Propagação de Incerteza em Medições

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Propagação de Incerteza em Medições

  1. 1. Propagação de Incerteza em Medições Vitor F. Pamplona vitor@vitorpamplona.com
  2. 2. Problema ● Dois pontos quaisquer em um espaço 2D Copyright Vitor F. Pamplona 2
  3. 3. Problema ● Calcular a distância entre eles 4cm Copyright Vitor F. Pamplona 3
  4. 4. Problema ● Estes dois pontos possuem incertezas 4cm Copyright Vitor F. Pamplona 4
  5. 5. Problema ● Propagar as incertezas para distância? 4 +- 0.5 cm Copyright Vitor F. Pamplona 5
  6. 6. Conceitos: Acurácia e Precisão ● Acurácia ● Proximidade do valor verdadeiro ● Precisão ● Tamanho da dispersão Copyright Vitor F. Pamplona 6
  7. 7. Conceitos: Erro e Incerteza ● Erro ● É conhecido, logo o valor deve ser corrigido conhecido ● Incerteza ● Não é conhecido, logo não é possível corrigí-lo. conhecido Copyright Vitor F. Pamplona 7
  8. 8. Conceitos: Valores médios ● Valor verdadeiro yv Copyright Vitor F. Pamplona 8
  9. 9. Conceitos: Valores médios ● Valor verdadeiro yv ● Valor médio verdadeiro n 1 y mv==lim n ∞ ∑ yi n i=1 Copyright Vitor F. Pamplona 9
  10. 10. Conceitos: Valores médios ● Valor verdadeiro yv ● Valor médio verdadeiro n 1 y mv==lim n ∞ ∑ yi n i=1 ● Valor médio n 1 y= ∑ y i n i=1 Copyright Vitor F. Pamplona 10
  11. 11. Tipos de Erros ● Erros sistemáticos ● Sempre o mesmo erro em todas as medidas ● Podem ser reduzidos ou corrigidos y yv ● Instrumental / Calibração ● Ambiental ● Observacional ● Teórico Copyright Vitor F. Pamplona 11
  12. 12. Tipos de Erros ● Erros sistemáticos residuais ● Sempre o mesmo erro em todas as medidas ● Não podem ser corrigidos ? y yv Copyright Vitor F. Pamplona 12
  13. 13. Tipos de Erros ● Erros estatísticos ● Erro varia em torno do valor médio ● Se repete entre conjuntos de leituras yv y ● Incerteza tipo A: estimadas estatisticamente A ● Incerteza tipo B: estimadas de outras formas Copyright Vitor F. Pamplona 13
  14. 14. Incerteza Padrão ● Desvio padrão  em relação ao valor verdadeiro em n medições repetidas k vezes Copyright Vitor F. Pamplona 14
  15. 15. Incerteza Padrão ● Desvio padrão  em relação ao valor verdadeiro em n medições repetidas k vezes k 21 2  = ∑  y j− y v  p k j=1 Valor verdadeiro Valor médio do conj Copyright Vitor F. Pamplona 15
  16. 16. Incerteza Padrão ● Desvio padrão  em relação ao valor verdadeiro em n medições repetidas k vezes k 21 2  = ∑  y j− y v  p k j=1 Valor verdadeiro Valor médio do conj 2 2 2  =  p m r Incerteza sistemática residual Incerteza estatística Copyright Vitor F. Pamplona 16
  17. 17. Incerteza Padrão ● Desvio padrão  em relação ao valor verdadeiro em n medições repetidas k vezes k 21 2  = ∑  y j− y v  p k j=1 Valor verdadeiro Valor médio do conj 2 2 2  =  p m r Incerteza sistemática residual Incerteza estatística k 2 1 2  = ∑ [ y j − j − j − y v ] p k j=1 Valor médio do verdadeiro Copyright Vitor F. Pamplona 17
  18. 18. Incerteza Padrão k 2 1 2  = ∑ [ y j − j − j − y v ] p k j=1 Incerteza sistemática residual Incerteza estatística Copyright Vitor F. Pamplona 18
  19. 19. Incerteza Padrão k 2 1 2  = ∑ [ y j − j − j − y v ] p k j=1 Incerteza sistemática residual Incerteza estatística k k 2 1 2 1 2  = ∑  y j − j   ∑  j − y v  2 ... p k j=1 k j=1 Copyright Vitor F. Pamplona 19
  20. 20. Incerteza Padrão k 2 1 2  = ∑ [ y j − j − j − y v ] p k j=1 Incerteza sistemática residual Incerteza estatística k k 2 1 2 1 2  = ∑  y j − j   ∑  j − y v  2 ... p k j=1 k j=1 2 2 2  =  p m r Copyright Vitor F. Pamplona 20
  21. 21. Incerteza Padrão k 2 1 2  = ∑ [ y j − j − j − y v ] p k j=1 Incerteza sistemática residual Incerteza estatística k k 21 2 1 2  = ∑  y j − j   ∑  j − y v  2 ... p k j=1 k j=1 2 2 2  =  p m r k k 2 1 2 2 1 2  = ∑  y j − j  m  = ∑  j − y v  r k j=1 k j=1 Copyright Vitor F. Pamplona 21
  22. 22. Incerteza Padrão k 2 1 2  = ∑ [ y j − j − j − y v ] p k j=1 Incerteza sistemática residual Incerteza estatística k k 21 2 1 2  = ∑  y j − j   ∑  j − y v  2 ... p k j=1 k j=1 2 2 2  =  p m r k k 2 1 2 2 1 2  = ∑  y j − j  m  = ∑  j − y v  r k j=1 k j=1 Copyright Vitor F. Pamplona 22
  23. 23. Incerteza Padrão ● Desvio padrão  em em n medições repetidas k vezes ● Desvio das médias   p≈ n Copyright Vitor F. Pamplona 23
  24. 24. Incerteza Relativa ● Um percentual da medida y p = y Copyright Vitor F. Pamplona 24
  25. 25. Incerteza Relativa ● Um percentual da medida y p = y 4 +- 10% Copyright Vitor F. Pamplona 25
  26. 26. Propagação de Incerteza ● Dado uma função w=w  x , y , z ,... Copyright Vitor F. Pamplona 26
  27. 27. Propagação de Incerteza ● Dado uma função w=w  x , y , z ,... w=dist  x1 , y1 , x2 , y2 Copyright Vitor F. Pamplona 27
  28. 28. Propagação de Incerteza ● Dado uma função w=w  x , y , z ,... ● E que x , y , z , ... são grandezas experimentais x x y  y z z Copyright Vitor F. Pamplona 28
  29. 29. Propagação de Incerteza ● Dado uma função w=w  x , y , z ,... ● E que x , y , z , ... são grandezas experimentais x x y  y z z ● Como calcular  w ? Copyright Vitor F. Pamplona 29
  30. 30. Propagação de Incerteza 2 2 2 2 ∂w 2 ∂w 2 ∂w 2  = w   x    y    z ... ∂x ∂y ∂z Copyright Vitor F. Pamplona 30
  31. 31. Dedução da Propagação ● Dados as grandezas x1 y 1 z1 ... x2 y2 z2 ... ... ... ... ... xn yn zn ... Copyright Vitor F. Pamplona 31
  32. 32. Dedução da Propagação ● Dados as grandezas x1 y 1 z1 ... x2 y2 z2 ... ... ... ... ... xn yn zn ... ● E suas respectivas incertezas n n n 2 1 2 2 1 2 1  x = ∑  x i − x   y = ∑  y i − y  2  = ∑  z i − z  2 n i=1 n i=1 z n i=1 Valor médio do verdadeiro Copyright Vitor F. Pamplona 32
  33. 33. Dedução da Propagação ● Pode-se encontrar w i w 1=w  x 1, y 1, z 1, ... w 2=w  x 2, y 2, z 2, ... ... ... ,... ,... ,... w n=w  x n , y n , z n , ... Copyright Vitor F. Pamplona 33
  34. 34. Dedução da Propagação ● Pode-se encontrar w i w 1=w  x 1, y 1, z 1, ... w 2=w  x 2, y 2, z 2, ... ... ... ,... ,... ,... w n=w  x n , y n , z n , ... ● E o valor médio verdadeiro para w n 1 w mv =lim ∑ w i n ∞ n i=1 Copyright Vitor F. Pamplona 34
  35. 35. Dedução da Propagação ● Cada w i pode ser expandido em potência de desvios w i ≈w  x , y , z , ... ∂w ∂w ∂w   x i − x    y i − y    z i − z ... ∂x ∂y ∂z Copyright Vitor F. Pamplona 35
  36. 36. Dedução da Propagação ● Cada w i pode ser expandido em potência de desvios w i ≈w  x , y , z , ... ∂w ∂w ∂w   x i − x    y i − y    z i − z ... ∂x ∂y ∂z ● As derivadas de segunda ordem são desprezíveis se não houver covariância Copyright Vitor F. Pamplona 36
  37. 37. Dedução da Propagação ● A soma de w i , então n n ∂w ∑ w i ≈nw x , y ,z ,...   ∂ x  ∑  xi −x  i=0 i=0 n n ∂w ∂w    ∑  y i − y     ∑  z i − z  ... ∂ y i=0 ∂ z i=0 Copyright Vitor F. Pamplona 37
  38. 38. Dedução da Propagação ● A soma de w i , então n n ∂w ∑ w i ≈nw x , y ,z ,...   ∂ x  ∑  xi −x  i=0 i=0 n n ∂w ∂w    ∑  y i − y     ∑  z i − z  ... ∂ y i=0 ∂ z i=0 ● No infinito os três últimos se anulam w mv ≈w  x ,  y ,  z ,... Copyright Vitor F. Pamplona 38
  39. 39. Dedução da Propagação ● Logo o desvio padrão de w no infinito é n 2 1 2  =lim ∑ w i −w mv  w n  ∞ n i=1 Copyright Vitor F. Pamplona 39
  40. 40. Dedução da Propagação ● Logo o desvio padrão de w no infinito é n 2 1 2  =lim ∑ w i −w mv  w n  ∞ n i=1 ● Utilizando a série de potências dos desvios 2 2 2 ∂w 2 ∂w 2 w i −w mv  ≈   x i − x      y i − y  ∂x ∂y 2 ∂w     z i − z 2 ... ∂z Copyright Vitor F. Pamplona 40
  41. 41. Dedução da Propagação ● Aplicando o somatório n 2 n n ∂w 2 1 2 ∑ w i −w mv  =  ∂ x  ∑  x i − x   x = n ∑  xi −x  2 2 i=1 i=0 i=0 2 n ∂w 2    ∑  y i − y  ∂ y i=0 2 n ∂w 2    ∑  z i − z  ... ∂ z i=0 Copyright Vitor F. Pamplona 41
  42. 42. Dedução da Propagação ● Substituindo o somatório pela incerteza 2 2 ∂w 2  =  w  x ∂x 2 ∂w    2y ∂y ∂w 2 2     z ... ∂z Copyright Vitor F. Pamplona 42
  43. 43. Propagação de Incerteza 2 2 2 2 ∂w 2 ∂w 2 ∂w 2  = w   x    y    z ... ∂x ∂y ∂z Copyright Vitor F. Pamplona 43
  44. 44. Covariância ● Quanto duas variáveis mudam juntas ● Estimada através de n 1 2  ≈ xy ∑  x i −x y i − y n−1 i=1 Copyright Vitor F. Pamplona 44
  45. 45. Prop. Incerteza com Covariância 2 2 2 2 ∂w 2 ∂w 2 ∂w 2  =  w  x    y     z  ... ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w 2 ∂w ∂w 2  2   xy  2   xz ∂x ∂y ∂x ∂z ∂w ∂w 2  2   xz  ... ∂ y ∂z Copyright Vitor F. Pamplona 45
  46. 46. Perguntas? Vitor F. Pamplona vitor@vitorpamplona.com

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