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Estudos de Controle - Aula 10: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário (parte 4)

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Estudos de Controle - Aula 10: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário (parte 4)

  1. 1. Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário 1
  2. 2. Critério de Estabilidade de Routh • Considerando a forma geral: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑏0 𝑠 𝑚 +𝑏1 𝑠 𝑚−1 +⋯𝑏 𝑚−1 𝑠+𝑏 𝑚 , 𝑎0 𝑠 𝑛 +𝑎1 𝑠 𝑛−1 +⋯𝑎 𝑛−1 𝑠+𝑎 𝑛 onde 𝑛 ≥ 𝑚. • Uma forma simples de saber se o sistema é estável é se e somente se todos os pólos da malha fechada estiverem no semiplano esquerdo do plano s. 2
  3. 3. Critério de Estabilidade de Routh • O critério de estabilidade de Routh determina o número de pólos de malha fechada que se situam no semiplano direito do plano s sem fatorar o denominador. • É aplicado apenas a polinômios com um número finito de termos. • As informações da estabilidade absoluta são obtidas a partir dos coeficientes da equação característica. 3
  4. 4. Critério de Estabilidade de Routh • Procedimento: • Escrever o polinômio da seguinte maneira: 𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ 𝑎 𝑛−1 𝑠 + 𝑎 𝑛 = 0 • Verificar se algum dos coeficientes é zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo: • Nesse caso, existe uma ou várias raízes que tenham partes reais positivas e o sistema é instável. • Todos os coeficientes positivos é uma condição necessária para a estabilidade, mas não suficiente: • A condição é necessária, mas não suficiente, porque o polinômio pode ser fatorado em (𝑠 + 𝑎) e (𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑐). As raízes são negativas se a, b e c são positivos. A multiplicação de qualquer número desses fatores dará um polinômio com coeficientes positivos. 4
  5. 5. Critério de Estabilidade de Routh • Procedimento: • Organizar os coeficientes do polinômio em linhas e colunas da seguinte maneira: 𝑠𝑛 𝑠 𝑛−1 𝑠 𝑛−2 ⋮ 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑎0 𝑎1 𝑏1 ⋮ 𝑐1 𝑑1 𝑓1 𝑎2 𝑎3 𝑏2 ⋮ 𝑐2 0 0 𝑎4 𝑎5 𝑏3 ⋮ 0 0 0 𝑎6 𝑎7 𝑏4 ⋮ 0 0 0 … … … ⋮ 0 0 0 5
  6. 6. Critério de Estabilidade de Routh • Procedimento: • Sendo que os coeficientes 𝑏, 𝑐, … são calculados da seguinte maneira: 𝑎1 𝑎2 − 𝑎0 𝑎3 𝑎1 𝑎4 − 𝑎0 𝑎5 𝑎1 𝑎6 − 𝑎0 𝑎7 𝑏1 = 𝑏2 = 𝑏3 = … 𝑎1 𝑎1 𝑎1 𝑏1 𝑎3 − 𝑎1 𝑏2 𝑏1 𝑎5 − 𝑎1 𝑏3 𝑏1 𝑎7 − 𝑎1 𝑏4 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = … 𝑏1 𝑏1 𝑏1 𝑐1 𝑏2 − 𝑏1 𝑐2 𝑐1 𝑏3 − 𝑏1 𝑐3 𝑐1 𝑏4 − 𝑏1 𝑐4 𝑑1 = 𝑑2 = 𝑑3 = … 𝑐1 𝑐1 𝑐1 6
  7. 7. Critério de Estabilidade de Routh • Procedimento: • A matriz completa é triangular. Calcular todos os coeficientes até a nésima linha. • O número de mudanças no sinal dos coeficientes da primeira coluna da matriz é igual ao número de raízes com partes reais positivas do polinômio. • Se todos os coeficientes da primeira coluna da matriz forem positivos, então o sistema é estável pois todos os pólos estarão no semiplano esquerdo do plano s. 7
  8. 8. Critério de Estabilidade de Routh • Exemplo: 𝑠 4 + 2𝑠 3 + 3𝑠 2 + 4𝑠 + 5 = 0 • Matriz: 𝑠4 1 3 5 𝑠3 2 4 0 𝑠2 1 5 0 𝑠1 −6 0 0 𝑠0 5 0 0 • Portanto existem 2 raízes com partes reais positivas. 8
  9. 9. Critério de Estabilidade de Routh • Aplicação à análise de sistemas de controle: • Determinar valores de um ou mais parâmetros a partir do critério de estabilidade de Routh. • Exemplo de função de transferência: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐾 𝑠 𝑠2 +𝑠+1 𝑠+2 +𝐾 • Equação característica: 𝑠 4 + 3𝑠 3 + 3𝑠 2 + 2𝑠 + 𝐾 = 0 9
  10. 10. Critério de Estabilidade de Routh • Aplicação à análise de sistemas de controle: 1 3 𝐾 3 2 0 𝑠4 7 𝑠3 𝐾 0 2 𝑠 3 9𝐾 𝑠1 0 0 0 2− 𝑠 7 𝐾 0 0 • Portanto, para garantir a estabilidade: 14 > 𝐾>0 9 10
  11. 11. Sistemas de Controle Proporcional • Um dos problemas do controlador On-Off é que apenas uma pequena variação da diferença do valor de entrada e o valor de referência, o controlador atua na resposta fortemente. • Para resolver esse problema, criou-se o controlador proporcional, cuja ação é proporcional ao erro. 11
  12. 12. Sistemas de Controle Proporcional • Um problema do controlador apenas proporcional é que existe um erro estacionário. • Considerando um sistema com a seguinte planta: 1 𝐺𝑝 𝑠 = 𝑇𝑠 + 1 • Temos a equação de malha fechada: 𝐾 𝐺 𝑠 = 𝑇𝑠 + 1 • Como: 𝐸(𝑠) 𝑅 𝑠 − 𝐶(𝑠) 𝐶 𝑠 1 = =1− = 𝑅(𝑠) 𝑅(𝑠) 𝑅 𝑠 1 + 𝐺(𝑠) • Então o erro é dado como: 1 1 𝐸 𝑠 = 𝑅(𝑠) = 𝑅(𝑠) 𝐾 1+ 𝐺 𝑠 1+ 𝑇𝑠 + 1 12
  13. 13. Sistemas de Controle Proporcional • Para uma entrada em degrau unitário 𝑅 𝑠 =1 𝑠 : 𝑇𝑠 + 1 1 𝐸 𝑠 = 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠 • O erro estacionário será: 𝑒 𝑠𝑠 𝑇𝑠 + 1 𝑠 1 = lim 𝑒 𝑡 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim = 𝑡→∞ 𝑠→0 𝑠→0 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠 𝐾+1 • Ou seja, quanto maior o ganho proporcional, menor o erro estacionário. • Porém, o aumento do ganho proporcional também provoca uma resposta mais oscilatória. 13
  14. 14. Sistemas de Controle Proporcional • Exemplo: • Considere o sistema de primeira ordem: 𝐶(𝑠) 1 = 𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1 • Aplicando-se um controle proporcional com diferentes ganhos: 14
  15. 15. Sistemas de Controle Proporcional • Exemplo: • Considere o sistema de segunda ordem: 𝐶(𝑠) 1 = 2 𝑅(𝑠) 𝑠 + 1,2𝑠 + 1 • Aplicando-se um controle proporcional com diferentes ganhos: 15
  16. 16. Sistemas de Controle Proporcional • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado: • Supondo que 𝑅 𝑠 = 0, a função de transferência entre C(s) e D(s) é: 𝐶(𝑠) 1 = 2 𝐷(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝 • Então, o erro é definido como: 𝐸(𝑠) 𝐶 𝑠 1 =− =− 2 𝐷(𝑠) 𝐷 𝑠 𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝 16
  17. 17. Sistemas de Controle Proporcional • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado: • O erro estacionário para um distúrbio em degrau, igual a 𝑇 𝑑 é dado: 1 𝑠𝑇 𝑑 𝑇𝑑 𝑒 𝑠𝑠 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim − 2 =− 𝑠→0 𝑠→0 𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝 𝑠 𝐾𝑝 • Portanto, o erro será proporcional ao distúrbio e inversamente proporcional ao ganho. • Aumentando o ganho, diminui-se o erro estacionário causado pelo ruído também. 17
  18. 18. Sistemas de Controle Proporcional • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado: • Exemplo: 𝐶(𝑠) 1 = 𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1 • Resposta para diferentes ganhos proporcionais: 18 Para 𝑇 𝑑 = 2. Para 𝑇 𝑑 = 10.
  19. 19. Sistemas de Controle Proporcional • Resposta ao sistema com carga inercial: • A função de transferência da malha fechada é: 𝐾𝑝 𝐶(𝑠) = 2 𝑅(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝐾 𝑝 • Como as raízes da da equação característica são imaginárias, para uma entrada degrau unitário o sistema irá oscilar indefinidamente. 19
  20. 20. Sistemas de Controle Proporcional • Resposta ao sistema com carga inercial: • Exemplo: 𝐶(𝑠) 1 = 2 𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1 • Resposta para diferentes ganhos proporcionais: 20
  21. 21. Obrigada! ays@icmc.usp.br www.lsec.icmc.usp.br 28

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