² + 4t, com t no eixo
horizontal e d no eixo vertical.
6. Suponha que um carro
percorre uma estrada com
uma velocidade inicial
de 4 m/s e acelera por
5 segundos. Qual é o domínio
da função que representa
o movimento do carro
durante este período?
________________________
________________________
7. Qual é a imagem da função
no intervalo de 5 segundos?
_________________________
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções
�
–10
–10
–5 0
10
5
15
20
25
30
35
40
45
50
–5
–10
5 10
�
d
t
45. 45
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InvestigandoInvestigando
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções
Movimento uniformemente acelerado
1. Dois alunos estão estudando o movimento de objetos em queda. Um aluno solta
uma bola do alto de um prédio, a 50 m do solo. O outro joga uma bola do alto do
mesmo prédio. A bola que foi jogada tem velocidade inicial vertical de 10 m/s.
As tabelas abaixo apresentam as alturas h1
e h2
de cada bola, b1
e b2
, em vários
momentos t, medidos em segundos.
a) Marque, neste par de eixos, os pontos que estão na trajetória de cada bola.
b) Desenhe e nomeie uma curva com cada conjunto de pontos para representar
a trajetória de cada bola.
c) Qual bola passou mais tempo no ar? Explique.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
b
t h
0 50
1 45,1
1,5 39
2 30,4
2,5 19,4
3 5,9
3,2 0
1
1 b
t h
0 50
1 55,1
1,5 54
2 50,4
2,5 44,4
3 35,9
3,2 0
2
2
Tempo (s)
� �
��
1 2 3 4
t
h
Distância(m)
50
40
30
20
10
46. 46
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InvestigandoInvestigando
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções
d) Use o gráfico e calcule a altura máxima alcançada por b2
. _______________________
e) Depois de quantos segundos b2
atingiu a altura máxima? ________________________
f) Qual foi a altura máxima de b1
? ______________________________________________
2. As equações das parábolas que representam a trajetória de cada bola são:
h1
= – 4,9t² + 50 e h2
= – 4,9t² + 10t + 50.
a) O que representa o coeficiente do termo linear na equação de h2
?
______________________________________________________________________________
b) O que representa a constante em cada equação? _______________________________
c) Qual é a velocidade inicial de b1
?_____________________________________________
3. A fórmula para determinar a distância horizontal percorrida por um objeto é d = vt,
onde d é a distância, v é a velocidade horizontal do objeto e t é o tempo. Supondo que
a bola b2
tenha sido lançada com uma velocidade horizontal de 5 m/s, a quantos
metros da base do prédio cada bola caiu ao atingir o solo?
b1
: _____________________ b2
:_____________________
4. Use a fórmula da questão anterior e complete a tabela para calcular a distância
horizontal entre b2
, ao atingir o solo, e a base do prédio. Usando os eixos a seguir,
marque os pontos e desenhe o gráfico de d = vt.
5. O que a forma do gráfico nos diz sobre o movimento da bola? _______________________
_____________________________________________________________________________
Tempo (s)
� �
��
1 2 3 4
t
d
Distância(m)
25
20
15
10
5
0
b
t
0
1,0
2,0
3,0
4,0
4,4
2
d2
47. 47
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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 20
grau – seQuência 1: Fatoração e teoreMa Do ProDuto nulo
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. Segundo o__________________________________________ , se a e b são números reais
e ab = 0, então a = 0 ou b = 0.
2. Em uma equação onde o produto de dois binômios é igual a zero, como em
0 = (0,4 + 2) (0,4 – 2), há ______________________ valores possíveis para a variável .
3. Se uma equação do 20
grau em uma variável, , tem duas raízes, o gráfico da equação
em duas variáveis tem duas ___________________________________________________ .
4. Uma vez que você saiba os valores das intersecções em , é possível determinar
o ____________________________________e o_________________________da parábola.
5. Se 0 = ( + 20), então = __________________ ou + 20 = _____________________ .
6. Como o gráfico da função = ( ² + 20 ) representa a área, , da coroa circular em
função de sua largura, , faz sentido selecionar pontos no quadrante________________ .
7. Se + 22 = 0 ou – 2 = 0, então =_________________ ou = ___________________ .
8. Se a fatoração de uma equação do 20
grau na forma a ² + b + c = 0 é igual ao quadrado
de um binômio linear, então essa equação tem ____________________________________.
9. As soluções reais da equação do 20
grau a ² + b + c = 0 são as ______________________
da ___________________________________ correspondente = a ² + b + c.
Palavras-chave:
Teorema do
produto nulo
Raiz dupla de uma
equação do 20
grau
Objetivos de
aprendizagem:
Identificar que a
solução de uma
equação do 20
grau
está na intersecção
em da função
correspondente.
Resolver fatorando
pela diferença entre
dois quadrados,
uma equação
do 20
grau completa
em uma variável.
Resolver, por
fatoração, uma
equação do
20
grau completa
em uma variável.
Resolver fatorando,
por um trinômio
quadrado perfeito,
uma equação
do 20
grau completa
em uma variável.
48. 48
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Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20
Grau – Sequência 1: Fatoração e Teorema do Produto Nulo
1. A função quadrática = 0,25 ² – 4 é
representada pela parábola ao lado.
a) Com base no gráfico, quantas intersecções
em a parábola tem?________________________
b) Resolva a equação do 20
grau algebricamente
com = 0. Demonstre seu raciocínio.
2. Fatore a expressão ² + 4 .
___________________________________________
3. Use a equação = – 3 ² + 6 , para responder as
questões a seguir.
a) Quais são as intersecções em da parábola
correspondente? ___________________________________
b) Quais são as coordenadas do vértice da parábola?
__________________________________________________
c) Usando essa informação, faça o gráfico da parábola.
4. Uma parábola é definida pela equação do 20
grau = 36 ² + 24 + 4.
a) Fatore 36 ² + 24 + 4. ______________________________________________________
b) Qual é o valor de quando = 0? ____________________________________________
c) Quantas intersecções em a parábola correspondente tem? _____________________
�5�6 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 6
�1
�2
�3
�4
�5
5
4
3
2
1
�
�
�
�
�3 �2 �1 1 2 3 4 5
–20
–25
–30
10
5
0
–5
–10
–15
�
�
�
�
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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 20
grau – seQuência 2: a ProPrieDaDe Da raiz QuaDraDa e o MétoDo De coMPletar QuaDraDos
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. Segundo a__________________________________________________________ , se n² = k,
então n = k para qualquer número real k, onde k ≥ 0.
2. A propriedade dos números opostos estabelece que para qualquer número real a,
____________________________________ e______________________________________ .
3. Os dois números 6
5
e –
6
5
são opostos, porque sua ______________________ é zero.
4. Uma forma de calcular em uma equação como ² + 10 = 39 é somar um
número nos dois lados da equação para obter um _________________________________
_______________________________no lado esquerdo.
5. Se ( + 5)² = 64, então = _______________________ ou = ______________________ .
6. Qual constante deve ser somada a cada lado da equação –1 = ² – 4 para que o lado
direito se torne um trinômio quadrado perfeito? ______________.
7. A equação – 2 = 3 significa que___________________ ou ______________________ .
8. Para determinar as raízes de uma equação do 20
grau na forma = a ² + c quando
= 0, você pode aplicar a ____________________________________________________ .
9. Para resolver uma equação do 20
grau na forma a ² + b + c = 0, onde a = 1 e b e c
são números racionais, use o método de ________________________________________ .
10. Se a expressão do 20
grau na equação original é prima, as soluções reais serão__________
_______________________________.
______________________________________ .
é zero.
número nos dois lados da equação para obter um _________________________________
______________________ .
______________________ .
____________________________________________________ .
Palavras-chave:
Propriedade da raiz
quadrada
Método de completar
o quadrado
Símbolo
Propriedade do
elemento neutro
da soma
Propriedade dos
números opostos
Objetivos de
aprendizagem:
Encontrar as raízes
reais de uma equação
do 20
grau usando a
propriedade da raiz
quadrada.
Encontrar as raízes
racionais de uma
equação do 20
grau
usando o método de
completar o quadrado.
Encontrar as raízes
irracionais de uma
equação do 20
grau
usando o método de
completar o quadrado.
50. 50
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Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20
Grau – Sequência 2: A Propriedade da Raiz Quadrada e o Método de Completar Quadrados
1. Quantas soluções reais existem para a equação do 20
grau 2
= 9?
_____________________________________________________________________________
2. Determine as raízes das equações a seguir aplicando a propriedade da raiz quadrada.
a) 2 2
– 18 = 0 _________________
b) 15 2
– 15 = 0 ________________
c) 13 2
– 52 = 0 ________________
3. Que termo deve ser adicionado à expressão 2
+ 2b para torná-la um trinômio
quadrado perfeito? ____________________________________________________________
4. Que termo deve ser adicionado a cada expressão a seguir para que o resultado seja um
trinômio quadrado perfeito?
a) 2
+ 12 : ____________________
b) 2
+ 20 : ____________________
c) 2
+ 3 : ______________________
5. Use o método de completar o quadrado para resolver a equação 2
+ 4 – 5 = 0.
Demonstre seu raciocínio.
Use o método de completar o quadrado para resolver a equação 2
– 10 + 18 = 0.
Demonstre seu raciocínio.
51. 51
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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 2o
grau – seQuência 3: FórMula Para resolver eQuações Do 2o
grau: a FórMula De bhaskara
Faça estas atividades
enquanto interage com o Tutorial
1. A fórmula de Bhaskara declara que as soluções de a ² + b + c = 0, onde a, b e c são
números reais e a 0 são: ________________________
2. Na equação do 20
grau 2 ² + 8 – 13 = 0, a = _________, b = _________, c = ________.
3. Expresse na forma radical fatorada. ____________________________________________
4. Se a fórmula de Bhaskara for utilizada para resolver uma equação para a qual a parábola
correspondente não tem intersecções em , então ela não tem ______________________
_________________________ .
5. O discriminante na fórmula de Bhaskara é a expressão ___________________________.
6. Na fórmula de Bhaskara, o discriminante é o ____________________________________.
7. Se o discriminante for negativo, a equação não tem soluções ______________________.
8. Se o discriminante for igual a zero, a equação tem ________________________________
___________________________________.
9. Se o discriminante for positivo, a equação tem ____________________________________
___________________________________.
– 13 = 0, a = _________, b = _________, c = ________.
____________________________________________
Se a fórmula de Bhaskara for utilizada para resolver uma equação para a qual a parábola
, então ela não tem ______________________
___________________________.
____________________________________.
Se o discriminante for negativo, a equação não tem soluções ______________________.
Se o discriminante for igual a zero, a equação tem ________________________________
Palavras-chave:
Fórmula de Bhaskara
Discriminante
Objetivos de
aprendizagem:
Reconhecer os passos
para a demonstração
da fórmula de
Baskhara e interpretar
seus significados.
Encontrar as raízes
reais de uma equação
do 2o
grau usando a
fórmula de Bhaskara.
Usar a fórmula
de Bhaskara para
identificar se uma
equação do 2o
grau
não tem raízes reais.
Usar o discriminante
para identificar a
natureza das raízes de
uma equação do 2o
grau em uma variável.
52. 52
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Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20
Grau – Sequência 3: Fórmula para Resolver Equações do 2o
Grau: A Fórmula de Bhaskara
1. Escreva o método, a propriedade ou o teorema utilizado para passar de uma etapa para
outra em cada uma das equações a seguir.
a) ² = 8; = 8____________________________________________________________
b) ² + 6 = 5; ² + 6 + 9 = 5 + 9 _____________________________________________
c) ( + 3) = 0; = 0 ou + 3 = 0 _____________________________________________
2. Na equação fg² + hg + j = 0, g é a variável e f, h e j são números reais. Use a fórmula
de Bhaskara e expresse o valor de g em termos de f, h e j.
_____________________________________________________________________________
3. Para se aplicar a fórmula de Bhaskara, a equação precisa estar na forma a ² + b + c = 0.
Use as propriedades de igualdade para escrever cada uma das equações a seguir nessa
forma e identificar os valores de a, b e c.
a) ² + 12 = 18 _________________________________
a = ____________ b = ____________ c = ____________
b) 3 ² + 51 = 2 ________________________________
a = ____________ b = ____________ c = ____________
c) 2 – 27 = 8 ²_________________________________
a = ____________ b = ____________ c = ____________
d) + + 2 ² – 2 = –3 + ²_______________________
a = ____________ b = ____________ c = ____________
4. Use a fórmula de Bhaskara para resolver a equação 5 ² –5 + 1 = 0.
Demonstre seu raciocínio.
53. 53
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
Avaliação
de unidade
Avaliação
da unidade
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20
Grau
1. Este gráfico representa o salto
de um filhote de canguru. A variável
representa a distância horizontal
do salto, em metros, e o eixo
representa a altura do salto,
em metros. A equação da
parábola que o representa é
= – 0,25x² + 0,5x.
a) Quantas soluções tem quando = 0? Por que isso faz sentido quando estamos
descrevendo o salto de um canguru?_____________________________________________
_____________________________________________________________________________
b) Qual(is) o(s) valor(es) de quando = 0?___________________
c) Qual foi a distância do salto?______________________________
d) Qual foi a altura do salto? ________________________________
2. Resolva a equação do 20
grau 0 = m² – 81.
Demonstre seu raciocínio.
3. Resolva a equação 20
grau 0 = s (s – 99).
Demonstre seu raciocínio.
4. Para usar o método de completar o quadrado para resolver a equação do 20
grau na
forma ² + b = c, que termo deve ser somado nos dois lados da equação?
_____________________________________________________________________________
5. Use o método de completar o quadrado para resolver a equação a ² + 18 – 19 = 0.
Demonstre seu raciocínio.
�1 1 2 3
–0,5
–0,75
–1
1
0,75
0,5
0
0,25
–0,25
54. 54
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
Avaliação
de unidade
Avaliação
da unidade
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20
Grau
6. Use a fórmula do 20
grau para resolver a equação 0 = ² + 7 + 5.
Demonstre seu raciocínio.
7. O que o discriminante informa sobre as soluções de uma equação do 20
grau?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
8. Calcule o discriminante de cada uma das equações do 20
grau a seguir e, depois,
descreva a natureza das soluções.
Equação Discriminante Natureza das soluções
a) 5 ² + 6 + 5 = 0
b) 6 ² + 6 + 7 = 0
c) 2 ² + 8 + 2 = 0
d) 8 ² + 3 – 4 = 0
9. Quais das equações a seguir correspondem a parábolas com exatamente uma
intersecção em ? Circule-as.
a) = 5 ² + 10 + 5
b) = 0,25 ² + 2 + 4
c) = 4 ² + 3 + 4
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Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
InvestigandoInvestigando
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20
Grau
O movimento uniformemente acelerado
1. A gravidade afeta todos os objetos em queda. A equação h = 1
2
gt² + c representa a
posição de um objeto em queda, onde as variáveis t e h representam o tempo, medido
em segundos, e a distância percorrida na queda, medida em metros. As constantes da
equação são g e c, onde g é a aceleração constante, – 9,8m/s², e c é a altura da qual
o objeto caiu.
a) Suponha que um pedregulho cai do topo de um penhasco de 60 m de altura. Que
equação você pode escrever para representar a queda do pedregulho em termos de t e h?
h =________ t² + _______
b) Use a equação da questão anterior e complete a tabela a seguir. Arredonde os
valores de h para o número inteiro mais próximo.
t 0 1 2 3 4
h
c) Entre quais dois valores de t o pedregulho atingirá o solo? Explique.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
d) Nos eixos ao lado, marque os
pontos calculados para a tabela do
item b e desenhe a parábola que
representa a queda do pedregulho.
e) Qual foi a altura máxima, em
metros, do pedregulho?
_________________________________
f) Calcule o valor de t, para o décimo mais próximo, quando o pedregulho atingiu o solo.
Demonstre seu raciocínio.
1 2 3 40
20
40
60
h
t
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InvestigandoInvestigando
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20
Grau
2. Dois meninos, João e Marcos, estão sobre uma plataforma e atiram bolas para ver quem
consegue jogá-las mais longe. A equação que representa a trajetória da bola arremessada
por João é = 0,2 ² + + 2. A equação que representa a trajetória da bola arremessada
por Marcos é = 0,25 ² + 1,18 + 2. Em cada equação, representa a distância
horizontal entre a bola e um menino e representa a altura da bola acima do solo.
a) Qual é a altura inicial da bola arremessada pelos meninos?
João: __________________ Marcos: ________________
b) Use as duas equações acima e, para cada valor de , calcule os valores de
João
e Marcos
, arredondados para o décimo mais próximo.
0 1 3 5 6 7
João
Marcos
c) Marque os pontos calculados para tabela e desenhe a trajetória de cada bola.
d) Use o gráfico e informe qual menino
arremessou a bola mais alto._____________
e) Use o gráfico e aproxime a
distância horizontal a que cada jogador
arremessou a bola.
João: __________________
Marcos: ________________
f) Use a fórmula de Bhaskara e calcule, no espaço abaixo, a maior distância percorrida
pela bola. Arredonde a resposta para o décimo mais próximo.
1 2 3 4 5 60
2
1
4
3
57. 57
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____
Vamos
registrar
Vamos
registrar
Palavras-chave:
Equação irracional
Falsa raiz
Objetivos de
aprendizagem:
Reconhecer e
resolver uma equação
irracional simples.
Determinar se
uma equação
irracional tem
uma solução real.
Resolver uma
equação irracional
algebricamente.
Determinar se uma
equação irracional
tem uma falsa raiz.
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 1: equações irracionais e Função raiz quaDraDa – sequência 1: resolvenDo equações irracionais
Faça estas atividades enquanto
interage com o Tutorial
1. ____________________________________ é uma equação em que uma variável
está dentro do radical.
2. Se a e b são números reais e a = b, então ____________________.
3. A ____________________ de um número pode ser representada por um
expoente igual a ___________.
4. Outra forma de resolver uma equação irracional é reescrever a expressão
utilizando o expoente 1
2
; depois, elevar ao _________________ ambos os lados
da equação.
5. Explique como o gráfico do sistema de equações = e = 2 pode ser
utilizado para verificar a solução da equação irracional = 2. _______________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
6. ____________________________ é uma solução da equação irracional elevada
ao quadrado, mas que não é uma solução da equação irracional inicial.
7. Escreva na forma exponencial: =_________, se ≥ 0.
8. “Uma equação irracional pode não ter solução, ter uma solução ou duas
soluções.” Essa afirmação é ________________.
9. Devemos sempre conferir as soluções de uma equação irracional, para não
incluir __________________________ no conjunto solução da equação irracional.
58. 58
Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato.
Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____
Agora é
sua vez!
Agora é
sua vez!
Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 4: Expressões Algébricas e Funções Polinomiais – Unidade 1: Equações Irracionais e Função Raiz Quadrada – Sequência 1: Resolvendo Equações Irracionais
1. Calcule o valor de na equação = 5.
_____________________________________________________________________________
2. Faz sentido tentar resolver a equação irracional m = – 49? Explique.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3. Calcule o valor de r e verifique o resultado da equação r – 5 – 8 = 0.
Demonstre seu raciocínio.
4. Considere as funções = + 2 e = .
a) Crie uma escala e construa o gráfico das duas
funções no mesmo plano cartesiano. De acordo com
o gráfico, quantas soluções você espera para a
equação + 2 = ? __________________________
b) Resolva a equação irracional + 2 =
e demonstre seu raciocínio.
c) Qual é a solução da equação + 2 = ? ____________________
d) Qual é a falsa raiz (caso haja uma)?____________________________
� �
��
�
59. 59
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Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____
Vamos
registrar
Vamos
registrar
Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 1: equações irracionais e Função raiz quaDraDa – sequência 2: a inversa Da Função raiz quaDraDa
Faça estas atividades enquanto
interage com o Tutorial
1. Função ___________________ é uma função em que cada valor de no contradomínio
corresponde a um e somente um valor de no domínio da função.
2. A função __________________________ é obtida pela inversão de duas variáveis
da função bijetora.
3. Quando você faz a ____________________ das variáveis de uma função bijetora,
a relação obtida também é uma _______________, que é a _______________ da
função inicial.
4. A inversa de f( ) é representada pela notação ________. Lê-se “função
inversa de .”
5. Se f( ) = , então o domínio de f –1
( ) é a ______________ da função f( ).
6. Se f( ) = , então a imagem de f –1
( ) é o ______________ de f( ).
7. A equação da reta de simetria de uma função bijetora e sua função inversa é
_______________.
8. A inversa da função = ² não é uma _______________, porque, para cada valor
não nulo de , há _______ valores correspondentes para .
9. A relação entre os pontos ( , ) no gráfico da inversa de = ² é
________________.
10.Você pode investigar a inversa de uma função que não é bijetora restringindo
seu ________________.
variáveis
Quando você faz a ____________________ das variáveis de uma função bijetora,
_______________, que é a _______________ da
Palavras-chave:
Função inversa
Função bijetora
Objetivos de
aprendizagem:
Representar
graficamente a
inversa de uma função
irracional e determinar
esta equação.
Determinar a equação
da reta de simetria
entre uma função
irracional e sua função
inversa.
Verificar a função
inversa de uma
parábola restringindo
seu domínio.