FUNÇÕES

1. CÁLCULO I
Introdução ao Estudo de
Funções de uma Variável

2. Função
Uma função (real de variável real) é uma
regra/relação 𝒇 que a cada número real 𝒙 de
algum subconjunto 𝑨 ⊂ ℝ, associa outro
número real 𝒚, de maneira única e sem
exceção:
𝒇: 𝑨 → 𝑩 tal que 𝒙 → 𝒚 = 𝒇 𝒙 .

3. Função
Uma função (real de variável real) é uma
regra/relação 𝒇 que a cada número real 𝒙 de
algum subconjunto 𝑨 ⊂ ℝ, associa outro
número real 𝒚, de maneira única e sem
exceção:
𝒇: 𝑨 → 𝑩 tal que 𝒙 → 𝒚 = 𝒇 𝒙 .
Variável
independente
Variável
dependente

4. Domínio e Imagem
§O conjunto A é chamado de domínio da 𝒇 e
denotaremos 𝑨 = 𝑫 𝒇 .
§Denominamos imagem da 𝒇, o conjunto
𝑰𝒎(𝒇) = {𝒚 ∈ ℝ ∣ ∃𝒙 ∈ 𝑨, 𝒚 = 𝒇(𝒙)}.

5. Exemplo
Vamos associar a cada valor real 𝒙, o seu
inverso, isto é:
𝒚 = 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
§𝑫 𝒇 = ℝ − {𝟎}
§𝑰𝒎 𝒇 = ℝ − {𝟎}

6. Exemplo
𝒇 𝒙 = ;
𝒙 − 𝟏 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏
𝟏 𝒔𝒆 𝒙 = 𝟏
𝒙 + 𝟏 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟏
§𝑫 𝒇 = ℝ
§𝑰𝒎 𝒇 = ℝ

7. Funções Elementares e
seus Gráficos
§Definimos o gráfico de 𝒇 como o conjunto de
pares (𝒙, 𝒇(𝒙)) do plano ℝ𝟐, correspondentes
a todos os 𝒙 ∈ 𝑫 𝒇 .
§Gráficos fornecem várias propriedades da
função.

8. Exemplo
§𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
§𝑫 𝒇 = ℝ − {𝟎}
§𝑰𝒎 𝒇 = ℝ − {𝟎}

9. Função Constante
․𝒇 𝒙 = 𝒄, 𝒄 ∈ ℝ
․𝑫(𝒇) = ℝ
․𝑰𝒎(𝒇) = 𝒄

10. Função Linear
․𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃, 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ
․𝒇 𝒙 = 𝒙
․𝑫(𝒇) = ℝ
․𝑰𝒎(𝒇) = ℝ

11. Função Quadrática
․𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ
․𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
․𝑫(𝒇) = ℝ
․𝑰𝒎 𝒇 = ℝE

12. Função Cúbica
․𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅, 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℝ
․𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑
․𝑫(𝒇) = ℝ
․𝑰𝒎(𝒇) = ℝ

13. Função Modular
․𝒇 𝒙 = 𝒙
․𝒇 = H
𝒙, 𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟎
−𝒙, 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎
․𝑫(𝒇) = ℝ
․𝑰𝒎 𝒇 = ℝE

14. Função Exponencial
․𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙, 𝒂 ∈ ℝ
․𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙
․𝑫(𝒇) = ℝ
․𝑰𝒎 𝒇 = ℝE
∗

15. Função Exponencial
Gráfico disponível em: https://liibre.github.io/coronabr/

16. Função Exponencial
Propriedades
§𝒂𝒙𝒂𝒚 = 𝒂𝒙E𝒚
§ 𝒂𝒙 𝒚 = 𝒂𝒙𝒚
§ 𝒂𝒃 𝒙 = 𝒂𝒙𝒃𝒙
§Se 𝒂 > 𝟏, 𝒙 < 𝒚, então 𝒂𝒙 < 𝒂𝒚
§Se 𝟎 < 𝒂 < 𝟏, 𝒙 < 𝒚, então 𝒂𝒙 > 𝒂𝒚

17. Função Logarítmica
Denomina-se logaritmo de 𝒃 na base 𝒂, o
número real 𝒙, tal que:
𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 ⇔ 𝒂𝒙 = 𝒃

18. Função Logarítmica
Denomina-se logaritmo de 𝒃 na base 𝒂, o
número real 𝒙, tal que:
𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 ⇔ 𝒂𝒙 = 𝒃
§ 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 somente está definido para 𝒃 >
𝟎, 𝒂 > 𝟎 e 𝒂 ≠ 𝟏.
§O logaritmo na base 𝒆 é indicado por ln ,
ou seja:
𝒚 = 𝒍𝒏 𝒙 ⇔ 𝒆𝒚 = 𝒙

19. Função Logarítmica
․𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙
․𝑫(𝒇) = ℝE
∗
․𝑰𝒎 𝒇 = ℝ

20. Funções Trigonométricas
Seno e Cosseno (sen e cos )
§ sen 𝟎 = 𝟎
§ cos 𝟎 = 𝟏
§ sen(𝒂 − 𝒃) = sen 𝒂 cos 𝒃 − sen 𝒃 cos 𝒂
§ cos 𝒂 − 𝒃 = cos 𝒂 cos 𝒃 − sen 𝒂 sen 𝒃
§ sen𝟐𝒕 + cos𝟐𝒕 = 𝟏

21. Funções Trigonométricas
𝑃 = (cos 𝑡, sen 𝑡)
cos 𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝑡
1
1
-1
-1

22. Seno e Cosseno
Período: 𝟐𝝅
․𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
․𝒈 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
․𝑫 𝒇 = ℝ = 𝑫(𝒈)
․𝑰𝒎 𝒇 = −𝟏, 𝟏 = 𝑰𝒎(𝒈)

23. Gráfico

24. Tangente
․𝒇 𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙 =
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
․𝑫 𝒇 = 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒙 ≠
𝝅
𝟐
+ 𝒌 𝛑
․𝑰𝒎 𝒇 = ℝ
․Período: 𝝅

25. Tangente
․𝒇 𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙
․𝑫 𝒇 = 𝒙 ∈ 𝑹: 𝒙 ≠
𝝅
𝟐
+ 𝒌 𝛑
․𝑰𝒎 𝒇 = ℝ
․Período: 𝝅

26. Função Composta
Sejam 𝒇(𝒙) e 𝒈(𝒙) duas funções reais, tais que
𝒇: 𝑨 → 𝑩 e 𝒈: 𝑪 → 𝑫
Se 𝑰𝒎(𝒇) ⊂ 𝑫(𝒈), ou seja, 𝑩 ⊂ 𝑪, a função que
pode ser calculada através da expressão
𝒈(𝒇(𝒙)) é denominada função composta 𝒈 ∘
𝒇(𝒙).

27. Exemplo - Composta
Sejam 𝒇(𝒙) = cos(𝒙) e 𝒈(𝒉) = 𝟐𝒉.
𝑫 𝒇 = ℝ e 𝑰𝒎 𝒇 = −𝟏, 𝟏
𝑫 𝒈 = ℝ = 𝑰𝒎(𝒈)
𝒈𝒐𝒇 = 𝒈 𝒇 𝒙 = 𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒇𝒐𝒈 = 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)

28. CÁLCULO I
Introdução ao Estudo de
Funções de uma Variável