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DERIVADA
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 O conceito de derivada
Introduziremos a ideia de derivada por meio de alguns problemas, cuja
solu¸c˜ao converge para o conceito de derivada.
O PROBLEMA DA TANGENTE
O problema da tangente consiste em determinar a inclina¸c˜ao da reta tan-
gente `a curva de uma fun¸c˜ao f em um ponto A. A reta tangente do ponto
A ´e aquela que intercepta a curva da fun¸c˜ao, nas proximidades do ponto,
apenas no ponto A.
No gr´afico ilustrado a seguir, a reta tangente `a curva da fun¸c˜ao no ponto
A est´a mostrada em vermelho. Na ilustra¸c˜ao, as coordenadas do ponto A
s˜ao (a, f(a)).
1
Podemos tomar um ponto B, diferente do ponto A, sobre a curva da
fun¸c˜ao, de coordenadas (x, f(x)) ou (a + h, f(a + h)), tomando x = a + h.
Os pontos A e B formam um triˆangulo retˆangulo cujo cateto oposto ´e ∆f =
f(x) − f(a) e o cateto adjacente ´e x − a ou h.
A inclina¸c˜ao do segmento de reta AB ´e dada por
mAB =
∆f
x − a
=
f(x) − f(a)
x − a
=
f(a + h) − f(a)
h
Observe que ao tomar o ponto B cada vez mais pr´oximo do ponto A, o
segmento de reta AB aproxima-se da inclina¸c˜ao da reta tangente do ponto
A, ou seja,
m = lim
B→A
mAB
e m ´e a inclina¸c˜ao da reta tangente.
Quando B → A temos x → a ou h → 0. Assim, podemos obter as duas
formula¸c˜oes da inclina¸c˜ao da reta tangente:
m = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
ou
m = lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
desde que estes limites existam.
Assim, a equa¸c˜ao da reta tangente ao ponto (a, f(a)) ´e dada por
y − f(a) = m(x − a) ou y = m(x − a) + f(a)
EXEMPLO
Seja f(x) = 3
x
. Queremos determinar a inclina¸c˜ao da reta tangente e a
equa¸c˜ao da reta tangente que passa pelo ponto (3, 1). Ent˜ao,
m = lim
h→0
f(3 + h) − f(3)
h
= lim
h→0
3
3+h
− 1
h
= lim
h→0
3−3−h
3+h
h
= lim
h→0
−h
(3 + h)h
=
lim
h→0
−1
3 + h
= −
1
3
2
e a equa¸c˜ao da reta tangente `a fun¸c˜ao no ponto (3, 1) fica
y − 1 = −
1
3
(x − 3)
y = −
x
3
+ 2
O gr´afico da fun¸c˜ao e da reta tangente ´e mostrado na figura a seguir.
Observe que a inclina¸c˜ao ´e negativa, portanto a reta tangente indica que
a fun¸c˜ao ´e decrescente neste ponto.
O PROBLEMA DA VELOCIDADE
Imaginemos um ve´ıculo movimentando-se em uma via reta, assumindo
diferentes velocidades ao longo do trajeto.
3
Vamos supor que existe uma fun¸c˜ao f que determina, para cada instante
no tempo (por exemplo, em segundos), a posi¸c˜ao do ve´ıculo na via (por
exemplo, em metros),
y = f(t)
onde t ´e o tempo em segundos e y ´e a posi¸c˜ao na via em metros.
Sabemos que a velocidade m´edia de um corpo ´e dada pela raz˜ao entre o
deslocamento no espa¸co e o tempo transcorrido:
velocidade m´edia =
deslocamento no espa¸co
tempo transcorrido
Consideremos o deslocamento ocorrido entre os instantes de tempo t1 e
t2. Neste caso, a velocidade m´edia neste segmento do trajeto ´e
velocidade m´edia =
f(t2) − f(t1)
t2 − t1
Assumindo t2 = t1 + ∆t,
velocidade m´edia =
f(t1 + ∆t) − f(t1)
∆t
Mas esta velocidade ´e uma velocidade m´edia em um determinado seg-
mento do trajeto. Estamos interessados na velocidade instantˆanea v em um
determinado momento t1 do tempo. Isso pode ser obtido quando tomamos o
limite de t2 → t1 ou ∆t → 0,
v(t1) = lim
∆t→0
f(t1 + ∆t) − f(t1)
∆t
que ´e a inclina¸c˜ao da reta tangente `a curva da fun¸c˜ao f no instante t1.
EXEMPLO
Suponha uma bola abandonada no alto de uma torre de 300m de altura.
Qual sua velocidade ap´os 5s?
y = f(t) = 4, 9t2
v(5) = lim
h→0
f(5 + h) − f(5)
h
= lim
h→0
4, 9(5 + h)2
− 4, 9.52
h
=
lim
h→0
4, 9(52
+ 10h + h2
− 52
)
h
= lim
h→0
4, 9h(10 + h)
h
=
lim
h→0
[4, 9(10 + h)] = 4, 9.10 = 49 m/s
4
TAXAS DE VARIAC¸ ˜AO
Suponha uma quantidade que varie dependendo de outra quantidade. E-
xemplos disso s˜ao in´umeros:
• Pensemos na economia. Ent˜ao, d´ıvida p´ublica, desemprego, infla¸c˜ao,
PIB, s˜ao parˆametros que dependem uns dos outros.
• Uma popula¸c˜ao de bact´erias em um habitat, com rela¸c˜ao `a tempera-
tura. Espera-se que quanto maior a temperatura, maior a popula¸c˜ao
de bact´erias.
• Ocorrˆencia de doen¸cas endˆemicas, com rela¸c˜ao `a renda m´edia da po-
pula¸c˜ao que vive em uma determinada regi˜ao. Havendo aumento da
renda m´edia, h´a redu¸c˜ao na ocorrˆencia destas doen¸cas endˆemicas na
popula¸c˜ao.
Assumimos que temos uma fun¸c˜ao f que relaciona as duas quantidades
x e y, y = f(x). Consideremos os incrementos (ou varia¸c˜oes) de x e y:
∆x = x2 − x1
e
∆y = y2 − y1 = f(x2) − f(x1)
Entender o quanto uma quantidade varia em rela¸c˜ao `a varia¸c˜ao de outra
quantidade pode ser muito importante. Podemos definir a varia¸c˜ao m´edia de
y em rela¸c˜ao a x:
∆y
∆x
=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
Queremos determinar a taxa de varia¸c˜ao instantˆanea de y em rela¸c˜ao a
x, que ´e a inclina¸c˜ao da reta tangente da curva da fun¸c˜ao f:
taxa instantˆanea = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
x2→x1
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
5
2 Defini¸c˜ao de derivada
A solu¸c˜ao dos problemas apresentados na se¸c˜ao anterior converge para o
conceito de derivada.
A derivada de uma fun¸c˜ao f em um n´umero a, denotada por f (a), ´e
definida como:
f (a) = lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
ou
f (a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
desde que o limite exista.
EXEMPLOS
A) Encontre a derivada da fun¸c˜ao f(x) = x2
− 8x + 9 no n´umero a = 5.
Obtenha a equa¸c˜ao da reta tangente `a fun¸c˜ao f no mesmo ponto a.
f (a) = lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
= lim
h→0
(a + h)2
− 8(a + h) + 9 − a2
+ 8a − 9
h
=
lim
h→0
a2
+ 2ah + h2
− 8a − 8h + 9 − a2
+ 8a − 9
h
= lim
h→0
h2
+ 2ah − 8h
h
=
lim
h→0
(h + 2a − 8) = 2a − 8
Ent˜ao, f (5) = 2.5 − 8 = 2.
A equa¸c˜ao da reta tangente ao ponto a = 5 ´e dada por:
y − f(a) = f (a)(x − a)
f(5) = −6
y − (−6) = 2(x − 5)
y = 2x − 16
6
B) Determine a derivada da fun¸c˜ao g(x) =
√
x no n´umero a = 4. Deter-
mine tamb´em a equa¸c˜ao da reta tangente a este ponto.
g (a) = lim
h→0
√
a + h −
√
a
h
= lim
h→0
√
a + h −
√
a
h
√
a + h +
√
a
√
a + h +
√
a
=
lim
h→0
a + h − a
h(
√
a + h +
√
a)
= lim
h→0
1
√
a + h +
√
a
=
1
2
√
a
Ent˜ao g (4) = 1/4
A equa¸c˜ao da reta tangente `a curva da fun¸c˜ao g no ponto a = 4 ´e:
y − g(a) = g (a)(x − a)
y − 2 =
1
4
(x − 4)
y =
x
4
+ 1
C) Seja f(x) = x−1
x+1
. Determine a derivada da fun¸c˜ao em a = 2. Apresente
tamb´em a equa¸c˜ao da reta tangente a este ponto.
f (a) = lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
= lim
h→0
a+h−1
a+h+1
− a−1
a+1
h
=
lim
h→0
(a+1)(a+h−1)−(a+h+1)(a−1))
(a+h+1)(a+1)
h
=
lim
h→0
a2
+ ah − a + a + h − 1 − (a2
− a + ah − h + a − 1)
(a + h + 1)(a + 1)h
=
lim
h→0
a2
+ ah + h − 1 − a2
− ah + h + 1
(a + h + 1)(a + 1)h
= lim
h→0
2h
(a + h + 1)(a + 1)h
=
lim
h→0
2
(a + h + 1)(a + 1)
=
2
(a + 1)2
=
2
(2 + 1)2
=
2
32
=
2
9
Como f(2) = 2−1
2+1
= 1
3
, a reta tangente ao ponto (2, 1/3) ´e
y −
1
3
=
2
9
(x − 2)
y =
2
9
x −
1
9
7
D) Determine a derivada de f(x) = 1
x+1
em a = 3, usando a seguinte
formula¸c˜ao para o c´alculo de derivadas:
f (a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
f (a) = lim
x→a
1
x+1
− 1
a+1
x − a
= lim
x→a
a+1−(x+1)
(x+1)(a+1)
x − a
= lim
x→a
a − x
(x + 1)(a + 1)(x − a)
=
lim
x→a
−
x − a
(x + 1)(a + 1)(x − a)
= lim
x→a
−
1
(x + 1)(a + 1)
= −
1
(a + 1)2
=
−
1
(3 + 1)2
= −
1
16
3 A derivada como uma fun¸c˜ao
Podemos mudar nosso ponto de vista e considerar, n˜ao a derivada em um
n´umero a, mas a derivada como uma fun¸c˜ao:
f (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
f ´e denominada de derivada de f.
EXEMPLOS
A) Seja a fun¸c˜ao f(x) = x3
− x. Determine f e compare os gr´aficos de f
e f .
f (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)3
− (x + h) − x3
+ x
h
=
lim
h→0
x3
+ 3hx2
+ 3h2
x + h3
− x − h − x3
+ x
h
=
lim
h→0
3hx2
+ 3h2
x + h3
− h
h
= lim
h→0
(3x2
+ 3hx + h2
− 1) = 3x2
− 1
8
Os gr´aficos de f e f s˜ao mostrados na figura.
Cor verde fun¸c˜ao f
Cor vermelha derivada f
Observe que o gr´afico de f reflete a inclina¸c˜ao da curva do gr´afico de f.
No intervalo de valores x que vai de −∞ at´e o ponto B, a fun¸c˜ao f (em verde)
´e crescente e a derivada f (em vermelho) ´e positiva. No ponto B, onde f
anula-se, ocorre uma inflex˜ao. Entre o ponto B e o ponto C, f ´e decrescente
e f ´e negativa. No ponto C, onde f anula-se, f apresenta uma inflex˜ao e
passa a ser crescente at´e +∞, e neste intervalo f volta a ser positiva.
Estes resultados podem ser resumidos da seguinte maneira (formalizare-
mos este assunto mais adiante na disciplina):
• Onde a derivada f ´e negativa, a fun¸c˜ao f ´e decrescente
• Onde a derivada f ´e positiva, a fun¸c˜ao f ´e crescente
• Nos pontos em que f anula-se, f apresenta uma inflex˜ao (f apresenta
uma concavidade com um valor m´aximo ou um valor m´ınimo local).
Nestes pontos em que a derivada anula-se, a reta tangente `a fun¸c˜ao ´e
horizontal, uma reta paralela ao eixo x.
9
B) Determine a derivada de g(x) = 1√
x
.
g (x) = lim
h→0
g(x + h) − g(x)
h
= lim
h→0
1√
x+h
− 1√
x
h
= lim
h→0
√
x−
√
x+h
√
x+h
√
x
h
=
lim
h→0
√
x −
√
x + h
h
√
x + h
√
x
√
x +
√
x + h
√
x +
√
x + h
=
lim
h→0
x − (x + h)
h
√
x + h
√
x(
√
x +
√
x + h)
=
lim
h→0
−h
h
√
x + h
√
x(
√
x +
√
x + h)
=
lim
h→0
−
1
√
x + h
√
x(
√
x +
√
x + h)
= −
1
2x
√
x
C) Determine a derivada de f(x) = x +
√
x.
f (x) = lim
h→0
x + h +
√
x + h − (x +
√
x)
h
= lim
h→0
h +
√
x + h −
√
x
h
=
lim
h→0
1 +
√
x + h −
√
x
h
= 1 + lim
h→0
√
x + h −
√
x
h
=
1 + lim
h→0
√
x + h −
√
x
h
√
x + h +
√
x
√
x + h +
√
x
=
1 + lim
h→0
x + h − x
h(
√
x + h +
√
x)
= 1 + lim
h→0
h
h(
√
x + h +
√
x)
=
1 + lim
h→0
1
√
x + h +
√
x
= 1 +
1
2
√
x
10
4 Nota¸c˜ao usada para representar derivadas
Seja y = f(x) uma fun¸c˜ao. Ent˜ao s˜ao nota¸c˜oes v´alidas para representar
a derivada de f:
1. y
2. f (x)
3. dy
dx
4. d
dx
f(x)
5. Df(x)
6. Dxf(x)
A derivada pode ser entendida como uma opera¸c˜ao que transforma uma
fun¸c˜ao em outra. Esta opera¸c˜ao ´e chamada de diferencia¸c˜ao e o c´alculo
toma o nome de c´alculo diferencial. D e d
dx
s˜ao chamados de operadores
diferenciais.
H´a uma grande vantagem nos operadores que tornam expl´ıcita a vari´avel
em rela¸c˜ao `a qual ser´a feita a opera¸c˜ao, como d
dx
e Dx, e isso fica evidente
em fun¸c˜oes com mais de uma vari´avel.
A nota¸c˜ao dy
dx
´e muito interessante e proveitosa quando usamos derivadas
para expressar taxas de varia¸c˜ao, basta ver que:
dy
dx
= lim
∆x→0
∆y
∆x
mas n˜ao devemos ser tentados a imaginar o operador d/dx como uma raz˜ao
ou fra¸c˜ao. ∆y/∆x ´e uma fra¸c˜ao de duas varia¸c˜oes, mas d/dx ´e um operador
diferencial.
5 Condi¸c˜ao para uma fun¸c˜ao ser diferenci´avel
Uma fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel ou deriv´avel em a se f (a) existir. Uma
fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em um intervalo aberto (u, v) se for diferenci´avel em
cada ponto deste intervalo. Essa defini¸c˜ao tamb´em vale para os intervalos
(u, +∞), (−∞, u) e (−∞, +∞) = R.
Como um exemplo, vamos analisar a fun¸c˜ao f(x) = |x|.
Lembremos da defini¸c˜ao de valor absoluto:
|x| =
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Vamos inicialmente desconsiderar o valor a = 0 do dom´ınio de f e analisar
a diferenciabilidade para R − {0}.
11
• Iniciemos analisando f para x < 0
lim
h→0
|x + h| − |x|
h
= lim
h→0
−(x + h) − (−x)
h
= lim
h→0
−x − h + x
h
=
lim
h→0
−h
h
= −1
desde que h seja suficientemente pequeno para que x+h < 0, e portanto
|x + h| = −(x + h).
• Agora vamos analisar a diferenciabilidade de f para x > 0
lim
h→0
|x + h| − |x|
h
= lim
h→0
x + h − x
h
= lim
h→0
h
h
= 1
desde que h seja suficientemente pequeno para que x+h > 0, e portanto
|x + h| = x + h.
Isso significa que a fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel nos intervalos (−∞, 0) e
(0, +∞), mas ainda h´a a necessidade de analisar a diferenciabilidade de f
para o n´umero a = 0. Ser´a que esta fun¸c˜ao ´e diferenci´avel em a = 0?
Para isso devemos verificar se este limite existe para a = 0:
lim
h→0
|a + h| − |a|
h
• Assim, vamos come¸car pelo limite lateral esquerdo. Neste caso, x < 0
e o limite fica
lim
h→0−
|0 + h| − |0|
h
= lim
h→0−
−(0 + h) − 0
h
= lim
h→0−
−h
h
= −1
• O limite lateral direito, com x > 0, fica
lim
h→0+
|0 + h| − |0|
h
= lim
h→0+
0 + h − 0
h
= lim
h→0+
h
h
= 1
Logo, como os limites laterais s˜ao diferentes, o limite pontual n˜ao existe
e a fun¸c˜ao n˜ao ´e diferenci´avel em a = 0. Assim, a fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel
em R − {0}.
12
CONDIC¸ ˜OES DE DIFERENCIABILIDADE
Teorema: Se uma fun¸c˜ao f for diferenci´avel (deriv´avel) em a, ent˜ao f ´e
cont´ınua em a.
Assim, podemos definir as seguintes condi¸c˜oes para determinar que uma
fun¸c˜ao f n˜ao ´e diferenci´avel em um n´umero a:
1. O teorema nos diz que se f apresenta descontinuidade em a, ent˜ao f
n˜ao ´e diferenci´avel em a.
2. Se o gr´afico da fun¸c˜ao f possuir uma “dobra” em a, n˜ao existir´a tan-
gente neste ponto e a fun¸c˜ao n˜ao ser´a diferenci´avel. Por exemplo,
f(x) = |x|, que apresenta uma dobra em a = 0, como mostra o gr´afico
a seguir.
3. Se existir uma reta tangente vertical em x = a, ou seja,
lim
x→a
|f (x)| = ∞
ent˜ao f n˜ao ´e diferenci´avel em a.
EXEMPLOS
A) Seja a fun¸c˜ao
f(x) =



−x se x ≤ −1
5 − x2
se − 1 < x ≤ 2
2x − 3 se 2 < x < 3
5 se x = 3
2x − 3 se x > 3
cujo gr´afico ´e mostrado na seguinte figura.
13
A fun¸c˜ao possui descontinuidades nos n´umeros x = −1 e x = 3. Al´em
disto, ela possui uma “dobra” em x = 2. Assim, pelos quesitos 1 e 2 das
condi¸c˜oes de diferenciabilidade, a fun¸c˜ao n˜ao ´e diferenci´avel nos n´umeros
{−1, 2, 3}.
B) Seja a fun¸c˜ao f(x) = 3
√
x, em a = 0.
f (0) = lim
x→0
f(x) − f(0)
x − 0
= lim
x→0
3
√
x − 3
√
0
x
= lim
x→0
x1/3
x
= lim
x→0
1
x2/3
= +∞
Logo, a fun¸c˜ao n˜ao ´e diferenci´avel em a = 0 pelo quesito 3 das condi¸c˜oes
de diferenciabilidade.
Observe no gr´afico a seguir como a fun¸c˜ao apresenta tangente com in-
clina¸c˜ao infinita na origem.
14
6 Derivadas de ordem mais alta
Se f for diferenci´avel, ent˜ao sua derivada f ´e uma fun¸c˜ao que tamb´em
pode ter sua pr´opria derivada, chamada de segunda derivada ou derivada de
ordem dois de f.
d
dx
dy
dx
=
d2
y
dx2
f (x) = (f ) (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Retornando ao problema da velocidade, a segunda derivada da fun¸c˜ao
f, que relaciona momentos do tempo em posi¸c˜oes de um corpo no espa¸co,
representa a acelera¸c˜ao, a varia¸c˜ao da velocidade, que ´e dada pela fun¸c˜ao v,
v(t) =
d
dt
f(t)
a =
d
dt
v(t) =
d2
dt2
f(t)
A terceira derivada de f ´e a derivada da segunda derivada,
f (x) =
d
dx
d2
dx2
f(x) =
d3
dx3
f(x)
15
No caso do problema da velocidade, a terceira derivada representa o so-
lavanco ou sacudida, que ´e a varia¸c˜ao da acelera¸c˜ao em rela¸c˜ao ao tempo.
EXEMPLO
Seja f(x) = 3x2
+ 1. Determine f e f .
f (x) = lim
h→0
3(x + h)2
+ 1 − (3x2
+ 1)
h
=
lim
h→0
3(x2
+ 2hx + h2
) + 1 − 3x2
− 1
h
= lim
h→0
3x2
+ 6hx + 3h2
− 3x2
h
=
lim
h→0
6hx + 3h2
h
= lim
h→0
(6x + 3h) = 6x
f (x) = lim
h→0
6(x + h) − 6x
h
= lim
h→0
6x + 6h − 6x
h
= lim
h→0
6h
h
= 6
16

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Derivada

  • 1. DERIVADA Prof. Dr. Carlos A. P. Campani 1 O conceito de derivada Introduziremos a ideia de derivada por meio de alguns problemas, cuja solu¸c˜ao converge para o conceito de derivada. O PROBLEMA DA TANGENTE O problema da tangente consiste em determinar a inclina¸c˜ao da reta tan- gente `a curva de uma fun¸c˜ao f em um ponto A. A reta tangente do ponto A ´e aquela que intercepta a curva da fun¸c˜ao, nas proximidades do ponto, apenas no ponto A. No gr´afico ilustrado a seguir, a reta tangente `a curva da fun¸c˜ao no ponto A est´a mostrada em vermelho. Na ilustra¸c˜ao, as coordenadas do ponto A s˜ao (a, f(a)). 1
  • 2. Podemos tomar um ponto B, diferente do ponto A, sobre a curva da fun¸c˜ao, de coordenadas (x, f(x)) ou (a + h, f(a + h)), tomando x = a + h. Os pontos A e B formam um triˆangulo retˆangulo cujo cateto oposto ´e ∆f = f(x) − f(a) e o cateto adjacente ´e x − a ou h. A inclina¸c˜ao do segmento de reta AB ´e dada por mAB = ∆f x − a = f(x) − f(a) x − a = f(a + h) − f(a) h Observe que ao tomar o ponto B cada vez mais pr´oximo do ponto A, o segmento de reta AB aproxima-se da inclina¸c˜ao da reta tangente do ponto A, ou seja, m = lim B→A mAB e m ´e a inclina¸c˜ao da reta tangente. Quando B → A temos x → a ou h → 0. Assim, podemos obter as duas formula¸c˜oes da inclina¸c˜ao da reta tangente: m = lim x→a f(x) − f(a) x − a ou m = lim h→0 f(a + h) − f(a) h desde que estes limites existam. Assim, a equa¸c˜ao da reta tangente ao ponto (a, f(a)) ´e dada por y − f(a) = m(x − a) ou y = m(x − a) + f(a) EXEMPLO Seja f(x) = 3 x . Queremos determinar a inclina¸c˜ao da reta tangente e a equa¸c˜ao da reta tangente que passa pelo ponto (3, 1). Ent˜ao, m = lim h→0 f(3 + h) − f(3) h = lim h→0 3 3+h − 1 h = lim h→0 3−3−h 3+h h = lim h→0 −h (3 + h)h = lim h→0 −1 3 + h = − 1 3 2
  • 3. e a equa¸c˜ao da reta tangente `a fun¸c˜ao no ponto (3, 1) fica y − 1 = − 1 3 (x − 3) y = − x 3 + 2 O gr´afico da fun¸c˜ao e da reta tangente ´e mostrado na figura a seguir. Observe que a inclina¸c˜ao ´e negativa, portanto a reta tangente indica que a fun¸c˜ao ´e decrescente neste ponto. O PROBLEMA DA VELOCIDADE Imaginemos um ve´ıculo movimentando-se em uma via reta, assumindo diferentes velocidades ao longo do trajeto. 3
  • 4. Vamos supor que existe uma fun¸c˜ao f que determina, para cada instante no tempo (por exemplo, em segundos), a posi¸c˜ao do ve´ıculo na via (por exemplo, em metros), y = f(t) onde t ´e o tempo em segundos e y ´e a posi¸c˜ao na via em metros. Sabemos que a velocidade m´edia de um corpo ´e dada pela raz˜ao entre o deslocamento no espa¸co e o tempo transcorrido: velocidade m´edia = deslocamento no espa¸co tempo transcorrido Consideremos o deslocamento ocorrido entre os instantes de tempo t1 e t2. Neste caso, a velocidade m´edia neste segmento do trajeto ´e velocidade m´edia = f(t2) − f(t1) t2 − t1 Assumindo t2 = t1 + ∆t, velocidade m´edia = f(t1 + ∆t) − f(t1) ∆t Mas esta velocidade ´e uma velocidade m´edia em um determinado seg- mento do trajeto. Estamos interessados na velocidade instantˆanea v em um determinado momento t1 do tempo. Isso pode ser obtido quando tomamos o limite de t2 → t1 ou ∆t → 0, v(t1) = lim ∆t→0 f(t1 + ∆t) − f(t1) ∆t que ´e a inclina¸c˜ao da reta tangente `a curva da fun¸c˜ao f no instante t1. EXEMPLO Suponha uma bola abandonada no alto de uma torre de 300m de altura. Qual sua velocidade ap´os 5s? y = f(t) = 4, 9t2 v(5) = lim h→0 f(5 + h) − f(5) h = lim h→0 4, 9(5 + h)2 − 4, 9.52 h = lim h→0 4, 9(52 + 10h + h2 − 52 ) h = lim h→0 4, 9h(10 + h) h = lim h→0 [4, 9(10 + h)] = 4, 9.10 = 49 m/s 4
  • 5. TAXAS DE VARIAC¸ ˜AO Suponha uma quantidade que varie dependendo de outra quantidade. E- xemplos disso s˜ao in´umeros: • Pensemos na economia. Ent˜ao, d´ıvida p´ublica, desemprego, infla¸c˜ao, PIB, s˜ao parˆametros que dependem uns dos outros. • Uma popula¸c˜ao de bact´erias em um habitat, com rela¸c˜ao `a tempera- tura. Espera-se que quanto maior a temperatura, maior a popula¸c˜ao de bact´erias. • Ocorrˆencia de doen¸cas endˆemicas, com rela¸c˜ao `a renda m´edia da po- pula¸c˜ao que vive em uma determinada regi˜ao. Havendo aumento da renda m´edia, h´a redu¸c˜ao na ocorrˆencia destas doen¸cas endˆemicas na popula¸c˜ao. Assumimos que temos uma fun¸c˜ao f que relaciona as duas quantidades x e y, y = f(x). Consideremos os incrementos (ou varia¸c˜oes) de x e y: ∆x = x2 − x1 e ∆y = y2 − y1 = f(x2) − f(x1) Entender o quanto uma quantidade varia em rela¸c˜ao `a varia¸c˜ao de outra quantidade pode ser muito importante. Podemos definir a varia¸c˜ao m´edia de y em rela¸c˜ao a x: ∆y ∆x = f(x2) − f(x1) x2 − x1 Queremos determinar a taxa de varia¸c˜ao instantˆanea de y em rela¸c˜ao a x, que ´e a inclina¸c˜ao da reta tangente da curva da fun¸c˜ao f: taxa instantˆanea = lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim x2→x1 f(x2) − f(x1) x2 − x1 5
  • 6. 2 Defini¸c˜ao de derivada A solu¸c˜ao dos problemas apresentados na se¸c˜ao anterior converge para o conceito de derivada. A derivada de uma fun¸c˜ao f em um n´umero a, denotada por f (a), ´e definida como: f (a) = lim h→0 f(a + h) − f(a) h ou f (a) = lim x→a f(x) − f(a) x − a desde que o limite exista. EXEMPLOS A) Encontre a derivada da fun¸c˜ao f(x) = x2 − 8x + 9 no n´umero a = 5. Obtenha a equa¸c˜ao da reta tangente `a fun¸c˜ao f no mesmo ponto a. f (a) = lim h→0 f(a + h) − f(a) h = lim h→0 (a + h)2 − 8(a + h) + 9 − a2 + 8a − 9 h = lim h→0 a2 + 2ah + h2 − 8a − 8h + 9 − a2 + 8a − 9 h = lim h→0 h2 + 2ah − 8h h = lim h→0 (h + 2a − 8) = 2a − 8 Ent˜ao, f (5) = 2.5 − 8 = 2. A equa¸c˜ao da reta tangente ao ponto a = 5 ´e dada por: y − f(a) = f (a)(x − a) f(5) = −6 y − (−6) = 2(x − 5) y = 2x − 16 6
  • 7. B) Determine a derivada da fun¸c˜ao g(x) = √ x no n´umero a = 4. Deter- mine tamb´em a equa¸c˜ao da reta tangente a este ponto. g (a) = lim h→0 √ a + h − √ a h = lim h→0 √ a + h − √ a h √ a + h + √ a √ a + h + √ a = lim h→0 a + h − a h( √ a + h + √ a) = lim h→0 1 √ a + h + √ a = 1 2 √ a Ent˜ao g (4) = 1/4 A equa¸c˜ao da reta tangente `a curva da fun¸c˜ao g no ponto a = 4 ´e: y − g(a) = g (a)(x − a) y − 2 = 1 4 (x − 4) y = x 4 + 1 C) Seja f(x) = x−1 x+1 . Determine a derivada da fun¸c˜ao em a = 2. Apresente tamb´em a equa¸c˜ao da reta tangente a este ponto. f (a) = lim h→0 f(a + h) − f(a) h = lim h→0 a+h−1 a+h+1 − a−1 a+1 h = lim h→0 (a+1)(a+h−1)−(a+h+1)(a−1)) (a+h+1)(a+1) h = lim h→0 a2 + ah − a + a + h − 1 − (a2 − a + ah − h + a − 1) (a + h + 1)(a + 1)h = lim h→0 a2 + ah + h − 1 − a2 − ah + h + 1 (a + h + 1)(a + 1)h = lim h→0 2h (a + h + 1)(a + 1)h = lim h→0 2 (a + h + 1)(a + 1) = 2 (a + 1)2 = 2 (2 + 1)2 = 2 32 = 2 9 Como f(2) = 2−1 2+1 = 1 3 , a reta tangente ao ponto (2, 1/3) ´e y − 1 3 = 2 9 (x − 2) y = 2 9 x − 1 9 7
  • 8. D) Determine a derivada de f(x) = 1 x+1 em a = 3, usando a seguinte formula¸c˜ao para o c´alculo de derivadas: f (a) = lim x→a f(x) − f(a) x − a f (a) = lim x→a 1 x+1 − 1 a+1 x − a = lim x→a a+1−(x+1) (x+1)(a+1) x − a = lim x→a a − x (x + 1)(a + 1)(x − a) = lim x→a − x − a (x + 1)(a + 1)(x − a) = lim x→a − 1 (x + 1)(a + 1) = − 1 (a + 1)2 = − 1 (3 + 1)2 = − 1 16 3 A derivada como uma fun¸c˜ao Podemos mudar nosso ponto de vista e considerar, n˜ao a derivada em um n´umero a, mas a derivada como uma fun¸c˜ao: f (x) = lim h→0 f(x + h) − f(x) h f ´e denominada de derivada de f. EXEMPLOS A) Seja a fun¸c˜ao f(x) = x3 − x. Determine f e compare os gr´aficos de f e f . f (x) = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)3 − (x + h) − x3 + x h = lim h→0 x3 + 3hx2 + 3h2 x + h3 − x − h − x3 + x h = lim h→0 3hx2 + 3h2 x + h3 − h h = lim h→0 (3x2 + 3hx + h2 − 1) = 3x2 − 1 8
  • 9. Os gr´aficos de f e f s˜ao mostrados na figura. Cor verde fun¸c˜ao f Cor vermelha derivada f Observe que o gr´afico de f reflete a inclina¸c˜ao da curva do gr´afico de f. No intervalo de valores x que vai de −∞ at´e o ponto B, a fun¸c˜ao f (em verde) ´e crescente e a derivada f (em vermelho) ´e positiva. No ponto B, onde f anula-se, ocorre uma inflex˜ao. Entre o ponto B e o ponto C, f ´e decrescente e f ´e negativa. No ponto C, onde f anula-se, f apresenta uma inflex˜ao e passa a ser crescente at´e +∞, e neste intervalo f volta a ser positiva. Estes resultados podem ser resumidos da seguinte maneira (formalizare- mos este assunto mais adiante na disciplina): • Onde a derivada f ´e negativa, a fun¸c˜ao f ´e decrescente • Onde a derivada f ´e positiva, a fun¸c˜ao f ´e crescente • Nos pontos em que f anula-se, f apresenta uma inflex˜ao (f apresenta uma concavidade com um valor m´aximo ou um valor m´ınimo local). Nestes pontos em que a derivada anula-se, a reta tangente `a fun¸c˜ao ´e horizontal, uma reta paralela ao eixo x. 9
  • 10. B) Determine a derivada de g(x) = 1√ x . g (x) = lim h→0 g(x + h) − g(x) h = lim h→0 1√ x+h − 1√ x h = lim h→0 √ x− √ x+h √ x+h √ x h = lim h→0 √ x − √ x + h h √ x + h √ x √ x + √ x + h √ x + √ x + h = lim h→0 x − (x + h) h √ x + h √ x( √ x + √ x + h) = lim h→0 −h h √ x + h √ x( √ x + √ x + h) = lim h→0 − 1 √ x + h √ x( √ x + √ x + h) = − 1 2x √ x C) Determine a derivada de f(x) = x + √ x. f (x) = lim h→0 x + h + √ x + h − (x + √ x) h = lim h→0 h + √ x + h − √ x h = lim h→0 1 + √ x + h − √ x h = 1 + lim h→0 √ x + h − √ x h = 1 + lim h→0 √ x + h − √ x h √ x + h + √ x √ x + h + √ x = 1 + lim h→0 x + h − x h( √ x + h + √ x) = 1 + lim h→0 h h( √ x + h + √ x) = 1 + lim h→0 1 √ x + h + √ x = 1 + 1 2 √ x 10
  • 11. 4 Nota¸c˜ao usada para representar derivadas Seja y = f(x) uma fun¸c˜ao. Ent˜ao s˜ao nota¸c˜oes v´alidas para representar a derivada de f: 1. y 2. f (x) 3. dy dx 4. d dx f(x) 5. Df(x) 6. Dxf(x) A derivada pode ser entendida como uma opera¸c˜ao que transforma uma fun¸c˜ao em outra. Esta opera¸c˜ao ´e chamada de diferencia¸c˜ao e o c´alculo toma o nome de c´alculo diferencial. D e d dx s˜ao chamados de operadores diferenciais. H´a uma grande vantagem nos operadores que tornam expl´ıcita a vari´avel em rela¸c˜ao `a qual ser´a feita a opera¸c˜ao, como d dx e Dx, e isso fica evidente em fun¸c˜oes com mais de uma vari´avel. A nota¸c˜ao dy dx ´e muito interessante e proveitosa quando usamos derivadas para expressar taxas de varia¸c˜ao, basta ver que: dy dx = lim ∆x→0 ∆y ∆x mas n˜ao devemos ser tentados a imaginar o operador d/dx como uma raz˜ao ou fra¸c˜ao. ∆y/∆x ´e uma fra¸c˜ao de duas varia¸c˜oes, mas d/dx ´e um operador diferencial. 5 Condi¸c˜ao para uma fun¸c˜ao ser diferenci´avel Uma fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel ou deriv´avel em a se f (a) existir. Uma fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em um intervalo aberto (u, v) se for diferenci´avel em cada ponto deste intervalo. Essa defini¸c˜ao tamb´em vale para os intervalos (u, +∞), (−∞, u) e (−∞, +∞) = R. Como um exemplo, vamos analisar a fun¸c˜ao f(x) = |x|. Lembremos da defini¸c˜ao de valor absoluto: |x| = x se x ≥ 0 −x se x < 0 Vamos inicialmente desconsiderar o valor a = 0 do dom´ınio de f e analisar a diferenciabilidade para R − {0}. 11
  • 12. • Iniciemos analisando f para x < 0 lim h→0 |x + h| − |x| h = lim h→0 −(x + h) − (−x) h = lim h→0 −x − h + x h = lim h→0 −h h = −1 desde que h seja suficientemente pequeno para que x+h < 0, e portanto |x + h| = −(x + h). • Agora vamos analisar a diferenciabilidade de f para x > 0 lim h→0 |x + h| − |x| h = lim h→0 x + h − x h = lim h→0 h h = 1 desde que h seja suficientemente pequeno para que x+h > 0, e portanto |x + h| = x + h. Isso significa que a fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel nos intervalos (−∞, 0) e (0, +∞), mas ainda h´a a necessidade de analisar a diferenciabilidade de f para o n´umero a = 0. Ser´a que esta fun¸c˜ao ´e diferenci´avel em a = 0? Para isso devemos verificar se este limite existe para a = 0: lim h→0 |a + h| − |a| h • Assim, vamos come¸car pelo limite lateral esquerdo. Neste caso, x < 0 e o limite fica lim h→0− |0 + h| − |0| h = lim h→0− −(0 + h) − 0 h = lim h→0− −h h = −1 • O limite lateral direito, com x > 0, fica lim h→0+ |0 + h| − |0| h = lim h→0+ 0 + h − 0 h = lim h→0+ h h = 1 Logo, como os limites laterais s˜ao diferentes, o limite pontual n˜ao existe e a fun¸c˜ao n˜ao ´e diferenci´avel em a = 0. Assim, a fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em R − {0}. 12
  • 13. CONDIC¸ ˜OES DE DIFERENCIABILIDADE Teorema: Se uma fun¸c˜ao f for diferenci´avel (deriv´avel) em a, ent˜ao f ´e cont´ınua em a. Assim, podemos definir as seguintes condi¸c˜oes para determinar que uma fun¸c˜ao f n˜ao ´e diferenci´avel em um n´umero a: 1. O teorema nos diz que se f apresenta descontinuidade em a, ent˜ao f n˜ao ´e diferenci´avel em a. 2. Se o gr´afico da fun¸c˜ao f possuir uma “dobra” em a, n˜ao existir´a tan- gente neste ponto e a fun¸c˜ao n˜ao ser´a diferenci´avel. Por exemplo, f(x) = |x|, que apresenta uma dobra em a = 0, como mostra o gr´afico a seguir. 3. Se existir uma reta tangente vertical em x = a, ou seja, lim x→a |f (x)| = ∞ ent˜ao f n˜ao ´e diferenci´avel em a. EXEMPLOS A) Seja a fun¸c˜ao f(x) =    −x se x ≤ −1 5 − x2 se − 1 < x ≤ 2 2x − 3 se 2 < x < 3 5 se x = 3 2x − 3 se x > 3 cujo gr´afico ´e mostrado na seguinte figura. 13
  • 14. A fun¸c˜ao possui descontinuidades nos n´umeros x = −1 e x = 3. Al´em disto, ela possui uma “dobra” em x = 2. Assim, pelos quesitos 1 e 2 das condi¸c˜oes de diferenciabilidade, a fun¸c˜ao n˜ao ´e diferenci´avel nos n´umeros {−1, 2, 3}. B) Seja a fun¸c˜ao f(x) = 3 √ x, em a = 0. f (0) = lim x→0 f(x) − f(0) x − 0 = lim x→0 3 √ x − 3 √ 0 x = lim x→0 x1/3 x = lim x→0 1 x2/3 = +∞ Logo, a fun¸c˜ao n˜ao ´e diferenci´avel em a = 0 pelo quesito 3 das condi¸c˜oes de diferenciabilidade. Observe no gr´afico a seguir como a fun¸c˜ao apresenta tangente com in- clina¸c˜ao infinita na origem. 14
  • 15. 6 Derivadas de ordem mais alta Se f for diferenci´avel, ent˜ao sua derivada f ´e uma fun¸c˜ao que tamb´em pode ter sua pr´opria derivada, chamada de segunda derivada ou derivada de ordem dois de f. d dx dy dx = d2 y dx2 f (x) = (f ) (x) = lim h→0 f (x + h) − f (x) h Retornando ao problema da velocidade, a segunda derivada da fun¸c˜ao f, que relaciona momentos do tempo em posi¸c˜oes de um corpo no espa¸co, representa a acelera¸c˜ao, a varia¸c˜ao da velocidade, que ´e dada pela fun¸c˜ao v, v(t) = d dt f(t) a = d dt v(t) = d2 dt2 f(t) A terceira derivada de f ´e a derivada da segunda derivada, f (x) = d dx d2 dx2 f(x) = d3 dx3 f(x) 15
  • 16. No caso do problema da velocidade, a terceira derivada representa o so- lavanco ou sacudida, que ´e a varia¸c˜ao da acelera¸c˜ao em rela¸c˜ao ao tempo. EXEMPLO Seja f(x) = 3x2 + 1. Determine f e f . f (x) = lim h→0 3(x + h)2 + 1 − (3x2 + 1) h = lim h→0 3(x2 + 2hx + h2 ) + 1 − 3x2 − 1 h = lim h→0 3x2 + 6hx + 3h2 − 3x2 h = lim h→0 6hx + 3h2 h = lim h→0 (6x + 3h) = 6x f (x) = lim h→0 6(x + h) − 6x h = lim h→0 6x + 6h − 6x h = lim h→0 6h h = 6 16