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1. Cálculo Diferencial e Integral II Disciplina: Cálculo Integral Prof. Dr. Osmar Pedrochi Junior

2. Suponha que 𝑓(𝑥) seja definido quando está próximo ao número 𝑎. (Isso significa que 𝑓 é definido em algum intervalo aberto que contenha 𝑎 , exceto possivelmente no próprio 𝑎.) Então escrevemos 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝑳 e dizemos “o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑎, é igual a 𝐿” se pudermos tornar os valores de 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximos de 𝐿 (tão próximos de 𝐿 quanto quisermos), ao tomar 𝑥 suficientemente próximo de 𝑎 (por ambos os lados de 𝑎), mas não necessariamente igual a 𝑎. 2

3. Noção intuitiva de limites Vamos analisar o comportamento da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 2 para valores de 𝑥 próximos de 2. 3

4. 𝒙 𝒇(𝒙) 1 2 1,5 2,750000 1,8 3,440000 1,9 3,710000 1,95 3,85250 1,99 3,970100 1,999 3,997001 𝒙 𝒇(𝒙) 3 8 2,5 5,750000 2,2 4,640000 2,1 4,310000 2,05 4,152500 2,005 4,015025 2,001 4,003001 4 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 2

5. lim 𝑥→2− 𝑥2 − 𝑥 + 2 = 4 lim 𝑥→2+ 𝑥2 − 𝑥 + 2 = 4 lim 𝑥→2 𝑥2 − 𝑥 + 2 = 4 5

6. Exemplo Sejam a função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 e 𝑎 = 2.  Quando 𝑥 se aproxima de a = 2, então 3𝑥 se aproxima de 6 e 3𝑥 − 1 se aproxima de 5.  Consequentemente, lim 𝑥→2 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→2 3𝑥 − 1 = 5. 6

7. Limite lateral à esquerda Escrevemos lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 𝐿 e dizemos que o limite à esquerda de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende a 𝒂 é igual a 𝐿 se pudermos tornar os valores de 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximos de 𝐿, para 𝑥 suficientemente próximo de 𝑎 e 𝑥 menor que 𝑎. Indica o sentido, isto é, aproximar pela esquerda do número 𝑎 7

8. Limite lateral à direita Escrevemos lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 e dizemos que o limite à direita de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende a 𝒂 é igual a 𝐿 se pudermos tornar os valores de 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximos de 𝐿, para 𝑥 suficientemente próximo de 𝑎 e 𝑥 maior que 𝑎. Indica o sentido, isto é, aproximar pela direita do número 𝑎 8

9. O lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)existe se e somente se os limites laterais são iguais, isto é, lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 9 Limites laterais e bilaterais

10. Como podemos interpretar os limites laterais a partir de um estudo gráfico? Fonte: https://image.freepik.com/vetores-gratis/menina-feliz-crianca-fofa-com- balao-e-livro_97632-1272.jpg 10

11. Função 𝑓 e o estudo dos limites laterais (BARBA, 2020, p. 12) O limite bilateral não existe porque os limites laterais diferem entre si. 11

12. (Stewart, 2016) Para a função 𝑓, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique o por quê. • lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 = • lim 𝑥→3− 𝑓 𝑥 = • lim 𝑥→3+ 𝑓 𝑥 = • lim 𝑥→3 𝑓 𝑥 = • 𝑓 3 = https://bit.ly/2xEzV0z (acesso 09 jul. 2019) 12

13.  lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 =  lim 𝑥→3− 𝑓 𝑥 =  lim 𝑥→3+ 𝑓 𝑥 =  lim 𝑥→3 𝑓 𝑥 =  𝑓 3 = 13

14. Propriedades de Limites  lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)  lim 𝑥→𝑎 [𝑐𝑓 𝑥 ] = 𝑐 ⋅ lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)  lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 ] = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ⋅ lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 Seja c uma constante e suponha que existam os limites lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) e lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥). 14

15.  lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 , se lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0  lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑛 = lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑛 onde 𝑛 é um inteiro positivo  lim 𝑥→𝑎 𝑐 = 𝑐 e lim 𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎  lim 𝑥→𝑎 𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 onde 𝑛 é um inteiro positivo 15

16.  lim 𝑥→𝑎 𝑛 𝑥 = 𝑛 𝑎 onde 𝑛 é um inteiro positivo (Se n for par, supomos que 𝑎 > 0)  lim 𝑥→𝑎 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 onde 𝑛 é um inteiro positivo. (Se n for par, supomos que lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 > 0) 16

17. Exemplo Encontrar lim 𝑥→2 (𝑥2 + 3𝑥 − 5) lim 𝑥→2 𝑥2 + 3𝑥 − 5 = lim 𝑥→2 (𝑥2) + lim 𝑥→2 3𝑥 − lim 𝑥→2 5 = lim 𝑥→2 𝑥 2 + 3lim 𝑥→2 𝑥 − lim 𝑥→2 5 = 22 + 3 ∙ 2 − 5 = 𝟓 17

18. Exemplo Encontrar lim 𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1 lim 𝑥→1 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 = lim 𝑥→1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) (𝑥 − 1) = lim 𝑥→1 (𝑥 + 1) = 𝟐 18

19. Função polinomial e limite Para uma função polinomial 𝑃(𝑥) qualquer, e para uma constante real 𝑎 qualquer, temos que lim 𝑥→𝑎 𝑃(𝑥) = 𝑃(𝑎) A partir desse resultado, é possível investigar os limites associados, por exemplo, à soma, diferença, produto e quociente de funções polinomiais. 19

20. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏 = lim 𝑥→2 (𝑥3 −3𝑥2 + 1) lim 𝑥→2 (2𝑥 − 1) = lim 𝑥→2 𝑥3 + lim 𝑥→2 (−3𝑥2 ) + lim 𝑥→2 1 lim 𝑥→2 2𝑥 + lim 𝑥→2 (−1) = lim 𝑥→2 𝑥3 + (−3) lim 𝑥→2 𝑥2 + lim 𝑥→2 1 lim 𝑥→2 2𝑥 + lim 𝑥→2 (−1) = 23 + −3 ⋅ 22 + 1 2 ⋅ 2 + (−1) = 8 − 12 + 1 3 = −1 20

21. lim 𝑥→𝑎 𝑃(𝑥) = 𝑃 𝑎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏 = 23 − 3 ⋅ 22 +1 2 ⋅ 2 − 1 = 23 − 3 ⋅ 22 + 1 2 ⋅ 2 − 1 = 8 − 12 + 1 3 = −1 21

22. Atenção! Em alguns casos quando substituímos o valor de 𝑎 na função podemos encontrar resultados como: • Divisão por zero: isso significa que a medida que se aproxima de 𝑎 a função tende ao infinito ou a menos infinito. • Indeterminações do tipo 𝟎 𝟎 e ∞ ∞ : utilizamos métodos específicos para resolver esse tipo de indeterminação. 22

23. Por exemplo: lim 𝑥→3 (𝑥2 + 3𝑥) = 9 + 9 = 18 23

24. O cálculo de limites Exemplo: determine lim 𝑥→0 1 𝑥 , com 𝑥 ≠ 0. 𝒙 → 𝟎+ 𝒚 = 𝟏 𝒙 0 Não se define 0,1 10 0,01 100 0,001 1 000 0,0001 10 000 𝒙 → 𝟎− 𝒚 = 𝟏 𝒙 0 Não se define −0,1 −10 −0,01 −100 −0,001 −1 000 −0,0001 −10 000 24

25. Observamos que: Quando 𝑥 se aproxima de zero, pela direita, 𝑦 cresce indefinidamente, isto é, 𝑦 tende a mais infinito: lim 𝑥→0+ 1 𝑥 = ∞ Quando 𝑥 se aproxima de zero, pela esquerda, 𝑦 decresce indefinidamente, isto é, 𝑦 tende a menos infinito: lim 𝑥→0− 1 𝑥 = −∞ 25

26. O cálculo de limites 26

27. Limites infinitos Seja 𝑓(𝑥) uma função definida em todo número de um intervalo aberto 𝐼 contendo 𝑎, exceto possivelmente no próprio 𝑎. Quando 𝑥 tende a 𝑎, 𝑓(𝑥) cresce (ou decresce) indefinidamente escrevemos: lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = ∞ lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = −∞ 27

28. Exemplo: Encontrar lim 𝑥→2 −1 𝑥−2 2 𝒙 𝒚 4 −0,25 3 −1 2,5 −4 2,1 −100 2,01 −10.000 2,001 −1.000.000 ⋯ ⋯ 𝒙 𝒚 0 −0,25 1 −1 1,5 −4 1,9 −100 1,99 −10.000 1,999 −1.000.000 ⋯ ⋯ 28

29. 𝑥 𝑦 2 lim 𝑥→2 −1 𝑥 − 2 2 = −∞ 29

30. Limites infinitos • lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ∞ • lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = −∞ • lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = ∞ • lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = −∞ • lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = ∞ • lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = −∞ A reta 𝑥 = 𝑎 é chamada assíntota vertical da curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita. 30

31. Continuidade Comportamento gráfico de funções contínuas e descontínuas Barba (2020, p. 42)

32. Continuidade Uma função 𝑓 é contínua em um número 𝒂 se: 1) 𝑓(𝑎) está definida (isto é, 𝑎 está no domínio de 𝑓) 2) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe 3) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

33. https://bit.ly/2Y0au8s (acesso 09 jul. 2019)

34. Exemplo Dada a função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1 2 𝑠𝑒 𝑥 = 1 investigue se ela é contínua em 𝑥 = 1. 𝑓 1 = 2. lim 𝑥→1 𝑓(𝑥) = 5 lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 ≠ 𝑓(1) 𝑓 𝑥 é descontínua em 𝑥 = 1 (Adaptado - LEITHOLD, 1994, p. 100)

35. Derivada de uma função A derivada de uma função 𝒇 em relação a 𝒙, denotada por 𝑓′(𝑥) é 𝑓′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) ℎ Se o limite existir. 35

36. Exemplo A derivada da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 é dada por: 𝑓′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) ℎ = lim ℎ→0 2(𝑥 + ℎ) − 2𝑥 ℎ = lim ℎ→0 2𝑥 + 2ℎ − 2𝑥 ℎ = lim ℎ→0 2ℎ ℎ = lim ℎ→0 2 = 2 Logo a derivada de 𝑓 𝑥 = 2𝑥 é dada por 𝑓′ 𝑥 = 2 36

37. Notação Se usarmos a notação tradicional 𝑦 = 𝑓 𝑥 para indicar que a variável independente é 𝑥 e a variável dependente é 𝑦, então algumas notações alternativas para a derivada são as seguintes: 𝑓′ 𝑥 = 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) Para indicar o valor da derivada em um número específico 𝑎 denotamos 𝑓′ 𝑎 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥=𝑎 37

38. 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 = 0 Derivada de uma função constante 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1 Derivada de uma função potência 38

39. 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 A Regra da Multiplicação por Constante 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ± 𝑑 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) Derivada da soma ou diferença de duas funções deriváveis. 39

40. Exemplos Determine a derivada das funções: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟑 𝑓′ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 − 2𝑥 + 3 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝟑 − 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 3 = 𝟑𝑥𝟑−𝟏 − 2 ⋅ 𝟏𝑥𝟏−𝟏 + 0 = 3𝑥2 − 2 40

41. 𝐟 𝒙 = 𝟖𝒙𝟑 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑𝟐 𝑓′ 𝑥 = 3 ∙ 8𝑥3−1 + 2 ∙ 12𝑥2−1 − 4 𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 − 𝟒 41

42. Regra do produto A derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Seja duas funções 𝑓 e 𝑔 deriváveis, então 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 [𝑔 𝑥 ]

43. Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 ⋅ 𝑥. Determine 𝑓′(𝑥). 𝑓′ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 𝑥 + 𝑥2 + 1 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 ⋅ 𝑥 + 𝑥2 + 1 ⋅ 1 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥2 + 𝑥2 + 1 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 1

44. Regra do quociente A derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, todos divididos pelo quadrado do denominador. Seja duas funções 𝑓 e 𝑔 deriváveis, então 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 [𝑔(𝑥)]2

45. Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2+1 𝑥 . Determine 𝑓′ (𝑥). 𝑓′ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 𝑥 − 𝑥2 + 1 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 ⋅ 𝑥 − 𝑥2 + 1 ⋅ 1 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥2 − 𝑥2 + 1 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑥2 = 1 − 1 𝑥2

46. Regra da cadeia Na notação de Leibniz, se 𝑦 = 𝑓(𝑢) e 𝑢 = 𝑔 𝑥 temos  𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Se 𝑔 for derivável em 𝑥 e 𝑓 for derivável em𝑔(𝑥), então a função composta 𝐹 = 𝑓 ∘ 𝑔 definida por 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) é derivável em 𝑥 e 𝐹′ é dada pelo produto 𝐹′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔′ 𝑥

47. Exemplo Seja 𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 1. Determine 𝐹′(𝑥). A função 𝐹(𝑥) pode ser expressa como 𝐹 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) Em que 𝑦 = 𝑢 = 𝑢 1 2 e 𝑢 = 𝑥2 + 1 𝐹′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥2 + 1 ⋅ 2𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 1

48. Podemos reescrever 𝐹(𝑥) como 𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 1 1 2. Assim temos:

49. Derivada de função Exponencial A derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 é dada por : 𝑑 𝑑𝑥 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎 Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 . A sua derivada é dada por 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥.

50. Exemplo Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥 . Determine 𝑓′(𝑥). Seja 𝑦 = 𝑒𝑢 e 𝑢 = 2𝑥 𝑓′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒2𝑥 ⋅ 2 = 2𝑒2𝑥

51. Derivada de função Logarítmica A derivada do logaritmo geral é dada por: 𝑑 𝑑𝑥 log𝑎 𝑥 = 1 𝑥 ln 𝑎 A função 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 é diferenciável para todo 𝑥 > 0. Assim temos que: 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑥 = 1 𝑥 , x > 0.

52. Exemplo Determine a derivada da função 𝑓 𝑥 = ln(𝑥3 + 2𝑥) . Seja 𝑦 = ln 𝑢 e 𝑢 = 𝑥3 + 2𝑥 𝑓′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 → 𝑓′ 𝑥 = 1 𝑢 𝑑𝑢

53. Exemplo 𝑓′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 → 𝑓′ 𝑥 = 1 𝑢 𝑑𝑢 = 1 𝑥3 + 2𝑥 ⋅ 3𝑥2 + 2 = 3𝑥2 + 2 𝑥3 + 2𝑥 𝑦 = ln 𝑢 e 𝑢 = 𝑥3 + 2𝑥

54. Calcule a derivada da função 𝑔 𝑥 = 5𝑥2 𝑙𝑛 𝑥:

55. Pelas regras do produto e multiplicação por escalar e sabendo que 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 = 2𝑥 e 𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑥 = 1 𝑥 , temos que:  𝑔′(𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥 5𝑥2 𝑙𝑛 𝑥 + 5𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑥 = 5 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥 + 5𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑥 = 5 ⋅ 2𝑥 ⋅ 𝑙𝑛 𝑥 + 5𝑥2 ⋅ 1 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑥 = 1 𝑥

56.  = 5 ⋅ 2𝑥 ⋅ 𝑙𝑛 𝑥 + 5𝑥2 ⋅ 1 𝑥 = 10𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 5𝑥 Logo, 𝑔′(𝑥) = 10𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 5𝑥.

57. Derivadas trigonométricas Função Derivada 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = cos(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = sec2(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = sec 𝑥 ⋅ 𝑡𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = cossec 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

58. Calcule a derivada das funções que segue: a) 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 1 b) 𝑔 𝑥 = cos(𝑠𝑒𝑛 𝑥 )

59. 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 1 𝑓′ 𝑥 = 1 3 𝑥 + 1 2 ⋅ 1 𝑔 𝑥 = cos(𝑠𝑒𝑛 𝑥 ) 𝑔′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ cos(𝑥)

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