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DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE UMA AMOSTRA

INTRODUÇÃO

O pesquisador social procura tirar conclusões a respeito de um grande número
de sujeitos. Por exemplo, ele poderia desejar estudar:

•   os 170.000.000 de cidadãos que constituem a população brasileira.

•   Os 1.000 membros de um sindicato.

•   Os 45.000 estudantes de intercâmbio e assim sucessivamente.

Se o pesquisador trabalha com todo o grupo que ele tenta compreender,
dizemos que está trabalhando com a POPULAÇÃO.

População consiste em um conjunto de indivíduos que compartilham de, pelo
menos, uma característica comum, seja ela cidadania, filiação a uma
associação de voluntários, etnia, matrícula na universidade, etc.

Entretanto, o pesquisador trabalha com tempo, energia e recursos econômicos
limitados. Portanto, são raras as vezes em que pode trabalhar com todos os
elementos da POPULAÇÃO. Geralmente, o pesquisador estuda um pequeno
grupo de indivíduos retirados da população. Este grupo denomina-se
AMOSTRA [Levin, 1987].

Amostra é um subconjunto de indivíduos extraídos de uma população.

O processo de escolha dos indivíduos que pertencerão a uma AMOSTRA, é
denominado AMOSTRAGEM.

O pesquisador busca generalizar conclusões referentes à AMOSTRA,
estendendo-as para toda a POPULAÇÃO da qual essa amostra foi extraída.

Há diversos MÉTODOS DE AMOSTRAGEM. Para o pesquisador social,
interessam os métodos que permitem que qualquer indivíduo da POPULAÇAO
possa vir a fazer parte da AMOSTRA. Estes métodos de amostragem são
denominados PROBALÍSTICOS.
Métodos de Amostragem Probabilística são os que selecionam os indivíduos
da população de forma que todos tenham as mesmas chances de participar da
amostra.

Não há dúvida de que uma amostra não representa perfeitamente uma
população. Ou seja, a utilização de uma amostra implica na aceitação de uma
margem de erro que denominaremos ERRO AMOSTRAL.

Erro Amostral é a diferença entre um resultado amostral e o verdadeiro
resultado populacional; tais erros resultam de flutuações amostrais aleatórias

Ocorrem erros não-amostrais quando:

•   Os     dados   amostrais      são     coletados,     registrados      ou    analisados
    incorretamente.

•   Há uma utilização de um instrumento defeituoso durante a realização de
    mensurações.

•   Um questionário ou formulário possui questões formuladas de modo
    tendencioso [Triola, 1999].

Não podemos evitar a ocorrência do ERRO AMOSTRAL, porém podemos
limitar seu valor através da escolha de uma amostra de tamanho adequado.
Obviamente, o ERRO AMOSTRAL e o TAMANHO DA AMOSTRA seguem
sentidos contrários (Figura 1). Quanto maior o tamanho da amostra, menor o
erro cometido e vice-versa.

                               TAMANHO DA AMOSTRA

    −                                                                                 +

                                    ERRO AMOSTRAL


         Figura 1 – Relação intuitiva entre o tamanho da amostra e o erro amostral.
DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE UMA AMOSTRA COM BASE NA
ESTIMATIVA DA MÉDIA POPULACIONAL

Suponha, por exemplo, que queiramos estimar a renda média de pessoas que
concluíram um curso superior, no primeiro ano após a formatura. QUANTAS
rendas devemos incluir em nossa amostra? A determinação do tamanho de
uma amostra é problema de grande importância, porque:

• amostras desnecessariamente grandes acarretam desperdício de tempo e
    de dinheiro;

• e amostras excessivamente pequenas podem levar a resultados não
    confiáveis.

Em muitos casos é possível determinar o tamanho mínimo de uma amostra
para estimar um parâmetro estatístico, como por exemplo, a MÉDIA
POPULACIONAL (µ) .

A fórmula para cálculo do tamanho da amostra para uma estimativa confiável
da MÉDIA POPULACIONAL (µ) é dada por:


                                                       2
                                       Z α / 2⋅σ 
                                    n=           
                                          E 

                                          Equação 1

Onde:

n          =       Número de indivíduos na amostra


Zα/2       =       Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado.


σ          =       Desvio-padrão populacional da variável estudada (no exemplo, RENDA).


E          =       Margem de erro ou ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA. Identifica a diferença

                   máxima entre a MÉDIA AMOSTRAL ( X ) e a verdadeira MÉDIA
                   POPULACIONAL.
Os valores de confiança mais utilizados e os valores de Z correspondentes
podem ser encontrados na Tabela 1:

             Tabela 1 – Valores críticos associados ao grau de confiança na amostra


   Grau de Confiança                             α                   Valor Crítico Zα/2

             90%                                0,10                        1,645

             95%                                0,05                        1,96

             99%                                0,01                        2,575



EXEMPLO 1

Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de um bacharel
em direito. Quantos valores de renda devem ser tomados, se o economista deseja ter 95% de
confiança em que a média amostral esteja a menos de R$500,00 da verdadeira média
populacional? Suponha que saibamos, por um estudo prévio, que para tais rendas, σ =
R$6250,00.

SOLUÇÃO


Queremos determinar o tamanho n da amostra, dado que α = 0,05 (95% de confiança).
Desejamos que a média amostral seja a menos de R$ 500 da média populacional, de forma
que E = 500. Supondo σ = 6250, aplicamos a Equação 1, obtendo:


                    2                       2
       Z α / 2  =  1,96 ⋅ 6250 
   n =                                      = 600,25 = 601 ( Arredondado para cima)
         E   500 
Devemos, portanto, obter uma amostra de ao menos 601 rendas de primeiro ano, selecionadas
aleatoriamente, de bacharéis de faculdades que tenham feito um curso de direito. Com tal

amostra teremos 95% de confiança em que a média amostral      x difira em menos de R$500,00
da verdadeira média populacional µ.


EXPERIÊNCIA: Baseado nos dados do EXEMPLO 1, utilize uma margem de erro
maior, como R$1.000,00 e determine qual seria o tamanho da amostra necessário nesta
situação.
E se σ não for conhecido?

A Equação 1 exige que        se substitua por algum valor o desvio-padrão
populacional σ, mas se este for desconhecido, devemos poder utilizar um valor
preliminar obtido por processos como os que se seguem:

1. Utilizar a aproximação σ ≈ amplitude/4.

2. Realizar um estudo piloto, iniciando o processo de amostragem. Com base
   na primeira coleção de pelo menos 31 valores amostrais selecionados
   aleatoriamente, calcular o desvio-padrão amostral S e utilizá-lo em lugar de
   σ. Este valor pode ser refinado com a obtenção de mais dados amostrais.



                    EXERCÍCIOS PROPOSTOS – Série 1

1. Uma pesquisa é planejada para determinar as despesas médicas anuais
   das famílias dos empregados de uma grande empresa. A gerência da
   empresa deseja ter 95% de confiança de que a média da amostra está no
   máximo com uma margem de erro de ±$50 da média real das despesas
   médicas familiares. Um estudo-piloto indica que o desvio-padrão pode ser
   calculado como sendo igual a $400.

   a.     Qual o tamanho de amostra necessário?

   b.     Se a gerência deseja estar certa em uma margem de erro de ±$25,
          que tamanho de amostra será necessário?


2. O teste de QI padrão é planejado de modo que a média seja 100 e o
   desvio-padrão para adultos normais seja 15. Ache o tamanho da amostra
   necessária para estimar o QI médio dos instrutores de estatística.
   Queremos ter 99% de confiança em que nossa média amostral esteja a
   menos de 1,5 pontos de QI da verdadeira média. A média para esta
   população é obviamente superior a 100, e o desvio-padrão é provavelmente
   inferior a 15, porque se trata de um grupo com menor variação do que um
   grupo selecionado aleatoriamente da população geral; portanto, se
   tomamos σ = 15, estaremos sendo conservadores, por utilizarmos um valor
que dará um tamanho de amostra no mínimo tão grande quanto necessário.
    Suponha σ = 15 e determine o tamanho da amostra necessário.



DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE UMA AMOSTRA COM BASE NA
ESTIMATIVA DA PROPORÇÃO POPULACIONAL

Outro parâmetro estatístico cuja determinação afeta o tamanho da amostra é a
proporção populacional. Tomemos, como exemplo, a necessidade de
determinar a proporção de pessoas atendidas por uma Unidade de Saúde,
originárias do município de Cariacica.

A fórmula para cálculo do tamanho da amostra para uma estimativa confiável
da PROPORÇÃO POPULACIONAL (p) é dada por:


                                          2
                                    Z ⋅ p⋅q
                                 n = α/2
                                         2
                                      E
                                      Equação 2

Onde:

n         =    Número de indivíduos na amostra


Zα/2      =    Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado.


p         =    Proporção populacional de indivíduos que pertence a categoria que estamos
               interessados em estudar.


q         =    Proporção populacional de indivíduos que NÃO pertence à categoria que
               estamos interessados em estudar (q = 1 – p).


E         =    Margem de erro ou ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA. Identifica a diferença
               máxima entre a PROPORÇÃO AMOSTRAL e a verdadeira PROPORÇÃO
               POPULACIONAL (p).
E se “p” e “q” não forem conhecidos?

A Equação 2 exige que se substituam os valores populacionais p e q, por
valores amostrais        ˆ ˆ
                         p e q . Mas se estes também forem desconhecidos,
             ˆ ˆ
substituímos p e q por 0,5, obtendo a seguinte estimativa (Levine, 2000):


                                            2
                                     n = Zα / 2
                                                ⋅ 0,25
                                                2
                                            E
                                          Equação 3




EXEMPLO 2

Um assistente social deseja saber o tamanho da amostra (n) necessário para determinar a
proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde, que pertence ao município de
Cariacica. Não foi feito um levantamento prévio da proporção amostral e, portanto, seu valor é
desconhecido. Ela quer ter 90% de confiança que sua o erro máximo de estimativa (E) seja
de ±5% (ou 0,05). Quantas pessoas necessitam ser entrevistadas?

SOLUÇÃO

Considerando que o valor da proporção amostral de atendimentos para pessoas de Cariacica
não é conhecida. Utilizamos a Equação 3 para determinar o tamanho da amostra. Sabemos
que, para 90% de confiança teremos o valor crítico (Zα/2 ) = 1,645, conforme Tabela 1.



       n=
          [Z α / 2]2 ⋅ 0,25 = 1,645 2 ⋅ 0,25 = 270,6 = 271 (arredondado para cima)
                 E2              0,05 2

Devemos, portanto, obter uma amostra de 271 pessoas para determinar a proporção da
população atendida na Unidade de Saúde, que se origina do município de Cariacica.



EXPERIÊNCIA: Baseado nos dados do EXEMPLO 2, utilize uma margem de erro
maior, como ±0,20 (20%) e determine qual seria o tamanho da amostra necessário
quando o nível de confiança é 90% e quando é 95%.
DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA PARA POPULAÇÕES
FINITAS

As fórmulas para determinação do tamanho da amostra que vimos até agora
trabalhavam com a idéia de que a população de onde se retirava a amostra era
tão grande, que poderíamos considerá-la infinita. Entretanto, a maior parte das
populações não é tão grande em comparação com as amostras. Caso a
amostra tenha um tamanho (n) maior ou igual a 5% do tamanho da população
(N), considera-se que a população seja FINITA. Neste caso, aplica-se um fator
de correção às fórmulas vistas anteriormente e teremos as seguintes fórmulas
corrigidas:

•   Fórmula para determinação do tamanho da amostra (n) com base na
    estimativa da média populacional.


                                          (Zα / 2)2
                                   N ⋅σ 2 ⋅
                        n=
                           (N − 1) ⋅ E 2 + σ 2 ⋅ (Zα / 2)2
                                      Equação 4

•   Fórmula para determinação do tamanho da amostra (n) com base na
    estimativa da proporção populacional.


                                 N ⋅ p⋅q⋅
                                     ˆ ˆ      (Zα / 2)2
                       n=
                            p⋅q⋅
                            ˆ ˆ    (Zα / 2)2 + ( N − 1) ⋅ E 2
                                      Equação 5
REFERÊNCIA BIBILIOGRÁFICA

•   LEVIN, Jack. Estatística Aplicada a Ciências Humanas.2a. Ed. São
    Paulo: Editora Harbra Ltda, 1987.

•   TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. 7a. Ed. Rio de Janeiro: LTC,
    1999.

•   LEVINE, D. M. / BERENSON, M. L. / STEPHAN, David. Estatística: Teoria
    e Aplicações usando Microsoft Excel em Português. Rio de Janeiro: LTC,
    2000.

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Determinando o Tamanho da Amostra

  • 1. DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE UMA AMOSTRA INTRODUÇÃO O pesquisador social procura tirar conclusões a respeito de um grande número de sujeitos. Por exemplo, ele poderia desejar estudar: • os 170.000.000 de cidadãos que constituem a população brasileira. • Os 1.000 membros de um sindicato. • Os 45.000 estudantes de intercâmbio e assim sucessivamente. Se o pesquisador trabalha com todo o grupo que ele tenta compreender, dizemos que está trabalhando com a POPULAÇÃO. População consiste em um conjunto de indivíduos que compartilham de, pelo menos, uma característica comum, seja ela cidadania, filiação a uma associação de voluntários, etnia, matrícula na universidade, etc. Entretanto, o pesquisador trabalha com tempo, energia e recursos econômicos limitados. Portanto, são raras as vezes em que pode trabalhar com todos os elementos da POPULAÇÃO. Geralmente, o pesquisador estuda um pequeno grupo de indivíduos retirados da população. Este grupo denomina-se AMOSTRA [Levin, 1987]. Amostra é um subconjunto de indivíduos extraídos de uma população. O processo de escolha dos indivíduos que pertencerão a uma AMOSTRA, é denominado AMOSTRAGEM. O pesquisador busca generalizar conclusões referentes à AMOSTRA, estendendo-as para toda a POPULAÇÃO da qual essa amostra foi extraída. Há diversos MÉTODOS DE AMOSTRAGEM. Para o pesquisador social, interessam os métodos que permitem que qualquer indivíduo da POPULAÇAO possa vir a fazer parte da AMOSTRA. Estes métodos de amostragem são denominados PROBALÍSTICOS.
  • 2. Métodos de Amostragem Probabilística são os que selecionam os indivíduos da população de forma que todos tenham as mesmas chances de participar da amostra. Não há dúvida de que uma amostra não representa perfeitamente uma população. Ou seja, a utilização de uma amostra implica na aceitação de uma margem de erro que denominaremos ERRO AMOSTRAL. Erro Amostral é a diferença entre um resultado amostral e o verdadeiro resultado populacional; tais erros resultam de flutuações amostrais aleatórias Ocorrem erros não-amostrais quando: • Os dados amostrais são coletados, registrados ou analisados incorretamente. • Há uma utilização de um instrumento defeituoso durante a realização de mensurações. • Um questionário ou formulário possui questões formuladas de modo tendencioso [Triola, 1999]. Não podemos evitar a ocorrência do ERRO AMOSTRAL, porém podemos limitar seu valor através da escolha de uma amostra de tamanho adequado. Obviamente, o ERRO AMOSTRAL e o TAMANHO DA AMOSTRA seguem sentidos contrários (Figura 1). Quanto maior o tamanho da amostra, menor o erro cometido e vice-versa. TAMANHO DA AMOSTRA − + ERRO AMOSTRAL Figura 1 – Relação intuitiva entre o tamanho da amostra e o erro amostral.
  • 3. DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE UMA AMOSTRA COM BASE NA ESTIMATIVA DA MÉDIA POPULACIONAL Suponha, por exemplo, que queiramos estimar a renda média de pessoas que concluíram um curso superior, no primeiro ano após a formatura. QUANTAS rendas devemos incluir em nossa amostra? A determinação do tamanho de uma amostra é problema de grande importância, porque: • amostras desnecessariamente grandes acarretam desperdício de tempo e de dinheiro; • e amostras excessivamente pequenas podem levar a resultados não confiáveis. Em muitos casos é possível determinar o tamanho mínimo de uma amostra para estimar um parâmetro estatístico, como por exemplo, a MÉDIA POPULACIONAL (µ) . A fórmula para cálculo do tamanho da amostra para uma estimativa confiável da MÉDIA POPULACIONAL (µ) é dada por: 2  Z α / 2⋅σ  n=   E  Equação 1 Onde: n = Número de indivíduos na amostra Zα/2 = Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado. σ = Desvio-padrão populacional da variável estudada (no exemplo, RENDA). E = Margem de erro ou ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA. Identifica a diferença máxima entre a MÉDIA AMOSTRAL ( X ) e a verdadeira MÉDIA POPULACIONAL.
  • 4. Os valores de confiança mais utilizados e os valores de Z correspondentes podem ser encontrados na Tabela 1: Tabela 1 – Valores críticos associados ao grau de confiança na amostra Grau de Confiança α Valor Crítico Zα/2 90% 0,10 1,645 95% 0,05 1,96 99% 0,01 2,575 EXEMPLO 1 Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de um bacharel em direito. Quantos valores de renda devem ser tomados, se o economista deseja ter 95% de confiança em que a média amostral esteja a menos de R$500,00 da verdadeira média populacional? Suponha que saibamos, por um estudo prévio, que para tais rendas, σ = R$6250,00. SOLUÇÃO Queremos determinar o tamanho n da amostra, dado que α = 0,05 (95% de confiança). Desejamos que a média amostral seja a menos de R$ 500 da média populacional, de forma que E = 500. Supondo σ = 6250, aplicamos a Equação 1, obtendo: 2 2  Z α / 2  =  1,96 ⋅ 6250  n =    = 600,25 = 601 ( Arredondado para cima)  E   500  Devemos, portanto, obter uma amostra de ao menos 601 rendas de primeiro ano, selecionadas aleatoriamente, de bacharéis de faculdades que tenham feito um curso de direito. Com tal amostra teremos 95% de confiança em que a média amostral x difira em menos de R$500,00 da verdadeira média populacional µ. EXPERIÊNCIA: Baseado nos dados do EXEMPLO 1, utilize uma margem de erro maior, como R$1.000,00 e determine qual seria o tamanho da amostra necessário nesta situação.
  • 5. E se σ não for conhecido? A Equação 1 exige que se substitua por algum valor o desvio-padrão populacional σ, mas se este for desconhecido, devemos poder utilizar um valor preliminar obtido por processos como os que se seguem: 1. Utilizar a aproximação σ ≈ amplitude/4. 2. Realizar um estudo piloto, iniciando o processo de amostragem. Com base na primeira coleção de pelo menos 31 valores amostrais selecionados aleatoriamente, calcular o desvio-padrão amostral S e utilizá-lo em lugar de σ. Este valor pode ser refinado com a obtenção de mais dados amostrais. EXERCÍCIOS PROPOSTOS – Série 1 1. Uma pesquisa é planejada para determinar as despesas médicas anuais das famílias dos empregados de uma grande empresa. A gerência da empresa deseja ter 95% de confiança de que a média da amostra está no máximo com uma margem de erro de ±$50 da média real das despesas médicas familiares. Um estudo-piloto indica que o desvio-padrão pode ser calculado como sendo igual a $400. a. Qual o tamanho de amostra necessário? b. Se a gerência deseja estar certa em uma margem de erro de ±$25, que tamanho de amostra será necessário? 2. O teste de QI padrão é planejado de modo que a média seja 100 e o desvio-padrão para adultos normais seja 15. Ache o tamanho da amostra necessária para estimar o QI médio dos instrutores de estatística. Queremos ter 99% de confiança em que nossa média amostral esteja a menos de 1,5 pontos de QI da verdadeira média. A média para esta população é obviamente superior a 100, e o desvio-padrão é provavelmente inferior a 15, porque se trata de um grupo com menor variação do que um grupo selecionado aleatoriamente da população geral; portanto, se tomamos σ = 15, estaremos sendo conservadores, por utilizarmos um valor
  • 6. que dará um tamanho de amostra no mínimo tão grande quanto necessário. Suponha σ = 15 e determine o tamanho da amostra necessário. DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE UMA AMOSTRA COM BASE NA ESTIMATIVA DA PROPORÇÃO POPULACIONAL Outro parâmetro estatístico cuja determinação afeta o tamanho da amostra é a proporção populacional. Tomemos, como exemplo, a necessidade de determinar a proporção de pessoas atendidas por uma Unidade de Saúde, originárias do município de Cariacica. A fórmula para cálculo do tamanho da amostra para uma estimativa confiável da PROPORÇÃO POPULACIONAL (p) é dada por: 2 Z ⋅ p⋅q n = α/2 2 E Equação 2 Onde: n = Número de indivíduos na amostra Zα/2 = Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado. p = Proporção populacional de indivíduos que pertence a categoria que estamos interessados em estudar. q = Proporção populacional de indivíduos que NÃO pertence à categoria que estamos interessados em estudar (q = 1 – p). E = Margem de erro ou ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA. Identifica a diferença máxima entre a PROPORÇÃO AMOSTRAL e a verdadeira PROPORÇÃO POPULACIONAL (p).
  • 7. E se “p” e “q” não forem conhecidos? A Equação 2 exige que se substituam os valores populacionais p e q, por valores amostrais ˆ ˆ p e q . Mas se estes também forem desconhecidos, ˆ ˆ substituímos p e q por 0,5, obtendo a seguinte estimativa (Levine, 2000): 2 n = Zα / 2 ⋅ 0,25 2 E Equação 3 EXEMPLO 2 Um assistente social deseja saber o tamanho da amostra (n) necessário para determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde, que pertence ao município de Cariacica. Não foi feito um levantamento prévio da proporção amostral e, portanto, seu valor é desconhecido. Ela quer ter 90% de confiança que sua o erro máximo de estimativa (E) seja de ±5% (ou 0,05). Quantas pessoas necessitam ser entrevistadas? SOLUÇÃO Considerando que o valor da proporção amostral de atendimentos para pessoas de Cariacica não é conhecida. Utilizamos a Equação 3 para determinar o tamanho da amostra. Sabemos que, para 90% de confiança teremos o valor crítico (Zα/2 ) = 1,645, conforme Tabela 1. n= [Z α / 2]2 ⋅ 0,25 = 1,645 2 ⋅ 0,25 = 270,6 = 271 (arredondado para cima) E2 0,05 2 Devemos, portanto, obter uma amostra de 271 pessoas para determinar a proporção da população atendida na Unidade de Saúde, que se origina do município de Cariacica. EXPERIÊNCIA: Baseado nos dados do EXEMPLO 2, utilize uma margem de erro maior, como ±0,20 (20%) e determine qual seria o tamanho da amostra necessário quando o nível de confiança é 90% e quando é 95%.
  • 8. DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA PARA POPULAÇÕES FINITAS As fórmulas para determinação do tamanho da amostra que vimos até agora trabalhavam com a idéia de que a população de onde se retirava a amostra era tão grande, que poderíamos considerá-la infinita. Entretanto, a maior parte das populações não é tão grande em comparação com as amostras. Caso a amostra tenha um tamanho (n) maior ou igual a 5% do tamanho da população (N), considera-se que a população seja FINITA. Neste caso, aplica-se um fator de correção às fórmulas vistas anteriormente e teremos as seguintes fórmulas corrigidas: • Fórmula para determinação do tamanho da amostra (n) com base na estimativa da média populacional. (Zα / 2)2 N ⋅σ 2 ⋅ n= (N − 1) ⋅ E 2 + σ 2 ⋅ (Zα / 2)2 Equação 4 • Fórmula para determinação do tamanho da amostra (n) com base na estimativa da proporção populacional. N ⋅ p⋅q⋅ ˆ ˆ (Zα / 2)2 n= p⋅q⋅ ˆ ˆ (Zα / 2)2 + ( N − 1) ⋅ E 2 Equação 5
  • 9. REFERÊNCIA BIBILIOGRÁFICA • LEVIN, Jack. Estatística Aplicada a Ciências Humanas.2a. Ed. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 1987. • TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. 7a. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. • LEVINE, D. M. / BERENSON, M. L. / STEPHAN, David. Estatística: Teoria e Aplicações usando Microsoft Excel em Português. Rio de Janeiro: LTC, 2000.