1. O documento discute o oscilador harmônico e a segunda quantização. 2. Na seção de oscilador harmônico, apresenta as soluções da equação de Schrödinger, a formulação matricial e a representação de Heisenberg. 3. A seção de segunda quantização introduz os operadores de criação e aniquilação, seus elementos de matriz e diagramas, além dos operadores de campo.

1. Oscilador harmônico e segunda
quantização
Gabriela Moura

2. • Oscilador harmônico
1. Soluções de Schrodinger
2. Formulação matricial
3. Representação de Heisenberg
• Segunda quantização
1. Operadores de criação e aniquilação
2. Elementos de matriz dos operadores
3. Diagramas
4. Operadores de campo

3. Oscilador Harmônico
1. Soluções de Schrodinger
𝐻 =
𝑃2
2𝑚
+
𝑚
2
𝜔2
𝑞2
𝜓 𝑛 𝑞 =
1
2 𝑛 2 𝑛!
𝑚𝜔
ℏ𝜋
1
2
𝑒𝑥𝑝 −
𝑚𝜔
2ℏ
𝑞2
𝐻 𝑛
𝑚𝜔
ℏ
𝑞
Momento: 𝑝 = −𝑖ℏ
𝑑
𝑑𝑞
(representação das coordenadas)
deslocamento
𝐻𝜓 = 𝐸𝜓
𝑑2
𝑑𝑞2
𝜓 𝑞 +
2𝑚
ℏ2
𝐸 −
1
2
𝑚𝜔2 𝑞2 𝜓 𝑞 = 0
Polinômios de
Hermite
𝐸 𝑛 = 𝑛 +
1
2
ℏ𝜔 , n = 0, 1, 2 ...

4. Oscilador Harmônico: soluções de
Schrodinger
• Mudança de variáveis (forma mais compacta)
𝜉 =
𝑚𝜔
ℏ
𝑞 , 𝑈 𝑛 =
ℏ
𝑚𝜔
𝜓 𝑛
∴ 𝑈 𝑛 𝜉 =
1
𝜋2 𝑛 𝑛!
1
2
𝑒−
𝜉2
2 𝐻 𝑛(𝜉)

5. Oscilador Harmônico: soluções de
Schrodinger
• Propriedades
1. −∞
∞
𝑈 𝑛 𝑈 𝑝 𝑑𝜉 = 𝛿 𝑛𝑝
2.
1
2
𝜉 −
𝑑
𝑑𝜉
𝑈 𝑛 = 𝑛 + 1𝑈 𝑛+1
3.
1
2
𝜉 +
𝑑
𝑑𝜉
𝑈 𝑛 = 𝑛 𝑈 𝑛−1
4. 𝜉𝑈 𝑛 =
𝑛+1
2
𝑈 𝑛+1 +
𝑛
2
𝑈 𝑛−1
5. 𝑈 𝑛 −𝜉 = −1 𝑛
𝑈 𝑛(𝜉)

6. Oscilador Harmônico
2. Formulação matricial
Por conveniência:
𝑃2
=
𝑝2
2𝑚
; 𝑄2
= 𝑚𝑞2
ℋ =
1
2
𝑃2
+ 𝜔2
𝑄2
𝑄, 𝑃 = 𝑖ℏ 𝑃 = 𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑄
• Representação de Schrodinger → Q e P são
independentes do tempo

7. Oscilador Harmônico: formulação
matricial
• Construir combinações lineares entre
operadores
𝑎 =
1
2ℏ𝜔
(𝜔𝑄 + 𝑖𝑃) ; 𝑎†
=
1
2ℏ𝜔
𝜔𝑄 − 𝑖𝑃
Ou
𝑄 =
ℏ
2𝜔
(𝑎 + 𝑎†
) ; 𝑃 = 𝑖
ℏ𝜔
2
(𝑎†
− 𝑎)
 𝑎 e 𝑎†
também são independentes do tempo

8. Oscilador Harmônico: formulação
matricial
𝑎, 𝑎† = 1 ⇒ 𝑎𝑎† − 𝑎† 𝑎 = 1
∴ ℋ =
1
2
ℏ𝜔 𝑎𝑎† + 𝑎† 𝑎 = ℏ𝜔 𝑎† 𝑎 + 1
2 = ℏ𝜔(𝑁 + 1
2). (1)
𝑁 = 𝑎† 𝑎 operador número
• 𝑎† 𝑒 𝑎 não são hermitianos, apesar disso N é hermitiano.
• A partir das relações de comutação, temos
𝑁𝑎 = 𝑎† 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎† − 1 𝑎 = 𝑎𝑎† 𝑎 − 𝑎 = 𝑎 𝑎† 𝑎 − 1 = 𝑎(𝑁 − 1)
𝑁𝑎† = 𝑎† 𝑎𝑎† = 𝑎† 𝑎† 𝑎 + a = 𝑎† 𝑁 + 1

9. Oscilador Harmônico: formulação
matricial
• 𝑁| 𝑛 = 𝑛| 𝑛
• Grupo de simetria de H é 𝐶𝑙 ⇒ ℋ é invariante sob operação
identidade e inversão (q → -q)
• O fato de N ser hermitiano também requer
𝑛′ 𝑛 = 𝛿 𝑛′ 𝑛 ⇒ ortogonalidade
• 𝑁𝑎| 𝑛 = 𝑛 − 1 𝑎| 𝑛
• 𝑁𝑎†
| 𝑛 = (𝑛 + 1)𝑎†
| 𝑛
• Se | 𝑛 é autoestado de N com auto valor n; então 𝑎| 𝑛 também é
autoestado de N com autovalor (n-1) e 𝑎†
| 𝑛 também é
autoestado, com autovalor (n+1)
• Os autovalores de N e os autoestados correspondentes podem ser
dispostos na forma de escada.
Real, não degenerado

10. Oscilador Harmônico: formulação
matricial
• De acordo com (1), os níveis de energia
adjacentes do oscilador harmônico possuem
diferença de energia constante de ℏ𝜔.
• A escada tem um limite inferior
𝑛 𝑁 𝑛 = 𝑛 𝑎†
𝑎 𝑛 ≥ 0
𝑛 𝑁 𝑛 = 𝑛
∴ 𝑛|𝑎†
𝑎|𝑛 = 𝑛 ≥ 0 (2)n nunca pode
ser negativo

11. Oscilador Harmônico: formulação
matricial
• Agora: 𝑁|𝑛 − 1 = 𝑛 − 1 |𝑛 − 1
e 𝑁𝑎|𝑛 = 𝑛 − 1 𝑎|𝑛
• 𝑛|𝑎† = 𝐶 𝑛
†
𝑛 − 1|
• 𝑛 𝑎†
𝑎 𝑛 = 𝑛
• ∴ 𝐶 𝑛
†
𝐶 𝑛 = 𝑛 ⇒ 𝐶 𝑛
2 = 𝑛 ⇒ 𝐶 𝑛 = 𝑛
• 𝑎†|𝑛 = 𝑛 + 1|𝑛 + 1 ⇒ criação
• n é inteiro?
– n semi-inteiro → 𝑎|𝑛 = 𝑛|𝑛 − 1 → leva a um n<0, o
que viola (2).
– n inteiro → 𝑎|0 = 0
𝑎|𝑛 = 𝐶 𝑛|𝑛 − 1
Real, > 0
aniquilação

12. Oscilador Harmônico: formulação
matricial
• Matrizes

13. Oscilador Harmônico: formulação
matricial
• |𝑛 → autofunções

14. Oscilador Harmônico
3. Representação de Heisenberg
𝐴 𝐻 𝑡 = 𝑒 𝑖ℋ 𝑡
ℏ 𝐴𝑒−𝑖ℋ 𝑡
ℏ
que satisfaz:
𝑖ℏ
𝜕𝐴 𝐻
𝜕𝑡
𝑡 = 𝐴 𝐻 𝑡 , ℋ 𝐻
Para operador de aniquilação
𝑖ℏ
𝜕𝑎 𝐻
𝜕𝑡
𝑡 = 𝑎 𝐻 𝑡 , ℋ 𝐻

15. Oscilador Harmônico: representação
de Heisenberg
• Na representação de Schrodinger
𝑎, ℋ = 𝑎, ℏ𝜔 𝑁 + 1
2 = ℏ𝜔 𝑎, 𝑁
= ℏ𝜔 𝑎𝑁 − 𝑁𝑎 = ℏ𝜔 𝑎𝑁 − 𝑎𝑁 + 𝑎 = ℏ𝜔𝑎
• A mesma relação para a representação de Heisenberg
𝑎 𝐻 𝑡 , ℋ 𝐻 = ℏ𝜔𝑎 𝐻
∴
𝜕𝑎 𝐻
𝜕𝑡
𝑡 = −𝑖 𝜔𝑎 𝐻
• Para operador criação 𝑎†
𝜕𝑎 𝐻
†
𝜕𝑡
𝑡 = −𝑖 𝜔𝑎 𝐻
†
(3)
(4)

16. Oscilador Harmônico: representação
de Heisenberg
• Integrando (3) e (4)
𝑎 𝐻 𝑡 = 𝑎 𝐻(0)𝑒−𝑖𝜔𝑡
; 𝑎 𝐻
†
𝑡 = 𝑎 𝐻
†
0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
• Nas duas representações os operadores são os
mesmos em 𝑡 = 0.
𝑎 𝐻 0 = 𝑎 ; 𝑎 𝐻
†
0 = 𝑎†
𝑎 𝐻 𝑡 = 𝑎𝑒−𝑖𝜔𝑡
; 𝑎 𝐻
†
𝑡 = 𝑎†
𝑒 𝑖𝜔𝑡

17. Segunda quantização
1. Operadores de criação e aniquilação
• Suponha um conjunto ortonormal de spins
𝜓1, 𝜓2, … , 𝜓 𝑛 alguns deles ocupados por
elétrons ou desocupados.
– Todos os orbitais vagos: estado de vácuo
𝜓0 = |0 = |01, 02, … , 0 …
– 𝜓 𝑚 é ocupado
– 𝜓 𝑚 = |01, 02, … , 1 𝑚, … 0 … = 𝜓 𝑚(1)
𝜓 𝑚 é ocupado por 1 elétron

18. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
- 𝜓𝑙 e 𝜓 𝑚 são ocupados
𝜓𝑙𝑚 = |01, 02, … , 1𝑙, … , 1 𝑚, … 0 …
Duas funções de onda do elétron, que devem ser antissimétricas
com respeito à troca dos dois elétrons.
- Expresso pelo determinante de Slater
- 𝜓𝑙𝑚 =
1
2
𝜓𝑙(1) 𝜓 𝑚(1)
𝜓𝑙(2) 𝜓 𝑚(2)
, 𝜓 𝑚𝑙 = − 𝜓𝑙𝑚
- ∴ |01, 02, … , 1 𝑚, … , 1𝑙, … 0 =
− |01, 02, … , 1𝑙, … , 1 𝑚, … 0

19. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
- 3 orbitais ocupados: 𝜓 𝑘, 𝜓𝑙 𝑒 𝜓 𝑚
𝜓 𝑘𝑙𝑚 = |01, 02, … , 1 𝑘, … , 1𝑙, … , 1 𝑚, … 0 …
- Determinante de Slater
𝜓 𝑘𝑙𝑚 =
1
3
𝜓 𝑘(1) 𝜓𝑙(1) 𝜓 𝑚(1)
𝜓 𝑘(2) 𝜓𝑙(2) 𝜓 𝑚(2)
𝜓 𝑘(3) 𝜓𝑙(3) 𝜓 𝑚(3)
• Esta descrição é chamada de número de ocupação ou
espaço de Fock
- lista todos os orbitais e mostra quais estão vagos e quais
estão ocupados
- O determinante de Slater lista somente os orbitais
ocupados

20. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
• Um vetor de estado geral para um sistema de
elétrons pode ser escrito como:
|𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛 𝑘, … , 𝑛 𝑘 = 0,1
- Para fazer uma correspondência com o
determinante de Slater é necessário estabelecer
uma ordem e então, aplicar a mesma ordem no
determinante correspondente.
- 𝑛1
′
, 𝑛2
′
, … , 𝑛 𝑘
′
, … 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛 𝑘, … =
𝛿 𝑛1
′ ,𝑛1
𝛿 𝑛2
′ ,𝑛2
… 𝛿 𝑛 𝑘
′
,𝑛 𝑘 Princípio da ortogonalidade

21. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
• Operador de aniquilação: 𝑐 𝑘 é definido como o operador
que remove ou aniquila um elétron no k-ésimo orbital,
desde que o orbital em questão contenha inicialmente um
elétron.
𝑐 𝑘|01, 02, … , 1 𝑘, … , 1𝑙, … ,1 𝑚 , … , 0, …
= |01, 02, … , 0 𝑘, … , 1𝑙, … ,1 𝑚 , … , 0, …
• Como consequência da exigência de assimetria
𝑐 𝑘 𝜓 𝑘𝑙𝑚 = −𝑐𝑙 𝜓𝑙𝑘𝑚 = − 𝜓 𝑘𝑚
• Se o operador de aniquilação atuar em um orbital vago, o
resultado é zero:
𝑐𝑖|01, 02, … , 0𝑖, … , 1 𝑘, … , 1𝑙, … ,1 𝑚 , … , 0, … = 𝑐𝑖 𝜓 𝑘𝑙𝑚 = 0

22. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
• Em particular, o operador aniquilação atuando no
estado de vácuo é identicamente zero
𝑐𝑖|0 = 0
• Duas operações sucessivas
𝑐𝑙 𝑐 𝑘 𝜓 𝑘𝑙𝑚 = 𝑐𝑙 𝜓𝑙𝑚 = 𝜓 𝑚
𝑐 𝑘 𝑐𝑙 𝜓 𝑘𝑙𝑚 = −𝑐 𝑘 𝜓 𝑘𝑚 = −𝜓 𝑚
∴ 𝑐 𝑘 𝑐𝑙 + 𝑐𝑙 𝑐 𝑘 = 𝑐 𝑘, 𝑐𝑙 = 0
𝑐 𝑘 𝑐 𝑘 = 0
• Um elétron no k-ésimo orbital só pode ser aniquilado
uma vez (o segundo operador encontra um orbital
vago).

23. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
• Operador de criação: 𝑐 𝑘
†
cria uma partícula no k-ésimo
orbital desde que o orbital esteja inicialmente vago.
𝑐 𝑚
†
𝜓0 = 𝜓 𝑚
𝑐𝑙
†
𝜓 𝑚 = 𝜓𝑙𝑚
𝑐 𝑘
†
𝜓𝑙𝑚 = 𝜓 𝑘𝑙𝑚
• Princípio de Pauli
𝑐𝑙
†
𝜓𝑙𝑚 = 0
Não se pode criar uma partícula num estado que já está
ocupado

24. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
• Escrito de outra maneira
𝑐 𝑚
†
|01, 02, … , 0, … = |01, 02, … ,1 𝑚 , … , 0, …
𝑐𝑙
†
|01, 02, … ,1 𝑚 , … , 0, … = |01, 02, … , 1𝑙, … ,1 𝑚 , … , 0, …
𝑐 𝑘
†
|01, 02, … , 1𝑙, … ,1 𝑚 , … , 0, …
= |01, 02, … , 1 𝑘, … , 1𝑙, … ,1 𝑚 , … , 0, …
Ou
𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙
†
𝑐 𝑚
†
|0 = |01, 02, … , 1 𝑘, … , 1𝑙, … ,1 𝑚 , … , 0, …
• Qualquer estado pode ser gerado a partir de um estado de vácuo
através do conjunto apropriado de operadores de criação, mas
𝑐𝑙
†
|01, 02, … , 1𝑙, … ,1 𝑚 , … , 0, … = 0
∴ o operador de criação atuando sobre um orbital ocupado produz
uma função de onda identicamente nula

25. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
• Se 𝜓 𝑘 e 𝜓𝑙 são dois orbitais vagos
𝑐𝑙
†
𝑐 𝑘
†
𝜓 𝑚 = 𝜓𝑙𝑘𝑚 = −𝜓 𝑘𝑙𝑚
mas
𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙
†
𝜓 𝑚 = 𝜓 𝑘𝑙𝑚
∴ {𝑐 𝑘
†
, 𝑐𝑙
†
} = 0 e 𝑐 𝑘
† 2
= 0
• Princípio de Pauli: para uma partícula obedecendo a
estatística de Fermi, um orbital não pode ser ocupado
por mais de uma partícula.
• 𝑐 𝑘 e 𝑐 𝑘
†
são operadores de Fermi no espaço de Fock.

26. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
• Vamos considerar
𝑐𝑙
†
𝑐 𝑘 𝜓 𝑘 = 𝜓𝑙
𝑐 𝑘 𝑐𝑙
†
𝜓 𝑘 = 𝑐 𝑘 𝜓𝑙𝑘 = −𝜓𝑙
∴ 𝑐 𝑘, 𝑐𝑙
†
= 0 p/ 𝑘 ≠ 𝑙
• Quando 𝑘 = 𝑙 temos:
𝑐 𝑘
†
𝑐 𝑘 𝜓0 = 0 𝑐 𝑘 𝑐 𝑘
†
𝜓0 = 𝜓0
𝑐 𝑘
†
𝑐 𝑘 𝜓 𝑘 = 𝜓 𝑘 𝑐 𝑘 𝑐 𝑘
†
𝜓 𝑘 = 0
• Note que o autovalor de 𝑐 𝑘
†
𝑐 𝑘 é o número de ocupação
(0 ou 1) no k-ésimo orbital

27. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
• Definir operador número para o k-ésimo orbital 𝑁𝑘
𝑁𝑘 = 𝑐 𝑘 𝑐 𝑘
†
= 𝑁𝑘
†
⇒ 𝑁𝑘
2
= 𝑁𝑘
𝑐 𝑘 𝑐 𝑘
†
+ 𝑐 𝑘
†
𝑐 𝑘 𝜓0 = 𝜓0
𝑐 𝑘 𝑐 𝑘
†
+ 𝑐 𝑘
†
𝑐 𝑘 𝜓 𝑘 = 𝜓 𝑘
• Resumo das relações de comutação
𝑐 𝑘, 𝑐𝑙 = 𝑐 𝑘
†
, 𝑐𝑙
†
= 0 𝑐 𝑘, 𝑐𝑙
†
= 𝛿 𝑘𝑙
• De outra forma:
𝑐 𝑘| … , 𝑛 𝑘, … = −1
𝑝 𝑘
𝑛 𝑘| … , 0 𝑘, …
𝑐 𝑘
†
| … , 𝑛 𝑘, … = −1 𝑝 𝑘 1 − 𝑛 𝑘| … , 1 𝑘, …
• Com 𝑛 𝑘 = 0 𝑜𝑢 1, 𝑝 𝑘 é o número de orbitais ocupados a esquerda
de 𝑘 e −1 𝑝 𝑘 é o fator de paridade que leva em conta a simetria
da função de onda do N-elétron

28. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
• Sabemos que a função de onda de um sistema
com partículas indistinguíveis deve ser
simétrica (bósons) ou antissimétrica
(férmions) quando se faz uma troca entre as
partículas.
• Até o momento, o formalismo só descreve
férmions.

29. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
• Formalismo adequado para descrever bósons
- função de onda de muitos bósons expressa em termos do
número de ocupação pode ser escrita como:
|𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛 𝑘, …
𝑛 𝑘 pode ser qualquer inteiro positivo ou zero.
• Fazendo uma associação com os osciladores harmônicos
podemos dizer que cada oscilador está em um estado de
excitação arbitrário. Lembrando que um oscilador com
autoestado |𝑛 tem energia ℏ𝜔 𝑛 + 1
2 e que os
operadores de criação e aniquilação
𝑎|𝑛 = 𝑛|𝑛 − 1 𝑎†
|𝑛 = 𝑛 + 1|𝑛 + 1 𝑎|0 = 0
𝑎, 𝑎† = 1 𝑛′ 𝑛 = 𝛿 𝑛′,𝑛

30. Segunda quantização: Operadores de
criação e aniquilação
• Estendendo para um sistema de vários bósons
𝑛1
′
, 𝑛2
′
, … , 𝑛 𝑘
′
, … 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛 𝑘, …
= 𝛿 𝑛1
′ ,𝑛1
𝛿 𝑛2
′ ,𝑛2
… 𝛿 𝑛 𝑘
′
,𝑛 𝑘
𝑎 𝑘| … , 𝑛 𝑘, … = 𝑛 𝑘| … , 𝑛 𝑘 − 1, …
𝑎 𝑘
†
| … , 𝑛 𝑘, … = 𝑛 𝑘 + 1| … , 𝑛 𝑘 + 1, …
• Relações de comutação
𝑎 𝑘, 𝑎𝑙 = 𝑎 𝑘
†
, 𝑎𝑙
†
= 0
𝑎 𝑘, 𝑎𝑙
†
= 𝛿 𝑘𝑙

31. Segunda quantização
2. Elementos de matriz dos operadores
• Suponha
𝜓𝑙𝑚 =
1
2
𝜓𝑙(1) 𝜓 𝑚(1)
𝜓𝑙(2) 𝜓 𝑚(2)
𝐹 = 𝑓1 + 𝑓2
𝜓𝑙, 𝜓 𝑚 são os orbitais de 1 elétron e 𝑓1, 𝑓2 são os operadores de 1
elétron que opera nos elétrons 1 e 2, respectivamente
𝜓𝑙𝑚 𝐹 𝜓𝑙𝑚 = 𝑙 𝑓 𝑙 + 𝑚 𝑓 𝑚
Podemos inferir que
𝐹 =
𝑖
𝑓𝑖 =
𝑘𝑙
𝑘 𝑓 𝑙 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙
Com 𝑘 𝑓 𝑙 ≡ 𝜓 𝑘 𝑖 𝑓𝑖 𝜓𝑙 𝑖 e 𝑘𝑙 somados sobre todos os orbitais
ocupados

32. Segunda quantização: Elementos de
matriz dos operadores
• Por causa do princípio de exclusão de Pauli,
esta soma é equivalente a somar sobre todos
os elétrons
• F é um operador no espaço de Fock: deve
operar em um vetor de estado escrito em
termos do número de ocupação

33. Segunda quantização: Elementos de
matriz dos operadores
• Caso especial: 𝑓𝑖 = 1 ⇒ representa o número total de elétrons chamado N
(operador número).
𝑁 =
𝑘𝑙
𝑘 𝑙 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙 =
𝑘𝑙
𝛿 𝑘𝑙 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙 =
𝑘
𝑐 𝑘
†
𝑐 𝑘 =
𝑘
𝑁𝑘
• Outro caso importante: 𝐹 = 𝐻0, 𝐻0 = 𝑖 𝐻0(𝑖)
Se 𝜓 𝑘 𝑖 ; 𝜓𝑙(𝑖) … são autofunções de 𝐻 𝑜(𝑖) com autovalores 𝐸 𝑘, 𝐸𝑙
𝐻0 =
𝑘𝑙
𝜓 𝑘(𝑖) 𝐻0(𝑖) 𝜓𝑙(𝑖) 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙 =
𝑘𝑙
𝐸𝑙 𝜓 𝑘(𝑖) 𝜓𝑙(𝑖) 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙
=
𝑘𝑙
𝐸𝑙 𝛿 𝑘𝑙 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙 =
𝑘
𝐸 𝑘 𝑐 𝑘
†
𝑐 𝑘 =
𝑘
𝐸 𝑘 𝑁𝑘
• Relações de comutação
𝑐𝑙, 𝐻0 = 𝐸𝑙 𝑐𝑙; 𝑐𝑙
†
, 𝐻0 = −𝐸𝑙 𝑐𝑙
†

34. Segunda quantização: Elementos de
matriz dos operadores
• Na representação de interação
𝑐𝑙
𝐼
𝑡 = 𝑒 𝑖𝐻0 𝑡/ℏ
cl 𝑒−𝑖𝐻0 𝑡/ℏ
𝜕𝑐𝑙
𝐼
(𝑡)
𝜕𝑡
= −
𝑖
ℏ
𝑐𝑙
𝐼
𝑡 , 𝐻0 = −
𝑖
ℏ
𝐸𝑙 𝑐𝑙
𝐼
(𝑡)
∴
𝑖ℏ𝜕𝑐𝑙
𝐼
𝑡
𝜕𝑡
= 𝐸𝑙 𝑐𝑙
𝐼
𝑡 ⇒ 𝑐𝑙
𝐼
𝑡 = 𝑐l 0 e−iElt/ℏ
= cle−iElt/ℏ
• O mesmo pode ser feito para o operador de criação
𝑐𝑙
𝐼†
𝑡 = cl
†
eiElt/ℏ
• Relações entre as representações de Schrodinger e de
interação para os operadores de criação e aniquilação.

35. Segunda quantização: Elementos de
matriz dos operadores
• Interação entre dois corpos
𝐺 =
1
2
𝑖≠𝑗
𝑔𝑖𝑗 =
1
2
𝑘𝑙,𝑚𝑛
𝑘𝑙 𝑔12 𝑚𝑛 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙
†
𝑐 𝑛 𝑐 𝑚
Onde 𝑘𝑙 𝑔12 𝑚𝑛 = 𝜓 𝑘 1 𝜓𝑙(2) 𝑔12 𝜓 𝑚 1 𝜓 𝑛(2)
• Para bósons
𝐹 =
𝑖
𝑓𝑖 =
𝑘𝑙
𝑘 𝑓 𝑙 𝑎 𝑘
†
𝑎𝑙
𝐺 =
1
2
𝑖≠𝑗
𝑔_𝑖𝑗 =
1
2
𝑘𝑙,𝑚𝑛
𝑘𝑙 𝑔12 𝑚𝑛 𝑎 𝑘
†
𝑎𝑙
†
𝑎 𝑛 𝑎 𝑚
𝑁 =
𝑘
𝑎 𝑘
†
𝑎 𝑘

36. Segunda quantização
3. Diagramas
• Os vários elementos de matriz para operadores de férmions
podem ser esquematizados em diagramas
Regras:
1) linha quebrada representa a interação de duas partículas 𝑔12
2) no final de duas linhas quebradas desenhar duas linhas sólidas
com setas apontando para fora das linhas quebradas
3) para um elemento de matriz 𝑎𝑏 𝑔12 𝑐𝑑
- Convenção
a é a linha de saída do vértice esquerdo
b é a linha de saída do vértice direito
c é a linha de entrada do vértice esquerdo
d é a linha de entrada do vértice direito

37. Segunda quantização: Diagramas
• Tais elementos de matriz e
seus diagramas podem ser
interpretados em termos dos
operadores de criação e
aniquilação ou em termos de
espalhamento (excitação) de
um estado para outro
• Exemplo: 𝑝𝑘 𝑔12 𝑙𝑘
- Aniquilação de uma partícula
em 𝜓𝑙 e a criação de uma
partícula em 𝜓 𝑝
- Uma partícula de foi excitada
de 𝜓l para 𝜓 𝑝
- A segunda partícula é
aniquilada em 𝜓 𝑘 e criada em
𝜓 𝑘

38. Segunda quantização: Diagramas
• 𝑘𝑙 𝑔12 𝑙𝑘
- Partícula 1: aniquilada
em 𝜓𝑙 e criada em 𝜓 𝑘
- Partícula 2: aniquilada
em 𝜓 𝑘 e criada em 𝜓𝑙
- Troca de orbitais entre
as duas partículas

39. Segunda quantização: Diagramas
• Examinar a expansão de 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 quando 𝑉 = 𝐺
𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0
= 1 −
𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝑉𝐼 𝑡1 𝑑𝑡1 +
1
2
−
𝑖
ℏ
2
𝑡0
𝑡
𝑑𝑡1
𝑡0
𝑡1
𝑑𝑡2 𝑃{𝑉𝐼 𝑡1 , 𝑉𝐼 𝑡2 } + ⋯
• Elementos de matriz: 𝜓 𝑔 𝑈𝐼(𝑡, 𝑡0) 𝜓 𝑔
𝑉 =
1
2
𝑘𝑙,𝑚𝑛
𝑘𝑙 𝑔12 𝑚𝑛 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙
†
𝑐 𝑛 𝑐 𝑚
• Lembrando que cl
I
𝑡 = cl eiElt/ℏ e 𝑐𝑙
𝐼†
𝑡 = cl
†
eiElt/ℏ
𝑉𝐼 𝑡 =
1
2
𝑘𝑙,𝑚𝑛
𝑘𝑙 𝑔12 𝑚𝑛 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙
†
𝑐 𝑛 𝑐 𝑚 𝑒 𝑖 𝐸 𝑘+𝐸 𝑙−𝐸 𝑛−𝐸 𝑚 𝑡/ℏ
• Os elementos de matriz 𝜓 𝑔 𝑉 𝜓 𝑔
𝑡2 > 𝑡1 ∶ 𝜓 𝑔 𝑉 𝑡2 𝑉(𝑡1) 𝜓 𝑔

40. Segunda quantização: Diagramas
• 2ª ordem
𝜓 𝑔 𝑉 𝑡2 𝑉(𝑡1) 𝜓 𝑔
=
𝑛
𝜓 𝑔 𝑉(𝑡2) 𝜓 𝑛 𝜓 𝑛 𝑉(𝑡1) 𝜓 𝑔
𝑛 = 0, 1,2 para termos ≠ 0
• Adicionar escala de tempo de
desenhar as 2 interações, uma
em 𝑡1 e outra em 𝑡2.

41. Segunda quantização
• Operadores de campo
• Férmions:
𝜓 𝐹 𝑟 = 𝑘 𝜑 𝑘 𝑟 𝑐 𝑘 ; 𝜓 𝐹
†
𝑟 = 𝑘 𝜑 𝑘
∗
𝑟 𝑐 𝑘
†
• 𝜑 𝑘: conjunto completo ortogonal de funções de onda arbitrárias
• Relações de comutação são derivadas das relações entre 𝑐 𝑘 e 𝑐 𝑘
†
𝜓 𝐹 𝑟 , 𝜓 𝐹 𝑟′ =
𝑘𝑙
𝑐 𝑘, 𝑐𝑙 𝜑 𝑘 𝑟 𝜑𝑙 𝑟′ = 0
𝜓 𝐹
†
𝑟 , 𝜓 𝐹
†
𝑟′
=
𝑘𝑙
𝑐 𝑘
†
, 𝑐𝑙
†
𝜑 𝑘
∗
𝑟 𝜑𝑙
†
𝑟′
= 0
𝜓 𝐹 𝑟 , 𝜓 𝐹
†
𝑟′
=
𝑘𝑙
𝑐 𝑘, 𝑐𝑙
†
𝜑 𝑘 𝑟 𝜑𝑙
∗
𝑟′ =
𝑘𝑙
𝛿 𝑘𝑙 𝜑 𝑘 𝑟 𝜑𝑙
∗
𝑟′ =
𝑘
𝜑 𝑘 𝑟 𝜑 𝑘
∗
𝑟′ = 𝛿 𝑟 − 𝑟′

42. Segunda quantização: operadores de
campo
• Soma de 1 ou 2 partículas, assim como F e G
𝜓 𝐹
†
𝑟 𝑓𝜓 𝑓 𝑟 𝑑𝑟 =
𝑘𝑙
𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙 𝜑 𝑘
∗
𝑟 𝑓𝜑𝑙 𝑑𝑟
• Comparando com 𝐹 = 𝑖 𝑓𝑖 = 𝑘𝑙 𝑘 𝑓 𝑙 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙, temos
𝐹 = 𝜓 𝐹
†
𝑟 𝑓 𝜓 𝐹 𝑟 𝑑𝑟
• Se 𝑓 = 1
𝐹 = 𝜓 𝐹
†
𝑟 𝜓 𝐹 𝑟 𝑑𝑟 =
𝑘
𝑐 𝑘
†
𝑐 𝑘 =
𝑘
𝑁𝑘 = 𝑁
• Definir o operador densidade
𝜌 𝑟 = 𝜓 𝐹
†
𝜓 𝐹(𝑟)

43. Segunda quantização: operadores de
campo
• 2 partículas
𝐺 =
1
2
𝜓 𝐹
†
𝑟1 𝜓 𝐹
†
𝑟2 𝑔12 𝜓 𝐹 𝑟2 𝜓 𝐹 𝑟1 𝑑𝑟1 𝑑𝑟2
=
1
2
𝑘𝑙,𝑚𝑛
𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙
†
𝑐 𝑛 𝑐 𝑚 𝜑 𝑘
∗
𝑟1 𝜑𝑙
∗
𝑟2 𝑔12 𝜑 𝑚 𝑟1 𝜑 𝑛 𝑟2 𝑑𝑟1 𝑑𝑟2
=
1
2
𝑘𝑙,𝑚𝑛
𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙
†
𝑐 𝑛 𝑐 𝑚 𝑘𝑙 𝑔12 𝑚𝑛

44. Segunda quantização: operadores de
campo
• Operador de energia cinética para um número
arbitrário de elétrons
𝑇 =
1
2𝑚
𝑘𝑙
𝑘 𝑝2
𝑙 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙 =
1
2𝑚
𝜓 𝐹
†
𝑟 𝑝2
𝜓 𝐹 𝑟 𝑑𝑟
• Energia repulsiva de Coulomb
𝐺 =
1
2
𝑘𝑙,𝑚𝑛
𝑘𝑙
𝑒2
𝑟12
𝑚𝑛 𝑐 𝑘
†
𝑐𝑙
†
𝑐 𝑛 𝑐 𝑚
=
1
2
𝜓 𝐹
†
𝑟1 𝜓 𝐹
†
𝑟2
𝑒2
𝑟12
𝜓 𝐹 𝑟2 𝜓 𝑟1 𝑑𝑟1 𝑑𝑟2

45. Segunda quantização: operadores de
campo
• Para bósons: anticomutadores → comutadores
𝜓 𝐵 𝑟 = 𝑖 𝜓𝑖 𝑟 𝑎𝑖 ; 𝜓 𝐵
†
𝑟 = 𝑖 𝜓𝑖
∗
𝑟 𝑎𝑖
†
𝜓 𝐵 𝑟 , 𝜓 𝐵 𝑟′
= 𝜓 𝐵
†
𝑟 , 𝜓 𝐵
†
𝑟′
= 0
𝜓 𝐵 𝑟 , 𝜓 𝐵
†
𝑟′
= 𝛿 𝑟 − 𝑟′
𝐹 = 𝜓 𝐵
†
𝑟 𝑓𝜓 𝐵 𝑟 𝑑𝑟
𝐺 =
1
2
𝜓 𝐵
†
𝑟1 𝜓 𝐵
†
𝑟2 𝑔12 𝜓 𝐵 𝑟2 𝜓 𝐵 𝑟1 𝑑𝑟1 𝑑𝑟2
𝑁 = 𝜓 𝐵
†
𝑟 𝜓 𝐵 𝑟 𝑑𝑟