O documento discute o limite de uma função quando x tende para 0. A função f(x) = 1/x tem limite +∞ quando x tende para 0 pelo lado direito e limite -∞ quando x tende para 0 pelo lado esquerdo, indicando que o limite da função não existe quando x tende para 0. Exemplos numéricos ilustram como f(x) se torna maior quanto mais próximo de 0 por valores positivos e menor quanto mais próximo de 0 por valores negativos.

1. Limite de uma função e sua representação
gráfica
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Considere 𝑓 uma função de domínio 𝐷𝑓:
, com 𝑎 ∉ 𝐷𝑓

2. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Se 0 ∉ 𝐷𝑓 então não existe 𝑓 0 . Mas é possível calcular o valor da função para valores de 𝑥 tão
próximos de 0 quanto se queira.
Consideremos um conjunto de valores
positivos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.

3. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
100 0,01
𝑥
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.

4. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
100 0,01
20 0,05
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.

5. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
100 0,01
20 0,05
10 0,1
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.

6. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
100 0,01
20 0,05
10 0,1
5 0,2
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.

7. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
100 0,01
20 0,05
10 0,1
5 0,2
2 0,5
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.

8. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
100 0,01
20 0,05
10 0,1
5 0,2
2 0,5
1 1
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.

9. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
100 0,01
20 0,05
10 0,1
5 0,2
2 0,5
1 1
0,5 2𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.

10. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
100 0,01
20 0,05
10 0,1
5 0,2
2 0,5
1 1
0,5 2
0,25 4
0,01 100
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.

11. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
100 0,01
20 0,05
10 0,1
5 0,2
2 0,5
1 1
0,5 2
0,25 4
0,01 100
… …
𝒙 → 𝟎+
𝒇 𝒙 → +∞
𝑥
𝑓(𝑥)
Quando 𝑥 está a tender para zero por valores à direita
de zero, 𝑓(𝑥) tende para valores cada vez maiores. Isto
é, quando 𝒙 𝐭𝐞𝐧𝐝𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝟎+
, 𝒇(𝒙) tende para +∞.
O limite da função 𝑓, quando 𝑥 tende
para 0 à direita, tende para +∞:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟏
𝒙
= +∞
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.

12. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
De forma idêntica, conclui-se que 𝑓(𝑥) tende para −∞ quando 𝑥 tende para 0 por valores à
esquerda de 0.
Isto é, consideremos um conjunto de valores
negativos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.

13. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
−100 −0,01
𝑥
Consideremos um conjunto de
valores negativos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙

14. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
−100 −0,01
−20 −0,05
𝑥
𝑓(𝑥)
Consideremos um conjunto de
valores negativos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙

15. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
−100 −0,01
−20 −0,05
−10 −0,1
𝑥
𝑓(𝑥)
Consideremos um conjunto de
valores negativos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙

16. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
−100 −0,01
−20 −0,05
−10 −0,1
−5 −0,2
𝑥
𝑓(𝑥)
Consideremos um conjunto de
valores negativos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙

17. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
−100 −0,01
−20 −0,05
−10 −0,1
−5 −0,2
−2 −0,5
𝑥
𝑓(𝑥)
Consideremos um conjunto de
valores negativos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙

18. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
−100 −0,01
−20 −0,05
−10 −0,1
−5 −0,2
−2 −0,5
−1 −1
𝑥
𝑓(𝑥)
Consideremos um conjunto de
valores negativos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙

19. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
−100 −0,01
−20 −0,05
−10 −0,1
−5 −0,2
−2 −0,5
−1 −1
−0,5 −2
𝑥
𝑓(𝑥)
Consideremos um conjunto de
valores negativos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙

20. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
−100 −0,01
−20 −0,05
−10 −0,1
−5 −0,2
−2 −0,5
−1 −1
−0,5 −2
−0,25 −4
−0,01 −100
𝑥
𝑓(𝑥)
Consideremos um conjunto de
valores negativos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙

21. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
−100 −0,01
−20 −0,05
−10 −0,1
−5 −0,2
−2 −0,5
−1 −1
−0,5 −2
−0,25 −4
−0,01 −100
… …
𝒙 → 𝟎−
𝒇 𝒙 → −∞
𝑥
𝑓(𝑥)
Quando 𝑥 está a tender para zero por valores à esquerda
de zero, 𝑓(𝑥) tende para valores cada vez menores. Isto
é, quando 𝒙 𝐭𝐞𝐧𝐝𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝟎−
, 𝒇(𝒙) tende para −∞.
O limite da função 𝑓, quando 𝑥 tende
para 0 à esquerda, tende para −∞:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝟏
𝒙
= −∞
Consideremos um conjunto de
valores negativos de 𝑥 cada vez
mais próximos de 0.

22. Conclusão…
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝟏
𝒙
= −∞
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟏
𝒙
= +∞
Ao limite da função
1
𝑥
quando 𝑥 tende para 0 por valores superiores a 0 (𝑥 → 0+
),
designamos por limite à direita de 𝟎.
Ao limite da função
1
𝑥
quando 𝑥 tende para 0, por valores inferiores a 0 (𝑥 → 0−),
designamos por limite à esquerda de 𝟎.

23. Conclusão…
Seja 𝑓 uma função real de variável real. Diz-se que o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende para 𝑎 à
direita (ou por valores superiores a 𝑎), tende para 𝐿1.
Simbolicamente:
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿1
E
O limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende para 𝑎 à esquerda (ou por valores inferiores a 𝑎), tende para 𝐿2.
Simbolicamente:
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿2
(limite à direita de 𝒂)
(limite à esquerda de 𝒂)
Se 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = 𝑳 então existe 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳 (limite de 𝑓 𝑥 , quando 𝑥
tende para 𝑎, tende para 𝐿).
Se 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) ≠ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) então não existe 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙).
Exemplo

24. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos agora o comportamento da função quando 𝑥 tende para +∞.
Isto é, consideremos um conjunto
de valores positivos de 𝑥 cada vez
maiores.

25. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
𝒙 𝒇(𝒙)
1 1
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
maiores.

26. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
1 1
2 0,5
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
maiores.

27. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
1 1
2 0,5
3 0,33(3)
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
maiores.

28. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
1 1
2 0,5
3 0,33(3)
4 0,25
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
maiores.

29. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
1 1
2 0,5
3 0,33(3)
4 0,25
10 0,1
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
maiores.

30. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
1 1
2 0,5
3 0,33(3)
4 0,25
10 0,1
20 0,05
𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
maiores.

31. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
1 1
2 0,5
3 0,33(3)
4 0,25
10 0,1
20 0,05
50 0,02
100 0,001
1000 0,0001
𝑥
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
maiores.

32. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
1 1
2 0,5
3 0,33(3)
4 0,25
10 0,1
20 0,05
50 0,02
100 0,001
1000 0,0001
… …
𝒙 → +∞ 𝒇(𝒙) → 𝟎
Quanto maior for o valor de 𝑥 , 𝑓(𝑥) aproxima-se
cada vez mais de zero. Isto é, quando
𝒙 𝐭𝐞𝐧𝐝𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 + ∞, 𝒇(𝒙) tende para 𝟎.
Significa que o limite da função 𝑓 ,
quando 𝑥 tende para +∞, tende para 0.
Simbolicamente:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
𝟏
𝒙
= 𝟎
𝑓(𝑥)
𝑥
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Consideremos um conjunto de
valores positivos de 𝑥 cada vez
maiores.

33. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒙 𝒇(𝒙)
−1 −1
−2 −0,5
−3 −0,33(3)
−4 −0,25
−10 −0,1
−20 −0,05
−50 −0,02
−100 −0,001
−1000 −0,0001
… …
𝒙 → −∞ 𝒇(𝒙) → 𝟎
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
Quanto menor for o valor de 𝑥 , 𝑓(𝑥) aproxima-se
cada vez mais de zero. Isto é, quando
𝒙 𝐭𝐞𝐧𝐝𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 − ∞, 𝒇(𝒙) tende para 𝟎.
O mesmo se aplica quando o valor
de 𝑥 tende para −∞.
O limite da função 𝑓, quando 𝑥 tende
para −∞, tende para 0:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝟏
𝒙
= 𝟎
𝑥
𝑓(𝑥)