3. DERIVADAS PARCIAIS
• Sejam
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 uma função real de duas variáveis reais;
𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝐷𝑓.
• Fixando 𝑦0, podemos considerar a função 𝑔 de uma
variável dada por:
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦0
• A derivada desta função no ponto 𝑥 = 𝑥0 (caso exista)
denomina-se derivada parcial de 𝑓, em relação a 𝑥, no
ponto 𝑥0, 𝑦0 .
4. DERIVADAS PARCIAIS
• A derivada parcial de 𝑓, em relação a 𝑥, no ponto
𝑥0, 𝑦0 é indicada com uma das notações:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 ou
𝜕𝑧
𝜕𝑥 𝑥=𝑥0
𝑦=𝑦0
• Assim
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 = 𝑔′
𝑥0
• De acordo com a definição de derivada temos:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 = 𝑔′
𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
= lim
𝑥⟶𝑥0
𝑓 𝑥, 𝑦0 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
5. DERIVADAS PARCIAIS
• Para se calcular
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0
Fixa-se 𝑦 = 𝑦0 em 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ;
Calcula-se a derivada de 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦0 em 𝑥 = 𝑥0:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 = 𝑔′ 𝑥0 .
• EXEMPLO: Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 − 4𝑦 . Para calcularmos
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 devemos olhar 𝑦 como constante e derivar a função
em relação a 𝑥.
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 =
𝜕 2𝑥𝑦 − 4𝑦
𝜕𝑥
=
𝜕 2𝑥𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕 4𝑦
𝜕𝑥
= 2𝑦 − 0 = 2𝑦.
6. DERIVADAS PARCIAIS
• De modo análogo, sejam
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 uma função real de duas variáveis
reais;
𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝐷𝑓.
• Fixando 𝑥0, podemos considerar a função ℎ de uma
variável dada por:
ℎ 𝑦 = 𝑓 𝑥0, 𝑦
• A derivada desta função no ponto 𝑦 = 𝑦0 (caso
exista) denomina-se derivada parcial de 𝑓 , em
relação a 𝑦, no ponto 𝑥0, 𝑦0 .
7. DERIVADAS PARCIAIS
• A derivada parcial de 𝑓, em relação a 𝑦, no ponto
𝑥0, 𝑦0 é indicada com uma das notações:
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥0, 𝑦0 ou
𝜕𝑧
𝜕𝑦 𝑥=𝑥0
𝑦=𝑦0
• Assim
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥0, 𝑦0 = ℎ′ 𝑦0
• De acordo com a definição de derivada temos:
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥0, 𝑦0 = ℎ′ 𝑦0 = lim
𝑦⟶𝑦0
ℎ 𝑦 − ℎ 𝑦0
𝑦 − 𝑦0
= lim
𝑦⟶𝑦0
𝑓 𝑥0, 𝑦 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
𝑦 − 𝑦0
8. DERIVADAS PARCIAIS
• Para se calcular
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥0, 𝑦0
Fixa-se 𝑥 = 𝑥0 em 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ;
Calcula-se a derivada de ℎ 𝑦 = 𝑓 𝑥0 em 𝑦 = 𝑦0:
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥0, 𝑦0 = ℎ′
𝑦0 .
• EXEMPLO: Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 − 4𝑦 . Para calcularmos
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 devemos olhar 𝑥 como constante e derivar a função em
relação a 𝑦.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 =
𝜕 2𝑥𝑦 − 4𝑦
𝜕𝑦
=
𝜕 2𝑥𝑦
𝜕𝑦
−
𝜕 4𝑦
𝜕𝑦
= 2𝑥 − 4.
9. EXEMPLO 1.
Considere a função z = 𝑓 𝑥, 𝑦 dada por
𝑧 = arc tg 𝑥2 + 𝑦2
sabendo que, sempre que 𝑘 é uma constante
arc tg 𝑡2
+ 𝑘2 ′
=
𝑡2
+ 𝑘2 ′
1 + 𝑡2 + 𝑘2 2
Calcule:
a)
𝜕𝑧
𝜕𝑥
b)
𝜕𝑧
𝜕𝑥 𝑥=1
𝑦=1
c)
𝜕𝑧
𝜕𝑦
d)
𝜕𝑧
𝜕𝑦 𝑥=0
𝑦=0
19. REGRA DA CADEIA
Sejam
• 𝑓 𝑥, 𝑦 uma função definida em 𝐴 ⊂ ℝ2
• 𝛾 𝑡 uma curva definida num intervalo 𝐼, tal que
𝛾 𝑡 ∈ 𝐷𝑓 para todo 𝑡 ∈ 𝐼.
Se 𝑓 e 𝛾 forem diferenciáveis, então a composta
𝐹 𝑡 = 𝑓 𝛾 𝑡
será diferenciável e:
𝐹′ 𝑡 = 𝛻𝑓 𝛾 𝑡 ∙ 𝛾′ 𝑡 𝑇
20. EXEMPLO 3.
Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 e 𝛾 𝑡 = 𝑡3, 𝑡2 . Considere
𝐹 𝑡 = 𝑓 𝛾 𝑡 .
Calcule:
a) 𝐹 𝑡
b) 𝐹′
𝑡
c) 𝛻𝑓 𝛾 𝑡 ∙ 𝛾′ 𝑡 𝑇
21. SOLUÇÃO DO EXEMPLO 3. A)
a) Calcule 𝑭 𝒕
Uma vez que 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 e 𝛾 𝑡 = 𝑡3
, 𝑡2
.
𝐹 𝑡 = 𝑓 𝛾 𝑡
𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑡3
, 𝑡2
𝐹 𝑡 = 𝑡3 ∙ 𝑡2
𝐹 𝑡 = 𝑡5
22. SOLUÇÃO DO EXEMPLO 3. B)
b) Calcule 𝑭′
𝒕
Uma vez que 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦:
𝛾 𝑡 = 𝑡3
, 𝑡2
e 𝐹 𝑡 = 𝑡5
,
temos que:
𝐹′
𝑡 = 𝑡5 ′
𝐹′ 𝑡 = 5𝑡5−1
𝐹′
𝑡 = 5𝑡4
27. PONTO DE MÁXIMO
Seja
• 𝑓 𝑥, 𝑦 uma função a valores reais
• 𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝐴, com 𝐴 ⊂ 𝐷𝑓
Dizemos que 𝑥0, 𝑦0 é ponto de máximo de 𝑓 em 𝐴 se,
para todo 𝑥, 𝑦 em 𝐴,
𝑓 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥0, 𝑦0 .
Sendo 𝑥0, 𝑦0 ponto de máximo de 𝑓 em 𝐴, o número
𝑓 𝑥0, 𝑦0 será denominado valor máximo de 𝑓 em 𝐴.
28. PONTO DE MÁXIMO
Seja
• 𝑓 𝑥, 𝑦 uma função a valores reais
• 𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝐷𝑓
Dizemos que 𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝐷𝑓 é ponto de máximo global ou
absolutamente de 𝑓 se, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑓 em 𝐴,
𝑓 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥0, 𝑦0 .
Neste caso, 𝑓 𝑥0, 𝑦0 é o valor máximo de 𝑓.
29. PONTO DE MÍNIMO
Seja
• 𝑓 𝑥, 𝑦 uma função a valores reais
• 𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝐴, com 𝐴 ⊂ 𝐷𝑓
Dizemos que 𝑥0, 𝑦0 é ponto de mínimo de 𝑓 em 𝐴
se, para todo 𝑥, 𝑦 em 𝐴,
𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥0, 𝑦0 .
Sendo 𝑥0, 𝑦0 ponto de mínimo de 𝑓 em 𝐴, o número
𝑓 𝑥0, 𝑦0 será denominado valor mínimo de 𝑓 em 𝐴.
30. PONTO DE MÍNIMO
Seja
• 𝑓 𝑥, 𝑦 uma função a valores reais
• 𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝐷𝑓
Dizemos que 𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝐷𝑓 é ponto de mínimo global
de 𝑓 se, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑓em 𝐴,
𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥0, 𝑦0 .
Neste caso, 𝑓 𝑥0, 𝑦0 é o valor mínimo de 𝑓.
