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Formulário Estatística - 2013
Estatística Descritiva Univariada
Tabelas de Frequência
frequência
absoluta

Xi

ni

frequência
relativa

fi

frequência
absoluta
acumulada

frequência
relativa
acumulada

Ni

Fi

1

…….

…….

…….

…….

….
n

…….
…….
Σ

…….
…….
Σ

…….
…….

…….
…….

Divisão da amostra em classes (variáveis contínuas)
Regra de Sturges: k = 1 + 3,32 x log n

max - min
ai = amplitude das classes =
k

4

k = inteiro

Média

n

X =

Média
(população)

Quartis
3º quartil = Q 3

Medidas de Localização
Média
(amostra)

Quantis empíricos
percentis → 100
duo-deciles → 12
decis → 10
quintis → 5
quartis → 4
tercis → 3

∑X
i =1

Q3 ⇒ n x
4

Q3 ⇒ n x

k = não inteiro
(decimal)

i

n

4

µ=

Média

X =

(observações repetidas)

k = 3,5 ⇒ X 3,5+1 = X 4

∑X
i =1

2º quartil = Q2 = mediana

i

4

N

1º quartil = Q1

∑n X
i =1

i

4

i

n

k = inteiro

Q3 ⇒ n x

k

Média

X =

∑n C
i =1

i

i

n
Ci = ponto médio
da classe i

Mediana

Depois de ordenada a amostra
n = par
n = impar

Med =

Xn + Xn
2

2
Med = X n +1

2

+1

k = não inteiro
(decimal)

4

X + X k +1
1
=k ⇒ k
4
2

Q3 ⇒ n x
4

1
= k ⇒ X k +1
4

k = 3,5 ⇒ X 3,5+1 = X 4

Percentis

 X k + X k +1


2
Percentis 
X
 k +1


np
é inteiro
100
np
é décimal
⇒ k=
100
⇒ k=

Para variáveis ordinais:

2

Moda

3
= k ⇒ X k +1
4

N

k

(observações
agrupadas em k
classes)

X + X k +1
3
=k ⇒ k
4
2

Depois de ordenada a amostra, é a observação que
aparece mais vezes repetida


X
 k
Percentis 
X
 k +1


np
é inteiro
100
np
é décimal
⇒ k=
100

⇒ k=

Q1=P25 ; Q2=P50=mediana ; Q3=P75
© 2013, Pedro Casquilho

1
Medidas de Dispersão

Outliers (valores atípicos ou anormais)
Limite
X i < Q1 − 1,5 x AIQ

Amplitudes
Amplitude
(total)
Amplitude
Interquartílica

A = Max − Min

AIQ =

4
xσ
3

Amostra

∑ (X

S2 =

i =1

2

Assimetria (Skewness)

n −1

N

População

σ =

∑ ( y − µ)
i =1

N

k

Para observações
repetidas

∑ n .(X

S2 =

i

i =1

−X)

S2 =

G1 ≈ 0 → distribuição simétrica

∑ (C − X )

2

i =1

variância
n

∑ (X

S=

σ=

Coeficiente de Achatamento G2

G2 ≈ 0 → distribuição mesocúrtica

i

G2 > 0 → distribuição leptocúrtica

−X)

n −1

∑(y
i =1

Achatamento ou Curtose (Kurtosis)

2

N

População

G1 < 0 → distribuição assimétrica negativa


(n − 1)2 
n 2 .(n + 1)
M  
x ' 44  − 3 x
G2 = 

.
.
.
 (n − 1)(n − 2 )(n − 3) S   (n − 2 )(n − 3) 

Desvio Padrão

i =1

G1 > 0 → distribuição assimétrica positiva

i

da classe i

Amostra

n2
M
G1 =
x '33
(n − 1)(n − 2) S
.

n −1

n −1
Ci = ponto médio

desvio padrão =

Coeficiente de Assimetria G1

2

i

k

Para observações
agrupadas em k
classes

Simétrica → X = Md = Mo

Distribuição 
Positiva → X ≥ Md ≥ Mo
Assimétrica  Negativa → X ≤ Md ≤ Mo



2

i

2

Medidas de Forma

−X)

i

i

4

Observações Padronizadas
X −X
Zi = i
S

Variância
n

X i > Q 3 + (1,5 x AIQ )

X i > LS ⇒ é um outlier

4

AIQ = representa 50% dos dados

Relação entre
AIQ e σ

)

4

X i < L i ⇒ é um outlier

AIQ = Q3 − Q1 = Q 3 − Q1
4

(

Inferior (Li)
Limite
Superior (Ls)

G2 < 0 → distribuição platicúrtica

Coeficiente de Curtose K

− µ)

2

K=

N

(Q3 − Q1 )
2 x (P90 − P )
10

Medidas de Dispersão
Dispersão
Relativa
Dispersão Relativa
Resistente

S
X
A
CVR = IQ
Med
CV =

© 2013, Pedro Casquilho

2
Estatística Descritiva Bivariada
Covariância
'
'
COV ( X ,Y ) ≤ S X .SY
Covariância
(amostra)

COV ( X ,Y ) =

1  n

. ∑ ( X i − X )(Yi − Y )
.
n − 1  i =1


1  n

. ∑ X iYi − n. XY 
n − 1  i =1


COV ( X ,Y ) =
Covariância
(população)

COV ( X ,Y ) =


1  N
. ∑ ( X i − µ x ).(Yi − µ y )
N  i =1


Medidas de Associação
Coeficientes de Correlação

Coeficiente de
Correlação

Variável X

Variável Y

Quantitativa

Quantitativa

Pearson

Quantitativa ou
Qualitativa
(ordinal)
Qualitativa
nominal
dicotómica
Qualitativa
nominal
dicotómica
Qualitativa
politómica
nominal/ordinal

Qualitativa
(pelo menos ordinal)
Quantitativa
Qualitativa
nominal
dicotómica
Qualitativa
dicotómica/politómica
nominal/ordinal

Spearman

Coeficiente de Correlação de Spearman
n

RS = 1 −

(R )

(RS )

Phi

(R )

(φ)
(C )

n −n

Rbp =

bp

C-Cramer

i =1
3

-1 ≤ RS ≤ 1

Coeficiente bisserial por pontos

Bisserial por
pontos

6 x ∑ d i2

n1.n2 . ( X 1 − X 2 )
'
n.(n − 1).S X

ou

Rbp =

X1 − X 2
. pq
SX

-1 ≤ Rbp ≤ 1

Coeficiente de Correlação de Pearson

R=

R=

COV ( X ,Y )
'
'
S X .SY

Coeficiente de correlação phi Φ

(só para tabelas 2x2)


1  n
. ∑ ( X i − X )(Yi − Y )
.
n − 1  i =1

n

∑ (X
i =1

i − X)

n −1

n

2

'
'
COV ( X ,Y ) ≤ S X .SY

.

∑ (Y − Y )
i =1

2

i

n −1

⇒ -1 ≤ R ≤ 1

Φ=

AD − BC
( A + B )(C + D )( A + C )(B + D )
.
.
.
-1 ≤ φ ≤ 1

© 2013, Pedro Casquilho

3
Coeficiente de correlação C-Cramer

C=

Tabela 1

X2
n.(m − 1)

0 ≤ C ≤1

Li .C j

Eij =

m = menor valor entre o nº Linhas e o nº Colunas

Tabela 2
l

c

X = ∑∑
2

n

(O

i =1 j =1

Li = total marginal da linha

ij

− Eij )

2

Eij

Oij = valores observados

C j = total marginal da coluna

Eij = valores esperados

n = nº total da amostra

Algumas Distribuições Teóricas
6. Teorema do Limite Central: sejam

Variáveis discretas

Distribuição Binomial
E ( X ) = np
X ~ B (n, p )
n
P( X = x ) = C x x p x x (1 − p )

n− x

variáveis aleatória independentes com
X i ~ N (µ, σ ) e i = 1,2,..., n , então para n → ∞

Var ( X ) = npq

x = 1,2,..., n



X 1 , X 2 ,..., X n variáveis aleatórias

independentes com X i ~ B (ni , p ) e i = 1,2,..., k ,

 k

X i ~ B ∑ ni , p 
∑
i =1
 i =1

k

então

2. Seja

X ~ B (n, p ) , então quando n → ∞ e

(

a

0,1 < p < 0,9 tem-se que X ~ N np, npq

)

n
n≥3
n−2
Distribuição F-Snedecor
X ~ F(n ,d )

2. Z ~ N (0,1) ⇒ P(Z ≤ −z ) = 1 − P(Z ≤ z )
3. Seja X ~ N (µ, σ ) e Yi = a ± b. X i , então

E(X ) =

Y ~ N (a ± b.µ, b σ )

4. Sejam X 1 ~ N (µ1 , σ1 ) e X 2 ~ N (µ 2 , σ2 ) então
( X 1 ± X 2 ) ~ N (µ1 ± µ 2 , σ12 + σ2 ± 2.COV ( X 1 , X 2 ) )
2
X 1 ~ N (µ1 , σ1 ) e X 2 ~ N (µ 2 , σ 2 )

independentes, então

2
σ1 + σ 2
2

Var ( X ) = 2n

Var ( X ) =

X −µ
X ~ N (µ, σ ) ⇒ Z =
~ N (0,1)
σ

( X 1 ± X 2 ) ~ N (µ1 ± µ 2 ,

E(X ) = n

Distribuição t-Student
X ~ t( n )
E(X ) = 0 e n ≥ 2

Var ( X ) = σ 2

Propriedades:

5. Sejam

Distribuição Normal reduzida (estandardizada)
X -µ
X ~ N (µ, σ )
⇒
Z=
~ N (0,1)
σ
X −µ

P ( X < x ) = P Z <

σ 


X ~ χ(2n )

Distribuição Normal
E(X ) = µ
X ~ N (µ, σ )

σ 

n

Distribuição Qui-Quadrado

Variáveis Continuas

1.



a

tem-se X ~ N  µ,

Propriedades:

1. Sejam

X 1 , X 2 ,..., X n

d
d −2

Var ( X ) =

2d 2 (n + d − 2 )
2
n(d − 2 ) (d − 4 )

Propriedades:

1.

X ~ F(n ,d )

2.

Fα;(n ,d ) =

⇒

1

1

F
X ~ ( n ,d )

F1−α;(d ,n )

)
© 2013, Pedro Casquilho

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Estatística Descritiva 2013

  • 1. Formulário Estatística - 2013 Estatística Descritiva Univariada Tabelas de Frequência frequência absoluta Xi ni frequência relativa fi frequência absoluta acumulada frequência relativa acumulada Ni Fi 1 ……. ……. ……. ……. …. n ……. ……. Σ ……. ……. Σ ……. ……. ……. ……. Divisão da amostra em classes (variáveis contínuas) Regra de Sturges: k = 1 + 3,32 x log n max - min ai = amplitude das classes = k 4 k = inteiro Média n X = Média (população) Quartis 3º quartil = Q 3 Medidas de Localização Média (amostra) Quantis empíricos percentis → 100 duo-deciles → 12 decis → 10 quintis → 5 quartis → 4 tercis → 3 ∑X i =1 Q3 ⇒ n x 4 Q3 ⇒ n x k = não inteiro (decimal) i n 4 µ= Média X = (observações repetidas) k = 3,5 ⇒ X 3,5+1 = X 4 ∑X i =1 2º quartil = Q2 = mediana i 4 N 1º quartil = Q1 ∑n X i =1 i 4 i n k = inteiro Q3 ⇒ n x k Média X = ∑n C i =1 i i n Ci = ponto médio da classe i Mediana Depois de ordenada a amostra n = par n = impar Med = Xn + Xn 2 2 Med = X n +1 2 +1 k = não inteiro (decimal) 4 X + X k +1 1 =k ⇒ k 4 2 Q3 ⇒ n x 4 1 = k ⇒ X k +1 4 k = 3,5 ⇒ X 3,5+1 = X 4 Percentis  X k + X k +1   2 Percentis  X  k +1  np é inteiro 100 np é décimal ⇒ k= 100 ⇒ k= Para variáveis ordinais: 2 Moda 3 = k ⇒ X k +1 4 N k (observações agrupadas em k classes) X + X k +1 3 =k ⇒ k 4 2 Depois de ordenada a amostra, é a observação que aparece mais vezes repetida  X  k Percentis  X  k +1  np é inteiro 100 np é décimal ⇒ k= 100 ⇒ k= Q1=P25 ; Q2=P50=mediana ; Q3=P75 © 2013, Pedro Casquilho 1
  • 2. Medidas de Dispersão Outliers (valores atípicos ou anormais) Limite X i < Q1 − 1,5 x AIQ Amplitudes Amplitude (total) Amplitude Interquartílica A = Max − Min AIQ = 4 xσ 3 Amostra ∑ (X S2 = i =1 2 Assimetria (Skewness) n −1 N População σ = ∑ ( y − µ) i =1 N k Para observações repetidas ∑ n .(X S2 = i i =1 −X) S2 = G1 ≈ 0 → distribuição simétrica ∑ (C − X ) 2 i =1 variância n ∑ (X S= σ= Coeficiente de Achatamento G2 G2 ≈ 0 → distribuição mesocúrtica i G2 > 0 → distribuição leptocúrtica −X) n −1 ∑(y i =1 Achatamento ou Curtose (Kurtosis) 2 N População G1 < 0 → distribuição assimétrica negativa  (n − 1)2  n 2 .(n + 1) M   x ' 44  − 3 x G2 =   . . .  (n − 1)(n − 2 )(n − 3) S   (n − 2 )(n − 3)  Desvio Padrão i =1 G1 > 0 → distribuição assimétrica positiva i da classe i Amostra n2 M G1 = x '33 (n − 1)(n − 2) S . n −1 n −1 Ci = ponto médio desvio padrão = Coeficiente de Assimetria G1 2 i k Para observações agrupadas em k classes Simétrica → X = Md = Mo  Distribuição  Positiva → X ≥ Md ≥ Mo Assimétrica  Negativa → X ≤ Md ≤ Mo   2 i 2 Medidas de Forma −X) i i 4 Observações Padronizadas X −X Zi = i S Variância n X i > Q 3 + (1,5 x AIQ ) X i > LS ⇒ é um outlier 4 AIQ = representa 50% dos dados Relação entre AIQ e σ ) 4 X i < L i ⇒ é um outlier AIQ = Q3 − Q1 = Q 3 − Q1 4 ( Inferior (Li) Limite Superior (Ls) G2 < 0 → distribuição platicúrtica Coeficiente de Curtose K − µ) 2 K= N (Q3 − Q1 ) 2 x (P90 − P ) 10 Medidas de Dispersão Dispersão Relativa Dispersão Relativa Resistente S X A CVR = IQ Med CV = © 2013, Pedro Casquilho 2
  • 3. Estatística Descritiva Bivariada Covariância ' ' COV ( X ,Y ) ≤ S X .SY Covariância (amostra) COV ( X ,Y ) = 1  n  . ∑ ( X i − X )(Yi − Y ) . n − 1  i =1  1  n  . ∑ X iYi − n. XY  n − 1  i =1  COV ( X ,Y ) = Covariância (população) COV ( X ,Y ) =  1  N . ∑ ( X i − µ x ).(Yi − µ y ) N  i =1  Medidas de Associação Coeficientes de Correlação Coeficiente de Correlação Variável X Variável Y Quantitativa Quantitativa Pearson Quantitativa ou Qualitativa (ordinal) Qualitativa nominal dicotómica Qualitativa nominal dicotómica Qualitativa politómica nominal/ordinal Qualitativa (pelo menos ordinal) Quantitativa Qualitativa nominal dicotómica Qualitativa dicotómica/politómica nominal/ordinal Spearman Coeficiente de Correlação de Spearman n RS = 1 − (R ) (RS ) Phi (R ) (φ) (C ) n −n Rbp = bp C-Cramer i =1 3 -1 ≤ RS ≤ 1 Coeficiente bisserial por pontos Bisserial por pontos 6 x ∑ d i2 n1.n2 . ( X 1 − X 2 ) ' n.(n − 1).S X ou Rbp = X1 − X 2 . pq SX -1 ≤ Rbp ≤ 1 Coeficiente de Correlação de Pearson R= R= COV ( X ,Y ) ' ' S X .SY Coeficiente de correlação phi Φ (só para tabelas 2x2)  1  n . ∑ ( X i − X )(Yi − Y ) . n − 1  i =1  n ∑ (X i =1 i − X) n −1 n 2 ' ' COV ( X ,Y ) ≤ S X .SY . ∑ (Y − Y ) i =1 2 i n −1 ⇒ -1 ≤ R ≤ 1 Φ= AD − BC ( A + B )(C + D )( A + C )(B + D ) . . . -1 ≤ φ ≤ 1 © 2013, Pedro Casquilho 3
  • 4. Coeficiente de correlação C-Cramer C= Tabela 1 X2 n.(m − 1) 0 ≤ C ≤1 Li .C j Eij = m = menor valor entre o nº Linhas e o nº Colunas Tabela 2 l c X = ∑∑ 2 n (O i =1 j =1 Li = total marginal da linha ij − Eij ) 2 Eij Oij = valores observados C j = total marginal da coluna Eij = valores esperados n = nº total da amostra Algumas Distribuições Teóricas 6. Teorema do Limite Central: sejam Variáveis discretas Distribuição Binomial E ( X ) = np X ~ B (n, p ) n P( X = x ) = C x x p x x (1 − p ) n− x variáveis aleatória independentes com X i ~ N (µ, σ ) e i = 1,2,..., n , então para n → ∞ Var ( X ) = npq x = 1,2,..., n  X 1 , X 2 ,..., X n variáveis aleatórias independentes com X i ~ B (ni , p ) e i = 1,2,..., k ,  k  X i ~ B ∑ ni , p  ∑ i =1  i =1  k então 2. Seja X ~ B (n, p ) , então quando n → ∞ e ( a 0,1 < p < 0,9 tem-se que X ~ N np, npq ) n n≥3 n−2 Distribuição F-Snedecor X ~ F(n ,d ) 2. Z ~ N (0,1) ⇒ P(Z ≤ −z ) = 1 − P(Z ≤ z ) 3. Seja X ~ N (µ, σ ) e Yi = a ± b. X i , então E(X ) = Y ~ N (a ± b.µ, b σ ) 4. Sejam X 1 ~ N (µ1 , σ1 ) e X 2 ~ N (µ 2 , σ2 ) então ( X 1 ± X 2 ) ~ N (µ1 ± µ 2 , σ12 + σ2 ± 2.COV ( X 1 , X 2 ) ) 2 X 1 ~ N (µ1 , σ1 ) e X 2 ~ N (µ 2 , σ 2 ) independentes, então 2 σ1 + σ 2 2 Var ( X ) = 2n Var ( X ) = X −µ X ~ N (µ, σ ) ⇒ Z = ~ N (0,1) σ ( X 1 ± X 2 ) ~ N (µ1 ± µ 2 , E(X ) = n Distribuição t-Student X ~ t( n ) E(X ) = 0 e n ≥ 2 Var ( X ) = σ 2 Propriedades: 5. Sejam Distribuição Normal reduzida (estandardizada) X -µ X ~ N (µ, σ ) ⇒ Z= ~ N (0,1) σ X −µ  P ( X < x ) = P Z <  σ   X ~ χ(2n ) Distribuição Normal E(X ) = µ X ~ N (µ, σ ) σ   n Distribuição Qui-Quadrado Variáveis Continuas 1.  a tem-se X ~ N  µ, Propriedades: 1. Sejam X 1 , X 2 ,..., X n d d −2 Var ( X ) = 2d 2 (n + d − 2 ) 2 n(d − 2 ) (d − 4 ) Propriedades: 1. X ~ F(n ,d ) 2. Fα;(n ,d ) = ⇒ 1 1 F X ~ ( n ,d ) F1−α;(d ,n ) ) © 2013, Pedro Casquilho 4