1) O documento apresenta definições e propriedades sobre integral definida, incluindo a definição de Riemann e propriedades como linearidade e desigualdades comparativas. 2) É introduzido o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona a integral definida com a derivada de sua primitiva. 3) Exemplos ilustram o cálculo de integrais usando propriedades como linearidade e desigualdades comparativas.

1. MATEMÁTICA II
Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
amanda@fcav.unesp.br

2. INTEGRAL DEFINIDA
DEFINIÇÃO.
Sejam (𝑎 =)𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛(= 𝑏) as extremidades desses subintervalos, e
sejam 𝑥1
∗
, 𝑥2
∗
, … , 𝑥𝑛
∗
pontos amostrais arbitrários nesses subintervalos, de
forma que 𝑥𝑖
∗
esteja no i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Então a integral
definida de f de a a b é:
𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
𝑓 𝑥𝑖
∗
∆𝑥
𝑛
𝑖=1
desde que o limite exista e dê o mesmo valor para todas as possíveis escolhas
de pontos amostrais. Se ele existir, dizemos que 𝑓 é integrável em 𝑎, 𝑏 .
Se 𝑓 é uma função contínua definida em
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, dividimos o intervalo 𝑎, 𝑏 em n
subintervalos de comprimentos iguais:
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛

3. INTEGRAL DEFINIDA
OBSERVAÇÃO 1. O símbolo ∫ foi introduzido por Leibniz e é
denominado sinal de integral.
• Ele é um 𝑆 alongado e foi assim escolhido porque uma integral é
um limite de somas.
• Na notação
 𝒇(𝒙) é chamado integrando;
 𝒂 e 𝒃 são ditos limites de integração, sendo 𝒂 o limite
inferior e 𝒃 o limite superior.
 𝒅𝒙 indica que a variável dependente é 𝑥.
• O procedimento de calcular a integral é chamado integração.
𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒅𝒙

4. INTEGRAL DEFINIDA
OBSERVAÇÃO 2. A integral definida ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 é um número; ela
não depende de 𝑥.
• Podemos usar qualquer letra para substituir sem alterar o valor da
integral:
𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑏
𝑎
𝑑𝑡 = 𝑓(𝑟)
𝑏
𝑎
𝑑𝑟

5. INTEGRAL DEFINIDA
OBSERVAÇÃO 3. A soma 𝑓(𝑥𝑖
∗
)∆𝑥
𝑛
𝑖=1 é chamada soma de Riemann, em
homenagem ao matemático Bernhard Riemann (1826-1866).
• Assim, a definição de integral definida de uma função integrável pode ser
aproximada com qualquer grau de precisão desejado por uma soma de
Riemann.
• Sabemos que se 𝑓 for positiva, então a soma de
Riemann pode ser interpretada como uma soma de
áreas de retângulos aproximantes.
• A integral definida pode ser interpretada como a área
sob a curva de a até b.

6. INTEGRAL DEFINIDA
• Se 𝑓 assumir valores positivos e negativos, então a
soma de Riemann é a soma das áreas dos
retângulos que estão acima do eixo 𝑥 e do oposto
das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo
𝑥 (as áreas dos retângulos azuis menos as áreas
dos retângulos amarelos).
• Quando tomamos o limite dessas somas de Riemann,
obtemos a situação ao lado. Uma integral definida
pode ser interpretada como área resultante, isto é, a
diferença das áreas: ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴1 − 𝐴2
𝑏
𝑎
 onde 𝐴1 é a área da região acima do eixo 𝑥 e
abaixo do gráfico de 𝑓 𝑥 , e 𝐴2 é a área da
região abaixo do eixo 𝑥 e acima do gráfico de 𝑓.

7. INTEGRAL DEFINIDA
Propriedades da Integral Definida
Quando definimos a integral definida , implicitamente assumimos
que 𝑎 < 𝑏.
• A definição dessa integral como o limite das somas de Riemann faz
sentido mesmo que 𝑎 > 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏 .
 Se 𝒂 < 𝒃, então ∆𝒙 =
𝒃−𝒂
𝟐
e
com 𝑥𝑖 =
1
2
𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖 =ponto médio de 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 .
 Se 𝒂 > 𝒃, então ∆𝒙 =
𝒂−𝒃
𝟐
= −
(𝒃−𝒂)
𝟐
e
 Se 𝒂 = 𝒃, então ∆𝒙 =
𝒂−𝒂
𝟐
= 𝟎 e
𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
𝒇(𝒙)
𝒂
𝒂
𝒅𝒙 = 𝟎
𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒇 𝒙𝒊 ∆𝒙
𝒏
𝒊=𝟏
𝒇(𝒙)
𝒂
𝒃
𝒅𝒙 = − 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒅𝒙

8. INTEGRAL DEFINIDA
Propriedade 1. Considere 𝑐 uma constante real fixa, então:
𝑐
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑐 𝑏 − 𝑎
Exemplo: Considere 𝑐 = 3 no intervalo 𝟏, 𝟓 , então:
3
𝟓
𝟏
𝑑𝑥 = 3 𝟓 − 𝟏 = 3 4 = 12
𝑦 = 3
𝑥
𝑦
Note que temos um retângulo de
base 5 − 1 = 4 e altura 3, logo:
𝐴 = 𝑏 ∙ 𝑕 = 4 ∗ 3 = 12

9. INTEGRAL DEFINIDA
Propriedade 2. Sejam 𝑓 𝑥 e 𝑔 𝑥 funções integráveis em 𝑎, 𝑏 ,
então:
𝒇 𝒙 ± 𝒈 𝒙
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝒇 𝒙
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
Exemplo: Considere 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 no intervalo 𝟎, 𝟏 ,
então:
𝒙𝟐 + 𝒙
𝟏
𝟎
𝑑𝑥 = 𝒙𝟐
𝟏
𝟎
𝑑𝑥 + 𝑥
𝟏
𝟎
𝑑𝑥
𝒙𝟐
𝒙
𝒙𝟐
+ 𝑥
𝑥
𝑦

10. INTEGRAL DEFINIDA
Propriedade 3. Considere 𝑐 uma constante real fixa e 𝑓 𝑥 uma
função integrável em 𝑎, 𝑏 , então:
𝒄 𝒇 𝒙
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝒄 𝑓 𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
Exemplo: Determine a integral abaixo no intervalo 𝟎, 𝟏 ,
conderando ∫ 𝒙𝟐
𝟏
𝟎
𝑑𝑥 =
1
3
𝟑𝑥2
𝟏
𝟎
𝑑𝑥 = 𝟑 𝒙𝟐
𝟏
𝟎
𝑑𝑥 = 𝟑 ⋅
1
3
= 1 𝒙𝟐
𝟑𝒙𝟐
𝑥
𝑦

11. INTEGRAL DEFINIDA
Propriedade 4. Considere 𝑓 𝑥 uma função integrável em 𝑎, 𝑏 e
𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 , então:
𝑓 𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥
𝑐
𝑎
𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥
𝑏
𝑐
𝑑𝑥
Exemplo: Sabe-se que ∫ 𝑓 𝑥
𝟏𝟎
𝟎
𝑑𝑥 = 17 e ∫ 𝑓 𝑥
𝟖
𝟎
𝑑𝑥 = 12 ,
determine ∫ 𝑓 𝑥
𝟏𝟎
𝟖
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝟏𝟎
𝟎
𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥
𝟖
𝟎
𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥
𝟏𝟎
𝟖
𝑑𝑥 ⟹ 17 = 12 + 𝑓 𝑥
𝟏𝟎
𝟖
𝑑𝑥
∴ 𝑓 𝑥
𝟏𝟎
𝟖
𝑑𝑥 = 17 − 12 = 5

12. INTEGRAL DEFINIDA
Exercício1. Use as propriedades de integral para calcular
∫ (4 + 6𝑥2
)
1
0
𝑑𝑥, considerando ∫ 𝒙𝟐
𝟏
𝟎
𝑑𝑥 =
1
3
Solução.
𝟒 + 𝟔𝑥2
𝟏
𝟎
𝑑𝑥
𝑃2
= 𝟒
𝟏
𝟎
𝑑𝑥 + 𝟔𝑥2
𝟏
𝟎
𝑑𝑥
𝑃3
= 𝟒 𝑑𝑥
𝟏
𝟎
+ 𝟔 𝑥2
𝟏
𝟎
𝑑𝑥
𝑃1
= 𝟒 𝟏 − 𝟎 + 𝟔
1
3
= 4 + 2 = 6

13. INTEGRAL DEFINIDA
Propriedades Comparativas (PC)
PC1. Se 𝑓 𝑥 ≥ 0 para 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , então
PC2. Se 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) para 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , então
PC3. Considere 𝑚 e 𝑀 constantes reais fixas. Se 𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀 para
𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , então
𝑚
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≤ 𝑓 𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≤ 𝑀
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
𝑚 𝑏 − 𝑎 ≤ 𝑓 𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
𝑓 𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≥ 0
𝑓 𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≥ 𝑔 𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑥

14. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Exemplo: Use a propriedade PC3 para estimar o valor de
∫ 𝑒−𝑥2
1
0
𝑑𝑥, sabendo que 𝑒−1 ≅ 0,3679.
Solução. Note que 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥2
, então para
• 𝑥 = 0, 𝑓 0 = 𝑒−02
= 1 = 𝑀 (máximo absoluto em 0,1 )
• 𝑥 = 1, 𝑓 1 = 𝑒−12
= 𝑒−1
= 0,3679 = 𝑚 (mínimo absoluto em 0,1 )
Utilizando a propriedade PC3 no intervalo 0,1 temos que:
𝑚 1 − 0 ≤ 𝑓 𝑥
1
0
𝑑𝑥 ≤ 𝑀(1 − 0)
0,3679 1 − 0 ≤ 𝑒−𝑥2
1
0
𝑑𝑥 ≤ 1(1 − 0)
0,3679 ≤ 𝑒−𝑥2
1
0
𝑑𝑥 ≤ 1

15. INTEGRAL DEFINIDA
Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1 (TFC1)
Se 𝑓 for contínua em 𝑎, 𝑏 , então a função 𝐹 é definida por
𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡
𝑥
0
𝑑𝑡, 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
é contínua em 𝑎, 𝑏 , derivável em 𝑎, 𝑏 e 𝐹’ 𝑥 = 𝑓 𝑥 .
Exemplo. Encontre a derivada da função 𝐹 𝑥 = ∫ 1 + 𝑡2
𝑥
0
𝑑𝑡
Solução. Uma vez que 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥2 é contínua, utilizando TFC1
temos que:
𝐹’ 𝑥 = 1 + 𝑥2

16. INTEGRAL DEFINIDA
Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2 (TFC2)
Se 𝑓 for contínua em 𝑎, 𝑏 , então
𝑓 𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 ,
sendo 𝐹(𝑥) uma primitiva de 𝑓(𝑥), ou seja, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Exemplo. Calcule ∫ 𝑒𝑥
3
1
𝑑𝑥
Solução. Uma vez que 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 é contínua em 1, 3 e uma
primitiva de 𝑓 𝑥 é 𝐹′ 𝑥 = 𝑒𝑥, então:
𝑒𝑥
3
1
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
1
3
= 𝐹 3 − 𝐹 1 = 𝑒3 − 𝑒

17. INTEGRAL DEFINIDA
Exercício 2. Encontre a área sob a parábola 𝑦 = 𝑥2 de 0 até 1.
Solução. Note que:
• a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é contínua em 0, 1
• uma primitiva de 𝑓 𝑥 = 𝑥2
é 𝐹 𝑥 =
𝑥3
3
Assim, a área sob a parábola 𝑦 = 𝑥2 de 0 até 1 utilizando o TFC2 é:
𝑥2
1
0
𝑑𝑥 =
𝑥3
3 0
1
= 𝐹 1 − 𝐹 0 =
13
3
−
03
3
=
1
3

18. INTEGRAL DEFINIDA
Exercício 3. Determine ∫
𝑑𝑥
𝑥
6
3
SOLUÇÃO:
• Note que a função 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
é contínua em 3 , 6 , pelo
TFC temos que:
1
𝑥
6
3
𝑑𝑥 = ln 𝑥
3
6
= ln 6 − ln 3
= ln
6
3
= ln 2
𝑦
𝑥

19. 𝑥
𝑦
INTEGRAL DEFINIDA
Exercício 4. O que está errado com esse cálculo?
1
𝑥2
3
−1
𝑑𝑥 =
𝑥−1
−1 −1
3
= −
1
3
− 1 = −
4
3
Solução.
1
𝑥2
3
−1
𝑑𝑥 = 𝑥−2
3
−1
𝑑𝑥 =
𝑥−2+1
−2 + 1 −1
3
=
𝑥−1
−1 −1
3
= −𝑥−1
−1
3
= − 3−1 − −1 −1 = −
1
3
+ 1 = −
1
3
− 1 = −
4
3
Note que:
1. 𝑓 𝑥 ≥ 0 mas ∫ 𝑓 𝑥 < 0
3
−1
, logo não atende a Propriedade PC1.
2. O TFC aplica-se a funções contínuas e ele não poder ser aplicado, pois
temos uma descontinuidade da função 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 no intervalo −1, 3 .
Portanto não é possível determinar a integral ∫
1
𝑥2
3
−1
𝑑𝑥.

20. INTEGRAL DEFINIDA
Exercício de Aplicação. Calcule o centro de massa de uma
placa semicircular de raio 𝑟, sabendo que o centro de massa
da placa está localizado no ponto
𝒙 =
1
𝐴
𝑥𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 𝑒 𝑦 =
1
2𝐴
𝑓 𝑥 2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
SOLUÇÃO. Note que:
𝑓 𝑥 = 𝑟2 − 𝑥2, 𝑎 = −𝑟, 𝑏 = 𝑟 e 𝐴 =
1
2
𝜋𝑟2

21. INTEGRAL DEFINIDA
SOLUÇÃO.𝑓 𝑥 = 𝑟2 − 𝑥2, 𝑎 = −𝑟, 𝑏 = 𝑟 e 𝐴 =
1
2
𝜋𝑟2
O centro de massa deve estar sobre o eixo y, assim:
𝒙 = 0
𝑦 =
1
2𝐴
𝑓 𝑥 2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 =
1
2
1
2
𝜋𝑟2
𝑟2 − 𝑥2
2
𝑟
−𝑟
𝑑𝑥 =
=
2
2
1
2
𝜋𝑟2
∫ 𝑟2 − 𝑥2
2
𝑟
0
𝑑𝑥 =
2
𝜋𝑟2 ∫ 𝑟2 − 𝑥2
𝑟
0
𝑑𝑥 =
=
2
𝜋𝑟2 𝑟2
∫ 𝑑𝑥
𝑟
−𝑟
− ∫ 𝑥2𝑑𝑥
𝑟
−𝑟
=
2
𝜋𝑟2 𝑟2𝑥 −
𝑥3
3 0
𝑟
=
=
2
𝜋𝑟2 𝑟2
𝑟 −
𝑟3
3
− 𝑟2
0 −
03
3
=
2
𝜋𝑟2 𝑟3
−
𝑟3
3
=
2
𝜋𝑟2
2𝑟3
3
=
4𝑟
3𝜋
Logos, o centro de massa está localizado no ponto 0,
4𝑟
3𝜋