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Edson Júnio dos Santos
Novas Tecnologias no Ensino da Matemática – UFF - 2012
Definições:
        O estudo das funções é importante, uma
vez que elas podem ser aplicadas em diferentes
circunstâncias: nas engenharias, no cálculo
estatístico de animais em extinção, etc.
          O significado de função é intrínseco à
matemática, permanecendo o mesmo para
qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2°
grau, ou uma função exponencial ou
logarítmica. Portanto, a função é utilizada para
relacionar valores numéricos de uma
determinada expressão algébrica de acordo com
cada valor que a variável x assume.
Ferramentas para compreensão

 Para melhor entendimento de funções sugerimos que
  assista aos vídeos postados nos links abaixo que
  facilitaram o aprendizado sobre funções.

MUITO PRAZER SOU A PARÁBOLA
http://www.youtube.com/watch?v=_JFDFyw3llc&feature=related


 MARIO BROS e as parábolas
http://www.youtube.com/watch?v=E_0AHIaK48A&feature=fvwrel
Aplicações em problemas do cotidiano


      Em certa cidade os taxistas cobram R$2,50 a
bandeirada mais R$1,50 por quilômetro rodado. Como é
possível para um passageiro determinar o valor da corrida?
      Neste problema é fácil verificar que o valor da
corrida depende do número de quilômetros rodados. Para
resolvê-lo é necessário determinar, a partir dos dados
apresentados, a relação existente entre o preço (P) e o
número x de quilômetros rodados, que são as variáveis do
problema.
Numa primeira tentativa para obter esta relação
vamos construir uma tabela onde calculamos o
valor de P para alguns valores particulares de x.
Veja ao lado e complete as lacunas.

A partir desta tabela, você é capaz de deduzir a
relação que fornece o preço da corrida qualquer
que seja o número de quilômetros rodados?



                       x                             P
                       0                            2,5
                       1                             4
                       2
                      3,5
                       4                            8,5
                       n
                  Comprovar
Se você completou corretamente a
tabela anterior deve ter percebido que o
preço da corrida é determinado pela relação
P = 2,5 + 1,5 x. Esta relação define P como
uma função de x e permite calcular o preço
da corrida para qualquer número de
quilômetros rodados, mesmo para aqueles
valores de x que não constam da tabela
acima.
Utilize o software GraphMática para construir o gráfico da
tabela que você construiu para responder as questões abaixo:

Agora é com você

(e)Dentro do contexto do problema apresentado, qual o
domínio da função P.




(b) Qual a sua imagem?
CONSTRUÇÃO NO GRAPHMÁTICA
MUITO PRAZER FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
ANÁLISE DE CENÁRIO 2
           Um time de praia montou um campo de futebol de 100 m de
    comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu
    cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca        uma pista com 3 m de
    largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?

                                 3

                                      100

                            campo                            3
                  3                                   70


                                 pista           3
A área da região cercada é:
         (100 + 2 . 3) (70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8 056 m2


Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria:
          (100 + 2 . 4) (70 + 2 . 4) = 108 . 78 =8 424 m2

Observe que a cada largura x da pista, há uma área A(x) da região cercada. E
que o valor de A(x) é uma função de x dada pela expressão:
A(x) = (100 + 2x) (70 + 2x) =
     = 7 000 + 200x + 140x + 4 x2
     = 4 x2 + 340x + 7 000

Esse é um caso particular de função quadrática ou função polinomial do 2 º
grau.
Utilize o software GraphMática para
          construir o gráfico
Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2 º grau, qualquer
função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax2 +bx + c, em que a, b e c
são números reais e a ≠ 0.


                   Veja alguns exemplos de funções quadráticas:
      f(x) = 2 x2 + 3x + 5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5
      f(x) = 3 x2 - 4x + 1, sendo a = 3, b = - 4 e c = 1
      f(x) = x2 - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = - 1
      f(x) = - x2 + 2x, sendo a = - 1, b = 2 e c = 0
      f(x) = - 4 x2 , sendo a = - 4, b = 0 e c = 0
Experimente o objeto de aprendizagem em para exercitar a teoria

http://www.labvirt.fe.usp.br/simulacoes/fisica/sim_funcoes_parabola.htm
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola.


Vamos construir o gráfico da função quadrática dada por f(x) = x2 - 3x + 2
                                                  y




                                             4




                                             3




     x f(x                                   2




     -1 )6
                                             1



                                                                      x



      0 2                −4   −3   −2   −1            1   2   3   4       5




                                             −1


      1 0                                    −2



      2 0                                    −3



      3 2                                    −4
ZEROS OU RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA


  Zeros ou raízes da função quadrática f(x)= ax2 + bx + c são os valores de x para
os quais a função se anula, ou seja, f(x) = 0. Assim, os zeros da função quadrática
f(x)= ax2 +bx +c são as soluções da equação do 2º grau ax2 +bx + c = 0, as quais são
dadas pela fórmula:


                 x = - b ± √ b2 – 4ac
                            2a


  Vamos obter os zeros da função f(x) = x2 - 3x + 2.
  Temos a = 1, b = - 3 e c = 2
  Então, aplicando a fórmula, as raízes são:   x’ = 1 e x’’ = 2.
VÉRTICE DA PARÁBOLA


    O vértice da parábola, gráfico da função f(x)= ax2 + bx + c, tem
coordenadas xv = - b (abscissa) e yv = - ∆ (ordenada). Assim, o vértice
                   2a                   4a
da parábola é o ponto V - b , - ∆ .
                          2a 4a


  Se a > 0, o vértice é ponto de mínimo da função.
  Se a < 0, o vértice é ponto de máximo da função.
                                                  V(xv , yv)
                                                      ponto de máximo




               V(xv , yv)
           ponto de mínimo
AS ORIGENS DA PARÁBOLA


    Não há unanimidade sobre como a curva plana conhecida como parábola foi
introduzida na matemática. Segundo a versão mais difundida, ela teria surgido dos
esforços de Menaecmo (c. IV a.C.), um discípulo de Aristóteles (384-322 a.C.), para
resolver o chamado “problema deliano”, cuja origem é muito curiosa.
  Assolados por uma devastadora peste, os habitantes da ilha de Delos (os delianos)
recorreram aos préstimos de seu oráculo, que sugeriu , para afastar o mal, que eles
construíssem um altar cúbico cujo volume fosse o dobro do já existente consagrado
ao deus Apolo. E a parábola tem sua origem na busca dessa solução.
APLICAÇÕES DA PARÁBOLA
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Acesse o link abaixo:
      http://ensino.univates.br/~actogni/giragira/
Utilize o software GraphMática e construa todas
           as parábolas do Mario Bross.
BIBLIOGRAFIA:
DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática.
IEZZI, G.et al. (2004) Matemática: Ciência e Aplicações. 2ª Ed. São Paulo:
Atual

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Trabalho individual objetos de aprendizagem

  • 1. Edson Júnio dos Santos Novas Tecnologias no Ensino da Matemática – UFF - 2012
  • 2. Definições: O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc. O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função exponencial ou logarítmica. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.
  • 3. Ferramentas para compreensão  Para melhor entendimento de funções sugerimos que assista aos vídeos postados nos links abaixo que facilitaram o aprendizado sobre funções. MUITO PRAZER SOU A PARÁBOLA http://www.youtube.com/watch?v=_JFDFyw3llc&feature=related  MARIO BROS e as parábolas http://www.youtube.com/watch?v=E_0AHIaK48A&feature=fvwrel
  • 4. Aplicações em problemas do cotidiano Em certa cidade os taxistas cobram R$2,50 a bandeirada mais R$1,50 por quilômetro rodado. Como é possível para um passageiro determinar o valor da corrida? Neste problema é fácil verificar que o valor da corrida depende do número de quilômetros rodados. Para resolvê-lo é necessário determinar, a partir dos dados apresentados, a relação existente entre o preço (P) e o número x de quilômetros rodados, que são as variáveis do problema.
  • 5. Numa primeira tentativa para obter esta relação vamos construir uma tabela onde calculamos o valor de P para alguns valores particulares de x. Veja ao lado e complete as lacunas. A partir desta tabela, você é capaz de deduzir a relação que fornece o preço da corrida qualquer que seja o número de quilômetros rodados? x P 0 2,5 1 4 2 3,5 4 8,5 n Comprovar
  • 6. Se você completou corretamente a tabela anterior deve ter percebido que o preço da corrida é determinado pela relação P = 2,5 + 1,5 x. Esta relação define P como uma função de x e permite calcular o preço da corrida para qualquer número de quilômetros rodados, mesmo para aqueles valores de x que não constam da tabela acima.
  • 7. Utilize o software GraphMática para construir o gráfico da tabela que você construiu para responder as questões abaixo: Agora é com você (e)Dentro do contexto do problema apresentado, qual o domínio da função P. (b) Qual a sua imagem?
  • 9. MUITO PRAZER FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ANÁLISE DE CENÁRIO 2 Um time de praia montou um campo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com 3 m de largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca? 3 100 campo 3 3 70 pista 3
  • 10. A área da região cercada é: (100 + 2 . 3) (70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8 056 m2 Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria: (100 + 2 . 4) (70 + 2 . 4) = 108 . 78 =8 424 m2 Observe que a cada largura x da pista, há uma área A(x) da região cercada. E que o valor de A(x) é uma função de x dada pela expressão: A(x) = (100 + 2x) (70 + 2x) = = 7 000 + 200x + 140x + 4 x2 = 4 x2 + 340x + 7 000 Esse é um caso particular de função quadrática ou função polinomial do 2 º grau.
  • 11. Utilize o software GraphMática para construir o gráfico
  • 12. Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2 º grau, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax2 +bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. Veja alguns exemplos de funções quadráticas: f(x) = 2 x2 + 3x + 5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = 3 x2 - 4x + 1, sendo a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x2 - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = - 1 f(x) = - x2 + 2x, sendo a = - 1, b = 2 e c = 0 f(x) = - 4 x2 , sendo a = - 4, b = 0 e c = 0
  • 13. Experimente o objeto de aprendizagem em para exercitar a teoria http://www.labvirt.fe.usp.br/simulacoes/fisica/sim_funcoes_parabola.htm
  • 14. O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. Vamos construir o gráfico da função quadrática dada por f(x) = x2 - 3x + 2 y 4 3 x f(x 2 -1 )6 1 x 0 2 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 1 0 −2 2 0 −3 3 2 −4
  • 15. ZEROS OU RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Zeros ou raízes da função quadrática f(x)= ax2 + bx + c são os valores de x para os quais a função se anula, ou seja, f(x) = 0. Assim, os zeros da função quadrática f(x)= ax2 +bx +c são as soluções da equação do 2º grau ax2 +bx + c = 0, as quais são dadas pela fórmula: x = - b ± √ b2 – 4ac 2a Vamos obter os zeros da função f(x) = x2 - 3x + 2. Temos a = 1, b = - 3 e c = 2 Então, aplicando a fórmula, as raízes são: x’ = 1 e x’’ = 2.
  • 16. VÉRTICE DA PARÁBOLA O vértice da parábola, gráfico da função f(x)= ax2 + bx + c, tem coordenadas xv = - b (abscissa) e yv = - ∆ (ordenada). Assim, o vértice 2a 4a da parábola é o ponto V - b , - ∆ . 2a 4a Se a > 0, o vértice é ponto de mínimo da função. Se a < 0, o vértice é ponto de máximo da função. V(xv , yv) ponto de máximo V(xv , yv) ponto de mínimo
  • 17. AS ORIGENS DA PARÁBOLA Não há unanimidade sobre como a curva plana conhecida como parábola foi introduzida na matemática. Segundo a versão mais difundida, ela teria surgido dos esforços de Menaecmo (c. IV a.C.), um discípulo de Aristóteles (384-322 a.C.), para resolver o chamado “problema deliano”, cuja origem é muito curiosa. Assolados por uma devastadora peste, os habitantes da ilha de Delos (os delianos) recorreram aos préstimos de seu oráculo, que sugeriu , para afastar o mal, que eles construíssem um altar cúbico cujo volume fosse o dobro do já existente consagrado ao deus Apolo. E a parábola tem sua origem na busca dessa solução.
  • 19. APRIMORE SEUS CONHECIMENTOS Vivencie uma situação real em que você será o consultor da empresa para aumentar os lucros deste empreendimento. Construa gráficos, avalie o desempenho e viva a experiência de auxiliar um empresário a aumentar os seus lucros. Acesse o link abaixo: http://ensino.univates.br/~actogni/giragira/
  • 20. Utilize o software GraphMática e construa todas as parábolas do Mario Bross.
  • 21. BIBLIOGRAFIA: DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática. IEZZI, G.et al. (2004) Matemática: Ciência e Aplicações. 2ª Ed. São Paulo: Atual