Modelling Synchronous Machinery

1. Sistema por unidade
𝑆 𝑏 = 𝑆 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 [𝑉𝐴]
𝑉𝑏 = 𝑉𝜑′𝑝𝑖𝑐𝑜 [𝑉]
𝐼 𝑏 = 𝐼 𝑝𝑖𝑐𝑜 [𝐴]
𝜔 𝑏 = 𝜔 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 60 [𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ]
𝜆 𝑏 =
𝑉𝑏
𝜔 𝑏
[𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟]
Portanto, as equações para potência e torque podem ser derivadas:
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
3
2
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐼 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑇𝑏𝑎𝑠𝑒 =
3
2
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐼 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝜔 𝑏𝑎𝑠𝑒 (
𝑃
2)⁄
=
3
2
𝑃
2
𝜆 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐼 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑃
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒
=
3
2 (𝑣 𝑞𝑠 𝑖 𝑞𝑠 + 𝑣 𝑑𝑠 𝑖 𝑑𝑠 + 2 ∙ 𝑣0𝑠 𝑖0𝑠)
3
2 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐼 𝑏𝑎𝑠𝑒
= (𝑣̅ 𝑞 𝑠 𝑖̅ 𝑞𝑠 + 𝑣̅ 𝑑𝑠 𝑖̅ 𝑑𝑠 + 2 ∙ 𝑣̅0𝑠 𝑖̅0𝑠)
𝑇𝑒
𝑇𝑏𝑎𝑠𝑒
=
3
2
𝑃
2 (𝜆 𝑑𝑠 𝑖 𝑞𝑠 − 𝜆 𝑞𝑠 𝑖 𝑑𝑠)
3
2
𝑃
2
𝜆 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐼 𝑏𝑎𝑠𝑒
= (𝜆̅ 𝑑𝑠 𝑖̅ 𝑞𝑠 − 𝜆̅ 𝑞𝑠 𝑖̅ 𝑑𝑠)
A equação dinâmica de normalizada pode ser escrita:
1
𝜔 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑑𝜃𝑟
𝑑𝑡
=
𝜔 𝑟
𝜔 𝑏𝑎𝑠𝑒
= 𝜔̅ 𝑟
𝐽
1
𝑃
2⁄
𝑑𝜔 𝑟
𝑑𝑡
𝑇𝑏𝑎𝑠𝑒
=
𝐽
1
𝑃
2⁄
𝑑𝜔 𝑟
𝑑𝑡
(𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑃
2)
𝜔 𝑏𝑎𝑠𝑒
⁄
=
𝑇 𝑚𝑒𝑐 − 𝑇𝑒
𝑇𝑏𝑎𝑠𝑒
Definindo a constante de inércia 𝐻
𝐻 =
1
2 𝐽 (
𝜔 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑃
2⁄
)
2
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒
2𝐻
𝑑𝜔̅ 𝑟
𝑑𝑡
= 𝑇̅ 𝑚𝑒𝑐 − 𝑇̅𝑒

2. Como em condição normal de operação os ângulos entre o campo do estator e o rotor são
diferentes, conhecido como ângulo de carga, pode-se definir a equação dinâmica a partir
deste ângulo:
𝛿 = 𝜔 𝑟 𝑡 − 𝜔 𝑒 𝑡 + 𝛿0
𝑑𝛿
𝑑𝑡
= 𝜔 𝑟 − 𝜔 𝑒 = 𝜔 𝑟 − 2𝜋𝑓𝑒
𝑑2
𝛿
𝑑𝑡2
=
𝑑𝜔 𝑟
𝑑𝑡
2𝐻
𝜔 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑑2
𝛿
𝑑𝑡2
= 𝑇̅ 𝑚𝑒𝑐 − 𝑇̅𝑒
Máquina em estado estacionário
Em condição estacionária, a velocidade do rotor será constante e igual a 𝜔 𝑒
𝒗 𝑞𝑑0𝑠 = −𝑟𝑠 𝒊 𝑞𝑑0𝑠 + 𝜔 𝑟 𝝀 𝑑𝑞𝑠
𝒗′ 𝑞𝑑𝑟 = 𝑟𝑟 𝒊′ 𝑞𝑑𝑟
𝜆 𝑞𝑠 = −𝐿𝑙𝑠 𝑖 𝑞𝑠 + 𝜆 𝑚𝑞
𝜆 𝑑𝑠 = −𝐿𝑙𝑠 𝑖 𝑑𝑠 + 𝜆 𝑚𝑑
𝜆 𝑘𝑞1 = 𝐿𝑙𝑘𝑞1 𝑖 𝑘𝑞1 + 𝜆 𝑚𝑞
𝜆 𝑘𝑞2 = 𝐿𝑙𝑘𝑞2 𝑖 𝑘𝑞2 + 𝜆 𝑚𝑞
𝜆 𝑓𝑑 = 𝐿𝑙𝑓𝑑 𝑖 𝑓𝑑 + 𝜆 𝑚𝑑
𝜆 𝑘𝑑 = 𝐿𝑙𝑘𝑑 𝑖 𝑘𝑑 + 𝜆 𝑚𝑑
Ou, em explicitando as correntes:
𝑉𝑞𝑠 = −𝑟𝑠 𝐼 𝑞𝑠 − 𝜔 𝑒 𝐿 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 + 𝜔 𝑒 𝐿 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑
𝑉𝑑𝑠 = −𝑟𝑠 𝐼 𝑑𝑠 + 𝜔 𝑒 𝐿 𝑞 𝐼 𝑞𝑠
𝑉𝑓𝑑 = 𝑟𝑓𝑑 𝐼𝑓𝑑
onde:
𝐿 𝑑 = 𝐿𝑙𝑠 + 𝐿 𝑚𝑑
𝐿 𝑞 = 𝐿𝑙𝑠 + 𝐿 𝑚𝑞
ou, utilizando a reatância ao invés das indutâncias:

3. 𝑉𝑞𝑠 = −𝑟𝑠 𝐼 𝑞𝑠 −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑
𝑉𝑑𝑠 = −𝑟𝑠 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑞𝑠
𝑉𝑓𝑑 = 𝑟𝑓𝑑 𝐼𝑓𝑑
Onde 𝜔 𝑏 é a velocidade angular elétrica base utilizada para calcular as reatâncias.
A transformação de um conjunto balanceado de grandezas com mesma amplitude e defasados
de 120° pode ser realizada, para a referência de Krause:
𝑓𝑎𝑠 = √2𝑓𝑠cos(𝜃 𝑒𝑓)
𝑓𝑏𝑠 = √2𝑓𝑠cos (𝜃 𝑒𝑓 −
2𝜋
3
)
𝑓𝑐𝑠 = √2𝑓𝑠 cos (𝜃 𝑒𝑓 +
2𝜋
3
)
por tanto:
𝑓𝑞𝑠 = √2𝑓𝑠cos(𝜃 𝑒𝑓 − 𝜃𝑟)
𝑓𝑑𝑠 = −√2𝑓𝑠sen(𝜃 𝑒𝑓 − 𝜃𝑟)
𝑓0𝑠 = 0
De acordo com a referência de Rocha:
𝑓𝑑𝑠 = √2𝑓𝑠cos(𝜃 𝑒𝑓 − 𝜃𝑟)
𝑓𝑞𝑠 = √2𝑓𝑠sen(𝜃 𝑒𝑓 − 𝜃𝑟)
𝑓0𝑠 = 0
Expressando estes vetores em função do ângulo de carga, 𝛿 = 𝜃𝑟 − 𝜃𝑒𝑣, como 𝜔 𝑟 = 𝜔 𝑒 em
condição estacionária, 𝜃𝑟 = 𝛿 + 𝜃𝑒𝑣
𝑓𝑞𝑠 = √2𝑓𝑠cos(𝜃 𝑒𝑓(0) − 𝜃𝑒𝑣(0) − 𝛿)
𝑓𝑑𝑠 = −√2𝑓𝑠sen(𝜃 𝑒𝑓(0) − 𝜃𝑒𝑣(0) − 𝛿)
𝑓0𝑠 = 0
ou:
𝑓𝑞𝑠 = 𝑅𝑒 (√2𝐹𝑠e
j(𝜃 𝑒𝑓(0)−𝜃 𝑒𝑣(0))
e−j𝛿
)
𝑓𝑑𝑠 = 𝑅𝑒 (𝑗√2𝐹𝑠e
j(𝜃 𝑒𝑓(0)−𝜃 𝑒𝑣(0))
e−j𝛿
)

4. Assim, transformando o vetor para e referencial do rotor pode ser simplificado para:
√2𝐹̃𝑎𝑠e−j𝛿
= 𝐹𝑞𝑠 − 𝑗𝐹𝑑𝑠
É importante notar que 𝐹̃𝑎𝑠 e 𝜃 𝑒𝑓 são termos que fazem referência às variáveis de forma geral,
portanto:
𝐹̃𝑎𝑠 = 𝐹𝑠e
j(𝜃 𝑒𝑓(0)−𝜃 𝑒𝑣(0))
representa as variáveis do eixo 𝑎𝑠 referenciadas no instante zero de 𝜃𝑒𝑣 que será selecionado
tal que 𝑣 𝑎𝑠 seja máximo para 𝑡 = 0. 𝐹̃𝑎𝑠 é o vetor girante referenciado para um sistema
coordenado, referência no vetor síncrono e, que também gira à velocidade síncrona onde no
instante zero está localizado no eixo real:
𝑉𝑞𝑠 − 𝑗𝑉𝑑𝑠 = 𝑉𝑠 − 𝑗0
PORQUE O FASOR DE KRAUSE E DO ONG UTILIZA O VALOR RMS DA VARIÁVEL.
onde o sobrescrito r que indica o referencial no rotor foi removido por simplicidade. Vale
salientar agora a diferença entre as notações escolhidas por Krause e Selênio, para Rocha o
vetor é dado por:
√2𝐹̃𝑎𝑠e−j𝛿
= 𝐹𝑑𝑠 + 𝑗𝐹𝑞𝑠
Porém em ambos os casos, o eixo d é referente ao caminho de menor relutância do circuito
magnético formado pelo rotor e estator, no caso a cabeça da sapata polar. Continuando a
formulação de acordo com Krause:
√2𝑉̃𝑎𝑠e−j𝛿
= 𝑉𝑞𝑠 − 𝑗𝑉𝑑𝑠
𝑉𝑞𝑠 = −𝑟𝑠 𝐼 𝑞𝑠 −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑
𝑉𝑑𝑠 = −𝑟𝑠 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑞𝑠
𝑉𝑓𝑑 = 𝑟𝑓𝑑 𝐼𝑓𝑑
√2𝑉̃𝑎𝑠e−j𝛿
= −𝑟𝑠 𝐼 𝑞𝑠 −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑 − 𝑗 (−𝑟𝑠 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑞𝑠)
Adcionando e subtratindo
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑑𝑠 no lado direito da equação:
√2𝑉̃𝑎𝑠e−j𝛿
= −𝑟𝑠 𝐼 𝑞𝑠 −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑 + 𝑗𝑟𝑠 𝐼 𝑑𝑠 − 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑞𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑑𝑠 −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑑𝑠
√2𝑉̃𝑎𝑠e−j𝛿
= −𝑟𝑠(𝐼 𝑞𝑠 − 𝑗𝐼 𝑑𝑠) − 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞(𝐼 𝑞𝑠 − 𝑗𝐼 𝑑𝑠) −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑑𝑠
lembrando:
ERRATA – a equação 5.9-16 do Krause está invertida no livro pdf: 𝑗√2𝐼̃𝑎𝑠e−j𝛿
= 𝐼 𝑑𝑠 + 𝑗𝐼 𝑞𝑠

5. √2𝐼̃𝑎𝑠e−j𝛿
= 𝐼 𝑞𝑠 − 𝑗𝐼 𝑑𝑠
√2𝑉̃𝑎𝑠e−j𝛿
= −𝑟𝑠(√2𝐼̃𝑎𝑠e−j𝛿
) − 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞(√2𝐼̃𝑎𝑠e−j𝛿
) −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑑𝑠
𝑉̃𝑎𝑠 = − (𝑟𝑠 + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞) 𝐼̃𝑎𝑠 +
1
√2
[
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑 −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠] ej𝛿
Definindo o ultimo termo com 𝐸̃ 𝑎:
𝑉̃𝑎𝑠 = − (𝑟𝑠 + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞) 𝐼̃𝑎𝑠 + 𝐸̃ 𝑎
𝐸̃ 𝑎 =
1
√2
[𝐸̃𝑓𝑑 −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠] ej𝛿
As equações da máquina foram obtidas a partir dos fasores tensão e corrente da fase a, onde
para tal, deve ser garantido que no instante zero (0) o vetor corrente está passando pelo eixo
real. O diagrama fasorial da máquina pode ser desenhado:
A corrente é positiva quando saindo da máquina, caracterizando a ação geradora. E razão
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
é
para maior generalidade da mesma, podendo representar a máquina em estado estacionário
para freqüências diferentes da nominal. Definindo a corrente positiva entrando na máquina:
𝑉̃𝑎𝑠 = (𝑟𝑠 + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞) 𝐼̃𝑎𝑠 +
1
√2
[
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑] ej𝛿

6. Pela notação adotada por Selênio:
√2𝑉̃𝑎𝑠e−j𝛿
= 𝑉𝑑𝑠 + 𝑗𝑉𝑞𝑠
𝑉𝑑𝑠 = −𝑟𝑠 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑞𝑠
𝑉𝑞𝑠 = −𝑟𝑠 𝐼 𝑞𝑠 −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑
√2𝑉̃𝑎𝑠e−j𝛿
= −𝑟𝑠 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑞𝑠 − 𝑗𝑟𝑠 𝐼 𝑞𝑠 − 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑
Adcionando e subtratindo 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑑𝑠 no lado direito da equação:
√2𝑉̃𝑎𝑠e−j𝛿
= −𝑟𝑠 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑞𝑠 + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑑𝑠 − 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑑𝑠 − 𝑗𝑟𝑠 𝐼 𝑞𝑠 − 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠
+ 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑
√2𝑉̃𝑎𝑠e−j𝛿
= −𝑟𝑠(𝐼 𝑑𝑠 + 𝑗𝐼 𝑞𝑠) − 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞(𝐼 𝑑𝑠+𝑗𝐼 𝑞𝑠) + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑑𝑠 − 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑
√2𝐼̃𝑎𝑠e−j𝛿
= 𝐼 𝑑𝑠 + 𝑗𝐼 𝑞𝑠
√2𝑉̃𝑎𝑠e−j𝛿
= −𝑟𝑠(√2𝐼̃𝑎𝑠e−j𝛿
) − 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞(√2𝐼̃𝑎𝑠e−j𝛿
) + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑑𝑠 − 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑
𝑉̃𝑎𝑠 = − (𝑟𝑠 + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞) 𝐼̃𝑎𝑠 + 𝑗
1
√2
[
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝐸̃𝑓𝑑 −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠] ej𝛿
Relacionando o vetor espacial e o fasor temporal, discussão obtida na pg. 276 do ONG. A
corrente do estator na forma vetorial é:
𝒊⃗𝑆
𝑆
= 𝐼 𝑞
𝑠
− 𝑗𝑖 𝑑
𝑠
=
2
3
(𝑖 𝑎 + 𝒂𝑖 𝑏 + 𝒂2
𝑖 𝑐)
O sobrescrito denota as variáveis no referencial estacionário, transformada de Clarke (𝛽𝛼0). O
lado direito da igualdade pode ser simplificado para:
𝒊⃗𝑆
𝑆
= 𝐼 𝑞
𝑠
− 𝑗𝑖 𝑑
𝑠
= 𝐼 𝑚 𝑒 𝑗𝜙
𝑒 𝑗𝜔 𝑒 𝑡
O fasor RMS da corrente da fase a pode ser definido como:
𝑰̃ 𝑎𝑠 =
𝐼 𝑚
√2
𝑒 𝑗𝜙
𝑜𝑢
𝐼 𝑚
√2
/φ
𝒊⃗𝑆
𝑆
= 𝐼 𝑞
𝑠
− 𝑗𝑖 𝑑
𝑠
= √2𝑰̃ 𝑎𝑠 𝑒 𝑗𝜔 𝑒 𝑡
Esta mesma notação é utilizada por Krause.

7. Torque em estado estacionário
𝑉𝑞𝑠 = −𝑟𝑠 𝐼 𝑞𝑠 −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑚𝑑 𝐼𝑓𝑑
𝑉𝑑𝑠 = −𝑟𝑠 𝐼 𝑑𝑠 +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞 𝐼 𝑞𝑠
Reescrevendo em termos de quantidades RMS, tal como definido por ONG (pg. 277), na
referência da máquina como gerador.
𝑽⃗⃗⃗ 𝑞𝑠 = −𝑟𝑠 𝑰⃗ 𝑞𝑠 − 𝑋 𝑑 𝑰⃗ 𝑑𝑠 + 𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑
𝑽⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = −𝑟𝑠 𝑰⃗ 𝑑𝑠 + 𝑋 𝑞 𝑰⃗ 𝑞𝑠
A potência total nas três fases pode ser obtida por:
𝑺 = 3 ∙ 𝑉𝑞𝑑0𝑠 ∙ 𝐼 𝑞𝑑0𝑠
∗
= 3(𝑽⃗⃗⃗ 𝑞𝑠 − 𝑗𝑽⃗⃗⃗ 𝑑𝑠)(𝑰⃗ 𝑞𝑠 + 𝑗𝑰⃗ 𝑑𝑠)
𝑺 = 3(−𝑟𝑠 𝑰⃗ 𝑞𝑠 − 𝑋 𝑑 𝑰⃗ 𝑑𝑠 + 𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑 + 𝑗𝑟𝑠 𝑰⃗ 𝑑𝑠 − 𝑗𝑋 𝑞 𝑰⃗ 𝑞𝑠)(𝑰⃗ 𝑞𝑠 + 𝑗𝑰⃗ 𝑑𝑠)
Subtraindo os termos relativos às perdas por Joule, a expressão para a potência
eletromagnética é dada por:
𝑃𝑒𝑚 = ℜ[3(−𝑋 𝑑 𝑰⃗ 𝑑𝑠 + 𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑 − 𝑗𝑋 𝑞 𝑰⃗ 𝑞𝑠)(𝑰⃗ 𝑞𝑠 + 𝑗𝑰⃗ 𝑑𝑠)]
𝑃𝑒𝑚 = 3(−𝑋 𝑑 𝑰⃗ 𝑑𝑠 𝑰⃗ 𝑞𝑠 + 𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑 𝑰⃗ 𝑞𝑠 + 𝑋 𝑞 𝑰⃗ 𝑞𝑠 𝑰⃗ 𝑑𝑠) = 3{𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑 𝑰⃗ 𝑞𝑠 + (𝑋 𝑞 − 𝑋 𝑑)𝑰⃗ 𝑑𝑠 𝑰⃗ 𝑞𝑠}
𝑄 𝑒 = ℑ[3(−𝑋 𝑑 𝑰⃗ 𝑑𝑠 + 𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑 − 𝑗𝑋 𝑞 𝑰⃗ 𝑞𝑠)(𝑰⃗ 𝑞𝑠 + 𝑗𝑰⃗ 𝑑𝑠)]
𝑄 𝑒 = 3(−𝑋 𝑑 𝑰⃗ 𝑑𝑠
2
+ 𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑 𝑰⃗ 𝑑𝑠 − 𝑋 𝑞 𝑰⃗ 𝑞𝑠
2
)
A expressão para o torque é obtida, então:
𝑇𝑒𝑚 =
𝑃𝑒𝑚
𝜔 𝑅
=
𝑃𝑒𝑚
(
𝜔 𝑒
𝑃
2
⁄ )
= 3 (
𝑃
2 ∙ 𝜔 𝑒
) {𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑 𝑰⃗ 𝑞𝑠 + (𝑋 𝑞 − 𝑋 𝑑)𝑰⃗ 𝑑𝑠 𝑰⃗ 𝑞𝑠}
DUVIDA – A equação 7.67 (pg. 277) do livro do ONG faz a seguinte igualdade:
𝑇𝑒𝑚 =
𝑃𝑒𝑚
𝜔𝑠𝑚
= (
2
𝑃 ∙ 𝜔 𝑒
) 𝑃𝑒𝑚
ou seja:
𝜔𝑠𝑚 =
𝑃
2
𝜔 𝑒? ? ? ? ? ? ?
A expressão pode ser reescrita em termos da tensão terminal, onde:

8. 𝑉̃𝑎𝑠e−j𝛿
= 𝑉𝑎𝑠cos(𝛿) − 𝑗𝑉𝑎𝑠sen(𝛿) = 𝑽⃗⃗⃗ 𝑞𝑠 − 𝑗𝑽⃗⃗⃗ 𝑑𝑠
E substituindo a equação para
𝑃𝑒𝑚 = 3{𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑 𝑰⃗ 𝑞𝑠 + (𝑋 𝑞 − 𝑋 𝑑)𝑰⃗ 𝑑𝑠 𝑰⃗ 𝑞𝑠}
[
𝑰⃗ 𝑞𝑠
𝑰⃗ 𝑑𝑠
] =
[
−
𝑟𝑠
𝑟𝑠
2
+ 𝑋 𝑑 𝑋 𝑞
𝑋 𝑑
𝑟𝑠
2
+ 𝑋 𝑑 𝑋 𝑞
−
𝑋 𝑞
𝑟𝑠
2 + 𝑋 𝑑 𝑋 𝑞
−
𝑟𝑠
𝑟𝑠
2 + 𝑋 𝑑 𝑋 𝑞]
[
𝑽⃗⃗⃗ 𝑞𝑠 − 𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑
𝑽⃗⃗⃗ 𝑑𝑠
]
Desprezando a queda de tensão na resistência:
[
𝑰 𝑞𝑠
𝑰 𝑑𝑠
] =
[
0
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
0
]
[
𝑽 𝑞𝑠 − 𝑬𝑓𝑑
𝑽 𝑑𝑠
]
𝑃𝑒𝑚 = 3 {𝑬𝑓𝑑
𝑽 𝑑𝑠
𝑋 𝑞
− (𝑋 𝑞 − 𝑋 𝑑)
𝑽 𝑞𝑠 − 𝑬𝑓𝑑
𝑋 𝑑
𝑽 𝑑𝑠
𝑋 𝑞
} = 3 {𝑬𝑓𝑑
𝑽 𝑑𝑠
𝑋 𝑞
− (
1
𝑋 𝑑
−
1
𝑋 𝑞
) (𝑽 𝑞𝑠 − 𝑬𝑓𝑑)𝑽 𝑑𝑠}
𝑃𝑒𝑚 = 3 {𝑬𝑓𝑑
𝑽 𝑑𝑠
𝑋 𝑞
− (
1
𝑋 𝑑
−
1
𝑋 𝑞
) 𝑽 𝑞𝑠 𝑽 𝑑𝑠 + (
1
𝑋 𝑑
−
1
𝑋 𝑞
) 𝑬𝑓𝑑 𝑽 𝑑𝑠}
𝑃𝑒𝑚 = 3 {𝑬𝑓𝑑
𝑽 𝑑𝑠
𝑋 𝑑
− (
1
𝑋 𝑑
−
1
𝑋 𝑞
) 𝑽 𝑞𝑠 𝑽 𝑑𝑠}
𝑃𝑒𝑚 = 3 {
𝑬𝑓𝑑 𝑽 𝑎𝑠
𝑋 𝑑
sen(𝛿) +
𝑽 𝑎𝑠
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) sen(2𝛿)}
𝑇𝑒𝑚 = 3 (
𝑃
2 ∙ 𝜔 𝑒
) {
𝑬𝑓𝑑 𝑽 𝑎𝑠
𝑋 𝑑
sen(𝛿) +
𝑽 𝑎𝑠
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) sen(2𝛿)}
𝑄 𝑒 = 3(−𝑋 𝑑 𝑰⃗ 𝑑𝑠
2
+ 𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑 𝑰⃗ 𝑑𝑠 − 𝑋 𝑞 𝑰⃗ 𝑞𝑠
2
)
𝑄 𝑒 = 3 [−𝑋 𝑑 (
𝑽 𝑞𝑠 − 𝑬𝑓𝑑
𝑋 𝑑
)
2
+ 𝑬⃗⃗⃗ 𝑓𝑑
𝑽 𝑞𝑠 − 𝑬𝑓𝑑
𝑋 𝑑
− 𝑋 𝑞 (
𝑽 𝑑𝑠
𝑋 𝑞
)
2
]
𝑄 𝑒 = 3 [−
𝑽 𝑞𝑠
2
− 2𝑽 𝑞𝑠 𝑬 𝑓𝑑 + 𝑬𝑓𝑑
2
𝑋 𝑑
+
𝑽 𝑞𝑠 𝑬 𝑓𝑑 − 𝑬𝑓𝑑
2
𝑋 𝑑
−
𝑽 𝑑𝑠
2
𝑋 𝑞
]
𝑄 𝑒 = 3 [−
𝑋 𝑞 𝑽 𝑎𝑠
2
cos2(𝛿) − 𝑋 𝑞 𝑽 𝑎𝑠 𝑬 𝑓𝑑 𝑐𝑜𝑠(𝛿) + 𝑋 𝑑 𝑽 𝑎𝑠
2
sen2(𝛿)
𝑋 𝑑 𝑋 𝑞
]
𝑄 𝑒 = 3 [
𝑬𝑓𝑑 𝑽 𝑎𝑠
𝑋 𝑑
cos(𝛿) −
𝑋 𝑑 𝑽 𝑎𝑠
2
sen2(𝛿) + 𝑋 𝑞 𝑽 𝑎𝑠
2
cos2(𝛿)
𝑋 𝑑 𝑋 𝑞
]
𝑄 𝑒 = 3
𝑬𝑓𝑑 𝑽 𝑎𝑠
𝑋 𝑑
cos(𝛿) +
3
2
𝑽 𝑎𝑠
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) cos(2𝛿) −
3
2
𝑽 𝑎𝑠
2
(
1
𝑋 𝑞
+
1
𝑋 𝑑
)

9. 𝑄 𝑒 = 3
𝑬𝑓𝑑 𝑽 𝑎𝑠
𝑋 𝑑
cos(𝛿) +
3
2
𝑽 𝑎𝑠
2
(
𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞
𝑋 𝑞 𝑋 𝑑
) (cos2(𝛿) − sen2(𝛿))
−
3
2
𝑽 𝑎𝑠
2
(
𝑋 𝑑 + 𝑋 𝑞
𝑋 𝑞 𝑋 𝑑
) (cos2(𝛿) + sen2(𝛿))
(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)(cos2(𝛿) − sen2(𝛿)) − (𝑋 𝑑 + 𝑋 𝑞)(cos2(𝛿) + sen2(𝛿))
2𝑋 𝑞 𝑋 𝑑
(𝑋 𝑑cos2(𝛿) − 𝑋 𝑑sen2(𝛿) − 𝑋 𝑞cos2(𝛿) + 𝑋 𝑞sen2(𝛿)) − (𝑋 𝑑cos2(𝛿) + 𝑋 𝑑sen2(𝛿) + 𝑋 𝑞cos2(𝛿) + 𝑋 𝑞sen2(𝛿))
2𝑋 𝑞 𝑋 𝑑
𝑋 𝑑cos2(𝛿) − 𝑋 𝑑cos2(𝛿) − 𝑋 𝑑sen2(𝛿) − 𝑋 𝑑sen2(𝛿) − 𝑋 𝑞cos2(𝛿) − 𝑋 𝑞cos2(𝛿) + 𝑋 𝑞sen2(𝛿) − 𝑋 𝑞sen2(𝛿)
2𝑋 𝑞 𝑋 𝑑
Que é igual a:
−
𝑋 𝑑sen2(𝛿) + 𝑋 𝑞cos2(𝛿)
𝑋 𝑑 𝑋 𝑞
Por tanto, a equação para a potência reativa requerida, ou desenvolvida, pela máquina é dada
por:
𝑄 𝑒 = 3
𝑬 𝑓𝑑 𝑽 𝑎𝑠
𝑋 𝑑
cos(𝛿) +
3
2
(𝑽 𝑎𝑠) 𝟐
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) cos(2𝛿) −
3
2
(𝑽 𝑎𝑠) 𝟐
(
1
𝑋 𝑞
+
1
𝑋 𝑑
)
𝑃𝑒𝑚 = 3 {
𝑬𝑓𝑑 𝑽 𝑎𝑠
𝑋 𝑑
sen(𝛿) +
(𝑽 𝑎𝑠) 𝟐
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) sen(2𝛿)}
Os valores de tensão estão em valores de pico. Em termos de valores RMS.
𝑄 𝑒 =
3
2
{
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑎 𝑠
𝑋 𝑑
cos(𝛿) +
(√2𝑉𝑎 𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) cos(2𝛿) −
(√2𝑉𝑎 𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
+
1
𝑋 𝑑
)}
𝑃𝑒𝑚 =
3
2
{
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑎 𝑠
𝑋 𝑑
sen(𝛿) +
(√2𝑉𝑎 𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) sen(2𝛿)}
Dada a convenção geradora, o torque e potência serão positivos para a máquina trabalhando
como gerador, e negativos para esta operando como motor.
A equação acima está expressa em termos RMS, para valores de pico, tal como utilizado por
Krause, aparece um termo
3
2
na frente:
𝑇𝑒𝑚 =
3
2
𝑃
2
1
𝜔 𝑏
{
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑠
𝑋 𝑑
sen(𝛿) +
(√2𝑉𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) sen(2𝛿)}
DUVIDA – tem um termo na equação 5.9-32 do Krause (pg. 213) que está estranho. (
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
)
−2
parece estar com um quadrado errado pois:

10. (
1
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞
−
1
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑
) = (
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑑 −
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞
(
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
)
2
𝑋 𝑞 𝑋 𝑑
) = (
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)
(
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
)
2
𝑋 𝑞 𝑋 𝑑
) =
1
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
)
= (
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
)
−1
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
)
Reescrevendo as equações da máquina, na notação para gerador (torque positivo para
máquina operando como gerador, 𝛿 positivo):
𝑉̃𝑎𝑠 = (𝑟𝑠 + 𝑗𝑋 𝑞)𝐼̃𝑎𝑠 + 𝐸̃ 𝑎
√2𝐸̃ 𝑎e−j𝛿
= 𝐸̃𝑓𝑑 − (𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠
𝑇𝑒𝑚 =
3
2
𝑃
2
1
𝜔 𝑏
{
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑠
𝑋 𝑑
sen(𝛿) +
(√2𝑉𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) sen(2𝛿)}
Este conjunto de equação pode ser utilizado para saber como a máquina opera em estado
estacionário. Porém, como o sistema é não linear, será utilizado o método de Newton (fsolve
do Matlab). A equação do torque quando as perdas da máquina não são desprezadas é
𝑇𝑒𝑚 =
3
2
𝑃
2
1
𝜔 𝑏
{
𝑟𝑠 𝑋 𝑚𝑑 𝐼′ 𝑓𝑑
𝑟𝑠
2 + 𝑋 𝑞 𝑋 𝑑
(𝑉𝑞𝑠
𝑟
− 𝑋 𝑚𝑑 𝐼′ 𝑓𝑑 −
𝑋 𝑑
𝑟𝑠
𝑉𝑑𝑠
𝑟
)
+
𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞
(𝑟𝑠
2
+ 𝑋 𝑞 𝑋 𝑑)
2 [𝑟𝑠 𝑋 𝑞(𝑉𝑞 𝑠
𝑟
− 𝑋 𝑚𝑑 𝐼′𝑓𝑑)
2
+ 𝑉𝑑𝑠
𝑟
(𝑟𝑠
2
− 𝑋 𝑞 𝑋 𝑑)(𝑉𝑞 𝑠
𝑟
− 𝑋 𝑚𝑑 𝐼′ 𝑓𝑑)
− 𝑟𝑠 𝑋 𝑑(𝑉𝑑𝑠
𝑟 )2
]}
Utilizando os parâmetros de entrada 𝑉̃𝑎𝑠, 𝐸̃𝑓𝑑 e 𝑇 𝑚𝑒𝑐ℎ. E formulando para o método resolver a
equação na forma: 𝐹(𝑥) = 0, onde:
𝑥 = [
𝐼̃𝑎𝑠
|𝐸̃ 𝑎|
𝛿
]
A diferença entre as duas equações para o torque pode ser observada abaixo, esta foi
calculada para 𝑉𝑓𝑑 variando de 5 a 25 com o 𝑇 𝑚𝑒𝑐ℎ = 100 𝑁𝑚.

12. Desta forma, pode-se determinar a tensão de excitação para a máquina operar com o fator de
potência desejado para um determinado torque de carga.
Simulação do motor exemplo do simulink.
𝑆 𝑛 = 111,9 [𝑘𝑉𝐴]
𝑉𝑅𝑀𝑆
𝜑𝜑
= √3 ∙ 440 [𝑘𝑉] (𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑟𝑚𝑠 𝑓𝑎𝑠𝑒 − 𝑓𝑎𝑠𝑒)
𝑟𝑠 = 0,26 [Ω] 𝐿′𝑙𝑓𝑑 = 2,1 × 10−3 [H]
𝐿𝑙𝑠 = 1,14 × 10−3 [H] 𝑟′ 𝑘𝑑 = 0,0224 [Ω]
𝐿 𝑚𝑑 = 13,7 × 10−3 [H] 𝐿′𝑙𝑘𝑑 = 1,4 × 10−3 [H]
𝐿 𝑚𝑞 = 11,0 × 10−3 [H] 𝑟′ 𝑘𝑞1 = 0,02 [Ω]
𝑟′ 𝑓𝑑 = 0,13 [Ω] 𝐿′𝑙𝑘𝑞1 = 1,0 × 10−3 [H]
𝑇𝑒𝑚 = −
3
2
𝑃
2
1
𝜔 𝑏
{
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑠
𝑋 𝑑
sen(𝛿) +
(√2𝑉𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) sen(2𝛿)}
𝑉̃𝑎𝑠 = (𝑟𝑠 + 𝑗𝑋 𝑞)𝐼̃𝑎𝑠 + 𝐸̃ 𝑎
√2𝐸 𝑎e−j𝛿
= 𝐸𝑓𝑑 − (𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠

13. Capacidade de Despacho de Geradores
Os limites de capacidade de gerador são geralmente dados na forma de gráficos de potência
ativa por reativa. Para a determinação de tais gráficos são observados os seguintes pontos:
 Limite térmico do estator (máxima corrente terminal);
 Limite térmico do rotor (máxima corrente de excitação);
 Limite térmico da turbina;
 Limite de estabilidade;
 Mínima corrente de excitação;
O limite térmico do estator é obtido, para uma dada tensão terminal, pela máxima potência
aparente:
(𝑉𝐴)2
= (𝑉̃𝑎𝑠 𝐼̃𝑎𝑠)
2
= 𝑃2
+ 𝑄2
O limite térmico do rotor é obtido pelos pontos de operação com corrente de excitação
constante. A mesma rotina do fsolve utilizada para calcular a máquina em estado estacionário
pode ser utilizada para calcular o limite térmico do gerador. Porém, esta deve ser modificada
devido ao limite de estabilidade da máquina, onde um aumento no ângulo de carga não
acarreta em um aumento do torque produzido.
Utilizando os parâmetros de entrada 𝑉̃𝑎𝑠, 𝐸̃𝑓𝑑 e não mais o 𝑇 𝑚𝑒𝑐ℎ. E formulando para o método
resolver a equação na forma: 𝐹(𝑥) = 0, onde:
𝑥 = [
𝐼̃𝑎𝑠
|𝐸̃ 𝑎|
𝛿
] = [
𝐼̃𝑎𝑠
|𝐸̃ 𝑎|
]
Onde novamente na para a referência no modo gerador:
𝑉̃𝑎𝑠 = (𝑟𝑠 + 𝑗𝑋 𝑞)𝐼̃𝑎𝑠 + 𝐸̃ 𝑎
√2𝐸̃ 𝑎e−j𝛿
= 𝐸̃𝑓𝑑 − (𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠

14. Esta formulação pode ser utilizada para encontrar a potência desenvolvida pelo gerador, ou
absorvida no caso do motor, para diversos valores de ângulo de carga. A figura abaixo mostra
três curvas, potência aparente constante, excitação nula e constante em 𝑉𝑓𝑑 = 30 [𝑉].
O círculo de excitação mínima possui raio igual a
3
2
(√2𝑉𝑎𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) esta centrado no ponto
3
2
(√2𝑉𝑎𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
+
1
𝑋 𝑑
). O circulo ilustrado mostra o valor obtido numericamente e pelo valor
teórico. Estes pontos são obtidos dos valores de potência ativa e reativa para excitação nula.
O limite teórico de estabilidade pode ser obtido para cada valor de excitação constante no
ponto onde a potência ativa é máxima, ou mínima, em relação ao delta:
𝜕𝑃𝑒𝑚
𝜕𝛿
= 0
𝜕𝑃𝑒𝑚
𝜕𝛿
=
3
2
{
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑎 𝑠
𝑋 𝑑
cos(𝛿) + (√2𝑉𝑎 𝑠)
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) cos(2𝛿)} = 0
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑎 𝑠
𝑋 𝑑
cos(𝛿) = −(√2𝑉𝑎𝑠)
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) cos(2𝛿)
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑎 𝑠
𝑋 𝑑
cos(𝛿) = (√2𝑉𝑎 𝑠)
2
(
𝑋 𝑞 − 𝑋 𝑑
𝑋 𝑑 𝑋 𝑞
) (cos2(𝛿) − sen2(𝛿))

15. (cos2(𝛿) − sen2(𝛿))
cos(𝛿)
= cos(𝛿) − 𝑡𝑎𝑛(𝛿) =
𝐸𝑓𝑑
√2𝑉𝑎 𝑠
(
𝑋 𝑞
𝑋 𝑞 − 𝑋 𝑑
)
Utilizando a expansão dos termos trigonométricos:
cos(𝛿) = 1 −
𝛿2
2!
+
𝛿4
4!
−
𝛿6
6!
+ ⋯ + (−1) 𝑛
𝛿2𝑛
2𝑛!
= ∑
(−1) 𝑛
(2𝑛)!
∞
𝑛=0
𝛿2𝑛
tan(𝛿) = 𝛿 −
𝛿3
3
+
2𝛿5
15
+ ⋯ = ∑
𝐵2𝑛(−4) 𝑛(1 − 4 𝑛)
(2𝑛)!
∞
𝑛=1
𝛿2𝑛−1
onde:
𝐵2𝑛 = (−1) 𝑛+1
(2𝑛)!
(2𝜋)2𝑛 [1 +
1
22𝑛
+
1
32𝑛
+
1
42𝑛
+ ⋯ ]
Não deu muito certo, o ângulo para a máxima potência ativa será obtido de modo iterativo. Do
mesmo modo, o limite de estabilidade prático pode ser obtido para uma potência igual a 0,9
da máxima, para um mesmo valor de excitação. A figura a seguir foi obtida a partir da máquina
dada como exemplo do simulink, 119kW.

16. Para a máquina a pólo liso:
A potência que a máquina desenvolve, por fase, é dada por:
𝑃 − 𝑗𝑄 = 𝑉̃𝑎𝑠 𝐼̃𝑎𝑠 = 𝑉𝑎𝑠 𝐼 𝑎𝑠ej𝜑
𝐸 𝑎ej𝛿
= 𝑉𝑎𝑠 + 𝑗𝑋 𝑞 𝐼 𝑎𝑠ej𝜑
𝐸 𝑎 =
1
√2
[𝐸𝑓𝑑 + √2(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑛(𝜑 − 𝛿)]
𝐸𝑓𝑑 + √2(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑛(𝜑 − 𝛿)
= √2𝑉𝑎 𝑠[𝑐𝑜𝑠(𝛿) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝛿)] + √2𝑋 𝑞 𝐼 𝑎𝑠[−𝑠𝑒𝑛(𝜑 − 𝛿) + 𝑗𝑐𝑜𝑠(𝜑 − 𝛿)]
Separando os termos reais e imaginários.
𝐸𝑓𝑑 + √2𝑋 𝑑 𝐼 𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑛(𝜑 − 𝛿) = √2𝑉𝑎 𝑠 𝑐𝑜𝑠(𝛿)
√2𝑉𝑎 𝑠 𝑠𝑒𝑛(𝛿) = √2𝑋 𝑞 𝐼 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑠(𝜑 − 𝛿)
𝐼 𝑎𝑠ej𝜑
= j
𝑉𝑎𝑠
𝑋 𝑞
− 𝑗
1
√2𝑋 𝑞
[𝐸𝑓𝑑 − (𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠]ej𝛿
Substituindo:
𝑃 − 𝑗𝑄 = 𝑉̃𝑎𝑠 𝐼̃𝑎𝑠 = j
𝑉𝑎𝑠
2
𝑋 𝑞
− 𝑗
𝑉𝑎𝑠
√2𝑋 𝑞
[𝐸𝑓𝑑 − (𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠]ej𝛿
𝑃 − 𝑗 (𝑄 +
𝑉𝑎𝑠
2
𝑋 𝑞
) = −𝑗
𝑉𝑎𝑠
√2𝑋 𝑞
[𝐸𝑓𝑑 − (𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠]ej𝛿
Por tanto:
𝑃2
+ (𝑄 +
𝑉𝑎𝑠
2
𝑋 𝑞
)
2
= (
𝑉𝑎𝑠
√2𝑋 𝑞
[𝐸𝑓𝑑 − (𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠])
2
Para a máquina a pólo liso:
A potência que a máquina desenvolve, por fase, é dada por:
𝑃 + 𝑗𝑄 = 𝑉̃𝑎𝑠 𝐼̃𝑎𝑠 = 𝑉𝑎𝑠 𝐼 𝑎𝑠ej𝜑
𝐸 𝑎ej𝛿
= 𝑉𝑎𝑠 + 𝑗𝑋𝑠 𝐼 𝑎𝑠ej𝜑
Substituindo 𝐼 𝑎𝑠ej𝜑
na primeira equação por:

17. 𝐼 𝑎𝑠e−j𝜑
=
𝐸 𝑎ej𝛿
𝑗𝑋𝑠
−
𝑉𝑎𝑠
𝑗𝑋𝑠
𝑃 − 𝑗𝑄 =
𝑉𝑎𝑠 𝐸 𝑎ej𝛿
𝑗𝑋𝑠
−
(𝑉𝑎𝑠)2
𝑗𝑋𝑠
= 𝑗
(𝑉𝑎𝑠)2
𝑋𝑠
− 𝑗
𝑉𝑎𝑠 𝐸 𝑎ej𝛿
𝑋𝑠
𝑃 − 𝑗 (𝑄 +
(𝑉𝑎𝑠)2
𝑋𝑠
) = −𝑗
𝑉𝑎𝑠 𝐸 𝑎ej𝛿
𝑋𝑠
Ou, em termos do módulo ao quadrado:
𝑃2
+ (𝑄 +
𝑉𝑎𝑠
2
𝑋𝑠
)
2
= (
𝑉𝑎𝑠 𝐸 𝑎
𝑋𝑠
)
2
O que equivale a um círculo com centro em 𝑄 = − 𝑉𝑎𝑠
2
𝑋𝑠⁄ e determina o limite de
aquecimento para o circuito de campo de máquina.
Estas curvas de capacidade de despacho podem ser geradas tanto de modo numérico quanto
de modo direto, a partir das equações:
𝑄 𝑒 =
3
2
{
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑎 𝑠
𝑋 𝑑
cos(𝛿) +
(√2𝑉𝑎 𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) cos(2𝛿) −
(√2𝑉𝑎 𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
+
1
𝑋 𝑑
)}
𝑃𝑒𝑚 =
3
2
{
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑎 𝑠
𝑋 𝑑
sen(𝛿) +
(√2𝑉𝑎 𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) sen(2𝛿)}
Porém, estas foram obtidas a partir do desprezo da resistência de armadura, o que incorre em
erros dependendo do valor desta. A figura abaixo mostra este efeito.
Em vermelho esta a curva para excitação constante obtida a partir das equações diretas. A
curva em azul, obtida numericamente por Newton, tende à vermelha à medida que a
resistência tende a zero.

18. O primeiro modelo estudado será o gerador a vapor cujos parâmetros estão expostos na
pg. 220 de Krause.
Gerador a vapor trifásico com 2 polos, 835 MVA, 26 kVrms de linha com fator de potência
0,85. Para a máquina em estado estacionário têm-se:
|𝑆| = 3|𝑉̃𝑎𝑠||𝐼̃𝑎𝑠|
Assim:
|𝐼̃𝑎𝑠| =
|𝑆|
3|𝑉̃𝑎𝑠|
=
835 × 106
3 ∙ (26 × 103 √3⁄ )
= 18,542 𝑘𝐴
A máquina em regime nominal opera com fator de potência de 0,85 (31,8°). Como a
corrente é considerada positiva saindo dos terminais da máquina, potência reativa é
entregue ao sistema quando a corrente está atrasada da tensão. Portanto:
𝐼̃𝑎𝑠 = 18,542 /-31,8° kA
Assim, a tensão de excitação pode ser calculada por:
𝐸̃ 𝑎 = 𝑉̃𝑎𝑠 + (𝑟𝑠 + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞) 𝐼̃𝑎𝑠
=
26 × 103
√3
/0 𝑜
+ (0,00243 + 𝑗
2𝜋60
2𝜋60
1,457) 18,542/−31,8 𝑜
= 37,198/38,07 𝑜
𝑘𝑉
Portanto, 𝛿 = 38,07 𝑜
.
O valor de 𝐸′ 𝑥𝑓𝑑 pode ser obtido a partir de 𝐼 𝑑𝑠
𝑟
:
𝐼 𝑑𝑠
𝑟
= −√2𝐼𝑠 𝑠𝑒𝑛[𝜃 𝑒𝑖(0) − 𝜃𝑒𝑣(0) − 𝛿]
= −√2|𝐼̃𝑎𝑠|𝑠𝑒𝑛[−31,8 𝑜
− 0 − 38,07 𝑜]
= −√2(18,542)𝑠𝑒𝑛(−69,87 𝑜)
= 24,62 𝑘𝐴
Pode-se então calcular:
𝐸′ 𝑥𝑓𝑑 =
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
[√2|𝐸̃ 𝑎| +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠
𝑟
]
= √2(37,198) +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠
𝑟
= 52,605 𝑘𝑉

19. O torque em estado estacionário será:
𝑇𝑒 =
3
2
𝑃
2
1
𝜔 𝑏
(
𝐸′ 𝑥𝑓𝑑√2|𝑉̃𝑎𝑠|
(𝜔 𝑒 𝜔 𝑏⁄ )𝑋 𝑑
𝑠𝑒𝑛(𝛿))
𝑇𝑒 =
3
2
1
2𝜋 ∙ 60
(
52,605 × 103
√2(26 × 103
√3⁄ )
1,457
0,6166)
𝑇𝑒 = 1,8804 × 106
𝑁𝑚
Parâmetros da máquina
As equações obtidas de ONG para determinação dos parâmetros da maquinal, porém de
acordo com a terminologia do Krause, para manter consistência:
𝑋𝑙𝑠 = 𝑋0
𝑋 𝑚𝑞 = 𝑋 𝑞 − 𝑋𝑙𝑠
𝑋 𝑚𝑑 = 𝑋 𝑑 − 𝑋𝑙𝑠
𝑋′𝑙𝑓𝑑 =
𝑋 𝑚𝑑(𝑋′ 𝑑 − 𝑋𝑙𝑠)
𝑋 𝑚𝑑 − (𝑋′ 𝑑 − 𝑋𝑙𝑠)
𝑋′𝑙𝑘𝑑 =
𝑋 𝑚𝑑 𝑋′𝑙𝑓𝑑(𝑋′′ 𝑑 − 𝑋𝑙𝑠)
𝑋 𝑚𝑑 𝑋′𝑙𝑓𝑑 − (𝑋′′ 𝑑 − 𝑋𝑙𝑠)(𝑋 𝑚𝑑 + 𝑋′𝑙𝑓𝑑)
𝑋′𝑙𝑘𝑞 =
𝑋 𝑚𝑞(𝑋′′ 𝑞 − 𝑋𝑙𝑠)
𝑋 𝑚𝑞 − (𝑋′′ 𝑞 − 𝑋𝑙𝑠)
As resistências são obtidas a partir das constantes de tempo de circuito aberto:
𝑟′ 𝑓𝑑 =
1
𝜔 𝑏 𝜏′ 𝑑0
(𝑋′𝑙𝑓𝑑 + 𝑋 𝑚𝑑)
𝑟′ 𝑘𝑑 =
1
𝜔 𝑏 𝜏′′ 𝑑0
(𝑋′𝑙𝑘𝑑 + 𝑋′ 𝑑 − 𝑋𝑙𝑠) =
1
𝜔 𝑏 𝜏′′ 𝑑0
(𝑋′𝑙𝑘𝑑 +
𝑋 𝑚𝑑 𝑋′𝑙𝑓𝑑
𝑋 𝑚𝑑 + 𝑋′𝑙𝑓𝑑
)
𝑟′ 𝑘𝑞 =
1
𝜔 𝑏 𝜏′′ 𝑞0
(𝑋′𝑙𝑘𝑞 + 𝑋 𝑚𝑞)
Ou, por Krause:
𝑟′ 𝑘𝑞1 =
1
𝜔 𝑏 𝜏′ 𝑞0
(𝑋′𝑙𝑘𝑞1 + 𝑋 𝑚𝑞)
𝑟′ 𝑘𝑞2 =
1
𝜔 𝑏 𝜏′′ 𝑞0
(𝑋′𝑙𝑘𝑞2 +
𝑋 𝑚𝑞 𝑋′𝑙𝑘𝑞1
𝑋 𝑚𝑞 + 𝑋′𝑙𝑘𝑞1
)

20. Alternativamente, estes parâmetros podem ser obtidos a partir das constantes de tempo de
curto circuito:
𝑟′ 𝑓𝑑 =
1
𝜔 𝑏 𝜏′ 𝑑
(𝑋′𝑙𝑓𝑑 +
𝑋 𝑚𝑑 𝑋𝑙𝑠
𝑋 𝑚𝑑 + 𝑋𝑙𝑠
)
𝑟′ 𝑘𝑑 =
1
𝜔 𝑏 𝜏′′ 𝑑
(𝑋′𝑙𝑘𝑑 +
𝑋 𝑚𝑑 𝑋𝑙𝑠 𝑋′𝑙𝑓𝑑
𝑋 𝑚𝑑 𝑋𝑙𝑠 + 𝑋 𝑚𝑑 𝑋′𝑙𝑓𝑑 + 𝑋𝑙𝑠 𝑋′𝑙𝑓𝑑
)
𝑟′ 𝑘𝑞 =
1
𝜔 𝑏 𝜏′′ 𝑞
(𝑋′𝑙𝑘𝑞2 +
𝑋 𝑚𝑞 𝑋𝑙𝑠
𝑋 𝑚𝑞 + 𝑋𝑙𝑠
)
Ou, por Krause:
𝑟′ 𝑘𝑞1 =
1
𝜔 𝑏 𝜏′ 𝑞
(𝑋′𝑙𝑘𝑞1 +
𝑋 𝑚𝑞 𝑋𝑙𝑠
𝑋 𝑚𝑞 + 𝑋𝑙𝑠
)
𝑟′ 𝑘𝑞2 =
1
𝜔 𝑏 𝜏′′ 𝑞
(𝑋′𝑙𝑘𝑞2 +
𝑋 𝑚𝑞 𝑋𝑙𝑠 𝑋′𝑙𝑘𝑞1
𝑋 𝑚𝑞 𝑋𝑙𝑠 + 𝑋 𝑚𝑞 𝑋′𝑙𝑘𝑞1 + 𝑋𝑙𝑠 𝑋′𝑙𝑘𝑞1
)
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑎 𝑠
𝑋 𝑑
cos(𝛿) +
(√2𝑉𝑎 𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) cos(2𝛿) =
(√2𝑉𝑎 𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
+
1
𝑋 𝑑
)
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
3
2
{
𝐸𝑓𝑑√2𝑉𝑎 𝑠
𝑋 𝑑
sen(𝛿) +
(√2𝑉𝑎 𝑠)
2
2
(
1
𝑋 𝑞
−
1
𝑋 𝑑
) sen(2𝛿)}

21. Motor C-231301
Um motor será analisado de acordo com a metodologia abordada até o momento para ver a
adequação do modelo com um equipamento real. Os dados do motor são:
𝑆 𝑛 = 5800 [𝑘𝑉𝐴]
𝑉𝑅𝑀𝑆
𝜑𝜑
= 13200 [𝑉] (𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑟𝑚𝑠 𝑓𝑎𝑠𝑒 − 𝑓𝑎𝑠𝑒)
𝑃 = 20 [𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠]
𝑍 𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒
2 = 0,0333 [Ω]
Os parâmetros fornecidos foram:
𝑟𝑠 = − [pu]
𝑋 𝑞 = 0,93 [pu] = 0,031 [Ω] 𝑋 𝑑 = 0,72 [pu] = 0,024 [Ω]
𝑋′ 𝑞 = − [pu] 𝑋′ 𝑑 = 0,37 [pu] = 0,0123 [Ω]
𝑋′′ 𝑞 = 0,325 [pu] = 0,0108 [Ω] 𝑋′′ 𝑑 = 0,31 [pu] = 0,0103 [Ω]
𝑋0 = 0,08 [pu] = 0,0027 [Ω] 𝑋2 = 0,32 [pu] = 0,0107 [Ω]
De acordo com as fórmulas dadas pela literatura, a partir destes dados podem-se obter os
parâmetros utilizados nas simulações e análises estáticas.
𝑋𝑙𝑠 = 𝑋0
𝑋 𝑚𝑞 = 𝑋 𝑞 − 𝑋𝑙𝑠 = 0,0283 [Ω]
𝑋 𝑚𝑑 = 𝑋 𝑑 − 𝑋𝑙𝑠 = 0,0213 [Ω]
𝑋′𝑙𝑓𝑑 =
𝑋 𝑚𝑑(𝑋′ 𝑑 − 𝑋𝑙𝑠)
𝑋 𝑚𝑑 − (𝑋′ 𝑑 − 𝑋𝑙𝑠)
= 0,0175 [Ω]
𝑋′𝑙𝑘𝑑 =
𝑋 𝑚𝑑 𝑋′𝑙𝑓𝑑(𝑋′′ 𝑑 − 𝑋𝑙𝑠)
𝑋 𝑚𝑑 𝑋′𝑙𝑓𝑑 − (𝑋′′ 𝑑 − 𝑋𝑙𝑠)(𝑋 𝑚𝑑 + 𝑋′𝑙𝑓𝑑)
= 0,0365 [Ω]
𝑋′𝑙𝑘𝑞 =
𝑋 𝑚𝑞(𝑋′′ 𝑞 − 𝑋𝑙𝑠)
𝑋 𝑚𝑞 − (𝑋′′ 𝑞 − 𝑋𝑙𝑠)
= 0,0113 [Ω]
Tentando estimar o valor das perdas, refletidas em 𝑟𝑠:
𝑃𝑒𝑙𝑒 = 𝑃𝑚 + 3𝑟𝑠(𝐼 𝑎𝑠)2
𝑃𝑒𝑙𝑒 = 3𝑉𝑎𝑠 𝐼 𝑎𝑠
Pela eficiência na condição nominal:
𝜂 =
𝑃𝑚
𝑃𝑒𝑙𝑒
= 0,975

22. 𝑃𝑚 = 𝜂(𝑃𝑚 + 3𝑟𝑠 𝐼 𝑎𝑠
2 )
(1 − 𝜂)𝑃𝑚 = 3 ∙ 𝜂 ∙ 𝑟𝑠 (
𝑃𝑚
2
𝜂2
1
32 𝑉𝑎𝑠
2 )
𝑟𝑠 =
3(1 − 𝜂)𝜂𝑉𝑎𝑠
2
𝑃𝑚
= 0.7322586 [Ω]
Para a máquina operando com fator de potência unitário, o ângulo de carga pode ser
calculado por:
𝛿 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (
𝑋 𝑞 𝐼 𝑚
𝐼 𝑚
)
Desta forma, a excitação que mantém a máquina com fator de potência unitário pode ser
calculada por:
𝐸𝑓𝑑 =
√2𝑉𝑎 𝑠
2cos(𝛿)
(
𝑋 𝑑 + 𝑋 𝑞
𝑋 𝑞
) −
√2𝑉𝑎 𝑠
2cos(𝛿)
(
𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞
𝑋 𝑞
) cos(2𝛿)
Porém, esta tensão é mais bem encontrada a partir da simulação numérica, tal como a
utilizada para obter as curvas em V. Uma forma de facilitar a simulação é restringir o range
da variável para valores em torno do estimado.
Para a máquina operando em regime nominal com fator de potência unitário:
𝐸𝑓𝑑 = 14.582 [𝑉]
De acordo com a folha de dados, a tensão de excitação nesta condição é:
𝑉𝑓𝑑 =
𝑟𝑓𝑑
𝑋 𝑚𝑑
𝐸 𝑓𝑑 = 88 [𝑉]
Verificar pos Efd está rebatido para o estator e Vfd foi obtido da folha de dados, por tanto
referido ao rotor.
Por tanto:
𝑟𝑓𝑑 = 0,1540824 Ω
O que implica em:
𝜏′ 𝑑 =
1
𝜔 𝑏 𝑟′ 𝑓𝑑
(𝑋′𝑙𝑓𝑑 +
𝑋 𝑚𝑑 𝑋𝑙𝑠
𝑋 𝑚𝑑 + 𝑋𝑙𝑠
) = 0,2654633 𝑠𝑒𝑔.

23. Traçando as curvas em V e comparando com os valores obtidos da folha de dados.
Motor síncrono com 20 polos, 5,8 MVA, 13,2 kVrms de linha com fator de potência 1. Para a
máquina em estado estacionário têm-se:
|𝑆| = 3|𝑉̃𝑎𝑠||𝐼̃𝑎𝑠|
Assim:
|𝐼̃𝑎𝑠| =
|𝑆|
3|𝑉̃𝑎𝑠|
=
5,8 × 106
3 ∙ (13,2 × 103 √3⁄ )
= 253,6842 𝐴
Assim, a tensão de excitação pode ser calculada por:
𝐸̃ 𝑎 = 𝑉̃𝑎𝑠 − (𝑟𝑠 + 𝑗
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
𝑋 𝑞) 𝐼̃𝑎𝑠
=
13,2 × 103
√3
/0 𝑜
− (𝑗0,031)253,68/0 𝑜
= 7,621 × 103
/−0,0591 𝑜
𝑘𝑉
Portanto, 𝛿 = −0,0591 𝑜
.
O valor de 𝐸′ 𝑥𝑓𝑑 pode ser obtido a partir de 𝐼 𝑑𝑠
𝑟
:
𝐼 𝑑𝑠
𝑟
= −√2𝐼𝑠 𝑠𝑒𝑛[𝜃 𝑒𝑖(0) − 𝜃𝑒𝑣(0) − 𝛿]

24. = −√2|𝐼̃𝑎𝑠|𝑠𝑒𝑛[0 − 0+0,0591 𝑜]
= −√2(253,68)𝑠𝑒𝑛(0,0591 𝑜)
= −0,3702 𝐴
Pode-se então calcular:
𝐸′ 𝑥𝑓𝑑 =
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
[√2|𝐸̃ 𝑎| +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠
𝑟
]
= √2(37,198) +
𝜔 𝑒
𝜔 𝑏
(𝑋 𝑑 − 𝑋 𝑞)𝐼 𝑑𝑠
𝑟
= 52,605 𝑘𝑉