Análise combinatória

1. Matemática
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Professor Dudan

2. Análise Combinatória

3. Permutação Simples
É caracterizada por envolver todos os elementos , nunca deixando
nenhum de fora.Muito comum em questões que envolvem anagramas
de palavras.
Fórmula: Pn = n!
Dica: A PERMUTAÇÃO embaralha TUDO!
Análise Combinatória

4. Exemplo Resolvido
Quantos anagramas possui a palavra AMOR.
Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer
permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras.
Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a
segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para
a quarta posição.
Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24
possibilidades ou 24 anagramas.
Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = 4.3.2.1= 24 anagramas.
Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .
Análise Combinatória

5. Exemplo
Quantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas?
Análise Combinatória

6. Exemplo
Quantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas e
nessa ordem?
Análise Combinatória

7. E se houver elementos repetidos?
Assim temos a Permutação com Repetição na qual deveremos
“descontar “ os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois
elementos repetidos não evidencia uma nova estrutura.
Análise Combinatória

8. Exemplo
Calcule a quantidade de anagramas da palavra BANANA.
Análise Combinatória

9. Arranjo
É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo) onde a ordem FAZ
diferença.
Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones,
placas de carro, competições, disputas, onde houver hierarquia.
Fórmula:
Dica: O ARRANJO ordena !
Dica: pode ser resolvido usando o P. F da Contagem
Análise Combinatória

10. Exemplo
Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as
tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se
classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: primeiro lugar,
Brasil; segundo lugar, Nigéria; terceiro lugar, Holanda).
Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas
diferentes poderiam existir?
(A) 69
(B) 2024
(C) 9562
(D) 12144
(E) 13824
Análise Combinatória

11. Combinação
É uma seleção (até pode usar todos ao mesmo tempo) onde a ordem
NÃO faz diferença.
Muito comum em questões de criação de grupos, comissões,
agrupamentos onde não há distinção pela ordem dos elementos
escolhidos.
Fórmula:
Dica: A COMBINAÇÃO agrupa !
Análise Combinatória

12. Exemplo Resolvido
Uma prova consta de 5 questões das quais o aluno deve resolver 2. De
quantas formas ele poderá escolher essas questões?
Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo,
podemos concluir que se trata de um problema de combinação.
Aplicando a fórmula chegaremos a:
C5,2 = 5! / [(5-2)! . 2!] = 5! / (3! . 2!) = 5.4.3.2.1. / 3.2.1.2! = 20/2 = 10
E não tem um atalho?
Análise Combinatória

13. Método Prático
Esse método agilizará a resolução das questões.
Para isso basta usar a regra: rebobinar o “n” até o total de “p” itens e
divide pelo “p” fatorial.
Exemplos: C5, 2 =
C10, 4 =
C8, 1 =
C7, 5 =
Análise Combinatória

14. Exemplo
Uma lanchonete dispõe de seis frutas tropicais diferentes para a
venda de sucos. No cardápio é possível escolher sucos com três
ou quatro frutas misturadas. O número máximo de sucos
distintos que essa lanchonete poderá vender é de:
(A) 720
(B) 70
(C) 150
(D) 300
(E) 35
Análise Combinatória

15. ANÁLISE
COMBINATÓRIA

16. COMO A
FEPESE
COBRA ISSO?

17. Uma mulher deve escolher um par de sapatos, uma saia e uma blusa dentre
os 7 pares de sapato,13 saias e 12 blusas que dispõe em seu armário.
Quantas escolhas diferentes ela tem?
a) 628
b) 848
c) 1092
d) 1128
e) 1426
CELESC- 2013

18. Em um colégio os alunos irão eleger o diretor, vice-diretor e tesoureiro entre
os 20 professores do colégio. De quantas maneiras esta escolha pode ser
feita?
a) 6980
b) 6840
c) 6720
d) 6660
e) 6220
CELESC - 2016

19. Um pintor dispõe de tinta em 7 cores diferentes para pintar 3 paredes.
Sabendo-se que cada parede deve ser pintada de uma única cor e as 3
paredes devem ser pintadas de cores diferentes, de quantas maneiras
diferentes o pintor pode pintar as paredes?
a. 180
b. 200
c. 210
d. 220
e.240
CAU - 2013

20. Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 5 vagões
distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à
frente e que o vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente
após a locomotiva, o número de maneiras diferentes de montar a
composição é:
a) 24
b) 96
c) 120
d) 360
e) 720
FATMA- 2012

21. Um restaurante oferece 20 tipos de pizza, 10 tipos de salada e 5 tipos de
sobremesa.Considere que uma pessoa pretende se servir de:
- 1 tipo de pizza
- 1 tipo de salada
- 2 tipos de sobremesa
Quantas opções tem essa pessoa?
a) 1000
b) 1200
c) 2400
d) 3600
e) 4800
UDESC - 2010

22. De quantas maneiras podemos colocar seis pessoas em fila. Sabendo se que
duas pessoas se recusam a ficar juntas.
a. 120
b. 280
c. 480
d. 560
e. 720
CASAN- 2011

23. Em uma empresa, 7 funcionários disputam os cargos de presidente, vice-
presidente e tesoureiro.
De quantos modos os cargos podem ser preenchidos?
a) 120
b) 186
c) 210
d) 294
e) 343
CELESC - 2013

24. Em um edifício residencial, os moradores foram convocados para uma
reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do
conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá
ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será
possível fazer estas escolhas?
a. 64
b. 126
c. 252
d. 640
e. 1260
TRT/SC - 2014

25. Pretende-se distribuir 8 canetas azuis, 10 vermelhas e 14 pretas entre dois
atendentes de uma empresa. Cada atendente deve receber no mínimo 3
canetas de cada cor.
De quanta maneiras diferentes pode ser feita a distribuição (note que a
distinção entre as canetas é feita somente pela sua cor)?
a) 135
b) 153
c) 247
d) 315
e) 351
CELESC - 2013

26. Em uma empresa com 14 funcionários, 4 serão escolhidos para realizar uma
viagem de trabalho.De quantas maneiras esta escolha pode ser feita?
a. 999
b. 1001
c. 1009
d. 1011
e. 1013
CAU - 2013

27. GABARITOS
Questões FEPESE : C-B-C-B-*-C-C-E-A-B