1. Estudos de Controle –
Análise de Resposta
Transitória e de
Regime Estacionário
1

2. Sistemas de Controle Integral
• O controlador integral elimina o erro residual do
controlador proporcional, porque acumula o
erro desde o momento inicial.
• Porém, pode conduzir a uma resposta
oscilatória, com amplitude que decresce
lentamente, ou mesmo crescente.
2

3. Sistemas de Controle Proporcional
Integral
• Considerando um sistema com a seguinte planta:
1
𝐺𝑝 𝑠 =
𝑇𝑠 + 1
• Temos a equação de malha fechada:
𝐾
𝐺 𝑠 =
𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾
• Como:
𝐸(𝑠)
𝑅 𝑠 − 𝐶(𝑠)
𝑠 𝑇𝑠 + 1
=
=
𝑅(𝑠)
𝑅(𝑠)
𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾
• Para uma entrada em degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1 𝑠 :
𝑠 𝑇𝑠 + 1
1
𝐸 𝑠 =
𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠
• O erro estacionário será:
𝑒 𝑠𝑠 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim
𝑠→0
𝑠→0
𝑠
=0
𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠
𝑠 𝑇𝑠 + 1
3

4. Sistemas de Controle Proporcional
Integral
• Exemplo:
• Considere o sistema de primeira ordem:
𝐺𝑝 𝑠
=
1
5𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional integral com
diferentes ganhos:
4
Para 𝑇𝑖 = 1.
Para 𝐾 𝑝 = 1.

5. Sistemas de Controle Proporcional
Integral
• Exemplo:
• Considere o sistema de segunda ordem:
𝐺𝑝 𝑠 =
1
𝑠 2 + 1,2𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional integral com
diferentes ganhos:
5
Para 𝑇𝑖 = 1.
Para 𝐾 𝑝 = 1.

6. Sistemas de Controle Proporcional
Integral
• Resposta a distúrbios do tipo conjugado:
• Supondo que 𝑅 𝑠 = 0, a função de transferência entre C(s) e
D(s) é:
𝐶(𝑠)
𝑠
=
𝐾
𝐷(𝑠)
3 + 𝑏𝑠 2 + 𝐾 𝑠 + 𝑝
𝐽𝑠
𝑝
𝑇𝑖
• Então, o erro é definido como:
𝐸(𝑠)
𝐶 𝑠
𝑠
=−
=−
𝐾
𝐷(𝑠)
𝐷 𝑠
3 + 𝑏𝑠 2 + 𝐾 𝑠 + 𝑝
𝐽𝑠
𝑝
𝑇𝑖
6

7. Sistemas de Controle Proporcional
Integral
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• O erro estacionário para um distúrbio em
degrau, igual a 𝑇 𝑑 é dado:
𝑒 𝑠𝑠 = lim 𝑠𝐸 𝑠
𝑠→0
𝑠
𝑠𝑇 𝑑
= lim −
=0
𝐾
𝑠→0
3 + 𝑏𝑠 2 + 𝐾 𝑠 + 𝑝 𝑠
𝐽𝑠
𝑝
𝑇𝑖
• Portanto, o erro estacionário causado por um
distúrbio de pertubação em degrau também é
eliminado.
7

8. Sistemas de Controle Proporcional
Integral
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• Exemplo:
𝐺𝑝 𝑠 =
1
5𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional integral com
diferentes ganhos:
8
Para 𝑇𝑖 = 1.
Para 𝐾 𝑝 = 1.

9. Sistemas de Controle Proporcional
Integral
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• Exemplo:
𝐺𝑝 𝑠 =
1
𝑠 2 + 1,2𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional integral com
diferentes ganhos:
9
Para 𝑇𝑖 = 1.
Para 𝐾 𝑝 = 1.

10. Sistemas de Controle Proporcional
Integral
• Resposta a distúrbios do tipo conjugado:
• A ação do controle integral converteu um
sistema de segunda ordem em um sistema de
terceira ordem.
• Nesse caso, se 𝐾 𝑝 tiver um valor muito alto, o
sistema pode se tornar instável, já que as raízes
passam a ter partes reais positivas.
10

11. Sistemas de Controle Proporcional
Integral
• Resposta a distúrbios do tipo conjugado:
• Exemplos:
𝐺𝑝 𝑠 =
1
5𝑠+1
𝐺𝑝 𝑠 =
1
𝑠2 +1,2𝑠+1
11
Primeira ordem.
Segunda ordem.

12. Sistemas de Controle Integral
• Resposta a distúrbios do tipo conjugado:
• Nesse caso, se o controlador for apenas
integral, o sistema se torna instável, pois a
equação característica 𝐽𝑠 3 + 𝑏𝑠 2 + 𝐾 passa a
ter raízes com partes reais positivas.
12

13. Sistemas de Controle Integral
• Resposta a distúrbios do tipo conjugado:
• Exemplo:
1
𝐺𝑝 𝑠 = 2
𝑠 + 1,2𝑠
13

14. Sistemas de Controle Proporcional
Integral
• Portanto, geralmente a ação proporcional é
responsável por estabilizar o sistema, enquanto
a ação integral tende a eliminar ou reduzir o erro
estacionário.
14

15. Sistemas de Controle Proporcional
Derivativo
• A parte derivativa responde a uma taxa de
variação do erro atuante e permite uma correção
significativa antes que o valor do erro se torne
muito elevado.
• Permite que se obtenha um controlador de alta
sensibilidade.
• Prevê o erro atuante e toma medidas corretivas
antecipadamente e tende a aumentar a
estabilidade do sistema.
• Aumenta o amortecimento do sistema.
• Nunca é usado sozinho.
15

16. Sistemas de Controle Proporcional
Derivativo
• Considerando o sistema com carga inercial:
• Relembrando que o controle proporcional não
estabilizava esse sistema.
• A função de transferência da malha fechada é:
𝐾𝑝
𝐶(𝑠)
= 2
𝑅(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝐾 𝑝
• Como as raízes da da equação característica são
imaginárias, para uma entrada degrau unitário o
sistema irá oscilar indefinidamente.
16

17. Sistemas de Controle Proporcional
Derivativo
• Efeito do controle proporcional-derivativo no
sistema com carga inercial:
• Função de transferência de malha fechada:
𝐾 𝑝 (1 + 𝑇 𝑑 𝑠)
𝐶(𝑠)
= 2
𝑅(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝐾 𝑝 𝑇 𝑑 𝑠 + 𝐾 𝑝
• As raízes da equação característica tem agora duas
raízes com partes reais negativas.
• Amortecimento adicionado.
17

18. Sistemas de Controle Proporcional
Derivativo
• Resposta a um sistema com carga inercial:
• Exemplo:
𝐺𝑝 𝑠 =
1
5𝑠 2
• Aplicando-se um controle proporcional derivativo com
diferentes ganhos:
18
Para 𝑇 𝑑 = 1.
Para 𝐾 𝑝 = 1.

19. Erros Estacionários
• Um sistema pode não apresentar erro
estacionário para uma entrada degrau unitário,
mas pode apresentar erro estacionário não nulo
para uma entrada em rampa.
• O erro estacionário depende do tipo de função
de transferência de malha aberta do sistema.
19

20. Erros Estacionários
• Classificação dos sistemas de controle:
• De acordo com a habilidade de seguir sinais de
entrada do tipo degrau, rampa, parábola, etc.
• Considerando um sistema com realimentação
unitária, temos uma forma geral da função de
transferência de malha aberta:
𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1)
𝐺(𝑠) = 𝑁
𝑠 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1)
• Conforme o valor de N, um sistema é
classificado como tipo 0 (N=0), tipo 1 (N=1),
etc.
20

21. Erros Estacionários
• Classificação dos sistemas de controle:
• Essa classificação é diferente da ordem do
sistema.
• O termo 𝑠 𝑁 determina o pólo de
multiplicidade N na origem.
• Geralmente, conforme o tipo N aumenta,
aumenta a precisão do sistema, porém agrava
a sua estabilidade.
21

22. Erros estacionários
• Considerando o sistema:
• A função de transferência de malha fechada é:
𝐶(𝑠)
𝐺(𝑠)
=
𝑅(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)
• A função de transferência entre o sinal de erro e o sinal de
entrada é:
𝐸(𝑠)
𝐶 𝑠
1
=1−
=
𝑅(𝑠)
𝑅 𝑠
1 + 𝐺(𝑠)
• O erro estacionário será:
𝑠𝑅(𝑠)
𝑒 𝑠𝑠 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim
𝑠→0
𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠)
22

23. Erros Estacionários
• Para uma entrada degrau unitário, temos:
𝑠
1
1
𝑒 𝑠𝑠 = lim
=
𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠
1 + 𝐺(0)
• Constante de erro estático de posição é definida
como:
𝐾 𝑝 = lim 𝐺(𝑠) = 𝐺(0)
𝑠→0
• Então,
𝑒 𝑠𝑠
1
=
1 + 𝐾𝑝
23

24. Erros Estacionários
• Para um sistema do tipo 0:
𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1)
𝐾 𝑝 = lim
= 𝐾
𝑠→0 1 𝑇1 𝑠 + 1
𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1)
1
𝑒 𝑠𝑠 =
1+ 𝐾
• Para um sistema do tipo 1:
𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1)
𝐾 𝑝 = lim
=∞
𝑠→0 𝑠 𝑇1 𝑠 + 1
𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1)
𝑒 𝑠𝑠 = 0
• Portanto, a resposta ao degrau unitário de um
sistema conterá erro estacionário se não houver
integração no ramo direto.
24

25. Erros Estacionários
• Exemplo de respostas ao degrau unitário:
• Sistema do tipo 0:
• Sistema do tipo 1:
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠2 +7𝑠+10
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠3 +7𝑠2 +10𝑠
25

26. Erros Estacionários
• Para uma entrada rampa unitária, temos:
𝑠
1
1
𝑒 𝑠𝑠 = lim
= lim
2
𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠
𝑠→0 𝑠𝐺(𝑠)
• Constante de erro estático de velocidade é
definida como:
𝐾 𝑣 = lim 𝑠𝐺(𝑠)
𝑠→0
• Então,
𝑒 𝑠𝑠
1
=
𝐾𝑣
26

27. Erros Estacionários
• Para um sistema do tipo 0:
𝑠𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1)
𝐾 𝑣 = lim
=0
𝑠→0 1 𝑇1 𝑠 + 1
𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1)
𝑒 𝑠𝑠 = ∞
• Para um sistema do tipo 1:
𝑠𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1)
𝐾 𝑣 = lim
= 𝐾
𝑠→0 𝑠 𝑇1 𝑠 + 1
𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1)
1
𝑒 𝑠𝑠 =
𝐾
• Para um sistema do tipo 2 ou maior:
𝑠𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1)
𝐾 𝑣 = lim 𝑁
=∞
𝑠→0 𝑠
𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1)
𝑒 𝑠𝑠 = 0
27

28. Erros Estacionários
• Exemplo de respostas a rampa unitária:
• Sistema do tipo 0:
• Sistema do tipo 1:
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠2 +7𝑠+10
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠3 +7𝑠2 +10𝑠
28

29. Erros Estacionários
• Exemplo de respostas a rampa unitária:
• Sistema do tipo 2:
• Sistema do tipo 2:
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠4 +7𝑠3 +10𝑠2
𝐺 𝑠 =
𝐾(𝑠+1)
𝑠4 +7𝑠3 +10𝑠2
29

30. Erros Estacionários
• Um sistema do tipo 0 é incapaz de seguir uma
entrada em rampa.
• Um sistema do tipo 1 segue a entrada em rampa
mas com um erro estacionário.
• Um sistema do tipo 2 ou maior pode seguir uma
entrada em rampa com erro nulo.
• O erro estático de velocidade tem a mesma
dimensão do erro do sistema, e não está
relacionada a um erro na velocidade do sistema,
e sim ao erro de uma entrada rampa.
30

31. Erros Estacionários
• Para uma entrada parábola unitária, temos:
𝑠
1
1
𝑒 𝑠𝑠 = lim
= lim 2
3
𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠
𝑠→0 𝑠 𝐺(𝑠)
• Constante de erro estático de aceleração é
definida como:
𝐾 𝑎 = lim 𝑠 2 𝐺(𝑠)
𝑠→0
• Então,
𝑒 𝑠𝑠
1
=
𝐾𝑎
31

32. Erros Estacionários
• Para um sistema do tipo 0:
𝑠 2 𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1)
𝐾 𝑎 = lim
=0
𝑠→0 1 𝑇1 𝑠 + 1
𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1)
𝑒 𝑠𝑠 = ∞
• Para um sistema do tipo 1:
𝑠 2 𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1)
𝐾 𝑎 = lim
=0
𝑠→0
𝑠 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1)
𝑒 𝑠𝑠 = ∞
• Para um sistema do tipo 2:
𝑠 2 𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1)
𝐾 𝑎 = lim 2
= 𝐾
𝑠→0 𝑠
𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1)
1
𝑒 𝑠𝑠 =
𝐾
• Para um sistema do tipo 3 ou maior:
𝑠 2 𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1)
𝐾 𝑎 = lim 𝑁
=∞
𝑠→0 𝑠
𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1)
𝑒 𝑠𝑠 = 0
32

33. Erros Estacionários
• Exemplo de respostas a parábola unitária:
• Sistema do tipo 0:
• Sistema do tipo 1:
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠2 +7𝑠+10
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠3 +7𝑠2 +10𝑠
33

34. Erros Estacionários
• Exemplo de respostas a parábola unitária:
• Sistema do tipo 2:
• Sistema do tipo 2:
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠4 +7𝑠3 +10𝑠2
𝐺 𝑠 =
𝐾(𝑠+1)
𝑠4 +7𝑠3 +10𝑠2
34

35. Erros Estacionários
• Exemplo de respostas a parábola unitária:
• Sistema do tipo 3:
• Sistema do tipo 2:
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠5 +7𝑠4 +10𝑠3
𝐺 𝑠 =
𝐾(𝑠2 +0,02𝑠+0.001)
𝑠5 +7𝑠4 +10𝑠3
35

36. Erros Estacionários
• Tanto os sistemas do tipo 0 ou do tipo 1 não
conseguem seguir uma entrada do tipo parábola.
• O sistema do tipo 2 segue uma entrada do tipo
parábola com erro estacionário.
• Os sistemas do tipo 3 ou maior seguem a
entrada do tipo parábola sem erro estacionário.
36

37. Erros Estacionários
• As constantes 𝐾 𝑝 , 𝐾 𝑣 e 𝐾 𝑎 descrevem a
habilidade de um sistema com realimentação
unitária para reduzir ou eliminar o erro
estacionário.
• São indicativos de desempenho do regime
estacionário.
• Geralmente é desejável aumentar essas
constantes de erro, mas é necessário manter a
resposta transitória dentro de um limite
aceitável.
37

38. Obrigada!
ays@icmc.usp.br
www.lsec.icmc.usp.br
38