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Desenvolvimento temporal de
um sistema quântico
Gabriela Moura
• Representação de Schrodinger
• Representação de Heisenberg
• Representação de Interação
• Limites infinitos
• Exemplos
REPRESENTAÇÃO DE SCHRODINGER
Representação de Schrodinger
𝑖ℏ
𝜕𝜓(𝑟, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝐻𝜓
• Governa a evolução de um sistema quântico no tempo
• Hamiltoniana pode ou não ser dependente do tempo
𝜓 𝑡 = 𝑈 𝑡0, 𝑡 𝜓(𝑡0)
• 𝑈(𝑡, 𝑡0) é o operador de evolução temporal
• Condição inicial 𝑈 𝑡0, 𝑡0 = 1
𝜓 𝑡
𝐻|𝜓 = 𝐸 𝜓
𝑈(𝑡, 𝑡0)
• Uma interpretação útil de 𝑈(𝑡, 𝑡0)
𝑡0 → 𝜓 𝑎
𝑡 → 𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑎
• A probabilidade de encontrar o sistema no estado de 𝜓 𝑏 no
tempo 𝑡 quando o sistema estava no estado 𝜓 𝑎 em 𝑡 = 𝑡0
𝑊𝑏𝑎 = 𝜓 𝑏 𝑈(𝑡, 𝑡0) 𝜓 𝑎
2
(1)
(2)
(3)
Representação de Schrodinger
• Propriedade da composição:
𝜓 𝑡2 = 𝑈 𝑡2, 𝑡0 𝜓(𝑡0)
𝜓 𝑡2 = 𝑈 𝑡2, 𝑡1 𝜓 𝑡1 = 𝑈 𝑡2, 𝑡1 𝑈 𝑡1, 𝑡0 𝜓(𝑡0)
∴ 𝑈 𝑡2, 𝑡0 = 𝑈 𝑡2, 𝑡1 𝑈(𝑡1, 𝑡0)
• Ou seja, é possível obter a evolução temporal de 𝑡0 a 𝑡1 e
depois de 𝑡1 a 𝑡2
• Substituindo 2 na equação de Schrodinger
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑡0 = 𝐻 𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑡0
∴ 𝑖ℏ
𝜕𝑈 𝑡, 𝑡0
𝜕𝑡
= 𝐻𝑈(𝑡, 𝑡0)
• Assim temos a Equação de Schrodinger para o operador
de evolução temporal.
(4)
Representação de Schrodinger
• Assumindo que 𝐻†
= 𝐻, podemos calcular o conjugado
hermitiano de 4:
−𝑖ℏ
𝜕𝑈†
𝑡, 𝑡0
𝜕𝑡
= 𝑈†
𝑡, 𝑡0 𝐻
𝑈†
× 4 → 𝑖ℏ𝑈†
𝜕𝑈
𝜕𝑡
= 𝑈†
𝐻𝑈
5 × 𝑈 → −𝑖ℏ
𝜕𝑈†
𝜕𝑡
𝑈 = 𝑈† 𝐻𝑈
• Subtraindo as equações acima
∴ 𝑖ℏ 𝑈†
𝜕𝑈
𝜕𝑡
+
𝜕𝑈†
𝜕𝑡
𝑈 = 𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
𝑈†
𝑈 = 0
• Portanto o operador 𝑈(𝑡, 𝑡0) é um operador unitário
𝑈†
𝑈 = 1
(5)
Representação de Schrodinger
• Se 𝐻 𝑡 = 𝐻, a solução formal de 1 é dada por
𝜓 𝑟, 𝑡 = 𝑒
−
𝑖𝐻 𝑡−𝑡0
ℏ 𝜓 𝑟, 𝑡0
• Comparando com a equação 4, obtemos a forma explícita do operador:
𝑈 𝑡, 𝑡0 = 𝑒
−
𝑖𝐻 𝑡−𝑡0
ℏ
• Ou na forma integral:
𝑈 𝑡, 𝑡0 = 1 −
𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝐻𝑈 𝑡′
, 𝑡0 𝑑𝑡′
• Vamos expressar a solução da equação de Schrodinger dependente do
tempo em termos do conjunto completo de autoestados 𝜓 𝑘(𝑟)
𝐻𝜓 𝑘 𝑟 = 𝐸 𝑘 𝜓 𝑘 𝑟
𝑘
|𝜓 𝑘 𝜓 𝑘| = 𝕀
(6)
Representação de Schrodinger
𝜓 𝑟, 𝑡 = 𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑟, 𝑡0 = 𝑒
−
𝑖𝐻 𝑡−𝑡0
ℏ 𝜓 𝑡0
𝜓 𝑟, 𝑡 =
𝑘
𝑒
−
𝑖𝐻 𝑡−𝑡0
ℏ |𝜓 𝑘 𝜓 𝑘 𝜓(𝑟, 𝑡0)
𝜓 𝑟, 𝑡 =
𝑘
𝑎 𝑘 𝑡 𝜓 𝑘(𝑟)
• Com o coeficiente da expansão variando em função do tempo
𝑎 𝑘 = 𝑒
−
𝑖𝐸 𝑘 𝑡−𝑡0
ℏ 𝜓 𝑘 𝜓(𝑟, 𝑡0)
• Seja 𝐴 um operador dependente do tempo
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
𝐴 = 𝜓(𝑡) [𝐴, 𝐻] 𝜓(𝑡)
• O valor esperado de um operador é constante no tempo se o operador
comuta com a Hamiltoniana. Neste caso, o operador e as observáveis
físicas são constantes de movimento (conservação dessa observável).
(7)
REPRESENTAÇÃO DE HEISENBERG
Representação de Heisenberg
• Definição da função de onda:
𝜓 𝐻 = 𝑒
𝑖𝐻𝑡
ℏ 𝜓(𝑡)
𝜕𝜓 𝐻
𝜕𝑡
= 0 ∴ 𝜓 𝐻 = 𝜓 0 ; ∀𝑡
• O valor esperado na representação de Schrodinger é dado por
𝐴 = 𝜓(𝑡) 𝐴 𝜓(𝑡)
• Invertendo a definição da função de onda e substituindo na definição do
valor esperado temos
𝐴 = 𝜓 𝐻 𝑒
𝑖𝐻𝑡
ℏ 𝐴𝑒
−𝑖𝐻𝑡
ℏ 𝜓 𝐻
• Assim definimos o operador na representação de Heisenberg como
𝐴 𝐻 𝑡 = 𝑒
𝑖𝐻𝑡
ℏ 𝐴𝑒
−𝑖𝐻𝑡
ℏ
• O valor esperado de 𝐴 nesta representação fica
𝐴 𝐻 = 𝜓 𝐻 𝐴 𝐻 𝜓 𝐻
• Desta forma, o valor esperado de um operador é o mesmo,
independente da representação escolhida. Note que 𝐻 𝐻 = 𝐻.
(8)
Representação de Heisenberg
• Equação de movimento para o operador 𝐴 𝐻(𝑡):
𝑖ℏ
𝜕𝐴 𝐻 𝑡
𝜕𝑡
= 𝐴 𝐻, 𝐻
• Conhecida como Equação de Heisenberg
• Relações de comutação são preservadas na
passagem de uma representação para outra.
𝐴, 𝐻 = 0 ⟺ 𝐴 𝐻 𝑡 , 𝐻 = 0
• O conteúdo físico da equação de Heisenberg é
idêntico à expressão análoga na representação
de Schrodinger.
(9)
Diferenças
• Schrodinger → o desenvolvimento temporal é
dado pela função de onda 𝜓(𝑡)
• Heisenberg → o desenvolvimento temporal é
dado pelo operador 𝐴(𝑡)
REPRESENTAÇÃO DE INTERAÇÃO
Representação de Interação
• Apropriado para certas formulações da teoria de
perturbação dependente do tempo. 𝐻 = 𝐻0 + 𝑉
𝜓𝐼(𝑡) = 𝑒
𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡
𝜓(𝑡)
𝐴𝐼 𝑡 = 𝑒
𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡
A𝑒
−𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡
• Onde as equações 10 e 11 são as definições da função de
onda e do operador na representação de interação,
respectivamente. Tomando a derivada temporal das duas
equações acima temos as equações de movimento.
𝑖ℏ
𝜕𝜓𝐼 𝑡
𝜕𝑡
= 𝑉𝐼 𝜓𝐼(𝑡)
• Com 𝑉𝐼 𝑡 = 𝑒
𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡
V𝑒
−𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡
𝑖ℏ
𝜕𝐴𝐼
𝜕𝑡
= 𝐴𝐼, 𝐻0
(10)
(11)
(12)
(13)
Representação de Interação
• Sabendo que o valor esperado de um operador é
independente da representação,
𝐴 = 𝜓𝐼(𝑡) 𝐴𝐼 𝜓𝐼(𝑡)
• As expressões para o desenvolvimento temporal das
funções de onda são análogas à aquelas estabelecidas na
representação de Schrodinger. Definindo 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 por
𝜓𝐼 𝑡 = 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 𝜓𝐼 𝑡0 e com 𝑈𝐼 𝑡0, 𝑡0 = 1, temos
𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0
= exp
𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡 exp −
𝑖
ℏ
𝐻 𝑡 − 𝑡0 exp −
𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡0
𝑈𝐼
†
𝑡, 𝑡0 = 𝑈𝑖
−1
(𝑡, 𝑡0)
(14)
Representação de Interação
• Equação diferencial para 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0
𝑖ℏ
𝜕𝑈𝐼
𝜕𝑡
= 𝑉𝐼 𝑈𝐼
• Mais conveniente escrever a equação acima como
𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = 1 −
𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝑉𝐼 𝑡′
𝑈𝐼 𝑡′
, 𝑡0 𝑑𝑡1
• 16 é a forma mais comum → desenvolve uma solução em série para
𝑈𝐼(𝑡, 𝑡0) através de sucessivas interações. Começando com 𝑈𝐼
(0)
= 1 e
substituindo em 16
𝑈𝐼
(1)
= 1 −
𝑖
ℏ 𝑡1
𝑡
𝑉𝐼 𝑡1 𝑑𝑡1
• Fazendo esta substituição sucessivas vezes ficamos com
𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = 1 +
𝑛=1
∞
−
𝑖
ℏ
𝑛
𝑡0
𝑡
𝑑𝑡1 …
𝑡0
𝑡 𝑛−1
𝑑𝑡 𝑛 𝑉𝐼 𝑡1 … 𝑉𝐼(𝑡 𝑛)
𝑡0 < 𝑡 𝑛 < 𝑡 𝑛−1 < ⋯ < 𝑡2 < 𝑡1 < 𝑡
(16)
(15)
(17)
Representação de Interação
• Operador cronológico de Dyson ou de ordenação temporal
𝑃
𝑃 𝐴 𝑡1 𝐵 𝑡2 = 𝑃 𝐵 𝑡2 𝐴 𝑡1 =
𝐴 𝑡1 𝐵 𝑡2 , 𝑡1 > 𝑡2
𝐵 𝑡2 𝐴 𝑡1 , 𝑡2 > 𝑡1
• Mostrar que o operador de evolução temporal pode ser
escrito em termos do operador de Dyson da seguinte
forma:
𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = 𝑃 exp −
𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝑉𝐼 𝑡′
𝑑𝑡′
= 𝑃
𝑛=0
∞
−
𝑖
ℏ
𝑛
1
𝑛! 𝑡0
𝑡
𝑉𝐼 𝑡′
𝑑𝑡′
𝑛
• Considere o termo 𝐼 =
−
𝑖
ℏ
2 1
2! 𝑡0
𝑡
𝑑𝑡1 𝑡0
𝑡1
𝑑𝑡2 𝑃{𝑉𝐼 𝑡1 𝑉𝐼 𝑡2 }
(18)
Representação de Interação
• Dividindo a integral em duas partes
• 𝐼 = −
𝑖
ℏ
2 1
2! 𝑡0
𝑡
𝑑𝑡1 𝑡0
𝑡1
𝑑𝑡2 𝑃 𝑉𝐼 𝑡1 𝑉𝐼 𝑡2 +
(19)
Representação de Interação
• Expansão do valor esperado de A usando a série de Dyson
𝐴𝐼 = 𝜓𝐼(𝑡) 𝐴𝐼 𝜓𝐼(𝑡) = 𝜓𝐼(𝑡0) 𝑈𝐼
†
𝑡, 𝑡0 𝐴𝐼 𝑈𝐼(𝑡, 𝑡0) 𝜓𝐼(𝑡0)
𝐴𝐼
= 𝜓𝐼(𝑡0) 𝐴𝐼 𝑡 𝜓𝐼(𝑡0)
+
−𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝑑𝑡1 𝜓𝐼(𝑡0) [𝐴𝐼 𝑡 , 𝑉𝐼(𝑡1)] 𝜓𝐼(𝑡0)
+ −
𝑖
ℏ
2
𝑡0
𝑡
𝑑𝑡1
𝑡0
𝑡1
𝑑𝑡2 𝜓𝐼(𝑡0) [ 𝐴𝐼 𝑡 , 𝑉𝐼 𝑡1 , 𝑉𝐼 𝑡2 ] 𝜓𝐼(𝑡0)
+ ⋯
(19)
Diferenças entre as 3 representações
Representação de Schrodinger
• 𝜓(𝑡) obedece a equação de Schrodinger, é a fonte de informação para a
evolução temporal.
• Os operadores são independentes do tempo, mas o valor esperado não
é independente do tempo a menos que 𝐴, 𝐻 = 0
Representação de Heisenberg
• 𝜓 𝐻 é independente do tempo
• Operadores obedecem a equação de Heisenberg
• Operadores dependem do tempo e fornecem a informação para a
evolução temporal do sistema
Representação de Interação
• Os vetores de estado e os operadores são dependentes do tempo.
• Quando 𝐻 = 𝐻0 + 𝑉, 𝜓 carrega a dependência temporal devido à 𝑉 e
os operadores devido à 𝐻0.
LIMITES INFINITOS
Limites infinitos
• Investigar o comportamento de 𝑈𝐼(𝑡, 𝑡0) conforme um ou ambos os
limites da integral são tomados no infinito
𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = 1 −
𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝑉𝐼 𝑡′
𝑈𝐼 𝑡′
, 𝑡0 𝑑𝑡′
• Incorporar um fator 𝑒−
𝜀
ℏ
𝑡
, com 𝜀 > 0 para garantir o correto
tratamento das propriedades de convergência.
𝑈𝐼 ∞, 𝑡0 = 1 −
𝑖
ℏ
lim
𝜀→0 𝑡0
∞
𝑒−
𝜀
ℏ
𝑡′
𝑉𝐼 𝑡′
𝑈𝐼 𝑡′
, 𝑡0 𝑑𝑡′
𝑈𝐼 ∞, −∞ = 1 −
𝑖
ℏ
lim
𝜀→0 −∞
∞
𝑒−
𝜀
ℏ
𝑡′
𝑉𝐼 𝑡′ 𝑈𝐼 𝑡′, −∞ 𝑑𝑡′
• 𝑈𝐼 ∞, −∞ é chamado de operador de espalhamento S. Outra forma de
escrever este operador de espalhamento pode ser obtida através do
conjugado hermitiano, assim:
𝑈𝐼
†
𝑡, 𝑡0 = 1 +
𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝑈𝐼
†
𝑡′, 𝑡0 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑑𝑡′
• Lembrando 𝑈𝐼
†
𝑡, 𝑡0 = 𝑈𝐼
−1
𝑡, 𝑡0 = 𝑈𝐼(𝑡0, 𝑡)
Limites infinitos
• Temos
𝑈 𝑡0, 𝑡 = 1 −
𝑖
ℏ 𝑡
𝑡0
𝑈𝐼 𝑡0, 𝑡′
𝑉𝐼 𝑡′
𝑑𝑡′
• Incorporando o fator de convergência
𝑈𝐼 𝑡0, −∞ = 1 −
𝑖
ℏ
lim
𝜀→0 −∞
𝑡0
𝑒−
𝜀
ℏ
𝑡′
𝑉𝐼 𝑡′
𝑈𝐼 𝑡0, 𝑡′
𝑑𝑡′
𝑡0 → 𝑡 𝑒 𝑡 → ∞ temos
𝑈𝐼 ∞, −∞ = 1 −
𝑖
ℏ
lim
𝜀→0 −∞
∞
𝑒−
𝜀
ℏ
𝑡′
𝑉𝐼 𝑡′
𝑈𝐼 ∞, 𝑡′
𝑑𝑡′
• Notação: 𝜓𝐼 −∞ = 𝜑 𝑎 e 𝜓𝐼 0 = 𝜓 𝑎
• Assumindo: 𝑉𝐼 −∞ = 0 e 𝐻0 𝜑 𝑎 = 𝐸 𝑎 𝜑 𝑎
𝜓𝐼 𝑡 = 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 𝜓𝐼 𝑡0 → 𝜓𝐼 0 = 𝑈𝐼 0, −∞ 𝜓𝐼(−∞)
𝜓 𝑎 = 𝑈𝐼 0, −∞ 𝜑 𝑎
𝜓 𝑎 = 1 −
𝑖
ℏ
lim
𝜀→0 −∞
0
𝑒−
𝜀
ℏ
𝑡′
𝑉𝐼 𝑡′ 𝑈𝐼 0, 𝑡′ 𝑑𝑡′ 𝜑 𝑎
Limites infinitos
• Resolvendo a integral:
𝜓 𝑎 = 𝜑 𝑎 + lim
𝜀→0
1
𝐸 𝑎 − 𝐻 + 𝑖𝜀
𝑉𝜑 𝑎
𝜓 𝑎 = 1 + lim
𝜀→0
1
𝐸 𝑎 − 𝐻 + 𝑖𝜀
𝑉 𝜑 𝑎
• Outra maneira de escrever uma expressão para 𝜓 𝑎:
𝑖ℏ
𝜕𝜓𝐼 𝑡
𝜕𝑡
= 𝑉𝐼 𝑡 𝜓𝐼 𝑡 → 𝜓𝐼 𝑡 = 𝜓 𝑡0 −
𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝑉𝐼 𝑡′
𝜓 𝑡′
𝑑𝑡′
⁞
𝜓 𝑎 = 1 + lim
𝜀→0
1
𝐸 𝑎 − 𝐻0 + 𝑖𝜀
𝑉 𝜑 𝑎
• Similaridades e diferenças entre 20 e 21:
- 20 é expressa em termos da Hamiltoniana total.
- 21 é expressa em termos de 𝐻0 e representa uma série infinita. Chamada de Equação
de Lippmann-Schwinger.
- Nos dois casos a equação 𝐻𝜓 𝑎 = 𝐸 𝑎 𝜓 𝑎 é satisfeita.
- Os termos 𝐸 𝑎 − 𝐻 + 𝑖𝜀 −1
e 𝐸 𝑎 − 𝐻0 + 𝑖𝜀 −1
aparecem na teoria de espalhamento.
São conhecidas como funções de Green.
(20)
(21)
Limites infinitos
• A matriz de elementos do operador de
espalhamento 𝑆 na base de 𝜑 𝑘 o qual é
autofunção da Hamiltoniana não perturbada 𝐻0
com autovalores 𝐸 𝑘
𝑆 𝑏𝑎 = 𝜑 𝑏 𝑈𝐼(∞, −∞) 𝜑 𝑎
𝑆 𝑏𝑎 = 𝛿 𝑏𝑎 − 2𝜋𝑖𝑅 𝑏𝑎 𝛿(𝐸 𝑏 − 𝐸 𝑎)
• Onde 𝑅 𝑏𝑎 = 𝜑 𝑏 𝑉 𝜓 𝑎 é chamado de matriz de
reação, que pode ser escrita na forma:
𝑅 𝑏𝑎 = 𝑉𝑏𝑎 + lim
𝜀→0
𝑐
𝑉 𝑏𝑐 𝑉𝑐𝑎
𝐸 𝑎−𝐸 𝑐+𝑖𝜀
+ termos de ordem
superior
EXEMPLOS
Precessão de spin
• Sistema de spin
1
2
, de momento magnético
𝑒ℏ
2𝑚 𝑒 𝑐
sujeito a um campo
magnético B na direção z, uniforme e estático.
𝐻 = −
𝑒
𝑚 𝑒 𝑐
𝑆. 𝐵 = −
𝑒
𝑚 𝑒 𝑐
𝑆 𝑧
• 𝐻, 𝑆 𝑧 = 0 thereofre 𝐸 ±= ∓
𝑒ℏ
2𝑚 𝑒 𝑐
• Definindo 𝜔 ≡
𝑒 𝐵
𝑚 𝑒 𝑐
→ 𝐻 = 𝜔𝑆 𝑧
• O operador de evolução temporal é dado por
𝑈 𝑡, 0 = exp −
𝑖𝜔𝑆 𝑧 𝑡
ℏ
• Se em 𝑡 = 0 o estado é dado por |𝛼 = 𝑐+| + + 𝑐−| − , em um tempo
t temos
|𝛼, 𝑡 = 𝑐+ exp −
𝑖𝜔𝑡
2
| + + 𝑐− exp +
𝑖𝜔𝑡
2
| −
Precessão de spin
• Supondo que o sistema esteja no estado 𝑆 𝑥 +,
assim temos que 𝑐+ = 𝑐− =
1
2
• Probabilidade de encontrar o sistema nos
estados 𝑆 𝑥 ± depois de um tempo t
𝑆 𝑥 + 𝛼, 𝑡 2
= cos2
𝜔𝑡
2
𝑆 𝑥 − 𝛼, 𝑡 2
= 𝑠𝑖𝑛2
𝜔𝑡
2
• O campo magnético na direção z faz o spin girar.
Evolução temporal do oscilador harmônico
𝐻 =
𝑝2
2𝑚
− 𝑚𝜔2
𝑥2
2
• Equações de movimento de Heisenberg
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= −𝑚𝜔2 𝑥 ;
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑝
𝑚
• São equivalentes à:
𝑑𝑎
𝑑𝑡
= −𝑖𝜔𝑎 ;
𝑑𝑎†
𝑑𝑡
= 𝑖𝜔𝑎†
• Cujas soluções são
𝑎 𝑡 = 𝑎 0 exp(−𝑖𝜔𝑡) ; 𝑎†
𝑡 = 𝑎†
0 exp(𝑖𝜔𝑡)
• Estas relações mostram que N e H são operadores independentes do
tempo. Escrevendo em termos de x e p temos
𝑥 𝑡 = 𝑥 0 cos 𝜔𝑡 +
𝑝 0
𝑚𝜔
sin 𝜔𝑡
𝑝 𝑡 = −𝑚𝜔𝑥 0 sin 𝜔𝑡 + 𝑝 0 cos 𝜔𝑡
• Estas equações são parecidas com as equações clássicas. Mostram que x
e p “oscilam” do mesmo modo que os análogos clássicos.

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Desenvolvimento temporal de um sistema quântico

  • 1. Desenvolvimento temporal de um sistema quântico Gabriela Moura
  • 2. • Representação de Schrodinger • Representação de Heisenberg • Representação de Interação • Limites infinitos • Exemplos
  • 4. Representação de Schrodinger 𝑖ℏ 𝜕𝜓(𝑟, 𝑡) 𝜕𝑡 = 𝐻𝜓 • Governa a evolução de um sistema quântico no tempo • Hamiltoniana pode ou não ser dependente do tempo 𝜓 𝑡 = 𝑈 𝑡0, 𝑡 𝜓(𝑡0) • 𝑈(𝑡, 𝑡0) é o operador de evolução temporal • Condição inicial 𝑈 𝑡0, 𝑡0 = 1 𝜓 𝑡 𝐻|𝜓 = 𝐸 𝜓 𝑈(𝑡, 𝑡0) • Uma interpretação útil de 𝑈(𝑡, 𝑡0) 𝑡0 → 𝜓 𝑎 𝑡 → 𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑎 • A probabilidade de encontrar o sistema no estado de 𝜓 𝑏 no tempo 𝑡 quando o sistema estava no estado 𝜓 𝑎 em 𝑡 = 𝑡0 𝑊𝑏𝑎 = 𝜓 𝑏 𝑈(𝑡, 𝑡0) 𝜓 𝑎 2 (1) (2) (3)
  • 5. Representação de Schrodinger • Propriedade da composição: 𝜓 𝑡2 = 𝑈 𝑡2, 𝑡0 𝜓(𝑡0) 𝜓 𝑡2 = 𝑈 𝑡2, 𝑡1 𝜓 𝑡1 = 𝑈 𝑡2, 𝑡1 𝑈 𝑡1, 𝑡0 𝜓(𝑡0) ∴ 𝑈 𝑡2, 𝑡0 = 𝑈 𝑡2, 𝑡1 𝑈(𝑡1, 𝑡0) • Ou seja, é possível obter a evolução temporal de 𝑡0 a 𝑡1 e depois de 𝑡1 a 𝑡2 • Substituindo 2 na equação de Schrodinger 𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑡 𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑡0 = 𝐻 𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑡0 ∴ 𝑖ℏ 𝜕𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜕𝑡 = 𝐻𝑈(𝑡, 𝑡0) • Assim temos a Equação de Schrodinger para o operador de evolução temporal. (4)
  • 6. Representação de Schrodinger • Assumindo que 𝐻† = 𝐻, podemos calcular o conjugado hermitiano de 4: −𝑖ℏ 𝜕𝑈† 𝑡, 𝑡0 𝜕𝑡 = 𝑈† 𝑡, 𝑡0 𝐻 𝑈† × 4 → 𝑖ℏ𝑈† 𝜕𝑈 𝜕𝑡 = 𝑈† 𝐻𝑈 5 × 𝑈 → −𝑖ℏ 𝜕𝑈† 𝜕𝑡 𝑈 = 𝑈† 𝐻𝑈 • Subtraindo as equações acima ∴ 𝑖ℏ 𝑈† 𝜕𝑈 𝜕𝑡 + 𝜕𝑈† 𝜕𝑡 𝑈 = 𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑡 𝑈† 𝑈 = 0 • Portanto o operador 𝑈(𝑡, 𝑡0) é um operador unitário 𝑈† 𝑈 = 1 (5)
  • 7. Representação de Schrodinger • Se 𝐻 𝑡 = 𝐻, a solução formal de 1 é dada por 𝜓 𝑟, 𝑡 = 𝑒 − 𝑖𝐻 𝑡−𝑡0 ℏ 𝜓 𝑟, 𝑡0 • Comparando com a equação 4, obtemos a forma explícita do operador: 𝑈 𝑡, 𝑡0 = 𝑒 − 𝑖𝐻 𝑡−𝑡0 ℏ • Ou na forma integral: 𝑈 𝑡, 𝑡0 = 1 − 𝑖 ℏ 𝑡0 𝑡 𝐻𝑈 𝑡′ , 𝑡0 𝑑𝑡′ • Vamos expressar a solução da equação de Schrodinger dependente do tempo em termos do conjunto completo de autoestados 𝜓 𝑘(𝑟) 𝐻𝜓 𝑘 𝑟 = 𝐸 𝑘 𝜓 𝑘 𝑟 𝑘 |𝜓 𝑘 𝜓 𝑘| = 𝕀 (6)
  • 8. Representação de Schrodinger 𝜓 𝑟, 𝑡 = 𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑟, 𝑡0 = 𝑒 − 𝑖𝐻 𝑡−𝑡0 ℏ 𝜓 𝑡0 𝜓 𝑟, 𝑡 = 𝑘 𝑒 − 𝑖𝐻 𝑡−𝑡0 ℏ |𝜓 𝑘 𝜓 𝑘 𝜓(𝑟, 𝑡0) 𝜓 𝑟, 𝑡 = 𝑘 𝑎 𝑘 𝑡 𝜓 𝑘(𝑟) • Com o coeficiente da expansão variando em função do tempo 𝑎 𝑘 = 𝑒 − 𝑖𝐸 𝑘 𝑡−𝑡0 ℏ 𝜓 𝑘 𝜓(𝑟, 𝑡0) • Seja 𝐴 um operador dependente do tempo 𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑡 𝐴 = 𝜓(𝑡) [𝐴, 𝐻] 𝜓(𝑡) • O valor esperado de um operador é constante no tempo se o operador comuta com a Hamiltoniana. Neste caso, o operador e as observáveis físicas são constantes de movimento (conservação dessa observável). (7)
  • 10. Representação de Heisenberg • Definição da função de onda: 𝜓 𝐻 = 𝑒 𝑖𝐻𝑡 ℏ 𝜓(𝑡) 𝜕𝜓 𝐻 𝜕𝑡 = 0 ∴ 𝜓 𝐻 = 𝜓 0 ; ∀𝑡 • O valor esperado na representação de Schrodinger é dado por 𝐴 = 𝜓(𝑡) 𝐴 𝜓(𝑡) • Invertendo a definição da função de onda e substituindo na definição do valor esperado temos 𝐴 = 𝜓 𝐻 𝑒 𝑖𝐻𝑡 ℏ 𝐴𝑒 −𝑖𝐻𝑡 ℏ 𝜓 𝐻 • Assim definimos o operador na representação de Heisenberg como 𝐴 𝐻 𝑡 = 𝑒 𝑖𝐻𝑡 ℏ 𝐴𝑒 −𝑖𝐻𝑡 ℏ • O valor esperado de 𝐴 nesta representação fica 𝐴 𝐻 = 𝜓 𝐻 𝐴 𝐻 𝜓 𝐻 • Desta forma, o valor esperado de um operador é o mesmo, independente da representação escolhida. Note que 𝐻 𝐻 = 𝐻. (8)
  • 11. Representação de Heisenberg • Equação de movimento para o operador 𝐴 𝐻(𝑡): 𝑖ℏ 𝜕𝐴 𝐻 𝑡 𝜕𝑡 = 𝐴 𝐻, 𝐻 • Conhecida como Equação de Heisenberg • Relações de comutação são preservadas na passagem de uma representação para outra. 𝐴, 𝐻 = 0 ⟺ 𝐴 𝐻 𝑡 , 𝐻 = 0 • O conteúdo físico da equação de Heisenberg é idêntico à expressão análoga na representação de Schrodinger. (9)
  • 12. Diferenças • Schrodinger → o desenvolvimento temporal é dado pela função de onda 𝜓(𝑡) • Heisenberg → o desenvolvimento temporal é dado pelo operador 𝐴(𝑡)
  • 14. Representação de Interação • Apropriado para certas formulações da teoria de perturbação dependente do tempo. 𝐻 = 𝐻0 + 𝑉 𝜓𝐼(𝑡) = 𝑒 𝑖 ℏ 𝐻0 𝑡 𝜓(𝑡) 𝐴𝐼 𝑡 = 𝑒 𝑖 ℏ 𝐻0 𝑡 A𝑒 −𝑖 ℏ 𝐻0 𝑡 • Onde as equações 10 e 11 são as definições da função de onda e do operador na representação de interação, respectivamente. Tomando a derivada temporal das duas equações acima temos as equações de movimento. 𝑖ℏ 𝜕𝜓𝐼 𝑡 𝜕𝑡 = 𝑉𝐼 𝜓𝐼(𝑡) • Com 𝑉𝐼 𝑡 = 𝑒 𝑖 ℏ 𝐻0 𝑡 V𝑒 −𝑖 ℏ 𝐻0 𝑡 𝑖ℏ 𝜕𝐴𝐼 𝜕𝑡 = 𝐴𝐼, 𝐻0 (10) (11) (12) (13)
  • 15. Representação de Interação • Sabendo que o valor esperado de um operador é independente da representação, 𝐴 = 𝜓𝐼(𝑡) 𝐴𝐼 𝜓𝐼(𝑡) • As expressões para o desenvolvimento temporal das funções de onda são análogas à aquelas estabelecidas na representação de Schrodinger. Definindo 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 por 𝜓𝐼 𝑡 = 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 𝜓𝐼 𝑡0 e com 𝑈𝐼 𝑡0, 𝑡0 = 1, temos 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = exp 𝑖 ℏ 𝐻0 𝑡 exp − 𝑖 ℏ 𝐻 𝑡 − 𝑡0 exp − 𝑖 ℏ 𝐻0 𝑡0 𝑈𝐼 † 𝑡, 𝑡0 = 𝑈𝑖 −1 (𝑡, 𝑡0) (14)
  • 16. Representação de Interação • Equação diferencial para 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 𝑖ℏ 𝜕𝑈𝐼 𝜕𝑡 = 𝑉𝐼 𝑈𝐼 • Mais conveniente escrever a equação acima como 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = 1 − 𝑖 ℏ 𝑡0 𝑡 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑈𝐼 𝑡′ , 𝑡0 𝑑𝑡1 • 16 é a forma mais comum → desenvolve uma solução em série para 𝑈𝐼(𝑡, 𝑡0) através de sucessivas interações. Começando com 𝑈𝐼 (0) = 1 e substituindo em 16 𝑈𝐼 (1) = 1 − 𝑖 ℏ 𝑡1 𝑡 𝑉𝐼 𝑡1 𝑑𝑡1 • Fazendo esta substituição sucessivas vezes ficamos com 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = 1 + 𝑛=1 ∞ − 𝑖 ℏ 𝑛 𝑡0 𝑡 𝑑𝑡1 … 𝑡0 𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑛 𝑉𝐼 𝑡1 … 𝑉𝐼(𝑡 𝑛) 𝑡0 < 𝑡 𝑛 < 𝑡 𝑛−1 < ⋯ < 𝑡2 < 𝑡1 < 𝑡 (16) (15) (17)
  • 17. Representação de Interação • Operador cronológico de Dyson ou de ordenação temporal 𝑃 𝑃 𝐴 𝑡1 𝐵 𝑡2 = 𝑃 𝐵 𝑡2 𝐴 𝑡1 = 𝐴 𝑡1 𝐵 𝑡2 , 𝑡1 > 𝑡2 𝐵 𝑡2 𝐴 𝑡1 , 𝑡2 > 𝑡1 • Mostrar que o operador de evolução temporal pode ser escrito em termos do operador de Dyson da seguinte forma: 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = 𝑃 exp − 𝑖 ℏ 𝑡0 𝑡 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑃 𝑛=0 ∞ − 𝑖 ℏ 𝑛 1 𝑛! 𝑡0 𝑡 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑑𝑡′ 𝑛 • Considere o termo 𝐼 = − 𝑖 ℏ 2 1 2! 𝑡0 𝑡 𝑑𝑡1 𝑡0 𝑡1 𝑑𝑡2 𝑃{𝑉𝐼 𝑡1 𝑉𝐼 𝑡2 } (18)
  • 18. Representação de Interação • Dividindo a integral em duas partes • 𝐼 = − 𝑖 ℏ 2 1 2! 𝑡0 𝑡 𝑑𝑡1 𝑡0 𝑡1 𝑑𝑡2 𝑃 𝑉𝐼 𝑡1 𝑉𝐼 𝑡2 + (19)
  • 19. Representação de Interação • Expansão do valor esperado de A usando a série de Dyson 𝐴𝐼 = 𝜓𝐼(𝑡) 𝐴𝐼 𝜓𝐼(𝑡) = 𝜓𝐼(𝑡0) 𝑈𝐼 † 𝑡, 𝑡0 𝐴𝐼 𝑈𝐼(𝑡, 𝑡0) 𝜓𝐼(𝑡0) 𝐴𝐼 = 𝜓𝐼(𝑡0) 𝐴𝐼 𝑡 𝜓𝐼(𝑡0) + −𝑖 ℏ 𝑡0 𝑡 𝑑𝑡1 𝜓𝐼(𝑡0) [𝐴𝐼 𝑡 , 𝑉𝐼(𝑡1)] 𝜓𝐼(𝑡0) + − 𝑖 ℏ 2 𝑡0 𝑡 𝑑𝑡1 𝑡0 𝑡1 𝑑𝑡2 𝜓𝐼(𝑡0) [ 𝐴𝐼 𝑡 , 𝑉𝐼 𝑡1 , 𝑉𝐼 𝑡2 ] 𝜓𝐼(𝑡0) + ⋯ (19)
  • 20. Diferenças entre as 3 representações Representação de Schrodinger • 𝜓(𝑡) obedece a equação de Schrodinger, é a fonte de informação para a evolução temporal. • Os operadores são independentes do tempo, mas o valor esperado não é independente do tempo a menos que 𝐴, 𝐻 = 0 Representação de Heisenberg • 𝜓 𝐻 é independente do tempo • Operadores obedecem a equação de Heisenberg • Operadores dependem do tempo e fornecem a informação para a evolução temporal do sistema Representação de Interação • Os vetores de estado e os operadores são dependentes do tempo. • Quando 𝐻 = 𝐻0 + 𝑉, 𝜓 carrega a dependência temporal devido à 𝑉 e os operadores devido à 𝐻0.
  • 22. Limites infinitos • Investigar o comportamento de 𝑈𝐼(𝑡, 𝑡0) conforme um ou ambos os limites da integral são tomados no infinito 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = 1 − 𝑖 ℏ 𝑡0 𝑡 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑈𝐼 𝑡′ , 𝑡0 𝑑𝑡′ • Incorporar um fator 𝑒− 𝜀 ℏ 𝑡 , com 𝜀 > 0 para garantir o correto tratamento das propriedades de convergência. 𝑈𝐼 ∞, 𝑡0 = 1 − 𝑖 ℏ lim 𝜀→0 𝑡0 ∞ 𝑒− 𝜀 ℏ 𝑡′ 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑈𝐼 𝑡′ , 𝑡0 𝑑𝑡′ 𝑈𝐼 ∞, −∞ = 1 − 𝑖 ℏ lim 𝜀→0 −∞ ∞ 𝑒− 𝜀 ℏ 𝑡′ 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑈𝐼 𝑡′, −∞ 𝑑𝑡′ • 𝑈𝐼 ∞, −∞ é chamado de operador de espalhamento S. Outra forma de escrever este operador de espalhamento pode ser obtida através do conjugado hermitiano, assim: 𝑈𝐼 † 𝑡, 𝑡0 = 1 + 𝑖 ℏ 𝑡0 𝑡 𝑈𝐼 † 𝑡′, 𝑡0 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑑𝑡′ • Lembrando 𝑈𝐼 † 𝑡, 𝑡0 = 𝑈𝐼 −1 𝑡, 𝑡0 = 𝑈𝐼(𝑡0, 𝑡)
  • 23. Limites infinitos • Temos 𝑈 𝑡0, 𝑡 = 1 − 𝑖 ℏ 𝑡 𝑡0 𝑈𝐼 𝑡0, 𝑡′ 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑑𝑡′ • Incorporando o fator de convergência 𝑈𝐼 𝑡0, −∞ = 1 − 𝑖 ℏ lim 𝜀→0 −∞ 𝑡0 𝑒− 𝜀 ℏ 𝑡′ 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑈𝐼 𝑡0, 𝑡′ 𝑑𝑡′ 𝑡0 → 𝑡 𝑒 𝑡 → ∞ temos 𝑈𝐼 ∞, −∞ = 1 − 𝑖 ℏ lim 𝜀→0 −∞ ∞ 𝑒− 𝜀 ℏ 𝑡′ 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑈𝐼 ∞, 𝑡′ 𝑑𝑡′ • Notação: 𝜓𝐼 −∞ = 𝜑 𝑎 e 𝜓𝐼 0 = 𝜓 𝑎 • Assumindo: 𝑉𝐼 −∞ = 0 e 𝐻0 𝜑 𝑎 = 𝐸 𝑎 𝜑 𝑎 𝜓𝐼 𝑡 = 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 𝜓𝐼 𝑡0 → 𝜓𝐼 0 = 𝑈𝐼 0, −∞ 𝜓𝐼(−∞) 𝜓 𝑎 = 𝑈𝐼 0, −∞ 𝜑 𝑎 𝜓 𝑎 = 1 − 𝑖 ℏ lim 𝜀→0 −∞ 0 𝑒− 𝜀 ℏ 𝑡′ 𝑉𝐼 𝑡′ 𝑈𝐼 0, 𝑡′ 𝑑𝑡′ 𝜑 𝑎
  • 24. Limites infinitos • Resolvendo a integral: 𝜓 𝑎 = 𝜑 𝑎 + lim 𝜀→0 1 𝐸 𝑎 − 𝐻 + 𝑖𝜀 𝑉𝜑 𝑎 𝜓 𝑎 = 1 + lim 𝜀→0 1 𝐸 𝑎 − 𝐻 + 𝑖𝜀 𝑉 𝜑 𝑎 • Outra maneira de escrever uma expressão para 𝜓 𝑎: 𝑖ℏ 𝜕𝜓𝐼 𝑡 𝜕𝑡 = 𝑉𝐼 𝑡 𝜓𝐼 𝑡 → 𝜓𝐼 𝑡 = 𝜓 𝑡0 − 𝑖 ℏ 𝑡0 𝑡 𝑉𝐼 𝑡′ 𝜓 𝑡′ 𝑑𝑡′ ⁞ 𝜓 𝑎 = 1 + lim 𝜀→0 1 𝐸 𝑎 − 𝐻0 + 𝑖𝜀 𝑉 𝜑 𝑎 • Similaridades e diferenças entre 20 e 21: - 20 é expressa em termos da Hamiltoniana total. - 21 é expressa em termos de 𝐻0 e representa uma série infinita. Chamada de Equação de Lippmann-Schwinger. - Nos dois casos a equação 𝐻𝜓 𝑎 = 𝐸 𝑎 𝜓 𝑎 é satisfeita. - Os termos 𝐸 𝑎 − 𝐻 + 𝑖𝜀 −1 e 𝐸 𝑎 − 𝐻0 + 𝑖𝜀 −1 aparecem na teoria de espalhamento. São conhecidas como funções de Green. (20) (21)
  • 25. Limites infinitos • A matriz de elementos do operador de espalhamento 𝑆 na base de 𝜑 𝑘 o qual é autofunção da Hamiltoniana não perturbada 𝐻0 com autovalores 𝐸 𝑘 𝑆 𝑏𝑎 = 𝜑 𝑏 𝑈𝐼(∞, −∞) 𝜑 𝑎 𝑆 𝑏𝑎 = 𝛿 𝑏𝑎 − 2𝜋𝑖𝑅 𝑏𝑎 𝛿(𝐸 𝑏 − 𝐸 𝑎) • Onde 𝑅 𝑏𝑎 = 𝜑 𝑏 𝑉 𝜓 𝑎 é chamado de matriz de reação, que pode ser escrita na forma: 𝑅 𝑏𝑎 = 𝑉𝑏𝑎 + lim 𝜀→0 𝑐 𝑉 𝑏𝑐 𝑉𝑐𝑎 𝐸 𝑎−𝐸 𝑐+𝑖𝜀 + termos de ordem superior
  • 27. Precessão de spin • Sistema de spin 1 2 , de momento magnético 𝑒ℏ 2𝑚 𝑒 𝑐 sujeito a um campo magnético B na direção z, uniforme e estático. 𝐻 = − 𝑒 𝑚 𝑒 𝑐 𝑆. 𝐵 = − 𝑒 𝑚 𝑒 𝑐 𝑆 𝑧 • 𝐻, 𝑆 𝑧 = 0 thereofre 𝐸 ±= ∓ 𝑒ℏ 2𝑚 𝑒 𝑐 • Definindo 𝜔 ≡ 𝑒 𝐵 𝑚 𝑒 𝑐 → 𝐻 = 𝜔𝑆 𝑧 • O operador de evolução temporal é dado por 𝑈 𝑡, 0 = exp − 𝑖𝜔𝑆 𝑧 𝑡 ℏ • Se em 𝑡 = 0 o estado é dado por |𝛼 = 𝑐+| + + 𝑐−| − , em um tempo t temos |𝛼, 𝑡 = 𝑐+ exp − 𝑖𝜔𝑡 2 | + + 𝑐− exp + 𝑖𝜔𝑡 2 | −
  • 28. Precessão de spin • Supondo que o sistema esteja no estado 𝑆 𝑥 +, assim temos que 𝑐+ = 𝑐− = 1 2 • Probabilidade de encontrar o sistema nos estados 𝑆 𝑥 ± depois de um tempo t 𝑆 𝑥 + 𝛼, 𝑡 2 = cos2 𝜔𝑡 2 𝑆 𝑥 − 𝛼, 𝑡 2 = 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 2 • O campo magnético na direção z faz o spin girar.
  • 29. Evolução temporal do oscilador harmônico 𝐻 = 𝑝2 2𝑚 − 𝑚𝜔2 𝑥2 2 • Equações de movimento de Heisenberg 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = −𝑚𝜔2 𝑥 ; 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑝 𝑚 • São equivalentes à: 𝑑𝑎 𝑑𝑡 = −𝑖𝜔𝑎 ; 𝑑𝑎† 𝑑𝑡 = 𝑖𝜔𝑎† • Cujas soluções são 𝑎 𝑡 = 𝑎 0 exp(−𝑖𝜔𝑡) ; 𝑎† 𝑡 = 𝑎† 0 exp(𝑖𝜔𝑡) • Estas relações mostram que N e H são operadores independentes do tempo. Escrevendo em termos de x e p temos 𝑥 𝑡 = 𝑥 0 cos 𝜔𝑡 + 𝑝 0 𝑚𝜔 sin 𝜔𝑡 𝑝 𝑡 = −𝑚𝜔𝑥 0 sin 𝜔𝑡 + 𝑝 0 cos 𝜔𝑡 • Estas equações são parecidas com as equações clássicas. Mostram que x e p “oscilam” do mesmo modo que os análogos clássicos.

Notas do Editor

  1. Equação de Schrodinger dependente do tempo Interpretação útil: Suponha que o sistema está no estado 𝜓 𝑎 em 𝑡 0 . Depois de um tempo t o sistema se desenvolve para o estado 𝑈 𝑡, 𝑡 0 𝜓 𝑎 . A amplitude de probabilidade de que 𝑈 𝑡, 𝑡 0 𝜓 𝑎 é um estado particular de 𝜓 𝑏 é dado pela integral de overlap 𝜓 𝑏 𝑈(𝑡, 𝑡 0 ) 𝜓 𝑎 , que é a projeção de 𝜓 𝑏 em 𝑈(𝑡, 𝑡 0 ). Probabilidade...
  2. Propriedade da composição de deslocamentos temporais.
  3. 𝑈 † 𝑈 é uma constante e para satisfazer a condição de contorno deve ser igual a 1.
  4. Possível fazer a expansão da exponencial
  5. Separação da parte espacial da parte temporal
  6. Fazer a derivada temporal no quadro (se der).
  7. 𝜓 𝐼 𝑡 = 𝑒 𝑖 𝐻 0 𝑡 ℏ 𝜓 𝑡 = 𝑒 𝑖 𝐻 0 𝑡 ℏ 𝑈 𝑡, 𝑡 0 𝜓 𝑡 0 = 𝑒 𝑖 𝐻 0 𝑡 ℏ 𝑈 𝑡, 𝑡 0 𝑒 − 𝑖 𝐻 0 𝑡 0 ℏ 𝜓 𝐼 ( 𝑡 0 ) Como U é unitário : Udag = U-1
  8. 1ª integral: 𝑉 𝐼 𝑡 1 𝑉 𝐼 𝑡 2 𝑡 1 < 𝑡 2 2ª integral: 𝑉 𝐼 𝑡 2 𝑉 𝐼 𝑡 1 𝑡 1 < 𝑡 2 2ª integral e fazer uma mudança de variáveis
  9. U unitário: andando ao contrário no tempo