Este documento fornece informações sobre um caderno de notas sobre estatística inferencial. Ele discute conceitos como população, amostra, métodos de amostragem, variáveis, distribuição normal e estimação por ponto. O documento apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos e exercícios para praticar cálculos estatísticos.

1. CADERNOS PPT
ESTASTÍTICA
INFERENCIAL
5º Semestre
LUAN GUERRA

2. FACEBOOK
Não curtir? Por quê?
SUGESTÕES
cadernosppt@gmail.com.br

3. AVISO
Esse material foi criado a partir do caderno
de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte
didática como: livros, artigos científicos, etc.
Observação:
O objetivo dessa apresentação é
simplesmente ajudar o estudante, nada além
disso.

4. CONCEITO

5. POPULAÇÃO
População é conjunto de elementos sobre
os quais queremos informações.
Ex.: Paulistanos, veículos, cães
abandonados, produtos para vender.

6. AMOSTRA
Uma parte do conjunto (sub-conjunto) da
população.
Ex.: Moradores da Paulista, raça de cães,
final de placa.

7. AMOSTRAGEM QUANDO USAR?
Exemplos:
Economia
Confiabilidade
Radipez de processamento
Teste destrutivo

8. MÉTODOS DE AMOSTRAGENS
TIPOS

9. AMOSTRAGEM CONVENIÊNCIA
Os entrevistados são escolhidos por conveniência:
– Menos Confiável
– Baixo Custo
– Boa para obter idéias sobre determinação assunto
– Boa como pesquisa exploratória
EXEMPLO
Grupo de estudantes, de igrejas, membros de
organização sociais, lojas de departamentos
questionários destacáveis em revistas, entrevistas com
“pessoas na rua”.

10. AMOSTRAGEM JULGAMENTO
São selecionados com base no julgamento do
pesquisador, que usando sua experiência,
escolhe os elementos a serem incluídos na
amostra.
EXEMPLOS
Amostragem por julgamento: Testes de
mercado para avaliar o potencial de um novo
produto, seleção de distritos eleitorais
representativos para uma pesquisa de voto.

11. AMOSTRAGEM QUOTAS
1º - Classificação da população em termos de propriedades;
2º - Determinação da ´proporção da população para cada
característica;
3º - Fixação de quotas para cada entrevistador;
EXEMPLO
Amostragem por quota: Pesquisa sobre o "trabalho das mulheres
na atualidade“. Descobrem-se as proporções (%) dessas
características na população, como 47% de homens e 53% de
mulheres.
Quando n = 50 pessoas, tem-se 23 homens e 27 mulheres. Então o
pesquisador receberá uma "quota" para entrevistar 27 mulheres.

12. AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
É o processo de
retirada dos elementos
SORTEIO NÃO VICIADO de uma população no
qual cada unidade tem
a mesma oportunidade
de integrar a amostra.
AMOSTRA
USO DE TABELAS DE
NÚMEROS ALEATÓRIOS

13. EXEMPLO - AMOSTRAGEM
ALEATÓRIA SIMPLES
Empresa deseja selecionar amostra de 20 trabalhadores
de horário integral a partir da população de 500
colaboradores nessa situação.
Associar um código de 3 dígitos a cada colaborador,
ordenados por ordem alfabética, de 001 a 500.
Escolher, ao acaso, um dígito de partida na Tabela de
Números Aleatórios
Indo da esquerda para a direita, e de cima para baixo,
na tabela, selecionar 20 números com 3 dígitos entre
001 e 500, sem pular ou repetir, identificando assim a
amostra.

14. EXEMPLO - AMOSTRAGEM
ALEATÓRIA SIMPLES

15. AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
• Decidir tamanho de amostra N
• Calcular
• Selecionar 1. Item aleatoriamente
• Selecionar os demais itens a partir desse
inicial

16. AMOSTRAGEM
ESTRAFICADA PROPORCIONAL
• A população é dividido em 2 ou mais
grupos.
• Aplica-se, em cada grupo, a amostragem
aleatória simples.

17. AMOSTRAGEM
CONGLOMERADO (CLUSTERS)
• População é composta de vários
CLUSTERS representativos.
• Aplica-se AAS nos CLUSTERS
• Combinam-se as amostras em um única

18. VARIÁVEL
DEFINIÇÃO
As variáveis qualitativas pode ser ordinal
(possui ordem natural) ou nominal (não possui
ordem natural).
As variáveis quantitativas pode ser discreta
(assume valores exatos) ou contrários (assume
valores aproximados).
Exemplo: População de cães abandonados.

19. VARIÁVEL
É a característica que queremos estudar.
As variáveis podem ser:
Qualitativa
Os valores são qualidades ou atributos.
Quantitativas
Os valores são quantidade.

20. EXEMPLOS
Variáveis Qualitativas:
Ordinal – Porte, size
Nominal – raça, cor
Variáveis Quantitativas:
Discreta – Nº de Dentes INTERVALOS ESPECÍFICOS
Contínua – Peso, altura

21. VARIAÇÕES
Quantitativa Contínua
Quantitativa Discreta
Qualitativa Ordinal
Qualitativa Nominal

22. CLASSIFICAÇÃO
EXERCÍCIO
Moradores de uma cidade
Camisetas à venda em uma loja
V. Quant. Discreta: Preço
V. Qual. Nominal: Marca, cor
V. Qual. Ordinal: Tamanho
Alunos desta sala

23. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

24. CARACTERÍSTICA DA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
• Formato de sino
• Simétrica
• Média, Mediana e Moda
iguais.
• A posição é dada pela
média, μ.
• A dispersão é dada pela
desvio padrão, σ.
• A área total sob a curva é
igual a 1
• Do ponto de vista teórico,
a distribuição possui
amplitude de -∞ à +∞.
ÁREA = 1

25. FUNÇÃO DENSIDADE DE
PROBABILIDADE NORMAL

26. EXEMPLO
• Qual é a maior média?

27. EXEMPLO
• Qual a curva normal tem desvio padrão maior?
σ =15
σ =25

28. DISTRIBUIÇÃO NORMAL
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUAS
É a distribuição normal Z , que tem média.
O e desvio-padrão 1.
Qualquer distribuição normal x com média
μ e desvio-padrão o pode ser transformado
em Z através de mudança de variável.

29. EXEMPLOS
Distribuição Normal
Quanto menor o formato do “sino” maior será a aproximação dos dados
avaliados.

30. FÓRMULA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO

31. EXEMPLO
• Calcule a probabilidade do valor Z
correspondente à variável aleatória normal
estar entre 0,00 e 1,00, ou seja, P(0,00 < Z <
1,00).
• Esboce o gráfico.

32. RESOLUÇÃO
Olhar a TABELA de
Distribuição Normal
Padrão:
P(0 < Z < 1) = 0,3413
ou
34,13%

33. ENCONTRANDO

34. EXERCÍCIO
• X representa o tempo (em segundos) para
fazer o download de uma imagem da
internet. Supondo que X é normal com
média 8,0 e desvio-padrão 5,0.
• Encontre P(x < 8,6)

35. RESOLUÇÃO

36. TABELA

37. RESOLUÇÃO
P = 0,50 + 0,0478 = 0,5478

38. EXERCÍCIO
• X representa o tempo levado (em
segundos) para fazer o download de uma
imagem da internet.
Supondo que X é normal com média 8,0 e
desvio-padrão 5,0.
• Encontre P(X > 8,6).

39. RESOLUÇÃO
0,5478
P(x > 8,6) = P(Z >0,12) = 1 – P(Z < 0,12)
P(x > 8,6) = P(Z >0,12) = 1 – 0,5478 = 0,4522

40. EXERCÍCIO
Supondo x normal com média 8,0 e desvio
padrão 5,0. Encontre P(8,0 < x < 8,6).

41. RESOLUÇÃO

42. TABELA

43. RESOLUÇÃO
P(8,0 < x < 8,6) = 0,0478
4,78%

44. EXERCÍCIO
Calcular P(Z < 0,32).

45. TABELA

46. RESOLUÇÃO
P = 0,50 + 0,1255 = 0,6255
62,55%

47. EXERCÍCIO
Calcular P(0 < Z < 1,71).

48. TABELA

49. RESOLUÇÃO
P(0 < x < 1,71) = 0,4564
45,64%

50. EXERCÍCIO
Calcular P(1,32 < Z < 1,79).

51. TABELA

52. RESOLUÇÃO
P(1,32 < Z < 1,79)
P(Z = 1,79) – P(Z = 1,32)
P = 0,4633 – 0,4066
P = 0,0567
5,67%

53. EXERCÍCIO
Calcular P( Z < - 1,3).
SIMETRIA

54. TABELA

55. RESOLUÇÃO
P( Z < -1,3)
0,5 0,4032
P(Z > 1,3)
P = 0,5 – 0,4032
P = 0,0968
9,68%

56. EXERCÍCIO
O tempo gasto no exame vestibular de uma
universidade tem distribuição Normal, com
média 120 min. e desvio padrão 15 min.
a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a
probabilidade que ele termine o exame antes de
100 min.
Considere X com o tempo gasto no exame
vestibular.

57. TRANSFORMANDO

58. RESOLUÇÃO

59. TRANSFORMANDO
SIMETRIA

60. TABELA

61. RESOLUÇÃO
P( Z < -1,33)
0,5 0,4082
P(Z > 1,33)
P = 0,5 – 0,4082
P = 0,0918
9,18%

62. CONTINUAÇÃO
O tempo gasto no exame vestibular de
uma universidade tem distribuição Normal,
com média 120 min. e desvio padrão 15
min.
b) Qual deve ser o tempo de prova de
modo a permitir que 95% dos
vestibulandos terminem no prazo
estipulado?

63. ÁREA

64. TABELA
Encontre o valor mais aproximado
de 0,45.
Esse valor corresponderá 95%.

65. RESOLUÇÃO

66. CONTINUAÇÃO
O tempo gasto no exame vestibular de
uma universidade tem distribuição Normal,
com média 120 min. e desvio padrão 15
min.
c) Qual é o intervalo central de tempo, tal
que 90% dos estudantes gastam para
completar o exame?

67. ESTIMAÇÃO POR PONTOEXEMPLO
Usando os dados da EAI, calculamos a
média e o desvio padrão correspondentes
aos dados de salário anual.

68. ESTIMAÇÃO POR PONTOEXEMPLO
• 1500 dos 2500 gerentes concluíram o programa
de treinamento. Se admitirmos que p denota a
proporção da população que concluiu o
programa de treinamento, temos:
• O salário médio anual da população ( =$51800),
o desvio padrão ( =$4000) e a proporção da
população que concluiu o treinamento (p=0,60)
são parâmetros característicos da população de
gerentes da EAI.

69. EXEMPLO II
• Suponha que as informações necessárias sobre todos os gerentes do
EAI não estivessem prontamente disponíveis no banco de dados da
empresa. Como o diretor de pessoal da empresa pode obter
estimativas dos parâmetros populacionais usando uma amostra de
gerentes em vez de todos os 2500 gerentes da população?
• Para selecionar uma AAS:
– 1º. Atribuir números de 1 a 2500 aos gerentes
– 2º. Consultar tabela de números aleatórios ou usar programa para obter
número aleatório (EXCEL, etc.)
– 3º. Repetir o cálculo da média, desvio padrão e da proporção para
amostra.

70. EXEMPLO II
• Resumo das estimações por ponto obtidas
de uma amostra aleatória simples de 30
gerentes da EAI

71. EXERCÍCIO III
Os dados a seguir são de uma amostra
aleatória simples:
5 8 10 7 10 14
• Qual é a estimação por ponto da
média da população?

72. EXERCÍCIO III
• b) Qual é a estimação por ponto do desvio
padrão da população?

73. EXERCÍCIO
Uma AAS dos dados de cinco meses de venda forneceu
a seguinte informações:
a) Desenvolva uma estimação por ponto do número
médio de unidades da população vendidas por mês.
b) Desenvolva a estimação por ponto do desvio padrão
da população?

74. A
CALCULANDO NA HP12C CALCULANDO NA HP12C
F FIN F FIN
Nº ∑+ 94∑+
Nº ∑+ 100∑+
Nº ∑+ 85∑+
Nº ∑+ 94∑+
Nº ∑+ 92∑+
g 0 ( x ) = Média
g 0 ( x ) = 93

75. B
CALCULANDO NA HP12C CALCULANDO NA HP12C
F FIN F FIN
Nº ∑+ 94 ∑+
Nº ∑+ 100 ∑+
Nº ∑+ 85 ∑+
Nº ∑+ 94 ∑+
Nº ∑+ 92 ∑+
g 0 ( x ) = Média g 0 ( x ) = 93
g ∑+ ( ∑- ) = Desvio Padrão g ∑+ ( ∑- ) = 5,38
Anote o valor do DESVIO PADRÃO, pois a calculadora exibirá por alguns segundos.

76. EXERCÍCIO
Uma pergunta de uma pesquisa realizada com
uma amostra de 150 indivíduos produziu 75
respostas “sim”, 55 respostas “não” e 20
respostas “sem opinião”.
a) Qual é a estimação por ponto da proporção
da população que respondeu Sim?
b) Qual é a estimação por ponto da proporção
da população que respondeu Não?

77. RESOLUÇÃO
DADOS:
150 – Total
75 – Sim
55 – Não
20 – Sem Opinião

78. RESOLUÇÃO
PROBABILIDADE
A)
p = 75/150 = 0,50 = 50%
B)
p = 55/150 = 0,3667 = 36,7%

79. HISTOGRAMA
AMOSTRAL
EXEMPLIFICAÇÃO

80. Distribuição da frequência de x em 500
ASS de 30 gerentes da EAI:

81. Histograma da frequência relativa dos valores
de x em 500 ASS com tamanho 30 cada uma.

82. Histograma da frequência relativa dos valores
de p em 500 ASS com tamanho 30 cada uma.

83. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAIS
PROPRIEDADES
O valor esperado para a média das amostras é igual
média das população
μx = μ
μx = Valor esperado para a média da amostra
μ = Média da População
Quando o valor esperado de um estimador por ponto for
igual ao parâmetro populacional, dizemos que o
estimador do ponto é sem viés

84. DESVIO PADRÃO DAS MÉDIAS
DAS AMOSTRAS
Use a seguinte expressão para calcular DESVIO
PADRÃO das médias das amostras:
Sempre que:
– A população for infinita (não consigo “mensurar”)
– A população for finita e o tamanho da amostra for MENOR
ou IGUAL a 5% do tamanho da população, ou seja, n/N =
0,05

85. MAIOR QUE 5%
Caso não o problema utilize premissas diferentes
destas:
– A população for infinita
– A população for tinta e o tama:nho da amostra for ou
igual a 5% do tamanho da população, ou seja, n/N = 0,05
Utilize a fórmula abaixo:

86. EXEMPLIFICAÇÃO
O desvio padrão dos salários anuais da
população de 2500 gerentes da EAI é 4.000. A
população é finita, com n = 2500. O tamanho da
amostra, 30, é menor que 5% do tamanho da
população, logo podemos ignorar o fator de
correção para populações finitas e usar:

87. EXEMPLIFICAÇÃO
Como o resultado é finito e o tamanho da
amostra é MENOR que 5%.
População = 2500
Amostra = 30 Dados: 30/2500 = 0,012
A partir do resultado dos dados acima,
optaremos por essa fórmula:

88. EXEMPLIFICAÇÃO
1500 dos 2500 gerentes concluíram o
programa de treinamento. Admitindo que
p denota a proporção da população que
concluiu o programa de treinamento. Qual
o valor esperado de P?

89. EXEMPLIFICAÇÃO
ERRO PADRÃO DA PROPORÇÃO AMOSTRAL
A proporção da população de 2500 gerentes que
participaram do programa de treinamento gerencial é P =
0,60.
Dada uma amostra com tamanho 30, qual o erro padrão da
proporção P ?
O tamanho da amostra, 30, é menor que 5% do tamanho
da população, logo podemos ignorar o fator de correção
para populações finitas e usar.

90. EXERCÍCIO
Você escreve os valores da população [1, 3, 5, 7] em
pedaços de papel e os coloca em uma caixa.
Você seleciona dois papéis aleatoriamente, com
substituições.
a) Liste todas as amostras possíveis de tamanho n = 2 e
calcule a média de cada.
b) Represente essas médias que formam a distribuição
amostra de média das amostras em um histograma.
c) Encontre a média e o desvio padrão da média das
amostras. Compare seus resultados com a média μ=4 e
desvio padrão 2,236 da população.

91. A

92. B

93. C

94. C

95. C

96. C
Desvio Padrão:
–1,5811
–2,236
Podemos afirmar que são compatíveis.

97. C
0,56

98. LIMITE CENTRAL
TEOREMA

99. EXEMPLIFICAÇÃO

100. EXEMPLIFICAÇÃO

101. TABELA

102. EXEMPLIFICAÇÃO

103. EXERCÍCIO
Em certa semana o preço médio da gasolina na
Califórnia foi de US$ 1,164 por galão. Qual é a
probabilidade de que o preço médio em uma
amostra de 38 postos esteja entre US$ 1,169 e
US$ 1,179?
Admita que o desvio padrão seja de US$ 0,049.

104. RESOLUÇÃO

105. Z1

106. Z2

107. TABELA Z1

108. TABELA Z2

109. RESULTADO
P(Z1 < Z < Z2)
P(0,63 < Z < 1,9)
P(Z = 1,9) – P(Z = 0,63)
P = 0,4713 – 0,2357
P = 0,2356

110. EXEMPLO
O presidente da Doerman Distributors acredita
que 30% das encomendas feitas à firma são
provenientes de clientes que compram pela
primeira vez. Uma AAS de 100 pedidos será
usada para estimar a proporção de clientes que
compram pela primeira vez. Supondo que o
presidente esteja correto e p=30.
Qual é o erro padrão de p ?

111. EXEMPLO

112. BINOMIAL PROPRIEDADES
• O experimento consiste em uma sequência de n ensaios
idênticos
• Dois resultados são possíveis em cada ensaio. Referimo-
nos a um como um sucesso e ao outro como um
fracasso.
• A probabilidade de um sucesso, p, não se modifica de
ensaio para ensaio. A probabilidade de um fracasso (1-
p), não se modifica de ensaio para ensaio.
• Os ensaios são independentes.

113. EXEMPLIFICAÇÃO
Um produto manufaturado pode ser
classificado em perfeito ou defeituoso; a
resposta de um questionário pode ser
verdadeira ou falsa; as chamadas
telefônicas podem ser locais ou
interurbanas.

114. EXEMPLIFICAÇÃO
Qual é a probabilidade de termos 3 caras
quando uma moeda honesta for lançada 4
vezes?
Distribuição de Probabilidades de Caras no
Lançamento simultâneo de 4 Moedas
honestas.

115. EXEMPLIFICAÇÃO RESOLUÇÃO

116. BINOMIAL GRÁFICO

117. TABELA

118. CONDIÇÃO
Média = μ = np

119. EXEMPLIFICAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Decida se você pode usar a distribuição normal para
aproximar x, o número de pessoas que responderam
sim.
a) Para 51% dos adultos nos EUA, a promessa final de
ano mais importante foi a de se exercitar mais. Você
seleciona aleatoriamente 65 adultos deste grupo e lhes
pergunta se a promessa foi cumprida.
Neste experimento binomial, n=65, p=0,51 e q=0,49

120. RESOLUÇÃO

121. EXERCÍCIO
Decida se você pode usar a distribuição
normal para aproximar x, o número de
pessoas que responderam sim.
b) 15% dos adultos nos EUA não fazem
promessa de final de ano. Você seleciona
aleatoriamente 15 adultos deste grupo e
lhes pergunta se fizeram promessa de
final de ano.

122. RESOLUÇÃO
TESTANDO A CONDIÇÃO
NÃO PODE APROXIMAR

123. BINOMIAIS DISTRIBUIÇÃO
Suponha que o diretor da empresa EAI
queira saber qual a distribuição
AMOSTRAL de P que pode ser
aproximada da pela distribuição normal.

124. CORREÇÃO DE CONTINUIDADE
Para calcular probabilidades binomiais exatas,
pode-se usar a fórmula binomial para cada valor
de x e adicionar os resultados.
Geometricamente, isso corresponde a adicionar
as áreas das barras no histograma da
probabilidade.
Cada barra tem largura de uma unidade e x é o
ponto médio do intervalo

125. CORREÇÃO DO ERRO
P (x = c)
P(c-0,5 < x < c 0,5)

126. CORREÇÃO DE CONTINUIDADE
Quando utilizarmos uma distribuição
normal contínua pata aproximar uma
probabilidade binomial, movemos uma
unidade 0,5 para a esquerda e direita do
centro para incluir todos os valores
possíveis de x do intervalo. Isto chama-se
CORREÇÃO PELA CONTINUIDADE.

127. DEMONSTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO
NORMAL
BINOMIAL

128. EXEMPLIFICAÇÃO
Encontre a probabilidade de se obter entre 3 e 6
caras, inclusive, em 10 lançamentos de uma
moeda honesta, usando (a) a distribuição
binomial e (b) a aproximação normal para
distribuição binomial.
– (a) a distribuição binomial
– X = caras que apareceram em 10 lançamentos
– n = tentativas = 10 lançamentos
– p = probabilidade de sucesso = 0,50
– Q = probabilidade de fracasso = 0,50

129. FÓRMULAS

130. RESOLUÇÃO

131. RESOLUÇÃO
• (b) a aproximação normal para
distribuição binomial.
Tratando os dados como contínuos, segue
que 3 a 6 caras podem ser consideradas
como 2,5 a 6,5 caras.

132. RESOLUÇÃO

133. GRÁFICO

134. ESTIMATIVA INTERVALAR
A estimativa pontual obtida é igual a 12,4
e a margem de erro 2,1. Qual a estimativa
intervalar?
Represente na reta numérica. Interprete o
resultado.

135. NÍVEL DE CONFIANÇA
O nível de confiança c é a probabilidade
de que o intervalo estimado contenha o
parâmetro populacional.
Pelo teorema do limite central, n>30, a
distribuição de amostragem das médias
amostrais é uma distribuição normal.

136. INTERPRETAÇÃO
INTERPRETAÇÃO:
A média populacional está no intervalo 10,3<μ<14,5

137. EXERCÍCIO
Se c = 90% então 5% da área está à
esquerda de -zc = 1,645 e 5% está à
direita de zc= 1,645.

138. INTERPRETAÇÃO
Os valores críticos são valores que
separam amostras estatísticas que são
prováveis das que são improváveis ou
incomuns.

139. RESOLUÇÃO
Encontre o valor mais próximo de 45%.

140. RESOLUÇÃO
Encontre o valor mais próximo de 45%.
RESULTADO
Zc = 1,645

141. MARGEM DE ERRO
Também chamada de erro máximo da
estimativa ou tolerância é a maior
distância possível entre o ponto de
estimativa e o valor do parâmetro que está
estimado.
Se n>30 o desvio padrão da amostra s
pode ser usado no lugar de σ.

142. EXERCÍCIO
Pesquisadores de mercado usam o
número de frases por anúncio como
medida de legibilidade de anúncios de
revistas. Tomando uma amostra aleatória
do número de frases encontrados em 50
anúncios. Para o nível de confiança de
95%, encontre a margem de erro para a
média do número de frases em todos os
anúncios de revistas. Interprete o
resultado.

143. EXERCÍCIO

144. EXERCÍCIO

145. EXERCÍCIO

146. EXERCÍCIO
Com 95% de confiança, você
pode dizer que a média
populacional do número de
frases está entre 11,0 e 13,8.

147. EXERCÍCIO
Considere o intervalo de confiança de 90%
construído no exemplo anterior.
Se um número grande amostras for coletado e o
intervalo de confiança for criado para cada
amostra, ~90% desses intervalos conterão μ.

148. TAMANHO DA AMOSTRA
Para a mesma amostra estatística, conforme o
nível de confiança aumenta, o intervalo de
confiança fica mais largo. Conforme o intervalo
de confiança fica mais largo, a precisão da
estimativa decresce o nível de confiança é
aumentar o tamanho da amostra.
Mas, qual tamanho de amostra é necessário
para garantir certo nível de confiança para
uma margem de erro dada?

149. TAMANHO DA AMOSTRA
Dado o nível de confiança c e uma margem de
erro E, do tamanho mínimo da amostra n
necessário para estimar a média populacional μ é:
Se for desconhecido, você estimá-lo usando s,
dado que você tenha uma amostra preliminar com
pelo menos 30 elementos.

150. EXERCÍCIO
CONSIDERE O ÚLTIMO EXERCÍCIO
REALIZADO.
Quantos anúncios de revista devem ser
incluídos na amostra se você quer estar
95% confiante de que a média amostral
esteja dentro de uma frase da média
populacional?

151. EXEMPLO
MENCIONA NO EXERCÍCIO
INTERPRETAÇÃO
Quando necessário, arredonde (para cima) para obter um
número inteiro 97 é o número mínimo de anúncios de revista
para serem incluídos na amostra.

152. DISTRIBUIÇÃO t
Nas situações reais o desvio padrão da
população é desconhecido. Limitações, como
tempo e custo, impedem a coleta de amostras
com o tamanho 30 ou mais. Emprega-se nesta
caso, a distribuição t.
DEFINIÇÃO
Se n<30 e a distribuição de uma variável
aleatório x for aproximadamente normal, então a
distribuição t é:

153. DISTRIBUIÇÃO t
• É uma família de curvas determinada pelos
graus de liberdade (g.I).
As caudas na distribuição t
são “mais grossas” do que
aquelas na distribuição
normal padrão.
• Depois de 30 g.I., a distribuição t está muito
próxima à distribuição normal padrão z.

154. DISTRIBUIÇÃO t

155. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
Encontre o valor crítico tc para uma
confiança de 95% quando o tamanho da
amostra é 15.

156. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t

157. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
Pela tabela, tc = 2,145. No gráfico temos a
distribuição t para 14 graus de liberdade,
c = 0,95 e tc = 2,145

158. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
INTERPRETAÇÃO:
95% da área sob a
curva da distribuição t
com 14 graus de
liberdade está entre
t= + 2,145.

159. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
Encontre o valor crítico tc para uma
confiança de 90% quando o tamanho da
amostra é 22.
a) Identifique os graus de liberdade
b) Identifique o nível de confiança c
c) Use a tabela para encontra tc

160. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
a) Identifique os graus de liberdade
90%
n = 22

161. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
g.l. = n – 1 = 22 – 1 = 21

162. DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO
Distribuição:
A estimativa pontual para σ² e s² e a estimativa
pontual σ e s.
Se a variável x tem distribuição normal, então a
distribuição de:

163. HIPÓTESE ESTABELECENDO

164. HIPÓTESE ESTABELECENDO
A Hipótese nula H0 contém uma
afirmação de igualdade, tal como ≤, = ou ≥.
A Hipótese alternativa Ha é o
complemento da hipótese nula. É uma
afirmação que deve ser verdadeira se H0
for falsa e contém uma afirmação de
desigualdade estrita, tal como, >, ≠ e <.

165. HIPÓTESE ESTABELECENDO

166. HIPÓTESE EXEMPLO
Escreva a afirmação como uma sentença
matemática. Afirme as hipóteses nula e
alternativa e identifique qual representa a
afirmação.
– Uma universidade pública alega que a
proporção de seus estudantes que se
graduaram em 4 anos é de 82%.

167. HIPÓTESE RESOLUÇÃO

168. HIPÓTESE EXEMPLO
Escreva a afirmação como uma sentença
matemática. Afirme as hipóteses nula e
alternativa e identifique qual representa a
afirmação.
– Um fabricante de torneiras anuncia que o
índice médio de fluxo de água de certo tipo
de torneira é menor que 11 litros por minuto.

169. HIPÓTESE RESOLUÇÃO

170. HIPÓTESE EXERCÍCIO
Escreva a afirmação
como uma sentença
matemática. Afirme as
hipóteses nula e
alternativa e identifique
qual representa a
afirmação.
– Uma indústria de cereais
anuncia que o peso médio
dos conteúdos de suas
caixas de 0,57 kg de cereal
é mais do que 0,57 kg.

171. TIPOS DE ERRO
Erro tipo I ocorre se a hipótese nula for
rejeitada quando é verdadeira.
Erro tipo II ocorre se a hipótese nula não for
rejeitada quando é falsa.

172. HIPÓTESE EXEMPLO
O limite para contaminação por
salmonela por frango é 20%. Um
inspetor de carnes reporta que o frango
produzido por uma empresa excede o
limite. Você realiza um teste de
hipóteses para determinar se a
afirmação do inspetor de carne é
verdadeira. Quando irá ocorrer um erro
tipo I ou tipo II? Qual é mais sério?

173. HIPÓTESE RESOLUÇÃO
Erro tipo I ocorre se a
proporção real de frango
contaminado for ≤ 0,2, mas H0
foi rejeitada.
Erro tipo II ocorre se a
proporção real de frango
contaminado for > 0,2, mas H0
não foi rejeitada.
O erro do tipo II é mais sério,
pois pode resultar em doenças
ou mortes causadas pelos
frangos contaminados que foram
comprados pelo consumidor.

174. NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
Em um teste de hipótese, o nível de significância é sua
probabilidade máxima permissível para cometer um erro
tipo I. Ele é denotado por α.
Níveis de significância comumente usados:
α = 0,10 α = 0,05 α = 0,01
Embora o controle de um erro do tipo II em testes de
hipóteses não seja comum, ele pode ser feito. A
probabilidade de um erro do tipo II é denotada por β.

175. VALOR P
Se H0 for verdadeira, um valor P (ou valor de
probabilidade) de um teste de hipótese é a
probabilidade de se obter uma estatística
amostral com valores tão extremos ou mais
extremos do que aquela determinada a partir
dos dados da amostra.
Uma maneira de se decidir se rejeitamos a H0 é
determinar se a probabilidade de se obter uma
estatística de teste padronizada é menor que o
nível de significância.

176. TESTE UNICAUDAL À ESQUERDA
EXEMPLO
Se a hipótese alternativa Ha contém o
símbolo menos que (<), o teste de
hipótese será um teste unicaudal à
esquerda.

177. TESTE UNICAUDAL À DIREITA
EXEMPLO
Se a hipótese alternativa Ha contém o
símbolo maior que (>), o teste de
hipótese será um teste unicaudal à
direita.

178. TESTE BICAUDAL
Se a hipótese alternativa Ha contém o
símbolo de não igualdade (≠), o teste de
hipótese será um teste bicaudal. Cada
cauda tem uma área de ½ p.

179. TESTE EXERCÍCIO
Para a afirmação dada estabeleça H0 e Ha.
Determine se o teste de hipótese é unicaudal à
esquerda, à direita ou bicaudal. Descreva uma
distribuição de amostragem normal e sombreie
a área para o valor P.
Uma universidade pública que a proporção de
seus estudantes que se graduaram em 4 anos é
82%.

180. TESTE RESOLUÇÃO

181. TESTE - VALOR P
Para usar um valor P para chegar a uma
conclusão em um teste de hipótese, compare o
valor P com α.
– 1. Se P ≤ α, então rejeito H0.
– 2. Se P > α, então falhe em rejeitar H0.
Falhar em rejeitar a H0 não significa que você
tenha aceitado a hipótese nula como
verdadeira. Diz apenas que não há evidência
suficiente para rejeitar a H0.

182. TESTE EXERCÍCIO
O valor P para o teste de hipótese é P=0,0237. Qual sua
decisão se o nível de significância é α = 0,05 e α = 0,01?
– Como 0,0237 ≤ 0,05, então rejeito H0.
REJEITA H0
– Como 0,0237 > 0,01, então falho ao rejeitar H0.
FALHA EM REJEITA H0
Quanto menor o valor de P, mais evidência há a favor da
rejeição de H0. O valor de P fornece a você o menor nível
de significância para o qual a estatística da amostra
permite que você rejeite a H0.

183. TESTE EXERCÍCIO
Em um anúncio, uma pizzaria afirma que
a média de seu tempo de entrega é menor
que 30 minutos. Uma seleção aleatória de
36 tempos de entrega tem média amostral
de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5
minutos. Há evidência suficiente para
apoiar a firmação em α = 0,01? Use um
valor P.

184. TESTE RESOLUÇÃO
No nível de significância de 1%, há evidência suficiente
para concluir que a média do tempo de entrega é < 30
minutos.

185. TESTE RESOLUÇÃO
Depois de determinar a estatística do
teste padronizada do teste de hipótese e a
área correspondente da estatística do
teste, realize um dos passos a seguir para
encontrar o valor P.

186. TESTE EXERCÍCIO
Em um anúncio, uma pizzaria afirma que
a média de seu tempo de entrega é menor
que 30 minutos. Uma seleção aleatória de
36 tempos de entrega tem média amostral
de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5
minutos. Há evidência suficiente para
apoiar a firmação em α = 0,01? Use um
valor P.

187. TESTE RESOLUÇÃO
No nível de significância de 1%, há evidência suficiente
para concluir que a média do tempo de entrega é < 30
minutos.

188. REGRA DE DECISÃO
DEFINIÇÃO
Para usar um valor P para chegar a uma
conclusão em um teste de hipótese, compare o
valor P com α.
– Se P < α, então rejeitar H0
– Se P > α, então falhe em rejeitar H0

189. EXEMPLO
Em um anúncio, uma pizzaria afirma que
a média de seu tempo de entrega é menor
que 30 minutos. Uma seleção aleatória de
36 tempos de entrega tem média amostral
de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5
minutos. Há evidência suficiente para
apoiar a firmação em α = 0,01?
Use um valor P.

190. RESOLUÇÃO
No nível de significância de 1%, há evidência suficiente para
concluir que a média do tempo de entrega é < 30 minutos.

191. RESOLUÇÃO

192. EXEMPLO
Você acha que a afirmação do
investimento médio da
franquia mostrada no gráfico é
incorreta, então você
seleciona aleatoriamente 30
franquias e determina o
investimento necessário para
cada.
A média amostral de
investimento é $135.000 com
desvio padrão de $30.000. Há
evidência suficiente para
apoiar sua afirmação em α =
0,05. Use um valor P.

193. TESTE DE HIPÓTESE
= 143260
≠ 143260
α = 0,05

194. RESOLUÇÃO

195. RESOLUÇÃO

196. RESOLUÇÃO
RESPOSTA
P é maior “>” que α, logo você falha em
rejeitar à hipótese H0

197. REJEIÇÃO
Uma região de rejeição (ou região
crítica) da distribuição amostral é a
amplitude de valores para a qual a
hipótese nula não é provável. Se uma
estatística de teste está nessa região, a
hipótese nula é rejeitada. Um valor crítico
z0 separa a região de rejeição de não
rejeição.

198. ENCONTRANDO VALORES CRÍTICOS
EM UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

199. EXEMPLO
Encontre o valor crítico e a região de
rejeição para um teste unicaudal à
esquerda com α = 0,01.

200. EXEMPLO
Encontre o valor crítico e a região de
rejeição para um teste bicaudal à
esquerda com α = 0,05.

201. REGRA DE DECISÃO BASEADA
NA REGIÃO DE REJEIÇÃO
Se a estatística padronizada z do teste:
– Estiver na região de rejeição, então rejeite H0.
– Não estiver na região de rejeição, então falhe em
rejeitar H0.

202. EXEMPLO
Funcionários de uma grande firma de
contabilidade afirmam que a média dos
salários dos contadores é menor que a de
seu concorrente, que é $45.000. Uma
amostra aleatória de 30 dos contadores
da firma tem média de salário de $43.500
com desvio padrão de $5.200. Com α =
0,05, teste a afirmação dos funcionários.

203. RESOLUÇÃO

204. RESOLUÇÃO
1,645

205. RESOLUÇÃO

206. RESOLUÇÃO
ÁREA = -1,645
Z = -1,579
No nível de significância de 5%, não há
evidência suficiente para apoiar a
afirmação dos funcionários de que a
média < $45.000.

207. REGIÃO DE REJEIÇÃO
Uma região de rejeição (ou região
crítica) da distribuição amostral é a
amplitude de valores para a qual a
hipótese nula não é provável. Se uma
estatística de teste está nessa região, a
hipótese nula é rejeitada.
Um valor crítico z0 separa a região de
rejeição de não rejeição.

208. VALORES CRÍTICOS DISTRIBUIÇÃO T

209. EXERCÍCIO
Um revendedor de carros usados diz que o
preço médio de um Honda Pilot LX 2005 é de
pelo menos $23.900. Você suspeita que essa
afirmação é incorreta e descobre que uma
amostra aleatória de 14 veículos similares tem
média de preço de $23.000 e desvio padrão de
$1.113. Há evidências suficientes para rejeitar a
afirmação do revendedor em α = 0,05?
Assuma que a população é normalmente
distribuída.

210. DADOS RELEVANTES
Quando a quantidade é menor que n < 30,
utiliza-se a tabela DISTRIBUIÇÃO T.
No caso desse exercício, estamos
trabalhando com uma amostra de 14
VEÍCULOS.

211. RESOLUÇÃO

212. RESPOSTA
No nível de significância de 5%, há
evidência suficiente para rejeitar a
afirmação de que a média é de pelo
menos $23.900.

213. EXERCÍCIO
Uma indústria afirma que a média do nível do
pH do rio mais próximo é 6,8. Você seleciona 19
amostras de água e mede os níveis de pH de
cada uma. A média amostral e o desvio padrão
são de 6,7 e 0,24, respectivamente. Há
evidência suficiente para rejeitar a afirmação da
indústria em α = 0,05?
Assuma que a população é normalmente
distribuída.

214. DADOS:
RESOLUÇÃO
n = 19
σ = 0,24
gl = 18
-1,85

215. TABELA

216. RESOLUÇÃO

217. RESPOSTA
Não há evidências!

218. TESTE DE HIPÓTESE PROPORÇÃO
Um centro de pesquisas declara que
menos de 20% dos usuários de Internet
têm rede sem fio em suas casas. Em uma
amostra aleatória de 100 adultos, 15%
dizem que têm rede sem fio em casa.
Com α = 0,01 há evidências suficientes
para apoiar a declaração do pesquisador?

219. EXEMPLO
Um fabricante de tacos de golfe afirma que os
golfistas podem diminuir seus placares usando
os tacos de golfe recém-projetados para ele.
Oito jogadores de golfe são escolhidos
aleatoriamente e é pedido a cada um que
forneça seu mais recente placar. Após usar os
novos tacos por um mês, é pedido novamente
aos jogadores que forneçam seus placares
recentes. Os placares para cada um estão na
tabela. Assumindo que os placares são
distribuídos normalmente, existe evidência
suficiente para apoiar a afirmação do fabricante
para α = 0,10?

220. DADOS
ATENÇÃO
“diminuir placar” significa:
placar antigo > placar novo
d = (placar antigo) – (placar novo)

221. RESOLUÇÃO

222. RESOLUÇÃO
No nível de significância
de 10%, há evidência
suficiente para apoiar a
afirmação do fabricante
de que os placares foram
menores com os novos
tacos de golfe.

223. EXERCÍCIO DIFERENTE
Um legislador estadual quer determinar se seu
índice de desempenho (0-100) mudou do ano
passado para este. A tabela mostra o índice de
desempenho do legislador para 16 eleitores
selecionados aleatoriamente para o ano
passado e para este. Em α = 0,01, há evidência
suficiente para concluir que o desempenho do
legislador mudou? Assuma que os índices de
desempenho são normalmente distribuídos.

224. EXERCÍCIO

225. RESOLUÇÃO

226. RESOLUÇÃO
No nível de significância de 1% não há
evidência suficiente para concluir que a
classificação de desempenho do
legislador mudou.
t = 1,369
t0 = 2,947