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Estudos de Controle –
Análise de Resposta
Transitória e de
Regime Estacionário
1
Critério de Estabilidade de Routh
• Considerando a forma geral:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)

=

𝑏0 𝑠 𝑚 +𝑏1 𝑠 𝑚−1 +⋯𝑏 𝑚−1 𝑠+𝑏 𝑚
,
𝑎0 𝑠 𝑛 +𝑎1 𝑠 𝑛−1 +⋯𝑎 𝑛−1 𝑠+𝑎 𝑛

onde 𝑛 ≥ 𝑚.

• Uma forma simples de saber se o sistema é
estável é se e somente se todos os pólos da
malha fechada estiverem no semiplano esquerdo
do plano s.

2
Critério de Estabilidade de Routh
• O critério de estabilidade de Routh determina o
número de pólos de malha fechada que se
situam no semiplano direito do plano s sem
fatorar o denominador.
• É aplicado apenas a polinômios com um número
finito de termos.
• As informações da estabilidade absoluta são
obtidas a partir dos coeficientes da equação
característica.
3
Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• Escrever o polinômio da seguinte maneira:
𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ 𝑎 𝑛−1 𝑠 + 𝑎 𝑛 = 0
• Verificar se algum dos coeficientes é zero ou negativo
na presença de pelo menos um coeficiente positivo:
• Nesse caso, existe uma ou várias raízes que tenham partes
reais positivas e o sistema é instável.

• Todos os coeficientes positivos é uma condição
necessária para a estabilidade, mas não suficiente:
• A condição é necessária, mas não suficiente, porque o
polinômio pode ser fatorado em (𝑠 + 𝑎) e (𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑐). As
raízes são negativas se a, b e c são positivos. A multiplicação
de qualquer número desses fatores dará um polinômio com
coeficientes positivos.

4
Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• Organizar os coeficientes do polinômio em
linhas e colunas da seguinte maneira:
𝑠𝑛

𝑠 𝑛−1
𝑠 𝑛−2
⋮
𝑠2
𝑠1
𝑠0

𝑎0
𝑎1
𝑏1
⋮
𝑐1
𝑑1
𝑓1

𝑎2
𝑎3
𝑏2
⋮
𝑐2
0
0

𝑎4
𝑎5
𝑏3
⋮
0
0
0

𝑎6
𝑎7
𝑏4
⋮
0
0
0

…
…
…
⋮
0
0
0

5
Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• Sendo que os coeficientes 𝑏, 𝑐, … são calculados
da seguinte maneira:
𝑎1 𝑎2 − 𝑎0 𝑎3
𝑎1 𝑎4 − 𝑎0 𝑎5
𝑎1 𝑎6 − 𝑎0 𝑎7
𝑏1 =
𝑏2 =
𝑏3 =
…
𝑎1
𝑎1
𝑎1
𝑏1 𝑎3 − 𝑎1 𝑏2
𝑏1 𝑎5 − 𝑎1 𝑏3
𝑏1 𝑎7 − 𝑎1 𝑏4
𝑐1 =
𝑐2 =
𝑐3 =
…
𝑏1
𝑏1
𝑏1
𝑐1 𝑏2 − 𝑏1 𝑐2
𝑐1 𝑏3 − 𝑏1 𝑐3
𝑐1 𝑏4 − 𝑏1 𝑐4
𝑑1 =
𝑑2 =
𝑑3 =
…
𝑐1
𝑐1
𝑐1
6
Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• A matriz completa é triangular. Calcular todos
os coeficientes até a nésima linha.
• O número de mudanças no sinal dos coeficientes
da primeira coluna da matriz é igual ao número
de raízes com partes reais positivas do
polinômio.
• Se todos os coeficientes da primeira coluna da
matriz forem positivos, então o sistema é estável
pois todos os pólos estarão no semiplano
esquerdo do plano s.

7
Critério de Estabilidade de Routh
• Exemplo:
𝑠 4 + 2𝑠 3 + 3𝑠 2 + 4𝑠 + 5 = 0
• Matriz:
𝑠4 1 3 5
𝑠3 2 4 0
𝑠2 1 5 0
𝑠1 −6 0 0
𝑠0 5 0 0
• Portanto existem 2 raízes com partes reais
positivas.

8
Critério de Estabilidade de Routh
• Aplicação à análise de sistemas de controle:
• Determinar valores de um ou mais parâmetros
a partir do critério de estabilidade de Routh.
• Exemplo de função de transferência:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)

=

𝐾
𝑠 𝑠2 +𝑠+1 𝑠+2 +𝐾

• Equação característica:
𝑠 4 + 3𝑠 3 + 3𝑠 2 + 2𝑠 + 𝐾 = 0
9
Critério de Estabilidade de Routh
• Aplicação à análise de sistemas de controle:
1
3 𝐾
3
2 0
𝑠4
7
𝑠3
𝐾 0
2
𝑠
3
9𝐾
𝑠1
0 0
0 2−
𝑠
7
𝐾
0 0
• Portanto, para garantir a estabilidade:
14
> 𝐾>0
9

10
Sistemas de Controle Proporcional
• Um dos problemas do controlador On-Off é que
apenas uma pequena variação da diferença do
valor de entrada e o valor de referência, o
controlador atua na resposta fortemente.
• Para resolver esse problema, criou-se o
controlador proporcional, cuja ação é
proporcional ao erro.

11
Sistemas de Controle Proporcional
• Um problema do controlador apenas proporcional é que existe um
erro estacionário.
• Considerando um sistema com a seguinte planta:
1
𝐺𝑝 𝑠 =
𝑇𝑠 + 1
• Temos a equação de malha fechada:
𝐾
𝐺 𝑠 =
𝑇𝑠 + 1
• Como:
𝐸(𝑠)
𝑅 𝑠 − 𝐶(𝑠)
𝐶 𝑠
1
=
=1−
=
𝑅(𝑠)
𝑅(𝑠)
𝑅 𝑠
1 + 𝐺(𝑠)
• Então o erro é dado como:
1
1
𝐸 𝑠 =
𝑅(𝑠) =
𝑅(𝑠)
𝐾
1+ 𝐺 𝑠
1+
𝑇𝑠 + 1

12
Sistemas de Controle Proporcional
• Para uma entrada em degrau unitário
𝑅 𝑠 =1 𝑠 :
𝑇𝑠 + 1 1
𝐸 𝑠 =
𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠
• O erro estacionário será:
𝑒 𝑠𝑠

𝑇𝑠 + 1 𝑠
1
= lim 𝑒 𝑡 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim
=
𝑡→∞
𝑠→0
𝑠→0 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠
𝐾+1

• Ou seja, quanto maior o ganho proporcional,
menor o erro estacionário.
• Porém, o aumento do ganho proporcional
também provoca uma resposta mais oscilatória.

13
Sistemas de Controle Proporcional
• Exemplo:
• Considere o sistema de primeira ordem:
𝐶(𝑠)
1
=
𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1

• Aplicando-se um controle proporcional com
diferentes ganhos:

14
Sistemas de Controle Proporcional
• Exemplo:
• Considere o sistema de segunda ordem:
𝐶(𝑠)
1
= 2
𝑅(𝑠)
𝑠 + 1,2𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional com
diferentes ganhos:

15
Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:

• Supondo que 𝑅 𝑠 = 0, a função de transferência
entre C(s) e D(s) é:
𝐶(𝑠)
1
= 2
𝐷(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝
• Então, o erro é definido como:
𝐸(𝑠)
𝐶 𝑠
1
=−
=− 2
𝐷(𝑠)
𝐷 𝑠
𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝

16
Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• O erro estacionário para um distúrbio em degrau,
igual a 𝑇 𝑑 é dado:
1
𝑠𝑇 𝑑
𝑇𝑑
𝑒 𝑠𝑠 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim − 2
=−
𝑠→0
𝑠→0
𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝 𝑠
𝐾𝑝
• Portanto, o erro será proporcional ao distúrbio e
inversamente proporcional ao ganho.
• Aumentando o ganho, diminui-se o erro
estacionário causado pelo ruído também.
17
Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• Exemplo:
𝐶(𝑠)
1
=
𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1

• Resposta para diferentes ganhos
proporcionais:

18
Para 𝑇 𝑑 = 2.

Para 𝑇 𝑑 = 10.
Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao sistema com carga inercial:

• A função de transferência da malha fechada é:
𝐾𝑝
𝐶(𝑠)
= 2
𝑅(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝐾 𝑝
• Como as raízes da da equação característica são
imaginárias, para uma entrada degrau unitário o
sistema irá oscilar indefinidamente.

19
Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao sistema com carga inercial:
• Exemplo:
𝐶(𝑠)
1
= 2
𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1
• Resposta para diferentes ganhos
proporcionais:

20
Obrigada!
ays@icmc.usp.br
www.lsec.icmc.usp.br

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Análise de Resposta Transitória e Estabilidade

  • 1. Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário 1
  • 2. Critério de Estabilidade de Routh • Considerando a forma geral: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑏0 𝑠 𝑚 +𝑏1 𝑠 𝑚−1 +⋯𝑏 𝑚−1 𝑠+𝑏 𝑚 , 𝑎0 𝑠 𝑛 +𝑎1 𝑠 𝑛−1 +⋯𝑎 𝑛−1 𝑠+𝑎 𝑛 onde 𝑛 ≥ 𝑚. • Uma forma simples de saber se o sistema é estável é se e somente se todos os pólos da malha fechada estiverem no semiplano esquerdo do plano s. 2
  • 3. Critério de Estabilidade de Routh • O critério de estabilidade de Routh determina o número de pólos de malha fechada que se situam no semiplano direito do plano s sem fatorar o denominador. • É aplicado apenas a polinômios com um número finito de termos. • As informações da estabilidade absoluta são obtidas a partir dos coeficientes da equação característica. 3
  • 4. Critério de Estabilidade de Routh • Procedimento: • Escrever o polinômio da seguinte maneira: 𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ 𝑎 𝑛−1 𝑠 + 𝑎 𝑛 = 0 • Verificar se algum dos coeficientes é zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo: • Nesse caso, existe uma ou várias raízes que tenham partes reais positivas e o sistema é instável. • Todos os coeficientes positivos é uma condição necessária para a estabilidade, mas não suficiente: • A condição é necessária, mas não suficiente, porque o polinômio pode ser fatorado em (𝑠 + 𝑎) e (𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑐). As raízes são negativas se a, b e c são positivos. A multiplicação de qualquer número desses fatores dará um polinômio com coeficientes positivos. 4
  • 5. Critério de Estabilidade de Routh • Procedimento: • Organizar os coeficientes do polinômio em linhas e colunas da seguinte maneira: 𝑠𝑛 𝑠 𝑛−1 𝑠 𝑛−2 ⋮ 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑎0 𝑎1 𝑏1 ⋮ 𝑐1 𝑑1 𝑓1 𝑎2 𝑎3 𝑏2 ⋮ 𝑐2 0 0 𝑎4 𝑎5 𝑏3 ⋮ 0 0 0 𝑎6 𝑎7 𝑏4 ⋮ 0 0 0 … … … ⋮ 0 0 0 5
  • 6. Critério de Estabilidade de Routh • Procedimento: • Sendo que os coeficientes 𝑏, 𝑐, … são calculados da seguinte maneira: 𝑎1 𝑎2 − 𝑎0 𝑎3 𝑎1 𝑎4 − 𝑎0 𝑎5 𝑎1 𝑎6 − 𝑎0 𝑎7 𝑏1 = 𝑏2 = 𝑏3 = … 𝑎1 𝑎1 𝑎1 𝑏1 𝑎3 − 𝑎1 𝑏2 𝑏1 𝑎5 − 𝑎1 𝑏3 𝑏1 𝑎7 − 𝑎1 𝑏4 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = … 𝑏1 𝑏1 𝑏1 𝑐1 𝑏2 − 𝑏1 𝑐2 𝑐1 𝑏3 − 𝑏1 𝑐3 𝑐1 𝑏4 − 𝑏1 𝑐4 𝑑1 = 𝑑2 = 𝑑3 = … 𝑐1 𝑐1 𝑐1 6
  • 7. Critério de Estabilidade de Routh • Procedimento: • A matriz completa é triangular. Calcular todos os coeficientes até a nésima linha. • O número de mudanças no sinal dos coeficientes da primeira coluna da matriz é igual ao número de raízes com partes reais positivas do polinômio. • Se todos os coeficientes da primeira coluna da matriz forem positivos, então o sistema é estável pois todos os pólos estarão no semiplano esquerdo do plano s. 7
  • 8. Critério de Estabilidade de Routh • Exemplo: 𝑠 4 + 2𝑠 3 + 3𝑠 2 + 4𝑠 + 5 = 0 • Matriz: 𝑠4 1 3 5 𝑠3 2 4 0 𝑠2 1 5 0 𝑠1 −6 0 0 𝑠0 5 0 0 • Portanto existem 2 raízes com partes reais positivas. 8
  • 9. Critério de Estabilidade de Routh • Aplicação à análise de sistemas de controle: • Determinar valores de um ou mais parâmetros a partir do critério de estabilidade de Routh. • Exemplo de função de transferência: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐾 𝑠 𝑠2 +𝑠+1 𝑠+2 +𝐾 • Equação característica: 𝑠 4 + 3𝑠 3 + 3𝑠 2 + 2𝑠 + 𝐾 = 0 9
  • 10. Critério de Estabilidade de Routh • Aplicação à análise de sistemas de controle: 1 3 𝐾 3 2 0 𝑠4 7 𝑠3 𝐾 0 2 𝑠 3 9𝐾 𝑠1 0 0 0 2− 𝑠 7 𝐾 0 0 • Portanto, para garantir a estabilidade: 14 > 𝐾>0 9 10
  • 11. Sistemas de Controle Proporcional • Um dos problemas do controlador On-Off é que apenas uma pequena variação da diferença do valor de entrada e o valor de referência, o controlador atua na resposta fortemente. • Para resolver esse problema, criou-se o controlador proporcional, cuja ação é proporcional ao erro. 11
  • 12. Sistemas de Controle Proporcional • Um problema do controlador apenas proporcional é que existe um erro estacionário. • Considerando um sistema com a seguinte planta: 1 𝐺𝑝 𝑠 = 𝑇𝑠 + 1 • Temos a equação de malha fechada: 𝐾 𝐺 𝑠 = 𝑇𝑠 + 1 • Como: 𝐸(𝑠) 𝑅 𝑠 − 𝐶(𝑠) 𝐶 𝑠 1 = =1− = 𝑅(𝑠) 𝑅(𝑠) 𝑅 𝑠 1 + 𝐺(𝑠) • Então o erro é dado como: 1 1 𝐸 𝑠 = 𝑅(𝑠) = 𝑅(𝑠) 𝐾 1+ 𝐺 𝑠 1+ 𝑇𝑠 + 1 12
  • 13. Sistemas de Controle Proporcional • Para uma entrada em degrau unitário 𝑅 𝑠 =1 𝑠 : 𝑇𝑠 + 1 1 𝐸 𝑠 = 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠 • O erro estacionário será: 𝑒 𝑠𝑠 𝑇𝑠 + 1 𝑠 1 = lim 𝑒 𝑡 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim = 𝑡→∞ 𝑠→0 𝑠→0 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠 𝐾+1 • Ou seja, quanto maior o ganho proporcional, menor o erro estacionário. • Porém, o aumento do ganho proporcional também provoca uma resposta mais oscilatória. 13
  • 14. Sistemas de Controle Proporcional • Exemplo: • Considere o sistema de primeira ordem: 𝐶(𝑠) 1 = 𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1 • Aplicando-se um controle proporcional com diferentes ganhos: 14
  • 15. Sistemas de Controle Proporcional • Exemplo: • Considere o sistema de segunda ordem: 𝐶(𝑠) 1 = 2 𝑅(𝑠) 𝑠 + 1,2𝑠 + 1 • Aplicando-se um controle proporcional com diferentes ganhos: 15
  • 16. Sistemas de Controle Proporcional • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado: • Supondo que 𝑅 𝑠 = 0, a função de transferência entre C(s) e D(s) é: 𝐶(𝑠) 1 = 2 𝐷(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝 • Então, o erro é definido como: 𝐸(𝑠) 𝐶 𝑠 1 =− =− 2 𝐷(𝑠) 𝐷 𝑠 𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝 16
  • 17. Sistemas de Controle Proporcional • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado: • O erro estacionário para um distúrbio em degrau, igual a 𝑇 𝑑 é dado: 1 𝑠𝑇 𝑑 𝑇𝑑 𝑒 𝑠𝑠 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim − 2 =− 𝑠→0 𝑠→0 𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾 𝑝 𝑠 𝐾𝑝 • Portanto, o erro será proporcional ao distúrbio e inversamente proporcional ao ganho. • Aumentando o ganho, diminui-se o erro estacionário causado pelo ruído também. 17
  • 18. Sistemas de Controle Proporcional • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado: • Exemplo: 𝐶(𝑠) 1 = 𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1 • Resposta para diferentes ganhos proporcionais: 18 Para 𝑇 𝑑 = 2. Para 𝑇 𝑑 = 10.
  • 19. Sistemas de Controle Proporcional • Resposta ao sistema com carga inercial: • A função de transferência da malha fechada é: 𝐾𝑝 𝐶(𝑠) = 2 𝑅(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝐾 𝑝 • Como as raízes da da equação característica são imaginárias, para uma entrada degrau unitário o sistema irá oscilar indefinidamente. 19
  • 20. Sistemas de Controle Proporcional • Resposta ao sistema com carga inercial: • Exemplo: 𝐶(𝑠) 1 = 2 𝑅(𝑠) 5𝑠 + 1 • Resposta para diferentes ganhos proporcionais: 20