Física Quântica.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA
INSTITUTO CIBERESPACIAL
INSTITUTO SOCIOAMBIENTAL E DE RECURSOS HÍDRICOS
ENGENHARIAAMBIENTAL E ENERGIAS RENOVÁVEIS

2. 1 Equação de Erwin Schrödinger
1.1 Dependente do tempo (E.D.T.):
1.1.1 Em uma dimensão
1.1.2 Em três dimensões
Operador
Laplaciano

3. 1.2 Independente do tempo (E.I.T):
1.2.1 Método de separação de variáveis
Tem-se que
Separando as variáveis da E.D.P,
Assim,
. Portanto,
Dividindo por :

4. Estabelece – se que: ou . Torna-se então
em
Ou em
Para três dimensões:
Equação de Schrödinger
Independente do tempo

5. 2 Equação independente do tempo em coordenadas esféricas
2.1 Método de separação de variáveis :
A equação torna-se:
Separando as variáveis da E.D.P,
Aplicando na E.I.T. tem-se:
Operador
Laplaciano

6. Dividindo a E.I.T. por e multiplicando por fica:
Por separação de constante, tem-se:
Dependente apenas de r Dependente de θ e ϕ
Termo dependente de r
Termo dependente de θ e ϕ
Origina a Equação Radial
Origina a Equação Angular

7. 3 Equação Radial:
A partir equação anterior,
Simplificando-a por mudança de variáveis em que:
Substituindo na equação anterior fica:
Equação Radial

8. 4 Solução da Equação Radial para o Hidrogênio:
Pela Lei de Coulomb, o potencial de energia é:
E a Equação Radial diz que
- A equação radial é chamada de equação de Laguerre associada e as
soluções R são chamadas de funções de Laguerre associadas.
Átomo de Hidrogênio (H)

9. Fazendo (E > 0) e dividindo a Equação Radial por E :
Sugerindo e
Então substituindo, surge:
Observando o comportamento da equação quando e e
e, em seguida, encontrando a solução geral para as duas condições,
introduz-se uma nova função:

10. Pela substituição de variáveis, em termo de , tem-se para a
anterior equação radial:
Finalmente, assumindo uma solução para expressa-se uma
série de potência para :
Diferenciando termo por termo dessa série, surge:

11. Diferenciando novamente:
Inserindo as duas diferenciações na equação (E.R.)
Torna-se
Equacionando os coeficientes dos campos de potência, resume-se
em:
Ou em...

12. Sendo que e .
O A é uma constante de Normalização.
Inserindo na equação resulta em:
E, assim, , do início, transforma-se em:

13. Observando a equação ,
nota-se que quando ocorre um número inteiro máximo, ,
transformando a equação em:
Definindo , teremos o Número Quântico Principal:

14. Como determina E pelas equações abaixo:
e
Assim:
Finalmente, os níveis de energia serão:

15. Referências Bibliográficas
• GRIFFITHS, David J. Introduction to Quantum Mechanics. Volume único.
New Jersey; Prentice Hall, 1994.