Probabilidade e EstatísticaProf. Dr.Narciso Gonçalves da Silvahttp://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilvaEstatística Descrit...
Distribuição de frequênciaPara obter informações de interesse sobrea característica em estudo, deve-se agruparos dados obt...
Distribuição de frequênciaOs dados abaixo representam as idades (emanos) dos alunos de Estatística de umdeterminado curso ...
Distribuição de frequênciaIdade (xi) Número de alunos (fi)20 121 322 423 724 925 626 427 028 1Total 35fac148152430343435fr...
HistogramaHISTOGRAMA024681020 21 22 23 24 25 26 27 28idadesfreqüência
Distribuição de frequência em classesConsidere o exemplo:As alturas (em metros) de 30 alunos de umasala de aula são os seg...
Para se construir uma distribuição de freqüênciautilizando classes, deve-se determinar:a) Número de classes (k):Utiliza-se...
c) Intervalo de classe (h):h = A/kh deve ser um valor de modo que as classesacomodem todos os dados da amostrad) Limite in...
Distribuição de frequência em classesAlturas (m) fi fac xi1,45 |― 1,49 4 4 1,471,49 |― 1,53 8 12 1,511,53 |― 1,57 4 16 1,5...
Medidas de Tendência CentralMedidas de tendência central são medidasestatísticas, cujos valores estão próximos docentro de...
Média Aritméticaa) Dados brutosA média aritmética de um conjunto de “n” valoresx1, x2, x3, ... ,xn é definida por:nxnxxxxx...
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Média Aritmética (Exemplo)Idade(xi)Número dealunos (fi)xi.fi20 1 2021 3 6322 4 8823 7 16124 9 21625 6 15026 4 10427 0 028 ...
Média Aritmética (Exemplo)Alturas (m) fi xi xi.fi1,45 |― 1,49 4 1,47 5,881,49 |― 1,53 8 1,51 12,081,53 |― 1,57 4 1,55 6,20...
Média Geométricaa) Dados brutosA média aritmética de um conjunto de “n” valoresx1, x2, x3, ... ,xn é definida por:nnxxxx ....
Média Geométricab) Dados agrupadosSe x1, x2, x3,...,xk ocorrem com as freqüências f1,f2, f3, ... ,fk ,respectivamente, a m...
Média Geométrica (Exemplo)Idade(xi)Número dealunos (fi)20 121 322 423 724 925 626 427 028 1Total 353509,4810Mg =Mg = 23,7 ...
Média Geométrica (Exemplo)Alturas (m) fi xi fi.log xi1,45 |― 1,49 4 1,47 0,671,49 |― 1,53 8 1,51 1,431,53 |― 1,57 4 1,55 0...
Média Harmônicaa) Dados brutosA média harmônica de um conjunto de “n” valoresx1, x2, x3, ... ,xn é definida por:nhx++x+x+x...
Média Harmônicab) Dados agrupadosSe x1, x2, x3,...,xk ocorrem com as freqüências f1,f2, f3, ... ,fk ,respectivamente, a mé...
Média Harmônica (Exemplo)Alturas (m) fi xi fi/xi1,45 |― 1,49 4 1,47 2,721,49 |― 1,53 8 1,51 5,301,53 |― 1,57 4 1,55 2,581,...
Medianaa) Dados brutosA mediana Me de um conjunto de “n” valoresordenado x1, x2, x3,...,xn é representada pelovalor centra...
Medianaa) Dados agrupados em intervalos de classesUtiliza-se a expressão:hffPLMeMacie . 2nP Onde: é a posição ...
MedianaExemplo 1:Determine a mediana da distribuição abaixo.Idade(xi)Número dealunos (fi)fac20 1 121 3 422 4 823 7 1524 9 ...
MedianaExemplo 2:Determine a mediana da distribuição abaixo.Alturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,5...
Modaa) Dados brutosA moda Mo de um conjunto de “n” valores x1,x2, x3,...,xn é o número desse conjunto quepossuir a maior r...
Modaa) Dados agrupados em intervalos de classesFórmula de Czuber: hLM io .211iL12hOnde:é o limite inferior...
ModaExemplo 1:Determine a moda da distribuição abaixo.Idade(xi)Número dealunos (fi)20 121 322 423 724 925 626 427 028 1Tot...
ModaExemplo 2:Determine a moda da distribuição abaixo.k Alturas (m) fi fac1 1,45 |― 1,49 4 42 1,49 |― 1,53 8 123 1,53 |― 1...
Medidas de DispersãoAs medidas de tendência central, por si só, nãosão suficientes para caracterizar duasdistribuições est...
Medidas de DispersãoPara avaliar quantitativamente o grau devariabilidade ou dispersão dos valores de umconjunto de número...
Amplitude TotalDia AmplitudeEmpregado1° 2° 3° 4° 5°MédiatotalA 82 70 65 60 73 70 82 – 60 = 22B 60 78 68 62 82 70 82 – 60 =...
Desvio Médio (d)O desvio médio de um conjunto de “n” valoresx1, x2, x3, ... , xn é dada pela expressão:nxx∑n=ii1-d =Para d...
Variância Amostral (s2)1-)-(12nxx∑n=iiA variância de um conjunto de “n” valores x1, x2,x3, ... , xn é a média aritmética d...
Desvio-padrão (s)Desvio-padrão é a raiz quadrada da variância,ou seja:1-)-(12nxx∑n=iis =1-.)-(12nfxx∑k=iiis =para dados br...
Desvio-padrão (s)s = 31 2 3 4 5 6 7s = 1,01 2 3 4 5 6 7s = 0,81 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7s = 076543210O desvio-padrão cresc...
Coeficiente de Variação (CV)Coeficiente de variação é a razão entre odesvio-padrão e a média aritmética, emporcentagem, ou...
Exemplo 1Idade(xi)Númerodealunos(fi)20 1 13,721 3 21,922 4 11,623 7 3,524 9 0,825 6 10,126 4 21,227 0 028 1 18,5Total 35 1...
Exemplo 2Alturas (m) fi xi1,45 |― 1,49 4 1,47 0,03241,49 |― 1,53 8 1,51 0,02001,53 |― 1,57 4 1,55 0,00041,57 |― 1,61 5 1,5...
Medidas de Posição ou SeparatrizesSão medidas que dividem um conjunto devalores em um certo número de partes iguais. Amedi...
QuartisO quartil divide um conjunto de valores ordenado emquatro partes iguais. O primeiro quartil (Q1) é o valorque antec...
QuartisIdade(xi)Número dealunos (fi)fac20 1 121 3 422 4 823 7 1524 9 2425 6 3026 4 3427 0 3428 1 35Total 354.ni=PiExemplo:...
DecisO decil divide um conjunto de valoresordenados em dez partes iguais e sãorepresentados por D1, D2, ... , D9. O 5º dec...
Centis ou PercentisO centil divide um conjunto de valoresordenados em 100 partes iguais e sãorepresentados por C1, C2, ......
ExemploAlturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,57 4 161,57 |― 1,61 5 211,61 |― 1,65 4 251,65 |― 1,69 ...
ExemploAlturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,57 4 161,57 |― 1,61 5 211,61 |― 1,65 4 251,65 |― 1,69 ...
ExemploAlturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,57 4 161,57 |― 1,61 5 211,61 |― 1,65 4 251,65 |― 1,69 ...
Medidas de AssimetriaAs medidas de assimetria procuramcaracterizar o quanto o histograma de umadistribuição de freqüência ...
Coeficiente de Assimetria de Pearson (A)sMx=A o-AAO grau de assimetria de uma distribuição defrequência pode ser avaliada ...
Medidas de CurtoseAs medidas de curtose caracterizam umadistribuição simétrica ou aproximadamentesimétrica quanto ao seu a...
Coeficiente Percentílico de Curtose (C))-(2-10902575CCCC=CO grau de achatamento com relação adistribuição normal de uma di...
ExemploAlturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,57 4 161,57 |― 1,61 5 211,61 |― 1,65 4 251,65 |― 1,69 ...
ExemploAlturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,57 4 161,57 |― 1,61 5 211,61 |― 1,65 4 251,65 |― 1,69 ...
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Estatistica descritiva

  1. 1. Probabilidade e EstatísticaProf. Dr.Narciso Gonçalves da Silvahttp://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilvaEstatística Descritiva
  2. 2. Distribuição de frequênciaPara obter informações de interesse sobrea característica em estudo, deve-se agruparos dados obtidos em uma distribuição defrequência, onde os valores observadosnão mais aparecerão individualmente.
  3. 3. Distribuição de frequênciaOs dados abaixo representam as idades (emanos) dos alunos de Estatística de umdeterminado curso da UTFPR de Curitiba doano de 2010.20 21 21 21 22 22 2222 23 23 23 23 23 2323 24 24 24 24 24 2424 24 24 25 25 25 2525 25 26 26 26 26 28‘RolCrescente
  4. 4. Distribuição de frequênciaIdade (xi) Número de alunos (fi)20 121 322 423 724 925 626 427 028 1Total 35fac148152430343435fr1/353/354/357/359/356/354/350/351/351
  5. 5. HistogramaHISTOGRAMA024681020 21 22 23 24 25 26 27 28idadesfreqüência
  6. 6. Distribuição de frequência em classesConsidere o exemplo:As alturas (em metros) de 30 alunos de umasala de aula são os seguintes:1,50 1,53 1,68 1,51 1,63 1,651,54 1,55 1,65 1,56 1,57 1,501,60 1,48 1,61 1,52 1,63 1,471,52 1,50 1,52 1,46 1,45 1,661,65 1,59 1,51 1,58 1,62 1,60Chama-se classe o intervalo considerado paraas alturas.
  7. 7. Para se construir uma distribuição de freqüênciautilizando classes, deve-se determinar:a) Número de classes (k):Utiliza-se a Fórmula de Sturges:k = 1 + 3,32.log nonde: n = é o número de dadose k deve ser um número inteiro positivob) Amplitude total dos dados (A):A = Xmax – Xmin, onde Xmax é o valor máximoda amostra e Xmin é o valor mínimo da amostraDistribuição de frequência em classes
  8. 8. c) Intervalo de classe (h):h = A/kh deve ser um valor de modo que as classesacomodem todos os dados da amostrad) Limite inferior (Li) e Limite superior (Ls) daclasse:Li é o menor valor dos dados da amostraLs = Li + hDistribuição de frequência em classes
  9. 9. Distribuição de frequência em classesAlturas (m) fi fac xi1,45 |― 1,49 4 4 1,471,49 |― 1,53 8 12 1,511,53 |― 1,57 4 16 1,551,57 |― 1,61 5 21 1,591,61 |― 1,65 4 25 1,631,65 |― 1,69 5 30 1,67Total 30
  10. 10. Medidas de Tendência CentralMedidas de tendência central são medidasestatísticas, cujos valores estão próximos docentro de um conjunto de dados dispostosordenadamente em rol crescente ou decrescente.As mais conhecidas são:• Média aritmética• Média geométrica• Média harmônica• Mediana• ModaConceitos
  11. 11. Média Aritméticaa) Dados brutosA média aritmética de um conjunto de “n” valoresx1, x2, x3, ... ,xn é definida por:nxnxxxxxniin 1321 ...Exemplo:As idades (em anos) de 5 jogadores de futebol são: 18, 16,15, 17, 17A média aritmética das idades destes jogadores é:6,165171715161854321nxxxxxx anosMedidasdeTendênciaCentral
  12. 12. Média Aritméticab) Dados agrupadosSe x1, x2, x3,...,xk ocorrem com as freqüências f1,f2, f3, ... ,fk ,respectivamente, a média aritmética édada por:nfxnfxfxfxfxxkiiikk 1332211........Caso os dados sejam distribuídos em classes,os valores x1, x2, x3,...,xk correspondem aospontos médios das “k” classes, ou seja:2siiLLxMedidasdeTendênciaCentral
  13. 13. Média Aritmética (Exemplo)Idade(xi)Número dealunos (fi)xi.fi20 1 2021 3 6322 4 8823 7 16124 9 21625 6 15026 4 10427 0 028 1 28Total 35 830...714,2335830==xanosx 7,23~MedidasdeTendênciaCentral
  14. 14. Média Aritmética (Exemplo)Alturas (m) fi xi xi.fi1,45 |― 1,49 4 1,47 5,881,49 |― 1,53 8 1,51 12,081,53 |― 1,57 4 1,55 6,201,57 |― 1,61 5 1,59 7,951,61 |― 1,65 4 1,63 6,521,65 |― 1,69 5 1,67 8,35Total 30 46,98metros==x 57,1~...5666,13098,46MedidasdeTendênciaCentral
  15. 15. Média Geométricaa) Dados brutosA média aritmética de um conjunto de “n” valoresx1, x2, x3, ... ,xn é definida por:nnxxxx .... 321  nxnii1log10Mg = =Exemplo:A média geométrica das idades dos 5 jogadores de futeboldo exemplo citado anteriormente é:6,1617.17.15.16.185Mg = anosMedidasdeTendênciaCentral
  16. 16. Média Geométricab) Dados agrupadosSe x1, x2, x3,...,xk ocorrem com as freqüências f1,f2, f3, ... ,fk ,respectivamente, a média geométrica édada por:n fkfff kxxxx .... 321321 Mg = nxfkiii1log.10=MedidasdeTendênciaCentral
  17. 17. Média Geométrica (Exemplo)Idade(xi)Número dealunos (fi)20 121 322 423 724 925 626 427 028 1Total 353509,4810Mg =Mg = 23,7 anosfi.log xi1,303,975,379,5312,428,395,6601,4548,09MedidasdeTendênciaCentral
  18. 18. Média Geométrica (Exemplo)Alturas (m) fi xi fi.log xi1,45 |― 1,49 4 1,47 0,671,49 |― 1,53 8 1,51 1,431,53 |― 1,57 4 1,55 0,761,57 |― 1,61 5 1,59 1,011,61 |― 1,65 4 1,63 0,851,65 |― 1,69 5 1,67 1,11Total 30 5,83Mg = 56,11010 3083,5log.1==∑nxfk=iiimetrosMedidasdeTendênciaCentral
  19. 19. Média Harmônicaa) Dados brutosA média harmônica de um conjunto de “n” valoresx1, x2, x3, ... ,xn é definida por:nhx++x+x+xn=M1...111321Exemplo:A média harmônica das idades dos 5 jogadores de futeboldo exemplo anterior é:MedidasdeTendênciaCentral54,161711711511611815=++++=Mh anos
  20. 20. Média Harmônicab) Dados agrupadosSe x1, x2, x3,...,xk ocorrem com as freqüências f1,f2, f3, ... ,fk ,respectivamente, a média aritmética édada por:Caso os dados sejam distribuídos em classes,os valores x1, x2, x3,...,xk correspondem aospontos médios das “k” classes.MedidasdeTendênciaCentralnkk=iihxf++xf+xf+xff=M∑...3322111
  21. 21. Média Harmônica (Exemplo)Alturas (m) fi xi fi/xi1,45 |― 1,49 4 1,47 2,721,49 |― 1,53 8 1,51 5,301,53 |― 1,57 4 1,55 2,581,57 |― 1,61 5 1,59 3,141,61 |― 1,65 4 1,63 2,451,65 |― 1,69 5 1,67 2,99Total 30 19,18MedidasdeTendênciaCentral56,118,1930...3322111==xf++xf+xf+xff=Mnkk=iih∑m
  22. 22. Medianaa) Dados brutosA mediana Me de um conjunto de “n” valoresordenado x1, x2, x3,...,xn é representada pelovalor central do conjunto para “n” ímpar e pelamédia aritmética dos dois valores centrais para“n” par.Exemplos:a) 3, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12Como n = 9, então, Me = 7b) 3, 3, 4, 5, 7, 7, 9, 10Como n = 8, então, Me = 6275MedidasdeTendênciaCentral
  23. 23. Medianaa) Dados agrupados em intervalos de classesUtiliza-se a expressão:hffPLMeMacie . 2nP Onde: é a posição da classe medianaiLacf eMfhé o limite inferior da classe medianaé a frequência acumulada da classeanterior à classe medianaé frequência da classe medianaé intervalo da classe medianaMedidasdeTendênciaCentral
  24. 24. MedianaExemplo 1:Determine a mediana da distribuição abaixo.Idade(xi)Número dealunos (fi)fac20 1 121 3 422 4 823 7 1524 9 2425 6 3026 4 3427 0 3428 1 35Total 35Posição da mediana:altura==P a5,17235Me = 24 anosComo n é ímpar, amediana é a 18ª idadeMedidasdeTendênciaCentral
  25. 25. MedianaExemplo 2:Determine a mediana da distribuição abaixo.Alturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,57 4 161,57 |― 1,61 5 211,61 |― 1,65 4 251,65 |― 1,69 5 30Total 30Posição da mediana:hffP+L=MeMacie ).-(altura==P a1523004,0).412-15(53,1 +=MeMe = 1,56 metrosCálculo da mediana:MedidasdeTendênciaCentral
  26. 26. Modaa) Dados brutosA moda Mo de um conjunto de “n” valores x1,x2, x3,...,xn é o número desse conjunto quepossuir a maior repetição. Se o conjunto nãotiver valores repetidos não existirá moda(amodal) e se dois valores estiveremigualmente repetidos, tem-se então duasmodas e o conjunto será dito bimodal.A moda é o valor ao qual está associado afreqüência mais alta.MedidasdeTendênciaCentral
  27. 27. Modaa) Dados agrupados em intervalos de classesFórmula de Czuber: hLM io .211iL12hOnde:é o limite inferior da classe modal. Chama-se classemodal à classe de maior freqüência absolutaé a diferença entre a freqüência da classe modal ea freqüência da classe imediatamente anterioré a diferença entre a freqüência da classe modal e afreqüência da classe imediatamente posterioré o intervalo da classe modal.MedidasdeTendênciaCentral
  28. 28. ModaExemplo 1:Determine a moda da distribuição abaixo.Idade(xi)Número dealunos (fi)20 121 322 423 724 925 626 427 028 1Total 35Moda é a idade que maisse repete, ou seja, a quetem maior frequência.Logo, Mo = 24 anos.MedidasdeTendênciaCentral
  29. 29. ModaExemplo 2:Determine a moda da distribuição abaixo.k Alturas (m) fi fac1 1,45 |― 1,49 4 42 1,49 |― 1,53 8 123 1,53 |― 1,57 4 164 1,57 |― 1,61 5 215 1,61 |― 1,65 4 256 1,65 |― 1,69 5 30Total 30Classe modal: 2ªhΔ+ΔΔ+L=M io ).(21104,0).444(49,1++=MoMo = 1,51 metrosCálculo da moda:MedidasdeTendênciaCentral
  30. 30. Medidas de DispersãoAs medidas de tendência central, por si só, nãosão suficientes para caracterizar duasdistribuições estatísticas.Exemplo:Dois candidatos à emprego fizeram 5 provas evamos comparar seus rendimentos com base namedia aritmética.Candidato A: 70, 71, 69, 70, 70 Média = 70Candidato B: 40, 80, 98, 62, 70 Média = 70Com base somente na média aritmética diríamosque os dois candidatos apresentaram o mesmorendimento. Porém, como podemos observar ocandidato A apresentou notas mais uniformes.Conceitos
  31. 31. Medidas de DispersãoPara avaliar quantitativamente o grau devariabilidade ou dispersão dos valores de umconjunto de números em torno do valor médio,utiliza-se ferramentas estatísticas denominadasmedidas de dispersão.As principais medidas são:• Amplitude total• Desvio médio• Variância• Desvio-padrão• Coeficiente de variaçãoConceitos
  32. 32. Amplitude TotalDia AmplitudeEmpregado1° 2° 3° 4° 5°MédiatotalA 82 70 65 60 73 70 82 – 60 = 22B 60 78 68 62 82 70 82 – 60 = 22C 53 72 75 75 75 70 75 – 53 = 22Exemplo:A tabela abaixo apresenta o rendimento diário (em %) detrês empregados:Amplitude total é a diferença entre o maior e omenor valor dos dados.Muitas vezes a amplitude total não é a medida dedispersão mais adequada para avaliar a dispersão, comomostrou o exemplo anterior.MedidasdeDispersão
  33. 33. Desvio Médio (d)O desvio médio de um conjunto de “n” valoresx1, x2, x3, ... , xn é dada pela expressão:nxx∑n=ii1-d =Para dados agrupados:nxxf∑k=iii1-d =Esta medida de dispersão considera todos osvalores do conjunto de dados.MedidasdeDispersão
  34. 34. Variância Amostral (s2)1-)-(12nxx∑n=iiA variância de um conjunto de “n” valores x1, x2,x3, ... , xn é a média aritmética dos quadradosdo desvio médio de cada valor se estes dadossão de uma população.s2 =1-.)-(12nfxx∑k=iiiPara dados agrupados: s2 =MedidasdeDispersãoSe os dados são de uma amostra, a variância édada pela expressão:
  35. 35. Desvio-padrão (s)Desvio-padrão é a raiz quadrada da variância,ou seja:1-)-(12nxx∑n=iis =1-.)-(12nfxx∑k=iiis =para dados brutospara dados agrupadosMedidasdeDispersão
  36. 36. Desvio-padrão (s)s = 31 2 3 4 5 6 7s = 1,01 2 3 4 5 6 7s = 0,81 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7s = 076543210O desvio-padrão cresce quando a dispersão dos dados aumentaMedidasdeDispersão
  37. 37. Coeficiente de Variação (CV)Coeficiente de variação é a razão entre odesvio-padrão e a média aritmética, emporcentagem, ou seja:100.xscv =MedidasdeDispersão
  38. 38. Exemplo 1Idade(xi)Númerodealunos(fi)20 1 13,721 3 21,922 4 11,623 7 3,524 9 0,825 6 10,126 4 21,227 0 028 1 18,5Total 35 101,3ii fxx .)-( 21-.)-(12nfxx∑k=iiis =1-353,101s =s = 1,7 anos100.xscv =%2,7100.7,237,1=cv =MedidasdeDispersão
  39. 39. Exemplo 2Alturas (m) fi xi1,45 |― 1,49 4 1,47 0,03241,49 |― 1,53 8 1,51 0,02001,53 |― 1,57 4 1,55 0,00041,57 |― 1,61 5 1,59 0,00451,61 |― 1,65 4 1,63 0,01961,65 |― 1,69 5 1,67 0,0605Total 30 0,1374ii fxx .)-( 207,0291374,01-.)-(12==nfxx∑k=iii%46,4100.57,107,0100. ==xscv =s = metrosMedidasdeDispersão
  40. 40. Medidas de Posição ou SeparatrizesSão medidas que dividem um conjunto devalores em um certo número de partes iguais. Amediana, por exemplo, divide um conjunto dedados em duas partes iguais.ConceitosAs outras principais medidas de posição são:• Quartis• Decis• Centis ou Percentis
  41. 41. QuartisO quartil divide um conjunto de valores ordenado emquatro partes iguais. O primeiro quartil (Q1) é o valorque antecede 25% da freqüência abaixo dele esucede 75%, segundo quartil (Q2) é igual ao valor damediana e terceiro quartil (Q3) é o valor que antecede75% da freqüência abaixo dele e sucede 25%.A expressão para cálculo do quartil “i” é a mesma damediana:hffP+L=QIQaciii ).-(4.ni=PiOnde a posição do quartil “i” é dada por:MedidasdePosiçãocom i = 1, 2, 3
  42. 42. QuartisIdade(xi)Número dealunos (fi)fac20 1 121 3 422 4 823 7 1524 9 2425 6 3026 4 3427 0 3428 1 35Total 354.ni=PiExemplo:Determine o 3º quartil das idades dos 35 alunos:Posição do Q3:25,26435.33 ==PEntre a 26ª e a 27ª idadeLogo, Q3 = 25 anosMedidasdePosição
  43. 43. DecisO decil divide um conjunto de valoresordenados em dez partes iguais e sãorepresentados por D1, D2, ... , D9. O 5º decil é amediana.A expressão para calcular o decil “i” é:hffP+L=DIDaciii ).-(10.ni=PiOnde a posição do decil “i” é dada por:MedidasdePosiçãocom i = 1, 2, ... , 9
  44. 44. Centis ou PercentisO centil divide um conjunto de valoresordenados em 100 partes iguais e sãorepresentados por C1, C2, ... ,C99. O 50º centil éa mediana e o 25º e 75º centis correspondemao 1º e ao 3º quartis, respectivamente.A expressão para calcular o centil “i” é:hffP+L=CICaciii ).-(100.ni=PiOnde a posição do centil “i” é dada por:MedidasdePosiçãocom i = 1, 2, 3, ... , 99
  45. 45. ExemploAlturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,57 4 161,57 |― 1,61 5 211,61 |― 1,65 4 251,65 |― 1,69 5 30Total 30No exemplo das alturas dos 30 alunos determine o 3ºquartil, 6º decil e 20º centil.Posição do 3º quartil:hffP+L=QIQaciii ).-(a==P 5,22430.3304,0).412-5,22(61,13 +=QQ3 = 1,63 metrosCálculo do 3º quartil:MedidasdePosiçãoInterpretação: 75% dos alunos têmaltura menor ou igual a 1,63 m e 25%das alturas são superiores a 1,63 m
  46. 46. ExemploAlturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,57 4 161,57 |― 1,61 5 211,61 |― 1,65 4 251,65 |― 1,69 5 30Total 30Posição do 6º decil:hffP+L=DIDaciii ).-(a==P 181030.6604,0).561-81(57,16 +=DD6 = 1,59 metrosCálculo do 6º decil:alturaMedidasdePosição
  47. 47. ExemploAlturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,57 4 161,57 |― 1,61 5 211,61 |― 1,65 4 251,65 |― 1,69 5 30Total 30Posição do 20º centil:hffP+L=CICaciii ).-(a==P 610030.202004,0).84-6(49,120 +=CC20 = 1,50 metrosCálculo do 20º centil:alturaMedidasdePosição
  48. 48. Medidas de AssimetriaAs medidas de assimetria procuramcaracterizar o quanto o histograma de umadistribuição de freqüência se afasta dacondição de simetria em relação à uma medidade tendência central.02468101 2 3 4 5 6 7 8 902468101 2 3 4 5 6 7 8 9Distribuição assimétricapositivaDistribuição assimétricanegativaConceitos
  49. 49. Coeficiente de Assimetria de Pearson (A)sMx=A o-AAO grau de assimetria de uma distribuição defrequência pode ser avaliada utilizando ocoeficiente de Pearson:• < 0,15 : distribuição praticamente simétricaA• 0,15 < < 1 : distribuição assimétrica moderada• > 1 : distribuição fortemente assimétricaMedidasdeAssimetria
  50. 50. Medidas de CurtoseAs medidas de curtose caracterizam umadistribuição simétrica ou aproximadamentesimétrica quanto ao seu achatamento, tomandocomo referência uma distribuição normal, queserá objeto de estudo mais adiante.01234561 2 3 4 5 6 7 8 90246810121416181 2 3 4 5 6 7 8 90246810121416181 2 3 4 5 6 7 8 9Mesocúrtica(normal)Platicúrtica LeptocúrticaConceitos
  51. 51. Coeficiente Percentílico de Curtose (C))-(2-10902575CCCC=CO grau de achatamento com relação adistribuição normal de uma distribuição defrequência pode ser avaliado através docoeficiente percentílico:• Se C = 0,263: distribuição é mesocúrtica (normal)• Se C < 0,263: distribuição leptocúrtica (alongada)• Se C > 0,263: distribuição platicúrtica (achatada)Onde C10, C25, C75 e C90 são os 10º, 25º, 75º e90º centis (ou percentis)MedidasdeCurtose
  52. 52. ExemploAlturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,57 4 161,57 |― 1,61 5 211,61 |― 1,65 4 251,65 |― 1,69 5 30Total 30Classifique a distribuição abaixo quanto a assimetria ecurtose07,051,1-1,57=AsMx=A o-86,0=ADistribuição comassimetria moderadaMedidasdeAssimetriaeCurtose
  53. 53. ExemploAlturas (m) fi fac1,45 |― 1,49 4 41,49 |― 1,53 8 121,53 |― 1,57 4 161,57 |― 1,61 5 211,61 |― 1,65 4 251,65 |― 1,69 5 30Total 30Logo, a distribuição éplaticúrtica48,104,0).40-3(45,110 =+=C51,104,0).84-7,5(49,125 =+=C63,104,0).421-22,5(61,175 =+=C263,0316,0)48,1-67,1.(21,51-1,63>==C67,104,0).525-27(65,190 =+=CMedidasdeAssimetriaeCurtose

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