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Ensino Superior
4 – Sistemas de Controle
Amintas Paiva Afonso
Introdução aos Sistemas Dinâmicos
Modelagem de Sistemas
 Objetivos
• Construir modelos matemáticos para descrever sistemas
simples.
 Sistemas estudados
• Sistemas mecânicos
• Sistemas elétricos
• Sistemas fluídicos
• Sistemas térmicos
Sistemas de Controle
 Para controlar é preciso conhecer!!
• Entretanto, faz parte do desafio controlar sistemas mal
conhecidos.
“Para controlar é necessario “conhecer” o desconhecido”
• Um modelo é necessário – Muitas vezes são complexos
e interligados.
Exemplo: Controle de tráfego, processos químicos,
sistemas robóticos, úteis e interessantes ligados à
automacão industrial.
 Base para Análise de um Sistema:
• Fundamentos da teoria de sistemas lineares.
• Relação de causa e efeito.
– Relacão de entradas e saídas representa esta relacão.
– Processamento de um sinal de entrada para fornecer um sinal de saída.
Sistemas de Controle
 Modelo Matemático:
• É a descricão matemática das características dinâmicas
de um sistema;
• Um sistema é um conjunto de expressões matemáticas
que determinam o valor de sinais saída a partir de um
valor de sinal de entrada;
• Blocos são utilizados para representar sistemas;
• Em engenharia, tais blocos representam equações
diferenciais (ou recursivas) lineares;
Sistemas de Controle
 Sistemas Lineares:
• São aqueles nos quais as equações do modelo são
lineares;
• Uma equação diferencial é linear se os coeficientes são
constantes ou apenas funções da variável independente;
• Princípio da superposição: a resposta produzida pela aplicação
simultânea de duas forças de excitação diferentes e igual à soma
das duas respostas individuais;
• Em uma investigação experimental de um sistema dinâmico, se a
causa e o efeito são proporcionais, considera-se o sistema linear.
Sistemas de Controle
 Se um sistema tem a resposta Y1 para uma
entrada X1 e uma resposta Y2 para uma
entrada X2, então, se tiver uma entrada
X3 = X1 + X2 terá uma resposta Y3 = Y1 + Y2
 f(X1 + X2) = f(X1) + f(X2)
Sistemas de Controle
 Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):
• Sistemas lineares descritos por equacões diferenciais
com coeficientes constantes;
• A invariância no tempo implica simplesmente que a
definição das operações dos blocos não pode mudar ao
longo do tempo;
• Suas expressões dependem somente das entradas, não
depende do tempo;
• “Reage sempre da mesma maneira”
Sistemas de Controle
 Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):
Sistemas de Controle
 Transformada de Laplace:
• Como vimos no exemplo anterior, o comportamento da
maioria dos sistemas físicos podem ser representados
através de equações diferenciais;
• A transformada de Laplace transforma uma função da
variável tempo f(t) numa função F(s), onde S = σ + jw
(variável complexa).
Modelos Matemáticos
Modelos Matemáticos
Transformada de Laplace
∫
∞
−
0
dte st
f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0
s = uma variável complexa
F(s) = transformada de Laplace de f(t)
L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que
indica que a grandeza que ele antecede vai ser
tranformada por meio da integral de Laplace
Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:
∫
∞
−
=
0
dttfesF st
)()(L [f(t)]=
Transformada de Laplace
Ex:
y(t) = cos(wt) – sen (wt)
 Funcão de Transferência:
• Na teoria de controle “Funcões de transferência” são
extremamente usadas para caracterizar as relações
entrada-saída de sistemas lineares invariáveis no tempo;
• E a relação da transformada de Laplace da saída (função
resposta) para a transformada de Laplace da entrada
(função excitação);
Modelos Matemáticos
 Funcão de Transferência:
• Considere o sistema linear invariante no tempo, definido
pela seguinte equacao diferencial, onde y e sua saida e x
sua entrada:
Modelos Matemáticos
 Funcão de Transferência:
Modelos Matemáticos
 Funcão de Transferência G(S):
G(s) = Y(s) / X(s) ⇒ Y(s) = G(s).X(s)
Modelos Matemáticos
 X(S) – Transformada de Laplace da entrada.
 Y(S) – Transformada de Laplace da saída.
 Sistemas Mecânicos
Sistemas de Controle
As leis fundamentais que governam os sistemas mecânicos
são as leis de Newton:
1ª Lei: Todo corpo em repouso ou em movimento tende a
manter o seu estado inicial.
2ª Lei: A resultante das forças que agem num corpo é igual
ao produto de sua massa pela sua aceleração.
3ª Lei: Para toda força aplicada existe outra de igual módulo
e direção, mas com sentido oposto.
 Sistema massa-mola-amortecedor:
Sistemas Mecânicos
 Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
 Exemplo: Descreva a equacão diferencial do Sistema do
amortecedor viscoso-mola-massa:
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
 Descreva a equacão diferencial do
Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa:
• Um quilograma é uma unidade de massa.
Quando é acionado por uma força de 1N
a massa de 1 kg acelera com 1m/s2
.
Aplicando a lei de Newton, temos:
Sistemas Mecânicos
 Sistema se suspensão de um automóvel:
Sistemas Mecânicos
 Encontre a função de transferência do sistema de
massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) no
mesmo.
Sistemas Mecânicos
k b
u(t)
x(t)
m
Resolução:
Primeiramente, determinamos quais forças atuam no sistema:
k b
u(t) x(t)
m
Fm
Fm Fb
Fb
Em seguida, faça o balanço das forças que agem sobre o carrinho:
F = u(t) – Fm – Fb
Sistemas Mecânicos
... Continuação
Sabemos que a força da mola é dada em função de quanto
ela foi distendida, ou seja Fm = k.x(t), e que o amortecimento
gerado pelo amortecedor é função da velocidade do bloco, ou
seja Fb = b.v(t). Sabemos também, pela segunda lei de
Newton, que a resultante das forças é igual à multiplicação da
massa pela aceleração, ou seja F = m.a.
Assim, a equação fica:
Colocando tudo em função da posição x(t):
m.a = u(t) – k.x(t) – b.v(t)
Sistemas Mecânicos
)(.)(.)()(. 2
2
tx
dt
d
btxktutx
dt
d
m −−=
... Continuação
Fazendo a Transformada de Laplace da equação obtida,
obtemos: :
Sistemas Mecânicos
)0(.)0(.)0(..)()..).((
)0(.)0(.)0(..)()(..)(.)(..
)0(.)(..)(.)()0(.)0(..)(..
2
2
2
xbxmxsmsUksbsmsX
xbxmxsmsUsXsbsXksXsm
xbsXsbsXkSUxmxsmsXsm
−++=++
−++=++
−−−=−−



Finalizando, considerando que as condições iniciais do
problema são iguais a zero, a função de transferência do
sistema massa-mola (relação entre a saída e a entrada do
sistema) será dada por:
ksbsmsU
sX
++
=
..
1
)(
)(
2
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Elétricos
Sistemas Elétricos
As leis fundamentais que governam os sistemas elétricos são:
- Leis de Kirchoff. A Lei das Correntes diz que a soma das
correntes que entram em um nó é igual a zero e a das
tensões diz que a soma das quedas de tensão dentro de uma
malha é igual a zero.
- Lei de Ohm. Determina a relação entre tensão e corrente.
Componentes:
Resistor: Opõe resistência à passagem da corrente elétrica
por seus terminais.
Capacitor: Acumula elétrons (corrente) entre suas placas.
Indutor: Acumula tensão entre seus terminais em
forma de campo eletromagnético.
)(.)(
)(.)(
sIRSV
tiRtv
R
R
=
=
sC
sI
sV
dtti
C
tv
C
C
.
)(
)(
).(.
1
)(
=
= ∫
vC(t) i(t)
)(.)(
)(
.)(
sIssV
dt
tdi
Ltv
L
L
=
=
i(t)
vL(t)
i(t)
vR(t)
Sistemas Elétricos
Sistemas Elétricos
Exemplo: Encontre a função de transferência do circuito RLC
abaixo.
L R
Cei eo
i
Sistemas Elétricos
Resolução:
Pela lei de kirchoff das quedas de tensão:
L R
Cei
e
o
i
vL vR
vC
ei = vL + vR + vC
eo = vC
Devemos colocar os valores em
termos da corrente i:
∫
∫
=
++=
idt
C
e
idt
C
iR
dt
di
Lei
1
1
..
0
Sistemas Elétricos
Aplicando a Transformada de Laplace nas equações encontradas,
obtemos:
)(.
1
.
1
)(
)(.
1
.
1
)(.)(..)(
0 sI
sC
sE
sI
sC
sIRsIsLsEi
=
++=
A equação de transferência do sistema é a relação entre a
saída (Eo) e a entrada do sistema (Ei). Portanto, dividindo as
equações uma pela outra:
1....
1
)(
)(
2
++
=
sCRsCLsE
sE
i
o
Sistemas Elétricos
Sistemas Mecânicos
k b
u(t)
x(t)
m
Exercícios:
1) Encontre a função x(t) do sistema de massa-mola abaixo,
quando aplicada uma força u(t) igual a um degrau unitário.
Dados: m = 1kg, b = 4, k = 3
Sistemas Elétricos
L R
Cei eo
i
2) Encontre a função eo(t) do circuito abaixo, quando aplicada
uma tensão ei(t) igual a um degrau unitário.
Dados: L = 1 H, R = 2 Ohms, C = 1 F
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Sistema Fluídico –
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Doc modelagem _492246747

  • 1. Ensino Superior 4 – Sistemas de Controle Amintas Paiva Afonso Introdução aos Sistemas Dinâmicos
  • 2. Modelagem de Sistemas  Objetivos • Construir modelos matemáticos para descrever sistemas simples.  Sistemas estudados • Sistemas mecânicos • Sistemas elétricos • Sistemas fluídicos • Sistemas térmicos
  • 3. Sistemas de Controle  Para controlar é preciso conhecer!! • Entretanto, faz parte do desafio controlar sistemas mal conhecidos. “Para controlar é necessario “conhecer” o desconhecido” • Um modelo é necessário – Muitas vezes são complexos e interligados. Exemplo: Controle de tráfego, processos químicos, sistemas robóticos, úteis e interessantes ligados à automacão industrial.
  • 4.  Base para Análise de um Sistema: • Fundamentos da teoria de sistemas lineares. • Relação de causa e efeito. – Relacão de entradas e saídas representa esta relacão. – Processamento de um sinal de entrada para fornecer um sinal de saída. Sistemas de Controle
  • 5.  Modelo Matemático: • É a descricão matemática das características dinâmicas de um sistema; • Um sistema é um conjunto de expressões matemáticas que determinam o valor de sinais saída a partir de um valor de sinal de entrada; • Blocos são utilizados para representar sistemas; • Em engenharia, tais blocos representam equações diferenciais (ou recursivas) lineares; Sistemas de Controle
  • 6.  Sistemas Lineares: • São aqueles nos quais as equações do modelo são lineares; • Uma equação diferencial é linear se os coeficientes são constantes ou apenas funções da variável independente; • Princípio da superposição: a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas forças de excitação diferentes e igual à soma das duas respostas individuais; • Em uma investigação experimental de um sistema dinâmico, se a causa e o efeito são proporcionais, considera-se o sistema linear. Sistemas de Controle
  • 7.  Se um sistema tem a resposta Y1 para uma entrada X1 e uma resposta Y2 para uma entrada X2, então, se tiver uma entrada X3 = X1 + X2 terá uma resposta Y3 = Y1 + Y2  f(X1 + X2) = f(X1) + f(X2) Sistemas de Controle
  • 8.  Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT): • Sistemas lineares descritos por equacões diferenciais com coeficientes constantes; • A invariância no tempo implica simplesmente que a definição das operações dos blocos não pode mudar ao longo do tempo; • Suas expressões dependem somente das entradas, não depende do tempo; • “Reage sempre da mesma maneira” Sistemas de Controle
  • 9.  Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT): Sistemas de Controle
  • 10.  Transformada de Laplace: • Como vimos no exemplo anterior, o comportamento da maioria dos sistemas físicos podem ser representados através de equações diferenciais; • A transformada de Laplace transforma uma função da variável tempo f(t) numa função F(s), onde S = σ + jw (variável complexa). Modelos Matemáticos
  • 11. Modelos Matemáticos Transformada de Laplace ∫ ∞ − 0 dte st f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0 s = uma variável complexa F(s) = transformada de Laplace de f(t) L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por: ∫ ∞ − = 0 dttfesF st )()(L [f(t)]=
  • 12. Transformada de Laplace Ex: y(t) = cos(wt) – sen (wt)
  • 13.  Funcão de Transferência: • Na teoria de controle “Funcões de transferência” são extremamente usadas para caracterizar as relações entrada-saída de sistemas lineares invariáveis no tempo; • E a relação da transformada de Laplace da saída (função resposta) para a transformada de Laplace da entrada (função excitação); Modelos Matemáticos
  • 14.  Funcão de Transferência: • Considere o sistema linear invariante no tempo, definido pela seguinte equacao diferencial, onde y e sua saida e x sua entrada: Modelos Matemáticos
  • 15.  Funcão de Transferência: Modelos Matemáticos
  • 16.
  • 17.
  • 18.  Funcão de Transferência G(S): G(s) = Y(s) / X(s) ⇒ Y(s) = G(s).X(s) Modelos Matemáticos  X(S) – Transformada de Laplace da entrada.  Y(S) – Transformada de Laplace da saída.
  • 19.  Sistemas Mecânicos Sistemas de Controle As leis fundamentais que governam os sistemas mecânicos são as leis de Newton: 1ª Lei: Todo corpo em repouso ou em movimento tende a manter o seu estado inicial. 2ª Lei: A resultante das forças que agem num corpo é igual ao produto de sua massa pela sua aceleração. 3ª Lei: Para toda força aplicada existe outra de igual módulo e direção, mas com sentido oposto.
  • 23.  Exemplo: Descreva a equacão diferencial do Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa: Sistemas Mecânicos
  • 25.  Descreva a equacão diferencial do Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa: • Um quilograma é uma unidade de massa. Quando é acionado por uma força de 1N a massa de 1 kg acelera com 1m/s2 . Aplicando a lei de Newton, temos: Sistemas Mecânicos
  • 26.  Sistema se suspensão de um automóvel: Sistemas Mecânicos
  • 27.  Encontre a função de transferência do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) no mesmo. Sistemas Mecânicos k b u(t) x(t) m
  • 28. Resolução: Primeiramente, determinamos quais forças atuam no sistema: k b u(t) x(t) m Fm Fm Fb Fb Em seguida, faça o balanço das forças que agem sobre o carrinho: F = u(t) – Fm – Fb Sistemas Mecânicos
  • 29. ... Continuação Sabemos que a força da mola é dada em função de quanto ela foi distendida, ou seja Fm = k.x(t), e que o amortecimento gerado pelo amortecedor é função da velocidade do bloco, ou seja Fb = b.v(t). Sabemos também, pela segunda lei de Newton, que a resultante das forças é igual à multiplicação da massa pela aceleração, ou seja F = m.a. Assim, a equação fica: Colocando tudo em função da posição x(t): m.a = u(t) – k.x(t) – b.v(t) Sistemas Mecânicos )(.)(.)()(. 2 2 tx dt d btxktutx dt d m −−=
  • 30. ... Continuação Fazendo a Transformada de Laplace da equação obtida, obtemos: : Sistemas Mecânicos )0(.)0(.)0(..)()..).(( )0(.)0(.)0(..)()(..)(.)(.. )0(.)(..)(.)()0(.)0(..)(.. 2 2 2 xbxmxsmsUksbsmsX xbxmxsmsUsXsbsXksXsm xbsXsbsXkSUxmxsmsXsm −++=++ −++=++ −−−=−−    Finalizando, considerando que as condições iniciais do problema são iguais a zero, a função de transferência do sistema massa-mola (relação entre a saída e a entrada do sistema) será dada por: ksbsmsU sX ++ = .. 1 )( )( 2
  • 36. Sistemas Elétricos Sistemas Elétricos As leis fundamentais que governam os sistemas elétricos são: - Leis de Kirchoff. A Lei das Correntes diz que a soma das correntes que entram em um nó é igual a zero e a das tensões diz que a soma das quedas de tensão dentro de uma malha é igual a zero. - Lei de Ohm. Determina a relação entre tensão e corrente.
  • 37. Componentes: Resistor: Opõe resistência à passagem da corrente elétrica por seus terminais. Capacitor: Acumula elétrons (corrente) entre suas placas. Indutor: Acumula tensão entre seus terminais em forma de campo eletromagnético. )(.)( )(.)( sIRSV tiRtv R R = = sC sI sV dtti C tv C C . )( )( ).(. 1 )( = = ∫ vC(t) i(t) )(.)( )( .)( sIssV dt tdi Ltv L L = = i(t) vL(t) i(t) vR(t) Sistemas Elétricos
  • 38. Sistemas Elétricos Exemplo: Encontre a função de transferência do circuito RLC abaixo. L R Cei eo i
  • 39. Sistemas Elétricos Resolução: Pela lei de kirchoff das quedas de tensão: L R Cei e o i vL vR vC ei = vL + vR + vC eo = vC Devemos colocar os valores em termos da corrente i: ∫ ∫ = ++= idt C e idt C iR dt di Lei 1 1 .. 0
  • 40. Sistemas Elétricos Aplicando a Transformada de Laplace nas equações encontradas, obtemos: )(. 1 . 1 )( )(. 1 . 1 )(.)(..)( 0 sI sC sE sI sC sIRsIsLsEi = ++= A equação de transferência do sistema é a relação entre a saída (Eo) e a entrada do sistema (Ei). Portanto, dividindo as equações uma pela outra: 1.... 1 )( )( 2 ++ = sCRsCLsE sE i o
  • 42. Sistemas Mecânicos k b u(t) x(t) m Exercícios: 1) Encontre a função x(t) do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) igual a um degrau unitário. Dados: m = 1kg, b = 4, k = 3
  • 43. Sistemas Elétricos L R Cei eo i 2) Encontre a função eo(t) do circuito abaixo, quando aplicada uma tensão ei(t) igual a um degrau unitário. Dados: L = 1 H, R = 2 Ohms, C = 1 F