Ensino Superior
4 – Sistemas de Controle
Amintas Paiva Afonso
Introdução aos Sistemas Dinâmicos
Modelagem de Sistemas
 Objetivos
• Construir modelos matemáticos para descrever sistemas
simples.
 Sistemas estudados
• ...
Sistemas de Controle
 Para controlar é preciso conhecer!!
• Entretanto, faz parte do desafio controlar sistemas mal
conhe...
 Base para Análise de um Sistema:
• Fundamentos da teoria de sistemas lineares.
• Relação de causa e efeito.
– Relacão de...
 Modelo Matemático:
• É a descricão matemática das características dinâmicas
de um sistema;
• Um sistema é um conjunto de...
 Sistemas Lineares:
• São aqueles nos quais as equações do modelo são
lineares;
• Uma equação diferencial é linear se os ...
 Se um sistema tem a resposta Y1 para uma
entrada X1 e uma resposta Y2 para uma
entrada X2, então, se tiver uma entrada
X...
 Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):
• Sistemas lineares descritos por equacões diferenciais
com coeficientes ...
 Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):
Sistemas de Controle
 Transformada de Laplace:
• Como vimos no exemplo anterior, o comportamento da
maioria dos sistemas físicos podem ser rep...
Modelos Matemáticos
Transformada de Laplace
∫
∞
−
0
dte st
f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0
s = uma...
Transformada de Laplace
Ex:
y(t) = cos(wt) – sen (wt)
 Funcão de Transferência:
• Na teoria de controle “Funcões de transferência” são
extremamente usadas para caracterizar as...
 Funcão de Transferência:
• Considere o sistema linear invariante no tempo, definido
pela seguinte equacao diferencial, o...
 Funcão de Transferência:
Modelos Matemáticos
 Funcão de Transferência G(S):
G(s) = Y(s) / X(s) ⇒ Y(s) = G(s).X(s)
Modelos Matemáticos
 X(S) – Transformada de Laplace...
 Sistemas Mecânicos
Sistemas de Controle
As leis fundamentais que governam os sistemas mecânicos
são as leis de Newton:
1...
 Sistema massa-mola-amortecedor:
Sistemas Mecânicos
 Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
 Exemplo: Descreva a equacão diferencial do Sistema do
amortecedor viscoso-mola-massa:
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
 Descreva a equacão diferencial do
Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa:
• Um quilograma é uma unidade de massa.
Qua...
 Sistema se suspensão de um automóvel:
Sistemas Mecânicos
 Encontre a função de transferência do sistema de
massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) no
mesmo.
Sistemas Me...
Resolução:
Primeiramente, determinamos quais forças atuam no sistema:
k b
u(t) x(t)
m
Fm
Fm Fb
Fb
Em seguida, faça o balan...
... Continuação
Sabemos que a força da mola é dada em função de quanto
ela foi distendida, ou seja Fm = k.x(t), e que o am...
... Continuação
Fazendo a Transformada de Laplace da equação obtida,
obtemos: :
Sistemas Mecânicos
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Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Elétricos
Sistemas Elétricos
As leis fundamentais que governam os sistemas elétricos são:
- Leis de Kirchoff. A L...
Componentes:
Resistor: Opõe resistência à passagem da corrente elétrica
por seus terminais.
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Sistemas Elétricos
Exemplo: Encontre a função de transferência do circuito RLC
abaixo.
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Sistemas Elétricos
Resolução:
Pela lei de kirchoff das quedas de tensão:
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Sistemas Elétricos
Aplicando a Transformada de Laplace nas equações encontradas,
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Sistemas Elétricos
Sistemas Mecânicos
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x(t)
m
Exercícios:
1) Encontre a função x(t) do sistema de massa-mola abaixo,
quando aplicada ...
Sistemas Elétricos
L R
Cei eo
i
2) Encontre a função eo(t) do circuito abaixo, quando aplicada
uma tensão ei(t) igual a um...
Sistema Mecânico e
Sistema Elétrico
Sistemas Elétricos
Sistema Fluídico –
Nível Líquido
Sistema Fluídico –
Nível Líquido
Sistema Fluídico 1
Sistema Fluídico 2
Sistema Térmico
Sistema Fluídico –
Sistema Térmico
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  1. 1. Ensino Superior 4 – Sistemas de Controle Amintas Paiva Afonso Introdução aos Sistemas Dinâmicos
  2. 2. Modelagem de Sistemas  Objetivos • Construir modelos matemáticos para descrever sistemas simples.  Sistemas estudados • Sistemas mecânicos • Sistemas elétricos • Sistemas fluídicos • Sistemas térmicos
  3. 3. Sistemas de Controle  Para controlar é preciso conhecer!! • Entretanto, faz parte do desafio controlar sistemas mal conhecidos. “Para controlar é necessario “conhecer” o desconhecido” • Um modelo é necessário – Muitas vezes são complexos e interligados. Exemplo: Controle de tráfego, processos químicos, sistemas robóticos, úteis e interessantes ligados à automacão industrial.
  4. 4.  Base para Análise de um Sistema: • Fundamentos da teoria de sistemas lineares. • Relação de causa e efeito. – Relacão de entradas e saídas representa esta relacão. – Processamento de um sinal de entrada para fornecer um sinal de saída. Sistemas de Controle
  5. 5.  Modelo Matemático: • É a descricão matemática das características dinâmicas de um sistema; • Um sistema é um conjunto de expressões matemáticas que determinam o valor de sinais saída a partir de um valor de sinal de entrada; • Blocos são utilizados para representar sistemas; • Em engenharia, tais blocos representam equações diferenciais (ou recursivas) lineares; Sistemas de Controle
  6. 6.  Sistemas Lineares: • São aqueles nos quais as equações do modelo são lineares; • Uma equação diferencial é linear se os coeficientes são constantes ou apenas funções da variável independente; • Princípio da superposição: a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas forças de excitação diferentes e igual à soma das duas respostas individuais; • Em uma investigação experimental de um sistema dinâmico, se a causa e o efeito são proporcionais, considera-se o sistema linear. Sistemas de Controle
  7. 7.  Se um sistema tem a resposta Y1 para uma entrada X1 e uma resposta Y2 para uma entrada X2, então, se tiver uma entrada X3 = X1 + X2 terá uma resposta Y3 = Y1 + Y2  f(X1 + X2) = f(X1) + f(X2) Sistemas de Controle
  8. 8.  Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT): • Sistemas lineares descritos por equacões diferenciais com coeficientes constantes; • A invariância no tempo implica simplesmente que a definição das operações dos blocos não pode mudar ao longo do tempo; • Suas expressões dependem somente das entradas, não depende do tempo; • “Reage sempre da mesma maneira” Sistemas de Controle
  9. 9.  Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT): Sistemas de Controle
  10. 10.  Transformada de Laplace: • Como vimos no exemplo anterior, o comportamento da maioria dos sistemas físicos podem ser representados através de equações diferenciais; • A transformada de Laplace transforma uma função da variável tempo f(t) numa função F(s), onde S = σ + jw (variável complexa). Modelos Matemáticos
  11. 11. Modelos Matemáticos Transformada de Laplace ∫ ∞ − 0 dte st f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0 s = uma variável complexa F(s) = transformada de Laplace de f(t) L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por: ∫ ∞ − = 0 dttfesF st )()(L [f(t)]=
  12. 12. Transformada de Laplace Ex: y(t) = cos(wt) – sen (wt)
  13. 13.  Funcão de Transferência: • Na teoria de controle “Funcões de transferência” são extremamente usadas para caracterizar as relações entrada-saída de sistemas lineares invariáveis no tempo; • E a relação da transformada de Laplace da saída (função resposta) para a transformada de Laplace da entrada (função excitação); Modelos Matemáticos
  14. 14.  Funcão de Transferência: • Considere o sistema linear invariante no tempo, definido pela seguinte equacao diferencial, onde y e sua saida e x sua entrada: Modelos Matemáticos
  15. 15.  Funcão de Transferência: Modelos Matemáticos
  16. 16.  Funcão de Transferência G(S): G(s) = Y(s) / X(s) ⇒ Y(s) = G(s).X(s) Modelos Matemáticos  X(S) – Transformada de Laplace da entrada.  Y(S) – Transformada de Laplace da saída.
  17. 17.  Sistemas Mecânicos Sistemas de Controle As leis fundamentais que governam os sistemas mecânicos são as leis de Newton: 1ª Lei: Todo corpo em repouso ou em movimento tende a manter o seu estado inicial. 2ª Lei: A resultante das forças que agem num corpo é igual ao produto de sua massa pela sua aceleração. 3ª Lei: Para toda força aplicada existe outra de igual módulo e direção, mas com sentido oposto.
  18. 18.  Sistema massa-mola-amortecedor: Sistemas Mecânicos
  19. 19.  Sistemas Mecânicos Sistemas Mecânicos
  20. 20. Sistemas Mecânicos
  21. 21.  Exemplo: Descreva a equacão diferencial do Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa: Sistemas Mecânicos
  22. 22. Sistemas Mecânicos
  23. 23.  Descreva a equacão diferencial do Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa: • Um quilograma é uma unidade de massa. Quando é acionado por uma força de 1N a massa de 1 kg acelera com 1m/s2 . Aplicando a lei de Newton, temos: Sistemas Mecânicos
  24. 24.  Sistema se suspensão de um automóvel: Sistemas Mecânicos
  25. 25.  Encontre a função de transferência do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) no mesmo. Sistemas Mecânicos k b u(t) x(t) m
  26. 26. Resolução: Primeiramente, determinamos quais forças atuam no sistema: k b u(t) x(t) m Fm Fm Fb Fb Em seguida, faça o balanço das forças que agem sobre o carrinho: F = u(t) – Fm – Fb Sistemas Mecânicos
  27. 27. ... Continuação Sabemos que a força da mola é dada em função de quanto ela foi distendida, ou seja Fm = k.x(t), e que o amortecimento gerado pelo amortecedor é função da velocidade do bloco, ou seja Fb = b.v(t). Sabemos também, pela segunda lei de Newton, que a resultante das forças é igual à multiplicação da massa pela aceleração, ou seja F = m.a. Assim, a equação fica: Colocando tudo em função da posição x(t): m.a = u(t) – k.x(t) – b.v(t) Sistemas Mecânicos )(.)(.)()(. 2 2 tx dt d btxktutx dt d m −−=
  28. 28. ... Continuação Fazendo a Transformada de Laplace da equação obtida, obtemos: : Sistemas Mecânicos )0(.)0(.)0(..)()..).(( )0(.)0(.)0(..)()(..)(.)(.. )0(.)(..)(.)()0(.)0(..)(.. 2 2 2 xbxmxsmsUksbsmsX xbxmxsmsUsXsbsXksXsm xbsXsbsXkSUxmxsmsXsm −++=++ −++=++ −−−=−−    Finalizando, considerando que as condições iniciais do problema são iguais a zero, a função de transferência do sistema massa-mola (relação entre a saída e a entrada do sistema) será dada por: ksbsmsU sX ++ = .. 1 )( )( 2
  29. 29. Sistemas Mecânicos
  30. 30. Sistemas Mecânicos
  31. 31. Sistemas Mecânicos
  32. 32. Sistemas Mecânicos
  33. 33. Sistemas Mecânicos
  34. 34. Sistemas Elétricos Sistemas Elétricos As leis fundamentais que governam os sistemas elétricos são: - Leis de Kirchoff. A Lei das Correntes diz que a soma das correntes que entram em um nó é igual a zero e a das tensões diz que a soma das quedas de tensão dentro de uma malha é igual a zero. - Lei de Ohm. Determina a relação entre tensão e corrente.
  35. 35. Componentes: Resistor: Opõe resistência à passagem da corrente elétrica por seus terminais. Capacitor: Acumula elétrons (corrente) entre suas placas. Indutor: Acumula tensão entre seus terminais em forma de campo eletromagnético. )(.)( )(.)( sIRSV tiRtv R R = = sC sI sV dtti C tv C C . )( )( ).(. 1 )( = = ∫ vC(t) i(t) )(.)( )( .)( sIssV dt tdi Ltv L L = = i(t) vL(t) i(t) vR(t) Sistemas Elétricos
  36. 36. Sistemas Elétricos Exemplo: Encontre a função de transferência do circuito RLC abaixo. L R Cei eo i
  37. 37. Sistemas Elétricos Resolução: Pela lei de kirchoff das quedas de tensão: L R Cei e o i vL vR vC ei = vL + vR + vC eo = vC Devemos colocar os valores em termos da corrente i: ∫ ∫ = ++= idt C e idt C iR dt di Lei 1 1 .. 0
  38. 38. Sistemas Elétricos Aplicando a Transformada de Laplace nas equações encontradas, obtemos: )(. 1 . 1 )( )(. 1 . 1 )(.)(..)( 0 sI sC sE sI sC sIRsIsLsEi = ++= A equação de transferência do sistema é a relação entre a saída (Eo) e a entrada do sistema (Ei). Portanto, dividindo as equações uma pela outra: 1.... 1 )( )( 2 ++ = sCRsCLsE sE i o
  39. 39. Sistemas Elétricos
  40. 40. Sistemas Mecânicos k b u(t) x(t) m Exercícios: 1) Encontre a função x(t) do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) igual a um degrau unitário. Dados: m = 1kg, b = 4, k = 3
  41. 41. Sistemas Elétricos L R Cei eo i 2) Encontre a função eo(t) do circuito abaixo, quando aplicada uma tensão ei(t) igual a um degrau unitário. Dados: L = 1 H, R = 2 Ohms, C = 1 F
  42. 42. Sistema Mecânico e Sistema Elétrico
  43. 43. Sistemas Elétricos
  44. 44. Sistema Fluídico – Nível Líquido
  45. 45. Sistema Fluídico – Nível Líquido
  46. 46. Sistema Fluídico 1
  47. 47. Sistema Fluídico 2
  48. 48. Sistema Térmico
  49. 49. Sistema Fluídico – Sistema Térmico

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