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Estudos de Controle –
Análise de Resposta
Transitória e de
Regime Estacionário
1
Sistemas de Ordem Superior
• Vamos considerar um sistema em sua forma
geral:
• Função de transferência de malha fechada:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
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2
Sistemas de Ordem Superior
• Em geral, G(s) e H(s) são dadas como relações de
polinômios em s:
𝐺 𝑠 =
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𝑑(𝑠)
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como:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
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𝑞 𝑠 𝑑(𝑠)+𝑝 𝑠 𝑛(𝑠)
=
𝑏0 𝑠 𝑚+𝑏1 𝑠 𝑚−1+⋯𝑏 𝑚−1 𝑠+𝑏 𝑚
𝑎0 𝑠 𝑛+𝑎1 𝑠 𝑛−1+⋯𝑎 𝑛−1 𝑠+𝑎 𝑛
,
onde 𝑛 ≥ 𝑚.
3
Sistemas de Ordem Superior
• Para encontrar a solução analítica é necessário
encontrar os pólos e zeros da função,
reescrevendo-a em função destes como:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
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𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 … (𝑠 + 𝑝 𝑛)
• A influência dos pólos e zeros irão determinar o
comportamento do sistema.
4
Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano esquerdo do plano s:
• Exemplo:
𝐺 𝑠 =
1
𝑠3 + 6𝑠2 + 13𝑠 + 10
=
1
(𝑠 + 2)(𝑠 + 2 − 𝑗)(𝑠 + 2 + 𝑗)
• Pólos:
𝑝1 = −2 + 𝑗, 𝑝2 = −2 − 𝑗 , 𝑝3 = −2
5
Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano esquerdo do plano s:
• Exemplo: Resposta ao degrau unitário 𝑅 𝑠 =
1
𝑠
• O sistema converge.
6
Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano direito do plano s:
• Exemplo:
𝐺 𝑠 =
1
𝑠3 − 6𝑠2 + 13𝑠 − 10
=
1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 2 + 𝑗)(𝑠 − 2 − 𝑗)
• Pólos:
𝑝1 = 2 + 𝑗, 𝑝2 = 2 − 𝑗 , 𝑝3 = 2
7
Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano direito do plano s:
• Exemplo: Resposta ao degrau unitário 𝑅 𝑠 =
1
𝑠
• O sistema diverge.
8
Sistemas de Ordem Superior
• Considerando que os pólos são todos reais e
distintos, analisando para a entrada degrau
unitário 𝑅 𝑠 =
1
𝑠
, temos:
𝐶 𝑠 =
𝑎
𝑠
+
𝑎𝑖
𝑠 + 𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
Sendo que 𝑎𝑖 é o resíduo do pólo em 𝑠 = 𝑝𝑖.
9
Sistemas de Ordem Superior
• Se todos os pólos estiverem no semiplano esquerdo do plano
s, então os valores dos resíduos determinaram a importância
relativa dos componentes.
• Exemplo:
𝐶 𝑠 =
1
𝑠3 + 32𝑠2 + 185𝑠 + 250
×
1
𝑠
=
1
(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)(𝑠 + 25)
×
1
𝑠
• Resíduos:
𝐶 𝑠 =
−0,0072
(𝑠 + 2)
+
0,0033
(𝑠 + 5)
−
0,0000087
(𝑠 + 25)
+
0,004
𝑠
• Resposta:
𝑐 𝑡 = −0,0072𝑒−2𝑡 + 0,0033𝑒−5𝑡 − 0,0000087𝑒−25𝑡 + 0,004 10
Sistema de Ordem Superior
• Contribuição de cada termo e resposta:
11
Sistema de Ordem Superior
• Se existir um zero de malha fechada próximo a um pólo, então
o resíduo desse pólo será pequeno.
• Um par de pólos e zeros próximos se cancelam mutuamente.
• Exemplo: Acrescentando um zero em -1,9.
𝐶 𝑠 =
(𝑠 + 1,9)
𝑠3 + 32𝑠2 + 185𝑠 + 250
×
1
𝑠
=
(𝑠 + 1,9)
(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)(𝑠 + 25)
×
1
𝑠
• Resíduos:
𝐶 𝑠 =
0,0007
(𝑠 + 2)
−
0,0103
(𝑠 + 5)
+
0,002
(𝑠 + 25)
+
0,0076
𝑠
• Resposta:
𝑐 𝑡 = −0,0007𝑒−2𝑡
+ 0,0103𝑒−5𝑡
+ 0,002𝑒−25𝑡
+ 0,0076 12
Sistema de Ordem Superior
• Contribuição de cada termo e resposta:
13
Sistema de Ordem Superior
• Se o pólo estiver localizado muito longe da
origem, o resíduo desse pólo poderá ser
pequeno. Os transitórios correspondentes a
pólos remotos são pequenos e de curta duração.
• Exemplo: observar a contribuição do pólo -25.
14
Sistema de Ordem Superior
• Portanto, os termos que possuem resíduos
muito pequenos contribuem pouco para a
resposta transitória e podem ser descartados.
• Essa aproximação possibilita avaliar as
características da resposta de um sistema de
ordem superior a partir de um sistema mais
simplificado.
15
Sistema de Ordem Superior
• Considerando de uma forma mais geral a existência de pólos
reais e complexos conjugados, distintos, podemos escrever a
resposta para uma entrada degrau unitário como:
𝐶 𝑠 =
𝑎
𝑠
+
𝑎𝑖
𝑠 + 𝑝𝑖
𝑞
𝑖=1
+
𝑏 𝑘 𝑠 + ζ 𝑘 𝑤 𝑘 + 𝑐 𝑘 𝑤 𝑘 1 − ζ 𝑘
2
𝑠2 + 2ζ 𝑘 𝑤 𝑘 𝑠 + 𝑤 𝑘
2
𝑟
𝑖=1
• Portanto, a resposta de um sistema de ordem superior é
composta por termos que envolvem funções simples dos
sistemas de primeira ordem e segunda ordem.
16
Sistema de Ordem Superior
• A inversa de Laplace para a equação anterior pode ser
escrita como:
𝑐 𝑡 = 𝑎 + 𝑎𝑖 𝑒−𝑝 𝑖 𝑡
𝑞
𝑖=1
+ 𝑏𝑖 𝑒−ζ 𝑘 𝑤 𝑘 𝑡
𝑟
𝑖=1
cos 𝑤 𝑘 1 − ζ 𝑘
2
𝑡
+ 𝑏𝑖 𝑒−ζ 𝑘 𝑤 𝑘 𝑡
𝑟
𝑖=1
sin 𝑤 𝑘 1 − ζ 𝑘
2
𝑡
• Se todos os pólos estiverem no semiplano esquerdo do
plano s, então os termos exponenciais e amortecidos
exponencialmente irão tender a 0.
• A resposta em regime estacionário então é 𝑐 ∞ = 𝑎.
17
Sistema de Ordem Superior
• Os pólos de 𝐺(𝑠) determinam o tipo de resposta
transitória, enquanto que a forma é
principalmente determinada pelos zeros.
• Os pólos da entrada 𝑅(𝑠) fornecem os termos da
resposta estacionária, enquanto que os pólos de
𝐺(𝑠) fornecem os termos de resposta transitória
exponenciais.
• Os zeros de 𝐺(𝑠) não afetam os expoentes dos
termos exponenciais, mas sim as magnitudes e
sinais dos resíduos. 18
Pólos dominantes
• São aqueles que possuem um efeito dominante sobre o
comportamento de resposta transitória.
• A dominância é determinada:
• Pela relação das partes reais dos pólos.
• Pela relação dos resíduos calculados nos pólos.
• Se a relação das partes reais excede cinco, e não há zeros
na vizinhança, os pólos mais perto do eixo imaginário
serão os dominantes. Eles correspondem aos termos que
caem mais lentamente.
• Geralmente, os pólos dominantes são complexos
conjugados.
• Ajustam-se os ganhos do sistema até que exista um par
de complexos conjugados.
• Reduz efeitos de não-linearidade.
19
Comportamento oscilatório
• Se o sistema de malha fechada não tem pólos
conjugados complexos, então a resposta
transitória é não-oscilatória.
20
Análise da estabilidade
• Se algum pólo do sistema de malha fechada
estiver no semiplano direito do plano s, então
eles serão dominantes e o sistema irá produzir
respostas crescentes. O sistema é instável.
• Se todos os pólos estão no semiplano esquerdo,
então o sistema irá entrar em equilíbrio. O
sistema é estável.
• O fato do sistema ser estável ou instável não
depende da entrada. É uma característica do
sistema. 21
Análise de estabilidade
• Se os pólos estiverem no eixo imaginário, então o
sistema irá apresentar oscilações cuja amplitude não
se altera. Porém, no caso de ruídos, essas
amplitudes podem mudar e isso não é desejável.
• Para garantir uma resposta rápida e ainda
amortecida, é interessante que os pólos estejam em
regiões particulares do plano s, por exemplo:
22
MATLAB
• Algumas funções são interessantes para se analisar o
comportamento de zeros e pólos:
• roots(pol): usado para encontrar as raízes de uma
função polinomial.
• residue(b,a) ou residue(r,p,k): usado para
encontrar os pólos e resíduos dos pólos de uma
função de transferência.
23
pol = [1 -6 -72 -27]
r = roots(pol)
b = [ 5 3 -2 7]
a = [-4 0 8 3]
[r,p,k] = residue(b,a)
r = [-1.4167 -0.6653 1.3320]
p = [1.5737 -1.1644 -0.4093]
k = -1.2500
[b,a] = residue(r,p,k)
MATLAB
• zplane(z,p): usado para plotar o plano complexo s com os pólos e
zeros.
• zpk(z,p,k): usado para definir a função de transferência de acordo
com os zeros, pólos e ganhos.
• zpkdata(g): usado para encontrar os zeros, pólos e ganho de uma
função de transferência.
24
z = []
p = [-2; -5; -25]
zplane(z,p)
z = []
p = [-2; -5; -25]
k = 1
zpk(z,p,k)
num = [1 2]
den = [1 4 6]
g = tf(num, den)
[z, p, k] = zpkdata(g)
Exercício
• Considerando os seguintes sistemas:
• 𝐺 𝑠 =
1
𝑠3−6𝑠2+13𝑠−10
• 𝐺 𝑠 =
1
𝑠3+6𝑠2+13𝑠+10
• 𝐺 𝑠 =
(𝑠−2)
𝑠3+6𝑠2+13𝑠+10
• 𝐺 𝑠 =
1
𝑠4+36𝑠3+193𝑠2+400𝑠+300
• Faça:
• Encontre os zeros, pólos e o ganho. Plote o plano s complexo com zeros e
pólos.
• Plote a resposta ao degrau unitário.
• Encontre os pólos e os resíduos da resposta ao degrau unitário.
• Plote a contribuição de cada pólo para a resposta ao degrau unitário.
• Encontre as especificações da resposta transitória. 25
Obrigada!
ays@icmc.usp.br
www.lsec.icmc.usp.br
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Estudos de Controle - Aula 9: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário (parte 3)

  • 1. Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário 1
  • 2. Sistemas de Ordem Superior • Vamos considerar um sistema em sua forma geral: • Função de transferência de malha fechada: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐺(𝑠) 1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) 2
  • 3. Sistemas de Ordem Superior • Em geral, G(s) e H(s) são dadas como relações de polinômios em s: 𝐺 𝑠 = 𝑝(𝑠) 𝑞(𝑠) 𝑒 𝐻 𝑠 = 𝑛(𝑠) 𝑑(𝑠) • A função de transferência pode ser reescrita como: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑝 𝑠 𝑑(𝑠) 𝑞 𝑠 𝑑(𝑠)+𝑝 𝑠 𝑛(𝑠) = 𝑏0 𝑠 𝑚+𝑏1 𝑠 𝑚−1+⋯𝑏 𝑚−1 𝑠+𝑏 𝑚 𝑎0 𝑠 𝑛+𝑎1 𝑠 𝑛−1+⋯𝑎 𝑛−1 𝑠+𝑎 𝑛 , onde 𝑛 ≥ 𝑚. 3
  • 4. Sistemas de Ordem Superior • Para encontrar a solução analítica é necessário encontrar os pólos e zeros da função, reescrevendo-a em função destes como: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐾 𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑧2 … (𝑠 + 𝑧 𝑚) 𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 … (𝑠 + 𝑝 𝑛) • A influência dos pólos e zeros irão determinar o comportamento do sistema. 4
  • 5. Sistemas de Ordem Superior • Posicionamento de pólos e zeros no plano s: • Pólos no semiplano esquerdo do plano s: • Exemplo: 𝐺 𝑠 = 1 𝑠3 + 6𝑠2 + 13𝑠 + 10 = 1 (𝑠 + 2)(𝑠 + 2 − 𝑗)(𝑠 + 2 + 𝑗) • Pólos: 𝑝1 = −2 + 𝑗, 𝑝2 = −2 − 𝑗 , 𝑝3 = −2 5
  • 6. Sistemas de Ordem Superior • Posicionamento de pólos e zeros no plano s: • Pólos no semiplano esquerdo do plano s: • Exemplo: Resposta ao degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1 𝑠 • O sistema converge. 6
  • 7. Sistemas de Ordem Superior • Posicionamento de pólos e zeros no plano s: • Pólos no semiplano direito do plano s: • Exemplo: 𝐺 𝑠 = 1 𝑠3 − 6𝑠2 + 13𝑠 − 10 = 1 (𝑠 − 2)(𝑠 − 2 + 𝑗)(𝑠 − 2 − 𝑗) • Pólos: 𝑝1 = 2 + 𝑗, 𝑝2 = 2 − 𝑗 , 𝑝3 = 2 7
  • 8. Sistemas de Ordem Superior • Posicionamento de pólos e zeros no plano s: • Pólos no semiplano direito do plano s: • Exemplo: Resposta ao degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1 𝑠 • O sistema diverge. 8
  • 9. Sistemas de Ordem Superior • Considerando que os pólos são todos reais e distintos, analisando para a entrada degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1 𝑠 , temos: 𝐶 𝑠 = 𝑎 𝑠 + 𝑎𝑖 𝑠 + 𝑝𝑖 𝑛 𝑖=1 Sendo que 𝑎𝑖 é o resíduo do pólo em 𝑠 = 𝑝𝑖. 9
  • 10. Sistemas de Ordem Superior • Se todos os pólos estiverem no semiplano esquerdo do plano s, então os valores dos resíduos determinaram a importância relativa dos componentes. • Exemplo: 𝐶 𝑠 = 1 𝑠3 + 32𝑠2 + 185𝑠 + 250 × 1 𝑠 = 1 (𝑠 + 2)(𝑠 + 5)(𝑠 + 25) × 1 𝑠 • Resíduos: 𝐶 𝑠 = −0,0072 (𝑠 + 2) + 0,0033 (𝑠 + 5) − 0,0000087 (𝑠 + 25) + 0,004 𝑠 • Resposta: 𝑐 𝑡 = −0,0072𝑒−2𝑡 + 0,0033𝑒−5𝑡 − 0,0000087𝑒−25𝑡 + 0,004 10
  • 11. Sistema de Ordem Superior • Contribuição de cada termo e resposta: 11
  • 12. Sistema de Ordem Superior • Se existir um zero de malha fechada próximo a um pólo, então o resíduo desse pólo será pequeno. • Um par de pólos e zeros próximos se cancelam mutuamente. • Exemplo: Acrescentando um zero em -1,9. 𝐶 𝑠 = (𝑠 + 1,9) 𝑠3 + 32𝑠2 + 185𝑠 + 250 × 1 𝑠 = (𝑠 + 1,9) (𝑠 + 2)(𝑠 + 5)(𝑠 + 25) × 1 𝑠 • Resíduos: 𝐶 𝑠 = 0,0007 (𝑠 + 2) − 0,0103 (𝑠 + 5) + 0,002 (𝑠 + 25) + 0,0076 𝑠 • Resposta: 𝑐 𝑡 = −0,0007𝑒−2𝑡 + 0,0103𝑒−5𝑡 + 0,002𝑒−25𝑡 + 0,0076 12
  • 13. Sistema de Ordem Superior • Contribuição de cada termo e resposta: 13
  • 14. Sistema de Ordem Superior • Se o pólo estiver localizado muito longe da origem, o resíduo desse pólo poderá ser pequeno. Os transitórios correspondentes a pólos remotos são pequenos e de curta duração. • Exemplo: observar a contribuição do pólo -25. 14
  • 15. Sistema de Ordem Superior • Portanto, os termos que possuem resíduos muito pequenos contribuem pouco para a resposta transitória e podem ser descartados. • Essa aproximação possibilita avaliar as características da resposta de um sistema de ordem superior a partir de um sistema mais simplificado. 15
  • 16. Sistema de Ordem Superior • Considerando de uma forma mais geral a existência de pólos reais e complexos conjugados, distintos, podemos escrever a resposta para uma entrada degrau unitário como: 𝐶 𝑠 = 𝑎 𝑠 + 𝑎𝑖 𝑠 + 𝑝𝑖 𝑞 𝑖=1 + 𝑏 𝑘 𝑠 + ζ 𝑘 𝑤 𝑘 + 𝑐 𝑘 𝑤 𝑘 1 − ζ 𝑘 2 𝑠2 + 2ζ 𝑘 𝑤 𝑘 𝑠 + 𝑤 𝑘 2 𝑟 𝑖=1 • Portanto, a resposta de um sistema de ordem superior é composta por termos que envolvem funções simples dos sistemas de primeira ordem e segunda ordem. 16
  • 17. Sistema de Ordem Superior • A inversa de Laplace para a equação anterior pode ser escrita como: 𝑐 𝑡 = 𝑎 + 𝑎𝑖 𝑒−𝑝 𝑖 𝑡 𝑞 𝑖=1 + 𝑏𝑖 𝑒−ζ 𝑘 𝑤 𝑘 𝑡 𝑟 𝑖=1 cos 𝑤 𝑘 1 − ζ 𝑘 2 𝑡 + 𝑏𝑖 𝑒−ζ 𝑘 𝑤 𝑘 𝑡 𝑟 𝑖=1 sin 𝑤 𝑘 1 − ζ 𝑘 2 𝑡 • Se todos os pólos estiverem no semiplano esquerdo do plano s, então os termos exponenciais e amortecidos exponencialmente irão tender a 0. • A resposta em regime estacionário então é 𝑐 ∞ = 𝑎. 17
  • 18. Sistema de Ordem Superior • Os pólos de 𝐺(𝑠) determinam o tipo de resposta transitória, enquanto que a forma é principalmente determinada pelos zeros. • Os pólos da entrada 𝑅(𝑠) fornecem os termos da resposta estacionária, enquanto que os pólos de 𝐺(𝑠) fornecem os termos de resposta transitória exponenciais. • Os zeros de 𝐺(𝑠) não afetam os expoentes dos termos exponenciais, mas sim as magnitudes e sinais dos resíduos. 18
  • 19. Pólos dominantes • São aqueles que possuem um efeito dominante sobre o comportamento de resposta transitória. • A dominância é determinada: • Pela relação das partes reais dos pólos. • Pela relação dos resíduos calculados nos pólos. • Se a relação das partes reais excede cinco, e não há zeros na vizinhança, os pólos mais perto do eixo imaginário serão os dominantes. Eles correspondem aos termos que caem mais lentamente. • Geralmente, os pólos dominantes são complexos conjugados. • Ajustam-se os ganhos do sistema até que exista um par de complexos conjugados. • Reduz efeitos de não-linearidade. 19
  • 20. Comportamento oscilatório • Se o sistema de malha fechada não tem pólos conjugados complexos, então a resposta transitória é não-oscilatória. 20
  • 21. Análise da estabilidade • Se algum pólo do sistema de malha fechada estiver no semiplano direito do plano s, então eles serão dominantes e o sistema irá produzir respostas crescentes. O sistema é instável. • Se todos os pólos estão no semiplano esquerdo, então o sistema irá entrar em equilíbrio. O sistema é estável. • O fato do sistema ser estável ou instável não depende da entrada. É uma característica do sistema. 21
  • 22. Análise de estabilidade • Se os pólos estiverem no eixo imaginário, então o sistema irá apresentar oscilações cuja amplitude não se altera. Porém, no caso de ruídos, essas amplitudes podem mudar e isso não é desejável. • Para garantir uma resposta rápida e ainda amortecida, é interessante que os pólos estejam em regiões particulares do plano s, por exemplo: 22
  • 23. MATLAB • Algumas funções são interessantes para se analisar o comportamento de zeros e pólos: • roots(pol): usado para encontrar as raízes de uma função polinomial. • residue(b,a) ou residue(r,p,k): usado para encontrar os pólos e resíduos dos pólos de uma função de transferência. 23 pol = [1 -6 -72 -27] r = roots(pol) b = [ 5 3 -2 7] a = [-4 0 8 3] [r,p,k] = residue(b,a) r = [-1.4167 -0.6653 1.3320] p = [1.5737 -1.1644 -0.4093] k = -1.2500 [b,a] = residue(r,p,k)
  • 24. MATLAB • zplane(z,p): usado para plotar o plano complexo s com os pólos e zeros. • zpk(z,p,k): usado para definir a função de transferência de acordo com os zeros, pólos e ganhos. • zpkdata(g): usado para encontrar os zeros, pólos e ganho de uma função de transferência. 24 z = [] p = [-2; -5; -25] zplane(z,p) z = [] p = [-2; -5; -25] k = 1 zpk(z,p,k) num = [1 2] den = [1 4 6] g = tf(num, den) [z, p, k] = zpkdata(g)
  • 25. Exercício • Considerando os seguintes sistemas: • 𝐺 𝑠 = 1 𝑠3−6𝑠2+13𝑠−10 • 𝐺 𝑠 = 1 𝑠3+6𝑠2+13𝑠+10 • 𝐺 𝑠 = (𝑠−2) 𝑠3+6𝑠2+13𝑠+10 • 𝐺 𝑠 = 1 𝑠4+36𝑠3+193𝑠2+400𝑠+300 • Faça: • Encontre os zeros, pólos e o ganho. Plote o plano s complexo com zeros e pólos. • Plote a resposta ao degrau unitário. • Encontre os pólos e os resíduos da resposta ao degrau unitário. • Plote a contribuição de cada pólo para a resposta ao degrau unitário. • Encontre as especificações da resposta transitória. 25