Disciplina: Dinâmica Não-linear e Caos
Discente: Daniel Rodrigues Oliveira Mat..: 1141219223
Gustavo
Introdução
 O trabalho de Lorenz envolvia a solução
numérica de sistemas de 12 equações
diferenciais acopladas descrevend...
Pontos fixos e Estabilidade
 Conforme discutido anteriormente, as equações de
Lorenz podem ser expressas como:

𝑢 = 𝛼(𝑣 ...
Pontos fixos e Estabilidade
 A próxima etapa é de se definir a estabilidade nestes através
da linearização:
 𝐴 = 𝐷𝑓( 𝑢, ...
Pontos fixos e Estabilidade
 Fazendo a análise para os
pontos fixos obtidos :
 Ponto (0,0,0):

 𝜆1 = −𝛾
 𝜆2 =
−1−𝛼+ 1...
Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟏
# Resposta do sistema
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0.2
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0.8
1
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Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟖
# Resposta do sistema # Espaço de fase
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Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟏𝟑. 𝟗𝟐𝟔
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 20 40 60
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Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟏𝟗
# Resposta do sistema # Espaço de fase
-20
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0
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Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟐𝟒. 𝟎𝟔𝟐𝟏
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 100 200 300 ...
Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟐𝟒. 𝟎𝟔𝟐𝟐
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 100 200 300 ...
Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟐𝟖
# Resposta do sistema # Espaço de fase
-20 -15 -10 -5 0 5 1...
Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟏𝟏
# Respos...
Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟏𝟏
# Respos...
Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟏𝟏
# Espaço...
Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟏𝟏
# Espaço...
Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟐𝟖
# Espaço...
Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟐𝟖
# Espaço...
Simulações
𝜷 = 𝟐𝟖
# Espaço de fase
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (...
Simulações
 Condições iniciais fixas, 𝜷 fixo e variação de 𝜶:
𝜷 = 𝟐𝟖; 𝜶 = 𝟏
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 50 1...
Simulações
 Condições iniciais fixas, 𝜷 fixo e variação de 𝜶:
𝜷 = 𝟐𝟖; 𝜶 = 𝟓
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 50 1...
Simulações
 Condições iniciais fixas, 𝜷 fixo e variação de 𝜶:
𝜷 = 𝟐𝟖; 𝜶 = 𝟏𝟓
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 50 ...
Sistema dissipativo
 Se o sistema for dissipativo, ele não pode ser considerado
como Hamiltoniano. Pelos resultados:
 Os...
Dimensão fractal
 São encontradas
 Pelo diagrama se
observa que:
 Bifurcação quando β=1 =>
dois pontos fixos.
 β igual 13.926 => transição
das órbitas da...
 As seções de Poincaré podem ser
construídas para:
a) Estudo de órbitas próximas a
órbitas periódicas;
b) Espaço de fase ...
Seção de Poincaré
 Seção de Poincaré para parâmetro 𝛽 = 28:
Expoentes de Lyapunov
 A bifurcação transcrítica é o mecanismo padrão para
mudanças
Um modelo para as equações de
Lorenz: A roda d’água caótica
Referência bibliográfica
 [1] VIANA, R.L. Introdução à Dinâmica Não-Linear e Caos,
Paraná: Apostila da Universidade Feder...
Referência bibliográfica
 [6] SAVI, M.A. Dinâmica Não-Linear e Caos, Rio de Janeiro: E-
papers, 2006, 304 p. ISBN 978-85-...
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Sistema de lorenz

  1. 1. Disciplina: Dinâmica Não-linear e Caos Discente: Daniel Rodrigues Oliveira Mat..: 1141219223 Gustavo
  2. 2. Introdução  O trabalho de Lorenz envolvia a solução numérica de sistemas de 12 equações diferenciais acopladas descrevendo a forma em que o ar se move na atmosfera;  Parâmetros:  Número de Prandtl;  Número de Rayleigh;  Fator geométrico.  𝑥 = 𝜎(𝑦 − 𝑥)  𝑦 = 𝑟𝑥 − 𝑦 − 𝑥𝑧  𝑧 = 𝑥𝑦 − 𝑏 𝑧
  3. 3. Pontos fixos e Estabilidade  Conforme discutido anteriormente, as equações de Lorenz podem ser expressas como:  𝑢 = 𝛼(𝑣 − 𝑢) 𝑣 = 𝑢 𝛽 − 𝑤 − 𝑣 𝑤 = 𝑢𝑣 − 𝛾𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 = 𝛼( 𝑣 − 𝑢) 𝑢 𝛽 − 𝑤 − 𝑣 𝑢 𝑣 − 𝛾 𝑤 = 0 0 0  os pontos fixos devem assumir as seguintes formas: (0,0,0) ( 𝛾(𝛽 − 1), 𝛾(𝛽 − 1),𝛽 − 1) (− 𝛾(𝛽 − 1),− 𝛾(𝛽 − 1),𝛽 − 1)
  4. 4. Pontos fixos e Estabilidade  A próxima etapa é de se definir a estabilidade nestes através da linearização:  𝐴 = 𝐷𝑓( 𝑢, 𝑣, 𝑤) = −𝛼 𝛼 0 𝛽 − 𝑤 −1 − 𝑢 𝑣 𝑢 −𝛾  As expressões gerais para os autovalores estão apresentadas abaixo:  𝜆1 = −𝛾  𝜆2 = −1−𝛼+ 1+𝛼2+2𝛼(−1−2 𝑤+2𝛽) 2  𝜆3 = −1−𝛼− 1+𝛼2+2𝛼(−1−2 𝑤+2𝛽) 2
  5. 5. Pontos fixos e Estabilidade  Fazendo a análise para os pontos fixos obtidos :  Ponto (0,0,0):   𝜆1 = −𝛾  𝜆2 = −1−𝛼+ 1+𝛼2+2𝛼(−1+2𝛽) 2  𝜆3 = −1−𝛼− 1+𝛼2+2𝛼(−1+2𝛽) 2  Conclui-se que:  0 < 𝛽 < 1: todos os autovalores são negativos;  𝛽 = 1: autovalor igual a zero e outros 2 negativos;  1 < 𝛽 < 24.74: 3 autovalores negativos, com complexos conjugados;  24.74 < 𝛽 < 30: 1 autovalor negativo e 2 positivos com complexos conjugados.
  6. 6. Simulações  Condições iniciais fixas e variações de 𝜷: 𝜷 = 𝟏 # Resposta do sistema 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 uv w # Espaço de fase
  7. 7. Simulações  Condições iniciais fixas e variações de 𝜷: 𝜷 = 𝟖 # Resposta do sistema # Espaço de fase 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 10 12 uv w
  8. 8. Simulações  Condições iniciais fixas e variações de 𝜷: 𝜷 = 𝟏𝟑. 𝟗𝟐𝟔 # Resposta do sistema # Espaço de fase 0 20 40 60 -20 -10 0 10 20 t u 0 20 40 60 -20 -10 0 10 20 t v -20 -10 0 10 20 0 10 20 30 u w -20 0 20 -15-10-5051015 0 5 10 15 20 25 v u w
  9. 9. Simulações  Condições iniciais fixas e variações de 𝜷: 𝜷 = 𝟏𝟗 # Resposta do sistema # Espaço de fase -20 -10 0 10 20 -15-10 -5 05 1015 20 0 10 20 30 40 u v w
  10. 10. Simulações  Condições iniciais fixas e variações de 𝜷: 𝜷 = 𝟐𝟒. 𝟎𝟔𝟐𝟏 # Resposta do sistema # Espaço de fase 0 100 200 300 400 -20 -10 0 10 20 t u 0 100 200 300 400 -20 0 20 40 t v 0 100 200 300 400 0 10 20 30 40 50 t w -20 0 20 -15-10-50510152025 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 u v w
  11. 11. Simulações  Condições iniciais fixas e variações de 𝜷: 𝜷 = 𝟐𝟒. 𝟎𝟔𝟐𝟐 # Resposta do sistema # Espaço de fase 0 100 200 300 400 -20 -10 0 10 20 t u 0 100 200 300 400 -40 -20 0 20 40 t v 0 100 200 300 400 0 10 20 30 40 50 t w -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -40 -20 0 20 40 0 10 20 30 40 50 u v w
  12. 12. Simulações  Condições iniciais fixas e variações de 𝜷: 𝜷 = 𝟐𝟖 # Resposta do sistema # Espaço de fase -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -40 -20 0 20 40 0 10 20 30 40 50 u v w
  13. 13. Simulações  Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo  𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0) 𝜷 = 𝟏𝟏 # Resposta do sistema
  14. 14. Simulações  Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo  𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0) 𝜷 = 𝟏𝟏 # Resposta do sistema
  15. 15. Simulações  Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo  𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0) 𝜷 = 𝟏𝟏 # Espaço de fase
  16. 16. Simulações  Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo  𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0) 𝜷 = 𝟏𝟏 # Espaço de fase
  17. 17. Simulações  Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo  𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0) 𝜷 = 𝟐𝟖 # Espaço de fase
  18. 18. Simulações  Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo  𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0) 𝜷 = 𝟐𝟖 # Espaço de fase
  19. 19. Simulações 𝜷 = 𝟐𝟖 # Espaço de fase  Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo  𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
  20. 20. Simulações  Condições iniciais fixas, 𝜷 fixo e variação de 𝜶: 𝜷 = 𝟐𝟖; 𝜶 = 𝟏 # Resposta do sistema # Espaço de fase 0 50 100 150 200 250 0 2 4 6 8 10 t u 0 50 100 150 200 250 -10 0 10 20 30 t v 0 50 100 150 200 250 0 10 20 30 40 50 t w 0 2 4 6 8 10 -10 0 10 20 30 0 10 20 30 40 50 uv w
  21. 21. Simulações  Condições iniciais fixas, 𝜷 fixo e variação de 𝜶: 𝜷 = 𝟐𝟖; 𝜶 = 𝟓 # Resposta do sistema # Espaço de fase 0 50 100 150 200 250 -20 -10 0 10 20 t u 0 50 100 150 200 250 -20 -10 0 10 20 30 t v 0 50 100 150 200 250 0 10 20 30 40 50 t w -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -20 -10 0 10 20 30 0 10 20 30 40 50 v u w
  22. 22. Simulações  Condições iniciais fixas, 𝜷 fixo e variação de 𝜶: 𝜷 = 𝟐𝟖; 𝜶 = 𝟏𝟓 # Resposta do sistema # Espaço de fase 0 50 100 150 200 250 -30 -20 -10 0 10 20 30 t u 0 50 100 150 200 250 -30 -20 -10 0 10 20 30 t v 0 50 100 150 200 250 0 10 20 30 40 50 t w -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -40 -20 0 20 40 0 10 20 30 40 50 u v w
  23. 23. Sistema dissipativo  Se o sistema for dissipativo, ele não pode ser considerado como Hamiltoniano. Pelos resultados:  Os gráficos da resposta do sistema apresentam um amortecimento até se estabilizarem;  Se o divergente das equações for menor que zero, este é um sistema dissipativo, então analisando o volume do sistema:  𝛻𝑓 = 𝜕 𝑢 𝜕𝑢 + 𝜕 𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕 𝑤 𝜕𝑤 = 𝜕 𝜕𝑢 𝛼 𝑣 − 𝑢 + 𝜕 𝜕𝑣 𝑢 𝛽 − 𝑤 − 𝑣 + 𝜕 𝜕𝑤 𝑢𝑣 − 𝛾𝑤 = −𝜶 − 𝟏 − 𝜸
  24. 24. Dimensão fractal  São encontradas
  25. 25.  Pelo diagrama se observa que:  Bifurcação quando β=1 => dois pontos fixos.  β igual 13.926 => transição das órbitas da parte positiva para a negativa.  β proximo de 24,74 => bifurcação de Hopf subcrítica. Diagrama de Bifurcação
  26. 26.  As seções de Poincaré podem ser construídas para: a) Estudo de órbitas próximas a órbitas periódicas; b) Espaço de fase periódico com forçamento periódico; c) Espaço de fase quase- periódico com forçamento quase-periódico; d) Estudo da estrutura de órbitas próximas de órbitas homoclínica ou heteroclínica. Seção de Poincaré
  27. 27. Seção de Poincaré  Seção de Poincaré para parâmetro 𝛽 = 28:
  28. 28. Expoentes de Lyapunov  A bifurcação transcrítica é o mecanismo padrão para mudanças
  29. 29. Um modelo para as equações de Lorenz: A roda d’água caótica
  30. 30. Referência bibliográfica  [1] VIANA, R.L. Introdução à Dinâmica Não-Linear e Caos, Paraná: Apostila da Universidade Federal do Paraná, 2011, 269p., p. 14.  [2] STROGATZ, R.L. Introdução à Dinâmica Não-Linear e Caos, Paraná: Apostila da Universidade Federal do Paraná, 2011, 269p., p. 301,311, .  [3] Wikipedia. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Prandtl dia 08-09, às 13:00 h.  [4] Wikipédia. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Prandtl dia 08-09, às 13:00 h.  [5] MONTEIRO, LUIS HENRIQUE ALVES.,2006, “SISTEMAS DINÂMICOS”, 2.ED.
  31. 31. Referência bibliográfica  [6] SAVI, M.A. Dinâmica Não-Linear e Caos, Rio de Janeiro: E- papers, 2006, 304 p. ISBN 978-85-7650-062-0, p. 170-177.  [7] INCROPERA, F.P. Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa, Rio de Janeiro: LTC, 2008, 643p. ISBN 978-85- 216-1584-2, p 40-42.  [8] GUCKENHEIMER, J. HOMES.P. Nonlinear, Oscilations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Ithaca, Springer.1985, 459p.  [9] VIMAL, V.P. The Caotic Dynamics of the Pendulum and the Lorenz Circuit. 2006.  [10] GONZÁLEZ-MIRANDA, J.M. Syncronization and Control of Chaos. An Introduction for Scientists and Engineers. Barcelona: Imperial College Press, 2004, 224 p. ISBN 1-86094-488-4, p. 34.
  32. 32. OBRIGADO!

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