Limite de uma função e sua representação
gráfica
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Considere 𝑓 uma função de domínio 𝐷𝑓:
, com 𝑎 ∉ 𝐷𝑓
Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
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Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
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𝒙 𝒇(𝒙)
100 0,01
𝑥
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𝒙
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Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
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20 0,05
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Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
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𝑥
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1
𝑥
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1
𝑥
e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 .
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−100 −0,01
−20 −0,05
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Conclusão…
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝟏
𝒙
= −∞
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟏
𝒙
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Ao limite da função
1
𝑥
quando 𝑥 tende para 0 por valores superiores a 0 (𝑥...
Conclusão…
Seja 𝑓 uma função real de variável real. Diz-se que o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende para 𝑎 à
direita (ou por v...
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1. limite2com tabelas1 (p1)

  1. 1. Limite de uma função e sua representação gráfica lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 Considere 𝑓 uma função de domínio 𝐷𝑓: , com 𝑎 ∉ 𝐷𝑓
  2. 2. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Se 0 ∉ 𝐷𝑓 então não existe 𝑓 0 . Mas é possível calcular o valor da função para valores de 𝑥 tão próximos de 0 quanto se queira. Consideremos um conjunto de valores positivos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  3. 3. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) 100 0,01 𝑥 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Consideremos um conjunto de valores positivos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  4. 4. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) 100 0,01 20 0,05 𝑥 𝑓(𝑥) 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Consideremos um conjunto de valores positivos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  5. 5. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) 100 0,01 20 0,05 10 0,1 𝑥 𝑓(𝑥) 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Consideremos um conjunto de valores positivos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  6. 6. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) 100 0,01 20 0,05 10 0,1 5 0,2 𝑥 𝑓(𝑥) 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Consideremos um conjunto de valores positivos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  7. 7. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) 100 0,01 20 0,05 10 0,1 5 0,2 2 0,5 𝑥 𝑓(𝑥) 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Consideremos um conjunto de valores positivos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  8. 8. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) 100 0,01 20 0,05 10 0,1 5 0,2 2 0,5 1 1 𝑥 𝑓(𝑥) 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Consideremos um conjunto de valores positivos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  9. 9. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) 100 0,01 20 0,05 10 0,1 5 0,2 2 0,5 1 1 0,5 2𝑥 𝑓(𝑥) 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Consideremos um conjunto de valores positivos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  10. 10. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) 100 0,01 20 0,05 10 0,1 5 0,2 2 0,5 1 1 0,5 2 0,25 4 0,01 100 𝑥 𝑓(𝑥) 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Consideremos um conjunto de valores positivos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  11. 11. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) 100 0,01 20 0,05 10 0,1 5 0,2 2 0,5 1 1 0,5 2 0,25 4 0,01 100 … … 𝒙 → 𝟎+ 𝒇 𝒙 → +∞ 𝑥 𝑓(𝑥) Quando 𝑥 está a tender para zero por valores à direita de zero, 𝑓(𝑥) tende para valores cada vez maiores. Isto é, quando 𝒙 𝐭𝐞𝐧𝐝𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝟎+ , 𝒇(𝒙) tende para +∞. O limite da função 𝑓, quando 𝑥 tende para 0 à direita, tende para +∞: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎+ 𝟏 𝒙 = +∞ 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Consideremos um conjunto de valores positivos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  12. 12. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 De forma idêntica, conclui-se que 𝑓(𝑥) tende para −∞ quando 𝑥 tende para 0 por valores à esquerda de 0. Isto é, consideremos um conjunto de valores negativos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  13. 13. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) −100 −0,01 𝑥 Consideremos um conjunto de valores negativos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0. 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙
  14. 14. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) −100 −0,01 −20 −0,05 𝑥 𝑓(𝑥) Consideremos um conjunto de valores negativos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0. 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙
  15. 15. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) −100 −0,01 −20 −0,05 −10 −0,1 𝑥 𝑓(𝑥) Consideremos um conjunto de valores negativos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0. 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙
  16. 16. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) −100 −0,01 −20 −0,05 −10 −0,1 −5 −0,2 𝑥 𝑓(𝑥) Consideremos um conjunto de valores negativos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0. 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙
  17. 17. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) −100 −0,01 −20 −0,05 −10 −0,1 −5 −0,2 −2 −0,5 𝑥 𝑓(𝑥) Consideremos um conjunto de valores negativos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0. 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙
  18. 18. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) −100 −0,01 −20 −0,05 −10 −0,1 −5 −0,2 −2 −0,5 −1 −1 𝑥 𝑓(𝑥) Consideremos um conjunto de valores negativos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0. 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙
  19. 19. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) −100 −0,01 −20 −0,05 −10 −0,1 −5 −0,2 −2 −0,5 −1 −1 −0,5 −2 𝑥 𝑓(𝑥) Consideremos um conjunto de valores negativos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0. 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙
  20. 20. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) −100 −0,01 −20 −0,05 −10 −0,1 −5 −0,2 −2 −0,5 −1 −1 −0,5 −2 −0,25 −4 −0,01 −100 𝑥 𝑓(𝑥) Consideremos um conjunto de valores negativos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0. 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙
  21. 21. Considere 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 e de domínio 𝐷𝑓 = ℝ 0 . 𝒙 𝒇(𝒙) −100 −0,01 −20 −0,05 −10 −0,1 −5 −0,2 −2 −0,5 −1 −1 −0,5 −2 −0,25 −4 −0,01 −100 … … 𝒙 → 𝟎− 𝒇 𝒙 → −∞ 𝑥 𝑓(𝑥) Quando 𝑥 está a tender para zero por valores à esquerda de zero, 𝑓(𝑥) tende para valores cada vez menores. Isto é, quando 𝒙 𝐭𝐞𝐧𝐝𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝟎− , 𝒇(𝒙) tende para −∞. O limite da função 𝑓, quando 𝑥 tende para 0 à esquerda, tende para −∞: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎− 𝟏 𝒙 = −∞ Consideremos um conjunto de valores negativos de 𝑥 cada vez mais próximos de 0.
  22. 22. Conclusão… 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎− 𝟏 𝒙 = −∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎+ 𝟏 𝒙 = +∞ Ao limite da função 1 𝑥 quando 𝑥 tende para 0 por valores superiores a 0 (𝑥 → 0+ ), designamos por limite à direita de 𝟎. Ao limite da função 1 𝑥 quando 𝑥 tende para 0, por valores inferiores a 0 (𝑥 → 0−), designamos por limite à esquerda de 𝟎.
  23. 23. Conclusão… Seja 𝑓 uma função real de variável real. Diz-se que o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende para 𝑎 à direita (ou por valores superiores a 𝑎), tende para 𝐿1. Simbolicamente: lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝐿1 E O limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende para 𝑎 à esquerda (ou por valores inferiores a 𝑎), tende para 𝐿2. Simbolicamente: lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 𝐿2 (limite à direita de 𝒂) (limite à esquerda de 𝒂) Se 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂+ 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂− 𝒇(𝒙) = 𝑳 então existe 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝑳 (limite de 𝑓 𝑥 , quando 𝑥 tende para 𝑎, tende para 𝐿). Se 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂+ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂− 𝒇(𝒙) então não existe 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙).

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