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Proporcional
• Seja u(t) o sinal de saída do controlador e e(t) o
sinal de erro atuante:
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 𝑜𝑢
𝑈(𝑠)
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= 𝐾 𝑝
onde 𝐾𝑝 é o ganho proporcional.
6
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variação proporcional ao sinal de erro atuante
e(t).
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑖 𝑒 𝑡
𝑡
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𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
=
𝐾𝑖
𝑠
onde 𝐾𝑖 é o ganho integral.
7
Proporcional-integral
• Propriedades do controle proporcional e
integral.
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +
𝐾𝑝
𝑇𝑖
𝑒 𝑡
𝑡
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𝑑𝑡
𝑜𝑢
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑝 1 +
1
𝑇𝑖 𝑠
onde 𝑇𝑖 é o tempo integrativo.
8
Proporcional-derivativo
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
𝑜𝑢
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑 𝑠
onde 𝑇𝑑 é o tempo derivativo.
9
Proporcional-integral-
derivativo
• Tem as vantagens individuais de cada uma das
três ações de controle
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +
𝐾𝑝
𝑇𝑖
𝑒 𝑡
𝑡
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𝑑𝑡 +𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
𝑜𝑢
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
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1
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10
Distúrbios em malha fechada
• Como é um sistema linear, as entradas podem ser
tratadas independentemente. Considerando 𝐶 𝐷 𝑠 a
resposta somente ao distúrbio:
𝐶 𝐷(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
• E 𝐶 𝑅 𝑠 a resposta somente à entrada ao sistema:
𝐶 𝑅(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝐺1 𝑠 𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
11
Distúrbios em malha fechada
• A resposta à aplicação simultânea das duas
entradas pode ser obtida somando as respostas
individuais:
𝐶 𝑠 = 𝐶 𝑅 𝑠 + 𝐶 𝐷 𝑠
𝐶(𝑠) =
𝐺2 𝑠
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠
(𝐺1 𝑠 𝑅 𝑠 + 𝐷(𝑠))
12
Distúrbios em malha fechada
• Reescrevendo a equação:
𝐶 𝐷(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
𝐶 𝐷(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
1
𝐺1 𝑠 𝐻(𝑠)
1
𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
+ 1
• Se 𝐺1 𝑠 𝐻 𝑠 ≫ 1 e |𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 | ≫ 1 o
efeito do distúrbio é suprimido. 13
Distúrbios em malha fechada
• Reescrevendo a equação:
𝐶 𝑅(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝐺1 𝑠 𝐺2(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
𝐶 𝑅(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
1
𝐻(𝑠)
1
𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
+ 1
• Se |𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 | ≫ 1 então a função de
transferência é inversamente proporcional a H(s)
e independe de 𝐺1(𝑠) e 𝐺2(𝑠).
14
Construção de diagramas de
bloco
• Descrever as equações que descrevem o
comportamento dinâmico de cada componente.
• Obter a transformada de Laplace dessas
equações, admitindo as condições iniciais como
nulas.
• Representar individualmente cada transformada
em um bloco.
• Agrupar os elementos.
15
Construção de diagramas de
bloco
• Exemplo: circuito RC.
• Equações do circuito:
𝑖 =
𝑒 𝑖−𝑒0
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𝑖𝑑𝑡
𝐶
• Transformada de Laplace:
𝐼 𝑠 =
𝐸 𝑖 𝑠 −𝐸0(𝑠)
𝑅
e 𝐸0 𝑠 =
𝐼(𝑠)
𝐶𝑠
16
Construção de diagramas de
bloco
• Exemplo: circuito RC
• Diagrama de blocos de cada transformada:
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17
Redução do diagrama de
blocos
• Podem ser conectados em série.
• Podem ser substituídos por um único bloco, cuja
função de transferência é o produto das funções
de transferência individuais.
• Exemplo: circuito RC.
18
1
𝑅𝐶𝑠
Redução do diagrama de
blocos
• Simplificação facilita a análise posterior:
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sentido da ação deve permanecer o mesmo.
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redor da malha deve permanecer o mesmo.
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19
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• Exemplo:
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20
Redução do diagrama de
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21
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Controle Automático: Ações de Controle e Modelagem de Sistemas

  • 1. Estudos de Controle – Modelagem (2) 1
  • 2. Controladores Automáticos • Compara o valor real de saída da planta com a entrada de referência. • Produz sinal de controle que reduz o desvio. • Ação de controle é a maneira pela qual isso é feito. • Tipos: • Duas posições (on-off) • Proporcional • Integral • Proporcional-integral • Proporcional-derivativo • Proporcional-integral-derivativo 2
  • 3. Duas posições (on-off) • O elemento atuante tem somente duas posições fixas. • Simples e barato. • Seja u(t) o sinal de saída do controlador e e(t) o sinal de erro atuante: 𝑢 𝑡 = 𝑈1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒 𝑡 > 0 𝑈2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒 𝑡 < 0 onde 𝑈1 e 𝑈2 são constantes. 3
  • 4. Duas posições (on-off) • Intervalo diferencial é o intervalo no qual o sinal de erro atuante deve variar antes de ocorrer a comutação. • Relacionado com a vida útil dos componentes. 4
  • 6. Proporcional • Seja u(t) o sinal de saída do controlador e e(t) o sinal de erro atuante: 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐾 𝑝 onde 𝐾𝑝 é o ganho proporcional. 6
  • 7. Integral • O valor da saída u(t) é modificado a uma taxa de variação proporcional ao sinal de erro atuante e(t). 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑖 𝑒 𝑡 𝑡 0 𝑑𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐾𝑖 𝑠 onde 𝐾𝑖 é o ganho integral. 7
  • 8. Proporcional-integral • Propriedades do controle proporcional e integral. 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑒 𝑡 𝑡 0 𝑑𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐾𝑝 1 + 1 𝑇𝑖 𝑠 onde 𝑇𝑖 é o tempo integrativo. 8
  • 9. Proporcional-derivativo 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝 𝑇𝑑 𝑑𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑 𝑠 onde 𝑇𝑑 é o tempo derivativo. 9
  • 10. Proporcional-integral- derivativo • Tem as vantagens individuais de cada uma das três ações de controle 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑒 𝑡 𝑡 0 𝑑𝑡 +𝐾𝑝 𝑇𝑑 𝑑𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 𝑜𝑢 𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐾𝑝 1 + 1 𝑇𝑖 𝑠 + 𝑇𝑑 𝑠 10
  • 11. Distúrbios em malha fechada • Como é um sistema linear, as entradas podem ser tratadas independentemente. Considerando 𝐶 𝐷 𝑠 a resposta somente ao distúrbio: 𝐶 𝐷(𝑠) 𝐷(𝑠) = 𝐺2(𝑠) 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) • E 𝐶 𝑅 𝑠 a resposta somente à entrada ao sistema: 𝐶 𝑅(𝑠) 𝐷(𝑠) = 𝐺1 𝑠 𝐺2(𝑠) 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) 11
  • 12. Distúrbios em malha fechada • A resposta à aplicação simultânea das duas entradas pode ser obtida somando as respostas individuais: 𝐶 𝑠 = 𝐶 𝑅 𝑠 + 𝐶 𝐷 𝑠 𝐶(𝑠) = 𝐺2 𝑠 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 (𝐺1 𝑠 𝑅 𝑠 + 𝐷(𝑠)) 12
  • 13. Distúrbios em malha fechada • Reescrevendo a equação: 𝐶 𝐷(𝑠) 𝐷(𝑠) = 𝐺2(𝑠) 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) 𝐶 𝐷(𝑠) 𝐷(𝑠) = 1 𝐺1 𝑠 𝐻(𝑠) 1 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) + 1 • Se 𝐺1 𝑠 𝐻 𝑠 ≫ 1 e |𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 | ≫ 1 o efeito do distúrbio é suprimido. 13
  • 14. Distúrbios em malha fechada • Reescrevendo a equação: 𝐶 𝑅(𝑠) 𝐷(𝑠) = 𝐺1 𝑠 𝐺2(𝑠) 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) 𝐶 𝑅(𝑠) 𝐷(𝑠) = 1 𝐻(𝑠) 1 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠) + 1 • Se |𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 | ≫ 1 então a função de transferência é inversamente proporcional a H(s) e independe de 𝐺1(𝑠) e 𝐺2(𝑠). 14
  • 15. Construção de diagramas de bloco • Descrever as equações que descrevem o comportamento dinâmico de cada componente. • Obter a transformada de Laplace dessas equações, admitindo as condições iniciais como nulas. • Representar individualmente cada transformada em um bloco. • Agrupar os elementos. 15
  • 16. Construção de diagramas de bloco • Exemplo: circuito RC. • Equações do circuito: 𝑖 = 𝑒 𝑖−𝑒0 𝑅 e 𝑒0 = 𝑖𝑑𝑡 𝐶 • Transformada de Laplace: 𝐼 𝑠 = 𝐸 𝑖 𝑠 −𝐸0(𝑠) 𝑅 e 𝐸0 𝑠 = 𝐼(𝑠) 𝐶𝑠 16
  • 17. Construção de diagramas de bloco • Exemplo: circuito RC • Diagrama de blocos de cada transformada: • Agrupado: 17
  • 18. Redução do diagrama de blocos • Podem ser conectados em série. • Podem ser substituídos por um único bloco, cuja função de transferência é o produto das funções de transferência individuais. • Exemplo: circuito RC. 18 1 𝑅𝐶𝑠
  • 19. Redução do diagrama de blocos • Simplificação facilita a análise posterior: • O produto das funções de transferência no sentido da ação deve permanecer o mesmo. • O produto das funções de transferência ao redor da malha deve permanecer o mesmo. • Exemplo: 19
  • 20. Redução do diagrama de blocos • Exemplo: • G1: • Realimentação H1: 20
  • 21. Redução do diagrama de blocos • G3: • Realimentação: 21