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Estudos de Controle –
Análise de Resposta
Transitória e de
Regime Estacionário
1
Sinais de Teste
• Sinais de entrada usados para projetar o sistema
de controle.
• Geralmente, são suficientes para modelar o
comportamento do sistema para outras
entradas.
• Possibilitam a comparação de desempenho dos
sistemas em relação a uma mesma base.
• São funções de tempo muito simples: degrau,
rampa, impulso, senoidais e outras.
2
Resposta Temporal
• Constituída de duas partes:
• Resposta transitória: do estado inicial ao
estado final.
• Resposta estacionária: comportamento a
medida que o tempo tende ao infinito.
𝑐 𝑡 = 𝑐𝑡𝑟 𝑡 + 𝑐 𝑠𝑠(𝑡)
3
Estabilidade
• Estabilidade absoluta:
• Se o sistema é estável ou instável.
• Sistema de controle linear e invariante no
tempo:
• Estável se a saída sempre retorna ao estado de
equilíbrio a partir de uma condição inicial.
• Criticamente estável se as oscilações do sinal de
saída se repetirem de maneira contínua a partir de
uma condição inicial.
• Instável se a saída divergir sem limites a partir de
uma condição inicial.
4
Estabilidade
5
Copyright © 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.
Sistemas de Primeira Ordem
• São sistemas diferenciais que envolvem apenas a
primeira derivada da saída:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
1
𝑇𝑠 + 1
6
Sistemas de Primeira Ordem
• Resposta ao degrau unitário:
• Degrau unitário:
𝑢 𝑡 =
0, 𝑡 < 0
1, 𝑡 ≥ 0
𝑈 𝑠 =
1
𝑠
• Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 =
1
𝑠
, temos:
𝐶 𝑠 =
1
𝑇𝑠 + 1
×
1
𝑠
7
Sistemas de Primeira Ordem
• Resposta ao degrau unitário:
• Para analisar a resposta no tempo, devemos
obter a transformada inversa de Laplace.
• Expandindo em frações parciais:
𝐶 𝑠 =
1
𝑠
−
1
𝑠 + (1 𝑇)
• Inversa:
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0
8
Sistemas de Primeira Ordem
• Resposta ao degrau unitário:
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0
9
Sistemas de Primeira Ordem
• Resposta ao degrau unitário:
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0
• Analisando a resposta, podemos observar:
• Varia de 0 a 1.
• Em t = T, o valor de c(T) é 0,632, o que representa
63,2% da sua variação total.
• Quanto menor o T, mais rapidamente o sistema
responde.
• A derivada em t=0 é 1/T. Ou seja, se fosse mantida
a velocidade inicial de resposta, o valor final seria
alcançado em t=T.
10
Sistemas de Primeira Ordem
• Resposta à rampa unitária:
• Rampa unitária:
𝑢 𝑡 =
0, 𝑡 < 0
𝑡, 𝑡 ≥ 0
𝑈 𝑠 =
1
𝑠2
• Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 =
1
𝑠2 , temos:
𝐶 𝑠 =
1
𝑇𝑠 + 1
×
1
𝑠2
11
Sistemas de Primeira Ordem
• Resposta à rampa unitária:
• Expandindo em frações parciais:
𝐶 𝑠 =
1
𝑠2
−
𝑇
𝑠
+
𝑇2
𝑇𝑠 + 1
• A transformada de Laplace inversa é:
𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇
, para t ≥ 0
12
Sistemas de Primeira Ordem
• Resposta à rampa unitária:
𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0
13
Sistemas de Primeira Ordem
• Resposta à rampa unitária:
𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0
• Analisando a resposta, podemos observar:
• Existe um erro estacionário:
𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡 = 𝑇(1 − 𝑒−𝑡 𝑇)
• Conforme t tende ao infinito, o erro se aproxima de
T.
• Quanto menor a constante T, menor o erro.
14
Sistemas de Primeira Ordem
• Resposta ao impulso unitário:
• Impulso unitário:
𝛿 𝜖 =
0, 𝑡 < 0
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𝜖 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜖
0, 𝑡 > 𝜖
𝛿 𝑡 = lim
𝜖→0
𝛿 𝜖
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Sistemas de Primeira Ordem
• Resposta ao impulso unitário:
• Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 = 1 , temos:
𝐶 𝑠 =
1
𝑇𝑠 + 1
• A transformada de Laplace inversa é:
𝑐 𝑡 =
1
𝑇
𝑒−𝑡 𝑇
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
16
Sistemas de Primeira Ordem
• Resposta ao impulso unitário:
𝑐 𝑡 =
1
𝑇
𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0
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Sistemas de Primeira Ordem
• Propriedade de sistemas lineares invariantes no
tempo:
• Resposta à rampa unitária:
𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
• Resposta ao degrau unitário (derivada da
rampa):
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0
• Resposta ao impulso unitário (derivada do
degrau):
𝑐 𝑡 =
1
𝑇
𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0
18
Sistemas de Primeira Ordem
• Propriedade de sistemas lineares invariantes no
tempo:
• A resposta à derivada de um sinal pode ser
obtida diferenciando-se a resposta do sinal
original.
• A resposta à integral do sinal original pode ser
obtida pela integração da resposta do sinal
original e pela determinação da constante a
partir da condição inicial de resposta nula.
19
Sistemas de Primeira Ordem
• Análise com o MATLAB:
• Representação de sistemas lineares como
função de transferência: tf(num, den).
• Exemplo:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
1
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• Resposta ao degrau unitário: step(sys) ou
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• Análise com o MATLAB:
• Resposta ao impulso unitário: impulse(sys) ou
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• Resposta a uma entrada arbitrária: lsim(num,
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21
num = [1]
den = [5 1]
sys = tf(num,den)
impulse(sys)
num = [1]
den = [5 1]
impulse(num, den)
num = [1]
den = [5 1]
t = 0:0.1:10
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lsim(num, den, r, t)
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Estudos de Controle - Aula 7: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário

  • 1. Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário 1
  • 2. Sinais de Teste • Sinais de entrada usados para projetar o sistema de controle. • Geralmente, são suficientes para modelar o comportamento do sistema para outras entradas. • Possibilitam a comparação de desempenho dos sistemas em relação a uma mesma base. • São funções de tempo muito simples: degrau, rampa, impulso, senoidais e outras. 2
  • 3. Resposta Temporal • Constituída de duas partes: • Resposta transitória: do estado inicial ao estado final. • Resposta estacionária: comportamento a medida que o tempo tende ao infinito. 𝑐 𝑡 = 𝑐𝑡𝑟 𝑡 + 𝑐 𝑠𝑠(𝑡) 3
  • 4. Estabilidade • Estabilidade absoluta: • Se o sistema é estável ou instável. • Sistema de controle linear e invariante no tempo: • Estável se a saída sempre retorna ao estado de equilíbrio a partir de uma condição inicial. • Criticamente estável se as oscilações do sinal de saída se repetirem de maneira contínua a partir de uma condição inicial. • Instável se a saída divergir sem limites a partir de uma condição inicial. 4
  • 5. Estabilidade 5 Copyright © 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.
  • 6. Sistemas de Primeira Ordem • São sistemas diferenciais que envolvem apenas a primeira derivada da saída: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 1 𝑇𝑠 + 1 6
  • 7. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao degrau unitário: • Degrau unitário: 𝑢 𝑡 = 0, 𝑡 < 0 1, 𝑡 ≥ 0 𝑈 𝑠 = 1 𝑠 • Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 = 1 𝑠 , temos: 𝐶 𝑠 = 1 𝑇𝑠 + 1 × 1 𝑠 7
  • 8. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao degrau unitário: • Para analisar a resposta no tempo, devemos obter a transformada inversa de Laplace. • Expandindo em frações parciais: 𝐶 𝑠 = 1 𝑠 − 1 𝑠 + (1 𝑇) • Inversa: 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 8
  • 9. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao degrau unitário: 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 9
  • 10. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao degrau unitário: 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 • Analisando a resposta, podemos observar: • Varia de 0 a 1. • Em t = T, o valor de c(T) é 0,632, o que representa 63,2% da sua variação total. • Quanto menor o T, mais rapidamente o sistema responde. • A derivada em t=0 é 1/T. Ou seja, se fosse mantida a velocidade inicial de resposta, o valor final seria alcançado em t=T. 10
  • 11. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta à rampa unitária: • Rampa unitária: 𝑢 𝑡 = 0, 𝑡 < 0 𝑡, 𝑡 ≥ 0 𝑈 𝑠 = 1 𝑠2 • Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 = 1 𝑠2 , temos: 𝐶 𝑠 = 1 𝑇𝑠 + 1 × 1 𝑠2 11
  • 12. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta à rampa unitária: • Expandindo em frações parciais: 𝐶 𝑠 = 1 𝑠2 − 𝑇 𝑠 + 𝑇2 𝑇𝑠 + 1 • A transformada de Laplace inversa é: 𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇 , para t ≥ 0 12
  • 13. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta à rampa unitária: 𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 13
  • 14. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta à rampa unitária: 𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 • Analisando a resposta, podemos observar: • Existe um erro estacionário: 𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡 = 𝑇(1 − 𝑒−𝑡 𝑇) • Conforme t tende ao infinito, o erro se aproxima de T. • Quanto menor a constante T, menor o erro. 14
  • 15. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao impulso unitário: • Impulso unitário: 𝛿 𝜖 = 0, 𝑡 < 0 1 𝜖 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜖 0, 𝑡 > 𝜖 𝛿 𝑡 = lim 𝜖→0 𝛿 𝜖 𝛿 𝑠 = 1 15
  • 16. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao impulso unitário: • Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 = 1 , temos: 𝐶 𝑠 = 1 𝑇𝑠 + 1 • A transformada de Laplace inversa é: 𝑐 𝑡 = 1 𝑇 𝑒−𝑡 𝑇 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 16
  • 17. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao impulso unitário: 𝑐 𝑡 = 1 𝑇 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 17
  • 18. Sistemas de Primeira Ordem • Propriedade de sistemas lineares invariantes no tempo: • Resposta à rampa unitária: 𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 • Resposta ao degrau unitário (derivada da rampa): 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 • Resposta ao impulso unitário (derivada do degrau): 𝑐 𝑡 = 1 𝑇 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 18
  • 19. Sistemas de Primeira Ordem • Propriedade de sistemas lineares invariantes no tempo: • A resposta à derivada de um sinal pode ser obtida diferenciando-se a resposta do sinal original. • A resposta à integral do sinal original pode ser obtida pela integração da resposta do sinal original e pela determinação da constante a partir da condição inicial de resposta nula. 19
  • 20. Sistemas de Primeira Ordem • Análise com o MATLAB: • Representação de sistemas lineares como função de transferência: tf(num, den). • Exemplo: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 1 5𝑠 + 1 • Resposta ao degrau unitário: step(sys) ou step(num,den). 20 num = [1] den = [5 1] sys = tf(num,den) num = [1] den = [5 1] sys = tf(num,den) step(sys) num = [1] den = [5 1] step(num, den)
  • 21. Sistemas de Primeira Ordem • Análise com o MATLAB: • Resposta ao impulso unitário: impulse(sys) ou impulse(num,den). • Resposta a uma entrada arbitrária: lsim(num, den, r, t) 21 num = [1] den = [5 1] sys = tf(num,den) impulse(sys) num = [1] den = [5 1] impulse(num, den) num = [1] den = [5 1] t = 0:0.1:10 r = t lsim(num, den, r, t)