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Estudos de Controle
- Introdução
1
Motivação
• Controles automáticos são muito utilizados em
diversas aplicações:
• Máquinas nas indústrias manufatureiras;
• Sistemas de piloto automático na indústria
aeroespacial;
• Sistemas de carros e caminhões na indústria
automotiva;
• Operações industriais como monitoramente de
temperatura, pressão, umidade, viscosidade e
vazão.
2
Histórico
• Na década de 40 e 50:
• Métodos de resposta em frequência
(diagramas de Bode) e lugar das raízes são a
essência da teoria clássica de controle.
• Na década de 60 a 80:
• Controle ótimo de sistemas determinísticos e
estocásticos.
• Controle Adaptativo e de aprendizagem.
• A partir da década de 80 até hoje:
• Controle robusto e H infinito . 3
Terminologia
• Variável controlada: grandeza ou condição que é
medida e controlada. Geralmente é a saída do
sistema.
• Variável manipulada: grandeza ou condição
manipulada pelo controlador, de modo que afeta a
variável controlada.
• Planta: sistema a ser controlado.
• Sistemas: combinação de componentes que agem
em conjunto para atingir determinado objetivo.
• Distúrbios: sinal que afeta de maneira adversa o
sinal da variável de saída do sistema. Pode ser
interno ou externo.
4
Controle de Malha Aberta
• O sinal de saída não exerce nenhuma ação de
controle no sistema, não é medido nem
realimentado.
• Cada entrada corresponde a uma condição fixa
de operação.
• O controle não funciona na presença de
distúrbios.
• Exemplos: Máquina de lavar roupas e tráfego por
sinais.
5
Controle de Malha Fechada
• Também chamados de controle com
realimentação.
• Estabelece uma relação de comparação entre a
saída e a entrada de referência, utilizando a
diferença como meio de controle.
• Robusto a distúrbios.
• Exemplo: controle de temperatura por
temostato, temperatura corporal e pressão
sanguínea.
6
Transformada de Laplace
• Método operacional para solucionar equações
diferenciais linerares.
• Fornece simplificações:
• Funções senoidais e exponenciais se tornam
funções algébricas;
• Diferenciação e integração se tornam
operações algébricas para variáveis complexas.
• Soluções fornecem tanto a componente
transitória quanto a componente estacionária.
7
Variáveis complexas
• Número complexo: possui uma parte real e uma
parte imaginária, ambas constantes:
𝑅 + 𝑗𝐼
• Se alguma das partes for variável, temos uma
variável complexa. Na transformada de Laplace
utiliza-se a notação s:
𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔
8
Funções complexas
• São funções que possuem uma parte real e uma
parte imaginária:
𝐺 𝑠 = 𝐺 𝑥 + 𝑗𝐺 𝑦
• Módulo:
|𝐺 𝑠 | = 𝐺 𝑥
2
+ 𝐺 𝑦
2
• Argumento angular de G(s):
𝜃 = 𝑡𝑔−1(𝐺 𝑥/ 𝐺 𝑦)
9
Módulo:
Função complexa analítica
• Uma função complexa é dita analítica em uma
região se G(s) e suas derivadas existirem nessa
região.
• Derivada de G(s):
𝑑
𝑑𝑠
𝐺 𝑠 = lim
∆𝑠→0
𝐺 𝑠 + ∆𝑠 − 𝐺(𝑠)
∆𝑠
= lim
∆𝑠→0
∆𝐺(𝑠)
∆𝑠
• Como ∆𝑠 = ∆𝜎 + 𝑗∆𝜔, ∆𝑠 pode tender a 0 por
infinitos diferentes caminhos. Por isso, a
derivada pode não existir. 10
Condições de Cauchy-Riemann
• Se as derivadas calculadas ao longo de dois
caminhos específicos (∆𝑠 = ∆𝜎 𝑒 ∆𝑠 = 𝑗∆𝜔)
forem iguais, então a derivada será a mesma
para qualquer outro percurso.
• Com as duas condições satisfeitas:
𝜕𝐺 𝑥
𝜕𝜎
=
𝜕𝐺 𝑦
𝜕𝜔
e
𝜕𝐺 𝑦
𝜕𝜎
= −
𝜕𝐺 𝑥
𝜕𝜔
• Então a derivada de G(s) é única e G(s) é
analítica.
• Exemplo: 𝐺 𝑠 =
1
𝑠+1
11
Derivada de uma função
analítica
• Pode ser obtida simplesmente pela derivação de
G(s) em relação a s.
• Exemplo: 𝐺 𝑠 =
1
𝑠+1
𝑑
𝑑𝑠
1
𝑠 + 1
= −
1
(𝑠 + 1)2
12
Função complexa analítica
• Pontos ordinários: pontos nos quais a função
G(s) é analítica.
• Pontos singulares: pontos nos quais a função
G(s) não é analítica.
• Pólos: pontos singulares que a função G(s) e
suas derivadas tendem a infinito.
• Zeros: pontos singulares que a função G(s) e
suas derivadas tendem a 0.
13
Pólos e Zeros
• Dada a função:
𝐺(𝑠)(𝑠 + 𝑝) 𝑛
• Considerando que G(s) tende ao infinito quando
s se aproxima de -p, mas a função acima seja
finita e não nula, então s=-p é chamado pólo de
ordem n.
• Os pólos podem ser simples (n=1), de segunda
ordem (n=2) e assim por diante.
14
Teorema de Euler
𝑒 𝑗𝜃
= cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃
𝑒−𝑗𝜃 = cos 𝜃 − 𝑗 sin 𝜃
• Ou:
cos 𝜃 =
1
2
𝑒 𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃
sin 𝜃 =
1
2𝑗
(𝑒 𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃)
15
Transformada de Laplace
𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
0
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋𝑗
𝐹(𝑠)
𝑐+∞
𝑐−∞
𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠
onde c é a abscissa de convergência, uma
constante real escolhida com valor superior à
parte real de todos os pontos singulares de F(s).
16
Transformada de Laplace
• Condição de existência:
• A integral deve convergir.
• f(t) contínua em todo intervalo finito de tempo
para t > 0 e se ela for de ordem exponencial
quanto t tender a infinito.
• Ordem exponencial: 𝑒−𝛼𝑡
|𝑓 𝑡 | deve tender a 0
quando t tende a infinito.
• Funções do tipo 𝑡, sin 𝜔𝑡 𝑒 𝑡 sin 𝜔𝑡 sempre
possuem a transformada de Laplace.
17
Transformada de Laplace
• Propriedades:
• 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠
• 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 + 𝐵𝑔 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠 + 𝐵𝐺(𝑠)
18
Transformada de Laplace
• Exponencial:
𝑇𝐿 𝐴𝑒−𝛼𝑡 =
𝐴
𝑠 + 𝛼
• Função degrau:
𝑇𝐿 𝐴 =
𝐴
𝑠
• Função rampa:
𝑇𝐿 𝐴𝑡 =
𝐴
𝑠2
• Função senoidal:
𝑇𝐿 𝐴 sin 𝜔𝑡 =
𝐴𝜔
𝑠2+𝜔2 𝑇𝐿 𝐴 cos 𝜔𝑡 =
𝐴𝑠
𝑠2+𝜔2
19
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Estudos de Controle - Aula 1: Introdução

  • 1. Estudos de Controle - Introdução 1
  • 2. Motivação • Controles automáticos são muito utilizados em diversas aplicações: • Máquinas nas indústrias manufatureiras; • Sistemas de piloto automático na indústria aeroespacial; • Sistemas de carros e caminhões na indústria automotiva; • Operações industriais como monitoramente de temperatura, pressão, umidade, viscosidade e vazão. 2
  • 3. Histórico • Na década de 40 e 50: • Métodos de resposta em frequência (diagramas de Bode) e lugar das raízes são a essência da teoria clássica de controle. • Na década de 60 a 80: • Controle ótimo de sistemas determinísticos e estocásticos. • Controle Adaptativo e de aprendizagem. • A partir da década de 80 até hoje: • Controle robusto e H infinito . 3
  • 4. Terminologia • Variável controlada: grandeza ou condição que é medida e controlada. Geralmente é a saída do sistema. • Variável manipulada: grandeza ou condição manipulada pelo controlador, de modo que afeta a variável controlada. • Planta: sistema a ser controlado. • Sistemas: combinação de componentes que agem em conjunto para atingir determinado objetivo. • Distúrbios: sinal que afeta de maneira adversa o sinal da variável de saída do sistema. Pode ser interno ou externo. 4
  • 5. Controle de Malha Aberta • O sinal de saída não exerce nenhuma ação de controle no sistema, não é medido nem realimentado. • Cada entrada corresponde a uma condição fixa de operação. • O controle não funciona na presença de distúrbios. • Exemplos: Máquina de lavar roupas e tráfego por sinais. 5
  • 6. Controle de Malha Fechada • Também chamados de controle com realimentação. • Estabelece uma relação de comparação entre a saída e a entrada de referência, utilizando a diferença como meio de controle. • Robusto a distúrbios. • Exemplo: controle de temperatura por temostato, temperatura corporal e pressão sanguínea. 6
  • 7. Transformada de Laplace • Método operacional para solucionar equações diferenciais linerares. • Fornece simplificações: • Funções senoidais e exponenciais se tornam funções algébricas; • Diferenciação e integração se tornam operações algébricas para variáveis complexas. • Soluções fornecem tanto a componente transitória quanto a componente estacionária. 7
  • 8. Variáveis complexas • Número complexo: possui uma parte real e uma parte imaginária, ambas constantes: 𝑅 + 𝑗𝐼 • Se alguma das partes for variável, temos uma variável complexa. Na transformada de Laplace utiliza-se a notação s: 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 8
  • 9. Funções complexas • São funções que possuem uma parte real e uma parte imaginária: 𝐺 𝑠 = 𝐺 𝑥 + 𝑗𝐺 𝑦 • Módulo: |𝐺 𝑠 | = 𝐺 𝑥 2 + 𝐺 𝑦 2 • Argumento angular de G(s): 𝜃 = 𝑡𝑔−1(𝐺 𝑥/ 𝐺 𝑦) 9 Módulo:
  • 10. Função complexa analítica • Uma função complexa é dita analítica em uma região se G(s) e suas derivadas existirem nessa região. • Derivada de G(s): 𝑑 𝑑𝑠 𝐺 𝑠 = lim ∆𝑠→0 𝐺 𝑠 + ∆𝑠 − 𝐺(𝑠) ∆𝑠 = lim ∆𝑠→0 ∆𝐺(𝑠) ∆𝑠 • Como ∆𝑠 = ∆𝜎 + 𝑗∆𝜔, ∆𝑠 pode tender a 0 por infinitos diferentes caminhos. Por isso, a derivada pode não existir. 10
  • 11. Condições de Cauchy-Riemann • Se as derivadas calculadas ao longo de dois caminhos específicos (∆𝑠 = ∆𝜎 𝑒 ∆𝑠 = 𝑗∆𝜔) forem iguais, então a derivada será a mesma para qualquer outro percurso. • Com as duas condições satisfeitas: 𝜕𝐺 𝑥 𝜕𝜎 = 𝜕𝐺 𝑦 𝜕𝜔 e 𝜕𝐺 𝑦 𝜕𝜎 = − 𝜕𝐺 𝑥 𝜕𝜔 • Então a derivada de G(s) é única e G(s) é analítica. • Exemplo: 𝐺 𝑠 = 1 𝑠+1 11
  • 12. Derivada de uma função analítica • Pode ser obtida simplesmente pela derivação de G(s) em relação a s. • Exemplo: 𝐺 𝑠 = 1 𝑠+1 𝑑 𝑑𝑠 1 𝑠 + 1 = − 1 (𝑠 + 1)2 12
  • 13. Função complexa analítica • Pontos ordinários: pontos nos quais a função G(s) é analítica. • Pontos singulares: pontos nos quais a função G(s) não é analítica. • Pólos: pontos singulares que a função G(s) e suas derivadas tendem a infinito. • Zeros: pontos singulares que a função G(s) e suas derivadas tendem a 0. 13
  • 14. Pólos e Zeros • Dada a função: 𝐺(𝑠)(𝑠 + 𝑝) 𝑛 • Considerando que G(s) tende ao infinito quando s se aproxima de -p, mas a função acima seja finita e não nula, então s=-p é chamado pólo de ordem n. • Os pólos podem ser simples (n=1), de segunda ordem (n=2) e assim por diante. 14
  • 15. Teorema de Euler 𝑒 𝑗𝜃 = cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃 𝑒−𝑗𝜃 = cos 𝜃 − 𝑗 sin 𝜃 • Ou: cos 𝜃 = 1 2 𝑒 𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃 sin 𝜃 = 1 2𝑗 (𝑒 𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃) 15
  • 16. Transformada de Laplace 𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 𝑓 𝑡 = 1 2𝜋𝑗 𝐹(𝑠) 𝑐+∞ 𝑐−∞ 𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠 onde c é a abscissa de convergência, uma constante real escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de F(s). 16
  • 17. Transformada de Laplace • Condição de existência: • A integral deve convergir. • f(t) contínua em todo intervalo finito de tempo para t > 0 e se ela for de ordem exponencial quanto t tender a infinito. • Ordem exponencial: 𝑒−𝛼𝑡 |𝑓 𝑡 | deve tender a 0 quando t tende a infinito. • Funções do tipo 𝑡, sin 𝜔𝑡 𝑒 𝑡 sin 𝜔𝑡 sempre possuem a transformada de Laplace. 17
  • 18. Transformada de Laplace • Propriedades: • 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠 • 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 + 𝐵𝑔 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠 + 𝐵𝐺(𝑠) 18
  • 19. Transformada de Laplace • Exponencial: 𝑇𝐿 𝐴𝑒−𝛼𝑡 = 𝐴 𝑠 + 𝛼 • Função degrau: 𝑇𝐿 𝐴 = 𝐴 𝑠 • Função rampa: 𝑇𝐿 𝐴𝑡 = 𝐴 𝑠2 • Função senoidal: 𝑇𝐿 𝐴 sin 𝜔𝑡 = 𝐴𝜔 𝑠2+𝜔2 𝑇𝐿 𝐴 cos 𝜔𝑡 = 𝐴𝑠 𝑠2+𝜔2 19