revisão da matéria de matemática pré-vestibular

1. REVISÃO DE MATEMÁTICA
1. TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS
☐ São representados por chave: A= {2,4,6,8, 10 ...}.
☐ Método da compreensão: A= {conjunto universo de x / propriedades características}.
☐ 푛(퐴 ∪ 퐵) = 푛(퐴) + 푛(퐵) − 푛(퐴 ∩ 퐵)
☐ 푛(퐴 ∪ 퐵 ∪ 퐶) = 푛(퐴) + 푛(퐵) + 푛(퐶) − 푛(퐴 ∩ 퐵) − 푛(퐴 ∩ 퐶) − 푛(퐵 ∩ 퐶) + 푛(퐴 ∩ 퐵 ∩ 퐶).
☐ 퐴 ∪ 퐵 = {푥 | 푥 ∈ 퐴 푂푈 푥 ∈ 퐵}
☐ 퐴 ∩ 퐵 = {푥| 푥 ∈ 퐴 & 푥 ∈ 퐵}
2. RELAÇÔES E FUNÇÔES
☐ Uma relação recebe o nome de função se, e somente se, para todo elemento de a, existe um único
elemento associado em B.
☐ ∀푥 ∈ 푎, ∃푢푚 ú푛푖푐표 푦 ∈ 퐵.
☐ Domínio: projeção no eixo das abscissas (x) / imagem: projeção no eixo das coordenadas (y) .
☐ Função injetora: todos os elementos do domínio possuem imagem diferente. ∀푥1 ≠ 푥2 ⇒ 푓(푥1 ) ≠ 푓(푥2 )
☐ Função sobrejetora: conjunto-imagem=contradomínio. Não há elemento y que não corresponda a um x
☐ Função bijetora: injetora e sobrejetora. Cada elemento y corresponde a somente um elemento x
3. FUNÇÃO AFIM (1ºGRAU)
☐ 푓(푥) = 푎푥 + 푏
☐ Seu gráfico representa uma reta.
☐ 푎 > 0 gráfico crescente 푎 < 0 gráfico decrescente
4. FUNÇÃO DE 2º GRAU
☐ 푓(푥) = 푎푥2 + 푏푥 + 푐 ≡ 푎(푥 − 푥1). (푥 − 푥2)
☐ Seus gráficos são as parábolas
☐ Vértice: 푣 = (−
푏
2푎
; −
Δ
4푎
).
☐ 푥1 + 푥2 = −
푏
푎
푥1. 푥2 =
푐
푎
5. FUNÇÃO EXPONENCIAL
 푓(푥) = 푎푥; 푎 > 0 푒 푎 ≠ 1
 푎푛푎푚 = 푎푛+푚 ; (푎푛)푚 = 푎푛푚 ; 푎
1
⁄푛 = √푎 푛 ; 푛√푎푛 = {
푎, 푛 par
|푎|, 푛 ímpar
 Na função exponencial: 푎 > 1, a função f é crescente 0 < 푎 < 1, a função fé descrescente
6. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
∗ → ℝ; 푓(푥) = log푎 푥 , 푎 > 0 푒 푎 ≠ 1
 퐹: ℝ+

2. Página2
 log푎 (푏. 푐) = log푎 푏 + log푎 푐 log푎 (
푏
푐
) = log푎 푏 − log푎 푐
 log (퐴푐)(퐵 푑) =
푑
푐
log퐴 퐵
7. FUNÇÃO MODULAR
 {
|푥| = 푥 푠푒 푥 ≥ 0
|푥| = −푥 푠푒 푥 ≤ 0
 √푥2 = |푥|
 |푥| + |푦| ≥ |푥 + 푦|
 Construção de gráficos: dividindo-se o gráfico em vários intervalos ou por meio de transformações
geométricas. Para 푥 ≥ 0 o gráfico segue a função, para 푥 < 0 o gráfico se inverte.
 |푥| ≥ 푘 ⟺ 푥 ≥ 푘 표푢 푥 ≤ −푘
 |푥| ≤ 푘 ⟺ −푘 ≤ 푥 ≤ 푘
8. TRIGONOMETRIA
 Grau e radiano: 퐶 = 2휋푅 = 2휋 푟푎푑 = 360º
 퐴̂퐵 = {훼 ∈ ℝ | 퐴̂퐵= 훼+ 2푘휋;퐾 ∈ ℤ}; |푘| 푟푒푝푟푒푠푒푛푡푎 표 푛ú푚푒푟표 푑푒 푣표푙푡푎푠
9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
 Seno: ∀푥 ∈ ℝ, sen 푥 = sen(푥 + 2푘휋);푘 ∈ ℤ
 푓(푥) = 푎 + 푏. sen(푐푥 + 푑 )
{
푎 → 푑푒푠푙표푐푎푚푒푛푡표 푣푒푟푡푖푐푎푙
푏 ⟶ 푎푙푡푒푟푎 푎 푎푚푝푙푖푡푢푑푒 퐴2 = 푏퐴1
푐 ⟶ 푎푓푒푡푎 표 푝푒푟í표푑표 푃 =
2휋
|푐|
푑 ⟶ 푑푒푠푙표푐푎푚푒푛푡표 ℎ표푟푖푧표푛푡푎푙 푎푐.= −
푑
푐
 Cosseno: ∀푥 ∈ ℝ; cos 푥 = cos(푥 + 2푘휋); 푘 ∈ ℤ
 푓(푥) = 푎 + 푏. cos(푐푥 + 푑)
{
푎 → 푑푒푠푙표푐푎푚푒푛푡표 푣푒푟푡푖푐푎푙
푏 ⟶ 푎푙푡푒푟푎 푎 푎푚푝푙푖푡푢푑푒 퐴2 = 푏퐴1
푐 ⟶ 푎푓푒푡푎 표 푝푒푟í표푑표 푃 =
2휋
|푐|
푑 ⟶ 푑푒푠푙표푐푎푚푒푛푡표 ℎ표푟푖푧표푛푡푎푙 푎푐. = −
푑
푐
 푟푒푙푎çã표 푓푢푛푑푎푚푒푛푡푎푙 푑푎 푡푟푖푔표푛표푚푒푡푟푖푎: sen2 푥 + cos2 푥 = 1, ∀푥 ∈ ℝ
10. FUNÇÕES CIRCULARES
 tg 휃 =
sen휃
cos휃
cotg 푥 =
cos푥
sen 푥
 sec 푥 = cos−1 푥 cossec 푥 = sen−1 푥
 1 + (cot 푥)2 = (cossec 푥)2
 1 + (tan 푥) 2 = (sec 푥)2

3. Página3
11. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
 Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b
 Subtração de senos: sen (a – b) = sen a . cos b – cos a . sen b
 Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
 Subtração de cossenos: cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
 Tangente da soma: tan(푎 + 푏) =
(tan 푎+ tan 푏)
1−tan 푎. tan 푏
 Subtração de tangentes: tan (푎 − 푏) =
(tan 푎− tan 푏)
1+tan 푎. tan 푏
 Arcos duplos: sen(2푥) = 2sen 푥 . cos 푥 cos(2푥) = 푐표푠 2푥 − 푠푒푛2푥
12. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
 sen 푎 = sen 푏 ⇒ {
푎 = 푏 + 2휋푘 (푐ô푛푔푟푢표푠)
푎 + 푏 = 휋 + 2푘휋 (푠푖푚é푡푟푖푐표푠)
 cos 푎 = cos 푏 ⇒ {
푎 = 푏 + 2휋푘 (푐ô푛푔푟푢표푠)
푎 + 푏 = 2푘휋 (푟푒푝푙푒푚푒푛푡표푠)
 tg 푎 = tg 푏 ⇒ {푎 = 푏 + 푘휋
13. ANÁLISE COMBINATÓRIA
 Arranjos com repetição: (푎푟푟푎푛푗표)푝,푟 = 푝. 푝. 푝. 푝. 푝 … 푝 = 푝푟
 Arranjos: grupos dos elementos de A, tomados r a r, distintos: 퐴푛,푝 =
푛!
(푛−푝)!
; 푛 ≥ 푝
 Permutações: grupos dos elementos de A, tomados r a r , tal que r=p: 푃푛 = 푛!
 Combinações: seja a um A um conjunto de n elementos, chamamos de combinações os grupos dos n
elementos tomados p a p, os subconjuntos de A constituídos de p elementos: 퐶푛,푝 = (푛
푝) =
푛!
푝!(푛−푝)!
14. BINÔNIO DE NEWTON
 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
 ( 푛
푝−1)+ (푛
푝) = (푛+1
푝 ) relação de Stifel
 (푥 + 푎)푛 = Σ (푛
푖
)푥푛−푖 푎푖
푛
푖=0
binômio de newton
 푇푖+1 = (푛
푖
)푥푛−푖푎푖 termo geral
15. TEORIA DAS PROBABILIDADES
 A probabilidade de certo acontecimento A, associado a uma experiência aleatória, cujo espaço amostral é 퐸, 푐표푚 퐴 ⊂
퐸, é 푑푎푑푎 푝표푟:푃(퐴) =
푛(퐴)
푛(퐸)
 P(A) + P(퐴̅) = 1, 푠푒푛푑표 퐴̅ 표 푒푣푒푛푡표 푐표푚푝푙푒푚푒푛푡푎푟 푑푒 퐴
 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ∪: 푂푈 ∩: 퐸
 Sabendo que B já ocorreu e que a probabilidade de A é pedida, pode-se calculá-la por: 푃(퐴|퐵) =
푃(퐴∩퐵)
푃(퐵)
 Se 푃(퐴|퐵 ) = 푃(퐴) então A e B são independentes entre si, logo 푃(퐴 ∩ 퐵) = 푃(퐴). 푃(퐵)

4. Página4
16. PORCENTAGEM / ECONOMIA
 Juros simples: 퐶푛 = 퐶0(1 + 푛. 푖%)
 Juros compostos: 퐶푛 = 퐶0(1 + 푖%)푛
17. MÉDIAS
 푀퐴 =
푥1+푥2+푥3+⋯+푥푛
푛
= 푥̅
푛
 푀퐺 = √푥1. 푥2. 푥3.. 푥푛
 푀퐻 = 1
(
1
푥1
+
1
푥2
+
1
푥3
+⋯+
1
푥푛
푛
)
 푀퐴 ≥ 푀퐺 ≥ 푀퐻(푋
1
푃1 . 푋2 푃2 … 푋푁 푃푁
18. ESTATÍSTICA
 푀푎푝 =
푋1푃1.푋2푃2…푋푁푃푁
푃1+푃2+ 푃푁
 Amplitude total: a diferença entre o maior e menor elemento do conjunto
 Desvio médio: 휎 =
Σ |푥푖−푥̅푛푖
=1 |
푛
 Desvio padrão: 푠 = √휎 = √
Σ |푥푖−푥̅ 푛푖=1 |
푛
19. PROGRESSÃO ARITMÉTRICA
 PA.: termo geral: 푎푛 = 푎(푝 + 푟푛 − 푝)
(푎1+푎)푛푛
 Soma termos: 푆푛 =
2
 PG.: termo geral: 푎푛 = 푎1푞푛 −1
 Soma dos termos finitos: 푆푛 = 푎1. (푞푛 − 1)/(푞 − 1)
 Soma limite de uma pg.: 푆∞ =
푎1
1−푞
 Relações: 푃퐴(푎; 푏; 푐) ⟺ 푏 =
푎+푐
2
푃퐺(푎; 푏; 푐) ⟺ 푏2 = 푎. 푐
20. MATRIZ
 As matrizes são conjuntos cujos elementos estão dispostos em uma tabela. O produto 퐴푚푥푛 por 퐵푝푥푞
existe somente se p=n, e o resultado é a matriz 퐶푚푥푞. O produto entre matrizes não é comutativo, ou seja,
퐴퐵 ≠ 퐵퐴.
 Matriz inversa: 퐴퐵 = 퐵퐴 = 퐼 ⟺ 퐴−1 = 퐵
 Principais propriedades: (퐴퐵)푡 = 퐴푡 . 퐵 푡 (퐴퐵)−1 = 퐴−1. 퐵 −1 (퐴 + 퐵)푡 = 퐴푡 + 퐵 푡
 Matriz identidade: 퐼 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
21. DETERMINANTE
 Cálculo de determinantes: 푑푒푡퐴 = |
푎 푏 푐
푑 푒 푓
푔 ℎ 푖
| ⟹ (푎푒푖) + (푏푓푔) + (푐푑ℎ) − (푐푒푔) − (푓ℎ푎) − (푖푏푑) = 푑푒푡퐴
 Propriedades: |
푎 0
푏 0
푘푎 푘푏
푐 푑
| = 0 ; |
| = 푘 |
푎 푏
푐 푑
| ; |
푎 푏
푎 푏
| = 0 ;|
푎 + 푒 푏
푐 + 푓 푑
| = |
푎 푏
푐 푑
| + |
푒 푐
푓 푑| ; |
푎 푏
푐 푑
| =
|
푎 + 푏 푏
푐 + 푑 푑
| ; 푑푒푡퐴 = 푑푒푡퐴푡 ; 푑푒푡퐴−1 =
1
푑푒푡퐴

5. 2푥 + 푦 + 4푧 = 5
2푦 − 8푧 = 3
Página5
22. SISTEMAS LINEARES
 Um sistema linear é uma equação matricial da forma: AX=B, onde A é a matriz dos coeficientes e B a dos
termos independentes.
 Se 푑푒푡퐴 ≠ 0, o sistema linear é possível e determinado.
 Se 푑푒푡퐴 = 0, o sistema linear é indeterminado ou impossível.
 Todo sistema linear da forma AX=0, é chamado de sistema homogêneo. Todo sistema desse tipo é
possível.
 Escalonamento significa tornar o sistema linear em um sistema escalonado: {
푧 = 2
 Método de Cramer: as soluções de um sistema linear AX=B (m=n) são dados por: 푥푖 =
퐷푖
퐷
; ∀푖 ∈
ℕ, tal que Di é o determinante de A e Di é o determinate que se obtem trocando a i −
ésima coluna de A pela coluna dos termos independentes, a matriz B.
23. NÚMEROS COMPLEXOS
 푖 = √−1 2
 푧 = 푎푖 + 푏 푧 ∈ ℝ, 푠푒 푎 = 0 푧 ∈ 퐶, 푠푒 푎 ≠ 0
 푎푖 + 푏 ≡ 푐푖 + 푑 ⟹ 푎 = 푐 푒 푏 = 푑
 푧 = 푎푖 + 푏 ; 푧̅ = 푎푖 − 푏 ; 푧. 푧̅ = 푎2 + 푦 2
 Representação no plano complexo, (퐼푚푋푅푒), 푧 = |푧|. (cos 휃 +isen 휃); |푧| = 2√푥2 +푦2; sen 휃 =
푦
|푧|
cos 휃 =
푥
|푧|
24. POLINÔMIOS
 푃(푥) ≡ Σ 푎푛푥푛 푛푖
=0 ≡ 푎푥푛 + 푏푥푛−1 + 푐푥푛−2 + 푑푥푛−3 + ⋯ + "푧"푥0
 푃(푥) ≡ 푎푛(푥 − 푥1)(푥 − 푥2 ) … (푥 − 푥푛 )
 푥1 + 푥2 + ⋯ + 푥푛 =
−푏
푎
; (푥1. 푥2 ) + (푥1. 푥2 ) + ⋯ + (푥푛−1푥푛 ) =
푐
푎
; (푥1 . 푥2 . 푥3 ) + ⋯ + (푥푛−2푥푛−1푥푛 ) = −
푑
푎
; ....
 Teorema do resto: 표 푟푒푠푡표 푑푒 푢푚푎 푑푖푣푖푠ã표 푑푒 푃(푥) 푝표푟 (푎푥 − 푏) é 푖푔푢푎푙 푎 푃(−
푏
푎
)
 Teorema das raízes reais: 푠푒 푃(푎). 푃(푏) > 0, 푒푥푖푠푡푒 푢푚 푛ú푚푒푟표 푝푎푟 푑푒 푟푎í푧푒푠 푟푒푎푖푠 푛표 푖푛푡푒푟푣푎푙표푟 ]푎; 푏[
푠푒 푃(푎). 푃(푏) < 0, 푒푥푖푠푡푒 푢푚 푛ú푚푒푟표 í푚푝푎푟 푑푒 푟푎í푧푒푠 푟푒푎푖푠 푛표 푖푛푡푒푟푣푎푙표 ]푎; 푏[
25. ÂNGULOS
 Classificação quanto a soma: {
푐표푚푝푙푒푚푒푛푡푎푟푒푠: 90º
푠푢푝푙푒푚푒푛푡푎푟푒푠:180º
푟푒푝푙푒푚푒푛푡푎푟푒푠: 360 º
26. TRIÂNGULOS
 Congruências:
퐿퐴퐿 (푙푎푑표 − â푛푔푢푙표 − 푙푎푑표)
퐴퐿퐴 (â푛푔푢푙표 − 푙푎푑표 − â푛푔푢푙표)
퐿퐴퐴푂 (푙푎푑표 − â푛푔푢푙표 − â푛푔푢푙표 표푝표푠푡표 푙푎푑표)
퐿퐿퐿 (푙푎푑표 − 푙푎푑표 − 푙푎푑표)
{
 Um triângulo só existe se: 표푠 푠푒푢푠 푙푎푑표푠 (푎, 푏, 푐) 푡푖푣푒푟푒푚 푎 푟푒푙푎çã표 → |푏 − 푐| < 푎 < 푏 + 푐
27. SEGMENTOS PROPORCIONAIS


6. 푝표푛푡표 푑푒 푒푛푐표푛푡푟표 푑푎푠 푚푒푑푖푎푛푎푠 푑푒 푢푚 푡푟푖â푛푔푢푙표
표 푏푎푟푖푐푒푛푡푟표 푑푖푣푖푑푒 푎푠 푚푒푑푖푎푛푎푠 푛푢푚푎 푟푎푧ã표 2:1
푝표푛푡표 푑푒 푒푛푐표푛푡푟표 푑푎푠 푚푒푑푖푎푡푟푖푧푒푠(푟푒푡푎푠 ⊥ 푎표푠 푙푎푑표푠)
Página6
 Semelhança de triângulos:
푐
푓
= 푏
푒
= 푎
푑
= ℎ1
ℎ2
= 푘
 Base média do triângulo: 푠푒 ̅퐶̅푁̅̅ = ̅퐵̅̅푁̅ 푒 ̅퐶̅̅푀̅̅ = ̅퐴̅̅푀̅̅, 푙표푔표 ̅푀̅̅푁̅̅̅ é 푏푎푠푒 푚é푑푖푎 푑푒̅퐴̅̅퐵̅, 푒 ̅푀̅̅푁̅̅ = 퐴퐵 ̅̅̅̅
2
28. PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO
 Baricentro (G):
{
 Incentro (I):
{
푝표푛푡표 푑푒 푒푛푐표푛푡푟표 푑푎푠 푏푖푠푠푒푡푟푖푧푒푠 푖푛푡푒푟푛푎푠 푑표 푡푟푖â푛푔푢푙표
푡푎푚푏é푚 표 푐푒푛푡푟표 푑푎 푐푖푟푐푢푛푓푒푟ê푛푐푖푎 푖푛푠푐푟푖푡푎
 Circuncentro (O):
{
푞푢푎푛푑표 표 푡푟푖â푛푔푢푙표 é 푟푒푡푎푛푔푢푙표, 표 푐푖푟푐푢푛푐푒푛푡푟표
푒푠푡á 푛표 푝표푛푡표 푚é푑푖표 푑푎 ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎
 Ortocentro (H):
{ 푝표푛푡표 푑푒 푒푛푐표푛푡푟표 푑푎푠 푎푙푡푢푟푎푠 푑표 푡푟푖â푛푔푢푙표
 Triângulo equilátero: todos os seus pontos notáveis convergem em um só ℒℊ
29. POLÍGONOS CONVEXOS
 Soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer: 푆푖 = 180º(푛 − 2)
 Soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer: 푆푒 = 360º
 Ângulo interno: 푎푖 = 180º
푛−2
푛
Ângulo externo: 푎푒 =
360º
푛

7. Página7
 Número de diagonais: 푑 =
푛(푛−3)
2
30. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
 Trapézio: quadrilátero que possui dois lados paralelos: {as bissetrizes de ângulos seguidos são
perpendiculares
 Paralelogramo: trapézio com lados opostos paralelos: {
푙푎푑표푠 표푝표푠푡표푠 푖푔푢푎푖푠
â푛푔푢푙표푠 표푝표푠푡표푠 푐표푛푔푟푢푒푛푡푒푠
푠푢푎푠 푑푖푎푔표푛푎푖푠 푐푟푢푧푎푚_푠푒 푛표 푝표푛푡표 푚é푑푖표
 Retângulo: paralelogramo que possui ângulos iguais, 90º: {푑푖푎푔표푛푎푖푠 푐표푛푔푟푢푒푛푡푒푠
 Losango: paralelogramo que possui os lados iguais: {푑푖푎푔표푛푎푖푠 푏푖푠푠푒푡푟푖푧푒푠 푒 푝푒푟푝푒푛푑푖푐푢푙푎푟푒푠
 Quadrado: losango e retângulo
31. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
 푎2 = 푏2 + 푐 2
 ℎ2 = 푚푛
 푏2 = 푚푎
 푐 2 = 푛푎
 푎ℎ = 푏푐

1
푏2 +
1
푐2
=
1
ℎ2
32. RELAÇÕES NO TRIÂNGULO QUALQUER
 푎2 = 푏2 + 푐 2 − 2푏푐 cos Â

푎
sen Â
=
푏
sen퐵̂
=
푐
sen 퐶̂ = 2푅; 푅: 푟푎푖표 푑푎 푐푖푟푐푢푛푓푒푟ê푛푐푖푎 푐푖푟푐푢푛푠푐푟푖푡푎 푎표 푡푟푖â푛푔푢푙표
33. CIRCUNFERÊNCIA

34. ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES
 Triângulos: 퐴 =
푏ℎ
2
 Triângulo equilátero: 퐴 =
푙2√3
2
 Triângulo de lados (a;b;c) e perímetro 2p: 퐴 = √2푝(푝 − 푎)(푝 − 푏)(푝 − 푐)
 Paralelogramo: 퐴 = 푏ℎ
 Trapézio: 퐴 = (푎푏).
ℎ
2
 Circulo: 퐴 = 휋푅²

8. Página8
 Setor circular: 퐴 =
휋푅2 훼
360 º
35. GEOMETRIA ANALÍTICA
 Ponto: 푝(푥; 푦); 푒푖푥표 푥: 푎푏푠푐푖푠푠푎푠 푒푖푥표 푦: 푐표표푟푑푒푛푎푑푎푠
 Distância entre pontos: 푑푎푏 = √(푥푏 − 푥)2 푎+ (푦푏 − 푦)2
푎(푥+푥)
 Ponto médio de um segmento AB: 푀 (
푎푏 2
;
푦푎+푦푏
2
)
 Condição de alinhamento entre A, B e C: |
1 1 1
푥푎 푥푏 푥푐
푦푎 푦푏 푦푐
| = 0
 Área de um triângulo ΔABC: |
1 1 1
푥푎 푥푏 푥푐
푦푎 푦푏 푦푐
| .
1
2
= 퐴
 Reta:
푒푞푢푎çã표 푟푒푑푢푧푖푑푎:푦 = 푚푥 + 푞; 풎: 푐표푒푓푖푐푖푒푛푡푒 푎푛푔푢푙푎푟, 풒: 푐표. 푙푖푛푒푎푟
푒푞푢푎çã표 푠푒푔푚푒푛푡á푟푖푎:
{
푥
푝
+
푦
푞
= 1; 풑 = −
푐
푎
푒 풒 = −
푐
푏
푒푞푢푎çã표 푝푎푟푎푚é푡푟푖푐푎: {
푥 = 푓(푡)
푦 = 푔(푡)
; 푡 ∈ ℝ
 Retas perpendiculares: 푚푟. 푚푠 = −1
 Distância ponto à reta: 푑푃;푟 =
|푎푥표 +푏푦표+푐|
√푎2+푏2
36. CÔNICAS
 Circunferência: {
푑푂;푃 = 푅
(푥 − 푎)2 + (푦 − 푏) 2 = 푅²
푥2 + 푦 2 − 2푎푥 − 2푏푦 + (푎2 + 푏2 − 푅2 ) = 0
 Elipse: {
2푎: 푒푖푥표 푚푎푖표푟, 2푏: 푒 . 푚푒푛표푟, 2푐:푑푖푠푡â푛푐푖푎 푓표푐푎푙
푥1
푎2 +
푦2
푏2 = 1;푒푖푥표 푚푎푖표푟 푝푎푟푎푟푒푙표 à푠 푎푏푐푖푠푠푎푠
푎2 = 푏2 + 푐²
 Parábola: {
푑퐹;푃 = 푑푃;푟 = 2푝
푎푥2 + 푏푥 + 푐 = 0
(푥 − 푥푣 )2 = 4푝(푦 − 푦푣)2 ; 푑푖푟푒푡푟푖푧 푝푎푟푎푟푒푙푎 à푠 푎푏푐푖푠푠푎푠
 Hipérbole: {
2푎: 푒. 푟푒푎푙,2푏: 푒. 푖푚푎푔푖푛á푟푖표, 2푐:푑푖푠푡â푛푐푖푎 푓표푐푎푙, 푑: 푎푠푠í푛푡표푡푎
푥2
푎2 −
푦2
푏2 = 1, 푑푖푠푡â푛푐푖푎 푓표푐푎푙 푝푎푟푎푟푒푙푎 à푠 푎푏푐푖푠푠푎푠
푐 2 = 푎2 + 푏2
37. PIRÂMIDES

{
푎푝ó푡푒푚푎 푑푎 푝푖푟â푚푖푑푒 :
푎√3
2
푎푝ò푡푒푚푎 푑푎 푏푎푠푒 :
푎√3
6
푣표푙푢푚푒 :
1
3
. 퐴푏. ℎ
푐표푚 푠푒푐çã표:
ℎ
퐻
= 푘;
à푟푒푎 푚푒푛표푟
à푟푒푎 푚푎푖표푟
= 푘2 ,
푉푚푒 .
푉푚푎
. = 푘³

9. Página9
38. CONE E CILINDRO
푔: 푔푒푟푎푡푟푖푧, ℎ: 푎푙푡푢푟푎, 푟: 푟푎푖표 푑푎 푏푎푠푒
 푐푖푙푖푛푑푟표: {
à푟푒푎 = 2휋푟 2 + 2휋푟ℎ
푣표푙푢푚푒 =
1
3
휋푟 2ℎ
 푐표푛푒: {
푔2 = ℎ2 + 푅²
퐴푙 = 휋푅푔 ;퐴푡 = 휋푅(푔 + 푅)
푉 =
1
3
. 휋푅2ℎ
ℎ
39. POLIEDROS CONVEXOS E TEOREMAS DE EULER
 푉 − 퐴 + 퐹 = 2
 Soma dos ângulos das faces: 푆 = 360º(푉 − 2)
 Equação do número de arestas: Σ 푛퐹푛
푛푖
=3 = 2퐴
 Equação do número de arestas: Σ 푛푃푛 = 2퐴 ;푃: â푛푔푢푙표 푝표푙푖é푑푟푖푐표 푛푖
=3